Instituto Tecnolgico Superior de Misantla

Transformaciones Lineales

Docente: Ing. Pablo Colorado

Posadas

Unidad V

Gabriela Huesca Mndez

Segundo Semestre

Ingeniera Civil

206 B Mayo 2014

ndice Introduccin ............................................................................................................. 1

5. Transformaciones Lineales ................................................................................. 2

5.1 Introduccin a las transformaciones lineales ..................................................... 2

5.2 Ncleo e imagen de una transformacin lineal .................................................. 3

5.3 La matriz de una trasformacin lineal ................................................................ 5

5.4 Aplicaciones de las transformaciones lineales: reflexin, dilatacin, contraccin

y rotacin. ................................................................................................................ 6

Conclusin ............................................................................................................. 10

Bibliografa ............................................................................................................ 11

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Introduccin

Una transformacin es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un

vector para convertirlo en otro vector.

Se denomina transformacin lineal a toda funcin cuyo dominio e imagen sean

espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las

trasformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el lgebra lineal y en

otras ramas de las matemticas, tienen una gran variedad de aplicaciones

importantes.

Las transformaciones lineales tienen gran aplicacin en la fsica, la ingeniera y en

diversas ramas de la matemtica.

A continuacin se explican las propiedades de las transformaciones lineales, sus

diferentes tipos, su imagen y el ncleo, y su representacin matricial.

2

5. Transformaciones Lineales

5.1 Introduccin a las transformaciones lineales

Definicin:

Sean y espacios vectoriales reales. Una transformacin lineal de en es

una funcin que asigna a cada vector un vector nico y que

satisface, para cada y en y cada escalar ,

( )

y

( )

Notacin

1. Se escribe para indicar que toma el espacio vectorial real y lo

lleva al espacio vectorial real ; esto es, es una funcin con como su dominio

y un subconjunto de como su imagen.

2. Se escriben indistintamente y ( ). Denotan lo mismo; los dos se leen

.

3. Las transformaciones lineales con frecuencia se denominan operadores

lineales.

Ejemplo

Sea definida por . / (

). Por ejemplo, .

/ (

).

Entonces

0.

/ .

/1 .

/ (

)

(

) (

)

3

Pero

(

) .

/ y (

) .

/

As,

0.

/ .

/1 .

/ .

/

De manera similar,

0 . /1 .

/ (

) (

) . /

As, es una transformacin lineal.

*La transformacin cero

Sean y espacios vectoriales y defina por para todo en .

Entonces ( ) y ( ) . En este

caso, se denomina la transformacin cero.

*La transformacin identidad

Sea un espacio vectorial y defina por para todo en . Aqu es

obvio que es una transformacin lineal, la cual se denomina transformacin

identidad.

5.2 Ncleo e imagen de una transformacin lineal

Definicin:

Sean y dos espacios vectoriales y sea una transformacin lineal.

Entonces

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I) El ncleo o kernel de , denotado por , est dado por

* +

II) La imagen o recorrido de , denotado por , est dado por

* +

Teorema

Si es una transformacin lineal, entonces

I) es una subespacio de .

II) es un subespacio de .

Demostracin

I) Sean u y v en ; entonces ( ) y ( )

de forma que y estn en .

II) Sean w y x en . Entonces y para dos vectores u y v en .

Esto significa que ( ) y ( ) . Por lo tanto,

y estn en .

*Ncleo e imagen de la transformacin cero

Sea para todo ( es la transformacin lineal). Entonces e

* +.

*Ncleo e imagen de la transformacin identidad

Sea para todo ( es la transformacin identidad). Entonces * + e .

Las trasformaciones cero e identidad proporcionan dos extremos. En la primera

todo se encuentra en el ncleo. En la segunda slo el vector cero se encuentra en

el ncleo.

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5.3 La matriz de una trasformacin lineal

Si es una matriz de y est definida por , entonces,

es una transformacin lineal.

Entonces, una transformacin lineal puede estar definida por

ecuaciones de la forma:

. . . . . . . . . . . .

En notacin matricial:

[

]

[

]

[

]

En notacin ms compacta:

Teorema

Sea una transformacin lineal. Existe entonces una matriz nica de

, tal que

para toda

Ejemplo:

6

1. ; . / (

)

Resultado:

(

)

5.4 Aplicaciones de las transformaciones lineales: reflexin,

dilatacin, contraccin y rotacin.

Dilatacin o escalamiento 2D

El escalamiento 2D implica el cambio de tamao de un polgono, donde cada

punto ( ) es transformado por la multiplicacin de dos factores de

escalamiento: y a lo largo de los ejes y respectivamente, de esta forma,

las coordenadas del nuevo punto ( ) se obtienen como:

Sea ( ) el vector de factores de escalamiento, y ( ) la matriz de

escalamiento, en coordenadas homogneas el escalamiento de un punto en 2D

se puede expresar como el producto matricial ( ), es decir:

, - , - [

]

7

La figura muestra el efecto escalamiento de una figura con y .

Dilatacin o escalamiento 3D

Extendiendo la idea anterior a 3D, el escalamiento implica el cambio de tamao de

un poliedro, donde cada punto ( ) es transformado por la multiplicacin

de tres factores de escalamiento: , y a lo largo de los ejes , y

respectivamente, de esta forma, las coordenadas del nuevo punto (

)

se obtienen como:

Sea ( ) el vector de factores de escalamiento, y ( ) la matriz de

escalamiento, en coordenadas homogneas el escalamiento de un punto en 3D

se puede expresar como el producto matricial ( ), es decir:

, - , - [

]

La figura muestra el efecto de escalamiento de una figura con , y

.

8

Transformacin de reflexin

Sea definida por . / .

/. Es fcil verificar que es lineal. En

trminos geomtricos, toma un vector en y lo refleja respecto al eje .

Transformacin de rotacin

Suponga que el vector . / en el plano se rota un angulo (medida en

grados o radianes) en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Llame a este

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vector rotado (

). Entonces, como se ve en la figura 7.3, si denota la

longitud de (que no cambia por la rotacin).

( ) ( )

Pero ( ) , de manera que

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Conclusin

Se han visto las distintas propiedades y teoremas que este tema presenta, todo

para su comprensin y entendimiento, con esto se concluye que los temas vistos

tienen una cierta relacin ya que en algunos de estos se recurre a conocimientos

adquiridos anteriormente.

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Bibliografa

Grossman, Stanley I., Flores Jos, lgebra lineal, Sptima edicin, Mc Graw Hill

Santiago Hernndez, Clemente, lgebra Lineal