Universidad Tecnológica de Panamá

Facultad de Ingeniería Eléctrica

Ingeniería Electromecánica

Estadística

Mejora de Último Parcial

Profesora: María Ramírez Martes

1IE121

Integrantes:

Carlos Muñoz

Marcel Palacios

Ricardo Gonzalez

Jesus Castillero

Beatriz Du Saire

Monica Miranda

Alicia Sosa

Carlos De Ycaza

Fecha de entrega: 3-7-2014

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ

ESTADISTICA PARA INGENIEROS

Cuarta Evaluación Parcial

PARA ENVIAR POR CORREO EN GRUPO, EL DIA JUEVES 3 DE JULIO.

26 JUNIO 2014 Prof. María Ramírez Martes

LEA CADA INDICACION ANTES DE RESPONDER CORRECTAMENTE. EN ALGUNOS CASOS SE LE INDICA EL CRITERIO A UTILIZAR PARA DAR SOLUCIÓN. EN LOS CASOS QUE NO SE LE PROPORCIONA EL CRITERIO O MODELO A UTILIZAR, USTED DEBE IDENTIFICAR CON CUÁL MODELO CONVIENE RESPONDER.

I. RESUELVA E INTERPRETE EL RESULTADOS EN CADA UNO DE LOS SIGUIEN-TES CASOS, UTILIZANDO EL PROCESO CORRECTO.

FORMA CORRECTA DE RESPONDER:1. En este caso se aplica el modelo o fórmula …debido a que se cumple (o se cumplen) – indicar -…..2. Se trata de eventos………. O se trata de variables………3. Se tiene (listar los datos con su simbología), por ejemplo: n = 204. Vaciar los valores en la formula a utilizar5. Desglosar los pasos seguidos6. Presentar el resultado obtenido7. Leer nuevamente la pregunta y presente la respuesta.8. Interprete el resultado.

9. Para ilustrar soluciones mediante la distribución normal debe presentar la curva, con la escala adecuada.

1. Se tienen los siguientes indicadores sobre el tiempo, en segundos, en que un diluyente responde a la necesidad según datos registrados.

a) Escoja el mejor diluyente para el preparado de la pintura.b) Cual o cuales indicadores le sirvieron para tomar la decisión?c) Indique las características del o de los indicadores citados en b.

Indicador OPCION 1 OPCION 2 OPCION 3

Media Aritmética 55 58 57

Mediana 56 54 56

Moda 58 50 55

Varianza 5.2 3.8

Desviación estándar 1.7

Coeficiente de variación

Coeficiente de asimetría

2. La demanda registrada de compresores, registrada por una empresa dedicada a producir compresores, fue la siguiente, en miles de unidades.AÑO 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012

DEMANDA 75 85 110 95 105 115 125 140 130 135 140

La planta original que fabrica el producto está próxima a operar al 100% de su capacidad. Una segunda planta de producción que puede ser instalada inmediatamente, deberá tener la capacidad necesaria para hacer frente a la demanda adicional que se espera durante los próximos 5 años.

La capacidad de la planta actual es de 150,000 unidades por año. Es decir, cualquier unidad proyectada por encima de ella tendría que producirse en la otra planta.

Con el objeto de planificar la capacidad de la nueva planta para los próximos 5 años, se le solicita a usted que:

a. Defina la variable dependiente y la independienteb. Elabore el diagrama de dispersión c. Determine la ecuación de regresión a través del método de mínimos cuadradosd. Con base en la ecuación determinada, estime la capacidad de la nueva planta.e. Calcule el coeficiente de correlación linealf. Interprete su resultado, indicando cuán confiable es la capacidad proyectada por

usted para los próximos 5 años.g. Calcule el coeficiente de determinación e interprete su valor.

3. Un sistema para detectar humo utiliza dos dispositivos A y B. Si hay humo, la probabilidad de que sea detectado por dispositivo A es de 95%, por el B, 98%, y por ambos, el 93%. Si hay humo, encuentre la probabilidad de que sea detectado.

4. En un sistema de cuatro compuertas de una pequeña presa hidroeléctrica, de la cual se tiene registro de que las compuertas se descomponen en forma independiente y, por experiencia se tiene que cada una está fuera de servicio 2% de las veces. Cuál es la probabilidad de que todas las compuertas estén funcionando adecuadamente?

5. DADA LA SIGUIENTE INFORMACIÓN REALICE LO QUE SE LE PIDE.INFORME DEL MERCADO LABORAL: MARZO 2012

Población Ocupada, en la República, Según Condición de Actividad Económica

Encuesta de Propósitos Múltiples Marzo 2011 y 2012. (En miles de personas)

Detalle Ago 2010 Mar 2011 Ago 2011 Mar 2012

Población 2,450 2,481 2,542 2,569

PEA 1,557 1,532 1,571 1,629

% 63.5 61.8 61.8 63.4

Ocupados 1,456 1,447 1,501 1,553

%

Desocupados 101 86 70 76

% 6.5 5.6 4.5 4.6

Desocupación Abierta

73 65 46 61

% 4.7 4.2 2.9 3.8

NEA 893 949 971 940

Nota: Los datos de población de 15 y más años, Población Económicamente Activa (PEA), ocupados, desocupados total, desocupada abierta y No Económicamente Activa. (NEA).

Fuente: Elaboración del CNC en base a datos de las Encuestas de Propósitos Múltiples 2011 y 2012.

Aplique los conceptos y técnicas de estadística para el análisis y toma de decisiones adecuadas y conteste

a) Cuál es el porcentaje de ocupados con relación a la Población Económicamente Activa–PEA?

b) Cuál es la probabilidad de que al encuestar a 5 personas al azar, 2 estén desocupadas?

c) Cuál es la probabilidad de que sean encuestadas dos personas al azar y que la primera está ocupada y la segunda esté desocupada?

d) Utilizando la distribución normal, con una media de desocupados de 83,250 una desviación estándar de 13,540. a) En el 90%, cual es el rango de desocupados? b) Cuál es la probabilidad de que Panamá disminuya a 65,000 personas desocupadas? c) Cuál es la probabilidad de que se tenga más de 110,000 personas desocupadas en un momento dado?

6. La última encuesta de opinión ha revelado que si un ciudadano es elegido al azar, la probabilidad de que esté enterado de cuales equipos pasaron a octavos de final en el mundial de futbol, es de 78%. Utilice la distribución binomial para determinar la probabilidad de que al encuestar 3 personas al azar,

a. Todos estén enterados.b. 2 estén enterados y 1 no lo esté.

7. 72 de cada 100 ingenieros eléctricos, desea instalar su propia empresa en vez de pasar a tener una relación de dependencia laboral. Cuál es la probabilidad de que al encuestar a 5 ingenieros eléctricos aleatoriamente:

a) Dos manifiesten deseo de tener su propia empresa?

b) Ninguno desee tener su propia empresa?

c) Dos o menos exprese que no desea tener su propia empresa?

8. El gasto anual promedio de los jóvenes en pantalones casuales es de aproximadamente, 200 dólares. Con una desviación estándar de 8 dólares. Utilizando la distribución normal, determine cuál será el consumo de pantalones casuales del 90% de los jóvenes? Cuál es el monto anual mínimo que destina el 70% de los jóvenes a pantalones casuales? Cuál sería el monto anual máximo que gasta el 95% de los jóvenes, en pantalones casuales?

9. En una comunidad de 3,000 familias, se ha registrado que el consumo de leche en niños menores de 5 años es aproximadamente 0.9 litro por día. Las familias encuestadas revelaron que los niños consumen cantidades de leche con variación promedio de 0.3. Estime entre cuales cantidades estará el consumo de leche del 85% de los niños, considerando que distribución de los datos recopilados se comporta como una distribución normal.

10. En un programa de entrenamiento para estudiantes de ingeniería civil, que requiere un promedio de 480 horas para ser terminado, con una desviación estándar de 40 horas y que responde al comportamiento de una variable aleatoria distribuida normalmente. Se desea conocer: (Utilizando la distribución normal)

a. Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar, requiera más de 550 horas en terminar el entrenamiento.

b. La probabilidad de que requiera entre 440 y 560 horas en terminarlo.

11. El promedio estudiantes que reciben clases en las aulas para clases en una universidad es de 50, con una desviación estándar de 4. Todos reciben clases sentados en butacas colocadas dentro del aula. Asumiendo que la distribución es normal, determine el mayor número de butacas que debe colocarse para que el 90% de los estudiantes que asista a una clase cualquiera, siempre encuentren butacas disponibles? Cuál es la probabilidad de que se requieran entre 46 y 52 butacas, en un día cualquiera?

RESPUESTAS

1. Para llenar la tabla dada se utilizan las siguientes fórmulas:-Varianza=σ 2

-Desviación estándar σ=√σ2

-Coeficiente de variación CV = σμ

× 100

-Coeficiente de asimetría CAS=3(x−Med )

ς

Reemplazando los valores de la opción 1 en las ecuaciones anteriores:

σ 2= (1.7)2

σ 2= 2.89

CV =1.755

×100

CV=3.09

CAS = 3(55−56)

1.7CAS = -1.76

Reemplazando los valores de la opción 2 en las ecuaciones anteriores:

σ=√5.2σ=1.95

CV =2.2858

×100

CV = 3.93

CAS = 3(58−54)

2.28

CAS = 5.26

Reemplazando los valores de la opción 3 en las ecuaciones anteriores:

σ=√3.8σ=2.28

CV =1.9557

×100

CV = 3.42

CAS = 3(57−56)

1.95CAS = 1.54

Tabla de medias de dispersión

Indicador OPCION 1 OPCION 2 OPCION 3

Media Aritmética 55 58 57

Mediana 56 54 56

Moda 58 50 55

Varianza 2.89 5.2 3.8

Desviación estándar 1.7 2.28 1.95

Coeficiente de variación 3.09 3.93 3.42

Coeficiente de asimetría -1.76 5.26 1.54

a) El mejor diluyente para el preparado de pintura es la opción 3.b) Ya que se trata de una comparación entre 3 conjuntos de datos, se debe basar el análisis en

las medidas de dispersión relativa que darán más información. Finalmente para tomar la de-cisión se utiliza el coeficiente de asimetría, pues si hay gran asimetría el conjunto no es bue-no para inferir.

c) Las medidas de dispersión relativa fueron utilizadas pues sirven para evaluar la variabilidad de los datos con respecto al punto central, en más de 1 conjunto de datos. El coeficiente de asimetría nos indica el grado de sesgo que presenta una curva de frecuencias. En este caso la opción 3 fue la que presentó el menor grado de asimetría con un pequeño sesgo hacia la derecha (asimetría positiva).

Problema 2

Solución:

Datos a utilizar:

AÑO 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012

DEMANDA 75 85 110 95 105 115 125 140 130 135 140

a. Variable dependiente (Y): demanda en miles de unidades; Variable independiente (X): año

b. Diagrama de dispersión: para construirlo, se colocan los datos de la demanda en el eje Y con su respectivo año en el eje X.

2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 20140

20406080

100120140160

AÑO

DEM

ANDA

c. Para determinar la ecuación de regresión lineal, se determinará primero la pendiente, denotada por “b”, y la ordenada Y, denotada por “a”, mediante las fórmulas:

Primero se ordenarán los datos en la siguiente tabla:

Año (X) Demanda (Y) X*Y X^2

2002 75 150150 4008004

2003 85 170255 4012009

2004 110 220440 4016016

2005 95 190475 4020025

2006 105 210630 4024036

2007 115 230805 4028049

2008 125 251000 4032064

2009 140 281260 4036081

2010 130 261300 4040100

2011 135 271485 4044121

2012 140 281680 4048144

Media 2007 114.0909091

Suma 2519480 44308649

n=11

Sustituyendo los valores de la tabla en la fórmula de b y en la de a:

b= (2519480 )−(11 ) (2007 )(114.0909091)

(44308649 )−(11) (2007 )(2007)=6.3182 ; a=(114.0909091)-(6.3182)(2007)=-12566.5

Sustituyendo los valores de b y de a en la ecuación de regresión:

Respuesta: Demanda en miles de unidades= -12566.5+(Año)(6.3182)

d. Para determinar la capacidad de la nueva planta, se debe restar la capacidad de la planta actual, la cual es 150 000 unidades por año, de la demanda de esta planta en 5 años, o sea, en el 2017.

Demanda = -12566.5+(2017)(6.3182)= 177300 unidades

Capacidad de la nueva planta = (demanda en 2017) -150000=27300 unidades

Respuesta: la capacidad de la nueva planta debe der de 27300 unidades

e. La fórmula para el coeficiente de correlación es : r =√1−∑ (Y −Y )2

∑ (Y −Y )2

Para encontrar cada valor de Y (demanda estimada ) paracada valor de X ( Año), se

sustituye cada valor de X en la ecuación de regresión. Estos resultados, junto con las

respectivas sumatorias que requiere la fórmula de r, se resumen en la siguiente tabla:

Sustituyendo los datos de la tabla en la fórmula de r:

r =√1− 794.91214990.9091

=0.9380

f. El resultado numérico del coeficiente de correlación indica que existe una correlación o asociación muy alta entre la demanda en miles de unidades y los años transcurridos. La capacidad proyectada para la planta en 5 años tiene, por tanto, un grado de confiabilidad muy alto. En base a esto, se pueden preparar los recursos económicos para enfrentar a dicha demanda.

g. La fórmula para el coeficiente de determinación es: r2=1−∑ (Y−Y )2

∑ (Y−Y )2

El coeficiente de determinación es el cuadrado del coeficiente de correlación, por tanto: r2=0.8798. Esto nos dice que el 87.98% de la variación en la demanda es explicada por la recta de regresión lineal. Este alto porcentaje indica que la ecuación de regresión lineal es muy representativa de los datos, y por lo tanto sirve como un buen pronosticador de la demanda en un determinado año.

3. Se tienen las siguientes probabilidades:P(A)=95%P(B)=98%P(AyB)=93%

En este caso se aplica la regla de la multiplicación ya que se trata de eventos estadísticamente independientes.

Se utiliza la siguiente ecuación:P(AyB)=P(A)P(B)P(AyB)

P(AyB)=( 95100 )( 98

100 )( 93100 )

P(AyB)=0.86583P(AyB)=86.58%

La probabilidad de que el humo sea detectado es del 86.58%.

Problema 4

Solución:

La probabilidad de que una compuerta esté fuera de servicio es 0.02. Se hará una tabla que muestra la probabilidad de que las compuertas A, B, C, D estén fuera de servicio, denotado por P(X), y la probabilidad de que estén funcionando correctamente, denotado por P(Y) :

Compuerta Probabilidad de que esté fuera de servicio

P(X)

Probabilidad de que funcione correctamente

1-P(X)=P(Y)A 0.02 0.98B 0.02 0.98C 0.02 0.98D 0.02 0.98

En este caso, se tienen eventos estadísticamente independientes, es decir, la ocurrencia de un evento no altera la ocurrencia de cualquier otro evento. Por lo tanto, la regla de la

multiplicación es la que se utilizará. Como se pide la probabilidad de que todas funcionen correctamente, se utilizará P(Y) en la fórmula:

P(YA, YB, YC, YD)=P(YA)*P(YB)*P(YC)*P(YD)

= (0.98)(0.98)(0.98)(0.98)

=0.9224

=92.92%

Respuesta: La probabilidad de que todas las compuertas estén funcionando adecuadamente es del 92.24%.

Problema 5

a). El porcentaje de ocupados con relación a la Población Económicamente Activa-PEA se obtiene utilizando la regla más básica de porcentajes que en este caso sería dividir el número de personas ocupadas entre la población económicamente activa que también es un número y multiplicarlo por 100.

% de Ocupados vs PE = (# de Ocupados/ PEA) x 100

Ago 2010: (1456/1557) x 100 = 93.51%

Mar 2011: (1447/1532) x 100 = 94.45%

Ago 2011: (1501/1571) x 100 = 95.54%

Mar 2012: (1553/1629) x 100 = 95.33%

b) Se aplica regla de la multiplicación. Aquí, se debe tomar en consideración que el numero de personas disminuye conforme se va preguntando.

P(A y B y C y D) = P(A B C D) = P(A)P(B)P(C)P(D)

El numerador de las dos primeras fracciones indica la cantidad de gente

desocupada y de las tres últimas representa la gente que no esta desocupada. El denominador de ambas indica cómo va disminuyendo la cantidad personas con potencial de ser encuestadas

Agosto2010 :

1012450

∗100

2449∗2349

2448∗2348

2447∗2347

2446=0.1487 %

Marzo 2011:

862481

∗85

2480∗2395

2479∗2394

2478∗2393

2477=0.107%

Agosto2011:

702542

∗69

2541∗2472

2540∗2471

2539∗2470

2538=0.0689 %

Marzo 2012:

762569

∗75

2568∗2493

2567∗2492

2566∗2491

2565=0.0791%

Cabe destacar que este problema también pudo haber sido resuelto usando la distribución binomial pero preferimos usar la de la multiplicación.

c) La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales.

P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B)

Nuevamente, el numerador de la primera fracción indica la cantidad de gente desocupada y el de la segunda fracción indica la cantidad de gente no desocupada. El denominador de ambas indica cómo va disminuyendo la cantidad personas con potencial de ser encuestadas.

Agosto2010 :

1012450

∗1456

2449=2.45 %

Marzo 2011:

862481

∗1447

2480=2.02%

Agosto2011:

702542

∗1501

2541=1.62 %

Marzo 2012:

762569

∗1553

2568=1.78 %

e) Se usa la distribución normal centrada en la media y no desde negativo infinito.

Datos brindados:

Media µ=83250 Desviación Estándar σ=13540

Porcentaje= 90% De esto deducimos que hay un 45% de la población a la derecha e izquierda de la media.

Obtenemos z = +/-1.65 de la tabla de distribución normal para porcentajes que van del 0% al 50% de la población.

Para encontrar ambos extremos, usamos la fórmula de límite central

x=µ+z σ y x=µ−z σ

Reemplazando valores, obtenemos:

x=83250+1.65∗13540=105591

x=83250−1.65∗13540=60909

El rango en el 90% va desde 60909 personas hasta 105591 personas.

b) Para obtener la probabilidad de que Panamá disminuya a 65,000 personas desocupadas es:

Media µ=83,250 Desviación Estándar σ=12,540 X= 65,000

Haciendo uso de la fórmula para encontrar Z y reemplazando valores

Z= X−µσ

Z= -1.45

Buscamos su probabilidad correspondiente en la tabla de distribuciones normales donde empiecen los valores de Z desde negativo infinito y encontramos que la probabilidad es del 7.35%

Finalmente, la probabilidad de que hayan 65000 personas desocupadas es del 7.35%.

c) Para obtener la probabilidad de que se tenga más de 110,000 personas, se hace lo siguiente:

Media µ=83250 Desviación Estándar σ=12540

X= 110000

Haciendo uso de la fórmula para encontrar Z y reemplazando valores

Z= X−µσ

Z= 2.13

Buscamos su probabilidad correspondiente en la tabla de distribuciones normales donde empiecen los valores de Z desde negativo infinito pero esta vez restamos 100% menos la probabilidad encontrada en la tabla.

P = 98.3% 100% - 98.3% = 1.7 %

Finalmente, la probabilidad de que hayan más de 110000 personas desocupadas es del 1.7%.

Problema 6

Se tienen las siguientes probabilidades:

78% enterado (E)

22% no enterado (N)

n=3

En este caso se utiliza la distribución binomial, pues cumple con las siguientes requisitos:

-Solo hay 2 posibles resultados.

-Los eventos son independientes.

-La probabilidad de éxito permanece constante con el tiempo.

-La muestra debe ser pequeña y la probabilidad de éxito debe ser relativamente alta.

En consecuencia, la fórmula utilizada es:

P= n !r ! (n−r )!

pr qn−r

p=probabilidad de éxito

q=probabilidad de fracaso

r=número de éxitos deseados

n=número de intentos hechos

a) Para calcular la probabilidad de que todos estén enterados se considera lo siguiente:p=0.78

q=0.22

r=3

n=3

Sustituyendo en la ecuación:

P= 3 !3 ! (3−3 )!

¿¿

P= 3 ×2 ×13 ×2 ×1 ×1

(0.474552)(1)

P=0.474552

P=47.46 %

La probabilidad de que todos estén enterados es de 46.46%.

b) Para calcular la probabilidad de que todos excepto uno estén enterados se considera lo siguiente:

p=0.78

q=0.22

r=2

n=3

Sustituyendo en la ecuación:

P= 3 !2 ! (3−2 )!

¿¿

P=3 ×2 ×12 ×1 ×1

(0.6084)(0.22)

P=0.401544

P=40.15 %

La probabilidad de que todos excepto uno estén enterados es de 40.15%.

Problema 7

Solución

En este problema se utiliza la distribución binomial, pues se cumplen con los siguientes requisitos:

Solo hay dos posibles resultados: dependencia laboral ó propia empresa

Los eventos son estadísticamente independientes ( la ocurrencia de un evento no altera la ocurrencia de cualquier otro evento)

La probabilidad de éxito permanece constante con el tiempo La muestra es pequeña y la probabilidad de éxito es relativamente alta

Para cada caso, se denota: p=probabilidad de tener éxito (puede ser dependencia laboral ó propia empresa); q= probabilidad de fracaso=1-p ; r= número de éxitos deseado; n= número de intentos hechos; se utilizará la fórmula de distribución binomial:

a) En este caso, el éxito es el deseo de tener su propia empresa, por tanto:

p= 72/100 ; q=0.28 ; r=2 ; n=5

Sustituyendo en la fórmula binomial: P=5!

2! (5−2 ) !∗¿

=5 x 4 x 3 x2 x12 x1 x3 x 2x 1

∗0.5184∗0.021952

=11.38%

Respuesta: la probabilidad de que 2 de 5 ingenieros eléctricos manifiesten su deseo de tener su propia empresa es de 11.38%.

b) En este caso, el éxito es dependencia laboral, por tanto:

p=0.28 ; q=0.72 ; r=5; n=5

Sustituyendo en la fórmula binomial: P=5 !

5! (5−5 ) !∗¿

=5 x 4 x 3 x2 x15 x 4 x 3 x2 x1

∗0.5184∗0.021952

=0.17%

Respuesta: la probabilidad de que ninguno de los 5 ingenieros eléctricos manifieste su deseo de tener su propia empresa es de 0.17%.

c) En este caso, se pide la probabilidad de que 0, 1 ó 2 manifiesten dependencia laboral, para ello, se calculará la probabilidad para r=0, para r=1, para r=2, denotando el éxito como dependencia laboral. Para cada r, se tiene que p=0.28 ; q=0.72; n=5

Para r=0, se tiene: P=5 !

0 ! (5 )!∗¿

=5 x 4 x 3 x2 x15 x 4 x 3 x2 x1

∗1∗0.1935

=19.349%

Para r=1, se tiene: P=5!

1! (5−1 )!∗¿

=5 x 4 x 3 x2 x1

4 x 3 x2 x1∗0.28∗0.26874

=37.623%

Para r=2, se tiene: P=5!

2! (5−2 ) !∗¿

=5 x 4 x 3 x2 x11 x2 x3 x 2x 1

∗0.0784∗0.373248

=29.263%

Como se pide la probabilidad de que 0, 1 ó 2 manifiesten dependencia laboral, se utiliza la regla de la adición para eventos mutuamente excluyentes:

P(0, 1 ó 2)= P(r=0)+P(r=1)+P(r=2)

=19.349%+37.623%+29.263%

=86.235%

Respuesta: La probabilidad de que 2 o menos ingenieros eléctricos no manifiesten deseo de tener su propia empresa es del 86.235%.

Problema 8

El problema señala un ejemplo de distribución normal por lo tanto se observa la gráfica:

El espacio cubierto por los puntos µ–zσ y µ+zσ está el 90% de los valores por lo tanto a la izquierda de –zσ y a la derecha de zσ está el 10% restante por lo cual se divide a la mitad para tener 5% en cada lado. Según la tabla para distribución normal los valores de z para que esta condición se cumpla son: z=±1.645 aproximadamente. Finalmente se puede concluir que el consumo de pantalones casuales del 90% de los jóvenes con µ=200 y σ=8 está entre 186.84 y 213.16 dólares. Para el segundo caso se utiliza el mismo grafico pero para el 70% de los jóvenes por lo tanto el porcentaje restante es de 30% y distribuido a ambos lados serian 15% en cada lado, luego, según la tabla de distribución los valores de z son z=±1.04 aproximadamente. Finalmente como el problema se refiere al monto mínimo, el valor de z que se considera es el negativo y para los mismos µ y σ se tiene que el monto mínimo que destina el 70% de los jóvenes en pantalones casuales es 191.68 dólares. Para el último caso se aplica el mismo procedimiento del caso anterior: como es el 95% entonces se tiene un 5% restante que se distribuye en 2.5% a cada lado, luego los valores de z de la tabla de distribución son z=±1.96 aproximadamente. Finalmente como el problema nos pide el monto máximo entonces solo se considera el valor positivo, por lo tanto, el monto anual máximo de que gasta el 95% de los jóvenes en pantalones casuales es de 215.68 dólares. Graficas de la solución de cada caso:

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

µ–zσ µ µ+ zσ

90%5% 5%

90%

186.84 200 213.16

70%

191.68 200 208.32

95%

184.32 200 215.68

Problema 9

El problema señala un ejemplo de distribución normal por lo tanto se observa la gráfica:

El espacio cubierto por los puntos µ–zσ y µ+zσ está el 85% de los valores por lo tanto a la izquierda de –zσ y a la derecha de zσ está el 15% restante por lo cual se divide a la mitad para tener 7.5% en cada lado. Según la tabla para distribución normal los valores de z para que esta condición se cumpla son: z=±1.44 aproximadamente. Finalmente se puede concluir que el consumo de leche del 85% de los niños para µ=0.9 y σ=0.3 está entre los valores 0.468 y 1.332 litros.

Grafica de la solución:

Problema 10

a). En este caso se aplica el modelo de distribución normal debido a que describe la probabilidad de la variable continua aleatoria dentro de un intervalo específico.

a. µ= 480

σ= 40 x=550 Encontrando Z al reemplazar valores en la fórmula escrita arriba.Z = (550-480) / 40 Z = 1.25 Buscando su probabilidad en la tabla de distribución normal que va de 0% al 50% encontramos que vale 45.99% Este valor lo restamos de 50% para obtener la probabilidad de que un estudiante tome más de 550 horas. 50% - 45.99% = 4.01 %

La probabilidad de que un estudiante requiera más de 550hrs para terminar el entrenamiento es del 4.01%.

µ–zσ µ µ+ zσ

85%7.5% 7.5%

0.468 0.9 1.332

85%7.5% 7.5%

4.01%45.99%

50%

b. µ= 480 σ= 40 x= 440 X1= 560

Z= (440-480)/40 Z= (560-480)/40

Z = -1 Z = 2 se busca en la tabla de área bajo la curva

34,36% + 47,72%

82,08%

R= En este caso se aplica el mismo procedimiento pero a diferencia de la parte A se tendría q encontrar el porcentaje de 440 a 480 y de 480 a 560 y después obtenidos esos porcentajes se suman esos valores para encontrar el porcentaje total que corresponde a esa área.

La probabilidad que requiere entre 440 y 560 hrs. en terminar el entrenamiento es del 82,08%.

82,08%

34,36% 47,72%

Problema 11

R= En este caso ya no se tiene que calcular la probabilidad entre valores dados de x, sino que se tiene que calcular el o los valores de x a partir de porcentajes o probabilidades que representan el valor de Z. Y para encontrar el valor de x, tenemos que sustituir el valor de Z en la formula y después despejar la x.

µ = 50 σ = 4

Al conocerse el % del cual queremos obtener un valor x, en este caso 90%, se debe tomar en cuenta que este 90% también representa una probabilidad de 0.90, esta probabilidad se la vamos a restar a 1 porque lo que queremos saber es a partir de qué valor de x empieza ese 90% de observaciones, es decir por encima de ese valor.

Entonces tenemos que 1 – 0.90 = 0.10 que también es una probabilidad y este resultado se le resta a 50%.

Entonces tenemos que 50 -10 = 40 % este resultado se busca en la tabla de distribución normal estándar y nos da que Z = 1.28

Remplazamos en la fórmula 1.28 = X – 50 / 4

Entonces: X = 55 butacas.

El mayor número de butacas que debe colocarse para que el 90% de los estudiantes encuentre butacas disponibles es de 55 butacas.

b.

Para encontrar la probabilidad entre 46 y 52 butacas debemos encontrar la probabilidad de 50 a 52, de 46 a 52 y después sumarlas.

µ = 50 σ = 4

Z= (46 – 50) /4 Z = (52 – 50) /4

Z = -1 Z = 0.5

34.13% + 19.15%

53.28%

R= La probabilidad que se requieran entre 46 y 52 butacas en un día es del 53.13%