CÁLCULO Y MÉTODOS NUMÉRICOS. Curso 2015-16.

Trabajo guiado Tema 1

1. Estudiar si los siguientes subconjuntos de R están acotados superior e inferiormente, e indicar suselementos máximo, mínimo, supremo e ínfimo, si existen.

a) A =

{x ∈ R :

∣∣∣∣2x− 3

x + 2

∣∣∣∣ < 1

3

}b) B =

{x ∈ R : |x2 − x| > 1

}c) C =

{1 + (−1)n√

n: n ∈ N

}d) D =

{(−1)n

n+

(−1)n+1

n + 1: n ∈ N

}2. Demostrar por inducción:

a)n∑

k=1

k · (k + 1) =n · (n + 1) · (n + 2)

3, ∀n ∈ N

b)n∑

k=1

k4k =4

9((3n− 1)4n + 1) , ∀n ∈ N

c) 3n − 1 es divisible por 2, ∀n ∈ Nd) n3 + 5n es múltiplo de 6 , ∀n ∈ N

e)n4

4< 13 + 23 + · · ·+ n3 < n4, ∀n ∈ N, n ≥ 2

f ) (n + 1) · (n + 2) · · · (n + n) = 2n · 1 · 3 · 5 · · · (2n− 1), ∀n ∈ N.

3. Dadas dos sucesiones (an) y (bn) de términos positivos se denota

an � bn cuando lımn→∞

anbn

= 0

Según el criterio anterior, compara las sucesiones cuyos términos generales son los siguientes:

n!, en, 2n, n,√n, n2, log (n), n log (n), log (log (n)), nn

Indicación: no es necesario comparar todos los pares posibles, ya que puede aplicarse que si an � bny bn � cn, entonces an � cn (propiedad transitiva).

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4. Calcula los límites:

a) lımn→∞

cos(n + n!)− (−1)n2

log n

b) lımn→∞

n

√3n

(n + 1)!

c) lımn→∞

(√4n4 + 1

n2 + 1+

√4n4 + 2

n2 + 2+ . . . +

√4n4 + n

n2 + n

)

d) lımn→∞

n√

(n− 1)!

n + 1

e) lımn→∞

log(n!)

n2

f ) lımn→∞

√n + 1 +

√n + 2 +

√n + 3 + . . . +

√n + n

log (n4)

g) lımn→∞

1 + 2 + · · ·+ n

n− n

2

h) lımn→∞

(log (n + 1)

n3 + 1+

log (n + 2)

n3 + 2+ . . . +

log (2n)

n3 + n

)i) lım

n→∞

12 + 32 + 52 + · · ·+ (2n− 1)2

22 + 42 + 62 + · · ·+ (2n)2

j ) lımn→∞

(n2 + 1

n2

)3n

5. Sea an el número de instrucciones de un determinado algoritmo para su ejecución sobre n datos deentrada. Se sabe que dicho algoritmo actúa de la siguiente manera:

- con un solo dato de entrada resuelve el problema con una instrucción.

- con n datos de entrada usa 4n instrucciones para reducir el problema a n − 1 datos y se ejecutasobre ellos el mismo algoritmo.

Se pide:

a) Definir la sucesión recurrente (an).

b) Estudiar la monotonía y la acotación de la misma.

c) Probar por inducción que |an − 2n2| < 2n para todo n.

d) Deducir que lımn→∞

an2n2

= 1.

6. Calcula la suma (si procede) de las siguientes series:

a)+∞∑n=1

(√n2 + 1

n2 + 2

)log (n2+3)

b)+∞∑n=1

(7 · 3n−2

4n+1− (−1)n

5n

)

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