Cap´ıtulo 11 Fuerzas hidrodin´amicas: arrastre y sustentacio´n · Consideremos el caso de un...
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Cap´ ıtulo 11 Fuerzas hidrodin´ amicas: arrastre y sustentaci´ on Una de las ´ areas mas importantes en flujos en ingenier´ ıa es el estudio de la interacci´ on entre un flujo uniforme y un objeto sumergido. MMFM:dynamics:Dependence of forces on.. 11.1. Flujo alrededor de objetos Para este tipo de flujos nos interesa, principalmente, conocer que tipo de fuerzas el flujo ejerce sobre el objeto. Una vez conocidas estas fuerzas se pueden hacer mejores dise˜ nos. Las fuerzas que un flujo ejerce sobre un objeto se pueden calcular inte- grando los esfuerzos, tanto normales como cortantes, sobre la superficie: − → F = S τ w dS + S (−P )dS Si el cuerpo tiene una forma y orientaci´ on no sim´ etrica, las fuerzas y momentos que ejerce el fluido tienen componentes en las tres direcci´ on coor- denadas. Se acostumbra elegir que uno de los ejes coordenados sea paralelo a la direcci´ on de la corriente uniforme. La fuerza sobre el cuerpo en la direcci´ on de 239
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Capıtulo 11
Fuerzas hidrodinamicas:
arrastre y sustentacion
Una de las areas mas importantes en flujos en ingenierıa es el estudio de
la interaccion entre un flujo uniforme y un objeto sumergido.
MMFM:dynamics:Dependence of forces on..
11.1. Flujo alrededor de objetos
Para este tipo de flujos nos interesa, principalmente, conocer que tipo
de fuerzas el flujo ejerce sobre el objeto. Una vez conocidas estas fuerzas se
pueden hacer mejores disenos.
Las fuerzas que un flujo ejerce sobre un objeto se pueden calcular inte-
grando los esfuerzos, tanto normales como cortantes, sobre la superficie:
−→F =
∫
S
τwdS +
∫
S
(−P )dS
Si el cuerpo tiene una forma y orientacion no simetrica, las fuerzas y
momentos que ejerce el fluido tienen componentes en las tres direccion coor-
denadas.
Se acostumbra elegir que uno de los ejes coordenados sea paralelo a la
direccion de la corriente uniforme. La fuerza sobre el cuerpo en la direccion de
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240CAPITULO 11. FUERZAS HIDRODINAMICAS: ARRASTRE Y SUSTENTACION
Cuerpo de forma arbitraria
Arrastre
Empuje lateral
Empuje vertical
Corriente uniforme
V
Torque
Torque
Torque
este eje se denomina fuerza de arrastre, FD, y el torque se denomina momento
de balanceo.
Tambien, es usual elegir que una de las direcciones perpendiculares a la
direccion del flujo coincida con la direccion de la gravedad. La fuerza de flujo
que aparece en esta direccion se denomina fuerza de sustentacion, FL. En la
otra direccion coordenada perpendicular, la fuerza que se denomina fuerza
lateral.
Sin embargo, por lo general, los cuerpos sumergidos poseen por lo menos
un eje de simetrıa con respecto al flujo. Para estos casos unicamente aparecen
fuerzas de arrastre y sustentacion y momento de balanceo. Si el cuerpo tiene
dos planos de simetrıa, unicamente aparece la fuerza de arrastre.
En principio, se deseamos saber τw y P para poder integrar sobre la
superficie del objetos debemos resolver las ecuaciones de Navier Stokes y la
ecuacion de conservacion de masa:
ρD~v
Dt= ρ~f −∇P + µ∇2~v
∇ · ~v = 0
Sin embargo, sabemos que no es posible resolver estas ecuaciones para un
flujo general.
Existen soluciones aproximadas tanto para flujo viscoso (Re ≪ 1) como
para flujo ideal (Re≫ 1). Flujos en los cuales la viscosidad es el efecto mas
11.1. FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS 241
importante son muy limitados. Las soluciones obtenidas bajo la suposicion
de flujo ideal dan predicciones falsas, en particular para el calculo de arrastre.
Una forma de encontrar soluciones para flujos a alto numero de Reynolds
es la combinacion de la solucion del flujo en dos regiones distintas: la region
cercana a la superficie se resuelve a traves de la aproximacion de capa lımite;
y el flujo lejos de la superficie se resuelve utilizando flujo potencial.
FLUJO EXTERIOR (NO VISCOSO)
FLUJO INTERIOR (VISCOSO)
CAPA LIMITE
Para el caso mas general, para flujo alrededor de geometrıas no simples,la
tecnica que sigue siendo la mas ampliamente utilizada, por lo menos antes de
que las tecnicas computacionales se hicieran de uso comun, es la experimen-
tal. Simplemente se llevan a cabo experimentos: se coloca un cuerpo con una
geometrıa dada en una corriente uniforme, bien caracterizada y controlada,
y se mide la fuerza directamente. El experimento se repite muchas veces para
diferentes condiciones de flujo y se componen graficas o tablas del coeficiente
de arrastre en funcion de parametros adimensionales.
242CAPITULO 11. FUERZAS HIDRODINAMICAS: ARRASTRE Y SUSTENTACION
11.1.1. Fuerza de arrastre
La fuerza de arrastre es la fuerza que resulta de la interaccion de un flujo
y un objeto, que esta en la direccion del flujo.
MMFM:dynamics:Dependence of forces on..
Consideremos el caso de un cuerpo liso con dos planos de simetrıa, por
ejemplo una esfera, inmerso en un flujo incompresible. Si realizamos experi-
mentos para medir la fuerza de arrastre sobre este objeto encontraremos que
FD depende del tamano del objeto L, de las propiedades del fluido, µ y ρ, y
obviamente de la velocidad del flujo, V . En forma funcional podemos decir
que
FD = f1(L, V, µ, ρ)
Si recordamos en teorema de Π-Buckingham, podemos con estas cinco
variables formar dos numeros adimensionales independientes. Podemos en-
tonces re-expresar la relacion funcional para la fuerza de arrastre en forma
adimensional:FD
ρV 2L2= f2
(ρV L
µ
)
= f2 (Re)
Si definimos el coeficiente de arrastre como
CD =FD
12ρV 2A
donde A es el area del objeto expuesta al flujo, A ∼ L2. Podemos decir,
entonces que
CD = f (Re)
Si consideramos que existen efectos de compresibilidad, de la cercanıa con
una superficie libre o una pared, la relacion funcional para el coeficiente de
arrastre estarıa dada por:
CD = f (Re,M, Fr,Π)
donde M es el numero de Mach dado por M = V/c, donde c es la velocidad
del sonido; Fr es el numero de Froude definido por Fr = V/√gH, donde
H es la distancia a la superficie libre; y Π es la relacion entre el tamano del
objeto y la distancia a una pared solida, Π = L/X .
11.1. FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS 243
Arrastre debido a rozamiento
Como se discutio con anterioridad, el arrastre sobre un cuerpo es la com-
binacion de esfuerzos viscosos de corte y esfuerzos normales que el flujo ejerce
sobre el cuerpo.
En general ambos efectos estan presentes, pero para algunas configura-
ciones o regımenes de flujo, uno de estos tipos de esfuerzo puede dominar con
respecto al otro.
Consideremos el caso del flujo sobre una placa plana horizontal.
�������
U=0
U=U o
y
x
Si no existe gradiente de presion (placa horizontal), entonces la fuerza de
arrastre esta dada por
FD =
∫
S.placa
τwdS
o
CD =
∫
S.placaτwdS
12ρV 2A
Sabemos que τw se puede calcular utilizando un analisis de capa lımite,
tanto para flujos laminares como turbulentos.
Para el caso laminar, sabemos de la solucion de Blasius que
Cf =τw
12ρV 2
=0.664√Rex
244CAPITULO 11. FUERZAS HIDRODINAMICAS: ARRASTRE Y SUSTENTACION
Para calcular CD consideremos una placa de largo L y ancho b. Entonces
CD =1
bL
∫ L
0
0.664
√ν
Vx−0.5bdx
por lo que
CD =1.328√ReL
Para flujo turbulento
Cf =0.0027
Rex1/7
entonces
CD =0.00315
ReL1/7
FLUJO EXTERIOR (NO VISCOSO)
FLUJO INTERIOR (VISCOSO)
CAPA LIMITE
Arrastre debido a diferencia de presiones
Consideremos ahora el flujo alrededor de una placa perpendicular al flujo.
Para un flujo a numero de Reynolds alto, aparecen zonas de separacion en
la parte posterior de la placa. La separacion esta caracterizada por generar
zonas de baja presion. Entonces, para este tipo de flujos el arrastre sobre
la placa es resultado, principalmente, de la diferencia de presiones entre la
parte anterior y posterior.
11.1. FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS 245
��
��
��
��
��
U=0
U=U o
y
x
separación
Aunque la presion en la parte posterior es practicamente constante, esta
no se puede determinar analiticamente. Se debe recurrir a experimentos para
determinar el arrastre.
El coeficiente de arrastre para una placa perpendicular al flujo depende
de la razon del ancho con respecto a la altura (b/h). Para el caso el que
b/h = 1.0, es CD alcanza un valor mınimo de 1.18. La grafica mostrada en la
figura es valida para el caso en que Reh > 1000.
El coeficiente de arrastre para todos los objetos con aristas agudas resulta
esencialmente independiente del numero de Reynolds, debido a que los puntos
de separacion estan fijos a la geometrıa del objetos.
La figura siguiente muestra el CD para varias geometrıas, tambien para
el caso en que Re > 1000.
246CAPITULO 11. FUERZAS HIDRODINAMICAS: ARRASTRE Y SUSTENTACION
FLUJO EXTERIOR (NO VISCOSO)
FLUJO INTERIOR (VISCOSO)
CAPA LIMITE
11.1.2. Flujo alrededor de una esfera
En la seccion anterior vimos los casos en que el arrastre es producido ya
sea por esfuerzos viscosos o por diferencia de presiones. Para el caso viscoso,
la dependencia de CD con el Re era importante; por otro lado, cuando el
arrastre era generado por gradientes de presion (capa lımite desprendida) el
CD era practicamente constante. MMFM:Bondary layers:separation
Para el caso del flujo alrededor de una esfera, la transicion entre flujo
viscoso y flujo inercial se puede apreciar muy bien. La figura siguiente muestra
la grafica de CD como funcion de Re para una esfera lisa.
Se pueden distinguir varios regımenes de flujo:
1. Re ≪ 1. En este caso en flujo es dominado enteramente por esfuerzos
viscosos. De hecho, para este caso se puede encontrar una solucion
11.1. FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS 247
analıtica para el arrastre resolviendo las ecuaciones de Stokes:
FD = 3πµDUo
por lo tanto
CD =24
Re
Esta expresion es la linea recta a la izquierda de la figura. El flujo tiene
simetrıa aguas arriba-aguas abajo.
2. Para Re > 1 la expresion obtenida para el arrastre viscoso comienza
a fallar. Hasta Re ≈ 25 el flujo no se separa en la parte posterior de
la esfera, pero es ligeramente asimetrico. El CD continua disminuyendo
monotonicamente conforme Re aumenta, hasta Re ≈ 1000.
A partir de Re ≈ 25, se observa claramente un desprendimiento de la
capa lımite en la parte posterior de la esfera. La estela de recirculacion
se mantiene laminar y estable para flujos de hasta
3. Para el rango de flujos entre 25 < Re < 130, la estela de recirculacion
es estacionaria. La estela crece.
248CAPITULO 11. FUERZAS HIDRODINAMICAS: ARRASTRE Y SUSTENTACION
11.1. FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS 249
4. Entre 130 < Re < 400 la estela se vuelve inestable. Existe una compe-
tencia entre la generacion y la difusion y la conveccion de la vorticidad.
Se observa que vortices se desprenden de manera periodica de la parte
posterior de la esfera.
Para estos tres ultimos regımenes de flujo, el arrastre es una combina-
cion de esfuerzos viscosos y de presion.
5. En Re = 1000 el rozamiento viscoso es unicamente 5% del arrastre.
Para flujo con Re > 1000 el coeficiente de arrastre se mantiene practi-
camente constante , CD ≈ 0.4.
Para 1000 < Re < 350000, el flujo es no estacionario y asimetrico.
Ocurre el desprendimiento periodico de vortices.
6. Para Re > 200000, la caracterısticas del flujo cambian por completo.
Para Re ≈ 280000, la capa lımite se vuelve turbulenta. Puesto que para
este regimen existe una mayor agitacion del flujo, la capa lımite se re-
adhiere y disminuye la diferencia de presiones entre la parte frontal y
la posterior. Por tanto, el CD cae precipitadamente.
El comportamiento del flujo alrededor de un cilindro es muy parecido al
de la esfera.
250CAPITULO 11. FUERZAS HIDRODINAMICAS: ARRASTRE Y SUSTENTACION
Re=0.16
Re=26.8
Re=118
Re=15000 Re=30000
Re=8.15
11.1. FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS 251
11.1.3. Perfiles aerodinamicos
Una forma de reducir el arrastre hidrodinamico es eliminando las zonas
de recirculacion para disminuir el arrastre por diferencia de presiones, que
tiene a dominar para flujo con numero de Reynolds elevado.
La zonas de recirculacion, o de desprendimiento, se pueden eliminar o
reducir se la forma del cuerpo es suave y se evitar las esquinas y cambios
abruptos de direccion. Sin embargo, al anadir regiones solidas para disminuir
las orillas, se aumenta tambien el area superficial, y por tanto, se aumenta
el arrastre por friccion.
Se han realizado muchas investigaciones para determinar la forma de ideal
de un perfil. La mayorıa de estas de forma experimental. La forma optima es
aquella que produce el mınimo de arrastre.
El mınimo coeficiente de arrastre que puede producirse es de aproxima-
damente 0.06, que representa tan solo el 20% del valor encontrado para un
cilindro.
252CAPITULO 11. FUERZAS HIDRODINAMICAS: ARRASTRE Y SUSTENTACION
11.1.4. Fuerza de sustentacion
La sustentacion es la fuerza que el flujo ejerce sobre el cuerpo en al direc-
cion perpendicular al flujo. Por lo general, esta direccion es la de la gravedad.
Esta fuerza aparece cuando el segundo plano de simetrıa con respecto al flujo.
El coeficiente de sustentacion esta definido como
CL =FL
12ρV 2Ap
donde Ap es el area proyectada del objeto frente al flujo.
U=U o F L
F D A p
L
Podemos decir que tanto el coeficiente de arrastre con el de sustentacion
son funciones del numero de Reynolds, Re = LUo/ν. Ademas de tambien
tambien depender de la geometrıa, son funciones importantes del angulo de
ataque, α. Este angulo esta definido como el angulo entre la cuerda del perfil
y el vector velocidad de la corriente libre. Debe notarse que el area proyectada
es tambien una funcion de α.
La figura muestra un ejemplo de CL y CD para un perfil aereodinamico
de clasificacion NACA. Puede notarse que CL aumenta como funcion de
alpha, hasta llegar a un valor maximo. Si se continua aumentado el angulo
de ataque, el coeficiente de sustentacion decrece rapidamente. Se dice que el
11.1. FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS 253
flujo alrededor del perfil esta ahogado, si el coeficiente de sustentacion decrece
de esta manera.
El ahogamiento ocurre cuando el flujo se separa sobre la mayor parte de
la cara superior del perfil. Conforme el angulo de ataque crece, el punto de
estancamiento se mueve sobre la superficie del perfil.
Podemos tambien mencionar que para perfiles finitos, el coeficiente de
sustentacion es menor que el calculado par perfiles bi-dimensionales.
Aviones
Para diseno de aviones necesitamos considerar dos factores:
El arrastre debe ser bajo. Un alto arrastre implica una potencia mas
alta para mover el avion.
La sustentacion debe ser alta. Si la sustentacion es grande, el avion
puede transportar pesos mas grandes.
Tambien debemos considerar las siguientes condiciones: Durante el des-
pegue y el aterrizaje, la sustentacion debe poder controlarse. Por ejemplo,
durante el aterrizaje, necesitamos tener una alta sustentacion a velocidades
no muy grandes.
Para vuelo permanente tenemos
Wavion = FL = CL1
2ρU2
oA
La velocidad mınima se puede calcular de la expresion anterior cuando
CL = CL(max):
Umin =
√
2W
ρCL(max)A
por tanto la velocidad mınima se puede disminuir si se aumenta A o CL. CL
se puede varias con alas de geometrıa variable.
254CAPITULO 11. FUERZAS HIDRODINAMICAS: ARRASTRE Y SUSTENTACION
Sustentacion por giro
Otra manera de generar fuerzas de sustentacion es por el giro del objeto.
La aparicion de una fuerza perpendicular al flujo como resultado del giro de
una esfera o cilindro se conoce como efecto de Magnus. Este efecto se una
ampliamente en los deportes.
11.1. FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS 255
256CAPITULO 11. FUERZAS HIDRODINAMICAS: ARRASTRE Y SUSTENTACION
