Revista Colombiana de Física, vol. 40, No. 1, Marzo 2008

1

Transformaciones de Cantidades Termodinamicas en el Regimen de la

Teoria Especial de la Relatividad

W. A. Rojas C.1 y J. R. Arenas S.

1

1Observatorio Astronómico Nacional. Universidad Nacional de Colombia

Recibido 22 de Oct. 2007; Aceptado 3 de Mar. 2008; Publicado en línea 15 de Abr. 2008

Resumen

Se estudian las transformaciones de Lorentz de cantidades termodinámicas para un sistema sencillo, cuyo estado ma-

croscópico se pueda caracterizar en términos de la energía (E) y el volumen (V) o bien de la temperatura (T) y la presión

(P). Las primeras (E y V) se hallan a partir de su naturaleza mecánica y las restantes de principios termodinámicos sin

implicar un cambio en los conceptos de éstos. Como una aplicación de las transformaciones se hace un estudio cualitativo de la máquina de Carnot de un gas perfecto en un ciclo reversible que opera entre dos focos que están a diferente tempera-

tura y que cuya definición del Teorema de Carnot debe ser idéntica para dos observadores en movimiento relativo.

Palabras claves: Termodinámica Relativista, Máquina de Carnot Relativista.

Abstract

The Lorentz transformations of thermodynamic quantities are studied for a simple system whose macroscopic state we can

characterize in terms of the energy (E) and the volume (V) or temperature (T) and the pressure (P). The first ones (E and V) are found from their nature mechanical and the remaining ones from thermodynamic principles without implying a change in

the concepts of these. As an application of the transformations a qualitative study of the Carnot machine for a perfect gas is

made in a reversible cycle that operates between two focuses that are at different temperature and that whose definition of

Carnot Theorem should be identical for two observers in relative movement.

Key Words: Relativistic Thermodynamic, Relativistic Carnot Machine.

1. Introducción

En el presente estudio se pretende extender la termodiná-

mica clásica al marco de la Teoría Especial de la Relativi-

dad (TER) y comprender cómo se comportan los sistemas

termodinámicos cuando se mueven a velocidades cercanas

a c. Lo primero que haceremos es encontrar las transfor-

maciones de cantidades como el calor o la temperatura

entre marcos de referencia inerciales. Para ello pártimos

del supuesto de que las leyes de la Física son válidas para

todos los observadores en movimiento relativo y de la

hipótesis de la invariancia de la entropía para un cambio

adiabático reversible en la velocidad sin absorción de calor

[1,2]. En la segunda parte aplicaremos las transformaciones

termodinámicas relativistas al funcionamiento de una

máquina que se mueve con una velocidad cercana a c que

opera bajo un ciclo de carnot, cuyas isotermas y adibátas

serán trazadas y comparadas con otra en reposo relativo

[2].

2.Transformaciones de cantidades termodinámicas

Llenemos un cubo de arista l de un gas ideal y pongámoslo

a moverse con una velocidad relativista por lo que el siste-

ma experimenta una corrección del inverso del factor de

lorentz1[2]. Tolman en su libro clásico de Relativity Ther-

modynamics and Cosmology [2] establece como hipótesis

1 Recordemos que el factor de Lorentz esta dado por:

2

2

1

1

c

u

W. A. Rojas C. et al.: Transformaciones de Cantidades Termodinamicas en el Regimen de la Teoria Especial de la Relatividad

2

que en un proceso adiabático reversible la entropía es cons-

tante2 pues la termodinámica requiere que para sistemas en

estado de reposo o movimiento uniforme la entropía per-

manezca ínvariante para un cambio adiabático reversible en

la velocidad sin absorción de calor [2]. Para el caso de la

temperatura y el calor establece que estas cantidades ter-

modinámicas vienen corregidas por el inverso del factor de

lorentz, lo que trae como consecuencia una dismunición de

ambas cantidades en función de la velocidad [1-5] sin

entrar en contradicción con la invariancia de la entropía.

Por otro lado se halla que la presión que ejerce el gas

sobre las paredes de este es la misma para dos observado-

res, uno en reposo relativo y otro que se mueva con el

sistema termodinámico, luego ésta constituye un invariante

termodinámico si se considera que el observador local

puede caracterizar la presión por la ecuación de estado

para un gas ideal. En cuanto a la energía se tiene:

Uc

PUg

2 (1)

La anterior ecuación expresa la densidad del momentum

del sistema; el término

U corresponde a la densidad de

momentum que acompaña a la masa de fluido que se esta

moviendo, y el segundo término está asociado a un mo-

mentum adicional que corresponde al flujo de energía

resultado del trabajo hecho por la presión sobre el fluido en

movimiento y para el trabajo [2]:

GdUPdVdW (2)

3. Una Máquina de Carnot Relativista

Consideremos un cilindro que contiene un gas ideal, el

cual se puede comprimir y expandir de manera cuasi-

estacionariamente en ausencia de efectos disipativos, de

tal manera que siga un ciclo de Carnot y que tal sistema se

coloque en una nave espacial que viaja a cierta fracción

de la velocidad de la luz. Supondremos que la cinemática

de la máquina de Carnot es debida al estado de movimiento

del sistema como tal y no como producto de su energía

interna3. Para describir el ciclo de Carnot que sigue este

sistema lo primero que haremos es trazar las trayectorias

isotermas entre las cuales se fijará un gradiente de tempera-

tura, es decir establecer los dos focos caloríficos entre los

cuales opera la máquina; de acuerdo con la transformación

de la presión ésta es igual para ambos observadores, por lo

que el efecto percibido por el observador ubicado en la

tierra será una disminución en el volumen de la máquina.

En la Figura 2 se trazan algunas isotermas en función de la

2 Ello se debe a que nuestro sistema físico esta operando entre los estados

Ei y Ef , los cuales están conectados por las trayectorias R1 y R2 que consti-

tuyen un ciclo reversible de acuerdo al Teorema de Clausius [8]. 3 Es decir el proceso de expansión y compresión del pistón no es compara-

ble con el movimiento del sistema.

velocidad. Es interesante anotar que el área bajo la curva

corresponde al trabajo realizado por la máquina durante la

expansión y compresión isotérmica; para dicha Figura

hemos trazado las trayectorias en la fase de expansión

isotérmica en función de la velocidad. Como se observa, el

área bajo la curva es mayor para cuando la máquina está

en reposo y comienza a disminuir conforme la velocidad de

éste aumenta; este efecto se debe a una disminución del

volumen del sistema en función de la velocidad4.

Una vez establecidas las trayectorias de las isotermas entre

las cuales opera la máquina, nuestro segundo paso es trazar

las trayectorias adiabáticas que cierran el ciclo. Para lo cual

debemos recordar que el observador que viaja con la

máquina trazará las trayectorias adiabáticas de la forma:

cteuVp

u

)(0 (3)

Donde Po es la presión que es igual para ambos observa-

dores; V(u) corresponde al volumen de la máquina y es

función de la velocidad u; (u) es el cociente entre el calor

específico a presión constante (Cp) y el calor específico a

volumen constante (Cv); (u) esta relacionado con la energ-

ía interna del gas y su naturaleza es debida a una dismi-

nución en el volumen de la máquina, a su velocidad en si

misma, y no como un aumento en la cinemática de las

partículas que componen el gas. Una partícula confinada

en un recipiente que viaja a cierta fracción de la velocidad

de la luz posee tres grados de libertad, por lo que la energ-

ía cinética translacional será:

,2

3TkE BK

que corresponde a la energía cinética translacional de una

partícula y donde T corresponde a la temperatura del

recipiente en la que se está moviendo la partícula. Luego,

de acuerdo a la transformación de la temperatura entre los

dos observadores se tiene:

2

2

0 12

3

c

uTkE Bk (4)

Donde To es la temperatura medida por el observador aquí

en la tierra, por lo tanto la energía cinética translacional

para una mol de gas es:

2

2

02

2

0 12

31)(

2

3

c

uRnT

c

uTnNkE ABT (5)

La ecuación 5 indica la energía interna del gas ideal en

función de la velocidad y en el límite cuando u tiende a

cero ET se reduce al resultado clásico. En este resultado

hemos supuesto que tal energía es producto del movi-

4 Se puede demostrar desde este punto que el trabajo realizado por la

máquina esta dado por [8]: 21 QQW

rev. col. fís.(c), vol. 40, No. 1, (2008)

3

miento del sistema en sí mismo, a una disminución del

volumen y no a que se tengan partículas dentro de la

cavidad con velocidad relativista. Hemos de entender en

este punto que las leyes de la termodinámica son válidas

para ambos observadores luego:

2

2

12

31)(

c

uR

dT

dE

nuC

o

Tv (6)

luego la ecuación (6) corresponde al calor específico a

volumen constante en función de la velocidad y de manera

análoga a lo que sucedía con la energía interna del sistema

cuando se consideran bajas velocidades también se reduce

al valor clásico descrito por la teoría cinética de gases.

Una vez establecido el calor específico a volumen cons-

tante se puede calcular Cp:

2

2

12

31)(

)()(

c

uRuC

RuCuC

p

vp

(7)

De igual forma que los resultados anteriores, Cp se reduce

al resultado clásico cuando se consideran bajas velocidades

en comparación con la velocidad de la luz. Con lo anterior

es posible establecer una expresión de (u):

1

13

2

)(

)()(

2

2

c

uuC

uCu

v

p

(8)

(

8

)

4. Resultados

En la Figura 1 se aprecia el comportamiento de Cv(u),

Cp(u) y (u) en función de la velocidad, este es decreciente

para el caso de Cv(u) y Cp(u); ello es debido a un desempe-

ño decreciente de la temperatura, la cual esta relacionada

con la invariancia de la entropía y la presión. Para la misma

Figura, se tiene que el comportamiento de (u) es aproxi-

madamente constante en los primeros estadios pero luego

crece levemente, esto es efecto a que Cp(u) no está decre-

ciendo en la misma proporción en que lo hace Cv(u). De-

bemos decir que esto es porque Cp(u) es función tanto de

la velocidad como de la presión y ésta es un invariante,

mientras Cv(u) es función de la velocidad y el volumen, el

Figura 1. Dependencia del calor especifico (Cv y Cp) de un gas

ideal en función de la velocidad y del coeficiente gamma

Figura 2 Isotermas en función de la velocidad.

cual disminuye con la velocidad. Una vez establecido

(u), el paso siguiente es trazar las adiabatas que cierran el

ciclo:

ctec

uVPuVP c

uu

O

1

13

2

2

2

00

)(2

2

1)(

(9)

En la Figura 4, se han trazado las adiabátas para una

máquina de Carnot relativista5 que se mueve a 0.9c, lo

primero que notamos es que la trayectoria B-C que co-

rresponde la proceso de expansión adiabáticas es menos

pendiente que la trayectoria D-A que describe la fase de

compresión adiabática, ello indica que la rata de cambio

dP/dT es más pronunciada durante la fase de compresión

que la de expansión adiabática, tal puede deberse al proce-

so de compresión del pistón en máquina que hace que el

volumen del cilindro disminuya sumado con la contracción

relativista del volumen mientras que la otra adiabáta de-

berá su menos pendiente a que el proceso de expansión

del volumen entra del cilindro es contrario a la contrac-

ción relativista. En su trabajo, Tolman no indica como es el

comportamiento del calor especifico (Cv(u), Cp(u)), las

isotermas y las adibatas en función de la velocidad por lo

que el resultado aquí presentado es original en ese aspecto

[2].

5 Comparece con la Figura 8 que corresponde a la máquina de Carnot

clásica.

0,0E+00

5,0E+00

1,0E+01

1,5E+01

2,0E+01

2,5E+01

0,00E+00 5,00E+07 1,00E+08 1,50E+08 2,00E+08 2,50E+08 3,00E+08

VELOCIDAD(m/s)

CA

LO

R E

SP

EC

IFIC

O (

J/M

ol*

K)

Cv

Cp

Gamma

0,00E+00

5,00E+02

1,00E+03

1,50E+03

2,00E+03

2,50E+03

3,00E+03

3,50E+03

0,00E+00 1,00E+00 2,00E+00 3,00E+00 4,00E+00 5,00E+00 6,00E+00

VOLUMEN (m3)

PR

ES

ION

(Pa

)

isoterma A-B vista de O a T1=400 K, u=0,9 c

isoterma A-B vista de O a T1=400 K, u=0,8 c

isoterma A-B vista de O a T1=400 K, u=0,7 c

isoterma A-B vista de O a T1=400 K, u=0

ISOTERMAS RELATIVISTAS

ISOTERMA CLASICA

W. A. Rojas C. et al.: Transformaciones de Cantidades Termodinamicas en el Regimen de la Teoria Especial de la Relatividad

4

Figura 3. Máquina de carnot clásica.

Figura 4. Máquina de Carnot relativista

Conclusiones

Se partió de la suposición de que en un proceso adiabático

cuasiestacionario reversible sin absorción de calor la en-

tropía debe permanecer invariante. Con esta hipótesis se

demostraron la existencia de las demás transformaciones

termodinámicas:

1. La temperatura es función de la velocidad, pues T0

viene multiplicada por inverso del factor de Lorentz y en el

límite que cuando la velocidad u tiende a c, T tiende a

cero sin entrar en contradicción con la invariancia de la

entropía. En el caso de la transformación de la energía total

se halló que en el límite cuando la velocidad tiende a c, la

energía tiende a infinito, ello se debe a un aumento de la

energía 0E la cual está asociada a la masa del sistema, que

como se sabe está aumenta a medida que crece la velocidad.

2. Se ha mostrado que en un diagrama de P-V el trabajo

realizado por la máquina que corresponde al área bajo la

curva es menor cuando ésta se halla en movimiento relativo

a que cuando está en reposo, lo cual no se ha reportado

hasta ahora en la literatura. La energía interna del motor

es función de la velocidad del sistema mismo y no una

consecuencia de la cinemática de las partículas confinadas

dentro del cilindro.

3. Se mostró que Cv(u) Cp(u) y (u) son funciones de la

velocidad del sistema, el cual es un resultado nuevo y no

reportado. Por lo tanto las trayectorias adiabátas también

los son y ratas de cambio dP/dT son diferentes para la

compresión que para la expansión adiabáta en una máquina

de carnot relativista, de nuevo tenenos un resultado aun no

reportado en la literatura.

Referencias:

[1] M. PLANCK Ann. Physik 26, 1 (1908).

[2] TOLMAN RICHARD C. Relativity Thermodynamics and

Cosmology. Dover Publication, Inc. New York.1987.

[3] www.ipc.bas.bg/PPages/Avramov/RelatJrus.pdf

[4] www.journaloftheoretics.com/Articles/5-2/commentary5-

2.pdf

[5] http://fisica.ciencias.uchile.cl/~gonzalo/cursos/termo_II-

04/seminarios/alumnos/TermoyRela_CFarias-PMoya04.pdf

[6] KUHN THOMAS S. La teoría del cuerpo negro y la dis-

continuidad cuántica, 1894-1912. Alianza Universidad. Ma-

drid. 1980.

[7] OBERT. EDWARD F Y YOUNG ROBERT. Elements of thermodynamics and heat transfer. Mc Graw-Hill. 1962.

[8] ZEMANSKY MARK W. Calor y Termodinámica .Aguilar

S.A. 1968.

4,00E+02

9,00E+02

1,40E+03

1,90E+03

2,40E+03

1,00E+00 2,00E+00 3,00E+00 4,00E+00 5,00E+00 6,00E+00

VOLUMEN (M3)

PR

ES

ION

(P

a)

isoterma C-D T2=300 K

isoterma A-B T1=400 K

adiabata B-C

adiabata D-A

ISOTERMA T1

ISOTERMA T2

A

B

C

D

0,0E+00

5,0E+02

1,0E+03

1,5E+03

2,0E+03

2,5E+03

3,0E+03

1,0E+00 2,0E+00 3,0E+00 4,0E+00 5,0E+00 6,0E+00

VOLUMEN(m3)

PR

ES

ION

(Pa)

Isoterma T1=600 K

Isoterma T2=300 K

Adiabata BC

Adiabata DA

A

ISOTERMA T1

ISOTERMA T2

B

C

D