UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEL PERU

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEL PERU

MATEMATICA

NUMEROS REALES

Docente: Alexandra Calcina Vargaya

Integrantes: Alex Chacnama Lazo Jean Pierre Huaracha Quiroz Maradona Huamani Ccamaqque Williams Javier Pumachara Huaycani Christian Cotrado Laura Marck Antoni Yauri Cuty2015-PERU

DEDICATORIAEste trabajo est dirigido para todos los docentes y alumnos de diferentes niveles educativos ya sea para el uso personal o la enseanza para nuestras futuras generaciones. Que les sea de agrado.

RESUMENEn matemticas, los nmeros reales (designados por ) incluyen tanto a los nmeros racionales (positivos, negativos y el cero) como a los nmeros irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes (1970) no se pueden expresar mediante una fraccin de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperidicos, tales como: 5, , el nmero real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.

Los nmeros reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propsitos formales de matemticas y otras ms complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemtico formal.

Durante los siglos XVI y XVII el clculo avanz mucho aunque careca de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como pequeo, lmite, se acerca sin una definicin precisa. Esto llev a una serie de paradojas y problemas lgicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemtica, la cual consisti de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente tcnicas) del concepto de nmero real.

Cabe destacar que para un mejor estudio se supo clasificar en: racionales (naturales y enteros) e irracionales. Sabiendo que con los nmeros reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicacin de ndice par y radicando negativo, y la divisin por cero.Los nmeros reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximacin como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta.ContenidoDEDICATORIA2RESUMEN3Introduccin6NUMEROS NATURALES7HISTORIA7Caractersticas de los Nmeros Naturales8Axiomas de Peano8DEFINICION DE TEORIA DE CONJUNTOS9PROPIEDADES DE LOS NUMEROS NATURALES10SUSTRACCION CON NUMEROS NATURALES10PRINCIPIO DE INDUCCION MATEMATICA11DESCOMPOSICION EN FACTORES PRIMOS12MAXIMO COMO UN DIVISOR Y MINIMO CON UN MULTIPLO12Mximo Como un Divisor12Mnimo Como un Mltiplo13NUMEROS ENTEROS13HISTORIA14NUMEROS CON SIGNOS14ORDEN DE LOS NUMERO ENTEROS14OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS15SUMA15RESTA16MULTIPLICACION O DIVISION16NUMEROS RACIONALES17ARITMETICA DE LOS NUMEROS RACIONALES18Suma y Multiplicacin18Relacin de Equivalencia y Orden18ESCRITURA DECIMAL18REPRESENTACION RACIONAL DE LOS NUMEROS DECIMALES18DESARROLLO DE LOS NUMEROS RACIONALES19Numero Racional en otras Bases20PROPIEDADES20EL CARDINAL DE LOS RACIONALES20NUMEROS IRRACIONALES21HISTORIA22CLASIFICACION22Numero Algebraico22Numero Trascendente23PROPIEDADES23CONCLUSION24REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS24COLOFON24

IntroduccinEn la enseanza de la matemtica, desde la etapa elemental hasta la superior, es necesario adoptar algn concepto de nmero real de acuerdo con el nivel de estudios. La forma compleja del concepto de nmeros real plantea problemas didcticos difciles.Su definicin rigurosa es complicada y se necesitaron muchos siglos para su desarrollo. En forma sucinta se puede describir su evolucin como sigue.

Las primeras ideas de nmero aparecen en los albores de la civilizacin. Los antiguos babilonios y egipcios conciben alrededor del ao 2000 a.C, una aritmtica que ya utilizan fracciones. Con Pitgoras, en el aos 525 a.C, los griegos descubren la necesidad de adoptar nmeros irracionales, como . En el ao 375 a.C Eudoxo (padre de la astronoma matemtica) presenta la teora de los inconmensurables para representar irracionales como lmite de magnitudes racionales. Los nmeros negativos, que aparecen en la solucin de diferentes problemas, se consideran como absurdos, y solo se manejan libremente a partir del siglo XVII. No es sino hasta la segunda mitad del siglo XIX que Cantor (forma de los nmeros transfinitos cardinales y ordinales), Dedekind (fundamento la teora de la recta real y creo la teora de los ideales) y Weierstrass (padre del anlisis moderno) desarrollaron teoras rigurosas del nmero real, incluyendo racionales e irracionales. As reemplazando las magnitudes de Euduxo por construcciones a partir de los nmeros 1, 2,3,, Cantor construyo los irracionales como sucesiones de racionales, Weierstrass los construyo como clase de racionales y, finalmente, Dedekind como cortaduras en clases infinitas de racionales. Estas teoras resultan equivalentes y permiten construir el continuo de los nmeros reales a partir de los nmeros naturales.

NUMEROS NATURALESPara poder negociar y ordenar elementos, el hombre tuvo la necesidad de representar las cantidades de lo que posea y as saber de qu dispona exactamente. De ah surgi la idea de crear smbolos que representaran esas cantidades. Los nmeros naturales designados por el smbolo son usados para contar los elementos de un conjunto.Todo nmero perteneciente a la serie = {0, 1, 2, 3, 4,} formada por todos los nmeros que, a partir del cero (o ausencia del elemento), el uno inicia y sin trmino medio.

HISTORIAAntes de que surgieran los nmeros para la representacin de cantidades, el hombre us otros mtodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Ms adelante comenzaron a aparecer los smbolos grficos como seales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos especficos sobre la arena. Pero fue en Mesopotamia alrededor del ao 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los nmeros que consistieron en grabados de seales en formas de cuas sobre pequeos tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aqu el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeracin fue adoptado ms tarde, aunque con smbolos grficos diferentes, en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto, mientras que en la antigua Roma adems de las letras, se utilizaron algunos smbolos.

Quien coloc al conjunto de los nmeros naturales sobre lo que comenzaba a ser una base slida, fue Richard Dedekind en el siglo XIX. Este los deriv de una serie de postulados (lo que implicaba que la existencia del conjunto de nmeros naturales se daba por cierta), que despus precis Peano (contribuciones a la lgica matemtica y a la teora de nmeros) dentro de una lgica de segundo orden, resultando as los famosos cinco postulados que llevan su nombre. Frege fue superior a ambos, demostrando la existencia del sistema de nmeros naturales partiendo de principios ms fuertes. Lamentablemente la teora de Frege perdi, por as decirlo, su credibilidad y hubo que buscar un nuevo mtodo. Fue Zermelo quien demostr la existencia del conjunto de nmeros naturales, dentro de su teora de conjuntos y principalmente mediante el uso del axioma de infinitud que, con una modificacin de este hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto de nmeros naturales como ordinales segn von Neumann.

Caractersticas de los Nmeros Naturales1. Todo nmero mayor que 1 (o mayor que 0 en caso de considerar el 0 como natural) va despus de otro nmero natural.2. Entre dos nmeros naturales siempre hay un nmero finito de naturales. (Interpretacin de conjunto no denso)3. Dado un nmero natural cualquiera, siempre existe otro natural mayor que ste. (Interpretacin de conjunto infinito).

Axiomas de Peano Si n es un nmero natural, entonces el sucesor de n tambin es un nmero natural. El 1 no es sucesor de ningn nmero natural. Si hay dos nmeros naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo nmero natural. Si el nmero pertenece a un conjunto de nmeros A, y adems siempre se verifica que: dado un nmero natural cualquiera que est en A, su sucesor tambin pertenece a A; entonces A contiene al conjunto de todos los nmeros naturales. Este es el axioma de induccin, que captura la idea de induccin matemtica.

DEFINICION DE TEORIA DE CONJUNTOSTeora de conjuntos se define al conjunto de los nmeros naturales como el mnimo conjunto que es inductivo. La idea es que se pueda contar haciendo una biyeccin desde un nmero natural hasta el conjunto de objetos que se quiere contar. Sin embargo, la teora de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de inters en matemticas; y junto con la lgica permite estudiar los fundamentos de ella. Formalmente, un conjunto x se dice que es un nmero natural si cumple:1. Para cada y x, y x2. La relacin x = {(a, b) x x | a b} es un orden total estricto en x3. Todo subconjunto no vaco de x tiene elementos mnimo y mximo en el orden xSegn Halmos (contribuyo teoras de probabilidades, estadsticas, operadores, ergdica y anlisis funcional) el conjunto vaco es un nmero natural que se denota por 0 y que cada nmero natural n tiene un sucesor denotado como n. Estas ideas quedan formalizadas mediante las siguientes expresiones:0 = n = n {n}De esta manera, cada elemento de algn nmero natural es un nmero natural; a saber, un antecesor de l. Por ejemplo:- Por definicin 0 = {} (lo cual refuerza el hecho de que 0 no tiene antecesores)- 1 es el sucesor de 0, entonces 1 = 0+ = {0} = {0}- 2 es el sucesor de 1, pero 1 es {0}, entonces 2 = 1+ {0} {1} = {0, 1}- y en general 3 = {0, 1, 2} 4 = {0, 1, 2, 3} 5 = {0, 1, 2, 3, 4} Esto permite establecer una relacin de orden entre los elementos del conjunto a pesar de que un conjunto es por naturaleza un agregado de elementos desordenados. Se define esta relacin mediante la expresin:a b a b

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS NATURALESLos nmeros naturales estn totalmente ordenados. La relacin de orden se puede redefinir as: a b si y solo si existe otro nmero natural c que cumple a + c = b. Este orden es compatible con todas las operaciones aritmticas puesto que si a, b y c son nmeros naturales y a b, entonces se cumple:a + c b + ca c b cLa propiedad ms importante del conjunto de los nmeros naturales es que es un conjunto bien ordenado.Los nmeros naturales existe el algoritmo de la divisin. Dados dos nmeros naturales a y b, si b 0, podemos encontrar otros dos nmeros naturales q y r, denominados cociente y resto respectivamente, tales que:a = (b q) + r y r < bLos nmeros q y r estn unvocamente determinados por a y b.

SUSTRACCION CON NUMEROS NATURALESAsmase que = {0, 1, 2, 3,...} y sea H = {(m, n) / m, n ; m n}, sea g una aplicacin de H en , tal que g (m, n) = m - n = d m = d + n, donde m y n estn en H y d est en . A la aplicacin g de H sobre se llama sustraccin o resta en . La diferencia d = m n, solo es posible en el caso que m n. Suponemos que:Si m n = p, entonces m p = nSi m n = p, entonces (m + r) (n + r) = pSi m , m m = 0Como m 0 = m, entonces 0 hace el papel de numero neutroLa resta no es conmutativa ni asociativa

PRINCIPIO DE INDUCCION MATEMATICASi un subconjunto A de verifica que 1 A y, si x A, resulta que x+1 A, entonces A= Esto nos permite realizar razonamientos por induccin cuando queremos probar que una determinada propiedad se cumple para todo nmero natural. Por ejemplo, si queremos probar que la suma de los primeros nmeros naturales es podemos hacerlo por induccin en la forma siguiente:Para =1 es claro que la suma de los 1 primeros nmeros naturales es 1=.Suponiendo cierta frmula para , es decir, 1+2++=, veamos que tambin es cierta para +1,1+2+++1= (1+2++)++1= + +1 = = =

DESCOMPOSICION EN FACTORES PRIMOSUn nmero primo es aqul nmero natural que slo es divisible por s mismo y por la unidad, por ejemplo 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ..., son nmeros primos.Hay infinitos nmeros primos. Un famoso procedimiento para encontrar nmeros primos es la denominada criba de Eratstenes, que consiste en tomar una lista de los nmeros naturales e ir tachando sucesivamente los mltiplos de cada natural que an no hubiera sido tachado previamente.El uso de nmeros primos grandes tiene aplicaciones en criptografa (ocultacin de secretos). Todo nmero natural admite una descomposicin en producto de nmeros primos. Esta descomposicin es nica salvo el orden de los primos considerados.25 = 180 = . 581 = 78439 = 78439225 = 65980394 = (2).(29).(67).(16979)

MAXIMO COMO UN DIVISOR Y MINIMO CON UN MULTIPLOMximo Como un DivisorSe define, como su propio nombre indica, como el divisor ms grande que ambos nmeros tienen en comn. Si disponemos de la factorizacin de ambos nmeros, entonces el mximo comn divisor se obtiene quedndose solamente con aquellos factores comunes a ambas descomposiciones y elevados al menor de los exponentes con los que aparezcan.

Mnimo Como un MltiploEs el mltiplo ms pequeo que ambos nmeros tienen en comn. Atendiendo a las descomposiciones de ambos nmeros, el mnimo comn mltiplo se obtiene considerando todos los factores distintos que aparecen (comunes y no comunes), cada uno de ellos elevado al mayor exponente con el que aparezca.180 = 225 = MCD (180 y 225) = MCM (180 y 225) =

NUMEROS ENTEROSProviene del alemn Zahlen (nmeros), los nmeros enteros (designados por ) son un conjunto de nmeros que incluye a los nmeros naturales distintos de cero (1, 2, 3,...), los negativos de los nmeros naturales (..., 3, 2, 1) y al 0. Los enteros negativos, como 1 o 3 se leen menos uno, menos tres y son menores que todos los enteros positivos (1, 2,...) y que el cero.Al igual que los nmeros naturales, los nmeros enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular tambin el signo del resultado.Tambin hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura toman valores por debajo del cero.

HISTORIAEl nombre de enteros se justifica porque estos nmeros ya positivos o negativos, siempre representaban una cantidad de unidades no divisibles como por ejemplo: personas.

No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptacin en trabajos cientficos europeos, aunque matemticos italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solucin de ecuaciones de tercer grado.

NUMEROS CON SIGNOSUn nmero entero negativo es un nmero natural como 1, 2, 3, etc. precedido de un signo menos, . Por ejemplo 1, 2, 3, etc. que se leen menos 1, menos 2, menos 3, etc.El cero no es positivo ni negativo, y puede escribirse con signo ms o menos o sin signo indistintamente, ya que sumar o restar cero es igual a no hacer nada. Toda esta coleccin de nmeros son los llamados enteros.El conjunto de todos los nmeros enteros con signo (positivos y negativos) junto con el 0 se denota con: = {,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, }

ORDEN DE LOS NUMERO ENTEROSDados dos nmeros enteros de signos distintos, +a y b, el negativo es menor que el positivo: b < +a.Dados dos nmeros enteros con el mismo signo, el menor de los dos nmeros es: El de menor valor absoluto, si el signo comn es +. El de mayor valor absoluto, si el signo comn es .El cero 0 es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos.

OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROSSUMAPara sumar dos nmeros enteros, se determina el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente modo:Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es tambin el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos.Si ambos sumandos tienen distinto signo: El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto. El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos.Ejemplos: (+21) + (-13) = +8 (+17) + (+26) = +43 (-41) + (+19) = -22 (-33) + (-28) = -61Propiedad AsociativaDados tres nmeros enteros a, b y c, las sumas:(a + b) + c = a + (b + c) Propiedad ConmutativaDados dos nmeros enteros a y b, las sumas:a + b = b + a Elemento NeutroTodos los nmeros enteros a quedan inalterados al sumarles 0:a + 0 = a

RESTALa resta de dos nmeros enteros (minuendo menos sustraendo) se realiza sumando el minuendo ms el sustraendo cambiado de signo. Por ejemplo: (+10) (-5) = (+10) + (+5) = +15 (-7) - (+6) = (-7) + (-6) = -13 (-4) (-8) = (-4) + (+8) = +4 (+2) (+9) = (+2) + (-9) = -7MULTIPLICACION O DIVISIONLa multiplicacin o divisin de dos nmeros enteros se determinan el valor absoluto y el signo del resultado de la siguiente manera:El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores.El signo es + si los signos de los factores son iguales, y si son distintos.Reglas de los Signos: (+) (+) = (+)Ms por ms igual a ms. (+) () = ()Ms por menos igual a menos. () (+) = ()Menos por ms igual a menos. () () = (+)Menos por menos igual a ms.Ejemplos: (+4) (6) = 24 (+5) (+3) = +15 (7) (+8) = 56 (9) (2) = +18Propiedad AsociativaDados tres nmeros enteros a, b y c, los productos:(a b) c = a (b c)Propiedad ConmutativaDados dos nmeros enteros a y b, los productos:a b = b aElemento NeutroTodos los nmeros enteros a quedan inalterados al multiplicarlos por 1:a 1 = a

NUMEROS RACIONALESEs todo nmero que puede representarse como el cociente de dos nmeros enteros o, ms precisamente, un entero y un natural positivo, es decir, una fraccin comn con numerador a y denominador b distinto de cero. El trmino racional alude a una fraccin o parte de un todo. El conjunto de los nmeros racionales se denota por en que deriva de cociente. La escritura decimal de un nmero racional es, o bien un nmero decimal finito, o bien peridico. Esto es cierto no solo para nmeros escritos en base 10 tambin lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recprocamente, todo nmero que admite una expansin finita o peridica, es un nmero racional.Dados dos nmeros a y b con b0, se llama cociente a b (a dividido por b) de dividendo a y divisor b a todo nmero , si lo hay, tal que multiplicado por el divisor da como resultado el dividendo:a b = , significa que . b = aComo: 12 3 = 4, pues 4 . 3 = 12La ecuacin en dada por la segunda igualdad no tiene siempre una solucin en, si bien la tienes, esta solucin es nica. Por ejemplo: 12 5 no existe en el conjunto, pues no hay ningn numero entero , tal que . 5 = 12. Entonces no es una operacin en.

ARITMETICA DE LOS NUMEROS RACIONALESSuma y MultiplicacinSuma:

Multiplicacin:

Relacin de Equivalencia y OrdenEquivalencia:

Racionales Positivos:

Racionales Negativos:

Orden: Si y

ESCRITURA DECIMALREPRESENTACION RACIONAL DE LOS NUMEROS DECIMALESDecimales Exactos FinitosSe escribe en el numerador la expresin decimal sin la coma (como un nmero entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales.34,65 = Decimales Peridicos PurosLa fraccin correspondiente tiene como numerador la diferencia entre el nmero escrito sin la coma, y la parte anterior al periodo; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo.15,3434 = Decimales Peridicos MixtosTendr como numerador la diferencia entre a y b, donde a es el nmero escrito sin la coma, y b es el nmero sin la parte decimal peridico, escritos ambos como nmeros enteros. El denominador tendr tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras tenga el ante perodo.12,345676767 = DESARROLLO DE LOS NUMEROS RACIONALESExactaLa parte decimal tiene un nmero finito de cifras. Al no ser significativos, los ceros a la derecha del separador decimal pueden omitirse, lo que da por resultado una expresin finita o terminal.

Peridica PuraToda la parte decimal se repite indefinidamente.

Peridica MixtaNo toda la parte decimal se repite.

Numero Racional en otras BasesUn sistema de numeracin posicional de base racional, las fracciones irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que factorizan la base, no tienen representacin finita. Ejemplo: En base 10, un racional tendr un desarrollo finito si y slo si el denominador de su fraccin irreducible es de la forma: enteros) En base duodecimal es infinita y recurrente la representacin de todas aquellas fracciones cuyo denominador contiene factores primos distintos de 2 y 3.

PROPIEDADES En se pueden resolver todas las ecuaciones lineales, es decir, aqullas de la forma ax+b=0, con a y b racionales. En se puede definir un orden total compatible con las operaciones suma y producto definidos anteriormente y que extienda el orden existente en y :Dados dos nmeros racionales y , donde y son enteros positivos (esto siempre puede conseguirse, por ejemplo, si es negativo basta con multiplicar a y b por -1 para obtener un nmero racional igual que el dado pero con denominador positivo), se dice que respecto del orden existente en el conjunto de lo enteros.

EL CARDINAL DE LOS RACIONALESCuntos nmeros racionales hay? Qu hay ms, naturales o racionales?Puede parecer que la respuesta sera, obviamente hay ms racionales, puesto que los naturales son tambin nmeros racionales, y adems hay otros racionales, como por ejemplo, que no son naturales, por lo que podemos concluir que el cardinal de los racionales es que el de los naturales.Pero podemos concluir tambin que el cardinal de es igual que el de es decir que es un conjunto infinito numerable

NUMEROS IRRACIONALESUn nmero irracional es un nmero que no puede ser expresado como una fraccin , donde m y n son enteros y n es diferente de cero. Es cualquier nmero real que no es racional. Es decir que no pueden ser expresados como cocientes de dos nmeros enteros. Por ejemplo: Claramente esta representacin decimal no es exacta ni peridica, por tanto no puede corresponderse con ningn nmero racional. = 1,41421356237309504880, como se ve no se tiene un nmero exacto. Un ejemplo clsico que estamos acostumbrados a manejar es el conocido por la letra griega que equivale a 3,14159265358979323846, como se ve tampoco tiene un nmero exacto ni peridico. El nmero e, base de los llamados logaritmos naturales o neperianos es un nmero irracional. Este nmero surge de forma natural al considerar el inters compuesto. Equivale a 2,718281828459045235 Si consideramos el conjunto de todas las expresiones decimales, solamente aqullas finitas o peridicas se correspondern, como ya se vio, con nmeros racionales; el resto forman el conjunto de los nmeros irracionales.

HISTORIALos griegos identificaron los nmeros con las longitudes de los segmentos de recta. Al identificar del modo mencionado, surge la necesidad de considerar una clase de nmeros ms amplia que la de los nmeros fraccionarios. Se atribuye a Pitgoras de Samos (580- 500a. C.) y su escuela el descubrimiento de la existencia de segmentos de recta inconmensurables con respecto a un segmento que se toma como unidad en un sistema de medicin. Pues, existen segmentos de recta cuya longitud medida en este sistema no es un nmero fraccionario.Este hecho ocasion una convulsin en el mundo cientfico antiguo. Provoc una ruptura entre la geometra y la aritmtica de aquella poca, ya que esta ltima, por entonces, se sustentaba en la teora de la proporcionalidad, la cual solo se aplica a magnitudes conmensurables.A los segmentos inconmensurables con respecto a la unidad tomada como patrn de medida les asignaron un nuevo tipo de magnitud: los nmeros irracionales, los cuales por largo tiempo no se reconocieron como verdaderos nmeros.

CLASIFICACIONHa terminado la clasificacin de los nmeros, pero an quedan "huecos" por rellenar en la recta de los nmeros reales. Los nmeros irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacos que dejan los nmeros racionales. Como bamos conociendo a los tres principales signos que son: , como se vio ms arriba.

Los nmeros irracionales se clasifican en dos tipos:Numero AlgebraicoSon la solucin de alguna ecuacin algebraica y se representan por un nmero finito de radicales libres o anidados. Por ejemplo, el nmero ureo es una de las races de la ecuacin algebraica por lo que es un nmero irracional algebraico.

Numero TrascendenteLlamadas funciones trascendentes (trigonomtricas, logartmicas y exponenciales, etc.) porque no pueden representarse mediante un nmero finito de races libres o anidadas. Como por ejemplo:0,1936502784437570,101001000100001Tienen especial relevancia ya que no pueden ser solucin de ninguna ecuacin algebraica. Los nmeros pi y e son irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales.

PROPIEDADES La suma y la diferencia de un nmero racional y de un nmero irracional es un nmero irracional. El producto de un racional diferente de cero por un irracional es un nmero irracional. El inverso de un nmero irracional es nmero irracional. Sea un binomio, formado por un racional ms un radical de segundo orden, o la suma de dos radicales de segundo orden, que es irracional. Entonces su conjugado es irracional. Entre dos racionales distintos, existe por lo menos, un nmero irracional

CONCLUSIONHa ciencia cierta no se sabe quien descubri a los nmeros, la biblia dice que fue Dios y los cientficos creen que lo iniciadores fueron los paleolticos (queran contabilizar sus pertenencias u objetos) pero desde lo paleolticos, egipcios, griegos y a partir del siglo XIV hubo cambio en el estudio de los nmeros reales desde racionales e irracionales.Se diferencian en que los nmeros racionales se pueden expresar como el cociente de dos nmeros enteros, mientras que los irracionales son todos los sobrantes. Se puede decir que los nmeros racionales cuya representacin decimal es eventualmente peridica y los irracionales tienen una expansin decimal aperidica.REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS1. Wikipedia 2. El Concepto de Numero por Cesar A. Trejo en19683. wmatem.eis.uva.es pgina espaola4. www.youtube.comCOLOFONEsta monografa fue elaborada como requisito para finalizar el curso de Matemtica, por solicitud de la Carrera de Ingeniera Industrial de la Universidad Tecnolgica del Per, Filial Arequipa, bajo el cuidado de la docente Alexandra Calcina Vargaya, en Arequipa y se termin el da 20 de junio del 2015. Se elabor un ejemplar.

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