Transiciones de fase y ruptura de simetr´ıa en el modelo...

Transiciones de fase y ruptura de simetrıa

en el modelo de Dicke

Ricardo Puebla Antunes

[email protected]

Directores:

Armando Relano Perez

Joaquın Retamosa Granado

26 de septiembre de 2012

Indice general

1. Introduccion 5

2. Caracterizacion del sistema 9

2.1. Metodo Exacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2. Metodo variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1. Funcion de onda coherente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2. Energıa variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3. Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4. Parametros de orden y observables del estado fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4.1. Energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.2. Momento angular ~J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.3. Entropıa de la informacion y numero de componentes principales . . . . . . . . . . 222.4.4. Paridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. Fases y degeneracion de estados 29

3.1. Energıa crıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1.1. Energıa crıtica como ESQPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2. Energıa crıtica semiclasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3. Diagrama de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4. Quenches y evolucion temporal 39

4.1. Introduccion de la quench . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2. Eleccion de observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3. Condicion inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.4. Evolucion temporal de los observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5. Conclusiones 51

A. Calculo de operadores en el estado coherente y energıa semiclasica 55

B. Puntos crıticos en la superficie de energıa 59

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4 INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Introduccion

En los ultimos anos se ha producido un rapido desarrollo de nuevas tecnicas experimentales quepermiten controlar y trabajar en laboratorios con sistemas mesoscopicos. Esto ha supuesto un granavance en el estudio de sistemas de muchos cuerpos en el marco de la fısica cuantica, many-body quantumsystems. Razon por la cual, el interes sobre ciertos fenomemos y modelos ha aumentado notablemente. Deesta forma, las transiciones de fase cuanticas (QPTs) o la dinamica de no equilibrio se han convertido enun tema de interes en muchas ramas de la fısica moderna, tanto teorica como experimental. Uno de estosmodelos que ha experimentado un creciente interes, es el conocido como modelo de Dicke, denomindadoası en honor a R. Dicke, quien lo formulo en 1954 [1]. Por su naturaleza, se ha convertido en un fructıferotema de investigacion y de gran riqueza fısica.

Brevemente, comentaremos que el modelo de Dicke describe la interaccion de un conjunto finito deatomos, de dos niveles, con un modo simple electromagnetico, siendo fundamental el papel que juega elparametro de acoplo radiacion-materia. Una descripcion mas completa se encuentra en el capıtulo 2.

Este pertenece a los modelos algebraicos, como tambien lo son los modelos conocidos como IBM(Interacting Boson Model), Lipkin y Jaynes-Cummings entre otros [2]. En concreto, tanto el modelode Jaynes-Cummings y el de Dicke estan compuestos por dos subsistemas interactuantes. Uno de ellosconsiste en un modo simple bosonico, single bosonic mode, representado por los operadores de creacion ydestruccion, a y a†, y por tanto, descrito por un algebra de Heisenberg-Weyl, HW(1). El otro subsistema

esta representado por los operadores de pseudo-spin ~J = (Jx, Jy, Jz), que cumplen las relaciones deconmutacion del algebra de SU(2). De esta forma, el espacio de Hilbert de estos modelos sera un productotensorial de ambos subsistemas, H = H1⊗H2, donde H1 es el espacio de HW(1) y H2 el asociado a una delas representaciones irreducibles del grupo SU(2). En general, el Hamiltoniano de los modelos algebraicosse construye mediante operadores pertenecientes al algebra de los grupos que caracterizan el sistema, yademas, y no menos importante, existe una equivalencia entre los lımites termodinamico, N → ∞, yclasico (o semiclasico), ~ → 0, [2].

Debido a que comparten estructura, la fenomenologıa del modelo estudiado en el presente trabajosera muy similar al IBM o al Lipkin, y podrıa ser objeto de futuros trabajos ampliar los estudios y sometera analisis otros modelos de forma similar a como procederemos en el modelo de Dicke, puesto que por sermodelos algebraicos, la fenomenologıa sera semejante. Por ejemplo, la conexion entre el modelo de Lipkiny el de Dicke queda patente en [3, 4]. Por otra parte, recientemente se han llevado a cabo realizacionesexperimentales del modelo de Dicke, como [5–7]. Uno de los principales objetivos del presente trabajoreside en establecer un vınculo entre teorıa y experimento. Si bien el trabajo desarrollado es puramenteteorico, los resultados novedosos que presentamos podrıan ser medidos en un montaje experimental similaral que disponen en [5]. Esta conexion experimental no esta tan clara en los otros modelos similares queya hemos mencionado, como el IBM. En un posible experimento, encontrarıamos que la naturaleza de losparametros del IBM es discreta, ya que los valores quedan fijados por cada nucleo sometido a estudio.

Antes de continuar, conviene definir y aclarar el concepto de transicion de fase cuantica ya que

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6 CAPITULO 1. INTRODUCCION

desempena un papel fundamental en el modelo que vamos a tratar y es imprescindible para la compresiondel trabajo. Clasicamente, se denomina transicion de fase al cambio que ocurre en un sistema cuandola energıa libre de Gibbs no es analıtica, esto es, una de sus derivadas es discontinua. El orden de latransicion corresponde al menor orden de la derivada que posea un salto finito.

Atendiendo a la descripcion cuantica, y evidentemente, en analogıa a la descripcion clasica, en [8]se define que una transicion de fase cuantica (QPT) como el comportamiento no analıtico de la energıadel estado fundamental en alguna de sus derivadas respecto al parametro o parametros que gobiernanel sistema. El orden que se asigna a la transicion de fase es analogo al clasico. Dicha definicion puedeser ampliada para abarcar este comportamiento en otras magnitudes y no necesariamente en el estadofundamental. De esta forma podemos definir las transiciones de fase cuanticas en estados excitados (ES-QPT) como una QPT que tiene lugar en un cierto estado excitado. Sin emabargo estas transiciones enestados excitados no han sido tan estudiadas como las que ocurren el estado fundamental. Aunque lacaracterizacion del orden de la ESQPT no es universal, existen formas de asignar un orden a la transi-cion. Una de ellas consiste en analizar la funcion N(E), numero de estados entre las energıas −∞ y E,

y por tanto se relaciona con la densidad de estados ρ(E) como N(E) =∫ E

−∞ dEρ(E). Por ejemplo, siexiste una discontinuidad en ρ(E) entonces la transicion es de primer orden. El punto crıtico en el cual seproduce la transicion puede ser entendido como frontera entre dos fases con caracterısticas diferentes, yesta presente tambien en los diferentes obervables que serviran como parametros de orden del sistema. Deesta forma, dotamos a la transicion de fase de un sentido fısico. Ambas constituyen la base para detectaruna transicion de fase cuantica.

Una de las propiedades mas conocidas del modelo de Dicke, es la presencia de una transicion de fasecuantica (QPT) de segundo orden en el estado fundamental en el lımite termodinamico, que coincidecon el lımite clasico, por tratarse de un modelo algebraico como ya hemos comentado. Dicha transicionde fase separa el estado fundamental en dos fases. Sea λc el valor del parametro de acoplo en que tienelugar la transicion, definimos la fase normal como la region del estado fundamental para λ < λc. Mientrasque la fase para λ > λc se denomina fase superradiante. En esta ocurre un cambio fısico notable, comolo es una poblacion macroscopica de los niveles superiores de los atomos [9]. El interes que suscito estatransicion de fase se refleja en el gran numero de trabajos que han sido publicados, sin embargo, en elpresente trabajo nos centramos en las ESQPTs y en sus consecuencias dinamicas, que constituyen unestudio novedoso. Para poder estudiar el sistema por completo es necesario obtener el correspondientediagrama de fases. Posteriormente, encontraremos por primera vez dos fases diferentes a ambos ladosde la frontera o energıa crıtica y exploraremos consecuencias de la superradiancia en estado excitados,mediante el estudio de la dinamica o evolucion temporal de cierto observables.

Ademas del interes del estudio de dichas fases, debemos comentar el no-go theorem que fue formuladoen la dedaca entre los anos 1970 y 1980, [10], que afirma que la transicion de fase superradiante no puedeocurrir en un sistema compuesto por atomos o moleculas interactuando con un numero finito de modosde radiacion en la aproximacion dipolar. Sin embargo, no esta claro si dicho teorema prohibe la transicionde fase superradiante en otras realizaciones del modelo de Dicke, como en los circuitos superconductores.Estos montajes se conocen como circuitos QED que consisten, grosso modo, en sustituir los atomos realespor guıas de onda resonantes y superconductores que se comportan como los primeros [11]. Otra posiblerealizacion del modelo de Dicke se consigue mediante cavidades opticas y la utilizacion de atomos comoun condensado de Bose-Einstein acoplado a un campo electromagnetico, usualmente, conseguido por unlaser, [5]. Una de las consecuencias de los resultados que presentamos reside en la posibilidad de acotar elno-go theorem en diversos sistemas, ya que, a partir de los resultados, en un montaje experimental se puedecomprobar si el sistema real contiene trazas de esa transicion superradiante, sin medirla directamente.

El presente trabajo esta estructurado de la siguiente manera: Primero, en el capıtulo 2, estableceremoslas bases fısicas del sistema, definiendo el Hamiltoniano, explicando cual ha sido el procedimiento utiliza-do y arrojando resultados tanto de forma numerica o exacta como desde el punto de vista semiclasico.Identificaremos el punto crıtico de la QPT del estado fundamental en diferentes observables comparandoambos metodos. A pesar de que esta parte haya sido exhaustivamente estudiada en multiples trabajos, co-mo ya hemos mencionado, presentamos resultados que no habıan sido calculados anteriormente y ademas,

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incluir esta seccion, refleja no solo la intencion de seguir una lınea natural de trabajo sino tambien la deofrecer un punto de partida conocido con el objetivo de que los resultados mas novedosos sean entendi-dos y queden bien justificados. Aprovechamos tambien para comprobar la concordancia entre resultadosconocidos y los obtenidos en diferentes trabajos. Posteriormente, en el capıtulo 3, nos centraremos en unade las propiedades que posee el sistema, la paridad, pero ampliado a estados excitados y que sera de granimportancia para deducir un diagrama de fases en el espectro entero. No obstante, trabajos como [2], noshan servido de soporte en nuestros resultados. De esta forma, en este tercer capıtulo generalizamos la QPTpara estados excitados ofreciendo un diagrama de fases del sistema de forma numerica y apoyado por elmetodo variacional. Abandonando la caracterizacion estatica del sistema, en el capıtulo 4, procedemosa analizar las dramaticas implicaciones que dicho diagrama de fases producirıa en medidas experimen-tales de observables, proponiendo un metodo consistente a raız de [5]. Las consecuencias dinamicas delas ESQPTs son mas facilmente medibles que las propiedades estaticas del espectro, y por tanto, traspequenas modificaciones en el experimento [5], se podrıan explorar estas ESQPTs. Como prediccion delas posible medidas, simularemos la dinamica de cierto observables y extraeremos la informacion fısicasobre las fases del espectro.

8 CAPITULO 1. INTRODUCCION

Capıtulo 2

Caracterizacion del sistema

El sistema que someteremos a estudio, como ya hemos mencionado, describe la interaccion entre unconjunto de N atomos que constan de dos niveles que interaccionan con un modo simple electromagnetico,donde la costante de acoplo λ determina la intensidad de la interaccion, y es el parametro que gobiernael sistema. Trabajaremos con un algebra de momento angular para describir nuestro conjunto de Natomos, que obedece un algebra de SU(2). Cada atomo consta de dos niveles, y por esta razon, podemos

asociarlo a un pseudo-spin 1/2. De esta forma, utilizaremos el operador momento angular, ~J = (Jx, Jy, Jz)para caracterizar la configuracion atomica del sistema. Cabe destacar que el valor maximo del momentoangular sera |J |max = N/2, que a lo largo del trabajo denominaremos simplemente J . Por otra parte,los fotones constituyen el campo electromagnetico, y este esta representado por los operadores creaciony destruccion fotonicos, a y a†. Por ultimo, las constantes ω y ω0 representan la frecuencia del modoy de transicion respectivamente, o lo que es lo mismo, considerando que ~ = 1, ω y ω0 representan ladiferencia energetica entre los dos estados de un atomo y la energıa de los fotones del campo. Finalmente,podemos escribir el Hamiltoniano del modelo de Dicke de la siguiente forma

H = ω0Jz + ωa†a+2λ√N

(

a† + a)

Jx, (2.1)

La interaccion que describe este Hamiltoniano puede entenderse, de forma esquematica, por el diagrama

Figura 2.1: Representacion esquematica de la interaccion del campo electromagnetico sobre un conjuntode atomos de dos niveles. El campo esta caracterizado por la frencuencia ω y la distancia entre nivelespor ω0.

de niveles de la figura 2.1 de [2]. La figura representa atomos como cırculos verdes y los fotones comocırculos azules. Cada atomo puede encontrarse en uno de los dos niveles, superior o inferior.

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10 CAPITULO 2. CARACTERIZACION DEL SISTEMA

En los resultados numericos, consideramos que tanto ω como ω0 son iguales a la unidad. Nuestrosistema dependera del parametro de acoplamiento λ, y queda completamente caracterizado tan solo porel numero de atomos considerado N puesto que el numero de fotones es ilimitado. Hay que senalar que

la paridad del sistema Π = eiπ(J+Jz+a†a) es una cantidad conservada, esto es, se cumple que [H,Π] = 0.Esta simetrıa de paridad esta determinada por la invariancia de H bajo la transformacion de Jx → −Jxy a → −a, [12], y como veremos mas adelante, tras el punto crıtico se rompe de forma espontanea. Laparidad nos permite etiquetar los autoestados con paridad positiva o negativa. Por ultimo, senalar que laparidad del estado fundamental de un sistema formado por N atomos esta dada por eiJπ, siendo J = N/2.

2.1. Metodo Exacto

Llamamos metodo exacto o numerico a la resolucion del problema de autovalores, HΨi = EiΨi.Trabajaremos sobre una base de estados de Fock, compuesta de parte atomica y fotonica, |J,mJ ;nb〉. Lalongitud maxima del pseudo-spin colectivo es J = N/2, siendo el individual como ya hemos visto iguala 1/2. Obtenemos asi 2J + 1 posibles valores para la proyeccion mJ . Cuando mJ = −J , cada atomose encuentra en su nivel inferior, mientras que una poblacion maxima del nivel superior da lugar unaproyeccion mJ = J . Mientras tanto, la parte fotonica queda representada por el numero de fotones nb,partiendo desde el estado vacıo, nb = 0. El numero de fotones en el modelo de Dicke no esta acotado. Sinembargo, para poder trabajar con el sistema debemos truncar la base, puesto que no podemos considerarun ilimitado numero de fotones. Esto supone la primera dificultad tecnica, debido a que es preciso uncutoff, es decir, establecer un valor maximo de fotones para los calculos. Esta primera aproximacion nosobliga a comprobar la convergencia de nuestros resultados. El criterio de convergencia utilizado consisteen comprobar que si valor del observable considerado no varıa mas de un 1% si aumentamos en un 10%el numero de fotones. Si no se cumple esta condicion no es valido el resultado. Este es el requisito queexigimos por haber truncado el espacio de Hilbert, no obstante, aparquemos el concepto de convergencia yempecemos a fijar las bases del sistema. Volveremos sobre este punto en el metodo variacional ofrenciendouna estimacion sobre el valor de dicho cutoff.

En el metodo exacto trataremos sistemas finitos, es decir, sistemas con un numero N determinadode atomos, que en general sera pequeno comparado con posibles realizaciones experimentales, en cuyosmontajes manejan muestran mesoscopicas de atomos [5, 6]. Nuestro estudio se extiende hasta N ≃ 50en la caracterizacion del sistema, siendo una excepcion el calculo del estado fundamental con N = 100atomos. No obstante, cuando simulemos la dinamica del sistema, no conseguiremos superar un numeroN ≃ 20 atomos. La principal razon de esta limitacion se debe al tiempo necesario, tanto en diagonalizary encontrar autovalores y/o autovectores como, para la dinamica, en el calculo de la matriz de cambiode base como veremos en el capıtulo 4.

Como ya hemos mencionado, nuestra base es |J,mJ ;nb〉 que cumple las propiedades de ortonormali-dad. En ella se recoge la informacion de cual es el nivel ocupado por lo atomos y del numero de fotones,por tanto, la dimension es D = (2J + 1)(ncutoff

b + 1). De esta forma podemos empezar por escribir laaccion de cada uno de los distintos operadores presentes en el Hamiltoniano (2.1) sobre nuestra base:

Jz |J,mJ ;nb〉 = mJ |J,mJ ;nb〉 (2.2)

a†a |J,mJ ;nb〉 = nb |J,mJ ;nb〉 (2.3)

El operador Jx puede expresarse como Jx =(

J++J−

2

)

, y de esta forma podemos separar en cuatro partes

el ultimo termino de (2.1), obteniendo diferentes combinaciones que resultan

a†J+ |J,mJ ;nb〉 =√

(nb + 1) (N/2−mJ ) (N/2 +mJ + 1) |J,mJ + 1;nb + 1〉 (2.4)

a†J− |J,mJ ;nb〉 =√

(nb + 1) (N/2 +mJ) (N/2−mJ + 1) |J,mJ − 1;nb + 1〉 (2.5)

aJ+ |J,mJ ;nb〉 =√

nb (N/2−mJ ) (N/2 +mJ + 1) |J,mJ + 1;nb − 1〉 (2.6)

2.1. METODO EXACTO 11

aJ− |J,mJ ;nb〉 =√

nb (N/2 +mJ) (N/2−mJ + 1) |J,mJ − 1;nb − 1〉 (2.7)

Calculando los elementos de matriz 〈J,m′J ;n

′b| H |J,mJ ;nb〉, encontramos la representacion matricial

en la base de estados o de Fock del Hamiltoniano:

〈J,m′J ;n

′b| H |J,mJ ;nb〉 =(ω0mJ + ωnb) δn′

b,nbδm′

J,mJ

+

+2λ√N

[

√

(nb + 1) (N/2−mJ) (N/2 +mJ + 1) δn′b,nb+1δm′

J,mJ+1+

+√

(nb + 1) (N/2 +mJ) (N/2−mJ + 1) δn′b,nb+1δm′

J,mJ−1+

+√

nb (N/2−mJ) (N/2 +mJ + 1) δn′b,nb−1δm′

J,mJ+1+

+√

nb (N/2 +mJ) (N/2−mJ + 1) δn′b,nb−1δm′

J,mJ−1

]

Como vemos de la anterior ecuacion, el primer termino es diagonal en la base elegida mientras que elresto dan lugar a elementos fuera de la diagonal. La primera caracterıstica, y en la que profundizaremosmas adelante, es que para λ = 0 la matriz es completamente diagonal, siendo los propios estados de labase los autoestados. Es importante senalar que, al tratarse de un sistema fısico en un espacio de Hilbertde dimension finita y siendo H un operador hermıtico, la matriz es autoadjunta y ademas simetrica alser los coeficientes reales. Esto reducira el tiempo de computacion. Una vez construida la representacionmatricial del Hamiltoniano, podemos realizar una diagonalizacion para obtener tanto sus autovalores(espectro de energıa) como sus autoestados. Para poder estudiar el sistema en funcion del parametro λ,este procedimiento se repetira tantas veces como sea necesario, para cubrir un cierto intervalo de λ’s. Poresta razon, debemos discretizar λ en una serie de pasos o bines. En el presente trabajo se han considerado2000 pasos para cubrir el intervalo deseado. En los calculos que vamos a realizar, los autoestados queobtenemos los denominamos como {Ψi(λ)}, esto es, el conjunto de autoestados de H(λ), y cumpliran lassiguientes propiedades:

El conjunto de {Ψi(λ)} de dimension D = (2J +1)(ncutoffb +1) formara una base ortonormal para

cada valor de λ, de tal forma que〈Ψj(λ)| Ψi(λ)〉 = δi,j (2.8)

Cada autoestado se puede desarrollar en la base de Fock como una combinacion lineal. Esto es,

|Ψi(λ)〉 =D∑

j

Cji (λ) |J,mJ ;nb〉j (2.9)

Cada autoestado tiene asociado un autovalor, que corresponde con la energıa, tal que

H(λ) |Ψi(λ)〉 = Ei(λ) |Ψi(λ)〉 (2.10)

Los coeficientes C(λ)ji del desarrollo de la ecuacion (2.9) nos permiten calcular el valor esperado deun operador O si sabemos como actua este sobre la base de Fock. La expresion general puede escribirsecomo

〈Ψj(λ)| O |Ψi(λ)〉 =D∑

l,k

[

Clj(λ)

]†Ck

i (λ) l 〈J,mJ ;nb| O |J,mJ ;nb〉k (2.11)

Esto resulta crucial para caracterizar el sistema y estudiar sus propiedades de forma exacta.El metodo exacto consiste en contruir la representacion del Hamiltoniano en la base de Fock y di-

agonalizarla utilizando programas de calculo numerico para obtener tanto los autoestados como los au-tovalores y los coeficientes Cj

i (λ) variando el valor del parametro λ. Los programas de calculo han sidodesarrollados en lenguaje FORTRAN y se han utilizado rutinas de LAPACK, NAG y BLAS para ladiagonalizacion de las matrices.


Por ultimo, es importante introducir el concepto del escalado por tamano finito. Esto se refiere alcomportamiento que presentan los puntos crıticos u observables debido a considerar un sistema con untamano finito, lo que es necesario para poder tratarlo de forma exacta. Consecuencia de ello es que losvalores calculados para un sistema finito tenderan a los obtenidos en el lımite termodinamico o semiclasicocomo una ley de potencias:

∣

∣

∣〈O〉N − 〈O〉∞

∣

∣

∣∝ N−α (2.12)

siendo 〈O〉N un cierto valor de un parametro u observable obtenido en un sistema de N atomos, mientrasque 〈O〉∞ es el resultado de esa misma cantidad en el lımite termodinamico. La ecuacion (2.12) es conocidacomo la ley de potencias o de escalado finito. En ella observamos, que la diferencia entre ambas cantidadesdecrece de forma proporcional a una potencia del tamano del sistema, N−α, donde α es un numero realy positivo. Esta caracterıstica del los sitemas finitos estara muy presente a lo largo del trabajo, y lautilizaremos para inferir cual es el comportamiento de, por ejemplo, los puntos crıticos finitos λNc , en ellımite termodinamico.

2.2. Metodo variacional

Antes de presentar resultados y analizar e identificar la transicion de fase en el sistema, debemosintroducir el metodo variacional. Este metodo consiste en proponer una funcion de onda coherente de lacual extraeremos una cota superior a la energıa del estado fundamental del sistema. Dicha cota sera exactaen el lımite termodinamico, es decir, cuando el numero de atomos tienda a infinito,N → ∞. Los resultadosque se obtienen mediante este tratamiento pueden ampliarse a estados excitados, [13], y serviran desoporte a los calculos exactos. Para empezar debemos definir una funcion de onda prueba con la quetrabajaremos en el contexto semiclasico.

2.2.1. Funcion de onda coherente

Para trabajar en de forma semiclasica, necesitamos postular una funcion de onda coherente, quepermita describir los estados del sistema mediante un conjunto de parametros. Estas funciones de ondacoherente tienen su origen en los estados coherentes del oscilador armonico, formuladas por R. J. Glauber.Los estados coherentes son estados cuanticos de incertidumbre mınima que evolucionan siguiendo elmovimiento clasico del oscilador armonico. Si se cumple que el Hamiltoniano que describe el sistema eslineal en los operadores a†a, a y a†, y el estado inicial es un estado coherente, este evoluciona en el tiemposin deformarse y siguiendo una trayectoria clasica. Por este motivo, se denominan a estos estado comosemiclasicos. Como consecuencia, estas funciones de onda constituyen la mejor opcion para conectar lamecanica cuantica con la clasica. La parte de SU(2), correspondiente al algebra atomica, puede expresarsetambien en terminos de operadores bosonicos mediante una transformacion [2], siendo posible construirasi una funcion de onda coherente atomica de forma analoga a la fotonica. Puesto que nuestro sistemaesta compuesto por dos partes bien diferenciadas es razonable suponer una funcion de onda que factoriceambos espacios, como subfunciones de onda coherentes atomica y fotonica. Dicha funcion dependera dedos parametros, uno para cada parte. Introducimos el Ansatz de funcion de onda coherente

|µ, ν〉 = |µ〉 ⊗ |ν〉 µ, ν ∈ R (2.13)

donde µ y ν son los parametros asociados a la funcion de onda atomica y fotonica respectivamente. Laeleccion de estos parametros como numeros reales es suficiente para poder describir un estado coherenteque de lugar a una energıa mınima, que correspondera, en el lımite termodinamico, a la energıa del estadofundamental exacto. Sin embargo, no podremos realizar un estudio de trayectorias fasicas al no poseermomentos conjugados. De hecho, al elegir µ, ν ∈ R, estamos considerando un momento p = 0, ya que pordefinicion el momento canonico asociado a a y a† es p ∝ i

(

a† − a)

. Como el valor esperado de p no puedeser complejo, el valor del observable a† − a debe ser imaginario puro o cero. Al seleccionar µ y ν reales,

2.2. METODO VARIACIONAL 13

no podemos obtener valores complejos de los operadores sobre el estado coherente, luego el momento hade ser nulo. Esto se reflejara en la evolucion de los observables a y a† en el capıtulo 4. La funcion de ondacoherente puede escribirse finalmente de la siguiente forma

|µ, ν〉 =[

(

1 + µ2)−J

eµJ+ |J,mJ = −J〉]

⊗[

e−ν2

2 eνa† |nb = 0〉

]

(2.14)

Estas funciones de onda recorren el espacio de Hilbert de forma continua, y no forman un conjuntoortogonal pero sı una base. El conjunto de estados coherentes es sobrecompleto, lo que implica que sepueda desarrollar un estado en sobre del resto de la base. La no ortogonalidad tiene como consecuenciaque la resolucion de la identidad en termino de ellos no sea unica. No entraremos en mas detalle, unaanalisis mas profundo sobre estado coherentes se puede encontrar en [14].

El estado de coherente no posee una paridad definida, es decir, no esta proyectado en paridad, quecomo veremos mas adelante, nos sera de ayuda para describir el estado fundamental tras el punto crıtico.

2.2.2. Energıa variacional

Para calcular el valor de la energıa que proporciona la funcion de onda coherente procedemos de formausual, 〈µ, ν| H(λ) |µ, ν〉, y obtenemos la siguiente expresion:

Evar(µ, ν;λ) = 〈µ, ν| H(λ) |µ, ν〉 = ω0J

(

µ2 − 1

µ2 + 1

)

+ ων2 + λ√2J

[

4µν

µ2 + 1

]

(2.15)

Esta ecuacion es la que interpretaremos como una superficie de energıa en el siguiente capıtulo. Sinembargo, de momento la ecuacion (2.15) no representa la energıa del estado fundamental en el lımite ter-modinamico. Debemos minimizarla respecto a los parametros µ y ν en funcion de λ, esto es, encontrar lospuntos (µ, ν) que hagan mınima la energıa (2.15). Al tratarse de una superficie los puntos crıticos puedenser mınimos, maximos o puntos de silla. Puesto que la intencion del trabajo reside en la importanciafısica de los resultados, omito de forma explıcita los desarrollos matematicos intermedios mas pesados enlos capıtulos como lo son la deduccion tanto de la energıa variacional como los puntos crıticos de ella.Ası pues, en los apendices A y B se presentan los calculos de la energıa variacional y de sus puntos crıticosrespectivamente. Como resultado de los calculos conseguimos los diferentes pares de valores (µ, ν) queminimizan la energıa:

(µ, ν)min =

(0, 0) λ < λc(

±√

λ2−λ2c

λ2+λ2c, ∓

√2Jω

√λ4−λ4

c

λ

)

λ > λc(2.16)

donde λc =√ωω0/2 representa el valor crıtico del parametro λ en el cual se produce la transicion de fase

cuantica en el estado fundamental. Este valor emerge de forma natural, y se manifestara en los diferentesobservables que calcularemos posteriormente. No obstante, hemos de tener en cuenta que dicho valor esexacto en el lımite termodinamico, cuando J → ∞ o N → ∞.

Sustituyendo los valores de la ecuacion (2.16) en la expresion (2.15) de la energıa variacional obtenemosla energıa del estado fundamental en el lımite termodinamico o semiclasico. Para posteriores compara-ciones con el metodo exacto, en el cual trabajaremos con un numero finito de partıculas, es convenienteexpresar la energıa normalizada entre la longitud del pseudo-spin, E(λ)/J . De esta forma, llegamos a lasiguiente ecuacion:

Eminvar (λ)

J=

{

−ω0 λ < λc

−ω0λ2c

λ2 − 2ω

λ4−λ4c

λ2 λ > λc(2.17)

Podemos observar facilmente que la energıa es continua y derivable para λ = λc, puesto que su primeraderivadaE′(λ) = ∂E(λ)/∂λ es continua ∀λ. Sin embargo, la segunda derivada presenta una discontinuidaden λc. Por esta razon, la QPT que presenta el modelo de Dicke es de segundo orden. Esto se puedeobservar en la figura 2.2, donde representamos la energıa obtenida para el estado fundamental en ellımite termodinamico junto con sus dos primeras derivadas.


-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

0 0.5 1 1.5 2

E/J

, E

’/J,

E’’/J

λ

Evarmin

(λ)/JFirst Derivative

Second Derivative

Figura 2.2: Representacion de la energıa variacional del estado fundamental y sus dos primeras derivadasrespecto al parametro λ. La discontinuidad en la segunda derivada se produce en λc =

√ωω0/2 = 0.5, ya

que ω = ω0 = 1.

2.3. Convergencia

Hemos mencionado las dificultades tecnicas que implica truncar la dimension infinita del espacio deHilbert, y trabajar, en el metodo exacto, con una base finita. Este hecho nos obliga siempre a comprobarla convergencia de los resultados numericos que obtengamos. Incluimos, por tanto, este apartado tan solocomo una herramienta de trabajo, en la que explicamos brevemente como se ha tratado este aspecto. Laforma habitual de implementar dicho analisis es exigir que el cambio que experimenta el valor esperadode un operador en un cierto estado 〈O(λ)〉i al incrementar el numero de fotones, sea menor que una ciertacota o lımite. Como es logico, un aumento del parametro de acoplo radiacion-materia exige un aumentoen el numero de fotones. Como consecuencia, la convergencia se garantizara hasta un cierto valor de λ,que llamaremos λconv. Formalmente, esto se puede expresar de la siguiente manera:

∣

∣

∣

∣

〈O(λ)〉i − 〈O∗(λ)〉i〈O(λ)〉i

∣

∣

∣

∣

≤ Kerr ∀λ ∈ [ 0, λconv] (2.18)

donde 〈O∗(λ)〉i representa el valor del operador en el estado i-esimo, habiendo incrementado el numerode fotones.Si se cumple esta condicion, garantizamos la validez de los resultados obtenidos hasta el estadoi-esimo, con un error menor o igual a Kerr, y hasta ese valor del parametro de acoplo λconv. El criterioseleccionado en el presente trabajo ha sido exigir un cambio menor o igual del 1% en la energıa cuandoel numero de fotones aumenta en un 10%. De esta forma, se consigue la convergencia de todos losautoestados entre el fundamental y el i-esimo de H hasta un λconv.

Aunque el criterio que acabamos de mencionar es perfectamente valido para acotar el error cometidopor truncar el espacio de Hilbert, no ofrece una estimacion de cual es el valor optimo del numero defotones para garantizar la validez en la region del espectro deseada. Por ello, hemos desarrollado unaherramienta que nos proporciona una estimacion de ncutoff

b en funcion de λ y E.Empecemos por calcular el valor esperado del numero medio de fotones en el estado coherente, ver

apendice A para mayor detalle de calculo:

n|µ,ν〉b = 〈µ, ν| a†a |µ, ν〉 = 〈µ |µ〉 ⊗ 〈ν| a†a |ν〉 = ν2 (2.19)

2.4. PARAMETROS DE ORDEN Y OBSERVABLES DEL ESTADO FUNDAMENTAL 15

El valor de ν que obtenemos dependera, tanto de la energıa como del parametro λ, es decir, n|µ,ν〉b (E, λ) =

ν2(E, λ). Por tanto, conseguimos estimar, a partir del formalismo semiclasico, el numero de fotones en elestado coherente para un punto del espectro determinado por la energıa E y el valor del parametro deacoplo λ.

Si relacionamos ahora el valor medio calculado n|µ,ν〉b (E, λ) con el valor del cutoff obtenemos una

forma de estimar el numero de fotones ncutoffb en funcion de la energıa y del valor del parametro de

acoplo maximo λ hasta la que queremos exigir convergencia. En nuestro trabajo hemos introducido unfactor de correccion, un 20% mayor, por tanto la condicion final es

ncutoffb (Emax, λconv) = 1.2 n

|µ,ν〉b (Emax, λconv) (2.20)

Este metodo ha sido validado, cumple la condicion (2.18), y en general, sobreestima el numero defotones necesario. Por tanto, con el metodo expresado en la ecuacion (2.20), conseguimos asegurar con-vergencia. Tan solo debemos necesitamos conocer la siguiente informacion:

Energıa maxima Emax hasta la que garantizamos convergencia en el espectro.

Valor maximo del parametro de acoplo, λconv, hasta el cual exigimos convergencia a los resultados.

Pero como se trata de una herramienta de trabajo, no entraremos en mas detalle, tan solo anadiremos queeste procedimiento ha sido implementado en los programas para que el calculo sea automatico y optimiceası el tiempo de calculo.

2.4. Parametros de orden y observables del estado fundamental

Los parametros de orden nos permitiran determinar cuando se produce la transicion de fase y que con-secuencias fısicas implica. Un parametro de orden se caracteriza, normalmente, por tener un valor esper-ado igual a 0 por debajo del punto crıtico y distinto de 0 tras cruzar dicho punto. Puesto que hemosdeterminado mediante el metodo variacional o semiclasico el punto crıtico para la QPT y deducido elorden de dicha transicion, el analisis de diferentes observables servira tanto para comprobar la validez delos programas desarrollados como para dotar de un claro significado fısico ambas fases del sistema, demomento, unicamente en el estado fundamental.

2.4.1. Energıa

Ya hemos hablado de la energıa al introducir ambos metodos de calculo, pero todavıa sin habercomparado ambos. Empecemos por calcular en el metodo exacto la energıa del estado fundamentalvariando el tamano del sistema.

En la figura 2.3 representamos la energıa fundamental, del metodo exacto, para sistemas con N =20, 30, 40 y 50. La comparacion entre las energıas no es posible sin ampliar la escala, y fijarnos en lasdiferencias que ocurren entre ellas, como se puede apreciar en la figura. En la representacion ampliada,no es casual que la mayor diferencia tenga lugar en los alrededores del punto crıtico. Recordemos que latransicion de fase tiene lugar en el lımite termodinamico, y por tanto, la discontinuidad de la segundaderivada tendra lugar en λc. Si analizamos la segunda derivada de estas energıas deberıamos de ser capacesde encontrar un precursor de la transicion de fase en torno a λc, que se comporta como parametro deorden, puesto que para λ < λc E

′′(λ) ≃ 0 y por encima es diferente de cero. En la figura 2.4 representamoslas segundas derivadas E′′(λ)/J , vemos claramente que en los alrededores del punto crıtico λc las curvaspresentan un mınimo que se acentua a medida que el tamano del sistema aumenta, al igual que el mınimose desplaza hacia λc. Esto es lo que denominamos un precursor de la transicion de fase, puesto que enun calculo exacto no encontraremos una discontinuidad abrupta en E′′(λ)/J pero si un indicador de queesto ocurrira en el lımite termodinamico, como ya vimos en la figura 2.2. En la figura 2.4 podrıamosidentificar el valor de λ que minimiza E′′(λ)/J , y de esta forma identificar los valores crıticos de λNc en


-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25

E(λ)/J

λ

Energia fundamental

Natomos=20Natomos=30Natomos=40Natomos=50

-1.05

-1.04

-1.03

-1.02

-1.01

-1

-0.99

-0.98

0.25 0.5 0.75

E(λ)/J

λ

Energia fundamental


Figura 2.3: Representacion de la energıa del estado fundamental en funcion del parametro λ y paradiferentes tamanos del sistema, N = 20, 30, 40 y 50 atomos. A la izquierda se representa la energıa enla region completa de λ en la que hemos garantizado convergencia, mientras que la figura de la derechaofrece una vision ampliada de las diferencias en los alrdedores del punto crıtico, λc = 0.5.

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25

d2E

/dλ

2 J

-1

λ


-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.4 0.5 0.6 0.7

d2E

/dλ

2 J

-1

λ


Figura 2.4: A la izquierda se representa la segunda derivada de la energıa respecto al parametro λ, paradiferentes tamanos del sistema, N = 20, 30, 40 y 50 atomos. A la derecha presentamos las mismas curvaspero de forma ampliada en torno a λc.


-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25

E(λ

)/J

λ

Energia fundamental

Natomos=20Natomos=30Natomos=40Natomos=50Esemiclasica

-1.05

-1.04

-1.03

-1.02

-1.01

-1

-0.99

-0.98

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

E(λ

)/J

λ

Energia fundamental

Natomos=20Natomos=30Natomos=40Natomos=50Esemiclasica

Figura 2.5: Comparacion entre la energıa fundamental para sistemas con un numero de atomos finito yla energıa semiclasica. A la derecha se ofrece una escala ampliada en la region del punto crıtico λc = 0.5.

funcion del tamano del sistema. Posteriormente, con esos valores se procederıa a un ajuste a una ley depotencias para inferir el valor de λ∞c que es bien conocido, y ya calculado en el presente trabajo, puestoque no es mas que el valor de λc obtenido de forma semiclasica. A la vista de 2.4 apreciamos que, deforma cualitativa el comportamiento esperado lımN→∞ λNc → λ∞c = λc se cumple. No procederemos aidentificar el punto crıtico a partir de la segundas derivadas sino, como ya veremos en 2.4.4, a partir de ladegeneracion en paridad. La razon de aplazar el estudio del escalado por tamano finito, segun la ecuacion(2.12), para obtener λ∞c consiste en que el estudio que realizamos para caracterizar el espectro entero, esdecir, a estados excitados, esta ligado con el estudio de la paridad, mientras que el estudio de derivadasse vuelve mas confuso y, por razones tanto numericas como intrınsecas del problema, mas emborronado.Esto lo discutiremos en el siguiente capıtulo.

Acabamos de comparar las energıas del estado fundamental y sus segundas derivadas para distintosnumero de atomos, N . Sin embargo, queda pendiente la comparacion respecto a la energıa fundamentalobtenida minimazando la energıa del estado coherente propuesto, cuya expresion fue introducida en laecuacion (B.10). Como ya dijimos, dicha energıa es la exacta cuando N → ∞. En la figura 2.5 repre-sentamos tanto la energıa semiclasica como las que obtenemos mediante el metodo exacto. Observamosclaramente como la curva correspondiente a N = 50 atomos se acerca mas a la semiclasica que la deN = 20 atomos, como esperabamos que fuese puesto que la curva de energıa semiclasica es exacta paraN → ∞. Sin embargo, el numero de atomos que estamos considerando es pequeno debido al tiempo decalculo que se necesita para sistemas mas grandes. Sin embargo, si aumentamos el tamano del sistemaaumentando el tamano del paso en λ y exigiendo tan solo un calculo de autovalores y no de autovectoresen la diagonalizacion, somos capaces de llegar hasta N = 100 atomos.

Debido a que las diferencias de la energıa fundamental de estos sistemas grandes seran muy pequenas,en torno a un 0.5%, representamos tan solo la diferencia relativa entre la energıa semiclasica, ecuacion(B.10), y la que resulta de resolver el problema de autovalores del metodo exacto. En la figura 2.6representamos estas diferencias relativas respecto a la energıa semiclasica para el estado fundamentalpara diferentes tamanos del sistema. Como podemos observar la diferencia relativa disminuye a medida


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25

% d

ifere

ncia

en e

nerg

ia

λ

Natomos=50

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25%

difere

ncia

en e

nerg

ia

λ

Natomos=60

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25

% d

ifere

ncia

en e

nerg

ia

λ

Natomos=80

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25

% d

ifere

ncia

en e

nerg

ia

λ

Natomos=100

Figura 2.6: Estudio de la diferencia relativa entre la energıa semiclasica y la del fundamental para unnumero N de atomos. El maximo de esta diferencia se concentra en torno al punto crıtico. El compor-tamiento es similar, no obstante la diferencia se reduce a medida que N aumenta.


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25

% d

ifere

ncia

en e

nerg

ia

λ

Natomos=50Natomos=80

Natomos=100

Figura 2.7: Estudio de la diferencia relativa entre la energıa semiclasica y la del fundamental para unnumero N de atomos. El maximo de esta diferencia se concentra en torno al punto crıtico. El compor-tamiento es similar, no obstante la diferencia se reduce a medida que N aumenta.

que el numero de atomos aumenta.El maximo de la diferencia relativa se concentra en el punto crıtico λc = 0.5 el cual disminuye menos

segun N aumenta que la diferencia para λ > λc. Esto nos da una pista de nuevo de donde se producela transicion de fase en el estado fundamental, puesto que mediante una resolucion numerica el puntocrıtico siempre sufrira el efecto por tamano finito y por tanto la energıa tambien, si bien la diferenciaentre el calculado analıticamente y el obtenido a sea cada vez menor a medida que N aumenta. Unacomparacion mas visual se ofrece en la figura 2.7, donde representamos las diferencias relativas entre laenergıa fundamental para N = 50, 80 y 100 atomos y la semiclasica. La tendencia que sigue la diferenciaentre las energıases muy clara, la discrepancia en torno al punto crıtico exige un sistema muy grande paradisminuir mientras que para λ > λc la diferencia se vuelve despreciable para N ≃ 100 puesto queda pordebajo del 0.1%. Otra caracterıstica importante, reside en el hecho de que para λ << λc reproducimosperfectamente la energıa, debido a que no se produce interaccion.

Hemos encontrado precursores de la transicion de fase en el estado fundamental analizando lasderivadas y hemos observado como se manifiesta la discrepancia entre un sistema de tamano finito yel obtenido en el formalismo semiclasico, ofreciendo posibles metodos para encontrar λNc para un sistemade N atomos, tanto en el analisis de la segunda derivada como en la diferencia relativa.

2.4.2. Momento angular ~J

Pasemos ahora a analizar otro observable fısico de gran importancia, que tambien servira comoparametro de orden del sistema, la tercera componente del operador de pseudo-spin, Jz. Este observ-able esta directamente relacionado con el numero de ocupacion de cada nivel del conjunto de atomos.Como ya hemos mencionado, nuestro objetivo consiste en comparar, si es posible, el resultado que arrojael metodo exacto y el del formalismo semiclasico. Por tanto, es necesario calcular la expresion que delvalor esperado del observable Jz en el estado coherente:

〈µ, ν| Jz |µ, ν〉 = 〈µ| Jz |µ〉 ⊗ 〈ν| ν〉 = 〈µ| Jz |µ〉 (2.21)


-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25

Jz(λ

)/J

λ

<Jz> estado fundamental

Jz SemiclasicoNatomos=20Natomos=30Natomos=40

-1

-0.95

-0.9

-0.85

-0.8

-0.75

-0.7

0.4 0.45 0.5 0.55 0.6

Jz(λ

)/J

λ

<Jz> estado fundamental

Jz SemiclasicoNatomos=20Natomos=30Natomos=40

Figura 2.8: Representacion del valor esperado de Jz en el estado fundamental en funcion de λ, paraN = 20, 30 y 40 atomos comparada con el resultado de la expresion semiclasica.

Desarrollando y calculando, ver apendice A, obtenemos

〈µ| Jz |µ〉 = J

(

µ2 − 1

µ2 + 1

)

(2.22)

y particularizando para el estado fundamental, sustituimos µmin obtenido en la ecuacion (2.16), y llegamosa la expresion final de Jz en el estado fundamental

〈µmin| Jz |µmin〉 ={ −J λ < λc

−J(

λc

λ

)2λ > λc

(2.23)

De forma exacta el valor esperado de Jz en el estado fundamental lo calculamos segun la ecuacion(2.11), puesto que sabemos como actua Jz sobre los estados de Fock, Jz |J,mJ ;nb〉 = mJ |J,mJ ;nb〉. Aligual que hicimos para la energıa, en la figura 2.8 representamos el valor esperado Jz en funcion de λ parael estado fundamental, tanto en el calculo exacto, N = 20, 30 y 40 atomos como en el caso semiclasico.Observamos, que la curva de Jz semiclasica presenta una discontinuidad de primer orden, que dificılmenteconsiguen reproducir las curvas correspondientes al calculo exacto. Al igual que en el caso de la energıa,a medida que el tamano del sistema aumenta la curva tiende a esa discontinuidad en el punto crıtico, λc.Esta grafica es muy importante para dotar de un significado fısico a la transicion de fase en el estadofundamental, pues en ella vemos que para λ < λc el valor esperado de Jz/J = −1, esto es, todos losatomos se encuentran en el nivel mas bajo de energıa. Recordemos que los atomos constan de dos nivelesde energıa, caracterizados por un pseudo-spin 1/2. Sin embargo, cuando se cruza el punto crıtico, el valoresperado incrementa. Esto nos informa de que, debido a la interaccion con el campo electromagnetico conuna intensidad del acoplo radiacion-materia λmayor que

√ωω0/2, se comienza a poblar significativamente

el nivel mas energetico de los atomos. Como podemos observar en la figura 2.8, un parametro de ordenrelacionado con Jz , serıa el numero de ocupacion del nivel superior, ya que serıa 0 por debajo del puntocrıtico y distinto de cero para λ > λc. Esta fase se denomino superradiante debido, entre otras, a estacaracterıstica; una poblacion macroscopica del nivel mas energetico de cada atomo. Esta propiedad ha


-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.5 1 1.5 2

Jx(λ

)/J

λ

Jx(λ). Estado coherente

Figura 2.9: Representacion del valor esperado de Jx sobre els estado coherente que describe proporcionala energıa fundamental en el lımite termondinamico, esto es, con parametros µmin y νmin. Obtenemosdos ramas para el Jx al cruzar el punto crıtico, que tienden rapidamente a ±J .

sido muy estudiada, tanto teorica como experimentalmente, y en ella reside practicamente todo el interesde la transicion de fase en el estado fundamental.

Hasta ahora solo hemos mencionado la importancia del observable Jz, pero no del resto de componentesdel momento angular, ~J . Veamos que ocurre si analizamos el valor esperado de Jx. Sabemos que Jx actuasobre la base de estados de Fock de la siguiente manera:

Jx |J,mJ ;nb〉 =(

J+ + J−2

)

|J,mJ ;nb〉 =√

(J−mJ )(J+mJ+1

2 |J,mJ + 1;nb〉+

+

√(J+mJ )(J−mJ+1

2 |J,mJ − 1;nb〉 (2.24)

Esto es, cambia la paridad del estado inicial de forma que Πi = −Πf . Por tanto, si nuestros autoestadosestan proyectados sobre paridad positiva o negativa, dicho valor esperado sera nulo. Volveremos sobre estepunto mas adelante, puesto que dicho observable es un candidato para analizar la ruptura de simetrıa.Por tanto, al seleccionar la paridad de dichos autoestados, obtendremos simplemente que, en el estadofundamental, el valor esperado de Jx es nulo, 〈Ψ0(λ)| Jx |Ψ0(λ)〉 = 0. Sin embargo, nuestro estado coher-ente no esta proyectado en paridad, y por tanto, podra servir como parametro de orden, 〈µ, ν| Jx |µ, ν〉.Su expresion se reduce a:

〈µ, ν| Jx |µ, ν〉 = 2Jµ

(1 + µ2)(2.25)

Si particularizamos para el estado fundamental, encontramos que existen dos posibilidades, si λ < λctenemos que µmin = 0, mientras que para λ > λc existen dos valores posibles del parametro µ, esto es,µmin ≶ 0. Por tanto, obtenemos el valor esperado de Jx en el estado coherente cuando µ y ν nos dan laenergıa mınima:

〈µmin, νmin| Jx |µmin, νmin〉 ={

0 λ < λc

±J√

λ4−λ4c

λ2 λ > λc(2.26)


Estas dos posibilidades estan representadas en la figura 2.9. En ella observamos que antes de cruzarel punto crıtico, el valor esperado de Jx es 0, y por tanto, no ocurre ninguna degeneracion, el estadofundamental esta perfectamente etiquetado en paridad. Sin embargo, al cruzar el punto crıtico, λ > λc,obtenemos dos ramas, una positiva y otra negativa, que informan que a partir de este momento existeuna degeneracion y la paridad deja de ser inequıvoca para etiquetar el estado fundamental. Mas adelanteprofundizaremos sobre este observable y la utilizacion de su comportamiento dinamico para extraerinformacion de las propiedades del sistema.

2.4.3. Entropıa de la informacion y numero de componentes principales

Entre las multiple opciones de las que disponemos para obtener indicadores de la transicion de fase,hemos optado por calcular la entropıa de la informacion o de Shannon y el numero de componentesprincipales, denotado por NPC debido al su nombre en ingles,Number of Principal Components. Tanto laentropıa de la informacion como el NPC nos permiten cuantificar la deslocalizacion de un autoestado. Estetratamiento se usa en fısica nuclear para determinar la transicion entre un regimen regular a uno caoticodebido a una interaccion residual, debido a que dicha interaccion residual produce una deslocalizacionde la funcion de onda en la base de campo medio, estando correlacionadas la transicion al caos y latermalizacion con la deslocalizacion. Las expresiones matematicas son

Si(λ) =dim∑

j

pji (λ) log pji (λ) (2.27)

donde pji (λ) representa el j-esimo coeficiente del desarrollo sobre la base de referencia del i-esimo estado.

Por tanto, pji (λ) corresponde a los coeficientes Cji (λ) del desarrollo del autoestado |Ψi(λ)〉 en la base

|J,mJ ;nb〉j como ya vimos en la ecuacion (2.9). En el caso del NPC, la expresion es la siguiente:

NPCi(λ) =1

∑dimi

∣

∣

∣Cj

i (λ)∣

∣

∣

4 (2.28)

que da una informacion una medida de en cuantos estados se expande la funcion de onda. Ambas ex-presiones dependen de la base elejida como referencia, que en nuestro caso es la base de Fock, cuyosestados son autoestados del sistema cuando no existe interaccion, esto es, cuando λ = 0. Debido a esto,los resultados serıa diferentes si elegiesemos como base los autoestados para cualquier otro valor de λ.Razon por la cual, resultan mas problematicos que la los resultados de la energıa o del momento angularJz. En el estudio que desarrollamos a continuacion tan solo consideramos el metodo exacto, en concretosobre el estado fundamental. En la figura 2.10 representamos la entropıa de la informacion Sfund(λ), a laizquierda, y NPCfund(λ) a la derecha, en funcion de λ y para tres tamanos del sistema diferentes. Comoya hemos mencionado, a medida que el tamano aumenta, el cambio en λc se manifiesta de forma masclara y evidente. Observamos que el comportamiento de la entropıa en torno al punto crıtico es suavecomparado con el salto brusco que sufre NPCfund. A la vista de la figura 2.10, podrıamos determinarque, si bien en la entropıa Sfund(λ) observamos un incremento de la deslocalizacion cuando cruzamosλc, es en NPCfund(λ) donde somos capaces de distinguir dos regiones o fases diferentes. Para λ < λc,NPC ≃ 1, esto es, la funcion de onda del estado fundamental se encuentra localizada. Como ya co-mentamos en la introduccion del metodo exacto, si no existe interaccion, λ = 0, los propios estados deFock son los autoestados del sistema. Sin embargo, esta localizacion se pierde cuando cruzamos el puntocrıtico, aumentando el valor de NPC drasticamente, y a medida que N aumenta la pendiente en la quese produce dicha transicion. Es importante tener en cuenta que en la figura 2.10, el NPC no se sufredicho incremento en λc = 0.5 puesto que, de nuevo, se manifiesta el efecto por tamano finito. Concluimosafirmando que, al cruzar un cierto λNc la funcion de onda del estado fundamental sufre una repentinadeslocalizacion como causa de la transicion de fase. Por tanto, el NPC es un buen indicador en el que


0

1

2

3

4

5

0 0.25 0.5 0.75 1

Sfu

nd(λ

)

λ

Entropia de la informacion

Natomos=20Natomos=30Natomos=40

0

20

40

60

80

100

120

0 0.25 0.5 0.75 1

NP

Cfu

nd(λ

)

λ

NPC

Natomos=20Natomos=30Natomos=40

Figura 2.10: Representacion de la entropıa de la informacion o de Shannon, a la izquierda, y de NPC,derecha, en funcıon de λ para el estado fundamental. A la derecha, representacion de NPC y para trestamanos del sistema diferentes, N = 20, 30 y 40 atomos.

se manifiesta la QPT. Por ultimo, debemos comentar que, en las figuras de 2.10, observamos un decrec-imiento tanto de la entropıa como de NPC a partir de un cierto valor de λ. Dicho decrecimiento tienesu origen en un problema de convergencia, puesto que en estos casos representados no fue introducida laestimacion comentada en la seccion 2.3. La presencia de un maximo en estos parametros de orden nosinforman de que el tamano de la base considerada es insuficiente para describir el sistema, no obstante losresultados hasta dicho decrecimiento son totalmente fiables y a su vez nos permite exhibir la importanciade la convergencia y como se manifiesta en los parametros. El resto de resultados representados en eltrabajo no exhiben este problema la haber sido calculados con la estimacion propuesta en la seccion 2.3.

2.4.4. Paridad

Pasemos por ultimo a estudiar la paridad de nuestro sistema. Recordemos que la paridad, Π =

eiπ(J+Jz+a†a), es una cantidad conservada, esto es, se cumple que [H,Π] = 0. Esto nos permite etiquetarlos autoestados del Hamiltoniano con una paridad, positiva o negativa. La intencion es analizar quepapel desempena la paridad en el espectro, y para llevarlo a cabo, calcularemos dos diagonalizacionesdel Hamiltoniano para un mismo sistema, una considerando solo estados con paridad positiva y otracon paridad negativa. Esto es importante, puesto que estamos proyectando en paridad para obtener losautoestados; es decir, los autoestados tendran la paridad que hemos exigido al calcular la diagonalizacion.De esta forma, los autoestados estaran expresados en funcion unicamente de elementos de la base conuna paridad definida:

Para obtener autoestados con paridad positiva, escogeremos solo los elementos de la base quecumplan Π |J,mJ ;nb〉i = + |J,mJ ;nb〉i, es decir, en la que se cumpla que J +mJ + nb = par.

Por el contrario, autoestados con paridad negativa vendran dados por una diagonalizacion teniendoen cuenta solo elementos de la base, tal que Π |J,mJ ;nb〉i = − |J,mJ ;nb〉i, en la que J+mJ +nb =


-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25

E(λ)/J

λ

Π=-1Π=+1

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25

∆E

(λ)/J

λ

Diferencia relativa

Figura 2.11: A la izquierda, representacion del estado fundamental para ambas paridades, positiva ynegativa, de un sistema con N = 50 atomos. A la derecha, la diferencia relativa entre ambos estados,calculada segun la ecuacion 2.29.

impar.

Esta separacion a priori de la paridad reduce el tiempo de calculo aproximadamente en un factor 8, yaque reducimos la dimension de la matriz que diagonalizamos a la mitad. De esta forma obtendremos enmenos tiempo los mismos autoestados que los que proporciona un calculo completo, sin seleccionar apriori la paridad.

Resolviendo el problema para ambas paridades obtenemos dos espectros, compuestos de autoestadosde paridad positiva y otro de paridad negativa. Podemos establecer una relacion entre el estado i-esimode paridad positiva con el i-esimo de paridad negativa, y compararlos. Esto es lo que hemos realizado enla figura 2.11, pero unicamente para el estado fundamental. Recordemos que el estado fundamental de unsistema de N atomos, y por tanto con longitud del psuedo-spin J = N/2, posee un paraidad definida porΠfund = eiπJ . En el caso de la figura, N = 50 y por tanto la paridad del estado fundamental propio delsistema posee Π = −1. El estado de energıa mas baja con paridad contraria a la del estado fundamentales el primer estado excitado del sistema y a su vez, el estado fundamental si restrigimos el calculo a esaparidad contraria. Observando la figura de la izquierda de 2.11, no podemos distinguir de forma clara queocurre tras λ ≃ 0.5. Por esta razon representamos la diferencia relativa entre ambos estados. De formageneral, para un par de estados i-esimos con paridades contrarias y considerando un numero de atomosN , la diferencia relativa es la siguiente:

∆Ei(λ,N) =

∣

∣

∣

∣

∣

EΠ=+i (λ,N)− EΠ=−

i (λ,N)

EΠ=+i (λ,N)

∣

∣

∣

∣

∣

(2.29)

Fijandonos en la ecuacion (2.29), vemos que si existe una degeneracion en paridad, la diferencia relativasera ∆Ei(λ,N) = 0, y distinta de cero mientras la paridad se encuentre bien definida. Esto correspondecon lo representado en la figura derecha de 2.11. Como apreciamos en ella, diferenciamos dos partes, unaen la que la diferencia relativa cae a cero y otra en la que es diferente de cero. Al tratarse de sistemas


Figura 2.12: Esquema del subespacio de paridad de dimension 2. Antes de cruzar el punto crıtico, losautoestados poseen una paridad definida y correspondiente a Π = +1 o −1, que en el esquema estarepresentado por los ejes coordenados. Al cruzar este punto crıtico, la paridad de los estados degeneradospuede estar sobre esa circunferencia. En nuestro caso, al separar paridades a priori, exigimos que elautoestado caiga sobre esa paridad, es decir, sobre uno de los ejes coordenados del esquema. Sin embargo,la eleccion del estado de paridad bien podrıa ser el que corresponde a la flecha o cualquier otro sobre ella,puesto que el existe una libertad y seran las perturbaciones las responsables de la eleccion.

finitos, la transicion entre una zona a otra sera suave y dicha diferencia relativa no sera exactamente cero.La diferencia entre ambas regiones es evidente y la interpretacion se puede ilustrar facilmente mendianteun esquema de paridad. Para λ > λc encontramos que ∆E0(λ) ≃ 0,y por tanto concluimos que lasdos paridades se encuentran degeneradas, y por esta razon, el estado fundamental se corresponde con unsubespacio de dimension dos. Sin emabargo, para λ < λc, ∆Ei(λ) 6= 0, y por tanto, la paridad sigue siendouna cantidad conservada. En esta region es posible etiquetar unıvocamente todos los estados medianteparidad y energıa. La libertad de eleccion que existe en la fase degenerada ha de romperse, en el momentoen el que calculamos los autovectores, el metodo de calculo ha de seleccionar una base. Fısicamenteesto representa que, dependiendo de pequenas perturbaciones, la eleccion de la base sera diferente. Unamanifestacion clara de este hecho tiene lugar en el problema de autovectores y autovalores, puesto quetras el punto crıtico ambos estados se degeneran, sin embargo la paridad de cada uno de ellos es diferente,ya que hemos exigido Π = +1 o bien Π = −1. Este hecho conduce a la ruptura de simetrıa a la que serefieren en [5]. Al enfriar un sistema hasta una temperatura cero, conseguimos bajar la energıa hasta elestado fundamental. Pero sabemos que si la temperatura es igual a cero, el estado debe ser puro, y portanto no es posible que exista una mezcla estadıstica de las dos paridades. Consecuencia de esto es queuna mınima perturbacion hace que el sistema elija un estado como el que mostramos en el esquema dela figura 2.12. Computacionalmente, la eleccion de la base de cada subespacio en una diagonalizaciondependera de la base de entrada, en nuestro caso, la de Fock y de los detalles internos del algoritmo.

En las anteriores secciones ya introdujimos la ley de potencias debido al tamano finito del sistema yofrecimos mas tarde criterios validos para identificar el punto crıtico en el cual tiene lugar el precursor dela QPT en el lımite termodinamico, λc. Sin embargo, no hemos probado cuantitativamente que dicha leyde potencias se cumpla y que concuerde con el valor obtenido en el tratamiento semiclasico. Planteemosel metodo que seguiremos para obtener los puntos crıticos de sistemas de tamano finito. Volviendo denuevo a la figura de la diferencia relativa de 2.11, podemos estimar λNc como el valor del parametro λ a


partir del cual la diferencia relativa entre ambos niveles es menor que una cierta cota Kerr. Esto es,

∆Ei(λ,N) ≤ Kerr ∀λ > λNc (2.30)

Para demostrar que, efectivamente, esta degeneracion ocurre justo en λc =√ωω0/2 podemos llevar a

cabo un analisis de escalado finito. Como ya sabemos, el valor crıtico en un sistema finito no coincide conel obtenido en el metodo variacional, pues este es exacto en el lımite termodinamico. La ley de potenciassera para determinar λ∞c sera:

∣

∣λNc − λ∞c∣

∣ ∝ N−α (2.31)

donde λ∞c y α son reales y positivos, y los obtendremos mediante un ajuste. Para ello necesitamos variosvalores de λNc en funcion de N . Puesto que la diferencia relativa no llega a ser cero, la eleccion de uncriterio para seleccionar λNc se convierte en necesaria, aunque los resultados tras el ajuste deben sercompatibles para diferentes cotas.

Valor de la cota K λ∞c Error estadıstico ∆λ∞c10−7 0.5091 ±0.000610−8 0.5093 ±0.000610−9 0.5082 ±0.000610−10 0.5078 ±0.000810−11 0.5062 ±0.0008

Cuadro 2.1: Resultados obtenidos tras el ajuste de la ecuacion (2.31) de escalado finito para diferentesvalores de la cota, determinando ası el valor de λc. El ajuste se ha realizado unicamente con valores deN entre 10 y 54 atomos.

Fijando diferentes cotas, pero pequenas (del orden de 10−7 o menores) ya que queremos obtener elpunto a partir del cual ∆E ≃ 0. De esta forma obtenemos los siguientes resultados que presentamos en elcuadro 2.1. La representacion de la figura de la izquierda de 2.13 muestra como λNc varıa en funcion delnumero de atomos N . En ella se aprecia perfectamente el comportamiento de ley de escalado finito quepresentan los λNc y la concordancia con el ajuste realizado. En la figura de la derecha representamos lasdiferentes funciones analıticas resultantes del ajuste a los datos obtenidos mediante diferentes valores dela cota Kerr. Concluimos, a la vista de esta ultima figura, que la eleccion de la cota se vuelve irrelevantea medida que N → ∞. En el cuadro 2.1 presentamos los diferentes valores que inferimos para λ∞c quedifieren como maximo un 2% del obtenido de forma semiclasica, λc = 0.5. El resultado mas proximo alλc semiclasico se consigue con la cota Kerr mas baja, λ∞c = 0.5062, con una diferencia relativa del 1.2%.Esto es logico, pues la cota debe representar el valor mınimo a partir del cual consideramos que existeuna degeneracion de los niveles, cuanto menor obtenedremos un mejor resultado, siempre y cuando noexijamos una diferencia menor que la precision del ordenador. Recordemos que el ajuste ha sido realizadotan solo con datos de sistemas entre 10 y 54 atomos. A la vista de estos resultados, podemos afirmarque esta forma de abordar el calculo de los puntos crıticos es mas clara y robusta que estudiando, porejemplo, la segunda derivada E′′(λ).

Acabamos de ver como emerge el valor crıtico λc a partir del estudio de la degeneracion en la paridadque ocurre en el estado fundamental. Sin embargo, ¿que ocurre con los demas estados? ¿Sufre cada unode ellos una degeneracion al cruzar un cierto valor de λ diferente al que obtenemos en el fundamental?¿De que forma podemos separar la region degenerada de la otra? ¿Que significado tendrıa una fronteraentre ambas regiones?

Estas preguntas son las que pasamos a contestar en el siguiente capıtulo, abordando el problema deforma similar a como hemos realizado el ultimo estudio de la paridad.


0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

10 20 30 40 50 60

λcN

Natomos

Ley de potenciasKerr=10

-7

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

10 100 1000 10000

λc

Natomos

Kerr=10E-07Kerr=10E-08Kerr=10E-09Kerr=10E-10Kerr=10E-11

Figura 2.13: A la izquierda, representacion de los λNc obtenidos para diferentes valores de N junto conel ajuste obtenido segun la ecuacion (2.31), con una cota K = 10−7. A la derecha, representamos lasfunciones analıticas obtenidas para diferentes cotas. La convergencia de los diferentes ajustes manifiestaque el valor de la cota es irrelevante a medida que el tamano del sistema incrementa, y por tanto, queλ∞c es unico e independiente de la cota.

Capıtulo 3

Fases y degeneracion de estados

En este capıtulo ampliaremos nuestro estudio al espectro entero del sistema, identificando dos fasescon propiedades diferentes que, como veremos en el siguiente capıtulo, conllevan consecuencias dramaticasen los valores esperados de ciertos observables. A continuacion, y una vez analizadas las propiedades dela QPT, pasamos a la caracterizacion del espectro, que es novedosa y constituira una publicacion [15].Lo que se ofrece a continuacion corresponde a un estudio y una caracterizacion de las fases del sistemapor primera vez. Por ultimo, y por preservar el hilo conductor del trabajo, sera en el capıtulo 4 dondeencontraremos una diferencia fısica observable entre las fases del sistema mediante evolucion temporalo dinamica ciertos observables. El objetivo de este capıtulo radica en obtener un diagrama completo delas fases del sistema, en funcion del parametro de acoplo, λ, y de la energıa, E. El metodo exacto nospermite obtener informacion e inferir el comportamiento en el lımite de muchos atomos, mientras que elmetodo variacional o semiclasico nos servira como punto de apoyo para justificar los resultados inferidos.La existencia una energıa crıtica o punto crıtico ha sido estudiada en trabajos anteriores, [2], pero no sehabıan encontrado dos fases fısicamente diferentes a ambos lados.

3.1. Energıa crıtica

En este apartado vamos a seguir los mismos pasos que en la seccion 2.4.4, pero en los estados excitados.En la figura 3.1 observamos una representacion, en mapa de colores, de la diferencia relativa en escalalogarıtmica entre dos estados i-esimos de paridad contraria, en funcion de la nergıa y del parametro deacoplo λ. Observamos que la degeneracion no solo tiene lugar para λ > λc sino tambien por debajo deuna cierta energıa, que es la que llamaremos energıa crıtica o frontera entre dos fases. Por encima de lacual no existe dicha degeneracion de la paridad. Es importante destacar que la degeneracion ocurre tantoen el estado fundamental como en el resto de estados excitados tras cruzar una cierta energıa para unvalor del parametro, igual a λNexc, en analogıa al punto crıtico de la QPT. Sin embargo, el conjunto depuntos crıticos para los estados excitados formaran la denominada energıa crıtica. Por tanto, necesitamosun metodo para determinar esta energıa crıtica. Este metodo puede resumirse en los siguientes puntos:

1. Dado un sistema de N atomos, recorremos una serie de valores del parametro de acoplo, tal queλ > λc, y para cada uno de estos procedemos de la siguiente forma

a) Calulamos la diferencia relativa ∆0E(λ,N) entre los dos primeros estados para el valor de λseleccionado. Hay dos posibilidades:

1) Si ∆0E(λ,N) > Kerr, consideramos que nuestros estados estan en la fase normal, y portanto tomamos como valor del punto crıtico la energıa de uno de los dos estados a esecierto valor de λ. Esto es, obtenemos un valor de Ec(λ).

2) Si ∆0E(λ,N) ≤ Kerr ambos estados se encuentran degenerados y por tanto nos encon-tramos en la fase degenerada. Volvemos al anterior punto, calculando la diferencia relativa

29

30 CAPITULO 3. FASES Y DEGENERACION DE ESTADOS

Figura 3.1: Representacion para un sistema de N = 40 atomos, de la diferencia relativa entre estados condiferente paridad y consecutivos, en escala logarıtmica y mapa de color. La zona oscura corresponde adiferencias relativas de ∆E(λ, 40) < 10−6, mientras que la region clara corresponde a diferencias relativasentre 10−2 y 100.

entre los siguientes estados excitados. Ası hasta encontrar dos estados i-esimos cuya difer-encia relativa sea ∆iE(λ,N) > Kerr.

b) Repetimos el proceso anterior hasta encontrar los dos primeros estados cuya diferencia relativasea ∆iE(λ,N) > Kerr.

2. Una vez obtenido un valor de la energıa en la que se levanta la degeneracion, pasamos al siguientevalor de λ, empezando de nuevo el cıclo desde el a), hasta cubrir el intervalo deseado de λ.

De esta forma obtenemos un conjunto de puntos crıticos que formaran la energıa crıtica Ec(λ). Elmetodo se puede ilustrar mediante un diagrama, representado en la figura 3.3, que sigue los pasos enun-ciados anteriormente.

Es importante asegurar que, tras el punto que hemos identificado como crıtico, la diferencia no superela cota, ya que esto significarıa que realmente no se habıa producido la degeneracion. En la figura 3.2,representamos los estados correspondientes al segundo estado excitado de ambas paridades y su diferenciarelativa, para N = 50 atomos. En ella vemos claramente un cruce que se produce en torno a λ ≃ 0.3, trasel cual la diferencia aumenta. Sin embargo, el punto a partir del cual estos estados sufren una degeneracionse encuentra en torno a λ ≃ 0.6. Por tanto, debemos exigir estrictamente que se cumpla ∆Ei(λ) ≤ Kerr

para λ > λNj,exc, puesto que de lo contrario dicho estado no se encuentra degenerado.Al igual que en 2.4.4, fijaremos varias cotas Kerr. En las figuras de 3.4 representamos el estado

fundamental junto al conjunto de puntos crıticos que obtenemos para sistemas con N = 50, 40, 30 y 20atomos y utilizando una cota de Kerr = 10−6. Observamos que el comportamiento del conjunto de puntoscrıticos parece lineal. A medida que incrementamos el tamano del sistema los niveles se aproximaran y,obtenemos ası, un comportamiento mas suave y mas horizontal. Resultados similares se obtienen paradiferentes valores de la cota Kerr. Por tanto, es razonable identificar este conjunto de puntos crıticos en elespectro como una recta de ecuacion Ec(λ) = A′

N+B′Nλ. Sin embargo, dicha expresion es dependiente del

3.1. ENERGIA CRITICA 31

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25

E(λ

)/J

λ

Π=-1Π=+1

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25

∆E

(λ)/

J

λ

Diferencia relativa

Figura 3.2: A la izquierda, representacion de la energıa en funcion de λ del segundo estado excitado enambas paridades para un sistema de N = 50 atomos. A la derecha, la diferencia relativa entre ambosestados.

numero de atomos del sistema, y nos interesa una energıa que podamos comparar, independientementedel tamano. Por tanto, es conveniente rescalar la ecuacion entre J o N :

ENc (λ)

J= AN +BNλ λ > λc (3.1)

La ecuacion (3.1) es la que denominamos energıa crıtica, por debajo de la cual los estado estandegenerados. En la figura 3.5 representamos los resultados del ajuste de los puntos crıticos obtenidos a laexpresion de ecuacion (3.1). Determinar la posicion de la energıa crıtica resulta fundamental para entederque fases existen en el espectro, como y donde se produce la separacion entre ambas y, ası, entender lasconsecuencias que implicara cruzar esta energıa. Esta energıa crıtica Ec(λ) separa la fase normal de ladoble-degenerada, pero depende de cada sistema, es decir de N . Sin embargo, nos interesa determinarEN

c (λ) en el lımite termodinamico, N → ∞, como ya hemos realizado con λNc . A la vista de las figura 3.5,podemos intuir de forma cualitativa que A→ −1 y B → 0 a medida que el numero de atomos aumenta.Para cuantificar este comportamiento procedemos de forma usual, realizamos un ajuste lineal para variosN , obteniendo ası los coeficientes AN y BN . Posteriormente, procedemos a aplicar un ajuste por escaladofinito a AN y BN , pudiendo inferir que comportamiento y expresion presenta E∞

c (λ).

|AN −A∞| ∝ N−αA (3.2)

|BN −B∞| ∝ N−αB (3.3)

Empecemos por tanto por el ajuste lineal para determinar los coeficientes de la ecuacion (3.1). Observandola figura 3.5 ya vimos que, a medida que N aumenta, la recta adquiere un caracter mas horizontal,acercandose a una energıa E/J = −1. Cualitativamente, podrıamos concluir que los coeficientes AN yBN , no solo depende de N , sino que asintoticamente tienden a A∞ = −1 y B∞ = 0.

El ajuste a la ecuacion (3.1) de los puntos crıticos identificados como los mostrados en la figura 3.4proporciona los coeficientes AN y BN . Repitiendo el mismo procedimiento para sistemas con diferentesnumero de atomos, obtenemos la dependencia de los coeficientes con N , que representamos en la figura 3.6


Figura 3.3: A la izquierda, representacion de la energıa en funcion de λ del segundo estado excitado enambas paridades para un sistema de N = 50 atomos. A la derecha, la diferencia relativa entre ambosestados.

junto al ajuste a una ley de potencias, segun las ecuaciones (3.2) y (3.3). Los resultados finales consistenen obtener A∞ y B∞ para poder inferir cual es la energıa crıtica en el lımite termodinamico. En la figura3.6 representamos distintos ajuste dependiendo de la cota considerada, Kerr, que se refiere a la diferenciarelativa mınima a partir de la cual consideramos que dos estados no estan degenerados, y por tanto,modifica los puntos crıticos que obtenemos.

En el cuadro 3.1 presentamos los coeficientes A∞, B∞ obtenidos en funcion de la cota elegida parael analisis de la degeneracion. En el observamos, que, dentro de un margen de error, tanto A∞ comoB∞ para diferentes cotas, son compatibles e iguales. Recordemos, que dicho ajuste ha sido realizadotan solo con un numero de atomos entre 10 y 50. Por esta, razon, los coeficientes que inferimos en elescalado de tamano finito no son completamente compatibles. Sin embargo, a la vista de los resultadosobtenidos tras el ajuste y observando las figuras de 3.6, podemos concluir, que los coeficientes, en el lımitetermodinamico, seran:

AN −−−−→N→∞

A∞ = −1

BN −−−−→N→∞

B∞ = 0 (3.4)

Esto significa que la energıa crıtica pierde su dependencia en el parametro λ. De esta forma, la energıacrıtica es igual a la energıa del estado fundamental antes de cruzar, el ya conocido, punto crıtico λc de latransicion de fase de segundo orden. Por tanto, esta energıa crıtica en el lımite termodinamico se puedeescribir como:

Ec/J = −1 ∀λ > λc (3.5)


-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25

E(λ

)/J

λ

Energia fundamental Natomos=20 Ptos criticos

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25E

(λ)/

J

λ

Energia fundamental Natomos=30Ptos criticos

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25

E(λ

)/J

λ


-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25

E(λ

)/J

λ


Figura 3.4: Representacion del estado fundamental junto a los puntos crıticos obtenidos de los estadosexcitados, para sistemas diferentes N = 20, 30, 40 y 50 atomos, empezando por arriba a la izquierda yterminando abajo a la derecha. El valor de la cota ha sido K = 10−6.


-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25

E(λ

)/J

λ

Cota K=10E-6

Ecritica

Natomos=20Natomos=50ESemiclasica

Figura 3.5: Resultado del ajuste lineal del conjunto de puntos crıticos obtenidos en el espectro paradiferentes tamanos del sistema, N , con cota de K = 10−6. La lınea discontinua negra vertical correspondea λc para remarcar que esta rectas de energıa crıtica tienen sentido solo si λ > λc.

En este lımite, la degeneracion ocurrira de forma abrupta cuando un estado cruce la energıa Ec/J = −1.Encontramos dos fases diferentes, diferenciadas por la paridad, una degenerada y la otra no degenerada.En la fase que denominamos normal o no degenerada, la paridad se encuentra perfectamente definida ylos autoestados son, a la vez, autoestados de paridad. Esta fase se encuentra en el espectro para energıasmayores que la crıtica, E > Ec. Sin embargo, en la fase doble-degenerada, los autoestados pueden noser autoestados de paridad. Un autoestado i-esimo de paridad Π = +1, tendra la misma energıa que sucompanero de paridad Π = −1 tras la energıa crıtica.

Por ultimo, resumimos los resultados obtenidos en este apartado. Hemos encontrado una nuevapropiedad del sistema, la degeneracion de la paridad en el metodo exacto emerge de tal forma que,no solo somos capaces de identificar tanto el punto crıtico λc de la QPT, sino que este es tan solo elprimero de un conjunto de punto crıticos en todos los estados, en los que se produce una degeneracionde la paridad. Estos punto crıticos los podemos asociar a una expresion polinomica, en concreto, a unarecta. Esta recta la denominamos energıa crıtica, la cual separa ambas fases y en el lımite termodinamicocoincide con la energıa del estado fundamental antes de QPT.

3.1.1. Energıa crıtica como ESQPT

Introducimos brevemente esta seccion como complemento para caracterizar las ESQPTs. Al final delcapıtulo 2, comentamos que la forma de encontrar e identificar los puntos crıticos es mas robusta haciendouso de la paridad y de la degeneracion que tiene lugar. No obstante, es posible estudiar las derivadas delos estados excitados e intentar inferir el orden la transicion de fase en estados excitados, ESQPT, quetendra lugar en el lımite termodinamico. Debemos tener en cuenta que el calculo de E′′(λ)/J en estadosexcitados se complica, puesto que existiran cruces evitados que nos ocultaran el verdadero precursorde una transicion de fase. Cabe destacar, que existiran tanto cruces evitados como reales, como lo sonlos cruces entre estados con diferente paridad, pero los cruces reales no supondran un problema en elcalculo de las derivadas numericas mientras que los evitados, como mostramos en la figura 3.7, implican


-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

20 40 60

AN

Natomos

Coeficiente AN Kerr=10E-6

Ley de potenciasAN

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

20 40 60B

NNatomos

Coeficiente BN Kerr=10E-6

Ley de potenciasBN

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

20 40 60

AN

Natomos

Coeficiente AN Kerr=10E-10

Ley de potenciasAN

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

20 40 60

BN

Natomos

Coeficiente BN Kerr=10E-10

Ley de potenciasBN

Figura 3.6: Comportamiento de la ley de escalado finito de los coeficientes AN y BN que determinan laenergıa crıtica, segun las ecuaciones (3.2) y (3.3) respectivamente.


Cota Coeficientes Error estadısticoK A∞ B∞ ∆A∞ ∆B∞

10−6 −1.005 0.0004 ±0.003 ±0.001810−7 −1.01 0.005 ±0.01 ±0.00410−8 −0.99 −0.007 ±0.02 ±0.00810−9 −1.01 0.012 ±0.01 ±0.00710−10 −1.02 0.02 ±0.02 ±0.01

Cuadro 3.1: Resultados obtenidos tras el ajuste de las ecuaciones (3.2) y (3.3) de escalado finito paradiferentes valores de la cota, determinando ası los valores de los coeficientes de la recta que determina laenergıa crıtica EN

c (λ) = AN +BNλ. El ajuste se ha realizado solo utilizando resultados de sistemas conun numero, N , entre 10 y 50 atomos.

discontinuidades.A pesar de ello, en algun caso concreto, pero aislado, es posible estudiar las derivadas del segundo

estado excitado1. En la figura 3.7 representamos la segunda derivada E′′(λ)/J del segundo estado excitadopara N = 50, a la izquierda de paridad Π = −1 y a la derecha de paridad el tercer estado excitadocon paridad Π = +1. En la primera serıa posible identificar un precursor de una transicion de fase,como el mınimo que presenta la segunda derivada, sin embargo, la complejidad de este estudio aumentacuando obtenemos estudiamos estados que presenten cruces evitados. Esto complica la identificacion delpunto crıtico. Para estados excitados superiores, las complicaciones aumentan mas si cabe, no pudiendoidentificar los puntos crıticos en los que se situan los precursores de ESQPT. Este metodo, por tanto, noes tan potente como lo es el estudio de las degeneraciones en paridad de los estados excitados.

3.2. Energıa crıtica semiclasica

Acabamos de estudiar como emerge la energıa crıtica en el espectro del sistema a partir de un anali-sis numerico del metodo exacto. Hemos concluido en que, en el lımite termodinamico, su expresion esEc/J = −1. Pasaremos a analizar la expresion de la energıa que proporciona el estado coherente paraencontrar si existe una manifestacion de dicha energıa crıtica, como complemento al calculo exacto. Enprincipio, la energıa variacional esta tan solo bien definida para el estado fundamental, pero no tiene porque proporcionar una descripcion correcta del resto de energıas de excitacion. Sin embargo, hay trabajosen los que se muestra que la energıa del estado coherente consigue describir ESQPT en el modelo deLipkin, [16]. Recordemos la expresion (2.15) de la energıa variacional o semiclasica:


(

µ2 − 1

µ2 + 1

)

+ ων2 + λ√2J

(

4µν

µ2 + 1

)

(3.6)

Para realizar el estudio, normalizaremos entre J , como ya hicimos en el metodo exacto. Conviene senalar,que en el lımte N, J → ∞, no podemos despreciar los terminos como ων2/J , puesto que el valor de νdepende de J , tal que ν ∝

√J , como por ya vimos en la ecuacion (2.16). Para una mejor visualizacion

del comportamiento de la superficie de energıa, las representamos con un mapa de colores y curvas denivel. Observamos en ellas dos situaciones diferentes, como se podrıa esperar, λ ≷ λc. En las figuras de3.8 representamos dos casos significativos de la energıa semiclasica Evar(µ, ν;λ) , la figura de la izquierdacorresponde a λ = 0.25 < λc y la de la derecha a λ = 1.25 > λc. La diferencia entre ambos, puedeobservarse claramente, por debajo de λc la superficie presenta un unico mınimo mientras que para valoresde λ mayores que λc, la superficie de energıa se ha transformado hasta poseer dos mınimos equivalentes.Los valores de (µ, ν) en la que se encuentran los mınimos de la superficie se presentaron ya en la ecuacion

1El primer estado excitado corresponde con el que se degenerara con el fundamental a partir de λc, por esta razon no

ofrecera informacion nueva.

3.2. ENERGIA CRITICA SEMICLASICA 37

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25

E’’(λ)/J

λ

E’’(λ)/J

Π=-1 Natomos=50

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25

E’’(λ)/J

λ

E’’(λ)/J

Π=+1 Natomos=50

Figura 3.7: Resultado de la segunda derivada respecto λ de la energıa del segundo excitado con Π = −1a la izquierda y Π = +1 a la derecha. Sistema con un numero de atomos de N = 50.

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4

ν

µ

E(µ,ν,λ=0.25)/J

-5

0

5

10

15

20

25

30

3 2 1

0

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4

ν

µ

E(µ,ν,λ=1.25)/J

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

2

0

-1

-3

Figura 3.8: Representacion mediante mapa de colores de la superficie de energıas semiclasica para dosvalores de λ significativos. La figura de la izquierda corresponde a λ = 0.25 < λc y la de la derecha aλ = 1.25 > λc.


Figura 3.9: Diagrama de fases del modelo de Dicke. La region oscura corresponde a la fase degenerada,mientras que la region amarilla o clara a la fase normal. La frontera entre ambas fases corresponde a laenergıa crıtica Ec/J = −1.

(2.16), por otra parte sabemos, tras analizar los puntos crıticos de la superficie, que el tras cruzar elpunto crıtico el punto (µ, ν) = (0, 0) se transforma de ser el mınimo para λ < λc, a un punto de silla. Elhecho de que tras λc encontremos dos mınimos equivalentes podrıa representar la doble-degeneracion enparidad que ocurre en el espectro tras la QPT. Ademas, la curva de nivel que corresponde a E/J = −1 enla figura para la energıa con λ > λc separa dos comportamientos; para energıas menores que E/J = −1encontramos dos regiones disconexas o aisladas que se pueden asociar a la existencia de dos nivelesdiferentes y degenerados, mientras que para energıas mayores que E/J = −1 las curvas de nivel sevuelven conexas y la degeneracion se rompe. Ademas de separar dos regiones, la curva de nivel de energıaE/J = −1 es la unica no analıtica al cortarse a sı misma. Esta interpretacion de las curvas de nivel nosproporciona una base para reconocer la presencia de la energıa crıtica en E/J = −1, apoyando ası losresultados obtenidos numericamente.

3.3. Diagrama de fases

Llegados a este punto, ya hemos justificado la existencia de una energıa crıtica que en el lımitetermodinamico es constante e igual a Ec(λ ≥ λc) = −J . Esto significa, que un autoestado de energıa delsistema experimentara una degeneracion de la paridad cuando entre en esa fase, y su punto crıtico sera elcorrespondiente al corte entre Ec(λ) y dicha energıa del autoestado. Para energıa menores que Ec(λ), losestados son doble-degenerados en paridad, y la simetrıa puede romperse. En la figura 3.9 respresentamosde forma esquematica el diagrama de fases del sistema cuando N → ∞, en el lımite termodinamico. Lospuntos mas importantes han sido senalados, como la energıa crıtica Ec/J = −1 y que la transicion defase superradiante ocurre para λ > λc. Sin embargo, seguimos sin saber si realmente la simetrıa se haroto de forma espontanea. Esta cuestion es la que tratamos al principio del siguiente capıtulo.

Capıtulo 4

Quenches y evolucion temporal

En este capıtulo demostraremos la existencia de una ruptura de simetrıa, no solo en el estado funda-mental, sino en una en la fase del espectro que hemos denominadado degenerada en pariad. La rupturaespontanea de simetrıa constituye un concepto fundamental, que se manifiesta en multiples areas de lafısica, desde en materiales ferromagneticos hasta en la unificacion de las fuerzas electrodebil. En el modelode Dicke, la ruptura de simetrıa en el estado fundamental esta causada por la aparicion de dos estadosdegenerados en el estado fundamental o, como ya mencionamos en la seccion 2.4.4, a que el estado funda-mental se corresponde con un subespacio de dimension dos. Debido a la fluctuaciones o perturbaciones,el sistema se situa en un estado fundamental, que no posee necesariamente la misma simetrıa que elHamiltoniano. En el experimento llevado a cabo en [5], se mide dinamicamente esta ruptura de simetrıaen la QPT. En nuestro trabajo, encontraremos la ruptura de simetrıa en las ESQPTs procediendo deforma similar a [5], siendo posible por tanto, medir experimentalmente la ruptura espontanea de simetrıaen un montaje similar. La referencia principal, si no de todo el trabajo, en esta seccion, es el experimen-to desarrollado por K. Baumann y colaboradores, [5], puesto que simularemos un metodo experimentalsiguiendo la preparacion de las medidas como se describe en el artıculo, si bien, con la modificacion quedebemos introducir para explorar el espectro, las quenches.

4.1. Introduccion de la quench

Antes de comenzar debemos explicar bien que es y en que consiste una quench. La definicion masadecuada es la siguiente: cambio repentino y abrupto en el valor del parametro que gobierna el sistemadesde un valor inicial λi a otro λf valor final, seguido de una evolucion temporal en ese ultimo H(λf ),dando lugar a un estado de no-equilibrio. Fısicamente, en nuestro modelo, una quench se interpretamediante un cambio diabatico o subito del valor del parametro de acoplo radiacion-materia, λ. Dichocambio subito puede conseguirse experimentalmente cambiando la potencia de acoplo de un laser, comoen [5]. Para poder llevar a cabo las medidas experimentales que proponemos en nuestro trabajo, lamodificacion principal del montaje de [5] consiste en sustituir el cambio lento o adiabatico del parametro deacoplo λ(t) por una quench. El procedimiento que desarrollamos esta pensado para una posible verificacionexperimental.

El primer paso, consiste en elegir los observables correctos, cuya dinamica sea representativa del efectode la ruptura de simetrıa. Mas tarde decidiremos cual, por que y de donde parte la condicion inicial ycomo determinamos el valor inicial y final de los parametros de acoplo λi y λf en funcion de la regiondel espectro que queremos explorar. Finalmente analizaremos los resultados obtenidos de la evoluciontemporal tras la quench y obtendremos consecuencias fısica resenables. Una vez aclarado el concepto dequench e introducido el esquema que seguiremos, podemos continuar con este capıtulo, para obtener lacaracterizacion del sistema. En el anterior capıtulo hemos deducido el diagrama de fases y determinadola energıa crıtica Ec(λ), a partir de las caracterısticas estaticas del sistema. Hasta este momento, las fases

39

40 CAPITULO 4. QUENCHES Y EVOLUCION TEMPORAL

las denominamos como normal y doble-degenerada. Puede ocurrir que en la fase degenerada tenga lugaruna ruptura de simetrıa, debido a la libertad que existe a la hora de elegir una base especifica para laparidad, como lo medido en [5], y por ello necesitamos algun observable que sea capaz de informarnos dedicha ruptura de simetrıa.

4.2. Eleccion de observables

Puesto que la simetrıa esta dada por la paridad, es logico considerar como posibles candidatos observ-ables que rompan esta simetrıa de paridad, como lo son JX , a† y a entre otros, siendo posible medirloscomo se muestra en [5, 17]. Veamos como actuan estos operadores sobre los estados de Fock, de la base:

Jx |J,mJ ;nb〉 =(

J+ + J−2

)

|J,mJ ;nb〉 =√

(J−mJ )(J+mJ+1

2 |J,mJ + 1;nb〉+

+

√(J+mJ )(J−mJ+1

2 |J,mJ − 1;nb〉 (4.1)

a† |J,mJ ;nb〉 =√nb + 1 |J,mJ ;nb + 1〉 (4.2)

a |J,mJ ;nb〉 =√nb |J,mJ ;nb − 1〉 (4.3)

Para demostrar que efectivamente estos observables cambian la paridad cuando actuan sobre un estado

de Fock, calculemos el valor de la paridad Π = eiπ(J+Jz+a†a) sobre los estados iniciales y finales. Esto es

Π |J,mJ ;nb〉 = eiπ(J+mJ+nb) (4.4)

Por tanto si aumentamos o disminuimos en una unidad tanto mJ como nb por separado encontramos quela diferencia sera Πf = −Πi. Esto es, los operadores Jx, a

† y a cambian la paridad del estado sobre el queactuan. El valor esperado de estos observables en la fase en la que no hay degeneracion, la fase normal,sera cero, ya que

〈Ei,Πi| Jx |Ei,Πi〉 ∝ 〈Ei,Πi| Ei,−Πi〉 = 0 (4.5)

La notacion es diferente a la empleada a lo largo del trabajo para referirnos a los autoestados, puestoque queremos recalcar que 〈Ei,Πi| es un autoestado tanto del Hamiltoniano como de la paridad y 〈Ei|tan solo del Hamiltoniano. Por tanto, en una fase degenerada y en la que ha tenido lugar una ruptura desimetrıa tendremos estados que se puedan expresar como

|Ei〉 =1√2[|Ei,Π = +1〉+ |Ei,Π = −1〉] (4.6)

o mediante cualquier otra combinacion que preserve la norma. Si calculamos el valor esperado de Jxsobre dicho estado, obtendremos un valor no nulo, debido a los terminos 〈Ei,Π = +|Jx |EiΠ = −〉 6= 0 y〈Ei,Π = −|Jx |EiΠ = +〉 6= 0, que hacen que el valor esperado de Jx sea distindo de cero. Esto es debidoa que los autoestados del Hamiltoniano dejan de ser autoestados de la paridad, como ya comentamos enel esquema de la figura 2.12, un autoestado puede contener una mezcla de los autoestados de paridadpositiva y negativa. Lo mismo ocurre para los observables a† y a. De esta forma, a partir del valor esperadocorrespondiente de estos observables seremos capaces de diferenciar en que fase nos encontramos, siemprey cuando no seleccionemos a priori una paridad. Esta cuestion es fundamental para entender que ocurreen nuestro sistema. Si seleccionamos paridad a priori, esto es, proyectamos todos nuestros estado sobrela paridad correspondiente, cualquier accion de Jx, a

† o a sobre cualquier estado hara que su paridadcambie y como consecuencia de ello nuestro valor esperado sobre cualquier de estos estados sera cero.Por tanto, no podemos seleccionar la paridad a de nuestra base priori, debemos considerar toda la base,tanto los estados de Fock con paridad positiva como negativa. Es necesario que nuestro estado inicial notenga un paridad definida, y por tanto, al desarrollarlo sobre la base mezcle paridades.

4.3. CONDICION INICIAL 41

4.3. Condicion inicial

Al final de la seccion anterior hemos mencionado la importancia que conlleva seleccionar o proyectarsobre una paridad. Pero debemos discutir mas sobre las condiciones iniciales. Ya hemos mencionado queprocederemos de forma similar a como se llevarıa a cabo en un experimento. En analogıa con [5], lacondicion inicial en un montaje experimental consiste en enfrıar el sistema con un cierto valor λi hastaque dicho estado alcanza la energıa fundamental, en esa circunstancia el estado fundamental no posee lamisma simetrıa que el Hamiltoniano. Este estado lo describiremos mediante un estado coherente, como elque hemos propuesto en 2.2.1, con los parametros µ y ν que proporcionen la energıa fundamental, ecuacion(2.16), a un cierto valor λi del parametro de acoplo. Dicho estado no esta proyectado en paridad y portanto nos sirve como condicion inicial para reproducir el comportamiento del sistema experimental. Estojustifica la eleccion de este estado coherente, puesto que en la realizacion experimental de [5], se rompe alparidad al enfriar hasta el estado fundamental, el estado fundamental no posee necesariamente la mismasimetrıa que el Hamiltoniano. Como ya hemos visto, si λi > λc, dicho estado se encontrara en la fasedegenerada. Partimos, por tanto, de un estado coherente |µmin, νmin〉 para un cierto valor λi > λc parapoder explorar la region degenerada. No obstante necesitamos todavıa informacion para poder desarrollarnuestra evolucion temporal o quench de estos observables. Puesto que las fases estan separadas por unaenergıa crıtica, sera determinante saber que energıa final dispondra el estado que dejemos evolucionar. Esdecir, le proporcionamos energıa mediante un cambio subito de la constante de acoplo radiacion-materiaλ. Por esta razon es fundamental relacionar las tres magnitudes que desempenan un papel clave en laquench, la energıa final y los parametros de acoplo final e inicial. Recordemos la expresion de la energıaen funcion de los parametros semiclasicos µ y ν y dependiente tambien de λ:

Evar(µ, ν;λ) = ω0J

(

µ2 − 1

µ2 + 1

)

+ ων2 + λ√2J

[

4µν

µ2 + 1

]

(4.7)

Reescribiendo esta ecuacion para obtener el valor de la energıa final, sustituimos λ = λf y tanto µ comoν por los valores que minimizan la energıa dependiendo del valor inicial del acoplo, λi. Obtenemos ası laecuacion de la energıa final al realizar la quench λi → λf :

Ef (λi, λf ) = −ω0J

(

λ2cλ2i

)

+ 2Jλ4i − λ4cωλ2i

− 4Jλfλi

(

λ4i − λ4cωλ2i

)

. (4.8)

Debido a que la energıa es un valor que fijaremos a priori, ya que queremos saber si la quench nosproporciona una energıa por encima o por debajo de la energıa crıtica, conviene reescribir la ecuacionpara obtener el valor final de λ en funcion de las otras dos magnitudes:

λf (Ef , λi) =λi2

− ωλi4 (λ4i − λ4c)

[

ω0λ2c +

Ef

J

]

(4.9)

Estas ecuaciones,(4.9) y (4.8) son equivalentes y es lo que representamos en la figura 4.1. En ella, codifi-camos el valor de la energıa Ef/J como un mapa de color, la parte oscura corresponde a una energıa finalpor encima de la crıtica, y la parte clara a una Ef < Ec. Las curvas de nivel se muestran para ilustrarclaramente el comportamiento e identificar la curva correspondiente a la energıa crıtica Ec/J = −1.Esto es, para un cierto valor de λi tenemos una relacion para obtener que energıas finales son acceci-bles y que valor de acoplo final λf es necesario. Por ejemplo, en la figura 4.1, observamos que, a partirde λi ≃ 2λc somos capaces de explorar ambas fases, dependiendo de λf . Para proceder experimental-mente, deberıamos conocer nuestras condiciones iniciales λi y la energıa final en la que queremos dejarevolucionar el sistema, Ef . Con esos dos datos somos capaces de obtener el valor final del parametro deacoplo al que debemos cambiar subitamente, λf . Esto permite poder partir de un mismo λi varias vecesvariando la energıa final, obteniendo ası diferentes comportamientos de los observables que determinaranclaramente las propiedades fısicas de dichas fases. Resumiendo, partimos de un estado coherente con unaenergıa correspondiente al fundamental para un cierto λi. El valor final del parametro λf queda fijadopor la energıa final Ef a la que queramos llegar mediante la quench, y ası, poder explorar dichar region.


λc

1.5λc

2λc

2.5λc

3λc

3.5λc

4.0λc

λc 1.5λc 2λc 2.5λc 3λc 3.5λc 4.0λc

λfinal

λinitial

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

2

1-1

-3-5

Figura 4.1: Representacion mediante mapa de colores de la energıa final Ef/J del estado realizando unaquench que lleve desde λi hasta λf , segun la ecuacion (4.8). La region mas oscura representa energıasfinales por encima de la crıtica y la clara a energıas por debajo. La energıa crıtica esta representada comola curva de nivel de E/J = −1.

4.4. EVOLUCION TEMPORAL DE LOS OBSERVABLES 43

4.4. Evolucion temporal de los observables

Una vez fijadas las condiciones iniciales, procedemos a iniciar la evolucion temporal de los observablesJx, a

† y a en diferentes regiones del espectro. Por haber elegido los parametros coherentes µ y ν reales,los valores

⟨

a†⟩

y 〈a〉 seran iguales. Denotemos por |Φ(t = 0)〉 a nuestro estado inicial que coincide con elestado coherente |µmin(λi), νmin(λi)〉. Si realizamos la quench, pasamos de λi a λf . Y solo es necesariauna diagonalizacion de H(λf ), pero completa, sin seleccionar un bloque de paridad por lo que hemoscomentado en 4.2. Obtenemos ası los autoestados {Ψj(λf )}. Nuestro estado inicial esta expresado sobreestados de Fock y por tanto, podemos obtener los coeficientes del desarrollo sobre esta base. La obtencionde estos coeficientes Kj resulta fundamental para poder plantear la ecuacion de evolucion temporal:

|Φ(t)〉 = e−iH(λf )t |Φ(t = 0)〉 = e−iHtD∑

j

Kj |Ψj(λf )〉 =D∑

j

Kje−iEj(λf )t |Ψj(λf )〉 (4.10)

donde D representa la dimension del sistema. Para obtener los coeficientes del desarrollo de |Φ(t = 0)〉sobre la base final |J,mJ ;nb〉 procedemos de forma usual,

〈Ψj(λf ) |Φ(t = 0)〉 = Kj (4.11)

donde, si el tamano de la base es suficientemente grande y la convergencia esta garantizada, se cumplira que

D∑

j

|Kj|2 = 1 (4.12)

lo cual asegura que el tamano de la base en λf es suficicientemente grande como para poder desarrollarel estado coherente sobre ella. Numericamente, no obtendremos un 1 exacto, puesto que hemos truncadoel espacio de Hilbert infinito, pero exigimos que 1 −∑D

j |Kj |2 ≤ 10−8, que es un requisito mas exigenteque el que introdujimos en la seccion 2.3. Recordemos que cada autoestado {Ψj(λf )} esta expresado enterminos de la base de Fock, segun

|Ψi(λf )〉 =D∑

j

Cji (λf ) |J,mJ ;nb〉j (4.13)

Conocidos los coeficientes Cji (λf ) podemos encontrar la expresion para calcular Kj . De las ecuaciones

(4.11) y (4.13) conseguimos:

Kj = 〈Ψj(λf ) |Φ(t = 0)〉 =D∑

i

Cij†(λf )

e−ν2/2 νnj

b

√

njb!

(

1 + µ2)−J µmj

J+J

√

(mjJ + J)!

√

2J !

(2J +mjJ)!

(4.14)

donde njb y mj

J representan los valores del numero de fotones y de la proyeccion del pseudo-spin respec-tivamente en el estado de la base j-esimo. Una vez construida la base y obtenidos los coeficientes µ y νdel estado coherente inicial, calculamos los Kj. Y de esta forma, obtenemos la evolucion temporal de losobservables

〈Φ(t)| Jx |Φ(t)〉 =D∑

i,j

KjK†i e

−i(Ei−Ej)t 〈Ψi(λf )| Jx |Ψj(λf )〉 (4.15)

De forma analoga para a† o a

〈Φ(t)| a |Φ(t)〉 =D∑

i,j

KjK†i e

−i(Ei−Ej)t 〈Ψi(λf )| a |Ψj(λf )〉 (4.16)


Lo primero que debemos observar de estas dos ultimas ecuaciones es que si el conjunto de estados{Ψi(λf )} son tambien autoestados de la paridad, entonces los terminos diagonales 〈Ψi(λf )| Jx |Ψi(λf )〉como 〈Ψi(λf )| a |Ψi(λf )〉 son identicamente nulos. Mientras que los no diagonales seran los respons-

ables de las oscilaciones, siendo el promedio temporal de estos nulo, 〈Ψi(λf )| Jx(t) |Ψj(λf )〉 = 0 y

〈Ψi(λf )| a(t) |Ψj(λf )〉 = 0. De esta forma, el promedio temporal total de estos observables sobre una

base de autoestados del Hamiltoniano y de la paridad es 〈Jx〉 =∑

i |Ki|2 〈Ψi| Jx |Ψi〉 = 0. Lo mismo

ocurre para 〈a〉 y 〈a†〉. Luego, en una fase en la que la paridad sea un buen numero cuantico, el val-or esperado fluctuara alrededor del promedio temporal, que en este caso sera cero. Estas fluctuacionesson debidas a los terminos no nulos y no diagonales de 〈Ψi(λf )| Jx |Ψj(λf )〉, que van acompanados deltermino oscilante e−i(Ei−Ej)t. Sin embargo, en un caso en el que la paridad no sea un buen numerocuantico, es decir, los autoestados del Hamiltoniano ya no lo son de la paridad. Denotamos la base deautoestados ahora como {ψi(λf )}, tan solo para diferenciarla de la anterior. Por tanto, habra terminos〈ψi(λf )| Jx |ψi(λf )〉 6= 0 cuyo promedio temporal da una contribucion no nula, ya que e−i(Ei−Ei)t = 1.Las fluctuaciones seguiran apareciendo debido, otra vez, por el termino oscilante e−i(Ei−Ej)t, y de nuevo,su promedio temporal es nulo. Por tanto, concluimos que en la base de autoestados {ψi(λf )}, el promedio

temporal total del observable Jx sera 〈Jx〉 =∑

i |Ki|2 〈ψi| Jx |ψi〉 6= 0. Los observables a y a† presentanel mismo comportamiento.

Para poder simular realmente la dinamica de estos observables necesitamos desarrollar todavıa lasecuaciones (4.15) y (4.16)

〈Ψi(λf )| Jx |Ψj(λf )〉 =∑D

p,q

[

√

(J−mpJ)(J+mp

J+1))2 Cp

i (λf )Cqj (λf )δmq

J,mp

j+1δnq

b,np

b+

+

√

(J+mp

J)(J−mp

J+1))

2 Cpi (λf )C

qj (λf )δmq

J ,mpj−1δnq

b,np

b

]

(4.17)

〈Ψi(λf )| a |Ψj(λf )〉 =∑D

p,q

√

npbC

pi (λf )C

qj (λf )δmq

J,mp

jδnq

b,np

b−1 (4.18)

Con las ecuaciones (4.15), (4.17) y (4.16),(4.18) somos capaces de calcular la evolucion temporal de losobservables Jx y a (o a†) respectivamente. Antes de presentar los resultados de la dinamica, comentemosalgunos aspectos tecnicos. Los sistemas que vamos a estudiar seran como maximo de 20 atomos, debidoal gran consumo de tiempo para realizar estos calculos, como lo es el calculo de matrices de cambio debase entre otras. Sabemos tambien que es necesario el calculo de los autoestados sin dividir en bloquesde paridad, pero el tiempo empleado en la diagonalizacion es pequeno comparado con el calculo de〈Ψi(λf )| Jx |Ψj(λf )〉 o 〈Ψi(λf )| a |Ψj(λf )〉. Para dar una idea de los ordenees de tiempo, el estudio dela dinamica para un sistema con N = 20 atomos necesita alrededor de 4 o 5 dıas. La optimizacion delcodigo es necesaria para poder abordar sistemas mas grandes, pero se relega a un segundo plano, comomejoras futuras.

Empecemos por introducir el concepto de poblacion de los autoestados, al realizar la quench, puestoque |Kj |2representa el peso del estado j-esimo al proyectar nuestro estado inicial |Φ(t = 0)〉 sobre la basede autoestados final {Ψi(λf )}. De esta forma podemos, no solo obtener la energıa, sino muchos observablesmas. En este estudio, nos restringiremos tan solo a la energıa final Ef y al numero medio de fotones.Ambos resultados mediante un calculo exacto deben ser iguales al resultado que arroja el semiclasico.La energıa final Ef sera la misma que exigimos al hacer uso de la ecuacion (4.8), y el numero medio defotones ha de ser equivalente a 〈µ, ν| a†a |µ, ν〉 = ν2. Esto constituye una prueba que, en caso de cumplirse,

garantiza la validez de nuestros resultados. En la figura 4.2 representamos los coeficientes |Kj|2 en funcionde la energıa del estado |Ψj(λf )〉. Los coeficientes se obtienen a partir de Kj = 〈Ψj(λf ) |Φ(t = 0)〉, querepresentan el peso del estado j-esimo en el desarrollo de |Φ(t = 0)〉 sobre la base final. Los coeficientesse distribuyen de forma diferente, dependiendo de cual sea la energıa final elegida. En la figura de laizquierda la energıa final es Ef/J = −3.0 y a la derecha, Ef/J = 1.0. Ambas parten de una misma


0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

-4 -3 -2 -1 0 1

|Kj|2

Energia de los niveles Ej/J

Ef/J=-3.0, Natomos=20, λi=1.5, λf= 1.24

|Kj|2

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

-2 -1 0 1 2 3 4

|Kj|2


Ef/J=+1.0, Natomos=20, λi=1.5, λf= 0.56

|Kj|2

Figura 4.2: Representacion de los coeficientes |Kj |2 en funcion de la energıa del j-esimo autoestado delsistema a λf . La figura de la izquierda corresponde con una energıa final Ef/J = −3.0 mientras que lade la derecha a Ef/J = 1.0, considerando en ambos casos λi = 1.5 y un sistema de N = 20 atomos.Recordemos que la energıa crıtica se situa en Ec/J ≃ −1.

λi = 3λc = 1.5 y corresponden a un sistema de 20 atomos. Estos dos casos han sido elegidos por sersignificativos, ya que la energıa final es o mayor, figura de la derecha, o menor que la crıtica, figurade la izquierda. El comportamiento de |Kj |2 cuando Ef < Ec da lugar a distribuciones mas estrechas,debido en parte a que el numero de niveles accesible con energıas E < Ec es pequeno, y en parte, enesta ocasion, porque la quench es pequena, pasamos de λi = 1.5 a λf = 1.24. Esto tiene su explicacion

en que, si no realizamos una quench, |Kj|2, serıa 1 para el estado que reproduzca su energıa. Por tanto,es logico que a medida que el cambio en λ aumente, dicha distribucion se expanda en mas niveles. Sinembargo, las distribuciones que obtenemos cuando Ef > Ec son mas anchas y centradadas alrededorde la energıa final correspondiente, en este caso, es debido a que existen tanto niveles por debajo de laEf como por encima, y el tamano de la quench es mayor que en el caso anterior. Continuando con ladinamica de no equilibrio, podemos representar, para los casos expuestos en la figura 4.2, la evoluciontemporal de 〈Jx(t)〉 y de 〈a(t)〉. Eso es lo que representamos en la figura 4.3, donde los casos anteriormenteexplicados han sido utilizados para calcular la dinamica de Jx. Encontramos ası dos comportamientoscompletamente diferentes, partiendo de una misma condicion inicial, puesto que el estado es el mismoa t = 0, como muestra la figura de la derecha en 4.3, donde 〈Jx(t = 0)〉 /J ≃ 1. Exactamente, el valor

inicial es 〈Jx(t = 0)〉 /J = 0.99 y el promedio temporal, ˆ〈Jx〉/J = 0.984. Este hecho, ayuda a entender quepartimos de un estado inicial con simetrıa rota, y que al proporcionar energıa, si esta consigue superarla crıtica, restauraremos la simetrıa dando lugar a 〈Jx〉 = 0 como promedio. Este comportamiento esel que corresponde a la curva roja de 4.3. Si por el contrario, la energıa proporcionada al sistema haceque la energıa final no sea mayor que la crıtica, mantendremos la simetrıa rota. Este comportamiento seobserva en toda la region del espectro que habıamos denominado degenerada, y que a partir de ahoradenominaremos tambien como fase de ruptura de simetrıa. Debemos senalar la escala temporal en la quehemos representado la figura 4.3, y que utilizaremos para los demas evoluciones. Debido a que el terminotemporal aparece en e−iπ(Ei−Ej)t, es razonable expresar el tiempo como la separacion media en energıas


-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 2x105

4x105

6x105

8x105

106

<J

x(t

)>/J

Time

Ef/J=1.0Ef/J=-3.0

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 10 20 30 40 50

<J

x(t

)>/J

Time

Ef/J=1.0Ef/J=-3.0

Figura 4.3: Representacion de la evolucion temporal del observable Jx para dos casos diferentes. Ladinamica ha sido calculada para un mismo sistema de 20 atomos y partiendo de λi = 1.5. A la izquierdase muestra la evolucion en una escala temporal grande, mientras que a la derecha se representa el com-portamiento de Jx para tiempos pequenos. La curva roja corresponde a una quench cuyo valor final delparametro de acoplo es λf = 0.56 y energıa final Ef/J = 1.0, mientras que la curva verde corresponde aλf = 1.24 y Ef/J = −3.0. El tiempo esta expresado en unidades de la inversa de la separacion media enenergıa de los estados.

de los estados, esto es, [t] = 1/D∑D−1

i |Ei − Ei+1|.En la figura 4.4 representamos la evolucion temporal del observable 〈a(t)〉 como hicimos para 〈Jx(t)〉,

para el mismo sistema correspondiente a los casos de las figuras 4.2 y 4.3. Tanto las condiciones inicialescoma la energıa final y el parametro final λf son las mismas que cuando analizamos la evolucion de Jx.La normalizacion del valor esperado corresponde a 〈a(t)〉 /νinicial, ya que el valor esperado de a en elestado coherente es

〈µ, ν| a |µ, ν〉 = 〈µ, ν| a† |µ, ν〉 = ν (4.19)

y de esta forma conseguimos acotar los valores esperados entre 1 y −1. En la figura 4.4, observamos elmismo comportamiento. El valor inicial 〈a(t = 0)〉 / |νinicial| = −1.0. Para energıas finales Ef mayores quela crıtica, el valor esperado fluctua alrededor de cero, el valor promedio. Esto indica que se ha producidouna restauracion de la simetrıa. Mientras que, cuando la energıa final es menor que la crıtica, el valoresperado fluctua alrededor de un valor promedio, ¯〈a〉/ |νinicial| = −0.82, que es distinto de cero y proximoa la condicion inicial. Esto es, partiendo de un estado con simetrıa rota, es posible restaurarla si Ef > Ec

y preservarla si Ef < Ec.Es importante senalar un aspecto importante de este sistema y de la dinamica de los observables Jx y a

(o a†). El calculo de la evolucion de estos en el sistema considerado fue llevada a cabo a partir de la mismacondicion incial y por esta razon, podemos apreciar una correlacion entre ambos observables. Recordemosque, al cruzar el punto crıtico λc, la descripcion semiclasica ofrecıa dos pares de valores (µ, ν)min diferentesy de signo contrario, tal que µminνmin < 0. Esto proporciona una libertad computacional para poderdecidir cual es negativo y cual positivo. Si seleccionamos µ > 0, obtendremos un valor inicial de 〈Jx〉 > 0mientras que ν debera ser negativo y por tanto, 〈a(t)〉 < 0. Esta clara correlacion se aprecia perfectamete


-1

-0.5

0

0.5

1

0 2x105

4x105

6x105

8x105

10x105

<a

(t)>

/|ν

inic

ial|

Time

Ef/J=1.0Ef/J=-3.0

-1

-0.5

0

0.5

1

0 10 20 30 40 50

<a

(t)>

/|ν

inic

ial|

Time

Ef/J=1.0Ef/J=-3.0

Figura 4.4: Representacion de la evolucion temporal del observable a para dos casos diferentes. Ladinamica ha sido calculada para un mismo sistema de 20 atomos y partiendo de λi = 1.5. A la izquierdase muestra la evolucion en una escala temporal grande, mientras que a la derecha se representa el com-portamiento de a para tiempos pequenos. La curva roja corresponde a una quench cuyo valor final delparametro de acoplo es λf = 0.56 y energıa final Ef/J = 1.0, mientras que la curva verde correspondea λf = 1.24 y Ef/J = −3.0. El valor esperado 〈a(t)〉 se ha normalizado entre el valor del parametroνinicia = νmin(λi), en analogıa con Jx/J . La evolcion de a† es exactamente igual.

al comparar el valor inicial de ambos observables en las figuras 4.3 y 4.4. Experimentalmente, al repetirlas medidas, observaremos que, para λf > λc y energıa final Ef < Ec, los valores esperados son o bien¯〈Jx〉/J ≃ ±1 y ¯〈a〉/ |νinicial| ≃ ∓1 o al contrario, ¯〈Jx〉/J ≃ ∓1 y ¯〈a〉/ |νinicial| ≃ ±1, siempre y cuando

se midan simultaneamente ambos observables.

Hemos presentado casos cuando la energıa final es mayor o menor que la crıtica, pero no sabemosque ocurre cuando la energıa final es proxima a la crıtica. En este caso se presentan varios problemas,puesto que la energıa crıtica en un sistema finito depende del parametro de acoplo λ y de la cota quehayamos elegido en el analisis, Kerr. Por esta razon, no es posible determinar con exactitud, que estadosse encuentran en una fase o en otra. Podrıamos pensar, que por los efectos de tamano finito, la energıacrıtica no es una recta perfectamente definida, sino una banda crıtica, en torno a E/J ≃ 1. En la figura

4.5, representamos la distribucion de los coeficientes |Kj |2 para el caso de una energıa final Ef/J = −1.20,como vemos en ella, se pueblan tanto estados por debajo como por encima de la energıa crıtica. Estose traduce en una evolucion de los observables, representada en 4.6 que no termina de ser clara. Laevolucion parece no relajar a un valor promedio, esto es, no se encuentra un valor promedio alrededor delcual se produzcan las oscilaciones. Si podemos inferir, que a tiempos mayores, el comportamiento tiendea oscilar en torno a cero, pero no es concluyente. Las condiciones iniciales, como vemos en las figurasde abajo de 4.6, nos muestran que las condiciones iniciales son identicas a las estudiadas anteriormente.Este efecto esta claramente debido por el tamano finito del sistema, y por tanto, no cabe esperar queexperimentalmente se encuentren estas dinamicas, puesto que en el experimento, el numero de atomossometido a estudio es mucho mayor. En la realizacion de [5], el sistema consta del orde de 2·105 atomos, loque implica que la energıa crıtica estara mucho mejor definida y que la distribucion de energıas del estado


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

-4 -3 -2 -1 0 1

|Kj|2


Ef/J=-1.20, Natomos=20, λi=1.5, λf= 0.93

|Kj|2

Figura 4.5: Representacion de los coeficientes |Kj |2 en funcion de la energıa del j-esimo autoestado delsistema a λf . La figura se corresponde con una energıa final Ef/J = −1.20, proxima a la crıtica. Seconsidera λi = 1.5 y un sistema de N = 20 atomos.

inicial tendra una anchura relativa menor. Por esta razon, cabe esperar, que solo los estados inciales conE/J = −1 presenten una dinamica anomala, como la que presentamos en al figura 4.6. Serıa interesantetambien constatar este efecto en un experimento.


-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 2x105

4x105

6x105

8x105

10x105

<J

x(t

)>/J

Time

Ef/J=-1.20

-1

-0.5

0

0.5

1

0 2x105

4x105

6x105

8x105

10x105

<a

(t)>

/|ν

inic

ial|

Time

Ef/J=-1.20

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 10 20 30 40 50

<J

x(t

)>/J

Time

Ef/J=-1.20

-1

-0.5

0

0.5

1

0 10 20 30 40 50

<a

(t)>

/|ν

inic

ial|

Time

Ef/J=-1.20

Figura 4.6: Representacion de la evolucion temporal de los observables Jx y a para una energıa finalproxima a la crıtica, Ef/J = −1.2. La dinamica ha sido calculada para un mismo sistema de 20 atomos ypartiendo de λi = 1.5. Arriba se muestran las evoluciones a tiempo grandes y abajo a tiempos cortos. Ala izquierda mostramos la evolucion de Jx y a la derecha la de a. El valor final de la quench es λf = 0.93y energıa final Ef/J = −1.20.

Capıtulo 5

Conclusiones

El presente trabajo constituye una profundizacion sobre el modelo de Dicke, que como ya hemosmencionado, se encuentra ligado a modelos nucleares como lo son el IBM o el Lipkin entre otros. Laimportancia de dichos modelos radica no solo en el avance de la fısica cuantica de muchos cuerpos ola dinamica de no equilibrio, sino tambien en las implicaciones practicas que sugieren recientes medidasexperimentales y que supondrıan un avance en la informacion y computacion cuantica. Tanto desde deun punto de vista teorico como experimental, el modelo de Dicke es muy rico en fenomenos crıticos quepueden ser estudiados mediante una gran variedad de metodos, cuyas consecuencias se manifestaran enlas propiedades fısicas de dicho sistema. Las conclusiones de este trabajo se pueden agrupar en dos partes.La primera trata de la caracterizacion del estado fundamental y la segunda sobre el diagrama de fases ylas consecuencias fısicas de dichas estas, que se reflejan en la dinamica de no equilibrio de los observablesestudiados.

La primera parte consiste en un enfoque centrado en el estado fundamental y la transicion de fasecuantica (QPT) superradiante, que si bien ya eran conocidas muchas de sus propiedades, en el presentetrabajo se estudian nuevas caracterısticas de dicha transicion de fase a temperatura cero. Ası lo son, porejemplo, el NPC (Numero de Componentes Principales) y la degeneracion en paridad. La primera nosinforma sobre cuanto se deslocaliza la funcion de onda respecto a la base de Fock de referencia, cuandocada estado es directamente autoestado en el caso no interactuante que se reduce a la base de campomedio. Un sistema que no presente interaccion se traduce en nuestro modelo como λ = 0, esto es, cuandoel parametro de acoplo radiacion-materia es cero. En ella observamos un cambio brusco que podemosidentificar claramente como un precursor de la QPT por el tamano finito del sistema. De igual forma, laentropıa de la informacion o de Shannon conduce a la misma conclusion, si bien en esta ultima es mascomplicado observar este salto en torno al punto crıtico, por su comportamiento suave. Por otra parte,introducimos el estudio de la la degeneracion de los autoestados en paridad. Mediante este estudio somoscapaces de identificar de forma optima los precursores finitos de la QPT, y el escalado finito resulta sermuy limpio y obteniendo con el un buen resultado del punto crıtico en el lımite termodinamico, λc. Elestudio de la paridad ha sido desarrollado integramente para este trabajo, y su implementacion se resumeen un algoritmo, y su aplicacion, como hemos visto, no solo se restringe al estado fundamental como si loserıa el estudio de la segunda derivada E′′(λ), sino tambien a estados excitados, que constituye la segundaparte del trabajo y la mas novedosa. El estudio de la degeneracion prevalece al resto de metodos por serrobusta y aplicable para caracterizar el espectro completo. Por otra parte, y menos relevante, conseguimosreproducir resultados ya conocidos, pero que sirven para demostrar la validez de dicho trabajo.

En la segunda parte abordamos el tema central y mas novedoso del trabajo, que constituira unapublicacion, [15]. Este bloque abarca los capıtulos 3 y 4, y en ellos ofrecemos una generalizacion delestudio de la degeneracion en paridad que se produce en el estado fundamental a todo en el espectro.Con esta herramienta ampliamos el concepto de punto crıtico a energıa crıtica. Ya no es un valor especialdel parametro λ el que produce la transicion, si no una cierta energıa crıtica, por debajo de la cual

51

52 CAPITULO 5. CONCLUSIONES

los estados se encuentran doblemente degenerados, mientras que energıas mayores dan lugar a una fasenormal o no degenerada. Anteriores trabajos consiguen demostrar la existencia de una energıa crıticacomo precursor de las ESQPT, pero es en este trabajo donde se le dota de sentido fısico pues se identificaun cambio dramatico en ciertos observables mensurables. Ampliamos a estados excitados el anteriormetodo con el que identificamos la QPT. Dicho metodo de la degeneracion en paridad se resume en unaserie de pasos que ilustramos mediante un diagrama en la figura 3.3. Con este conseguimos identificar lospuntos crıticos en estados excitados, que a la vista de su comportamiento, los ajustamos a la ecuacionde una recta, Ec(λ)/J = AN + BNλ y obtemos los coeficientes, siendo J = N/2 la longitud maxima delpseudo-spin colectivo. Repitiendo el proceso para sistemas con diferentes numero de atomos, obtenemoslos valores de los coeficientes AN y BN en funcion del numero de atomos, N . Estos coeficientes obedecenuna ley de potencias por el efecto de tamano finito e inferimos que, en el lımite termodinamico, Ec = −J .Esto proporciona un diagrama de fases completo. Distinguimos dos fases, para λ < λc todos los nivelestienen paridad bien definida, mientras que para λ > λc los niveles cuya energıa sea menor que la crıtica,E < Ec estan doblemente degenerados, y si por el contrario, la energıa de los niveles es mayor que lacrıtica, E > Ec, la paridad vuelve a estar bien definida, pudiendo etiquetar unıvocamente los niveles.Este diagrama de fases resulta crucial para entender posteriores resultados y completa la caracterizacionde las fases del modelo de Dicke, que hasta ahora se habıa restringido al estado fundamental. Por tanto,la energıa crıtica separa ambas fases, siendo necesario explorarlas para extraer sus propiedades. Con esteobjetivo, proponemos un metodo para explorar dinamicamente las ESQPTs, que puede ser implementadoen experimentos, esto constituye otro punto fundamental del trabajo.

Introducimos el concepto de quench, la cual constituye nuestra propuesta para explorar dichas fases.Ofrecemos una expresion analıtica que permite obtener la energıa final que proporcionaremos a nuestrosistema al cambiar subitamente la constante de acoplo λi a otro valor distinto, λf . Esta relacion resultacrucial para explorar las fases, puesto que diferentes comportamientos estan relacionados ıntimamentecon la energıa final del sistema. Eso es lo ultimo que estudiamos en este trabajo, dejando la puertaabierta a futuros enfoques. La dinamica de no equilibrio que sufren los observables junto con el diagramade fases explicado permiten concluir que tiene lugar la ruptura espontanea de simetrıa en una fase, lacorrespondiente a E < Ec, mientras que la simetrıa se restaura en la fase superior, E > Ec. Observamoscomo se produce la restauracion de la simetrıa si, partiendo de la fase con simetrıa rota, evolucionamoshacia la superior. Esto se manifiesta en el promedio temporal, ya que se anula, esto es, ¯〈Jx〉 = 0. Porotra parte, el promedio temporal ¯〈Jx〉 6= 0 indica que la fase correspondiente a E < Ec preserva lasimetrıa rota. Como nota aclarativa, es conveniente senalar que los observables elegidos para demostraresta ruptura de simetrıa han sido Jx, a

† y a porque pueden ser medidos experimentalmente, no obstante,dicho comportamiento es esperable en la dinamica de cualquier operador que cambie la paridad de unestado. En el trabajo tomamos come referencia el experimento llevado a cabo en [5]. En este se trabaja conun sistema mesoscopico, formado por un gas o lıquido atomico a muy baja temperatura en el interior deuna cavidad optica y consiguen determinar la ruptura de simetrıa en el estado fundamental que se produceal cruzar el punto crıtico de la QPT superradiante. Nuestro objetivo reside en demostrar mediante lasimulacion de la dinamica de ciertos observables, que la ruptura de simetrıa se extiende hasta una energıacrıtica y que constituye una de las dos fases del sistema. Aprovechamos el esquema experimental que seofrece en [5], si bien, con alguna modificacion, para proponer un posible experimento que permita medirla ruptura de simetrıa en el espectro, como presentamos en el ultimo capıtulo. Por tanto, dentro de unmarco teorico conseguimos relacionar de forma directa nuestro trabajo con un posible experimento. Estehecho constituirıa un gran avance en el conocimiento de las transiciones de fase en estados excitados.

La ruptura de simetrıa, que tiene lugar para λ > λc y E < Ec, abre las puertas a posibles medidasexperimentales para comprobar las transiciones de fase en estados excitados. Del estudio teorico realizadoen el presente trabajo se sigue una comprobacion experimental inmediata, utilizando cavidades opticascomo en [5]. En otros montajes experimentales, como en circuitos QED o superconductores, podrıanllevarse a cabo medidas similares aunque todavıa no se dispone de un dispositivo como el de [5]. Estoamplia claramente el conocimiento sobre las transiciones de fase, la cota o lımite al no-go theorem en el quese afirma que no puede ocurrir una QPT superradiante en sistemas atomicos o moleculares interactuantes

53

con un numero finito de modos de radiacion en la aproximacion dipolar, y arroja luz en campos de graninteres actual como la computacion e informacion cuantica o a la fısica cuantica de muchos cuerpos.

54 CAPITULO 5. CONCLUSIONES

Apendice A

Calculo de operadores en el estado

coherente y energıa semiclasica

Partimos de la funcion de onda coherente |µ, ν〉 que hemos definido como:

|µ, ν〉 = |µ〉 ⊗ |ν〉 =[

(

1 + µ2)−J

eµJ+ |J,−J〉]

⊗[

e−ν2

2 eJa† |0〉

]

(A.1)

Sabemos como actuan J+ y a† sobre los estados de Fock atomicos y fotonicos, |J,+mJ〉 y |nb〉 respecti-vamente:

J+ |J,+mJ〉 =√

(J −mJ ) (J +mJ + 1) |J,+mJ + 1〉 (A.2)

a† |nb〉 =√nb + 1 |nb + 1〉 (A.3)

Por otra parte, recordemos que una exponencial puede escribirse en terminos de una suma infinita,

ex =∑∞

n=0xn

n! y por tanto, podemos expresar tanto eµJ+ como eνa†

de la siguiente manera:

eµJ+ =

∞∑

n=0

(µJ+)n

n!=

[

1 + µJ+ +µ2J2

+

2+µ3J3

+

6+ ....

]

(A.4)

eνa†

=

∞∑

n=0

(

νa†)n

n!=

[

1 + νa† +ν2a†

2

2+ν3a†

3

6+ ....

]

(A.5)

Actuando sobre los estados |J,mJ = −J〉 y |nb = 0〉 obtenemos las siguientes expresiones:

eµJ+ |J,−J〉 =∞∑

n=0

(µJ+)n

n!|J,−J〉 (A.6)

eνa† |0〉 =

∞∑

n=0

(

νa†)n

√n!

|0〉 (A.7)

El estado de la base de Fock |J,mJ = J + 1〉 no existe y por tanto sobreviven los terminos desde n = 0hasta 2J . De esta forma, llegamos a la siguiente expresion:

eµJ+ |J,−J〉 =2J∑

n=0

(µJ+)n

n!|J,−J〉 = |J,−J〉+ µ

√2J |J,−J + 1〉+ µ2

2

√

2J (2J − 1) 2 |J,−J + 2〉+

+µ3

6

√

2J (2J − 1) (2J − 2) 2 · 3 |J,−J + 3〉+ ... (A.8)

55

56APENDICEA. CALCULO DE OPERADORES EN EL ESTADO COHERENTEY ENERGIA SEMICLASICA

Reescribiendo la ecuacion anterior para identificar un termino general:

eµJ+ |J,−J〉 =2J∑

n=0

(µJ+)n

n!|J,−J〉 = |J,−J〉+ µ

√2J |J,−J + 1〉+ µ2

√2

√

2J (2J − 1) |J,−J + 2〉+

+ µ3

√6

√

2J (2J − 1) (2J − 2) |J,−J + 3〉+ ... (A.9)

Los coeficientes del desarrollo obedecen la siguiente expresion:

eµJ+ |J,−J〉 =2J∑

n=0

[

µn

√n!

(

2J !

(2J − n)!

)1/2

|J,−J + n〉]

(A.10)

De la misma manera procedemos a calcular eνa†

, actuando sobre el estado de vacıo fotonico, |nb = 0〉:

eνa† |0〉 = |0〉+ ν |1〉+ ν2

2

√1√2 |2〉+ ν3

6

√1√2√3 |3〉+ ... (A.11)

Identificando, al igual que antes, conseguimos una expresion general

eνa† |0〉 =

∞∑

n=0

νn√n!

|n〉 (A.12)

Por tanto, la funcion de onda coherente expresada en funcion de los estados de Fock factorizados sera:

|µ, ν〉 =(

1 + µ2)−J

2J∑

n=0

[

µn

√n!

√

2J !

(2J − n)!|J,−J + n〉

]

⊗ e−ν2

2

∞∑

r=0

νr√r!

|r〉 (A.13)

considerando la normalizacion a la unidad. Para obtener la expresion de la energıa de este estado coherenteprocedemos de forma usual, E (µ, ν, λ) = 〈µ, ν| H (λ) |µ, ν〉. El Hamiltoniano del modelo de Dicke comoya hemos visto, puede escribirse como:

H (λ) = ω0Jz + ωa†a+λ√N

(

a† + a)

Jx (A.14)

donde λ es el parametro que controla la interaccion radiacion-materia. Para obtener la energıa del estadocoherente debemos conocer como actuan los operadores que intervienen en H (λ) sobre |µ, ν〉. Empecemospor Jz.

Jz |µ, ν〉 =(

1 + µ2)−J

2J∑

n=0

[

µn

√n!

√

2J !

(2J − n)!(−J + n) |J,−J + n〉

]

⊗ e−ν2

2

∞∑

r=0

νr√r!

|r〉 (A.15)

Y por tanto

〈µ, ν| Jz |µ, ν〉 = 〈µ| Jz |µ〉 ⊗ 〈ν |ν〉 =

=(

1 + µ2)−2J

2J∑

n=0p=0

[

µn

√n!

µp

√p!

√

(2J)!

(2J − n)!

(2J)!

(2J − p)!(−J + n) 〈J,−J + p| J,−J + n〉

]

=

=(

1 + µ2)−2J

2J∑

n=0p=0

[

µnµp

√n!p!

√

2J !2J !

(2J − n)! (2J − p)!(−J + n) δp,n

]

=

=(

1 + µ2)−2J

2J∑

n=0

µ2n

n!

2J !

(2J − n)!(−J + n) =

=(

1 + µ2)−2J

[

−J2J∑

n=0

µ2n

n!

(2J)!

(2J − n)!+

2J∑

n=0

µ2n

n!

2J !

(2J − n)!· n]

57

Y recordando que el desarrollo de (1 + xα)b=

∞∑

n=0

(

bn

)

(xα)npara |x| < 1 siendo

(

αn

)

los coeficientes

del binomio, que se define como

(

αn

)

=n

Πk=1

α−k+1k = α(α−1)···(α−n+1)

n! que es precisamente igual a

2J!(2J−n)!

1n! con α = 2J . Por tanto; teniendo en cuenta que en el lımite termodinamico J → ∞, conseguimos

el desarrollo exacto de una expresion analıtica:

〈µ, ν| Jz |µ, ν〉 =(

1 + µ2)−2J

[

−J(

1 + µ2)2J

+ µ2 ∂

∂µ2

∞∑

n=0

µ2n

n!

2J !

(2J − n)!

]

=

=(

1 + µ2)−2J

[

−J(

1 + µ2)2J

+ µ22J(

1 + µ2)2J−1

]

= −J +µ22J

(1 + µ2)= J

(

µ2 − 1

µ2 + 1

)

De forma analoga procedemos con a†a,

〈µ, ν| a†a |µ, ν〉 = e−ν2

∞∑

n′,n=0

νnνn′

√n!n′!

n 〈n′| n〉 = e−ν2

∞∑

n′,n=0

νnνn′

√n!n′!

· nδn,n′ = e−ν2

∞∑

n=0

ν2n

n!n =

= e−ν2

∞∑

n=1

ν2n

(n− 1)!= e−ν2

∞∑

n=0

ν2n+2

n!= ν2e−ν2

∞∑

n=0

ν2n

n!= ν2e−ν2

eν2

= ν2

Por ultimo, debemos calcular las combinaciones de(

a† + a)

Jx, pero debido a que funcion de onda co-herente factoriza en dos subfunciones de onda, podemos calcular a†, a y Jx por separado y luego volvera juntarlas:

〈µ, ν| a† |µ, ν〉 = e−ν2

∞∑

n,m=0

〈m| νm

√m!

νn√n!

√n+ 1 |n+ 1〉 = e−ν2

∞∑

n,m=0

νmνn√m!n!

√n+ 1δm,n+1 =

= e−ν2

∞∑

n=0

ν2n+1

m!

√

n+ 1

n+ 1= νe−ν2

eν2

= ν

〈µ, ν| a |µ, ν〉 = e−ν2

∞∑

n,m=0

〈m| νm

√m!

νn√n!

√n |n− 1〉 = e−ν2

∞∑

n,m=0

νmνn√m!n!

√nδm,n−1 =

= e−ν2

∞∑

m=0

ν2m+1

m!

√

m− 1

m− 1= νe−ν2

eν2

= ν

Y para el momento angular Jx calculamos de forma analoga, primero J+ y luego J−,

〈µ, ν| |J+〉µ, ν =

=(

1 + µ2)−2J

2J∑

n,m=0

〈J,−J +m| µm

√m!

µn

√n!

√

(2J − n)(n+ 1)

√

2J !

(2J − n)!(2J −m)!|J,−J + n+ 1〉 =

=(

1 + µ2)−2J

2J∑

n=0

µ2n+1

n!√n+ 1

2J !

(2J − n)!

√2J − n

√

(2J − n)(n+ 1) =

=(

1 + µ2)−2J

2J∑

n=0

µ2n+1

n!√n+ 1

2J !

(2J − n)!(2J − n)

Operando el desarrollo tanto para 2J como para −n, y utilizando que

2J∑

n=0

µ2nn

n!

2J !

(2J − n)!= µ2 ∂

2

∂µ2

2J∑

n=0

µ2nn

n!

2J !

(2J − n)!= µ22J

(

1 + µ2)2J−1

=µ2

1 + µ2(A.16)

58APENDICEA. CALCULO DE OPERADORES EN EL ESTADO COHERENTEY ENERGIA SEMICLASICA

llegamos a

〈µ, ν| J+ |µ, ν〉 = 2Jµ

(1 + µ2)(A.17)

de forma equivalente, calculamos J−, y por lo tanto, Jx = (J+ + J−)/2 es igual a

〈µ, ν| Jx |µ, ν〉 = 2Jµ

(1 + µ2)(A.18)

Si juntamos los terminos, conseguimos obtener una expresion de la energıa semiclasica, o del estadocoherente |µ, ν〉:


(

µ2 − 1

µ2 + 1

)

+ ων2 + λ√2J

[

4µν

µ2 + 1

]

(A.19)

Apendice B

Puntos crıticos en la superficie de

energıa

Para estudiar los puntos crıticos de la superficie de energıa determinada por


(

µ2 − 1

µ2 + 1

)

+ ων2 + λ√2J

[

4µν

µ2 + 1

]

(B.1)

necesitaremos, primero calcular las primeras derivadas, identificar los candidatos y despues, mediante eldiscriminante, obtener los mınimos, maximos o puntos de silla si existen.

∂E

∂ν= 2ων + λ

√2J

4µ

µ2 + 1(B.2)

∂E

∂µ= 2ω0J

µ

(1 + µ2)2 − 4λ

√2Jν

(

µ2 − 1)

(µ2 + 1)2 (B.3)

Si igualamos a cero las primeras derivadas, encontraremos los puntos crıticos.

2ων + λ√2J

4µ

µ2 + 1= 0

ω0Jµ

(1 + µ2)2 − 4λ

√2Jν

(

µ2 − 1)

(µ2 + 1)2 = 0

Y por tanto, obtenemos

ν = − 2λ√2J

ω (µ2 + 1)(B.4)

e introduciendo este ν en la segunda ecuacion de (B.4), obtenemos la condicion para µ:

2Jω0µ

(µ2 + 1)2 + 16Jλ2

µ(µ2 − 1)

(µ2 + 1)(µ2 + 1)2= 0 (B.5)

Simplificando, conseguimos la ecuacion

2ω0µ− 16λ2

ω

µ(1− µ2

(1 + µ2)= 0 (B.6)

59

60 APENDICE B. PUNTOS CRITICOS EN LA SUPERFICIE DE ENERGIA

y operando, llegamos a que los puntos crıticos que cumple ∂E/∂µ y ∂E/∂ν, son

µ = 0

µ = ±(

4λ2 − ω0ω

4λ2 + 2ω0ω

)1/2

λ >√ω0ω/2

e identificamos λc =√ω0ω/2, que es el punto crıtico,

µ = 0

µ = ±(

λ2 − λ2cλ2 + λ2c

)1/2

λ > λc

Sustituyendo estos en la ecuacion (B.4), obtenemos los ν crıticos,

ν = 0

ν = ∓(√

J

ω

√

(λ4 − λ4c)

2λ

)

λ > λc

Por tanto, podemos agrupar por parejas estos puntos crıticos,

µ = 0 ν = 0

µ = ±(

λ2 − λ2cλ2 + λ2c

)1/2

ν = ∓(√

J

ω

√

(λ4 − λ4c)

2λ

)

λ > λc

Para clasificarlos segun mınimos, maximos o puntos de silla, tenemos que calcular el discriminante

D =

∣

∣

∣

∣

∣

∂2E∂µ2

∂2E∂µν

∂2E∂νµ

∂2E∂ν2

∣

∣

∣

∣

∣

(B.7)

Si el discriminate, sustituyendo el valor de los puntos crıticos obtenidos, es mayor que cero y ∂2E∂µ2 tambien,

entonces se trata de un mınimo local, mientras que si por el contrario D > 0 y, por ejmplo, ∂2E∂ν2 < 0

entonces se trata de un maximo. Por ultimo, si D = 0, se trata de un punto de silla. Para ello necesitamoscalcular las segundas derivadas,

∂2E

∂ν2= 2ω

∂2E

∂µ2= 2Jω0

(

4µ− µ2 − 1

(µ2 + 1)3

)

− 4λ√2J

6µν − 2µ3ν

(µ2 + 1)3

∂2E

∂νµ=∂2E

∂µν= λ

√2J4

1− µ2

(1 + µ2)2

Sustituyendo, obtenemos que el discriminante adopta estos valores para los puntos crıticos calculados

µ = 0 ν = 0 ⇒ D > 0,∂2E

∂ν2< 0 λ < λc

µ = 0 ν = 0 ⇒ D = 0 λ > λc

µ = ±(

λ2 − λ2cλ2 + λ2c

)1/2

ν = ∓(√

J

ω

√

(λ4 − λ4c)

2λ

)

⇒ D > 0,∂2E

∂ν2< 0 λ < λc

(B.8)

61

Luego, el punto (µ, ν) = (0, 0) cambia de caracter al cruzarse el punto crıtico. Para λ < λc existe solo unmınimo en la superficie, que esta dado por (µ, ν)min = (0, 0), mientras que para valores de λ superioresa λc, pasa a ser un punto de silla. Sin embargo, aparecen dos mınimos equivalentes en

(µ, ν)min =

(

±[

λ2 − λ2cλ2 + λ2c

]1/2

,∓[√

J

ω

√

(λ4 − λ4c)

2λ

])

(B.9)

Sustituyendo estos valores (µ, ν)min en la energıa, obtenemos

Eminvar (λ)

J=

{

−ω0 λ < λc

−ω0λ2c

λ2 − 2ω

λ4−λ4c

λ2 λ > λc(B.10)

que sera la energıa mınima, debido a la minimizacion de la energıa respecto a los parametros del estadocoherente. Dicha energıa sera exacta en el lımite termodicamico.

62 APENDICE B. PUNTOS CRITICOS EN LA SUPERFICIE DE ENERGIA

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