Trabajo de a Pascualito

5/14/2018 Trabajo de a Pascualito - slidepdf.com

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ESTADISTTICA GENERAL

TABLAS DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS

I. OPERACIONES INICIALES - OBTENCIÓN DE LOS INTERVALOS.

1. Sean las siguientes cifras, los pesos en Kg de los alumnos del segundo año delETSUNP de la Escuela de Contabilidad, en el que se han evaluado a 100 (n=100)alumnos:

64.5 53.9 48.7 57.6 78.7

64.9 74.6 64.5 54.9 54.7

57.4 68.2 57.6 64.5 68.4

69.7 64.6 64.8 72.5 72.3

80.1 64.9 72.8 73.5 80.572.4 48.6 54.6 72.4 64.0

54.6 52.4 75.6 76.8 72.4

57.8 49.8 54.3 64.5 60.4

62.8 54.6 72.0 64.5 72.4

49.8 76.2 82.2 62.5 78.6

52.6 58.5 54.8 62.1 84.0

53.7 85.2 64.6 68.4 64.6

53.9 67.3 57.6 72.0 58.0

61.8 68.5 68.4 67.4 54.6

78.8 72.6 78.6 67.0 58.9

83.4 48.8 80.0 81.2 62.1

78.6 52.4 78.9 74.1 72.1

72.8 65.9 67.3 78.4 54.6

62.5 72.6 58.6 62.3 68.6

58.4 80.3 59.6 64.2 63.3

2. Lo siguiente es ordenar los datos en sentido creciente es decir del menor dato al mayor dato.

48.6 57.4 64.0 68.4 74.6

48.7 57.6 64.2 68.4 75.6

48.8 57.6 64.5 68.5 76.2

49.8 57.6 64.5 68.6 76.8

49.8 57.8 64.5 69.7 78.4

52.4 58.0 64.5 72.0 78.6

52.4 58.4 64.5 72.0 78.6

52.6 58.5 64.6 72.1 78.6

53.7 58.6 64.6 72.3 78.7




53.9 58.9 64.6 72.4 78.8

53.9 59.6 64.8 72.4 78.9

54.3 60.4 64.9 72.4 80.0

54.6 61.8 64.9 72.4 80.1

54.6 62.1 65.9 72.5 80.3

54.6 62.1 67.0 72.6 80.5

54.6 62.3 67.3 72.6 81.2

54.6 62.5 67.3 72.8 82.2

54.7 62.5 67.4 72.8 83.4

54.8 62.8 68.2 73.5 84.0

54.9 63.3 68.4 74.1 85.2

3. Buscamos su valor máximo y su valor mínimo

Vmax = 85.2

Vmin = 48.6

4. Hallamos el número de intervalos utilizando la fórmula de Sturges:

K = 1 + 3.3 log(n)

Donde: K = Numero de intervalos o clasesn = Numero de datos (tamaño de la muestra)

En nuestro ejercicio:

n = 100

En la formula tenemos:

K = 1 + 3.3 log (100) log 100 = 2K = 1 + 3.3 x 2K = 1 + 6.6

K = 7.6Redondeando el valor obtenemos que:

5. Ahora calcularemos el Rango o extensión de los datos que se denota con la letra “R”, sufórmula es:

K = 8

R = Valor máximo – Valor mínimo




Entonces: R = 85.2 – 48.6

R = 36.6

Entonces el Rango o extensión es 36.6

6. Calculamos el ancho o amplitud de cada intervalo que se representa con la letra “C”,este ancho de intervalo se obtiene mediante la fórmula:

Aplicando los datos en la formula tenemos:

Redondearemos a 4.58

7. Luego el nuevo Rango, será:

Entonces tenemos:

7. Teniendo en cuenta que este recorrido es mayor que el recorrido original, buscaremos elexceso:

Entonces tenemos:

Para buscar la simetría de la distribución de los datos, deberemos repartir este exceso alos dos extremos del recorrido original, mitad para cada lado, ,restamos – 0.02 al valor mínimo y sumamos + 0.02 al valor máximo.

C = R/ K

C = 36.6 / 8

C= 4.575

R’ = C * K

R’ = 4.58 * 8

R’= 36.64

E = R’ - R

E = 36.64 - 36.6

E= 0.02

0.04 / 2 = 0.02

Xmin = 48.6 - 0.02 = 48.58

Xmáx = 85.2 + 0.02 = 85.22




8. Ahora elaboraremos la columna matriz o columna base, que origina la distribución defrecuencias.

Comenzaremos a construir el primer intervalo, para lo cual sumamos la amplitud al valor mínimo, que será el extremo superior del primer intervalo, obteniendo de este modo el

extremo superior del primer intervalo.

Obtenemos de este modo el primer intervalo y así sucesivamenteobtendremos sus siguientes intervalos:

COLUMNA MATRIZ

9. Todos los datos que se hallan de un mismo intervalo, estarán representados por laMarca de Clase. La Marca de Clase se obtienen promediando los extremos de cadaintervalo

Intervalos de clase

<X'i-1 - X'i]

Marca de

clase (Xi)

48.58 - 53.16 50.87

53.16 - 57.74 55.45

57.74 - 62.32 60.03

62.32 - 66.90 64.61

66.90 - 71.48 69.19

71.48 - 76.06 73.77

76.06 - 80.64 78.35

80.64 - 85.22 82.93

Intervalos de clase

<X'i-1 - X'i]

48.58 - 53.16

53.16 - 57.74

57.74 - 62.32

62.32 - 66.90

66.90 - 71.48

71.48 - 76.06

76.06 - 80.64

80.64 - 85.22

Xmin + Amplitud ( C )

48.58 + 4.58 = 53.16

48.58 53.16




II. FRECUENCIA ABSOLUTA (f i)

1. Realizamos el conteo de los datos:

Intervalos de clase<X'i-1 - X'i]

Marca declase (Xi)

Conteo

48.58 - 53.16 50.87 IIII III

53.16 - 57.74 55.45 IIII IIII IIII I

57.74 - 62.32 60.03 IIII IIII II

62.32 - 66.90 64.61 IIII IIII IIII III

66.90 - 71.48 69.19 IIII IIII I

71.48 - 76.06 73.77 IIII IIII IIII II

76.06 - 80.64 78.35 IIII IIII III

80.64 - 85.22 82.93 IIII

2. Luego contamos el número de tarjas en cada casillero de la columna de conteo yobtenemos la columna de frecuencias Absolutas.

Intervalos de clase

<X'i-1 - X'i]

Marca de

clase (Xi)Conteo

Frecuencia

Absoluta (fi)

48.58 - 53.16 50.87 IIII III 8

53.16 - 57.74 55.45 IIII IIII IIII I 16

57.74 - 62.32 60.03 IIII IIII II 12

62.32 - 66.90 64.61 IIII IIII IIII III 18

66.90 - 71.48 69.19 IIII IIII I 11

71.48 - 76.06 73.77 IIII IIII IIII II 17

76.06 - 80.64 78.35 IIII IIII III 13

80.64 - 85.22 82.93 IIII 5

III. FRECUENCIA RELATIVA (hi)

Se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta (f i), entre el número total de elementos de ladistribución (n). La suma de todas las frecuencias relativas debe ser igual a 1.

Intervalos de clase

<X'i-1 - X'i]

Marca de

clase(Xi)

Frecuencia

Absoluta (f i)

Frecuencia

Relativa (hi)

48.58 - 53.16 50.87 8 0.08

53.16 - 57.74 55.45 16 0.16

57.74 - 62.32 60.03 12 0.12

62.32 - 66.90 64.61 18 0.18

66.90 - 71.48 69.19 11 0.11

71.48 - 76.06 73.77 17 0.17




76.06 - 80.64 78.35 13 0.13

80.64 - 85.22 82.93 5 0.05

100 1

IV. FRECUENCIA PORCENTUAL (h%)

Es la que se obtiene multiplicando cada frecuencia relativa de la distribución de frecuenciaspor 100.

Intervalos de clase

<X'i-1 - X'i]

Marca de

clase (Xi)

Frecuencia

Absoluta (f i)

Frecuencia

Relativa (hi)

Frecuencia

Porcentual (%)48.58 - 53.16 50.87 8 0.08 8

53.16 - 57.74 55.45 16 0.16 16

57.74 - 62.32 60.03 12 0.12 12

62.32 - 66.90 64.61 18 0.18 18

66.90 - 71.48 69.19 11 0.11 11

71.48 - 76.06 73.77 17 0.17 17

76.06 - 80.64 78.35 13 0.13 13

80.64 - 85.22 82.93 5 0.05 5

V. FRECUENCIAS ACUMULADAS.

Se obtienen sumando sucesivamente las frecuencias de cada clase. La acumulación puedehacerse de dos maneras:

a) Desde los intervalos que están en la parte superior de la tabla de frecuencias hacia losintervalos que están en la parte inferior de la tabla, es decir de arriba hacia abajo, se lellama acumulación menor que y se simboliza por Fi

Intervalos de clase

<X'i-1 - X'i]

Frecuencia

Absoluta (fi)

Frecuencia Absoluta

Acumulada (Fi )

48.58 - 53.16 8 8

53.16 - 57.74 16 24

57.74 - 62.32 12 36

62.32 - 66.90 18 54

66.90 - 71.48 11 65

71.48 - 76.06 17 82

76.06 - 80.64 13 9580.64 - 85.22 5 100

h% =( f / n) x 100




b) Al revés de la anterior: desde las clases inferiores hacia las clases superiores, se lellama acumulación mayor o igual a, simboliza con Fi

Intervalos de clase

<X'i-1 - X'i]

Frecuencia

Absoluta (fi)

Frecuencia Absoluta

Acumulada (Fi )

48.58 - 53.16 8 100

53.16 - 57.74 16 92

57.74 - 62.32 12 76

62.32 - 66.90 18 64

66.90 - 71.48 11 46

71.48 - 76.06 17 35

76.06 - 80.64 13 18

80.64 - 85.22 5 5

VI. REPRESENTACION GRAFICA

a) HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

Mediante barras de frecuencias adyacentes, muestra la frecuencia absoluta y relativasimple. En el eje “X” los intervalos de clase y en el eje “Y” la frecuencia.

TITULO: PESO DE LOS ALUMNOS DEL SEGUNDO AÑO DEL ETSUNP DE LAESCUELA DE CONTABILIDAD (KG) - AÑO 2012

FUENTE: DATOS PROPORCIONADOS POR LOS 100 ALUMNOS DEL ETSUNP, AÑO 2012

0

6

12

18

24

30

36

48.58 -

53.16

53.16 -

57.74

57.74 -

62.32

62.32 -

66.90

66.90 -

71.48

71.48 -

76.06

76.06 -

80.64

80.64 -

85.22




b) POLIGONO DE FRECUENCIA

Muestra la variación de las frecuencias simples al pasar de un intervalo a otro. En eleje “X” se ubica la marca de clase y en el eje “Y” la frecuencia absoluta.


FUENTE: DATOS PROPORCIONADOS POR LOS 100 ALUMNOS DEL ETSUNP - AÑO 2012

c) OJIVAS

Muestra el comportamiento de frecuencias acumuladas, absolutas o relativas de todoslos intervalos de clase. En el eje “X” se ubica los límites de los intervalos de clase y en

el eje “Y” la frecuencia acumulada.

0

6

12

18

24

30

36

46.29 50.87 55.45 60.03 64.61 69.19 73.77 78.35 82.93 87.51





FUENTE: DATOS PROPORCIONADOS POR LOS 100 ALUMNOS DEL IDEPUNP, AÑO 2012

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

48.58 53.16 57.74 62.32 66.9 71.48 76.06 80.64 85.22




MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

1. MEDIA ARITMETICA:

Es la más usual de las medidas de concentración y la más conocida. La fórmula queaplicaremos en nuestro ejemplo como dato agrupado es:

Intervalos de clase

<X'i-1 - X'i]

Marca de

clase

48.58 - 53.16 50.87

53.16 - 57.74 55.45

57.74 - 62.32 60.03

62.32 - 66.90 64.61

66.90 - 71.48 69.19

71.48 - 76.06 73.77

76.06 - 80.64 78.35

80.64 - 85.22 82.93

∑Xi=535.2

2. MEDIANA:

Es el punto que divide la distribución de los datos en dos partes iguales. Por debajo de lamediana estará la mitad de número de muestras y por encima de ella estará la otra mitad.La mediana se designa con el símbolo Md.

Su fórmula para datos agrupados es:

Donde: Li: Límite inferior del intervalo Mediano.Fi-1: Frecuencia Absoluta acumulada anterior.fi: Frecuencia Absoluta simpleC: Amplitud de intervalo

n: Número de muestras.




Intervalos de clase

<X'i-1 - X'i]

Frecuencia

Absoluta (fi)

Frecuencia Absoluta

Acumulada (Fi)

48.58 - 53.16 8 8

53.16 - 57.74 16 24

57.74 - 62.32 12 36

62.32 - 66.90 18 54

66.90 - 71.48 11 65

71.48 - 76.06 17 82

76.06 - 80.64 13 95

80.64 - 85.22 5 100

100

Reemplazando en la ecuación tenemos:

( )

3. MODA

La moda de un conjunto de datos, es el valor más repetido. Se representa por el símboloMo. Para hallar la moda en datos agrupados aplicamos la siguiente fórmula:

( )

Donde: Li: Limite inferior de intervalo modal∆1: f i - f i-1 ∆2: f i + f i-1 C: Amplitud de intervalo.

Intervalos de clase

<X'i-1 - X'i]

Frecuencia

Absoluta (fi)

48.58 - 53.16 8

53.16 - 57.74 16

57.74 - 62.32 12

62.32 - 66.90 18

66.90 - 71.48 11

71.48 - 76.06 17

76.06 - 80.64 13

80.64 - 85.22 5

100




Reemplazando en la ecuación tenemos:

( )

4. DESVIACIÓN MEDIA O VARIACIÓN MEDIA

Como su nombre lo indica, es la media de las desviaciones. La fórmula para calcularla es:

Intervalos de clase

<X'i-1 - X'i]

Marca de

clase (Xi)Xi -

48.58 - 53.16 50.87 45.518

53.16 - 57.74 55.45 50.098

57.74 - 62.32 60.03 54.678

62.32 - 66.90 64.61 59.258

66.90 - 71.48 69.19 63.838

71.48 - 76.06 73.77 68.418

76.06 - 80.64 78.35 72.998

80.64 - 85.22 82.93 77.578535.2 492.384

5. DESVIACIÓN ESTÁNDAR O DESVIACIÓN TÍPICA

Es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las desviaciones de cada valor conrespecto a la media, dividida entre el número de valores.Su fórmula es:

√ ∑




Intervalos de clase

<X'i-1 - X'i]

Marca de

clase (Xi)Xi - (Xi - )

2

48.58 - 53.16 50.87 45.518 2071.888

53.16 - 57.74 55.45 50.098 2509.81

57.74 - 62.32 60.03 54.678 2989.684

62.32 - 66.90 64.61 59.258 3511.511

66.90 - 71.48 69.19 63.838 4075.29

71.48 - 76.06 73.77 68.418 4681.023

76.06 - 80.64 78.35 72.998 5328.708

80.64 - 85.22 82.93 77.578 6018.346

535.2 492.384 31186.26

√

6. VARIANZA

Se define como el cuadrado de la desviación estándar. Como la desviación estándar serepresenta con el símbolo “S”, la varianza se representará con el símbolo “S2”.

Su fórmula es: S2

S2 = 17.662 = 311.87

7. VARIABILIDAD RELATIVA

Este índice de dispersión es muy útil cuando se quiere comparar la variabilidad entre doso más distribuciones de datos.

Su fórmula es:




8. ASIMETRIA

Es la deformación horizontal de las curvas de frecuencia.

Su fórmula es:

9. CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES

A) CUARTILES:

Son medidas de posición que dividen en 4 partes iguales al conjunto de valores ordenadosde una distribución de frecuencias. La fórmula para calcular los cuartiles se derivan de lafórmula utilizada para calcular la mediana.

Donde: Li: Límite inferior del intervalo Cuartil.Fi-1: Frecuencia Absoluta acumulada anterior.fi: Frecuencia Absoluta simpleC: Amplitud de intervalo

n: Número de muestras.

Intervalos de clase

<X'i-1 - X'i]

Frecuencia

Absoluta (fi)

Frecuencia Absoluta

Acumulada (Fi )

48.58 - 53.16 8 8

53.16 - 57.74 16 24

57.74 - 62.32 12 36 Q 1

62.32 - 66.90 18 54

66.90 - 71.48 11 65

71.48 - 76.06 17 82

76.06 - 80.64 13 95

80.64 - 85.22 5 100




( )

B) DECILES:

Son medidas de posición que dividen en 10 puntos iguales al conjunto de los valoresordenados de una distribución de frecuencias. La fórmula para calcular déciles es:

En donde: Dr = El decil buscado.r= Indica el decil.Li: Límite inferior del intervalo decil.Fi-1: Frecuencia Absoluta acumulada anterior.fi: Frecuencia Absoluta simpleC: Amplitud de intervalon: Número de muestras.

Intervalos de clase

<X'i-1 - X'i]

Frecuencia

Absoluta (fi)

Frecuencia Absoluta

Acumulada (Fi )

48.58 - 53.16 8 8

53.16 - 57.74 16 24 D2

57.74 - 62.32 12 36

62.32 - 66.90 18 54

66.90 - 71.48 11 65

71.48 - 76.06 17 82

76.06 - 80.64 13 95

80.64 - 85.22 5 100

C) PERCENTILES:

Son medidas de posición que indican el lugar que corresponde a un puntaje dentro deuna escala ordenada de 100 elementos.




En donde: Pr = El percentil buscado.

r= Indica el percentil.Li: Límite inferior del intervalo percentil.Fi-1: Frecuencia Absoluta acumulada anterior.fi: Frecuencia Absoluta simpleC: Amplitud de intervalon: Número de muestras

Intervalos de clase

<X'i-1 - X'i]

Frecuencia

Absoluta (fi)

Frecuencia Absoluta

Acumulada (Fi )

48.58 - 53.16 8 8 P2 53.16 - 57.74 16 24

57.74 - 62.32 12 36

62.32 - 66.90 18 54

66.90 - 71.48 11 65

71.48 - 76.06 17 82

76.06 - 80.64 13 95

80.64 - 85.22 5 100




PROBABILIDAD BÁSICA

Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarsecomo resultado de un experimento. Una distribución de probabilidad es similar al

distribución de frecuencias relativas .Si embargo, en vez de describir el pasado, describela probabilidad que un evento se realice en el futuro, constituye una herramientafundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario deacontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenosnaturales.

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cadasuceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. Ladistribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los eventos rango devalores de la variable aleatoria.

Cuando la variable aleatoria toma valores en el conjunto de los números reales, la

distribución de probabilidad está completamente especificada por la función dedistribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la variable aleatoria seamenor o igual que x.

EJEMPLOS:

1. Probabilidades de los alumnos pesen entre 60 a 70 Kg:




2. Probabilidades de los alumnos que tengan entre 66 a 86 Kg:

3. Probabilidades de los alumnos que pesen menos de 50 Kg:

4. Probabilidades de los alumnos que pesen entre 70 y 80 Kg:

5. Probabilidades de los alumnos pesen más de 80 kg:

6. Probabilidades de los alumnos pesen entre 45 y 55 Kg:




7. Probabilidades de los alumnos que tengan 72 Kg:

8. Probabilidades de los alumnos que tengan 80 kg:

9. Probabilidades de los alumnos que pesen entre 50 y 60 Kg:

Trabajo de a Pascualito

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