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SISTEMA HELICOIDAL

65

Compendio de Ciencias VIII-A TrigonometríaRM CAPÍTULO

2 2

OBJETIVOS

• Conocer la recta numérica real

• Conocer las desigualdades algebraicas

• Determinar los intervalos acotados y no acotados

• Aplicar los teoremas y propiedades básicas.

MOTIVACIÓN

INTRODUCCIÓN HISTÓRICA

Los árabes contribuyeron poderosamente a la sistematización del Álgebra. El

matemático Alkhwarizmi, de la Escuela de Bagdad, fue el autor del

primer libro sobre esta disciplina, escrito en el siglo IX (d.C.). Esta obra,

conservada solamente en lengua latina con el título de Algorithmi de

numero indorum, fue fundamental para la adopción y popularización en

la Europa cristiana de nuestro actual sistema numérico. Escribió otros

libros, uno de los cuales dio nombre a esta ciencia. Al - Hwarizmi

trabajó también la teoría de las ecuaciones de segundo grado y fue

autor de unas tablas astronómicas.

Por su parte, el matemático sirio Al-Batani también aplicó el Álgebra a la

resolución de problemas de Astronomía.


Alkhwarizmi

Isaac Newton

El binomio de Newton recibe el nombre de Isaac Newton (1642 -

1727), quien fue el más grande de los matemáticos ingleses y uno de

los mayores científicos de toda la historia de la humanidad. Como

matemático descubrió, simultáneamente con Leibnitz, el Cálculo

Diferencial y el Cálculo Integral, y escribió el célebre libro Principia

Mathematica Philosophiae Naturalis. Como físico formuló la ley de la

gravitación universal a partir de los trabajos de Kepler y escribió

diversos tratados sobre Óptica y sobre la naturaleza de la luz.

Compendio de Ciencias VIII-A

Trigonometría

Conjunto de los Números Reales

NúmerosRacionales

( )

Enteros

( )

Positivos Z 1, 2, 3, 4.....Cero "0 "

Negativo Z .... 3, 2, 1

f

m ; m, n Z;n 0

n

NúmerosFraccionarios 1 2 7

Reales

( )

, , ...2 5 9

IrracionalesAlgebraicas

2 ; 7 ; 2 3; 5 5 ; 3;.....

NúmerosIrracionales

()

Números Transcendentes 3,141592......

e 2,71828182.....

DE SIGU AL DAD. -Es una relación de orden que se establece entre dos números reales que tienen diferente valor. Es decir:

a;b R / a b a b a b

SÍMBOLOS DE LAS RELACIONES DE ORDEN:

: “Mayo r que” : “menor que”

ESTRICTAS

: “Ma yo r o igual que” : “meno r o igual que”

NO ESTRICTAS

CONCEPTOS FUNDAMENTALES:• RECTA NUMÉRICA REAL

Es una recta geométrica, cuya contrucción se sustenta en el principio de la correspondencia biunívoca existente entre los elementos del conjunto R y los puntos de dicha recta.Establecimiento la biyección, de la forma que acada número real se le hace corresponder un único punto de la recta, y para cada punto de la recta sólo le corresponde un único número real.

C L ASE S DE DE SIG UAL DADE Sa) Desigualdad absoluta

Números negativos

10 3

Números positivos

2 e

Es aquella desigualdad que se verifica para todos los valores reales que se les asigne a sus variables.

Ejemplo:

–4 –3 –2 –1 – 0,5 0 1/4 1 2 2,4 3 4

a 4 2 17 0, se verifica a R

3 x 2 2y 2 8, se cumple x, y Rb) Desigualdad relativa o inecuación

Es aquella desigualdad que se verifica

Trigonometría

para un conjunto de valores particulares denominado CONJUNTO SOLUCIÓN, que admite la variable denominada incógnita.Ejemplos:

5x–3>17, se verifica sólo para x>4

x 2 1

• INTERVALOEs un subcojunto del conjunto de los números reales, definiéndose como aquel conjunto de infinitos elementos que representan a todos los números reale s co m prend ido s entr e do s ex tr em o s , denominados Limite inferior o Í N F I M O y límite superior o S U P R E M O .De lo establecido, existen dos tipos de intervalos:

1. I n t e r v alo A c o t ado

Se denomina así al intervalo cuyos extremos son números reales (Límites finitos). A su vez,

pueden ser: 2, se verifica sólo para –3<x<3

4

a) Intervalo cerradoEs un intervalo acotado en el cual se consideran a los extremos finitos.

a x b

PR O PIE D ADE S FU N D AM E N T AL E S DE L AS DE SIGU ALDADES :1º a, b R y m R+, se cumplen :

a > b am > bm

a b

x a; b

a x b; a b m m

b) Intervalo abiertoEs un intervalo acotado en el cual no se consideran a los extremos finitos.

2º a, b R y m R–, se cumplen :a > b am < bm

a b

a > b m m

x a; b

a x b

a < x < b; a < b

3º a, b, c, d R+, se cumple :

a b c) Intervalo Semiabierto

Es un intervalo acotado, en el cual, uno

c d (x) a c b d

de los extremos es abierto y el otro es cerrado.

4º a, b R+ y n Z+, se cumple :

a > b a2n > b2n

x a;b

a x b

a x < b; a b a2n < b2n

6º a, b R, se verifican las relaciones :

a x b

x a;b a < x b; a < b

2. I nt e r valo n o A c ot ado Es aquel intervalo en el cual, por lo menos,

0 < a a } a < x < b

1

1

1

b x a

b) a;

c) ;b

a x

= { x R / x a }

a x

= { x R / x 0x b b

d) ;b = { x R / x b }

Si: a > 0, resulta

x a

luego, el intervalo solución

será: x b

ax b

;

x b

e) ; = { x R / – < x < +}

Si a < 0, resulta

luego, el intervalo solución

a

será: x ; b

ax

1. Resolver : 2x2 + x – 1 = 0

Por P1 : 2x2 + x – 1 = 0

(x + 1) (2x – 1) = 0

x – 4 = 1

x = 5

4. Resolver: 2x + 1 > 7

Por R2: 2x + 1 < – 7

2 d a . f o r ma : ax + b < 0

PROPIEDADES DE LA IGUALDAD

P1) a = 0 a = 0Si a > 0, resulta

x b

aluego, el intervalo solución

P2) a . b = a . b

será: x ; b

a

P3)a

| a|

;b | b |

b 0

Si a < 0, resulta

x b

aluego, el intervalo solución

P4) –a = aP5) Si b > 0 ; a = b a = b a = – b

será: x b

; a

Ej e mplo 1 :Resolver la inecuación :

PROPIEDADES DE LA DESIGUALDAD

R1) a 0 ; a R

R2) Si b > 0 ; a > b a < – b a > b

R3) Si b > 0 ; a 16x – 36

Efectuando: x > 9.

Luego el conjunto solución vendrá dado por el intervalo:

x 9;

Ej e mplo 2 :Calcular la suma de todos los valores naturales que verifican la inecuación :

2 x 1

3 x 5

4 x 3

x 1

3 4 5 2

Multiplicando miembro a miembro por 60, se tiene :

20 (2x + 1) + 15 (3x – 5) < 12 (4x – 3) + 30 (x + 1)

Efectuando, resulta : x < 7 ........ (a)

Nos piden, la suma de todos los naturales que verifican(a). Es decir :

x = – 1 x = 1/2

2. Resolver : 4x + 3 = 11

Por P5 : 4x + 3 = 11 4x + 3 = – 11

x = 2 x = –7/2

3. Resolver : x2 – 8x + 16 = 1

(x – 4)2 = 1

Por P5 : (x – 4)2 = 1

x – 4 = – 1

x = 3

2x + 1 > 7

x < – 4 x > 3

xi 1 2 3 4 5 6 6 (6 1)

212

x ; 4 3;

V A L O R ABS O L UT O

a R y n Z+, se define :

5. Resolver : 5x – 1 < 9

Por R3 : – 9 < 5x – 1 < 9

– 8 < 5x < 10

2

– 8/5 < x < 2

a S i a 0 8a2n | a |

0 S i a 0

Por lo tanto:

x – ; 25

– a S i a 0

5 x

1. Determinar el intervalo asociado a los gráficos:

a)–4 x 2

7. Determinar el intervalo de 2 six

a) –3<x<–1

b) – 6 x 2

b)3 x 10

Rpta.: ...........................................................

8. Resolver

3 x 1 2

c) 2 x 2 Rpta.: .........................................................

..

Rpta.: ...........................................................

2. Determinar el intervalo asociado a los gráficos

9.

Resolver:2 x 3

Rpta.: ...........................................................

a) 10.

Resolver: 4 x 3 0

b)–4 x

Rpta.: ...........................................................

11. Resolver:

2 x 3 4

c)x 5

Rpta.: ...........................................................Rpta.: ...........................................................

3. Resolver:

4x+1 5x+2

12. Resolver. 3 x 5 0

Rpta.: ...........................................................

4. Resolver

2 x 1 3 x 2

Rpta.: ...........................................................

13. Resolver

4 x 3 8

Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

5.

Resolver 3 x 1 2 x

3

14. Resolver:

2 x 3 2

Rpta.: ...........................................................

6. Determinar el intervalo de “1”

si:x

Rpta.: ...........................................................

15. Resolver:

a) 2<x<10b) 3<x<5

Rpta.: ...........................................................

3 x 2

2

Rpta.: ...........................................................

70 PASCUAL SACO OLIVEROS

16. Resolver:

4x+2 > 4 – 3x

19. Resolver 2 3 x 1

Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

17. Resolver: 2 x 3 1

20. Resolver.

3 x 2

2Rpta.: ...........................................................

18. Resolver:

3 x 1 3

2

Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

1.

Resolver: 4 x 3 2 3 x

4.

Resolver:2 3 x 2

A) x 7 B) x 7 A) x 0 x 4 / 3

C) x 1 / 7 D) x 1 / 7 B) x 0 x 4 / 3

C) x 4 / 3 x 0

2.

Resolver: –3x+1> 2x+3

D) x 4 / 3 x 0

A) x > 2/5 B) x < 2/5

C) x > -2/5 D) x < –2/55.

Resolver. 2 x 2

2

3.

Resolver:

A) 8 x 2

3 x 5 1 B) 8 x 10A) –1 < x < 1/3

B) –2 < x < –4/3

C) –2 < x < –1/3

D) –1< x < 1/6

C) 2 x 2D) 8 x 0

Compendio de Ciencias VIII-A TrigonometríaCAPÍTULO

2 3

OBJETIVOS

• Reconocer las desigualdades trigonométricas

• Aplicar los teoremas y propiedades de las desigualdades algebraicas a la R.T. seno.

MOTIVACIÓN


El político y militar francés Francois Viete (1540 - 1603) puede considerarse como el fundador del

Álgebra moderna. Introdujo la notación algebraica, con lo cual se consiguió que el Álgebra se

liberase definitivamente de las limitaciones impuestas por la Aritmética y se convirtiese en una

ciencia puramente simbólica. Además de trabajos escritos sobre Aritmética y Trigonometría, fue

autor del primer tratado de Álgebra propiamente dicho: Isagoge in artem analyticum. Dio también

las fórmulas para resolver las ecuaciones de sexto grado.

R A Z Ó N T R I G O NO M É T R I C A S E N O

Y

C.T.

(+ )

sen

X

sen

(–)

1 sen 1

Ejemplo:

En la C.T. verificar que sen 30º < sen 60º

Y

sen60º

sen30º

X

Luego: sen 30º < sen60º (Verdadero)

Trigonometría


1. Indicar en la C.T cual de las alternativas es mayor.

A) sen50º B) sen 80º C) sen120º D)

sen160º

Rpta.: ...........................................................

10. Si

1

2 se n 0; indicar el menor valor

de2

2 sen

2. Indicar en la C.T. cuál de las alternativas es menor

A) sen20º B) sen 60°

Rpta.: ...........................................................

1 2C) sen 200º E) sen 190º

11. Si: 1 2 sen

3 3

Rpta.: ...........................................................

3. Indicar en la C.T. cuál de las alternativas es mayor.

A) sen45º B) sen135º C)

sen200º D) sen300º

Rpta.: ...........................................................

4. Indicar en la C.T. cuál de las alternativas son correctas:A) sen50º > sen30º B) sen100º < sen10º C) sen30º > sen200º

Rpta.: ...........................................................

5. Indicar en la C.T. cuál de las alternativas son

determinar el intervalo de cos si es posible

Rpta.: ...........................................................

1 1 sen 312. Si

4 2 5determinar el intervalo de sen si es posible.

Rpta.: ...........................................................

1 1 1 113. Si: sen ; y sen

5 3 3 2Calcular el intervalo de: 2sen+3sen

Rpta.: ...........................................................

114. Si sen 1

correctas:A) sen120°>sen50° B) sen100°<sen200°

2Determinar el intervalo de:

1 sen 2

2

C) sen150°>sen20°

Rpta.: ...........................................................

6. Si: 1 sen 1 ; indicar el intervalo de: 3+sen

Rpta.: ...........................................................

7. Si 0 sen 1 ; indicar el intervalo de: 4 – 2sen

Rpta.: ...........................................................

1

sen


Trigonometría

SISTEMA HELICOIDAL

73

Rpta.: ...........................................................

15. Si sen 1 / 2Determinar el intervalo de:

1 2sen

2

Rpta.: ...........................................................

116. Si: sen 1 1 indicar el intervalo

de:3

2sen 18. Si 0 sen 1; indicar el intervalo de:

3

Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

9. Si 1 se n 0; indicar el intervalo de 1

s en

3

.2 2

17. Si

1 2sen 1

1;5

determinar el intervalo de

Rpta.: ...........................................................

1+sen

Rpta.: ...........................................................

18. Si: 1 se n 0; determinar el mínimo valor de:

1 2se n

20. Si x y z son independientes calcular el mínimo valor de:

Rpta.: ...........................................................

19. Si y son independientes calcular el máximo valor de 2sen+3sen–1

Rpta.: ...........................................................

1 4 se nx 3 cos z

Rpta.: ...........................................................


A) sen110º B) sen220º

4. Si 1 sen 1; indicar el intervalo de: 1

sen 22

C) sen150° D) sen300° A) 5 / 4; 2 B) 2; 4

2. Indicar en la C.T. cuál de las alternativas es correcta.

C) 1 / 5; 2 D) 1; 2

A) sen140º <

sen50º B)

sen120º <

sen30º C)

sen300º >

sen200º

D) sen200º > sen100º

15. Si sen 1 2

2

3indicar el intervalo de: sen 1

2

3. Si: 1 sen 0 indicar el intervalo de: 1–

2sen2

A) 7

; 1

4 2

7

; 1

B) 7

; 1

4 2

7 ;

1A) 1; 0 C) 1; 2

B) 1; 3D) 1; 2

C) 4 2

D) 4 5


Compendio de Ciencias VIII-A TrigonometríaCAPÍTULO

2 4

OBJETIVOS

• Reconocer las desigualdades trigonométricas.

• Aplicar los teoremas y propiedades de las desigualdades algebraicas a la R.T. Coseno.

MO T I VA C I Ó N

INTRODUCCIÓN HISTÓRICA:

El matemático alemán Riemann (1826 - 1866) extendió al espacio la idea de la curvatura y

construyó una geometría no euclidiana. En su tesis doctoral estudió la geometría de superficies

curvas y la geometría de espacios, cuya curvatura puede afectar al carácter de dicho Geometría.

Los trabajos de Riemann fueron muy útiles a Einstein para establecer la teoría de la relatividad.

R A Z Ó N T R I G ON O M É T R I C A C O S E N O :

EJEMPLO:

En la C.T. verificar que cos300° > cos150°

Y Y

cos 150°

()

X

cos

(+ )

co s co s

cos 150°

300°

X

cos 300°

1 co s 1

Luego: cos 300° > cos 150° (verdadero)

Trigonometría

1. Indicar en la C.T. cuál de las alternativas es mayor:

A) cos 50° B) cos 80° C) cos 120° D) cos 160°

Rpta.: ........................................................

9. Si: 1 co s 0 ; indicar el intervalo de:

1 co s

3

2 2

Rpta.: ........................................................

2. Indicar en la C.T. cuál de las alternativas es menor:

A) cos 20° B) cos 60°

10. Si: 2 co s 0 ; indicar el menor valor

de:2

C) cos 190° D) cos 200°

Rpta.: ........................................................

3. Indicar en la C.T. cuál de las alternativas

es mayor: A) cos 45° B) cos 135°C) cos 200° D) cos 300°

Rpta.: ........................................................

1 2 cos .

Rpta.: ........................................................

11. Si: 1 1 2 co s

2 ; indicar el

intervalo de3 3

co s

Rpta.: ........................................................

4. Indicar en la C.T. cuáles de las alternativas son

correctas:12. Si:

1

1 cos

3 ; indicar el intervalo

de:4 2 5

A) cos 50° > cos 30° B) cos 100° < cos 10° C) cos 30° > cos 200°

Rpta.: ........................................................

co s

Rpta.: ........................................................

13. Si: 1 cos

1 ; y 1

co s 1 .

Indicar el5 3 3 2

5. Indicar en la C.T. cuáles de las alternativas son

correctas:

A) cos 120° > cos 50° B) cos 100° < cos 200° C) cos 150° > cos 20°

intervalo de: 2 cos 3 co s

Rpta.: ........................................................

14. Si: 1 cos 1 ; indicar el intervalo de: 1

co s2 Rpta.: ........................................................

2 2

6. Si: 1 co s 1 ; indicar el intervalo de: 3 cos

Rpta.: ........................................................


Trigonometría

Rpta.: ........................................................ 15. Si: co s 1

; indicar el intervalo de: 1 2

co s

2 2

7. Si: 0 co s 1 ; i ndic ar e l in terv alo de:4 2 cos

Rpta.: ........................................................

Rpta.: ........................................................

1 co s 1 1

8. Si: 0 cos 1 ; indicar el intervalo de 1

cos 3

16. Si: 3

; indicar el intervalo de:

3 cos 1

Rpta.: ........................................................

Rpta.: ........................................................

A) [–1; 0] B) [1; 3]

C) [– 1; 2] D) [1; 2]

1


Trigonometría

17. Si:1 2 cos 1

15

; indicar el intervalo de:

19. Si: “” y “” son independientes, calcular el máximo

valor de: 2 sen 3 sen 1

1 sen

Rpta.: ........................................................

18. Si: 1 co s 0 ; indicar el mínimo valor de:

| 1 2 sen |

Rpta.: ........................................................

20. Si: “x” y “z” son independientes. Calcular

el mínimo valor de: | 1 4 cos x 3 cos z |

Rpta.: ........................................................

Rpta.: ........................................................


A) cos 110° B) cos 220° C) cos 150° D) cos 300°

2. Indicar en la C.T. cuál de las alternativas es

4. Si: 1 cos 1 ; indicar el intervalo de: 1

co s 2 2

A) 5 / 4 ; 2 B) 2 ; 4

incorrecta:A) cos 140° < cos 50° B) cos 120° < cos 30°

C) 1 / 5; 2

1

D) 1; 2

C) cos 300° > cos 200°

5. Si: co s 1 2 ; indicar el intervalo de:2

D) cos 200° > cos 100°

3. Si: 1 cos 0 ; indicar el intervalo

de:2

7 ;

1

3 cos

2

7 ; 1

1 2 sen A) 4 2

B) 4 2

7 ;

1 7

; 1

D) 4 2

D) 4 2

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