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TrigonometríaEs la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los

lados y los ángulos de los triángulos.

Etimológicamente significa ‘medida de triángulos’(< Griego trigōnon

"triángulo" + metron "medida", de ahí su significado etimológico viene a

ser la medición de los triángulos).

Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los

campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el

principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una

distancia que no podía ser medida de forma directa, como la distancia

entre la Tierra y la Luna.

También se encuentran notables aplicaciones de las funciones

trigonométricas en la física y en casi todas las ramas de la ingeniería,

sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el flujo de

corriente alterna.

Por ejemplo: En un río se necesita conocer la distancia hasta la

otra orilla

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Funciones trigonométricas La base de la trigonometría está en las razones trigonométricas,

valores numéricos asociados a cada ángulo, que permiten relacionar

operativamente los ángulos y lados de los triángulos. Las más

importantes son seno, coseno y tangente, que se definen a continuación.

Para definir las funciones trigonométricas del ángulo A, se parte de

un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. Si

consideramos un triángulos rectángulo cuyos catetos miden: 3, 4.

Dibujemos otros dos triángulos donde los catetos y la hipotenusa sean el

doble y el triple (según corresponda). Cada par de lados homólogos (que

se ubican en la misma posición) de un triángulo rectángulo cuyos ángulos

sean iguales serán proporcionales. Para que sea más fácil interpretar lo

que se está explicando el típico triángulo de catetos de 3 cm y 4 cm, que

tendrá su hipotenusa de 5 cm (Pitágoras).

La proporcionalidad también puede escribirse respecto a los lados

homólogos, dividir el cateto opuesto por la hipotenusa.

Lo importante a destacar es que el ángulo en todos los casos es el

mismo. Este hecho es importante ya que permite relacionar a los ángulos

con la razón de la proporción de los lados. Esta relación presenta la

propiedad de unicidad para cada par de lados homólogos existe siempre

un único valor (razón) relacionado con una determinada amplitud

angular, por lo tanto se establece una función, a las que llamaremos

trigonométrica.

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Funciones Trigonométricas

Si dividimos Hipoten

OpCat. llamaremos a esta función seno.

Si dividimosHipoten

AdyCat. llamaremos a esta función Coseno

Si dividimosAdyCatOpCat

.. llamaremos a esta función Tangente.

Si dividimos ..OpCat

Hipoten llamaremos a esta función Cosecante.

Si dividimos ..AdyCat

Hipoten llamaremos a esta función Secante.

Si dividimos ....

OpCatAdyCat llamaremos a esta función Cotangente.

La función seno y cosecante son inversas, así como lo son coseno y

secante, y tangente con cotangente.

Uso de la calculadora:

Podemos usarla para:

a) Calcular el valor de las funciones trigonométricas,

b) Calcular el ángulo conociendo alguna de las funciones

trigonométricas.

a) Si lo que se conoce es el ángulo y se desea calcular alguna de las

razones trigonométricas por ejemplo calcular el seno de 30º:

Sencillamente escribes el valor del ángulo en la calculadora y tecleas la

función correspondiente y en la pantalla saldrá el valor buscado.

La Secuencia de teclas es:

en el visor aparecerá 0,5

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Otro ejemplo cos 40º:

en el visor aparecerá 0,766044443

Otro ejemplo tg 60º:

en el visor aparecerá 1,732050808

b) Si se conoce la razón trigonométrica y se quiere conocer el valor del

ángulo, por ejemplo sen x = 0,48 y se quiere saber el valor de x, la

secuencia de teclas es:

en

el visor aparecerá: 28º 41’ 7’’

Otro ejemplo cos x = 0,5

en el

visor aparecerá: 60º

Otro ejemplo tg x = 1,85

en el

visor aparecerá: 61º 36’ 25’’

Resolver los ejercicios 1 y 2

Gráficas de las funciones trigonométricas:

Las funciones trigonométricas son funciones periódicas, repiten el valor

de imagen cada 360º.

De esa manera tenemos que: cos 60º = cos 420º = 0,5

Grafiquemos, mediante tablas, las siguientes funciones tomando valores

angulares desde 0º hasta 360º. Para facilitar el trabajo tomemos ángulos

a intervalos de 45º:

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Función Seno:

α sen α 0 0 45 0,71 90 1

135 0,71 180 0 225 - 0,71 270 -1 315 - 0,71

360 0

Función Coseno:

α cos α 0 1 45 0,71 90 0

135 -0,71 180 -1 225 0,71 270 0 315 0,71

360 1

Función Tangente:

α tg α 0 0 45 1 90 ////

135 - 1 180 0 225 1 270 //// 315 - 1

360 0

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Función Secante

α sec α 0 1

45 1,41 90 //// 135 -1,41 180 -1 225 1,41 270 //// 315 1,41

360 1

Función Cosecante:

α Cosec α

0 //// 45 1,41 90 1 135 1,41 180 //// 225 - 1,41 270 -1 315 - 1,41

360 ////

Función Cotangente:

α Cotg α 0 ////

45 - 1

90 0

135 1

180 ////

225 - 1

270 0

315 ////

360 - 1

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//// significa que no se puede calcular el valor de la función, el resultado

no existe (es una asíntota).

Unidades angularesEn la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean cuatro

unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado

sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define

como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se

desarrolló como la unidad más próximo al sistema decimal, pero su uso

prácticamente es inexistente, y el sistema horario.

Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí

utilicemos, en una circunferencia completa hay 2π radianes.

Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia

en 360º.

Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en

400 grados centesimales.

Horario: unidad angular que divide la circunferencia en 24 horas

Sistema Circular de Medición de Ángulos:

El sistema de medición de ángulos que solemos

utilizar es el sexagesimal, divide a la circunferencia

en seis partes de 60º cada una, obteniendo un giro

completo de 360º. Cuando se quiso utilizar este

sistema en física, para poder calcular el camino desarrollado por alguna

partícula en trayectoria circular, se encontraron que el sistema

sexagésima no los ayudaba pues,

matemáticamente, no está relacionado con

el arco que describe el cuerpo al moverse.

De esa manera se "inventó" otro sistema

angular, el sistema circular, donde la

medida del ángulo se obtiene al dividir el

arco y el radio de la circunferencia. En este sistema un ángulo llano (al

dividir el arco por el radio) mide 3,14 (que es el valor aproximado de "π").

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De esa manera un giro completo (que es lo mismo que dos ángulos

llanos) mide 2π.

180º = π ó 360º = 2 π

En este caso la circunferencia queda dividida en cuatro partes iguales de

90º (π/2) cada una, que va desde 0º hasta 360º (2 π), a las que se

denomina cuadrantes:

1er cuadrante: 0º a 90º

2do cuadrante: 90º a 180º

3 er cuadrante: 180º a 270º

4to cuadrante: 270 a 360º

a) SEXAGESIMAL:

Unidad: Grado sexagesimal

°=⇒=° 90190

Re11 Rcto

Submúltiplos: Minutos

'601601'1 =°⇒°

=

Segundo

''60'160

'1''1 =⇒=

b) CENTESIMAL:

Unidad: Grado centesimal

GG RR 100110011 =⇒=

Submúltiplos: Minutos

MGG

M 100110011 =⇒=

Segundo

SMM

S 100110011 =⇒=

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c) RADIAL o CIRCULAR:

Consideramos en el plano un sistema de coordenadas

cartesianas perpendiculares y una circunferencia C con centro en el

origen de coordenadas y radio = 1.

α

(0;-1)

(-1;0)

(0;1)

(1;0)

y

xO

Si centramos un ángulo orientado α observamos que este determina

sobre C un arco de circunferencia MN.

Como para cada arco orientado existe un número real que es su longitud,

podemos asignar a cada ángulo centrado la longitud de su arco, siempre

con el signo que corresponde, siendo la longitud de ese arco la medida en

radianes del ángulo.

De esta manera si α es un ángulo positivo de un giro le asignamos el

número 2Π, que es la longitud de la circunferencia de radio igual a 1,

decimos entonces que α tiene como medida 2Π radianes.

Se llama radial al ángulo que abarca un arco de circunferencia cuya

longitud es igual al radio de la misma.

2Π rad = 360°

d) HORARIO:

Unidad:

hRR 616

1=⇒h1 = Resolver los

ejercicios del 3 al 22

Submúltiplos: Minutos

mhh

601601

=⇒m1 =

Segundo

Smm

S 601601

=⇒=1

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Funciones Trigonométricas de ángulos complementarios Podemos desarrollar las funciones trigonométricas de ángulos

complementarios mediante triángulos rectángulos, ya que los ángulos que

no son rectos son complementarios entre si: α y β

tg β = cotg α

cotg β = tg α

sec β = cosec α

cosec β = sec α

Las funciones trigonométricas de los ángulos complementarios son

opuestas. En caso de los ángulos de (0º a 90º) los ángulos caen en el

primer cuadrante y los signos son todos positivos.

Signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante: En el primer cuadrante, vemos que: el cateto

adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo

denominaremos "x"; al cateto opuesto, que se

ubica sobre el eje y, lo llamaremos "y". La

hipotenusa, que es el radio de la circunferencia,

la designaremos "r".

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Ya que "x", "y", "r", son positivas, entonces, Todas las funciones

trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.

sen cosec tg cotg cos sec

+ + + + + +

En el segundo cuadrante, el cateto

adyacente cae sobre el eje negativo de las

x, mientras que el cateto opuesto sigue

sobre el eje positivo de las y . El radio (la

hipotenusa) sigue siendo positiva en todos

los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la

tangente y sus inversas (secante y

cotangente) tienen resultados negativos.

sen cosec tg cotg cos sec

+ + - - - -

En el tercer cuadrante, tanto el cateto

adyacente como el cateto opuesto tienen sus

signos negativos, ya que caen sobre la parte

negativa de los ejes. En este caso solo la

tangente (y su inversa, la cotangente) resultan

positivas :

sen cosec tg cotg cos sec

- - + + - -

En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a

estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto

opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este

caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo

son el coseno y la secante.

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sen cosec tg cotg cos sec

- - - - + +

Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el

cuadrante en tres cuadros:

cuadrantes

II I

III IV

sen - cosec

+ +

- -

cos - sec

- +

- +

tg - cotg

- +

+ -

Valor de las funciones trigonométricas de ángulos particulares: A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente

recordar:

Radián Ángulo sen cos tan csc sec ctg

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Representación gráfica

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Si dividimos por c2:

entonces para todo ángulo θ.

Sen2 θ + Cos2 θ = 1

Identidad trigonométrica En matemática, las identidades trigonométricas son igualdades que

involucran funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor de

las variables que se consideren (es decir para cualquier valor que

pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).

Estas identidades son útiles siempre que se precise simplificar

expresiones que incluyen funciones trigonométricas.

Notación: Definimos cos², sen², etc; tales que sen²α es (sen (α))².

En el triángulo rectángulo se cumple de acuerdo con el Teorema de

Pitágora que:

a + b = c2 2 2

2

2

2

2

2

2

cc

cb

ca

=+

12⎞

2

=⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

cb

ca

θsenca

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θcos=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

cb

⎟⎠

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De las definiciones de las funciones trigonométricas

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando

sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy

útiles para problemas introductorios del tipo:

Ejemplo: Conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las

restantes (sin tabla ni calculadora).

Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos²(x), se tiene:

Calculando la recíproca de la expresión anterior:

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

y análogamente con las restantes funciones .

Resolver el ejercicio 23

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Ecuaciones trigonométricas La ecuación trigonométrica es una igualdad que se cumple para

ciertos valores del argumento.

Resolver una de estas ecuaciones, significa encontrar el valor del

ángulo que satisface dicha ecuación. (A veces es más de un valor).

En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo de las

funciones trigonométricas. No puede especificarse un método general que

permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un

procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste

en transformar todas las funciones que aparecen allí en una sola función,

usando principalmente las identidades trigonométricas, (es recomendable

pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en

términos de una sola función trigonométrica, se aplican los pasos usuales

en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la función; por

último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor

de la función trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál

es ese ángulo. Las ecuaciones trigonométricas suelen tener múltiples soluciones

que pueden expresarse en grados o en radianes.

Ejemplos de ecuaciones trigonométricas:

1ª sen(x)=1

2ª cos2(x)-3sen(x)=3

Soluciones:

1ª Es muy sencilla, sólo recordar el ángulo cuyo seno es 1; que es 90º en

el primer cuadrante. El seno no vuelve a valer uno hasta que el ángulo no

valga 90º+360º=540º, tras otra vuelta volverá a valer uno y así

sucesivamente.

sen(x) = 1 ⇒ x = 90º

2ª Se convertirá en una ecuación con una sola razón trigonométrica si

tenemos en cuenta la fórmula fundamental de la trigonometría.

cos2(x) - 3sen(x) = 3

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y cos2(x) =1-sen2(x)

reemplazando en la ecuación

1- sen2(x) - 3sen(x) = 3 ordenando y agrupando queda

sen2(x) + 3sen(x) + 2 = 0.

Ya está en función de una sola razón y de un sólo ángulo.

Cambiamos ahora sen(x) por z y nos quedará una cuadrática, que

resolvemos como vimos anteriormente:

z2 + 3z + 2 = 0.

Las soluciones de esta ecuación son :

Z1 = - 2 Z2 = - 1 sen(x) = - 2 no tiene solución alguna, pues el seno es una función que

varia entre 1 y - 1.

sen(x) = -1 ⇒ x = - 90º o lo que es lo mismo x = 270º

ALGUNOS EJEMPLOS:

Ejemplo 1:

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Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

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87

Ejemplo 4:

Ejemplo 5:

Ejercicios propuestos Encuentre todas las soluciones (raíces) de las siguientes ecuaciones:

Resolver el ejercicio 24