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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO PARA EL PODER POPULAR DE LA EDUCACIÓN SUPERIOR

MISIÓN SUCREALDEA UNIVERSITARIA: “SEVERIANO RODRÍGUEZ H.” 

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN DE INFORMÁTICA Y SISTEMAS

TRABAJO DE INVESTIGACIÓNDE OPERACIONES

Realizado por:

Juan C. Gonzalez

Albenis Bermúdez

Jesús Rodriguez

Jesús Navarro

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ESQUEMA

1. ¿Qué es un modelo?

2. ¿Qué es un modelo matemático?3. Tipos de modelos matemáticos.

4. Estructura y naturaleza de un modelo matemático.

5. Formulación de problemas utilizando el método de Programación

Lineal.

6. Define el método Simplex.

7. Conceptos básicos del método: variable de holgura, variable

artificial,

Variable de excedente.

8. Algoritmo del método simplex.

9. Ejemplo donde se aplique el método Simplex.

10. Método de penalización de la gran M.

11. Estructura del Modelo de transporte.

12. El problema de transporte en forma tabular.

13. Métodos para la solución de problemas de transporte:

13.1. De la esquina Noroeste.

13.2. Del costo mínimo.

13.3. Método de voguel.

13.4. Método Algebraico.

13.5. Método de tanteo.14. El problema de Asignación.

15. Formulación matemática del modelo de Asignación.

16. El método Húngaro.

17. Problemas de trasbordo. 

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1.- ¿Que es un Modelo? 

1. Esquema teórico, generalmente en forma matemática, de un sistema o de unarealidad compleja, como la evolución económica de un país, que se elabora para

facilitar su comprensión y el estudio de su comportamiento.

2. Arquetipo o punto de referencia para imitarlo o reproducir.

3. En las obras de ingenio y en las acciones morales, ejemplar que por superfección se debe seguir e imitar.

4. Representación en pequeño de alguna cosa.

5. Esquema teórico, generalmente en forma matemática, de un sistema o de unarealidad compleja, como la evolución económica de un país, que se elabora para

facilitar su comprensión y el estudio de su comportamiento.

6. Objeto, aparato, construcción, etc., o conjunto de ellos realizados con arreglo aun mismo diseño. Auto modelo 1976. Lavadora último modelo.

7. Vestido con características únicas, creado por determinado modista, y, engeneral, cualquier prenda de vestir que esté de moda.

8. En empresas, u. en aposición para indicar que lo designado por el nombreanterior ha sido creado como ejemplar o se considera que puede serlo. Empresamodelo. Granjas modelo.

9. Esc. Figura de barro, yeso o cera, que se ha de reproducir en madera, mármol ometal.

10. Cuba. impreso (‖ hoja con espacios en blanco). 

11. Persona de buena figura que en las tiendas de modas se pone los vestidos,trajes y otras prendas para que las vean los clientes.

2.-¿Que es un Modelo Matemático?

Un modelo matemático se define como una descripción desde el punto de vista delas matemáticas de un hecho o fenómeno del mundo real, desde el tamaño de lapoblación, hasta fenómenos físicos como la velocidad, aceleración o densidad. Elobjetivo del modelo matemático es entender ampliamente el fenómeno y tal vezpredecir su comportamiento en el futuro.

El proceso para elaborar un modelo matemático es el siguiente:

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Encontrar un problema del mundo real

Formular un modelo matemático acerca del problema, identificando variables(dependientes e independientes) y estableciendo hipótesis lo suficientementesimples para tratarse de manera matemática. 

Aplicar los conocimientos matemáticos que se posee para llegar a conclusionesmatemáticas.

Comparar los datos obtenidos como predicciones con datos reales. Si los datosson diferentes, se reinicia el proceso.

Es importante mencionar que un modelo matemático no es completamente exactocon problemas de la vida real, de hecho, se trata de una idealización.Hay una gran cantidad de funciones que representan relaciones observadas en elmundo real; las cuales se analizarán en los párrafos siguientes, tanto

algebraicamente como gráficamente.Modelo matemático es uno de los tipos de modelos científicos, que emplea algúntipo de formulismo matemático para expresar relaciones, proposicionessustantivas de hechos, variables, parámetros, entidades y relaciones entrevariables y/o entidades u operaciones, para estudiar comportamientos de sistemascomplejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad. El términomodelización matemática es utilizada también en diseño gráfico cuando se hablade modelos geométricos de los objetos en dos (2D) o tres dimensiones (3D).

El significado de modelo matemático en matemática fundamental, sin embargo, es

algo diferente. En concreto en matemáticas se trabajan con modelos formales. Unmodelo formal para una cierta teoría matemática es un conjunto sobre el que sehan definido un conjunto de relaciones unarias, binarias y trinarias, que satisfacelas proposiciones derivadas del conjunto de axiomas de la teoría. La rama de lamatemática que se encarga de estudiar sistemáticamente las propiedades de losmodelos es la teoría de modelos. 

3.- Tipos de modelos matemáticos 

Se podría decir que un modelo de las ciencias físicas es una traducción de larealidad física de un sistema en términos matemáticos, es decir, una forma de

representar cada uno de los tipos entidades que intervienen en un cierto procesofísico mediante objetos matemáticos. Las relaciones matemáticas formales entrelos objetos del modelo, deben representar de alguna manera las relaciones realesexistentes entre las diferentes entidades o aspectos del sistema u objeto real. Asíuna vez "traducido" o "representado" cierto problema en forma de modelomatemático, se pueden aplicar el cálculo, el álgebra y otras herramientasmatemáticas para deducir el comportamiento del sistema bajo estudio. Un modelo

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físico requerirá por tanto que se pueda seguir el camino inverso al modelado, permitiendo reinterpretar en la realidad las predicciones del modelo.

Según la información de entrada 

Con respecto a la función del origen de la información utilizada para construir losmodelos pueden clasificarse de otras formas. Podemos distinguir entre modelosheurísticos y modelos empíricos:

  Modelos heurísticos (del griego euriskein  'hallar, inventar'). Son los queestán basados en las explicaciones sobre las causas o mecanismos naturales quedan lugar al fenómeno estudiado.  Modelos empíricos (del griego empeirikos  relativo a la 'experiencia'). Sonlos que utilizan las observaciones directas o los resultados de experimentos delfenómeno estudiado.

Según el tipo de representaciónAdemás los modelos matemáticos encuentran distintas denominaciones en susdiversas aplicaciones. Una posible clasificación puede atender a si pretendenhacer predicciones de tipo cualitativo o pretende cuantificar aspectos del sistemaque se está modelizando:

  Modelos cualitativos o conceptuales, estos pueden usar figuras, gráficoso descripciones causales, en general se contentan con predecir si el estado delsistema irá en determinada dirección o si aumentará o disminuirá algunamagnitud, sin importar exactamente la magnitud concreta de la mayoría de

aspectos.  Modelos cuantitativos o numéricos, usan números para representaraspectos del sistema modelizado, y generalmente incluyen fórmulas y algoritmosmatemáticos más o menos complejos que relacionan los valores numéricos. Elcálculo con los mismos permite representar el proceso físico o los cambioscuantitativos del sistema modelado.

Según la aleatoriedad 

Otra clasificación independiente de la anterior, según si a una entrada o situacióninicial concreta pueden corresponder o no diversas salidas o resultados, en este

caso los modelos se clasifican en:  Determinista. Se conoce de manera puntual la forma del resultado ya queno hay incertidumbre. Además, los datos utilizados para alimentar el modelo soncompletamente conocidos y determinados.  Estocástico. Probabilístico, que no se conoce el resultado esperado, sino suprobabilidad y existe por tanto incertidumbre.

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Clasificación según su aplicación u objetivo

Por su uso suelen utilizarse en las siguientes tres áreas, sin embargo existenmuchas otras como la de finanzas, ciencias etc.

  Modelo de simulación o descriptivo, de situaciones medibles de maneraprecisa o aleatoria, por ejemplo con aspectos de programación lineal cuando es demanera precisa, y probabilística o heurística cuando es aleatorio. Este tipo demodelos pretende predecir qué sucede en una situación concreta dada.  Modelo de optimización. Para determinar el punto exacto para resolveralguna problemática administrativa, de producción, o cualquier otra situación.Cuando la optimización es entera o no lineal, combinada, se refiere a modelosmatemáticos poco predecibles, pero que pueden acoplarse a alguna alternativaexistente y aproximada en su cuantificación. Este tipo de modelos requierecomparar diversas condiciones, casos o posibles valores de un parámetro y vercual de ellos resulta óptimo según el criterio elegido.

  Modelo de control. Para saber con precisión como está algo en unaorganización, investigación, área de operación, etc. Este modelo pretende ayudara decidir qué nuevas medidas, variables o qué parámetros deben ajustarse paralograr un resultado o estado concreto del sistema modelado.

4.- Estructura y naturaleza de un modelo Matemático.

Fases de construcción de un modelo MatemáticoEn muchos casos la construcción o creación de modelos matemáticos útiles sigueuna serie de fases bien determinadas:

1. Identificación de un problema o situación compleja que necesita sersimulada, optimizada o controlada y por tanto requeriría un modelo matemáticopredictivo.2. Elección del tipo de modelo, esto requiere precisar qué tipo de respuestau output pretende obtenerse, cuales son los datos de entrada o factoresrelevantes, y para qué pretende usarse el modelo. Esta elección debe ser

suficientemente simple como para permitir un tratamiento matemático asequiblecon los recursos disponibles. Esta fase requiere además identificar el mayornúmero de datos fidedignos, rotular y clasificar las incógnitas (variablesindependientes y dependientes) y establecer consideraciones, físicas, químicas,geométricas, etc. que representen adecuadamente el fenómeno en estudio.3. Formalización del modelo en la que se detallarán qué forma tienen losdatos de entrada, qué tipo de herramienta matemática se usará, como se adaptana la información previa existente. También podría incluir la confección dealgoritmos, ensamblaje de archivos informáticos, etc, etc. En esta fase

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posiblemente se introduzcan también simplificaciones suficientes para que elproblema matemático de modelización sea tratable computacionalmente.4. Comparación de resultados los resultados obtenidos como prediccionesnecesitan ser comparados con los hechos observados para ver si el modelo estáprediciendo bien. Si los resultados no se ajustan bien, frecuentemente se vuelve a

la fase 1.Es importante mencionar que la inmensa mayoría de modelos matemáticos no sonexactos y tienen un alto grao de idealización y simplificación, ya que unamodelización muy exacta puede ser más complicada de tratar de unasimplificación conveniente y por tanto menos útil. Es importante recordar que elmecanismo con que se desarrolla un modelo matemático repercute en eldesarrollo de otras técnicas de conocimientos enfocadas al área socio-cultural.

Clasificaciones de los modelos

Se podría decir que un modelo de las ciencias físicas es una traducción de larealidad física de un sistema en términos matemáticos, es decir, una forma derepresentar cada uno de los tipos entidades que intervienen en un cierto procesofísico mediante objetos matemáticos. Las relaciones matemáticas formales entrelos objetos del modelo, deben representar de alguna manera las relaciones realesexistentes entre las diferentes entidades o aspectos del sistema u objeto real. Asíuna vez "traducido" o "representado" cierto problema en forma de modelomatemático, se pueden aplicar el cálculo, el álgebra y otras herramientasmatemáticas para deducir el comportamiento del sistema bajo estudio. Un modelofísico requerirá por tanto que se pueda seguir el camino inverso al modelado, permitiendo reinterpretar en la realidad las predicciones del modelo.

Según la información de entrada

Con respecto a la función del origen de la información utilizada para construir losmodelos pueden clasificarse de otras formas. Podemos distinguir entre modelosheurísticos y modelos empíricos:

  Modelos heurísticos (del griego euriskein  'hallar, inventar'). Son los queestán basados en las explicaciones sobre las causas o mecanismos naturales quedan lugar al fenómeno estudiado.  Modelos empíricos (del griego empeirikos  relativo a la 'experiencia'). Son

los que utilizan las observaciones directas o los resultados de experimentos delfenómeno estudiado.

[Según el tipo de representación

Además los modelos matemáticos encuentran distintas denominaciones en susdiversas aplicaciones. Una posible clasificación puede atender a si pretendenhacer predicciones de tipo cualitativo o pretende cuantificar aspectos del sistemaque se está modelizando:

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  Modelos cualitativos o conceptuales, estos pueden usar figuras, gráficoso descripciones causales, en general se contentan con predecir si el estado delsistema irá en determinada dirección o si aumentará o disminuirá algunamagnitud, sin importar exactamente la magnitud concreta de la mayoría deaspectos.

  Modelos cuantitativos o numéricos, usan números para representaraspectos del sistema modelizado, y generalmente incluyen fórmulas y algoritmosmatemáticos más o menos complejos que relacionan los valores numéricos. Elcálculo con los mismos permite representar el proceso físico o los cambioscuantitativos del sistema modelado.

Según la aleatoriedad

Otra clasificación independiente de la anterior, según si a una entrada o situacióninicial concreta pueden corresponder o no diversas salidas o resultados, en estecaso los modelos se clasifican en:

  Determinista. Se conoce de manera puntual la forma del resultado ya queno hay incertidumbre. Además, los datos utilizados para alimentar el modelo soncompletamente conocidos y determinados.  Estocástico. Probabilístico, que no se conoce el resultado esperado, sino suprobabilidad y existe por tanto incertidumbre.

Clasificación según su aplicación u objetivo

Por su uso suelen utilizarse en las siguientes tres áreas, sin embargo existenmuchas otras como la de finanzas, ciencias etc.

  Modelo de simulación o descriptivo, de situaciones medibles de maneraprecisa o aleatoria, por ejemplo con aspectos de programación lineal cuando es demanera precisa, y probabilística o heurística cuando es aleatorio. Este tipo demodelos pretende predecir qué sucede en una situación concreta dada.  Modelo de optimización. Para determinar el punto exacto para resolveralguna problemática administrativa, de producción, o cualquier otra situación.Cuando la optimización es entera o no lineal, combinada, se refiere a modelosmatemáticos poco predecibles, pero que pueden acoplarse a alguna alternativaexistente y aproximada en su cuantificación. Este tipo de modelos requierecomparar diversas condiciones, casos o posibles valores de un parámetro y ver

cual de ellos resulta óptimo según el criterio elegido.  Modelo de control. Para saber con precisión como está algo en unaorganización, investigación, área de operación, etc. Este modelo pretende ayudara decidir qué nuevas medidas, variables o qué parámetros deben ajustarse paralograr un resultado o estado concreto del sistema modelado.

5.- Formulación de problemas utilizando el método de Programación Lineal

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La Programación Lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante elcual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuacioneslineales, optimizando la función objetivo, también lineal.

Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada

función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas auna serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuacioneslineales.

Historia de la programación lineal

El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, almenos, a Fourier, después de quien nace el método de eliminación de Fourier-Motzkin. La programación lineal se plantea como un modelo matemáticodesarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y losretornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del

enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industriaslo usaron en su planificación diaria.

Los fundadores de la técnica son George Dantzig, quien publicó el algoritmosimplex, en 1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en elmismo año, y Leonid Kantoróvich, un matemático ruso, que utiliza técnicassimilares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economíaen 1975. En 1979, otro matemático ruso, Leonid Khachiyan, demostró que elproblema de la programación lineal era resoluble en tiempo polinomial. Más tarde,en 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior pararesolver problemas de programación lineal, lo que constituiría un enorme avance

en los principios teóricos y prácticos en el área.El ejemplo original de Dantzig de la búsqueda de la mejor asignación de 70personas a 70 puestos de trabajo es un ejemplo de la utilidad de la programaciónlineal. La potencia de computación necesaria para examinar todas laspermutaciones a fin de seleccionar la mejor asignación es inmensa; el número deposibles configuraciones excede al número de partículas en el universo. Sinembargo, toma sólo un momento encontrar la solución óptima mediante elplanteamiento del problema como una programación lineal y la aplicación delalgoritmo simplex. La teoría de la programación lineal reduce drásticamente elnúmero de posibles soluciones óptimas que deberán ser revisadas.

Variables

Las variables son números reales mayores o iguales a cero.

En caso que se requiera que el valor resultante de las variables sea un númeroentero, el procedimiento de resolución se denomina Programación entera .

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Restricciones

Las restricciones pueden ser de la forma:

Tipo 1:

Tipo 2:

Tipo 3:

Donde:  A = valor conocido a ser respetado estrictamente;  B = valor conocido que debe ser respetado o puede ser superado;  C = valor conocido que no debe ser superado;   j = número de la ecuación, variable de 1 a M (número total de restricciones);  a; b; y, c = coeficientes técnicos conocidos;  X = Incógnitas, de 1 a N;  i = número de la incógnita, variable de 1 a N.

En general no hay restricciones en cuanto a los valores de N y M. Puede ser N =

M; N > M; ó, N < M.Sin embargo si las restricciones del Tipo 1 son N, el problema puede serdeterminado, y puede no tener sentido una optimización.

Los tres tipos de restricciones pueden darse simultáneamente en el mismoproblema.

Función Objetivo

La función objetivo puede ser:

ó

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Donde:

  f = coeficientes son relativamente iguales a cero.

Programación entera

En algunos casos se requiere que la solución óptima se componga de valoresenteros para algunas de las variables. La resolución de este problema se obtieneanalizando las posibles alternativas de valores enteros de esas variables en unentorno alrededor de la solución obtenida considerando las variables reales.Muchas veces la solución del programa lineal truncado esta lejos de ser el óptimoentero, por lo que se hace necesario usar algún algoritmo para hallar esta soluciónde forma exacta. El más famoso es el método de 'Ramificar y Acotar' o Branch andBound por su nombre en inglés. El método de Ramificar y Acotar parte de laadición de nuevas restricciones para cada variable de decisión (acotar) que al serevaluado independientemente (ramificar) lleva al óptimo entero.

Aplicaciones

La programación lineal constituye un importante campo de la optimización porvarias razones, muchos problemas prácticos de la investigación de operacionespueden plantearse como problemas de programación lineal. Algunos casosespeciales de programación lineal, tales como los problemas de flujo de redes yproblemas de flujo de mercancías se consideraron en el desarrollo de lasmatemáticas lo suficientemente importantes como para generar por si mismosmucha investigación sobre algoritmos especializados en su solución. Una serie dealgoritmos diseñados para resolver otros tipos de problemas de optimizaciónconstituyen casos particulares de la más amplia técnica de la programación lineal.Históricamente, las ideas de programación lineal han inspirado muchos de losconceptos centrales de la teoría de optimización tales como la dualidad, ladescomposición y la importancia de la convexidad y sus generalizaciones. Delmismo modo, la programación lineal es muy usada en la microeconomía y laadministración de empresas, ya sea para aumentar al máximo los ingresos oreducir al mínimo los costos de un sistema de producción. Algunos ejemplos sonla mezcla de alimentos, la gestión de inventarios, la cartera y la gestión de lasfinanzas, la asignación de recursos humanos y recursos de máquinas, laplanificación de campañas de publicidad, etc.

6.- Defina el método Simplex

En el algoritmo del Símplex, se parte de un programa base que estará formado porvectores unitarios (vector proceso unitario), realizando iteraciones sucesivas, de

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manera que en cada uno de ellos, la matriz de coeficientes asociada al programabase sea una matriz identidad. 

Los pasos a seguir en el algoritmo del Símplex son:

1. Convertir desigualdades en igualdades, introduciendo para ello variables de

holgura, que serán positivas en restricciones menores o iguales, y negativas enrestricciones mayores o iguales.

2. Obtener el programa base: Esta es la pregunta inicial de la cual partimos paradeterminar la solución. Para encontrar el programa base, tomaremos un vectorunitario de cada una de las restricciones del problema, de acuerdo con el siguienteesquema:

2.1. Escoger aquellas variables de holgura con el mismo signo que el términoindependiente y coeficiente unitario.

2.2. En su defecto, escoger aquellas variables Xi que aparezca en una únicarestricción, y tenga el mismo signo que el término independiente. Esta variable

deberá tener coeficiente unitario.2.3. En su defecto, introduciremos en aquellas restricciones de las cuales nohemos tocado aún, un vector unitario una variable artificial Kj afectada de unrendimiento  –N si estamos maximizando, o de un rendimiento +N si estamosminimizando, y que tendrá un coeficiente unitario.

El  método Simplex básico  

El método Simplex, introducido en su forma original por Spendley; Hext y

Himsworth, en 1962, no se basa en planeamientos factoriales y por eso requierepocos experimentos para moverse, desplazándose en la dirección del óptimo. Laaplicación del método Simplex en Química Analítica fue efectuada por la primeravez en 1969. El método Simplex original, a lo largo de estos años, há sufridomodificaciones que obligaron a la distinción del mismo dentro de las estrategias deoptimización, así el método Simplex original pasó a ser llamado de MétodoSimplex Básico (MSB).

El procedimiento de optimización, en el método Simplex, comienza por la elecciónde la n+1 puntos donde será hecha la evaluación de la respuesta. Este resultadoserá evaluado contra las demás respuestas para que el proceso pueda continuar,siendo que este tipo de desarrollo convierte al simplex en un método del tiposecuencial.

El procedimiento es repetido sucesivamente, descartándose la peor respuesta.Por lo tanto, como vemos, el objetivo del método Simplex secuencial es forzar alsimplex a moverse para la región de respuesta óptima.

Las decisiones requeridas para que eso sea posible constituyen las llamadas"reglas" del procedimiento simplex. REGLAS PARA EL MOVIMIENTO DELSIMPLEX BÁSICO 

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Regla nº 1: Después de determinar las respuestas de los n+1 experimentosnecesarios para iniciar el proceso, con base en el conocimiento ya adquirido sobreel sistema, se debe clasificarlas en mejor [B (the Best)], peor [W (the Worst)] yresultados intermediarios [N (Next to worst)], según el objetivo de la optimización.

Regla nº 2: El simplex es movido para un simplex adyacente, el cuál es

determinado descartando la respuesta menos deseada. El vértice correspondientea esta respuesta es sustituido por un nuevo vértice, generado por su reflexión através del centroide de la hiperfase de los vértices restantes.

Matematicamente, sí los vértices de un simplex k-dimensional son representadospor coordenadas vectoriales P1, P2, ...., Pj, ....Pk, .... Pk+1, la eliminación de larespuesta no deseada Pj resulta en la hiperfase formada por P1, P2, ...., Pj-1,Pj+1, ....Pk, .... Pk+1 con el centroide definido por:

Pc = 1/k (P1 + P2 + .... + Pj-1 + Pj+1 + .... + Pk + Pk+1)

Pc = centroide de la hiperfase K = número de dimensiones del simplexPj = vértice

correspondiente a la peor respuesta.El nuevo simplex es definido por esta fase y un nuevo vértice, P, que correspondea la reflexión del vértice rechazado Pj, a través de la fase por el centroide Pc.

P = Pc + (Pc - Pj)

Regla nº 3: Sí el punto reflejado, P, tuviera la peor respuesta en el nuevo simplex,probablemente el desplazamiento no está sucediendo en dirección al óptimo. Eneste caso, se debe rechazar la 2ª peor respuesta de este simplex y continuar conla optimización.

Esta regla es necesaria, pues el simplex puede estar encima de una cresta y laaplicación directa de la Regla no 2 puede hacer con que el punto P sea reflejadode vuelta al punto anterior. En este caso el simplex oscila y se vuelve sin recurso(decimos, que se mantiene parado).

Esta situación sucede con frecuencia en la región del óptimo. Sí un punto esobtenido cercano a él, todos los otros nuevos puntos tienden a pasar más allá deltope de la curva de respuesta. Entonces, un cambio en la dirección es indicado.En la región del óptimo, normalmente ocurre el simplex circular en vuelta de unóptimo temporáneo. Como se puede tratar de un resultado falso, el cual hace, conque el simplex se prenda a él, es necesario la siguiente excepción adicional a laRegla no 1.

Regla nº 4: Sí un vértice fuera mantenido en k+1 simplex, antes de aplicar laRegla no 2, haga una nueva observación del vértice persistente. Sí el vértice estárealmente cercano al óptimo, es probable que la evaluación repetida de larespuesta sea consistente y de esta forma el punto será mantenido. Sí larespuesta en el vértice fuera alta por causa de un error de observación, esimprobable que con la nueva evaluación eso ocurra y por lo tanto, el vértice seráconsecuentemente eliminado.

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Regla nº 5: Sí el nuevo vértice encontrarse fuera de los limites aceptables de lasvariables optimizadas, no se deben realizar observaciones experimentales conestos valores, al contrario se debe atribuir a este la respuesta más indeseable.

La aplicación posterior de las Reglas nos 2 e 3 obligará al simplex a regresardentro de los límites permitidos y este continuará buscando por la respuesta

óptima. Cuando un óptimo es localizado, las reglas del simplex lo fuerzan acircular.

10.- Método de penalización de la gran M

Definimos la letra M como un número muy grande pero finito para usarlo comocoeficiente de las variables artificiales en la función objetivo y con sentidocontrario a la misma para penalizar de manera muy grande la existencia de lasmismas en la solución. Si el objetivo es minimizar las variables artirficialesentraran con M positivo y si es maximizar las variables artificiales se usaran como-M.

Ejemplo: 

Min Z = 2X1 + X2 + 3X3 Sujeto a:

3X1 + X2 + 2X3  <= 10X1 - 2X2 + 3X3 >= 6

2X1 + 3X2 - X3  <= 9X1 + X2  +2X3  = 7

C.N.N 

1. Convertir al Modelo Estándar: 

Cada restricción debe ser convertida de inecuación a una igualdad, agregandovariables como se requiera. Con las restricciones de tipo <=, es supremamentefácil. Simplemente se agrega una en cada restricción con coeficiente 1 en lamisma restricción y con coeficiente cero en la función objetivo. Por ejemplo:

3X1 + X2 + 2X3  <= 10 queda:3X1 + X2 + 2X3 + S1 = 10

Se puede leer así: el uso de la primera restricción no puede superar la

disponibilidad de 10 unidades, lo que equivale a decir que lo usado mas lo quesobre (s1) es igual a 10. Para las restricciones de tipo mayor o igual, la lógica es lamisma, de esta manera decir:

X1 - 2X2 + 3X3 >= 6

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Se puede leer como: el uso de la restricción 2 debe ser como mínimo 6 unidades.Eso significa que el uso podría ser 6.1 o tal vez 7 u 8... etc. Podríamos escribirlotambién como 6+0.1 o 6+1 o 6+2 ... o en términos generales:

X1 - 2X2 + 3X3 = 6 + S2 que es equivalente a decir: lo usado en

la restricción2es igual al mínimo requerido que es 6 mas el adicional que esta enS2. Esto lo podemos reescribir como:

X1 - 2X2 + 3X3 - S2 = 6

Sin embargo para el método simplex, cuando aparece esta restricción tipo >= esnecesario adicionar una variable comodín, llamada Variable Artificial, sin ningúnsignificado físico, sólo como artificio matemático. Lo sumamos al lado izquierdo dela restricción como se muestra a continuación:

X1 - 2X2 + 3X3 - S2 + A1 = 6

Al usar una variable artificial debemos penalizar la función objetivo allí la vamos aincluir con un coeficiente muy grande, llamado M, al estar minimizando lasumamos + .MA1.

La tercera restricción es de tipo <=, por lo que no tenemos ningún problema conella:

2X1 + 3X2 - X3  <= 9 queda2X1 + 3X2 - X3  + S3 = 9

La cuarta restricción es de tipo =. Para este tipo de restricción simplementeadicionamos una variable artificial al lado izquierdo:

X1 + X2  +2X3  = 7 queda:X1 + X2  +2X3  + A2  = 7

Recordemos: las variables de holgura quedan con coeficiente 0 en la función objetivo y las variables artificiales con coeficiente M. Positiva si es minimizando o negativa si es maximizando .

En resumen el modelo queda de la siguiente manera:

Min Z = 2X1

+ X2 

+ 3X3

+ 0S1

+ 0S2 + MA

1+ 0S

3+ MA

2 

Sujeto a:3X1 + X2  + 2X3 + S1 =

10X1 - 2X2  + 3X3 - S2 + A1 = 6

2X1 + 3X2 - X3  + S3 = 9

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  X1 + X2  + 2X3  + A2  =7

C.N.N (Condición de No Negatividad) 

2. Escribir en formato de Tabla Simplex.

Si lo escribimos como una matriz, indicando los nombres de las variables en negroqueda asi:

Fig 1X1 X2 X3 S1 S2 A1 S3 A2

Min Z 2 1 3 0 0 M 0 M RHSR1 3 1 2 1 0 0 0 0 10R2 1 -2 3 0 -1 1 0 0 6R3 2 3 -1 0 0 0 1 0 9R4 1 1 2 0 0 0 0 1 7

Dónde X1, X2, X3 son las variables de decisión, S1, S2 y S3 son las variables deHolgura. R1, R2, R3, R4 son las restricciones y RHS son las disponibilidades oRequerimientos de las restricciones, (RHS= Right Hand Side: "el lado derecho"es decir los valores numéricos).

3. Definir la Variable que entra 

Recordemos que tenemos un grupo de variables que llamamos base a las quetenemos en cuenta en cada iteración para dar la solución, las demás variables lasllamamos No Básicas y se se toman con valor cero (de manera análoga a cuando

resolvemos un sistema de ecuaciones que tiene más variables que ecuaciones,tenemos que hacer cierta cantidad de estas variables iguales a cero).

En la primera iteración la regla para escoger las variables que estarán en la basees la siguiente:-Si hay variables de decisión y de holgura, se toma la de holgura.-Si hay variables de decisión, de holgura y artificiales se toma la variable artificial.-Si hay variables de decisión y artificiales se toma la variable artificial.

Por esta razón para la primera restricción dónde hay variables de decisión (Xi) y lade holgura S1, tomamos la S1 para la base, en la segunda restricción hay de

holgura, de decisión y artificial, tomamos la artificial A1, en la tercera hay dedecisión y de holgura, tomamos la de holgura S3 y por último en la cuartarestricción hay de decisión y artificial, por lo que tomamos la A2 para la base.Todas las demás se asumen en la primera iteración con valor cero.

Llenar la tabla inicial. Tal como se ve en la tabla de abajo. Hay muchos formatosde tablas, pero en esencia son el mismo. Esta el listado de variables que se tienenen la base (en la segunda columna rotulada como base), en la primera columna

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están los coeficientes de las variables básicas, luego vienen las restricciones consus coeficientes, las disponibilidades/requerimientos de las restricciones en lacolumna RHS, una columna vacía llamada Theta que ya llenaremos. Las dosultimas filas son para determinar que variable va a entrar a la base. Algunaspersonas omiten la fila Z. Realmente no es necesaria, sólo para dar un poco más

de claridad a la iteración.La fila Z es el resultado de la suma del producto de la columna 'coef' y de cadacolumna en la restricción, así:

0 * 3 + M * 1 + 0*2 + M*1 = 2M0 * 1 + M * (-2) + 0*3 + M*1 = -M0 * 2 + M * 3 + 0 *-1 + M*2 = 5M ...de igual manera para las otras 5

columnas.

La fila Cj-Zj es el resultado de restar el coeficiente de la función objetivo (lasegunda fila de negro) con el valor de Z que acabamos de calcular.

2-2M = 2-M (evidente!)1-(-M) = 1+M... etc.

En este momento nos hacemos la siguiente pregunta: cuál variable al entrar a labase hace que la función objetivo disminuya más (porque estamos minimizando)?O en otras palabras, cuál es el valor más negativo de Cj-Zj ? Recordemos que Mrepresenta un número finito, muy, muy grande. Rapidamente nos damos cuentaque corresponde a 3-5M, puesto que de todas es la que tiene el valor negativo deM con mayor valor absoluto. Si no lo ve tan rápido, haga lo siguiente: reemplace Mpor un valor grande positivo en la fila Cj -Zj, digamos por 1000.000, notará deinmediato que el valor más negativo esta en la columna respectiva a la variable

X3. Por lo tanto ésta variable debe entrar a reemplazar a otra variable en la base...a cuál??

Fig 2X1 X2 X3 S1 S2 A1 S3 A2

Coef Base 2 1 3 0 0 M 0 M RHS Theta0 S1 3 1 2 1 0 0 0 0 10 5.00M A1 1 -2 3 0 -1 1 0 0 6 2.00 Sale0 S3 2 3 -1 0 0 0 1 0 9 MM A2 1 1 2 0 0 0 0 1 7 3.50

Z 2M -M 5M 0 -M M 0 M 13M

Cj- Zj 2-2M 1+M 3-5M 0 M 0 0 0Entra

3. Definir la Variable que Sale 

Para establecer que variable debe salir de la base, hacemos un cociente entre ladisponibilidad (RHS) y la columna de la variable que entra, en nuestro caso,

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acabamos de decir que es la variable X3. Este cociente lo vamos a llamar Theta.Algunos libros lo llaman 'ratio'.

10 /2 = 56 / 3 = 29 / -1 = ... bueno, en caso que dividamos por un valor negativo, no lo vamos a

tener en cuenta para salir, por lo que lo rotulamos como M.7/2 = 3.5

La variable que más nos restringe, por lo tanto la que el valor de theta es menor(pero positivo) es de 2, correspondiendo a la variable A1. Por lo tanto sale A1 yentra X3.

A la intersección entre la columna de la variable que entra y de la fila de la variable que sale, la llamamos pivote. Sobre ella se empleará el método de Gauss-Jordan.Aquí siempre he señalado el pivote de color verde. En la fig 2 corresponde al valor 3 .

4. Iteración: Gauss-Jordan 

Luego que se ha encontrado que variable sale de la base, y cual entra y que pr lotanto ya tenemos una celda pivote, es necesario realizar la eliminación gaussiana.Ello lo podemos resumir como:

* Convertir la celda pivote en 1, dividiendo toda la fila por ella misma* Convertir todas las celdas por encima y por debajo de la celda pivote en cero.

Vamos paso por paso: Convertir la celda pivote en 1.

Llenamos un formato vacio simplex, la fila que contiene el pivote la vamos a pasaral nuevo formato convertida mediante la siguiente operación: dividimos toda la filapor el valor del pivote. (Para convertir el pivote en 1).

1/3 = 0.33-2/3 = -0.673/3 = 1(Pivote)0/3= 0-1/3= -0.331/3=0.330/3=00/3=06/3= 2 (En la columna del RHS)

Y la pasamos al nuevo formato (Fig3).Esta nueva fila que hemos calculado va a servir para convertir las demas celdaspor la columna del pivote en cero, como es el requisito del método. Fijemonos unmomento en la fig 2, en el pivote en verde, que contiene el 3, precisamente el queacabamos de convertir en 1. Por encima encontramos el 2 y por debajo

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encontramos el -1 y el 2. Estos valores son los que debemos convertir en ceros.Para ello hacemos operaciones entre filas y columnas de la siguiente manera (srecuerda bien los detalles de esto, de sus clases de algebra lineal sientase libre desaltar esta explicación): Multiplicamos la fila que contenia el pivote por el opuestode cada número que deseamos eliminar y se lo sumamos a la fila que deseamos

convertir. EjPara la primera fila que contiene el 2 que deseamos eliminar multiplicamos la filapivote por -2 y se la sumamos asi:

La fila pivote que quedó convertida en esto:0.33 -0.67 1 0 -0.33 0.33 0 0 2La multiplicamos por -2 y nos da:-0.67 1.33 -2 0 0.67 -0.67 0 0 -4El valor anterior lo sumamos componente a componente a la fila en la quequeremos hacer la eliminación: que es la siguinte:

3 1 2 1 0 0 0 0 10Y el resultado es:2.33 2.33 0 1 0.67 -0.66 0 0 6

Este valor es el que copiamos en el nuevo formato en la fig 3 en la filacorrespondiente, la primera.

Repetimos este procedimiento para la fila 3 y la fila 4. Con ello ya llenamos todo elformato.

5. Prueba de Optimidad:

La prueba de optimidad se debe hacer cada vez que se evalua si hay una variableque debe entrar a la base. Y es sencillamente lo siguiente. Se hace la pregunta:Hay alguna variable que al entrar mejora la solución? Ello lo vemos en la fila Cj-Zj.Si al calcular esta fila aún hay valores negativos y estamos minimizando, entonceses posible mejorar aún más la solución. Lo mismo para el caso de lamaximización. Si hay valores positivos en la fila Cj-Zj y estamos maximizando, aúnno hemos llegado al óptimo.

En la fig 2 nos damos cuenta que habían todavia valores negativos en Cj-Zj, por lotanto no se había terminado, ahora en la fig 3, aún quedan valores negativos, elmás negativo de ellos esta en la variable X2 por lo tanto debe entrar.

Continuando el algoritmo en la fig3 evaluamos que la variable A2 debe salir, lareemplazamos en el tablero de la figura 4. Hacemos gauss-jordan, luegocalculamos Z y calculamos Cj-Zj.

Fig 3.X1 X2 X3 S1 S2 A1 S3 A2

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Coef Base 2 1 3 0 0 M 0 M RHS Theta0 S1 2.33 2.33 0.00 1.00 0.67 -0.67 0 0 6 2.573 X3 0.33 -0.67 1.00 0.00 -0.33 0.33 0 0 2 M0 S3 2.33 2.33 0.00 0.00 -0.33 0.33 1 0 11 4.71

M A2 0.33 2.33 0.00 0.00 0.67 -0.67 0 1 3 1.29 Sale

Z1+0.33M

-2+2.33M 3 0

-1+0.66M 1-0.66M 0 M 6+3M

Cj-Zj 1-0.33M 3-2.33M 0 0 1-0.66M

-1+1.66M 0 0

Entra

Aquí en el tablero de la figura 4, evaluamos si hay algun valor negativo en la filaCj-Zj, nos damos cuenta que no, por lo que no hay ninguna variable que al entrarmejore la solución.

Hemos llegado al óptimo: La solución es Z=9.8571 X1=0 (Por que no estaba en labase.) X2= 1.29, X3=2.86

Fig 4X1 X2 X3 S1 S2 A1 S3 A2

Coef Base 2 1 3 0 0 M 0 M RHS Theta0 S1 2.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 -1.00 3.003 X3 0.43 0.00 1.00 0.00 -0.14 0.14 0.00 0.29 2.860 S3 2.00 0.00 0.00 0.00 -1.00 1.00 1.00 -1.00 8.001 X2 0.14 1.00 0.00 0.00 0.29 -0.29 0.00 0.43 1.29

Z 1.43 1.00 3.00 0.00 -0.14 0.14 0.00 1.29 9.8571Cj- Zj 0.57 0.00 0.00 0.00 0.14 M+0.62 0.00 M+2.43

11.- Estructura del modelo de Transporte

El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercancíade varias fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son:

1. Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cadadestino.

2. El costo de transporte unitario de la mercancía a cada destino.

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Como solo hay una mercancía un destino puede recibir su demanda de una o másfuentes. El objetivo del modelo es el de determinar la cantidad que se enviará decada fuente a cada destino, tal que se minimice el costo del transporte total.

La suposición básica del modelo es que el costo del transporte en una ruta esdirectamente proporcional al numero de unidades transportadas. La definición de“unidad de transporte” variará dependiendo de la “mercancía” que se transporte.

El esquema siguiente representa el modelo de transporte como una redcon m fuentes y n destinos. Una fuente o un destino esta representadopor un nodo, el arco que une fuente y un destino representa la ruta porla cual se transporta la mercancía. La cantidad de la oferta en la fuente i  

es ai, y la demanda en el destino j es b j. El costo de transporte unitarioentre la fuente i  y el destino j es Cij.

Si Xi j representa la cantidad transportada desde la fuente i al destino j,entonces, el modelo general de PL que representa el modelo detransporte es:

Minimiza Z=  i=1m

  j=1 n C i j X i j 

Sujeta a:

  j=1 n

X i j <= ai , i=1,2,…, m

 i=1 m X I j >= bj , j=1,2,…, n 

X i j >=0 para todas las i y j

El primer conjunto de restricciones estipula que la suma de los envíos desde unafuente no puede ser mayor que su oferta; en forma análoga, el segundo conjuntorequiere que la suma de los envios a un destino satisfaga su demanda.

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El modelo que se acaba de escribir implica que la oferta total i=1 m ai debe ser

cuando menos igual a la demanda total  j=1 n bj. Cuando la oferta total es igual a

la demanda total, la formulación resultante recibe el nombre de modelo detransporte equilibrado. Este difiere del modelo solo en el hecho de que todas lasrestricciones son ecuaciones, es decir:

X i j = ai, i=1,2,..., m

X i j = bj, j=1,2,..., n

En el mundo real, no necesariamente la oferta debe ser igual a la demanda omayor que ella. Sin embargo, un modelo de transporte siempre puede equilibrarse.El equilibrio, además de su utilidad en la representación a través de modelos deciertas situaciones prácticas, es importante para el desarrollo del método desolución que explote completamente la estructura especial del modelo detransporte. Los dos ejemplos que siguen presentan la idea del equilibrio y también

sus implicaciones prácticas.

Ejemplo 1 (Modelo de transporte estándar)

MG Auto Company tiene plantas en Los Ángeles, Detroit y Nueva Orleáns. Suscentros de distribución principales son Denver y Miami. Las capacidades de lasplantas durante el trimestre próximo son 1 000, 1 500, y 1 200 automóviles. Lasdemandas trimestrales en los dos centros de distribución son de 2 300 y 1 400vehículos. El costo del transporte de un automóvil por tren es de 8 centavos por

milla. El diagrama de las distancias recorridas entre las plantas y los centro dedistribución son:

Denver MiamiLos Ángeles 1 000 1 690

Detroit 1 250 1 350Nueva Orleans

1 275 850

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 Esto produce en costo por automóvil a razón de 8 centavos por milla recorrida.Produce los costos siguientes (redondeados a enteros), que representan a C i j delmodelo original:

Mediante el uso de códigos numéricos que representan las plantas y centros de

distribución, hacemos que X i j represente el número de automóviles transportadosde la fuente i al destino j . Como la oferta total ( = 1 000 + 1 500 + 1 200 = 3 700)es igual a la demanda ( = 2 300 + 1 400 = 3 700), el modelo de transporteresultante esta equilibrado . Por lo tanto, el siguiente modelo de PL que representael problema tiene todas las restricciones de igualdad. 

Minimizar Z = 80X 11 + 215X 12 + 100X 21 + 108X 22 + 102X 31 + 68X 32

Sujeto a:

X 11  X 12  = 1 000 X 21  X 22  = 1 500 

X 31  X 32  = 1 200 X 11  X 21  X 31  = 2 300 

X 12  X 22  X 32  = 1 400 

X i j para todas las i y j  

Un método mas resumido para representar el modelo de transporte consiste en

utilizar lo que se llama tabla de transporte . Esta es una forma de matriz dondesus renglones representan las fuentes y sus columnas los destinos. Los elementosde costo C i j se resumen en la esquina noroeste de la celda de la matriz (i, j). Porlo tanto, el modelo de MG se puede resumir en la tabla siguiente:

Denver MiamiLos Ángeles 80 215Detroit 100 108Nueva Orleans 102 68

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Ejemplo 2 (Modelo de transporte con equilibrio)

En el ejemplo anterior suponga que la capacidad de la planta de Detroit es de 1

300 automóviles (en vez de 1 500). Se dice que la situación esta desequilibradadebido a que la oferta total (=3 500) no es igual a la demanda total (=3700).Nuestro objetivo consiste en volver a formular el modelo de transporte demanera que distribuya la cantidad faltante(=3 700 – 3 500 = 200) en forma optimaentre los centros de distribución.

Como la demanda es mayor que la oferta se puede agregar una planta ficticia con una capacidad de 200. Se permite que dicha planta, en condiciones normales,envíe su “producción“ a todos los centros de distribución. Físicamente, la cantidadde unidades enviadas a un destino desde una planta ficticia representará lacantidad faltante en ese destino.

La única información que falta para completar el modelo son los “costos detransporte” unitarios de la planta ficticia a los destinos. Como la planta no existe,no habrá ningún envío físico y el costo de transporte unitario es cero. Sinembargo, podemos enfocar la situación desde otro ángulo diciendo que se incurreen un costo de penalización por cada unidad de demanda insatisfecha en loscentros de distribución. En este caso los costos de transporte unitarios serániguales a los costos de penalización unitarios en los diversos destinos.

Denver  Miami Los Ángeles  80  215  1 000 Detroit  100  108  1 300 Nueva Orleáns  102  68  1 200 Planta ficticia  0  0  200 

De manera análoga, si la oferta en mayor que la demanda podemos añadir un  destino ficticio que absolverá la diferencia. Por ejemplo, suponga que la

demanda en Denver disminuye a 1 900cualquier automóvil enviado de una plantaa un centro de distribución ficticio representa un excedente en la planta.

Denver  Miami  Destino

Ficticio Los Ángeles  80  215  0  1 000 

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Detroit  100  108  0  1 500 Nueva Orleans  102  68  0  1 200 

La aplicación del modelo de transporte no se limita al problema de “transporte”. 

El siguiente ejemplo ilustra el uso del modelo del transporte en otros campos.

Ejemplo 3 (Modelo de inventario de producción)

Una compañía construye una planta maestra para la producción de un articulo enun periodo de cuatro meses. Las demandas en los cuatro meses son: 100, 200,180 y 300 unidades. Una demanda para el mes en curso puede satisfacerse através de:

1. Producción excesiva en un mes anterior almacenada para su consumoposterior.

2. Producción en el mes actual.

3. Producción excesiva en un mes posterior para cubrir pedidos de mesesanteriores.

El costo de producción variable por unidad en un mes cualquiera es de $4.00. unaunidad producida para consumo posterior incurrirá en un costo de almacenamientorazón de $0.50 por unidad por mes. Por otra parte, los artículos ordenados enmeses anteriores incurren en un costo de penalización de $2.00 por unidad pormes. La capacidad de producción para elaborar el producto varía cada mes. Loscálculos de los cuatro meses siguientes son 50, 180, 280 y 270 unidades,respectivamente.

El objetivo es el de formular el plan de inventario de producción a costo mínimo.Este problema se puede formular como un modelo de “transporte”. La equivalenciaentre los elementos de los sistemas de producción y transporte se establece de lamanera siguiente:

Sistema de Transporte Sistema de Producción 

1. Fuente i   1. Periodo de producción i  2. Destino j   2. Periodo de demanda j  3. Oferta en la fuente i   3. Capacidad de producción del periodo i  4. Demanda en el destino j   4. Demanda del periodo j  

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5. Costo de transporte de la fuente i aldestino j  

5. Costo de producto e inventario del periodoi al j  

En tabla de abajo se presenta un resumen del problema como un modelo detransporte:

Periodo 1  2  3  4  Capacidad 

Demanda 1  4  4.5  5  5.5  50 2  6  4  4.5  5  180 3  8  6  4  4.5  280 

4  10  8  6  4  270 Demanda: 100  200  180  300 

El costo de “transporte” unitario del periodo i al  j es:

Costo de producción en i , i=j

C i j = Costo de producción en i / costo de almacenamiento en i a j  i<j

Costo de producción en i / costo de penalización en i a j  i>j

La definición de C i j indica que la producción en el periodo i  para el mismoperiodo (i = j) sólo iguala el costo unitario de producción. Si el periodo i se producepara periodos futuros j (i < j), se incurre en un costo de almacenamiento adicional.De la misma manera, la producción en i  para cubrir j  pedidos hechos conanterioridad (i > j) incurre en un costo de penalización adicional.

12.- Problemas de transporte en forma tubular

Éste es un caso curioso, con solo 6 variables (un caso real de problema detransporte puede tener fácilmente más de 1.000 variables) en el cual se aprecia lautilidad de este procedimiento de cálculo.

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Existen tres minas de carbón cuya producción diaria es:

  La mina "a" produce 40 toneladas de carbón por día;  La mina "b" otras 40 t/día; y,  La Mina "c" produce 20 t/día.

En la zona hay dos centrales termoeléctricas que consumen:

  La central "d" consume 40 t/día de carbon; y,  La central "e" consume 60 t/día

Los costos de mercado, de transporte por tonelada son:

  De "a" a "d" = 2 monedas  De "a" a "e" = 11 monedas  De "b" a "d" = 12 monedas

  De "b" a "e" = 24 monedas  De "c" a "d" = 13 monedas  De "c" a "e" = 18 monedas

Si preguntáramos a una asamblea de pobladores de la zona, cómo organizar eltransporte, con certeza, la gran mayoría opinaría que debemos aprovechar elprecio ofrecido por el transportista que va de "a" a "d", porque es mucho másconveniente que los otros.

En este caso, el costo total del transporte seria:

  Transporte de 40 t de "a" a "d" = 80 monedas  Transporte de 20 t de "c" a "e" = 360 monedas  Transporte de 40 t de "b" a "e" = 960 monedas  Total 1.400 monedas.

Sin embargo, formulando el problema para ser resuelto por la programación linealtendríamos las siguientes ecuaciones:

  Restricciones de la producción:

  Restricciones del consumo:

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  La función objetivo será:

La solución de costo mínimo de transporte diario resulta:

  Xb-d = 40 resultando un costo de 12 x 40 = 480 monedas  Xa-e = 40 resultando un costo de 11 x 40 = 440 monedas  Xc-e = 20 resultando un costo de 18 x 20 = 360 monedas

  Total 1.280 monedas.

Reflexiones que surgen del problema:

1. Es discutible la conveniencia de tomar decisiones por consenso encuestiones estrictamente técnicas;2. Es discutible la aplicación de la intuición en el caso de problemas con másde 4 variables;3. Una vez conocida la solución del problema lineal, generalmente le resultacasi evidente al analista que ésa es la solución correcta, si bien no la veía antes.

13.- Métodos para la solución de problemas de transporte.

Podemos obtener una solución básica factible (sbf) para un problema detransporte balanceado mediante el método de la esquina Noroeste, el método de

costo mínimo, o el método de Vogel.Para obtener una sbf mediante el método de la esquina noroeste, empiece en laesquina superior izquierda del cuadro del transporte y haga a X11 lo más grandeposible.

Naturalmente, X11 no puede ser mayor que el menor valor Si y así X11 S1tache el primer renglón del cuadro de transporte; Esto indica que si habrá másvariables básicas del renglón 1 del cuadro. También d1-S1 . Si X11=d1, tache laprimera la columna del cuadro de transporte y cambie S1 – d1.

Si X11= S1 = d1, tache o el renglón 1, o la columna 1 (pero no ambos), del cuadrode transporte. Si tacha el renglón 1, cambie d1 por cero; si tacha columna 1,cambie S 1 por 0.

Continúe aplicando este procedimiento a la celda mas noroeste del cuadro que nocae en un renglón eliminado o en una columna eliminada.

Finalmente, llegara un momento en el cual solo queda una celda a la cual sepuede asignar un valor.

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Asigne a esta celda un valor igual a la oferta de su renglón o a la demanda de sucolumna, y tache el renglón y la columna de la celda. Se obtiene de esta manerauna solución básica factible.

PARA OBTENER LA SOLUCIÓN ÓPTIMA PARA UN PROBLEMA DE TRANSPORTE SE DEBE:

Paso 1:  Si el problema no está balanceado, balancéelo.

Paso 2:  Utilice uno de los métodos descritos anteriormente para obtener unasolución básica factible.

Paso 3:  Utilice el hecho de que U1=0, y Ui+Vj=Cij en todas las variables básicaspara encontrar (U1,U2...Um V1,V2...Vn) para la sbf actual.

Paso 4:  Si Ui + Vj  – Cij es menor o igual a cero, para todas las variables nobásicas, entonces la sbf actual es óptima. Si no es así se introduce la variable convalor más positivo de Ui + Vj  –Cij en la base. Para hacer esto, encuentre uncircuito cerrado (se puede demostrar que solamente existe un circuito cerrado)que contiene la variable que entra y algunas de las variables básicas. Después,tomando en cuenta solamente las celdas en el circuito cerrado marque las que seencuentren alejadas en número par (0,2,4,6,...) de celdas de la variable que entracomo celdas pares. También marque las celdas en el circuito cerrado, que seencuentra un número impar de celdas de la variable que entra como celdasimpares. Ahora encuentre la celda impar cuya variable toma el menor valor. Llameeste valor teta. La variable correspondiente a esta celda impar saldrá de la base.Para realizar el pivoteo, disminuye el valor de cada celda impar en teta y aumentael valor de cada celda par en teta. Los valores de las variables que no seencuentran en el circuito cerrado permanecen sin cambio. Ahora se completó elbloqueo.

Sí teta es igual a cero, la variable que entra será igual a cero, y una variable imparque tiene un valor actual de cero, saldrá de la base. En este caso, existía un sbfdegenerada antes del pivoteo y resultará después del pivoteo.

Si más de una celda impar en el circuito cerrado es igual a teta. Puede escogerarbitrariamente una de estas celdas impares para que salga de la base; seobtendrá una vez más una sbf degenerada. El pivoteo produce una nueva sbf.

Paso 5: Regrese a los pasos 3 y 4, utilizando la nueva sbf. Para un problema demaximización, proceda como se especificó, pero cambie el paso 4 por el paso 4’.  

Paso 6:  Si Ui + Vj  –Cij es mayor o igual a cero, para todas las variables nobásicas, entonces, la sbf actual es óptima. De otra manera, coloque la variable con

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el valor más negativo de Ui + Vj  – Cij en la base mediante el procedimiento depivoteo.

13.1.- METODO DE ESQUINA NOROESTE 

Determinación general del modelo de transporte requiere que:

m n

ai = bj

i=1 j = 1

Este requisito da origen a una ecuación dependiente, lo que significa que elmodelo de transporte tiene sólo m + n  –1 ecuaciones independientes. Por lo tanto,

como en el método simplex, una solución factible básica inicial debe incluir m + n  – 1 variables básicas. Normalmente, si el modelo de transporte se formula comouna tabla simplex, sería necesario utilizar variables artificiales para asegurar unasolución básica inicial. Sin embargo, cuando se utiliza la tabla de transporte, unasolución factible básica inicial se puede obtener fácil y directamente. Presentamosun procedimiento llamado regla de la esquina noroeste para este fin.

Destino1 2 3 4

OfertaFuente 1 10 0 20 11 15

X11 X12 X13 X14 2 12 7 9 20 25

X21 X22 X23 X24 3 0 14 16 18 5

X31 X32 X33 X34 

Demanda5 15 15 10

El método de la esquina noroeste comienza con la asignación de la máximacantidad admisible através de la oferta y la demanda de la variable x11 (la de laesquina noroeste de la tabla). Después se tacha la columna (renglón) satisfecha,lo que indica que las variables restantes de la columna (renglón) tachada soniguales a cero. Si se satisfacen una columna y un renglón al mismo tiempo, sólo una  (una u otro) puede ser tachado. (Esta condición garantiza la ubicación

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automática de variables básicas cero , si las hay). Después de ajustar lascantidades de oferta y demanda de todos los renglones y columnas no tachados,la cantidad factible máxima se asigna al primer elemento no tachado de la nuevacolumna (renglón). El proceso se completa cuando se deja sin tachar exactamenteun renglón o una columna.

El procedimiento que se acaba de describir se aplica ahora en el ejemplo:

1. x11 = 5, se tacha la columna 1. Por lo tanto, no se puede hacer otraasignación en la columna 1. La cantidad que falta en el renglón 1 son 10 unidades.

2. x12 = 10, se tacha el renglón 1 y faltan 5 unidades en la columna 2.

3. x22 = 5, se tacha la columna 2 y faltan 20 unidades en el renglón 2.

4. x23 = 15, se tacha la columna 3 y faltan 5 unidades en el renglon 2.

5. x24 = 5, se tacha el renglón 2 y faltan 5 unidades en la columna 4.

6. x34 = 5, se tacha el renglón 3 o la columna 4. Como sólo un renglón ounacolumna se mantiene sin tachar, el proceso llega a su fin.

La solución básica inicial resultante se presenta a continuación.

Las variables básicas son x11 = 5, x22 =10, x23 =15, x24 =5 y x34 = 5. Las variablesrestantes son no básicas en el nivel cero. El costo de transporte asociado es:

5 x 10 +10 x 0 + 5 x 7+ 15 x 9 + 5 x 20 +5 x 18 = $410.

1 2 3 4

1 5 10 15

2 5 15 5 25

3 5 5

5 15 15 10

Cuando se satisfacen al mismo tiempo una columna y un renglón, la siguiente

variable que se agregará a la solución básica estará necesariamente en el nivelcero. La siguiente tabla ilustra este aspecto. La columna 2 y el renglón 2 sesatisfacen simultáneamente.

1 2 3 4

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1 5 5 10 5

2 5 0 5 0

3 8 7 15

5 10 8 7 15

5

Si se tacha la columna 2, x23 se vuelve básica en el nivel cero en el paso siguiente,ya que la demanda restante del renglón 2 vale ahora cero.(Este caso se presentaen la tabla anterior). Si en cambio se cruza el renglón 2, x32 sería la variable básicacero.

Las soluciones iniciales de las dos últimas tablas incluyen el número adecuado devariables básicas, o sea, m + n-1 = 6. La regla de la esquina noroeste producesiempre el número adecuado de variables básicas.

13.4.-DETERMINACION DE LA VARIABLE DE ENTRADA

(METODO ALGEBRAICO)  

La variable que entra se determina mediante el uso de la condición de optimalidaddel método simplex. Los cálculos de los coeficientes de la función objetivo estánbasados en las relaciones primales-duales. Primero presentamos la mecánica delmétodo y después damos una explicación con base en la teoría de la dualidad.Otro método, llamado procedimiento Saltando Piedras, también sirve paradeterminar la variable que entra.

En el método de multiplicadores asociamos los multiplicadores ui y vj con elrenglón i y la columna j de la tabla de transporte. Para cada variable básica xij edla solución actual, los multiplicadores ui y vj deben satisfacer la ecuación quesigue:

ui + vj = cij , para cada variable básica xij

Estas ecuaciones producen m+n-1 ecuaciones con m+n incógnitas. Los valores delos multiplicadores se pueden determinar a partir de estas ecuaciones suponiendoun valor arbitrario para cualquiera de los multiplicadores y resolviendo las m+n-1multiplicadores desconocidos restantes.

Al hacer esto, la evaluación de cada variable no básica Xpq esta dada por:

Cpq = up  – vq - cpq

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Después se selecciona la variable que entra como la variable no básica con lavariable no básica con la variable cpq mas positiva.

Si aplicamos este procedimiento a las variables no básicas están dadas como:

X11: U1 + V1 = C11 = 10

X12:U1 + V2 = C12 = 0

X22: U2 + V2 = C22 = 7X23: U2 + V3 = C23 = 9X24: U2 + V4 = C24 = 20X34: U3 + V4 = C34 = 18

Haciendo u1= 0 los valores de los multiplicadores se determinan sucesivamentecomo V1=10, V2=0, U2=7, V3=2, V4=13, y U3=5. Las evaluaciones de las variablesno básicas están dadas de la manera siguiente:

X13: c13 = u1 + v3 – c13 = 0+2-20 = -18

X14: c14 = u1+ v4  – c14 = 0+13-11 = 2

X21: c21 = u2 + v1  – c21 = 7+10-12 = 5

X31: c31 = u3+v1 – c3 = 5+10-0 = 15

X32: c32 = u3+v2  – c32 = 5+0-14 = -9

X33: c33 = u3 +v3  – c33 = 5+2-16 = -9

Como x31 tiene la variable cpq mas positiva, esta se selecciona como la variable

que entra. 

Las ecuaciones ui+v j = cij que utilizamos para determinar los multiplicadores, tienenuna estructura tan sencilla que es necesario escribirlos en forma explicita.

DETERMINACION DE LA VARIABLE QUE SALE  

(Construcción de un ciclo) 

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Este paso es equivalente a aplicar la condición de factibilidad del método simplex.Sin embargo, como todos los coeficientes de restricción del modelo de transportesoriginal son cero o uno, las razones de condición de factibilidad tendrán siempre

su denominador igual a uno .Por lo tanto los valores de las variables básicasproducirán directamente las razones asociadas.

Para el fin de determinar la razón mínima, construimos un ciclo cerrado para lavariable actual que entra. El ciclo empieza y termina en la variable no básicadesignada. Este consta de los segmentos sucesivos horizontales y verticalescuyos puntos extremos deben de ser variables básicas salvo para los puntosextremos que están asociados con la variable que entra. Esto significa que todoelemento de esquina del ciclo debe ser una celda que contenga una variablebásica. La tabla 6-10 ilustra un ciclo para la variable que entra dada en la soluciónbásica de la tabla 6-8.Obsérvese que para la solución básica dada solo se puede

construir un ciclo único para cada variable no básica.La variable que sale se selecciona de entre las variables de esquina del ciclo quedisminuirán cuando las variables del ciclo que entra aumente arriba del nivel cero.Estas situaciones se indican en la tabla siguiente a través de las variablescontenidas en el cuadro etiquetado con los signos menos.

La solución básica de la tabla de abajo es degenerada, ya que las variables

básicas x11 y x22 son cero. Ahora se revisa la optimizad de la nueva soluciónbásica de la tabla 6-11 calculando los nuevos multiplicadores como se indica en latabla 6-12. Los valores de cpq están dados por los números de la esquina de cadacelda no básica La variable no básica x21 con la variable cpq positiva mayor entraen la solución. El ciclo cerrado asociado con x21 muestra que x21 o x22 pueden serla variable que sale. Seleccionamos arbitrariamente x11 como la que sale de lasolución.

1 2 3 4

10 0 20 11 155 - 10 +12 7 9 20 25

5 - 15 5 +0 14 16 18 5

X 31 0 5 -5 15 15 10

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1 2 3 41 10 0 20 11 15

0 15

2 12 7 9 20 250 15 103 0 14 16 18 5

55 15 15 10

V1=10 V2=0 V3=2 V4=13

U1=0 10 0 20 11 150 - 15 + -18 +2

U2=7 12 7 9 20 25+5 X 21 + 0 - 15 10

U3=-10

0 14 16 18 5

5 -24 -24 -155 15 15 10

La tabla de arriba muestra la nueva solución básica que sigue de la tablasiguiente. Los nuevos valores de ui, vj y cpq se vuelven a calcular. La tablamuestra la variable que entra y la que sale como x14 y x24, respectivamente.

Al efectuar este cambio en la tabla de abajo obtenemos la nueva solución de latabla final. Como todas las variables cpq de la tabla final son no positivas se hallegado a la solución optima.

V1=5 V2=0 V3=2 V4=13U1=0 10 0 20 11 15

-5 15 - -18 +2 X 14 +U2=7 12 7 9 20 25

0 0 + 15 10 -U3=-5

0 14 16 18 5

5 -19 -19 -10

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5 15 15 10

V1=5 V2=0 V3=2 V4=11U1=0 10 0 20 11 15

-5 5 -18 10U2=7 12 7 9 20 25

0 10 15 -2U3=-5

0 14 16 18 5

5 -19 -19 -125 15 15 10

EXPLICACION DEL METODO ALGEBRAICO CON UN METODO SIMPLEX 

La relación que existe entre el método multiplicadores y el método simplex sepuede establecer demostrando que cpq según se define, es igual directamente alos coeficientes de la función objetivo de la tabla simplex asociada con la iteraciónactual.

Para mostrar como se obtiene el problema dual para el método de transporte,considérese primero el caso especial de ,=2 y n=3 que se indica en la tabla 6-15.Sean las variables duales u1 y u2 para las restricciones de las fuentes y v1,v2, yv3 para las restricciones de los destinos. El problema dual se convierte en:

Maximizar w = (a1u1+a2u2) + (b1v1+b2v2+b3v3)

Sujeto a:

U1 +v1 <= c11

U1 +v2 <=c12 

U1 +v3 <=c13 

U2+v1 <=c21 

U2+v1 <=c22 

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U2 +v3 <=c23

Ui, U2, v1, v2, v3, irrestrictas

El problema dual correspondiente esta dado por:

Maximizar w = m

i-1 a1 u1 + n bi v j

 

sujeto a:

ui + v j <=cij para todas las i y j

ui y v j irrestrictas

La evaluación de las variables no básicas se determinan mediante la sustituciónde los valores actuales de las variables duales en las restricciones duales y

después tomando la diferencia entre sus miembros primero y segundo. Losvalores de las variables duales se pueden determinar observando que lasrestricciones correspondientes a una variable básica se deben satisfacer comoecuaciones escritas.

En realidad en la interacción optima los multiplicadores producen los valoresduales óptimos directamente.

En lo antes expuesto se asigna un valor arbitrario a una de las variables dualesque indica que los multiplicadores simplex asociados con una solución básicadada no son únicos. Esto puede parecer inconsistente con los resultados donde

los multiplicadores deben ser únicos.SOLUCION INICIAL MEJORADAEn esta sección presentamos dos procedimientos que determinan la solucióninicial a través de la selección de las rutas “económicas” del modelo.

13.2.- MODELO DEL COSTO MINIMO 

Asígnese el mas grande valor posible a la variable con el menor costo unitario de

toda la tabla. Tachese el renglon o columna satisfecho. Después de ajustar laoferta y la demanda de todos los renglones y columnas no tachados, repítase elproceso asignando el valor mas grande posible a la variable con el costo unitariono tachado mas pequeño. El procedimiento esta completo cuando quedaexactamente un rebglon o bien una columna sin tachar.

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1 2 3 41 10 0 20 11 15

0 15 02 12 7 9 20 25

15 10

3 0 14 16 18 555 15 15 10

13.3.- Método de aproximación de VOGEL (VAM)

Este método es heurística y suele producir una mejor solución inicial que los dos

métodos antes descritos. De hecho, VAM suele producir una solución inicialoptima, o próxima al nivel optimo.

Los pasos del procedimiento son los siguientes:

Paso1: Evalúese una penalización para cada renglón restando el menor elementodel costo del renglón del elemento de costo menor siguiente en el mismo renglón.

Paso2: Identifíquese el renglón o columna con la mayor penalización, rompiendoempates en forma arbitraria. Asígnese el valor mayor posible a la variable con elcosto mas bajo del renglón o columna seleccionado. Ajústese la oferta y la

demanda y táchese el renglón o columna satisfecho. Si un renglón o columna sesatisfacen al mismo tiempo, solo uno de ellos se tacha y al renglón restante se leasigna una oferta cero. Cualquier renglón o columna con oferta o demanda cerono debe utilizarse para calcular penalizaciones futuras.

Paso 3:

a.-si solo hay un renglón o columna sin tachar, deténgase.

b.-si solo hay un renglón con oferta positiva sin tachar, determínense las variablesbásicas del renglón a través del método del costo mínimo.

c.-si todos los renglones y columnas sin tachar tienen oferta o demanda ceroasignadas, determínese las variables básicas cero a través del método del costomínimo. Deténgase.

d.-de lo contrario, calcúlense las penalizaciones de las renglones y columnas notachados y después diríjase al paso 2.

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1 2 3 4 PR

1 10 0 20 11 15 102 12 7 9 20 25 2

3 0 14 16 18 5 145

PC 5 15 15 1010 7 7 7

PR = Penalización de Renglón

PC = Penalización de Columna

1 2 3 4 PR1 10 0 20 11 15 11

2 12 7 9 20 25 10 215

3 0 5 0 -5

PC 5 15 15 10- 7 11 9

14.- El Problema de Asignación

Los problemas de asignación presentan una estructura similar a los de transporte,pero con dos diferencias: asocian igual número de orígenes con igual número dedemandas y las ofertas en cada origen es de valor uno, como lo es la demanda encada destino.

El problema de asignación debe su nombre a la aplicación particular de asignarhombres a trabajos ( o trabajos a máquinas), con la condición de que cada hombrepuede ser asignado a un trabajo y que cada trabajo tendrá asignada una persona.La condición necesaria y suficiente para que este tipo de problemas tenga

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solución, es que se encuentre balanceado, es decir, que los recursos totales seaniguales a las demandas totales.

El modelo de asignación tiene sus principales aplicaciones en: Trabajadores,Oficinas al personal, Vehículos a rutas, Máquinas, Vendedores a regiones,

productos a fabricar, etc.15.- Formulación matemática formal del modelo de asignación

La definición formal del problema del asignamiento (o problema linear delasignamiento) es

Dados dos conjuntos, A y T . de igual tamaño, juntos con una función pesoC : A × T  → R. Encuentra una biyección f : A → T como la función de coste: 

está minimizada.

Normalmente la función peso es vista como una matriz cuadrada de valores realesC , con lo que el coste de la función queda así:

El problema es "linear" porque la función coste a optimizar así como todas lasrestricciones contienen solo términos lineales.

16.- El Método Húngaro

El algoritmo Húngaro es uno de los muchos algoritmos que han sido diseñadospara resolver el problema del asignamiento lineal con un tiempo acotado por unaexpresión polinómica del número de agentes.

El problema del asignamiento es un caso especial del problema del transportador,que es un caso especial del problema del flujo de coste mínimo. Es posibleresolver cualquiera de estos problemas mediante el algoritmo simplex, cadaespecialización tiene algoritmos más eficientes tomando ventaja de su estructuraespecial.

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17.- Problemas de Transbordo

Dado un problema de transbordo, se sugiere el siguiente procedimiento paraconvertirlo a un problema de transporte. Primero, se clasifican los nodos en lassiguientes categorías mutuamente excluyentes.

a) Origen puro: un nodo en el sólo se envía.b) Destino puro: un nodo que sólo recibe.c) Nodo de transbordo: un nodo que puede enviar y recibir.

La tabla de transporte se construye como sigue:

Los orígenes son los orígenes puros y los nodos de transbordo. La disponibilidad(oferta) en cada nodo de transbordo i se reemplaza por a i  + B , en donde a i  es elmáximo entre cero y la salida neta del nodo i  y B  es el surtido artificial (o decolchón) que se especificara después. Los destinos son los destinos puros y losnodos de transbordo. El requerimiento o demanda de un nodo de transbordo i esb i +B , en donde b i es el máximo entre cero y la entrada neta en el nodo i . Si no haycomunicación directa del nodo i al nodo j , entonces c ij es igual a M , donde M es unnúmero positivo grande. Asimismo,c ii = 0 para los nodos de transbordos. Finalmente, B es un número positivo grande,como:B =    i a i  

Ejemplo:

Una empresa tiene 3 fabricas que producen un producto, la primera fabricaproduce 1000 unidades, la segunda fabrica produce 1500 unidades y la fabricatres produce 1200 unidades. Estos producto pasa por dos centros de distribuciónlos costos de transporte de las fabricas a los centros se dan en la tabla Nº1 y delos centros de distribución se reparte los productos a 4 centros de consumo loscostos de transporte y las demanda de los centros de consumo se dan en la tablaNº 2 Resolver el problema como un modelo de trasbordo e indicar su soluciónoptima. El objetivo es minimizar los costos de transporte.

Tabla Nº 1Centro dedistribución

Fabrica 1 21 8 102 10 93 8 7

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 Tabla Nº 2

Centro de consumo

Centro dedistribución 1 2 3 4

1 5 4 5 42 4 3 3 4Demanda 800 1250 1000 650

Luego el tabloide de transporte queda de la siguiente manera:

a) Nodos origen 1:fabrica 1, 2: fabrica 2, 3: fabrica 3, 4: centro dedistribución 1, 5: centro de distribución 2.

b) Nodos destinos 4: centro de distribución 1, 5: centro de distribución 2, 6:

centro de consumo 1, 7: centro de consumo 2, 8: centro de consumo 3 y 9:centro de consumo 4

4 5 6 7 8 9 Oferta1 8 10 10002 10 9 15003 8 7 12004 0 5 4 5 4 37005 0 4 3 3 4 3700Demanda 3700 3700 800 1000 1250 650

Las celdas que están sombreadas su costo es M (un costo muy alto)

Luego usando el SOLVER de Excel se tiene la siguiente respuesta:

4 5 6 7 8 9 Oferta1 8 10 M M M M 10002 10 9 M M M M 15003 8 7 M M M M 12004 0 M 5 4 5 4 3700

5 M 0 4 3 3 4 3700Demanda 3700 3700 800 1000 1250 650

4 5 6 7 8 9 L.I. Oferta1 1000 0 0 0 0 0 100010002 0 1500 0 0 0 0 15001500

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3 0 1200 0 0 0 0 120012004 2700 0 0 350 0 650 370037005 0 1000 800 650 1250 0 37003700

L.I. 3700 3700 800 1000 1250 650Min ZDemanda 3700 3700 800 1000 1250 650

42800

Interpretación:La fabrica 1 envía 1000 unidades al centro de distribución1, la fabrica 2 envía1500 unidades al centro de distribución 2 y la fabrica 3 envía 1200 unidades alcentro de distribución 2.Del centro de distribución 1 se envía 350 al centro de consumo 2 y 650 al centrode consumo 4 y del centro de distribución 2 se envía 800 al centro de consumo 1,650 al centro de consumo 2 y 1250 al centro de consumo 3. Y esto genera un

costo mínimo de 42.800$