Trabajo 1est

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Estadística III 3009137, semestre 02 de 2013

Equipo de Trabajo No. 12 Serie No. 09 Curso: Ma – Ju

ANALISIS DE SERIE DE TIEMPO: TENDENCIA Y ESTACIONALIDAD

Sara Bustamante1, Kevin Giraldo2, y Luis Fernando Lorduy3

Fecha de entrega: 11 de octubre de 2013

Resumen

Este trabajo se realiza con el propósito de analizar una serie de tiempo y obtener resultadossobre el comportamiento de ésta, con el fin de reducir la incertidumbre y mejorar así la toma dedecisiones. La serie a analizar será el Índice de Fabricación de Calzado en Colombia entreEnero de 2001 y Octubre de 2012, a la cual se le ajustarán modelos para las componentes

identificadas. Se observará si los modelos propuestos se ajustan a la dinámica de la serie y siarrojan pronósticos acertados y confiables. Una vez seleccionado el modelo que cumpla conestas características se evaluará si sus predicciones son congruentes con la serie y los valoresobservados de ésta. Finalmente el modelo que cumpla con las características mencionadas seráseleccionado como el mejor modelo para ajustar, pronosticar y predecir los datos de la serie.

Palabras claves: Serie de tiempo, modelo, patrón, ajuste, pronóstico.

1. INTRODUCCIÓN

El análisis de seres de tiempo es una herramienta que ayuda a estimar el comportamiento en elfuturo de un suceso documentado cuantitativa e históricamente durante un determinado periodo detiempo. Dicho análisis se realiza considerando no solo los valores observados sino también elcontexto y los eventos relacionados con el objeto de estudio, ya que las series de tiempo sonsensibles a los cambios sociales, políticos, culturales y en general a cualquier tipo de intervenciónque se haga sobre ellas.

Para el caso particular de este trabajo se realiza el siguiente análisis de serie de tiempo con elobjetivo de afianzar los conceptos estudiados durante la asignatura Estadística III y concluir a cerca

los resultados obtenidos utilizando las diferentes funciones y librerías disponibles en el software deuso libre R.

1 Estudiante Ingeniería Industrial, Universidad Nacional de Colombia – Sede Medellín.2 Estudiante Ingeniería Industrial, Universidad Nacional de Colombia – Sede Medellín.3 Estudiante Ingeniería Administrativa, Universidad Nacional de Colombia – Sede Medellín



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2. DESARROLLO

Puntos Básicos

2.1. ESTUDIO DESCRIPTIVO

La serie muestra el Índice de Fabricación de Calzado en Colombia, medido por el DANE mes a mesdesde enero de 2001 hasta octubre de 2012.

Definición: Índice de fabricación de calzado en Colombia. Frecuencia de observación: Mensual. Unidad o escala de medida de los datos: Sin unidades Periodo de estudio: Enero de 2001 hasta Octubre de 2012.

Fuente que genera o publica los datos: Departamento Administrativo Nacional de Estadística

(DANE)

Para comenzar con el análisis de la serie es pertinente observar primero los datos de ésta, los cualesse muestran a continuación:

Tabla 1: Datos de la serie de tiempo “Fabricación de Calzado” con datos mensuales.

Ene Feb Mar Abril Mayo Jun Jul Ago Sept Oct Nov Dic

2001 72.8 83.0 94.6 99.8 103.4 90.8 89.1 90.7 95.0 123.2 140.1 117.52002 74.7 76.2 78.7 103.7 100.7 86.6 87.9 88.6 95.3 119.2 136.4 132.12003 69.9 85.6 93.2 105.8 112.1 90.1 100.5 86.8 116.6 128.5 131.5 124.72004 73.7 95.1 115.7 116.4 111.5 105.9 87.2 91.6 95.1 128.4 145.9 120.52005 80.2 89.5 90.6 113.9 96.8 99.4 90.7 109.6 106.4 135.2 136.5 109.52006 68.5 70.5 97.4 99.1 104.7 98.9 93.5 105.1 112.3 132.7 134.4 145.32007 82.6 92.4 116.0 112.3 113.7 108.3 104.7 110.9 115.1 152.0 161.2 129.92008 66.4 99.8 90.0 117.7 96.8 94.7 104.4 99.1 119.4 157.4 133.6 147.62009 63.1 91.1 102.9 94.9 94.1 88.1 96.6 95.8 112.7 127.3 130.0 116.72010 64.2 79.3 108.3 104.8 105.4 111.4 112.4 129.5 139.9 143.5 158.3 135.72011 88.2 113.7 129.0 125.9 146.9 129.6 141.1 152.9 167.3 168.0 156.6 152.12012 99.6 132.4 150.1 142.0 149.3 120.4 136.5 149.2 143.7 169.1



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Figura 1: Serie del índice de Fabricación de Calzado en Colombia.

En la Figura 1 se aprecia el comportamiento del índice de fabricación de calzado en Colombiaentre Enero de 2001 y Octubre de 2012. Es evidente que la tendencia es creciente y se puedemodelar con un polinomio, también hay evidencia de estacionalidad dado el patrón que se repiteconstantemente cada año a lo largo del tiempo. Con respecto a la varianza de los datos, en la gráficaésta puede interpretarse como constante ya que el tamaño de los picos de la gráfica de la serie(desde el menor valor hasta el máximo) es aproximadamente igual y por lo tanto es convenientedescomponer la serie de forma aditiva. Aunque la varianza parece ser constante es apropiadorealizar una comparación del grafico del error que arroja la función decompose() para la serieaditiva y para el logaritmo de la serie.

Figura 2: Comparación entre el error de la serie y el error del logaritmo de la serie



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Es claro que la Figura 4 confirma la presencia de estacionalidad ya que la media mensual cambiacon respecto al mes, por lo tanto se modelará la serie con tendencia y estacionalidad. Laestacionalidad será modelada con variables indicadoras ya que el patrón que se repite anualmentees estable en el tiempo. También se evidencia la presencia de datos atípicos, los cuales causaninconvenientes en el modelamiento de la serie.

2.2. IDENTIFICACIÓN DE MODELOS

Después del análisis anterior la serie de tiempo del índice de Fabricación de Calzado en Colombiase puede modelar así:

, (1)

En la ecuación (1) representa el índice de Fabricación de calzado en Colombia, la componentede tendencia, la componente de estacionalidad y el error. Donde distribuye normal con

media cero y varianza constante.

Modelo 1

(2)

La ecuación (2) corresponde al Modelo 1 que está caracterizado por ser una regresión global contendencia cubica y estacionalidad mensual determinística con indicadoras.

Modelo 2

, (3)

La ecuación (3) corresponde al Modelo 2 que está caracterizado por ser una regresión global contendencia grado 4 y estacionalidad mensual determinística con indicadoras.

Modelo 3

, (4)

La ecuación (4) corresponde al Modelo 3 que está caracterizado por ser una regresión global contendencia grado 5 y estacionalidad mensual determinística con indicadoras

2.3. VALIDACIÓN CRUZADA DE LOS MODELOS



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Para realizar la validación cruzada se dejaron por fuera del ajuste, los m=12 últimos datos, ya que esimportante respetar y mantener el orden cronológico de la serie, los datos corresponden a un año,esto por la presencia de estacionalidad en la serie con periodo 12 meses (1 año). Dado el tamaño demuestra es posible que al dejar por fuera estos datos se comprometa la calidad del ajuste de losmodelos antes propuestos. En total son 142 observaciones, se toman 12 para pronóstico y por lo

tanto quedan 130 observaciones para realizar el ajuste.

Modelo 1

Tabla 2: Tabla de parámetros estimados para el Modelo 1 con ecuación (2).

Parámetro Estimación Error estándar Valor || ||

β0 β1 β2 β3

(5)

La ecuación (5) corresponde a la ecuación estimada del Modelo 1 que se caracteriza por tenertendencia cubica y estacionalidad con indicadoras.

Es importante probar la significancia de todo el modelo mediante la siguiente prueba de hipótesis:

Estadístico de prueba F:



7

Valor p:

Ya que valor p es muy pequeño y por tanto la probabilidad de equivocarse al rechazar la hipótesisnula es muy baja, se rechaza y se concluye que el Modelo 1 es significativo para el ajuste de la

serie.

Es de particular interés probar la significancia del parámetro más relevante para la tendencia que para este modelo es , por esto se realiza la siguiente prueba de hipótesis:

Estadístico de prueba t:

[]

Utilizando el valor p.

||

Ya que es muy pequeño y por lo tanto la probabilidad de equivocarse al rechazar la hipótesis

nula es muy baja, se rechaza y se concluye que es significativo y por lo tanto la tendenciatambién es significativa. Sin embargo para la estacionalidad es necesario realizar una prueba comola anterior para cada una de las indicadoras con el fin de probar su significancia, la prueba dehipótesis correspondiente para cada es:

Al menos uno ≠ 0


[]

Valor p:

||

Los valores correspondientes para cada y se encuentran en la Tabla 2 en la cuarta y quinta

columna respectivamente, al analizar estos valores se puede concluir que se puede rechazar paratodas las indicadoras excepto para ya que existe aproximadamente un 11.39% de probabilidadde equivocarse rechazando y como esta probabilidad es bastante alta, no se rechaza y seconcluye que no es significativa para el modelamiento de la estacionalidad. Aunque laindicadora para el mes de Octubre no sea significativa para el modelamiento de la estacionalidad noes necesario retirarla del modelo ya que basta con que una de las indicadoras sea significativa paraque la estacionalidad lo sea.



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Algunas de las variables indicadoras pueden interpretarse de la siguiente manera:

En promedio el Índice de Fabricación de Calzado en Colombia para el mes de Enerodisminuye 53.68 unidades respecto al promedio del Índice de Fabricación de Calzado en Colombia

para el mes de Diciembre.

En promedio el Índice de Fabricación de Calzado en Colombia para el mes de Juniodisminuye 28.37 unidades respecto al promedio del Índice de Fabricación de Calzado en Colombia para el mes de Diciembre.

En promedio el Índice de Fabricación de Calzado en Colombia para el mes de Noviembreaumenta 1.316 unidades respecto al promedio del Índice de Fabricación de Calzado en Colombia para el mes de Diciembre.

Modelo2



β0 β1 β2 β3 β4

(6)



9

La ecuación (6) corresponde a la ecuación estimada del Modelo 2 que se caracteriza por tenertendencia grado 4 y estacionalidad con indicadoras.



Valor p:

Ya que valor p es muy pequeño y por tanto la probabilidad de equivocarse al rechazar la hipótesisnula es muy baja, se rechaza y se concluye que el Modelo 2 es significativo para el ajuste de laserie.

Similar a las pruebas realizadas anteriormente es importante probar la significancia del parámetromás relevante para la tendencia que para el Modelo 2 es , para esto se realiza la siguiente pruebade hipótesis:


[]

Utilizando el valor p,

||


nula es muy baja, se rechaza y se concluye que es significativo y por lo tanto la tendenciatambién es significativa. Sin embargo para la estacionalidad es necesario realizar una prueba como

la anterior para cada una de las indicadoras con el fin de probar su significancia, la prueba dehipótesis correspondiente para cada es:

Al menos uno ≠ 0




10

[]

Valor p,

||


columna respectivamente, al analizar estos valores se puede concluir que se puede rechazar paratodas las indicadoras excepto para ya que existe aproximadamente un 14.34% de probabilidadde equivocarse rechazando y como esta probabilidad es bastante alta, no se rechaza y seconcluye que no es significativa para el modelamiento de la estacionalidad. Aunque laindicadora para el mes de Octubre no sea significativa para el modelamiento de la estacionalidad noes necesario retirarla del modelo ya que basta con que una de las indicadoras sea significativa paraque la estacionalidad lo sea.


En promedio el Índice de Fabricación de Calzado en Colombia para el mes de Enerodisminuye 54.90 unidades respecto al promedio del Índice de Fabricación de Calzado en Colombia para el mes de Diciembre.



Modelo 3



β0

β1 β2 β3 β4 β5



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(7)

La ecuación (7) corresponde a la ecuación estimada del Modelo 3 que se caracteriza por tenertendencia grado 5 y estacionalidad con indicadoras.



Valor p:

Ya que valor p es muy pequeño y por tanto la probabilidad de equivocarse al rechazar la hipótesisnula es muy baja, se rechaza y se concluye que el Modelo 3 es significativo para el ajuste de laserie.

Similar a las pruebas realizadas anteriormente es importante probar la significancia del parámetromás relevante de la tendencia en el Modelo 3 que es , para esto se realiza la siguiente prueba dehipótesis:




12

[]


||


nula es muy baja, se rechaza y se concluye que es significativo y por lo tanto la tendenciatambién es significativa. Sin embargo para la estacionalidad es necesario realizar una prueba paracada una de las indicadoras con el fin de probar su significancia, la prueba de hipótesiscorrespondiente para cada es:

Al menos uno ≠ 0


[]


||


columna respectivamente, al analizar estos valores se puede concluir que se puede rechazar para

todas las indicadoras excepto para ya que existe aproximadamente un 17.38% de probabilidadde equivocarse rechazando y como esta probabilidad es bastante alta, no se rechaza y seconcluye que no es significativa para el modelamiento de la estacionalidad. Aunque laindicadora para el mes de Octubre no sea significativa para el modelamiento de la estacionalidad noes necesario retirarla del modelo ya que basta con que una de las indicadoras sea significativa paraque la estacionalidad lo sea.


En promedio el Índice de Fabricación de Calzado en Colombia para el mes de Enerodisminuye 54.34 unidades respecto al promedio del Índice de Fabricación de Calzado en Colombia para el mes de Diciembre.




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2.4. MEDIDAS DE AJUSTE

Se usan criterios BIC y AIC para comparar la medida de ajuste de cada modelo y poder seleccionarcual es el mejor. Los criterios BIC y AIC escogen modelos parsimoniosos, es decir con menos parámetros y con mínima varianza. A continuación se muestran las ecuaciones que definen cadauno de estos criterios:

El es una medida de bondad de ajuste y un modelo es mejor en tanto su se aproxime a 1.

La ecuación del es:

Tabla 5: AIC, BIC y R 2ajustado para cada uno de los modelos propuestos.

AIC BIC

Modelo 1 0.7901 999.0699 1044.95

Modelo 2 0.8298 972.699 1021.447Modelo 3 0.8371 667.8006 1019.416

En la Tabla 8 se observan los valores de los criterios , AIC y BIC para cada uno de los

modelos propuestos para el ajuste de la serie. Para cualquiera de los criterios, el mejor modelosiempre es el Modelo 3, es decir el modelo grado 5 con ecuación (2), sin embargo los criterios BIC

y , no cambian mucho con respecto al Modelo 2 y esto es importante, ya que lo ideal es un

modelo con menos parámetros y que explique igual de bien la serie de tiempo. En general no hayuna diferencia significativa entre los criterios para cada modelo excepto en el criterio AIC para el

Modelo 2 y el Modelo 3 donde se evidencia un aumento notorio del ajuste.

A continuación se presentan las gráficas de la serie versus los modelos propuestos:



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Modelo 1

Figura 5: Grafica de la serie original vs serie ajustada por el Modelo 1 (color rojo).

Modelo 2

Figura : Grafica de la serie original vs serie ajustada por el Modelo 2 (color rojo).

Modelo 3



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Figura 7: Grafica de la serie original vs serie ajustada por el Modelo 3 (color rojo).

2.5. ANALISIS DE RESIDUALES Y VALIDACIÓN DE SUPUESTOS

Modelo 1

Figura 8: Grafico de Residuales vs tiempo; Gráfico de Residuales vs Ajustados para la serieajustada con el Modelo 1

Sobre la idoneidad de los supuestos, se concluye analizando en la Figura 8 el Grafico de Residualesvs Tiempo (izquierda) que el supuesto de independencia de los errores no se cumple por la evidente



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presencia de ciclos a lo largo de la gráfica, estos ciclos se observan por los largos periodos en que lagráfica esta encima o debajo de la línea cero. En cuanto al supuesto de varianza constante, en elGráfico de Residuales vs Predichos (derecha) de la Figura 8 no hay evidencia fuerte en contra delsupuesto.

Modelo 2

Figura 9: Grafico de Residuales vs tiempo y Gráfico de Residuales vs Ajustados para la serieajustada con el Modelo 2

A partir del análisis del Gráfico de Residuales vs Tiempo (izquierda) de la Figura 9 se puede

concluir que existe evidencia de ciclos y por lo tanto no se cumple el supuesto de independencia delos errores y aunque con respecto al mismo gráfico en la Figura 8 se nota una mejoría en el ajusteeste no es muy significativo. Con relación al análisis del Grafico de Residuales vs Ajustados(derecha) de la Figura 9 no hay evidencia fuerte en contra del supuesto de varianza constante.



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Modelo 3

Figura 10: Grafico de Residuales vs tiempo y Gráfico de Residuales vs Ajustados para la serie ajustada conel Modelo 3

Al analizar el Gráfico de Residuales vs Tiempo (izquierda) de la Figura 10 se puede concluir queexiste evidencia de ciclos y por lo tanto no se cumple el supuesto de independencia de los errores,aunque se compare con el mismo gráfico en la Figura 8 donde se nota una mejoría en el ajuste ycon el mismo grafico en la Figura 9 donde prácticamente se observa la misma gráfica, no se notauna mejora significativa. Con relación al análisis del Grafico de Residuales vs Ajustados (derecha)de la Figura 10 no hay evidencia fuerte en contra del supuesto de varianza constante.

Como conclusión general se aprecia que el supuesto de independencia de los errores no se cumple para ninguno de los modelos antes propuestos por la fuerte presencia de ciclos, aunque está se veaalgo mejorada al pasar del Modelo 1 al Modelo 2 no es una mejora considerable, sin embargo losciclos persisten en todos los modelos y ninguno logró mejorarlos significativamente; y en el análisisde los Residuales vs Predichos para el supuesto de varianza constante en ninguno de los modelo seencontró una evidencia fuerte en contra del supuesto.

2.6. PRONÓSTICOS PUNTUALES

Para cada una de las ecuaciones siguientes m representa el número de periodos a pronosticar y laindicadora correspondiente al periodo m. Los valores que se dejaron por fuera para la validacióncruzada fueron 12, por lo que m solo tomará valores entre 1 y 12; y los pronósticos serán desde laobservación 131 (Noviembre de 2011) hasta la 142 (Octubre de 2012). A continuación se presentanlos pronósticos de cada modelo para los siguientes 130 + m periodos:

Modelo 1



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La expresión para los pronósticos puntuales realizados con el ajuste del Modelo 1 es:

Tabla 6: Pronóstico puntual e intervalos del 95% para cada uno de los 130 + m datos.

Año m Real Pronóstico Límite inf. Límite sup.

Nov 2011 1 156.6 175.5706 152.24335 198.8979Dic 2011 2 152.1 164.1098 140.64593 187.5737Ene 2012 3 99.6 112.1744 88.56733 135.7814Feb 2012 4 132.4 129.2156 105.44682 152.9845Mar 2012 5 150.1 143.4204 119.47554 167.3653Abril 2012 6 142.0 152.0068 127.87093 176.1428Mayo 2012 7 149.3 152.8113 128.4686 177.154

Jun 2012 8 120.4 146.9247 122.35871 171.4908 *Jul 2012 9 136.5 148.9562 124.14964 173.7627Ago 2012 10 149.2 155.4148 130.34975 180.4798Sept 2012 11 143.7 167.555 142.21292 192.8971Oct 2012 12 169.1 191.1769 165.53847 216.8154

Al comparar los intervalos observados en la Tabla 6 para cada periodo se observa que todos losvalores reales se encuentran en ellos a excepción del pronóstico para m=8, es decir Junio de2012, en este periodo el pronóstico es particularmente alto con una diferencia de 26.5247 entreel ajuste y el valor real. Los intervalos de pronóstico no son tan precisos como se desearía, yaque en promedio la diferencia entre el límite inferior y el superior es de 48,668 y se considera

una diferencia importante para el pronóstico de un índice.

Modelo 2


Tabla 7: Pronóstico puntual e intervalos del 95% para cada uno de los 130 + m datos.Año m Real Pronóstico Límite inf. Límite sup.

Nov 2011 1 156.6 190.8765 169.0945 212.6586Dic 2011 2 152.1 181.6129 159.4811 203.7447 *Ene 2012 3 99.6 130.7984 108.4154 153.1814 *Feb 2012 4 132.4 150.4735 127.6252 173.3217Mar 2012 5 150.1 167.4389 144.0616 190.8162



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Abril 2012 6 142.0 178.9186 154.9447 202.8925 *Mayo 2012 7 149.3 182.7545 158.1129 207.3961 *Jun 2012 8 120.4 180.0432 154.6595 205.4268 *Jul 2012 9 136.5 185.3994 159.1962 211.6026 *Ago 2012 10 149.2 195.3378 168.2349 222.4408 *

Sept 2012 11 143.7 211.1187 183.0331 239.2044 *Oct 2012 12 169.1 238.5477 209.3943 267.7011 *

En la Tabla 7 se observa que la mayoría de los periodos pronosticados no contienen en susintervalos el valor real de la serie, y siempre los pronósticos son por encima del valor real paracada periodo. Los intervalos de pronóstico de este modelo son en promedio mucho más ampliosque los del Modelo 1 por lo tanto se evidencia que su precisión es mucho menor.

Modelo 3


Tabla 8: Pronóstico puntual e intervalos del 95% para cada uno de los 130 + m datos.

Año m Real Pronóstico Límite inf. Límite sup.

Nov 2011 1 156.6 198.6845 176.484 220.885 *Dic 2011 2 152.1 191.1819 168.224 214.1398 *

En 2012 3 99.6 142.8798 118.9543 166.8054 *Feb 2012 4 132.4 164.5674 139.5445 189.5903 *Mar 2012 5 150.1 183.7642 157.4429 210.0855 *Abril 2012 6 142.0 197.7033 169.8667 225.54 *Mayo 2012 7 149.3 204.2363 174.6532 233.8194 *Jun 2012 8 120.4 204.4698 172.8969 236.0426 *Jul 2012 9 136.5 213.0289 179.2122 246.8456 *Ago 2012 10 149.2 226.4392 190.1152 262.7632 *Sept 2012 11 143.7 245.9721 206.8691 285.0752 *Oct 2012 12 169.1 277.445 235.2831 319.6068 *

Los pronósticos del Modelo 3 observados en la Tabla 8 son malos, todos los pronósticosestán muy por encima del valor real y ninguno de los intervalos se acerca un poco al valorde la serie para cada periodo. Como era de esperarse la precisión de los intervalos es muy baja y aún más cuando se comparan estos intervalos con los obtenidos en los pronósticoscon los modelos anteriores.



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Tabla 9: MAPE para cada uno de los modelos propuestos

MAPE

Modelo 1 9.48887Modelo 2 29.20784

Modelo 3 44.30592

Figura 9: Gráfica de los datos reales y los pronósticos de cada modelo para el periodo decomparación

En la Tabla 9 se observa que el modelo con el menor MAPE es el Modelo 1, que presenta una

diferencia bastante significativa con respecto a los demás y por lo tanto es el modelo que mejor pronósticos arroja, sin embargo la Figura 9 es mucho más clara ya que en ella se pueden ver los3 modelos y sus respectivos pronósticos para cada uno de los periodos. Aunque el Modelo 1 tiene algunos datos que están alejados del valor real, en general se obtienen buenos pronósticos;todo esto contrasta bastante con las curvas para el Modelo 2 y el Modelo 3 siendo este últimoel que peor pronostica ya que sus valores están más alejados por encima de los valores reales.

2.7. SELECCIÓN DE MODELO

Antes de elegir el mejor modelo es importante considerar los criterios para la selección de este. Elmodelo debe tener buen ajuste pero es prioridad que pronostique bien ya que estos análisis de seriesde tiempo se realizan con la finalidad de tomar decisiones acertadas en el futuro y disminuir laincertidumbre.



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Tabla 10: Medidas de Ajuste y pronóstico para cada uno de los modelos propuestos

MAPE AIC BIC

Modelo 1 9.48887 0.7901 999.0699 1044.95Modelo 2 29.20784 0.8298 972.699 1021.447Modelo 3 44.30592 0.8371 667.8006 1019.416

Al analizar los datos de la Tabla 10 se observa que el modelo que mejor ajusta es el Modelo 3, pero este tiene los peores pronósticos y aunque cumple con el criterio de ajuste no es útil para losfines del análisis, en tanto que el Modelo 1 aunque pronostica bien hace un mal ajuste comparadocon los otros modelos, sin embargo esta diferencia de ajuste no es muy significativa cuando seobserva el criterio BIC, ya que lo ideal es que el modelo tenga la menor cantidad de parámetros posibles. El Modelo 2 aunque ofrece un ajuste intermedio entre los modelos anteriores tiene unMAPE tres veces mayor al del Modelo 1, lo cual es lo bastante significativo como para serconsiderado un mal modelo para pronóstico.

Dado el análisis anterior se escoge al Modelo 1 como el mejor modelo para el ajuste y pronósticode la serie Índice de Fabricación Mensual de Calzado en Colombia entre Enero de 2001 y Octubrede 2012, no obstante es apropiado comparar la estimación de los parámetros del Modelo 1 conrespecto al ajuste con la serie recortada y la serie completa.

Tabla 11: Tabla de parámetros estimados con todos los datos de la serie para el Modelo 1


β 0 β 1 β 2 β 3

De la Tabla 2 y la Tabla 11 se extraen los valores estimados de cada parámetro para el Modelo 1 con la serie recortada y sin recortar.

Tabla 12: Estimación de los parámetros del Modelo 1 con la serie recortada y sin recortar



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Parámetro Estimación(Serie recortada)

Estimación(Serie completa)

β0 β1 β2 β3

En la Tabla 12 se puede observar que los valores estimados para los parámetros difieren conrespecto al número de observaciones utilizadas. Se sabe además que cuantos menos observacionesse utilicen para el modelamiento de la serie peor será su ajuste, por lo que el hecho de que para elmismo modelo cambiar la cantidad de observaciones signifique un cambio apreciable en laestimación de los parámetros evidencia un deterioro en el modelamiento de la componente asociadaa estos, dado que los pronósticos se hacen con la ecuación ajustada del modelo recortado. Los parámetros que cambiaron con respecto al número de observaciones fueron los asociados alcomponente de tendencia, ya que para la estacionalidad se observa que los valores no difierensignificativamente.

La expresión para las predicciones con el ajuste del Modelo 1 para 142+L datos es:

De donde L significa los periodos a predecir por fuera de la serie y que en este caso son 12 y laindicadora correspondiente al periodo L. Las predicciones serán desde la observación 143(Noviembre de 2012) hasta la 154 (Octubre de 2013). A continuación se presentan las predicciones

del Modelo 1 para los siguientes 142+L periodos por fuera de la serie:

Tabla 13: Predicciones e intervalos de confianza del 95% para el Modelo 1.

Año L Predicción Límite inf. Límite sup.

Nov 2012 1 185.9642 162.82058 209.1079

Dic 2012 2 175.2464 151.98903 198.5037En 2013 3 123.2319 99.85709 146.6067



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Feb 2013 4 141.6975 118.18972 165.2053

Mar 2013 5 156.2983 132.64665 179.95

Abril 2013 6 163.5926 139.78567 187.3995

Mayo 2013 7 165.0303 141.05623 189.0044

Jun 2013 8 157.3116 133.15778 181.4654

Jul 2013 9 160.5947 136.24813 184.9412Ago 2013 10 167.6462 143.09341 192.199

Sept 2013 11 178.3829 153.60977 203.1561

Oct 2013 12 202.2131 177.20503 227.2212

En la Tabla 13 se puede observar que los valores predichos siguen el patrón de tendencia crecientey a su vez también siguen los patrones de estacionalidad, es decir, en Enero se presenta el menorvalor durante todo el año y luego la serie empieza a crecer hasta Marzo donde decrece muylevemente hasta Junio, de allí los valores de la serie para el resto de meses comienza a aumentarhasta Octubre donde alcanza su máximo para decrecer de nuevo hasta Enero. Estos patrones de

crecimiento y decrecimiento son justificados por fenómenos sociales y económicos, tales como el pago de prima de servicios al personal de las empresas en Junio y Diciembre, y la celebración defiestas navideñas, ambos fenómenos involucran un aumento en los patrones de consumo y por lotanto la industria debe responder aumentando la producción durante los meses previos a Junio yDiciembre, y disminuyéndola durante los meses posteriores a Diciembre .

Figura 10: Grafico de pronósticos para los 142 + L datos

El patrón mencionado anteriormente se puede observar en la Figura 10 donde se nota que para los primeros dos datos predicho: Noviembre de 2012 y Diciembre de 2012 los valores decrecenrápidamente hasta Enero, crecen hasta Mayo para estabilizarse, decaer un poco y volver a alcanzarsu máximo en Octubre de 2013 que es el último valor predicho y en efecto el mayor de todos.



24

2.8. ANALISIS DE ESTABILIDAD

En el modelamiento de series es importante analizar la estabilidad en el tiempo de los parámetrosque conforman el modelo seleccionado, esto con el fin de que a largo plazo el modelo explique deforma adecuada los datos para mejorar la toma de decisiones y hacer que estas sean lo másacertadas posibles. A continuación se realizan una serie de análisis y pruebas con el fin de probar silos parámetros considerados en el Modelo 1 son estables o si cambian a medida que pasa el tiempo.

Figura 11: Grafico de Residuales Recursivos Estandarizados y Grafica CUSUM para los parámetros del Modelo 1.

En la Figura 11 en el Grafico de Residuales Recursivos Estandarizados evidencia que el supuestode estabilidad de los parámetros no se cumple ya que los residuales presentan periodos largos porencima o por debajo de la línea de cero lo que arroja evidencia de fuerte presencia de ciclos. Elgráfico CUSUM es más contundente porque el grafico se aleja de la línea cero hacia los limitescríticos mostrando un patrón de tendencia, evidenciando con esto que claramente los parámetroscambian con respecto al tiempo.

A continuación se muestran las gráficas de las Estimaciones Recursivas para cada uno de los parámetros del Modelo 1



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Figura 12: Grafico de las Estimaciones Recursivas para

El comportamiento de la estimación del parámetro que se observa en la Figura 12 es incierto, pues dentro de las observaciones no converge rápidamente a la línea de referencia y solo se acerca aesta en la última estimación.


El comportamiento de la estimación del parámetro que se observa en la Figura 13 es incierto, pues dentro de las observaciones no converge rápidamente a la línea de referencia y solo se acerca aesta en la última estimación.



26


El comportamiento de la estimación del parámetro que se observa en la Figura 14 es incierto, pues la escala de los datos no permite hacer inferencias o concluir sobre la estabilidad del parámetro.


El comportamiento de la estimación del parámetro que se observa en la Figura 15 es incierto, pues la escala de los datos no permite hacer inferencias o concluir sobre la estabilidad del parámetro.



27


El comportamiento de la estimación del indicador que se observa en la Figura 16 es incierto, pues dentro de las observaciones no converge rápidamente a la línea de referencia y solo se acerca aesta en las últimas estimaciones.


En la Figura 15 se observa que la estimación del parámetro converge rápidamente y hay presencia de horizontalidad, por lo tanto el parámetro es constante en el tiempo.



28







29







30







31







32


En la Figura 26 se observa que la estimación del parámetro converge rápidamente y hay presencia de horizontalidad, por lo tanto el parámetro es constante en el tiempo.

Después del análisis de estimaciones recursivas para cada uno de los parámetros del Modelo 1 seconcluye que el vector de parámetros no es estable ya que al menos uno de los parámetros no esconstante con el tiempo.

Por último, se considera la siguiente prueba de hipótesis para el Test CUSUM:

(

)



33

Donde

El Modelo 1 bajo :

Y el Modelo 1 bajo

Estadístico de prueba:

√

Tabla 14: Test CUSUM para el Modelo 1

Estadístico Valor P Metódo

S 0.7973 0.1406 Recursive CUSUM Test



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En la Tabla 14 se aprecia que el Valor P es muy grande, por lo tanto se acepta y se concluye queel vector de parámetros no cambia con el tiempo. El test CUSUM solo rechaza si la gráfica

CUSUM corta alguno los límites críticos y en la Figura 11 se evidencia que no lo hace, por lo tantosi se hiciera este test sin un análisis simultaneo de su grafica se daría por concluido que los parámetros no cambian, cuando en realidad por análisis en grafico se concluye todo lo contrario.

Después del análisis gráfico y del Modelo 1 se concluye que el vector de parámetros no es estableya que al menos uno de los parámetros no es constante con el tiempo.

3. PUNTO PARTICULAR

3.1. SUAVIZAMIENTO

Para la serie del Índice de Fabricación de Calzado en Colombia se realizaron ajustes, pronósticos y predicciones con modelos que consideran un modelamiento de tendencia global y parámetros

constantes, pero la tendencia también puede ser modelada localmente y los parámetros puedencambiar lentamente con respecto al tiempo. Para hacer un análisis de la serie considerando parámetros que cambian con el tiempo se hace uso del suavizamiento Holt Winters Aditivo paraajustar, pronosticar y predecir la serie.

La serie se puede modelar como , donde es definida por 12

factores estacionales, y para el caso aditivo ∑ . Dado lo anterior se propone el siguiente modelo:

Modelo 4

(7)

La ecuación (7) corresponde al Modelo 4 que está caracterizado por ser un suavizamiento conestacionalidad mensual determinística con indicadoras.

Tabla 15: Parámetros del suavizamiento y sus respectivos valores óptimos

Parámetro Valor optimo

En la Tabla 15 se observan los valores para los parámetros del suavizamiento Holt Winters aditivo,los cuales minimizan el MSE de la regresión.



35

Tabla 16: Tabla de parámetros estimados para el Modelo 4

Parámetro Estimación

β0 β1

A continuación se presenta la ecuación de pronóstico para el Modelo 4 usando los valoresobtenidos para cada parámetro en la Tabla 16.

.

Tabla 17: Comparación AIC, BIC y MAPE para el Modelo 1 y el Modelo 4

AIC BIC MAPE

Modelo 1 4.831892 5.162761 9.48887

Modelo 4 4.903696 5.208941 9.28929

En la Tabla 17 se puede observar que los valores para los criterios AIC, y BIC del Modelo 1 sonmenores que los mismos para el Modelo 4, por lo cual se concluye que el Modelo 1 ajusta mejorlos datos de la serie. El MAPE selecciona al Modelo 4 como el mejor en pronóstico, por lo que seconcluye que el suavizamiento Holt Winters Aditivo mejoro algunas de las falencias de pronósticoque presentaba el mejor modelo global sin embargo estas mejoras no son muy significativas.



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Figura 27: Gráfico de Residuales vs Tiempo y Residuales vs Ajustados para el Modelo 4

En el gráfico de Residuales vs Tiempo (izquierda) de la Figura 27 se observa que la presencia deciclos disminuye en comparación con los Residuales vs Tiempo del Modelo 1 (Figura 8,izquierda) sin embargo esto podría ser contradictorio con los criterios AIC y BIC donde el Modelo4 no es seleccionado como el mejor, pero al analizar con cuidado la Figura 28 es posible observarque aunque el Modelo 4 se adapta mejor a los posibles ciclos, en la mayoría de los casos sobrepasael valor observado en los picos de la serie, por lo tanto aunque se evidencie una disminución de los patrones cíclicos no necesariamente se aumentó la calidad del ajuste y por esto el mejor en ajuste esel mejor modelo global. En el gráfico de Residuales vs Ajustados (derecha) no hay evidencia fuertede que no se cumpla el supuesto de varianza constante.

Figura 28: Gráfico de la serie real y de los ajustes para el Modelo 1 y el Modelo 4.



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Figura 28: Grafico de los datos reales y los pronósticos para el Modelo 1 y el Modelo 4

A continuación se hace un análisis de la Figura 28 y de la Figura 29 donde se puede observar queel Modelo 1 y el Modelo 4 ajustan y hacen pronósticos muy similares, sin embargo es de destacarque en el último pronóstico el Modelo 4 se acercó mucho más al valor real que el Modelo 1 y esto pudo ocasionar la pequeña diferencia que se nota en el valor MAPE de ambos modelos.

Tabla 18: Predicciones e intervalos de confianza del 95% para el Modelo 4

Año L Predicción Límite inf. Límite sup.

Nov 2012 1 179.0623 158.72532 199.3992

Dic 2012 2 166.8121 145.48684 188.1373En 2013 3 111.9905 89.67863 134.3024

Feb 2013 4 133.5828 110.2847 156.8808

Mar 2013 5 148.514 124.22934 172.7987

Abril 2013 6 149.8834 124.61094 175.1559

Mayo 2013 7 154.7659 128.50377 181.0281

Jun 2013 8 147.4273 120.17299 174.6816

Jul 2013 9 151.9107 123.66133 180.16

Ago 2013 10 158.3354 129.08768 187.5832

Sept 2013 11 168.4025 138.15264 198.6524

Oct 2013 12 180.6006 149.34456 211.8567

En la Tabla 18 se puede observar que los valores predichos siguen el patrón de tendencia crecientey a su vez también siguen los patrones de estacionalidad, sin embargo al comparar los valores conlos de la Tabla 13 de predicciones con el Modelo 1 se concluye que los valores obtenidos porModelo 4 son menos altos y por lo tanto son más precisos y confiables.



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4. CONCLUSIONES

RESUMEN

En el análisis de la serie “Índice de Fabricación de Calzado en Colombia” con observaciones desdeEnero de 2001 hasta Octubre de 2012 se obtuvo que para el modelamiento de la serie era necesarioconsiderar tanto la componente de tendencia como la de estacionalidad. Para la tendencia fuenecesario ajustar polinomios desde grado 3 hasta grado 5, no se propusieron polinomios de gradomás alto ya que no era pertinente porque estos polinomios modelan la componente de ciclos, que para los propósitos de este trabajo no se tiene en cuenta ya que se asumen como parte de lacomponente de error. Se encontró además que la serie poseía estacionalidad, esto por el patrón periódico observado durante cada año calendario en los datos de la serie, este patrón permaneceestable en el tiempo por lo que era adecuado modelar la componente estacional con variablesindicadoras. Adicionalmente se concluyó que no se tienen la información suficiente como parahablar de intervenciones en la serie.

Para cada modelo propuesto se concluyó que tanto la tendencia como la estacionalidad eransignificativas, por lo que al proceder a comparar las medidas de ajuste se obtuvo que el mejormodelo fue el Modelo 3, sin embargo este modelo no tenía el menor MAPE, lo que significa queaunque el modelo ajuste bien no es tan bueno como otros para los pronósticos; para los propósitosde este trabajo se considera mejor un modelo con menor MAPE respecto de otros que tengan unamejor calidad de ajuste. Por lo tanto se seleccionó el Modelo 1 como el mejor, por tener los mejores pronósticos entre los tres modelos antes propuestos. Luego para el mejor modelo global serealizaron análisis de los gráficos y del test CUSUM para probar si los parámetros del modelo permanecían estables respecto al tiempo; en los análisis algunos parámetros eran constantes pero basta con que al menos uno no lo sea para concluir que el vector de parámetros para el Modelo 1 noes constante y por lo tanto los parámetros cambian a medida que pasa el tiempo. Una vez concluidoque los parámetros del mejor modelo global cambiaban con respecto al tiempo se procedió a ajustarun modelo de tendencia local mediante un suavizamiento Holt Winters Aditivo (Modelo 4), el cualsupone que los parámetros del modelo cambian lentamente con respecto al tiempo. Cuando secompara el Modelo 1 y el Modelo 4 se observa que los valores para AIC. BIC y MAPE son bastante similares para ambos modelos, no obstante el Modelo 4 ahora es el mejor porque aunqueajusta de manera similar al modelo global arroja mejores pronósticos.

En el análisis del supuesto de independencia de los errores y varianza constante se concluyó que porla evidente presencia de ciclos en todos los modelos no se cumple el supuesto de independencia delos errores, a pesar de esto no existe evidencia en ninguno de los modelos propuestos para concluir

que el supuesto de varianza constante no se cumple.

En general las conclusiones son las siguientes:

1. La serie “Índice de Fabricación de Calzado en Colombia” con observaciones desde Enerode 2001 hasta Octubre de 2012 no presentó mayores inconvenientes en su modelación yaque presenta componentes de tendencia y estacionalidad determinísticas que facilitaron elanálisis e interpretación de los resultados obtenidos.



2. Para el modelamiento de la serie no fue necesario proponer muchos modelos ya que latendencia podía ser ajustada con una función suave, la presencia de estacionalidad es claray además ésta presenta un patrón que no se deforma con el tiempo; por lo tanto no fuenecesario proponer más de cuatro modelos, los cuales fueron suficientes para explicar el

comportamiento de la serie y arrojar pronósticos aproximados a los reales durante lavalidación cruzada.

3. El análisis de los criterios de información AIC y BIC constituye uno de los puntos clave delanálisis de la serie ya que junto con MAPE arrojan una valoración cualitativa delcomportamiento de cada uno de los modelos propuestos simplificando así la elección ycomparación entre ellos.

4. El Modelo 4 capturó bien la dinámica de la serie sobre todo en cuanto pronósticos, dondese puede afirmar que estos son confiables, no obstante la calidad del ajuste no es tan buenacomo se desearía. Al analizar la última figura y la última tabla del suavizamiento Holt

Winters Aditivo se puede observar que este modelo trata de continuar el patrón detendencia de la serie pero sin subestimar demasiado los pronósticos. El Modelo 4 esconfiable para pronosticar pero es importante considerar que para los pronósticos siemprese utilizan los últimos valores suavizados de los parámetros y se supone que en el largo plazo la serie se seguirá comportando igual, lo que sólo es apropiado de afirmar en el corto plazo.

5. BIBLIOGRAFÍA

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González, N. G. Notas de Clase Estadística III 3009137. Escuela de Estadística,Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín (2011)

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Trabajo 1est

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