TRIGONOMETRÍA FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS...

TRIGONOMETRÍA FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS página 1

SEGUNDO BIMESTRE

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FUNCIONES DE MAS DE 90 GRADOS

1.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES

Los valores de las funciones trigonométricas solamente existen para ángulos comprendidos en-tre 0 y 90 grados, por eso las tablas trigonométricas solamente traen valores en ese intervalo. Noexisten tablas para ángulos mayores de 90 grados.

Sin embargo, eso no significa que no se puedan obtener, por ejemplo, el seno de 123 grados, oel coseno de 265, o la tangente de 349. Lo que sucede es que el valor de una función trigonomé-trica mayor de 90 grados corresponde a un valor de los que están entre 0 y 90, o lo que es lo mis-mo, los valores comprendidos en las tablas entre 0 y 90 grados se repiten cada vez en cada cua-drante.

Así, el valor del seno de 135 es sen 135 = 0.707106781 , que es el mismo que el seno de 45, loque puede comprobar fácilmente el alumno con su calculadora, es decir, el valor del seno de 45se repitió en el seno de 135. Cuando solamente existían tablas y no calculadoras, para obtener elvalor del seno de 135 se buscaba en las tablas el seno de 45 por ser su equivalente. Hay que to-mar en cuenta que todos los ángulos se miden a partir del eje X positivo, avanzando en el senti-do de los cuadrantes, es decir, en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Encontrar el valor que le corresponde a cada función trigonométrica mayor de 90 grados res-pecto de un ángulo agudo (entre 0 y 90 grados) que está en tablas, es el tema de estudio de lasfunciones mayores de 90 grados.

Reducir una función trigonométrica de más de 90o significa encontrar su función equivalenteentre cero y noventa grados, algo así como "reducir la función desde un ángulo obtuso a un án-gulo agudo". En el caso anterior del seno de 135, reducirlo significa encontrar, por medio deciertas reglas, que su valor equivale al seno de 45.

La regla de equivalencia para ángulos mayores de 90 grados es muy simple: El ángulo originalde más de 90o (el ángulo obtuso) equivale al ángulo agudo que se forma en el cuadrante respecti-vo. Esto significa que existen siempre dos ángulos equivalentes al ángulo obtuso, como puedeverse en la figura 1, correspondientes al 2º, 3º y 4º cuadrantes. Por lo tanto, estas reduccionesdeben analizarse cuadrante por cuadrante. Además, se pueden hacer siguiendo dos criterios: res-pecto del eje X o respecto del eje Y .


En el segundo cuadrante

Ángulo equivalenteopción 2: por

el eje Y

Ánguloequivalenteopción 1:

por el eje X

Ánguloobtuso

(original)

X

Y

Ángulo equivalenteopción 1:

por el eje X

Ángulo obtuso(original)

Ánguloequivalente

opción 2: porel eje Y

Y

X

En el tercer cuadrante

Ánguloobtuso

(original)

Ánguloequivalente

opción 1: porel eje X

Ánguloequivalenteopción 2:

por el eje Y

X

Y

En el cuarto cuadrante

figura 1

El proceso de reducción consta de 2 pasos:

* el signo de la función ,* la función equivalente, entre 0o y 90o.

En todos los casos se tienen dos ángulos:

* Un ángulo obtuso (el ángulo original).

* Un ángulo agudo, respecto de X o respec-to de Y (el ángulo reducido). Ver la figura1.

Por otra parte, con la calculadora puedecomprobarse que si el seno de 225 es

225 0.707106781sen = −

numéricamente es el mismo que el seno de45, solamente que cambiado de signo. Estohace ver que las funciones trigonométricas demás de 90 grados, además de corresponder suvalor a una función que esté entre 0 y 90 gra-dos, algunas son positivas y otras negativas.

1.2 SIGNOS DE LAS FUNCIONES

Cada función trigonométrica, dependiendodel cuadrante en el que estén, tiene un signo,ya sea positivo o negativo.

Se parte de las definiciones de las funcionestrigonométricas para ángulos agudos, que son:

cateto opuestoseno =hipotenusa

cateto adyacentecoseno =hipotenusa

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rY Y

X

X

figura 2

rY

- X

- X

figura 3

cateto opuestotangente =cateto adyacente

cateto adyacentecotangente =cateto opuesto

hipotenusasecante =cateto adyacente

hipotenusacosecante =cateto opuesto

las cuales son, respecto de la figura 2:

;ysenr

θ =xcosr

θ =

;ytanx

θ =xcoty

θ =

;rsecx

θ =rcscy

θ =

SEGUNDO CUADRANTE

Conforme a la figura 3, se ve que en el segundo cua-drante X es negativa y Y positiva, de manera queaplicando las definiciones anteriores se pueden dedu-cir los signos que les corresponden a cada una de lasfunciones trigonométricas, de lo que se obtiene:

;ysenr

θ += = +

+cos x

rθ −= = −+

;tan yx

θ += = −

−cot x

yθ −= = −+

;sec rx

θ += = −−

csc ry

θ += = ++


r- Y

- X

- X

figura 4

r- Y

X

X

figura 5

TERCER CUADRANTE

Conforme a la figura 4, se ve que en el tercer cuadrante X es negativa y Y negativa, de manera queaplicando las definiciones anteriores se pueden obte-ner los signos de la siguiente forma:

ysenr

θ −= = −

+cos x

rθ −= = −+

tan yx

θ −= = +

−cot x

yθ −= = +−

sec rx

θ += = −−

csc ry

θ += = −−

CUARTO CUADRANTE

Conforme a la figura 5, se ve que en el cuarto cuadranteX es positiva y Y negativa, de manera que aplicando lasdefiniciones anteriores se pueden obtener los signos de lasiguiente forma:

ysenr

θ −= = −

+cos x

rθ += = +

+

tan yx

θ −= = −+

cot xy

θ += = −−

sec rx

θ += = ++

csc ry

θ += = −−

Resumiendo, los signos de las seis funciones trigonométricas en cada cuadrante se muestran enla siguiente tabla, en donde puede apreciarse que se cumple una especie de ley de la herradura,es decir que el signo del seno es el mismo que el signo de la cosecante en cualquier cuadrante;el signo del coseno es el mismo que el signo de la secante en cualquier cuadrante y el signo dela tangente es el mismo que el signo de la cotangente en cualquier cuadrante:

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El proceso de reducción consiste en:

a) Asignar el signo de la función, de acuerdo al cuadrante en que esté (ver la tablaanterior), y

b) tomar la función equivalente con el correspondiente ángulo reducido, es decir,con el correspondiente ángulo agudo.

1.3 FUNCIÓN EQUIVALENTE

Conviene en este momento recordar dos cosas: una, que reducir una función trigonométrica demás de 90o significa encontrar su función equivalente entre cero y noventa grados, algo así como"reducir el ángulo obtuso a un ángulo agudo". La otra, que el proceso de reducción consta de dospasos: hallar el signo de la función y luego la función equivalente.

Es importante distinguir entre la función equivalente y el valor numérico de la función. Porejemplo, si sen 135 = sen 45 = 0.7077106781 , se dice que para el sen 135 su función equiva-lente es sen 45 , en cambio el valor numérico de sen 135 es 0.707106781. Cuando se hace o sepide hacer una reducción, lo que importa solamente es la función equivalente, no el valor numé-rico de la función.

Ese ángulo equivalente reducido, o sea el equivalente entre 0º y 90º, puede estar tomado haciael eje X o hacia el eje Y. Cuando se hace hacia el eje X se dice que la reducción se hace por me-


Ánguloobtuso

(original)

Ánguloequivalente

reducidopor el eje X

180 -

Ángulo agudo equivalente al original


figura 6sen θ = + sen (180 ! θ)cos θ = ! cos (180 ! θ)tan θ = ! tan (180 ! θ)cot θ = ! cot (180 ! θ)sec θ = ! sec (180 ! θ)csc θ = + csc (180 ! θ)

dio del eje X; de la misma forma, si el ángulo equivalente reducido que viene en tablas, se tomahacia el eje Y , se dice que la reducción se hace por medio del eje Y.

1.3.1 REDUCCIONES POR MEDIO DEL EJE X

EN EL PRIMER CUADRANTE

Las funciones trigonométricas en el primer cuadrante no se reducen pues ya son, por sí solas,menores de 90o.

EN EL SEGUNDO CUADRANTE

Inicialmente se tienen los dos ángulos citados,como se muestra en la figura 6, es decir, el ánguloobtuso (de más de 90 grados) que es el original yun ángulo agudo (menor de 90 grados) que es elángulo reducido correspondiente, o al que se debereducir.

De manera que las fórmulas correspondientes, osea las funciones reducidas para ángulos compren-didos entre 90 y 180 grados, donde θ representael ángulo obtuso original, son:

Ejemplos: 1) sen 114 = + sen (180 ! 114) = + sen 662) cos 133 = ! cos (180 ! 133) = ! cos 473) tan 98 = ! tan (180 ! 98) = ! tan 824) sec 169 = ! sec (180 ! 169) = ! sec 115) csc 136 = ! csc (180 ! 136) = + csc 44

Recuérdese que θ representa al ángulo obtuso original.

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Ánguloequivalente


- 180



figura 7sen θ = ! sen (θ ! 180)cos θ = ! cos (θ ! 180)tan θ = + tan (θ ! 180)cot θ = + cot (θ ! 180)sec θ = ! sec (θ ! 180)csc θ = ! csc (θ ! 180)

EJERCICIO 1

Reducir las siguientes funciones trigonométricas por medio del eje X , escribiendo el procedimiento paso por paso.

NOTA: En todos estos ejercicios de reducción el alumno debe desarrollar el procedimiento de reducción como en los ejemplosmostrados, pero no debe anotar el valor numérico, ya que eso no es lo que interesa, porque, entre otras cosas, ese valorlo puede simplemente copiar de una calculadora. Por ejemplo, para sen 125 no interesa que valga 0.819152, sino el pro-ceso de reducción que es: sen 125 = sen (180 ! 125) = sen 55 .

1) sen 105 5) cos 119 9) tan 100 13) cot 1022) sen 174 6) cos 159 10) tan 108 14) cot 1543) sen 144 7) cos 171 11) tan 129 15) cot 1224) sen 121 8) cos 139 12) tan 147 16) cot 172

17) sec 119 21) csc 117 25) csc 124 29) tan 13918) sec 109 22) csc 131 26) cos 120 30) sec 16619) sec 171 23) csc 176 27) sen 128 31) csc 16020) sec 130 24) csc 143 28) cot 133 32) cot 122

EN EL TERCER CUADRANTE

Inicialmente se tienen los dos ángulos cita-dos, como se muestra en la figura 7, es decir,el ángulo obtuso (de más de 90 grados) quees el original y un ángulo agudo (menor de90 grados) que es el ángulo reducido corres-pondiente, o al que se debe reducir.

De manera que las fórmulas correspondien-tes, o sea las funciones reducidas para ángu-los comprendidos entre 180 y 270 grados,donde θ representa el ángulo obtuso original,son:



Ánguloequivalente


360 -


figura 8

Ejemplos: 1) sen 214 = ! sen (214 ! 180) = ! sen 342) cos 233 = ! cos (233 ! 180) = ! cos 533) tan 198 = + tan (198 ! 180) = + tan 184) sec 269 = ! sec (269 ! 180) = ! sec 895) csc 183 = ! csc (183 ! 180) = + csc 3

EJERCICIO 2


NOTA: En todos estos ejercicios de reducción el alumno debe desarrollar el procedimiento de reducción como en los ejemplosmostrados, pero no debe anotar el valor numérico, ya que eso no es lo que interesa, porque, entre otras cosas, ese valorlo puede simplemente copiar de una calculadora. Por ejemplo, para sen 228 no interesa que valga ! 0.743144825, sinoel proceso de reducción que es: sen 228 = ! sen (228 ! 180) = ! sen 48 .


17) sec 219 21) csc 197 25) csc 224 29) sec 26118) sec 199 22) csc 191 26) sen 200 30) cos 23019) sec 231 23) csc 256 27) tan 188 31) cot 25120) sec 239 24) csc 183 28) tan 233 32) csc 258

EN EL CUARTO CUADRANTE

Inicialmente se tienen los dos ángulos citados, co-mo se muestra en la figura 8, es decir, el ángulo ob-tuso original (de más de 90 grados) y un ánguloagudo (menor de 90 grados) que es el ángulo redu-cido correspondiente, o al que se debe reducir.

De manera que las fórmulas correspondientes, osea las funciones reducidas para ángulos compren-didos entre 270 y 360 grados, donde θ representa elángulo obtuso original, son:

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sen θ = ! sen (360 ! θ)cos θ = + cos (360 - θ)tan θ = ! tan (360 - θ)cot θ = ! cot (360 - θ)sec θ = + sec (360 - θ)csc θ = ! csc (360 ! θ)

Recuérdese que θ representa al ángulo obtuso original de más de 90 grados.

Ejemplos: 1) sen 294 = ! sen (360 ! 294) = ! sen 662) cos 283 = + cos (360 ! 283) = + cos 773) tan 298 = ! tan (360 ! 298) = ! tan 624) cot 316 = ! cot (360 ! 316) = ! cot 445) sec 330 = + sec (360 ! 330) = + sec 30

EJERCICIO 3



17) sec 319 21) csc 297 25) csc 324 29) cot 35918) sec 359 22) csc 281 26) tan 300 30) sec 33319) sec 310 23) csc 276 27) sen 348 31) sec 30220) sec 289 24) csc 313 28) cos 333 32) sen 322

EJERCICIO 4: (generales)

1) Deducir los signos de las funciones trigonométricas en el primer cuadrante.2) Deducir los signos de las funciones trigonométricas en el segundo cuadrante.3) Deducir los signos de las funciones trigonométricas en el tercer cuadrante.4) Deducir los signos de las funciones trigonométricas en el cuarto cuadrante.5) Deducir las fórmulas de reducción en el segundo cuadrante por medio del eje X.6) Deducir las fórmulas de reducción en el tercer cuadrante por medio del eje X.7) Deducir las fórmulas de reducción en el cuarto cuadrante por medio del eje X.


θ

θ90

x

yr

figura 9

Reducir las siguientes funciones por medio del eje X:

1) sen 105 5) cos 119 9) tan 100 13) sen 1052) sen 194 6) cos 199 10) tan 208 14) tan 2433) sen 244 7) cos 271 11) tan 299 15) csc 2014) sen 321 8) cos 309 12) tan 347 16) cos 339

17) cot 119 21) sec 117 25) csc 124 29) cot 9718) cot 199 22) sec 191 26) csc 200 30) sec 18419) cot 271 23) sec 276 27) csc 288 31) tan 27520) cot 309 24) sec 343 28) csc 333 32) cot 347

33) sen 123 37) cos 128 41) tan 105 45) cos 10034) sen 199 38) cos 194 42) tan 238 46) sec 20035) sen 249 39) cos 275 43) tan 288 47) cot 30036) sen 332 40) cos 308 44) tan 340 48) csc 316

49) cot 117 53) sec 118 57) csc 127 61) tan 3550) cot 196 54) sec 193 58) csc 230 62) sen 6151) cot 276 55) sec 277 59) csc 291 63) cos 7752) cot 329 56) sec 348 60) csc 330 64) cot 12

1.3.2 REDUCCIONES POR MEDIO DEL EJE Y

COFUNCIONES

Se dice que la reducción se hace por medio del eje Y cuando el ángulo reducido es respecto deleje Y, como lo muestra la figura 1 de la página 3.

En cualquier triángulo rectángulo, la suma de los dos ángulosagudos es de 90 grados, de manera que si uno de ellos es θ, elotro será (90 ! θ). Ver figura 9. En esa misma figura 9 se pue-de observar que las seis funciones trigonométricas del ángulo θson:

;ysenr

θ =xcosr

θ =

;ytanx

θ =xcoty

θ =

;rsecx

θ =rcscy

θ =

mientras que las del ángulo (90 ! θ) son:

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θ

θ90θ90

x

y

alternosinternos

figura 10

sen θ = cos (90 ! θ)cos θ = sen (90 ! θ)tan θ = cot (90 ! θ)cot θ = tan (90 ! θ)sec θ = csc (90 ! θ)csc θ = sec (90 ! θ)

En toda reducción por medio del eje Y, la función trigonométrica a reducir cambiaa su respectiva cofunción.

;( )90 xsenr

θ− = ( )90 ycosr

θ− =

;( )90 xtany

θ− = ( )90 ycotx

θ− =

;( )90 rsecy

θ− = ( )90 rcscx

θ− =

de aquí se ve que las siguientes funciones son iguales:

Las funciones anteriores que son iguales se llaman cofun-ciones 1, es decir, el seno y el coseno con cofunciones; latangente y la cotangente son cofunciones; la secante y lacosecante son cofunciones.

En otras palabras, el seno de un ángulo θ medido respectodel eje X es igual al coseno del ángulo (90 ! θ) medidorespecto del eje Y. Lo mismo puede afirmarse de la tangente de un ángulo θ medido respecto deleje X que es igual a la cotangente del ángulo (90 ! θ) medido respecto del eje Y. Y de la secantey la cosecante también. Ver figura 10.

Esta es la clave para la siguiente regla:

1 El prefijo co viene de la preposición latina cum, que significa con y se emplea en el idioma Español para dar idea dealgo que actúa junto con... conjuntamente... en común. Por ejemplo, la palabra codirector significa director con otro;la palabra coincidir significa incidir al mismo tiempo. Así, las cofunciones tienen en común la misma relación de doslados del triángulo; por ejemplo, el seno de θ y el coseno de tienen en común ser iguales a la relación y/r.( )90 θ−



Ángulo equivalentereducido por

el eje Y

- 90



figura 11

sen θ = + cos (θ ! 90)cos θ = ! sen (θ ! 90)tan θ = ! cot (θ ! 90)cot θ = ! tan (θ ! 90)sec θ = ! csc (θ ! 90)csc θ = + sec (θ ! 90)

El proceso de reducción por medio del eje Y es semejante al que se hace por medio del eje X ,es decir, primero se pone el signo que le corresponde a esa función de acuerdo al cuadrante en elque esté y luego se busca el valor numérico.

EN EL PRIMER CUADRANTE

Las funciones trigonométricas en el primer cuadrante no se reducen pues ya son, por sí solas,menores de 90o.

EN EL SEGUNDO CUADRANTE

Inicialmente se tienen los dos ángulos citados,como se muestra en la figura 11, es decir, el án-gulo obtuso original (de más de 90 grados) y unángulo agudo (menor de 90 grados) que es elángulo reducido correspondiente, o al que sedebe reducir.

De manera que las fórmulas correspondientes,o sea las funciones reducidas para ángulos com-prendidos entre 90 y 180 grados, donde θ repre-senta el ángulo obtuso original, son:

Ejemplos: 1) sen 114 = + cos (114 ! 90) = + cos 242) cos 133 = ! sen (133 - 90) = ! sen 433) tan 98 = ! cot ( 98 - 90) = ! cot 84) sec 169 = ! csc (169 - 90) = ! csc 795) csc 136 = + sec (136 - 90) = + sec 46

Recuérdese que θ representa al ángulo obtuso original de más de 90 grados.

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Ánguloequivalente

reducido por el eje Y

270 -


figura 12sen θ = ! cos (270 ! θ)cos θ = ! sen (270 ! θ)tan θ = + cot (270 ! θ)cot θ = + tan (270 ! θ)sec θ = ! csc (270 ! θ)csc θ = ! sec (270 ! θ)

EJERCICIO 5

Reducir las siguientes funciones trigonométricas por medio del eje Y , escribiendo el procedimiento paso por paso.

NOTA: En todos estos ejercicios de reducción el alumno debe desarrollar el procedimiento de reducción como en los ejemplosmostrados, pero no debe anotar el valor numérico, ya que eso no es lo que interesa, porque, entre otras cosas, ese valorlo puede simplemente copiar de una calculadora. Por ejemplo, para sen 125 no interesa que valga 0.819152, sino el pro-ceso de reducción que es: sen 125 = + cos (125 ! 90) = + cos 35 .


17) sec 119 21) csc 117 25) csc 124 29) tan 13918) sec 109 22) csc 131 26) cos 120 30) sec 16619) sec 171 23) csc 176 27) sen 128 31) csc 16020) sec 130 24) csc 143 28) cot 133 32) cot 122

EN EL TERCER CUADRANTE

Inicialmente se tienen los dos ángulos citados,como se muestra en la figura 12, es decir, elángulo obtuso original (de más de 90 grados) yun ángulo agudo (menor de 90 grados) que es elángulo reducido correspondiente, o al que sedebe reducir.

De manera que las fórmulas correspondientes,o sea las funciones reducidas para ángulos com-prendidos entre 180 y 270 grados, donde θ re-presenta el ángulo obtuso original, son:



Ánguloequivalente reducido

por el eje Y

- 270


figura 13

Ejemplos: 1) sen 214 = ! cos (270 - 214) = ! cos 562) cos 233 = ! sen (270 - 233) = ! sen 373) tan 198 = + cot (270 - 198) = + cot 724) sec 269 = ! csc (270 - 269) = ! csc 15) csc 183 = ! sec (270 - 183) = ! sec 87

EJERCICIO 6


NOTA: En todos estos ejercicios de reducción el alumno debe desarrollar el procedimiento de reducción como en los ejemplosmostrados, pero no debe anotar el valor númerico, ya que eso no es lo que interesa, porque, entre otras cosas, ese valorlo puede simplemente copiar de una calculadora. Por ejemplo, para sen 228 no interesa que valga ! 0.743144825, sinoel proceso de reducción que es: sen 228 = ! cos (270 ! 228) = ! cos 42 .


17) sec 219 21) csc 197 25) csc 224 29) sec 26118) sec 199 22) csc 191 26) sen 200 30) cos 23019) sec 231 23) csc 256 27) tan 188 31) cot 25120) sec 239 24) csc 183 28) tan 233 32) csc 258

EN EL CUARTO CUADRANTE

Inicialmente se tienen los dos ángulos ci-tados, como se muestra en la figura 13, esdecir, el ángulo obtuso original (de más de90 grados) y un ángulo agudo (menor de 90grados) que es el ángulo reducido corres-pondiente, o al que se debe reducir.

De manera que las fórmulas correspon-dientes, o sea las funciones reducidas paraángulos comprendidos entre 270 y 360 gra-dos, donde θ representa el ángulo obtusooriginal, son:

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA SEGUNDO SEMESTRE

sen θ = ! cos (θ ! 270)cos θ = + sen (θ ! 270)tan θ = ! cot (θ ! 270)cot θ = ! tan (θ ! 270)sec θ = + csc (θ ! 270)csc θ = ! sec (θ ! 270)

CONCLUSIONES:

Cuando la reducción se hace por medio del eje X:

1) La función trigonométrica se conserva.2) Se utilizan los valores de 180 y 360 .

Cuando la reducción se hace por medio del eje Y:

1) La función trigonométrica cambia a su cofunción.2) Se utilizan los valores 90 y 270 .

Ejemplos: 1) sen 294 = ! cos (294 - 270) = ! cos 242) cos 283 = + sen (283 - 270) = + sen 133) tan 298 = ! cot (298 - 270) = ! cot 284) cot 316 = ! tan (316 - 270) = ! tan 465) sec 330 = + csc (330 - 270) = + csc 60

EJERCICIO 7


NOTA: En todos estos ejercicios de reducción el alumno debe desarrollar el procedimiento de reducción como en los ejemplosmostrados, pero no debe anotar el valor numérico, ya que eso no es lo que interesa, porque, entre otras cosas, ese valorlo puede simplemente copiar de una calculadora. Por ejemplo, para sen 328 no interesa que valga ! 0.529919264, sinoel proceso de reducción que es: sen 328 = ! cos (328 ! 270) = ! cos 58 .



17) sec 319 21) csc 297 25) csc 324 29) cot 35918) sec 359 22) csc 281 26) tan 300 30) sec 33319) sec 310 23) csc 276 27) sen 348 31) sec 30220) sec 289 24) csc 313 28) cos 333 32) sen 322

EJERCICIO 8: (generales)

1) Deducir las fórmulas de reducción en el segundo cuadrante por medio del eje Y.2) Deducir las fórmulas de reducción en el tercer cuadrante por medio del eje Y.3) Deducir las fórmulas de reducción en el cuarto cuadrante por medio del eje Y.

Reducir las siguientes funciones por medio del eje Y:

1) sen 105 5) cos 119 9) tan 100 13) sen 1052) sen 194 6) cos 199 10) tan 208 14) tan 2433) sen 244 7) cos 271 11) tan 299 15) csc 2014) sen 321 8) cos 309 12) tan 347 16) cos 339

17) cot 119 21) sec 117 25) csc 124 29) cot 9718) cot 199 22) sec 191 26) csc 200 30) sec 18419) cot 271 23) sec 276 27) csc 288 31) tan 27520) cot 309 24) sec 343 28) csc 333 32) cot 347

33) sen 123 37) cos 128 41) tan 105 45) cos 10034) sen 199 38) cos 194 42) tan 238 46) sec 20035) sen 249 39) cos 275 43) tan 288 47) cot 30036) sen 332 40) cos 308 44) tan 340 48) csc 316

49) cot 117 53) sec 118 57) csc 127 61) tan 3550) cot 196 54) sec 193 58) csc 230 62) sen 6151) cot 276 55) sec 277 59) csc 291 63) cos 7752) cot 329 56) sec 348 60) csc 330 64) cot 12

TRIGONOMETRÍA FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS...

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