ECUACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO.

• ALFARO PAISIG, ROCÍO DEL PILAR• CHICCHON DIAZ, JOAO• MINCHAN HUACCHA, KATHERINE• TERRONES RUIZ, NELSON

INTRODUCCIÓN

• La carrera de ingeniería civil es una rama muy amplia; en la actualidad realiza todo tipo de proyectos los cuales incluyen toda clase de conocimientos, que se adquieren a lo largo de la carrera; uno de los conocimientos más grandes que debemos adquirir son la mecánica de fluidos, esta rama es necesaria para todo tipo de proyectos: una vivienda (instalaciones sanitarias), carreteras (canales), abastecimientos (diques, tanques, compuertas), muros de contención, represas, pilares de puentes, etc.

• La ecuación de cantidad de movimiento es la magnitud física fundamental de tipo vectorial que describe el movimiento de un cuerpo en cualquier teoría mecánica.

• El presente informe tiene como objetivo principal, aprender y analizar de forma clara la ecuación de cantidad de movimiento, con el fin de poder aplicar dichos conocimientos en la carrera de ingeniería civil.

OBJETIVOS

- OBJETIVO GENERAL. Aprender y analizar de forma clara la ecuación de cantidad de movimiento, con el fin de poder aplicarla en

un interés práctico.

- OBJETIVO ESPECIFICO Desarrollar la ecuación de cantidad de movimiento, mediante la aplicación de la ley de la conservación de

cantidad de movimiento de la materia situado en el seno del fluido en movimiento. Proporcionar información sobre la ecuación de cantidad de movimiento en los diferentes sistemas

coordenados, con la finalidad de hacer más sencillo su manejo.

MARCO TEÓRICO.

La segunda ley de Newton, a menudo llamada ecuación de cantidad de movimiento, plantea que la fuerza resultante que actúa en un sistema es igual a la velocidad de cambio de la cantidad de movimiento del sistema cuando se mide en un marco de referencia inercial; es decir,

ECUACION DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO

∑ 𝐹𝑋=𝜕𝑀 𝑋𝑉𝐶

𝜕𝑡 +∫𝑆𝐶

❑

𝜌∨𝑋 (∨ .𝑑𝐴)

CANTIDAD DE MOVIMIENTO

la ecuación de cantidad de movimiento realizada a partir de la segunda ley de Newton para un sistema, mediante procedimientos análogos a los utilizados para deducir las ecuaciones de continuidad y de la energía.

Fig. 1 volumen de control y sistema para la deducción de laEcuación de la cantidad de movimiento

La ecuación de la cantidad de movimiento se deduce para una dirección arbitraria x.

En el instante la cantidad de movimiento en la dirección dentro del sistema y del volumen de control coincidente (Fig. 1) es:

En el instante el sistema se ha desplazado un pequeño espacio a partir del volumen de control. La cantidad de movimiento del sistema en la dirección se puede expresar entonces como:

Donde:

: Flujo de cantidad de movimiento en la dirección x que sale del volumen de control en el intervalo .

: Flujo de cantidad de movimiento en la dirección x que entra en el volumen de control en el intervalo .

Restando la Ec.(2)- Ec.(1) y dividiendo entre :

Es decir, “para una dirección X, la rapidez de variación de la cantidad de movimiento en el sistema, es igual a la rapidez de variación de la cantidad de movimiento en el volumen de control más el flujo neto de cantidad de movimiento que sale del volumen de control”

El primer término se puede expresar: 

 Aumento por unidad de tiempo de la cantidad de movimiento en la dirección x dentro del sistema

El segundo término se puede escribir:

Aumento por unidad de tiempo de la cantidad de movimiento en la dirección x dentro del volumen de control

  El tercer término se puede expresar:

 

Salida neta por unidad de tiempo de la cantidad de movimiento en la dirección x.

 

Donde es el ángulo que forma el vector velocidad y la normal hacia afuera en un punto cualquiera de la superficie de control.

Reemplazando en las expresiones en (3):

 

La fuerza resultante que actúa sobre el fluido en el interior del volumen de control en la dirección es exactamente igual a la suma de la variación de la cantidad de movimiento en la dirección con el tiempo dentro del volumen de control y el flujo saliente neto, por unidad de tiempo, de la cantidad de movimiento en la dirección a partir del volumen de control.

Para flujo permanente la cantidad de movimiento en la dirección dentro del volumen de control permanece constante, y:

∑ 𝐹𝑋=∫𝑆𝐶

❑

𝜌∨𝑋 (∨ .𝑑𝐴 )(5)

Por analogía para las direcciones y de un sistema cartesiano de referencia:

Multiplicando la primera ecuación por i, la segunda por j y la tercera por k, vectores unitarios paralelos respectivamente a , , , y sumando,

La ecuación de la cantidad de movimiento para flujo permanente tiene la ventaja de que no necesita información sobre las condiciones dentro del volumen de control.

Fig.2 Volumen de control con entrada de flujo uniformey salida normal a la superficie de control

En tuberías y canales es posible elegir el volumen de control d modo que el flujo de cantidad de movimiento que sale y que entra sean normales a las secciones transversales

la superficie de entrada o de salida, se tendrá, siempre para flujo permanente y en una dirección :

EJERCICIOS DE APLICACIÓN.

Un chorro de agua de 75mm de diámetro con una velocidad de 36 m/seg descarga en dirección horizontal por una boquilla montada en un bote. ¿Qué fuerza se necesita para mantener el bote en reposo?

Seleccionando un volumen de control, como se muestra en la figura, el flujo saliente neto de cantidad de movimiento, por unidad de tiempo, será

Esta fuerza debe ser aplicada al bote en la dirección en que descarga el chorro para mantenerlo en reposo.

Ejemplo 2.

Encontrar la fuerza ejercida por la boquilla sobre la tubería de la figura. Despreciar las perdidas. El fluido es aceite de peso específico relativo 0.85, y .

Para determinar el caudal en volumen se escribe la ecuación de Bernoulli aplicada a la sección 1 anterior a la boquilla y a la sección 2 aguas abajo del extremo de la tobera la expresión es nula.

Como , y , sustituyendo.

Sea fig. (b) la fuerza ejercida sobre el cuerpo libre del líquido por la boquilla; entonces

De donde . El aceite ejerce una fuerza sobre la boquilla de 212 kg hacia la derecha, y una fuerza de tracción de 212 kg es ejercida por la boquilla sobre la tubería.

Ejemplo 3:

Los pilares de un puente está separados una distancia entre ejes de 6.10 m. Aguas arriba el tirante es 3.05 m. y la velocidad media del agua 3.05 m/sg. Aguas abajo el tirante es 2.90 m. Despreciando la pendiente del río y las pérdidas por fricción, encontrar el empuje del agua sobre cada pilar.

Se elige un volumen de control, como el indicado, de 6.10 m de ancho y limitado por las secciones (1) y (2).

Suponiendo distribución hidrostática de presión en las secciones 1 y 2, la ecuación de la cantidad de movimiento escrita en la dirección de la corriente es:

Asumiendo que sobre el agua actúa la fuerza F hacia la izquierda.Despejando:

Reemplazando:

y los valores conocidos de , Y Se obtiene: El signo positivo indica que el sentido es el correcto. Naturalmente el agua ejerce una fuerza igual y contraria sobre el pilar, es decir Hacia la derecha. 

Ejemplo 4: En un canal rectangular de fondo horizontal y ancho 3 m se halla instalada una puerta deslizante. Aguas arriba el tirante de agua es de 2.40 m y aguas abajo 0.60 m. Despreciando las pérdidas calcular.a) el gasto en la compuerta.b) el empuje sobre la compuerta.

ecuación de la energía.

Ecuación de continuidad:

Resolviendo el sistema para :

Es decir:

Eligiendo un volumen de control como el indicado y suponiendo distribución hidrostática de presiones en la sección (1) y (2), le ecuación de la cantidad de movimiento en la dirección del flujo es:

Asumiendo que sobre el agua actúa la fuerza F hacia la izquierda.Despejando:

Reemplazando:

Y los valores conocidos de y

Se obtiene:

CONCLUSIONES:

• La ecuación de cantidad de movimiento, es muy importante en nuestra carrera, ya que con esta podemos diseñar y conocer as fuerzas que actúan sobre una estructura.

• Se aprendió y analizó de forma clara la ecuación de cantidad de movimiento, y sus aplicaciones.

• Se desarrolló la ecuación de cantidad de movimiento, mediante la aplicación de la ley de la conservación de cantidad de movimiento de la materia situado en el seno del fluido en movimiento.

• Se proporcionó información sobre la ecuación de cantidad de movimiento en los diferentes sistemas coordenados, con la finalidad de hacer más sencillo su manejo.