Tutorial de ecuaciones diferenciales

METODOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO

MARACAIBOCÁTEDRA: MATEMATICA IV

VICTOR JOSE LUCENA ALVARADOC.I: 23.760.001

Maracaibo, mayo de 2014

ECUACIONES SEPARABLES:Una clase sencilla de ecuaciones diferenciales de primer orden que pueden resolverse mediante integración, es la clase de ecuaciones separables, ecuaciones como:

que se pue den reescribir de modo que las variables x y y (junto con sus diferenciales dx y dy) queden aisladas en lados opuestos de la ecuación, como en

Así el lado derecho original debe tener la forma factorizada

en otras palabras, una ecuación de primer orden es separable si se puede escribir de la forma:

ECUACIONES DIFERENCIALES

ECUACIONES SEPARABLES: Método para resolver E.SI. Despejar dy/dx de la Ecuación diferencial, y obtener II. Separar la ecuación llevando las funciones para su respectivos

diferenciales

III. Luego integrar ambos lados de la ecuación IV. Se debe de resolver las integrales en ambos lados, resultando una

constante C para cada una y se agrupan en una sola C. Obteniendo así la solución de la ecuación diferencial:


ECUACIONES SEPARABLES: EJEMPLOPaso I

Podemos observar que en el numerador factorizamos por medio del factor común, es decir, realizar operaciones matemáticas antes de separar. Por lo que:

Paso IIAhora podremos separar las funciones para cada diferencial correspondiente


ECUACIONES SEPARABLES: Paso III

Al resolver cada integrar por métodos distintos en este ejemplo. Para el dy por división de polinomios y cambio de variable, pero dx es directa de tabla de integralesTenemos como solución:

Agrupando las constantes


ECUACIONES LINEALES

Un tipo de ecuación diferencial de primer orden que aparece con

frecuencia en las aplicaciones es la ecuación lineal. ecuación lineal

de primer orden es una ecuación que se pude expresar en la forma

Donde a1(x) , a0(x) , b(x) solo dependen de la variable independiente

Por lo que la ecuación al ser dividida por el coeficiente de los

diferenciales (a1(x) ) obtenemos la forma canónica :


ECUACIONES LINEALES

Pasos para resolver la ecuación lineal

I. Obtener la ecuación en la forma canónica

II. Determinar el factor integrantes por medio de la formula

Para así multiplicar la ecuación en forma canónica, para luego

llamar al lado izquierdo de la igualdad como


ECUACIONES LINEALES

I. Al determinar el factor integrante, éste se multiplica a toda la

ecuación en forma canónica, y verificamos que todo el lado

izquierdo se presenta

II. Determinar el factor integrantes por medio de la formula

lado izquierdo de la igualdad lo llamaremos


ECUACIONES LINEALES

Entonces lo podemos representar como:

III. se multiplica ambos lados por dx y se integra el lado derecho con

respecto a x

Y de ser posible se despeja la variable y


ECUACIONES LINEALES EJEMPLO

PASOS:I. Escribir la ecuación lineal en forma canónica, multiplicamos por la x

para obtener la ecuación canónica.

II. Determinamos el factor integrante con



Así el factor integrante

Ahora multiplicamos la ecuación canónica obtenida por este factor

integrante

al simplificar tenemos:



El lado izquierdo de la igualdad será:

ahora se integra ambos lados y se despeja la variable y


ECUACIONES DE LA FORMA DIFERENCIAL EXACTAS

La forma diferencial es exacta en un rectángulo R si existe una función

F(x,y) tal que:

Entonces se debe cumplir que para toda diferencial total de la función

F(x,y) debe satisfacer lo siguiente

Si esta función diferencial es una es una forma exacta, entonces la

ecuación

Es llamada exacta sii.



PASOS PARA LA SOLUCIÓN : Al tener

I. Demostrar que es exacta: derivar parcialmente a M(x,y) en función

de y, y derivar N(x,y) en función de x, las cuales deben de ser

igual, para cumplir con el criterio de exactas.

II. Ya demostrada que es exacta, se procede a determinar F(x,y),

comenzando con la integral de M(x,y) con respecto a x, generando

una función g(y) o N(x,y) con respecto a y, generando una

función h(x).



PASOS PARA LA SOLUCIÓN

III. A continuación se derivara parcialmente con respecto a la variable

contraria a la que se integro, es decir: si se integro a M(x,y) en

función de x se derivara parcialmente con respecto a y. pero si se

escogió integral de N(x,y) en función de x, se debe derivar en

función de y, generando así un g’(y) o un h’(x) respectivamente.

IV. Al tener la derivada parcial de la función se debe igualar a N(x,y) se

haberse generado g’(y) o igualar a M(x,y) de haberse generado

h(x,y) y se agrupan los términos , se integrara según sea la función

generada para así sustituir en el lugar que se genero g(y) o h(x). Y

tener así la solución de F(x,y)



EJEMPLO

En este caso se identificara a , y

Paso I: Hallar

demostrando así que es una ecuación diferencial exacta.



EJEMPLO

Paso II: En este caso escogeremos a F(x,y) como la integral a M(x,y)

con respecto a y, generando así g(y)

Paso III: a continuación consideramos la derivada parcial, para este

caso la derivada de la F(x,y) en función de y. por haber escogido a

M(x,y), entonces tenemos



EJEMPLO

Paso IV: ya obtenida la derivada de la función procedemos a igualar a

N(x,y) para este caso

Agrupamos donde será simplificada el x2

Por lo que nos queda que ahora se integrara con respecto a por

lo que:


ECUACIONES DE LA FORMA DIFERENCIAL EXACTAS EJEMPLO

Continuación Paso IV:

Ahora ya teniendo la solución de g(y) podemos sustituir en F(x,y) donde se

generó:

Nuestra solución es:

Nota: el mismo ejercicio se puede realizar, pero integrando N(x,y)

generando h(x) y se haría lo descrito en los pasos


CASOS DONDE LA ECUACIÓN NO ES EXACTA Pero podemos hallar un factor integrante que la multiplique para transformarla en exacta y así desarrollar los pasos de las exactasEs decir que la ecuación :

Si sería exacta. Y el (factor integrante) se hallaría por la misma ecuación usada en las ecuaciones lineales

Donde

Escoger el P(x) donde el denominador sea el mas simple o el menos complejo


ECUACIÓN DE BERNOULLI:

Es una ecuación de primer orden que puede escribirse en la forma

Donde P(x) y Q(x) son continuas en un intervalo (a,b) y n es un

numero real

Se puede observar que si n = 0 la ecuación sería una Ecuación lineal,

y se puede resolver por el método de las ecuaciones lineales, descrito

anteriormente, solo que se deberá hacer un cambio de variable previo.

CAMBIO DE VARIABLE PARA SU SOLUCIÓN ES EL SIGUIENTE:

Solo si


ECUACIÓN DE BERNOULLI:Pasos para su soluciónI. dividir la ecuación entre la variable la ecuación presentará la

siguiente forma:

simplificar tendremos

II. Aplicaremos el siguiente cambio de variable para la ecuación


ECUACIÓN DE BERNOULLI:Pasos para su soluciónCon el cambio de variable tenemos

Ahora como es un constante , esto nos representa una ecuación

lineal, la cual se resolverá por dicho método. Que al final se debe de

regresar el cambio de variable, sustituyendo z en función de y


ECUACIÓN DE BERNOULLI: EJEMPLO Pasos para su solución

Esta ecuación de Bernoulli con n = 3, P(x) = 5, Q(x) = -5x/2 entoncesPASO IDividir a toda la ecuación entre

simplificando


ECUACIÓN DE BERNOULLI: EJEMPLO Pasos para su soluciónPASO IISe realizara el cambio de variable para n=3

Simplificando:

Despejando

Nos queda la ecuación lineal


ECUACIÓN DE BERNOULLI: EJEMPLO Pasos para su soluciónPASO IIHay que resolver por medio del método para ecuación linealpeor habrá que multiplicar por la constante -2 para que los diferenciales quede con coeficiente 1

Se resolverá por medio de ecuación lineal donde P(x) = 10Hallando el facto integrante de para


ECUACIÓN DE BERNOULLI: EJEMPLO

Sustituyendo:

Entonces:

Integrando ambos lados y despejando z


ECUACIÓN DE BERNOULLI: EJEMPLO De la sustitución que se realizó:

Regresamos el cambio en función de y

Obteniendo así la solución de la ecuación de Bernoulli


RECOMENDACIONES PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

1. Llevar las ecuaciones a su forma ordinaria y así identificar el método a aplicar

2. Recordar los métodos de factorización, como el mas usado el de factor

común

3. Tener las tablas de integrales o resolverla según sea, inmediata, por parte,

por sustitución o cualquier método estudiado en matemática II

4. Verificar siempre las derivadas aplicadas

5. Al realizar un cambio de variable como en Bernoulli, al final regresar el

cambio

6. En el métodos de las ecuaciones exactas, seleccionar a P(x) donde el

denominador sea el menos complejo.

7. En las ecuaciones exactas se toma como M(x,y) al que tenga el dx y a N(x,y)

como la función que contiene el dy

8. La ecuación de Bernoulli, siempre llevarla a la forma de ecuación lineal


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