El triple producto escalar a b c

b

ca

b x c

n

b x c = Sn

S = área del paralelogramo formado por b y c

cos cos a n a n a

cosS S Sh V a b c a n = a

h

V es el volumen del paralelepípedo formado por los vectores a, b y c

Nota: si los tres vectores son coplanares 0 a b c

1 2 3

1 2 3

1 2 3

a a a

b b b

c c c

a i j k

b i j k

c i j k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

b c b c b c b c b c b c

a b c b c a b c b c a b c b c

b c = - i j k

a b c -

1 2 3

1 2 3

1 2 3

( )

a a a

b b b

c c c

a b c

Y esta expresión nos confirma que el orden de los vectores es irrelevante, excepto en el signo (siempre el resultado numérico será el volumen). Esto es

a b c b a c = b c a = c a b

El triple producto escalar a b c

b

ca

b x c

a x (b x c)

El vector b x c es es perpendicular al plano formado por los vectores b y c, y puesto que el vector a x (b x c) es perpendicular al vector b x c, entonces necesariamente a x (b x c) pertenece al plano formado por b y c.

El triple producto vectorial a b c

b x c

a

b

c

El triple producto vectorial a b c

En rigor ( ) ( ) ( ) a b c a c b a b c

( ) ( ) a c b a b cLa i – ésima componente de está dada por

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3( ) ( )i ia c a c a c b a b a b a b c

Mientras que las componentes de están dadas por a b c

2 1 2 1 2 3 1 3 1 3

3 1 2 1 2 1 1 2 1 2

1 1 3 1 3 2 1 2 1 2

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

primera componente a b c c b a c b b c

segunda componente a b c c b a b c c b

tercera componente a c b b c a b c c b

Comparando cuidadosamente componente a componente, se observa que la igualdad se cumple.

Demostración de la identidad de Jacobi

( ) ( ) ( ) a b c b c a c a b 0

Utilizando la caracterización del triple producto vectorial, tenemos que

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

a b c a c b - a b c

b c a b a c - b c a

c a b c b a - c a b

Sumando estas tres igualdades y considerando que el producto punto es conmutativo, se tiene la igualdad de Jacobi