Transformaciones isometricas 2

Curso : “Geometría Euclidiana”

Unidad: “Transformaciones Isométricas”

Santiago, 11 de diciembre de 2008

Universidad de Santiago

de Chile

Facultad de Ciencias

Departamento de

Matemática y Computación

Teselaciones

Una teselación (a veces llamada embaldosamiento o mosaico) es un patrón de figuras repetidas que cubre una superficie plana sin dejar espacios ni sobreponer figuras. La palabra teselación viene de tesela (baldosa o loseta), nombre que se da a cada una de las piezas con que se forma un mosaico.


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Teselaciones Regulares

teselación regular es aquella que utiliza un único tipo de polígono regular.


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Teselaciones Regulares

Para teselar el plano se debe cumplir:La suma de los ángulos en cada vértice donde se juntan los polígonos debe ser 360º.la medida de los ángulos interiores de los polígonos regulares tiene que ser un divisor 360º.Entre todas las posibles soluciones hay sin embargo sólo tres viables: los polígonos regulares cuyos ángulos interiores miden respectivamente 60º, 90º y 120º, esto es el triángulo, el cuadrado y el hexágono regular.

Veamos la demostración:


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Notación en las Teselaciones

Se denotará una teselación de cuadrados como 4.4.4.4. Esto significa que en cualquier vértice habrá cuatro polígonos y cada uno de cuatro lados.Entonces la teselación 6.6.6 indica que en cada vértice concurren tres polígonos de seis lados. De la misma forma en una teselación 3.3.3.3.3, en cada vértice habrá seis triángulos como se indica en las siguientes figuras.


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Teselaciones semirregulares

Teselación semirregular es aquella que está formada por dos o más tipos de polígonos regulares. Una teselación semirregular tiene dos propiedades:

Está formada por polígonos regulares. El grupo de polígonos en cada vértice es idéntico.


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Teselaciones semirregulares

Una teselación formada por polígonos regulares está limitada entonces a ciertas combinaciones y resulta que existen sólo 8 teselaciones semirregulares:


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Teselación uniforme

Una teselación uniforme es aquella que está formada por figuras ordenadas de tal manera que aparece más de un tipo de configuración de concurrencia de polígonos en cada vértice.


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Teselación con polígonos irregulares

Todo triángulo tesela el plano y todo cuadrilátero también. Por ejemplo:

triángulo rectángulo escaleno rectángulo.


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Teselación

Teselaciones del plano con mosaicos deformados (abandono de la regularidad)


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Grupos de isometrías

Para cubrir un plano con losetas (teselar el plano)de forma periódica, existen cuatro estrategias para mover y hacer calzar estos patrones de teselación (o losetas):1.- Traslación. Es como si la nueva loseta que añadimos fuera una anterior desplazada a una nueva posición sin giros de ningún tipo.

2.- Rotación. La nueva loseta surge por el giro de una anterior con centro en algún punto determinado y con un ángulo específico.

3.- Reflexión. Cada loseta nueva es la imagen especular de una anterior, con un eje de simetría dado.

4.- Simetría con deslizamiento. Se trata de una reflexión seguida de una traslación en la dirección del eje de reflexión.

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