Escuela Superior Politecnica del Litoral

Algebra LinealProf. Ing. Maria Nela Pastuizaca

Capitulo #8Transformación lineal

DefiniciónSean V y W espacios vectoriales. Una transformación lineal T de V en W (T: V→W) es una funcion que asigna a cada vector v V un vector unico T(v) W y que satisface:A.1)A.2)

Ejemplo:

T es un operador lineal

No se cumple el primer axioma, por lo tanto T no es lineal.

Teorema:Si T de V en W es una transformación lineal entonces:

La imagen del cero vector de V es el cero vector de W.

Demostración:

La imagen del inverso de X es el inverso de X.

Demostración:

La transformada de la combinación lineal es la combinación lineal de la transformada.

Demostración:Inducción matemáticaP(n) 1.

2.Suponer: P(K) 1

Ojo: en la inducción matemática solo se trata naturales.Nota: porque no me asegura que se cumpla esto.

Ejercicio:Sea una transformación lineal tal que

Determine

Ubicamos las combinaciones lineales en una matriz para obtener los

Otra manera de llegar a la misma respuesta es la siguiente:

Núcleo o kernel de una transformación lineal

Definición: sea T de V en W una transformación lineal entonces el núcleo de la transformación denotada por Nu(T) o Ker(T) se define como

.

A la dimensión del núcleo de T se lo conoce como nulidad de T y se denota por .

Imagen o recorrido de una transformaciónDefinición: sea T de V en W una transformación lineal entonces el recorrido de la transformación denotada por Re(T) o Im(T) se lo define como

.

A la dimensión de la imagen de T se lo conoce como rango de T y se denota por .

Teorema:Sea T de V en W una transformación lineal entonces:

1. El núcleo de T es un subespacio de V.Demostración:1) V es un E.V.

2)

2. El recorrido de T es un subespacio de V.

1)

2)

Re(T) es un subespacio de V.

Ejercicio:Determine el núcleo, el recorrido, la nulidad y el rango de la transformación dada.

a)

Sea P(x)=ax2+bx+c

Determine el núcleo, el recorrido, la nulidad y el rango de la transformación dada.

b)

Determine el núcleo, el recorrido, la nulidad y el rango de la transformación dada.

c)

Representación matricialSea una transformación finita. Entonces existe una matriz única de mxn AT tal que T(x)=AT.x, x .

Dicha matriz se denomina, matriz de información correspondiente a T o representación matricial de T.

1)

Núcleo de la transformación=núcleo de la matriz asociada

Teorema:Sea T de Rn en Rm una transformación lineal. Si AT es la matriz asociada a T, entonces:

Ejercicios:Sea

;determine A(T), Nu(T), Im(T), , .

¿Como resolver el sistema?

Teorema:

Sea V un espacio vectorial de dimensión “n” y W un espacio vectorial de dimensión “m” y T:V W una transformación lineal sea: una base de V y

una base de W, entonces existe una matriz única AT de mxn tal que:

Dicha matriz se denomina matriz asociada a la transformación con respecto a B1 y B2 y esta dada por:

Demostración:

Suponemos:

Ejercicio:

Determine la matriz asociada a la transformación:

Determine A(T) con respecto a:

Solución:

T:

Hallar A(T) con respecto a:

a) base canónica

Solución:

Respuesta:

Sea

Determine:

Solución:

a)

b)

c)

Isomorfismo

Sea una transformación lineal, se dice que T es un isomorfismo si y solo si T es 1a1 y sobre.

Transformación invectiva(1a1): Sea una transformación lineal se dice que T es 1a1 si y solo si el núcleo de T es igual

Transformación sobrejectiva(sobre): Sea una transformación lineal. Se dice que T es sobrejectiva si para todo

existe al menos un tal que .

Es decir T es sobrejectiva si y solo si la imagen de T=W.

Ejemplo:Determine si la transformación dada es 1a1, sobre, o ambas.

Solución:

T es 1a1.

TeoremaSea una transformación lineal, si:

Entonces:1) si T es 1a1 entonces es sobre.2) Si n es sobre entonces T es 1a1.

Ejercicio:Determine si T es isomorfismo:

a)

b)

Solución: las dimensiones no son iguales.

T no es isomorfismo.

c)Sea V un espacio vectorial con determine si:

es un isomorfismo.

Solución:

Entonces

Teorema Sea un isomorfismo si es una base para V entonces

es una base para W.

Espacios vectoriales isométricamente isomorfosSe dice que los espacios vectoriales V y W son isomorfos si existe un isomorfo

en este caso se escribe .

TeoremaV es isomorfo a W si y solo si la dim(V)=dim(W).

Demostración:

Es posible construir una transformación lineal que sea 1a1.

Es posible construir una transformación lineal que sea sobre.

Inversa de una transformaciónLa transformación lineal es invertible si y solo si existe una transformación lineal tal que es igual a la identidad sobre W y es igual a la identidad sobre V.

Si existe se dice que es una función tal que .

Ejercicio:Determine si la siguiente transformación lineal es invertible:

T es invertible.

Teorema:es invertible si y solo si T es un isomorfismo.

Demostrar: Si es invertible entonces también es invertible y .Solución:

Si es una transformación lineal, T es invertible por tanto existe tal que Si el antecedente me dice es invertible. estas dos son verdaderas.

Si

T es invertible si existeTal que

Existe S´ puesto que S´=T l.q.q.d.

Ejercicios:

1.-Determine si las tranformaciones siguientes son lineales:

a.- f.-

b.- g.-

c.- h.-

d.- i.-

e.- j.-

2.-Sea el espacio vectorial de las matrices simetricas. Sea la Transformacion lineal T: con regla de correspondencia:

T

a)Encuentre una base para el nucleo de T y una base para el recorrido de Tb)Encuentre la nulidad de T y el rangoc)Determine si T en un isomrfismo.Justifique su respuesta

3.-Sea T: una transformacion lineal. Si se conoce que:

Determine la regla de correspondencia de T

4.-Considere la transformacion lineal T: V→V y sea B={ una base de V. Sea

Determine:a)La matriz asociada a Tb)Si T es un isomorfismoc)El nucleo y la imagen de T

5.-Construya de ser posible una transformacion lineal de P en M tal que

T(1-x)= y

6.-Sea T: tal que T(A)=GA donde

a)Determine una base de la imagen de T y la nulidad de Tb)Determine la representacion matricial de con respecto a la base canonica de

7.-Sea T: una transformacion lineal definida por:

a)Encuentre la representacion matricial de T con respacto a las bases canonicas de cada espaciob)Halle una base para y otra base para de modo que la representacion matricial de T con respecto a y sea la matriz identidad.

8.-Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones, demuestrelas o de un contraejemplo.

a)Si T: una transformacion lineal definida por , entonces T es

un isomorfismo

b)Si T es un isomorfismo de V en W y T es un operador de W en W, entonces T o T es sobreyectiva

c)Existe una transformacion lineal T: tal que:T(1,0)=(1,1) T(3,2)=(1,-1) T(3,3)=(2,2)

d)Sean V y W espacios vectoriales ambos de dimension n, sean B y B bases para V y W respectivamente, sea ademas la matriz asociada a T con respecto a las bases B y B . Bajo estas condiciones det ≠0 entonces T es un isomorfimo de V a W.

e)Sea T una transformacion lineal de V en W y si { es linealmente independiente en V y T es inyeciva, entonces { }es linealmente independiente en W

f)Si T1 y T2 son isomorfismos de V en W. Entonces(T1oT2) tambien lo es.

g)Sea T: V→W un isomorfismo y . Entonces T: V→w es tambien un isomorfismo

h)Sea V=L( ) el espacio vectorial de las transformaciones lineales cuyo dominio es el espacio de los polinomios de grado menor igual a 2 y cuya imagen esta en , bajo estas condiciones, V es isomorfo a , el espacio de matrices cuadradas 2×2.

9.-Considere la transformacion lineal dada por a)Determine su representacion matricial respecto a las bases canonicasb)Determine su representacion matricial respecto a las bases:

10.-Sea la transformacion lineal con regla de correspondencia:

a)Encuentre una base para el nucleo de T, una base para el recorrrido de T, la nulidad y el rango de Tb)Encuentre ;a representacion matricial de T respecto a las bases canonicas de y , y determine si T es un isomorfismo

11.-Construya de ser posible , una transformacion lineal T: tal que Nu(T)= e Im(T)=gen{x }. Justifique si T es un

isomorfismo.

12.-Sean transformaciones lineales de en dadas por:

a)Encuentre la representacion matricial de estas transformaciones con respecto a la base

b)Determine el nucleo, la nulidad y el recorrido de