Actividad No. 1Trabajo Colaborativo Unidad 1

Conceptos básicos, exactitud y raíces de ecuaciones

Tutor: José Adel Barrera CardozoCurso: Métodos numéricos

Código del Curso: 100401A_220Grupo: 100401_51

Universidad Nacional Abierta y A DistanciaPROGRAMA DE INGENIERIA EN ALIMENTOS

CEAD (Palmira-Valle)2015

0. INTRODUCCION

A lo largo de la historia, los métodos numéricos han sido creados con el fin de resolver problemas matemáticos cuya solución es difícil o imposible de obtener por medio de los procedimientos tradicionales. Se caracterizan porque ofrecen soluciones aproximadas a los valores reales, sin embargo, se debe desarrollar criterios para especificar qué tan precisos son los resultados obtenidos.

El siguiente trabajo se encuentra divido en dos partes, la primera aborda los diversos tipos de errores asociados con los cálculos y medidas. Esto incluye errores de truncamiento que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto y los errores de redondeo, que resultan de presentar aproximadamente números exactos. Los métodos números deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgo para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería. También debe ser lo suficientemente preciso para el diseño en la ingeniería.

La segunda parte del trabajo muestra el cálculo aproximado de raíces de ecuaciones utilizando los métodos de bisección, regla falsa, Newton Raphson y punto fijo, de las cuales no es posible obtener respuesta exacta con métodos algebraicos.

Primera parte: Tipos de errores

1. Presentar un cuadro comparativo entre los tipos de errores

CUADRO COMPARATIVO TIPOS DE ERRORES

Tipo de Error Características Ejemplo

Redondeo

Se genera debido a la eliminación de cifras significativas de un número a partir de su representación decimal, para obtener un valor aproximado.

El valor del número π= 3,141592… si se quisiera redondear a las milésimas resultaría en 3,1416.

Truncamiento

Es el término usado para reducir el número de dígitos a la derecha del separador decimal, descartando los menos significativos. El error de truncamiento resulta del empleo de aproximaciones como un procedimiento matemático exacto.

El valor del número π= 3,141592… si se quisiera truncar a las milésimas resultaría en 3,1415.

AbsolutoEs la diferencia absoluta entre el valor verdadero de una medición y su valor aproximado.

Si se calculara el error absoluto por truncamiento del número π= 3,141592 a las centésimas resultaría: Error absoluto = (Valor verdadero - valor aproximado)*100Error absoluto = (3,141592 - 3,141)*100 = 0,0592%

y si se calcula el error absoluto por redondeo:Error absoluto = (3,141592 - 3,142)*100 = 0,0408%

Relativo

Es la diferencia absoluta entre el valor verdadero de una medición y su valor aproximado divido el valor verdadero.

Para el caso de del número π= 3,141592 truncado a las centésimas resultaría: Error relativo = ((3,141592 - 3,141)/3,141592)*100= 0,01884%

Relativo aproximado

En métodos numéricos no se conocen los valores verdaderos, por lo tanto se debe aproximar el error. El error relativo aproximado resulta de dividir el error aproximado entre el valor aproximado, donde el error aproximado resulta de la diferencia entre una aproximación actual y una aproximación anterior.

Ver ejemplo

Inherentes o heredados

Sistemáticos: Asociados al instrumento de medición.Accidentales: Asociados al observador

Sistemáticos: un equipo de medición mal calibrado.Accidentales: Problemas de visión del observador.

Ejemplo de aplicación de error relativo aproximado:

Evalúe cos (π3

) utilizando la serie de McLaurin. Agregue términos hasta que el

valor absoluto del error aproximado ε a sea menor que un criterio de error ε s con 2 cifras significativas. cos (x)por series de McLaurin está dado por:

cos (x )=1− x2

2!+ x

4

4 !− x

6

6 !+ x

8

8 !−…+¿

Solución:

Se calcula el criterio de error utilizando la fórmula ε s=(0,5x 102−n )% con n=2

ε s=(0,5x 102−2 )%ε s=0,5%

Se establecen términos de la serie y se evalúa:Primer término:

cos (x )=1Segundo término:

cos (x )=1− x2

2!→cos

π3=1−

( π3 )22!

=0,451688

Tercer término:

cos (x )=1− x2

2!+ x

4

4 !→cos

π3=0,451688+

( π3 )44 !

=0,501796

Cuarto término:

cos (x )=1− x2

2!+ x

4

4 !− x

6

6 !→cos

π3=0,501796−

( π3 )66 !

=0,499964

Se calculan los errores absolutos aproximados y se compara con el criterio del error.

ε a=(aproximación actual−aproximaciónanterior )

aproximación actualx 100

Con los términos 2 y 3 obtengo:

ε a=(0,501796−0,451688)

0,501796x 100=9,98%

Este valor supera a ε s

Con los términos 3 y 4 se obtiene:

ε a=(0,499964−0,501796)

0,499964x100=0,36%

Debido a que ε a<ε sel cuarto término de la serie de McLaurin con x=π3

es una

buena aproximación de cos (π3

)

2. Presentar un mapa conceptual de los errores