U N I V E R S I D A D A L A S P E R U A N A SDirección Universitaria de Educación a Distancia

1703-Escuela Académico Profesional de Ingeniería Industrial

1703-17216 | MATEMÁTICA III

2013-IDocente: WILDER ENRIQUEZ VASQUEZ

Ciclo: III Módulo II

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Hasta el DOMINGO 05 DEMAYO 2013 (11:59 pm)

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2. No se aceptará el Trabajo Académico después del 05 DE MAYO 2013

3. Las actividades que se encuentran en el libro servirán para su autoaprendizaje mas no para la calificación, por lo que no deberán ser remitidas. Usted sólo deberá realizar y remitir obligatoriamente el Trabajo Académico que adjuntamos aquí.

Guía delTrabajo Académico

4. Recuerde: NO DEBE COPIAR DEL INTERNET, el Internet es únicamente una fuente de consulta. Los trabajos copias de internet serán calificados con “00” (cero).

5. Estimado alumno:El presente trabajo académico tiene por finalidad medir los logros alcanzados en el desarrollo del curso.Para el examen parcial Ud. debe haber logrado desarrollar hasta la pregunta Nº …9….. y para el examen final debe haber desarrollado el trabajo completo.

Criterios de evaluación del trabajo académico:

1 Presentación adecuada del trabajoConsidera la evaluación de la redacción, ortografía, y presentación del trabajo en este formato. Valor: 2 ptos

2 Investigación bibliográfica:Considera la consulta de libros virtuales, a través de la Biblioteca virtual DUED UAP, entre otras fuentes. Valor: 3 ptos

3Situación problemática o caso práctico:

Considera el análisis de casos o la solución de situaciones problematizadoras por parte del alumno. Valor: 5 ptos

4Otros contenidos considerando los niveles cognitivos de orden superior:

Valor: 10 ptos

1

- Numerador del término enésimo : (n+2)- Denominador del término enésimo : 5n- Serie de signos intercambiados : +,-,+,-

TERMINO GENERALan=(−1)n+1( n+2

5n )

PREGUNTAS

INSTRUCCIONES: CADA PREGUNTA VALE 1 PUNTO

1. Encuentre una fórmula para el término general ande la sucesión

{35,− 4

25,

5125

,− 6125

,7

3125, .. .. ..}

a1=35

a2=−425

a3=5

125

2. Calcule el Limx→∞

ln xx

Aplicando L’Hospital

limx→∞

F(x )g(x )

=limx→∞

F '(x )g ' (x)

limx→∞

1x1

=limx→∞

1x=0

3. Determine si la sucesión an(−1)n es convergente o divergente.

Si limx→∞

an=Lesconvergente , caso contrarioes divergente

Analizandola sucesión an=(−1)n

{−1,1−1,1−1….. }

Lasucesión fluctúaentre−1 y 1 ,lo que generaque limx→∞

an≠L

2

La sucesión es divergente.

4. Determine si la serie armónica ∑n=1

∞ 1n=1+ 1

2+ 1

3+ 1

4+.. .. . .

es divergente o convergente.

La serie armónica es de la forma:

∑n=1

∞1n=1+ 1

2+ 1

3+…+ 1

n+ 1n+1

Sn=1+ 12+1

3+…+ 1

n

S2n=1+ 12+ 1

3+…+ 1

n+ 1n+1

+…+ 12n

Entonces :

S2n−Sn=1

n+1+ 1n+2

+…+ 12n

Paran>1→1

n+1+ 1n+2

+…+ 12n

> 12n

+ 12n

+…+ 12n

= n2n

=12

S2n−Sn>12………………….(α )

TEOREMA{Sn }n≥ 1, una sucesión de sumas parciales para una serie convergente ∑n=1

∞

an , entonces para cualquier ε>0 ,∃ N>0 /|SR−ST|<ε siempre que R>N ,T>N

Llevando esto a nuestro ejercicio tenemos que ε> 12,∃N >0/|S2n−Sn|<

12

siempre que 2N>N ,n>N , lo que contradice a (α), por lo tanto∑n=1

∞1nesuna seriedivergente

5. Determine la convergencia de la serie ∑n=1

∞

( 3

5n+

2n )

3

∑n=1

∞

( 35n−

2n )=∑

n=1

∞35n−¿∑

n=1

∞2n¿

¿3∑n=1

∞15n−2∑

n=1

∞2n

∑n=1

∞

( 35n−

2n )=∞→Laseriediverge

6. Mediante la prueba de la integral determine si la serie es convergente o divergente ∑n=1

∞ n+2n+1

an=n+2n+1

=f (n )→f ( x )= x+2x+1

limb→∞ [∫

1

b ( x+1 )+1(x+1)

dx ]limb→∞ [∫

1

b

1+[ 1x+1 ]dx ]

limb→∞ [∫

1

b

dx+∫1

b1

x+1 ]limb→∞ [x|b1+ ln|x+1||b1 ]limb→∞

[b+ ln|b|]=0

∑n=1

∞n+2n+1

esdivergente

7. Determine el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la serie

∑n=0

∞ n( x+2)n

3n+1

4

Serie Geométrica convergente

Serie Armónica divergente

an=n(x+2)n

3n+1

limn→∞|an+1

an|=lim

n→∞ [ (n+1)(x+2)(n+1 )

3n+1+1

n(x+2)n

3n+1 ]limn→∞|(n+1)(x+2)(n+1 )

3n+2∙

3n+1

n(x+2)n|limn→∞|(n+1 ) ( x+2 )n(x+2)

3n .32 ∙3n .3

n. (x+2)n|limn→∞ [1+ 1

n ]|x+23 |=|x+2|

3

Decimos que es convergente cuando |x+2|

3<1

Convergente|x+2|<3

Divergente|x+2|>3 , entonces el radio deconvergenciaR=3

−3<( x+2 )<3→restar 2

−5<x<1

Intervalo deconvergencia ⟨−5,1 ⟩

8. Si k es un entero positivo, encuentre el radio de convergencia de la serie ∑n=0

∞ (n! )k

( kn)!xn

limn→∞|an+1

an |=[(n+1)! ]K

[K (n+1)] !∙ xn+1

(n!)K

(Kn)∙ xn

→[(n+1)! ]K ∙ xn+1∙(kn)!

[K (n+1)] ! ∙ xn ∙(n !)K→

(n+1)K ∙(n!)K ∙ xn ∙ x ∙ (Kn)!

[K (n+1) ∙ xn ∙(n !)K ]

5

limn→∞

(n+1)K ∙ x [ (Kn)![K (n+1)]! ]

limn→∞

(n+1)K ∙ x [ (Kn) ![K (n+1)] ∙ [K (n+1 )−1 ]…(Kn)! ]

k veces

limn→∞

( n+1n )

K

[K (n+1 ) ]n

∙[K (n+1 )−1 ]

n∙

[K (n+1 )−2 ]n

….

∙ x

k veces

limn→∞

(1+ 1n )

K

(K+ Kn )(K+ K

n−1n )(K+ K

n−2n )…

∙|x|→ 1K K ∙|x|

k veces

Decimos que es convergente si |x|KK <1

Convergente|x|<K K

Divergente|x|>KK

Radiode convergenciaes KK

9. Expresa la siguiente función.f ( x )= 1

1+x2 como la suma de una serie de

potencia y encuentre el intervalo de convergencia.

Mediante la serie geométrica convergente se tiene:

1+x+x2+x3+…+xn−1+…= 11−x

, para|x|<1, valiéndose de esta serie tenemos:

∑n=0

∞

(−1)n x2n=¿1−x2+x4−x6+x8+…¿

6

¿1+(−x2 )+(−x2 )2+(− x2)3+(−x2)4+…

¿ 1

1−(−x2), para|x2|<1

∑n=0

∞

(−1)n x2n=¿ 11+ x2 , para|x|<1¿

Puesto que |x2|<1→|x|2<1

|x|<1

−1<x<1

Intervalo deconvergencia ⟨−1,1 ⟩

10. la serie de Fourier para f(t) = exp (t) en [0, 0.5] y grafique los valores de ck y k.

ak=2

b−a∫a

b

f (x ) cos ( 2kπtb−a )dt

ak=4∫0

0.5

e−t cos (4nπt )dt

Por tablas de integral:

∫ eau cosbudu= eau

a2+b2(acosbu+bsenbu )

a=−1

b=4 nπ

ak=4e−t

1+16k2π2(−cos4 kπt+4 kπ sen 4kπt )|0.5

0

ak=4

1+16k2π2[1−e−0.5 ]

ak=1.58

1+16k2π2

7

bk=2

b−a∫a

b

f (t ) sen ( 2kπtb−a )dt

ak=4∫0

0.5

e−t sen (4 nπt )dt

Por tablas de integral:

∫ eau sen budu= eau

a2+b2(a senbu+bcos bu )

a=−1

b=4 nπ

bk=4e−t

1+16k2π2(−senkπt+4kπ cos 4kπt )|0.5

0

bk=4

1+16k2π2[1−e−0.5 ]

ak=6.32

1+16k2π2

ck=√an2−bn2

ck= 1−e−0.5

1+16 n2π2 √42−(16nπ )2

ck= 1−e−0.5

1+16 n2π2 √16−(16nπ )2= 4 (1−e−0.5 )√1+16n2π2

ck= 1.58

√1+16n2π2

∅=arctan ( bk

ak)

∅=arctan (4

1+16 k2π2[1−e−0.5 ]

1.581+16k2π2 )

8

∅=arctan (4 kπ )

11. Determine L {e−3t }

L {e−3 t }= 1S−(−3)

L {e−3 t }= 1S+3

12. Determine L {t2+6 t−3}

L {t2 }+6 L {t }−3 L {1 }

2!

S2+1+6[ 1!

S1+1 ]−3[ 1S ]

2

S3+ 6

S2−3S

13.

∫0

+∞

e−st f ( t)dt=∫0

3

e−st f ( t)dt+∫3

+8

e−st f (t )dt

→∫3

+∞

e−st (2)dt

limp→0

2∫3

P

e−st dt=2[−e−st

s ]|P3limP→∞

2 [−e−SP

S+ e

−3S

S ]

9

L {f ( t ) }=2S

(e−3 s)

14. Calcular F(w) para el pulso rectangular f(t) siguiente:

f (t )={0 r<−p2

1−p

2<r< p

2

0p2

<1 }F (w )=∫

−∞

∞

f (t)e− jωt dt

F (w )=∫−p

2

p2

f ( t)e− jωt dt= 1− jw

[e− jωt ]−P2

P2

¿ 1− jw

[e− jω( p2)−e

− jω (−p2

)]

¿ 2 ∙12 jw

[e jω( P2

)−e

− jω( P2

)]

¿

P2

2

P2w∙

12 j

[e jω(P2)−e

− jω(P2)]

12 j

[e jω(P2)−e

− jω( P2)]=sen(w . P2 )

10

¿P ∙Sen (w p

2)

wp2

15.

L−1 { 1Sn+1 }= t n

Γ (n+1)

L−1 { 1

√S }=L−1{ 1

S1 /2 }L−1 { 1

S−1

2+1 }= t−1 /2

Γ (−12

+1)= t−1/2

Γ ( 12 )

= 1√t √π

L−1 { 1

√S }= 1

√ tπ

16.Determine si la serie infinita:

es convergente o divergente

1(k+2)

= A(k+2)

+ B(k+3)

A (k+3 )+B (k+2 )=1

( A+B ) k+(3 A+2 B )=1

A+B=0A=−BA=−1

∑k=1

+∞

[ 1k+2

− 1k+3 ]

a1=13− 1

4

a2=14−1

5

11

3 A+2B=13 (−B )+2B=1B=−1

∑k=1

+∞ 1(k+2)(k+3 )

a3=15−1

6

ak=1

k+2− 1k+3

a1+a2+a3+…+ak=13− 1k+3

Sk=13− 1k+3

limk→∞

Sk=Lesconvergente , caso contrarioes Divergente

limk→∞ [ 1

3−

1k

k+3k

]limk→∞ [ 1

3− 1

1+3 ]=13

Laserie infinita esconvergente

17.Pruebe la convergencia o divergencia de la serie:

limb→∞ [∫

1

bln (x)dx

n ]Hacemos ln ( x )=μ

1x=dudx

dxx

=du

limb→∞ [∫

1

b

μdu]=limb→∞

μ2

2

12

∑n=1

+∞ ln(n)n

¿ limb→∞

12

[ ln ( x)]2

¿ 12

[ ln (∞) ]2=∞

Laserie esdivergente

18.Pruebe la convergencia absoluta de la serie:

limn→∞|an+1

an|<1→converge

limn→∞|an+1

an|>1→diverge

limn→∞| (−1)n+1 ∙ (n+1 )3

3(n+1)

(1)n ∙ n3

3n|

limn→∞|[(−1)n ∙(−1)∙ (n+1 )3 ∙3n

(−1)n ∙n3 ∙3n ∙3 ]|limn→∞|−1

3∙( n+1

n )3|

limn→∞

13∙(1+ 1

n )3

=13<1

Laserie convergeabsolutamenteOBSERVACION:

1 Presentación adecuada del trabajo

Considera la evaluación de la redacción, ortografía, y presentación del trabajo en este formato. Valor: 2 puntos

13

∑n=1

+∞(−1 )n n

3

3n