Transformaciones can´onicas para sistemas de …galia.fc.uaslp.mx/~nehemias/Tesis UASLP-matematica...

Universidad Autonoma de San Luis PotosıFacultad de Ciencias

Transformaciones canonicas parasistemas de dimension finita

Tesisque para obtener el grado de

Licenciatura en Matematica Educativa

Presenta

Damaris Grageda Acosta

Asesor

Dr. Alberto Molgado

San Luis Potosı, SLP, Mexico21 de junio de 2017

Agradecimientos

Primero me gustarıa agradecer a mi asesor de Tesis, Dr. Alberto Molgado por su esfuerzo,dedicacion, su orientacion, su motivacion y su paciencia que han sido parte importante de miformacion. El me ha ensenado a ser una mejor estudiante, a crecer como persona y de igualmanera ha sido un ejemplo.

Tambien quiero expresar mis agradecimientos a mis hermanos por su apoyo y carino. ALolita por su amor incondicional y por ser una parte importante de mi vida, ya que ha sidouna de las personas que me ha formado como persona. Y especialmente a mis padres que hanestado conmigo en todo momento, apoyandome, creyendo en mi, por todos sus sacrificios yesfuerzos por querer darme siempre lo mejor.

Esta tesis fue desarrollada bajo el proyecto CB-2014-243433 CONACYT-Mexico.

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Indice general

1. Introduccion 1

2. Mecanica clasica 72.1. Fundamentos del calculo variacional y aplicaciones en Mecanica . . . . . . . 7

2.1.1. Calculo variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.2. Ecuacion de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2. Mecanica Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.1. Principio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.2. Principio de Hamilton generalizado a varios grados de libertad . . . . 132.2.3. Ventajas del principio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3. Mecanica Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.1. Formulacion Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.2. Transformada de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.3. Las ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.4. El bracket de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4. Transformaciones canonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.1. Funcion generadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3. Aplicaciones de las transformaciones canonicas 253.1. Oscilador armonico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2. Potencial de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3. Modelo de Pais-Uhlenbeck: Frecuencias distintas . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4. Modelo de Pais-Uhlenbeck: Frecuencias iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4. Conclusiones 39

Bibliografıa 43

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iv INDICE GENERAL

Capıtulo 1Introduccion

Para poder representar a un sistema fısico podemos utilizar a la mecanica de Newton,considerando las fuerzas que se ejercen sobre el sistema. De acuerdo con [1], la MecanicaNewtoniana esta descrita por tres leyes, las cuales son

Ley de inercia. Un cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilıneo uniformea menos que actue una fuerza externa sobre ella.

Ley fundamental de la dinamica. La fuerza que actua sobre un cuerpo es directa-mente proporcional a su aceleracion y su masa.

Ley de accion-reaccion. Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, este ejercesobre el primero una fuerza igual y de sentido opuesto.

Sin embargo, a pesar de la simpleza de las leyes de Newton, existen otras descripciones dela Mecanica basadas en ciertos principios variacionales que consisten en encontrar ciertasfunciones para hacer extrema a una integral, a lo anterior se le conoce como el principiode Hamilton, el cual hace posible establecer las bases de la mecanica clasica en una formageometrica, como se describira mas adelante. De tal principio es posible obtener las ecuacio-nes de Lagrange por medio de una integral y una funcion que se expresa por coordenadas,velocidades y el tiempo. La diferencia con el analisis de Newton esta basada principalmen-te en que los principios variacionales estan fuertemente ligados a propiedades geometricasasociadas a cantidades fundamentales en la descripcion de un sistema fısico, tales como laenergıa potencial y cinetica. En el mismo sentido del calculo variacional, cabe senalar queexiste la posibilidad de interpretar los fenomenos desde un punto de vista distinto, por me-dio de un cambio del sistema de referencia de la mecanica de Lagrange al llevar a cabouna transformacion de Legendre. A esta nueva formulacion se le llama mecanica Hamiltonia-na y a sus ecuaciones de movimiento se les conoce como ecuaciones canonicas de movimiento.

Dada la generalidad de las mecanicas Lagrangiana y Hamiltoniana uno tiene una granlibertad en la eleccion de coordenadas generalizadas para plantear sus ecuaciones de mo-vimiento y, en ambas formulaciones, si las coordenadas varıan la forma funcional de lasecuaciones de movimiento no se ven afectadas. Por tal razon la eleccion de las coordenadas

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2 CAPITULO 1. INTRODUCCION

no se encuentra limitada por ninguna condicion. Siendo ası, ambas mecanicas pueden ser des-critas en terminos de cualquier conjunto de parametros arbitrarios que describan al sistema.

En los problemas que se van a proponer para este trabajo, nos enfocaremos en la mecanicade Hamilton que tiene lugar en el llamado espacio fase o espacio cotangente y, en este espaciodesarrollaremos las ecuaciones canonicas de movimiento que describen a un sistema fısicodado. Como ya mencionamos sus ecuaciones no dependen de la eleccion de las coordenadas,por lo que se puede proponer una invariable cantidad de coordenadas y en con secuenciala funcion va a sufrir una transformacion. Este tipo de transformaciones estan simplementesujetas a la condicion de dejar invariantes las ecuaciones canonicas, y se les llama trans-formaciones canonicas. El problema que se expone en este trabajo de tesis es proponer laresolucion de problemas de interes fısico mediante el uso de transformaciones canonicas parasistemas de dimension finita. De esta forma, nuestra propuesta se centra en la aplicabilidadde transformaciones canonicas en el contexto de la Mecanica Hamiltoniana con la finalidadde reducir las ecuaciones de movimiento a las de un sistema fısico equivalente, cuya solucionsea mas facil de encontrar. Esto, como se vera adelante impacta no solo en la Fısica de unsistema dado, sino es congruente con los metodos para la solucion de ecuaciones diferencialesparciales. Siendo ası, nuestra intencion concreta esta enfocada a la exploracion de transfor-maciones canonicas para la resolucion de ecuaciones diferenciales asociadas a sistemas fısicosde interes. Tambien pretendemos enfatizar el metodo de transformaciones canonicas comoalternativa viable para la solucion de ecuaciones diferenciales parciales, impactando ası tantoen el area de la fısica como de las matematicas.

Comenzaremos por describir a grandes rasgos los principios variacionales que se encuen-tran detras de las mecanicas de Lagrange y de Hamilton para despues introducir el conceptode transformacion canonica.

Siguiendo por ejemplo a [2] en donde se explica la forma para obtener las ecuaciones deEuler-Lagrange, vemos, para empezar, que el calculo variacional parte de la necesidad dehacer un funcional integral un extremal, es decir, encontrar el mınimo, el maximo o la infle-xion de tal funcional. En este sentido pensaremos en un funcional como un mapeo que tomacomo variable independiente a una funcion y nos regresa un numero real (o complejo). Estefuncional es el mismo que menciona [4] y sera un funcional, llamado la accion, el que nos vaa llevar a las ecuaciones de Euler-Lagrange, las cuales describen la dinamica del sistema denuestro interes. En la misma direccion, [4] menciona como representar a un sistema fısico enel espacio de configuraciones por medio de la posicion de las variables o sus coordenadas enun tiempo determinado. De tal modo que las ecuaciones de movimiento se pueden obtenerpor medio del principio de mınima accion, que basicamente nos dice que la dinamica de unsistema se obtiene al minimizar al funcional de accion [5].

Las ecuaciones de Euler-Lagrange pueden reescribirse como un conjunto de ecuacionesdiferenciales de primer orden conocidas como ecuaciones de Hamilton o ecuaciones canonicasde movimiento. Para realizar este cambio se debe incorporar el momento como una nuevavariable, el cual generaliza el concepto usualmente aceptado de momento en la mecanica New-toniana definido como la cantidad de movimiento. En consecuencia, a partir del Lagrangiano

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(el cual es la funcion dinamica formada por las coordenadas generalizadas, las velocidades ge-neralizadas y el tiempo, es decir una funcion de (q, q′, t)), se puede obtener una nueva funcionen terminos de las coordenadas generalizadas, el momento y el tiempo (o bien una funcionde (q, p, t)), a la cual llamaremos funcion Hamiltoniana, o simplemente, Hamiltoniano. For-malmente a este tipo de transformaciones se les conoce como transformadas de Legendre [4],y en terminos generales transforma funciones de un espacio vectorial V que es cualquierconjunto que posea operaciones de suma y producto por escalares, a funciones en el espaciovectorial dual V ∗ siendo el conjunto de todas las funciones lineales λ : V → R. Por mediode la transformada de Legendre se puede, en principio, obtener ciertas ventajas al momentode resolver problemas. Esto sucede porque se puede pasar del espacio vectorial al espaciovectorial dual y viceversa, obteniendo ası una nueva funcion para la cual las ecuaciones demovimiento resulten mas sencillas que las originales, y en consecuencia el problema se puederesolver mas facilmente. En el lenguaje de las ecuaciones diferenciales parciales, en donde lastransformaciones de Legendre desarrollan todo su potencial, lo que tecnicamente se hace estransformar el problema original al problema de resolver las ecuaciones caracterısticas delsistema, la cual es una tecnica bien conocido y explotada aun para sistemas de ecuacionesdiferenciales parciales con coeficientes arbitrarios.

Otro punto importante a resaltar es que al describir un sistema fısico utilizando, ya seala mecanica Lagrangiana o la mecanica de Hamilton, obtenemos la posibilidad de proponeruna nueva eleccion de coordenadas generalizadas para que las ecuaciones de movimiento quedescriben al sistema puedan llegar a ser mas simples de resolver sin alterar la naturaleza delsistema. Sin embargo como se menciono al inicio nos enfocaremos a trabajar con el analisisde Hamilton y sus transformaciones canonicas. Por tal motivo es necesario entender desdeMecanica Newtoniana y como ha sido su evolucion para llegar a la descripcion Hamiltoniana,ası como detallar las herramientas matematicas que utiliza, en particular, con la finalidad depoder trabajar con diversas situaciones de relevancia en problemas fısicos, y de ahı partir pa-ra transformarlas en un caso mas sencillo en donde se pueda trabajar y encontrar solucionessimples mediante el uso de las transformaciones canonicas.

En cuanto a la contribucion del presente trabajo en el area de la matematica educativa,en esta tesis se trabajara desde la perspectiva del aprendizaje basado en la indagacion y reso-lucion de problemas en la educacion matematica. En relacion con [6], considerando que en laactualidad existe un debate constante acerca de como se debe ensenar, siempre se tiene pre-sente a las dos posturas mas fuertes, que son la forma tradicional, es decir, cuando el docenteproporciona toda la informacion posible a los alumnos, y la construccion de conocimientos,la cual se enfoca en que el alumno sea el encargado de generar su propio aprendizaje. En lareferencia [6] se propone un nuevo metodo de ensenanza-aprendizaje en donde mezclan am-bos modelos que es el tradicional con el constructivista, con la finalidad de obtener mejoresresultados en el aprendizaje significativo. Esta nueva propuesta se fundamenta al considerarlos desafıos de la educacion, en donde no es posible que el alumno adquiera las habilidadesnecesarias sin la ayuda de un guıa y de la misma manera no se logra que los alumnos ten-gan un aprendizaje significativo si se les proporciona toda la informacion. Tal propuesta seenfoca en la resolucion de problemas, es decir, que considera necesario incorporar en el aulaproblemas en donde los estudiantes pongan en practica las competencias y de igual manera


generen conflicto para ası poder poner en practica nuevas habilidades. Esto tiene por nombreTeorıa de Situaciones Didacticas [7], [8], dado que permite que los conocimientos matematicossean puestos en practica en un contexto real o aplicado a otra asignatura, con el fin de darlesignificado al currıculo propuesto. Esto, en nuestro caso de interes, permitira que los alum-nos amplıen su perspectiva sobre la fısica al percatarse que existen otras areas involucradas,como lo son el calculo variacional y la teorıa de ecuaciones diferenciales parciales, creandouna motivacion como interes por conocer de la materia (fısica) y ademas por las que se lerelacionan.

En general, al buscar una situacion o problema que tenga significado para los estudiantese, incorporando ası los conocimientos necesarios sobre el tema que se va a abordar, se puedeformar un modelo de situaciones, es decir, un problema que se enfoque en abordar distintasareas y a su vez tenga una estrecha relacion con la materia. Esto tendra como consecuenciael generar una motivacion mas amplia y, como resultado, se obtiene un aprendizaje signi-ficativo. La introduccion de este tipo de problemas puede ser de beneficio para el docente,ya que puede ser usado para distintos momentos de la ensenanza-aprendizaje como en unaevaluacion, un proyecto, una retroalimentacion, verificacion de conocimientos, etc., con elproposito de tener recursos extras que lo ayuden en el aula dependiendo de la situacion quese le presente.

De acuerdo a [9], recientemente se ha propuesto los lineamientos bajo los cuales se pre-tende que sea la ensenanza en nuestro paıs, la cual, al observar modelos externos y ver losresultados positivos que generan en esos otros casos, pretende incorporar herramientas quepermitan solucionar los problemas existentes dentro del aula. Una de las alternativas pro-puestas para mejorar la calidad de la ensenanza es la incorporacion de las competencias, quese definen como conocimientos, habilidades y actitudes que deben tener todos los alumnospermitiendo responder a demandas complejas en un contexto determinado. De acuerdo aestas referencias [3], [10], [11] se favorecen los requisitos que propone la Secretarıa de Edu-cacion Publica, como es la relevancia del aprendizaje significativo, en donde es importanteque el alumno tenga los conocimientos pero de igual forma sea capaz de crear soluciones oalternativas a situaciones complejas aplicando sus conocimientos, es decir, formar una es-tructura cognitiva profunda con la finalidad de dar la misma importancia al conocimientocomo a las habilidades que utilizan para llegar a la solucion. Alguna de las ventajas queexisten al trabajar con las competencias es que las instituciones educativas pueden construirdiferentes currıculos que dan la flexibilidad y oportunidad a los alumnos de elegir el que esde su interes y de esta forma los ayudarıa a definir sus estudios superiores como la formacionde habilidades para avanzar a una educacion superior en el area que eligieron trabajar. Acausa de lo anterior el docente tiene que redisenar su clase dandole el enfoque que considerefavorecedor para los alumnos, tomando en cuenta la modalidad que eligieron, sus preferenciascomo intereses para desarrollar actividades que los motiven y contengan los temas a ver, porlo que puede resultar ser una dificultad para el docente ya que tiene que disenar planeacionescomo actividades diferentes para cada perfil que los alumnos eligieron.

En esta misma direccion, en [12] se plantea la didactica del descubrimiento que partede problemas para llamar la atencion de los alumnos, estos problemas tienen como fin la

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motivacion considerando temas ya vistos, que puedan compartir ideas los alumnos y este re-lacionado con su entorno. Considera que a medida que los estudiantes aprenden, los resultadosdel aprendizaje van creciendo y siendo mas complejos a nivel estructural, por lo que la finali-dad que propone [12] es tener un aprendizaje profundo y no superficial. Por esa razon Biggsdivide el tipo de conocimiento conforme va avanzando el alumno como: declarativo, concep-tual, relacional y funcional. El nivel mas alto en este caso el funcional se pretende adquirirpor medio de las competencias. Con la intencion de hacer los objetivos mas precisos y deobtener una herramienta en la elaboracion de las planeaciones creo la taxonomıa SOLO que asu vez se encuentra dividida en cinco niveles: uniestructural, preestructural, multiestructural,relacional y abstracto ampliado; describiendo una jerarquıa en la que cada construccion seconvierte en un fundamento sobre el que se construye el aprendizaje. Es relevante la parte delos niveles, en particular el abstracto ampliado, que pone en practica las habilidades, conoci-mientos, relaciones de conocimientos en una situacion particular que en este caso se aplicarıaal problema propuesto. En otras palabras pone en practica las competencias por medio deun problema, en el cual el alumno necesita saber el porque de las cosas y el para que, paraası crear un vınculo con sus conocimientos creando una alternativa viable para construir elconocimiento de una manera significativa.

Con la ayuda de [13], una guıa para la planeacion docente estructura de manera muyespecıfica como deberıa de ser una planeacion enfocada al constructivismo. Esto resulta serde gran ayuda, puesto que en una clase costructivista es necesario incorporar mas elementoscomo herramientas al momento de evaluar, y en el proceso de aprendizaje es fundamentaltener los objetivos de manera mas concreta lo cual permite crear diversas estrategias parallegar al objetivo. Para que el docente pueda dar una clase eficiente que sea constructivistaes necesario que tenga multiples herramientas que le permitan ir incorporandoles conformesea necesario. Una de estas herramientas que sirve para diversos fines es la elaboracion deuna situacion real que involucre temas de diversas materias, es decir, que explore aplicacionesespecıficas en una materia mediante el uso de herramientas correspondientes a otras materias.Los problemas propuestos tienen que ser elaborados en base a los objetivos que se planteael docente y a las competencias que pretende lograr en los alumnos. Por lo que en conse-cuencia para la elaboracion de una situacion debe cumplir con un proceso el cual comienzacon crear un problema que incorpore los temas que se quieren poner en practica y que asu vez este adaptado a un escenario que involucre otras materias o sea de interes para losalumnos, despues se elabora la planeacion en donde el docente va a decidir el mejor momentopara aplicar el problema y por ultimo la aplicacion de este. Un apoyo para su elaboracion estomar algunas ideas como la adquisicion y organizacion del conocimiento, la observacion, elanalisis, la sıntesis, el procesamiento de la informacion, la aplicacion de la informacion y laauto-evaluacion que propone [14] para el diseno de las actividades de aprendizaje, ası comopara su elaboracion correcta.

En conclusion el crear situaciones que incorporen elementos de otras materias y a suvez motiven a los alumnos puede ser utilizado como una herramienta dentro del aula quellevarıa a los alumnos a tener buenos resultados si es aplicado de la manera correcta. Paraeste proceso todo comienza desde la elaboracion del problema, la elaboracion de la planea-cion decidiendo como se utilizara y su aplicacion, donde los autores ya mencionados dan


tanto los conocimientos como las herramientas para que el proceso sea eficaz y logre los ob-jetivos como generar un mayor interes dentro del salon no solo para una materia en especıfico.

Es en este sentido que nuestra propuesta se enfoca, pues al incorporar herramientas dediferentes materias para la resolucion de problemas concretos en Fısica, se pretende que elestudiante genere la capacidad de mejorar el proceso de aprendizaje, desarrollando ası lascompetencias necesarias. Ası, al considerar el tema que se realizara sobre transformacionescanonicas en sistemas mecanicos asociados a problemas fısicos realistas, se introducen tecnicascomunmente asociadas tanto al calculo variacional como a la teorıa de ecuaciones diferencialesparciales, lo cual nos permite obtener mayores ventajas al momento de resolverlo, generandotambien en el estudiante una vision que engloba distintos puntos de vista provenientes de laFısica, por un lado, y de la geometrıa inherente a las ecuaciones diferenciales parciales, por elotro lado. Ası mismo, al considerar ejemplos especıficos se pretende reforzar el conocimientoteorico adquirido en el aula. A pesar de que nuestra propuesta de incorporar herramientasprovenientes de diversas areas de las matematicas para el estudio y resolucion de sistemasdinamicos en la Fısica impacta directamente en un nivel educativo superior, en particular enlos programas de Licenciatura en Fısica, Matematicas y areas afınes, se pretende que nuestrapropuesta sirva de ejemplo para fusionar diversas areas en la resolucion de problemas en otrosniveles educativos.

Capıtulo 2Mecanica clasica

En este Capıtulo daremos un breve resumen de los fundamentos del calculo variacionalcon la finalidad de desarrollar las versiones de mecanica de Lagrange y de Hamilton. Tambiendesarrollaremos el bracket de Poisson, el cual es fundamental para definir las transformacionescanonicas de nuestro interes.

2.1. Fundamentos del calculo variacional y aplicacionesen Mecanica

Como mencionamos anteriormente, la mecanica de Newton se encarga de estudiar el com-portamiento y la accion de los sistemas de partıculas. Teniendo en cuenta que Isaac Newtonrealizo las bases para esta teorıa se utilizan las leyes que propuso como una formulacion delcomportamiento fısico de los sistemas. Estas leyes han sido descritas en la Introduccion. Apesar de la simpleza de estas leyes, su generalizacion para abordar la mayorıa de los proble-mas que emergen en la Fısica moderna no es trivial debido principalmente al hecho de quelas herramientas matematicas que considera no son lo suficientemente flexibles para adap-tarse a otros contextos, como lo son la mecanica relativista o la mecanica cuantica. Siendoası, se debe agregar que la mecanica Newtoniana puede ser generalizada por medio de ex-presiones matematicas que se encuentran relacionadas con teorıas que tambien explican elcomportamiento de los cuerpos, como la Mecanica Lagrangiana y la Mecanica Hamiltonia-na. Estas mecanicas estan fuertemente asociadas al calculo variacional que desarrollaremosa continuacion.

2.1.1. Calculo variacionalAl encontrarnos con problemas difıciles es posible buscar sus soluciones por medio de

replantear el mismo problema como algo mas simple. Lo mismo sucede con muchos de losproblemas que se presentan en la mecanica Newtoniana, estos se pueden analizar de unamanera mas sencilla al incorporar conceptos o leyes alternativas. La Mecanica describe loscomportamientos y la accion de sistemas, estos procesos utilizan notaciones de principios demınimos y maximos. Muchos de estos principios se encuentran disenados para hacer esta-

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8 CAPITULO 2. MECANICA CLASICA

cionaria a una funcion y para hacerlo posible se utiliza el calculo variacional. El calculo devariaciones resuelve problemas de mınimos y maximos por medio de principios variaciona-les, estos principios a su vez incorporan leyes fısicas que se deducen al obtener ecuacionesdiferenciales, sin embargo el calculo variacional representa al problema como una integralque tiene que hacerse extrema o en otras palabras encontrar el maximo, el mınimo o unainflexion de la funcion. No obstante expresar las situaciones fısicas de forma variacional,quiere decir que resolverlos va a ser mas sencillo, de igual manera se tienen que encontrarlas soluciones de las ecuaciones diferenciales, sin embargo brinda la posibilidad de poder re-plantear los problemas de tal manera que sea mas sencilla su aplicacion y al mismo tiempopoder generalizarlo con otros problemas o situaciones. En conclusion, la importancia de estaformulacion en el area de la Fısica es que el calculo variacional nos brinda la posibilidad derepresentar los problemas de la mecanica clasica de una forma mas simple y a su vez elegante.

Como mencionamos anteriormente el calculo variacional nos dice que podemos describira un sistema por medio de una integral (tecnicamente un funcional integral), la cual seencuentra representada de la siguiente manera

J [y] =∫ b

aF (y, y′, x)dx . (2.1)

La integral J resulta ser una funcion de la curva y con los lımites de integracion definidos,a este tipo de funciones se les llama funcionales, es decir difieren de funciones ordinarias yaque su variable independiente es una funcion. En el caso de nuestro interes, el funcional Jdependera no solo de la curva y, sino tambien de sus derivadas y′, ası como de la varia-ble independiente x. De acuerdo a lo anterior tenemos que J [x] genera ciertas curvas, conla cualidad de hacer extrema a una integral. Esto es de nuestro interes ya que el calculovariacional se concentra en mınimos o maximos, o bien en determinar tales curvas. De talmanera que J se encuentra variando hasta encontrar su extremo, es decir se dan todas lasposibles funciones con una representacion parametrica y(α, x), tal que para α = 0, obtenemosy = y(0, x) = y(x) que es la funcion que hace extrema a J y se puede replantear

y(α, x) = y(0, x) + αη(x) , (2.2)

donde η(x) es una funcion arbitraria de x cuya primera derivada se desvanece en los lımitesde integracion que son los puntos a y b. Esto sucede porque la funcion que varia y(α, x) tieneque ser igual a y(x) en los puntos η(a) = η(b) = 0. De esta manera, la integral (2.1) conviertea J en un funcional con parametro α

J [α] =∫ b

aF (y(α, x), y′(α, x), x)dx , (2.3)

siendo ahora una funcion de α, y el problema consiste en determinar el extremo de la funcionJ [α], el cual en relacion con hacer a y(x) extrema de J , se obtiene al poner α = 0

2.1.2. Ecuacion de EulerLas ecuaciones de Euler se derivan de considerar el estado de un sistema y los pequenos

desplazamientos que se derivan de el, las cuales obtenemos por medio del principio diferencial.

2.1. FUNDAMENTOS DEL CALCULO VARIACIONAL Y APLICACIONES EN MECANICA9

Ademas es posible obtener estas ecuaciones de un principio que considera el movimiento delsistema en un intervalo determinado de tiempo a y b como a sus variaciones, este principiose le llama el principio de mınima accion [5], [15].

Cuando hacemos referencia al movimiento de los sistemas en un tiempo determinado,es necesario poder formularlo a un lenguaje mas preciso, de tal modo que el sistema serepresenta por los valores de las coordenadas generalizadas q1, q2, ..., qn que corresponden aun punto particular del plano, las velocidades generalizadas q′1, q′2, ..., q′n que son las derivadasde las coordenadas y el tiempo t. De tal modo que para determinar la respuesta de (2.1) quees el problema del calculo variacional empezamos por hacer una variacion de la integral Jcon respecto al parametro α

δJ

δα= d

dα

∫ b

aF (q, q′, t)dt . (2.4)

Dado que tenemos que los lımites de integracion se encuentran definidos, unicamente afectaal integrando. Ası se tiene

δJ

δα=∫ b

a

(∂F

∂q

∂q

∂α+ ∂F

∂q′∂q′

∂α

)dt . (2.5)

El segundo termino de la integral puede escribirse en funcion de ∂q∂α

en vez de ∂q′

∂αy se llega a

δJ

δα=∫ b

a

(∂F

∂q

∂q

∂α+ ∂F

∂q′d

dt

(∂q

∂α

))dt , (2.6)

en donde el segundo termino de la integral se ha integrado por partes∫udv = uv−

∫vdu de

tal modo que obtenemos∫ b

a

∂F

∂q′d

dt

(∂q

∂α

)dt =

[∂F

∂q′∂q

∂α

]ba

−∫ b

a

d

dt

(∂F

∂q′

)∂q

∂αdt . (2.7)

El primer termino que se va a evaluar se elimina en los lımites de integracion porque, deacuerdo con la condicion que se menciono anteriormente (2.2), q(t, α) no depende de α enlos extremos por ello unicamente nos quedamos con el segundo termino. Y la variacion (2.5)se transforma finalmente en∫ b

a

[∂F

∂q− d

dt

(∂F

∂q′

)](∂q

∂α

)dt = 0 . (2.8)

Ahora tenemos que (2.8) es independiente de α, pero las funciones q y q′ siguen siendofunciones de α porque (∂J

∂α)a=0 por lo que se desvanece en los valores extremos y el integrando

se desvanece para α = 0, tal que∂F

∂q− d

dt

(∂F

∂q′

)= 0 , (2.9)

donde q y q′ son funciones originales independientes de α. Esta ecuacion recibe el nombre deecuacion de Euler, y por lo anterior, decide el valor extremo de la integral J . Tal ecuacionnos permite estudiar el movimiento de un sistema de partıculas libres bajo la accion defuerzas, y su solucion representa por cual de las variaciones de las curvas la integral se haceun extremo [1], [15].


Ejemplo: Distancia entre dos puntos en un plano

Una de las aplicaciones sencillas de la ecuacion de Euler es definir la distancia mas cortaentre dos puntos. La distancia la podemos definir de la siguiente manera

ds = [(dx)2 + (dy)2] 12 = [1 + y2

x]12dx , (2.10)

por lo que para minimizar la distancia entre dos puntos consideramos la funcional J dadapor

J =∫ (x2,y2)

(x1,y1)ds =

∫ (x2,y2)

(x1,y1)[1 + y2

x]12dx . (2.11)

Al compararlo con la ecuacion de Euler (2.9) se determina la funcion

F (y, yx, x) = [1 + y2x]

12 , (2.12)

por lo que, al sustituir esta funcion en las ecuaciones de Euler obtenemos directamente

− d

dx

(1

[1 + y2x]

12

)= 0 , (2.13)

o bien llegamos a la relacion

1[1 + y2

x]12

= C , (2.14)

en donde C es una constante. Es facil ver que tal resultado se satisface cuando

yx = a , (2.15)

con a siendo una constante, y por lo tanto, al integrar esta ultima relacion obtenemos

y = ax+ b , (2.16)

de modo que la ecuacion de Euler define que la distancia mas corta entre dos puntos es lalınea recta que une a esos dos puntos. La generalizacion de esta curva en el espacio-tiempocuatridimencional nos conduce al concepto de geodesica en la geometrıa Riemanniana, la cuales de relevancia en la Relatividad general.

2.2. Mecanica LagrangianaAl tratar de encontrar y representar un sistema de partıculas o el movimiento de una sola

partıcula que se encuentra en un espacio inercial, con coordenadas rectangulares, es deciren el plano cartesiano, es facil obtener sus ecuaciones de movimiento a partir de las ecua-ciones de Newton. No obstante si las condiciones anteriores se modifican, ahora encontrarlas ecuaciones puede resultar una tarea muy compleja y a su vez difıcil de manipular. Unejemplo de lo anterior serıa si una partıcula se mueve sobre la superficie de una esfera o de

2.2. MECANICA LAGRANGIANA 11

igual forma sobre cualquier superficie. Lo anterior implica considerar las fuerzas centrales queestan presentes, dado que si la partıcula se encuentra en una posicion complicada (bajo unaesfera) puede resultar difıcil o imposible obtener una expresion para las fuerzas de contraste.Como se afirmo arriba, por conveniencia y para evitar las dificultades de aplicar las leyes deNewton es posible aplicar un metodo alternativo, siempre y cuando el resultado obtenido seaequivalente a las ecuaciones de Newton. Por lo tanto no es necesario crear una nueva teorıa,mas bien es tener una opcion para evitar las complicaciones generales de un problema, comoes el hecho de contemplar todas las fuerzas del sistema. A este metodo se le conoce comoel principio de Hamilton, el cual describe el movimiento de los sistemas mecanicos en dondetodas las fuerzas se derivan de una funcion de coordenadas, velocidades y el tiempo. Y lasecuaciones de movimiento que resultan de aplicar este principio se les llama ecuaciones deLagrange [1], [5], [15].

Dicho lo anterior el principio de Hamilton es equivalente a las ecuaciones de Lagrange ya su vez podemos relacionarlo como un postulado de la mecanica clasica en vez de utilizarlas leyes de Newton [2]. Por otra parte, no hay que olvidar que no es una teorıa nueva queacabamos de proponer, sino una alternativa de la mecanica de Newton y en consecuenciaambas teorıas nos llevan a obtener los mismos resultados. Es decir, que el principio de Hamil-ton no nos brinda nueva informacion, menciona que el movimiento de un sistema mecanicose define al encontrar los extremales de un cierto funcional integral, al cual se le denominaen el contexto de la fısica como el funcional de accion, o simplemente como la accion de unsistema. Sin embargo se debe agregar que el principio de Hamilton no es mas fundamentalque las leyes de Newton.

2.2.1. Principio de HamiltonEl principio de Hamilton es el principio variacional equivalente a las ecuaciones de movi-

miento de Lagrange [2]. En terminos del calculo variacional se puede representar como

δJ [t] = δ∫ b

a(T − U)dt = 0 . (2.17)

La cantidad escalar J se le llama accion, y al funcional J [t] es la funcion de la accion quecorresponde al Lagrangiano o funcion Lagrangiana L := T −U , en donde T y U representanlas energıas cinetica y potencial de un sistema fısico dado, respectivamente [1]. Este principiorequiere que la integral del Lagrangiano se haga un extremal. Hay que destacar que uno delos puntos importantes de esta representacion de la dinamica consiste en que las energıas quedefinen al Lagrangiano no necesariamente deben se descritas en coordenadas rectangulares,sino mas bien pueden depender de cualquier conjunto completo de parametros que identi-fiquen los estados fısicos de un sistema. A este conjunto de parametros se le conoce comocoordenadas generalizadas. Siendo ası, la ecuacion (2.17) se puede reescribir como

δ∫ b

aL(q, q′, t)dt = 0 , (2.18)

en donde (q, q′, t) representan el espacio que define completamente los estados del sistemaen terminos de las coordenadas generalizadas y sus respectivas velocidades, y el parametro


independiente t es identificado como el tiempo fısico. La funcion L de la expresion (2.18) sepuede identificar con la funcion F (y, y′, x) del problema basico del calculo variacional (2.3)si realizamos la transformacion

x 7→ t

y(x) 7→ q(t)y′(x) 7→ q′(t)

F (y, y′;x) 7→ L(q, q′, t)La ecuacion de Euler que corresponde a la ecuacion (2.9) resulta ser entonces

∂L

∂q− d

dt

∂L

∂q′= 0 , (2.19)

la cual, en el contexto de la Fısica se conoce como ecuacion de Euler-Lagrange. Esta ecuaciondescribe la ecuacion de movimiento de Lagrange para una partıcula puntual, y contiene lamisma informacion dinamica que la segunda ley de Newton, como se vera a detalle en elejemplo abajo. Otra cosa que hay que resaltar del metodo es que en ningun momento derealizar los calculos incorpora a las fuerzas del sistema. Las ecuaciones de movimiento seobtienen partiendo de propiedades especıficas asociadas con la partıcula sin la necesidadde tomar en cuenta procesos externos. Como resultado el principio de Hamilton permitecalcular las ecuaciones de movimiento sin recurrir a la teorıa de Newton. Hay que tomaren consideracion que el calculo anterior es para sistemas de un grado de libertad, pero sugeneralizacion es trivial, como se vera a continuacion.

Ejemplo: Equivalencia entre la formulacion Lagrangiana y la Newtoniana

Ahora mostraremos como las ecuaciones de Lagrange contienen la misma informacionque la segunda ley de Newton. Como se menciono antes, la funcion Lagrangiana la podemosdefinir como L := K − U = L(q, q′

, t), en donde K y U son las energıas cinetica y potencial,respectivamente, en donde cada una de ellas se encuentra dada por las siguientes expresiones

K = 12mq

′2 ,

U = U(q) . (2.20)

Siendo asi, al meter esta informacion sobre el Lagrangiano a la ecuacion de Euler-Lagrangetenemos para ambas energıas las expresiones

∂L

∂q= −∂U

∂q,

∂L

∂q′= ∂K

∂q′= mq′ , (2.21)

por lo que directamente se obtiene la relacion

−∂U∂q− d

dt(mq′) = 0 , (2.22)

2.2. MECANICA LAGRANGIANA 13

la cual puede ser reescrita como

F = mq′′ , (2.23)

al considerar la relacion F = −∂U/∂q, la cual es valida para sistemas conservativos. Deesta forma hemos recuperado la segunda ley de Newton, por lo que efectivamente la funcionLagrangiana contiene la misma informacion que propone la teorıa Newtoniana.

2.2.2. Principio de Hamilton generalizado a varios grados de liber-tad

El principio de Hamilton puede ser extendido a cualquier sistema de n grados de libertad,de modo que ahora el sistema incorpora las coordenadas generalizadas q = (q1, q2, . . . , qn) yvelocidades generalizadas q′ = (q′1, q′2, . . . , q′n). De manera que el Lagrangiano debe satisfacersimultaneamente n ecuaciones de movimiento [2]. Este sistema de ecuaciones resulta ser,genericamente, un sistema de ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden

d

dt

(∂L

∂q′j

)− ∂L

∂qj= 0 . (2.24)

Estas ecuaciones de movimiento son obtenidas, de manera analoga al caso unidimensional, apartir del funcional de accion definido como

J [q] =∫ b

aL(qj, q′j, t)dt , (2.25)

el cual considera ahora n parametros (uno para cada valor del ındice j) que se encuentranvariando. Para el caso considerado aquı, de manera mas formal [2], el principio de Hamiltonse define como el vector q tal que hace al funcional integral (2.25) estacionario. Se puedeentonces demostrar facilmente que una condicion equivalente a este principio de Hamiltonresulta ser precisamente las ecuaciones de Euler-Lagrange (2.24). De esta manera, al vectorq se le identifica con el espacio de trayectorias para un sistema fısico dado.

2.2.3. Ventajas del principio de HamiltonAvanzando en nuestro razonamiento el analisis Lagrangiano o el analisis Newtoniano es el

mismo para cualquier sistema mecanico y su diferencia radica en el metodo que utilizan parallegar al resultado. Sin embargo, desde nuestra perspectiva, al representar los problemas deforma variacional, es decir, por medio del principio de Hamilton, obtenemos ciertas ventajas.Algunas de ellas son las siguientes.

El principio de Hamilton se puede extender para aplicarlo a un rango mas grande defenomenos fısicos que la teorıa de Newton no puede.

Las ecuaciones de Lagrange se encuentran asociadas con principios variacionales y estolas hace especiales ya que permiten ver propiedades geometricas que no son triviales demostrar de manera directa.


El procedimiento para resolver problemas por medio de Newton implica conocer loque ocurre externamente del cuerpo (fuerzas) y el metodo de Lagrange se enfoca encantidades asociadas con el cuerpo (energıa cinetica y potencial).

Las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange son invariantes ante cambios de coor-denadas.

La formulacion de las ecuaciones del movimiento se obtienen por medio de operacionesescalares para cada una de las coordenadas generalizadas, y no es necesario el conceptode vector en un espacio Euclideano.

La formulacion del principio variacional puede describirse como elegante dada su inhe-rente naturaleza geometrica.

Es facil extender los principios variacionales para obtener otras mecanicas, tales comola mecanica relativista y la cuantica.

2.3. Mecanica HamiltonianaEn esta seccion se mostrara la manera en que las ecuaciones de Lagrange se pueden re-

formular a un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden conocidas comoecuaciones de Hamilton, como una nueva alternativa para la resolucion de problemas. A nivelgeometrico, el metodo esta relacionado con la resolucion de ecuaciones diferenciales parcialesal considerar sus ecuaciones caracterısticas [16]. Tanto desde la perspectiva de la mecanica,como desde la perspectiva de la teorıa de ecuaciones diferenciales parciales, nada nuevo esagregado a la teorıa ya existente y no es superior al analisis de Lagrange cuando se trata deresolver problemas, solo se proporciona otro metodo alternativo para trabajar con los prin-cipios fısicos y/o geometricos ya establecidos.

Lo que hace especial al Hamiltoniano es su formulacion elegante que da la base paraextender la teorıa en diversas areas de la fısica. En la mecanica clasica forma parte funda-mental para futuros descubrimientos como la teorıa del caos y de Hamilton-Jacobi. Fuera dela mecanica clasica la formulacion de Hamilton provee la mayorıa del lenguaje que construyela mecanica estadıstica. Ademas, la mecanica Hamiltoniana tambien sirve como base sobrela cual se construyen la mayorıa de las formulaciones de la mecanica cuantica. La razon parala relevancia de la mecanica Hamiltoniana esta directamente asociada a la posibilidad de in-corporar una estructura algebraica, el bracket de Poisson. Este bracket, como veremos abajo,resulta ser un bracket de Lie, y por lo tanto no solo dicta la dinamica de un sistema fısicodado, sino ademas esta relacionado directamente con cantidades conservadas.

2.3.1. Formulacion HamiltonianaPara este nuevo formalismo se incluye un nuevo concepto que es el momento generalizado.

Este momento generaliza el concepto Newtoniano de momento o cantidad de movimiento, yen el contexto Hamiltoniano sera usado como una nueva variable. El momento generalizado

2.3. MECANICA HAMILTONIANA 15

entonces se define en terminos de las derivadas con respecto de las velocidades de la funcionLagrangiana

p := ∂L

∂q′, (2.26)

el cual se debe considerar para ser la nueva variable. Esto es algo que se puede tomar comoventaja pues al considerar los momentos arriba definidos vemos facilmente que las ecuacionesde Euler-Lagrange toman la forma

p′ = ∂L

∂q. (2.27)

El inconveniente que se presenta es que ∂L/∂q es una funcion de q, q′ y en algunos casost, que debe de ser transformada a una funcion de (q, p, t). En este cambio se requiere laecuacion (2.26) para poder expresar a q′ como una funcion de (q, p, t). Lo que se tiene querealizar es eliminar q′ remplazandolo por una funcion que dependa en las coordenadas ge-neralizadas q y sus momentos asociados p. De esta forma, cualquier funcion que tenga unadependencia explıcita en las velocidades debera ser escrita en terminos del nuevo conjunto devariables (q, p). En la practica, este procedimiento de representar a una funcion en termino decoordenadas y momentos se obtiene mediante la llamada transformada de Legendre que des-cribiremos a continuacion. Es importante entonces mencionar que la funcion que correspondeal Lagrangiano mediante una transformacion de Legendre sera llamado el Hamiltoniano delsistema.

2.3.2. Transformada de LegendreSe quiere encontrar una funcion en el espacio fase que determine unicamente la evolucion

de las coordenadas y los momentos generalizados. En este sentido, requerimos una funcionde q y p, la cual debe contener la misma informacion del Lagrangiano L(q, q′, t), pues justo elLagrangiano es la funcion que determina la dinamica de un sistema a partir de las ecuacionesde Euler-Lagrange (2.24). Como mencionamos antes, existe una forma matematica que haceposible realizar lo anterior, llamada transformacion de Legendre.

En el caso general, para empezar se considera una funcion arbitraria f(x, y), de modo quesu derivada total es

df = ∂f

∂xdx+ ∂f

∂ydy . (2.28)

Despues continuamos definiendo una funcion g(x, y, u) = ux − f(x, y). Mediante una defi-nicion apropiada de la variable u, se puede demostrar directamente que la funcion obtenidamediante esta transformacion g solo depende de las variables y y u, como veremos a conti-nuacion. Para esto, si de igual modo realizamos su derivada total, tenemos

dg = d(ux)− df = udx+ xdu−(∂f

∂xdx+ ∂f

∂ydy

). (2.29)


En este punto u es una variable independiente, sin embargo, supongamos que escogemos a upara ser una funcion de x y y, definida como

u(x, y) = ∂f

∂x, (2.30)

entonces el termino en que acompana a al diferencial de x de la ecuacion (2.29) se cancela,reduciendo entonces el diferencial de g a

dg = xdu− ∂f

∂ydy , (2.31)

lo cual demuestra que g efectivamente resulta ser una funcion de que solo depende de lasvariables u y y, es decir g = g(u, y), eliminando ası la variable x. Si se quiere expresarexplicitamente a g(u, y) se debe invertir (2.31) para obtener x = x(u, y) y despues incorporarloen la definicion de g, tal que

g(u, y) = ux(u, y)− f(x(u, y), y) . (2.32)

En consecuencia tenemos que la ecuacion (2.32) es la transformada de Legendre. Esta tomauna funcion f(x, y) a una diferente funcion g(u, y) con u = ∂f/∂x, sin llegar a perder ningunainformacion. De la misma manera se puede regresar a la forma inicial f(x, y) de la nuevafuncion g(u, y) teniendo en cuenta las relaciones

∂g

∂uy= x(u, y) ,

∂g

∂y u= df

dy, (2.33)

las cuales aseguran que la inversa de la transformada de Legendre es precisamente la funcionoriginal f = (∂g/∂u)u− g.

Entonces el problema de convertir las ecuaciones de Lagrange en la forma de Hamiltonradica en la funcion Lagrangiana y el poder garantizar la inversion que definen al momen-to generalizado p dado por (2.26). De esta forma, definimos al Hamiltoniano mediante latransformacion de Legendre

H(q, p) := pq′ − L(q, q′) , (2.34)

en donde la variable q′ debe ser pensada como funcion invertible en terminos de los momentosy coordenadas generalizadas, tal y como en el caso generico (2.32).

2.3.3. Las ecuaciones de HamiltonLa idea general del Hamiltoniano definido en (2.34) es reemplazar q y q′ a una base con

respecto a la cual las ecuaciones de movimiento resulten ser simetricas. Esto esta relacionadoen el contexto de la teorıa de ecuaciones diferenciales parciales con el sistema de ecuacionescaracterısticas que definen a una ecuacion diferencial parcial de segundo orden [16]. Como


veremos, en nuestro caso, las ecuaciones de Euler-Lagrange resultan equivalentes a un con-junto de 2n ecuaciones diferenciales parciales de primer orden, asociadas a las ecuacionescaracterısticas de la ecuacion de movimiento vista desde la perspectiva de las coordenadas ylos momentos.

El primer paso para construir el Hamiltoniano es eliminar las velocidades q′ del Lagran-giano remplazandolas por el momento p. Para hacerlo posible se utiliza la transformada deLegendre que vimos anteriormente. Teniendo en cuenta (2.34), nos damos cuenta que el Ha-miltoniano es una funcion de (q, p, t), es decir H = H(q, p, t) mientras que el Lagrangiano esuna funcion de (q, q′, t), es decir L = L(q, q′, t). Siendo ası, al considerar el diferencial totaldel Hamiltoniano H tenemos

dH =(∂H

∂qdq + ∂H

∂pdp

)+ ∂H

∂tdt , (2.35)

o bien, en terminos de la transformacion de Legendre (2.34) tenemos tambien

dH =(qdp+ pdp− ∂L

∂qdq − ∂L

∂q′dq′)− ∂L

∂tdt . (2.36)

Al juntar las ecuaciones (2.35) y (2.36), se tiene que el segundo y el cuarto termino que seencuentran en el parentesis de la ecuacion (2.36) se cancelan y al pasar todos los terminosrestantes a cualquier lado de la igualdad nos queda

dq

(∂H

∂q+ ∂L

∂q

)+ dp

(∂L

∂p− q′

)+ dt

(∂H

∂t+ ∂L

∂t

)= 0 . (2.37)

Asumiendo que las variables q y p son linealmente independientes, al resolver obtenemos elsistema de ecuaciones

∂H

∂q= −p′ ,

∂H

∂p= q′ ,

∂H

∂t= −∂L

∂t, (2.38)

en donde para obtener la identidad en la primera lınea hemos utilizado explıcitamente lasecuaciones de Euler-Lagrange en su forma (2.27), y por ende, las relaciones (2.38) resultan sertotalmente equivalentes a las ecuaciones de Euler-Lagrange. Al conjunto de ecuaciones (2.38)se les llama ecuaciones de Hamilton o ecuaciones canonicas de movimiento, por su aparienciasimetrica. Siendo ası, a la descripcion de un sistema fısico obtenida mediante el Hamilto-niano (2.34) y sus respectivas ecuaciones de movimiento se le llama dinamica de Hamilton.

Cuando se trata de encontrar la solucion de un problema no existe relevancia alguna deconvertir las ecuaciones de diferenciales parciales de segundo orden de Euler-Lagrange a unsistema de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden de Hamilton puesto que, co-mo se argumento anteriormente, ambos sistemas de ecuaciones resultan equivalentes. Desde


esta perspectiva, pudiera pensarse que las ecuaciones de Hamilton, al ser de primer ordenresulten mas facil de resolver pero, sin embargo, hay que considerar que el sistema de ecua-ciones Hamilton resulta ser el doble de ecuaciones que las de Euler-Lagrange. No obstante, laparte relevante radica en la estructura de la teorıa general, cuando las ecuaciones de Euler-Lagrange son expresadas en forma de Hamilton el resultado es un sistema que, como veremosa continuacion, esta relacionado con una estructura algebraica conocida como el bracket dePoisson, el cual tiene relacion con las simetrıas y cantidades conservadas para un problemafısico o geometrico dado, redundando en una gran simplicidad y elegancia que son la basepara descubrimientos en mecanica.

2.3.4. El bracket de PoissonEl sistema de Hamilton esta representado geometricamente por el movimiento de un

punto en el espacio fase del Hamiltoniano. El espacio fase del Hamiltoniano es un espacioreal de 2n dimensiones en donde un punto esta descrito por el conjunto de parametrosq1, q2, ..., p1, p2, ..., pn o, en notacion corta simplemente por las variables independientesq, p. Al tener conocimiento del estado del sistema en cada momento, es posible asignar unvalor a cada funcion u(q, p, t) dependiente de los puntos del espacio fase q, p. La variacionde la funcion u(q, p, t) con respecto al tiempo, es decir, su evolucion temporal esta dada por

du

dt= ∂u

∂t+ ∂u

∂qq′ + ∂u

∂pp′ . (2.39)

De aquı se puede ver que incorporando las ecuaciones canonicas de Hamilton (2.38) podemosreescribir la evolucion temporal de la funcion u (2.39) como

du

dt= ∂u

∂t+(∂u

∂q

∂H

∂p− ∂u

∂p

∂H

∂q

). (2.40)

El ultimo termino de la identidad (2.40) nos permite proponer como base para definir elbracket de Poisson de dos funciones arbitrarias definidas en el espacio fase u(q, pt) y v(q, p, t)como

[u, v] :=(∂u

∂q

∂v

∂p− ∂u

∂p

∂v

∂q

)(2.41)

y, por lo tanto, podemos reescribir la evolucion temporal de la funcion u (2.40) en terminosdel bracket de Poisson por medio de

du

dt= ∂u

∂t+ [u,H] . (2.42)

Esto es muy relevante no solo desde la perspectiva fısica sino tambien desde la perspectivageometrica puesto que da una interpretacion directa a la funcion Hamiltoniana: El Hamilto-niano H sirve para evolucionar temporalmente una funcion arbitraria u bajo la operacion delbracket de Poisson. Como veremos a continuacion, el bracket de Poisson resulta tener ciertaspropiedades que lo caracterizan como un bracket de Lie, y por lo tanto, ademas de estar aso-ciado a la evolucion temporal, tambien se encarga de las simetrıas y cantidades conservadaspara un sistema fısico dado.


Identidades del bracket de Poisson

El bracket de Poisson presenta propiedades especiales, algunas de ellas son1. Antisimetrıa [u, v] = −[v, u],

2. Linealidad [f, u+ v] = [f, u] + [f, v],

3. Leibniz [f, uv] = u[f, v] + [f, u]v,

4. Identidad de Jacobi [f, [u, v]] = [[f, u], v] + [u, [f, v]],para cualesquiera par de funciones u y v en el espacio fase.

Para demostrar estas propiedades es necesario considerar la definicion (2.41). Siendo ası,por ejemplo, para la primera propiedad tenemos

[u, v] = ∂u

∂q

∂v

∂p− ∂u

∂p

∂v

∂q

= −(∂u

∂p

∂v

∂q− ∂u

∂q

∂v

∂p

)

= −(∂v

∂q

∂u

∂p− ∂v

∂p

∂u

∂q

)= −[v, u] . (2.43)

Para la segunda propiedad su demostracion corresponde a

[f, u+ v] = ∂f

∂q

∂(u+ v)∂p

− ∂f

∂p

∂(u+ v)∂q

= ∂f

∂q

(∂

∂p(u+ v)

)− ∂f

∂p

(∂

∂q(u+ v)

)

= ∂f

∂q

(∂u

∂p+ ∂v

∂p

)− ∂f

∂p

(∂u

∂q+ ∂v

∂q

)

=(∂f

∂q

∂u

∂p− ∂f

∂p

∂u

∂q

)+(∂f

∂q

∂v

∂p− ∂f

∂p

∂v

∂q

)= [f, u] + [f, v] (2.44)

Por ultimo, para la tercera propiedad, la regla de Leibniz corresponde a

[f, uv] = ∂f

∂q

∂(uv)∂p

− ∂f

∂p

∂(uv)∂q

= ∂f

∂q

(∂u

∂pv + ∂v

∂pu

)− ∂f

∂p

(∂u

∂qv + ∂v

∂qu

)

=(∂f

∂q

∂u

∂p

)v +

(∂f

∂q

∂v

∂p

)u−

(∂f

∂p

∂u

∂q

)v −

(∂f

∂p

∂v

∂q

)u

= v

(∂f

∂q

∂u

∂p− ∂f

∂p

∂u

∂q

)+ u

(∂f

∂q

∂v

∂p− ∂f

∂p

∂v

∂q

)= v[f, u] + u[f, v] . (2.45)


Para la identidad de Jacobi (propiedad 4) se sigue un desarrollo analogo aunque algo mastedioso, por lo que no incluiremos aquı su demostracion.

2.4. Transformaciones canonicasEn esta seccion desarrollaremos uno de los puntos mas importantes para este trabajo, es

decir, el concepto de transformaciones canonicas. Las transformaciones canonicas se definenbasicamente como aquellas transformaciones de coordenadas que dejan invariantes en su for-ma las ecuaciones de movimiento Hamiltonianas. La utilidad de introducir transformacionescanonicas se debe no solo a la necesidad de un cambio de sistema de referencia sino mas bien,desde nuestra perspectiva, porque se pretende simplificar las ecuaciones de movimiento pararesolverlas de una manera mas sencilla. El metodo de transformaciones canonicas es amplia-mente conocido en el contexto de la teorıa de ecuaciones diferenciales parciales, en donde seexplota las simetrıas de las curvas caracterısticas para facilitar la resolucion de problemasespecıficos. Siendo ası, nuestro particular interes se enfoca en encontrar transformacionescanonicas para algunos sistemas de dimension finita para sistemas altamente no triviales, loscuales resultan relevantes en algunos modelos usados en Fısica teorica. Esto lo llevaremos acabo en el siguiente Capıtulo.

Para empezar, consideramos una manera de expresar las ecuaciones de Hamilton (2.34)de tal modo que sean mas simetricas. Al definir el vector x = (q1, ..., qn, p1, ..., pn)T , el cuales un vector 2n dimensional, ası como la matriz cuadrada J, la cual resulta ser una matrizcuadrada con 2n× 2n entradas dada por

J =(

0 1−1 0

). (2.46)

De acuerdo a la notacion recien definida, las ecuaciones de Hamilton se pueden entoncesespecificar simplemente como

x′ = J∂H

∂x. (2.47)

Dado que en el formalismo de Hamilton aparecen las coordenadas y los momentos gene-ralizados, ambos como variables independientes en el llamado espacio fase p, q, nos pre-guntamos si es posible encontrar transformaciones de la forma

qi → Qi(q, p) , pi → Pi(q, p) , (2.48)

tales que las ecuaciones de Hamilton (2.47) mantengan la misma forma al considerarse lasnuevas coordenadas, es decir, se trata de encontrar transformaciones de coordenadas en elespacio fase tales que las ecuaciones de Hamilton queden invariantes en su forma estructural.Por supuesto, esto implica el introducir al Hamiltoniano en termino de las nuevas coorde-nadas. Como se menciono antes, el Hamiltoniano juega un papel muy relevante al darnosinformacion sobre la evolucion dinamica de una funcion arbitraria al ser considerada en elbracket de Poisson.

2.4. TRANSFORMACIONES CANONICAS 21

Analogamente definimos el vector y = (Q1, ..., Qn, P1, ..., Pn)T en terminos de las nuevascoordenadas, y consideramos entonces la transformacion

xi 7→ yi(x) , (2.49)

en donde i = 1, . . . , 2n. De modo que, al considerar la evolucion de las nuevas coordenadas,y, tenemos

y′i = ∂yi∂xj

x′j = ∂yi∂xj

Jjk∂H

∂yl

∂yl∂xk

, (2.50)

en donde simplemente se ha utilizado la regla de la cadena del calculo diferencial para obtenerestas identidades, y el Hamiltoniano H en la ultima igualdad debe ser pensado en terminosde las nuevas coordenadas. Omitiendo los subındices, podemos expresar esta ultima relacioncomo

y′ = (JT )∂H∂y

, (2.51)

con ij = ∂yi/∂xj definido como el Jacobiano de la transformacion de coordenadas. Comonuestra intencion es que las ecuaciones de movimiento para las nuevas coordenadas se manten-ga invariante, necesitamos imponer una condicion para la transformacion dada simplementepor

JT = J o bien ∂yi∂xj

Jjk∂yl∂xk

= Jil . (2.52)

Esta restriccion en el cambio de coordenadas es lo que define una transformacion canonica. Sinembargo, desde nuestra perspectiva, sera mas importante demostrar la relacion que hay entrelas transformaciones canonicas y el bracket de Poisson. Para ello, tenemos que el bracket dePoisson es invariante bajo las transformaciones canonicas, es decir, dado que las coordenadasx satisfacen las relaciones

qi, qj = 0 = pi, pj qi, pj = δij , (2.53)

las cuales se pueden ver directamente de la definicion del bracket de Poisson (2.41), entonceslas coordenadas y satisfacen, analogamente, la misma estructura del bracket de Poisson, esdecir,

Qi, Qj = 0 = Pi, Pj Qi, Pj = δij . (2.54)

Para probarlo, empezaremos mostrando que el bracket de Poisson es invariante bajo lastransformaciones canonicas. Consideremos dos funciones arbitrarias, f(xi) y g(xi), de modoque

f, g = ∂f

∂qi

∂g

∂pi− ∂f

∂pi

∂g

∂qi= ∂f

∂xJij

∂g

∂xj. (2.55)

Ahora bien, si consideramos la transformacion x 7→ y(x), tenemos

∂f

∂xi= ∂f

∂ykki , (2.56)


y analogamente para la funcion g. Asumiendo que las transformaciones son canonicas, elbracket de Poisson se convierte entonces en

f, g = ∂f

∂ykkiJijli

∂g

∂yl= ∂f

∂ykJkl

∂g

∂yl, (2.57)

en donde hemos utilizado la condicion (2.52). Dado que esta ultima relacion se cumple paracualesquiera dos funciones, podemos introducir cualquier par de componentes de las nuevascoordenadas y relacionadas a las transformaciones canonicas al bracket de Poisson. Uno puedeverificar directamente para este caso que se tiene entonces la matriz

JT =(Qi, Qj Qi, PjPi, Qj Pi, Pj

), (2.58)

de modo que si la estructura del bracket de Poisson se preserva, las transformaciones canonicastambien.

2.4.1. Funcion generadoraExiste un metodo simple para poder encontrar las transformaciones canonicas entre las

coordenadas (q, p) y (Q,P ) por medio de una funcion generadora, la cual sera relevante paralas aplicaciones a desarrollar en el siguiente capıtulo. Consideremos la funcion F (q,Q), la cualdepende tanto de las coordenadas q originales como de las nuevas coordenadas Q. Uno puededemostrar [15] que sus momentos asociados pueden ser generados mediante las relaciones

pi = ∂F

∂qi,

Pi = − ∂F∂Qi

, (2.59)

respectivamente. Para probar lo anterior podemos usar derivadas parciales. La ecuacion (2.48)define a P = P (q,Q), ası que obtenemos(

∂P

∂p

)q

= −(∂Q

∂p

∂P

∂Q

)q

,(∂P

∂q

)p

=(∂P

∂q+ ∂Q

∂q

∂P

∂Q

)q

, (2.60)

y, finalmente, incorporando el bracket de Poisson

Q,P = −∂Q∂p

∂P

∂q Q= ∂Q

∂p q

∂2F

∂q∂Q= ∂Q

∂p q

∂p

∂Q q

= 1 , (2.61)

satisfaciendo ası una condicion necesaria para que la transformacion sea canonica. Uno pue-de checar tambien que las demas condiciones (2.54) se satisfacen con la eleccion (2.59). Ala funcion F (q,Q) se le conoce como funcion generadora de primer tipo o clase, no obs-tante, hay otros tres tipos de funciones generadoras que se encuentran relacionadas con las

2.4. TRANSFORMACIONES CANONICAS 23

transformaciones de Legendre. Cada una de estas funciones esta representada por las coor-denadas nuevas y las originales. De modo que las siguientes expresiones definen otros tiposde transformaciones canonicas

F2(q, P ) =⇒ pi = ∂F2

∂qi, Qi = ∂F2

∂Pi,

F3(p,Q) =⇒ qi = −∂F3

∂pi, Pi = −∂F3

∂Qi

,

F4(p, P ) =⇒ qi = −∂F4

∂pi, Qi = ∂F4

∂Pi. (2.62)

En el siguiente Capıtulo nos enfocaremos en las funciones generadoras de primer tipo,ası como en su aplicacion a casos de estudios concretos para encontrar las transformacionescanonicas que simplificaran nuestros modelos.

Capıtulo 3Aplicaciones de las transformaciones canonicas

En este Capıtulo desarrollaremos las soluciones para algunos modelos de dimension finitaque son de relevancia en diversas ramas de la Fısica teorica moderna. Para ello, encontrare-mos transformaciones canonicas apropiadas que nos ayuden sistematicamente a encontrar unsistema de ecuaciones diferenciales parciales cuya solucion sea mas facil de determinar. Enprimera instancia, consideraremos el caso del oscilador armonico simple, el cual nos permi-tira demostrar facilmente nuestra propuesta al ser transformado canonicamente a un sistemaequivalente asociado a una partıcula libre. Despues, en forma analoga, bajo una transforma-cion canonica llevaremos el sistema bajo un potencial de Liouville a una partıcula libre. Enambos casos, como se vera, encontrar soluciones a los casos de partıcula libre resultara basi-camente trivial, por lo que la solucion, en ambos casos, simplemente se obtendra aplicandola transformacion canonica inversa. Por ultimo, estudiaremos un par de casos asociados alconocido modelo de Paıs-Uhlenbeck, el cual es un modelo que considera un Lagrangiano dealto orden en las derivadas caracterizado por un par de parametros identificados con fre-cuencias del modelo. Evitando los pormenores de la teorıas de alto orden veremos que, tantopara el caso de frecuencias distintas como para el de frecuencias iguales, se pueden introdu-cir transformaciones canonicas que simplifican la obtencion de soluciones explıcitas para lasecuaciones diferenciales parciales que caracterizan las ecuaciones de movimiento de Hamilton.

3.1. Oscilador armonico simpleEl oscilador armonico simple, ademas de ser identificado de manera natural con sistemas

como resortes y pendulos, es usado en una variedad enorme de problemas y teorıas fısicas. Porejemplo, para modelar situaciones con movimiento periodico, uno puede establecer, a primeraaproximacion, un oscilador armonico para describir a ese sistema [1], [15]. Tambien, el oscila-dor armonico es indispensable en teorıa cuantica de campos pues, en la llamada cuantizacioncanonica, los campos pueden ser representados como una suma infinita de osciladores [17].

Consideremos las transformaciones canonicas que se utilizan para resolver el problemadel oscilador armonico simple en una dimension. Sea k una constante de proporcionalidadasociada comunmente a la ley de Hooke, entonces el Hamiltoniano de este problema en

25

26 CAPITULO 3. APLICACIONES DE LAS TRANSFORMACIONES CANONICAS

terminos de coordenadas rectangulares esta dado por

H = p2

2m + kq2

2 , (3.1)

en donde m es la masa que caracteriza al sistema. Primero, definimos w2 := km

, de tal formaque podemos reescribir H como

H = 12m [p2 +m2w2q2] . (3.2)

Esta forma que adopto el Hamiltoniano se encuentra representada por la suma de dos cua-drados. En consecuencia se propondran las siguientes transformaciones de la forma

p = f(P ) cosQ ,

q = f(P )mw

sinQ , (3.3)

en donde f(P ) es una funcion a ser determinada, y (Q,P ) son las nuevas coordenadas que sepropondran como canonicas. El Hamiltoniano como funcion de P y Q se podra simplificar a

H(Q,P ) = f 2(P )2m [cos2 Q+ sin2 Q] = f 2(P )

2m . (3.4)

Tecnicamente, dado que este Hamiltoniano no depende explıcitamente en la coordenada Q,se dice que es cıclico (ver [1], por ejemplo). El problema consiste en encontrar la funcionf(P ) que hace posible que la transformacion (q, p) 7→ (Q,P ) sea efectivamente canonicas. Siutilizamos una funcion generadora de clase uno llegamos a

F1 = mwq2

2 cotQ , (3.5)

de la cual podemos obtener las ecuaciones de las transformaciones

p = ∂F1

∂q= mwq cotQ ,

P = ∂F1

∂Q= mwq2

2 sin2 Q. (3.6)

Resolviendo ahora para q y p llegamos a las identidades

q =√

2Pmw

sinQ ,

p =√

2pmw cosQ , (3.7)

las cuales determinan la forma de la funcion f(P ) por comparacion directa con (3.3), obte-niendo

f(P ) =√

2mwP . (3.8)

3.2. POTENCIAL DE LIOUVILLE 27

De esta forma, el Hamiltoniano es transformado en la expresion

H = wP , (3.9)

la cual resulta ser el Hamiltoniano que describe la version lineal de una partıcula libre. Eneste punto, hay que aclarar que esta no es la transformacion canonica que para el modelo deloscilador armonico se encuentra en la mayorıa de los libros, como por ejemplo [15].

Como mencionamos anteriormente, el Hamiltoniano es cıclico enQ, por lo cual el momentoconjugado P resulta ser una constante. Esto se puede verificar directamente de las ecuacionesde Hamilton (2.34). Uno puede demostrar ası que el momento resulta ser simplemente laconstante dada por la energıa dividido entre la frecuencia w, es decir, P = E/w. Ademas, laecuacion de Hamilton para la variable Q se reduce a

Q′ = ∂H

∂P= w . (3.10)

La solucion a esta ecuacion resulta inmediata

Q = wt+ α , (3.11)

en donde α es una constante de integracion que puede ser fısicamente identificada con unafase inicial del sistema y determinada por las condiciones iniciales asociadas a las ecuacionesdiferenciales que definen el sistema. Finalmente, para obtener la solucion al problema original,utilizamos la transformacion canonica inversa, la cual se ha obtenido previamente en lasecuaciones (3.7), y sustituyendo las soluciones para Q y P tenemos

q =√

2Emw2 sin(wt+ α) , (3.12)

p =√

2mE cos(wt+ α) , (3.13)

las cuales son las bien conocidas soluciones al oscilador armonico simple.

3.2. Potencial de LiouvilleUn sistema bajo el potencial de Liouville en una dimension se caracteriza por el siguiente

modelo LagrangianoL(x, x′) = 1

2x′2 + δ

2e2x , (3.14)

en donde el primer termino se identifica con la energıa potencial, mientras que el segundoes el potencial exponencial de Liouville. Aquı δ es un parametro constante arbitrario. Estepotencial ha sido utilizado para describir situaciones en las cuales el potencial crece indefi-nidamente. En particular, sirve como modelo en mecanica cuantica al ser interpretado comouna barrera de potencial infinita [18]. Tambien ha sido utilizado como prototipo para losmodelos de Bianchi en el contexto de la Cosmologıa anisotropica [19].


Las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange estan dadas por

d2x

dt2+ δe2x = 0 , (3.15)

la cual es una ecuacion diferencial no lineal de segundo orden. Nuestra intencion sera en-contrar las soluciones a estas ecuaciones. Para eso, empezaremos por considerar las trans-formaciones canonicas (x, p) 7→ (X,P ) que conviertan el Hamiltoniano asociado al Lagran-giano (3.14) en el Hamiltoniano de una partıcula libre H0 = P 2/2. Esto, a nivel de ecuacionesdiferenciales, redunda en el hecho de transformar a la ecuacion diferencial que describe aeste modelo en una ecuacion diferencial lineal. De esta forma, el Hamiltoniano obtenido atraves de la transformada de Legendre H = px′ − L, en donde el momento p esta dado porp := ∂L/∂x′ = x′. Entonces el Hamiltoniano esta dado por

H(x, p) = p2 − 12(p2 + δe2x

)= 1

2(p2 − δe2x

). (3.16)

Para considerar las transformaciones canonicas empezamos por tomar a H y sustituirlo enH0 de modo que obtenemos

12p

2 + 12δe

2x = P 2

2 , (3.17)

despejando a δe2x llegamos a

δe2x = P 2 − p2 . (3.18)

Tomando en cuenta el resultado de la ecuacion (3.18) se proponen las relaciones

P =√δexcoshX ,

p = −√δexsinhX , (3.19)

tales que se verifica que estas relaciones cumplan con la identidad (3.18). Para esto se haceuso de la identidad cosh2 X − sinh2 X = 1. Tambien vemos que de la primera de las rela-ciones (3.19) se desprende una identidad que nos relaciona a la variable x en termino de lasnuevas variables canonicas (X,P )

x = ln

(1√δ

P

coshX

). (3.20)

Ası mismo, de estas ultimas relaciones, tenemos que p esta relacionada con las nuevas variablespor la relacion

p = −P tanhX . (3.21)

En consecuencia las transformaciones canonicas (x, p) 7→ (X,P ) descritas en terminos delas nuevas variables son las ecuaciones (3.20) y (3.21). Podemos encontrar de igual forma lainversa de las transformaciones obteniendo a P y X, en terminos de las antiguas variables py x. De la segunda de las relaciones (3.19), uno puede despejar X, obteniendo

X = −arcsinh(

p√δex

), (3.22)

3.2. POTENCIAL DE LIOUVILLE 29

y, entonces, sustituyendo coshX en la primera relacion en (3.19), encontramos para P

P =√δe2x

(1 + p2

δe2x

)=√δe2x

(√p2 + δe2x√δe2x

)

=√p2 + δe2x . (3.23)

Ya que obtuvimos tanto la transformacion canonicas como su inversa, podemos encontrarcual es la funcion generadora asociada a esta transformacion. Para ello, retomaremos losHamiltonianos de partıcula libre, H0, y el original del problema, H. Ambos Hamiltonianosse representan en terminos de sus correspondientes Lagrangianos como

L0 = PX ′ −H0(P,X) , (3.24)L = px′ −H(p, x) . (3.25)

La funcion generadora, F , que se quiere encontrar esta dada por dF/dt = L0 −L, o bien, enterminos de los Hamiltonianos

dF = (PdX −Hodt)− (pdx−Hdt) . (3.26)

Considerando a la funcion generadora de primer tipo, es decir F = F (x,X), encontramos sudiferencial total

dF = ∂F

∂xdx+ ∂F

∂XdX , (3.27)

el cual, fijando un tiempo, y dado que los Hamiltonianos no cambian para nuestro modelocon respecto al tiempo, nos conduce directamente de (3.26) a la identidad

∂F

∂xdx+ ∂F

∂XdX = PdX − pdx , (3.28)

de donde, por independencia lineal de las variables x y X, se recuperan las expresiones paralos momentos

P = ∂F

∂X,

p = −∂F∂x

. (3.29)

Ademas, de las expresiones propuestas para los momentos (3.19) se llega al par de ecuacionesdiferenciales parciales de primer orden

∂F

∂X=√δexcoshX ,

∂F

∂x=√δexsinhX , (3.30)

las cuales determinan completamente a la funcion generadora F (x,X). Ası, para deducir ala funcion F , comenzaremos por tomar a la primera de estas ecuaciones e integramos con


respecto a la variable X. Como es claro de la teorıa de ecuaciones diferenciales parciales,esto nos determina a F (x,X) hasta una funcion que solo depende de la variable x. Entoncestenemos

F (x,X) =∫ ∂F

∂XdX =

√δexsinhX + F1(x) . (3.31)

Para encontrar a F1(x), finalmente, sustituimos esta expresion para F (x,X) en la segundaidentidad en (3.30). De esta forma tenemos

∂F

∂x=√δexsinhX + ∂F1

∂x, (3.32)

la cual debe ser igual a la segunda expresion de (3.30). De esto concluimos que la funcion F1es simplemente una inofensiva constante. Por lo tanto la funcion generadora es

F (x,X) =√δexsinhX . (3.33)

Despues de esto, nos enfocaremos en la solucion a las ecuaciones diferenciales para elsistema de nuestro interes. Dado que las transformaciones canonicas (x, p) 7→ (X,P ) quehemos encontrado convierten al sistema bajo el potencial de Liouville, H, en un sistemapara una partıcula libre, H0 cuya solucion es trivialmente dada por una lınea recta, X(t) =At+B, mientras que su momento asociado esta dado por P (t) = X ′ = A. De esta forma, alsubstituir estas expresiones para la partıcula libre en las expresiones (3.20) y (3.21) tenemosfinalmente las soluciones para las ecuaciones de movimiento para el sistema bajo un potencialde Liouville, explıcitamente dadas por

x(t) = ln(

A√δ cosh(At+B)

),

p(t) = −A tanh(At+B) . (3.34)

Como es de esperarse, por simple substitucion en la ecuacion de movimiento de Euler-Lagrange para nuestro sistema (3.15), uno puede checar que la solucion x(t) arriba resultaser la solucion deseada.

3.3. Modelo de Pais-Uhlenbeck: Frecuencias distintasEl modelo de Pais-Uhlenbeck aparece de manera natural al estudiar teorıas de alto orden

en las derivadas. En este sentido, ha servido para caracterizar algunas propiedades de mo-delos que involucran derivadas de segundo orden, como por ejemplo, el modelo de gravedadconforme de Weyl [20]. El modelo de Pais-Uhlenbeck esta definido por un par de parametros,comunmente asociados a frecuencias, los cuales determinan su comportamiento de oscilador.En particular, su comportamiento cuantico es totalmente diferente cuando se consideran, yasea frecuencias distintas o frecuencias iguales. En el primer caso, como veremos en esta sec-cion, el modelo se puede transformar canonicamente en la resta de dos osciladores al hacer elformalismo de Ostrogradski para teorıas de alto orden, mientras en el segundo caso, como severa en la siguiente seccion, el modelo de Pais-Uhlenbeck se puede transformar canonicamente

3.3. MODELO DE PAIS-UHLENBECK: FRECUENCIAS DISTINTAS 31

en una componente asociada a una norma del espacio de configuracion mas una componentede momento angular. Siendo ası, a nivel cuantico, los espectros de eigenvalores que resultande las ecuaciones de tipo Schrodinger resultan, para el caso de frecuencias distintas, discreto,mientras que para el caso de frecuencias iguales, resulta continuo [21], [22], [23]. Desde laperspectiva de las ecuaciones de movimiento para el sistema, en ambos casos, las ecuacionesdiferenciales que caracterizan a los sistemas resultan de facil resolucion.

Para empezar, comenzaremos por el Hamiltoniano que describe al modelo de Pais-Uhlenbecka dos frecuencias distintas, Ω1 y Ω2, el cual esta dado por

H(q, pq, x, px) = pqx+ p2x

2 + (Ω21 + Ω2

2)x2

2 − Ω21Ω2

2q2

2 , (3.35)

el cual esta definido en un espacio fase con coordenadas locales (q, x, pq, px). Proponemosentonces realizar la siguiente transformacion canonica (q, x, pq, px) 7→ (X1, X2, P1, P2)

q = 1Ω1

Ω1X2 − P1√Ω2

1 − Ω22

,

x = Ω1X1 − P2√Ω2

1 − Ω22

,

px = Ω1P1 − Ω22X2√

Ω21 − Ω2

2

,

pq = Ω1Ω1P2 − Ω2

2X1√Ω2

1 − Ω22

, (3.36)

la cual claramente diverge para el caso de frecuencias iguales, y por lo tanto no es aplicableen ese caso. Para verificar que esta transformacion es efectivamente canonica, aplicamos lapropiedad de invarianza del bracket de Poisson, encontrando en cada caso

x, px = ∂x

∂X1

∂px∂P1− ∂px∂P2

∂x

∂X2

= Ω1√

Ω21 − Ω2

2

Ω1√Ω2

1 − Ω22

−− 1√

Ω21 − Ω2

2

− Ω22√

Ω21 − Ω2

2

= Ω2

1Ω2

1 − Ω22− Ω2

2Ω2

1 − Ω22

= Ω21 − Ω2

2Ω2

1 − Ω22

= 1 , (3.37)

q, pq = ∂q

∂X2

∂pq∂P2− ∂pq∂X1

∂q

∂P1

= 1

Ω1

Ω1√Ω2

1 − Ω22

Ω1Ω1√

Ω21 − Ω2

2

− 1

Ω1− 1√

Ω21(−Ω2

2

)Ω1

− Ω22√

Ω21 − Ω2

2

=

1√Ω2

1 − Ω22

(Ω21)−

− 1√Ω2

1 − Ω22

− Ω22√

Ω21 − Ω2

2

= Ω2

1Ω2

1 − Ω22− Ω2

2Ω2

1 − Ω22

= Ω21 − Ω2

2Ω2

1 − Ω22

= 1 , (3.38)


q, x = ∂q

∂X2

∂x

∂P2− ∂q

∂P1

∂x

∂X1

= 1

Ω1

Ω1√Ω2

1 − Ω22

− 1√Ω2

1 − Ω22

− 1

Ω1

− −1√Ω2

1 − Ω22

Ω1√Ω2

1 − Ω22

= − 1

Ω21 − Ω2

2+ 1

Ω21 − Ω2

2= 0 , (3.39)

px, pq = ∂px∂X2

∂pq∂P2− ∂px∂P1

∂pq∂X1

=− Ω2

2√Ω2

1 − Ω22

Ω1Ω1√

Ω21 − Ω2

2

− Ω1√

Ω21 − Ω2

2

Ω1

− Ω22√

Ω21 − Ω2

2

= − Ω2

2Ω21

Ω21 − Ω2

2+ Ω2

1Ω22

Ω21 − Ω2

2= 0 . (3.40)

Hemos omitido el resto de los brackets, los cuales resultan ser automaticamente cero. Ademas,en cada uno de los brackets de Poisson arriba hemos escrito en la primera lınea solo losterminos diferentes de cero por simpleza. Una vez verificadas estas relaciones vemos que latransformacion propuesta en (3.36) es una transformacion canonica.

El siguiente paso es encontrar el Hamiltoniano en terminos de las nuevas variables canoni-cas. Para mayor facilidad definimos λ :=

√Ω2

1 − Ω22. Por sustitucion de las variables (3.36)

en el Hamiltoniano, despues de un largo pero directo calculo, encontramos que el nuevoHamiltoniano esta dado por la expresion

H(X1, P1, X2, P2) =(

Ω1Ω1P2 − Ω2

2X1

λ

)(Ω1X1 − P2

λ

)+ 1

2

(Ω1P1 − Ω2

2X2

λ

)2

+Ω21 + Ω2

22

(Ω1X1 − P2

λ

)2

− Ω21Ω2

22

(1

Ω1

Ω1X2 − P1

λ

)2

= P 21 + Ω2

1X21

2 − P 22 + Ω2

2X22

2 , (3.41)

el cual, como adelantamos, resulta ser la diferencia del Hamiltoniano de dos osciladoresarmonicos, uno para cada pareja (X1, P1) y (X2, P2), respectivamente. Esta transformacionpresenta entonces una gran ventaja, pues, teniendo en cuenta el caso del oscilador armonicovisto anteriormente, podemos construir las soluciones a el sistema descrito por nuestro Ha-miltoniano (3.41).

Lo siguiente que se va a realizar es encontrar la inversa de las transformaciones canonicasa partir de las expresiones (3.36). De la expresion para x, tenemos que P2 = −xλ + w1X1,por lo que sustituyendo esto en la expresion para pq tenemos

pq = w1

(w1(−xλ+ w1X1)− w2

2X1

λ

)= w1

(−w1xλ+X1(w2

1 − w22)

λ

)= w1 (−w1x+X1λ) . (3.42)

3.3. MODELO DE PAIS-UHLENBECK: FRECUENCIAS DISTINTAS 33

De modo que despejando X1 tenemos

X1 = pq + w21x

λ. (3.43)

Remplazando el nuevo X1 en en la expresion para x podemos entonces obtener el valor de P2

x =w1(p1+w2

1x

λ

)− P2

λ= w1pq + w3

1x

λ2 − P2

λ, (3.44)

de ahı que P2 es

P2 = w1pq + w31x

λ. (3.45)

En forma analoga, realizamos el procedimiento para llegar a las otras dos transformacionescanonicas. De la expresion para q sabemos que P1 esta dada por P1 = w1X2−w1λq, en formatal que substituyendo en la expresion para px tenemos

px = w1[w1X2 − w1λq]− w22X2

λ= X2[w2

1 − w22]− w2

1λq

λ= X2λ− w2

1q , (3.46)

de la cual podemos obtener a X2 en terminos de las variables originales

X2 = px + w21q

λ. (3.47)

Finalmente, en la expresion para q podemos reemplazar la nueva X2, obteniendo ası

q = 1w1

w1(px+w2

1q

λ

)− P1

λ

= px + w21q

λ2 − P1

λw1, (3.48)

por lo que P1 es

P1 = −qw1λ+ w1px + w31q

λ. (3.49)

En resumen, la inversa de la transformacion canonica (3.36) resulta ser

X1 = pq + w21x

λ,

X2 = px + w21q

λ,

P1 = −qw1λ+ w1px + w31q

λ,

P2 = w1pq + w31x

λ. (3.50)


Por ultimo, procedemos a encontrar la funcion generadora de primer tipo. Procediendocomo en los ejemplos previos, empezamos por considerar la relacion

(P1dX1 + P2dX2 −H0)− (pqdq + pxdx−H) = dF , (3.51)

en donde hemos considerado la transformacion canonica (q, x, pq, px) 7→ (X1, X2, P1, P2), ylas funciones H y H0 denotan al Hamiltoniano asociado a las coordenadas originales (3.35) yel Hamiltoniano asociado a las nuevas coordenadas (3.41), respectivamente. Ademas, hemosconsiderado F = F (q, x,X1, X2), por lo que su diferencial total esta dado por

dF = ∂F

∂qdq + ∂F

∂xdx+ ∂F

∂X1dX1 + ∂F

∂X2dX2 . (3.52)

Siendo ası, podemos verificar que la funcion generadora F (q, x,X1, X2) debe satisfacer elsistema de ecuaciones diferenciales parciales

P1 = ∂F

∂X1,

P2 = ∂F

∂X2,

pq = −∂F∂q

,

px = −∂F∂x

. (3.53)

Ahora bien, de las transformaciones canonicas determinamos los valores de los momentos P ′sy p′s en terminos del conjunto de coordenadas (q, x,X1, X2). De la relacion para q en (3.36),encontramos

P1 = Ω1X2 − Ω1λq . (3.54)

Analogamente, de la relacion para x podemos obtener

P2 = Ω1X1 − λx . (3.55)

Para encontrar px sustituimos el valor de P1 (3.54) en su expresion dada en (3.36), obteniendo

px = Ω1P1 − Ω22X2

λ= Ω1

λ(Ω1X2 − Ω1λq)−

Ω22λX2

= λX2 − Ω21q . (3.56)

Por ultimo, en forma analoga, para obtener pq simplemente substituimos el valor de P2 en suexpresion

pq = Ω1

λ(Ω1P2 − Ω2

2X1) = Ω1

λ[(Ω1X1 − λx)Ω1 − Ω2

2X1]

= λΩ1X1 − Ω21x . (3.57)

3.4. MODELO DE PAIS-UHLENBECK: FRECUENCIAS IGUALES 35

De esta forma, las ecuaciones diferenciales (3.53) se transforman en

∂F

∂q= Ω1λX1 − Ω1x ,

∂F

∂x= λX2 − Ω2

1q ,

∂F

∂X1= Ω1X2 − Ω1λq ,

∂F

∂X2= Ω1X1 − λx . (3.58)

Este sistema de ecuaciones caracteriza completamente a la funcion generadora F . Usandolas tecnicas estandar de integracion para ecuaciones diferenciales parciales, uno finalmentepuede encontrar como resultado que la funcion generadora esta dada por

F (q, x,X1, X2) = −Ω1λX1q + Ω21xq − λX2x+ Ω1Ω2X2 + αX2 , (3.59)

en donde α es una constante de integracion.

3.4. Modelo de Pais-Uhlenbeck: Frecuencias igualesEn esta seccion trataremos el modelo de Pais-Uhlenbeck, discutido en la seccion anterior,

ahora para el caso de frecuencias iguales. Como se menciono anteriormente, las transforma-ciones canonicas que se introdujeron en el caso anterior resultan mal definidas para el caso defrecuencias iguales, por lo cual, este caso no puede ser deducido del anterior al tomar el lımitede frecuencias iguales y, por lo tanto, tiene que ser considerado a partir del Hamiltonianocon una sola frecuencia.

Comenzaremos por considerar el Hamiltoniano

H(q, pq, x, px) = pqx+ p2x

2 + ω2x2 − ω4q2

2 , (3.60)

el cual se obtiene a partir del Hamiltoniano (3.35) al definir ω := Ω1 = Ω2. Nos interesaencontrar transformaciones canonicas de la forma (q, x, pq, px) 7→ (Q1, Q2, P1, P2), tales quelas ecuaciones de movimiento asociadas al nuevo Hamiltoniano tomen una forma conocida,y resulten mas facil de resolver. Para ello, consideraremos la funcion generadora de primertipo

F (q, x,Q1, Q2) = qQ2√2− ωqx

4 + ωxQ1√2− Q1Q2

2 . (3.61)

Esta funcion generadora fue previamente considerada en las referencias [22], [23]. Recordandode manera general la teorıa de los sistemas dinamicos, sabemos que el nuevo HamiltonianoH0 es posible deducirlo por medio del antiguo Hamiltoniano H y una funcion generadora F ,mediante la relacion

(P1dQ1 − P2dQ2 −H0) = (pqdq + pxdx−H) + dF . (3.62)


En la ultima parte de la igualdad se expresa el diferencial de la funcion generadora F , esdecir, la funcion generadora en terminos de las nuevas y viejas variables que en este casoson (q, x) y (Q1, Q2), respectivamente. Tambien, a partir de la relacion (3.62), uno puedededucir las transformaciones canonicas que se van a proponer, de modo tal que, expandiendoel diferencial de la funcion F y considerando independencia lineal de las coordenadas, setienen el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales parciales

P1 = ∂F

∂Q1,

P2 = ∂F

∂Q2,

px = −∂F∂x

,

pq = −∂F∂q

. (3.63)

En este caso, dado que conocemos a la funcion generadora F (q, x,Q1, Q2) (3.61), podemosentonces determinar cada uno de los momentos al diferenciar apropiadamente a la funciongeneradora. De esta forma tenemos

P1 = ωx√2− Q2

2 ,

P2 = q√2− Q1

2 ,

px = ωq

4 −ωQ1√

2,

pq = −Q2√2

+ ωx

4 . (3.64)

Ahora que tenemos los valores de los momentos, queremos encontrar a un conjunto devariables en terminos del otro conjunto de variables. De la expresion para P1 arriba podemosencontrar el valor de x despejando en termino de las nuevas variables

x =√

2ω

(P1 + Q2

2

). (3.65)

En forma analoga, de la expresion para P2 se deduce el valor de q en termino de las nuevasvariables

q =√

2(P2 + Q1

2

). (3.66)

Para encontrar los valores de los momentos originales (pq, px) substituimos en las expresionespara los momentos (3.64) los valores para q y x recien encontrados, lo cual los determinacompletamente en terminos de las nuevas variables. Entonces tenemos

px = ω

2√

2

(P2 −

3Q1

2

),

pq = 12√

2

(P1 −

3Q2

2

)(3.67)

3.4. MODELO DE PAIS-UHLENBECK: FRECUENCIAS IGUALES 37

En consecuencia la transformacion canonica completa (q, x, pq, px) 7→ (Q1, Q2, P1, P2) asocia-da a la funcion generadora (3.61) esta dada por las relaciones

x =√

2ω

(P1 + Q2

2

),

q =√

2(P2 + Q1

2

),

px = ω

2√

2

(P2 −

3Q1

2

),

pq = 12√

2

(P1 −

3Q2

2

). (3.68)

Uno puede checar inmediatamente que, bajo el bracket de Poisson en terminos de las nuevasvariables, se satisfacen las relaciones canonicas

q, pq = 1 = x, px , (3.69)

mientras el resto de los brackets entre cualesquiera dos variables originales es identicamentecero.

Para construir el nuevo Hamiltoniano H0, simplemente substituimos en el HamiltonianoH (3.60) las transformaciones canonicas (3.68), con lo cual obtenemos a H0 como funcion delas coordenadas locales (Q1, Q2, P1, P2). Explıcitamente se tiene

H0 = ω(Q1P2 −Q2P1)− ω2

4 (Q21 +Q2

2) . (3.70)

A partir de este Hamiltoniano uno puede darse cuenta que el primer termino esta descritopor una combinacion comunmente asociada a una rotacion (o bien, al momento angular) enel plano (Q1, Q2). Ademas, el segundo termino es simplemente identificado con la norma deun vector en el mismo plano. Las ecuaciones diferenciales de movimiento para este Hamilto-niano, efectivamente resultan de facil resolucion. Para ver esto, escribimos las ecuaciones deHamilton (2.38) para nuestro sistema como

Q′1 = ∂H0

∂P1= −ωQ2 ,

Q′2 = ∂H0

∂P2= ωQ2 ,

P ′1 = −∂H0

∂Q1= −ωP2 + ω2

2 Q1 ,

P ′2 = −∂H0

∂Q2= ωP1 −

ω2

2 Q2 . (3.71)

Para resolverlas, solo hay que derivar una vez mas a cada una de estas ecuaciones, y sustituirlas primeras derivadas por su identidad arriba. De esta forma vemos que la solucion a todasy cada una de estas variables simplemente esta dada por funciones armonicas, las cuales


convenientemente podemos escoger como

Q1(t) = A cos(ωt+ δ) ,Q2(t) = A sin(ωt+ δ) ,

P1(t) = ωA

4 sin(ωt+ δ) ,

P2(t) = ωA

4 cos(ωt+ δ) , (3.72)

donde tanto A como δ aquı son constantes de integracion.

Por ultimo, podemos encontrar la inversa de la transformacion canonica (3.68), ahora de-pendiendo de las antiguas variables. Esto lo podemos realizar al despejar las nuevas variablesen terminos de las originales por medio de un sistema de ecuaciones lineales, para lo cual unopuede emplear los metodos bien conocidos del algebra lineal. Siendo ası, un encuentra que latransformacion canonica inversa esta dada por

Q1 =√

2(q

4 −pxω

),

Q2 =√

2(ωx

4 − pq),

P1 = 1√2

(3ωx4 + pq

),

P2 = 1√2

(3q4 + px

ω

). (3.73)

Capıtulo 4Conclusiones

En el area de las Matematicas los alumnos se encuentran expuestos a diversas situacio-nes que les generan cierto conflicto. Una de estas circunstancias es cuando se enfrentan aun problema complejo el cual no se puede resolver directamente. En la practica, uno puedeincorporar metodologıas de otras materias para abordar un problema. De igual forma, parallegar a la solucion correcta existen varias maneras, es decir, se pueden generar distintas al-ternativas que nos llevan a la solucion de un problema dado. En el contexto de la Fısica, unopropiamente explota el uso de diversas areas de las matematicas con la finalidad de encontrarsoluciones explıcitas. Desde esta perspectiva, la finalidad de esta tesis ha sido la de simplifi-car el problema original en uno mas sencillo, siendo equivalentes uno del otro, al introducirtecnicas bien conocidas de otra materia. En nuestro caso particular, nos centramos por ellado de la Fısica en la Mecanica Hamiltoniana, y vimos como, al introducir herramientas dela teorıa de ecuaciones diferenciales parciales y del calculo variacional, se pueden contemplarformas equivalentes en las cuales la solucion a un problema puede ser descrito en forma massencilla.

En la Matematica Educativa se puede describir a la propuesta de un problema compli-cado como un aprendizaje basado en la indagacion y resolucion de problemas. Esta posturase encuentra fundamentada en que es necesario una guıa y al mismo tiempo proporcionar lainformacion necesaria para que los alumnos puedan generar habilidades como aprendizajessignificativos. Para esto se proponen situaciones o problemas a los alumnos con contenidoespecıfico sobre lo que se quiere poner en practica, que sean de interes para ellos, o bien, quese encuentren relacionados con alguna otra area del conocimiento. A esta propuesta, y al tipode problemas que se proponen se les vincula con el nombre de teorıa de situaciones. Estateorıa de situaciones consiste en que el docente tiene que crear un problema especıfico que seadapte tanto a los temas que requiere cubrir, a la utilidad que les quiere proveer (proyecto,examen, repaso, etc.), a los tiempos especıficos determinados ya sea por el docente o por elplan de estudios, ası como al area de interes. Si bien resulta una tarea compleja, la teorıa desituaciones trae consigo multiples beneficios, de los cuales algunos de ellos son: el incrementode motivacion por parte de los alumnos, generar un aprendizaje significativo, una herramientaextra que sirve de apoyo para el docente en diversas etapas de la ensenanza y la incorpo-racion de las competencias. Estas competencias se refieren a las habilidades y actitudes que

39

40 CAPITULO 4. CONCLUSIONES

deben tener todos los alumnos de modo que les permite responder a demandas especıficas endiferentes contextos. El modelo educativo basado en las competencias tiene como uno de suspuntos clave el que al momento de incorporar las competencias en los problemas se pretendemejorar la calidad de la ensenanza. Esto ultimo sucede porque los aprendizajes van incremen-tado y de la misma manera se tiene la intencion de volver mas profundo este aprendizaje a unnivel estructural. Esto permite que a manera que se va haciendo mas compleja la estructuradel aprendizaje se termina convirtiendo en un fundamento sobre el cual se van a construiraprendizajes posteriores.

De acuerdo a la situacion descrita anteriormente se propusieron en este trabajo variosejemplos para los cuales, la metodologıa matematica propuesta para su resolucion, nos hacepensar en implementar esta misma metodologıa en forma sistematica para la resolucion deotros problemas en el area de la Fısica en el aula de clase. Al incorporar tecnicas de transfor-maciones de variables bien conocidas en el contexto de las ecuaciones diferenciales parciales,hemos llevado los sistemas de nuestro interes a sistemas equivalentes cuyas soluciones hansido mucho mas sencillas de obtener. Siendo ası, los problemas que se trataron describen unsistema fısico y su representacion, sin embargo, no siempre su representacion es algo sen-cilla y comoda de resolver, de tal modo que por medio de las transformaciones canonicaspropuestas se va a modificar la representacion del sistema convirtiendola en una mas simplesin afectar, por supuesto, el contenido fısico del sistema original. Al contrario, dado que lastransformaciones canonicas que estudiamos estan definidas en terminos de la invarianza deuna estructura de bracket con contenido geometrico (bracket de Poisson), tambien podemosargumentar que al introducirlas hemos ganado tambien conocimiento sobre los invariantesgeometricos de un problema dado. Esto, sin duda, permite que los alumnos pongan en practi-ca sus conocimientos, ademas de generarles la iniciativa para que busquen alternativas pararesolver un problema tratando de simplificarlo. Con esto se pretende que el estudiante generenuevas habilidades y aprendizajes significativos, tal y como ha sido nuestro interes en estetrabajo.

Para los problemas que se mencionan en el trabajo, los alumnos deben tener conocimientosespecıficos sobre diversas ramas, las cuales son: calculo variacional, mecanica Newtoniana,mecanica de Lagrange, mecanica de Hamilton y por supuesto, la teorıa de ecuaciones di-ferenciales parciales. En el contexto de la Fısica clasica, mientras la mecanica Newtonianaproporciona los fundamentos para la el estudio dinamico de sistemas, la mecanica de La-grange y la mecanica de Hamilton es una reformulacion a la mecanica clasica, siendo sudiferencia principal un lenguaje mas elegante y facil de utilizar basado en el calculo varia-cional. Ademas, como discutimos, dado que el contenido de las mecanicas de Lagrange y deHamilton debe ser equivalente al de la mecanica de Newton, en ambas mecanicas nos hemosaprovechado de esto para plantear sistemas de ecuaciones diferenciales parciales (ecuacionesde Euler-Lagrange y ecuaciones de Hamilton, respectivamente), los cuales nos han permiti-do introducir herramientas de esta ultima teorıa con la intencion de facilitar su resolucion.En particular, uno puede pensar a la mecanica Hamiltoniana como el metodo de estudio delas ecuaciones caracterısticas asociadas a una ecuacion diferencial parcial de segundo orden,la cual, en nuestro caso esta dada por las ecuaciones de Euler-Lagrange. Al utilizar la for-mulacion Hamiltoniana ademas obtenemos la posibilidad de extender este lenguaje para su

41

aplicacion a un rango mas grande de fenomenos fısicos como los sistemas relativistas o bienlos sistemas cuanticos.

Un punto tambien importante de la formulacion propuesta se enfoca en el hecho de quelas cantidades asociadas con un sistema fısico tienen una gran independencia de los sistemasde referencia, y por lo tanto, se concentran en propiedades inherentes al mismo sistema. Porejemplo, tanto a nivel Lagrangiano como Hamiltoniano, uno puede demostrar facilmente quelas ecuaciones de movimiento que describen a cada uno de estos sistemas mecanicos resultainvariante al realizar un cambio de las coordenadas. A nivel Hamiltoniano nos aprovechamosde esto para introducir transformaciones que garanticen esto, a las cuales denominamos co-mo transformaciones canonicas. En el caso concreto de los sistemas de dimension finita quehemos estudiado, hemos visto en todos y cada uno de ellos que, al introducir una transforma-cion canonica adecuada, tanto los sistemas como las ecuaciones diferenciales parciales que loscaracterizan se han simplificado satisfactoriamente. A pesar que los sistemas aquı estudiadosprovienen de diferentes contextos en el ambito de la Fısica, claramente hemos visto comola aplicacion de transformaciones canonicas ha trivializado su resolucion. Nuestra propuestaentonces implica que el introducir tecnicas bien conocidas de la teorıa de ecuaciones diferen-ciales parciales ha sido plenamente justificada. Creemos ademas que las tecnicas que hemosimplementado deberıan ser consideradas para la resolucion de una amplia gama de problemasen cursos de Fısica clasica avanzada.

42 CAPITULO 4. CONCLUSIONES

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