Resolver cada uno de los siguientes problemas propuestos:

Ejercicio 1

De la siguiente elipse 9 x2+3 y2=27 determine:

a. Centrob. Focosc. Vértices

9 x2+3 y2=27Si dividimos entre 27 

 ( y2

9 )+( x2

3 )=1

  de una elipse vertical con centro en el origen:

 y2

a2 + x2

b2 =1  

Donde:

(h , k ) = centro =(0 ,0)

a = 3 

b = √ 3 

c =  √a2−b2=√9−3=√6

Los vértices 

(h , k ±a)⇒(0 ,0+3)(0 ,0−3)⇒(0 ,3)(0 ,−3)Los focos 

(h , k ± c) ⇒ (0 ,0+√6)(0 ,0−√6) ⇒ (0 , √ 6)(0 ,−√6)

1

Ejercicio 2

Deduzca una ecuación de la elipse que satisfaga las condiciones indicadas: Vértices (±5,0) y focos en (±3,0)

GRAFICANDO LOS PUNTOS ENEL PLANO TENEMOS

Análisis de la grafica:

La grafica permite deducir que el eje mayor de la elipse es el eje x, se puede ver que su centro es el origen. El parámetro a(distancia del centro a los vértices) =5 und El parámetro c(distancia del centro a los focos) =3 und

Ecuaciones:

La ecuación de la elipse es de la forma:

x2

a2 + y2

b2 =1

2

a2−c2=b2

52−32=b2→b=√25−9

b=√16=4und .

Reemplazando

x2

25+ y

2

16=1

GRAFICA

Ejercicio 3

De la siguiente hipérbola 9 x2−25 y2=225. Determine:

9 x2

225−25 y2

225=225

225

x2

25− y2

9=1

Eje real eje x

a2=25a=5b2=9b=3

a2+b2=c2=34 c=√34

a. Centro =(0,0)b. Focos= (±√34,0)c. Vértices=(±5,0)

3

Ejercicio 4

Deduzca una ecuación de la hipérbola que satisfaga las condiciones indicadas:Centro en ((1, - 3), un foco en (1, - 6) y un vértice en (1, - 5).

Ejercicio 5

Demostrar que la ecuación x2+ y2+6 x−2 y−15=0 es una circunferencia. Determine:

Solución:

x2+ y2+6 x−2 y−15=0

(x2+6 x )+( y2−2 y )=15

Completamos cuadrados:

(x2+6 x+9 )+( y2−2 y+1 )=15+9+1

( x+3 )2+( y−1 )2=25

h=3k=1 r=25

a. Centro (−3,1 )b. Radio 5

c= (−3,1 )r=5

4

Ejercicio 6

De la siguiente parábola x2+6 x+4 y+8=0. Determine:

Solución

Organizamos la ecuación:

x ²+6 x=−4 y−8 Completamos el trinomio:

x2+6 x+( b2 )2

=−4 y−8+( b2 )2

x2+6 x+( 62 )

2

=−4 y−8+( 62 )

2

x2+6 x+32=−4 y−8+32

x2+6 x+9=−4 y−8+9x2+6 x+9=−4 y+1 ,

factorizamos... Luego la ecuación canónica es:

( x+3 )2=−4 ( y−¼ )( x−h )2=4 p ( y−k ) Vértice: (h , k )

−h=3⇒h=−3−k=−¼⇒k=¼

V (−3 ,¼ )Foco: F (h , k+ p )

⇒ 4 p=−4⇒ p=−44⇒ p=−1F [−3 ,¼+(−1 ) ]F (−3 ,¼−1 )F (−3 ,−¾ )

Directriz: L : y=k−p⇒ y=¼−(−1)⇒ y=¼+1⇒ y=5/4

5

Ejercicio 7

Determine la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x2 + y2 + 4x + 6y - 7 = 0 en el punto P (- 4, 1).

Ejercicio 8

Calcular las siguientes sumatorias

a. ∑k=1

20

(20−k+1 )3

∑k=1

20

(20−k+1 )3=∑k=1

20

(21−k )3

(21−k )3=9261−1323k+63k 2−k3

∑k=1

20

9261−1323k+63 k2−k3

6

∑k=1

20

9261=20 x 9261=185220

∑k=1

20

−1323 k=−1323∑k=1

20

k=−1323.(20(21)

2¿¿)=−277830¿¿

∑k=1

20

63k2=63.20∗21∗41

6=180810

∑k=1

20

−k3=−( 20∗212 )

2

=−44100

∑k=1

20

(20−k+1 )3=185220−277830+180810−44100=44100

b. ∑k=1

50

(3k2+2k−5)

∑k=1

50

(3k2+2k−5)=3∑k=1

50

k2+2∑k=1

50

k−∑k=1

50

5

∑k=1

50

(3k2+2k−5)=350∗51∗101

6+2

50(51)2

−5∗50

∑k=1

50

(3k2+2k−5)=131075

Ejercicio 9

Calcular las siguientes productorias:

a. ∏k=1

3

(a−k2 )

∏k=1

3

(a+k2 )

∏k=1

3

(a+k2 )=(a−12 ) . (a−22 ) .(a−32)

∏k=1

3

(a+k2 )=(a−1 ) . (a−4 ) . (a−9 )

(a−1 ) . (a−4 )=a2−5 a+47

(a¿¿2−5a+4)(x−9)=a3−14 a2+49 a−36¿

b. ∏k=5

6

∏j=3

4

∏i=1

22 i− j2k+i

8