TRANSFORMACIONES LINEALESTeoría

Definición: Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales, es decir, el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro.

Notación: para señalar una transformación lineal usaremos f (v)=W, donde V y W son los espacios vectoriales que actúan sobre un mismo campo.Terminología: a las transformaciones lineales las llamaremos aplicación lineal.

Gráfico:

Dado un espacio vectorial V,

V

cuyos elementos son: v1, v2…, y dado un espaciovectorial W, sus elementos son función de los elementos de V

W

v1v2v3

w1w2w3

f

Sean:V,W: Espacios Vectoriales

v1,v2,v3w1,w2,w3

Vectores

Teorema: Una función f de V en W que asigna a cada vector v , un vector f(v) Є W es una transformación lineal, si y sólo si, α Є K, vi, vj Є V, satisface los siguientes axiomas:

A A

1. f (vi + vj) = f (vi) + f (vj)

2. f (vi) = α.f (vi)Teorema:Sea f : V W Una transformación lineal, entonces se cumple que:1. f (0v) = 0w

2. f (vi - vj) = f (vi) - f (vj)

Teorema:Sea f : V W Una transformación lineal, dimV=n

dimV = dimN (f) + dimIm (f)

Ejercicios:1. Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y

realizar un diagrama.

f : P(2) R2

(a+bx+cx2 ) f (a+bx+cx2 ) = (a-b, 2c+a ) Solución:

(1-x)(3+x-2x2)(0+0x+0x2)

Los vectores a considerar son:

f (1-x) = (2,1)f (3+x-2x2) = (2,-1)f (0+0x+0x2) = (0,0)

Por lo tanto, al reemplazar los valores de los vectores, en la aplicación lineal f, obtenemos las imágenes correspondientes a cada vector.

Diagrama:P(2)

(a+bx+cx2 )

R2

f (a+bx+cx2 ) = (y, z)f

V1V2V3

Ejercicios:2. Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar

un diagrama.

f : R3 R2

(x, y, z ) f (x, y, z) = (2x+y+3z, -x+2y+4z) Solución:

(1,3,2)(3,5,1)(0,0,0)

Los vectores a considerar son:

f (1,3,2) = (11, 13)f (3,5,1) = (14, 11)f (0,0,0) = (0,0)

Por lo tanto, al reemplazar los valores de los vectores, en la aplicación lineal f, obtenemos las imágenes correspondientes a cada vector.

Diagrama:R3

(x, y, z )

R2

f (x, y, z ) = (a, b)f

V1V2V3

Ejercicios:3. Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar

un diagrama.

f : R3 M2

(x, y, z ) f (x, y, z) = Solución:

(1,0,1)

(-2,3,1)

(0,0,0)

Los vectores a considerar son:

f (1,3,2) =

f (3,5,1) =

f (0,0,0) =

Por lo tanto, al reemplazar los valores de los vectores, en la aplicación lineal f, obtenemos las imágenes correspondientes a cada vector.

Diagrama:R3

(x, y, z )

M2

f (x, y, z ) = f

V1

V2

V3

x+y-z x+3y+2z

2x+y-3z -3x+2y+3z

0 3-1 00 9-4 150 00 0

a bc d

NÚCLEOTeoríaDefinición: El núcleo es un subespacio vectorial perteneciente al espacio vectorial V, cuyo vector correspondiente en el espacio vectorial W es el vector cero.

N (f) = { v Є V | f (v) = 0w }

Notación: Núcleo se denota N(f)

Gráfico:

Dado un espacio vectorial V,

V

cuyos elementos son: v1, v2…,vectorial W, El núcleo está formado por todos aquellos vectores que tienen como

W

v1v5v9

0w

f

y dado un espacio

.

.

.

.

.

.

N (f)

Sean:V,W: Espacios Vectoriales

v1,v5,v90w

Vectores

Correspondiente el vector cero en W.

Ejercicios:1. Dada la siguiente aplicación lineal, realice un diagrama, y escriba la definición

de núcleo. f : R2 R3

(x, y) f (x, y) = (x-y,2x, y+x) Solución:

Diagrama:

Por la definición, y ya que el núcleo es un conjunto, lo representamos así:

R2

(x, y)

R3

f (x, y) = (a, b, c)f

1 -1 02 0 01 1 0

x-y = 0 2x = 0y+x = 0

N f : {x, y / f (x, y) = (x-y,2x, y+x) = (0,0,0)} Por lo tanto, planteamos nuestro sistema deecuaciones: Y, luego resolvemos nuestra matriz ampliada, y al resolverla, obtenemosLas restricciones del núcleo. Finalmente expresamos el núcleo con las restriccionesreemplazadas.

y = 0 x = 0

N f : {(x, y)/ x = 0 y = 0}

<

N f : {(0, 0)}

En este caso, el núcleo de la función es el cero vector.

2. Dada la siguiente aplicación lineal, realice un diagrama, y escriba la definición de núcleo.

f : R2 R3

(x, y) f (x, y) = (a, a+b+c, b+c) Solución:

Diagrama:

Por la definición, y ya que el núcleo es un conjunto, lo representamos así:

P(2)

(a+bx+cx2 )

R3

f (a+bx+cx2 ) = (a, b, c)f

1 0 0 02 1 1 00 1 1 0

a = 0 a+ b+c = 0 b+c = 0

N f : {a+bx+cx2 / f (a+bx+cx2) = (a, a+b+c, b+c) = (0,0,0)} Por lo tanto, planteamos elsistema de ecuaciones: Y, luego resolvemos nuestra matriz ampliada, obtenemos las restricciones del núcleo Finalmente expresamos el núcleo con lasrestricciones reemplazadas.

a = 0 b+c=0 b=-c

N f : { a+bx+cx2 / a=0 b= -c }

<

N f : { -cx+cx2/ c Є R } N f : { c (-x+x2) / c Є R } N f : { (-x+x2))}

y al resolverla,

3. Dada la siguiente aplicación lineal, realice un diagrama, y escriba la definición de núcleo.

f : R3 M2

(x, y, z) f (x, y, z) = Solución:Diagrama:

Por la definición, y ya que el núcleo es un conjunto, lo representamos así:

R3

(x, y, z)

M2

f (x, y, z) =f

1 0 -2 02 1 2 02 1 2 03 1 0 0

x-2z = 0 2x+y+2z= 02x+y+2z= 0 3x+y=0

N f : {x, y, z / f (x, y, z) = = }

Por lo tanto, plantemos el sistema de ecuaciones: Y, luego resolvemos nuestra matrizobtenemos las restricciones del núcleo. Finalmente

restricciones reemplazadas.

x-2z=0 x=2zy+6z=0 y=-6z

N f : {x, y, z / x=2z y=-6z }<

N f : { 2z,-6z,z / z Є R } N f : { z (2,-6,1) / z Є R } N f : {2,-6,1}

y al resolverla,

x-2z 2x+y+2z

2x+y+2z 3x+y

a bc d

0 00 0

ampliada,expresamos el núcleo con las

x-2z 2x+y+2z

2x+y+2z 3x+y