TRANSFORMDA Z
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Edición Nº 1.Diciembre 2011 “En CONTROL II ”
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Contenido de la Transformada. Integrantes: Luque Amanda Paola D´ Lucas.
Transcript of TRANSFORMDA Z
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Edicin N 1.Diciembre 2011
En CONTROL II
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En CONTROL II
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Fundada: 19 de Octubre del 2011 Colaboradores: Equipo .
Comentarios: [email protected]
Directorio General Directora: Amanda M. Luque Mndez Equipo Editorial: Paola D` Lucas. Agradecimiento: A la Ing. Prof. Brbara Vsquez Ilustraciones: El equipo. Portada: Amanda Luque Fotografas: Archivo personal y Google.
Apreciados y Apreciadas lectoras. DOS (2) soadora le dan la ms cordial bienvenida a la primera edicin de su revista digital AMANPAO En CONTROL II, TRANSFORMADA Z que pone en sus manos el futuro de control para aplicarlo en lo que deseen. Contiene:
Una gama de artculos que tratan de exponer la mejor manera de convierte una seal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto en una representacin en el dominio de la frecuencia compleja. Esperemos que sea de su agrado para cumplir con las expectativas de nuestros apreciados lectores.
Los editores.
Universidad Fermn Toro (UFT) . Inspiracin en la Ing. Prof. Brbara Vsquez
Transformada Z. Control II.
En CONTROL II
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http://imageshack.us/photo/my-images/820/desparramado.gif/
En CONTROL II
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Es aquella que convierte una seal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto en una representacin en el dominio de la frecuencia compleja. El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podra llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre ms adecuado para la TZ podra haber sido "Transformada de Laurent", ya que est basada en la serie de Laurent. La TZ es a las seales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las seales de tiempo continuo La transformada Z hace posible el anlisis de ciertas seales discretas que no tienen transformada de Fourier en tiempo discreto; pudindose demostrar que la transformada Z se reduce, a la transformada de Fourier de tiempo discreto cuando la variable de transformacin es unitaria sea cuando |Z| = 1 .
TRANFORMADA
En CONTROL II
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En CONTROL II
La transformada Z BILATERAL de una secuencia en tiempo discreto X[n] se define como:
donde Z es una variable compleja.
Transformada Z UNILATERAL para la sumatoria es Z( X[n] ). Si la secuencia es causal, la transformada Z se convierte en :
La transformada Z unilateral es de gran utilidad en el anlisis de sistemas causales, especificados por ecuaciones en diferencias, con coeficientes constantes y con condiciones iniciales, es decir, aquellos que en su inicio no se encuentran en reposo.
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http://sarkasstiko.com/2011/05/30/venezuela-100-libre-de-humo-de-
tabaco/libredehumo/
Pila en E.D
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En CONTROL II
1. Linealidad. Si X1[n] y X2[n] son dos secuencias discretas con transformadas X[Z] y X2[Z], entonces:
Z(a1X1[n]+a2X2[n])=a1X1[Z]+a2X2[Z] siendo a1 y a2 constantes arbitrarias.
2. Desplazamiento temporal. Sea X[n] una secuencia causal con transformada X[Z]. Entonces, dado cualquier entero n0>0, se tiene :
Simultneamente se puede demostrar que:
3. Multiplicacin por an. Si X[Z] es la transformada Z de X[n], entonces la transformada Z de anX[n] est dada por X[a-1Z].
Demostracin
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4. Diferenciacin con respecto a Z. Si se deriva la expresin
que es la transformada Z de una secuencia causal X[n], respecto a Z se tiene:
De la expresin anterior se deduce que:
Se puede demostrar, derivando sucesivamente, que:
En CONTROL II
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5. Teorema del Valor inicial. Dada una secuencia causal X[n] se tiene que
Desarrollando la sumatoria, se tiene que X[Z]=X[0]+X[1]Z-1+ ... +X[n]Z-n
Se puede observar que cuando Z tiende a infinito, Z-n tiende a cero para todo n, por tanto,
6. Teorema del Valor fina. Sea X[n] una secuencia causal. El valor final de X[n], esto es, el valor de X[n] a medida que n tiende a infinito se puede dar por la siguiente expresin:
siempre que el valor final exista, o sea que exista X[n] cuando n tiende a infinito.
En CONTROL II
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6. Convolucin: La convolucin de dos secuencias causales X[n] y y[n] no es ms que el producto normal de las transformadas Z de ambas secuencias, es decir, X[n]*y[n]=X[Z]y[Z]
En particular, si X[n] es la entrada de un sistema lineal invariante con el tiempo y h[n] es la respuesta al impulso, entonces se tendr que: Z[X[n]*h[n]]=y[Z]=X[Z]H[Z] Donde H[Z] es la transformada de h[n]. Para obtener la salida y[n] bastar hallar la transformada inversa de y[Z] .
En CONTROL II
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En CONTROL II
1. Impulso unitario (delta de Kronecker). Definiendo la secuencia impulso unitario para , su transformada se determina de la siguiente forma:
[ ] 1 20
( ) ( ) ( ) (0) (1) (2) .....k
k
z Z k k z z z
=
= = = + + +
( ) 1z =
2) Retraso ( ) ( )f k k m=
[ ]( ) ( ) mF z Z k m z = =3) Escaln unitario Definido por ( ) 1ku k =
La transformada es: 1 20
( ) ( ) (0) (1) (2) ... ( ) ...k k
k
U z u k z u u z u z u k z
=
= = + + + + +
1 11
1 0 0
1( ) lim lim ( ) lim
1
= =
= = =
NN N
k k
N N Nk k
zU z z z
z
1
1( )
1U z
z =
1z fpara
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En CONTROL II
4) Serie geomtrica
( ) 0, 1, 2, 3, ... , .= =kf k a k n
1( ) ( )kZ a f k F a z =
1
1( )
1
k a zf k aa z
=
Multiplicando y dividiendo por a
Si se tiene una serie divergente y Si se tiene una magnitud unitaria y Si se tiene una serie convergente a cero y
5) Rampa discreta unitaria Multiplicando la ecuacin anterior por y considerando , se obtiene :
20 ( 1)
k
k
zkz
z
=
=
1z f
0
( )
=
= kk
F z kz
Para una secuencia geomtrica se tiene:
0
=
=
k kk
za z
z a
Derivando con respecto a z: 2 2
0
( )
( ) ( )
=
= = =
k kk
d d z z a z aa z
dz dz z a z a z a
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http://miguelitoseinforma.blogspot.com/2010/10/maximacion-de-la-publicidad-de.html
En CONTROL II
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La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega el mismo papel que la transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo. Para que la transformada Z sea til, se debe estar familiarizado con los mtodos para hallar la transformada Z inversa. La notacin para la transformada Z inversa ser Z-1. La transformada Z inversa de X[Z] da como resultado la correspondiente secuencia X[n].
Existen cuatro mtodos para obtener la transformada Z inversa y sern:
En CONTROL II
1. Residuos: El teorema de Cauchy establece que :
Los residuos de En para polos z=a de orden q, vienen dados por:
y para polos simples ( q=1)
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En CONTROL II
2. Desarrollo en serie de potencias Ya que X(z) es analtica en la regin de convergencia, se puede desarrollar una serie de Tailor en la funcin z-1. Al tener la transformada z la misma forma, los coeficientes de desarrollo se pueden identificar como los valores de x(k) 3. Divisin polinmica Se puede expresar X(z) como cociente de polinomios, se puede obtener la transformada inversa por decisin polinmica sucesiva. Los coeficientes del polinomio cociente son los valores de las muestras de la seal temporal. Este mtodo adems tiene la ventaja de ser fcilmente programable. A cambio , el resultado que se obtiene es numrico, no analtico. 4. Fraciones Parciales Si X(z) es un cociente de polinomios, tambin se puede expresar de la forma
siendo P(z) de grado M y Q(z) de grado N. Si MN el grado de S(z) es M-N descomponiendo en fracciones simples:
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En CONTROL II
Una vez efectuada la descomposicin se puede recurrir a realizar la transformada inversa de cada una de las fracciones, teniendo en cuenta la propiedad de linealidad ( utilizacin de tablas)
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Dada una ecuacin en diferencias de orden n, utilizamos las propiedades de la transformada Z, en especial las de linealidad y desplazamiento, para transformarla en una ecuacin algebraica. La siguiente tabla muestra la transformada Z de algunas secuencias, usando la propiedad de desplazamiento.
Funcin Discreta Transformada Z
X[n+4] Z4X[Z]-Z4X[0]-Z3[1]-
Z2X[2]-ZX[3]
X[n+3] Z3X[Z]-Z3X[0]-Z2X[1]-ZX[2]
X[n+2] Z2X[Z]-Z2X[0]-ZX[1]
X[n+1] ZX[Z]-ZX[0]
X[n] X[Z]
X[n-1] Z-1X[Z]
X[n-2] Z-2X[Z]
X[n-3] Z-3X[Z]
X[n-4] Z-4X[Z]
En CONTROL II
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1. Considere la ecuacin en diferencia y[n]-1/2y[n-1]=d[n] y la condicin inicial y[-1]=3. Halle y[n] para n0.
Solucin Tomando transformada Z a ambos lados de la ecuacin, y usando la propiedad de desplazamiento temporal, se tiene: Y[Z]-1/2Z-1(Y[Z]y[-1]Z)=1 Por tanto,
Usando la tabla de transformadas, se tiene que: y[n]=5/2(1/2)n
2. Halle la transformada Z de X[n]=anU[n]. Solucin Como la Trasformada de U[n] es
es decir
entonces
En CONTROL II
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En CONTROL II
1. Dada X[Z] como,
Halle X(Z) Solucin:
Si se hacen los siguientes cambios de variables: n = -m en la primera sumatoria n = 2m en la segunda sumatoria n = 2m + 1 en la tercera sumatoria se tiene :
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En CONTROL II
Se trata de tres serie geomtricas que convergen s: |1/3Z| < 1 o sea |Z| < 3 |1/9Z-2| < 1 o sea |Z| > 1/3 |1/4Z-2| < 1 o sea |Z| > 1/2 El intervalo de convergencia de X[Z] ser la interseccin de los tres intervalos anteriores, o sea 1/2 < |Z| < 3.
por tato:
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En CONTROL II
2. Halle la transformada Z de:
Siendo a una constante. Solucin
converge si |aZ-1| o sea si |Z| > a.
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INFOTECNO | 9
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