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7/23/2019 tutorialMATLAB_upeu.pdf

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UNIVERSIDAD PERUANA UNIN LIMAFACULTAD DE INGENIERA Y ARQUITECTURA

ESCUELA DE INGENIERA DE SISTEMAS E INGENIERA CIVIL

MANUAL DEL SOFTWARE

MATLAB VERSIN 2015a

ELABORADO POR:

SORIA QUIJAITE JUAN JESS

DOCTOR EN INGENIERA DE SISTEMAS

LIMAPER

2015


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MANUAL DEL SOFTWARE MATLAB DR. SORIA QUIJAITE JUAN

INTRODUCCIN

MATLAB es una abreviatura de Matriz Laboratory (Laboratorio de Matrices). La

implementacin original de Matlab la realiz Cleve Moler a finales de los aos 70, las

aplicaciones de Matlab se fueron extendiendo a otras ramas del clculo cientfico y de las

ciencias aplicadas en general. Dichas extensiones se consiguieron en gran parte mediante laimplementacin de toolboxes, libreras que utilizan Matlab para ampliar el rango de problemas

que puede cubrir.

Sin miedo a equivocarse, se pueden enunciar las siguientes reas donde Matlab muestra un

gran potencial:

lgebra matricial

Procesamiento de seales

Diseo de sistemas de control Salidas grficas

Estadstica

Simulacin de sistemas dinmicos

Mtodos numricos:

Ceros de ecuaciones no lineales

Ceros de sistemas de ecuaciones no lineales

Interpolacin

Derivacin numrica

Integracin numrica

Ploteos de funciones reales y complejas

Teora de Bezier

Los B-spline y Poly-spline

Biforcaciones y teora del Caos

La Geometra Fractal etc.

El lenguaje de programacin de Matlab es bastante ms flexible que el de los lenguajes

tradicionales. No es preciso la declaracin inicial de variables, stas se pueden introducir en el

momento que se necesiten, y por ejemplo, vectores y matrices pueden declararse sin

especificar sus dimensiones e incluso cambiar sus tamaos sobre la marcha.

A priori se distinguen dos tipos de funciones en Matlab:

Funciones Compiladas (Built in functions)

Funciones no Compiladas


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Las primeras estn optimizadas, son programas ya compilados y con el cdigo no accesible

para el usuario. Como ejemplos se pueden citar:

Operaciones fundamentales : + , *, :, -,

Las funciones matemticas : sin , cos, exp, log, log10,

Algoritmos bsicos del lgebra lineal : inv, det, lu, chol, qr, eig, trampose, Salidas grficas : plot, surf, meshc, meshz, waterfall

Las funciones no compiladas estn escritas siguiendo el lenguaje de programacin propio de

Matlab. Estos comandos se guardan en ficheros*.m que es la extensin estndar de los

ficheros de Matlab. Tambin est la extensin *.mat , propia de ficheros de datos.

1. ENTORNO DE TRABAJO DEL MATLAB

Entre las primeras caractersticas de Matlab destacamos las siguientes: Elprompt de Matlab es >>. El usuario escribe a continuacin

Para ejecutar se pulsa la tecla Enter

Se puede recuperar comandos anteriores navegando con las flechas y

Cuando se trabaje con Matlab , debemos tener en cuenta:

Se distinguen las maysculas de las minsculas

El carcter % se utiliza para insertar comentarios. Todo lo que sigue es ignorado por

Matlab

Si se teclea al final de una orden ; sta se ejecuta pero el resultado no se visualiza

por pantalla.

Los nmeros reales se pueden insertar tambin en notacin cientfica, muy adecuados si se

traza de nmeros grandes o muy pequeos (en valor absoluto). As, se tiene la siguiente regla

de construccin para representar nmeros reales:

Si rmx 10. entonces su equivalente es remx ..

Ejemplos:

310737007.0 xe

1245310.453 12 e

0092012.11201200000 e

0041415.300031415.0 e

Existen adems dos nmeros especiales: Inf y NaN . El primer signo representa la cantidad

infinita (). La segunda, es una abreviatura de no es un nmero (Not a Number) y es el

resultado que se devuelve ante una operacin indefinida como 0/0.

2. OPERADORES ARITMTICOS


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Los operadores aritmticos que se posee MATLAB se ven a continuacin:

Operacin Descripcin Elementos a y b

+ a+b : Realiza la suma de ay b Escalares, vectores o matrices

- a-b : Realiza la resta de ay b Escalares, vectores o matrices

* a*b : Realiza la multiplicacin de ay b

Escalares o matrices

.* a .* b : Realiza la multiplicacin de a

y b

Escalares o de vectores

/ a / b : Realiza la divisin de aentre

b

Matrices

./ a / b : Realiza la divisin deaentre

b

Vectores

\ a \ b : Realiza la divisin de bentre

a

Escalares o de matrices

.\ a .\ b : Realiza la divisin de bentre

a

Vectores

^ a ^ b : Eleva la base aal exponente

b

Escalares o escalar de matrices

( pM )

.^ a .^ b : Eleva la base aal exponenteb

vectores

3. OPERADORES RELACIONALES

Los operadores relacionales que se posee MATLAB se ven a continuacin:

Operacin Descripcin

~= a ~= b : Establece la condicin de ba

> a > b : Establece la condicin deamayor queb< a < b : Establece la condicin de amenor que b

>= a >= b : Establece la condicin de amayor o igual que b


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MATLAB, presenta los valores de acuerdo a un formato, el que por defecto es

format short ; existen otros

Comandos Valor de pi

long 3.14159265358979

short e 3.1416e+000long e 3.141592653589793e+000

hex 400921fb54442d18

bank 3.14

+ +

rad 355/113

short 3.1416

5. OPERADORES LGICOS

Los operadores relacionales que se posee MATLAB se ven a continuacin:

Operacin Descripcin

~A Negacin lgica (NOT) o complementario de A

A&B Conjuncin lgica (AND) o interseccin de A y B

A | B Disyuncin lgica inclusiva (OR) o unin de A y B

xor(A,B) OR exclusivo (XOR) o diferencia simtrica de A y B

6. VARIABLES

En Matlab como en cualquier otro lenguaje de programacin se utilizan variables, estas deben

tener un nombre segn ciertas reglas las cuales son:

No pueden comenzar con un nmero, aunque si pueden tener nmeros en su estructura:

variable1 es un nombre vlido.

Las maysculas y minsculas se diferencian en los nombres de variables: A y a sonvariables diferentes.

Los nombres de variables no pueden contener operadores ni puntos. No es vlido usar /

, * , - , + , . , ; , : , ^ .

Para el uso de una variable no es necesario declarar sus nombres , en la siguiente tabla se

presenta las variables predefinidas que posee Matlab.

Nombre de la Significado


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variable

pi

i y j Unidad imaginaria = 1

inf Infinito =

eps psilon de la mquina =1.0000e-006

NaN No es un nmero

realmin Menor nmero 10222

relamas Mayor nmero 10232)2( e

Date Fecha

flops Contador de operaciones de punto flotante

nargin Nmero de argumentos de entrada de una funcin

nargout Nmero de argumentos de salida de una funcin

7. COMANDOS DE LECTURA Y ESCRITURA

Matlab provee una forma sencilla de leer variables desde el teclado y visualizar mensajes

en la pantalla de la computadora a travs de las siguientes funciones:

input .- Permite el ingreso de datos al programa a travs del teclado asignndolo a una

variable, esta orden puede usarse con un mensaje en la lnea de comandos. Despus

de imprimir el mensaje, la orden espera que el usuario digite el valor numrico, un

vector, una matriz o una expresin vlida delmatlab.

Ejemplo:

z= input(ingrese un nmero, s)

Asigna a la variable z la cadena ingresada

s : indica que la entrada que se har por el teclado es una cadena

fprintf.- Permite la visualizacin de un valor numrico o el resultado de una expresin

guardada por el usuario.

Ejemplo:

>> vol=25

>>fprintf (el volumen de la esfera es:, %12.0f \ n, vol )

\ n : indica que la impresin de la variable vol ser en la siguiente lnea

%12.0f : formato de un nmero entero

%12.5f : formato de un nmero real con 5 decimales.


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disp.- Permite visualizar en pantalla un mensaje de texto o el valor de una matriz, pero

sin imprimir su nombre. En realidad, dispsiempre imprime vectores y/o matrices, las

cadenas de caracteres se consideran un caso particular de vectores.

Ejemplos:

>> disp(Esta es una prueba)>> disp(pi)

>> disp(El programa ha terminado)

>> A=rand(4,4)

>> disp(A)

clear : Borra las variables usadas de la memoria

clc : Limpia la informacin de la ventana de comandos

8. FUNCIONES MATEMTICAS EN MATLAB

Matlab ofrece un sinnmero de funciones las que aceptan como argumento variables reales

y/o complejas sin discriminacin, as como con argumentos matriciales.

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

FUNCIN- Matlab DESCRIPCIN FUNCIN INVERSA

sin(x) Seno de x asin(x)

cos(x) Coseno de x acos(x)

tan(x) Tangente de x atan(x) y atan2(x)

cot(x) Cotangente de x acot(x)

sec(x) Secante de x asec(x)

csc(x) Cosecante de x acsc(x)

FUNCIONES HIPERBLICAS


sinh(x) Seno hiperblico de x asinh(x)

cosh(x) Coseno hiperblico de x acosh(x)

tanh(x) Tangente hiperblica de x atanh(x)

coth(x) Cotangente hiperblica x acoth(x)

sech(x) Secante hiperblica de x asech(x)

csch(x) Cosecante hiperblica x acsch(x)


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FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS

FUNCIN- Matlab DESCRIPCI N Lenguaje

matemtico

exp(x) Funcin exponencial en base e

(e^x)

xexf )(

log(x) Funcin logaritmo en base e de x )()( xLnxf

log10(x) Funcin logaritmo en base 10 de

x

)()( xLogxf

log2(x) Funcin logaritmo en base 2 de x )()( 2 xLogxf

pow2(x) Funcin potencia de base 2 de x xxf 2)(

sqrt(x) Funcin raz cuadrada de x xxf )(

FUNCIONES ESPECFICAS DE VARIABLE NUMRICA

FUNCIN- Matlab DESCRIPCIN Lenguaje

matemtico

abs(x) Valor absoluto del real x xxf )(

floor(x) El mayor valor entero o igual que

el real xceill(x) El menor entero mayor o igual que

el real x

round(x) El entero mas prximo al real x

rem(a,b) Da el resto de la divisin entre los

reales a y b

sing(x) Signo del real x (1 si x>0 ; -1 si

x


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Como la unidad imaginaria se representa mediante los smbolos ioj , los nmeros complejos

se expresan de la forma z=a+bi z=a+bj. Es notorio el hecho de no necesitar el smbolo del

producto (el asterisco) antes de la unidad imaginaria.

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS COMPLEJAS

FUNCIN- Matlab DESCRIPCI N FUNCI N INVERSAsin(z) Seno de z asin(z)

cos(z) Coseno de z acos(z)

tan(z) Tangente de z atan(z) y atan2(z)

cot(z) Cotangente de z acot(z)

sec(z) Secante de z asec(z)

csc(z) Cosecante de z acsc(z)

FUNCIONES HIPERBLICAS


sinh(z) Seno hiperblico de z asinh(z)

cosh(z) Coseno hiperblico de z acosh(z)

tanh(z) Tangente hiperblica de z atanh(z)

coth(z) Cotangente hiperblica de

z

acoth(z)

sech(z) Secante hiperblica de z asech(z)

csch(z) Cosecante hiperblica de

z

acsch(z)

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS

FUNCIN- Matlab DESCRIPCIN Lenguaje matemtico

exp(z) Funcin exponencial en base e(e^z)

zezf )(

log(z) Funcin logaritmo en base e de z )()( zLnzf

log10(z) Funcin logaritmo en base 10 z )()( zLogzf

log2(z) Funcin logaritmo en base 2 de z )()( 2 zLogzf

pow2(z) Funcin potencia de base 2 de z zzf 2)(

sqrt(z) Funcin raz cuadrada de zzzf )(


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Sentencia if

En su forma ms simple, la sentencia if se escribe en la forma siguiente :

ifcondicin

sentencias

end

Ejemplo

input('ingrese x=')

if rem(x,2)==0

fprintf('el nmero es par');

else

fprintf('el nmero es impar');end

Resultados

ingrese x=20

ans = 20 el nmero es par

Bifurcacin mltiple

En la bifurcacin mltiple pueden concatenarse tantas condiciones if como se desee, de tal

manera que se ejecutar el bloque que pertenece a la condicin que es verdadera, a

continuacin se presenta su sintaxis:

if condicin 1

bloque 1

elseif condicin 2

bloque 2

elseif condicin 3

bloque 3

else

bloque 4

end

Los Bucles

Permiten repetir las mismas o anlogas operaciones sobre datos distintos. A continuacin se

muestras dos posibles formas debucles, con el control situado al principio o al final del mismo.

Si el control est situado al comienzo del bucle es posible que las sentencias no se ejecuten

ninguna vez, por no haberse cumplido la condicin cuando se llega al bucle por primera vez.


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Sin embargo, si la condicin est al final del bucle las sentencias se ejecutarn por lo menos

una vez, aunque la condicin no se cumpla. En Matlab no hay bucles con control al final del

bucle, es decir, no existe la construccin anloga a do while.

Sentencia whileLa estructura del bucle while es muy similar a la C/C++/Java. Su sintaxis es la siguiente:

whilecondicin

sentencias

end

Donde la expresin puede ser una expresin vectorial o matricial. Las sentencias se siguen

ejecutando mientras haya elementos distintos de cero en la condicin; el bucle se terminacuando todos los elementos de l a condicin son falsos.

Ejemplo

>> x=0; suma=0;

>>while x > disp(La suma es: );

>> disp(suma);

Sentencia for

La sentenciafor repite un conjunto de sentencias un nmero predeterminado de veces. La

sentencia forde Matlab es muy diferente y no tiene la generalidad de la sentencia for de

C/C++/Java.

La siguiente estructura de control ejecuta sentencias con valores deide 1a n , variando de

uno en uno.

for i=1: n

sentencias

end

Ejemplo1

>>for x=1: 2 : 9

y= x.^2 - 1;

disp([x, y]);


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end

%Nos devuelve los resultados

1 0

3 8

5 247 48

9 80

Ejemplo2

>>x=1:5;

suma=0;

for n=1:5suma=suma+x(n);

end;

%Resultado

suma=15

Ejemplo3 (calcula la desviacin estndar de la matriz x)

>>x=[11 9 12 8 10];

suma=0;

for n=1:5

suma=suma+x(n);

end;

p=suma/5; %Halla la media aritmtica

suma=0;

for n=1:5

suma=suma+(x(n)-p).^2;

end

desv=sqrt(suma/5);

desv

%Resulatado desv=1.4142

Nota: Si el incremento no se especifica Matlab asigna por defecto el incremento que es igual a

1.

En el siguiente ejemplo se presenta el caso mas general para la variable del bucle


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for i=(valor_inicial : incremento : valor_final) ; el bucle se ejecuta por primera vez con i=n , y

luego i se va reduciendo de 0.2 en 0.2 hasta que llega a ser menor que 1, en cuyo caso el

bucle se termina:

fori=n : -0.2 : 1sentencias

end

Bucles anidados

Se presenta em el caso que um bucle forme parte de las sentencias de outro bucle, en la

siguiente sintaxis la variablej es la que vara ms rpidamente, por cada valor de i , jtoma

todos sus posibles valores.

for i=1: m

sentencias1

for j=1: n

sentencias2

end

end

Observacin.- Cuando se introducen los bucles interactivamente en la lnea de comandos, los

bucles forse ejecutan slo despus de introducir la sentencia end que los completa.

Sentencia break

La sentencia break hace que se termine la ejecucin del bucle fory/o while ms interno de los

que comprenden a dicha sentencia.

El siguiente ejemplo termina la ejecucin del for interno, cada vez que el valor de m es mayor

que 2 veces el valor de k.

Ejemplo

>> for k=1:2

for m=1:7

if m>2*k

break

else

disk([k,m])


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end

end

end

nos devuelve como resultado:

1 11 2

2 1

2 2

2 3

2 4

Sentencia switch

La sentencia switch realiza una funcin anloga a un conjunto de if elseif conectados, suforma general es la siguiente:

switch switch _expresin

casecase_expr1,

bloque 1

case{case_expr2, case_expr2, case_expr2,. }

bloque 2

otherwise, %Opcin por defecto

Bloque 3

end

Al principio se evala la switch_expresin, cuyo resultado debe ser un nmero escalar o una

cadena de caracteres. Este resultado se compara con los case_expr, y se ejecuta el bloque de

sentencias que corresponda con ese resultado, si ninguno es igual a switch_expresion se

ejecutan las sentencias correspondientes a otherwise.

1. Arreglos

Un arreglo es un conjunto ordenados de datos. Sea x una arreglo entonces

nxxxxx ;;;;; 4321 son sus primero, segundo y n-simo elementos.

2. Variables de arreglo unidimensional

Las variables de arreglo unidimensional tienen forma de fila o columna y estn relacionadas

con los vectores y las matrices. En Matlab, arreglo de filaes lo mismo que vector de fila y

arreglo de columnaes lo mismo que vector columna. NOTA PONERLE LOS BUCLES


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En Matlab los arreglos, se definen entre corchetes.

Considere el arreglo x con valores de los enteros : 10,8,6,4,2x

>> x=[2 4 6 8 10]

x = 2 4 6 8 10Si para cada punto

ix se asocia la ecuacin de lnea 23 ii xy ; entonces el arreglo y se

define por y=3*x+2

>> y=3*x+2

y =8 14 20 26 32

Un tamao de un arreglo se puede incrementar, abriendo el arreglo para otro valor

>> x=[x,12]

x = 2 4 6 8 10 12

3. DIRECIONANDO ARREGLOS

Un elemento de un arreglo puede ser direccionado ,indicando el nmero del ndice entre

parntesis ; as x(2)es el segundo valor del arreglo x ; luego se puede calcular la suma de

todos los valores : x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)+x(6)x = 2 4 6 8 10 12

>> x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)+x(6)

ans = 42

Para acceder a un bloque de elemento a la vez, se provee la notacin de los dos puntos ( : ) ;

as x(1:4), son los cuatro primeros elementos del arreglo x

>> x(1:4)ans = 2 4 6 8


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Para representar desde el cuarto elemento hasta el primero en orden ascendente, se

especifica como x(4:-1:1)

CLCULO SIMBLICO: ANLISIS MATEMTICO Y LGEBRA

CALCULO SIMBLICO CON MATLAB

MATLAB dispone del mdulo Symbolic Math toolbox, que permite manejar perfectamente el

clculo matemtico simblico, manipular con facilidad y rapidez las frmulas y expresiones

algebraicas y realizar la mayora de las operaciones con las mismas. Es posible expandir,

factorizar y simplificar polinomios y expresiones racionales y trigonomtricas; encontrar

soluciones algebraicas de ecuaciones polinmicas y sistemas de ecuaciones; evaluar

derivadas e integrales simblicamente y encontrar funciones solucin de ecuacionesdiferenciales; manipular series de potencias, lmites y muchas otras facetas de la matemtica

algebraica. Para realizar esta tarea, MATLAB requiere que todas las variables (o expresiones

algebraicas) sean declaradas como simblicas previamente con el comando syms (o con

sym).

El toolbox de matemtica simblica de MATLAB aporta varios comandos para definicin y

conversin de variables simblicas que se explican a continuacin:

FUCNCIN DESCRIPCIN

symsx y z t Convierte las variables x,y,z,,t en simblicas

symsx y z t real Convierte las variables x,y,z,,t en simblicas con valores

reales

symsx y z t unreal Convierte las variables x, y, z ,, t en simblicas con

valores no reales

syms Lista las variables simblicas en el espacio de trabajo

x=syms(x) Convierte la variable x en simblica (equivale a symsx)

x=syms(x,real) Convierte a x en una variable simblica real

x=syms(x,unreal) Convierte a x en una variable simblica no real

S=syms(A) Crea un objeto simblico a partir de A, donde A puede ser

una cadena, un escalar, una matriz, una expresin

numrica, etc.

S=syms(A, opcion) Convierte la matriz, escalar o expresin numrica A a

smbolos segn la opcin especificada. La opcin puede ser


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f para punto flotante, r para racional, e para formato de

error y d para decimal.

numeric(x) o

double(x)

Convierte la variable o expresin x a numrica de doble

precisin

syms2poly( poli ) Convierte el polinomio simblico pol i en un vector cuyascomponentes son sus coeficientes.

poly2sym(vector) Convierte el vector en un polinomio simblico cuyos

coeficientes son las componentes del vector.

poly2sym(vector, v) Convierte el vector en un polinomio simblico en la variable

v cuyos coeficientes son las componentes del vector.

char(X) Convierte el array X de enteros ASCII a su valor como

cadenalatex(S) Convierte a codigo latex la expresin simblica S

ccode(S) Convierte a cdigo C la expresin simblica S

pretty(expr) Convierte la expresin simblica a escritura matemtica

vpa(expr) Resultado numrico de la expresin con los dgitos

decimales de precisin situados en digits

vpa(expr, n) Resultado numrico de la expresin con n dgitos decimales

vpa(expr, n) Resultado numrico de la expresin con n dgitos decimalesfindsym(S) Devuelve todas las variables simblicas en la expresin

simblica o matriz simblica S

Isvarname(S) Devuelve TRUE si S es una variable simblica vlida

vectorize(S) Inserta un punto en la cadena S antes de cualquier smbolo

^ , * , / con la finalidad de operar vectorialmente de forma

correcta.

EJERCICIOS DE APLICACIN

1. Reducir 3333 )()1(3)2(3)3( babababaP

Resolucin

>> syms a b p

p=(a+b+3).^3-3*(a+b+2).^3+3*(a+b+1).^3-(a+b).^3;

simplify(p)

%ans = 6


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2. Simplificar333

333333

)()()(

)()()(

accbba

acbcbabacR

Resolucin

>> syms a b c n d R

n=c.^3*(a-b).^3+a.^3*(b-c).^3+b.^3*(c-a).^3;d=(a-b).^3+(b-c).^3+(c-a).^3;

R=n./d;

pretty(R)

simplify(R)

3 3 3 3 3 3

c (a - b) + a (b - c) + b (c - a)

% ---------------------------------------3 3 3

(a - b) + (b - c) + (c - a)

%ans =c*a*b

3. Calcular ExF si las expresiones son 50)13()4)(2)(5)(3( 22 xxxxxxE y

)4)(3)(2)(1()55( 22 xxxxxxF

Resolucin>> syms x E F P

E=(x-3).*(x-5).*(x+2).*(x+4)-(x.^2-x-13).^2+50;

F=(x.^2+5*x+5).^2-(x+1).*(x+2).*(x+3).*(x+4);

P=E.*F;

pretty(P);

simplify(P)

2 2% ((x - 3) (x - 5) (x + 2) (x + 4) - (x - x - 13) + 50)

2 2

% ((x + 5 x + 5) - (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4))

% ans =1

4. Sea 26756 234 xxxxf ; 72432 234 xxxxg ; 35297 234 xxxxh

Calcular f+g+hResolucin


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20


>> syms x R

f=6*x.^4-5*x.^3+7*x.^2-6*x-2;

g=-2*x.^4+3*x.^3-4*x.^2+2*x+7;

h=7*x.^4-9*x.^3+2*x.^2-5*x-3;

R=f+g+h;simplify(R)

pretty(R)

%ans =11*x^4-11*x^3+5*x^2-9*x+2

4 3 2

% 11 x - 11 x + 5 x - 9 x + 2

5. Sea 243)( 2 xxxf . Hallar f(2)+f(-3)

Resolucin

syms x

f=3*x^2-4*x+2;

subs(f,2)+subs(f,-3)

%ans = 47

%realiza lo mismo

>> f='3*x^2-4*x+2';

subs(f,2)+subs(f,-3)

%ans = 47

6. Sea 564)( 23 xxxxf . Calcular )1(af

Resolucin>> syms x a

f=x^3+4*x^2-6*x+5;

p=subs(f,a+1)

pretty(p)

simplify(p)

%p =(a+1)^3+4*(a+1)^2-6*a-1

3 2

% (a + 1) + 4 (a + 1) - 6 a - 1


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21


%ans =a^3+7*a^2+5*a+4

7. Sea 222),,( zyxzyxf . calcular )1;2;1()3;2;2( ff

Resolucin

>> syms x y zf=x^2+y^2+z^2;

p=subs(f,{x,y,z},{-2 2 3})+subs(f,{x,y,z},{-1 -2 1})

% p =23

8. Sea 222 45);;( zyxzyxf . Calcular )1;1;( aaaf

Resolucin

>> syms x y z af=x^2+5*y^2+4*z^2;

p=subs(f,{x,y,z},{a a-1 a+1})

pretty(p);

simplify(p)

%p =a^2+5*(a-1)^2+4*(a+1)^2

2 2 2% a + 5 (a - 1) + 4 (a + 1)

%ans =10*a^2-2*a+9

9. Calcular la funcin inversa de )2(5)( xLogxf

Resolucin

>> syms xf=5-log(x+2);

f1=finverse(f)

pretty(f1)

% f1 =exp(5-x)-2

10. Calcular la funcin inversa de 54)( xxg

Resolucin

>> syms xg=4-sqrt(x+5);

g1=finverse(g)


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22


pretty(g1)

% g1 =11-8*x+x^2

2

% 11 - 8 x + x

11. Calcular272

54463

23

nnnnnLim

n

Resolucin

>> syms n

f=(6*n^3+4*n^2-4*n+5)/(2*n^3-7*n+2)

limit(f,inf)

%f =(6*n^3+4*n^2-4*n+5)/(2*n^3-7*n+2)

%ans =3

>> % en forma equivalente

limit((6*n^3+4*n^2-4*n+5)/(2*n^3-7*n+2),inf)

%ans =3

12. Calcular n

nLimn

1

Resolucin

>> syms n

f=((1+n)/n)^(1/2);

limit(f,inf)

%ans =1

13. Calcular1

3

23

52

123x

n xx

xxxLim

Resolucin

>> syms x

f=((x.^3+3*x.^2+2*x-1)./(x.^3+2*x-5)).^(x+1);

limit(f,inf)

%ans =exp(3)


23/90

23


14. Calcular xxxxLimx

22

Resolucin

>> syms x

f=(sqrt(x+sqrt(2*x))-sqrt(x-sqrt(2*x)));

limit(f,inf)

%ans =2^(1/2)

15. Calcular2

652

2 x

xxLimx

Resolucin

>> syms x

f=(x^2-5*x+6)/(x-2);

limit(f,2)

%ans =-1

16. Calcular)cos(.

)3()7(

0 xx

xsenxsenLimx

Resolucin

>> syms x

f=(sin(7*x)-sin(3*x))./(x.*cos(x));

limit(f,0)

%ans =4

17. Calcular20

)cos()cos(2

x

xxLimx

Resolucin

>> syms x

f=(2-sqrt(cos(x))-cos(x))./(x.^2);

limit(f,0)%ans =3/4

18. Calcular9

3

9 x

xLimx

Resolucin

>> syms x

f=(sqrt(x)-3)/(x-9);

limit(f,9)%ans =1/6


24/90

24


19. Calcular la derivada de )3sin(32)( 23 xexxf x

Resolucin

>> syms x

f=x^3-2*exp(-2*x)+sin(3*x);

p=diff(f)%p =3*x^2+4*exp(-2*x)+3*cos(3*x)

20. Calcular la segunda derivada de )3sin(32)( 23 xexxf x

Resolucin

>> syms x

f=x^3-2*exp(-2*x)+sin(3*x);

p=diff(diff(f))%p =6*x-8*exp(-2*x)-9*sin(3*x)

21. Calcular la tercera derivada de )3sin(32)( 23 xexxf x

Resolucin

>> syms x

f=x^3-2*exp(-2*x)+sin(3*x);

p=diff(diff(diff(f)))

%p =6+16*exp(-2*x)-27*cos(3*x)

% En forma equivalente

>> syms x

f=x^3-2*exp(-2*x)+sin(3*x);

p=diff(f,3) %calcula la tercera derivada

%p =6+16*exp(-2*x)-27*cos(3*x)

21. Sea xyexyyxyxf 2)32cos();( . Calcularx

yxf );(

Resolucin

>> syms x y

f=cos(2*x+3*y)-2*x*y-exp(x*y);

p=diff(f,x) %derivada parcial respecto de x

pretty(p)

%p =-2*sin(2*x+3*y)-2*y-y*exp(x*y)

% -2 sin(2 x + 3 y) - 2 y - y exp(x y)


25/90

25


21. Sea xyexyyxyxf 2)32cos();( . Calculary

yxf );(

Resolucin

>> syms x y

f=cos(2*x+3*y)-2*x*y-exp(x*y);p=diff(f,y) %derivada parcial respecto de y

pretty(p)

%p =-3*sin(2*x+3*y)-2*x-x*exp(x*y)

% -3 sin(2 x + 3 y) - 2 x - x exp(x y)

22. Sea xyexyyxyxf 2)32cos();( . Calcularxy

yxf );(2

Resolucin>> syms x y

f=cos(2*x+3*y)-2*x*y-exp(x*y);

p=diff(diff(f,x),y) %derivada parcial cruzada de df/dydx

pretty(p)

%p =-6*cos(2*x+3*y)-2-exp(x*y)-y*x*exp(x*y)

% -6 cos(2 x + 3 y) - 2 - exp(x y) - y x exp(x y)

23. Calcular dxexxsen x )3)(( 22

Resolucin

>> syms x

f=sin(x)-3*x^2+exp(-2*x);

int(f,x)

%ans =-cos(x)-x^3-1/2*exp(-2*x)

24. Calcular dxxx

xx

65

952

2

Resolucin

>> syms x

f=(x.^2-5*x+9)./(x.^2-5*x+6);

int(f,x)

%ans =x-3*log(x-2)+3*log(x-3)


26/90

26


25. Calcular dxxxx

xx

)4)(3)(1(

91412 2

Resolucin

>> syms xf=(2*x.^2+41*x-91)./((x-1).*(x+3).*(x-4));

int(f,x)

%ans =-7*log(x+3)+5*log(x-4)+4*log(x-1)

26. Calcular dxxxsen )cos(7)(48

1

Resolucin

>> syms x

f=(1)./(8-4*sin(x)+7*cos(x));

int(f,x)

%ans =log(tan(1/2*x)-5)-log(tan(1/2*x)-3)

27. Calcular dxxxsen

xxsen

)cos()(1

)cos()(1

Resolucin

>> syms x

f=(1-sin(x)+cos(x))./(1+sin(x)-cos(x));

int(f,x)

%ans =-2*log(tan(1/2*x)+1)+2*log(tan(1/2*x))-x

28. Calcular dxdyeyx y )5)(cos( 22

Resolucin

>> syms x y

f=cos(x)-5*y^2+exp(-2*y);

p=int(int(f,x),y)% integral doble de f respecto a x,luego a y

%p =sin(x)*y-5/3*y^3*x-1/2*exp(-2*y)*x

29. Calcular dxdydzzyxsen )23)(( 32

Resolucin


27/90

27


>> syms x y z

f=sin(x)-3*y^2+2*z^3;

p=int(int(int(f,x),y),z)

%p =-cos(x)*y*z-y^3*x*z+1/2*z^4*x*y

30. Calcular2

1

2 )32( dxxx

Resolucin

>> syms x

f=(x.^2-2*x+3);

p=int(f,x,1,2)

%p =7/3

31. Calcular4

3

2 23

1dx

xx

Resolucin

>> syms x

f=1./(x.^2-3*x+2);

p=int(f,x,3,4)

%p =2*log(2)-log(3)

32. Calcular4

0

5

2

2))(( dydxxysenx

Resolucin

>> syms x y

f=x^2+y*sin(x);

int(int(f,y,-2,5),x,0,4)

%ans =959/6-21/2*cos(4)

33. Calcular1

0

1

0

1

0 1

1dxdydz

zyx

Resolucin>> syms x y z

f=1/sqrt(x+y+z+1);


28/90

28


p=int(int(int(f,z,0,1),y,0,1),x,1,0)

%p =-248/15+72/5*3^(1/2)-32/5*2^(1/2)

34. Calcular2

0

4

3

3

1

)6)(..( dzdydxyzxsenyx

Resolucin

>> syms x y z

f=x*y*(sin(x-z))+6*y;

p=int(int(int(f,x,1,3),y,-3,4),z,0,2)

%p =35/2*sin(1)+84-7/2*cos(3)-21/2*sin(3)+7/2*cos(1)

REPRESENTACIN GEOMTRICA: CURVAS Y SUPERFICIES

Los comandos ms importantes de MATLAB para representar curvas en dos dimensiones se

presentan a continuacin:

plot(X,Y) Dibuja el conjunto de puntos (X,Y), donde X e Y son vectores

fila. Para graficar una funcin y=f(x) es necesario conocer un

conjunto de puntos (X,f(X)), para lo que hay que definir

inicialmente un intervalo de variacin vectorial X para lavariable x. X e Y pueden ser matrices de la misma dimensin,

en cuyo caso se hace una grfica por cada par de filas y sobre

los mismos ejes. Para valores complejos de X e Y se ignora

las partes imaginarias. Para x=x(t) e y=y(t) con la variacin de

t dada, grafica la curva paramtrica plana especificada.

plot(Y) Grafica los elementos del vector Y contra sus ndices, es decir,

da la grfica del conjunto de puntos ntytt

,2,1;),(

(n=length(Y)). Es til para graficar series temporales. Si Y es

una matriz, plot(Y) realiza un grfico para cada columna de Y,

representndolos todos sobre los mismos ejes. Si los

componentes del vector Y son complejos, plot(Y) es

equivalente a plot(real(Y),imag(Y)).

plot(X,Y,S) Grfica de plot(X,Y) con las opciones definidas en S.

Usualmente, S se compone de dos dgitos entre comillas

simples, el primero de los cuales fija el color de la lnea del

grfico y el segundo el caracter a usar en el graficado. Los


29/90

29


valores posibles de colores y caracteres son, respectivamente,

los siguientes: y (amarillo), m (magenta), c (cyan), r (rojo) g

(verde), b (azul), w (blanco), k (negro), .(punto), o (crculos), x

(x-marcas), + (signo ms), - (slido), * (estrellas), : (dos

puntos), -.(guiones y punto) y -(semislido).plot(X1,Y1,S1,X2,Y2,S2,) Combina sobre los mismos ejes, los grficos definidos para las

tripletas (Xi,Yi,Si). Se trata de una forma de representar varias

funciones sobre el mismo grfico.

fplot(f,[xmin,xmax]) Grafica la funcin en el intervalo de variacin de x dado

fplot(f,[xmin,xmax,ymin,

ymax],S)

Grafica la funcin en los intervalosde variacin de x e y dados,

con las opciones de color y caracteres dadas por S

fplot([f1,f2,,fn],[xmin,xmax,ymin,ymax],S)

Grafica las funciones f1, f2, , fn sobre los mismos ejes en losintervalos de variacin de x e y especificados y con las

opciones de color y caracteres definidas en S.

fplot(f,[xmin,xmax],,t) Grafica f con la tolerancia t

fplot(f,[xmin,xmax],,n) Grafica f con la tolerancia t como n+1 puntos como mnimo

ezplot(f,[xmin xmax]) Grafica la funcin en el intervalo de variacin de x dado

ezplot(f,[xmin,xmax,

ymin,ymax])

Grafica la funcin en los intervalos de variacin de x e y dados

ezplot(x,y) Grafica la curva paramtrica plana x=x(t) e y=y(t) sobre el

dominio 0


30/90

30


componentes (Xi,Yi) de los vectores columna X e Y. C es un

vector de la misma dimensin de X e Y, que contiene los

colores Ci de cada punto (Xi,Yi). Si C es un solo caracter , se

pintarn todos los puntos del polgono del color

correspondiente al caracter. Si X e Y son matrices de la mismadimensin, se representarn simultneamente varios

polgonos correspondientes a cada par de vectores columna

(Xj,Yj). En este caso C puede ser un vector fila cuyos

elementos Cj determinan el color nico de cada polgono

correspondiente al par de vectores columna (Xj,Yj). C puede

ser tambin una matriz de la misma dimensin que X e Y, en

cuyo caso sus elementos determinan los colores de cadapunto (Xij,Yij) del conjunto de polgonos.

fill(X1,Y1,C1,) Dibuja el polgono compacto cuyos vrtices vienen dados por

los puntos (Xi,Yi,Ci).

TTULOS, ETIQUETAS Y COLOCACIN

MATLAB permite manejar correctamente las anotaciones sobre los grficos y los ejes

mediante colocacin adecuada de ttulos, etiquetas, leyendas, rejillas, etc. Tambin permite

situar grficos en subzonas. Los comandos ms usuales son los siguientes:

title(texto) Aade el texto como ttulo del grfico en la parte superior del

mismo en grficos 2-D y 3-D

xlabel(texto) Sita el texto al lado del eje x en grficos 2-D y 3-D

yabel(texto) Sita el texto al lado del eje y en grficos 2-D y 3-D

zlabel(texto) Sita el texto al lado del eje z en un grfico 3-D

clabel(C,h) Rota etiquetas y las sita en el interior de las lneas de contorno

clabel(C,h,v) Crea etiquetas slo para los niveles de contorno dados por el

vector v y las rota y sita en el interior de las lneas de contorno

datetick(eje) Etiqueta las marcas del eje especificado (x, y o z) basndose

en el mximo y el mnimo del eje especificado

datetick(eje,fecha) Etiqueta las marcas del eje especificado (x, y o z) con el

formato de fecha dado (un entero entre 1 y 28)

legend (cadena1, Sita las leyendas especificadas por las cadenas en n grficos


31/90

31


cadena2, ) consecutivos

legend (h,cadena1,

cadena2, )

Sita las leyendas especificadas por las cadenas en los grficos

manejados segn el vector h

legend (off) Elimina las leyendas de los ejes actuales

text(x,y, texto) Sita el texto en el punto (x,y) dentro del grfico 2-Dtext(x,y,z, texto) Sita el texto en el punto (x,y,z) en el grfico 3-D

gtext(texto) Permite situar el texto en un punto seleccionado con el ratn

dentro de un grfico 2-D.

grid Sita rejillas en los ejes de un grfico 2-D o 3-D. La opcin gr id

on coloca las rejillas y grid off las elimina. La opcin gr id

permuta entre on y off.

hold Permite mantener el grfico existente con todas suspropiedades, de modo que el siguiente grfico que se realice se

site sobre los mismos ejes y se superponga al existente. La

opcin hold onactiva la opcin y hold of f la elimina. La opcin

hold permuta entre on y off. Vlido para 2-D y 3-D.

axis([xmin xmax ymin

ymax zmin zmax])

Sita los valores mximo y mnimo para los ejes X, Y y Z en el

grfico corriente.axis(auto) Sita los ejes en la escala automtica por defecto (la dada por

xmin=min(x), xmax=max(x) e ylibre)

axis(axis) Congela el escalado de ejes en los lmites corrientes, de tal

forma que al situar otro grfico sobre los mismos ejes(con hold

en on) la escala no cambie

V=axis Da el vector V de 4 elementos, conteniendo la escala del grfico

corriente.axis(xy) Sita coordenadas cartesianas con el origen en la parte inferior

izquierda del grfico

axis(tight) Sita los lmites de los ejes en el rango de los datos

axis(ij) Sita coordenadas con el origen en la parte superior izquierda

del grfico

axis(square) Convierte el rectngulo de graficado en un cuadrado, con lo que

las figuras se abombanaxis(equal) Sita el mismo factor de escala para ambos ejes


32/90

32


axis(normal) Elimina las opciones squarey equal

axis(off) Elimina las etiquetas y marcas de los ejes y las rejillas,

manteniendo el ttulo del grfico y los textos situados en l con

texty gtext

axis(on) Coloca de nuevo las etiquetas, marcas y rejillas de los ejesSubplot(m,n,p) Divide la ventana grfica en mxn subventanas y coloca el grfico

corriente en la ventana p-sima, empezando a contar por la

parte superior izquierda y de izquierda a derecha hasta acabar la

lnea, para pasar a la siguiente.

plotyy(X1,Y1,X2,Y2) Etiqueta la grfica de X1 contra Y1 en la izquierda, y la grfica

de X2 contra Y2 en la derecha.

plotyy(X1,Y1,X2,Y2,funcin )

Igual que el comando anterior, pero la funcin puede ser plot,loglog, semilogx, semilogy, item o cualquier h=function(x,y).

plotyy(X1,Y1,X2,Y2,

funcin1, funcin2 )

Igual que el comando anterior, pero usando cad funcinifpara

el par(Xi,Yi)

ESTILOS DE LINEA Y MARCADORES EN LA FUNCIN PLOT

En la tabla siguiente se pueden observar las distintas posibilidades de estilos de lneas:

SMBOLO COLOR SMBOLO MARCADORES

y Yellow . Puntos

m magenta o Crculos

c Cyan x Marcas en x

r Red + Marcas en +

g Green * Marcas en *

b Blue s marcas cuadradas

(square)

w White d Marcas en diamante

(diamond)

k Black ^ Tringulo apuntado arriba

v Tringulo apuntado abajo

Smbolo Estilo de lnea > Tringulo apuntado a la

derecha

- Lneas continuas < Tringulo apuntado a laizquierda


33/90

33


: Lnea de puntos p Estrella de cinco puntas

-. Lnea a barra-

punto

h Estrella de seis puntas

-- Lneas a trazos

E-1. Graficar la funcin )(.)( 5 xsenexfx

en el dominio de ]2;2[x

Resolucin

>> x=-2*pi:0.05:2*pi; %dominio de la funcin

y=exp(-0.2*x).*sin(x); %funcin real y=f(x)

plot(x,y) %grafica la curva f

xlabel('EJE X') %texto en el eje x

ylabel('EJE Y') %texto en el eje y

title('Grfica de y=exp(-0.2*x).*sin(x)') %ttulo al grfico

grid on %enmalla el grfico

zoom on %acerca o aleja la grfica

E-2. Graficar la funcin )(tan)( xsenxxf en el dominio de ]2;2[x

Resolucin

>> x=-2*pi:0.02:2*pi;

y=x+sin(tan(x));

plot(x,y,'r') %incrementa el color rojo

xlabel('EJE X')

ylabel('EJE Y')

title('Grfica de y=x+sin(tan(x))')

grid on


34/90

34


E-2. Graficar las funciones

32)(3

)()(2

)()(1

2

2

xxxhy

xsenexgy

xsenxfy

x en el dominio de ];[x

Resolucin

>> x=-pi:0.02:pi;

y1=sin(x.^2);

y2=exp(-x).*sin(x);

y3=x.^2-2*x-3;

plot(x,y1,'r',x,y2,'g',x,y3,'k')

xlabel('EJE X')

ylabel('EJE Y')grid on

title('SUPERPOSICIN DE GRFICAS')

gtext('y1=sin(x.^2)')

gtext('y2=exp(-x).*sin(x)')

gtext('y3=x.^2-2*x-3')

E-3. Graficar las funciones

32)(3

)()(2

)()(1

2

2

xxxhy

xsenexgy

xsenxfy

x en el dominio de ];[x

Resolucin>> t = 0:pi/20:2*pi;

plot(t,sin(t),'-.r*')


35/90

35


hold on

plot(sin(t-pi/2),'--mo')

plot(sin(t-pi),':bs')

xlabel('EJE X')

ylabel('EJE Y')title('CURVAS MARCADAS')

grid on

hold off

E-4. Graficar la funcin)()3()(

)cos().3()(

tsentsenty

ttsentx en el dominio de ];0[x

Resolucin

>> ezplot('sin(3*t)*cos(t)','sin(3*t)*sin(t)',[0, pi ])

xlabel('EJE X')

ylabel('EJE Y')

title('CURVA PARAMTRICA')

grid on


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36


E-5 Graficar las funciones

64)(;)(

)(;)(

)(;.)(

23

)(21

21

2

xxxxx

senx

x

exexh

exgexxf

senxx

senx

xsen

Lnx

x

x

Resolucin

>> subplot(3,2,1)

x=-2:0.05:2;

y=(x).*exp(-x.^2);

plot(x,y,'r')

xlabel('EJE X')

ylabel('EJE Y')

title('y=(x).*exp(-x.^2)')

grid on

subplot(3,2,2)

x=-2:0.05:2;

y=exp(-(log(abs(1./x))).^2);

plot(x,y,'b')

xlabel('EJE X')

ylabel('EJE Y')

title('y=exp(-(log(abs(1./x))).^2)')

grid on

subplot(3,2,3)

x=-5:0.05:5;

y=exp(-(1./(x.^2)));

plot(x,y,'g')xlabel('EJE X')

ylabel('EJE Y')

title('y=exp(-(1./(x.^2)))')

grid on

subplot(3,2,4)

x=-2*pi:0.05:2*pi;

y=exp(sin(x));plot(x,y,'b')

xlabel('EJE X')


37/90

37


ylabel('EJE Y')

title('y=exp(sin(x))')

grid on

subplot(3,2,5)

x=-2*pi:0.05:2*pi;y=(sin(x)./(x)).^(sin(x)./(x-sin(x)));

plot(x,y,'m')

xlabel('EJE X')

ylabel('EJE Y')

title('y=(sin(x)./(x)).^(sin(x)./(x-sin(x)))')

grid on

subplot(3,2,6)x=-2:0.05:4;

y=abs(x.^3-4*x.^2+x+6);

plot(x,y,'k')

xlabel('EJE X')

ylabel('EJE Y')

title('y=abs(x.^3-4*x.^2+x+6)')

grid on


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38


E-6. Graficar la funcin 19:1;)(

)( kk

tksenxxf

Resolucin

>> t=0:0.02:pi;

y=zeros(10,length(t));x=zeros(size(t));

for k=1:2:19

x=x+sin(k*t)/k;

y((k+1)/2,:)=x;

end

plot(y(1:2:9,:)')

xlabel('EJE X')ylabel('EJE Y')

title('EDIFICIO DE UNA ONDA CUADRADA: EFECTO GIBBS')

grid on

E-7. Graficar la funcin polar )2cos().2sin()(

Resolucin

>> t = 0:.01:2*pi;

polar(t,sin(2*t).*cos(2*t),'b')

xlabel('EJE POLAR')

title('CURVA POLAR')

grid on


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39


E-8. Graficar la funcin compleja 4 4 1)( zzf

Resolucin

>> colormap(hsv(64));

z=cplxgrid(30);

cplxmap(z,(z.^4-1).^(1/4));

xlabel('EJE X')

ylabel('EJE Y')

zlabel('EJE Z')

grid on

title('GRFICA DE LA FUNCIN f(z)=(z.^4-1).^(1/4)')

E-9. Graficar la funcin compleja 5)( zzf

Resolucin

>> colormap(hsv(64));

z=cplxgrid(30);cplxroot(5)

xlabel('EJE X')

ylabel('EJE Y')

grid on

title('GRFICA DE LA FUNCIN f(z)=z^(1/5)')


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40


E-9. Graficar la funcin compleja ))cos(()( zzsenzf

Resolucin>> colormap(hsv(64));

z=cplxgrid(30);

cplxmap(z,sqrt(sin(z-cos(z))));

xlabel('EJE X')

ylabel('EJE Y')

grid on

title('GRFICA DE LA FUNCIN f(z)=sqrt(sin(z-cos(z)))')


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41


PLOTEOS EN 3D

En el cuadro siguiente se presentan los comandos de MATLAB ms comunes en la

representacin de grficos de lneas 3-D.

plot3(X,Y,Z) Dibuja el conjunto de puntos (X,Y,Z), donde X,Y y Z son vectoresfila. X, Y, Z pueden ser coordenadas paramtricas o matrices de la

misma dimensin, en cuyo caso se hace una grfica por cada

tripleta de filas y sobre los mismos ejes. Para valores complejos de

X, Y y Z se ignoran las partes imaginarias.

plot3(X,Y,Z,S) Grfica de plot(X,Y,Z) con las opciones definidas en S.

Usualmente S se compone de dos dgitos entre comillas simples,

el primero de los cuales fija al color de la lnea del grafico y elsegundo el carcter a usar en el graficado. Los valores posibles de

colores y caracteres son, respectivamente, los siguientes:

y(amarillo), m(magenta), c(cyan), r(rojo), g(verde), b(azul),

w(blanco), k(negro), .(puntos), o(crculos), x(x-marcas) , +(signo

ms), -(slido), *(estrellas), :(dos puntos), -.(guiones y puntos) y -

(semislido).

plot3(X1,Y1,Z1,S1,

X2,Y2,Z2,S2,

X3,Y3,Z3,S3, )

Combina, sobre los mismos ejes, los grficos definidos para las

tripletas (Xi,Yi,Zi,Si). Se trata de una forma de representar varias

funciones sobre el mismo grfico.

fill3(X,Y,Z,C) Dibuja el polgono compacto cuyos vrtices son las tripletas de

componentes (Xi,Yi,Zi) de los vectores columna X, Y y Z, que

contiene los colores Ci de cada punto (Xi,Yi,Zi). Los valores de Ci

pueden ser y, m, c, r, g, b, w, k. cuyos significados ya conocemos.

Si C es un solo caracter, se pintarn todos los puntos del polgono

de color correspondiente al carater.

fill3(X1,Y1,Z1,C1,

X2,Y2,Z2,C2, )

Dibuja el polgono compacto cuyos vrtices vienen dados por los

puntos (Xi,Yi,Zi,Ci)

[X,Y]=meshgrid(x,y

)

Transforma el campo de definicin dado de las variables x e y de

la funcin a representar z=f(x,y) en argumentos matriciales

utilizables por los comandos surf y mesh para obtener grficos de

superficie y malla, respectivamente

surf(X,Y,Z,C) Representa la superficie explcita z=f(x,y) o la paramtrica x=x(t,u),

y=y(t,u), z=z(t,u), realizando el dibujo con los colores especficos


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42


en C. El argumento C se puede ignorar.

surfc(X,Y,Z,C) Representa la superficie explcita z=f(x,y) o la paramtrica x=x(t,u),

y=y(t,u), z=z(t,u), junto con el grfico de contorno

correspondiente(curvas de nivel proyectadas sobre el plano XY).

surfl(X,Y,Z) Representa la superficie explcita z=f(x;y) o la paramtrica x=x(t,u),y=y(t,u), z=z(t,u), con el dibujo con sombreado.

mesh(X,Y,Z,C) Representa la superficie explicita z=f(x,y) o la paramtrica x=x(t,u),

y=y(t,u), z=z(t,u), dibujando las lneas de la rejilla que componen la

malla con los colores especificadas en C(opcional).

meshz(X,Y,Z,C) Representa la superficie explicita z=f(x,y) o la paramtrica x=x(t,u),

y=y(t,u), z=z(t,u), con una especie de cortina o teln en la parte

inferiormeshc(X,Y,Z,C) Representa la superficie explicita z=f(x,y) o la paramtrica x=x(t,u),

y=y(t,u), z=z(t,u), junto con el grfico de contorno

correspondiente(curva de nivel proyectadas sobre el plano XY )

contour(Z) Dibuja el grfico de contorno (curvas de nivel) para la matriz Z. El

nmero de lneas de contorno a utilizar se elige automticamente.

contour(Z,n) Dibuja el grfico de contorno (curvas de nivel) para la matriz Z

usando n lneas de contorno.contour(x,y,Z,n) Dibuja el grfico de contorno (curvas de nivel) para la matriz Z

usando en los ejes X e Y el escalado definido por los vectores x e

y (n lneas de contorno).

contour3(Z)

contour3(Z,n) y

contour3(x,y,Z,n)

Dibujan los grficos de contorno en 3 dimensiones.

contourf() Dibuja un grfico de contorno y rellena las reas entre las

isolneas.

pcolor(X,Y,Z) Dibuja un grfico de contorno (curvas de nivel ) para la matriz

(X,Y,Z) utilizando una representacin basada en densidades de

colores. Suele denominarse grfico de densidad

comet3(z)

comet3(x,y,z)

comet3(x,y,z,p)

Grfico cometa relativo al vector z

Grfico de cometa paramtrico x(t), y(t) , z(t)

Grfico de cometa con cuerpo de longitud p*length(y)

[X,Y,Z]=cylinder

[X,Y,Z]=cylinder(r)

Da las coordenadas del cilindro unidad

Da las coordenadas del cilindro generado por la curva r


43/90

43


[X,Y,Z]=cylinder(r,n

)

cylinder()

Da las coordenadas del cilindro generado por la curva r con n

puntos en la circunferencia seccin horizontal alineado con el eje Z

(n=20 por defecto)

Grafica los cilindros anteriores

sphere Grafica la esfera unidad usando 20x20 carassphere(n) Grafica la esfera unidad usando nxn caras

[X,Y,Z]=sphere(n) Da las coordenadas de la esfera en tres matrices (n+1)x(n+1)

OPCIONES DE MANEJO DE GRFICOS 3D

colormap(M) Sita la matriz M como el mapa corriente de colores. M debe

tener tres columnas y contener valores slo entre 0 y 1.

Tambin puede ser una matriz cuyas filas sean vectores RGBdel tipo [r g b]. Existen en MATLAB matrices M ya definidas,

que son las siguientes: bone(p), contrast(p), cool(p),

copper(p), flag(p), gray(p), hsv(p), hot(p), jet(p), pink(p),

prism(p) y white(p). Todas las matrices tienen 3 columnas y p

filas. Por ejemplo, la sintaxis colormap(hot(8)) sita la matriz

hot(8) como el mapa corriente de colores(sistema completo de

colores de la figura actual).

E-1) Grfica de una funcin paramtrica:

ttz

tty

tsentx

)(

)cos()(

)()(

Resolucin

%PLOTEO1 - Comando plot3

t=0:pi/50:10*pi;

x=sin(t);y=cos(t);

z=t;

plot3(x,y,z,'k');

grid on

axis square

title('Hlice paramtrica x(t)=sin(t),y(t)=cos(t),z(t)=t');

xlabel('EJE DE ABSCISAS X');

ylabel('EJE DE ORDENADAS Y');

zlabel('EJE Z');


44/90

44


E-2) Grfica de la funcin )(cos)(),( 222 xyyxsenyxf

Resolucin

%PLOTEO2 - Comando mesh

xa=-1/2*pi:.1:1/2*pi;

xb=-1/2*pi:.1:1/2*pi;

[x,y] = meshgrid(xa,xb);

z = sin(x.^2+y.^2)-(cos(x.*y)).^2;

mesh(x,y,z)

colormap(cool)

grid on

title('z = sin(x.^2+y.^2)-(cos(x.*y)).^2');

xlabel('EJE X');

ylabel('EJE Y');

zlabel('EJE Z');


45/90

45



Resolucin

%PLOTEO3 - Comando surf

xa=-1/2*pi:.1:1/2*pi;

xb=-1/2*pi:.1:1/2*pi;[x,y]=meshgrid(xa,xb);

z=sin(x.^2+y.^2)-(cos(x.*y)).^2;

surf(x,y,z)

colormap(hsv)

grid on

title('z = sin(x.^2+y.^2)-(cos(x.*y)).^2');

xlabel('EJE X');ylabel('EJE Y');

zlabel('EJE Z');


Resolucin

%PLOTEO4 - Comando surfc

xa=-1/2*pi:.1:1/2*pi;

xb=-1/2*pi:.1:1/2*pi;

[x,y]=meshgrid(xa,xb);

z=sin(x.^2+y.^2)-(cos(x.*y)).^2;

surfc(x,y,z)

colormap(gray)

grid ontitle('z=sin(x.^2+y.^2)-(cos(x.*y)).^2');

xlabel('EJE X');


46/90

46


ylabel('EJE Y');

zlabel('EJE Z');

E-5) Grfica de la funcin )(cos)(),( 222

xyyxsenyxf Resolucin

%PLOTEO5 - Comando contour

xa=-1/2*pi:.1:1/2*pi;

ya=-1/2*pi:.1:1/2*pi;

[x,y]=meshgrid(xa,ya);

z=sin(x.^2+y.^2)-(cos(x.*y)).^2;

contour(x,y,z,40)colormap(cool)

grid on

title(' z=sin(x.^2+y.^2)-(cos(x.*y)).^2');

xlabel('EJE X');

ylabel('EJE Y');

zlabel('EJE Z');


47/90

47



Resolucin

%PLOTEO6 - Comando contour3

xa=-1/2*pi:.1:1/2*pi;

ya=-1/2*pi:.1:1/2*pi;[x,y] = meshgrid(xa,ya);

z=sin(x.^2+y.^2)-(cos(x.*y)).^2;

contour3(x,y,z,40)

colormap(cool)

grid on


xlabel('EJE X');ylabel('EJE Y');

zlabel('EJE Z');


Resolucin

%PLOTEO7 - Comando waterfall

xa=-1/2*pi:.1:1/2*pi;

ya=-1/2*pi:.1:1/2*pi;

[x,y] = meshgrid(xa,ya);

z=sin(x.^2+y.^2)-(cos(x.*y)).^2

waterfall(x,y,z)

colormap(cool)

grid on


xlabel('EJE X');

ylabel('EJE Y');


48/90

48


zlabel('EJE Z');


Resolucin

%PLOTEO8 - Comando meshz

xa=-1/2*pi:.1:1/2*pi;

ya=-1/2*pi:.1:1/2*pi;


z=sin(x.^2+y.^2)-(cos(x.*y)).^2;

meshz(x,y,z)

colormap(cool)

grid on


xlabel('EJE X');

ylabel('EJE Y');

zlabel('EJE Z');

E-9) Grfica de la funcin22

22

),(yx

yxsenyxf

Resolucin

%PLOTEO9 - Comando surfl

xa=-7.5:.1:7.5;

ya=-7.5:.1:7.5;


49/90

49



z=sin(sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2));

surfl(x,y,z)

colormap(hot)

grid ontitle('z=sin(sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2))');

xlabel('EJE X');

ylabel('EJE Y');

zlabel('EJE Z');

E-10) Grfica del contorno de las funciones f1 y f2, para resolver

0),(2

0),(1

yxf

yxf. Dados

xy

yxy

eyxyxf

eexyxf

5.0),(2

3.),(1

22

)8.0( 2

Resolucin

-------------------------------------------------------------------------------

%crear una ventana y guardarlo como f1.m

function f=f1(x,y)

f=x.*exp(x.*y+0.8)+exp(y.^2)-3;-------------------------------------------------------------------------------


function f=f2(x,y)

f=x.^2-y.^2-0.5*exp(x.*y);

-------------------------------------------------------------------------------

%crear una ventana y guardarlo como contorno1.m

%Grfica del contorno de f1 y f2clear, clg ,clf, hold off

x1=-3:0.01:4;

y1=-3:0.01:4;

[x,y]=meshgrid(x1,y1);

g1=f1(x,y);

g2=f2(x,y);

contour(x1,y1,g1,[0.00, 0.00],'k')hold on

contour(x1,y1,g2,[0.00, 0.00],'b')


50/90

50


xlabel('EJE DE ABSCISAS')

ylabel('EJE DE ORDENADAS')

grid on

zoom on

title('f1=x*exp(x*y+0.8)+exp(y^2)-3;f2=x^2-y^2-0.5*exp(x*y)')

E-11) Grfica del contorno de las funciones f1 y f2, para resolver0),(2

0),(1

yxf

yxf. Dados

)cos(2),(2

)(),(1

2 yxyxf

xysenyxf

Resolucin

-------------------------------------------------------------------------------


function f=f1(x,y)

f=sin(x.*y);

------------------------------------------------------------------------------


function f=f2(x,y)

f=x.^2+2*cos(y);

------------------------------------------------------------------------------

%crear una ventana y guardarlo como contorno2.m

clear, clg ,clf, hold off

x1=-2*pi:0.01:2*pi;

y1=-2*pi:0.01:2*pi;

[x,y]=meshgrid(x1,y1);

g1=f1(x,y);g2=f2(x,y);

contour(x1,y1,g1,[0.00, 0.00],'k')


51/90

51


hold on

contour(x1,y1,g2,[0.00, 0.00],'b')

xlabel('EJE DE ABSCISAS')

ylabel('EJE DE ORDENADAS')

grid onzoom on

title('f1=sin(x.*y);f2=x.^2+2*cos(y)')

E-12) Interceptar las superficies2

22

4 yz

yxz

Resolucin

[x y]=meshgrid(-2:.1:2)

z=x.^2+y.^2;

mesh(x,y,z);

hold on;

z=4-y.^2;

mesh(x,y,z);

E-13) Interceptar las superficies

)(

4 2

2

xsenz

yz

xz

Resolucin

>>[x y]=meshgrid(-2:.1:2);

z=x.^2;

mesh(x,y,z);


52/90

52


hold on;

z=4-y.^2;

mesh(x,y,z);

hold on;

z=sin(x);mesh(x,y,z);

xlabel('EJE X')

ylabel('EJE Y')

zlabel('EJE Z')

title('Interseccin de superficies')

E-14) Graficar :)(

42

2

2

xsenyzyz

xz

; z=peaks

222222 )1(

3

153

5

)1(2 )(10)1(3 yxyxxyx eeyxexz (funcin peaks)

Resolucin

>> subplot(2,2,1)

[x y]=meshgrid(-2:.1:2);

z=x.^2;

mesh(x,y,z);

hold on;

z=4-y.^2;

mesh(x,y,z);

xlabel('EJE X')

ylabel('EJE Y')

zlabel('EJE Z')

title('GRFICA DE SUPERFICIES')grid on

zoom on

subplot(2,2,2)


z= 3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2) - (y+1).^2) ...

- 10*(x/5 - x.^3 - y.^5).*exp(-x.^2-y.^2) ...

- 1/3*exp(-(x+1).^2 - y.^2);mesh(x,y,z);

xlabel('EJE X')


53/90

53


ylabel('EJE Y')

zlabel('EJE Z')

title('GRFICA DE SUPERFICIES')

grid on

zoom onsubplot(2,2,3)


z=x.^2;

surf(x,y,z);

hold on

z=4-y.^2;

mesh(x,y,z);hold on

z=y.^2+sin(x);

mesh(x,y,z);

xlabel('EJE X')

ylabel('EJE Y')

zlabel('EJE Z')


grid on

zoom on

subplot(2,2,4)

[x y]=meshgrid(-3:.5:3,-3:.1:3);

z=peaks(x,y);

ribbon(y,z);

mesh(x,y,z);

xlabel('EJE X')

ylabel('EJE Y')

zlabel('EJE Z')


grid on

zoom on


54/90

54


E-15) Realizar el contorno de la superficie222222 )1(

3

153

5

)1(2)(10)1(3

yxyxxyx eeyxexz

Resolucinz=['3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2) - (y+1).^2)', ...

'- 10*(x/5 - x.^3 - y.^5).*exp(-x.^2-y.^2)', ...

'- 1/3*exp(-(x+1).^2 - y.^2)'];

ezcontour(z,[-4,4],45)

grid on

xlabel('EJE X')

ylabel('EJEY')title('Contornos')


55/90

55


E-16) Realizar el contorno rellenado de la superficie222222 )1(

3

153

5

)1(2 )(10)1(3 yxyxxyx eeyxexz

Resolucin

z=[ ' 3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2) - (y+1).^2)', ...

'- 10*(x/5 - x.^3 - y.^5).*exp(-x.^2-y.^2)', ...

'- 1/3*exp(-(x+1).^2 - y.^2) ' ];

ezcontourf(z,[-4,4],45)

grid on

xlabel('EJE X')

ylabel('EJEY')

title('Contorno rellenado')

E-17) Realizar la interseccin de los contornos de las superficies

22

22

22

1);(

);(

yx

yyxg

yx

yxsenyxf

Resolucinf=sin(sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2));

contour(f,5,'r')

hold on

g=y./(1+x.^2+y.^2);

contour(g,6,'g')

grid on

xlabel('EJE X')ylabel('EJEY')

title('Interseccin de contornos')


56/90

56


E-18) Grfico de la esfera

Resolucin>>sphere

axis equal

xlabel('EJE X')

ylabel('EJE y')

zlabel('EJE Z')

title('La Esfera')


57/90

57


LA TEORA DE BEZIER (INTRODUCCIN)

La curva de BEZIER fue introducida en los aos 1970 de manera independiente por P. Bezier yP. Casteljou como parte integrante de un sistema de diseo por ordenador para el diseo enlas empresas automovilsticas Cytren y Renault. Hasta el ao 1972 no fue descubierta larelacin entre la curva de Bezier y los polinomios de Bernstein. Este desarrollo permiti realizar

el primer software para el diseo de objetos mediante superficies de Bezier.La curva de Bezier de orden n con (n+1) puntos de control se definen por:

)(

)(

)(

)(

)(

)(2

1

0

210

0210

tB

tB

tB

tB

yyyy

xxxx

ty

tx

n

n

n

n

n

n

(1)

donde: )(

0

)1(.)( ini

n

i

n

i tti

ntB son las bases de Bernstein.

1. Hallando la curva de Bezier de orden n=2 para tres puntos de control

)(

)(

)(

)(

)(

2

2

2

1

2

0

210

210

tB

tB

tB

yyy

xxx

ty

tx (2)

Luego calculamos las bases de Bernstein

20202

0 )1()1(0

2)( ttttB ; )1(2)1(

1

2)( 1212

1 tttttB ; 222222 )1(

2

2)( ttttB

Reemplazando en (2) tenemos:

2

2

210

210)1(2

)1(

)(

)(

t

tt

t

yyy

xxx

ty

tx

Efectuando la multiplicacin se obtiene:

2

21

2

0

2

21

2

0

.)1(2.)1()(

.)1(2.)1()(

tyttytyty

txttxtxtx (Curva de Bezier de orden 2)

2. Hallando la curva de Bezier de orden n=3 para cuatro puntos de control

)(

)(

)(

)(

)(

)(

3

3

3

2

3

1

3

0

3210

3210

tB

tB

tB

tB

yyyy

xxxx

ty

tx (3)


30303

0 )1()1(0

3)( ttttB 213131 )1(3)1(

1

3)( tttttB

)1(3)1(23)(

22323

2 tttttB 33333

3 )1(33)( ttttB



58/90

58


3

2

2

3

3210

3210

)1(3

)1.(3

)1(

)(

)(

t

tt

tt

t

yyyy

xxxx

ty

tx

Efectuando la multiplicacin se obtiene:

3

3

2

2

2

1

3

0

33

22

21

30

)1(3.)1(3.)1()(

)1(3.)1(3.)1()(

tyttyttytyty

txttxttxtxtx (Curva de Bezier de orden 3)

3. Hallando la curva de Bezier de orden n=4 para cinco puntos de control

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

4

4

4

3

4

2

4

1

4

0

43210

43210

tB

tB

tB

tB

tB

yyyyy

xxxxx

ty

tx (4)


40404

0 )1()1(0

4)( ttttB 314141 )1(4)1(

1

4)( tttttB

222424

2 )1(6)1(2

4)( tttttB )1(4)1(

3

4)( 334343 tttttB

44444

4 )1(4

4)( ttttB


4

3

22

3

4

43210

43210

)1(4

)1(6

)1(4

)1(

)(

)(

t

tt

tt

tt

t

yyyyy

xxxxx

ty

tx

Efectuando la multiplicacin de las matrices se obtiene:

4

4

3

3

22

2

3

1

4

0

4

4

3

3

22

2

3

1

4

0

)1(4)1(6.)1(4.)1()(

)1(4)1(6.)1(4.)1()(

tyttyttyttytyty

txttxttxttxtxtx (Curva de Bezier de orden 4)

4. Hallando la curva de Bezier de orden n=5 para seis puntos de control

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

5

5

5

4

5

3

5

2

5

1

5

0

543210

543210

tB

tB

tB

tB

tB

tB

yyyyyy

xxxxxx

ty

tx (5)

Luego calculamos las bases de Bernstein50505

0 )1()1(0

5)( ttttB 415151 )1(5)1(

1

5)( tttttB


59/90

59


322525

2 )1(10)1(2

5)( tttttB 2335353 )1(10)1(

3

5)( tttttB

)1(5)1(4

5)( 44545

4 tttttB 555555 )1(

5

5)( ttttB


5

4

23

32

4

5

543210

543210

)1(5

)1(10

)1(10

)1(5

)1(

)(

)(

t

tt

tt

tt

tt

t

yyyyyy

xxxxxx

ty

tx

Efectuando la multiplicacin de las matrices se obtiene:

5

5

4

4

23

3

32

2

4

1

5

0

5

5

4

4

23

3

32

2

4

1

5

0

)1(5.)1(10)1(10.)1(5.)1()(

)1(5.)1(10)1(10.)1(5.)1()(

tyttyttyttyttytyty

txttxttxttxttxtxtx

(Curva de Bezier de orden 5)

5. En forma anloga la curva de Bezier de orden n=6 y n=7 para siete y ocho puntos decontrol respectivamente

a) Para n=6

6

6

5

5

24

4

33

3

42

2

5

1

6

0

6

6

5

5

24

4

33

3

42

2

5

1

6

0

)1(6.)1(15.)1(20.)1(15.)1(6.)1.()(

)1(6.)1(15.)1(20.)1(15.)1(6.)1.()(

tyttyttyttyttyttytyty

txttxttxttxttxttxtxtx

b) Para n=7

7

7

6

6

25

5

34

4

43

3

52

2

6

1

7

0

7

7

6

6

25

5

34

4

43

3

52

2

6

1

7

0

)1(7.

)1(21.)1(35.)1(35.)1(21.)1(7.)1.()(

)1(7.

)1(21.)1(35.)1(35.)1(21.)1(7.)1.()(

tytty

ttyttyttyttyttytytx

txttx

ttxttxttxttxttxtxtx

FORMATOS Y EJEMPLOS DE LA CURVA DE BEZIER

%BEZIER DE ORDEN 2

t=0:0.01:1;p=(1-t);x1=(x0)*p.^2+(x1)*2*t.*p+(x2)*t.^2;y1=(y0)*p.^2+(y1)*2*t.*p+(y2)*t.^2;plot(x1,y1)grid on%Ejemplo Dados (4;7),(8;10),(10;5)t=0:0.01:1;p=(1-t);x1=(4)*p.^2+(8)*2*t.*p+(10)*t.^2;y1=(7)*p.^2+(10)*2*t.*p+(5)*t.^2;plot(x1,y1)grid ontitle('BEZIER DE ORDEN2')


60/90

60


hold onx=[4,8,10]y=[7,10,5]plot(x,y,'--r')

%BEZIER DE ORDEN 3

t=0:0.01:1;p=(1-t);x1=(x0)*p.^3+(x1)*3*t.*p.^2+(x2)*3*t.^2.*p+(x3)*t.^3;y1=(y0)*p.^3+(y1)*3*t.*p.^2+(y2)*3*t.^2.*p+(y3)*t.^3;plot(x1,y1)grid on%Ejemplo Dado (8;7),(14;10),(11;14), (13;20)t=0:0.01:1;p=(1-t);x1=(8)*p.^3+(14)*3*t.*p.^2+(11)*3*t.^2.*p+(13)*t.^3;y1=(7)*p.^3+(10)*3*t.*p.^2+(14)*3*t.^2.*p+(20)*t.^3;

plot(x1,y1)grid ontitle('BEZIER DE ORDEN3')hold onx=[8,14,11,13]y=[7,10,14,20]plot(x,y,'--r')

%BEZIER DE ORDEN 4t=0:0.01:1;p=(1-t);x1=(xo)*p.^4+(x1)*4*t.*p.^3+(x2)*6*t.^2.*p.^2.*t+(x3)*4*t.^3.*p+(x4)*t.^4;y1=(yo)*p.^4+(y1)*4*t.*p.^3+(y2)*6*t.^2.*p.^2.*t+(y3)*4*t.^3.*p+(y4)*t.^4;plot(x1,y1)grid on%Ejemplo Dado (15;21),(11;22),(7;27), (14;26),(17,23)t=0:0.01:1;p=(1-t);x1=(15)*p.^4+(11)*4*t.*p.^3+(7)*6*t.^2.*p.^2.*t+(14)*4*t.^3.*p+(17)*t.^4;y1=(21)*p.^4+(22)*4*t.*p.^3+(27)*6*t.^2.*p.^2.*t+(26)*4*t.^3.*p+(23)*t.^4;plot(x1,y1)grid ontitle('BEZIER DE ORDEN4')hold onx=[15,11,7,14,17]y=[21,22,27,26,23]plot(x,y,'--r')


61/90

61


%BEZIER DE ORDEN 5t=0:0.01:1;p=(1-t);x1=(xo)*p.^5+(x1)*5*t.*p.^4+(x2)*10*t.^2.*p.^3+(x3)*10*t.^3.*p.^2+(x4)*5*t.^4.*p+(x5)*t.^5;y1=(yo)*p.^5+(y1)*5*t.*p.^4+(y2)*10*t.^2.*p.^3+(y3)*10*t.^3.*p.^2+(y4)*5*t.^4.*p+(y5)*t.^5;

plot(x1,y1)grid on

%Ejemplo Dado (17;20),(20;23),(21;25), (23;25),(25,23),(28,20)t=0:0.01:1;p=(1-t);x1=(17)*p.^5+(20)*5*t.*p.^4+(21)*10*t.^2.*p.^3+(23)*10*t.^3.*p.^2+(25)*5*t.^4.*p+(28)*t.^5;y1=(20)*p.^5+(23)*5*t.*p.^4+(25)*10*t.^2.*p.^3+(25)*10*t.^3.*p.^2+(23)*5*t.^4.*p+(20)*t.^5;plot(x1,y1)grid on

title('BEZIER DE ORDEN5')hold onx=[17,20,21,23,25,28]y=[20,23,25,25,23,20]plot(x,y,'--r')

%BEZIER DE ORDEN 6t=0:0.01:1;p=(1-t);x1=(xo)*p.^6+(x1)*6*t.*p.^5+(x2)*15*t.^2.*p.^4+(x3)*20*t.^3.*p.^3+(x4)*15*t.^4.*p.^2+(x5)*6*t.^5.*p+(x6)*t.^6;y1=(yo)*p.^6+(y1)*6*t.*p.^5+(y2)*15*t.^2.*p.^4+(y3)*20*t.^3.*p.^3+(y4)*15*t.^4.*p.^2+(y5)*6*t.^5.*p+(y6)*t.^6;plot(x1,y1)grid on%Ejemplo Dado (18;15),(20;16),(19;14), (18;12),(14;14),(18;17),(20;19)t=0:0.01:1;p=(1-t);x1=(18)*p.^6+(20)*6*t.*p.^5+(19)*15*t.^2.*p.^4+(18)*20*t.^3.*p.^3+(14)*15*t.^4.*p.^2+(18)*6*t.^5.*p+(20)*t.^6;y1=(15)*p.^6+(16)*6*t.*p.^5+(14)*15*t.^2.*p.^4+(12)*20*t.^3.*p.^3+(14)*15*t.^4.*p.^2+(17)*6*t.^5.*p+(19)*t.^6;plot(x1,y1)grid ontitle('BEZIER DE ORDEN6')hold onx=[18,20,19,18,14,18,20]y=[15,16,14,12,14,17,19]plot(x,y,'--r')

%BEZIER DE ORDEN 7t=0:0.01:1;p=(1-t);


62/90

62


x1=(xo)*p.^7+(x1)*7*t.*p.^6+(x2)*21*t.^2.*p.^5+(x3)*35*t.^3.*p.^4+(x4)*35*t.^4.*p.^3+(x5)*21*t.^5.*p.^2+ (x6)*7*t.^6.*p+(x7)*t.^7;y1=(yo)*p.^7+(y1)*7*t.*p.^6+(y2)*21*t.^2.*p.^5+(y3)*35*t.^3.*p.^4+(y4)*35*t.^4.*p.^3+(y5)*21*t.^5.*p.^2+ (y6)*7*t.^6.*p+(y7)*t.^7;plot(x1,y1)grid on

%Ejemplo Dado (23;12),(26;15),(28;10), (26;8),(23;8),(24;10),(32;16),(26;17)t=0:0.01:1;p=(1-t);x1=(23)*p.^7+(26)*7*t.*p.^6+(28)*21*t.^2.*p.^5+(26)*35*t.^3.*p.^4+(23)*35*t.^4.*p.^3+(24)*21*t.^5.*p.^2+ (32)*7*t.^6.*p+(26)*t.^7;y1=(12)*p.^7+(15)*7*t.*p.^6+(10)*21*t.^2.*p.^5+(8)*35*t.^3.*p.^4+(8)*35*t.^4.*p.^3+(10)*21*t.^5.*p.^2+ (16)*7*t.^6.*p+(17)*t.^7;plot(x1,y1)grid ontitle('BEZIER DE ORDEN7')hold on

x=[23,26,28,26,23,24,32,26]y=[12,15,10,8,8,10,16,17]plot(x,y,'--r')

NOTA:1) LA LINEA AZUL NTIDA ES LA CURVA DE BEZIER2) LA LINEA PUNTEADA ROJA DETERMINA LOS PUNTOS DE CONTROL PARA LA

CURVA


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63


ALGUNOS EJEMPLOS DE DISEOS GEOMTRICOS


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64



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65


UN EJEMPLO DE PROGRAMA PARA CONSTRUIR LA GRFICA DEL CONEJOt=0:0.01:1;p=(1-t);x= 12.5.*p.^2+ 19.3.*2.*t.*p+ 21.8.*t.^2;y= 2.*p.^2+ 2.3.*2.*t.*p+5.9.*t.^2;

plot(x,y)grid onx1= 21.8.*p.^2+ 22.5.*2.*t.*p+ 18.6.*t.^2;y1= 5.9.*p.^2+ 9.5.*2.*t.*p+ 11.6.*t.^2;hold onplot(x1,y1)x2=18.6.*p+16.2.*t;y2=11.6*p+16.2*t;plot(x2,y2)x3= 16.2.*p.^3+ 17.5.*3.*t.*p.^2+ 13.5.*3.*t.^2.*p+ 13.5.*t.^3;y3= 16.2.*p.^3+ 22.5.*3.*t.*p.^2+ 27.5.*3.*t.^2.*p+ 31.3.*t.^3;plot(x3,y3)x4= 13.5.*p.^2+ 12.2.*2.*t.*p+ 14.6.*t.^2;y4= 31.3.*p.^2+ 24.5.*2.*t.*p+ 15.6.*t.^2;plot(x4,y4)x5= 11.3.*p.^3+ 12.5.*3.*t.*p.^2+ 8.5.*3.*t.^2.*p+ 8.3.*t.^3;y5= 16.*p.^3+ 22.5.*3.*t.*p.^2+ 27.5.*3.*t.^2.*p+ 34.*t.^3;plot(x5,y5)x6= 8.3.*p.^2+ 7.2.*2.*t.*p+ 10.*t.^2;

y6= 34.*p.^2+ 24.5.*2.*t.*p+ 15.8.*t.^2;plot(x6,y6)x8= 12.5.*p.^2+ 8.7.*2.*t.*p+ 4.7.*t.^2;y8= 2.*p.^2+ 2.9.*2.*t.*p+5.*t.^2;plot(x8,y8)x9= 4.7.*p.^2+ 4.*2.*t.*p+ 7.1.*t.^2;y9= 5.*p.^2+ 10.*2.*t.*p+10.2.*t.^2;plot(x9,y9)x10= 7.1.*p.^2+ 7.5.*2.*t.*p+ 8.2.*t.^2;

y10= 10.2.*p.^2+ 12.*2.*t.*p+ 13.2.*t.^2;plot(x10,y10)x11= 8.2.*p.^2+ 8.5.*2.*t.*p+ 9.1.*t.^2;y11= 13.2.*p.^2+ 14.4.*2.*t.*p+ 14.6.*t.^2;plot(x11,y11)x12=9.1.*p+ 10.*t;y12=14.6*p+ 15.8*t;plot(x12,y12)x13= 18.6.*p+ 16.3.*t;

y13= 11.6.*p+ 10.2.*t;plot(x13,y13)x14= 16.3.*p+ 16.*t;


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66


y14= 10.2.*p+ 10.*t;plot(x14,y14)x15= 16.*p+ 15.1.*t;y15= 10.*p+ 9.5.*t;plot(x15,y15)

x16= 15.1.*p+ 13.8.*t;y16= 9.5.*p+ 8.9.*t;plot(x16,y16)x13= 7.1.*p+ 8.6.*t;y13= 10.2.*p+ 9.6.*t;plot(x13,y13)x14= 8.6.*p+ 9.5.*t;y14= 9.6.*p+ 9.1.*t;plot(x14,y14)

x15= 9.5.*p+ 10.3.*t;y15= 9.1.*p+ 8.8.*t;plot(x15,y15)x16= 13.2.*p+ 12.6.*t;y16= 3.8.*p+ 6.8.*t;plot(x16,y16)x17= 12.6.*p+ 11.3.*t;y17= 6.8.*p+ 6.8.*t;plot(x17,y17)x18= 11.3.*p+ 11.7.*t;y18= 6.8.*p+ 4.8.*t;plot(x18,y18)x19= 11.3.*p+ 10.2.*t;y19= 6.8.*p+ 6.7.*t;plot(x19,y19)x20=10.2.*p.^4+ 10.4.*4.*p.^3.*t+ 10.5.*6.*p.^2.*t.^2+ 11.5.*4.*p.*t.^3+13.2.*t.^4;y20=6.7.*p.^4+ 4.5.*4.*p.^3.*t+ 3.5.*6.*p.^2.*t.^2+ 3.7.*4.*p.*t.^3+ 3.8.*t.^4;plot(x20,y20)

x21= 13.5.*p+ 24.*t;y21= 6.7.*p+ 9.*t;plot(x21,y21)x22= 13.9.*p+ 26.*t;y22= 7.2.*p+ 11.5.*t;plot(x22,y22)x23= 13.7.*p+ 26.*t;y23= 7.7.*p+ 13.*t;plot(x23,y23)

x24= 9.*p+ 1.*t;y24= 7.*p+ 11.*t;plot(x24,y24)


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67


x25= 8.5.*p+ 1.5.*t;y25= 7.8.*p+ 12.8.*t;plot(x25,y25)x26= 9.5.*p+ 3.5.*t;y26= 7.6.*p+ 13.5.*t;

plot(x26,y26)x27= 11.1.*p.^3+ 8.6.*3.*t.*p.^2+ 14.*3.*t.^2.*p+ 11.1.*t.^3;y27= 7.8.*p.^3+ 9.2.*3.*t.*p.^2+ 9.1.*3.*t.^2.*p+ 7.8.*t.^3;plot(x27,y27)x28=8.2.*p.^4+ 9.*4.*p.^3.*t+ 9.6.*6.*p.^2.*t.^2+ 10.1.*4.*p.*t.^3+ 9.5.*t.^4;y28=13.2.*p.^4+ 14.*4.*p.^3.*t+ 14.5.*6.*p.^2.*t.^2+ 13.5.*4.*p.*t.^3+ 9.1.*t.^4;plot(x28,y28)x29=13.8.*p.^4+ 13.3.*4.*p.^3.*t+ 14.9.*6.*p.^2.*t.^2+ 15.7.*4.*p.*t.^3+16.3.*t.^4;

y29=8.9.*p.^4+ 14.5.*4.*p.^3.*t+ 15.5.*6.*p.^2.*t.^2+ 14.4.*4.*p.*t.^3+ 10.2.*t.^4;plot(x29,y29)x30=8.5.*p.^4+ 9.*4.*p.^3.*t+ 9.7.*6.*p.^2.*t.^2+ 9.6.*4.*p.*t.^3+ 9.5.*t.^4;y30=9.625.*p.^4+ 10.5.*4.*p.^3.*t+ 10.8.*6.*p.^2.*t.^2+ 10.*4.*p.*t.^3+ 9.1.*t.^4;fill(x30,y30,'r')x31=15.1.*p.^4+ 14.9.*4.*p.^3.*t+ 15.2.*6.*p.^2.*t.^2+ 15.6.*4.*p.*t.^3+ 16.*t.^4;y31=9.5.*p.^4+ 11.7.*4.*p.^3.*t+ 12.1.*6.*p.^2.*t.^2+ 11.8.*4.*p.*t.^3+ 10.*t.^4;fill(x31,y31,'r')x32= 13.8.*p+ 12.2.*t;y32= 8.9.*p+ 8.*t;plot(x32,y32)x33= 14.6.*p.^2+ 13.5.*2.*t.*p+ 12.6.*t.^2;y33= 15.6.*p.^2+ 17.*2.*t.*p+ 17.3.*t.^2;plot(x33,y33)x34= 13.8.*p.^2+ 13.4.*2.*t.*p+ 12.6.*t.^2;y34= 16.*p.^2+ 16.5.*2.*t.*p+ 17.3.*t.^2;plot(x34,y34)x35= 13.8.*p.^2+ 12.6.*2.*t.*p+ 12.*t.^2;y35= 16.*p.^2+ 16.6.*2.*t.*p+ 16.5.*t.^2;

plot(x35,y35)x36= 12.9.*p.^2+ 12.5.*2.*t.*p+ 12.*t.^2;y36= 16.*p.^2+ 16.2.*2.*t.*p+ 16.5.*t.^2;plot(x36,y36)x37= 11.5.*p.^2+ 12.2.*2.*t.*p+ 12.9.*t.^2;y37= 16.2.*p.^2+ 16.3.*2.*t.*p+ 16.*t.^2;plot(x37,y37)x38= 11.5.*p+ 12.2.*t;y38= 16.2.*p+ 15.9.*t;

plot(x38,y38)x39= 11.3.*p+ 12.2.*t;y39= 16.*p+ 15.9.*t;


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68


plot(x39,y39)x40= 15.2.*p.^2+ 16.*2.*t.*p+ 13.8.*t.^2;y40= 16.2.*p.^2+ 22.5.*2.*t.*p+ 27.5.*t.^2;plot(x40,y40)x41= 15.2.*p.^2+ 13.*2.*t.*p+ 13.8.*t.^2;

y41= 16.2.*p.^2+ 22.5.*2.*t.*p+ 27.5.*t.^2;plot(x41,y41)x42= 10.7.*p.^2+ 11.5.*2.*t.*p+ 8.5.*t.^2;y42= 16.2.*p.^2+ 22.5.*2.*t.*p+ 30.*t.^2;plot(x42,y42)x43= 10.7.*p.^2+ 8.2.*2.*t.*p+ 8.5.*t.^2;y43= 16.2.*p.^2+ 22.5.*2.*t.*p+ 30.*t.^2;plot(x43,y43)title('QUE HAY DE NUEVO VIEJO!')

xlabel('EJE X')ylabel('EJE Y')

CLCULOS MATEMTICOS EN MATLAB1) Clculos en una sola variable

El rea de la esfera 24 rA r=2;A=4*pi*r.^2%resultadoA = 50.2655

Otra forma es utilizando el comando subssyms rA=4*pi*r.^2;subs(A,2)%resultadoans = 50.2655 El enunciado ifr=2;if r>0

A=4*pi*r.^2end%resultado

A = 50.2655

El operador igual(==)r=2;if r==2

A=4*pi*r.^2end%resultadoA = 50.2655

El operador no igual (~=)r=2;if r~=3

A=4*pi*r.^2end%resultado

A = 50.2655 El enunciado if se puede utilizar con else o

elseifr=2;if r>3

b=1elseif r==3

b=2else

b=0end%resultado b =0

r=6;if r>3

b=1elseif r==3

b=2else

b=0

end%resultadob = 1r=3;if r>3

b=1elseif r==3

b=2else

b=0end%resultado

b =2 El comando disp exhibe un nmero, vector,

matriz o cadena en la ventana de comandosdisp(pi)


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69


%resultado3.1416

disp('YO SOY UN EXCELENTE ALUMNO')%resultadoYO SOY UN EXCELENTE ALUMNO Los cilos for/end y while/end

El rea de la esfera para r=1 hasta 5

for r=1:5Area=4*pi*r.^2;disp([r,Area])

end%resultado

ri Areas1.0000 12.56642.0000 50.26553.0000 113.09734.0000 201.06195.0000 314.1593

r=0;while r2*rbreak

endend

end%resultados

ri Areas

1.0000 12.56641.0000 12.56641.0000 12.56642.0000 50.26552.0000 50.26552.0000 50.26552.0000 50.26552.0000 50.26553.0000 113.09733.0000 113.09733.0000 113.09733.0000 113.0973

3.0000 113.09733.0000 113.09733.0000 113.0973

VARIABLES Y ARREGLOSx=[4,6,8,1,9];x(2)%x(5)%%resultadoans =6

ans =9

ADEMSfor i=1:6


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70


x(i)=i*(i+1)/2end%RESULTADOSx = 1 3 6 10 15 21x = 1 3 6 10 15 21x = 1 3 6 10 15 21x = 1 3 6 10 15 21

x = 1 3 6 10 15 21x = 1 3 6 10 15 21

Decrementa de dos en dosx=14:-2:2%resultadox =14 12 10 8 6 4 2

Incrementa de dos en dosx=2:2:12%resultadox = 2 4 6 8 10 12

Arreglosx=[3,5,7,8];y=[1,2,9,6];for i=1:4

z(i)=x(i)+y(i)end%resultadosz = 4

z = 4 7z = 4 7 16z = 4 7 16 14 Posiciones de areglosA=[4,6,7;9,2,5;-3,-5,9]A(1,1)A(2,3)A(1,1)%resultadosA =4 6 7

9 2 5-3 -5 9

ans = 4ans = 5ans = 4

PosicionesA=[4,6,7;9,2,5;-3,-5,9]A(3,:)%resultadosA =4 6 7

9 2 5-3 -5 9

ans =-3 -5 9

A=[4,6,7;9,2,5;-3,-5,9]A(:,3)%resultados

A =4 6 79 2 5-3 -5 9

ans = 759

Anidados

a=[3,4,6;3,8,3;4,3,6];b=[1,2,3;7,8,9;4,6,6];for i=1:3

for j=1:3c(i,j)=a(i,j)+b(i,j)

endend%respuestac = 4c = 4 6c = 4 6 9c = 4 6 9

10 0 0c = 4 6 9

10 16 0c = 4 6 9

10 16 12c = 4 6 9

10 16 128 0 0

c = 4 6 910 16 128 9 0

c = 4 6 910 16 128 9 12

sumatoriasx=[3,4,6,7,9];sum(x)%respuestaans = 29

x=[3,4,6;5,7,9];sum(x)%respuesta

ans = 8 11 15

x=[3,4,6;5,7,9;1,2,3];sum(x)%respuestaans = 9 13 18

x=[3,4,6,5,7,9];MIN=min(x)MAX=max(x)%respuestasMIN = 3

MAX = 9


71/90

71


Media aritmticafunction [media, desviacion]=medias(x)n=length(x);media=sum(x)/n;desviacion=sqrt(sum(x.^2)/n-(media).^2);

%Compilando

x=[2,3,4,5,6,7];[m,d]=medias(x)%respuestam = 4.5000d = 1.7078 Creacin de archivos Mfunction y=soria(x)y=x.^2-3*x+5;

%Compilandosoria(3)%respuestaans = 5

%Compilandosoria([3, 2;4,1])%respuestaans = 5 3

9 3 Funciones de Usuario propias

function mp=fun(soria,a,b,c)mp=((feval(soria,a)+2*feval(soria,b)+feval(soria,c))/4);

%compilandofun('soria',2,4,-1)%resultadosans = 7.5000LOBORATORIO DE MATLAB

1) Calcular el volumen de una esfera 33

4rV

con r=2

2) El campo elctrico de un disco circular conradio R y densidad de carga con distancia Z a

un eje es22

0

11

2

.

zRz

zEZ . Calcular

ZE para12

102,1 120 1085,8

23z eR 4 35 e=N neperiano3) La densidad D de un objeto cilndrico es

LR

MD

2, hallar la cota inferior y superior

de la densidad del objeto donde:

cmL

cmR

grM

012,0431,15

01,020,8

005.0029.0

4) Para un mesn 0 que decae en dos fotonescon una vida media se quiere calcular su

velocidad por la frmula2

1

c

L

donde; mL 510 ; 16102 9

103c =velocidad de la luz . Hallar suvelocidad.

4) (Contaminacin del agua) Al depositarse enun lago, los desperdicios orgnicos disminuyenel contenido de oxgeno del agua. Si t denota eltiempo en das despus que se deposita eldesperdicio, se encuentra experimentalmenteen un caso que el contenido de oxgeno es

600030 23 tty con 250 t . Encuentrelos valores mximo y mnimo de y durante los25 das siguientes al vaciado del desperdicio.

5) (Contaminacin atmosfrica) El ndice decontaminacin atmosfrica en cierta ciudadvara durante el da de la siguiente manera:

1612;350

124;14

42;26

20;42

)(

tsit

tsi

tsit

tsit

tP

Aqu t es el tiempo en horas, con t=0correspondiente a 6 a.m. y t=16 a 10 p.m. Hagala grfica de esta funcin. Cul son los nivelesde contaminacin a las 8 a.m. , 12 del da, 6p.m. y 8 p.m.?


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GRFICOS CON MARCAS Y PROGRAMACIN CON EL SOFTWARE MATLAB 7.0 GRAFICOS CON MARCAS

TIPO DE MARCA S MBOLOPunto .Ms

+Estrella *Crculo oMarca x x

TIPOS DE LNEATIPO DE LNEA S MBOLOContinua -Guiones --Punteada :Guiones y puntos -.

COLORES DE LNEACOLORES DE LNEA S MBOLORojo rAmarillo yMagenta mTurquesa cVerde gAzul bBlanco wNegro k

E-1) Graficar la funcinx

xSenxf

)(10)(

Resolucin%Formato para graficarx=-15:0.05:15;f1=10*sin(x)./(x);plot(x,f1,'+')grid ontitle('GRAFICAS CON MARCAS')xlabel('EJE X')ylabel('EJE Y')

text(4,5,'f1=10*sin(x)./(x)')

El comando FontSize%Este formato aumenta de tamao las letras

x=-15:0.05:15;f=sin(x)./(x);plot(x,f,'*m')grid ontitle('GRAFICAS CONMARCAS','FontSize',[20],'color','g')xlabel('ABSCISAS','FontSize',[18],'color','r')ylabel('ORDENADAS','FontSize',[18],'color','r')gtext('f=sin(x)./(x)','FontSize',[15],'color','b')

El comando hold onen la superposicinx=-10:0.05:10;f1=sin(x)./(x+eps);plot(x,f1,'*')hold onf2=sin(x);f3=-cos(x);plot(x,f2,'+g')plot(x,f3,'.-r')grid ontitle('GRAFICAS CONMARCAS','FontSize',[20],'color','b')xlabel('ABSCISAS','FontSize',[18],'color','c')ylabel('ORDENADAS','FontSize',[18],'color','c')

El comando subploten grficos del plano

Con subplot podemos graficar mpor ngrficasen una sola figura; la sintaxis es:subplot(m,n,k) donde k es el nmerosecuencial de la grfica.


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%Este formato realiza 4 graficas de 2 filas y 2%columnassubplot(2,2,1)gtext('figura1')subplot(2,2,2)gtext('figura2')

subplot(2,2,3)gtext('figura3')subplot(2,2,4)gtext('figura4')

Ejemplo:E-1)Graficar las funcionessubplot(2,2,1)x=-5:0.05:5;f1=cos(x);plot(x,f1,'b')grid ontitle('subplot(2,2,1)')subplot(2,2,2)

x=-5:0.05:5;f2=sin(x);plot(x,f2,'g')grid ontitle('subplot(2,2,2)')subplot(2,2,3)x=-2:0.05:2;f3=-x.^2;plot(x,f3,'r')grid ontitle('subplot(2,2,3)')subplot(2,2,4)

x=-5:0.05:5;f4=-x.*sin(x);plot(x,f4,'k')grid ontitle('subplot(2,2,4)')

Prctica dirigida con MATLAB Graficar cada una de las funciones

reales1.- 0)( 2 xexxf 2.- 0)cos()( xxxf 3.- 0)cos(2)()( xxsenxf

4.- 0)1()cos()( 12xxxf

5.- 0)ln()2()( 2 xxxf

6.- 0)2()(4)( 22 senxxxsenxxf

7.- 012.0)log()( 2xxxf

8.- 06cos22)( xexf xx

9. 5)( 3xexf x

10. Lnxexsenxxf xcos)(

Utilice el comando subplot para graficar

1. 5)( 33 xexsenxf x

2 )log(32))3(tan()( 52 senxxxsenxf

3. 62cos)( 3 xxxsenxxf 4. )).cos(tan()( xxf TAREA DOMICILIARIAGraficar las funciones reales1) 21log210)( xxxxf

3) 42)()( xxLnxf 4) 12)(

3

xex x

5) 3log)( 3cos xxexf xsenx

7) 4ln)( 3cos xxexf xsenx

8) 22 )2()(4)( senxxxsenxx

9) )()( 1 xsenxxxf

10) 22 )cos2()cos(4)( xxxxxg

12) 6cos22)( xexr xx

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