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Laboratorio II de Física CAPÍTULO 3RESPUESTA TRANSITORIA EN CIRCUITOS RLC

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CAPÍTULO 3 “RESPUESTA TRANSITORIA EN CIRCUITOS

RLC”

Marco Teórico

Consideremos el siguiente circuito RLC en serie, al cual se le aplica en t = 0 un

voltaje escalón de amplitud V A, como indica la Figura 3.1:

Para la polaridad indicada en la fuente de voltaje, la corriente y la carga en el

condensador tendrán la dirección y el signo indicados. Por lo tanto, se debe cumplir

que:dtdq

i = .

Un aumento en la corriente i produce una fuerza electromotriz inducida en la

bobina que se opone a dicho aumento, como indican los signos en la bobina.

Aplicando Kirchhoff: )t( VCq

Ridtdi

L =++ .

Sustituyendo la primera ecuación en la segunda obtenemos:

)t( VCq

dtdq

R dt

qdL

2

2

=++ .

Para resolver esta ecuación debemos encontrar la solución de la homogénea y

sumarle la de la no homogénea: Para la homogénea supondremos una solución de la

forma:st

h eK )t(q = , con la cual, al sustituirla en la ecuación diferencial, obtenemos para

s:

R

L Ci q

+

+

-

-

t = 0+ -

V(t)

0

V A

t V A

Figura 3.1 Circuito LRC y Función escalón a partir de t=0.




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0LC1

sLR

s2 =++ .

Esta ecuación de segundo grado nos proporciona dos soluciones para s:

21

2

2

2,1 LC1L4R L2R s ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±−= .

Es decir, la solución más general, si s1 ≠ s2, será:ts

2ts

1h21 eK eK )t(q += .

Para la función escalón de amplitud V A en t=0, la solución particular de la no

homogénea es una constante dada por: qn h = C V A, y la solución total es:

Ats

2ts

1 VCeK eK )t(q 21 ++= ,donde las constantes K 1 y K 2 se determinan a partir de las condiciones iniciales.

Para el oscilador subamortiguado, el cual estudiaremos en el laboratorio, por

definición se cumple que:

LC1

L4R

2

2

< , con lo cual los valores de s1 y s2 son complejos y la solución toma

entonces la forma:

At'i

2t'i

1t

VCeK eK e)t(q ++=ω−ωα−

,donde:

L2R 1

=τ

=α , y2

1

2

2

L4R

LC1

' ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=ω . Usando la formula de Euler-De Moivre:

θ±θ=θ± senicose i , la solución puede ser escrita:

( ) At VCt'sene A)t(q +φ+ω= α− ,

la cual identificamos como una sinusoidal de frecuencia ω’ cuya amplitud no es

constante sino que disminuye exponencialmente con un tiempo de relajación τ.

Nuevamente, las constantes A y φ dependerán de las condiciones iniciales.




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El voltaje en el condensador, dado por VC (t) = q(t) / C, lo podemos representar

gráficamente:

Definiremos el Factor de Calidad Q como el ángulo en radianes que la

componente oscilatoria del voltaje fluctúa cuando la energía decae desde algún valor

inicial hasta dicho valor dividido entre e. Como la energía es proporcional al cuadrado de

la amplitud, podemos escribir:

t

L

R

0 eEE

⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −

= ,El tiempo necesario para que la energía decaiga desde E0 hasta E0 e-1 esta dado

por τE = L/R, durante el cual el oscilador habrá oscilado ω’ L / R radianes, así:

R L'

Qω

= .

t1+2T’

A

t

0 Ve A +τ−

tt1+T’ t1

A1

A3

A5

V A

o

A2

t2

Figura 3.2 Oscilaciones amortiguadas alrededor de V A.




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Organizadores Previos.

Al conocer la respuesta de un sistema a los cambios bruscos de voltaje podemos

prevenir daños en equipos cuando se va la luz o cuando regresa.

Al detectar la presencia de manchas solares que producen explosiones de

partículas, los satélites se apagan temporalmente mientras pasa la tormenta solar. Estas

tormentas solares también inducen voltajes en las líneas de transmisión de las centrales

de energía eléctrica en tierra, produciendo apagones.

Al analizar la Transformada de Fourier de un escalón de voltaje encontramos que

el escalón contiene todas las frecuencias, por esto, conocer la respuesta al escalón

unitario permite indirectamente conocer la respuesta del sistema a cualquier entrada.

Pre-Laboratorio

1. Elabore un Mapa Conceptual de los temas tratados en esta práctica para ser

evaluado como parte del quiz inicial.

2. Elabore un Mapa Mental del procedimiento experimental de esta práctica para

ser evaluado como parte del quiz inicial.

3. Efectúe en detalle todas las operaciones y cálculos que quedaron planteados en

el marco teórico.

4. ¿Qué son oscilaciones subamortiguadas?

5. ¿Cuál relación cumplen los componentes de un circuito LRC subamortiguado?

6. ¿Cómo se relaciona el tiempo de relajación de la amplitud con el tiempo de

relajación de la energía?

7. ¿Qué es el Factor de Calidad?

8. ¿Qué tipo de gráfico debe resultar al dibujar las amplitudes en función del

tiempo en un papel semi-logarítmico?




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9. Demuestre que el voltaje en la resistencia oscila

alrededor de cero.tdqd

R VR =




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Procedimiento Experimental

Sección:

Fecha:

Integrantes:

Objetivos:

Analizar la respuesta de un circuito RLC al escalón de voltaje.

Obtener los valores característicos del circuito a partir de su respuesta al escalónunitario.

Actividad Nº 1. Foro Dirigido.

Utilice los quince primeros minutos de la práctica para efectuar un foro con sus

compañeros relacionado con las actividades a ejecutar en la práctica. Al finalizar el foro

las intervenciones serán evaluadas por el profesor (40%) y coevaluadas por el grupo

(40%), el 20% restante del quiz será la nota de los mapas conceptual y mental. No se

permitirá el acceso al foro una vez empezado el mismo. Los alumnos que no participen

del foro no tendrán nota en el quiz.

Actividad Nº 2. Respuesta al escalón del voltaje en el condensador.

Monte el siguiente circuito, usando el generador de onda cuadrada a una

frecuencia de 200 Hz y L = 0,044 H ( n = 1000 ), R = 200 Ω, C = 0,1 μ F:

R LC

VC V0




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Manteniendo la amplitud de la entrada (V0) en 1 VPP, mida el valor de V A de las

figuras 3.1 y 3.2, que corresponde con t = ∞.

V A [V]

Rellene la siguiente tabla midiendo cuidadosamente los máximos y mínimos de

las amplitudes Ai y los tiempos en los cuales se obtienen dichos máximos/mínimos.

Si las Amplitudes se miden desde el centro de las oscilaciones, no es necesario

restar el valor de V A en la segunda fila:

punto 1 2 3 4 5 6 7

Amplitud

[divisiones]

Ai - V A

[V]

Tiempo

[divisiones]

Tiempo[ms]

Grafique en el siguiente papel semilogarítmico los valores absolutos de las

amplitudes máximas menos V A en función del tiempo:




59

1

1,5

2

3

4

5

6

7

8

10

9

15

20

30




60

Actividad Nº 3. Parámetros del circuito.

A partir de la pendiente calcule el tiempo de relajación τ. Tome en cuenta que la

pendiente debe ser calculada con logaritmos naturales ( base e ).

τ [s]

A partir de τ calcule el valor de R/L:

R/L [Ω /H]

Mida con el ohmímetro el valor de R incluyendo la resistencia de la bobina.

Siempre verifique que la fuente no esta conectada con el circuito, para que el voltaje de

la fuente no interfiera con el voltaje de la batería interna que usa el ohmímetro, o que lafuente no presente otro camino en paralelo con la resistencia:

R [Ω]

Calcule el valor de L:

L [H]

Mida el valor del periodo de oscilación T’ y a partir de este calcule ω’:

T’ [s]ω’ [rad/s]

Calcule el valor de C:

C [μF]

Calcule el valor de Q:

Q

Actividad Nº 4. Respuesta al escalón del voltaje en la resistencia.

Ajuste el barrido para ver varios periodos de la onda cuadrada y luego observe en

el osciloscopio el voltaje VR . Como el término constante de la solución no homogénea

desaparece, la oscilación es alrededor del cero. Cambie la posición del canal del




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osciloscopio y verifíquelo. Como la tierra del osciloscopio es la misma del generador,

deberá modificar el circuito.

Modifique el circuito de la actividad Nº 2 para medir el voltaje VR Haga un

esquema del circuito modificado.

Haga un dibujo de la señal en la resistencia observada:

X

[divisiones]

Y [divisiones]




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Escriba las conclusiones generales de la práctica:




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Cierre Cognitivo

Elabore una lista de los conceptos y/o palabras claves más importantes de la

práctica:

Indique como cree que puede mejorarse el texto, los experimentos, la evaluación

o cualquier otro aspecto relacionado con el aprendizaje de la práctica (opcional):




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