Métodos numéricos

Aproximación para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias

Bioing. Analía S. Cherniz

Modelización de Sistemas Biológicos por Computadora

03/08/2010

Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía

Organización

1 IntroducciónEcuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)Errores

2 Aproximación mediante Expansión en Series de Taylor

3 Fórmulas de Integración Abiertas o CerradasMétodos de Paso SimpleMétodos de Paso MúltipleMétodos de Predictor-Corrector

4 Conclusiones

5 Bibliografía

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Organización

1 IntroducciónEcuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)Errores

2 Aproximación mediante Expansión en Series de Taylor

3 Fórmulas de Integración Abiertas o CerradasMétodos de Paso SimpleMétodos de Paso MúltipleMétodos de Predictor-Corrector

4 Conclusiones

5 Bibliografía

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Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía

Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)

Introducción

Frecuentemente sucede que no es posible hallar la solución analítica de lasecuaciones diferenciales planteadas en los modelos. En estos casos losmétodos numéricos permiten resolver el modelo alcanzando una soluciónaproximada del mismo.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

f

(t, y,

dy

dt,d2y

dt2, · · · , d

ny

dtn

)= 0

Solución única: n condiciones

Condiciones en t = t0: Problema de condiciones iniciales

Condiciones en más de un valor de t: Problema de condiciones decontorno

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Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)

Introducción

Frecuentemente sucede que no es posible hallar la solución analítica de lasecuaciones diferenciales planteadas en los modelos. En estos casos losmétodos numéricos permiten resolver el modelo alcanzando una soluciónaproximada del mismo.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

f

(t, y,

dy

dt,d2y

dt2, · · · , d

ny

dtn

)= 0

Solución única: n condiciones

Condiciones en t = t0: Problema de condiciones iniciales

Condiciones en más de un valor de t: Problema de condiciones decontorno

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Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía

Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)

Introducción

Clasi�cación según la cantidad de puntos evaluados

Métodos de Paso Simple

Métodos de Paso Múltiple

Clasi�cación según los puntos evaluados

Métodos Explícitos

Métodos Implícitos

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Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)

Introducción

Clasi�cación según la cantidad de puntos evaluados

Métodos de Paso Simple

Métodos de Paso Múltiple

Clasi�cación según los puntos evaluados

Métodos Explícitos

Métodos Implícitos

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Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía

Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)

Introducción

Ecuacion Diferencial Ordinaria

t2d2y

dt2+ t

dy

dt+ (t2 − p2)y = 0

donde p es una constante.

Sistema de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

y1 = dydt =⇒ dy1

dt = d2ydt2

y1 − dy

dt = 0

t2 dy1

dt + ty1 + (t2 − p2)y = 0

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Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)

Introducción

Ecuacion Diferencial Ordinaria

t2d2y

dt2+ t

dy

dt+ (t2 − p2)y = 0

donde p es una constante.

Sistema de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

y1 = dydt =⇒ dy1

dt = d2ydt2

y1 − dy

dt = 0

t2 dy1

dt + ty1 + (t2 − p2)y = 0

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Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía

Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)

Introducción

EDO 1er orden

F

(t, y,

dy

dt

)= 0

de�nida en el intervalo [a, b]. Se puede escribir en forma explícita:

dy

dt= f(t, y)

Solución aproximada

Se divide el intervalo de variación de t en subintervalos o pasos

Se aproxima la solución verdadera y(t) en n+ 1 valores igualmenteespaciados de t: t0, t1, · · · , tn.

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Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)

Introducción

EDO 1er orden

F

(t, y,

dy

dt

)= 0

de�nida en el intervalo [a, b]. Se puede escribir en forma explícita:

dy

dt= f(t, y)

Solución aproximada

Se divide el intervalo de variación de t en subintervalos o pasos

Se aproxima la solución verdadera y(t) en n+ 1 valores igualmenteespaciados de t: t0, t1, · · · , tn.

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Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)

Introducción

Solución aproximada

Tamaño de paso:

h =b− an

Valores de t:ti = t0 + ih; i = 0, 1, 2, · · · , n

La solución se da en forma tabular para n+ 1 valores discretos de t.

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Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía

Errores

Errores

Error de discretización o de truncamiento

Si y(ti) es la solución verdadera en los puntos ti y yi la aproximacióncalculada. El error de truncamiento es:

|εi| = |yi − y(ti)|

El error de truncamiento queda determinado únicamente por el particularprocedimiento o método numérico utilizado, esto es, por la naturaleza delas aproximaciones efectuadas en el método.

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Errores

Errores

Otros errores

Errores de redondeo

Errores asociados a la formulación del problema

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Series de Taylor

Organización

1 IntroducciónEcuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)Errores

2 Aproximación mediante Expansión en Series de Taylor

3 Fórmulas de Integración Abiertas o CerradasMétodos de Paso SimpleMétodos de Paso MúltipleMétodos de Predictor-Corrector

4 Conclusiones

5 Bibliografía

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Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía

Series de Taylor

Series de Taylor

La serie de Taylor de una función f(x) in�nitamente derivable (real ocompleja), de�nida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se de�ne como lasiguiente suma:

f(x) =∞∑

n=0

f (n)(a)n!

(x− a)n

Se puede expresar la solución y(t) alrededor del punto ti como unaexpansión en series de Taylor:

y(ti +h) = y(ti)+hy′(ti)+h2

2y′′(ti)+ ...+

hn

n!y(n)(ti)+

h(n+1)

(n+ 1)!y(n+1)(ε)

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Series de Taylor

Aproximación por Series de Taylor

Dado que y′ = f(t, y), utilizando la regla de la cadena obtenemos:

y′′ = f ′(t, y) = ft(t, y) + fy(t, y)y′ = ft(t, y) + fy(t, y)f(t, y)

Ecuación

yi+1 = yi + y′ih+ · · ·+y

(n)i

n!hn

donde

y(k)(t) =d(k−1)f(t, y(t))

dtk−1

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Series de Taylor

Aproximación por Series de Taylor

Dado que y′ = f(t, y), utilizando la regla de la cadena obtenemos:

y′′ = f ′(t, y) = ft(t, y) + fy(t, y)y′ = ft(t, y) + fy(t, y)f(t, y)

Ecuación

yi+1 = yi + y′ih+ · · ·+y

(n)i

n!hn

donde

y(k)(t) =d(k−1)f(t, y(t))

dtk−1

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Series de Taylor

Aproximación por Series de Taylor

Ejemplo dy

dt− ky = 0

y(t0) = y0

donde k es una constante.

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Series de Taylor

Aproximación por Series de Taylor

Características

No se utiliza si f no es sencilla de derivar.

La expansión en series de Taylor es válida si ti+1 ≈ ti.

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Métodos de Paso Simple

Organización

1 IntroducciónEcuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)Errores

2 Aproximación mediante Expansión en Series de Taylor

3 Fórmulas de Integración Abiertas o CerradasMétodos de Paso SimpleMétodos de Paso MúltipleMétodos de Predictor-Corrector

4 Conclusiones

5 Bibliografía

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Métodos de Paso Simple

Métodos de Paso Simple

Método de Euler

Método de Runge-Kutta

Son métodos explícitos que permiten obtner yi+1 teniendo solamente laecuación diferencial y la información en el punto ti.

Sólo requieren de la condición inicial para arrancarlos.

Permiten el avance paso a paso en el tiempo sin necesidad de recurrira procedimientos iterativos.

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Métodos de Paso Simple

Método de Euler

Ecuación

yi+1 = yi + hf(ti, yi)

Interpretación geométrica

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Métodos de Paso Simple

Método de Euler

Características principales

Método de 1er orden, con error global de aproximación O(h).

Si el paso de integración que se utiliza no es lo su�cientementepequeño, el método podría tornarse inestable.

Se utiliza comúnmente como método iniciador.

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Métodos de Paso Simple

Método de Runge-Kutta

Ecuación

yi+1 = yi +(K1 + 2K2 + 2K3 +K4

6

)K1 = hf(ti, yi)

K2 = hf(ti +h

2, yi +

K1

2)

K3 = hf(ti +h

2, yi +

K2

2)

K4 = hf(ti + h, yi +K3)

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Métodos de Paso Simple

Método de Runge-Kutta

Características

No es neceario evaluar derivadas.

La desventaja es que es necesario evaluar la función f en variospuntos.

Es un método de 4to órden, con un error de aproximación O(h4).

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Métodos de Paso Múltiple

Organización

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2 Aproximación mediante Expansión en Series de Taylor

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4 Conclusiones

5 Bibliografía

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Métodos de Paso Múltiple

Métodos de Paso Múltiple

Características

Además de yi y/o fi, requieren evaluar y o f en otros valores de t,fuera del intervalo de integración considerado, [ti, ti+1].

La desventaja es que requieren más información de la quenormalmente se dispone para arrancar el procedimiento.

Debe utilizarse algún otro método para arrancar

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Métodos de Paso Múltiple

Métodos de Paso Múltiple

Midpoint

yi+1 = yi−1 + 2hf(ti, yi)

La primera aproximación se realiza por Euler.

El orden del método es O(h2).

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Métodos de Predictor-Corrector

Organización

1 IntroducciónEcuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)Errores

2 Aproximación mediante Expansión en Series de Taylor

3 Fórmulas de Integración Abiertas o CerradasMétodos de Paso SimpleMétodos de Paso MúltipleMétodos de Predictor-Corrector

4 Conclusiones

5 Bibliografía

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Métodos de Predictor-Corrector

Métodos de Predictor-Corrector

Método de Milne

Método de Adams Moulton

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Métodos de Predictor-Corrector

Método de Milne

pi+1 = yi−3 +4h3

(2f(ti, yi)− f(ti−1, yi−1) + 2f(ti−2, yi−2))

ci+1 = yi−1 +h

3(f(ti+1, pi+1) + 4f(ti, yi) + f(ti−1, yi−1))

yi+1 = ci+1

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Métodos de Predictor-Corrector

Método de Adams Moulton

pi+1 = yi +h

24(55f(ti, yi)− 59f(ti−1, yi−1) + 37f(ti−2, yi−2)

−9f(ti−3, yi−3))

ci+1 = yi+h

24(9f(ti+1, pi+1) + 19f(ti, yi)− f(ti−1, yi−1) + f(ti−2, yi−2))

yi+1 = ci+1

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4 Conclusiones

5 Bibliografía

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Conclusiones

Conclusiones

Los métodos numéricos:

permiten resolver el modelo alcanzando una solución aproximada delmismo.

tienen errores asociados a su órden y al paso utilizado.

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2 Aproximación mediante Expansión en Series de Taylor

3 Fórmulas de Integración Abiertas o CerradasMétodos de Paso SimpleMétodos de Paso MúltipleMétodos de Predictor-Corrector

4 Conclusiones

5 Bibliografía

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Bibliografía

Bibliografía

Nicolás J. Scenna y Alejandro S. M. Santa Cruz. Capítulo XIII.

Métodos Numéricos Aproximación para la Solución de Ecuaciones

Diferenciales Ordinarias. ISBN: 950-42-0022-2. 1999

José Díaz Medina. Capítulo 8. Ecuaciones diferenciales ordinarias.Departament de Física Atómica, Molecular i Nuclear Facultat deFísica, Universitat de Valéncia.

Francisco M. Gonzalez-Longatt. Comparación de Métodos Numéricos

para la Solución Ecuación Diferencial de 1er Orden.

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Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía

Bibliografía

Métodos numéricos:

Aproximación para la solución de

ecuaciones diferenciales ordinarias

Modelización de Sistemas Biológicos por Computadora

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