Trayectorias Ortogonales

Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales

Definicion

Son una familia de curvas de manera que intersecan a curvas dadas en ángulos rectos.

A las nuevas curvas se les llama trayectorias ortogonales de las curvas dadas.

Familia de Curvas

La solución general de una ecuación diferencial de primer orden contiene generalmente una constante arbitraria, llamada parámetro.

F(x, y, c) = 0

Cada una de estas curvas es solución de la ecuación diferencial dada y todas juntas constituyen la solución general.

Detrminacion de trayectorias ortogonales

Dada una familia de la forma de la ecuación, se encuentra su ecuación diferencial de la forma:

Se encuentran las trayectorias ortogonales resolviendo su ecuación diferencial:

En coordenadas polares

La familia de curvas en coordenadas polares tiene la forma:

Obtenemos la ecuación diferencial de la familia de curvas:

Continuacion

Y finalmente obtenemos la familia de trayectorias ortogonales resolviendo la ecuación diferencial:

Aplicaciones

Mapas de Meteorógicos

Las curvas representan isobaras las cuales son curvas que conectan todos los puntos que tienen la misma presión barométrica.

En vez de isobaras las curvas de la figura anterior podrían representar curvas isotérmicas.

En tal caso las trayectorias ortogonales representa la dirección general del flujo de calor.

Mapas de campo eléctrico

El concepto de campo eléctrico es un tanto elusivo debido a que ningún campo eléctrico puede verse directamente.

Para visualizarlos, las líneas de campo eléctrico son de gran ayuda y los hace parecer más reales.

El concepto de campo eléctrico es un tanto elusivo debido a que ningún campo eléctrico puede verse directamente.

Para visualizarlos, las líneas de campo eléctrico son de gran ayuda y los hace parecer más reales.

Las líneas de campo eléctrico muestran la dirección de E en cada punto, y su espaciamiento da una idea general de la magnitud de en cada punto.

En cualquier punto específico, el campo eléctrico tiene dirección única, en otras palabras, las líneas de campo nunca se cruzan.

A veces estos diagramas reciben el nombre de mapas de campo; son secciones transversales de los patrones reales en tres dimensiones.

En un campo eléctrico las líneas de fuerza son las trayectorias ortogonales de las líneas de equipotencial (curvas de voltaje constante).

Mapas de campo magnético

Cualquier campo magnético se representa usando líneas de campo magnético. La idea es la misma que para las líneas de campo eléctrico.