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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

TÓPICOS SOBRE ECUACIONESEN DERIVADAS PARCIALES

ALEJANDRO ORTIZ FERNÁNDEZ(PUCP, Sección Matemática )

TRUJILLO - MARZO, 2004

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Alejandro Ortiz Fernández (1936)Profesor Principal. Sección Matemática. PUCP.Ex-profesor Principal y Profesor Emérito de la UNTEx-profesor de la UNMSM

Tópicos sobre Ecuaciones en Derivadas ParcialesAutor: Alejandro Ortiz FernándezI.S.B.N.

Digitación y Diagramación en LATEX:Sr Carlos Ramón Deudor Gómez (www.degoca.com)[email protected]. Shila Antuanett Neciosup [email protected]

c° Todos los derechos reservadosPrimera Edición: Marzo 2004Impreso por la UNT.

Printed in Perú - Impreso en Perú

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A Luz Marina,con profundo amorpor comprenderme.

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PRESENTACIÓN

De algún modo este libro es continuación de [ORT. 1]; en aquella oportu-nidad (1988) expresamos: <<... Queda así el compromiso de que en algunaoportunidad tratemos a las ecuaciones en derivadas parciales con el lenguajede las distribuciones y de los espacios de abstractos...>> .

En el periódo de tiempo que nos separa (15 años) hubo una variaciónesencial en mi vida profesional. Cesé de la Universidad Nacional de Trujillo(Febrero, 1989) y comencé a laborar en la Pontificia Universidad Católicadel Perú (Marzo, 1989). En esta institución tuve la oportunidad de enseñarel curso de Ecuaciones en Derivadas Parciales en el programa de Maestríade Matemática. Ello me dió la oportunidad de tener una continuidad delo iniciado en Trujillo, y además, lograr un mayor nivel académico. Año aaño hemos variado el contenido del curso, manteniendo constante algunassecciones básicas (distribuciones y espacios de Sobolev). Es oportuno men-cionar mi experiencia docente en la Universidad Nacional Mayor de SanMarcos (1989-1997), en donde también tuve la oportunidad de enseñar elcurso de Ecuaciones Diferenciales Parciales en la Maestría de Matemática.Toda esta experiencia nos permitió acumular un material que ahora desar-rollamos en esta publicación.

El libro consta de seis capítulos. En el primero creimos conveniente recor-dar y revisar algunos aspectos básicos de las ecuaciones en derivadas par-ciales. La idea es motivar diversos tipos de problemas y métodos que despuésse expondrán en un contexto mas elaborado. Tal es el caso, por ejemplo, delos problemas de Dirichlet y de Cauchy. El capítulo 2 trata un tema que porsi solo tiene su valor, el cálculo de variaciones.

Históricamente, esta área está profundamente relacionada con las ecua-ciones diferenciales parciales. En posteriores capítulos estarán presentes prob-lemas variacionales asociadas a problemas de valor de contorno. Los capítu-los 3 y 4 presentan, de un modo más completo lo iniciado en [ORT. 1] En elcaso de los espacios de Sobolev, posiblemente lo presentado sea más extensode lo que realmente se necesite en el libro. No pudimos resistir la tentaciónde exponer temas al estilo del análisis armónico (tanto es asi que usamosmayormente la notación Lp

k de Calderón y no Hk,p).

En el capítulo 5 consideramos los métodos del análisis funcional en eltratamiento de problemas en ecuaciones en derivadas parciales. Es claroque todo lo tratado en esta oportunidad ya son aspectos clásicos y bienconocidos en la literatura respectiva pero en nuestro medio podría ser útilpara lectores que deseen iniciarse en tal metodología. El capítulo 6 tratasobre un problema particular, el problema de Cauchy; comenzamos desdelos aspectos clásicos y básicos. Proporcionamos las pruebas de los teoremasde Cauchy - Kowalevsky y el de Holgren, algo difícil de encontrarse en laliteratura, al menos en un nivel adecuado a nuestros objetivos. Este capítulo

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es centrado en el trabajo de L. Nirenberg [NIR. 1], el cual es complementadocon algunos aspectos sobre operadores diferenciales parciales (Hörmander).Finalmente introducimos una breve presentación del método de Calderónsobre la unicidad de la solución del problema de Cauchy.

Otro compromiso: inicialmente nuestro proyecto pretendía presentarotros tópicos, como son:

(i) estudiar a las ecuaciones en derivadas parciales vía los métodos delanálisis armónico; en este terreno existen bellos y profundos resulta-dos; en particular estamos tentados a realizar el gran esfuerzo porpresentar algunos aspectos del trabajo realizado por Calderón en estecampo (la inclusión de la sección 6.5 tiene la intención de “preparar elterreno”, de algún modo);

(ii) estudiar los métodos numéricos de las ecuaciones diferenciales parcialesvía el uso de la teoría de ondículas (“wavelets”). En este ambiente ex-isten recientes trabajos sobre la utilidad de las ondículas en diversosproblemas de la realidad física. Es un campo de actualidad e impor-tante por sus multiples aplicaciones.

Tanto (i) y (ii) son amplios dominios que pueden dar origen a una nuevapublicación sobre ecuaciones en derivadas parciales. Escribir este libro es uncompromiso que confío se pueda concretizar pero... no dentro de otros 15años, “por razones obvias”.

La concretización de este libro surgió cuando fui nombrado ProfesorEmérito por la Universidad Nacional de Trujillo (Octubre 2002) ; una condi-ción para merecer tal distinción fue el presentar un proyeto para ser real-izado en un año. Producto de este compromiso es este libro. Agradezco alDr. Obidio Rubio, actual autoridad de la Universidad Nacional de Trujillopor su interés en la realización de esta obra y por el apoyo recibido de élpara hacer realidad esta publicación. En general agradezco a la UniversidadNacional de Trujillo, por su generosidad en apoyar mi Proyecto. Asimismoagradezco al profesor Carlos Deudor Goméz y a la srta. Shila A. NeciosupSalas por su paciencia y competitividad en digitar este libro.

Finalmente , mis palabras de agradecimiento a mi actual centro de tra-bajo, la Pontificia Universidad Católica del Perú, área Matemática, por lasexcelentes condiciones de trabajo que disponemos.

Lima, 20 de Diciembre, 2003.A.O.F.

[email protected]

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CONTENIDO

Capítulo 1

ASPECTOS CLÁSICOS EN EDP

1.1 INTRODUCCIÓN. 1

1.1.1 La Cuerda Vibrante. 1

1.1.2 Teoría del Potencial. 3

1.1.3 La Ecuación del Calor. 4

1.2 ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES. 6

1.3 SERIES DE FOURIER. FOURIER. 8

1.4 SISTEMA DE STURM -LIOUVILLE. 13

1.5 PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO. 15

1.6 LA ECUACIÓN DEL CALOR. 17

1.7 E.D.P. DE PRIMER ORDEN. 18

1.7.1 Ecuaciones Lineales con dos Variables. 18

1.7.2 Sistema de Ecuaciones de Primer Orden. Clasificación. 21

1.8 TAREAS. 22

1.9 COMENTARIOS. 30

Capítulo 2

CÁLCULO DE VARIACIONES

2.1 SIGLO XVIII 31

2.1.1 Generalidades. 31

2.1.2 Euler. Ecuaciones Diferenciales del Cálculo de Variaciones. 35

2.1.3 Principio de Menor Acción. 36

2.1.4 Lagrange. 38

2.2 SIGLO XIX. 39

vii

2.3 ELEMENTOS SOBRE CÁLCULO DE VARIACIONES. 42

2.3.1 Motivaciones. 42

2.3.2 Las Ecuaciones Diferenciales de Euler. 45

2.3.3 Principio de Dirichlet. 47

2.4 FORMULACIÓN VARIACIONAL DE PROBLEMAS DE

CONTORNO 48

2.4.1 Preliminares. Algo mas sobre el cálculo de variaciones. 48

2.4.2 Problema de Sturm. Liouville. Soluciones débiles. 51

2.5 COMPLEMENTOS Y APLICACIONES. 55

2.5.1 El problema de Plateau. 55

2.5.2 Miscelánea. 56

2.6 TAREAS. 64

2.7 COMENTARIOS. 68

2.8 LAGRANGE. 69

Capítulo 3

TEORÍA DE DISTRIBUCIONES

3.1 ANTECEDENTES HISTÓRICOS. 71

3.1.1 Motivaciones. 71

3.1.2 ¿Cómo llegar a la “función” δ (x)? 73

3.1.3 Ejemplo. (Otra dificultad Matemática). 74

3.1.4 Una interesante observación. 74

3.1.5 Nace una Nueva Teoría. 75

3.1.6 La Teoría de Laurent Schwartz. 76

3.2 FUNCIONES GENERALIZADAS. 78

3.3 INTRODUCCIÓN A LAS DISTRIBUCIONES. 79

3.3.1 Aspectos Generales. 79

viii

3.3.2 Ejemplos de Distribuciones. 81

3.3.3 Sucesiones Regulares. 86

3.3.4 Soporte de una Distribución. 92

3.3.5 Distribuciones de Soporte Compacto D00 (Rn).Convolución de Distribuciones con Funciones en D (Rn). 94

3.4 DISTRIBUCIONES TEMPERADAS 97

3.4.1 El espacio de Schwartz S. 98

3.4.2 Topología en S. 99

3.4.3 Caso Rn. 102

3.5 LA TRANSFORMADA DE FOURIER 103


3.5.2 El Teorema de Paley - Wiener. 108

3.6 EL ESPACIO DE LAS DISTRIBUCIONES

TEMPERADAS S0. 109


3.6.2 Ejemplos. 110

3.6.3 Topología en S0. 115

3.7 TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA

DISTRIBUCIÓN TEMPERADA. 116

3.7.1 Motivación. 116

3.7.2 La Transformada Inversa de Fourier. 118

3.8 TAREAS. 121

3.9 COMENTARIOS. 125

Capítulo 4

ESPACIOS DE SOBOLEV Lpk (R

n) (ó W k,p (Rn))

4.1 EL ESPACIO Lp1 (I) . 127

ix

4.1.1 Motivación y Resultados Previos. 127

4.1.2 El Espacio Lp1 (I). 129

4.2 EL ESPACIO DE SOBOLEV Lpk (R

n), k ∈ Z+. 129


4.2.2 Derivadas Débiles y Fuertes. 134

4.2.3 Operadores que Conmutan con Translaciones. 136

4.3 TODOS LOS ESPACIOS Lpk SON ISOMORFOS,

k ≥ 0 ENTERO, 1 < p <∞. 138

4.3.1 El Operador Integración. 138

4.3.2 Isomorfismo de los Espacios Lpk. 143

4.4 LOS ESPACIOS DE SOBOLEV Lps, s Real. 143


4.4.2 El espacio Lps (Rn). Propiedades. 145

4.4.3 El espacio Lp∞. 149

4.5 LOS ESPACIOS Ls ≡ Hs, s REAL. 151

4.5.1 Motivación. 151

4.5.2 El Operador Λs. 157

4.6 ESPACIOS L−s 159

4.6.1 Propiedades y Caracterización. 159

4.7 LOS ESPACIOS L∞ ≡ H∞, Y L−∞ ≡ H−∞ 163


4.7.2 Caso Particular: Los Espacios Lp−k 167

4.7.3 El Operador Transpuesto T 0 de T. 169

4.8 OPERADORES INVARIANTES POR TRANSLACIONES173

4.8.1 Generalidades. Lema de Sobolev. 173

4.8.2 El Teorema de Hörmander. 175

4.9 REFLEXIVIDAD DE LOS ESPACIOS DE SOBOLEV 176

x


4.10 INMERSIONES DE Lpk (D). 178

4.10.1 Caso n = 1 178

4.10.2 Caso Rn. 182

4.10.3 Caso p = n. 187

4.10.4 Caso p > n. 188

4.11 ESPACIOS L2k (D), L2−k (D) Y

OPERADORES DIFERENCIALES. 190

4.11.1 Generalidades 190

4.11.2 Operadores Diferenciales Parciales Lineales. 193

4.11.3 Operadores Elípticos de Segundo Orden. 196

4.12 TAREAS. 197


4.14 SOBOLEV. 200

Capítulo 5

MÉTODOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL ENECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

5.1 UN POCO DE ANÁLISIS FUNCIONAL. 203

5.1.1 Algunos Clásicos Teoremas. 203

5.1.2 Una Motivación Física Hacia el Análisis Funcional.La conducción del Calor. 209

5.1.3 Aplicación a Problemas de Valor de Contorno. 213

5.1.4 Análisis Funcional y Ecuaciones en Derivadas Parciales. 216

5.2 SOLUCIONES DÉBILES. 219


5.2.2 El Problema de Sturm - Liouville. 222

5.2.3 El Problema de Neumann. 223

xi

5.3 EL PROBLEMA DE DIRICHLET. 224

5.3.1 El Problema de Dirichlet para el Laplaciano. 224

5.3.2 El Problema de Dirichlet para Operadores Elípticosde Orden Superior. 229

5.3.3 Operadores de Orden Superior. 234

5.4 EL PROBLEMA DE NEUMANN. 240

5.4.1 Consideraciones Generales. 240

5.4.2 El Problema de Neumann. 242

5.4.3 El Problema de Neumann para Operadores Elípticos deSegundo Orden. 246

5.5 PROBLEMAS DE VALOR PROPIO 251

5.5.1 Algo más sobre Análisis Funcional. 251

5.5.2 Teorema Espectral para el Laplaciano. 255

5.6 TAREAS. 260


5.8 DIRICHLET. - F. RIESZ 265

Capítulo 6

EL PROBLEMA DE CAUCHY

6.1 ALGUNOS ASPECTOS CLÁSICOS. 267

6.1.1 Problema de Cauchy para la Ecuación de la Onda Homogénea.267

6.1.2 Problema de Cauchy para la Ecuación de la OndaNo - Homogénea. 268

6.1.3 Problema de Cauchy para la Ecuación del Calor. 270

6.1.4 Problemas Bien y Mal Puestos. 274

6.1.5 Los Teoremas de Cauchy - Kowalevsky y de Holgren. 276

6.2 UNICIDADDE LA SOLUCIÓNDEL PROBLEMADE CAUCHYPARA ECUACIONES DIFERENCIALES CONCOEFICIENTESPRINCIPALES CONSTANTES. 283

xii

6.2.1 Preliminares. 284

6.2.2 Teorema de Unicidad. 285

6.2.3 Una desigualdad de Hörmander. 290

6.2.4 Extensión de la Desigualdad de Hörmander 298

6.2.5 Prueba del Teorema 6.3. 303

6.3 NO UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE

CAUCHY. CONTINUACIÓN ÚNICA. 305

6.3.1 Reseña Histórica. 305

6.3.2 No Unicidad de la Solución del P. de Cauchy.Continuación Única. 305

6.4 ALGOMÁS SOBRE OPERADORES DIFERENCIALES.309

6.4.1 Funciones Peso. 309

6.4.2 Espacios Bp.w. 311

6.4.3 Comparación de Operadores Diferenciales. 312

6.4.4 Operadores Elípticos. 314

6.5 LA UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE

CAUCHY SEGUN CALDERÓN. 316


6.5.2 Operadores Integrales Singulares. 317

6.5.3 Algunas Propiedades de los Operadores H. 320

5.5.4 Unicidad. 323

6.6 TAREAS. 325


6.8 CAUCHY. - L. HÖRMANDER. 328

BIBLIOGRAFÍA. 331

Capítulo 1

ASPECTOS CLÁSICOS ENEDP

1.1. INTRODUCCIÓN.

Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales surgieron en el intentode los matemáticos por resolver problemas de la física.

1.1.1. La Cuerda Vibrante.

El estudio de la cuerda vibrante llevó en forma natural a una ecuacióndiferencial parcial (la ecuación de la onda). La investigación de los sonidoscreados por la cuerda introdujo extra condiciones. El aire es un tipo de fluidode propagación (compresible), los líquidos son otros tipos (incompresibles).Las leyes del movimiento de las ondas en tales fluidos llevaron a progresosimportantes (hidrodinámica). El problema de la gravitación universal, ini-ciado por Newton, condujo, con Laplace, a un problema de ecuaciones enderivadas parciales.

Las primeras investigaciones respecto a la cuerda vibrante son debidasa Euler (1734) y a d’Alembert (1743). La dificultad matemática que surgióen aquella época fue el paso al infinito. En 1727, John Bernoulli consideróla discretización de una cuerda de longitud L , la que reposa en el intervalo,digamos, 0 ≤ x ≤ L . Si xk es la abscisa de la k −masa, k = 1, 2, . . . , n , se

tiene xk = kL

n, k = 1, 2, . . . , n.

Analizando la fuerza sobre la k−masa, Bernoulli prueba que si yk es eldesplazamiento de la k - masa, entonces

d2ykdt2

=³naL

´2(yk+1 − 2yk + yk−1) , k = 1, 2, . . . , n,

donde a2 =LT

M, con T la tensión en la cuerda (una constante cuando la

1

2 CAPÍTULO 1. ASPECTOS CLÁSICOS EN EDP

cuerda vibra) yM es la masa total. d’Alembert hace el cambio yk por y (t, x)

yL

npor ∆x , obteniendo algo con mas significado matemático,

∂2y (t, x)

∂t2= a2

µy (t, x+∆x)− 2y (t, x) + y (t, x−∆x)

(∆x)2

¶.

En efecto, si n→∞ , ∆x→ 0 y se obtendrá la ecuación

∂2y (t, x)

∂t2= a2

∂2y (t, x)

∂x2,

donde ahora a2 =τ

σ, siendo σ la masa por una unidad de longitud. Asi,

por primera vez, se llegó a la ecuación de la onda, 1 − dimensional. Unanatural observación nos dice que la cuerda está fija en los extremos x = 0 yx = L , luego la solución de tal ecuación debe satisfacer las condiciones decontorno y (t, 0) = 0, y (t, L) = 0. Por otro lado, se tienen las condicionesiniciales

y (0, x) = f (x) ,∂y (t, x)

∂t

¯t=0

= 0.

El problema de encontrar una solución de la ecuación mencionada (de laonda) satisfaciendo tales condiones fue resuelto por d’Alembert, obteniendola solución

y (t, x) =1

2φ (at+ x) +

1

2ψ (at− x)

donde φ y ψ son funciones a ser precisadas.Recíprocamente, tal representación de y (t, x) satisface la ecuación de la

onda.Según Euler, si y = f (x) representa la función inicial, luego de un tiempo

t la ordenada que responderá a la abscisa x de la cuerda en vibración será

y =1

2f (x+ ct) +

1

2f (x− ct) .

En 1760 - 61, Lagrange obtiene (con c = 1 ) la solución:

y (t, x) =1

2xf (x+ ct) +

1

2f (x− ct)− 1

2

Z x+t

0gdx+

1

2

Z x−t

0gdx,

donde

f (x) = y (0, x) y g (x) =∂y

∂t

¯t=0

son los datos iniciales dados.

1.1. INTRODUCCIÓN. 3

1.1.2. Teoría del Potencial.

Otro campo de la física que influyó en el desarrollo de las ecuacionesen derivadas parciales fue el trabajo iniciado por Newton sobre la atraccióngravitacional entre los cuerpos celestes.

Sea dξ dη dς un pequeño volumen, tan pequeño que puede considerarsecomo una partícula centrada en el punto (ξ, η, ς) ; sea P una partícula concoordenadas (x, y, z) , entonces la atracción ejercida por la pequeña masade densidad ρ sobre la partícula unidad es un vector dirigido de P a lapequeña masa. Por la ley de gravitación de Newton, las componentes deeste vector son:

−Kρx− ξ

r3dξdηdς, −Kρ

y − η

r3dξdηdς, −Kρ

z − ς

r3dξdηdς

donde K es la constante en la ley de Newton y

r =

q(x− ξ)2 + (y − η)2 + (z − ς)2.

Luego, la fuerza ejercida por el cuerpo entero sobre la masa unitaria enP tiene componentes:

fx = −KZZZ

ρx− ξ

r3dξdηdς,

fy = −KZZZ

ρy − η

r3dξdηdς,

fz = −KZZZ

ρz − ς

r3dξdηdς.

Nota Las integrales tienen como dominio al cuerpo entero.

Tales integrales son finitas cuando P está dentro del campo de atracción.Sea la función

V (x, y, z) =

ZZZρ

rdξdηdς.

Se tiene∂V

∂x=1

Kfx,

∂V

∂y=1

Kfy,

∂V

∂z=1

Kfz

(ecuaciones que se cumplen si P está dentro del campo gravitacional).La función V es llamada función potencial.

Nota En vez de trabajar con tres funciones, fx , fy , fz , se trabaja con V .

Corolario 1.1 Si (x, y, z) está fuera del campo gravitacional del cuerpo,V satisface la ecuación diferencial parcial

∂2V

∂x2+∂2V

∂y2+∂2V

∂z2= 0 ecuación del potencial o ecuación de Laplace.

1.1.3. La Ecuación del Calor.

A inicio del siglo XIX se produce un acontecimiento de gran importanciaen la ciencia y en la tecnología futura. Es la obra de Joseph Fourier sobrela conducción del calor. En el interior de un cuerpo, que está ganando operdiendo calor, la temperatura es generalmente distribuida en forma nouniforme y cambia en cualquier punto con el tiempo. Tal función T dependedel espacio y del tiempo. La precisa forma de la función dependerá de laforma del cuerpo, de su densidad, de la distribucción inicial de T (en eltiempo t = 0 ) y las condiciones del contorno del cuerpo. Fourier probó,usando principios de la física, que T satisface la ecuación diferencial parcial

∂2T

∂x2+

∂2T

∂y2+

∂2T

∂z2= K2 ∂T

∂tecuación del calor (ec)

donde K2 es una constante que depende del material del cuerpo.Sea una varilla cilíndrica de longitud L , con 0 en sus extremos y cuya

superficie lateral está aislada, no sujeta a ningún flujo de calor sobre ella.

Estamos en el caso 1 - dimensional, asi∂2T

∂x2= K2∂T

∂tcon las condiciones

iniciales T (0, t) = 0 y T (L, t) = 0 para t > 0, y la condición inicialT (x, 0) = f (x) para 0 < x < L.

Idea de Fourier: Uso del método de separación de variables,

T (x, t) = φ (x)ψ (t) .

Luego,φ00 (x)

K2φ (x)=

ψ0 (t)

ψ (t)≡ −λ.

1.1. INTRODUCCIÓN. 5

Por tanto,

φ00 (x) + λK2φ (x) = 0 y ψ0 (t) + λψ (t) = 0.

Por las condiciones de contorno, se obtiene φ (0) = 0 y φ (L) = 0 .Se sabe que la solución general de

φ00 (x) + λK2φ (x) = 0

es φ (x) = b sen³√

λKx+ c´. Observemos que φ (0) = 0 implica c = 0 ;

pero φ (L) = 0 impone una limitación sobre λ :√λ es un múltiplo entero

deπ

KL.

Luego existe un número infinito de valores admisibles λν de λ ó

λν =³ νπ

KL

´2, ν ∈ Z.

λν son llamados valores propios o valores característicos.La solución general de ψ0 (t)+λψ (t) = 0 es una función exponencial con

λ ≡ λν . Luego, T (x, t) = φ (x)ψ (t) es

Tν (x, t) = bνe− ν2π2

K2L2t sen

³νπxL

´, ν = 1, 2, 3, . . .

Entonces,

T (x, t) =∞Xν=1

Tν (x, t) =∞Xν=1

bνe− ν2π2

K2L2t sen

³νπxL

´.

Como T (x, 0) = f (x) , debemos tener

f (x) =∞Xν=1

bν sen³νπx

L

´.

¿Puede f ser representado como una serie trigonométrica?, asi, ¿pueden losbν ’s ser determinados?. . . Fourier responde estas cuestiones. Por simplicidad

asumamos que L = π . Asi, f (x) =∞Pν=1

bν sen (νx) , 0 < x < π . Ahora la

idea de Fourier es considerar la expresión,

sen (νx) =∞Xn=1

(−1)n−1

(2n− 1)!ν2n−1x2n−1;

entonces intercambiando límites (!), se obtiene

f (x) =∞Xn=1

(−1)n−1

(2n− 1)!

Ã ∞Xν=1

ν2n−1bν

!x2n−1.

Esta serie de potencias debe ser la serie de Maclaurin de f (x) , esto es,

f (x) =∞Xk=0

1

k!f (k) (0)xk.

Fourier encuentra que f (k) (0) = 0 si k es par y que

∞Xν=1

ν2n−1bν = (−1)n−1 f (2n−1) (0) , n = 1, 2, 3, . . .

Como f (x) y sus derivadas son conocidas, tenemos un sistema infinitode ecuaciones lineales algebraicas, con infinitas incognitas bν . Vía ingeniososargumentos, Fourier llega a la fórmula

bν =2

π

Z π

0f (s) sen νsds.

Nota. El método de Fourier es ingenioso pero, en general, no es consistentematemáticamente. Euler llega al mismo resultado pero usando propiedadesde funciones trigonométricas.

1.2. ECUACIONES ENDERIVADASPARCIALES.

Notación:

ux ≡∂u

∂x, uxy ≡

∂2u

∂x∂y, . . .

Definición 1.1 Una ecuación en derivadas parciales (edp) es una ecuaciónde la forma f (x, y, . . . , u, ux, uy, . . . , uxx, uxy, . . .) = 0. Una edp es linealsi ella es lineal en la función incógnita y en todas sus derivadas, con coefi-cientes dependiendo solo de las variables independientes.

Ejemplo: xuxx + 5xyuxy + u = 2 .

Definición 1.2 Un problema matemático (pm) consiste en encontraruna función incógnita de una edp satisfaciendo apropiadas condiciones su-plementarias.

Estas condiciones puede ser condiciones iniciales y/o condicionesde contorno.

Ejemplo Sea la edp ut − uxx = 0 , 0 < x < L , t > 0 , con la condicióninicial u (x, 0) = senx , 0 ≤ x ≤ L , y las condiciones de contorno u (0, t) =0 = u (L, t) para t ≥ 0.

Un pm es llamado bien puesto si verifica las condiciones de:

existencia: existe al menos una solución del problema

1.2. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES. 7

unicidad: existe a lo mas una solución

estabilidad: la solución depende continuamente de los dados o condi-ciones.

Clásicas Ecuaciones.Ecuación de la onda: utt − c2 (uxx + uyy + uzz) = 0,Ecuación del calor: ut −K (uxx + uyy + uzz) = 0,Ecuación de Laplace: uxx + uyy + uzz = 0 .

Forma General de una EDP de Segundo OrdennX

i,j=1

aijuxixj +nXi=1

biuxi + fu = g,

donde x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn , aij = aji , aij , bi , f y g son funcionesreales definidas en Rn.

Caso Particular: u = u (x, y). Entonces

auxx + buxy + cuyy + dux + euy + fu = g,

donde asumimos que u y los coeficientes son dos veces continuamente difer-enciables.

Si b2 − 4ac es : > 0 , la edp es hiperbólica,= 0 , la edp es parabólica,< 0 , la edp es elíptica.

Problema de Cauchy para la cuerda Vibrante.

El Problema de Cauchy para la cuerda vibrante consiste en encontraruna función u tal que⎧⎨⎩

utt − c2uxx = 0u (x, t0) = u0 (x)ut (x, t0) = v0 (x)

donde u0 (x) es el desplazamiento inicial yv0 (x) es la velocidad inicial.

Caso particular. Para el problema de Cauchy⎧⎨⎩utt − c2uxx = 0u (x, 0) = f (x)ut (x, 0) = g (x)

la solución es

u (x, t) =1

2f (x+ ct) +

1

2f (x− ct) +

1

2c

Z x+ct

x−ctg (s) ds.

Nota Ver Capítulo 6 para los detalles de este problema, asi como otrasconsi- deraciones relacionadas.

1.3. SERIES DE FOURIER.

La función f (x) posee límite por la izquierda en x0 si existe

f (x0−) = lımh→0

f (x0 − h) ,

donde h > 0 real. Similarmente, (límite por la derecha)

f (x0+) = lımh→0

f (x0 + h) .

Si f (x) es continua en x0 , entonces f (x0−) = f (x0+) = f (x0) .Diremos que f (x) es seccionalmente continua en [a, b] si existen a =

x1 < x2 < . . . < xn = b tal que f es continua en (xj , xj+1) y existen f (xj+)y f (xj+1−), j = 1, 2, . . . , n− 1 .

La derivada lado izquierdo de f (x) en x0 es por definición:

f 0 (x0−) = lımh→0

f (x0−)− f (x0 − h)

h,

y la derivada lado derecho es

f 0 (x0+) = lımh→0

f (x0 + h)− f (x0+)

h.

Diremos que f (x) es seccionalmente regular en [a, b] si f es seccional-mente continua en [a, b] y si f 0 es continua en cada intervalo xj < x < xj+1y si existen f 0 (xj+) y f 0 (xj−) .

Una función f (x) , seccionalmente continua, es llamada periódica siexiste p ∈ R tal que f (x+ p) = f (x) , ∀ x.

p es el período de f .

Corolario 1.2 Si f es periódica, de período p , entonces f (x+ np) = f (x), ∀ n ∈ Z .

f (x) = senx , f (x) = cosx son periódicas, de periodo 2π .La sucesión φn (x) es llamada ortogonal , con respecto al peso q (x)

, sobre [a, b] , si Z b

aφm (x)φn (x) q (x) dx = 0

cuando m 6= n . Si m = n , se obtiene la norma

kφnk =µZ b

aφ2n (x) q (x) dx

¶1/2.

El caso familiar es cuando q (x) = 1 .

1.3. SERIES DE FOURIER. 9

La familia senmxm=1,2,... es ortogonal sobre [−π, π] ya queR π−π senmx sennxdx =

0 si m 6= n . Además,

ksennxk =µZ π

−πsen2 nxdx

¶1/2=√π.

La familia 1, cosx, senx, cos 2x, sen 2x, . . . , cosnx, sennx, ... es ortogo-nal sobre [−π, π] ya queZ π

−πsenmx sennxdx =

½0 , m 6= nπ , n = m

,Z π

−πsenmx cosnxdx = 0, ∀n, m yZ π

−πcosmx cosnxdx =

½0 , m 6= nπ , m = n

.

Además, los elementos de tal familia son linealmente independientes ypor tanto podemos considerar una representación de f (x) vía una serie; asi,

f (x) ∼ a02+

∞Xk=1

(ak cos kx+ bk sen kx) .

Si f (x) es integrable Riemann sobre [−π, π] , entonces se encuentra quea0 =

1

π

Z π

−πf (x) dx , ak =

1

π

Z π

−πf (x) cos kxdx y bk =

1

π

Z π

−πf (x)senkxdx

.a0, ak y bk son llamados los coeficientes de Fourier de f (x) , y la

serie es la serie de Fourier asociada a f (x) .

Corolario 1.3 (i) Sea f (x) seccionalmente continua y periódica con peri-odo 2π . Pongamos

sn (x) =a02+

nXk=1

ak cos kx+ bk sen kx.

Entonces,

0 ≤Z π

−π[f (x)− sn (x)]

2 dx

=

Z π

−πf2 (x) dx− 2

R π−π f (x) sn (x) dx+

R π−π s

2n (x) dx . [∗]

Luego, usando las representaciones para a0, ak, bk se obtieneZ π

−πf (x) sn (x) dx =

Z π

−πf (x)

"a02+

nXk=1

(ak cos kx+ bk sen kx)

#dx

=π

2a20 + π

nXk=1

¡a2k + b2k

¢,

donde hemos usado las relaciones de ortogonalidad de senx y cosx . Simi-larmente,Z π

−πs2n (x) dx =

Z π

−π

"a02+

nXk=1


#2dx

=π

2a20 + π

nXk=1

¡a2k + b2k

¢.

Luego [∗] implica

a202+

nXk=1

¡a2k + b2k

¢≤ 1

π

Z π

−πf2 (x) dx,∀n ∈ Z+.

Por tanto,

a202+

∞Xk=1

¡a2k + b2k

¢≤ 1

π

Z π

−πf2 (x) dx.. . . .desigualdad de Bessel.

Observemos que si Z π

−πf2 (x) dx <∞,

entonces ∞Xk=1

¡a2k + b2k

¢<∞,

y por tanto, la condición necesaria para que

a202+

∞Xk=1

¡a2k + b2k

¢<∞,

es quelımk→∞

ak = 0 y lımk→∞

bk = 0.

Definición 1.3 La serie de Fouriera02+

∞Pk=1

(ak cos kx+ bk sen kx) con-

verge en la media ó en L2 ([−π, π]) a f (x) si

lımn→∞

Z π

−π

"f (x)−

Ãa02+

nXk=1


!#2dx = 0.

(ii) Si la citada serie de Fourier converge en la media a f (x) , entonces

a202+

∞Xk=1

¡a2k + b2k

¢=1

π

Z π

−πf2 (x) dx . . . . . . relación de Parseval.

1.3. SERIES DE FOURIER. 11

Nota. Parseval establece una interesante relación entre un universo discretocon uno continuo.

Sea f (x) definida en el intervalo (0, π) . Consideremos las extensiones:

extensión par de f......Fp (x) =

⎧⎨⎩f (x) , 0 < x < π

f (−x) , −π < x < 0,

extensión impar de f......Fi (x) =

⎧⎨⎩f (x) , 0 < x < π

−f (−x) , −π < x < 0.

Desde que Fp (x) es una función par y Fi (x) es impar, ambas de periodo2π, las representaciones en series de Fourier de Fp y Fi son:

Fp (x) =a02+

∞Xk=1

ak cos kx y Fi (x) =∞Xk=1

bk sen kx.

FORMA COMPLEJA. Si f(x) =a02+

∞Pk=1

(ak cos kx+ bk sen kx) ,

usándose senx =eix − e−ix

2iy cosx =

eix + e−ix

2, se obtiene

f (x) =∞X

k=−∞cke

ikx, −π < x < π,

donde ck =1

2π

R π−π f (x) e

−ikxdx.

LEMA DE RIEMANN - LEBESGUE. Si f (x) es seccionalmente con-tinua sobre el intervalo [a, b] , entonces

lımλ→∞

Z a

bf (x) senλxdx = 0.

Teorema 1.1 (DE LA CONVERGENCIA PUNTUAL) Si f (x) esseccionalmente regular y periódica, con período 2π en [−π, π] , entonces paracualquier x,

a02+

∞Xk=1

(ak cos kx+ bk sen kx) =1

2[f (x+) + f (x−)] ,

donde ak =1

π

Z π

−πf (x) cos kxdx y bk =

1

π

Z π

−πf (x) sen kxdx , ∀ k.


Nota. Si, además, f es continua en x , entonces

a02+

∞Xk=1

(ak cos kx+ bk sen kx) = f (x) .

Veamos una breve presentación sobre Fourier y su análisis.

“La Teoría Analítica del calor”, publicada en 1822, es una obra maestraen donde Fourier combina maravillosamente un problema del mundo obje-tivo con ideas matemáticas, aún no bien formalizadas. Era una época enque la matemática entraba en su etapa de rigorización. Fourier introduce losdesarro- llos en series e integrales de funciones trigonométricas para estudiarla conducción del calor. Esta obra es el punto de partida de un desarrollode la matemática, mas precisamente, del análisis; la cosecha es inmensa conel transcurrir de los años. De ella han de surgir teorías y métodos que hande marcar rutas en el desarrollo del análisis moderno.

Fourier fundamentó la teoría de las series trigonométricass en base a lostrabajos de sus predecesores del siglo XVIII. Fue un matemático aplicadoque trabajó en geofísica, en oceanografía, en meteorología; fue secretariode la Academia de Ciencias en Francia. Escribió diversos artículos sobrelas series trigonométricas en relación con la conducción del calor. Fourierverifica que, en casos especiales, una función f (x) puede ser expresada víauna serie de la forma a0+(a1 cosx+ b1 senx)+(a2 cos 2x+ b2 sen 2x)+ · · · ,donde los coeficientes son de la forma

a0 =1

2π

Z π

−πf (x) dx, an =

1

π

Z π

−πf (x) cosnxdx, bn =

1

π

Z n

−nf (x) sennxdx

n = 1, 2, . . . . Es oportuno remarcar que la representación para an ya habíasido establecida por Euler; asi mismo Clairaut ya conocía las fórmulas paratales coeficientes; ello fue reconocido por Fourier. Como hemos mencionado,por aquella época aún no existía el análisis y el rigor en los argumentos.Su afirmación de que “cualquier función periódica podía ser expresada poruna tal serie”, llamada posteriormente, serie de Fourier, es falsa como fue

1.4. SISTEMAS DE STURM - LIOUVILLE. 13

mostrada años después pero gracias a esta circunstancia es que a comien-zo del siglo XX, A. Haar ha de construir una base ortonormal para ciertoespacio de funciones, en donde está encerrada la idea de “wavelet”, la queha de ser re - descubierta a comienzos de los años 1980’s y de gran impor-tancia en nuestros días en el campo de las aplicaciones. El lector interesadoen algunos aspectos históricos del análisis de Fourier puede consultar, porejemplo, [ORT 3].

1.4. SISTEMAS DE STURM - LIOUVILLE.

Sea la ecuación, en forma canónica,

a (x, y)uxx + c (x, y)uyy + d (x, y)ux + e (x, y)uy + f (x, y)u = 0.

Si u (x, y) = X (x)Y (y) , entonces:

aX 00Y + cXY 00 + dX 0Y + eXY 0 + fXY = 0.

Permitamos que exista una función p (x, y) tal que si dividimos estaecuación por p (x, y) , entonces obtendríamos

a1 (x)X00Y +b1 (y)XY 00+a2 (x)X

0Y +b2 (y)XY 0+[a3 (x) + b3 (x)]XY = 0.

Dividiendo ahora por XY ( 6= 0 ), obtendremos

a1X 00

X+ a2

X 0

X+ a3 = −

∙b1Y 00

Y+ b2

Y 0

Y+ b3

¸. (+)

Derivando con respecto a x ,

d

dx

∙a1X 00

X+ a2

X 0

X+ a3

¸= 0.

Integrando esta ecuación obtenemos

a1X 00

X+ a2

X 0

X+ a3 = λ,

siendo λ una constante (de separación).Considerando (+) , tendremos

b1Y 00

Y+ b2

Y 0

Y+ b3 = −λ.

Luegoa1X

00 + a2X0 + (a3 − λ)X = 0. (∗)

b1Y00 + b2Y

0 + (b3 + λ)Y = 0. (∗∗)


Conclusión. u (x, y) es una solución de

a (x, y)uxx + c (x, y)uyy + d (x, y)ux + e (x, y)uy + f (x, y) = 0

si X (x) y Y (y) son soluciones de (∗) y (∗∗).

Nota. La estrategia usada se llama el método de separación de variables.En general podemos asumir que (∗) ó (∗∗) es de la forma

c1 (x)d2u

dx2+ c2 (x)

du

dx+ [c3 (x) + λ]u = 0.

Si introducimos

p (x) = ec2c1dx, q (x) =

c3c1p (x) y s (x) =

1

c1p (x)

en la anterior ecuación, obtendremos

d

dx

µp (x)

du

dx

¶+ [q (x) + λs (x)]u = 0,

llamada ecuación de Sturm - Liouville.A fin de garantizar la existencia de soluciones de la ecuación de Sturm-

Liouville, q (x) y s (x) deben ser funciones continuas y p (x) continuamentediferenciable en el intervalo [a, b], a, b ∈ R . Además, tal ecuación es regularen [a, b] si p (x) y s (x) son positivas en [a, b].

PROBLEMA DE STURM - LIOUVILLE. Resolver:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩d

dx

µp (x)

du

dx

¶+ [q (x) + λs (x)]u = 0

a1u (a) + a2u0 (a) = 0

b1u (b) + b2u0 (b) = 0,

donde a1, a2, b1, b2 son números reales

Nota. Observemos que u = 0 es la solución trivial de tal problema.Sea el conjuntoλ / problema de Sturm - Liouville tiene una solución no trivial.Estos λ0s son llamados valores propios, las correspondientes soluciones

son las funciones propias y el conjunto de tales λ0s es el espectro delproblema.

Asumamos p (a) = p (b) ; en este caso es factible imponer las condicionesu (a) = u (b) y u0 (a) = u0 (b) . El respectivo problema es llamado periódico.

Un valor propio λ es llamado de multiplicidad k si existen k funcionespropias linealmente independientes correspondientes a λ .

1.5. PROBLEMAS DE VALOR DE CONTORNO. 15

Teorema 1.2 “Si p (x) , q (x) y s (x) son continuas en [a, b] en un proble-ma de Sturm - Liouville, y si las funciones propias uj y uk, correspondi-entes a λj y λk, son continuamente diferenciables, entonces uj es ortog-onal a uk con respecto a la función peso s (x) en [a, b] , esto es, se tieneR ba uj (x)uk (x) s (x) dx = 0”.

Corolario 1.4 “En un problema de Sturm - Liouville periódico en [a, b], lasfunciones propias son ortogonales respecto a s (x) en [a, b] ”.

Teorema 1.3 “En un problema de Sturm - Liouville regular, con s (x) > 0,todos los valores propios son números reales”.

Teorema 1.4 “Todo problema de Sturm - Liouville regular tiene una suce-sión infinita de valores propios reales λ1 < λ2 < λ3 < . . ., con lım

n→∞λn =∞.

Las correspondientes funciones propias un , determinadas a menos de unfactor constante, tiene exactamente n raices en el intervalo (a, b) . Además,tales funciones propias forman un sistema ortogonal completo.

Cualquier función seccionalmente regular en [a, b] que satisface las condi-ciones de contorno de un problema de Sturm - Liouville regular puede serexpandido en una serie absoluta y uniformemente convergente

f (x) =∞Xn=1

cnun, donde cn =

R ba funsdxR ba u

2nsdx

.”

Observemos que si s (x) = 1 y un tiene L2 - norma igual a 1, entonces

cn =

Z b

af (x)un (x) dx

como es usual encontrar.

1.5. PROBLEMASDEVALORDECONTORNO.

Un problema de valor de contorno (pvc) consiste en encontrar unafunción, la cual satisface una edp dada y particulares condiciones de con-torno.

Físicamente un pvc es independiente del tiempo; depende solo de coor-denadas espaciales.

Un pvc está relacionado a ecuaciones de tipo elíptico. Una edp de segundoorden de tipo elíptico en x1, x2, . . . , xn ,es de la forma:

nXi=1

uxixi ≡ ∇2u ≡ ∆u = F (x1, x2, . . . , xn, ux1 , . . . , uxn) .


Algunas conocidas ecuaciones elípticas son:∆u = 0 (ecuación de Laplace);∆u = g (x) , x = (x1, x2, . . . , xn) (ecuación de Poisson); ∆u+λu = 0, λ >0 constante (ecuación de Helmoltz) y ∆u+ [λ− q (x)]u = 0 (ecuaciónde Schrödinger).

Definición 1.4 u (x) es una función armónica en un dominio D si ∆u =0, u y sus dos primeras derivadas parciales son continuas en D .

Remarcamos que ∆ ≡nXi=1

∂2

∂x2i. Una combinación lineal de funciones

armónicas es armónica.

PROBLEMA DE DIRICHLET ( R2 ). Encontrar una función armóni-ca u (x, y) armónica en D tal que u = f sobre el contorno B ≡ ∂D , dondef (s) es una función continua dada sobre B .

Físicamente, la solución u es la distribución constante o estable del estadode temperatura en un cuerpo que no contiene fuentes o sumideros de calor,con una temperatura prescrita en todo los puntos sobre el contorno delcuerpo.

PROBLEMADENEUMANN. Encontrar una función armónica u (x, y)

en D tal que∂u

∂n= g sobre B .

∂

∂nes la derivada direccional, en la dirección

de la norma unitaria exterior, donde g ∈ C (B) .

PROBLEMAS MIXTOS.

(i) Encontrar u (x, y) armónica en D tal que∂u

∂n+ h (s)u = 0 sobre B,

donde h (s) ≥ 0 , h (s) 6≡ 0 .

(ii) Problema de Robin. Encontrar u (x, y) armónica en D tal que⎧⎨⎩u = f1 sobre B1

∂u∂n = f2 sobre B2 , donde B = B1 ∪B2 según la figura.

1.6. LA ECUACIÓN DEL CALOR. 17

Teorema 1.5 Principio del Máximo. “Sea u (x, y) armónica en D ,dominio acotado, y continua en D ∪ B . Entonces u asume su máximovalor (y su mínimo valor) sobre B”.

Teorema 1.6 (Unicidad) “La solución del problema de Dirichlet, si ex-iste, es único”.

Teorema 1.7 (Estabilidad) “La solución del problema de Dirichlet de-pende continuamente de los datos de contorno”.

Corolario 1.5 “Sea un una sucesión de funciones armónica en D , con-tinuas sobre D ∪B . Si fi = ui|B y fn converge uniformemente sobre B ,entonces un converge uniformemente sobre D ∪B ”.

1.6. LA ECUACIÓN DEL CALOR.

Sea la ecuación del calor

∂2u

∂x2=

∂u

∂y.

Para b > 0 , sea el rectángulo (0, 0) , (π, 0) , (π, b) y (0, b) ;D es su interiory sean los segmentos L1, L2, L3 y L4 como en la figura adjunta. Pongamos

L∗4 = L4 − (0, b) , (π, b) .

Sean las funciones g1 (y) , 0 ≤ y ≤ b ;

g2 (x) , 0 ≤ x ≤ π, y g3 (x) , 0 ≤ y ≤ b,

definidas y continuas tales que g1 (0) = g2 (0) y g2 (π) = g3 (0).

PROBLEMA . Encontrar una función u = f (x, y) tal que

(i) u es continua sobre D ∪B ,


(ii) u satisface uxx = uy sobre D ∪ L∗4,

(iii) tenemos

f (0, y) = g1 (y) sobre L1f (x, 0) = g2 (x) sobre L2f (π, y) = g3 (y) sobre L3.

Proposición 1.1 Bajo las condiciones indicadas arriba,

(i) u = f (x, y) asume su máximo, y su mínimo, valor sobre L1 ∪L2 ∪L3,

(ii) si el problema tiene solución, ella es única.

(iii) Si el problema tiene solución u , entonces ella depende continuamentede g1 (y) , g2 (x) y g3 (y).

Nota. Mayores detalles sobre este capítulo, el lector puede consultar (porejemplo), [EPS], [FIG.1], [GRE] y [ORT.1]. Ver también otros detalles en elcapítulo 6.1. En especial el lector es sugerido ver 5.1.2 en donde discutimosla obtención de la ecuación del calor en sus diferentes formas. Asi mismo,en 5.1.3 damos algunas consideraciones históricas del problema.

1.7. ECUACIONESDIFERENCIALES PARCIALESDE PRIMER ORDEN.

1.7.1. Ecuaciones Lineales con dos variables.

En forma breve consideremos a las ecuaciones en derivadas parciales deprimer orden. El objetivo es llegar a motivar al celebrado teorema de Cauchy- Kowalevsky, que estudiaremos con mas detalle en el capítulo 6.2. Así mis-mo algunas ideas de esta sección servirán para comprender al problema deCauchy en contextos mas generales.(Ver capítulo 6).

Sea un dominio D ⊂ R2 y la ecuación diferencial

L (u) = aux + buy = c (i)

donde a (x, y) , b (x, y) y c (x, y) son apropiadas funciones definidas sobre D .(i) es una ecuación diferencial lineal de primer orden. u (x, y) es una soluciónde (i) si u está definida en D (o en un subconjunto de D ) si al reemplazarlaen la ecuación, ella se reduce a una identidad . La misión es determinarlas condiciones (suficientes) para que sea única la solución de (i). La ideaes, vía un apropiado cambio de variables, transformar (i) a una mas simpleecuación y que pueda ser tratada como una ecuación diferencial ordinaria.

1.7. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES DE PRIMERORDEN.19

Es sospechable que tales condiciones sean las hipótesis que deban satisfacerlos coeficientes a (x, y) , b (x, y) y c (x, y) .

Geométricamente, bajo ciertas hipótesis sobre a, b y c , la unicidad de lasolución (i) es obtenida requiriendo que la superficie z ≡ u = u (x, y) , querepresenta a la solución, deba contener una determinada curva del espacioR3 . Asi sea la curva C definida por las ecuaciones

x = ξ (t) , y = η (t) , z = ζ (t) ; t1 ≤ t ≤ t2 (ii)

donde las funciones ξ (t) , η (t) y ζ (t) son suficientemente derivables en talintervalo. Para cada t , por hipótesis, asume que C posee una recta tangente(no paralela al eje z ); para tener esto, ξ0 (t) y η0 (t) no se deben anularsimultáneamente para cada t . De esta manera, la superficie que contiene Cposee plano tangente (no vertical) en los puntos de intersección. Se requiereademás, que la curva C se proyecte sobre el plano xy de un modo unívoco(la solución debe ser una función).

Asumamos todo ello, esto es, asumamos que (i) posee una solución z =u (x, y) , superficie que contiene a la curva C, dada por (ii). Luego, de (i) y(ii) será posible determinarse los valores de ux y uy en cada punto de C yaque, en estos puntos, ux y uy satisfacen también

ζ 0 (t) = uxξ0 (t) + uyη

0 (t) (iii)

Asi, se ha obtenido un sistema de ecuaciones (i) y (ii), con incógnitas uxy uy , y además sabemos que la solución es única, a menos que tengamos¯

a bξ0 (t) η0 (t)

¯= aη0 (t)− bξ0 (t) = 0 (d)

La condición determinante (d) es llamada la “condición característi-ca”

Es claro que cuando tengamos (d), entonces (i) y (ii) es un sistemainconsistente. Por otro lado, si (d) no es satisfecha sobre C , entonces existeuna única solución de (i) conteniendo C .

Viendo (ii), la condición (d) la podemos escribir en forma

dy

dx=

b

a,

cuya solución nos lleva a ciertas curvas “peligrosas” enD . Así, esta ecuacióndiferencial determina en cada punto de D una única dirección “piso carac-terística”.

Entonces, una curva en D ⊂ R2 , teniendo en cada uno de sus puntos esadirección, es llamada una curva piso-característica, y es obtenida de laecuación diferencial bdx−ady = 0 . Se verifica (usando el teorema de Cauchy- Picard) que bajo ciertas condiciones sobre los coeficientes a (x, y) y b (x, y)


, existe una única curva característica que pasa a través de D. Así mismo, lacondición (d) garantiza que la proyección ortogonal de la curva C , sobre elplano xy , posee la dirección piso-característica; además, bajo la condiciónaη0 (t) = bξ0 (t) y bζ 0 (t) = cη0 (t) se tiene que la curva C posee en (x (t) , y (t))la dirección característica determinada por los número directores a, b y c .

Definición 1.5 Una curva en el espacio R3 , que posee en cada pun-to la dirección característica, es llamada una curva característica de laecuación

aux + buy = c.

Se sabe que la ecuación dada aux + buy = c admite:

infinitas soluciones conteniendo a la curva C , si esta curva es carac-terística;

ninguna solución si C no es una curva característica pero posee unacurva piso-característica (su proyección);

una solución si C no es característica y si su curva piso-característicatampoco es característica.

Por otro lado, de (i) y (ii) es factible determinarse formalmente, encualquier punto P de C en el cual (d) no es satisfecha, los valores de todaslas derivadas de la solución ( y no solamente de ux y uy ). Para garantizaresta conclusión, es necesario que las funciones coeficientes a, b y c poseanderivadas parciales de todas las órdenes, y que las funciones ξ (t) , η (t) yζ (t) posean derivadas parciales de todas las órdenes con respecto a t . Así,a la solución u se le asocia la serie de Taylor

∞Xm,n=0

cm,n (x− x0)m (y − y0)

n ,

donde (x0, y0) es la proyección de P . La cuestión es: en una vecindadde (x0, y0), ¿converge esta serie?. Tal límite sería la solución de (i), laque contiene a la curva C . La respuesta es afirmativa si las funcionesa, b, c, ξ (t) , η (t) y ζ (t) fueran funciones analíticas. Esta afirmación es elfamoso teorema de Cauchy - Kowalevsky.

1.7.2. Sistemas de Ecuaciones de Primer orden. Clasificación.

Sea D un dominio en R2 . Trataremos con un sistema casi - lineal deecuaciones diferenciales parciales de primer orden, en dos variables indepen-dientes x1 y x2 , y n funciones incógnitas u1 = u1 (x) , . . . , un = un (x) . Untal sistema es, por definición, de la forma

Li =nX

j=1

2Xk=1

aijkujxk + fi, i = 1, 2, . . . , n (s1)

1.7. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES DE PRIMERORDEN.21

donde (s1) es considerado en D , y aijk ∈ C¡D¢.

Definición 1.6 (s1) es llamado:

un sistema casi - lineal si aijk y fi son funciones de x y u =(u1 (x) , . . . , un (x));

un sistema casi∗ - lineal si los aijk son funciones que solo dependende x , y fi depende de x y u .

un sistema lineal si

fi =nX

j=1

bijuj + ci

y si los aijk, bij y ci son funciones de x solamente.

Recordemos la noción de derivada direccional de una función. Sea v ∈C1¡D¢y α un campo vectorial, con |α| > 0 , α (x) = (α1 (x) , α2 (x)) ,

α1, α2 ∈ C .Entonces, por definición,

vα =2X

k=1

αk (x) vxk

es llamada la derivada direcional de v (x) en la dirección de α . Observe-mos que (s1) contiene en general, n2 derivadas direccionales.

Sean λi = λi (x, u) adecuadas funciones; entonces, vía la combinaciónlineal

nXi=1

λiLi ≡ λi

nXi,j=1

2Xk=1

aijkujxk+

nXi=1

λifi = 0, (+)

la idea a desarrollar es encontrar un sistema de ecuaciones que sea equiva-lente a (s1) y que contenga exactamente una derivada direccional

uτα =2X

k=1

ατkuxk , τ = 1, 2, . . . , n,

en toda dirección, donde los ατ son vectores los cuales son reales y dos a doslinealmente independiente en todo x ∈ D .

Ahora pasemos a construir al sistema anunciado. Para ello necesitamosde n vectores linealmente independientes

λτ = (λτ1, . . . , λτn) .

Si substituimos estos vectores en (+) , el resultante sistema toma laforma

eLτ ≡nXi=1

λτi Li =nX

j=1

gτj ujατ +nX

j=1

λτj fi = 0, τ = 1, 2, . . . , n.


Si este sistema lo igualamos con (+) , se obtiene

nXi=1

λτi aij1 = gτj α

τ1,

nXi=1

λτi aij2 = gτj α

τ2 (∗)

Asumamos que λτ1 6= 0 en D; si ζτ =ατ2ατ1, de (∗) se obtiene

nXi=1

λτi¡aij1ζ

τ − aij2¢= 0.

Ahora, si deseamos que la ecuación algebraica en ζ , de grado n ,¯aij1ζ − aij2

¯= 0 (∗∗)

tenga n distintas raices reales ζτ en D , entonces debemos dar n camposvectoriales ατ .

Bien, ahora es posible obtener una clasificación de (s1) usando (∗∗) .Se tiene, si x ∈ D es un punto fijo, diremos que (s1) es de tipo:

elíptico . . . si (∗∗) posee ninguna raíz real ζ; distintas

hiperbólico . . . si (∗∗) posee precisamente n raices reales distintas ζ;

parabólico . . . si (∗∗) posee precisamente ν raices reales distintas ζ,donde 1 ≤ ν ≤ n− 1 .

(s1) es de tipo elíptico, hiperbólico o parabólico si, respectivamente lo esen todo x ∈ D.

1.8. TAREAS.

1. Verificar que las funciones u (x, y) = x2 − y2 y u (x, y) = ex sen y sonsoluciones de la ecuación uxx + uyy = 0.

2. Si u = f (x, y) es una función arbitrariamente diferenciable, pruebeque u satisface xux − yuy = 0 . Además verifique que las funciones

u = sen (xy) , u = log (xy) y u = exy

son también soluciones de tal ecuación.

3. Sea la ecuación de Laplace uxx+uyy = 0 . Pongamos x = r cos θ, y =r sen θ y w (θ, r) = u (r cos θ, r sen θ). Pruebe que, en coordenadaspolares, tal ecuación es

wrr +1

r2wθθ +

1

rwr = 0,

donde se asume que uxy = uyx.

1.8. TAREAS. 23

4. f (x, y) es llamada una función homogénea de grado n , si paratodo λ > 0 (real) se tiene f (λx, λy) = λnf (x, y). Si f es homogéneade grado n , pruebe que

x2fxx + xyfxy + xyfyx + y2fyy = n (n− 1) f.

5. Teorema de la divergencia. Sea D ⊂ Rn un dominio regular, con∂D suficientemente regular, y sea H = (h1, . . . , hn) ∈ C1

¡D¢una

función vectorial tal que

divH (x) =nXi=1

∂hi∂xi

(x)

es integrable, x = (x1, . . . , xn) ∈ D . Entonces,ZDdivHdx =

Z∂Dhnq,H (n)i dσ (n) ,

donde q ∈ ∂D y nq es el vector normal unitario exterior a ∂D en q .dσ es una medida de superficie en ∂D y h, i es un producto interno.Si u ∈ C

¡D¢∩ C1 (D) y v ∈ C1

¡D¢∩ C2 (D), usando el teorema de

la divergencia, pruebe queZD(u∆v + h∇u,∇vi) dx =

Z∂D

u∂v

∂ndσ

fórmula conocida como la primera identidad de Green.

Establezca la segunda identidad de GreenZD(u∆v − v∆u) dx =

Z∂D

µu∂v

∂n− v

∂u

∂n

¶dσ.

6. Por definición, u (x) es una función armónica en un dominioD ⊂ Rn

si:

u ∈ C2 (D) y ∆u = 0 .

Se dice que una función u tiene la propiedad del valor medio enx0 ∈ D si

u (x0) =1

|∂B (x0, r)|

Z∂B(x0,r)

u (q) dσ (q) . . . ∀B (x0, r) ⊂ D,

donde en general |A| es la medida de A .

Pruebe que: u es armónica en D ⇔ u tiene la propiedad del valormedio en cada x0 ∈ D .


7. Dada la función f ∈ C (∂D) , pruebe:

(i) la unicidad de la solución del problema de Dirichlet:

“encontrar u ∈ C¡D¢tal que

∆u = 0 . . . en Du = f . . . sobre ∂D ”.

(ii) la unicidad de la solución, a menos de una constante arbitraria,del problema de Neumann: “encontrar u ∈ C

¡D¢tal que

∆u = 0 . . . en D∂u∂n = f . . . sobre ∂D ”.

(iii) la unicidad de la solución del problema de Robin o mixto:

“encontrar u ∈ C¡D¢tal que

∆u = 0 . . . en D

h (x)u+ ∂u∂n = f . . . sobre ∂D , donde h (x) > 0

sobre ∂D .”

8. Si v (x) es una función armónica en D, pruebe queZ∂D

∂v

∂ndσ = 0. (Teorema de Gauss).

9. Sea x = (x1, x2, x3) ∈ R3 , t variable tiempo; D es un dominio acotado.Sean c, ρ, k tres constantes físicas apropiadas; f = f (x, t) representa ladensidad del calor producido en D por unidad de tiempo y u = u (x, t)representa la temperatura. Sea Di un subdominio arbitrario de D ,con frontera ∂Di . Se sabe que el calor contenido en Di en un tiempodado es

RDi

cρudx .Luego, el cambio del calor contenido en Di es dadopor

d

dt

ZDi

cρudx o

ZDi

cρ∂u

∂tdx ((i))

Por otro lado, el flujo de calor por unidad de tiempo en Di , a travésde ∂Di , es

−Z∂Di

k∂u

∂ndσ. ((ii))

Finalmente, el calor producido por unidad de tiempo en Di esZDi

fdx. ((iii))

1.8. TAREAS. 25

El Principio de la Conservación del Calor dice que ((i)) = ((ii)) +((iii)), es decir,Z

Di

cρ∂u

∂tdx = −

Z∂Di

k∂u

∂ndσ +

ZDi

fdx

ó ZDi

cρ∂u

∂tdx+

Z∂Di

k∂u

∂ndσ =

ZDi

fdx ((1))

Esta fórmula ((1)) es conocida como la ecuación del calor en formaintegral.

En el caso estacionario, ((1)) esZ∂Di

k∂u

∂ndσ =

ZDi

fdx . . . (10),

de donde, si f = 0 , obtenemos el teorema de Gauss mencionado en 8.

De ((1)) obtenga la ecuación del calor en forma diferencial:

cρ∂u

∂t− k∆u = f ((2))

y de (10) la ecuación de Poisson: −k∆u = f . . . (20)

[Sugerencia: en el teorema de la divergencia considere el campo vec-torial

H = −k∇u y −Z∂Di

ya que n es una normal interior en Di ]

10. Bajo las consideraciones de la tarea 9, si v es una función suficiente-mente regular, la ecuación del calor en la forma de la identidad dela energía es de la formaZ

Dcρ∂u

∂tvdx+

Z∂D

k∂u

∂nvdσ +

ZDk h∇u,∇vi dx =

ZDfvdx ((e))

y en el caso estacionario,Z∂D

k∂u

∂nvdσ +


ZDfvdx ((e0))

Pongamos E (u, v) =RD k h∇u,∇vi dx . Remarcamos que k > 0.

E (u, v) es la energía de u respecto a v . Verifique E (u, v) sat-isface:

E (u) ≡ E (u, u) ≥ 0; E (u) = 0⇔ u es una constante;

E (u, v) = E (v, u); E (αu, v) = αE (u, v) , E (u, βv) = βE (u, v);


E (u1 + u2, v) = E (u1, v)+E (u2, v) y E (u, v1 + v2) = E (u, v1)+E (u, v2).

11. D es un dominio acotado en R2 . Si u (x, y) es armónica enD y continuaen D , pruebe que u asume su máximo y mínimo valor sobre ∂D .

12. Estabilidad • Pruebe que la solución del problema de Dirichlet de-pende continuamente de los datos de contorno

•• Sea un una sucesión de funciones armónicas enD, continuas sobreD. Si

fn = un|∂D y fn converge uniformemente sobre ∂D pruebe que unconverge uniformemente sobre D.

13. Precisemos que un problema de valor inicial o problema deCauchy para una ecuación diferencial casi-lineal

auxx + buxy + cuyy + φ (x, y, u, ux, uy) = 0 (+)

con a2 + b2 + c2 6≡ 0, consiste en encontrar una función (solución)de la ecuación dada sobre un conjunto D ⊂ R2 tal que si I es unintervalo de número reales, C es una curva en el espacio R3 dada porx = x (t) , y = y (t) , u = u (t) , con x (t) , y (t) y u (t) de clase C2 talque µ

dx

dt

¶2+

µdy

dt

¶2+

µdu

dt

¶26≡ 0,

y C0 : x = x (t) , y = y (t) , u = 0 , con x (t) y y (t) ∈ C2, t ∈ I ,µdx

dt

¶2+

µdy

dt

¶26≡ 0,

tal que tengamos

• u asume valores dados en cada punto de C0 , y•• ux, uy asumen valores dados en cada punto de C0 .Aplicación. Sea R el conjunto de los números reales. Pruebe que ,sobre R2 , la función

u = u (x, y) = x+1

6

h(x+ y)3 − (x− y)3

ies una solución del problema de Cauchy: uxx − uyy = 0 , con x =t, y = 0, t ∈ R tal que• u (t, 0) = t , t ∈ R

•• ∂u (t, 0)

∂x≡ 1 , ∂u (t, 0)

∂y≡ t2 , t ∈ R

1.8. TAREAS. 27

14. Dada la ecuación casi-lineal (+) , tarea 13, la ecuación diferencialcaracterística asociada a ella es, por definición, a (dy)2−b (dy) (dx)+c (dx)2 = 0 (Ver 9(i))

Las soluciones de la ecuación diferencial característica se llaman cur-vas características o simplemente características.

Aplicación. Encontrar las ecuaciones de las características de las si-guientes ecuaciones

(i) uxx + 2uxy + uyy = 0

(ii) uxx + 4uxy + 5uyy = 0

(iii) uxx − 3uxy + uyy − ux = 0.

15. En 4. hemos clasificado a las ecuaciones diferenciales parciales de se-gundo orden, en hiperbólicas, parabólicas, o elípticas según, respec-tivamente, b2 − 4ac es: > 0, = 0, ó < 0. Clasifique las siguientesecuaciones:

(i) x2uxx − 2xyuxy + y2uyy = ex

(ii) exuxx + eyuyy = u

(iii) uxx + 2uxy + 3uyy + 4ux + 5uy + u = ex.

16. Teorema. El signo del descriminante b2 − 4ac de la ecuación

auxx + buxy + cuyy + dux + euy + fu+ g = 0 (++)

es invariante bajo la transformación afin

x = α1x+ β1y + γ1, y = α2x+ β2y + γ2,

donde α1, β1, α2, β2, γ1, γ2 son constante y α1β2−α2β1 6= 0 . Además,bajo una transformación afín una ecuación hiperbólica, elíptica o parabóli-ca se transforma, respectivamente, en una ecuación hiperbólica, elíp-tica o parabólica.

Caso Hiperbólico. “Dada la ecuación (++) , donde a, b, c, d, e yf son constantes reales, g es una función de x, y sobre D ⊂ R2,a2 + b2 + c2 6≡ 0, si (++) es hiperbólica sobre D, entonces existeuna transformación afín de la forma

x = α1x+ β1y, y = α2x+ β2y (∗)

tal que (++) toma la forma:

ux y = d1ux + e1uy + f1u+ g1 (x, y)


donde d1, e1 y f1 son constantes y g1 es una función de valor - real dex, y sobre D1 , el cual es la imagen de D bajo la transformación afín(∗) .”Nota. Bajo las mismas consideraciones anteriores, existe una trans-formación afín de la forma (∗) tal que (++) toma la forma:

ux x − uy y = d1ux + e1uy + f1u+ g1 (x, y) ,

con d1, e1, f1 y g1 como antes.

Caso Elíptico. Dada la ecuación (++) , como antes, si ella es elípticasobre D, entonces existe una transformación afín de la forma (∗) talque (++) toma la forma

ux x + uy y = d1ux + e1uy + f1u+ g1 (x, y) ,


Caso Parabólico. Dada la ecuación (++), como antes, si ella esparabólica sobre D , entonces existe una transformación afín de laforma (∗) tal que (++) toma la forma

ux x = d1ux + e1uy + f1u+ g1 (x, y) ,


Nota. Las ecuaciones en las variables x, y , se llaman formas canóni-cas. Transformar a su formas canónicas las siguientes ecuaciones difer-enciales parciales:

(i) uxx + uxy − uyy = 0

(ii) uxx + 2uxy + uyy = 0

(iii) 2uxx − uxy + uyy = 0

(iv) uxx + uxy − 3uyy + 7 = 0(v) 2uxx + 3uxy + 4uyy + ux − exy = 1

(vi) uxx − 4uxy + 4uyy − ux − x2 = 0.

Nota. Para mas detalles relativo a esta tarea, el lector puede consultar[GRE].

17. Problema de Cauchy I (para la cuerda vibrante): Hallar lasolución sobre R2 de los problemas:(i) uxx − utt = 0 , u (x, 0) = 1 , ut (x, 0) = 0(ii) uxx − utt = 0, u (x, 0) = senx, ut (x, 0) = cosx(iii) utt − uxx = 0, u (x, 0) = x, ut (x, 0) = x .

1.8. TAREAS. 29

Problema de Cauchy II “Sea g (x, t) una función de clase C2¡R2¢y

D un conjunto de números reales. Encontrar una solución u = u (x, t)de la ecuación de la onda uxx − utt = g (x, t) tal que si p (x) ∈C2, q (x) ∈ C1 , x ∈ D, se tiene

u (x, 0) = p (x) , x ∈ D; ut (x, 0) = q (x) , x ∈ D”.

La única solución de este problema, en cualquier punto (x1, t1) , esdada por

u (x1, t1) =1

2(p (x1 + t1) + p (x1 − t1))+

1

2

Z x1+t1

x1−t1q (x) dx−1

2

ZZRg (x, t) dR,

donde R es la unión del interior y la frontera del triángulo con vértices

(x1, t1) , (x1 − t1, 0) , (x1 + t1, 0) .

Hallar la solución sobre R2 de los problemas:

(i)uxx − utt = 1, u (x, 0) = 1, ut (x, 0) = 0

(ii)uxx − utt = 4t, u (x, 0) = x2, ut (x, 0) = 1

(iii)uxx − utt = xt, u (x, 0) = cosx, ut (x, 0) = senx.

18. Pruebe el lema de Riemann - Lebesgue.

19. Sea u (x) una función, la cual satisface la propiedad del valor medio(ver tarea 6) sobre un dominio acotado D ⊂ Rn y u ∈ C0

¡D¢. Pruebe

que u asume su valor mínimo sobre ∂D . [Ver el principio del máximo].

20. Sea u (x) armónica en Rn . Pruebe que v (x) = u (λx) es armónica,donde λ es real.

21. Sea D un dominio en Rn con ∂D suficientemente regular; sea u ar-mónica en D tal que u es una constante sobre ∂D . Verifique que u esconstante sobre D .

22. En R2 , sea un rectángulo con vértices P1, P2, P3 y P4 (P1 y P4 sonvértices opuestos, y cuyos lados son segmentos de características de laecuación de la onda

utt − uxx = 0. (*)

Pruebe que: u (x, t) ∈ C2¡R2¢es solución de (*) ⇔ u (P1) + u (P4) =

u (P2) + u (P3) para todo tal rectángulo.


1.9. COMENTARIOS.

(i) Este capítulo pretende presentar un conjunto de temas básicos-clásicosde la teoría de ecuaciones en derivadas parciales; así mismo, de mo-tivar algunas ideas que en el resto del libro presentamos de un modogeneralizado vía el análisis funcional y las distribuciones. Su lectura,y la realización de las tareas dadas, permiten al lector hacer un rápi-do repaso de los tópicos presentados. Un lector con experiencia en lostemas dados puede pasar al capítulo 2 ó 3.

(ii) En los libros [MIL], [GRE], [MYI], [EPS], [FIG.1], [SEE], [ORT.1], ellector puede encontrar un desarrollo detallado de lo tratado en esecapítulo. En particular, [PET] es una clásica obra en el tema. Paraaplicaciones a la física, [SOM] es una apropiada obra; ver también[COU-HIL]. Para las series de Fourier, consultar [SEE].

(iii) Es importante que el estudiante que se inicia en el estudio de las ecua-ciones en derivadas parciales tenga una buena visión y formación en losaspectos clásicos, incluyendo las aplicaciones a la física y otras áreas.Si se omite esto y se entra directamente a los aspectos generalizadosde los espacios abstractos y de la teoría de operadores diferenciales,posiblemente el lector pueda no tener dificultades matemáticas, perocreemos que se pierde la oportunidad de aprender muchas ideas y méto-dos motivadores, en donde están (muchas veces) las ideas esencialesde las ecuaciones en derivadas parciales.

Capítulo 2

CÁLCULO DEVARIACIONES

2.1. SIGLO XVIII

2.1.1. Generalidades.

Pocos años despues de la muerte de Newton, el cálculo se desarrolló envarias direcciones, como son las ecuaciones diferenciales, las series y el cálculode variaciones. Nuestro proposito en esta oportunidad es estudiar el cálculode variaciones y su conexión con las ecuaciones en derivadas parciales.

• Problema [Newton. Libro II. “Principia”]“Encontrar el minimo valor de la integral

J =

Z x2

x1

y (x) [y0 (x)]3

1 + [y0 (x)]2dx ,

escogiendo la función adecuada y(x), cuyo gráfico rota alrededor del eje x”.

A este problema llegó Newton al estudiar el movimiento de los objetos en elagua. Considera la cuestión sobre la forma que debe tener la superficie derevolución que se mueve a una velocidad constante en la dirección de su ejesi ella ofrece la menor resistencia al movimiento. Así tenemos el problema

31

32 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DE VARIACIONES

de determinar superficies de revolución de área mínima, que precisamos enla forma: “entre las curvas que unen dos puntos de un plano, hallar aquellacuyo arco, al rotar al rededor del eje x, engendra la superficie con menorárea”. Veamos. Sean los puntos dados P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) ; y = f (x) esla función que describe la curva arbitraria dada y que satisface la condición:

y1 = f (x1) e y2 = f (x2) . (2.1)

Al girar la curva alrededor del eje x, ella describe una superficie cuyaárea es dada por la integral

J = 2π

Z x2

x1

y

q1 + (y0)2dx.

Asi el problema consiste en determinar a la curva y = f (x), que verificando(2.1), haga que J sea mínimo.

• Problema de la Braquistócrona [John Bernoulli. Acta Erudito-rum. 1696.]

En junio de 1696, J. Bernoulli propuso en el Acta Eruditorum un proble-ma isoperimétrico, quizás el mas antiguo en su género, llamado el problemade la braquistócrona o de la curva de descenso mas rápida, y que consisteen: ¿entre todas las curvas que unen los puntos P1 y P2, se desea hallaraquella curva que a lo largo de ella una partícula (o punto matemático),moviéndose bajo la fuerza de la gravedad de descenso mas rápida desde P1,sin velocidad inicial, llega al punto P2 en el menor tiempoÀ .

Asi se deben considerar todas las posibles curvas l que unen P1 y P2. Sea Tel tiempo invertido para descender la particula desde el punto P1 al puntoP2 a través de l. Es claro que T depende de l. Luego, el problema consiste enencontrar l tal que T sea mínimo. Por estrategia consideremos P1 = (0, 0) y

2.1. SIGLO XVIII 33

el diagrama adjunto arriba. Sea P2 (x2, y2) . y = f (x) , 0 ≤ x ≤ x2, describeuna curva arbitraria donde asumimos que f es continuamente diferenciable.Desde que la curva pasa por P1 y P2 se debe tener

f (0) = 0 y f (x2) = y2. (2.2)

Sea P (x, y) un punto arbitrario sobre la curva, entonces la velocidad v deuna partícula en P estará relacionada con la ordenada del punto por laecuación (física):

gy =1

2v2 (g constante de gravedad),

esto es, v =√2gy. Luego el tiempo necesario para que la partícula recorra

un elemento de arco ds de la curva es:

ds

v=

q1 + (y0)2

√2gy

dx ;

luego, el tiempo total del descenso de la partícula a lo largo de la curva, deP1 a P2 , es:

T =1√2g

Z x2

0

s1 + (y0)2

ydx.

Conclusión: “entre todas las posibles curvas, dadas por y = f (x) queverifican (2.2), hallar aquella que haga T un mínimo ”.

Newton, Leibniz, L’Hospital, John Bernoulli y James Bernoulli encon-traron la solución correcta del problema de la braquistócrona; tales solu-ciones fueron publicadas en el Acta Eruditorum de mayo 1697.

• Geodésicas. Otro problema en la dirección anterior es el problemade determinar trayectorias de mínima longitud entre dos puntos sobre unasuperficie. Si la superficie es un plano, la integral a ser considerada es

J =

Z x2

x1

q1 + (y0 (x))2dx,

y la respuesta es una recta. En el siglo dieciocho el problema geodésico deinterés fue encontrar la mas corta trayectoria sobre la superficie de nuestraTierra. En general, sobre una esfera las “geodésicas” son arcos de grandescírculos. Sean P y Q dos puntos, no diametralmente opuestos, sobre unaesfera y c el mas corto arco conectando P y Q, y que están sobre un gran


círculo.

Ahora preguntamos: ¿cuál es el arco mas grande c0 sobre el mismo grancírculo?. . . ciertamente c0 no da la mínima longitud ni da la máxima lon-gitud para curvas uniendo P y Q desde que podemos trazar curvas largasarbitrarias entre P y Q. Estamos ante un problema máximo - mínimo y sebusca la solución c0. En esta dirección, consideremos un punto S sobre ungran círculo fijo que separa P y Q. Se indaga ahora por la mas corta conex-ión entre P y Q sobre una esfera que pasa a través de S. Modifiquemosun poco la anterior situación para comprender mejor el problema máximo -mínimo: “determinar la trayectoria de mínima longitud de P a Q pasando através de n puntos prescritos S1, S2, . . . , Sn sobre una esfera”; “determinarlos puntos S1, S2, . . . , Sn de modo que esta mínima longitud venga a ser tangrande posible”.

Nota 1. Este tipo de problema máximo - mínimo es típico de cuestiones enel cálculo de variaciones.

Nota 2. Problema isoperimétrico: entre todas las curvas cerradas, de lon-gitud dada, ¿cuál es la que encierra la mayor área?... el círculo.

Formulación Analítica De un modo general, los problemas anteriorespueden ser formulados en la forma siguente: “encontrar y (x) que va se(x1, y1) a (x2, y2) y que minimiza o maximiza

J =

Z x2

x1

F¡x, y, y0

¢dx ”. J es una funcional.

Es curioso e interesante saber que problemas del tipo dado en la Nota 2 yaera conocido, en algún sentido, en la antigua Grecia.

Formulación Analítica del Problema Isoperimétrico Basico: x =x (t) , y = y (t) , t1 ≤ t ≤ t2, representan las posibles curvas cerradas y

2.1. SIGLO XVIII 35

por tanto x (t1) = x (t2) , y (t1) = y (t2); asumimos que las curvas no seintersectan entre si.

Problema. “Determinar la curva tal que la longitud

L =

Z t2

t1

q(x0)2 + (y0)2dt

sea constante y tal que (integral-área)

J =

Z t2

t1

¡xy0 − x0y

¢dt sea un máximo”.

Nota. La Membrana. Sea D el dominio del plano ocupado por una

membrana; ∂D es su contorno. φ (s) es el desplazamiento de s ∈ ∂D aldeformarse el contorno. Entonces el interior de la membrana también sedeforma. Se desea hallar la posición de equilibrio de la membrana cuandoconocemos la deformación del contorno.

Este problema lleva a minimizar una integral y asi estamos en el estilodel cálculo de variaciones.

2.1.2. EULER. Ecuaciones Diferenciales del Cálculo de Varia-ciones.

Como sabemos, una condición necesaria para que existe un valor extremo(máximo ó mínimo) de una función diferenciable f en x es que f 0 (x) = 0.Ahora la idea es encontrar una condición necesaria que debe satisfacer unafunción F para que dé un valor extremo de una funcional J . Como veremosposteriormente, tal función debe satisfacer una cierta ecuación diferencial.Mas concretamente, sea la funcional

J (x) =

Z t2

t1

F¡t, x, x0

¢dt.

Entonces F satisface la ecuacion diferencial de euler del problema varia-cional:

d

dtFx0 − Fx = 0. (2.3)

Así, si una función x (t) minimiza la funcional J (x) entonces debe satisfacerla ecuación diferencial (2.3).

Ejemplo 2.1 Recordemos al problema de la braquistócrona. Se trata de hal-lar el mínimo de la integral Z x2

0

s1 + (y0)2

ydx,

con la condición y (0) = 0, y (x2) = y2.


En este caso, F =

q1 + (y0)2

√y

. Luego la ecuación de Euler (2.3) es:

Fy −d

dxFy0 = 0 ó − 1

2y−

32

q1 + (y0)2 − d

dx

⎡⎣y− 12

y0q1 + (y0)2

⎤⎦ = 0.Operando obtenemos

2y00

1 + (y0)2= −1

y.

Multiplicando ambos miembros de la ecuación por y0 e integrando, obten-emos

ln³1 +

¡y0¢2´

= − ln y + ln k ,

esto es ¡y0¢2=

k

y− 1, ó

ry

k − ydy = ±dx .

Si

y =k

2(1− cos t) , dy =

k

2sent dt.

Reemplazando y simplificando, obtenemos

k

2(1− cos t) dt = ±dx.

Integrando

x = ±k

2(t− sent) + c.

La curva pasa por el origen, luego c = 0.

Conclusión: la braquistócrona es la cicloide

x =k

2(t− sent) , y =

k

2(1− cos t) .

2.1.3. Principio de Menor Acción.

¿Cuál es la idea? Veamos algunas motivaciones históricas. Euclidesprobó que la luz viajando de P a un espejo y entonces aQ toma la trayectoriatal que ]α = ]β, ver figura. Posteriormente Herón probó que la trayecto-ria PRQ, que la luz hace, es mas corta que cualquier otra trayectoria, por

2.1. SIGLO XVIII 37

ejemplo, PR0Q.

Filósofos y científicos muchos años posteriores a la era griega afirmaron que:¿La naturaleza actúa en el camino mas corto posibleÀ o ¿La naturalezano hace nada superfluo o cualquier trabajo innecesarioÀ. En el siglo XVII,Fermat (1657 y 1662) estableció su “Principio del Menor Tiempo”:¿Laluz siempre toma la trayectoria que requiere el menor tiempoÀ .

Veamos como llegamos, en esta dirección, a minimizar una funcional. Laley de refracción dice:

senαsenβ

=v1v2

,

siendo v1 la velocidad de la luz en un medio y v2 en otro; llamemos n =v1v2el

índice de refracción del segundo medio con respecto al primero. Si el primermedio fuera el vacío, n se llama el índice absoluto de refracción del mediono vacío. Sea c la velocidad de la luz en el vacío y v es la velocidad en unmedio, entonces tenemos el índice absoluto n =

c

v.

Si el medio fuera variable en el comportamiento de punto a punto, en-tonces n y v son funciones de x, y, z. Luego el tiempo requerido por la luzpara viajar de un punto P1 a P2 a lo largo de la curva x (t), y (t) , z (t) esdado por

J =

Z t2

t1

ds

v=

Z t2

t1

n

cds =

1

c

Z t2

t1

n (x, y, z)

q(x0)2 + (y0)2 + (z0)2dt ,

donde t1 es el valor de t en P1 y t2 el valor en P2. Por tanto tenemos el

Principio del Menor Tiempo: “La trayectoria seguida por la luz para irde P1 a P2 es la curva (x (t) , y (t) , z (t)) que hace J un mínimo”.


Otras contribuciones sobre el principio del menor tiempo fueron hechaspor diversos matemáticos, sobre todo deben ser mencionadas las debidas aPierre-Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759), a Euler y a Lagrange.

2.1.4. LAGRANGE.

A los 19 años, Lagrange comenzó a interesarse por problemas del cálculode variaciones (1750) motivado por los trabajos de Euler. Su gran aporte esque introdujo métodos analíticos obteniendo asi un procedimiento general yuniforme para una amplia variedad de problemas. Escribió una notable obra:“Essai d’une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minimades formules intégrales indéfinies”. En una comunicación a Euler (1755),llama a su estrategia “método de variaciones” y que Euler en 1756 llamó“Cálculo de Variaciones”.

Veamos brevemente el porqué de “Cálculo de Variaciones”. Como sabe-mos, el problema consiste en encontrar y = y (x) tal que minimice o max-imice la funcional

J =

Z x2

x1

F¡x, y, y0

¢dx.

La idea de Lagrange fue introducir nuevas curvas, que van de (x1, y1) a(x2, y2). Tales nuevas curvas las denota y (x) + δy (x), donde δ indica lavariación de la curva y (x) . La idea ahora es introducir esta nueva curva enla anterior integral y considerar la diferencia, obteniéndose el incremento:

4J =

Z x2

x1

£F¡x, y + δy, y0 + δy0

¢− F

¡x, y, y0

¢¤dx .

Lagrange obtiene

4J = δJ +1

2δ2J +

1

3!δ3J + · · ·

2.2. SIGLO XIX. 39

donde

δJ =

Z x2

x1

£Fyδy + Fy0δy

0¤ dx · · · primera variación de J ;

δ2J =

Z x2

x1

hFyy (δy)

2 + 2Fyy0 (δy)¡δy0¢+ Fy0y0

¡δy0¢2i

dx

· · · segunda variación de J.

Luego de cierto argumento, establece que

δJ =

Z x2

x1

∙Fyδy −

µd

dxFy0

¶δy

¸dx,

que δJ = 0 para toda variación δy, y que Fy −d

dx

¡Fy0¢= 0, que es precisa-

mente la ecuación diferencial de Euler.Lagrange (1760−61) considera problemas que lo llevan a integrales múlti-

ples de la forma

J =

ZZDF (x, y, z, p, q) dxdy (2.4)

donde z = z (x, y), p =∂z

∂x, q =

∂z

∂yy D es una región en el plano xy.

Problema: Encontrar z = z (x, y) que maximice o minimice J.Lagrange obtuvo la ecuación diferencial que debe satisfacer z (x, y) para

minimizar (2.4). Ella es

R∂2z

∂x2+ S

∂2z

∂x∂y+ T

∂2z

∂y2= U

donde R,S, T y U son funciones de x, y, z, p y q.

2.2. Siglo XIX.

Como sabemos, Euler y Lagrange fundaron el cálculo de variaciones enel siglo XVIII en relación con problemas de la física, siendo el principiode la menor acción una de las motivaciones para posteriores trabajos en elcampo de la física matemática. En el siglo XIX se continuó trabajando ental dirección pero aplicado a otras ramas, como es la astronomía. El cálculode variaciones está en la búsqueda de valores extremos para funcionalesdefinidas en clases de funciones, cada vez mas amplias. Veamos algunasideas matemáticas.

Sea dada la funcional

J =

Z x

x0

F¡x, y, y0

¢dx.


Si δJ = 0 pero δ2J 6= 0, entonces el signo de4J coincide con el de δ2J , parapequeñas variaciones de las funciones y de sus derivadas. Legendre (1786)obtuvo la condición: “se tendrá un máximo o un mínimo si F satisface

∂2F

∂ (y0)2≤ 0 ó

∂2F

∂ (y0)2≥ 0 respectivamente”.

En la intersección de los siglos XVIII y XIX surgieron nuevas ideas queconsolidaban la relación entre el cálculo de variaciones y las ecuaciones enderivadas parciales. Asi, en 1834, el matemático ruso M.V. Ostrogradskiprobó que el problema de obtener valores extremos para integrales múltipleses equivalente al problema de resolver ciertas ecuaciones diferenciales de lafísica-matemática. Retomemos las ideas de Lagrange para integrales en elplano. Sea la funcional (2.4)

J =

ZZDF (x, y, z, p, q) dxdy

donde como sabemos, z = z (x, y) , p =∂z

∂x, q =

∂z

∂y. Luego, como antes,

(D es un adecuado dominio en el plano):

4J =

ZZD[F (x, y, z + δz, p+ δp, q + δq)− F (x, y, z, p, q)] dxdy

=

ZZD

µ∂F

∂zδz +

∂F

∂pδp+

∂F

∂qδq +R

¶dxdy.

La condición necesaria para tener un valor extremo de la funcional es:

δJ =

ZZD

µ∂F

∂zδz +

∂F

∂pδp+

∂F

∂qδq

¶dxdy = 0.

Usando cierta fórmula de Ortrogradsky para integrales dobles, se obtiene:ZZD

∙∂F

∂z− ∂

∂x

µ∂F

∂p

¶− ∂

∂y

µ∂F

∂q

¶¸δzdxdy = 0,

luego, asumiendo continuidad del integrando, se tendrá:

∂F

∂z− ∂

∂x

µ∂F

∂p

¶− ∂

∂y

µ∂F

∂q

¶= 0.

Conclusión. El problema de determinar un valor extremo para una fun-cional dada por una integral doble es equivalente a resolver un problemade contorno para una ecuación diferencial en derivadas parciales de segundogrado.

2.2. SIGLO XIX. 41

En una próxima sección, veremos que la solución del problema de Dirich-

let z = z (x, y) (esto es, z satisface la ecuación de Laplace∂2z

∂x2+

∂2z

∂y2= 0)

proporciona un valor extremo para la funcional

J =

ZZD

"µ∂z

∂x

¶2+

µ∂z

∂y

¶2#dxdy .

En el espacio usual¡R3¢, donde ocurren los fenómenos físicos, si u es

el potencial de las velocidades de una corriente estacionaria de un líqui-do homogéneo e incomprensible, tendríamos la ecuación de Laplace 4u =∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+

∂2u

∂z2= 0. Entonces, la solución deseada u0, que además, en la

frontera de la región D asume valores dados, minimiza a la funcionalZZZD

∙∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+

∂2u

∂z2

¸dxdydz.

Físicamente, esto correponde al mínimo de la energía cinética.Riemann llamó a este hecho:“Principio de Dirichlet”. Este principio

fue el origen histórico del desarrollo del análisis funcional en el siglo XX; enverdad, fue el origen objetivo para los métodos del cálculo de variaciones ymuchos otros métodos del análisis numérico.Generalizemos estas ideas alespacio Rn. Sea D ⊂ Rn un domino acotado y sea, para f ∈ C0 (∂D) dado,la clase

A =©v ∈ C1 (D) ∩C0

¡D¢/ v = f sobre ∂D

ª.

Entonces,

J (v) =

ZD

nXi=1

µ∂v

∂xi

¶2dx, v ∈ A,

es llamada la Integral de Dirichlet.

Principio de Dirichlet (ya formulado por Gauss en 1840 y por Kelvin en1847) dice: ¿Si la función u es solución del problema variacional J (u) =ınf J (v) , v ∈ A , entonces u es solución del problema de Dirichlet clásico:½

4u = 0 en Du = f sobre ∂D

À .

Motivación Física. En la física J (v) es la integral de energía; puesto quela solución del problema de Dirichlet corresponde a un estado estacionario(no depende del tiempo) esta solución tiene que corresponder a un mínimode la energía.


Para los matemáticos y físicos del siglo XIX la existencia de un mínimode la integral de Dirichlet era algo evidente por “intuición física”; luego, seasumió que también era evidente el problema de Dirichlet, es decir, siempretendría solución.

Nota. Muchas partes de la obra de Riemann están basadas en esta convic-ción (por ejemplo en las superficies de Riemann). Pero, en 1869, Weierstrassdemostró, con un ejemplo simple, que el mínimo de la integral de Dirichletno necesariamente tiene que existir. Remarcamos que esta falla en nadaopaca al brillante genio que fue Riemann!.

Tal resultado de Weierstrass produjo una gran consternación. Mas tardeJ. Hadamard construyó, en el caso de la esfera, una función sobre la fronterapara la cual la solución del problema de Dirichlet correspondiente no tieneuna integral de Dirichlet finita, es decir, que en cierto sentido general, elPrincipio de Dirichlet y el Problema de Dirichlet no son equivalentes.

Las primeras demostraciones correctas de una solución del problema deDirichlet sin el uso del Principio de Dirichlet, en casos especiales, fueronlogrados por H. Poincaré, Neumann, H.A. Schwartz. En 1900, David Hilbertdemostró que el Principio de Dirichlet es válido con condiciones especialespara la clase de funciones donde se busca la solución (La clase A de arriba).En este trabajo de Hilbert por primera vez se consideran los “espacios defunciones” y marcó el origen del desarrollo del análisis funcional.

Hilbert influyó poderosamente,entre otras áreas, al desarrollo de métodosdirectos del cálculo de variaciones, con contribuciones de R. Courant, entreotros.

2.3. ELEMENTOS SOBRECÁLCULODEVARIA-CIONES.

2.3.1. Motivaciones.

Sea la función J : A → R, donde A es un conjunto arbitrario. Supong-amos que exista una constante m (ó M) tal que

m ≤ J (x) (ó J (x) ≤M) , ∀x ∈ A.

Questión. ¿Existe x0 ∈ A tal que m = J (x0) (ó M = J (x0))?

Ejemplo 2.3.1 Si A = [0, 1] , J = f es continua, entonces sabemos quela respuesta es afirmativa.

2.3. ELEMENTOS SOBRE CÁLCULO DE VARIACIONES. 43

Ejemplo 2.3.2 Si A es un espacio topológico compacto y J = f escontinua, entonces la respuesta es también afirmativa.

Definición 2.1 Si A es un espacio de funciones, J : A → R es llamadauna funcional. En este caso la respuesta puede ser falsa.

Contra Ejemplo 2.3.2 Sean

A = x : [0, 1]→ R continua / x (0) = x (1) = 1

y la funcional

J (x) =

Z 1

0x2 (t) dt.

Tenemos que infJ(x) = 0 pero no existe x ∈ A tal que J(x) = 0.

Definición 2.2 Un Problema Variacional consiste en encontrar unafunción en A que minimice o maximice la funcional J.

Ejemplo 2.3.3 Sean

A =©x : [a, b]→ R, x ∈ C2 ([a, b]) / x (a) = x1, x (b) = x2

ªy

J (x) =

Z b

aF¡t, x, x0

¢dt , donde x0 =

dx

dty F ∈ C2

¡t, x, x0

¢.

Nota En la física aparecen algunos problemas variacionales de este tipo.


Ejemplo 2.3.4 (Extensión del ejemplo 2.3.3). Sea

A =

½(x (t) , y (t)) , x, y ∈ C2 ([a, b]) /

x (a) = x1 x (b) = x2y (a) = y1 y (b) = y2

¾y sea la funcional

J (x, y) =

Z b

aF¡t, x, y, x0, y0

¢dt donde F ∈ C2

¡t, x, y, x0, y0

¢.

Ahora consideramos funciones las cuales dependen de mas variables. Porsimplicidad consideremos dos variables; en el caso general es una cuestiónde notación.

Ejemplo 2.3.5 Sea D ⊂ R2 un dominio regular (con contorno “suave”)y sean

A = u = u (x, y) : D→ R de clase C2 (D) /u toma valores dados sobre Γ = ∂D(u = f sobre Γ),

J (u) =

ZDF (x, y, u, ux, uy) dxdy,

donde

ux =∂u

∂xy F ∈ C2 (x, y, u, ux, uy) .

Ejemplo 2.3.6 Sea D ⊂ R2 un dominio regular.A = (u, v) ; u, v : D→ R de clase C2 (D) /

u = f , v = g sobre Γ siendo f y g dados.Sea la funcional

J (u, v) =

ZDF (x, y, u, v, ux, uy, vx, vy) dxdy

donde F ∈ C2 (x, . . . vy) .

Es dificil decir cuando un problema variacional tiene solución. Presen-tamos a continuación (en 2,3,2) algunas condiciones necesarias para que losproblemas 2,3,4 y 2,3,5 tengan solución.

Lema 2.1 Lema Fundamental del Cálculo de Variaciones.

Sea f : D ⊂ Rn → R continua. Si para toda función real continua η (x)sobre D, tal que η es nula en una vecindad de Γ, se tuvieraZ

f ηdx = 0,

entonces f (x) = 0, ∀x ∈ D.


PruebaPor el absurdo, supongamos que exista x0 ∈ D donde f (x0) 6= 0, digamos

f (x0) > 0. Siendo f ∈ C0 (D) existirá una vecindad N (x0) donde f (x) > 0.Consideremos ahora η (x) > 0 en N (x0) y η (x) = 0 en el complemento deN (x0) , entonces tendremosZ

f ηdx =

ZN(x0)

f ηdx > 0 ,

lo que es una contradicción.¥

2.3.2. Las Ecuaciones Diferenciales de Euler.

Teorema 2.1 Si x = ϕ (t) e y = ψ (t) es una solución del problema varia-cional dado en el ejemplo 2.3.4, entonces ello es también solución del sistemade ecuaciones diferenciales:

d

dtFx0 − Fx = 0

d

dtFy0 − Fy = 0 ... ecuaciones de Euler

PruebaSupongamos que

J (x, y) =

Z b

aF¡t, x, y, x0, y0

¢dt

asume su mínimo (su máximo) en (ϕ,ψ) . Luego

J (ϕ,ψ) ≤ J (ϕ+ ε1η1, ψ + ε2η2) , ∀ ε1, ε2 > 0

y η1 = η1 (t), η2 = η2 (t) son funciones de clase C2 ([a, b]) y tal que ellas son

nulas en a y b.Ahora definamos la función de valor real en las variables ε1, ε2 :

q (ε1, ε2) =

Z b

aF¡t, ϕ+ ε1η1, ψ + ε2η2, ϕ

0 + ε1η01, ψ

0 + ε2η02

¢dt


la cual, asumimos, toma su mínimo en el origen (0, 0) ; lo cual implica quelas primeras derivadas son nulas en (0, 0) . Así,

0 =

Z b

aη1Fxdt+

Z b

aη01Fx0dt

=

Z b

aη1Fxdt+ η1Fx0 |ba −

Z b

aη1

d

dtFx0dt

=

Z b

a

µFx −

d

dtFx0

¶.η1dt.

Luego, Z b

a

£η1Fx

¡t, ϕ, ψ, ϕ0, ψ0

¢+ η01Fx0

¡t, ϕ, ψ, ϕ0, ψ0

¢¤dt = 0.

Similarmente,Z b

a

£η2Fy

¡t, ϕ, ψ, ϕ0, ψ0

¢+ η02Fy0

¡t, ϕ, ψ, ϕ0, ψ0

¢¤= 0.

Integrando por partes el segundo sumando y considerando que η1 y η2 sonnulos en a y b, tenemosZ b

a

µFx −

d

dtFx0

¶η1dt = 0 y

Z b

a

µFy −

d

dtFy0

¶η2dt = 0.

Usando el lema fundamental obtendremos la tesis.¥

Teorema 2.2 Si ϕ (x, y) es una solución del problema variacional dado enel ejemplo 2.3.5, entonces ϕ es también solución de la ecuación diferencialparcial

∂

∂xFux +

∂

∂yFuy − Fu = 0 ... ecuación de Euler

PruebaAsumamos que

J (u) =

ZDF (x, y, u, ux, uy) dxdy

toma su mínimo en u = ϕ en A. Entonces

J (ϕ) ≤ J (ϕ+ εη) , ∀ε > 0, η ∈ C2 (D) ,

con η = 0 sobre Γ ≡ ∂D.


Definamos

q (ε) =

ZDF¡x, y, ϕ+ εη, ϕx + εηx, ϕy + εηy

¢dxdy;

q toma su mínimo valor en ε = 0. Como en el anterior teorema, debemostener q0 (0) = 0, esto es,Z

D[ηFu

¡x, y, ϕ, ϕx, ϕy

¢+ ηxFux


¢+ηyFuy


¢dxdy = 0.

Nuevamente, integrando por partes y usando que η es nula en una vecin-dad de Γ tendremosZ

D

µFu −

∂

∂xFux −

∂

∂yFuy

¶ηdxdy = 0.

Aún por el lema fundamental obtendremos la tesis.¥

2.3.3. Principio de Dirichlet.

Hemos visto que el problema variacional de minimizar la funcional

J (u) =

ZD

¡u2x + u2y

¢dxdy, (2.5)

integral de Dirichlet, en la colección

A (f) =©u ∈ C2 (D) / u = f sobre ∂D ≡ Γ

ªtiene por ecuación de Euler

uxx + uyy = 0.

En efecto,F (x, y, u, ux, uy) = u2x + u2y;

luego,Fux = 2ux , Fuy = 2uy , Fu = 0.

Luego2uxx + 2uyy = 0 ó uxx + uyy = 0 con u = f sobre Γ.

Conclusión: Si el problema variacional (2.5), con tal A (f), tiene la solu-ción u entonces u es también solución del problema de Dirichlet.¯

uxx + uyy = 0 en Du = f sobre Γ ≡ ∂D

(2.6)

Recíproco: Si u es solución del problema de Dirichlet (2.6), entonces ues solución del problema variacional (2.5).

En efecto, Si v fuera otra solución de (2.5) en A (f) pongamos w = v − uó v = u+ w con w = f − f = 0 sobre ∂D, tendremos entonces:

J (v) = J (u) + J (w) + 2

ZD(uxwx + uywy) dxdy

= J (u) + J (w) + 2

ZD(uxx + uyy)wdxdy

= J (u) + J (w) ≥ J (u) .

Luego J (u) es un mínimo en A (f) .¥

Cuidado! Nosotros hemos asumido que existe al menos una función ven la clase A (f) para el cual J (v) < ∞, y también hemos asumido queuna solución u del problema de Dirichlet tiene primeras derivadas continuasu0 sobre Γ. En resumen debemos tener: (•) el problema variacional (2.5)tiene solución; (•) la clase A (f) tiene al menos una función v para el cualJ (v) < ∞; (•) una solución u del problema de Dirichlet tiene primerasderivadas continuas sobre Γ.

Al siguiente resultado, Riemann llamó: Principio de Dirichlet:

Teorema 2.3 ¿Una solución del problema variacional (2.5) coincide conuna solución del problema de Dirichlet (2.6) À .

2.4. FORMULACIÓN VARIACIONAL DEPRO-BLEMAS DE VALOR DE CONTORNO.

Luego de las motivaciones históricas y de algunos resultados clásicosvistos en las secciones anteriores, pasemos a estudiar a la formulación varia-cional de ciertos problemas de valor de contorno. En el Capítulo 5 (5.3.2)tendremos ocación de ver algunos aspectos del cálculo de variaciones enrelación con las ecuaciones en derivadas parciales.

En esta sección seguiremos de cerca a [DUC-ZAC]; a nivel mas avanzadoy con temas actualizados, ver [GLO].

2.4.1. Preliminares. Algo mas sobre el Cálculo de Variaciones.

En esta sección presentaremos algunas ideas sobre los espacios de fun-ciones que usaremos

¡L2 (D) , Ck

¡D¢, y L2k (D)

¢, y sobre el cálculo de varia-

ciones. En capítulos posteriores desarrollaremos con mas detalle lo presenta-do en esta oportunidad. Así, en el capítulo 4 estudiaremos a los espacios de

2.4. FORMULACIÓN VARIACIONAL DE PRO- BLEMAS DEVALORDE CONTORNO.49

Sobolev Lpk (R

n) (ó W k,p (Rn)), y en el capítulo 5 trataremos los problemasde valor de contorno vía principios variacionales haciendo uso del análisisfuncional y de la teoría de distribuciones (capítulo 3).

Dada una función F , definida sobre una determinada clase de funciones,remarcamos que un problema típico del cálculo de variaciones consiste en:“encontrar una función u, que pertenece a un determinado conjunto de fun-ciones, tal que

J [u (x)] =

ZDF (x, u(x),∇u(x)) dx

es un valor extremo, donde D ⊂ Rn es un conjunto limitado.”Como es familiar, L2 (D) es el espacio de Lebesgue de las funciones

medibles u : D→ R tal queRD |u(x)|

2 dx <∞, el cual es un espacio vectorialsobre R, con el producto interno

hu, vi =ZDu(x)v(x)dx.

En lo sucesivo usaremos los siguientes subespacios de L2 (D) .

• Sea k un entero no negativo; por definición

Ck¡D¢=©u ∈ L2 (D)

±Dαu ∈ C0

¡D¢, |α| ≤ k

ª.

Para el significado de la derivada Dαu ver, por ejemplo, la sección3,3,2. (b)

• Si u1, ..., uN están en L2 (D) , [u1, ..., uN ] = α1u1 + ...+ αNuN esel espacio generado por tales vectores, donde α1, ..., αN son reales.

• Si k es un entero no negativo, consideramos al espacio de Sobolev

L2k (D) =©u ∈ L2 (D)

±Dαu ∈ L2 (D) , |α| ≤ k

ª.

Remarcamos que un subespacioM de L2 (D) es denso en L2 (D) si paratodo ε > 0 y todo u ∈ L2 (D), existe v ∈M tal que

ku− vk2L2(D) =ZD|u− v|2 dx < ε.

Nota. Cuando no halla confusión, pondremos k k por k kL2(D) .

Por ejemplo, Ck¡D¢, L2k (D) y

©u ∈ Ck

¡D¢±

u = 0 sobre ∂Dª

(∂D,frontera de D) son subespacios densos de L2 (D) . Además, si M es unsubespacio denso de L2 (D) y si todo u ∈ L2 (D) satisface, hu, vi = 0, ∀ v ∈M, entonces se tiene u = 0. [Ver Lema 2.3.1].

Veamos ahora algunos ejemplos de problemas típicos en el cálculo devariaciones.


• Sea D ⊂ R2 un conjunto limitado, con frontera ∂D regular (“suave”).Si f ∈ C(D) y g ∈ C(∂D), pongamos

A =©u(x, y) ∈ L21 (D)

±u = g sobre ∂D

ª.

(Observemos que A no es un subespacio de L2 (D)). El problema esmini- mizar a la funcional

J [u] =

ZD

¡u2x + u2y − 2fu

¢dxdy

sobre A. Si f = 0, esta funcional coincide con la dada en 2,3,3.

•• Sea D ⊂ Rn un conjunto limitado, con ∂D regular; sean las funcionesf ∈ C(D) y aij(x) ∈ C(D) y (el subespacio de L2 (D)).

A =©u ∈ L21 (D)

±u = 0 sobre ∂D

ª.

El problema es minimizar a la funcional

J [u] =

ZD

⎛⎝ nXi,j=1

aij∂u

∂xi

∂u

∂xj− 2fu

⎞⎠ dx

sobre A.

(Obsérvese que esta funcional es una generalización de la funcional delanterior ejemplo).

Al dominio (no necesariamente un subespacio de L2 (D)) A de la fun-cional J , le asociamos un subespacio M (llamada de “funciones compara-ción”) tal que para toda u ∈ A y toda v ∈M se tenga u+ εv ∈ A, ∀ ε > 0real. Asi, para el ejemplo • se considera

M =©v ∈ L21 (D)

±v = 0 sobre ∂D

ª.

Para •• se puede tomarM = A.

Observemos que v puede ser considerado como un vector “dirección” enel siguiente sentido.

Sea J una funcional sobre A, al que asociamosM; sean u ∈ A y v ∈M,y sea la función φ : R → R, ε → φ(ε) ≡ J [u+ εv]. Entonces se tiene ladefinición.

La variación de J en u, en la dirección v, es el límite

lımε→0

J [u+ εv]− J [u]

ε≡ φ

0(0),

si existe para todo v ∈M. Usaremos la notación δJ [u; v] = φ0(0). El sigu-

iente resultado tiene su motivación en el cálculo diferencial.

“Sea J una funcional sobre A, asociado conM. Supongamos que u0 ∈ Aes un punto extremo local para J. Si J tiene una variación en u0, entoncesδJ [u0; v] = 0, ∀ v ∈M.”

Nuestro objetivo ahora es llegar a la ecuación de Euler para la funcionalJ . (Ver las ecuaciones diferenciales de Euler, sección 2.3.2). Sea J una fun-cional con dominio A ⊂ L2 (D) ; asumamos queM es un subespacio densode L2 (D) y consideremos la clase

U =

½u ∈ A/J tiene una variación en u y existe G ∈ L2 (D) tal que

δJ [u; v] = hG, vi , ∀ v ∈M.

¾Si U 6= φ, la función G es llamada el gradiente de J en u, y escribimos

G = ∇J [u] . (Observemos que en el fondo lo que tenemos es una derivadadireccional). U (⊂ A) es llamado el dominio del gradiente G.

Observación. Si u0 ∈ U proporciona un extremo local para J , entoncessabemos que δJ [u0; v] = 0, ∀ v ∈M, esto es, h∇J [u0] , vi = 0, ∀ v ∈M.Luego, por la nota dada antes del ejemplo •, tendremos que ∇J [u0] = 0(“lema de densidad”).

De un modo mas formal se tiene:“siM es denso en L2 (D) y si u0 ∈ A es un punto extremolocal para J , entonces necesariamente u0 ∈ U y ∇J [u0] = 0”,

. . . [E]

que es la ecuación de Euler para J.

2.4.2. Problema de Sturm-Liouville. Soluciones Débiles.

El problema de Sturm-Liouville fue tratado en la sección 1.4. Tambiénes estudiado en el capítulo 5 (5.2.2). En esta oportunidad relacionaremostal problema con el cálculo de variaciones. Sean las funciones continuas en(a, b) , p(x), p

0(x), q(x), r(x), donde p(x) > 0, r(x) > 0 sobre [a, b] ; y sean

los números reales a1, a2, a3 y a4 tal que a21 + a22 6= 0 y a23 + a24 6= 0.Recordemos que el problema de Sturm-Liouville consiste en encontrar unafunción u(x) tal que⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

−³p(x)u

0(x)´0+ q(x)u(x) = λr(x)u(x), a < x < b

a1u(a) + a2u0(a) = 0

a3u(b) + a4u0(b) = 0

donde λ es un parámetro (que surge en 1.4).Como ya sabemos, u ≡ 0 es la solución trivial del citado problema.

(El lector es invitado a re-leer los resultados establecidos en 1.4). En estaoportunidad consideremos a2 = a4 = 0. Sea el dominio

A0 =©ϕ ∈ L21 ((a, b))

±ϕ(a) = ϕ(b) = 0

ª,

y sea la funcional J , con dominio A0, definida vía:

J [ϕ] =

Z b

a

∙p(x)

³ϕ0(x)´2+ q(x) (ϕ(x))2

¸dxZ b

ar(x) (ϕ(x))2 dx

.

J [ϕ] definido de esta forma es llamado el cociente de Rayleigh del prob-lema de Sturm-Liouville. En el contexto de los valores propios

λ1 < λ2 < λ3 < ...→∞

se tiene (mirando a la ecuación de Sturm-Liouville) que λ1 = mınϕ∈A0

J [ϕ], esto

es, λ1 ≤ J [ϕ] , ∀ ϕ ∈ A0. Si k = 1, 2, ... y uj es la respectiva sucesión defunciones propias, sea ahora

Ak =

½ϕ ∈ A0/

Z b

ar(x)ϕ(x)uj(x)dx = 0, j = 1, 2, ..., k

¾.

Se tiene que λk+1 = mınϕ∈Ak

J [ϕ] , k = 1, 2, 3, ... .

Sea ahora x ∈ D ⊂ Rn y consideremos el siguiente problema de valor decontorno (elíptico):½

−∇. (p(x)∇u(x)) + q(x)u(x) = λr(x)u(x) · · · x ∈ Du(x) = 0 · · · x ∈ ∂D,

donde p(x) > 0, q(x) y r(x) > 0 son funciones en C1¡D¢.

Esto es el problema de Sturm-Liouville n-dimensional, y como enel caso 1-dimensional, los valores propios de tal problema son números realesy pueden ser dispuestos en una sucesión creciente, enumerable, infinita; ylas funciones propias (pesadas)

√ru, correspondientes a los distintos valores

propios, son funciones ortogonales, esto es,ZDr(x)ui(x)uj(x)dx = 0, si i 6= j.

Además, λ1 (el mas pequeño valor propio) satisface λ1 = mınϕ∈A0

J [ϕ] , donde

A0 =©ϕ ∈ L21(D)

±ϕ = 0 sobre ∂D

ª.

En este caso el cociente de Rayleigh es dado por

J [ϕ] =

ZD

hp(x)∇ϕ(x).∇ϕ(x) + q(x) (ϕ(x))2

idxZ

Dr(x) (ϕ(x))2 dx


donde remarcamos que x = (x1, x2, ..., xn) .Aún se tiene, λk+1 = mın

ϕ∈AkJ [ϕ] , k = 1, 2, ... , donde

Ak =nϕ ∈ A0/

Dr12ϕ, r

12uj

E= 0, j = 1, 2, ..., k

o,

y uj es la sucesión de las funciones propias correspondientes a los valorespropios λj . Además, se tiene que λk = J [uk] , k = 1, 2, ... .

Soluciones Débiles.

En esta oportunidad se introduce la noción de solución débil para unproblema de valor de contorno mixto, idea que en capítulos posteriores de-sarrollaremos con mas detalles. SeaD ⊂ R2 una región limitada con contorno∂D regular y que consiste de dos arcos complementarios S1 y S2, esto es,∂D = S1 ∪ S2.

Sean las funciones p, q, y f definidas y regulares sobre D, g1 y g2 funcionesregulares definidas sobre S1 y S2 respectivamente. Sea el operador diferencialparcial lineal

Lu(x, y) = −∆u+ pux + quy

y el problema de valor de contorno mixto:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩Lu = f en Du = g1 sobre S1∂u

∂η= g2 sobre S2.

(P.M.)

Tenemos el siguiente argumento, con u, v ∈ C2(D),

hLu, vi = h−∆u, vi+ hpux, vi+ hquy, vi

= −ZD(∆u) vdxdy +

ZDpuxvdxdy +

ZDquyvdxdy

= [usando la primera identidad de Green:ZDv∆udxdy +

ZD∇u.∇vdxdy =

Z∂D

v∂u

∂ηdσ

¸=

ZD∇u.∇vdxdy +

ZD(pux + quy) vdxdy −

Z∂D

v∂u

∂ηdσ.


Definamos:A =

©u ∈ L21 (D)

±u = g1 sobre S1

ªM =

©v ∈ L21 (D)

±v = 0 sobre S1

ª.

Observemos que si u ∈ A y v ∈M entonces,Z∂D

v∂u

∂ηdσ =

ZS2

v∂u

∂ηdσ =

ZS2

vg2dσ.

Además, viendo al problema mixto,ZS2

v∂u

∂ηdσ =

ZS2

vg2dσ, ∀ v ∈M.

Luego, si u es una solución clásica del problema dado, y si u ∈ A, v ∈M,tendremos

hLu, vi = hf, vi⇔ZD∇u.∇vdxdy +

ZD(pux + quy) vdxdy

=

ZDfvdxdy +

ZS2

vg2dσ.

Llamando

K [u, v] =

ZD∇u.∇vdxdy +

ZD(pux + quy) vdxdy

y

F [v] =

ZDfvdxdy +

ZS2

g2vdσ,

concluimos que si u es una solución clásica del problema mixto dado, en-tonces u satisface

K [u, v] = F [v] , ∀ v ∈M. (S.D.)

Definición 2.3 u es una solución débil del problema (P.M.) si u ∈ A ysatisface K [u, v] = F [v] , ∀ v ∈M.

Corolario 2.1 Toda solución clásica de un problema de valor de contornoes una solución débil.

Nota. Observemos que en K [u, v] solo requerimos de un buen compor-tamiento (continuidad) de las primeras derivadas parciales de u; asi, u puedeser una solución débil de (P.M.) pero no ser una solución clásica ya que ahorase requiere continuidad de las segundas derivadas parciales.

Caso Particular. Si p = 0 = q sobre D, entonces la ecuación diferenciales −∆u = f (ecuación de Poisson), y en este caso tenemos:

2.5. COMPLEMENTOS Y APLICACIONES. 55

K [u, v] = K [v, u]

K [u, u] ≥ 0

⎫⎬⎭ [+]

Si se tiene [+] y u ∈ A, v ∈M, entonces se tendrá

2 (K [u, v]− F [v]) = δJ [u; v]

para la funcional

J [u] = K [u, u]− 2F [u] =ZD|∇u|2 dxdy − 2

µZDfudxdy +

ZS2

ug2dσ

¶. [++]

Finalmente, se tiene el

Teorema 2.4 Si K [u, v] satisface [+] y J es la funcional [++], entoncesu0 minimiza J sobre A⇔ K [u0, v] = F [v] , ∀ v ∈M.

Nota. Este teorema nos dice que la formulación débil de un problemade valor de contorno es posible siempre que se tenga [+] , la misma cosa queel problema variacional garantizado por Cap. 4 (ver sección 2.4.1). Cuandono se tiene [+] , solamente es factible la formulación débil.

2.5. COMPLEMENTOS Y APLICACIONES.

El objetivo de esta sección es complementar y considerar algunas situa-ciones concretas en relación a lo expuesto en las secciones anteriores. Mayoresdetalles, y otros temas, pueden ser encontrados, por ejemplo, en [COU-ROB],[SAG] y [DUC-ZAC].

2.5.1. El Problema de Plateau.

Uno de los problemas mas profundos del cálculo de variaciones es elllamado “problema de Plateau” debido a que el físico belga Plateau (1801-1883) hizo importantes experimentos sobre este problema, el que consiste(en términos simples) en “hallar la superficie de menor área limitada, en elespacio, por una curva cerrada dada”.

Un aspecto que nos interesa conocer es que este problema está relaciona-do con la solución de una ecuación en derivadas parciales. Euler verificó quetoda superficie mínima (no plana) debe tener la forma de una montura, concurvatura media cero en cada punto.

A Plateau se le debe experimentos que llevaron a soluciones físicas paracontornos generales. Un experimento consiste en sumergir cualquier contornode alambre en un líquido con poca tensión superficial; al sacar el alambre


se observa que sobre el contorno se extiende una película, la que es unasuperficie de área mínima.

Veamos algunas ideas matemáticas. Sean dos puntos en el plano, P1 (a, ya)y P2 (b, yb) , a 6= b. Tales puntos se unen vía una curva y = y(x), la que tienederivadas continuas. El problema de las superficies mínimas de revoluciónconsiste en encontrar tal curva de modo que la superficie generada por larotación de esta curva alrededor del eje x, tenga la mas pequeña área posible.

Si S denota el área de la superficie generada por la rotación de y = y(x)alrededor del eje x. Pongamos ya = y(a), yb = y(b). Entonces se sabe que

S = 2π

Z b

ay(x)

q1 + (y0(x))

2dx.

Esta fórmula es la que dará y(x) de modo que S sea mínimo.El anterior problema es generalizado en la siguiente forma. “Dada una

curva de Jordan, se trata de encontrar aquella superficie que pase a travésde tal curva y que tenga área mínima”. Este es el problema de Plateau.

2.5.2. Miscelánea.

(i). Sea D ⊂ R2 un dominio acotado, con frontera ∂D regular. Sea A =M = L21 (D) . Si

J [u] =

ZD

¡u2x + u2y − 2fu

¢dxdy +

Z∂D

¡pu2 − 2gu

¢dσ, u ∈ A

y donde p, q ∈ C¡D¢y f ∈ L2 (D), calcular δJ [u, v] .


Solución.Si u, v ∈ A y ε > 0 real arbitrario, sabemos que

δJ [u, v] = φ0(0) = lım

ε→0J [u+ ε]− J [u]

ε.

Pero,

J [u+ εv] = J [u] + 2ε

ZD(uxvx + uyvy − fv) dxdy + 2ε

Z∂D(puv − gv) dσ

+ε2ZD

¡v2x + v2y

¢dxdy + ε2

Z∂D

pv2dσ.

Luego,

δJ [u, v] = 2

ZD(uxvx + uyvy − fv) dxdy + 2

Z∂D(pu− g) vdσ

¥

Nota. Si g = 0, y si g = 0 = p, es claro se tienen las respectivasδJ [u, v]

0s.

(ii). Sea D ⊂ R2 un dominio acotado, con ∂D regular. Sean

A =©u ∈ L21 (D)

±u = g sobre ∂D

ª,

M =©v ∈ L21 (D)

±v = 0 sobre ∂D

ªy f, g ∈ C

¡D¢.

Sea la funcional

J [u] =

ZD

¡u2x + u2y − 2fu

¢dxdy, con u ∈ A.

Encontrar el dominio U y la gradiente ∇J [u] .

Solución.Por la anterior nota,

δJ [u, v] = 2

ZD(uxvx + uyvy − fv) dxdy.

Ahora, la idea es aplicar la primera identidad de Green,ZD(uxvx + uyvy) dxdy =

Z∂D

v∂u

∂ηdσ −

ZDv∆udxdy,


en δJ [u, v], considerando que v = 0 sobre ∂D con v ∈M, para obtenerse

δJ [u, v] = −2ZD(∆u+ f) vdxdy ≡ h−2 (∆u+ f) , vi = hG, vi .

Por tanto,

G(x, y) = −2 [∆u (x, y) + f (x, y)] , (x, y) ∈ D.

Considerando que f ∈ L2 (D), si∆u ∈ L2 (D)¡esto es, si u ∈ L22 (D) ≡ H2 (D)

¢,

entonces G ∈ L2 (D), como es deseado.Luego,

∇J [u] = G = −2 (∆u+ f) ,

donde u ∈ U =©u ∈ L22 (D)

±u = g sobre ∂D

ª. (Obsérvese que u = g sobre

∂D desde que u ∈ A.)¥

(iii). En las condiciones dadas en (i), encontrar el dominio U y el gradiente∇J [u] , donde remarcamos que

J [u] =

ZD

¡u2x + u2y − 2fu

¢dxdy +

Z∂D

¡pu2 − 2gu

¢dσ. (*)

[Extensión de (ii)].

Solución.En (i) vimos que

δJ [u, v] = 2

ZD(uxvx + uyvy − fv) dxdy + 2

Z∂D(pu− g) vdσ.

Nuevamente, aplicando la primera identidad de Green en δJ [u, v] seobtiene

δJ [u, v] = 2

Z∂D

µ∂u

∂η+ pu− g

¶vdσ − 2

ZD(∆u+ f) vdxdy.

Luego, si u satisface las condiciones: u ∈ L22 (D) (a fin de que h∆u+ f, vitenga sentido en L2 (D)) y

∂u

∂η+ pu = g sobre ∂D, entonces tendremos

∇J [u] = −2 (∆u+ f)

sobre el dominio

U =

½u ∈ A ≡ L21 (D)

±u ∈ L22 (D) y

∂u

∂η+ pu = g sobre ∂D

¾.


¥

Observación. Si p = g = 0, se obtendrá

J [u] =

ZD

¡u2x + u2y − 2fu

¢dxdy y ∇J [u] = −2 (∆u+ f)

y

U =

½u ∈ L22 (D)

± ∂u∂η

= 0 sobre ∂D¾.

Sin embargo, en (ii) para la misma funcional se obtuvo otro dominio U para∇J.

(iv). Sea D ⊂ R2 un dominio acotado, con frontera ∂D regular.

Sea ∂D = S1 ∪ S2 según la figura 13. Sean p, f, g1, g2 ∈ C¡D¢y

consideremos

A =©u ∈ L21 (D)

±u = g1 sobre S1

ª,

M =©v ∈ L21 (D)

±v = 0 sobre S1

ª.

Encontrar el dominio U y el gradiente ∇J [u], donde

J [u] =

ZD

¡u2x + u2y − 2fu

¢dxdy +

ZS2

¡pu2 − 2g2u

¢dσ.

Solución.Observemos que se tiene:©

u ∈ L21 (D)±u = g sobre ∂D

ª| z (ii)

⊂©u ∈ L21 (D)

±u = g1 sobre S1 ⊂ ∂D

ª⊂

©u ∈ L21 (D)

ª| z (iii)

.


Desde que v = 0 sobre S1, nuevamente aplicando la primera identidadde Green, se obtiene

δJ [u, v] = 2

ZS2

µ∂u

∂η+ pu− g2

¶vdσ − 2

ZD(∆u+ f) vdxdy.

Luego, si u ∈ A satisface las condiciones extras: u ∈ L22 (D) (esto es,

∆u ∈ L2 (D)) y∂u

∂η+ pu = g2 sobre S2 entonces tendremos ∇J [u] =

−2 (∆u+ f) sobre el dominio

U =

½u ∈ L22 (D)

±u = g1 sobre S1,

∂u

∂η+ pu = g2 sobre S2

¾.

¥

Observación.¯ Si g2 = 0, entonces para la funcional

J [u] =

ZD

¡u2x + u2y − 2fu

¢dxdy +

ZS2

pu2dσ

se tiene ∇J [u] = −2 (∆u+ f) y

U =

½u ∈ L22 (D)

±u = g1 sobre S1,

∂u

∂η+ pu = 0 sobre S2

¾.

¯ Si g2 = 0 = p, entonces para la funcional

J [u] =

ZD

¡u2x + u2y − 2fu

¢dxdy

se tiene aún ∇J [u] = −2 (∆u+ f) pero

U =

½u ∈ L22 (D)

±u = g1 sobre S1,

∂u

∂η= 0 sobre S2

¾.

(v). Sea D ⊂ R2 un dominio acotado, con frontera ∂D regular. Si f, g yp están en C2

¡D¢, dar la formulación variacional de los proble-

mas:

Dirichlet½−∆u = f en Du = g sobre ∂D

Neumann

⎧⎨⎩ −∆u = f en D∂u

∂η= g sobre ∂D


Robin

⎧⎨⎩ −∆u = f en D∂u

∂η+ pu = g sobre ∂D

Solución.Según (iv),

J [u] =

ZD

¡u2x + u2y − 2fu

¢dxdy +

ZS2

¡pu2 − 2g2u

¢dσ.

Usaremos esta funcional en el caso presente.

Con el problema de Dirichlet: en (iv) tomemos S1 = ∂D y g1 = g.Por la observación dada al final de 2.4.1 sabemos que si u0 minimizaZ

D

¡u2x + u2y − 2fu

¢dxdy

sobre A =©u ∈ L21 (D)

±u = g sobre ∂D

ª, entonces

0 = ∇J [u0] = −2 (∆u0 + f) ,

donde

J [u] =

ZD

¡u2x + u2y − 2fu

¢dxdy.

Luego, −∆u0 = f en D y u0 = g sobre ∂D (desde que u0 ∈ A). De estamanera u0 es solución del problema de Dirichlet.

Con el problema de Neumann: en esta ocasión tomemos S2 = ∂D,p = 0, g2 = g. Nuevamente, si u0 minimizaZ

D

¡u2x + u2y − 2fu

¢dxdy − 2

Z∂D

gudσ

sobre L21 (D), entonces

0 = ∇J [u0] = −2 (∆u0 + f) ,

donde (considerando que “u = g1 sobre S1” es vacío)

U =

½u ∈ L22 (D)

± ∂u∂η

= g sobre ∂D¾.

De esta manera, u0 es solución del problema de Neumann.

Con el problema de Robin: tomemos S2 = ∂D y g2 = g. Si u0minimiza Z

D

¡u2x + u2y − 2fu

¢dxdy +

Z∂D

¡pu2 − 2gu

¢dσ

sobre L21 (D), entonces

0 = ∇J [u0] = −2 (∆u0 + f)

sobre

U =

½u ∈ L22 (D)

± ∂u∂η+ pu = g sobre ∂D

¾y por tanto u0 es solución del problema de Robin.

¥

(vi). [Valores y vectores propios]. Sea el problema de valor de contorno½−∆u+ qu = λru, en Du = 0 sobre ∂D

[P ]

con q ≥ 0, r > 0 en D. Sean λ1 < λ2 ≤ λ3 ≤ ... los valores propios delproblema [P ], y sean u

0ns las funciones propias correspondientes a los λ

0ns.

Sean

J [φ] =

ZD

£∇φ (x) .∇φ (x) + q (x)φ2 (x)

¤dxZ

Dr (x)φ2 (x) dx

yA0 =

©φ ∈ L21 (D)

±φ = 0 sobre ∂D

ª.

Probar que:

(a) Si φ∗ minimiza J sobre A0, entonces φ∗ es solución del problema [P ]con λ∗ = J [φ∗] ;

(b) λn = J [un] , n = 1, 2, ...

(c) λ1 = mınφ∈A0

J [φ] .

Solución.

(a) ConsideremosM = A0. Para φ ∈ A0, definamos

N (φ) =

ZD

£∇φ.∇φ+ qφ2

¤dx

y

D (φ) =

ZDrφ2dx (6= 0) .

Si J [φ] =N (φ)

D (φ), aplicando la definición de δJ, se obtiene

δJ [φ; v] =δN [φ; v]D (φ)−N (φ) δD [φ; v]

D (φ)2.


Luego, si φ∗ minimiza J en A0, se tendrá δJ [φ∗; v] = 0, ∀ v ∈M, estoes,

δN [φ∗; v]− J [φ∗] δD [φ∗; v] = 0, ∀ v ∈M.

Pero, conocemos que

δN [φ; v] = 2

ZD(∇φ.∇v + qφv) dx

y

δN [φ; v] = 2

ZDrφvdx,

y por tanto tendremos,ZD(∇φ∗.∇v + qφ∗v − λ∗rφ∗v) dx = 0, ∀ v ∈M,

donde λ∗ = J [φ∗]. Usando la primera identidad de Green y la condición decontorno, cero sobre ∂D, obtendremos

h−∆φ∗ + qφ∗ − λ∗rφ∗, vi = 0, ∀ v ∈M.

Nuevamente (sabemos), el elemento minimizante φ∗ es tal que

0 = ∇J [φ∗] = −∆φ∗ + qφ∗ − λ∗rφ∗.

Desde que debemos tener ∇J [φ∗] ∈ L2 (D), esto implica que se debetener −∆φ∗ ∈ L2 (D), esto es, que φ∗ ∈ L22 (D). Asi, se debe tener

φ∗ ∈ U =©φ ∈ L22 (D)

±φ = 0 sobre ∂D

ª(asi U es un subespacio de A0).

De esta manera, φ∗ en U satisface al problema [P ], donde λ = λ∗ =J [φ∗] .

(b) Para cada n, un es solución del problema [P ], con λ = λn. Luego,multiplicando

−∆un + qun = λnrun

por un e integrando sobre D, obtenemosZD(−∆un + qun − λnrun)undx = 0.

Nuevamente usando la primera identidad de Green y la condición “cerosobre ∂D”, se tiene queZ

D(−∆un)undx =

ZD∇un.∇undx,

de donde, ZD

¡∇un.∇un + qu2n − λnru

2n

¢dx = 0.

Considerando que

λn =

ZD

¡∇un.∇un + qu2n

¢dxZ

Dru2ndx

,

se obtiene, λn = J [un] .

(c) Por (a), φ∗ minimiza J [φ] sobre A0; además, un ∈ A0 (un es soluciónde [P ]). Entonces, por (b), λ∗ = J [φ∗] ≤ J [un] = λn, n = 1, 2, ...

Pero, λ∗ es asi mismo un valor propio, luego λ∗ = λ1, es decir, λ1 =mınφ∈A0

J [φ] .

¥

Corolario. [Principio de Rayleigh] . “El mas pequeño valor propio delproblema [P ] es idéntico al mas pequeño valor de la funcional J [φ] sobreA0”.

2.6. TAREAS.

1. Decimos que f es semi-continua inferiormente (superiormente) en x0si para cada ε > 0, existe δ = δ (ε) > 0 tal que

f (x0)− f (x) < ε (f (x)− f (x0) < ε) para todo |x− x0| < δ.

Pruebe que si f es semi-continua inferiormente (superiormente) en[a, b], entonces f asumirá su valor mínimo (máximo) en [a, b] . [Adaptela prueba del teorema de Weierstrass: “si una función es continua sobre[a, b], entonces ella asumirá su valor máximo y mínimo sobre [a, b]”].

2.

a) Pruebe que entre todos los rectángulos teniendo perímetro fijo,el cuadrado tiene área máxima.

b) Pruebe que entre todos los réctangulos teniendo un área fija, elcuadrado tiene el mínimo perímetro.

2.6. TAREAS. 65

3. Dada una línea recta L y dos puntos A y B en el mismo lado de L,encuentre un punto P sobre la recta tal que la suma de las distanciasAP + PB sea mínima.

4. Un cono circular recto debe ser inscrito en una esfera de radio R,¿cuáles deben ser sus dimensiones si el cono debe tener un volumenmáximo?

5. Dada la parábola x2 = 4ay (a > 0) y un punto P = (x1, y1) dentrode la parábola

¡así x21 < 4ay1

¢, encuentre la mas corta trayectoria

consistente de dos segmentos de recta, de P a Q sobre la parábola, yde Q al foco F = (0, a) de la parábola.

6. Dado un segmento de recta AB y una línea L perpendicular al seg-mento, pero que no la intercepta. Encuentre el punto P sobre L tal


que el segmento AB subtiende el mayor ángulo en P . (ver figura 16)

7. Encuentre un conjunto de n números positivos, cuya suma es fija ycuyo producto es un máximo.

8. Sea D una región acotada, con frontera ∂D regular. Sobre A =M =L21 (D) se define

J [u] =

ZD

⎛⎝ nXi,j=1

aij(x)∂u

∂xi

∂u

∂xj+ c(x)u2 − 2f(x)u

⎞⎠ dx,

donde aij = aji, c y f son funciones en C (D) .

Encontrar δJ [u; v] .

9. Si u, v ∈ C2 (D) , D ⊂ R2 dominio acotado, ∂D regular y p es unafunción regular sobre D, p > 0 sobre D, pruebe que

h−∇. (p∇u) , vi =ZD(∇u.∇v) pdx−

Z∂D

v∂u

∂ηpdσ.

Si además, q, r, f, g1, g2 y h son funciones suficientemente regu-lares sobre D, donde D = S1 ∪ S2 (dos arcos complementarios), dé laformulación-débil del problema de valor de contorno mixto:

−∇. (p∇u) + qux + ruy = f en Du = g1 sobre S1∂u

∂η+ hu = g2 sobre S2.

Nota. Observemos que este problema no admite una formulaciónvariacional, a menos que q = r = 0 en D.

2.6. TAREAS. 67

10. (a) SeaD =

©(x, y)/x2 + y2 < 1

ª,

A =©u ∈ L21 (D)

±u = x2 sobre x2 + y2 = 1

ª.

Sea

J [u] =

ZD

¡y2u2x + x2u2y

¢dxdy, u ∈ A.

DefinaM y encuentre δJ [u; v] .

(b) Encontrar U y ∇J [u] según (a).


2.7. COMENTARIOS.

(i). En la Antiguedad, a la reina Dido de Cartago se le prometió tantatierra como pudiera encontrarse entre los límites de una piel de toro.La reina cortó la piel en muchísimas tiras delgadas, las cosió en unalarga tira uniendo los extremos y de esta manera ella intentó obtenerun territorio, lo mas extenso dentro de estos límites. Si Dido “hubieraconocido” cálculo de variaciones, hubiera escogido un territorio en for-ma de círculo pues se sabe que de todas las superficies limitadas porcurvas de una longitud dada, el círculo es el que tiene mayor área.

El lector es sugerido a releer las secciones 2.1 y 2.2 para algunasmotivaciones históricas sobre el surgimiento y desarrollo del cálcu-lo de variaciones. Sigamos brevemente, en esta ruta . Alrededor delaño 150 A.C., el matemático griego Zenodorous escribió la obra “Fig-uras Isoperimétricas”, la que fue divulgada por Pappus en su trabajo“Colección” (escrito alrededor del año 350 D.C.). Pappus prueba queel círculo tiene la mayor área entre todos los polígonos regulares quetienen el mismo perímetro. Prueba también que dados dos polígonoscon el mismo número de lados y el mismo perímetro, uno es regulary el otro no lo es, entonces el polígono regular tiene la mayor área.Pappus obtiene también algunos resultados relacionados al volumende una esfera y los volumenes de sólidos teniendo la misma área desuperficie que la de la esfera.

Galileo también trata algunos problemas físicos relacionados con elproblema de optimizar. Luego de los trabajos centrales de Newton yLeibniz, uno de los caminos que tomó el desarrollo del cálculo fue en laruta hacia el cálculo de variaciones. En las dos primeras secciones deeste capítulo hemos visto algunas contribuciones de los matemáticosmas representativos de aquella época, en particular, algunas contribu-ciones de Lagrange, uno de los mas grandes matemáticos del sigloXVIII (otro lo fue Euler).

(ii). Se han escrito muchos libros sobre cálculo de variaciones. Una clásicaobra es [WEI] en donde el lector puede encontrar los clásicos problemasque condujeron a esta rama del análisis matemático; una particulari-dad de este libro es la aplicación de los métodos variacionales a prob-lemas de la física y de la ingeniería. [SAG] contiene los clásicos tópicosdel cálculo de variaciones haciendo uso de aspectos básicos del análisisfuncional. Podría servir de texto guía para un primer curso sobre cál-culo de variaciones. En [GLO], el lector puede encontrar un conjuntode tópicos mas actualizados y en relación con problemas de ecuacionesen derivadas parciales. Se enfatizan los problemas no-lineales. Puedenservir de texto para cursos de post-grado.

2.8. LAGRANGE. 69

2.8. LAGRANGE.

Joseph Louis Lagrange nació en Turim, Italia, el 25 de Enero de 1736.Muy joven llegó a ser profesor de matemática y fue considerado el may-or matemático de Europa “en competencia” con Euler por tal designación.Cuando Euler dejó Berlin en 1766, Lagrange ocupó su lugar por veinte años,para luego pasar a ser profesor de la Escuela Normal, y despues pertenecióa la Escuela Politécnica de Paris.

Teniendo 19 años de edad, Lagrange crea el método del δ−algoritmo pararesolver ciertos problemas propuestos por Euler. Esta idea permitió una sis-temática derivación de las ecuaciones variacionales y facilita el tratamientode las condiciones de contorno. Esta novedad fue adoptado por Euler, quienintrodujo el nombre de “cálculo de variaciones” a esta naciente rama delanálisis matemático. Euler habia considerado integrales de la formaZ b

aZ³x, y, y

0, ..., y(n)

´dx,

derivando la ecuación diferencial, conocida como la “ecuación de Euler” o“ecuación de Euler - Lagrange”, como una condición fundamental que debesatisfacer una solución del problema variacional.

Lagrange, a través de su obra, influyó en la necesidad de rigorizar losfundamentos del cálculo. Con esta idea escribe su obra “Teoría de las Fun-ciones Analíticas Conteniendo los Principios del Cálculo Diferencial”. Suidea fue representar una función f(x) por una serie de Taylor, en dondeconsideraba las derivadas f

0(x), f

00(x), ... en tal expansión; de esta manera

produjo una “primera teoría de funciones de variable real”. En 1788 publicasu famosa obra, “Mecánica Analítica” (a la que Hamilton llamó un¿poemacientíficoÀ), la que contiene las ecuaciones generales del movimiento de unsistema dinámico (las “ecuaciones de Lagrange”).

Su contribución en el campo de las ecuaciones en derivadas parciales esextraordinario; introdujo el método de variación de parámetros. Lagrangecontribuyó notablemente al desarrollo del cálculo de variaciones. En teoríade números dió la primera demostración de que “todo entero positivo puede


ser expresado como la suma de a lo máximo cuatro cuadrados”. Motivó consus trabajos en teoría de ecuaciones a que Galois introdujera la teoría degrupos.

Luego de muchos años de trabajo intensivo, a los 51 años Lagrangeexperimentó un agotamiento nervioso, dejando de lado sus investigacionesmatemáticas; se dedicó a la metafísica, a la evolución del pensamiento hu-mano, a la botánica, a la medicina y a otras inquietudes.

Producida la Revolución (Francesa), no aceptó el Terror en que cayóFrancia, sin embargo, él fue respetado y reconocido al nombrársele profesor-fundador de la gran “Ecole Polytechnique”. Lagrange recobra el entusiasmopor la matemática. Su último gran esfuerzo científico fue la revisión y am-pliación de su Mecánica Analítica. Tenía 70 años. Siguió trabajando hastalos 76 años. El 10 de Abril de 1813, Lagrange murió.

Capítulo 3

TEORÍA DEDISTRIBUCIONES

3.1. ANTECEDENTES HISTÓRICOS.

3.1.1. Motivaciones.

A fines del siglo XIX (1893-94), el ingeniero O. Heaviside introdujo ciertareglas de cálculo simbólico para ser usadas en la solución de problemas de lafísica. En esta dirección nos encontramos con dificultades matemáticas queexigieron nuevas ideas, como las “funciones generalizadas”.

Según [BRE], consideremos una red eléctrica, una fuente de voltaje yun interruptor. Asumamos que el voltaje E0 de la fuente es constante en eltiempo y que el interruptor está cerrado cuando t = 0.

Entonces el voltaje E (t) en los terminales de la red es E (t) = E0H (t),donde

H (t)=½1 . . . t > 00 . . . t ≤ 0

71

72 CAPÍTULO 3. TEORÍA DE DISTRIBUCIONES

H (t) es llamada la función de Heaviside.Usando las leyes de Kirchhoff se llega a la ecuación

Ld

dtI (t) +RI (t) +

1

C

Z t

0I (s) ds = E (t) ,

donde I (t) es la corriente eléctrica y L, R, C son adecuadas constantes.Derivando ambos lados de la ecuación, obtendremos

Ld2

dt2I (t) +R

d

dtI (t) +

1

CI (t) =

d

dtE (t) = E0

d

dtH (t) .

Pero,d

dtH (t) no está definida en t = 0, ya que

H (t)−H (0)

h=

½1h . . . h > 00 . . . h < 0

y por lo tanto el límite del cociente no existe cuando h→ 0.

Conclusión: el estudio de un problema físico quedaría truncado por unadificultad matemática.

En los años 1920’s, el físico británico P. Dirac introdujo la llamda “fun-ción delta” δ (x), tal que ella es definida y continua en toda la recta R,

δ (x) = 0 si x 6= 0,Z ∞

−∞δ (x) dx = 1.

Por la teoría de la medida de Lebesgue, conocida en la época de Dirac, tal“función” es inconsistente desde el punto de vista matemático (deberiamos

tenerZδ (x) dx = 0 ) pero funcionaba bien como modelo para estudiar

problemas de física. Pero, sigamos con algunas especulaciones de Dirac.Si f es una función continua sobre R, se tiene

f (y) =

Z ∞

−∞f (x) δ (y − x) dx, todo y ∈ R,

lo que es una representación muy significativa.Además!, δ no solo es continua, es también infinitamente difenciable;

luego, si f fuera k veces continuamente diferenciable, entonces se tiene tam-bién

f (k) (y) =

Z ∞

−∞f (x) δ(k) (y − x) dx , ∀y ∈ R.

En relación a la función de Heaviside, se establece

d

dxH (x) = δ (x) ,

3.1. ANTECEDENTES HISTÓRICOS. 73

que ya sabemos es una igualdad en conflicto.

Todos estos argumentos Dirac los establece en su deseo de introducirmodelos matemáticos en los fundamentos de la mécanica cuántica, en dondela ecuación

d

dxlog x =

1

x− iπδ (x)

tiene un rol importante.

Como vemos, todo este panorama está fundado en tal δ, la que no teníauna consistencia matemática. Tuvo que pasar alrededor de 30 años para quese descubriera una teoría matemática que permitiera poner orden a toda esasituación y a la vez, comprobar que la brillante intuición de Dirac estaba enel camino correcto.

3.1.2. ¿Como llegar a la “función” δ (x)?

Sea la función p (x) definida vía

p (x) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

1 . . . |x| < 1

2

1

2. . . x =

1

2

0 . . . |x| > 1

2

y sean las dilataciones ρk (x) = kρ (kx) , . . . k = 2, . . . 2j , j = 1, 2, 3, . . .. Setiene Z

ρk (x) dx = 1,

donde la integral representa la carga total en electrostática, manteniéndosela carga total igual a 1, independiente de k.

Si k → ∞, la carga estará enteramente concentrada en el origen (concarga total igual a 1), obteniendose asi una carga puntual en el origen.

Esta carga es representada por δ (x) .

Nota. δ (0) = +∞


3.1.3. Ejemplo. (Otra dificultad Matemática).

SeaD ⊂ R2 un conjunto abierto, acotado. Si D fuera una región ocupadapor una delgada membrana, fija a lo largo de su contorno ∂D, sobre la cualactúa una fuerza en la dirección vertical, entonces el desplazamiento enla dirección vertical es dado por una función u (x), x ∈ D, que satisface alproblema (de Dirichlet) − (uxx + uyy) = f . . . en D, u = 0 . . . sobre ∂D.

Observemos que en tal problema se tienen derivadas segundas de u. Sinembargo, conforme ya sabemos, u minimiza la funcional de energía

J (v) =1

2

ZZD

"µdv

∂x

¶2+

µ∂v

∂y

¶2#2dxdy −

ZZDf vdxdy

entre todos los “desplazamientos admisibles” v.Notemos que si f = 0, entonces estamos en el caso visto en el capítulo

anterior.Un hecho observable es que en J no hay segundas derivadas, esto es, para

estudiar el estado de equilibrio de la membrana, el espacio de los “despalza-mientos admisibles” no precisa tener elementos que sean dos veces (contin-uamente) diferenciables. Sin embargo, conocemos la íntima conexión entreel problema de Dirichlet y el problema variacional, esto es, podríamos exigirque u no sea dos veces diferenciable en el sentido usual (clásico) pero exigirque u sea solución del problema de Dirichlet en un nuevo “sentido débil”.

3.1.4. Una intersante observación.

La delta de Dirac δ (x), llamada también la “función” impulso (unitario)tiene algunas interesantes consecuencias (siempre en el sentido informal).

Por ejemplo, calculemos la integral

I =

Z ∞

∞δ (x)ϕ (x) dx ,

donde supongamos que ϕ es derivable. Entonces, integrando por partes ten-dremos

I = [u (x)ϕ (x)]∞−∞ −Z ∞

−∞u (x)ϕ0 (x) dx, dondeZ x

−∞δ (t) dt = u (x) =

½0 . . . x < 01 . . . x > 0,

esto es, en cierto sentido u0 (x) = δ (x) .Entonces

I = ϕ (+∞)−Z +∞

0ϕ0 (x) dx

= ϕ (+∞)− ϕ (+∞) + ϕ (0) = ϕ (0) .

Conclusión: Z ∞

−∞δ (x)ϕ (x) = ϕ (0) .

Esta relación, ¿podría servir como modelo para definir, de un nuevo modo,a la “función” δ (x)?

3.1.5. Nace una Nueva Teoría.

Como veremos en la próxima sección, la integralZ ∞

−∞δ (x)ϕ (x) dx moti-

vará una nueva concepción, la de función generalizada. Una clase especial defunciones generalizadas es la de las distribuciones. En los años 30’s y 40’s,el análisis funcional ya había adquirido gran maduréz en base al cálculo devariaciones y de la teoría de ecuaciones integrales. La teoría de operadoresy de funcionales sobre espacios de Hilbert (y de Banach) prepararon el ter-reno para el surgimiento de una nueva teoría que clarificara las dificultadesvistas anteriormente y que contribuyera al surgimiento de otras teorías yaplicaciones en el análisis matemático.

S.L. Sobolev, matemático ruso, estudió intensamente las ecuaciones enderivadas parciales y estableció ideas que lo condujeron a las distribucionescomo un instrumento para resolver problemas específicos (estudió con de-talle el problema de Cauchy). Sobolev no anheló un estudio sistemático delos espacios de funcionales pero si usó una idea generalizada de diferen-ciación, hecho que precedió a la teoría de funcionales (una distribución esuna funcional). En 1935 define una solución generalizada, en un dominio D,de la ecuación de la onda

uxx + uyy =1

c2utt.


En un posterior trabajo, Sobolev define las soluciones generalizadas us-ando funciones de prueba; en 1936 trabaja en los hoy llamados espacios deSobolev Lk

p (ó Lpk) que lo llevó a la invención de las distribuciones. En 1938

define a los llamados espacios de Sobolev usando la idea de derivada gen-eralizada, asi Lk

p es el espacio de funciones cuyas derivadas generalizadas,hasta la orden k, están en el espacio de Lebesgue Lp. Además, anuncia dosfamosos teoremas de inmersión, uno de inmersión de Lk

p en cierto espacioC(α), con α apropiado; y otro, una relación de inclusión entre Lk1

p1 y Lk2p2 .

Nota. Sobolev no fue el primero en definir o usar los llamados espacio deSobolev, idea que ya apareció en el tratamiento variacional del problema deDirichlet.

Sobolev inventó a las distribuciones.

Remarquemos que Sobolev trabajó en el problema de Cauchy para ecua-ciones hipérbolicas de segundo orden y la idea de distribución fue solo us-ada en resultados sobre unicidad. Es conveniente citar que hubieron otrascontribuciones en la ruta a una teoría general de las distribuciones. Asi, lassoluciones débiles fueron consideradas por H. Weyl en 1940, quien probó queuna función débilmente armónica es armónica. Por otro lado, K. Friedrichsen 1944 probó que soluciones débiles de sistemas lineales de primer orden,son también (bajo ciertas condiciones) soluciones fuertes ó clásicas.

3.1.6. La Teoría de Laurent Schwartz (1945).

Laurent Schwartz nació en París el 5 de Marzo de 1915. Luego de ter-minar el “lycée” francés, inicia sus estudios de matemática en la EscuelaNormal Superior los que completa en 1937. Luego entra al servicio militar.Durante sus estudios en la Escuela, Schwartz define una fuerte tendenciapolítica frente a los problemas sociales en el mundo. En [GUI] se encuentraun exposición detallada de su participación política.


En la Escuela Normal Superior, Schwartz aprendió de su maestro P.Leray las soluciones generalizadas de ecuaciones en derivadas parciales. Enel ambiente de la Escuela aprendió las aplicaciones del análisis funcional aproblemas clásicos, lo que sería importante para la teoría en gestación. Elpunto de partida para la creación de la teoría de las distribuciones fue sustrabajos sobre soluciones generalizadas de ecuaciones en derivadas parciales.

En 1945 publica un notable trabajo [SCH.1], el que fué una consolidaciónde previos esfuerzos; asi, en 1944 da nuevas definiciones y teoremas sobrela convolución de operadores. En febrero de 1945 inicia el desarrollo de lateoría de la transformada de Fourier, en el sentido generalizado.

Vence diversas dificultades encontradas en el camino; la idea clave fueconsi- derar a las funciones generalizadas no como operadores, si no co-mo funcionales, a las que llamó distribuciones. Un hecho que le sugerióla verdadera definición de distribución fue que las medidas, en especial laδ (x), pueden ser representadas como funcionales. Sin embargo, la mayorinspiración estuvo en la teoría de soluciones generalizadas de las ecuacionesen derivadas parciales.

Remarquemos que el lenguaje del análisis funcional fue la base del nuevoformalismo de las distribuciones. El histórico misterio de la δ (x) también lepreocupó, desde su época de estudiante, por darle una ubicación matemática,lo que consiguió con su teoría. Es curioso que Schwartz, en 1944, estuvieradesenterado del trabajo de Sobolev; de las teorías de la transformada deFourier generalizada de Bochner y de Carleman; también del cálculo deHeaviside, y de otras ideas matemáticas relacionadas con la teoría que estabaelaborando. No olvidemos que en ese entonces se estaba en plena II GuerraMundial.

Schwartz escribió cuatro artículos sobre su teoría de las distribucionesantes de escribir su famoso libro “Théorie des Distributions”, [SCH.2] en1950-51 (dos volúmenes), el cual se convirtió en la referencia obligada, sobretodo por su relación con las ecuaciones en derivadas parciales. Posterior-mente se escribieron numerosos libros y artículos sobre las distribuciones,entre los que citamos, entre muchos otros, Hörmander [HOR. 2], Treves[TRE.1], Horvath [HORV], Nachbin [NAC].

Luego de la publicación de su libro, Schwartz continuó trabajando ensu teoría; un gran suceso fue la prueba del teorema del núcleo, en conexióncon el cual extendió su teoría a las distribuciones de valor vectorial; en 1969aplica las distribuciones a la teoría de las particulas elementales y extendióla teoría de las medidas de Radón. En 1997 apareció su libro autobiográfico[SCH.3].

En 1950 fue distinguido con la Medalla Fields, máxima distinción en elcampo de la matemática. Schwartz murió en Paris el 4 de Julio del 2002.


3.2. FUNCIONES GENERALIZADAS.

Observemos nuevamente la integralZ ∞

−∞δ (x)ϕ (x) dx ;

ella la denotamos con hδ, ϕi y la interpretamos así: δ es el objeto a serdefinido de algún modo y ϕ es una función continua ó m−continuamentediferenciable, o infinitamente diferenciable. Ahora, de un modo abstractoconsideremos la expresión hf, ϕi donde f es el objeto a ser definido y ϕ(como arriba) es llamada función prueba. Por este camino llegamos a lasfunciones generalizadas.

Sea el espacio vectorial complejo

E = ϕ : Rn → C, (x1, . . . , xn)→ ϕ (x1, . . . , xn) ;

hT, ϕi denota el valor de una funcional T aplicado a ϕ ∈ E. Asi,

T : E → Cϕ 7−→ hT,ϕi .

T es lineal si

hT, αϕ1 + βϕ2i = α hT, ϕ1i+ β hT, ϕ2i , α, β ∈ C; ϕ1, ϕ2 ∈ E.

T es continua si

lımT, ϕj

®=T, lımϕj

®,

donde lımϕj es en algún sentido en E, como convergencia puntual, conver-gencia uniforme, · · ·

Definición 3.1 T es llamada una función generalizada si T es una fun-cional lineal sobre E, la cual es continua con respecto a la convergencia enel sentido de E.

E0 denota el espacio de la funciones generalizadas sobre E.

Ejemplo 3.1 La “función” δ de Dirac es definida vía:

hδ, ϕi = ϕ (0) , ∀ϕ ∈ E.

δt0 se define vía:hδt0 , ϕi = ϕ (t0) , ∀ϕ ∈ E.

3.3. INTRODUCCIÓN A LAS DISTRIBUCIONES. 79

Conclusión: δ es una función generalizada definida sobre E, donde enE consideramos la convergencia puntual.

En efecto, δ es lineal. En cuanto a la continuidad, tenemos

lımδ, ϕj

®= lımϕj (0) = ϕ0 (0)

= hδ, ϕ0i =δ, lımϕj

®¥

Nota. Asi se ha encontrado un “lugar” para δ, en el espacio de la funcionesgeneralizadas. Pronto veremos que δ es “algo mas”.

3.3. INTRODUCCIÓNALASDISTRIBUCIONES.

3.3.1. Aspectos Generales.

Sea C∞0 (Rn) la clase de las funciones regulares ϕ : Rn → C con soportecompacto. C∞0 (Rn) es un espacio vectorial (complejo) en donde consider-amos la topología τ : ϕj → ϕ si ϕj tienen soporte es un compacto fijo K, ∀j, y la convgencia es uniforme, junto con todas sus derivadas.

Ello significa que para todo multi-índice α = (α1, . . . , αn)µ∂

∂x

¶α

ϕj →µ

∂

∂x

¶α

ϕ, uniformente sobre K.

Es claro que si ϕ ∈ C∞0 (Rn), ella es infinitamente diferenciable.

Definición 3.2 D = (C∞0 (Rn) , τ) . D es un espacio vectorial topológico.

Nota Precisemos que ϕ ∈ C∞0 (Rn) si ϕ tiene derivadas parciales continuasde cualquier orden y existe un compacto Kϕ ∈ Rn tal que ϕ (x) = 0 six ∈ Rn −Kϕ.

En relación a las funciones generalizadas, tomaremos E ≡ D. Luego, siϕ ∈ D, ϕ es llamado una función prueba o test.

Con el fin de precisar matemáticamente el concepto de distribución, estoes, una funcional lineal continua sobre D, hagamos lo siguiente.

Fijemos un compacto K ⊂ Rn y sea

C∞K (Rn) = ϕ ∈ C∞0 (Rn) / ϕ (x) = 0 si x /∈ K .

Podemos usar también la notación C∞0 (K) = C∞K (Rn) . Si K es la familiade los compactos de Rn, se tiene

C∞0 (Rn) =[K∈K

C∞K (Rn) .


Definición 3.3©ϕjªen C∞K (Rn) converge en el sentido de C∞K (Rn) si©

Dαϕjªconverge uniformemente sobre K para todo orden α.

C∞K (Rn) es completo con respecto a este tipo de convergencia, lo quesignifica:

Si ϕj → ϕ0 en C∞K (Rn) entonces ϕ0 ∈ C∞K (Rn) .

Si K es un compacto en Rn, m = 0, 1, 2, . . . y ϕ ∈ Cm (Rn) .

pongamos (la seminorma)

kϕkm,K = supx∈K

sup|α|≤m

|Dαϕ (x)| .

Definición 3.4 Definición de Distribución

• El espacio vectorial topológico D0 (Rn) ≡ D0 de todas la funcionales lin-eales continuas sobre D es llamado el espacio de las distribuciones(de Schwartz) sobre Rn.

Si T ∈ D0, T es llamado una distribución. Precisemos aun más. Tcontinua sobre D significa: ¿ Si

©ϕjªestá en D tal que, para cada

j, soporte ϕj ⊂ K, siendo K un conjunto compacto fijo y si©Dαϕj

ªconverge uniformemente sobre K para todo α fijo, entonces

lımj→∞

T, ϕj

®=

¿T, lım

j→∞ϕj

ÀÀ .

Es claro que lımϕj significa en la topología de D.

• Podemos decir también: T es una distribución si para todo com-pacto K de Rn, existe una constante c > 0 y m ∈ Z+ (que depende deK en general) tal que

|hT, ϕi| ≤ c kϕkm,K , ∀ϕ ∈ C∞K (Rn) (3.1)

Topología en el Espacio de las Distribuciones.

En D0 consideremos la convergencia puntual: la sucesión de distribu-ciones Tj converge a T ∈ D0 si

lımj→∞

hTj , ϕi = hT, ϕi ,∀ϕ ∈ D.

Escribiremos,lımj→∞

Tj = T en D0 (Rn) .

Nota. En general, en vez de Rn podemos considerar un abierto D de Rn.Recordemos que D es el espacio de la funciones infinitamente diferenciablescon soporte compacto en Rn. Por definición:

soporte de ϕ ≡ sopϕ = x ∈ Rn / ϕ (x) 6= 0 ,donde A significa cerradura de A.


3.3.2. Ejemplos de distribuciones.

a. Distribuciones definidas por funciones en L1loc (Rn)

Dada f ∈ L1loc (Rn), le asociamos la funcional lineal Tf definida sobreC∞0 (Rn) vía:

hTf , ϕi =Z

f (x)ϕ (x) dx ϕ ∈ C∞0 (Rn) .

Si K es compacto de Rn y ϕ ∈ C∞K (Rn) , entonces:

|hTf , ϕi| =¯Z

Kf (x)ϕ (x) dx

¯≤ kϕk0,K

ZK|f (x)| dx .

∴ si ϕn → 0 en D, entonces hTf , ϕni −→ 0. Luego, Tf ∈ D0 (es claro que Tfes lineal). En este caso Tf lo identificamos con f , y decimos que f ∈ D0.

b. La Distribución δ (x) .

Sea a ∈ R. Definimos

δa : D −→ C, ϕ −→ δa (ϕ) ≡ hδa, ϕi = ϕ (a) .

Si a = 0, hδ, ϕi = ϕ (0) .

Corolario 3.1 δa ∈ D0 (Rn). δ es llamada la Distribución de Dirac.

• Existen distribuciones que no son definidas por funciones L1loc.En efecto,afirmamos que δx0 ∈ D0 (Rn) no es definida por una función localmentesumable, esto es, que no existe f ∈ L1loc tal que

hδx0 , ϕi =Z

f (x)ϕ (x) dx = ϕ (x0) , ∀ϕ ∈ D.

Supongamos que exista tal f , entonces usando el Lema de Du BoisRaymond:

¿ Si g ∈ L1loc, Tg = 0⇐⇒ g = 0 a.e À,

tendremos:Zf (x) |x− x0|2 ϕ (x) dx = |x− x0|2 ϕ (x) |x=x0= 0, ∀ϕ ∈ D;

y por Du Bois,f (x) |x− x0|2 = 0 a.e.

Luego, f (x) = 0 a.e. en Rn. Entonces, hδx0 , ϕi = 0 ∀ϕ ∈ D.Asi, δx0 = 0, lo que es absurdo.

¥


Derivada de una Distribución

Motivación. Sea f ∈ C1 (Rn), ϕ ∈ D (Rn), Dj ≡∂

∂xj. Entonces,

hDjf, ϕi =

Z∂f

∂xjϕdx = (integrando por partes)

= −Z

f∂ϕ

∂xjdx

= − hf,Djϕi .

Viendo la definición de k km,K , podemos comprobar que

kDjϕkm,K ≤ kϕkm+1,K , ∀ϕ ∈ D (K) .

Luego, Dj : Cm+1 −→ Cm es una aplicación continua.

Si T ∈ D0, definimos la funcional ∂T∂xj≡ DjT vía:

hDjT, ϕi = − hT,Djϕi , ∀ϕ ∈ D

DjT es lineal; también es continua pues

|hDjT,ϕi| = |hT,Djϕi| ≤ C kDjϕkm,K ≤ C1 kϕkm+1,K , ∀ϕ ∈ D.

Conclusión: DjT ∈ D0.

Definición 3.5 (Definición General). Si α = (α1, . . . , αn) ∈ Nn y T ∈D0, definimos DαT vía:

hDαT, ϕi = (−1)|α| hT,Dαϕi ∀ϕ ∈ D,

donde |α| = α1 + · · ·+ αn y

Dαϕ =∂α1

∂xα1· · · ∂

αn

∂xαnϕ.

Ejemplo 3.2 Recordemos que H (t) =

½0 . . . t ≤ 01 . . . t > 0

, función de Heavi-

side. Entonces H ∈ L1loc¡R1¢. Luego H ∈ D0. Si DH (t) ≡ d

dtH (t), tenemos,

hDH,ϕi = − hH,Dϕi = −Z ∞

−∞H (t)ϕ0 (t) dt

= −Z ∞

0ϕ0 (t) dt = −ϕ (t) |∞0 = ϕ (0)

= hδ, 0i .


Conclusión:d

dtH = δ.

Consecuencias.

• Si f ∈ Cm (Rn), entonces DαTf = TDαf , |α| ≤ m.

• ∀α ∈ Nn, Dα : D0 (Rn) −→ D0 (Rn) es continua (convergencia puntu-al).

c. Si T ∈ D0, entonces DαT ∈ D0, ∀α ∈ Nn

Producto de Funciones por Distribuciones

Para f ∈ C∞ (Rn) y ϕ ∈ D (Rn) se tiene la fórmula de Leibniz

Dα (fϕ) =Xβ≤α

α!

β! (α− β)!Dβf Dα−βϕ,

donde α! = α1! . . . αn!, α+ β = (α1 + β1, . . . , αn + βn)

β ≤ α si βi ≤ αi, i = 1, . . . , n.

Luego, fϕ ∈ C∞0 (Rn) .

También,∀ m ∈ Z+, ∃ Cm > 0 constante, tal que

kf ϕkm,K = supx∈K

sup|α|≤m

|Dα (f ϕ) (x)|

≤ Cm kfkm,K kϕkm,K , ∀K ⊂ Rn compacto.

∴ Si ϕj −→ 0 en D, entonces f ϕj −→ 0 en D.

Definición 3.6 Si T ∈ D0 (Rn) y f ∈ C∞ (Rn), f T es definido sobre Dvía:

hf T, ϕi = hT, f ϕi , ∀ϕ ∈ D.

d. f T ∈ D0 (Rn) .

Consecuencias.

• Si g ∈ C0 (Rn), entonces f Tg = Tfg, f ∈ C∞ (Rn).

• Si f ∈ C∞ (Rn) y T ∈ D0 (Rn), entonces

Dα (f T ) =Xβ≤α

α!

β! (α− β)!Dβf Dα−βT ,

fórmula generalizada de Leibniz.


• La aplicación D0 −→ D0T 7−→ fT

, es continua en la D0−Topología. En

efecto, si Tj −→ T , entonces,

hf Tj , ϕi = hTj , f ϕi −→ hT, f ϕi = hf T, ϕi .

Ejemplo 3.3 Otros ejemplos.

• Motivación. Si f ∈ L1loc (Rn), definimos f (x) = f (−x). Entonces,∀ϕ ∈ D,

f , ϕ

®=

Zf (x)ϕ (x) dx =

Zf (−x)ϕ (x) dx

=

Zf (y)ϕ (−y) dy = hf, ϕi .

Si T ∈ D0, definimos T vía:T , ϕ

®= hT, ϕi , ∀ϕ ∈ D.

e. Si T ∈ D0 entonces T ∈ D0.

• Motivación Sea f ∈ L1loc (Rn); definimos (τaf) (x) = f (x− a) (∈L1loc (Rn)). Entonces, ∀ϕ ∈ D,

hτaf, ϕi =Z

f (x− a)ϕ (x) dx =

Zf (y)ϕ (y + a) dx = hf, τ−aϕi .

Si T ∈ D0, definimos τaT vía hτaT, ϕi = hT, τ−aϕi, ∀ϕ ∈ D.

f. Si T ∈ D0, τaT ∈ D0.

g. Sea f (x), definida sobre R1, que tiene m derivadas, uniformementecontinua en cada intervalo (xj , xj+1), j = 0,±1,±2, . . . donde xj −→ ±∞,cuando j −→ ±∞. Sea el salto de f (k) en xj :

f(k)j = f (k) (xj + 0)− f (k) (xj − 0) .

Desde que

f 0, ϕ

®= −

f, ϕ0

®= −

Z ∞

−∞f (x)ϕ0 (x) dx

=Xj

ϕ (xj) f(0)j +

Z ∞

−∞

£f 0 (x)

¤ϕ (x) dx, ∀ϕ ∈ D,


tenemos:f 0 =

£f 0¤+Xj

f(0)j δxj

donde δa (ϕ) = ϕ (a) y [f 0] representa la derivada clásica de f .

En General:

f (k) =hf (k)

i+Xj

f(k−1)j δxj +

Xj

f(k−2)j δ0xj + · · ·+

Xj

f(0)j δ(k−1)xj

dondeδ(q) (ϕ) =

Dδ(q), ϕ

E= (−1)q ϕ(q) (0) .

h. Antiderivada de una Distribución

Problema (en R1). Dada S ∈ D0, encontrar T ∈ D0 tal quedT

dx= S.

SoluciónAsumamos que

T,ϕ0®= −

¿dT

dx, ϕ

À= − hS, ϕi , ∀ϕ ∈ D

Ahora ∀ψ ∈ D pongamos

ψ1 = ψ − ϕ0

Z ∞

−∞ψ (x) dx,

donde ϕ0 ∈ D y Z ∞

−∞ϕ0 (x) dx = 1.

Entonces tenemos Z ∞

−∞ψ1 = 0.

Luego, si ϕ (x) =Z x

−∞ψ1 tendremos ϕ ∈ D y ϕ0 (x) = ψ1 (x) .

Además,

hT, ψi = hT, ψ1i+Z ∞

−∞ψ · hT, ϕ0i

=T, ϕ0

®+

Z ∞

−∞ψ · hT, ϕ0i .

Luego,

hT, ψi = − hS, ϕi+Z ∞

−∞ψ · hT, ϕ0i (3.2)

Asi, dada S ∈ D0, la distribución T solución del problema es definidacomo la solución la cual satisface (3.2).

Ejemplo 3.4 Encontrar T ∈ D0 tal que dT

dx= δ.

SoluciónEn este caso la relación (3.2) es:

hT,ψi = − hδ, ϕi+Z ∞

−∞ψ · hT, ϕ0i = −ϕ (0) +

Z ∞

−∞ψ · hT, ϕ0i

= −Z 0

−∞ψ1 +

Z ∞

−∞ψ · hT, ϕ0i

= −Z 0

−∞ψ +

Z 0

−∞ϕ0 ·

Z ∞

−∞ψ +

Z ∞

−∞ψ · hT, ϕ0i .

La idea ahora es escoger ϕ0 tal queZ 0

−∞ϕ0 = 1 y hT, ϕ0i = 0. Entonces

tendríamos

hT, ψi = −Z 0

−∞ψ +

Z ∞

−∞ψ =

Z ∞

0ψ (x) dx =

⎧⎨⎩h1, ψi . . . si x > 0

h0, ψi . . . si x ≤ 0.Esto es,

T (x) =

⎧⎨⎩1 . . . x > 0

0 . . . x ≤ 0..

Conclusión:dT

dx= δ.

Es claro que T es la función de Heaviside H.

3.3.3. Sucesiones Regulares (“Mollifiers”).

Definición 3.7 (ρm)m≥1 es una sucesión regular si

• ρm ∈ C∞0 (Rn) ; • sop ρm ⊂ B¡0, 1m

¢•Rρm = 1 ; • ρm ≥ 0 sobre Rn.

(3.3)

Existencia.Fijemos una función ρ ∈ C∞0 (Rn) con sop ρ ⊂ B (0, 1), ρ ≥ 0 sobre Rn

yRρ > 0. Por ejemplo tomemos

ρ (x)] =

⎧⎪⎨⎪⎩e

1

|x|2−1 . . . si |x| < 1

0 . . . si |x| ≥ 1.ρ satisface tales exigencias.

Pongamos c =¡R

ρ¢−1 y consideremos la dilatación ρm (x) = c mnρ (mx) .

Entonces (ρm) satisface (3.3).

Lema 3.1 Sea f ∈ C0 (Rn). Entonces f ∗ ρm → f , cuando m → ∞, uni-formemente sobre todo compacto en Rn. ((ρm) como en (3.3)).

Prueba.f ∗ ρm es bien definida. En efecto,

mın|x−x0|≤ 1

m

f (x) ≤ (f ∗ ρm) (x0) =Z

f (x) ρm (x− x0) dx ≤ max|x−x0|≤ 1

m

f (x) .

También, f es uniformente continua sobre compactos: ∀K compacto, ∀ε > 0,∃m > 0 tal que

|f (x0)− f (x)| < ε, ∀ x0 ∈ K y |x− x0| <1

m.

Luego,

|(f ∗ ρm) (x0)− f (x0)| ≤ZK|f (x− x0)− f (x0)| ρm (x) dx

≤ ε

ZKρm = ε.

Por tanto, f ∗ ρm → f uniformente sobre K.¥

Lema 3.2 Si (ρm) es como en (3.3) y 1 ≤ p < ∞, entonces ∀f ∈ Lp (Rn)tenemos ρm ∗ f → f , cuando m→∞, en la Lp − norma.

Prueba

(ρm ∗ f) (x)− f (x) =

Z|y|≤ 1

m

ρm (y) [f (x− y)− f (x)] dy (3.4)

Caso p = 1.

kρm ∗ f − fkL1 =

ZRn|(ρm ∗ f) (x)− f (x)| dx

=

ZRn

¯¯Z|y|≤ 1

m

ρm (y) [f (x− y)− f (x)] dy

¯¯ dx

≤Z|y|≤ 1

m

ρm (y)

∙ZRn

f (x− y)− f (x) dx

¸dy

=

Z|y|≤ 1

m

ρm (y) kτyf − fkL1 dy.

Pero,

kτyf − fkL1 → 0, |y|→ 0 (si m→∞, |y| ≤ 1

mimplica |y|→ 0)

por el teorema dominado de Lebesgue].Ahora definamos fj = gj ∗ ρj . Entonces, fj ∈ C∞0 (Rn) y

kfj − fkLp ≤ kfj − gjkLp + kgj − fkLp → 0,

donde kgj−fjkLp → 0 por el Lema 3.2.¥

El espacio Ck (D)

Sea D ⊆ Rn un conjunto abierto. Para k = 0, 1, 2, 3, . . . definimos

Ck (D) = f : D→ R / f tiene derivadas continuas hasta la de orden k .

La topología de Ck (D) es definida por la familia de seminormas

pk (f) = supx∈K

sup|α|≤k

|Dαf (x)| .

Criterio:fj → f en Ck (D)⇐⇒ Dαfj → Dαf

uniformemente sobre cada compacto K, ∀ |α| ≤ k

Remarcamos que:

Ck0 (Rn) =

nf ∈ Ck (Rn) / sop f es compacto

o.

Proposición 3.1 Sea f ∈ Ck0 (Rn) y g ∈ L1loc (Rn), k es un número entero.

Entonces,

f ∗ g ∈ Ck (Rn) y Dk (f ∗ g) =³D(k)f

´∗ g.

En particular, si

f ∈ C∞0 (Rn) y g ∈ L1loc (Rn) ,

entonces f ∗ g ∈ C∞ (Rn) .

Prueba.Usaremos inducción. Caso k = 1.

Debemos probar que f ∗ g es diferenciable en x, y que

∇ (f ∗ g) (x) = (∇f ∗ g) (x) , donde ∇f =µ∂f

∂x1, . . . ,

∂f

∂xn

¶.

En efecto, sea h ∈ Rn con |h| < 1. Tenemos,


|f (x+ h− y)− f (x− y)− h∇f (x− y)| =

¯Z 1

0[h∇f (x+ sh− y)− h∇f (x− y)] ds

¯≤ (∇f es uniformemente continua sobre Rn)

≤ |h| ε (|h|) , ∀y ∈ Rn con ε (|h|)→ 0, si |h|→ 0.

Sea K un conjunto compacto, suficientemente grande para que

x+B (0, 1)− sop f ⊂ K.

Entonces tenemos,

f (x+ h− y)− f (x− y)− h∇f (x− y) = 0, ∀ y /∈ K, ∀h ∈ B (0, 1) .

Luego,

|f (x+ h− y)− f (x− y)− h∇f (x− y)| ≤ |h| ε (|h|)XK (y) ,

∀y ∈ Rn, ∀h ∈ B (0, 1) . Asi,

|(f ∗ g) (x+ h)− (f ∗ g) (x)− h (∇f ∗ g) (x)| ≤ |h| ε (|k|)ZK|g (y)| dy → 0.

Asi, f ∗ g es diferenciable en x, y

∇ (f ∗ g) (x) = (∇f ∗ g) (x) .

Ahora, por inducción, asumamos

Dk (f ∗ g) (x) =³Dkf ∗ g

´(x) .

Entonces,

Dk+1 (f ∗ g) (x) = Dk (∇ (f ∗ g)) (x)= Dk [(∇f ∗ g) (x)]=

³Dk+1f ∗ g

´(x) .

¥

Nota. Para otros detalles ver [BREZ].

Para todo ε > 0 definamos la dilatación

ρε (x) =1

εnρ³xε

´Entonces tenemos

• sop ρε ⊂ x / |x| ≤ ε ;

• ρε (x) ≥ 0, ∀x ∈ Rn;

•RRn ρε (x) dx = 1;

• ρε ∈ C∞0 (Rn).

Proposición 3.2 Tenemos ρε → δ cuando ε→ 0.

PruebaLa tesis es hρε, ϕi− hδ, ϕi→ 0, ∀ϕ ∈ D. Tenemos,Z

Rnρε (x)ϕ (x) dx− ϕ (0) =

ZRn

ρε (x) [ϕ (x)− ϕ (0)] dx

Luego, ¯ZRn

ρε (x)ϕ (x) dx− ϕ (0)

¯≤ max|x|≤ε

|ϕ (x)− ϕ (0)|→ 0

si ε→ 0. Por tanto,

lımε→0

hρε, ϕi = lımε→0

Zρε (x)ϕ (x) dx = ϕ (0) = hδ, ϕi .

¥

Proposición 3.3 Sea fj una sucesión de funciones en Lp (Rn), 1 < p <∞, tal que

lımj→∞

fj = f en Lp (Rn)

Entonces,lımj→∞

fj = f en D0 (Rn) .

PruebaSi ψ ∈ Lp (Rn) entonces ψ ∈ D0 (Rn) (esta inclusión la veremos oportu-

namente). Para toda ϕ ∈ D (Rn) tenemos,

|hfj − f, ϕi| =

¯Z[fj (x)− f (x)]ϕ (x) dx

¯≤

Z|fj (x)− f (x)| |ϕ (x)| dx

≤ kfj − fkLp kϕkLq → 0, donde1

p+1

q= 1.

¥


3.3.4. Soporte de una Distribución.

Sea D un subconjunto abierto de Rn.

Definición 3.8 La distribución T se anula o es nula en D si

hT, ϕi = 0, ∀ϕ ∈ D tal que sop ϕ ⊂ D.

Teorema 3.2 Sea Ui un cubrimiento abierto de un conjunto abierto D ⊂Rn. si T ∈ D0 (Rn) se anula en cada Ui, entonces T se anula en D.

Para la prueba de este teorema necesitamos algunas ideas preliminares.

Partición de la Unidad

Dados el abierto D ⊂ Rn y un cubrimiento abierto, enumerable Ui deD, una partición de la unidad, subordinada a Ui, es una sucesión deC∞ − funciones αi tal que:

(a)∞Pi=0

αi (x) = 1 sobre D, 0 ≤ αi ≤ 1, ∀x ∈ D;

(b) sop αi ⊂ Ui , y todo conjunto compacto en D es intersectado por lossoportes de un número finito de αi’s.

Se tiene el Teorema [+]. “Sea U1, . . . Um un cubrimiento finito deun conjunto compacto K. Entonces, existe una partición de la unidadsubordinada a U1, . . . Um”.

Nota. AcamPi=1

αi (x) = 1, ∀x ∈ K.

Prueba del Teorema 3.2Objetivo: Probar que hT,ϕi = 0, ∀ϕ ∈ D, con sop ϕ ⊂ D.

Sea ϕ ∈ D y sopϕ = K ⊂ D,K es un conjunto compacto. Asi, Ui es uncubrimiento deK, y por tanto existe un subcubrimiento finito Ui1 , . . . , Uimde K, y por el teorema [+], existe una partición de la unidad αi1 , . . . , αimsubordinado a Ui1 , . . . , Uim .

Entonces tenemos,

hT, ϕi =*T,

mXj=1

αijϕ

+=

mXj=1

T, αijϕ

®donde observamos que sop

¡αijϕ

¢⊂ Uij . En efecto, la suma es finita desde

quesop αij ∩ sop ϕ = φ


excepto para un número finito de i (definición de partición de la unidad), ypor lo tanto (por hipótesis)

T, αijϕ

®= 0, j = 1, . . . ,m, esto es, hT, ϕi = 0

para todo ϕ ∈ D con sop ϕ ⊂ D.¥

Corolario 3.2 Si T ∈ D0 se anula en cada conjunto abierto Di de unafamilia Di, entonces T se anula en[

i

Di.

PruebaEn efecto, pongamos D =

[i

Di, entonces Di es un cubrimiento abierto

de D; ahora basta aplicar el teorema 3.2.¥

Sea T ∈ D0 (Rn) ; tomemos todos los conjuntos abiertos Di ⊂ Rn dondeT se anula. Pongamos D =

[i

Di. D es el conjunto abierto mas grande en

donde T se anula. Esto motiva la

Definición 3.9 Sea T ∈ D0 (Rn). El soporte de T , denotado con sop T ,es el complemento del mas grande conjunto abierto en el cual T se anula.

Notas.

• sop T siempre es un conjunto cerrado;

• el conjunto en el cual T se anula puede ser vacío φ ó puede ser Rn; asi,sop T puede ser Rn ó sop T puede ser φ.

• x ∈ sop T ⇐⇒para toda vecindad V de x, existe ϕ ∈ D (Rn) consop ϕ ⊂ V y tal que hT, ϕi 6= 0.

Ejemplo 3.5 Si f ∈ C0 (Rn) y Tf es la correspondiente distribución, en-tonces sop Tf = sop f.

Ejemplo 3.6 sop δa = a.

Proposición 3.4 Si S y T ∈ D0 (Rn) , entonces

• sop (T + S) ⊂ sop T ∪ sop S;

• sop (λT ) = sop T , para λ 6= 0 escalar.

PruebaEjercicio.


3.3.5. Distribuciones de Soporte Compacto D00 (Rn) .Convolu-ción de Distribuciones con Funciones en D (Rn).

Definición 3.10 D00 (Rn), subespacio vectorial de D0 (Rn), es el conjunto©T ∈ D0 (Rn) / sop T es compacto

ª.

SeaE = ϕ : Rn → C / ϕ ∈ C∞ (Rn) .

En E consideremos la topología: ϕi → ϕ en E, si para cada α ∈ Nn,Dαϕj → Dαϕ uniformemente sobre los compactos de Rn.

Sea E0 el espacio de las formas (funcionales) lineales, continuas sobre E.

Teorema 3.3 E0 se identifica (topológicamente) con D00 (Rn) .

Teorema 3.4 Sea T ∈ D0 (Rn). Entonces existe una sucesión Tj en D00 (Rn)tal que:

• para cualquier subconjunto acotado A ∈ Rn, se tiene

(sop Tj) ∩A = φ ,

excepto para un número finito de j’s (∗)

• ∀ϕ ∈ D, hT, ϕi =PjhTj , ϕi, donde la suma es finita para cada ϕ, por

(∗) .

Motivación Sea f ∈ L1loc (Rn) y ϕ ∈ D (Rn); entonces la convolución f ∗ ϕexiste, y

(f ∗ ϕ) (x) = (definición) =Z

f (x− y)ϕ (y) dy

=

Zf (y)ϕ (x− y) dy

=

Zf (y) ϕ (y − x) dy

= hf, τxϕi

lo cual es una función regular de x.Esto motiva la siguiente definición. Remarcamos que

R≡RRn .

Definición 3.11 Si T ∈ D0 (Rn) y ϕ ∈ D (Rn), definimos la convoluciónT ∗ ϕ siendo la función dada por

(T ∗ ϕ) (x) = hT, τxϕi (3.5)


Otro camino: ahora veamos f ∈ L1loc como una distribución; entonces,para todo ϕ y ψ en D tenemos

hf ∗ ϕ,ψi =

Z(f ∗ ϕ) (x)ψ (x) dx =

Z ∙Zf (x− y)ϕ (y) dy

¸ψ (x) dx

=

Z ∙Zf (y)ϕ (x− y) dy

¸ψ (x) dx (usando Fubini)

=

Zf (y)

∙Zϕ (x− y)ψ (x) dx

¸dy

=

Zf (y)

∙Zϕ (y − x)ψ (x) dx

¸dy

=

Zf (y) (ϕ ∗ ψ) (y) dy = hf, ϕ ∗ ψi .

Esto motiva la

Definición 3.12 Si T ∈ D0 (Rn) y ϕ ∈ D (Rn), definimos la distribuciónT ∗ ϕ vía:

hT ∗ ϕ,ψi = hT, ϕ ∗ ψi , ∀ψ ∈ D (Rn) (3.6)

Teorema 3.5 (3.5)⇔(3.6)

Convolución de una Distribución con una Distribución en D00 (Rn).

Remarquemos que las distribuciones con soporte compacto son funcioneslineales sobre C∞ (Rn), las cuales son continuas con respecto a la topologíade C∞0 (Rn) .

En realidad, si T ∈ D00 (Rn) y φ es cualquier función de valor real enD (Rn) tal que φ (x) = 1 sobre una vecindad de sop T , entonces φT = T ,y para toda ϕ ∈ C∞ (Rn) tenemos:

hT, ϕi = hφT, ϕi = hT, φϕi , donde φϕ ∈ D (Rn) .

Definición 3.13 Sea T0 ∈ D00 (Rn) y T ∈ D0 (Rn). Para toda ϕ ∈ D (Rn),tenemos dos posibilidades de definir la convolución T ∗ T0.

•hT ∗ T0, ϕi =

T, T0 ∗ ϕ

®(3.7)

Esta definición tiene sentido. En efecto, observemos que:

sop¡T0 ∗ ϕ

¢⊂

©x+ y / x ∈ sop T0, y ∈ sop ϕ

ª= sop T0 + sopϕ;

luego T0 ∗ ϕ ∈ D (Rn) y entoncesT, T0 ∗ ϕ

®es bien definida y por

tanto también lo es hT ∗ T0, ϕi.


•hT ∗ T0, ϕi =

T0, T ∗ ϕ

®(3.8)

Esta definición tambien tiene sentido. En efecto, notamos que T ∗ϕ ∈C∞ (Rn) , luego, como T0 ∈ D00 (Rn),

T0, T ∗ ϕ

®es bien definida.

Nota. Se verifica (3.7) ⇔ (3.8). Luego, la convolución es conmutativa, estoes,

T ∗ T0 = T0 ∗ T.

Dα (T0 ∗ T ) =?

Para toda ϕ ∈ D tenemos:

hDα (T0 ∗ T ) , ϕi = (−1)|α| hT0 ∗ T,Dαϕi= (−1)|α|

T0, T ∗Dαϕ

®= (−1)|α|

T0,¡DαT

¢∗ ϕ®

= (−1)|α|T0,D

α¡T ∗ ϕ

¢®.

Luego, por un lado,

(−1)|α|T0,D

α¡T ∗ ϕ

¢®=DαT0, T ∗ ϕ

®= h(DαT0) ∗ T, ϕi ,

y por otro lado,

(−1)|α|T0,D

α¡T ∗ ϕ

¢®= (−1)|α|

T0,¡DαT

¢∗ ϕ®

= (−1)|α|T0, (D

αT )∨ ∗ ϕ®

= hT0 ∗ (DαT ) , ϕi .

Luego,

hDα (T0 ∗ T ) , ϕi = h(DαT0) ∗ T, ϕi = hT0 ∗ (DαT ) , ϕi .

Asi, tenemos la ley:

Dα (T0 ∗ T ) = (DαT0) ∗ T = T0 ∗DαT .

Nota.[DαT ]∨ = DαT .

En efecto, (DαT )∨ , ϕ

®= hDαT, ϕi = (−1)|α| hT,Dαϕi

3.4. DISTRIBUCIONES TEMPERADAS. 97

=[desde que

hDαϕ, ψi =

ZDαϕ (x)ψ (x) dx = · · · = (−1)|α|

Zϕ (x)Dαψ (−x) dx

= (−1)|α|ϕ,Dαψ

®=Dαϕ, ψ

®=[Dαϕ]∨ , ψ

®]

= (−1)|α|T, [Dαϕ]∨

®= (−1)|α|

T ,Dαϕ

®=

DαT , ϕ

®.

¥

Ahora observamos que δ ∈ D00 desde que su soporte es 0 . Asi, paracualquier T ∈ D0 (Rn), δ ∗ T es aún una distribución. Además

δ ∗ T = T .

En efecto, para toda ϕ ∈ D tenemos:

hδ ∗ T, ϕi =δ, T ∗ ϕ

®=¡T ∗ ϕ

¢(0) .

Recordemos ahora que

(T ∗ ϕ) (x) = hT, τxϕi ;

luego, si x = 0, (T ∗ ϕ) (0) = hT, ϕi .Ahora, tomemos T como una distribución y tendremos¡

T ∗ ϕ¢(0) =

T , ϕ

®.

Por lo tanto,hδ ∗ T, ϕi =

T , ϕ

®= hT, ϕi .

Asi δ ∗ T = T .Similarmente se verifica que T ∗ δ = T. Luego , δ actua como una iden-

tidad en el “producto convolución” de distribuciones.

3.4. DISTRIBUCIONES TEMPERADAS.

El espacio D0 (Rn) es bastante grande mientras que D00 (Rn) es pequeño.La idea es introducir un nuevo espacio, el de las distribuciones temperadasS0 (Rn) , tal que

D00 (Rn) ⊂ S0 (Rn) ⊂ D0 (Rn) .

3.4.1. El Espacio de Schwartz S.

Caso R1Diremos que la función ϕ : R1 → C es rápidamente decreciente (r.d)

si para todo entero α ≥ 0 tenemos

xαϕ (x)→ 0 si |x|→∞.

Equivalentemente, ϕ es rápidamente decreciente si ∀α ∈ N, la función xαϕ (x)es acotada en el infinito.

Ejemplo 3.7 e−|x| y e−x2son funciones rápidamente decrecientes.

Ejemplo 3.8 Cualquier función, la cual es cero fuera de un intervalo (su-ficientemente “largo”) es rápidamente decreciente.

Corolario 3.3 Si ϕ es rápidamente decreciente y P (x) es cualquier poli-nomio, entonces P (x)ϕ (x) es rápidamente decreciente.

Lema 3.3 Si ϕ es continua y r.d., entonces ϕ es absolutamente integrable.

PruebaTomemos P (x) = 1+x2. Entonces, por hipótesis, P (x)ϕ (x) es acotada;

luego existe M > 0 real, tal que |P (x)ϕ (x)| ≤M ; asi

|ϕ (x)| ≤ M

1 + x2.

PeroM

1 + x2es absolutamente integrable, luego asi lo es ϕ.

¥

Definición 3.14 El espacio vectorial de Schwartz S es definido siendoS = ϕ : R→ C/ ϕ ∈ C∞ tal que ϕ y todas sus Dβϕ son funciones r.d.

De esta manera, ϕ ∈ S ⇐⇒ ϕ ∈ C∞ (R) y para cualquier (α, β) ∈ N×Ntenemos xαDβϕ (x)→ 0 cuando |x|→∞⇐⇒ ϕ ∈ C∞ (R) y para cualquier(α, β) ∈ N×N todas las funciones xαDβϕ (x) son acotadas en el infinito,esto es,

pα,β (ϕ) = supx∈R

¯xαDβϕ (x)

¯< K

Corolario 3.4 Si ϕ ∈ S, entonces ϕ es absolutamente integrable. En gen-eral, todas las funciones xαDβϕ (x) son absolutamente integrables.

Si ϕ y ψ están en S, se tiene la distancia

d (ϕ,ψ) =Xα,β∈N

1

2α+βpα,β (ϕ− ψ)

1 + pα,β (ϕ− ψ).

(S, d) es un espacio métrico completo.


Corolario 3.5 D¡R1¢$ S

¡R1¢. Notemos que

ϕ (x) = e−x2

2 ∈ S

pero

e−x2

2 /∈ D¡R1¢.

Lema 3.4 Si ϕ ∈ S, entonces:

(i) Dβϕ ∈ S, β ∈ N;

(ii) xαϕ ∈ S, α ∈ N.

3.4.2. Topología en S.

Dada ϕm en S, decimos que ϕm → 0 en S si para cualquier (α, β) ∈N×N tenemos

xαDβϕm (x)→ 0

uniformente (sobre compactos) cuando m→∞.

Dadas ϕm y ϕ en S, decimos que

ϕm → ϕ en S si ϕm − ϕ→ 0 en S.

Lema 3.5

(i) Si ϕm → ϕ y ψm → ψ en S entonces

αϕm + βψm → αϕ+ βψ

en S, donde α, β ∈ R.

(ii) Si ϕm → 0 en S, entonces ϕmψ → 0 en S para cualquier ψ ∈ S.

(iii) Si ϕm → ϕ en S, entonces

Q (x) [P (x)ϕm]→ Q (x) [P (x)ϕ]

para cualquier polinomio P y Q.

Lema 3.6 Si ϕm → 0 en S, entoncesZ ∞

−∞|ϕm (x)| dx→ 0, si m→∞.

Prueba.Desde que ϕm → 0 en S, entonces¡

1 + x2¢ϕm → 0

uniformemente cuando m → ∞. Luego, dado ε > 0, existe m0 tal que∀m ≥ m0 tenemos: ¯¡

1 + x2¢ϕm (x)

¯< ε.

Luego, Z ∞

−∞|ϕm (x)| dx ≤ ε

Z ∞

−∞

dx

1 + x2< ε0

(la última integral es convergente)¥

Corolario 3.6 Si ϕm → 0 en S, entonces para cualquier (α, β) ∈ N×Ntene- mos Z ∞

−∞

¯xαDβϕm (x)

¯dx→ 0 , si m→∞.

Teorema 3.6 D¡R1¢es denso en S

¡R1¢.

Prueba.Objetivo: dada ψ ∈ S, debemos probar que existe ϕm en D

¡R1¢tal que

ϕm → ψ en la topología de S.En efecto, sea θ ∈ D

¡R1¢tal que |θ (x)| ≤ 1, con θ (x) = 1 sobre la bola

|x| ≤ 1. [Usamos el Teorema: “Si K ⊂ Rn es compacto, entonces existeθ ∈ D

¡R1¢tal que 0 ≤ θ ≤ 1 y θ = 1 sobre una vecindad de K”].

Consideremos ahora la dilatación

θm (x) = θ³ xm

´, m = 1, 2, 3, . . . , ∀x ∈ R.

Pongamosϕm (x) = θm (x)ψ (x) .

Asi, ϕm ∈ D¡R1¢. Ahora la tesis ϕm → ψ en S significa que ∀ (α, β) ∈

N×N debemos tener:

lımm→∞

xαhDβϕm (x)−Dβψ (x)

i= 0 uniformemente. (3.9)

Prueba de (3.9)

xαhDβϕm (x)−Dβψ (x)

i= xα

hDβ (θm (x)ψ (x))−Dβψ (x)

i=

(Usando la fórmula de Leibniz:

Dβ (ϕ1ϕ2) (x) =Xβ0≤β

µβ

β0

¶Dβ0ϕ1 (x)D

β−β0ϕ2 (x) )

= xα

⎡⎣ βXβ0=0

µβ

β0

¶Dβ0θm (x)D

β−β0ψ (x)−Dβψ (x)

⎤⎦ =(considerando que

Dβ0θm (x) =1

mβ0Dβ0θ

³ xm

´y separando β0 = 0)

=

βXβ0=1

µβ

β0

¶1

mβ0Dβ0θ

³ xm

´xαDβ−β0ψ (x) + θ

³ xm

´xαDβψ (x)

−xαDβψ (x) .

Pero, como ψ ∈ S sabemos que xαDβψ (x) es rápidamente decreciente,esto es, dado ε > 0, existe m0 tal que ∀ |x| ≥ m0 tenemos¯

xαDβψ (x)¯<

ε

4(3.10)

Además, por otra parte, como |θ (x)| ≤ 1, para |x| ≥ m0 tendremos también¯θ³ xm

´xαDβψ (x)

¯<

ε

4(3.11)

Observermos que si |x| ≤ m, entonces θ¡xm

¢= 1. Asi, para |x| ≤ m

tendremosθ³ xm

´xαDβψ (x) = xαDβψ (x) .

Entonces, ∀x y m ≥ m0 tendremos

(i) ¯θ³ xm

´xαDβψ (x)− xαDβψ (x)

¯<

ε

4+

ε

4=

ε

2

[esto es claro si |x| ≤ m. Si |x| > m y m ≥ m0, entonces |x| > m0 ytendremos (3.10) y (3.11)]

Observemos tambien que si ψ ∈ S y θ ∈ D, entonces¯Dβ0θ

³ xm

´xαDβ−β0ψ (x)

¯≤M , β0 = 1, 2, 3, . . . , β

Luego, si m es suficientemente grande,

(ii) ¯µβ

β0

¶1

mβ0Dβ0θ

³ xm


¯<

ε

2β.

Finalmente,

¯xαhDβϕm (x)−Dβψ (x)

i¯≤

¯¯ βXβ0=1

µβ

β0

¶1

mβ0Dβ0θ

³ xm


¯¯

+¯θ³ xm

´xαDβψ (x)− xαDβψ (x)

¯<

ε

2+

ε

2= ε.

¥

3.4.3. Caso Rn.

Definición 3.15 S (Rn) ≡ S es definido vía:

S = ϕ : Rn → C / ϕ ∈ C∞ (Rn) y para cualquier n− uplasα = (α1, . . . , αn), β = (β1, . . . , βn) , (α, β) ∈ Nn ×Nn

tenemos lım|x|→∞

xαDβϕ (x) = 0 .

Notación. x = (x1, . . . , xn), xα = xα11 . . . xαnn .

Dβ ≡µ

∂

∂x

¶β

=∂β1

∂xβ11

· · · ∂βn

∂xβnn

.

Asi, ϕ ∈ S si ∀ (α, β) ∈ Nn ×Nn, existe una constante Cα,β tal que¯xαDβϕ (x)

¯≤ Cα,β , ∀x ∈ Rn

Topología en S.ϕm → ϕ en S si para cualquier compacto K ⊂ Rn y todo |β| ≥ 0,

Dβϕm (x)→ Dβϕ (x)

uniformemente para x ∈ K.S es un espacio seminormado con las seminormas

pα,β (ϕ) = supx

¯xαDβϕ (x)

¯.

Luego, como S (Rn) es definido por una familia enumerable de seminormas,S es un espacio metrizable. Mas generalmente:

3.5. LA TRANSFORMADA DE FOURIER. 103

Teorema 3.7 S (Rn) es un espacio de Frechet (es un espacio vectorial topológi-co completo, metrizable y localmente convexo), el cual contiene D (Rn) comoun subespacio denso.

Ejemplo 3.9 e−x2 ∈ S (Rn).

Ejemplo 3.10 D (Rn) ⊂ S (Rn).

3.5. LA TRANSFORMADA DE FOURIER.


Sea f una función definida sobre Rn; su transformada de Fourier f esdefinida vía

f (x) =

Ze−2πix.tf (t) dt, donde x.t = x1t1 + · · ·+ xn.tn.

Si f ∈ L1 (Rn), entonces f es bien definida desde que¯f (x)

¯≤Z|f (t)| dt <∞, esto es,

supx

¯f (x)

¯≤ kfkL1 ó

°°°f°°°L∞≤ kfkL1 .

También, la transformada de Fourier es una función continua:

Objetivo:lımh→0

f (x+ h) = f (x) .

En efecto:¯f (x+ h)− f (x)

¯=

¯Zf (t) e−2πi.x.t

he−2πih.t − 1

idt

¯≤

Z ¯e−2πih.t − 1

¯|f (t)| dt.

Aplicando el teorema dominado de Lebesgue, tenemos la observación.

Teorema 3.8 Si ϕ ∈ S, entonces:

(i) ϕ ∈ C∞ (Rn) y Dαϕ (x) = (−2πi)|α| [xαϕ]∧ (x)

(ii) [Dαϕ]∧ (x) = (2πi)|α| xαϕ (x).

Prueba


(i)

Dαϕ (x) = Dα

Ze−2πix.tϕ (t) dt =

Z £Dαe−2πix.t

¤ϕ (t) dt

=

Z(−2πit)α e−2πix.tϕ (t) dt

= (−2πi)|α|Z

e−2πix.ttαϕ (t) dt

= (−2πi)|α| [xαϕ]∧ (x) .

(ii)

[Dαϕ]∧ (x) =

Ze−2πix.t (Dαϕ) (t) dt =(integrando por partes)

= (−1)|α|Z

Dα£e−2πix.t

¤ϕ (t) dt

= (−1)|α| (−2πix)αZ

e−2πix.tϕ (t) dt

= (2πi)|α| xαϕ (x) .

¥

Teorema 3.9 Si ϕ ∈ S (Rn), entonces ϕ ∈ S (Rn)

Prueba.Objetivo: ∀ α = (α1, . . . , αn), β = (β1, . . . , βn), xαDβϕ (x) es acotado.En efecto,

xαDβϕ (x) = xαh(−2πix)β ϕ

i∧(x)

= (2πi)−|α|hDα

³(−2πix)β ϕ

´i∧(x)

= (−1)|β| (2πi)|β|−|α|hDα

³xβϕ

´i∧(x) .

Observando que Dα¡xβϕ

¢∈ L1 y que

£Dα

¡xβϕ

¢¤∧ ∈ L∞, tenemos el teo-rema.

¥

Corolario 3.7 Lema de Riemann-Lebesgue Si f ∈ L1, entonces f escontinua y anúlase en el infinito.

PruebaLa tesis es cierta si f ∈ S (pues f ∈ S y f → 0 en el infinito). En general,

si f ∈ L1 y considerando que S es denso en L1 y que°°°f°°°

L∞≤ kfkL1 , se

tiene la tesis.¥


Teorema 3.10 Fórmula de la Inversión. Para todo ψ ∈ S, tenemos

ψ (x) =

Ze2πix.ξψ (ξ) dξ. (3.12)

AsíF : S −→ S

ψ 7→ ψes un isomorfismo sobre.

PruebaPara toda ψ ∈ S tenemos que calcular la integral reiteradaZ

e2πix.ξ∙Z

e−2πiy.ξψ (y) dy

¸dξ.

Pero, desgraciadamente, no podemos intercambiar el orden de integraciónya que la integral doble no es absolutamente convergente (e2πix.ξ es un factormuy grande).

Para evitar esta dificultad, se introduce un “factor de convergencia” θ (ξ),donde θ ∈ S, el que será determinado posteriormente. Esta función hace ala integral doble, absolutamente convergente, y por tanto intercambiando elorden de integración vemos queZ

e2πix.ξθ (ξ)

∙Ze−2πiy.ξψ (y) dy

¸dξ =

Zψ (y)

∙Ze−2πi(y−x).ξθ (ξ) dξ

¸dy

=

Zψ (y) θ (y − x) dy

=

Zθ (y)ψ (x+ y) dy.

Luego, Ze2πix.ξθ (ξ) ψ (ξ) dξ =

Zθ (y)ψ (x+ y) dy. (3.13)

Por otro lado, se verifica que ∀ε > 0,

[θ (εξ)]∧ =1

εnθ³yε

´Por tanto, si en (3.13) reemplazamos θ (ξ) por θ (εξ) obtendremosZ

e2πix.ξθ (εξ) ψ (ξ) dξ =

Z1

εnθ³yε

´ψ (x+ y) dy

=³yε= y, y = εy, dy = εndy

´=

Z1

εnθ (y)ψ (x+ εy) εndy.

Luego, Ze2πix.ξθ (εξ) ψ (ξ) dξ =

Zθ (y)ψ (x+ εy) dy. (3.14)

Ahora, desde que ψ, θ ∈ S ⊂ L1, y ψ, θ son funciones acotadas ycontinuas, si en (3.14) tomamos límite cuando ε→ 0, podemos introducir ellímite dentro de la integral y obtendremos:

θ (0)

Ze2πix.ξψ (ξ) dξ = ψ (x)

Zθ (y) dy. (3.15)

Finalmente, a fin de obtener (3.12) de (3.15), precisamos la función θ :

θ (x) = e−π|x|2. Remarcamos que (en R1) si θ (x) = e−x

2, −∞ < x < ∞,

entoncesθ (x) =

1

2√πe−

x2

4 ;

luego, si ε > 0 y θε (x) = θ (εx) = e−ε2x2 se tiene

θε (x) =1

2ε√πe−

x2

4ε2 .

(llamado núcleo de Weierstrass en L1).Si ε = 1√

2,veremos que θ 1√

2(x) = e−

12x2 es tal que

θ 1√2(x) =

12√2

√πe−

x2

2 .

Es decir, a menos de un factor constante, e−12x2 es igual a su transformada

de Fourier. Asi tendremos:

θ (0) = 1 yZ

θ (y) dy =

Zθ (y) dy = 1.

Conclusión: Ze2πix.ξψ (ξ) dξ = ψ (x) , como deseamos.

¥

Teorema 3.11 Si ψ y θ están en S, entonces tenemos:

(i)Rψθdx =

Rψθdx

(ii)Rψθdx =

Rψθdx fórmula de Plancherel

(iii) [ψ ∗ θ]∧ (ξ) = ψ (ξ) θ (ξ)

(iv) [ψθ]∧ (ξ) =³ψ ∗ θ

´(ξ) .


Prueba

(i) Poniendo x = 0 en (3.13):Ze2πix.ξθ (ξ) ψ (ξ) dξ =

Zθ (y)ψ (x+ y) dy

obtendremos Zθ (ξ) ψ (ξ) dξ =

Zθ (y)ψ (y) dy.

(ii) Pongamos w = θ, entonces

w (ξ) =

Ze2πix.ξ θ (x) dx = θ (ξ) ;

de esta manera w = θ ó w = θ. Por (i) vemos que:Zψθ =

Zψw =

Zψw =

Zψθ .

Tomando θ en vez de θ y usando θ = bθ, obtendremosZψ θ =

Zψ θ ,

esto es Zψ θ =

Zψ θ ,

como deseamos.

(iii)

[ψ ∗ θ]∧ (ξ) =

Ze−2πix.ξ

∙Zψ (y) θ (x− y) dy

¸dx

=

Ze−2πiy.ξψ (y)

∙Ze−2πi(x−y).ξθ (x− y) dx

¸dy

= ψ (ξ) θ (ξ) .

(iv) Verificaremos que ambos lados en (iv) tienen la misma transformadade Fourier. Sea ψθ = w; por la fórmula de inversión tenemos

bw (x)Z e−2πix.ξw (ξ) dξ = w (−x) = ψ (−x) θ (−x) .

Por otro lado, por (iii) y la fórmula de inversión tenemos:h³ψ ∗ θ

´(ξ)i∧(x) =

bψ (x)

bθ (x) = ψ (−x) θ (−x) .


Finalmente, como la transformada de Fourier es un isomorfismo ten-dremos

w (ξ) =³ψ ∗ θ

´(ξ) ,

que implica (iv).

¥

3.5.2. El Teorema de Paley -Wiener.

Por simplicidad consideremos el caso R1 en vez de Rn. Si ϕ ∈ D¡R1¢y

sop ϕ ⊂ x / |x| ≤ a

por ejemplo, entonces

ϕ (ξ) =

Z a

−ae−2πix.ξϕ (x) dx .

Además, ϕ puede ser extendido a una función de variable compleja ζ = ξ+iηponiendo:

ϕ (ζ) =

Z a

−ae−2πix.ζϕ (x) dx =

Z a

−ae−2πix.ξe2πxηϕ (x) dx .

Ahora, derivando dentro de la intergal con respecto a ζ, vemos que ϕ (ζ) esuna función holomórfica sobre todo el ζ−plano, esto es, ϕ (ζ) es una funciónanalítica entera.

Si Dϕ (x) =1

2πiϕ0 (x), integrando por partes, vemos que:

(Dϕ)∧ (ξ) =

Z a

−ae−2πix.ζDϕ (x) dx

=

Z a

−aζϕ (x) e−2πix.ζdx

= ζ ϕ (ζ) .

Tomando derivadas reiteradas Dk, k = 0, 1, 2, . . . de ϕ y repitiendo el argu-mento, encontramos ³

Dkϕ´∧(ζ) = ζkϕ (ζ) .

Desde que ¯³Dkϕ

´∧(ζ)

¯=

¯Z a

−ae−2πix.ζDkϕ (x) dx

¯≤ Cke

2πa|η|

podemos concluir que:

3.6. EL ESPACIO DE LAS DISTRIBUCIONES TEMPERADAS S0. 109

¿ la transformada de Fourier (compleja) ϕ (ζ) de cualquier ϕ ∈ D¡R1¢,

la cual se anula para |x| ≥ a, es una función analítica entera de ζ = ξ+ iη,la cual para todo k = 0, 1, 2, . . . satisface la estimativa de crecimiento¯

ζkϕ (ζ)¯≤ Cke

2πa|η| À . (3.16)

La afirmación (3.16), junto con la inversa, es conocida como el teore-ma de Paley-Wiener.

3.6. EL ESPACIO DE LAS DISTRIBUCIONESTEMPERADAS S0.


Definición 3.16 Una distribución temperada es una funcional linealT : D (Rn)→ C la cual es continua en la topología inducida por S.

Asi, T es una distribución temperada si T pertenece al espacio dualtopológico de S. Llamaremos S0 al espacio de la distribuciones temperadas.

Conclusión: T ∈ S0 si T : S → C tal que

(i) T (αϕ1 + βϕ2) = αTϕ1 + βTϕ2 donde α, β ∈ C; ϕ1, ϕ2 ∈ S y

(ii) Si ϕn → ϕ en S, entonces hT, ϕni→ hT, ϕi en C.

Corolario 3.8 Si T ∈ S0 entonces T ∈ D0. El reciproco es falso.

Prueba.

Remarquemos que T ∈ S0 si (y sólo si) existe una constante C > 0 ym ∈ Z+ tal que

|hT,ϕi| ≤ C sup|α|≤m

sup|β|≤m

³¯xαDβϕ (x)

¯´,

donde ϕ ∈ S.


Entonces, si K es un compacto en Rn y ϕ ∈ D (K) ⊂ S, tendremos:

|hT,ϕi| ≤ C supx∈K

sup|α|≤m

(|xα|) supx∈K

sup|β|≤m

³¯Dβϕ (x)

¯´= C 0 pm,K (ϕ) .

Luego, T ∈ D0 (Rn).El recíproco es falso: Sea la función f (x) = ex

2; desde que f es

continua, f ∈ L1loc¡R1¢, luego f ≡ Tf ∈ D0 (R). Sin embargo, sabemos que

ϕ (x) = e−x2 ∈ S, luego

hf, ϕi =Z ∞

−∞f (x)ϕ (x) dx =

Z ∞

−∞dx =∞.

Conclusión: f /∈ S0

¥

Importante. No toda funcional lineal continua sobre D (Rn) tiene una ex-tensión lineal continua sobre S (Rn).

Observemos también que una distribución temperada define una dis-tribución y que la inclusión

S0 ⊂ D0 es propia.

Lema 3.7 Diferentes funcionales lineales continuas sobre S definen difer-entes distribuciones.

PruebaSean T1 y T2 dos diferentes funcionales lineales continuas sobre S.

Objetivo: existe ϕ ∈ D tal que hT1, ϕi 6= hT2, ϕi.En efecto, por hipótesis existe ψ ∈ S tal que hT1, ψi 6= hT2, ψi . Entonces

no tendremos: hT1, ϕi = hT2, ϕi para todo ϕ ∈ D (Rn).En efecto, si tuviéramos hT1, ϕi = hT2, ϕi para todo ϕ ∈ D, entoncespor la densidad de D en S, tendríamos que existiría una sucesión ϕn enD tal que ϕn → ψ en S y como hT1, ϕni = hT2, ϕni, la continuidad de T1 yT2 sobre S implicaría hT1, ψi = hT2, ψi, lo que es una contradicción con lahipótesis. Por lo tanto, T1 6= T2 como distribuciones.

¥

3.6.2. Ejemplos.

Ejemplo 3.11 L1¡R1¢⊂ S0

¡R1¢.

En efectoSea f ∈ L1

¡R1¢y ϕ ∈ S (asi ϕ es acotado sobre R).

Entonces,

|hf, ϕi| ≤Z|f (x)| |ϕ (x)| dx ≤M

Z ∞

−∞|f (x)| dx <∞ (ϕ (x) ≤M).

Luego, hf, ϕi =Zf (x)ϕ (x) dx es una funcional lineal bien definida sobre

S.Veamos que ella es continua sobre S. En efecto, si ϕn → ϕ en S (uni-

formemente) entonces,

lım hf, ϕni = lımZ ∞

−∞f (x)ϕn (x) dx =

Z ∞

−∞f (x)ϕ (x) dx = hf, ϕi .

Conclusión: f ∈ L1¡R1¢define una distribución temperada, con la cual se

identifica.

Ejemplo 3.12 L∞¡R1¢⊂ S0

¡R1¢

En efectoSea f ∈ L∞ (R) y ϕ ∈ S; entonces

¡1 + x2

¢ϕ (x) es acotada, esto es,

existe M > 0 tal que

|ϕ (x)| ≤ M

1 + x2.

Luego,

hf, ϕi =Z

f (x)ϕ (x) dx

es bien definida desde que

|hf, ϕi| ≤MM 0Z ∞

−∞

dx

1 + x2, |f (x)| ≤M 0.

Como en (3.11), esta funcional es continua sobre S.Conclusión: f ∈ S0

¥Nota. Este ejemplo es llevado al caso Rn. Mas generalmente:

Ejemplo 3.13 Sea f ∈ L1loc (Rn) tal que para algún k ∈ N, k > 0, tenemos

C =

Z |f (x)|³1 + |x|2

´k dx <∞.

Entonces, f ∈ S0.

En efecto, para toda ϕ ∈ S (Rn) tenemos

|hf, ϕi| ≤Z|f (x)| |ϕ (x)| dx

=

Z |f (x)|³1 + |x|2

´k ³1 + |x|2´k |ϕ (x)| dx≤ pk (ϕ)

Z |f (x)|³1 + |x|2

´k dx = C pk (ϕ) .

∴ f ∈ S0 (Rn).¥

Corolario 3.9 Si 1 ≤ p ≤ ∞, Lp (Rn) ⊂ S0 (Rn) .

En efecto:Si K es un compacto en Rn y f ∈ Lp (Rn),Z

K|f | ≤

ZK|f |P <

ZRn|f |P <∞.

Luego, f ∈ L1loc(Rn).También, tomando k = 1, 1 < p <∞.

Z|f (x)| 1

1 + |x|2dx ≤ kfkLP

⎛⎝Z 1³1 + |x|2

´q dx

⎞⎠ 1q

<∞,

1

p+1

q= 1, 1 < q <∞.

∴ por el anterior ejemplo, f ∈ S0.

Nota. El corolario vale también para p = 1,∞.

Ejemplo 3.14 Sea f una función medible sobre Rn tal que

f (x)³1 + |x|2

´k ∈ Lp (Rn) , k ∈ N, k > 0, 1 < p <∞.

A f le asociamos Tf definida por

hTf , ϕi =Z

f (x)ϕ (x) dx, ∀ϕ ∈ S.

Entonces, f ∈ S0.

En efecto, para toda ϕ ∈ S tenemos:

|hTf , ϕi| =

¯Zf (x)ϕ (x) dx

¯≤µ1

p+1

q= 1

¶≤

∙Z ¯³1 + |x|2

´−Nf (x)

¯pdx

¸ 1p∙Z ¯³

1 + |x|2Ń

ϕ (x)

¯qdx

¸ 1q

≤ C

∙Z ¯³1 + |x|2

Ńϕ (x)

¯qdx

¸ 1q

≤ CC0Z ³

1 + |x|2Ń

p (ϕ)³1 + |x|2

´−Mdx

= CC0p (ϕ)

Z ³1 + |x|2

Ń−Mdx

≤ C1 p (ϕ)

donde M es tal que Z ³1 + |x|2

Ń−Mdx <∞

y donde debemos recordar la definición de p (ϕ) y que es una seminormacontinua sobre S.

Conclusión: f ∈ S0.

Notas

(i) D00 (Rn) ≡ E 0 (Rn) ⊂ S0 (Rn) ⊂ D0 (Rn)

(ii) Sea µ una medida finita sobre Rn. Entonces µ define un Tµ ∈ S0 vía:

hTµ, ϕi =ZRn

ϕ (x) dµ (x) , ∀ϕ ∈ S.

La Distribución δx de Dirac.

Para toda ϕ ∈ S (Rn), definimos hδx, ϕi = ϕ (x). Entonces, δx : S (Rn)→C es lineal; además, ella es continua desde que

|hδx, ϕi| ≤ kϕkL∞ , ∀ϕ ∈ S (Rn) .

Luego, δx ∈ S0 (Rn) .

Lema 3.8 Si p (x) es un polinomio en x, y T ∈ S0, entonces p (x)T ∈ S0.

PruebaSi ϕ ∈ S, tenemos p (x)ϕ (x) ∈ S. Definimos p (x)T vía:

hp (x)T, ϕi = hT, p (x)ϕi .

Entonces p (x)T es bien definida, lineal y continua.¥

Lema 3.9 Si T ∈ S0, entonces DαT ∈ S0.

PruebaSi ϕn → ϕ en S, entonces Dαϕn → Dαϕ en S (por definición de la

topología de S). Luego,

hDαT, ϕni = (−1)|α| hT,Dαϕni→ (−1)|α| hT,Dαϕi = hDαT,ϕi .

¥

Definición 3.17 Sea f ∈ L1loc (R). Decimos que f es de crecimiento lentosi existen constantes C > 0 y k > 0 tal que:

|f (x)| < C³1 + |x|2

´k, ∀x ∈ R.

Corolario 3.10 Si f es de crecimiento lento, entonces f ∈ S0.

Prueba

Si ϕ ∈ S entonces³1 + |x|2

´k+1ϕ ∈ S, luego

¯³1 + |x|2

´k+1ϕ (x)

¯≤M.

Por lo tanto

|hf, ϕi| ≤Z ∞

−∞|f (x)| |ϕ (x)| dx

≤ CM

Z ∞

−∞

dx

1 + x2<∞.

Asi,

hf, ϕi =Z ∞

−∞f (x)ϕ (x) dx

es bien definida. Además, esta funcional es continua sobre S. En efecto, seaϕn → 0 en S.

Objetivo: hf, ϕni→ 0

En efecto, ϕn → 0 en S implica³1 + |x|2

´k+1ϕn → 0 en S. Entonces,

|hf, ϕni| ≤Z ∞

−∞|f (x)| |ϕn (x)| dx

≤ C

Z ∞

−∞

¡1 + x2

¢k |ϕn (x)| dx= C

Z ∞

−∞

¯¡1 + x2

¢k+1ϕn (x)

¯ 1

1 + x2dx

< Cε

Z ∞

−∞

dx

1 + x2→ 0.

¥


3.7. TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNADISTRIBUCIÓN TEMPERADA.

3.7.1. Motivación.

Sabemos que si f ∈ L1¡R1¢, su transformada de Fourier

f (x) =

Z ∞

−∞e−2πixtf (t) dt

es bien definida y es una función continua. Luego, f define una distribuciónTf ≡ f . Asi, formalmente, para ϕ ∈ D

¡R1¢tenemos:

Df , ϕ

E=

Zf (x)ϕ (x) dx =

Z ∙Ze−2πix.tf (t) dt

¸ϕ (x) dx

=

Zf (t)

∙Ze−2πixtϕ (x) dx

¸dt

=

Zf (t) ϕ (t) dt = hf, ϕi .

Esto nos motivaría a definir T para T ∈ D0 vía:DT , ϕ

E= hT, ϕi , ∀ϕ ∈ D (Rn) .

Sin embargo tenemos el siguiente

Problema: Si ϕ ∈ D, en general ϕ /∈ D. ¿Porqué?Para responder a esta cuestión debemos ver las propiedades de ϕ si

ϕ ∈ D. Bien, la existencia y diferenciabilidad de la transformada de Fourierdepende de que las funciones

e−2πixtϕ (x) y (−2πit) e−2πixtϕ (x)

sean sumables. Observemos que para números reales x no tenemos problemadesde que ¯

e−2πixt¯= 1 .

Pero, si consideramos números complejos x = x1+ix2, entonces el exponen-cial tiene un término con exponente real, y esto es, en general, “peligroso”para la sumabilidad de la integral, ya que integramos sobre toda la recta.

Sin embargo, si ϕ ∈ D entonces no tendremos tal situación desde que in-tegramos sobre un intervalo finito; luego, las funciones e−2πixtϕ (x) y (−2πit) e−2πixtϕ (x)son sumables para números complejos x. Entonces la fórmula

“ f (x) =

Ze−2πixtf (t) dt ”

3.7. TRANSFORMADADE FOURIER DEUNADISTRIBUCIÓN TEMPERADA.117

define f como una función definida sobre todo el plano complejo; además,f es diferenciable sobre C.

Conclusión: f es una función entera, y tenemos el

Teorema 3.12 Si ϕ ∈ D¡R1¢, entonces ϕ es una función la cual puede

ser extendida a todo el plano complejo, y esta extensión es una funciónentera.

Corolario 3.12 Si ϕ ∈ D entonces ϕ /∈ D

PruebaSi tuviéramos ϕ ∈ D, ϕ sería una función entera y acotada; luego por el

teorema de Liouville, ϕ sería constante, lo que no sucede salvo que ϕ (x) ≡ 0y esto implica ϕ ≡ 0, lo que no sucede en general.

¥

Conclusión: Si ϕ ∈ D y T ∈ D0 (Rn), entonces hT, ϕi no tiene un sentido.Sin embargo, si ϕ ∈ S sabemos que ϕ ∈ S.

Definición 3.18 Si T ∈ S0, definimos su transformada de Fourier T vía:DT , ϕ

E= hT, ϕi , ∀ϕ ∈ S.

Observamos que T es lineal. También, ella es continua sobre S desde quesi ϕn → 0 en S, también ϕn → 0 en S; entonces

DT , ϕn

E= hT, ϕni → 0,

desde que T ∈ D0 (Rn) .

Luego, si T ∈ S0, la funcional T definida porDT , ϕ

E= hT, ϕi, ∀ϕ ∈ S,

es una distribución temperada.Asi, si T ∈ S0 entonces T ∈ S0.

Definición 3.19 La distribución T ∈ S0 es llamada la transformada deFourier de T

Corolario 3.13 Si Tn → T en S0, entonces Tn → T en S0

En efecto,DTn, ϕ

E= hTn, ϕi→ hT, ϕi =

DT , ϕ

E.

¥


Caso Particular. Sea f ∈ L1 (Rn); para todo ϕ ∈ S (como D es denso enS, sería suficiente tomar ϕ ∈ D) tenemos:D

f , ϕE

=

Zf (x)ϕ (x) dx

=

Z ∙Ze−2πixtf (t) dt

¸ϕ (x) dx

=

Zf (t)

∙Ze−2πixtϕ (x) dx

¸dt

=

Zf (t) ϕ (t) dt = hf, ϕi .

Entonces f , con f como una función en L1, coincide con f con f comouna distribución.

Nota. Lo mismo se tiene si f ∈ L2 (Rn). En general, si 1 ≤ p ≤ ∞ sabemosque Lp (Rn) ⊂ S0 (Rn) y vemos que la transformada de Fourier de funcionesen Lp (Rn) son, en general, distribuciones temperadas.

3.7.2. La Transformada Inversa de Fourier.

Si T ∈ S0, definimos su transformada inversa de Fourier T vía:T , ϕ

®= hT, ϕi , ∀ϕ ∈ S,

donde

ϕ (x) =

Ze2πix.tϕ (t) dt.

Teorema 3.13 Si FT ≡ T y FT ≡ T , entonces la aplicación F : S0 (Rn)→S0 (Rn) es un isomorfismo vectorial topológico, cuya inversa es F .

PruebaTenemos FFT ≡ T y FFT = T . En efecto,

FFT, ϕ®=

FT, Fϕ

®≡ hFT, ϕi = hT, F ϕi

≡DT, bϕE = hT, ϕi , ∀ϕ ∈ S.

∴ FFT = T . Similarmente, FFT = T . Sabemos que F es continua desdeque si Tm → 0 en S0 (Rn), entonces para toda ϕ ∈ S (Rn) tenemos

hFTm, ϕi = hTm, Fϕi ≡ hTm, ϕi→ 0 en C,

esto es, Tm → 0 en S0 (Rn). Análogamente,

FTm ≡ Tm → 0 en S0 (Rn) .

¥

3.7. TRANSFORMADADE FOURIER DEUNADISTRIBUCIÓN TEMPERADA.119

Teorema 3.14 Si T ∈ S0 (Rn), entonces tenemos

F³DβxαT

´=³DβxαT

´∧= (2π)|β|−|α| i|α|+|β|xβDαFT .

PruebaPongamos T = xαT , entonces ∀ϕ ∈ S (Rn) tenemosD

F³DβT

´, ϕE

=DDβT , Fϕ

E= (−1)|β|

DT ,DβFϕ

E= (−1)|β|

DT , F

³(−2πi)|β| xβϕ

´E= (−1)|β| (−2πi)|β|

DxβFT , ϕ

E.

Conclusión

F³DβT

´= (−1)|β| (−2πi)|β| xβFT

= (2πi)|β| xβFT .

Tenemos también,DFT , ϕ

E= hF (xαT ) , ϕi = hxαT, Fϕi

= hT, xαFϕi =DT, (2πi)−|α| F (Dαϕ)

E= (2πi)−|α| hT, F (Dαϕ)i= (2πi)−|α| hFT,Dαϕi= (2πi)−|α| (−1)|α| hDαFT, ϕi= (2π)−|α| (i)−|α| (i)2|α| hDαFT, ϕi .

Conclusión:F³T´= (2π)−|α| (i)|α|DαFT.

Luego,

F³DβxαT

´= F

³DβT

´= (2πi)|β| xβFT

= (2πi)|β| xβ (2π)−|α| (i)|α|DαFT

= (2π)|β|−|α| i|α|+|β|xβDαFT .

¥

Ejemplo 3.15 Encontrar δ

Solución. Dδ, ϕ

E= hδ, ϕi = ϕ (0) =

Zϕ (t) dt = h1, ϕi ;

∴ δ = 1Desde que δ (x) = F 1 (x), tenemos δ = 1.

Ejemplo 3.16 Encontrar H, donde H es la función de Heaviside

H (t) =

⎧⎨⎩1 . . . t > 0

0 . . . t < 0..

Solución.Tenemos H (t) +H (−t) = 1, luego

F [H (t) +H (−t)] = FH (t) + FH (−t)= 1 = δ

(pues δ = 1, luego δ =bbδ = 1). Asumamos FH (t) = Cδ (t) + B (t), donde

B (t) determinaremos oportunamente. Luego,

FH (t) + FH (−t) = Cδ (t) +B (t) + Cδ (−t) +B (−t)= 2Cδ (t) +B (t) +B (−t) ,

que debe ser igual a δ. Luego C = 12 y B (−t) = −B (t).

Teorema 3.15 Fórmula de Parseval.

F : L2 → L2

g 7−→ g

es un isomorfismo y una isometría, esto es,Z|g|2 =

Z|g|2 ó kgkL2 = kgkL2 .

PruebaPara toda g ∈ L2 y ϕ ∈ S,

|hg, ϕi| =¯g, ϕ

®¯=

¯Zgϕdx

¯≤ kgkL2 kbϕkL2 = kgkL2 kϕkL2 .

Por tanto g define, sobre L2, una funcional lineal y acotada:

ϕ→ hg, ϕi , con norma ≤ kgkL2 .

Luego, por el Teorema de representación de Riesz, existe un elemento en L2,denotado aún con g, tal que

kgkL2 ≤ kgkL2 .

Aplicando esta desigualdad dos veces, obtenemos

kgkL2 =°°°bg°°°

L2≤ kgkL2 ≤ kgkL2 .

Conclusión:kgkL2 = kgkL2 .

¥

3.8. TAREAS. 121

3.8. TAREAS.

1. (a) Explique como motivar el surgimiento de la delta de Dirac δ (x).

(b) ¿En que consiste una “función generalizada”?; ¿Cúal es su relacióncon una distribución?

(c) Dé tres ejemplos de distribuciones. Justifique.

2. (a) Si T ∈ D0 (Rn), pruebe que DαT ∈ D0 (Rn), ∀α ∈ Nn.

(b) Si T ∈ D0 (Rn) y f ∈ C∞ (Rn) pruebe que fT ∈ D0 (Rn).

(c) Si T ∈ D0 (Rn) , pruebe que T y τaT son distribuciones (a real).

3. Sea la función

ρ (x) =

⎧⎪⎨⎪⎩e

1

|x|2−1 . . . si |x| < 1

0 . . . si |x| ≥ 1,

donde x ∈ Rn. Si c =¡R

ρ¢−1, pruebe que (ρm)m≥1 es una sucesión

regular, donde ρm (x) = cmnρ (mx).

4. Si T1 y T2 ∈ D0 (Rn), pruebe que

a) sop (T1 + T2) ⊂ sop (T1) ∪ sop (T2)b) sop (λT ) = sop (T ), λ 6= 0 escalar

5. Si ϕ ∈ S, pruebe que:

a) Dβϕ ∈ S, ∀β ∈ N.b) xαϕ ∈ S, ∀α ∈ N.

6. (a) . Si ϕm → 0 en S, pruebe que para ∀ (α, β) ∈ N×N se tieneZ ∞

−∞

¯xαDβϕm (x)

¯dx→ 0, si m→∞.

(b) . Verifique que e−x2 ∈ S (Rn).

(c) . Pruebe que D (Rn) ⊂ S (Rn).

7. Pruebe que

ρ (x) =

⎧⎪⎨⎪⎩e

1x2−1 . . . si |x| < 1

0 . . . si |x| ≥ 1,

es una función “test” (ρ ∈ D (Rn)).

8. Pruebe el “lema de Du Bois Raymond”: ¿ Sea f ∈ L1loc (Rn).Entonces, Tf = 0⇐⇒ f = 0 c.t.p. en Rn. À

9. Sea ϕ ∈ D (R). ¿Cuáles de las siguientes funcionales T definen unadistribución?

a) hT, ϕi =R 10 ϕ (x) dx;

b) hT, ϕi =R 10 |ϕ (x)| dx;

c) hT, ϕi =NPn=0

ϕ(n) (0);

d) hT, ϕi =∞Pn=0

ϕ(n) (0);

e) hT, ϕi =∞Pn=0

ϕ(n) (n);

10. Sea ϕ ∈ D (Rn); pongamos Reϕ = parte real de ϕ, y Imϕ = parteimaginaria de ϕ. Sea T ∈ D0 (Rn). Probar que podemos definir ReTy ImT vía:

hReT, ϕi = Re hT,Reϕi+ iRe hT, Imϕi y

hImT, ϕi = Im hT,ReT i+ i Im hT, Imϕi .

Verifique que T = ReT + i ImT

11. Sean T ∈ D0 (R) y f ∈ C∞ (R). Pruebe que, en el sentido de lasdistribuciones,

d

dx(fT ) = T

df

dx+ f

dT

dx.

12. Sea Ui un cubrimiento abierto de un conjunto abierto D ⊂ Rn. SiT ∈ D0 (Rn) se anula en cada Ui, pruebe que T = 0 en D.

13. Pruebe que:

a) sop δa = ab) δ ∗ T = T , ∀ T ∈ D0 (Rn)

c) si f ∈ C(m) (Rn) , entonces DαTf = TDαf , ∀ |α| ≤ m.

d) Si fm es una sucesión en Lp (Rn), 1 < p <∞, tal que lımm→∞

fm =

f en Lp (Rn), entonces lımm→∞

fm = f en D0 (Rn).

14. En S¡R1¢, pruebe que:

a) Si ϕm → ϕ y ψm → ψ entonces αϕm + βψm → αϕ + βψ en S,donde α, β ∈ R.

3.8. TAREAS. 123

b) Si ϕm → 0 en S, entonces ϕmψ → 0 en S, ∀ψ ∈ S.

c) Si ϕm → ϕ en S, entonces Q (x)£P¡ddx

¢ϕm¤→ Q (x)

£P¡ddx

¢ϕ¤,

para todos polinomios P y Q.

15. Para cada ϕ ∈ D¡R1¢, pruebe que existe el límite:

lımε→0

Z|x|>ε

ϕ (x)

xdx .

Este límite define a la distribución v.p. 1x , esto es,¿v.p.

1

x, ϕ

À= lım

ε→0

Z|x|>ε

ϕ (x)

xdx .

16. Pruebe que:

a) ∀α ∈ Nn, la aplicación Dα : D0 (Rn)→ D0 (Rn), es continua en latopología - D0 (Rn).

b) Si f ∈ C∞ (Rn), entonces la aplicación D0 (Rn) → D0 (Rn), T →fT , es continua en la topología - D0 (Rn).

17. Sea H (x) la función de Heaviside. Pruebe que:

a) (H (x)Cosx)0 = −H (x)Senx+ δ

b) (H (x)Senx)0 = H (x)Cosx

18. H =

½h ∈ D (R) /

Z ∞

−∞h (t) dt = 0

¾. Pruebe que todo ϕ ∈ D puede

ser escrito en la forma ϕ (t) = h (t) + λϕ0 (t), donde h ∈ H, λ =Z ∞

−∞ϕ (t) dt y ϕ0 ∈ D es fijo tal que

Z ∞

−∞ϕ0 (t) dt = 1.

19. En relación al ejercicio 18., sea h ∈ D. Pruebe que existe una únicafunción ϕ ∈ D tal que: h (t) = ϕ0 (t) ⇐⇒ h ∈ H.

20. Si T ∈ S0 (Rn) pruebe que³DβxαT

´∧= (2π)|β|−|α| i|α|+|β|xβDα bT .

21. Sea ynn∈Z una sucesión compleja con crecimiento lento. Pruebe que

T =∞X

n=−∞ynδna (a > 0 dado) es una distribución temperada.

[Corolario. El “peine” de Dirac ∆a =∞P

n=−∞δna es una distribución

temperada.]


22. Si f ∈ L1 (R), pruebe que bTf = Tf.

23. E0 (R) es el subespacio de las distribuciones con soporte compacto (verDefinición 3.10). Sea S ∈ E0 (R) y T ∈ S0 (R). Pruebe que [S ∗ T ]∧ =bS.bT .

3.9. COMENTARIOS. 125

3.9. COMENTARIOS.

(i) La fuente original para conocer a la teoría de distribuciones es la clási-ca obra de Schwartz [SCH.2]. 2 volúmenes, que aparecieron en 1950y 1951. Su influencia fue decisiva para introducirse nuevas ideas ymetodologías en el análisis moderno. En [SCH.1] (1945), apareció elfamoso trabajo en donde se expone la naciente teoría de las distribu-ciones, idea que ya había sido considerado por Sobolev en relación conproblemas de ecuaciones en derivadas parciales (problema de Cauchy).En esta dirección, el clásico libro de Petrovskii [PET] desarrolla ideasde la fuerte Escuela Rusa en análisis.

Durante el desarrollo de su teoría, Schwartz recibió motivaciones y es-tímulos por parte de los físicos; posiblemente por ello (y por la relaciónde su teoría con la física), en 1961 escribe un interesante libro sobremétodos matemáticos para la física, en donde se expone la teoría rela-cionada con diversos problemas de las ciencias físicas. La teoría dedistribuciones es presentada con múltiples aplicaciones a problemasde las ciencias físicas. Tal libro es [SCH.4], en donde la teoría de lasdistribuciones es expuesta de un modo didáctico, y es un texto paraenseñar matemática aplicada.

(ii) En 1955, L Hörmander [HOR.1] publica un notable trabajo sobre ecua-ciones en derivadas parciales; hace un estudio sistemático del uso delanálisis funcional y de la teoría de las distribuciones (“espacios dedistribuciones”) para establecer una teoría general de los operadoresdiferenciales parciales. Su libro [HOR.2] publicado en 1963 tuvo unagran influencia en la nueva tendencia de estudiar a los operadoresdiferenciales parciales. En esta dirección surgieron diversos libros con-teniendo a la teoría de distribuciones, como son por ejemplo, [TRE.1],[HORV], [NAC], [KES], [TRE.2], entre otros.

(iii) El impacto de las distribuciones en el análisis fue de un gran valor.Por ejemplo, gracias a ella se dio una buena definición de soluciónfundamental de un operador diferencial parcial, con coeficientes infini-tamente diferenciables, y de su adjunto. En los inicios de la teoría,ella encontró algunas resistencias de ciertos matemáticos; sin embar-go, la teoría logró imponerse y hoy es el sustento de diversas teoríasmatemáticas. Veamos una idea. Sea k (x, y) un núcleo y T : f → Tfes una aplicación lineal definida vía

Tf (x) =

Zk (x, y) f (y) dy.

Si k (x, y) es una distribución sobre Rm+n, entonces T : C∞0 → D0es una aplicación continua. El teorema del núcleo de Schwartz(1950) afirma que el recíproco es cierto.


(iv) En sus inicios, Schwartz atacó dos problemas sustanciales:

• La existencia de una solución fundamental para un operador difer-encial parcial con coeficientes constantes;

•• La división de una distribución T por un polinomio p, lo queequivale a resolver la ecuación pS = T donde S es una distribu-ción .

Años posteriores, Schwartz consideró aquellos operadores diferencialesparciales P (D) con coeficientes constantes tal que todas las solucionesdistribuciones u de P (D)u = 0 son infinitamente diferenciables, op-eradores que se llaman hipo-elípticos. Schwartz plantea el problemade caracterizar a estos operadores. Esta cuestión originó una serie deinvestigaciones en la década de los años 50’s y 60’s.

La teoría de distribuciones sigue siendo útil en actuales investigaciones.

Capítulo 4

ESPACIOS DE SOBOLEVLpk (R

n) [ó Wk,p (Rn)]

4.1. EL ESPACIO Lp1 (I)

4.1.1. Motivación y Resultados Previos.

El espacio Lp (Rn) .

Sea p un número real, 0 < p ≤ ∞. Entonces, por definición,

Lp (Rn) ≡ Lp

=

⎧⎪⎨⎪⎩f medible Lebesgue / kfkp =µZ

|f (x)|p dx¶ 1

p

<∞ si 0 < p <∞,

kfk∞ = sup esencial |f | <∞ si p =∞

⎫⎪⎬⎪⎭Si 1 ≤ p ≤ ∞, identificando esas funciones las cuales coinciden c.t.p. (casien todas partes), los espacios vectoriales LP son espacios de Banach conrespecto a la norma k kp. Además, por Hölder, si 1 ≤ p ≤ ∞, se tieneLp ⊂ L1loc [recordemos la prueba: si K es compacto y f ∈ Lp,Z

K|f | ≤

µZK|f |p

¶ 1pµZ

Kdx

¶ 1q

≤ kfkp |K| <∞ ,

1

p+1

q= 1, |K| medida de Lebesgue de K.

Por tanto, remarcamos, las funciones en Lp pueden ser vistas como dis-tribuciones, esto es, si f ∈ Lp entonces f tiene derivadas de todas las órdenesen el sentido de las distribuciones. Además, en general, Dαf no es distribu-ción definida por una función de Lp.

Veamos la siguientemotivación que nos conducirá a la idea de solucióndébil de una ecuación diferencial.

127

128 CAPÍTULO 4. ESPACIOS DE SOBOLEV LPK

¡RN¢[Ó WK,P

¡RN¢]

Problema: Sea el intervalo [a, b], a, b reales, y f ∈ C ([a, b]) una funcióndada. Encontrar una función u tal que⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

−u00 + u = f

u (a) = 0

u (b) = 0

(4.1)

Por definición, u es una solución clásica ó solución fuerte de (4.1) siu ∈ C2 [a, b] y satisface (4.1) en el sentido usual.

Consideremos ahora ϕ ∈ C1 ([a, b]) tal que ϕ (0) = 0 = ϕ (1); multipli-cando por ϕ, la ecuación diferencial es

−u00ϕ+ uϕ = fϕ ;

integrando sobre I,

−Z b

au00ϕ+

Z b

auϕ =

Z b

afϕ ;

integrando por partes Z b

au0ϕ0 +

Z b

auϕ =

Z b

afϕ ; (4.2)

Observemos que (4.2) tiene sentido si solamente u ∈ C1 ([a, b]).

Definición 4.1 (previa). u ∈ C1 ([a, b]) es llamada una solución débil(d-solución) de (4.1) si u satisface (4.2).

Observemos que toda solución fuerte es una solución débil.

Corolario 4.1 Si u es una solución débil de (4.1), de clase C2 ([a, b]), en-tonces u es una solución fuerte o clásica.

PruebaSea u ∈ C2 ([a, b]), u (a) = u (b) = 0, y que satisface (4.2) con

ϕ (a) = ϕ (b) = 0.

Integrando por partes (4.2) tenemos,Z b

a

¡−u00 + u− f

¢ϕ = 0,

para todo ϕ ∈ C1 ([a, b]) con ϕ (a) = ϕ (b) = 0; pero C10 ([a, b]) es denso enL2 (a, b). Luego, −u00 + u = f casi en todas partes, o aún −u00 + u = f entodas partes desde que u ∈ C2 ([a, b]) .

¥

4.2. EL ESPACIO DE SOBOLEV LPK

¡RN¢, K ∈ Z+. 129

Definición 4.2 Sea el intervalo, acotado o no, I = (a, b) . Entonces

Lp (I) =

½u medible /

ZI|u (x)|p dx <∞

¾, 1 ≤ p <∞.

u ∈ L∞ (I) si supremo(esencial) de |u (x)| es finito.

4.1.2. El Espacio Lp1 (I) .

Definición 4.3 Sea p ∈ R, 1 ≤ p ≤ ∞. Entonces

Lp1 (I) ≡W 1,p (I) = u ∈ Lp (I) / ∃ g ∈ Lp (I) tal queZ

Iuϕ0 = −

ZIgϕ, para todo ϕ ∈ C10 (I).

Observación 4.1 Si u ∈ Lp1 (I) entonces: hu, ϕ0i = − hg, ϕi . Pero,

u, ϕ0®= −

u0, ϕ

®∴ g = u0

en el sentido de la distribuciones.Además, g es único.

Notación. Si p = 2, H1 (I) = L21 (I) .

Topología en Lp1 (I).

En Lp1 (I) consideramos la norma:

kuk1,p = kukp +°°u0°°

p;

y en H1 (I) el producto interno

hu, vi1,2 = hu, vi2 +u0, v0

®2.

Se tiene entonces que Lp1 (I) es un espacio de Banach para 1 ≤ p ≤ ∞,

un espacio reflexivo para 1 < p < ∞, es separable para 1 ≤ p < ∞. Enparticular, H1 (I) es un espacio de Hilbert (separable y reflexivo). Veamosesto y otras ideas de un modo mas general.

4.2. El ESPACIO DE SOBOLEV Lpk (Rn), k ∈ Z+.


Cuando Dαf es definido por una función de Lp, obtendremos un nuevoespacio, el espacio Lp

k (Rn). Recordemos que si p ≥ 1, Lp ⊂ S0, el espacio de

las distribuciones temperadas.

¡RN¢[Ó WK,P

¡RN¢]

De esta manera somos llevados a considerar aquellas funciones f ∈Lp (Rn) cuyas derivadas en el sentido de las distribuciones Dαf tambienpertenecen a Lp (Rn) en el siguiente sentido: ¿ existen funciones gα ∈Lp (Rn) tal que

hDαf, ϕi = (−1)|α| hf,Dαϕi = hgα, ϕi

para todo ϕ ∈ D (Rn), y asi, como distribuciones, Dαf = gα ∈ Lp (Rn)À .

Definición 4.4 Sea 1 ≤ p ≤ ∞, k ∈ Z+. Entonces

Lpk ≡ Lp

k (Rn) ≡W k,p (Rn)

= f ∈ Lp (Rn) / Dαf ∈ Lp, ∀α con |α| ≤ k ,

donde Dαf es en el sentido de las distribuciones.Lpk (R

n) es equipado con la norma:

kfkp,k =

⎛⎝X|α|≤k

kDαfk2p

⎞⎠ 12

. (4.3)

Nota: Lpk (R

n) es una subvariedad lineal de Lp1 (Rn) y Lp

0 = Lp. Las fun-cionales X

|α|≤kkDαfkp y sup

|α|≤kkDαfkp

producen normas equivalentes a (4.3) en Lpk (R

n).

Definición 4.5³Lpk (R

n) , k kp,k´es llamado un espacio de Sobolev. Ob-

servemos que para todo 0 ≤ j ≤ k, Lpk ⊂ Lp

j ⊂ Lp, donde las inclusiones soncontinuas desde que para todo f ∈ Lp

k tenemos,

kfkp ≤ kfkp,,j ≤ kfkp,k .

Teorema 4.1 Para todo p ≥ 1, k ∈ Z+, Lpk (R

n) es un espacio de Banach.Además, si p <∞, el espacio de las funciones “prueba” D (Rn) es denso enLpk (R

n) .

PruebaLpk es un espacio de Banach. Sea (fm) una sucesión de Cauchy en

Lpk (R

n) . Probemos que existe f ∈ Lpk tal que (fm) → f en Lp

k. En efec-to, desde que kDαfkp ≤ kfkp,k , ∀ f ∈ Lp

k, |α| ≤ k, tenemos que (Dαfm) esuna sucesión de Cauchy en Lp, el cual es un espacio completo y por lo tantoexiste gα ∈ Lp tal que

lımm→∞

Dαfm = gα en Lp. (4.4)

¡RN¢, K ∈ Z+. 131

Cuando α = (0, 0, . . . , 0), definimos f = g0 ∈ Lp.

Así,lım

m→∞fm = f en Lp. (4.5)

Objetivo: Afirmamos que Dαf = gα en el sentido de las distribuciones para|α| ≤ k. En efecto, para todo ϕ ∈ D tenemos

hDαf, ϕi = (−1)|α| hf,Dαϕi = lımm→∞

(−1)|α| hfm,Dαϕi

= lımm→∞

hDαfm, ϕi = hgα, ϕi

Luego, Lpk es un espacio de Banach.

Si 1 ≤ p <∞, D (Rn) es denso en Lpk. (4.6)

Para probar (4.6) veamos algunos preliminares. Sea k (x) ∈ L1 (Rn) unafunción tal que Z

k (x) dx = 1.

Sea la dilatación

kε (x) =1

εnk³xε

´, ε > 0 .

Entonces se tiene (ver (3.3.3) Cap 3 para similares argumentos):

(a) kkεk1 = kkk1 para todo ε > 0 ;

(b)

Zkε (x) dx = 1 ;

(c) para todo a > 0, Z|x|>a

|kε (x)| dx→ 0 si ε→ 0;

(d) Si f ∈ Lp (Rn), 1 ≤ p <∞, entonces

(f ∗ kε) (x) =Z

f (y) kε (x− y) dy → f (x)

en Lp (Rn) si ε→ 0;

(e) el espacio Lp0 = f ∈ Lp / f tiene soporte compacto, 1 ≤ p < ∞, es

denso en Lp (Rn); además, si f ∈ Lp0 y g ∈ D entonces f ∗ g ∈ D.

De los precedentes resultados se obtiene la

¡RN¢[Ó WK,P

¡RN¢]

Proposición 4.1 Sea f ∈ Lp (Rn), 1 ≤ p <∞, y k (x) ∈ D tal queZk (x) dx = 1. Si kε (x) =

1

εnk³xε

´,

entonces f ∗ kε → f en Lp (Rn) si ε→ 0.Además, D es denso en Lp (Rn), 1 ≤ p <∞.

Prueba de (4.6).Nuestro objetivo es: dado f ∈ Lp

k, debemos encontrar una familia (gε)en D tal que gε → f en Lp

k, si ε→ 0.En efecto, dado f ∈ Lp

k, sea

hε (x) = (f ∗ kε) (x) =Z

f (y) kε (x− y) dy

Por la proposición 4.1, hε → f en Lp si ε→ 0. Desde que para todo multi-índice α tenemos

Dαhε = Dα (f ∗ kε) = f ∗Dαkε ,

se obtiene que hε (x) ∈ C∞ (Rn).Además,µ

∂

∂x

¶α

hε (x) =

µ∂

∂x

¶α Zf (y) kε (x− y) dy

= (−1)|α|Z

f (y)

µ∂

∂x

¶α

kε (x− y) dy .

Luego, si |α| ≤ k, integrando por partes, obtendremos

Dαhε (x) ≡µ

∂

∂x

¶α

hε (x)

=

Z[Dαf ] (y) kε (x− y) dy

= [(Dαf) ∗ kε] (x) , (4.7)

donde Dαf ∈ Lp. De acá, por el teorema de Young,

kDαhεkp ≤ kDαfkp kkεk1 = A kDαfkp ,

donde kkεk1 = kkk1 ≡ A.Por tanto, ∀ ε > 0, hε ∈ Lp

k.Aplicando la proposición 4.1 a (4.7), vemos también que,

∀ |α| ≤ k, Dαhε → Dαf en Lp, si ε→ 0.

Luego, hε (x) ∈ C∞ y hε → f en Lpk, si ε→ 0.

¡RN¢, K ∈ Z+. 133

Finalmente , escogemos u (x) ≥ 0 en D (Rn) tal que u (x) = 1 si |x| ≤ 1,y consideremos las funciones

gε (x) = u (εx)hε (x) .

Entonces,

Dα [gε (x)− hε (x)] = Dα [hε (x) (u (εx)− 1)]=|γ|≥1

X|γ|+|β|=|α|

Cβγ Dβhε (x)Dγu (εx) ε|γ|

+ [u (εx)− 1]Dαhε (x) ,

y desde que para todo 0 ≤ |α| ≤ k y ∀ε > 0 tenemos

kDαhεkp ≤ A kDαfkp

con A independiente de ε, se tiene

kDαgε −Dαhεk→ 0 si ε→ 0 (4.8)

[En efecto,

kDα [gε − hε]kp ≤°°°XCα,βD

βhε (x)Dγu (εx) ε|γ|

°°°p+ k[u (εx)− 1]Dαhε (x)kp

≤X

|Cα,β|°°°Dβhε (x)

°°°pkDγu (εx)kp

¯ε|γ|¯+ k[u (εx)− 1]Dαhε (x)kp .

Observando que°°Dβhε (x)

°°pes acotado y u (εx)→ 1, tendremos (4.8)].

De

gεLpk−→ hε& ↓ Lp

kf

tendremos gε → f en Lpk, si ε→ 0, donde gε ∈ D (observemos que u (εx) = 1

si |εx| ≤ 1 ó |x| < 1ε →∞ cuando ε→ 0). Esto termina el teorema 4.1.

¥

Observación 4.2 Si en general consideramos los espacios de Sobolev Lpk (D),

donde D es un domino en Rn, entonces no es cierto en general que D (D)sea denso en Lp

k (D). Esto sugiere la

Definición 4.6Lpk,0 (D) = D (D)

Lpk(D)

En este caso se puede tener Lpk,0 (D) 6= Lp

k (D) pues se tiene la

¡RN¢[Ó WK,P

¡RN¢]

Proposición 4.2 Si Lpk,0 (D) = Lp

k (D) entonces |Dc| = 0, donde Dc es elcomplemento de D en Rn, y | | expresa la medida de Lebesgue.

Corolario 4.2 Si |Dc| > 0, entonces Lpk,0 (D) 6= Lp

k (D). En particular, siD es un conjunto abierto acotado en R, entonces

Lpk,0 (D) 6= Lp

k (D) .

Si D = Rn, entonces Lpk,0 (R

n) = Lpk (R

n). En efecto,

Lpk,0 (R

n) = D (Rn)Lpk(R

n)= (teorema 4.1) = Lp

k (Rn) .

Definición 4.7 Si p = 2, L2k (Rn) es un espacio de Hilbert con respecto alproducto interno

hf, gik =X

0≤|α|≤khDαf,Dαgi =

X0≤|α|≤k

ZDαf (x) .Dαg (x)dx.

Tenemos la norma:

kfk2,k = hf, fi12k =

⎛⎝ X0≤|α|≤k

Z|Dαf (x)|2 dx

⎞⎠ 12

.

Notación:L2k ≡ Hk ; L2k,0 ≡ Hk

0

4.2.2. Derivadas Débiles y Fuertes.

Hemos visto que funciones en Lp (Rn) pueden tener derivadas, pertenecientesaún a Lp (Rn), en el sentido de las distribuciones. Esas derivadas-distribucionesson llamadas derivadas débiles. Ahora vamos a definir las llamadas derivadas-fuertes de funciones en Lp (Rn) . Sea e1, . . . , en la base usual en Rn; h esun número real.

Definición 4.8 Sea f ∈ Lp (Rn), 1 ≤ p <∞. Si el cociente

f (x+ hei)− f (x)

h

converge a gi ∈ Lp (Rn) en la norma-Lp cuando h → 0, entonces decimos

que gi es la derivada∂f

xide f en el sentido fuerte en Lp (Rn) .

Las Lp-derivadas fuertes de orden superior son definidas por iteración.Escribiremos

∂2f

∂xi∂xj=

∂

∂xi

µ∂f

∂xj

¶, . . .

¡RN¢, K ∈ Z+. 135

Teorema 4.2 Sea 1 ≤ p < ∞. Entonces el espacio de Sobolev Lpk (R

n)coincide con la clase de las funciones f ∈ Lp (Rn) cuyas Lp-derivadasfuertes Dαf , ∀α, |α| ≤ k, existen.

Además, una Lp-derivada fuerte Dαf coincide, como una distribución,con la correspondiente derivada de f en el sentido de las distribuciones.

PruebaNosotros trataremos solo el caso k = 1 desde que una repetición del

argumento produce el resultado para el caso de k cualquier entero positivo.Comenzamos probando la segunda parte del teorema.

• Sea f ∈ Lp1 y gi =

∂f∂xi

es la Lp-derivada fuerte de f . Probaremosque gi es también la

∂f∂xi

en el sentido de las distribuciones, esto es,

gi =∂f∂xi

en D0 (Rn). En efecto, viendo esas funciones como distribu-ciones y considerando que la convergencia en la Lp−norma implica laconvergencia en el sentido de las distribuciones, obtendremos que, para∀ ϕ ∈ D (Rn) :

hgi, ϕi = lımh→0

¿f (x+ hei)− f (x)

h, ϕ

À= lım

h→0

¿f,

ϕ (x− hei)− ϕ (x)

h

À=

¿f,− ∂ϕ

∂xi

À=

¿∂f

∂xi, ϕ

À.

Luego, gi =∂f

∂xien el sentido de las distribuciones.

• Dado f ∈ Lp1 y

∂f∂xi

derivada de f en el sentido de las distribuciones,

nuestro objetivo es probar que ∂f∂xi

es también una derivada - Lp fuertede f .

En efecto, desde que D es denso en Lp1 entonces, dado ε > 0 ∃ϕ ∈ D

tal que f = ϕ+ g , donde g ∈ Lp1 con kgkp,1 < ε. Luego,°°°°f (x+ hei)− f (x)

h− ∂f

∂xi

°°°°p

≤°°°°ϕ (x+ hei)− ϕ (x)

h− ∂ϕ

∂xi

°°°°p

+

°°°°g (x+ hei)− g (x)

h− ∂g

∂xi

°°°°p

≡ A+B.

Desde que ϕ ∈ D, la derivada en el sentido de las distribuciones ∂ϕ∂xi

coincide con la derivada parcial usual, luego podemos ver que, paraalgún δ > 0, A < ε si |h| < δ.

¡RN¢[Ó WK,P

¡RN¢]

Respecto a B, la desigualdad triángular y la definición de la norma enLp1 nos permite escribir

B ≤°°°°g (x+ hei)− g (x)

h

°°°°p

+ kgkp,1 (4.9)

Ahora tomemos una sucesión (vm) en D tal que vm → g en la Lp1-

norma, m→∞. Entonces, para todo m tenemos

vm (x+ hei)− vm (x)

h=1

h

Z h

0

∂vm∂xi

(x+ tei) dt ,

luego usando la desigualdad de Minkonski para integralesµZY

µZX|F (x, y)| dx

¶p

dy

¶ 1p

≤ZX

µZY|F (x, y)|p dy

¶ 1p

dx

obtendremos°°°°vm (x+ hei)− vm (x)

h

°°°°p

≤°°°°∂vm∂xi

°°°°p

≤ kvmkp,1 .

Luego, si m→∞, deducimos que°°°°g (x+ hei)− g (x)

h

°°°°p

≤ kgkp,1 (4.10)

Luego de (4.9) y (4.10) vemos que, por definición de g.

B ≤ 2 kgkp,1 < 2ε .

Combinando esas estimativas, para cualquier ε > 0, ∃ δ > 0 tal quepara |h| < δ tenemos°°°°f (x+ hei)− f (x)

h− ∂f

∂xi

°°°°p

< 3ε .

Asi,∂f

∂xies también una derivada Lp fuerte de f.

¥

4.2.3. Operadores que Conmutan con Translaciones.

Usando el teorema 4.2 podemos encontrar un útil resultado general. Paracualquier vector a ∈ Rn, definimos el operador translación τa poniendo

(τaf) (x) = f (x− a) .

¡RN¢, K ∈ Z+. 137

Definición 4.9 Un operador T conmuta con translaciones si Tτa =τaT , ∀a ∈ Rn.

Ejemplo 4.1 Los operadores diferenciales lineales con coeficientes constantes

P (D) =X|α|≤m

cαDα sobre C∞ (Rn) ,

conmutan con translaciones, desde que la diferenciación y multiplicación porun escalar tienen tal propiedad.

Ejemplo 4.2 Operadores tipo convolución conmutan con transla-ciones.

En efecto,

Ejemplo 4.3 si Tf = g ∗ f = f ∗ g, entonces para cualquier a ∈ Rn,

[T (τaf)] (x) = [g ∗ τaf ] (x) = [τaf ∗ g] (x)

=

Zf (y − a) g (x− y) dy (poniendo z = y − a)

=

Zf (z) g (x− a− z)

= (f ∗ g) (x− a) = [τa (Tf)] (x) .

¥

El ejemplo 4.2 prueba también que los operadores convolución singularconmutan con translaciones. Asi, el siguiente resultado nos será de utilidad.

Teorema 4.3 Sea 1 ≤ p, q <∞ y T : Lp → Lq un operador lineal acotado,el cual conmuta con translaciones. Entonces, T conmuta con diferencia-ciones.

Además, para todo k > 0,

T : Lpk → Lq

k es un operador acotado.

Esto eskTfkq,k ≤ kTk kfkp,k ,

donde kTk es la norma T como operador de Lp en Lq.

PruebaPara todo k > 0, Lp

k ⊂ Lp, luego T es definido sobre cualquier Lpk. Es

suficiente probar el teorema para el caso k = 1. Dado f ∈ Lp1 debemos

probar que ∙T

µ∂f

∂xi

¶¸(x) =

∙∂

∂xi(Tf)

¸(x) (4.11)

¡RN¢[Ó WK,P

¡RN¢]

donde como elemento de Lq, podemos ver ∂f∂xi

como derivada fuerte - Lp y∂∂xi(Tf) como derivada fuerte -Lq.Desde que T es lineal y conmuta con translaciones, tenemos:

T

∙f (y + hei)− f (y)

h

¸(x) =

[Tf ] (x+ hei)− [Tf ] (x)h

(4.12)

Pero, por continuidad de T , el lado izquierdo de (4.12) converge en la normaLq al lado izquierdo de (4.11) cuando h → 0. Luego, el lado derecho de(4.12) converge en la norma Lq, y por la definición de derivada fuerte Lq,convergerá al lado derecho de (4.11).

De esta manera T conmuta con diferenciaciones.Finalmente

kTfkq,1 =

⎛⎝X|α|≤1

kDα (Tf)k2q

⎞⎠ 12

=

⎛⎝X|α|≤1

kT (Dαf)k2q

⎞⎠ 12

≤ kTk

⎛⎝X|α|≤1

kDαfk2p

⎞⎠ 12

= kTk kfkp,1

¥

4.3. TODOS LOS ESPACIOS Lpk SON ISOMOR-

FOS, k ≥ 0 ENTERO, 1 < p <∞.

4.3.1. El Operador Integración.

Sean los espacios de Banach Lpk ≡ Lp

k (Rn), n ≥ 2, k ≥ 0 enteros. Nuestro

objetivo es probar que los espacios de Sobolev Lpk son isomorfos, 1 < p <∞.

Con ese propósito se introduce una clase de operadores integración J definidosobre el espacio S0 de todas las distribuciones temperadas f vía

[Jf ]∧ (ξ) = d (ξ)−1 f (ξ) ,

donde d (ξ) es una función estrictamente positiva, infinitamente diferencia-ble, radial tal que d (ξ) = |ξ| para |ξ| ≥ 1.

En otras palabras, J es el multiplicador de Fourier

J = F−1d (ξ)−1 F,

donde F y F−1 son respectivamente las transformada de Fourier y su trans-formada inversa.

Notemos que J tiene un inverso sobre S0 dado por

J−1 = F−1d (ξ)F.

4.3. TODOS LOS ESPACIOS LPK SON ISOMORFOS,K ≥ 0 ENTERO, 1 < P <∞.139

Nota: Para 1 ≤ j ≤ n, la transformada de Riesz Rjf es definida vía:

Rjf (x) = Cn v.p.xj

|x|n+1∗ f , x 6= 0, donde Cn =

Γ¡n+12

¢πn+12

.

Rjf es un operador convolución singular, que también puede ser represen-tado en la forma

[Rjf ]∧ (x) =

xj|x| f (x) .

Por los teoremas 4.2 y 4.3 tenemos, para 1 < p <∞ y k ≥ 0 entero, que Rj

es una transformación lineal acotada de Lpk en Lp

k. Además, si f ∈ L2 porejemplo, se tiene

[Rjf ]∧ (ξ) =

ξj|ξ| f (ξ) .

Lema 4.1 Sea 1 ≤ p <∞. Entonces

(a) para todo k ≥ 0 entero, J : Lpk → Lp

k es continuo,

(b) si 1 < p <∞, J : Lpk → Lp

k+1 es continuo.

PruebaEn primer lugar probaremos que: “d (ξ)−1 es la transformada de Fourier

de una función integrable”, esto es, existe j ∈ L1 (Rn) tal que d (ξ)−1 =[j (x)]∧ (ξ).En efecto, sea u1 (ξ) una función en D (Rn), la cual se anula para |ξ| ≥ 1 ytal que u1 (ξ) = 1 en una vecindad cercana del origen. Entonces la función

u2 (ξ) = d (ξ)−1 − |ξ|−1 [1− u1 (ξ)]

coincide con d (ξ)−1 cerca del origen y anúlase para |ξ| ≥ 1.

De esta manera, con u1 y u2 en D, podemos escribir

d (ξ)−1 = |ξ|−1 [1− u1 (ξ)] + u2 (ξ) . (4.13)

Desde que n > 1, sabemos que para alguna constante C, la transformadainversa de Fourier de |ξ|−1 es dada por C |x|1−n, la cual es una funciónlocalmente integrable, esto es∙

1

|ξ|

¸∨= C

1

|x|n−1∈ L1loc (Rn) .


¡RN¢[Ó WK,P

¡RN¢]

Pongamos

j (x) =hd (ξ)−1

i∨, v1 =

∨u1 , v2 =

∨u2 .

Entonces (4.13) implica

j (x) = C |x|1−n − C³|x|1−n ∗ v1

´+ v2 (x) (4.14)

donde v1 y v2 están en el espacio S. Además, la función

|x|1−n ∗ v1 =∙u1 (ξ)

|ξ|

¸∨es acotada

µu1 ∈ D ,

u1|ξ| ∈ D

¶. Luego (4.14) prueba que j (x) es localmente

integrable.Desde que

d (ξ)−1 = [j (x)]∧ (ξ) ≡ F [j (x)] ,

poniendo

4 =nX

k=1

∂2

∂ξ2k

vemos que

4md (ξ)−1 = 4m [F (j (x))] = Fh(2πi)2m |x|2m j (x)

i.

Luego, h4md (ξ)−1

i∨(x) = (2πi)2m |x|2m j (x) .

Pero para todos los enteros m suficientemente grandes,µm >

n+ 1

2

¶, 4md (ξ)−1 ≡ 4m

µ1

|ξ|

¶∈ L1 ;

luego se tendrá que |x|2m j (x) es acotada para m grande. Asi, j (x) es unafunción localmente integrable y rápidamente decreciente en el infinito.

Conclusión: j (x) es una función integrable.

Prueba de (a)Por definición de J ,

Jf = F−1hd (ξ)−1 Ff

i= F−1

hjfi=∨j ∗

∨f = j ∗ f ,

donde f ∈ L1. Luego el teorema de Young implica que J : Lp → Lp es unoperador acotado para 1 ≤ p ≤ ∞

(si f ∈ Lp, kJfkp ≤ kJk1 kfkp) .

4.3. TODOS LOS ESPACIOS LPK SON ISOMORFOS,K ≥ 0 ENTERO, 1 < P <∞.141

Además, siendo un operador convolución, J conmuta con traslaciones, luegoJ : Lp

k → Lpk es un operador acotado para 1 ≤ p <∞ y k entero positivo.

¥Prueba de (b)

Observemos que

F (DjJF ) (ξ) = ξjF [Jf ] (ξ) = ξjd (ξ)−1 f (ξ) .

Luego, usando la fórmula (4.13), obtenemos

F [DjJf ] (ξ) =ξj|ξ| f (ξ)−

ξj|ξ|u1 (ξ) f (ξ) + ξju2 (ξ) f (ξ) .

Luego tomando F−1, obtenemos

DjJf = Rjf −RjK1f +K2f (4.15)

donde Rj es la j − th transformada de Riesz,

K1f = F−1³u1f

´= v1 ∗ f

es una convolución con núcleo

v1 = F−1 (u1) ∈ S ⊂ L1,

y similarmente,K2f = F−1

³ξj u2 f

´= w2 ∗ f

es una convolución con núcleo integrable

w2 = F−1¡ξj u2

¢∈ S ⊂ L1.

Por lo tanto, para i = 1, 2, el teorema de Young y el teorema 4.3 implicanque Ki : L

pk → Lp

k es continuo para todo 1 ≤ p < ∞ y todo entero k ≥ 0.Además sabemos que

Rj : Lpk → Lp

k

es continuo para todo 1 < p <∞ y todo k ≥ 0. Luego, de (4.15) concluimosque DjJ : Lp

k → Lpk es continuo ∀ 1 < p < ∞ y todo k ≥ 0 entero;

j = 1, 2, ..., n.Combinando esta conclusión con (a) obtenemos (b): si f ∈ Lp

k, entonces

kJfkp,k+1 ≤ C kfkp,k .

En efecto,

kJfk2p,k+1 =X

|α|≤k+1kDαJfk2p =

X|α|≤k

kDαJfk2p +°°°D(k+1)Jf

°°°2p

≤ kJfk2p,k + C kfkp,k≤ C1 kfkp,k .

¥

¡RN¢[Ó WK,P

¡RN¢]

Lema 4.2 Si 1 < p <∞, entonces J−1 : Lpk+1 → Lp

k es continuo para todoentero k ≥ 0.

PruebaSea f ∈ Lp

k+1. De F¡J−1f

¢= d (ξ) f , como en el lema 4.1 tenemos

d (ξ) = |ξ| [1− u1 (ξ)] + u2 (ξ) (4.16)

donde u1 y u2 están en D. Luego,

F¡J−1f

¢= |ξ| f − |ξ|u1 (ξ) f + u2 (ξ) f

y desde que

|ξ| =nX

j=1

ξjξj|ξ| ,

podemos escribir

F¡J−1f

¢=

nXj=1

ξj|ξ|³ξj f´− u1 (ξ)

nXj=1

ξj|ξ|³ξj f´+ u2 (ξ) f .

Llamando g =nP

j=1

ξj|ξ|

³ξj f´tenemos F

¡J−1f

¢= g − u1g + u2f .

Por lo tanto,

J−1f = F−1 (g)− F−1 (u1g) + F−1³u2f

´. (4.17)

Ahora, f ∈ Lpk+1 y ξj f = [Djf ]

∧ implican que F−1³ξj f´= Djf ∈ Lp

k.Luego,

F−1 (g) =

⎡⎣ nXj=1

ξj|ξ|³ξj f´⎤⎦∨ (desde que Rjf (ξ) =

∙ξj|ξ| f

¸∨)

=nX

j=1

Rj

∙³ξj f´∨¸

=nX

j=1

Rj (Djf) ,

expresión que está en Lpk . De las propiedades de la transformada de Riesz

Rj , tenemos que para alguna constante Ap > 0 independiente de f y k ,

°°F−1 (g)°°p,k≤ Ap

nXj=1

kDjfkp,k ≤ Ap kfkp,k+1 . (4.18)

4.4. LOS ESPACIOS DE SOBOLEV LPS , S REAL. 143

Si v1 = u1, v2 = u2, vemos que

F−1 (u1g) = v1 ∗ F−1 (g) y F−1³u2f

´= v2 ∗ f ,

donde v1, v2 ∈ S ⊂ L1.Luego, usando el teorema de Young, el teorema 4.3 y la estimativa (4.18),

obtendremos°°F−1 (u1g)°°p,k ≤ kv1k1 °°F−1 (g)°°p,k ≤ Bp kfkp,k+1 (4.19)

También, °°°F−1 ³u2f´°°°p,k≤ kv2k1 kfkp,k ≤ C kfkp,k+1 (4.20)

Luego, usando (4.18), (4.19) y (4.20), obtenemos que

J−1 : Lpk+1 → Lp

k es un operador continuo para 1 < p <∞, ∀k ∈ Z+

¥

4.3.2. Isomorfismo de los Espacios Lpk.

Combinando los dos lemas precedentes, obtenemos el

Teorema 4.4 Si 0 < p < ∞, entonces los espacios de Banach Lpk ≡

Lpk (R

n), n ≥ 2, son isomórficos para todo entero k ≥ 0.

Prueba.El operador J : Lp

k → Lpk+1 es un isomorfismo lineal, continuo para todo

k ≥ 0. En efecto, si J (f) = J (g) entonceshd (ξ)−1 f

i∨=hd (ξ)−1 g

i∨∴ d (ξ)−1 f = d (ξ)−1 g

Luego, f = g ó f = g.¥

4.4. LOS ESPACIOS DE SOBOLEV Lps, s REAL.


La discusión precedente ha probado que para 1 < p <∞ tenemos

J (Lp) = Lp1, J (L

p1) = Lp

2 = J2 (Lp) , . . . , J¡Lpk−1¢= Lp

k = Jk (Lp)

para todo entero positivo k ≥ 0.Veamos que Lp

1 = J (Lp). En efecto, hemos probado que J : Lp → Lp1 y

J−1 : Lp1 → Lp son continuos y que J es uno a uno. Luego, dado f ∈ Lp

1,

¡RN¢[Ó WK,P

¡RN¢]

J−1f ∈ Lp, llamemos g = J−1f ∈ Lp. Luego f = JJ−1f = Jg. Asi, J essobre, esto es, J (Lp) = Lp

1.Como hemos visto, tomando sucesivas potencias de J , obtendremos

Lpk = Jk (Lp) , 1 < p <∞.

Todo ello motiva la

Definición 4.10 Para cualquier número real s, definimos el operador Js

víaJs : S0 → S0

f 7→ [Jsf ]∧ (ξ) = d (ξ)−s f (ξ)

esto es, Js = F−1d (ξ)−s F .

Notemos que sobre S0, Js tiene inversa J−s = F−1d (ξ)s F , esto es£J−sf

¤∧(ξ) = d (ξ)s f (ξ) .

J0 = I, el operador identidad. Luego Jss∈R es un grupo uni-paramétricoconmutativo de operadores invariantes por translaciones sobre S0.

Observación 4.3 Notemos que estamos trabajando sobre Rn, n ≥ 1 y qued es una función estrictamente positiva tal que d (ξ) = |ξ| para |ξ| ≥ 1.

Aceptemos el siguiente

Teorema 4.5 Para cualquier real s ≥ 0, Jsf = js∗f , donde js =£d (ξ)−s

¤∨.

Más precisamente,

js (|x|) =

⎧⎨⎩Cs |x|s−n + C 0s |x|s−n log |x| . . . cerca del origen

ϕs ∈ S . . . lejos del origen

donde Cs y C 0s son constantes, con C 0s = 0 si 0 < s < n ó si s /∈ Z.Luego por Young tenemos Js : Lp → Lp es un operador lineal acotado

para todo s ≥ 0 y 1 < p <∞.

Nosotros sabemos el

Corolario 4.3 Para cualquier real s ≥ 0 y cualquier k ∈ N, Js : Lpk → Lp

kes un operador lineal acotado, 1 < p <∞.

También conocemos que si

s = 1, J : Lpk → Lp

k+1 y J−1 : Lpk+1 → Lp

k

son continuos. También vimos que para n ≥ 2, esta última afirmación siguede las fórmulas

DjJ = Rj −RjK1 +K2 (4.21)

yJ−1 = ∧ − ∧K3 +K4 (4.22)

donde K1, . . . ,K4 son operadores convolución con núcleos en S y donde

∧ =nX

j=1

RjDj

satisface[∧f ]∧ (ξ) = |ξ| f para todo f ∈ S.

Para n = 1, los mismos argumentos producen1

2π

d

dx= H −HK1 +K2

y aún tenemos (4.22) donde ahora ∧ = 1

2πH

d

dxy H es la transformada de

Hilbert.

Nota:(4.21) prueba que el Corolario 4.3 es falso si p = 1 ó p =∞.

4.4.2. El Espacio Lps (Rn). Propiedades.

Definición 4.11 Para cualquier número real s, 1 ≤ p ≤ ∞, definimos elespacio de Sobolev Lp

s (Rn) vía Lps = Js (Lp).

Remarquemos que a veces se usa la notación Hs,p. Luego, si f ∈ Lps,

entonces existe g ∈ Lp tal que f = Jsg.

Observación 4.4 g = J−sf es único [supongamos, además que ∃ g tal quef = Jsg; entonces, Jsg = Jsg; ∴ g = J−sJsg = g].

Para cualquier f ∈ Lps, definimos:

kfkp,s = kgkp .

Nota: De ahora en adelante nos restringiremos al caso 1 < p < ∞, aúncuando algunos resultados a seguir sigan siendo ciertos para p = 1 ó p =∞.

Observación 4.5 Si s = k es un entero, Lps coincide con el espacio de

Sobolev Lpk. Esto sigue del siguiente argumento.

Sea f ∈ Lpk = Jk (Lp). Deseamos ver que f ∈ Lp tal que Dαf ∈ Lp,

|α| ≤ k.En efecto,

¡RN¢[Ó WK,P

¡RN¢]

Si f ∈ Lp1 = J (Lp) entonces Djf ∈ Lp. Y asi sucesivamente, si f ∈ Lp

k =Jk (Lp) entonces Dαf ∈ Lp, |α| = k.

Tenemos el siguiente resultado:

Teorema 4.6 Sea n ≥ 1; k y s enteros ≥ 0.

(a) Si 1 ≤ p ≤ ∞, Js : Lp → Lp es continua. Si 1 ≤ p < ∞ entoncesJs : Lp

k → Lpk es continuo.

(b) Si 1 < p < ∞, entonces Js : Lpk → Lp

k+s y J−s : Lpk+s → Lp

k soncontinuos.

(c) Si 1 < p < ∞, entonces los espacios de Sobolev Lpk = Lp

k (Rn) son

todos espacios de Banach isomórficos.

Tambien, si |f |p,k denota la “vieja” norma en Lpk, entonces las “nuevas”

normas son equivalentes a las viejas. En efecto, sea f ∈ Lps≡k, entonces

existe g ∈ Lp tal que f = Jk (g). Tenemos,

|f |p,k =¯JkJ−kf

¯p,k=¯Jkg

¯≤ C kgkp = C kfkp,k .

Recíprocamente tenemos

kfkp,k ≤ C |f |p,k .

Teorema 4.7

(a) Los espacios Lps son espacios de Banach isométricos e isomorfos a Lp.

(b) Si r y s son números reales, Jr : Lps → Lp

s+r es una isometría y unisomorfismo.

(c) Si s ≤ t, entonces Lpt ⊂ Lp

s; la inclusión es continua.

(d) Si 1 < p <∞, entonces Dj : Lps → Lp

s−1 es continua.

Prueba.

(a) Es una consecuencia de la definición de tales espacios, de kfkp,s = kgkp,con g único.

(b) Desde que Lps = Js (Lp) tenemos:

Jr (Lps) = Jr [Js (Lp)] = Jr+s (Lp) = Lp

s+r.

(Luego la aplicación es “sobre”). Además, Jr es una isometría. Enefecto, si f ∈ Lp

s y Jrf ∈ Lps+r, afirmamos que kfks,p = kJrfks+r,p.


Veamos; tenemos que existe g ∈ Lp tal que kfks,p = kgkp y existeg ∈ Lp tal que

kJrfks+r,p = kgkp .

Entonces, Jsg = f y Js+rg = Jrf . De esta manera,

J−rJs+rg = J−rJrf ó Jsg = f .

Luego,Jsg = Jsg ó g = g .

Por lo tanto,

kJrfks+r,p = kgkp = kgkp = kfks,p .

(c) Sea f ∈ Lpt ; entonces existe g ∈ Lp tal que f = J tg y kfkp,t = kgkp .

Desde que t−s ≥ 0 y por el Corolario 4.3, J t−s : Lp → Lp es continuo.Luego, J t−sg ∈ Lp y por tanto f = Js

¡J t−sg

¢∈ Lp

s. Luego Lpt ⊂ Lp

s.

Además,kfks,p =

°°J t−sg°°p≤ C kgkp = C kfkp,t .

Luego la inclusión es continua.

(d) Observemos que Dj = F−1ξjF conmuta con todo Js. En efecto,veamos que DjJ

s = JsDj . En efecto,

DjJs = F−1ξjd (ξ)

−s F

= F−1d (ξ)−s ξjF

=¡F−1d (ξ)−s F

¢ ¡F−1ξjF

¢= JsDj .

Así, podemos escribir:

Dj = Js−1£J1−sDj

¤= Js−1 [DjJ ]J

−s ,

donde conocemos que DjJ : Lp → Lp es continuo. Ahora, sea f ∈ Lp

s

y por tanto existe g ∈ Lp tal que f = Jsg. Entonces,

Djf = Js−1 [DjJ ]J−sf

= Js−1 [DjJ ] g .

Como g ∈ Lp, DjJg está en Lp y por tanto Js−1 [DjJ ] g ∈ Lps−1, esto

es, Djf ∈ Lps−1.

Finalmente,

kDjfks−1,p = k(DjJ) gkp ≤ C kgkp = C kfks,p .

¥

¡RN¢[Ó WK,P

¡RN¢]

Teorema 4.8 Sea 1 < p <∞, y s un número real. Entonces:

(a) El espacio S es denso en todo Lps.

(b) Si s < t, entonces Lpt es denso en Lp

s.

(c) D es denso en todo Lps.

Prueba

(a) Para cualquier real s, Js : S → S es una aplicación sobre y 1-1.

En efecto, sea ϕ ∈ S ⊂ S0, entonces, (Jsϕ)∧ = d (ξ)−s ϕ; luegoJsϕ ∈ S ya que ϕ ∈ S y d (ξ)−s ϕ ∈ S. Además, si Jsϕ1 = Jsϕ2entonces

F−1d (ξ)−s Fϕ1 = F−1d (ξ)−s Fϕ2,

luego ϕ1 = ϕ2 y por tanto Js es 1-1. Por otro lado, Js es sobre ya que

dado ϕ ∈ S deseamos ψ ∈ S tal que Js (ψ) = ϕ. Bien, basta tomarψ = [d (ξ)s ϕ]∨, que está en S.

Sabemos que S es denso en Lp, 1 < p <∞, y Lps = Js (Lp) es una im-

agen continua de Lp, con kfks,p = kgkp. Entonces, si f ∈ Lps, tenemos

f = Jsg = Js (lımϕm) = lımJsϕm ,

con ϕm ∈ S, y por tanto S es un espacio denso en cualquier Lps.

(b) Sabemos que si s < t entonces Lpt ⊂ Lp

s continuamente. Entoncestenemos S ⊂ Lp

t ⊂ Lps; desde que S ⊂ Lp

t y S ⊂ Lps son inclusiones

densas, entonces Lpt ⊂ Lp

s es un inclusión densa.

(c) Sabemos que D es denso en Lpk para 1 ≤ p < ∞ y todo entero k ≥ 0.

Dado cualquier real s , escojamos k ∈ Z+ tal que k > s, entoncestendremos D ⊂ Lp

k ⊂ Lps. Como la inclusión Lp

k ⊂ Lps es continua,

existe una constante positiva C tal que

kuks,p ≤ kukk,p .

También, dado cualquier f ∈ Lps y cualquier ε > 0, existe g ∈ Lp

k talque kf − gks,p < ε desde que Lp

k es denso en Lps. También, como D es

denso en Lpk, para tal g ∈ Lp

k, existirá h ∈ D tal que

kg − hkk,p <ε

C.

Luego

kf − hks,p ≤ kf − gks,p + kg − hks,p< ε+ C kg − hkk,p< 2ε.

¥

4.4.3. El Espacio Lp∞.

La parte (c) del teorema 4.1 nos motiva la:

Definición 4.12Lp∞ =

\s∈R

Lps , 1 ≤ p ≤ ∞.

Dado k ∈ Z+, existe s ∈ R tal que s > k y Lps ⊂ Lp

k. Recíprocamente, givens ∈ R existe k ∈ Z+ tal que k > s y Lp

k ⊂ Lps. Por tanto,\

s∈RLps =

\k∈Z+

Lpk = Lp

∞.

Por el teorema 4.8, si 1 ≤ p <∞, tenemos D ⊂ Lp∞ ⊂ Lp

s, donde la primerainclusión es densa, la segunda es continua y D ⊂ LP

s es densa.

∴ Lp∞ es denso en Lp

s , ∀ s ∈ R.

Teorema 4.9

(a) Sea f ∈ Lp∞ y g ∈ Lq

∞ , 1 ≤ p < ∞, 1p+1

q= 1. Sea la funcional

bilineal

hf, gi =Z

fgdx.

Entonces, para cualquier real s tenemos

|hf, gi| ≤ kfks,p kgk−s,q

y la funcional hf, gi se extiende continuamente a Lps × Lq

−s.

¡RN¢[Ó WK,P

¡RN¢]

(b) Toda funcional lineal continua sobre Lps es de la forma

λ (f) = hf, gi para algún g ∈ Lq−s.

Prueba

(a) Por densidad, podemos asumir que s ≥ 0. Si 0 < s < n, entonces

Jsf = js ∗ f,

donde js ∈ L1 es una función radial con d (ξ)−s = [js]∧ (ξ).

Ahora, si f ∈ Lp∞ y g ∈ Lq

∞ , entonces

Jsg ∈ Lq∞

( g ∈ Lq∞ =

TsLqs, luego g ∈ Lg

s ∀s. Asi, ∃ g ∈ Lq tal que g = Jsg;

entonces Jsg = J2sg ∈ Lq2s, ∀s ∈ R. Luego Jsg ∈ Lq

∞ ).

Entonces por la desigualdad de Hölder,

|hf, Jsgi| ≤Z|f (x)| |Jsg (x)| dx

≤ kfkp kJsgkq <∞.

De esta manera existe hf, Jsgi. Por lo tanto, intercambiando el ordende integración y considerando que js es radial, tenemos

hf, Jsgi =

Zf (x)Jsg (x) dx =

Zf (x)

∙Zjs (x− y) g (y) dy

¸dx

=

Zg (y)

∙Zjs (x− y) f (x) dx

¸dy

=

Zg (y)

∙Zjs (y − x) f (x) dx

¸dy

=

Zg (y) [(js ∗ f) (y)] dy

=

Zg (y) (Jsf) (y) dy

= hJsf, gi .

Conclusión: Para todo real s ≥ 0

hf, Jsgi = hJsf, gi . (4.23)

Nota. El caso s = 0 es trivial y el caso s ≥ n sigue interando el caso0 < s < n.

4.5. LOS ESPACIOS LS ≡ HS , S REAL. 151

Como antes, si f ∈ Lp∞ entonces tambien J−sf ∈ Lp

∞. Aplicando (4.23)a J−sf en vez de f , obtenemos:

hf, gi =JsJ−sf, g

®=J−sf, Jsg

®. (4.24)

Notemos que Jsg ∈ Lq∞. ahora aplicamos Hölder:

|hf, gi| =¯J−sf, Jsg

®¯≤°°J−sf°°

pkJsgkq = kfks,p kgk−s,q . (4.25)

Ahora, si f ∈ Lps entonces f = Js [J−sf ], con J−sf ∈ Lp ; si g ∈ Lq

−sentonces g = J−s [Jsg], con Jsg ∈ Lq.

Entonces hf, gi se extiende por continuidad a Lps×Lq

−s y satisface (4.24)(notemos que

hf, gi = lım hfm, gmi = lımJ−sfm, J

sgm®=J−sf, Jsg

®).

Finalmente se tiene|hf, gi| ≤ kfks,p kgk−s,q .

(b) Sea λ (f) una funcional lineal continua sobre Lps; luego f ∈ Lp

s y existeh ∈ Lp tal que f = Js (h). Luego, λ (f) = λ (Jsh) es una funcionallineal continua sobre Lp, 1 ≤ p <∞. Asi, por el teorema de F. Riesz,esta funcional tiene la forma

λ (Jsh) = hh, gi , con g ∈ Lq,1

p+1

q= 1.

Tomemos ahora g = J−sg; g ∈ Lq−s, además g = Jsg y

λ (f) = λ (Jsh) = hh, gi = hh, Jsgi = hJsh, gi = hf, gi con g ∈ Lq−s.

¥

4.5. LOS ESPACIOS Ls ≡ Hs , s REAL.

4.5.1. Motivación.

Denotemos L2k ≡ Lk ≡ Hk. Si k = 0, L0 ≡ H0 ≡ L2 (Rn).Si k > 0 entero,Hk = Lk =

©f ∈ L2 / Dαf ∈ L2, |α| ≤ k

ª, con derivadas

en el sentido de las distribuciones. En este caso, Lk es llamado espacio deSobolev. En Lk se considera el producto interno

hf, gik =X|α|≤k

ZDαf (x)Dαg (x)dx

y la norma

kfk2k,2 =X|α|≤k

Z|Dαf (x)|2 dx ≡ kfk2k .

¡RN¢[Ó WK,P

¡RN¢]

Desde que Lk ⊂ L2 ⊂ S0 podemos considerar la transformada de Fourier decualquier f ∈ Lk. Observemos que si f ∈ Lk entonces:

Dαf ∈ L2 ⇐⇒ [Dαf ]∧ (x) ∈ L2 ⇐⇒ xαf ∈ L2.

Mas exactamente,[Dαf ]∧ (x) = (2πix)α f (x) .

Entonces,

kfk2k =X|α|≤k

Z|Dαf (x)|2 dx =

X|α|≤k

kDαf (x)k22

=X|α|≤k

°°[Dαf (x)]∧°°22

=X|α|≤k

°°°(2πi)|α| xαf (x)°°°22

=X|α|≤k

Z ¯(2πi)|α|

¯2|xα|2

¯f (x)

¯2dx

=X|α|≤k

Z|(2πix)α|2

¯f (x)

¯2dx.

Desde que |x|2 = x21 + · · ·+ x2n, existen constantes 0 < c1 < c2 tales que:

c1X|α|≤k

|(2πix)α|2 ≤³1 + |x|2

´k≤ c2

X|α|≤k

|(2πix)α|2 .

En efecto,

|xα| = |xα11 . . . xαnn | ≤³1 + |x|2

´α12. . .³1 + |x|2

´αn2

=³1 + |x|2

´ |α|2.

Luego,

|xα|2 ≤³1 + |x|2

´|α|.

Entonces,

|(2πix)α|2 ≤ (2πi)2|α|³1 + |x|2

´|α|≤ (2πi)2|α|

³1 + |x|2

´k;

entonces1P

(2πi)2|α|

X|α|≤k

|(2πix)α|2 ≤³1 + |x|2

´k.

En forma análoga se obtiene la otra desigualdad.Por tanto podemos definir una norma equivalente en Lk vía:

kfkk =

µZ ³1 + |x|2

´k ¯f (x)

¯2dx

¶12

=

ÃZ ¯³1 + |x|2

´k2f (x)

¯2dx

! 12

,

y el producto interno:

hf, gik =¿³1 + |x|2

´k2f ,³1 + |x|2

´k2g

À.

Definición 4.13 Sea s un número real. Entonces

Ls (Rn) ≡ Hs (Rn) =

½f ∈ S0 /

³1 + |x|2

´ s2f ∈ L2 (Rn)

¾.

Esto es, f ∈ S0 está en Ls siZ ³1 + |x|2

´s ¯f (x)

¯2dx <∞.

En Ls consideramos el producto interno

hf, gi =

¿³1 + |x|2

´ s2f ,³1 + |x|2

´ s2g

ÀL2

=

Z ³1 + |x|2

´sf (x) g (x) dx ,

y la norma

kfks =

Z ³1 + |x|2

´s ¯f (x)

¯2dx

=

Z ¯³1 + |x|2

´ s2f (x)

¯2dx.

Corolario 4.4 Si kfks = 0, entonces f (x) = 0, luego f = 0. Entonces Ls

es un espacio separado.

Teorema 4.10 Ls es un espacio de Hilbert.

PruebaSea (fm) una sucesión de Cauchy en Ls. Entoncesµ³

1 + |x|2´ s2fm

¶

¡RN¢[Ó WK,P

¡RN¢]

es una sucesión de Cauchy en L2. Luego existe h ∈ L2 tal que

lım³1 + |x|2

´ s2fm (x) = h (x) en L2.

Ahora definamos g vía:

g (x) =³1 + |x|2

´− s2h.

Luego g ∈ S0. Ahora definamos f vía f = [g]∨.Asi f ∈ S0. Además,

h =³1 + |x|2

´ s2g

=³1 + |x|2

´ s2f ∈ L2.

Luego f ∈ Ls. Finalmente,

lım³1 + |x|2

´ s2fm =

³1 + |x|2

´ s2f en L2.

Así,lım fm = f en Ls.

¥Nota. Como f ∈ S0, f ∈ S0; si existe una función g conZ

|g (x)|2³1 + |x|2

´sdx <∞

tal que Df , ϕ

E=

Zg (x)ϕ (x) dx,

entonces g es llamada la densidad de f .g es bien definida casi en todas partes por f . Escribimos g (x) = f (x) .

Teorema 4.11 Para f ∈ L2, sea Tf la distribución

hTf , ϕi =Z

f (x)ϕ (x) dx.

EntoncesL2 −→ L0f 7−→ Tf

es un isomorfismo y las respectivas transformadas de Fourier son iguales,esto es, D

Tf , ϕE=

Zf (x)ϕ (x) dx.


Prueba

• f → Tf es inyectiva.

En efecto, desde que

f ∈ Lp, g = f ∈ L2 yZ

f g =

Zf g .

Sea f la transformada de Fourier de f en el sentido de L2.

Para ϕ ∈ S ⊂ L2, tenemos

bϕ = ϕ (fórmula de inversión),

entonces g = ϕ. Luego

g = bϕ = ϕ yDTf , ϕ

E= hTf , ϕi =

Zf (x) ϕ (x) dx

=

Zf (x)ϕ (x) dx ,

esto es,Tf (x) = f (x) ó Tf = f.

Luego Tf ∈ L0 y

kTfk2L0 =Z ¯

Tf (x)¯2dx =

Z ¯f (x)

¯2dx = kfk2L2 .

• f → Tf es sobre.

En efecto, dado g ∈ L0, tenemos g (x) ∈ L2, asi existe, por Plancherel,g ∈ L2 con bg (x) = g (x) .

Entonces, tomemos f = g ∈ L2 y tendremos

hTg, ϕi = hTf , ϕi =Z

gϕ =

Z bgϕ = Z gϕ = hg, ϕi = hg, ϕi

y por tanto Tf = g.

¥

Teorema 4.12 Si f ∈ Ls, entonces∂f

∂xj∈ Ls−1.

¡RN¢[Ó WK,P

¡RN¢]

Prueba ∙∂f

∂xj

¸∧(x) = 2πixj f (x) ,

y desde que |xj |2 ≤³1 + |x|2

´, tenemos°°°° ∂f∂xj

°°°°2s−1

=

Z ³1 + |x|2

´s−1 ¯µ ∂f

∂xj

¶∧(x)

¯2dx

=

Z ³1 + |x|2

´s−1(2π)2 |xj |2

¯f (x)

¯2dx

≤ C

Z ³1 + |x|2

´s−1 ³1 + |x|2

´ ¯f (x)

¯2dx

= C

Z ³1 + |x|2

´s ¯f (x)

¯2dx

= C kfk2s .

Luego,∂

∂xj: Ls → Ls−1 es continuo.

¥

Teorema 4.13 Sea 0 ≤ k ∈ Z. Entonces f ∈ Lk ⇐⇒para todo |α| ≤ k,existe fα ∈ L2 tal que

hDαf, ϕi =Z

fαϕdx , donde |α| = α1 + · · ·+ αn, ϕ ∈ S.

Prueba

(⇒) Sea f ∈ Lk; por el teorema 4.12, Dαf ∈ Lk−|α| ⊂ L0 para |α| ≤ k.Entonces, por el teorema 4.11, existe fα ∈ L2 tal que hDαf, ϕi =hfα, ϕi en el sentido de las distribuciones.

(⇐) Sea fα ∈ L2 tal que Dαf = fα en el sentido de las distribuciones,entonces

[Dαf ]∧ (x) = fα ∈ L2,

esto es, xαf (x) = fα (x) . Sabemos que existen constantes Cα,k tal que³1 + |x|2

´k=X|α|≤k

Cα,k x2α.

Entonces,Z ³1 + |x|2

´k ¯f (x)

¯2dx =

X|α|≤k

Cα,k

Zx2α

¯f (x)

¯2dx

=X|α|≤k

Cα,k

Z ¯fα (x)

¯2dx <∞.

Luego, f ∈ Lk. Además,

kfk2k =

Z ³1 + |x|2

´k ¯f (x)

¯2dx

=

Z X|α|≤k

Cα,k x2α¯f (x)

¯2dx

≤ (max Cα,k)X

kDαfk20 .

Desde que

|xα|2 ≤³1 + |x|2

´k,

tenemoskDαfk20 =

°°[Dαf ]∧°°20=°°°xαf°°°2

0≤ kfk2k .

Luego, X|α|≤k

kDαfk20 ≤ Cα kfk2k .

Asi,kfkk '

X|α|≤k

kDαfk20 .

Por lo tanto, por el teorema 4.11, tenemos

Lk =©f ∈ S0 / Dαf ∈ L0, 0 ≤ |α| ≤ k

ª.

¥

4.5.2. El Operador Λs.

Observemos la definición de Ls. Definamos el operador Λs vía

[Λsf ]∧ (x) =³1 + |x|2

´ s2f (x) .

Entonces Ls =©f ∈ S0 / Λsf ∈ L2

ª.

Ejemplo 4.4 S ⊂ Ls para s ∈ R, con inclusión continua.

En efecto, sea ϕ ∈ S; entonces ϕ ∈ S y³1 + |x|2

´ s2ϕ ∈ S ⊂ L2. Luego

ϕ ∈ Ls. La inclusión es continua. En efecto, sea ϕm → 0 en S, entonces

ϕm → 0 en S, luego³1 + |x|2

´ s2ϕm → 0 en S ⊂ L2, con inclusión continua,

entonces³1 + |x|2

´ s2ϕm → 0 en L2, esto es, ϕm → 0 en Ls.

Ejemplo 4.5 Si g (x) = X[a,b], entonces g ∈ Ls para s < 12 , donde X es la

función característica.

¡RN¢[Ó WK,P

¡RN¢]

Ejemplo 4.6 Sea µ una medida finita en R. Entonces

hµ, ϕi =

Zϕdµ =

ZZe−2πixξϕ (ξ) dξdµ (x)

=

Z ∙Ze−2πixξdµ (x)

¸ϕ (ξ) dξ;

u es acotada y tiene densidadZe−2πixξdµ (x) .

Entonces, Z ∞

0

³1 + |x|2

´s|µ (x)|2 ≤M2

Z ∞

0

³1 + |x|2

´sdx <∞,

si s < −12 . Luego, µ ∈ Ls si s < −12 .En general, si µ es una medida finita en Rn, entonces µ ∈ Ls (Rn) para

s < −n2 .

Ejemplo 4.7 δ ∈ Ls (Rn) para s < −n2 . ( δ = 1 yZ

Rn

³1 + |x|2

´sdx = c

Z ∞

0

¡1 + r2

¢srn−1dr <∞ para s < −n

2)

Teorema 4.14 S es denso en Ls.

Prueba

Sea f ∈ Ls, así³1 + |x|2

´ s2f ∈ L2. Como S es denso en L2, existe (ψm)

en S tal que

lımψm =³1 + |x|2

´ s2f en L2.

Pero, cada ψm es de la forma (desde que S ⊂ Ls)³1 + |x|2

´ s2ϕm, con

ϕm ∈ S. Así,

lım³1 + |x|2

´ s2ϕm =

³1 + |x|2

´ s2f en L2.

Esto significa lımϕm = f en Ls con ϕm ∈ S.

¥

4.6. ESPACIOS L−S 159

Resumen (en Rn).

Tenemos: D ⊂ S ⊂ Ls ⊂ S0 ⊂ D0, donde las inclusiones son continuas;D es denso (con la topología inducida) en cada espacio que lo contiene.

Veamos: Ls ⊂ S0. En efecto, sea fm → 0 en Ls, entonces³1 + |x|2

´ s2fm → 0 en L2;

desde que L2 ⊂ S0 continuamente, tenemos³1 + |x|2

´ s2fm → 0 en S0,

luego ³1 + |x|2

´− s2.³1 + |x|2

´ s2fm → 0 en S0 ,

esto es, fm → 0 en S0 ó fm → 0 en S0.¥

Proposición 4.3 Si s1 ≤ s2, entonces Ls2 ⊂ Ls1, con inclusión continua.

Prueba ³1 + |x|2

´ s12 ≤

³1 + |x|2

´ s22

∴ si³1 + |x|2

´ s22f ∈ L2, entonces

³1 + |x|2

´ s12f ∈ L2.

¥

Observación 4.6 S ⊂ Ls implica (Ls)0 ⊂ S0.

4.6. ESPACIOS L−s

4.6.1. Propiedades y Caracterización.

Teorema 4.15 (Ls)0 ' L−s en su estructura de espacio de Banach

Prueba

• Si f ∈ (Ls)0, afirmamos que f ∈ L−s y kfk−s ≤ kfk(Ls)0 .

En efecto

kfk−s =

Z ³1 + |x|2

´−s ¯f (x)

¯2dx =

Z ¯³1 + |x|2

´− s2f (x)

¯2dx

=

°°°°³1 + |x|2´− s2f

°°°°2


¡RN¢[Ó WK,P

¡RN¢]

y kfk(Ls)0 = maxkϕks≤1

|hf, ϕi| .

Sea f ∈ (Ls)0, entonces f ∈ S0 (desde que S ⊂ Ls). Bien, si deseamos

f ∈ L−s necesitamos tener³1 + |x|2

´− s2f ∈ L2. Pero, una distribución

pertenece a L2 si la distribución es continua sobre D respecto a la topologíainducida por L2. Asi, consideremos

maxkψk2≤1

¯¿³1 + |x|2

´− s2f , ψ

À¯.

Nuestro objetivo es probar que:

maxkψk2≤1

¯¿³1 + |x|2

´− s2f , ψ

À¯≤ kfk(Ls)0

y por tanto tendremos kfk−s ≤ kfk(Ls)0 .

Bien, si ψ ∈ D ⊂ S,³1 + |x|2

´− s2ψ ∈ S. Llamemos ϕ =

³1 + |x|2

´− s2ψ ∈

S, entonces ϕ ∈ S y ψ =³1 + |x|2

´ s2ϕ.

Observemos que:

kψk2 ≤ 1⇐⇒°°°°³1 + |x|2´− s

2ϕ

°°°°2

≤ 1⇐⇒ kϕks ≤ 1.

Por lo tanto,¿³1 + |x|2

´− s2f , ψ

À=

¿³1 + |x|2

´− s2f ,³1 + |x|2

´ s2ϕ

À=

Df , ϕ

E= hf, ϕi = f (ϕ) .

Tenemos,|f (ϕ)| ≤ kfk(Ls)0 kϕks ≤ kfk(Ls)0

Entonces tendremos ¯¿³1 + |x|2

´− s2f , ψ

À¯≤ kfk(Ls)0 .

Luego,³1 + |x|2

´− s2f es un operador acotado sobreD, esto es,

³1 + |x|2

´− s2f

es continuo sobre D. Luego³1 + |x|2

´− s2f ∈ L2, esto es, f ∈ L−s.

De ¯¿³1 + |x|2

´− s2f , ψ

À¯≤ kfk(Ls)0 ,

obtenemos

maxkψk2≤1

¯¿³1 + |x|2

´− s2f , ψ

À¯≤ kfk(Ls)0 ,

como deseábamos.

4.6. ESPACIOS L−S 161

• Si f ∈ L−s, afirmamos que f ∈ (Ls)0 y kfk(Ls)0 ≤ kfk−s.

En efecto, desde que

kfk(Ls)0 = maxkϕks≤1

|hf, ϕi| ,

debemos encontrar una cota para

hf, ϕi =¿³1 + |x|2

´− s2f ,³1 + |x|2

´ s2ϕ

ÀL2

si ϕ ∈ D satisface kϕkS ≤ 1.Bien, tenemos

|hf, ϕi| =

¯¿³1 + |x|2

´− s2f ,³1 + |x|2

´ s2ϕ

À¯L2

≤°°°°³1 + |x|2´− s

2f

°°°°2

°°°°³1 + |x|2´− s2ϕ

°°°°2

= kfk−s kϕks .

Luego, f ∈ (Ls)0. Además,

supkϕks≤1

|hf, ϕi| ≤ kfk−s kϕks ≤ kfk−s ,

esto es, kfk(Ls)0 ≤ kfk−s .Por lo tanto,

(Ls)0 ' L−s y kfk(Ls)0 = kfk−s .

¥

Teorema 4.16 Sea s ≥ 0 un entero. Entonces

f ∈ L−s ⇐⇒ f =X|α|≤s

Dαfα , con fα ∈ L2.

Prueba(⇒) Sea f ∈ L−s, entonces

³1 + |x|2

´− s2f ∈ L2. Pero,

1³1 + |x|2

´ s2

=1³

1 + |x1|2 + · · ·+ |xn|2´ s2

≥ c

1 + |x1|s + · · ·+ |xn|s,

entonces tenemos1

1 + |x1|s + · · ·+ |xn|sf ∈ L2.


¡RN¢[Ó WK,P

¡RN¢]

Llamaremosg =

1

1 + |x1|s + · · ·+ |xn|sf .

Entonces,

f = g +nXi=1

|xi|s g = g +nXi=1

xsi

µ|xi|s

xsi

¶g;

pero µ|xi|s

xsi

¶g = gi,

luego

f = g +nXi=1

xsi gi , con gi ∈ L2.

Conclusión:

f = g +nX

j=1

µ1

2πi

¶|s|µ ∂

∂xj

¶s

gj

(⇐) Necesitamos el

Lema 4.3 La aplicación Dα : Ls → Ls−|α| es continua.

Prueba.Sea f ∈ Ls, luego f ∈ S0, luego Dαf ∈ S0. Además

(Dαf)∧ (x) = (2πix)α f y |(2πix)α| ≤ c³1 + |x|2

´ |α|2

,

por lo tanto¯¯³1 + |x|2´ s−|α|

2(Dαf)∧

¯¯ =

¯¯³1 + |x|2´ s−|α|

2(2πix)α f

¯¯

≤ C

¯¯³1 + |x|2´

s−|α|2³1 + |x|2

´ |α|2f

¯¯

= C

¯³1 + |x|2

´ s2f

¯∈ L2,

esto es ³1 + |x|2

´ s−|α|2(Dαf)∧ ∈ L2.

Luego, Dαf ∈ Ls−|α|.Además,

kDαfks−|α| ≤ C kfks¥

4.7. LOS ESPACIOS L∞ ≡ H∞ Y L−∞ ≡ H−∞ 163

Ahora continuamos con el teorema. Asumamos que f =P|α|≤s

Dαfα, con

fα ∈ L2. Como fα ∈ L2 = L0, tenemos Dαfα ∈ L−|α|. Pero |α| ≤ s, esto es,−s ≤ − |α| y L−|α| ⊂ L−s. Luego Dαfα ∈ L−s.

Por lo tanto f ∈ L−s.¥

Teorema 4.17 Si ψ ∈ S, f ∈ Ls, entonces ψ ∗ f ∈ Ls, y la aplicación

Ls −→ Ls

f 7−→ ψ ∗ f

es continua.

PruebaSabemos que [ψ ∗ f ]∧ = ψf . Si f ∈ Ls, entonces³

1 + |x|2´ s2f ∈ L2;

pero ψ ∈ S, luego ψ es una función acotada.Entonces, ³

1 + |x|2´ s2ψf ∈ L2.

Asi, ψ ∗ f ∈ Ls. Además,

kψ ∗ fks =

°°°°³1 + |x|2´ s2ψf

°°°°2

≤ max¯ψ¯ °°°°³1 + |x|2´ s

2f

°°°°L2

= max¯ψ¯kfks .

¥

4.7. LOS ESPACIOS L∞ ≡ H∞ Y L−∞ ≡ H−∞


Precisemos que

L∞ =\s

Ls =©f / Dαf ∈ L2 para todo α

ª,

Dαf es en el sentido de las distribuciones. Asi , f ∈ L∞ si f ∈ C∞ y Dαf ∈L2 para todo α. Sobre L∞ consideramos la topología límite proyectiva, esto


¡RN¢[Ó WK,P

¡RN¢]

es, la topología mas fina para la cual las inyecciones L∞ → Ls son continuas,esto es, si las aplicaciones

L∞ −→ L2

f 7−→ Dαf

son continuas.

Nota: algunas veces los espacios L∞ son designados con DL2 . Se verificaque S ⊂ L∞ ⊂ Ls, donde las inyecciones son continuas y S es denso en L∞.

Definición 4.14

H−∞ =[s

Ls ó L−∞ =[s

Ls.

L−∞ es provista de la topología límite inductiva de las topologías de Ls.(En general se tiene la definición:“para cada α sea la aplicación lineal φα :Eα → E tal que E =

Sαφα (Eα). Supongamos que todos los Eα son espacios

localmente convexos. Entonces, podemos definir sobre E la topología masfina tal que todas las aplicaciones φα son continuas”.)

De la definición se tiene:

(i) Las inyecciones Ls → L−∞ son continuas;

(ii) L−∞ ⊂ S0 (desde que Ls ⊂ S0, luego ∪Ls ⊂ S0);

(iii) La inyección L−∞ → S0 es continua.

Conclusión: Tenemos la cadenaD ⊂ S ⊂ H∞ ⊂ HS1 ⊂ HS2 ⊂ H−∞ ⊂ S0 ⊂ D0 , s2 ≤ s1, donde las

inyeccione son continuas, y D es denso en cada espacio.

Corolario 4.5

(H∞)0 = H−∞ y¡H−∞¢0 = H∞.

Teorema 4.18 Sea ψ ∈ S, f ∈ Ls, entonces

(a) ψ ∗ f ∈ L∞

(b) La aplicaciónLs −→ L∞f 7−→ ψ ∗ f es continua


Prueba.Debemos probar que para cualquier s real, tenemos que ψ ∗ f ∈ Ls0 , con

s0 ≥ s y que la aplicación f → ψ ∗ f es continua de Ls a Ls0 .En efecto,°°°°°³1 + |x|2´ s0

2(ψ ∗ f)∧

°°°°°2

=

°°°°°³1 + |x|2´ s02ψf

°°°°°2

=

°°°°°³1 + |x|2´ s2f³1 + |x|2

´ s0−s2

ψ

°°°°°2

≤ max

¯¯³1 + |x|2´ s0−s

2ψ

¯¯°°°°³1 + |x|2´ s

2f

°°°°2

≤ C kfks .

Luego f → ψ ∗ f es continua de Ls a Ls0 . Además, ψ ∗ f ∈ L∞ desde queψ ∗ f ∈ Ls para todo s.

¥

Proposición 4.4 Sea ϕm una sucesión de funciones en D tal que

ϕm ≥ 0,Z

ϕm = 1 y lım(|sop ϕm|) = 0,

Entonces,si f ∈ Ls tenemos ϕm ∗ f → f en Ls .

Teorema 4.19 Sea ψ ∈ S, f ∈ Ls. Entonces, ψf ∈ Ls y la aplicaciónLs −→ Ls

f 7−→ ψfes continua.

PruebaObservemos que S ⊂ OM , donde

OM =

½h ∈ C∞ (Rn) /

S0 −→ S0 ⊂ D0

f 7−→ hfes una aplicación lineal continua

¾=

½h ∈ C∞ (Rn) /

S −→ S ⊂ C∞

ϕ 7−→ ϕhes una aplicación lineal continua

¾.

Entonces, ψf ∈ S0. Además,³1 + |x|2

´ s2(ψf)∧ =

³1 + |x|2

´ s2³ψ ∗ f

´=

Z ³1 + |x|2

´ s2ψ (η) f (x− η) dη.


¡RN¢[Ó WK,P

¡RN¢]

Ahora establecemos el siguiente objetivo:

existe C > 0 tal que³1 + |x|2

´ s2 ≤ C

³1 + |η|2

´ s2³1 + |x− η|2

´ s2 (4.26)

En efecto,• Caso s ≥ 0. Tenemos |x| ≤ |η|+ |x− η| .

(·) Si |η| ≥ |x− η|, entonces |x| ≤ 2 |η| y³1 + |x|2

´ s2 ≤ C

³1 + |η|2

´ s2 ;

para obtener (4.26) consideramos que 1 ≤³1 + |x− η|2

´ s2.

(·) Si |η| ≤ |x− η|, entonces |x| ≤ |x− η|+ |η| ≤ 2 |x− η|; además,³1 + |x|2

´ s2 ≤

³1 + 4 |x− η|2

´ s2

≤ C³1 + |x− η|2

´ s2;

nuevamente consideremos que 1 ≤³1 + |η|2

´ s2. Luego, tendremos

(4.26) si s ≥ 0.

• Caso s = −t, t ≥ 0. En este caso, (4.26) puede ser escrito en la forma

1³1 + |x|2

´ t2

≤ C³1 + |x|2

´ t2

.³1 + |η|2

´− t2,

el cual es equivalente a:

³1 + |x− η|2

´ t2 ≤ C

³1 + |x|2

´ t2.³1 + |η|2

´ t2.

(Llamando x− η = x1, x− x1 = η y

³1 + |x1|2

´ t2 ≤ C

³1 + |x|2

´ t2.³1 + |x− x1|2

´ t2 ).

La última desigualdad es quivalente a (4.26) en el caso probado.Por otro lado, tenemosZ ³

1 + |η|2´ s2¯ψ (η)

¯ ³1 + |x− η|2

´ s2¯f (x− η)

¯dη

=³1 + |x|2

´ s2¯ψ (x)

¯∗³1 + |x|2

´ s2¯f (x)

¯.

Finalmente, de todo esto tenemos,

kψfks =

µZ ³1 + |x|2

´s ¯(ψf)∧

¯2dx

¶12

=

ÃZ ¯³1 + |x|2

´ s2(ψf)∧

¯2dx

! 12

=

°°°°³1 + |x|2´ s2(ψf)∧

°°°°2

=

°°°°³1 + |x|2´ s2³ψ ∗ f

´°°°°2

≤ C

°°°°³1 + |x|2´ s2¯ψ (x)

¯∗³1 + |x|2

´ s2¯f (x)

¯°°°°2

≤ C

°°°°³1 + |x|2´ s2¯ψ (x)

¯°°°°1

°°°°³1 + |x|2´ s2¯f (x)

¯°°°°2

= C

°°°°³1 + |x|2´ s2¯ψ (x)

¯°°°°1

. kfks

= C1 kfks

¥

Teorema 4.20 Sea D =P

|α|≤maαD

α un operador diferencial de grado m

con aα ∈ S. Entonces la aplicaciónLs −→ Ls−mf 7−→ Df

es continua.

Prueba

Considere el teorema 4.19 y queLs −→ Ls−|α|f 7−→ Dαf

es continua.

¥

4.7.2. Caso Particular: Los Espacios Lp−k

Por ser de particular interés, consideremos el caso particular s = k, con kun entero positivo. En este caso remarcamos que, si 1 < p <∞, Lp

s coincidecon Lp

k. Por otro lado, Lp es un espacio de Banach reflexivo y por tanto

la imagen isomórfica Lps = Js (Lp) debe ser también un espacio reflexivo,

1 < p <∞, s real. Además, por el teorema 4.9 de 4.4.3, sabemos que el dualde Lp

s puede ser identificado con el espacio Lp0

−s, p0 = p

p−1 . Asi, en particular,

el espacio Lp−k puede ser identificado con el dual del espacio de Sobolev L

p0

k .Este resultado es algunas veces tomado como la definición de los espaciosLp−k, 1 < p <∞, k ∈ Z+.

¡RN¢[Ó WK,P

¡RN¢]

Definición 4.15 Lp−k =

³Lp0

k

´0, donde 1 0 entero. Entonces

g ∈ Lp−k ⇐⇒ g =

X|α|≤k

Dαgα

para algún gα ∈ Lp, donde Dα es en el sentido de las distribuciones.

Prueba(⇐) Si

g =X|α|≤k

Dαgα, gα ∈ Lp,

entonces g ∈ Lp−k (gα ∈ Lp implica Dαgα ∈ Lp

−|α| ⊂ Lp−k, luego g =P

Dαgα ∈ Lp−k).

(⇒) Por el teorema 4.9 de 4.4.3, podemos considerar cualquier g ∈ Lp−k

como una funcional lineal, acotada g (f) = hf, gi, f ∈ Lp0

k . Consideremos elespacio producto

Q|α|≤k

Lp0 con la norma

|h| =

⎛⎝X|α|≤k

khαk2p0

⎞⎠ 12

, donde h = (hα)|α|≤k .

Luego la aplicación f → (Dαf)|α|≤k nos da una inmersión isométrica de Lp0

k

enQ|α|≤k

Lp0 ; entonces, por el teorema de Hahn-Banach, podemos extender

g ∈ Lp−k continuamente a una funcional lineal continua g sobre

Q|α|≤k

Lp0 .

Desde que el dual de este espacio producto es el espacio productoQ|α|≤k

Lp

(esto es, g ∈³Q

Lp0´0=Q

Lp ), tenemos que g = (gα)|α|≤k, gα ∈ Lp.

Ahora, para todo f ∈ Lp0

k tenemos:

hf, gi = hf, gi =X|α|≤k

hDαf, gαi

=X|α|≤k

Df, (−1)|α|Dαgα

E

=

*f,X|α|≤k

Dα (−1)|α| gα

+.

Por lo tanto,

g =X|α|≤k

Dαgα , donde gα = (−1)|α| gα ∈ Lp.

¥Nota. En la prueba del teorema 4.21 es útil considerar el

Lema 4.4 “ Sea k ∈ Z+, E = [Lp (Ω)]k = Lp (Ω) × . . . × Lp (Ω), k veces,con la norma

kwkpE =kXi=1

kwikpp , w = (w1, . . . , wk) .

Entonces

f ∈ (E)0 ⇐⇒ ∃ f1, . . . , fk ∈ (Lp (Ω))0 tal que

hf, wi =kXi=1

ZΩfi (x)wi (x) dx, ∀w ∈ E”.

4.7.3. El Operador Transpuesto T 0 de T .

Definición 4.16 Sea 1 < p, q < ∞ y s, t números reales arbitrarios. Dadoel operador lineal acotado T : Lp

s → Lqt definimos su transpuesto T 0 :

Lq0

−t → Lp0

−s siendo el operador lineal acotado inducido sobre los espacios

dual, dado por hTf, gi = hf, T 0gi, para todo f ∈ Lps y todo g ∈ Lq

0

−t.

Como es bien conocido, T y T 0 tienen la misma norma.Si s ≥ 0 y a ∈ Rn, recalcamos que el operador translación τa es definido

sobre Lps vía [τaf ] (x) = f (x− a).

Si f ∈ Lp−s, definimos τaf como el elemento de L

p−s dado por

hτaf, gi = hf, τ−agi ,

para todo g ∈ Lp0s .

¡RN¢[Ó WK,P

¡RN¢]

Nota: Ambas definiciones coinciden cuando s = 0.

Similarmente, si f ∈ Lps, s ≥ 0, definimos el operador ρ vía

[ρf ] (x) = f (−x) .

Si f ∈ Lp−s definimos ρf siendo el elemento de L

p−s dado por

hρf, gi = hf, ρgi , para todo g ∈ Lp0s .

El operador diferenciación Dj (en el sentido de las distribuciones) esdefinido sobre todos los espacios Lp

s, desde que, como sabemos, Lps ⊂ S0.

También, por el lema 4.3, si 1 < p <∞, entonces Dj : Lps → Lp

s−1 es unoperador lineal acotado. Para todo f y g en D, hemos visto que integrandopor partes obtenemos

hDjf, gi = hf,−Djgi .De un modo mas general, desde que D es denso en todo Lp

s, 1 < p <∞, laprecedente fórmula es también cierta, por continuidad, para todo f ∈ Lp

s y

todo g ∈ Lp0

1−s.

Conclusión: La transpuesta de Dj es −Dj y en general, la transpuesta deDα es (−1)−|α|Dα.

Recalcamos que si 1 ≤ p ≤ ∞, para todo real s ≥ 0 tenemos queJs = F−1d (ξ)−1 F es una aplicación lineal continua de Lp en Lp, la cual estambién bien definida sobre S0.

Si 1 < p < ∞, cualquier operador convolución singular K dá una apli-cación lineal, continua K : Lp −→ Lp, y además, sobre S, K : S → S0 puedeser expresado en la forma K = F−1h (ξ)F , donde si k es el núcleo de K, setiene h = F (v.p.k) ≡ [v.p.k]∧ es una función acotada.

Teorema 4.22 Sean 1 < p < ∞, s ≥ 0. Si K es un operador convoluciónsingular, entonces:

(a) KJs = JsK sobre Lp,

(b) K : Lps −→ Lp

s es un operador lineal acotado con norma kKks ≤ kKk,donde kKk es la norma de K como un operador sobre Lp.

Prueba

(a) Sea h = F (v.p.k), donde k es el núcleo de K; desde que Js : S → S yK = F−1h (ξ)F sobre S, tenemos que para todo f ∈ S,

KJsf = KF−1d (ξ)−s f = F−1h (ξ) d (ξ)−s f

=¡F−1d (ξ)−s F

¢ ¡F−1h (ξ)F

¢f

= JsKf.

Desde que S es denso en Lp, y ambos Js yK son aplicaciones continuasde Lp en Lp, se tiene que:

KJsf = JsKf , para todo f ∈ Lp.

(b) Como s ≥ 0, Lps ⊂ Lp y K es definido sobre Lp

s. Si f ∈ Lps, entonces

f = Jsg, donde g ∈ Lp y kgkp = kfkp,s.Luego, usando (a) obtenemos,

kKfkp,s = kKJsgkp,s = kJsKgkp,s = kKgkp ≤ kKk kgkp = kKk kfkp,s .

¥

Lema 4.5 Sean 1 < p < ∞ y K : Lp → Lp un operador convoluciónsingular, con núcleo k (x). Entonces, la transpuesta K 0 : Lp0 → Lp0 estambién un operador convolución singular, con núcleo (ρk) (x) = k (−x).

En particular, K 0 = K si k (x) es una función par, y K 0 = −K si k (x)es impar.

PruebaPor definición, hf,K 0gi = hKf, gi, ∀f ∈ Lp y g ∈ Lp

0. Por la continuidad

de K y K 0 es suficiente considerar f y g en D. Entonces, si

kε (x) =

⎧⎨⎩k (x) . . . si ε < |x| < 1

ε

0 . . . complemento

tendremos

hKf, gi = lımε→0

hkε ∗ f, gi = lımε→0

Z ∙Zkε (x− y) f (y) dy

¸g (x) dx

= lımε→0

Zf (y)

∙Zkε (x− y) g (x) dx

¸dy

= lımε→0

hf, ρkε ∗ gi .

¥

Teorema 4.23 Sean 1 0. Cualquier operador convoluciónsingular K : Lp → Lp, con norma kKk, puede ser extendido unívocamentea una aplicación lineal continua Lp

−s → Lp−s, con norma menor o igual a

kKk.

PruebaDesde que K : Lp → Lp es acotada, asi lo es también su transpuesta

K 0 : Lp0 → Lp0y kK 0k = kKk. Por el Lema 4.5 K 0 es también un operador

¡RN¢[Ó WK,P

¡RN¢]

convolución singular; luego el teorema 4.22 implica que K 0 : Lp0s → Lp0

s esacotado con norma kK 0ks ≤ kK 0k .

Sea K la transpuesta de la restricción de K 0 a Lp0s . Entonces, K : Lp

−s →Lp−s es acotado con norma°°°K°°° = °°K 0°°

s≤°°K 0°° = kKk .

Además, para todo f ∈ Lp y g ∈ Lp0s , el cual es denso en Lp0 , tenemos por

definición de K que DKf, g

E=f,K 0g

®= hKf, gi .

Luego K = K sobre Lp.Desde que Lp es denso en Lp

−s y K es continua sobre Lp−s se tendrá que

esta extensión es única.¥

Teorema 4.24 Sean 1 < p, q <∞ y k ∈ Z+. Si T : Lp → Lp es un operadorlineal acotado, el cual conmuta con translaciones, entonces T tiene unaúnica extensión acotada T : Lp

−k → Lq−k, el cual conmuta con translaciones

y con diferenciaciones. Además,°°°T°°° ≤ kTk.

PruebaLa transpuesta T 0 : Lq0 → Lp0 es acotada con kT 0k = kTk y conmuta

con translaciones. En efecto, para todo f ∈ Lp y g ∈ Lq0 ,f, T 0τag

®= hτ−aTf, gi = hTτ−af, gi =

f, τaT

0g®,

desde que T conmuta con translaciones.Luego, T 0 : Lq0

k → Lp0

k es acotado con norma kT 0kk ≤ kT 0k y conmutacon diferenciaciones.

Sea T la transpuesta de la restricción de T 0 a Lq0

k . Entonces, T : Lp−k →

Lq−k es acotado con norma°°°T°°° = °°T 0°°k ≤ °°T 0°° = kTk ,y por el previo argumento, T conmuta con translaciones.

Verifiquemos que T conmuta con diferenciaciones. Para todo f ∈ Lp1−k

y g ∈ Lq0

k , el cual es denso en Lq0

k−1, tenemosDTDjf, g

E=

Djf, T

0g®= −

f,DjT

0g®

= −f, T 0Djg

®=DDjT f, g

E,

desde que T 0 conmuta con diferenciaciones.El resto de la prueba sigue como en el teorema 4.23.

¥

4.8. OPERADORES INVARIANTES POR TRANSLACIONES. 173

4.8. OPERADORES INVARIANTES PORTRANSLA-CIONES.

4.8.1. Generalidades. Lema de Sobolev.

Diremos que un operador lineal acotado T : Lp → Lq es invariante portranslaciones si T conmuta con translaciones. Los dos lemas siguientes,debidos a L. Hörmander (1960), demuestran que:

(i) tales operadores, los cuales son no triviales, existen solamente si p ≤ q,y

(ii) ellos son esencialmente convoluciones.

Teorema 4.25 Sean 1 ≤ p, q < ∞ y T : Lp → Lq un operador linealacotado, invariante por translaciones. Si p > q, entonces T = 0.

Para la prueba del teorema necesitamos del

Lema 4.6 Si u ∈ Lr, 1 ≤ r <∞, entonces

ku+ τaukr → 21r kukr , si |a|→∞.

Prueba del Lema 4.6Dado cualquier ε > 0, podemos escribir u = v + w. donde v ∈ D y

kwkr < ε. Desde que para todo |a| suficientemente grande los soportes de vy de τav son disjuntos, tenemos que

kv + τavkr = 21r kvkr , si |a| es grande. (4.27)

Ahora, desde que

w + τaw = (u+ τau)− (v + τav) y kτawkr = kwkr < ε,

tendremos

|ku+ τaukr − kv + τavkr | ≤ kw + τawkr ≤ 2 kwkr < 2ε.

Luego por (4.27) ¯ku+ τaukr − 2

1r kvkr

¯≤ 2ε

si |a| es grande. Por lo tanto, desde que

|kvkr − kukr | ≤ kwkr < ε,

tenemos¯ku+ τauk− 2

1r kukr

¯≤¯ku+ τaukr − 2

1r kvkr

¯+ 2

1r ε ≤ 4ε,

¡RN¢[Ó WK,P

¡RN¢]

para |a| grande.¥

Ahora probaremos el teorema.Sabemos que C = kTk es el mas pequeño número real tal que

kTfkq ≤ C kfkp , ∀f ∈ Lp (4.28)

Además, desde que T es lineal e invariante por translaciones,

kTf + τaTfkq = kT (f + τaf)kq ≤ C kf + τafkp .

Luego, si |a|→∞ y usando el lema, obtenemos

kTfkq ≤ 21p−1qC kfkp , con C ≥ 0.

Pero, si 1 ≤ q 0 obtendríamos

C21p−1q < C,

lo que contradice (4.28).Por tanto, si p > q debemos tener C = kTk = 0, esto es, T = 0.

¥

Lema 4.7 [Sobolev] Sea la función v definida sobre Rn tal que Dαv ∈Lploc (R

n), ∀ |α| ≤ n, 1 ≤ p ≤ ∞. Entonces, después de una correción sobreun conjunto de medida cero, v es continua y para cierta constante C > 0,

|v (x)| ≤ CX|α|≤n

ÃZ|y−x|≤1

|Dαv|p dy! 1

p

.

PruebaDesde que, por la desigualdad de Hölder, funciones las cuales son local-

mente en Lp son localmente en L1, esto es, Lploc ⊂ L1loc, y para cualquier

compacto K tenemosZK|Dαv| dy ≤ |K|

p−1p

µZK|Dαv|p dy

¶ 1p

,

es suficiente probar el lema para el caso p = 1.Sea Qn = x = (r1, r2, . . . , rn) / ri es racional. Fijemos un punto x ∈

Qn y sea w = uv, donde u (y) es una función en D, u = 1 en una vecindadde x, y anúlase si |y − x| > 1.

4.8. OPERADORES INVARIANTES POR TRANSLACIONES. 175

Si H (t) es la función de Heaviside, esto es,

H (t) =

⎧⎨⎩1 . . . t > 0

0 . . . t < 0,

pongamos h (y) = H (y1) . . .H (yn). A fin de simplificar la notación, pong-amos

∂n =∂

∂yn· · · ∂

∂y1.

Entonces, en el sentido de las distribuciones, ∂nh = δ (δ es la distribuciónde Dirac) y

w = w ∗ δ = w ∗ ∂nh = ∂nw ∗ h.

Desde que w tiene soporte compacto sigue que, por hipótesis, ∂nw esintegrable. Luego, desde que h es acotado, el teorema dominado de Lebesgueimplica que la convolución ∂nw ∗ h es una función continua.

Luego, como una función, w coincide con ∂nw ∗ h casi en todas partes,luego, corrigiendo sobre un conjunto de medida cero, podemos considerar wcomo una función continua.

Por lo tanto, sobre una vecindad de x, v = w es continua. Si ahora xvaría sobre Qn, deducimos que (luego de una corrección sobre un conjuntode medida cero) v es una función continua en todas partes.

Además,

v (x) = w (x) =

Z|y−x|≤1

∂nw (y)h (x− y) dy,

luego, desde que |h (y)| ≤ 1, obtenemos (usando la fórmula de Leibniz)

|v (x)| ≤Z|y−x|≤1

|∂nw| dy ≤ CX|α|≤n

Z|y−x|≤1

|Dαv| dy.

¥

4.8.2. El Teorema de Hörmander.

Teorema 4.26 [Hörmander] Sea 1 ≤ p, q < ∞ y T : Lp → Lq un oper-ador lineal acotado, invariante por translaciones. Entonces, existe un únicof ∈ Lp0

−n tal queTu = f ∗ u, ∀u ∈ S.

PruebaSabemos que T conmuta con diferenciaciones y que T : Lp

n → Lqn es un

operador acotado. Si u ∈ Lpn, entonces Tu ∈ Lq

n

¡⊂ Lq

loc

¢; luego, por el lema

¡RN¢[Ó WK,P

¡RN¢]

4.7, deducimos (luego de una corrección sobre un conjunto de medida cero)que Tu es una función continua y que

|[Tu] (0)| ≤ CX|α|≤n

kDαTukq ≤ C1X|α|≤n

kDαukp .

Este resultado prueba que [Tu] (0) es una funcional lineal, continua, sobreLpn; luego, por el teorema de Riesz, existe un único g ∈ Lp0

−n tal que [Tu] (0) =hu, gi.

Definamos f vía: g = ρf , donde ρf (x) = f (−x). Luego, en particular,para todo u ∈ S,

hu, gi = hu, ρfi = hρu, fi =Z

f (y)u (−y) dy.

Por lo tanto, [Tu] (0) = (f ∗ u) (0), ∀u ∈ S.En vista de la invarianza por translaciones de ambos lados de esta fór-

mula, concluimos que

[Tu] (x) = (f ∗ u) (x) , ∀x ∈ Rn , ∀u ∈ S.

¥Finalmente, del lema 4.7, tenemos el

Corolario 4.6 Sea 1 ≤ p ≤ ∞. Entonces, f ∈ Lp∞ ⇐⇒ f coincide, casi en

todas partes, con una función C∞ tal que f y todas sus derivadas pertenecena Lp.

4.9. REFLEXIVIDAD DE LOS ESPACIOS DESOBOLEV.


El objetivo es probar que los espacios Lpk (D), 1 < p < ∞, D es un

dominio en Rn, son espacios reflexivos. Recordemos que:

(i) los espacios Lp, 1 < p <∞, son reflexivos.

(ii) Teorema de Alaoglu-Bourbaki: “ Un espacio de Banach E esreflexivo si y solo si toda sucesión acotada de vectores en E tiene unasubsucesión, la cual es débilmente convergente”.

Teorema 4.27 Si 1 < p < ∞, entonces Lpk (D) es un espacio de Banach

reflexivo.

Nota. Remarcamos que, en particular D = Rn

Prueba

4.9. REFLEXIVIDAD DE LOS ESPACIOS DE SOBOLEV. 177

• Sea (um)m∈N una sucesión acotada de vectores en Lpk (D) (esto

es, existe M > 0 tal que kumkp,k ≤ M). Luego, para todo |α| ≤ k,(Dαum)m∈N es acotada en Lp (D).

Además, desde que Lp (D) es reflexivo, existe una subsucesión (u0m) de(um) débilmente convergente. Entonces (D1u

0m) es acotada en L

p (D).Luego existe también una subsucesión (u00m) de (u

0m) tal que (D1u

00m)

es débilmente convergente.

Y asi podemos continuar... y obtenemos una sucesión (vm) de (um) yuna función vα ∈ Lp (D) tal que (Dαvm) es débilmente convergente(en Lp) a vα.

Esto significa que para cada |α| ≤ k y w ∈ Lq (D) (dual de Lp (D))tenemos

lımm→∞

ZDDαum (x)w (x) dx =

ZDvα (x)w (x) dx ,

1

p+1

q= 1 (4.29)

Consideremos ahora v = v(0,...,0). De (4.29) obtenemos Dαv = vα en elsentido de las distribuciones

[hDαv, wi = (−1)|α| hv,Dαwi= (−1)|α|

v(0,...,0),D

αw®

= lım(−1)|α| hum,Dαwi= lım hDαum, wi= hvα, wi].

• (vm)→ v débilmente en Lpk (D) .

En efecto, sea T una forma lineal, continua definida sobre Lpk (D).

Es conocido que: ¿ si T ∈¡Lpk (D)

¢0, entonces existen funcionesgα ∈ Lq (D) = (Lp (D))0 , |α| ≤ k,

tal que

hT, ui =X|α|≤k

ZDgα (x)D

αu (x) dx, ∀ u ∈ Lpk (D)À .

Entonces

lımm→∞

hT, vmi =X|α|≤k

ZDgα (x) vα (x) dx

=X|α|≤k

ZDgα (x)D

αv (x) dx

= hT, vi .


¡RN¢[Ó WK,P

¡RN¢]

¥

Corolario 4.7

H−k (D) = L2−k (D)

=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩f ∈ D0 / f =

X|α|≤k

Dαfα, fα ∈ L2 (D)

| z [∗]

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭Corolario 4.8

L2 (D) ⊂ L2−k (D) , con inmersión continua.

PruebaSea f ∈ L2 (D). Considerando fα = f si α = (0, . . . , 0) y fα = 0 si α 6= 0,

vemos que f es de la forma [∗]. Luego, f ∈ L2−k (D). Además

|hf, ϕi| = |hf, ϕi0| ≤ kfk0 kϕk0≤ kfk0 kϕkk , ∀ϕ ∈ D (D) .

Entonces,|hf, ϕi| ≤ C kϕkk , ∀ϕ ∈ L2k,0 ,

esto es,kfk−k ≤ kfk0 ≡ C.

(Remarquemos que L2−k =¡L2k¢0; luego, si f ∈ L2−k , f es una funcional

lineal continua sobre L2k. Luego, ∀ϕ ∈ D (D),

|hf, ϕi| ≤ kfk0 kϕk0 ≤ kfk0 kϕkk .

Entonces, kfk−k = supkϕkk≤1

|hf, ϕi| ≤ kfk0).

4.10. INMERSIONES DE Lpk (D). (D ⊂ Rn) .

4.10.1. Caso n = 1

El objetivo de esta sección es ver algunas relaciones entre espacios deSobolev y ciertos clásicos espacios de funciones. También se verá cierta reg-ularidad de los elementos de Lp

k (D), es decir, para k suficientemente grande,los elementos de Lp

k (D) tienen ciertas naturales derivadas.Comenzaremos con el casoD = I = ]a, b[, acotado o no acotado. Mayores

detalles pueden ser encontrados, por ejemplo, en [BREZ], [KES].

4.10. INMERSIONES DE LPK (D).

¡D ⊂ RN

¢. 179

Teorema 4.28 Sea I ⊂ R un intervalo abierto; si u ∈ Lp1 (I), entonces

existe u ∈ C (I) tal que u = u c.t.p. I.Es decir, tenemos la inmersión de Lp

1 (I) en C (I).

PruebaUsaremos los siguientes lemas (ver [BREZ]).

Lema 4.8 Sea f ∈ L1loc (I) tal queRfϕ0 = 0, ∀ ϕ ∈ C10 (I). Entonces existe

C > 0 constante tal que f = C c.t.p I.

Lema 4.9 Sea g ∈ L1loc (I). Para x0 ∈ I fijo, sea

v (x) =

Z x

x0

g (t) dt , x ∈ I.

Entonces v ∈ C (I) yRI vϕ

0 = −RI gϕ, ∀ ϕ ∈ C10 (I) .

Veamos al Teorema. Fijemos x0 ∈ I y sea u (x) =

Z x

x0

u0 (t) dt. Por el

lema 4.9, u ∈ C (I) yZIuϕ0 = −

ZIu0ϕ , ∀ϕ ∈ C10 (I) .

Integrando por partes obtenemosZ(u− u)ϕ0 = 0 ∀ϕ ∈ C10 (I) .

Luego, por el Lema 4.8 u = u+ c c.t.p. Es decir, u ∈ C (I).¥

Observación: Si u = u+ c, tendremos u = u c.t.p. y para todo x, y ∈ I :

u (x)− u (y) = u (x)− u (y)

=

Z x

x0

u0 (t) dt−Z y

x0

u0 (t) dt

=

Z x

x0

u0 (t) dt+

Z x0

yu0 (t) dt

=

Z x

yu0 (t) dt.

Teorema 4.29 Si 1 ≤ p ≤ ∞, tenemos Lp1 (I) ⊂ L∞ (I) , donde la inclusión

es continua. Es decir, existe C > 0 tal que

kukL∞(I) ≤ C kukLp1(I) , ∀u ∈ Lp1 (I) .

¡RN¢[Ó WK,P

¡RN¢]

Nota. Basta asumir 1 ≤ p <∞.

PruebaPodemos asumir I = R haciendo uso del operador prolongación: ¿ sea

1 ≤ p ≤ ∞; entonces existe un operador prolongación P : Lp1 (I) −→ Lp

1 (R)lineal, continuo, tal que Pu = u, ∀u ∈ Lp

1 (I) ;

kPukLp(R) ≤ C kukLp(I) y kPukLp1(R) ≤ C kukLp1(I) , ∀u ∈ Lp1 (I) À .

Caso u ∈ C10 (R). Sea G (y) = |y|p−1 y. Entonces

w = G (u) = |u|p−1 u ∈ C10 (R) ,

donde

|u|p−1 u =

⎧⎨⎩up

−up.

Además, w0 = G0 (u)u0 = p |u|p−1 u0. Luego,

G (u (x)) =

Z x

−∞p |u (t)|p−1 u0 (t) dt, ∀x ∈ R.

Entonces,

|u (x)|p ≤ p kukp−1Lp

°°°u0°°°Lp

. (4.30)

En efecto,

|u (x)|p = |u (x)|p−1 |u (x)| = |Gu (x)|

=

¯Z x

−∞p |u (t)|p−1

¯u0 (t)

¯dt

¯≤ p

¯Z ∞

−∞|u (t)|p−1

¯u0 (t)

¯dt

¯≤ (usando Hölder)

≤ p

µZ ∞

−∞|u (t)|(p−1)p0 dt

¶ 1p0µZ ∞

−∞

¯u0 (t)

¯pdt

¶ 1p

,

donde1

p0=

p− 1p

, (p− 1) p0 = p. Luego

|u (x)|p ≤ p

µZ ∞

−∞|u (t)|p dt

¶ p−1p °°u0°°

Lp

= p kukp−1Lp

°°u0°°Lp

,

que es (4.30)

¡D ⊂ RN

¢. 181

Ahora usamos el resultado: “si a ≥ 0 , b ≥ 0, entonces

ab ≤ ap0

p0+

bp

p, con

1

p+1

p0= 1 ”

para obtener (considerando p1p ≤ e

1e = c)

|u (x)| ≤ p1p kuk

p−1p

Lp

°°u0°° 1pLp≤ C

⎛⎝kuk p−1p p0

Lp

p0+ku0k

pp

Lp

p

⎞⎠≤ C

¡kukLp +

°°u0°°Lp

¢= C kukLp1 .

Luego,

kukL∞ = supx∈R

|u (x)| ≤ C kukLp1 , ∀ u ∈ C10 (R) . (4.31)

Caso General. Sea u ∈ Lp1 (R); por densidad existe (un) en C10 (R) tal que

un → u en Lp1 (R). Luego (un) es Cauchy en Lp

1 (R); pero, por (4.31).

kun − umkL∞(R) ≤ C kun − umkLp1(R) ,

es decir, (un) es Cauchy en L∞ (R); luego existe u∈ L∞ (R) tal que un → uen L∞ (R). Tomando límite en kunkL∞ ≤ C kunkLp1 , obtenemos la tesis. ¥

Nota: La constante en el teorema 4.29 depende solamente de la longitud|I| ≤ ∞. Cuando |I| <∞, la inyección Lp

1 (I) ⊂ C (I) es compacta, 1 < p ≤∞, y la inyección L11 (I) ⊂ Lq (I) es compacta, 1 ≤ q <∞.

Corolario 4.9 Si I es no acotado y u ∈ Lp1 (I), 1 ≤ p <∞, entonces

lım|x|→∞

u (x) = 0, x ∈ I.

PruebaPor probar:

supx∈I

|u (x)| < ε, para ε > 0 dado.

Usamos el siguiente:

Teorema 4.30 “Si u ∈ Lp1 (I), 1 ≤ p <∞, entonces existe (un) en C∞0 (R)

tal que un |I→ u en Lp1 (I).” (ver [BREZ].)

¡RN¢[Ó WK,P

¡RN¢]

Por este resultado, existe (un) en C10 (R) (propiedad de densidad) tal queun |I→ u en Lp

1 (I). Pero, el teorema 4.29 dice:

kukL∞(I) ≤ C kukLp1(I)

y por tantokun − ukL∞(I) ≤ C kun − ukLp1(I) → 0.

Asi, dado ε > 0 escogemos n suficientemente grande tal que kun − ukL∞(I) <ε, esto es,

supx|un (x)− u (x)| < ε.

Pero si |x| es grande, un (x) = 0 (dado que un ∈ C10 (I)). Luego, |u (x)| < ε.Es decir,

kukL∞(I) = sup |u (x)| < ε.

¥

4.10.2. Caso Rn.

Notación. En lo siguiente usaremos la norma

kukLpm(D) =X|α|≤m

kDαukLp(D)

y la seminorma|u|Lpm(D) =

X|α|=m

kDαukLp(D) .

Si u ∈ Lpm,0 (D), entonces | . |Lpm(D) es equivalente a k . kLpm(D).

Sea el espacio Lp1 (D), donde D es un conjunto abierto en Rn. En el

estudio de la inmersión entre esos espacios de Sobolev hay que destacartres casos:

p < n , p = n , y p > n.

Caso 1 ≤ p < n. Definamos el exponente q vía:

1

q=1

p− 1

n(ó equivalentemente q =

np

n− p).

Observemos que p < q. Un objetivo es probar que Lp1 (Rn) está inmerso

en Lq (Rn) (desigualdad de Sobolev). Para ello necesitamos el siguienteresultado, debido a Gagliardo.

Lema 4.10 Sea n ≥ 2 y f1, . . . , fn ∈ Ln−1 ¡Rn−1¢. Para x ∈ Rn, pongamosxi = (x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . xn) ∈ Rn−1, i = 1, . . . , n. Si ponemos

f (x) = f1 (x1) . . . fn (xn) ,

¡D ⊂ RN

¢. 183

entonces

f ∈ L1 (Rn) y kfkL1(Rn) ≤nYi=1

kfikLn−1(Rn−1) .

Teorema 4.31 (Desigualdad de Sobolev). Sea 1 ≤ p < n. Entoncesexiste una constante C = C (p, n) > 0 tal que

kukLq(Rn) ≤ C |u|Lp1(Rn) , ∀u ∈ Lp1 (R

n) (4.32)

Nota. Se tiene la inclusión continua Lp1 (Rn)→ Lq (Rn).

PruebaCaso u ∈ D (Rn) .

• Verifiquemos en primer lugar (caso p = 1) que

kukL

nn−1 (Rn)

≤nYi=1

°°°° ∂u∂xi°°°° 1n

L1(Rn)(4.33)

En efecto, desde que u ∈ D (Rn) (tiene soporte compacto),∂u

∂xies

integrable y tenemos

|u (x)| ≤Z ∞

−∞

¯∂u

∂xi(x1, . . . , xi−1, xt, xi+1, . . . , xn)

¯dt ≡ fi (xi) .

Así,

|u (x)|n ≤nYi=1

|fi (xi)|

ó equivalentemente

|u (x)|n

n−1 ≤nYi=1

|fi (xi)|1

n−1 .

Observemos que

|fi|1

n−1 ∈ Ln−1 ¡Rn−1¢ , i = 1, . . . , n.Ahora aplicamos el lema 4.8 para obtenerZ

Rn|u|

nn−1 ≤

nYi=1

kfik1

n−1L1(Rn) =

nYi=1

°°°° ∂u∂xi°°°° 1n−1

L1(Rn).

Elevando a la potencia n−1n , tendremos (4.33):

kukL

nn−1 (Rn)

≤nYi=1

°°°° ∂u∂xi°°°° 1n

L1(Rn).

¡RN¢[Ó WK,P

¡RN¢]

• Verifiquemos (4.32) para u ∈ D (Rn).

En efecto, sea t ≥ 1 un número real (que definiremos después, segúnlas exigencias del teorema) y sea la función |u|t−1 u (la que tienesoporte compacto); además,

∂

∂xi

³|u|t−1 u

´= t |u|t−1 ∂u

∂xi

(así |u|t−1 u es continuamente diferenciable). Ahora la idea es aplicar(4.33) a |u|t−1 u para obtenerse

kuktL

tnn−1 (Rn)

≤ tnYi=1

°°°°|u|t−1 ∂u

∂xi

°°°° 1nL1(Rn)

.

Usando Hölder³1p +

1p0 = 1, de donde p

0 = pp−1

´se obtiene

kuktL

tnn−1 (Rn)

≤ t kukt−1Lp

0(t−1)(Rn)

nYi=1

°°°° ∂u∂xi°°°° 1n

Lp(Rn). (4.34)

Ahora escogemos t como aquel real que satisface

tn

n− 1 = p0 (t− 1) .

Despejando t se obtiene

t =n− 1np − 1

=

µn− 1n

¶µnp

n− p

¶≡µn− 1n

¶q

(definición de q).

Desde que p < n, t ≥ 1.Llevando t a (4.34) obtenemos

kukLq(Rn) ≤µn− 1n

¶q |u|Lp1(Rn) . (4.35)

Escogiendo C = C (p, n) = n−1n q, obtenemos la tesis para u ∈ D (Rn).

Caso general: u ∈ Lp1 (Rn) .

Recordemos que

Lpk,0 (D) = D (D)

Lpk(D)

y queLpk,0 (R

n) = Lpk (R

n) (ver 4.2)

¡D ⊂ RN

¢. 185

Luego existe (um) en D (Rn) tal que (um) → u en Lpk (R

n). Usando (4.35)se tiene

kum − ujkLq(Rn) ≤ C |um − uj |Lp1(Rn) ;

luego (um) es Cauchy en Lq (Rn) . Por tanto (um) → u en Lq (Rn), conu ∈ Lq (Rn). Desde que um satisface (4.35),

kumkLq(Rn) ≤ C |um|Lp1(Rn) ,

de donde se tiene la tesis del teorema 4.31 vía limite.¥

Corolario 4.10 Sea 1 ≤ p < n y q como antes. Entonces

L1p (Rn) ⊂ Lr (Rn) , ∀r tal que p ≤ r ≤ q,

siendo continua la inclusión.

PruebaDesde que p ≤ r ≤ q, escojamos α ∈ [0, 1] tal que

1

r=

α

p+1− α

q.

Sea u ∈ L1p (Rn). Entonces

|u|αr ∈ Lpαr (Rn) y |u|(1−α)r ∈ L

q(1−α)r (Rn) .

Luego (vía Hölder generalizado) se tiene que u ∈ Lr (Rn) y

kukLr(Rn) ≤ kukαLp(Rn) kuk1−αLq(Rn)

≤ kukLp(Rn) + kukLq(Rn) ≤ (Teorema 4.31)≤ kukLp(Rn) + C |u|Lp1(Rn)≤ C |u|Lp1(Rn) .

¥

Corolario 4.11 Sea D ⊂ Rn un conjunto abierto. Si u ∈ Lp1,0 (D), entonces

u ∈ Lr (D) para r ∈ [p, q]. Además, existe una constante C = C (p, n) > 0tal que

kukLq(D) ≤ C |u|Lp1(D) y kukLr(D) ≤ C kukLp1(D) , ∀u ∈ Lp1,0 (D) .

¡RN¢[Ó WK,P

¡RN¢]

PruebaDado que u ∈ Lp

1,0 (D), sea u su extensión a Rn poniendo cero fuera deD; entonces u ∈ Lp

1 (Rn) y por el teorema 4.31, kukLq(Rn) ≤ C |u|Lp1(Rn);luego u ∈ Lr (Rn) para r ∈ [p, q] por el corolario 4.10 y se tiene

kukLr(Rn) ≤ C kukLp1(Rn) .

Considerando que u = u |D, se tiene la tesis.¥

Veamos la generalización del teorema 4.31

Teorema 4.32 Sea 1 ≤ p < n y k ≥ 1 entero. Definamos q vía

1

q=1

p− k

n> 0.

Entonces, Lpk (R

n) ⊂ Lq (Rn), con inyección continua.

PruebaUsamos inducción en k.k = 1. Sea n ≥ 2. Si u ∈ Lp

1 (Rn), entonces u ∈ Lq (Rn) y se tiene larelación (4.32) por el teorema 4.31.

Asumamos que el teorema es cierto para k (≥ 1) y probemosque lo es para k + 1.En efecto, siendo 1

q =1p −

kn consideremos

1

q1=1

p− k + 1

n=1

q− 1

n.

Por la hipótesis de inducción tenemos Lpk (R

n) ⊂ Lq (Rn). Por el caso k = 1,

Lq1 (R

n) ⊂ Lq1 (Rn) ,

con inyección continua. Sea ahora u ∈ Lpk+1 (R

n); probemos que u ∈Lq1 (Rn).En efecto, tenemos

u ∈ Lpk (R

n) ⊂ Lq (Rn) ,

D1u ∈ Lpk (R

n) ⊂ Lq (Rn) , . . . ,Dnu ∈ Lpk (R

n) ⊂ Lq (Rn) .

Por tanto, u ∈ Lq1 (Rn) ⊂ Lq1 (Rn), con inyección continua.

Así tenemos la tesis

Lpk+1 (R

n) ⊂ Lq1 (Rn) ,

con inyección continua.¥

¡D ⊂ RN

¢. 187

Corolario 4.12 Si n > kp y p ≤ r ≤ npn−kp , entonces

Lpk (R

n) ⊂ Lr (Rn) ,

con inyección continua.

PruebaObservemos que

0 <1

p− k

n=

n− kp

np

≤ 1

r≤ 1

p.

Tomemos r0 =np

n−kp (y así p ≤ r ≤ r0) y consideremos Lp (Rn) ∩ Lr0 (Rn)con la norma

kuk = kukLp(Rn) + kukLr0 (Rn) .

Observemos queLp (Rn) ∩ Lr0 (Rn) ⊂ Lr (Rn) ,

con inyección continua (por interpolación). Por otro lado,

Lpk (R

n) ⊂ Lp (Rn) y Lpk (R

n) ⊂ Lr0 (Rn) ,

desde que1

r0=1

p− k

n.

Conclusión:

Lpk (R

n) ⊂ Lp (Rn) ∩ Lr0 (Rn) ⊂ Lr (Rn) ,

con inyección continua.¥

4.10.3. Caso p = n.

Es claro que en este caso, no podemos definir al exponente q como sehizo en el anterior argumento. Ahora, q ∈ [n,∞). Se tiene el

Teorema 4.33 Sea D ⊂ Rn un conjunto abierto. Entonces,

Lp1,0 (D) ⊂ Lq (D) , ∀q ∈ [n,∞) .

PruebaPor el operador extensión de D a Rn, es suficiente trabajar con D = Rn.

Nuevamente consideremos u ∈ D (Rn); tendremos aún la desigualdad (4.34)


¡RN¢[Ó WK,P

¡RN¢]

del teorema 4.31, la que podemos usar con t ≥ 1 y p = n. De esta maneratendremos

kuktL

tnn−1 (Rn)

≤ t kukt−1Ln(t−1)n−1 (Rn)

kukLn1 (Rn) .

Ahora usamos la desigualdad: “ si a, b ≥ 0, entonces tat−1b = (a+ b)t ”,obtene mos

kukL

tnn−1 (Rn)

≤ kukLn(t−1)n−1 (Rn)

+ kukLn1 (Rn) . (4.36)

Si elegimos t = n, entonces tendremos

kukL

n2n−1 (Rn)

≤ kukLn(Rn) + |u|Ln1 (Rn) = kukLn1 (Rn) . (4.37)

Procediendo como en el Corolario 4.11, teorema 4.31, si r ∈hn, n2

n−1

i, en-

tonces u ∈ Lr (Rn); además, kukLr(Rn) ≤ C kukLn1 (Rn). La idea ahora esrepetir este argumento si t = n+ 1 en (4.36). Usando (4.37). se obtiene que

u ∈ Lr (Rn) con r ∈h

n2

n−1 ,n(n+1)n−1

iy además

kukLr(Rn) ≤ C kukLn1 (Rn) .

Procediendo por iteración con t = n+ 2, n+ 3,... se obtendrá que u ∈ Lr

∀ r ∈ [n,∞) y kukLr(Rn) ≤ C kukLn1 (Rn) , ∀u ∈ D (Rn) .

Vía densidad de D (Rn) en Ln1 (Rn), se obtiene la tesis.

¥

4.10.4. Caso p > n.

Este caso lleva a un resultado similar a lo establecido en el teorema 4.32

Teorema 4.34 Sea p > n. Entonces Lp1 (Rn) ⊂ L∞ (Rn), con inyección

continua. Además, existe una constante C = C (p, n) tal que

|u (x)− u (y)| ≤ C |x− y|α |u|Lp1(Rn) c.t.p. en Rn, ∀u ∈ Lp1 (R

n) ,

donde α = 1− np . Si D es un conjunto abierto en Rn, tenemos las mismas

conclusiones para el espacio Lp1,0 (D).

Prueba

• Sea u ∈ D (Rn) y Q un cubo de lado r, conteniendo el origen y ladosparalelos a los ejes coordenados.

Sea x ∈ Q. Entonces

u (x)− u (0) =

Z 1

0

d

dt(u (tx)) dt;


¡D ⊂ RN

¢. 189

luego

|u (x)− u (0)| ≤Z 1

0

nXi=1

|xi|¯∂u

∂xi(tx)

¯dt.

Sea

u =1

|Q|

ZQu (y) dy ,

el promedio de u sobre Q, donde |Q| es la medida de Lebesgue de Q.Luego,

|u− u (0)| =

¯1

|Q|

ZQu (x) dx− 1

|Q|

ZQu (0) dx

¯≤ 1

|Q|

ZQ|u (x)− u (0)| dx

≤ r

|Q|

ZQ

nXi=1

Z 1

0

¯∂u

∂xi(tx)

¯dt.dx

=1

rn−1

Z 1

0

ZQ

nXi=1

¯∂u

∂xi(tx)

¯dxdt

= (y = tx)

=1

rn−1

Z 1

0

ZtQ

nXi=1

¯∂u

∂xi(y)

¯t−ndy.

Ahora observemos que si 0 ≤ t ≤ 1, tQ ⊂ Q; además (por Hölder)ZtQ

¯∂u

∂xi(y)

¯dy ≤

µZQ

¯∂u

∂xi

¯p¶ 1p

. |tQ|1p0 ,

con 1p +

1p0 = 1.

De esta manera,

|u− u (0)| ≤ 1

rn−1|u|Lp1(Q) r

np0

Z 1

0t

np0−ndt

=r1−

np

1− np

|u|Lp1(Q)

=rα

α|u|Lp1(Q) .

Ahora, por translación, esta desigualdad es cierta para cualquier cuboQ en Rn, con lados paralelos a los ejes coordenados, de longitud r, y∀x ∈ Q.

Asi, para todo x ∈ Q tenemos

|u− u (x)| ≤ rα

α|u|Lp1(Q) .


¡RN¢[Ó WK,P

¡RN¢]

Luego, para todo x, y ∈ Q,

|u (x)− u (y)| ≤ |u− u (x)|+ |u− u (y)| ≤ 2rα

α|u|Lp1(Q) .

Por otro lado, dados x, y ∈ Rn podemos siempre encontrar un tal cuboQ conteniendo x, y, de lado r = 2 |x− y|. Por tanto

|u (x)− u (y)| ≤ 2,2α

α|x− y|α |u|Lp1(Q) . (4.38)

• Si u ∈ Lp1 (Rn), existe (um) en D (Rn) tal que um → u en Lp

1 (Rn). En-tonces (al menos para una subsucesión) um → u c.t.p. en Rn. Como umsatisface (4.38), la tesis sigue tomando límite, para todo u ∈ Lp

1 (Rn).

Finalmente, veamos que kukL∞(Rn) ≤ C kukLp1(Rn).En efecto

|u− u (x)| ≤ 2rα

α|u|Lp1(Q) implica

|u (x)| ≤ |u|+ C |u|Lp1(Q)≤ C kukLp1(Q)≤ C kukLp1(Rn) .

Si u ∈ Lp1,0 (D) extendémosla a u definida sobre Rn poniendo cero

fuera de D y aplicar lo hecho en el caso Rn.

¥

4.11. ESPACIOS L2k (D), L2−k (D)YOPERADORES

DIFERENCIALES.


Sea el operador diferencial lineal

L =X|α|≤k

(−1)|α|D2α.

Entonces, para u ∈ L2k (D) , Lu es una distribución, no necesariamentedefinida por una función localmente integrable. Además, si u ∈ L2k (D), para|α| ≤ k, tenemos gα = Dαu ∈ L2 (D) y

Lu =X|α|≤k

(−1)|α|Dαgα ∈ L2−k (D) ,

por el teorema 4.21.

4.11. ESPACIOS L2K (D), L2−K (D)YOPERADORES DIFERENCIALES.191

Proposición 4.5 El complemento ortogonal de L2k,0 (D) en L2k (D) es elnúcleo del operador diferencial L. Esto es,

L2k (D) = L2k,0 (D)⊕©u ∈ L2k (D) / Lu = 0

ª.

Prueba

Debemos probar que

L2k,0 (D)⊥ =

©u ∈ L2k (D) / Lu = 0

ª.

• Para todo u ∈ L2k (D) y ϕ ∈ D (D), tenemos

hLu,ϕi = hu, ϕik .

Si u ∈hL2k,0 (D)

i⊥, entonces para todo ϕ ∈ D (D) ⊂ L2k,0 (D), ten-

emos0 = hu, ϕik =

X|α|≤k

hDαu,Dαϕi = hLu,ϕi .

Luego, u es una solución generalizada de Lu = 0.

∴ hLu,ϕi = 0, ∀ϕ ∈ D (D) .

• Sea ahora u ∈ L2k (D) y Lu = 0. Entonces

hu, ϕik = hLu,ϕi = 0

para todo ϕ ∈ D (D). Siendo D (D) denso en L2k,0 (D), tendremos

hu, vik = 0 para todo v ∈ L2k,0 (D) ;

luego u ⊥ L2k,0 (D) .

¥

Nota: Si k = 1, L = I − 4, donde I es la identidad y 4 el operadorLaplaciano.


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Corolario 4.13£L21,0 (D)

¤⊥=©u ∈ L21 (D) / u−4u = 0

ª.

Corolario 4.14 El problema⎧⎨⎩u−4u = 0

u ∈ H10 (D)

tiene una única solución, la distribución u = 0.

Prueba0 ∈ L21,0 (D) ∩

¡L21,0 (D)

¢⊥; 0 es único.¥

Nota: H10 (D) ≡ L21,0 (D).

Proposición 4.6 El operador L transforma L2k,0 (D) sobre L2−k (D) isomór-

ficamente.

Prueba

Sea u ∈ L2k,0 (D) tal que Lu = 0. Por la proposición 4.5 tenemos u ∈

L2k,0 (D)∩³L2k,0 (D)

´⊥. Luego, u = 0. Si f ∈ L2−k (D) ∃! (teorema de Riesz)

u ∈ L2k,0 (D) tal que

hf, vi = (v, u)k , ∀ v ∈ L2k,0 (D) y kfk−k = kukk .

En particular tenemos que ∀ϕ ∈ D (D),

hf, ϕi = (ϕ, u)k = (definición de ( , )k )

= hLu, ϕi .


Luego, f = Lu, con u ∈ L2k,0 (D) y

kLuk−k = kfk−k = kukk = kukk .

¥

Proposición 4.7 D (D) es denso en L2−k (D) .

PruebaDado f ∈ L2−k (D), sea u ∈ L2k,0 (D) tal que Lu = f . Si (ϕm) es una

sucesión en D (D), la cual converge a u en L2k,0 (D) (D (D) es denso enL2k,0 (D) ), entones (Lϕm) converge a Lu = f en L2−k (D), desde que L esuna isometría . Esto prueba la proposición desde que Lϕm es una funciónprueba.

¥

4.11.2. Operadores Diferenciales Parciales Lineales.

Sea el operador diferencial parcial (odp) lineal de orden k,

L =X|α|≤k

aα (x)Dα,

donde como es usual

x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, Dj ≡∂

∂xj, α = (α1, . . . , αn)

con αi entero no negativo y donde ponemos |α| = α1 + · · ·αn, Dα =Dα11 . . .Dαn

n ; también

xα = xα11 · · ·xαnn y aα ∈ C(|α|) (D) .

El orden de un opd L es por definición el mayor valor de los |α|’s para loscuales aα 6= 0.

La parte principal ó forma característica de L es, por definición, elpolinomio en ξ ∈ Rn :

Lk (ξ) ≡ Lk (x, ξ) =X|α|=k

aα (x) ξα.

Como se sabe una ecuación diferencial parcial lineal es de la forma

Lu ≡X|α|≤k

aαDαu = f .

Por definición, ξ es un vector característico si satisface Lk (ξ) = 0. Unasuperficie en Rn es llamada superficie característica (no caracterís-tica) si su vector normal es en todas partes un vector característico (nocaracterístico).


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Ejemplo 4.8 Asumamos |ξ|2 = ξ21 + · · · ξ2n = 1.

(i) Si tenemos la ecuación de Laplace

∂2u

∂x21+

∂2u

∂x22= 0,

entonces ξ21 + ξ22 = 0.

Luego, la ecuación de Laplace no tiene características reales.

(ii) Para la ecuación de la onda

∂2u

∂x22=

∂2u

∂x21

tenemos ξ22 − ξ21 = 0 y ξ22 + ξ21 = 1.

ξ1 = ξ2 = ±√22 ; es decir, las características forman un ángulo de 45

con el eje x1.

(iii) Para la ecuación del calor

∂u

∂x2=

∂2u

∂x21,

tenemos ξ21 + ξ22 = 1 y ξ21 = 0. Luego ξ2 = ±1, es decir, las superficies

características son hiperplanos x2 = constante.

El adjunto L∗ de L es el operador

L∗ =X|α|≤k

(−1)|α|Dα³aα (x).

´.

Luego, si u ∈ C(k) (D) se tiene:

L∗u =X|α|≤k

(−1)|α|Dα³aα (x)u

´.

Se tiene la siguiente caracterización.

Proposición 4.8 Sean los odp’s de orden ≤ k,

L =X|α|≤k

aα (x)Dα y M =

X|α|≤k

bα (x)Dα,

donde aα, bα ∈ C(|α|) (D). Entonces:

(a) M = L∗ si y solo si


(b) M∗ = L si y solo si

(c) hLϕ,ψi = hϕ,Mψi; ϕ,ψ ∈ D (D) .

Prueba(c)⇒ (a) .

Tenemos hLϕ,ψi = hϕ,Mψi. Deseamos M = L∗.En efecto

hϕ,L∗ψi =Dϕ,X

(−1)|α|Dα (aαψ)E

=X

hDαϕ, aαψi

=DX

aαDαϕ,ψ

E= hLϕ,ψi= hϕ,Mψi ,

Luego L∗ =M .

(a)⇒ (b) .Tenemos M = L∗; deseamos M∗ = L. En efecto,

hϕ,M∗ψi = hMϕ,ψi = hL∗ϕ,ψi = hϕ,Lψi ,

luego M∗ = L.

(b)⇒ (c)Tenemos M∗ = L; deseamos hLϕ,ψi = hϕ,Mψi. En efecto,

hLϕ,ψi = hM∗ϕ,ψi = hϕ,Mψi , ∀ϕ,ψ ∈ D (D) .

¥

Caso k = 2. Tenemos

L =nX

i,j=1

aij (x)∂2

∂xi∂xj+

nXj=1

aj (x)∂

∂xj+ a (x) ,

donde asumimos aij (con aij = aji), aj y a funciones reales. Entonces,

L∗ =nX

i,j=1

aij∂2

∂xi∂xj+

nXj=1

"nXi=1

2∂aij∂xi− aj

#∂

∂xj+

+

⎡⎣ nXi,j=1

∂2aij∂xi∂xj

−nX

j=1

∂aj∂xj

+ a

⎤⎦ .L es autoadjunto si L∗ = L.


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Observación 4.7 L es autoadjunto ⇐⇒ ∀ j = 1, . . . , n, aj =nPi=1

∂aij∂xi.

Además, L =P|α|≤k

Dα (aα (x)Dα.) es autoadjunto, de orden 2k.

Un concepto muy usado en ecuaciones en derivadas parciales es el desoluciones débil de una ecuación diferencial. Esto lo veremos con frecuenciamas adelante.

Definición 4.17 Dados u, f ∈ L1loc (D), decimos que u es una solucióndébil de Lu = f si:

hu,L∗ϕi = hf, ϕi , ∀ ϕ ∈ D (D) .

Nota: Toda solución clásica de Lu = f es una solución débil de la ecuación.El recíproco no es cierto en general.

4.11.3. Operadores Elípticos de Segundo Orden.

Sea

L =nX

i,j=1

aij (x)∂2

∂xi∂xj+

nXj=1

aj (x)∂

∂xj+ a (x)

un odp lineal en un abierto D ⊂ Rn, donde los coeficientes son funciones devalor real.

Definición 4.18 L es un operador elíptico en el punto x0 ∈ D si

nXi,j=1

aij (x0) ξiξj 6= 0 ∀ξ 6= 0, ξ ∈ Rn.

L es elíptico en D si es elíptico en todo punto de D.

Definición 4.19 L es uniformemente elíptico si existe una constanteC > 0 tal que ∀x ∈ D tenemos

nXi,j=1

aij (x) ξiξj ≥ C kξk2 , ∀ξ ∈ Rn.

Ejemplo 4.9 El laplaciano 4 es uniformemente elíptico

Proposición 4.9 Sea L un odp lineal elíptico (uniformemente elíptico) conaij ∈ C(2) (D) y aj ∈ C(1) (D), entonces existe el adjunto L∗ de L, quetambién es elíptico (uniformemente elíptico).

4.12. TAREAS. 197

4.12. TAREAS.

1. Pruebe:

a) Lp (R), 1 ≤ p ≤ +∞, es un espacio de Banach.

b) L2 (R) es un espacio de Hilbert.

2. Sea I = (−1, 1) y u (x) = 12 (|x|+ x). Verifique que u ∈ Lp

1 (I), 1 ≤

p ≤ ∞, y que u0 = H, donde H (x) =½1 . . . si 0 < x < 10 . . . −1 < x < 0.

En general, una función continua sobre I y continuamente derivablepor secciones sobre I, pertenece a Lp

1 (I), 1 ≤ p ≤ ∞.

3. Si I = (a, b) (acotado o no), pruebe que Lp1 (I) es un espacio reflexivo

si 1 34 .

Sea u ∈ Lp1 ((0, 1)) y u (x) =

½u (x) . . . si 0 < x < 10 . . . si x ≥ 1. Pruebe que

ηu ∈ Lp1 ((0,∞)) y que (ηu)

0= η0u+ ηu0.

5. Sea m ≥ 2 entero, 1 ≤ p ≤ ∞. Pruebe que, u ∈ Lpm (R) ⇔ existen m

funciones g1, g2, . . . , gm ∈ Lp (R) tal queZuDjϕ = (−1)j

Zgjϕ, ∀ϕ ∈ C∞0 (R) , ∀j = 1, . . . ,m.

6. Exponga unas reflexiones críticas sobre los espacios Lp, Lpk, L

ps, Ls ≡

Hs, L−s, L∞ y L−∞. Establezca lo esencial en esos espacios.

7. Sea 1 ≤ p ≤ ∞ real. Pruebe que, f ∈ Lp∞ ⇐⇒ f coincide, casi en todos

partes, con una función C∞ tal que f y todas sus derivadas pertenecena Lp.

8. Pruebe que,

H−k (D) ≡ L2−k (D) =

⎧⎨⎩f ∈ D0 (D) / f =X|α|≤k

Dαfα, fα ∈ L2 (D)

⎫⎬⎭donde D es un dominio en Rn.

9. (Ver [BREZ])

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¡RN¢]

a) Sea I un intervalo abierto en R y f ∈ L1loc (I) tal queRfϕ0 = 0,

∀ϕ ∈ C10 (I). Pruebe que existe una constante C > 0 tal quef = C ctp. I.

b) Sea g ∈ L1loc (I). Para x0 ∈ I fijo, sea v (x) =R xx0g (t) dt, x ∈ I.

Pruebe que v ∈ C (I) yRI vϕ

0 = −RI gϕ, ∀ϕ ∈ C10 (I).

10. ([BREZ]). Sea I un intervalo abierto en R y u ∈ Lp1 (I), 1 ≤ p < ∞.

Pruebe que existe (un) en C∞0 (R) tal que un |I→ u en Lp1 (I).

11. Sea D un dominio en R2. Pruebe que,£L21,0 (D)

¤⊥=©u ∈ L21 (D) / u−∆u = 0

ª.

12. Sea D un conjunto abierto en Rn y T = (Ti)i=1,...,n es una familia dedistribuciones en D. Definamos

divT =nXi=1

∂Ti∂xi

y al espacio

L21 (div,D) =©u = (ui) ∈

¡L2 (D)

¢n/ div u ∈ L2 (D)

ª.

Pruebe que L21 (div,D) es un espacio de Hilbert si es provisto de lanorma

kuk =Ã

nXi=1

|ui|20,D + |divu |20,D

!12

,

donde |u|m,p,D =P

|α|=mkDαukLp(D) (semi-norma) y | · |0,D = | · |0,2,D.

13. Sea D ⊂ Rn un conjunto abierto y sea 1 ≤ p ≤ ∞. Si u, v ∈ Lp1 (D) ∩

L∞ (D), pruebe que uv ∈ Lp1 (D) ∩ L∞ (D) y que

∂

∂xi(uv) =

∂u

∂xiv + u

∂v

∂xi, i = 1, . . . , n.

14. Sea 1 0 tal que¯Z

Du

∂ϕ

∂xi

¯≤ C |ϕ|0,p0,D ∀ϕ ∈ D (D) ,

i = 1, . . . , n, 1p +

1p0 = 1, se tiene entonces u ∈ Lp

1 (D).

4.13. COMENTARIOS.

(i) Los espacios de Sobolev son tratados de un modo completo y didácticoen Adams, R.A [ADA]; es un excelente libro en donde el lector puedeencontrar lecturas sobre los espacios Lp (Ω) yWm,p (Ω); resultados so-bre extensiones e interpolación; sobre inmersiones de Wm,p (Ω); sobreespacios de orden fraccionario y sobre espacios de Orlicz y Orlicz -Sobolev.

(ii) La notación Lpm (Rn) usada en el presente texto proviene de la usada

por Calderón (ver Calderón, A. P.: ”Integrales Singulares y sus Apli-caciones a Ecuaciones Diferenciales Hiperbólicas”. Bs. As. 1960). Sinembargo, en algunas ocasiones usamos también la notaciónWm,p (Rn),usada por Brezis [BREZ], de cuyo libro hemos extraido algunos temas.

(iii) Los espacios de Sobolev son el escenario natural para estudiar proble-mas en ecuaciones diferenciales parciales. Posiblemente lo presentadoen esta oportunidad sea demasiado amplio y detallado ; sin embargo,ello es útil para estudiar temas en ecuaciones en derivadas parciales alestilo de la Escuela de Calderón (ver [CAL. 1] y [CAL. 2] ). Por otrolado, este estilo es un buen entrenamiento para el lector en su estudiosobre temas del análisis armónico.

(iv) Un aspecto importante de lo tratado en este capítulo son los espa-cios de Sobolev Lp

s, con s real, sus variaciones y el uso del operadorJs. En particular, es significativo la forma equivalente de definir alespacio L2s ≡ Ls como el espacio de distribuciones temperadas f

tales queZ ³

1 + |x|2´s ¯

f (x)¯2dx < ∞. Acá existe el germen de

otras interesantes generalizaciones. Si se define al operador Λs vía

[Λsf ]∧ (x) =³1 + |x|2

´ s2f (x), se tendrá que

Ls =©f ∈ S0 / Λsf ∈ L2

ª.

(v) Algunas secciones de este capítulo merecen un mayor contenido deresultados. Tal es el caso, por ejemplo, de la sección 11; es una deudapor pagar en otra oportunidad.


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4.14. SOBOLEV.

Sergie Lvovich Sobolev nació en San Petersburg en 1908. Luego determinar la secundaria en 1925, entró a la Facultad de Física y Matemáticade la Universidad de Leningrado en donde su talento fue estimulado. Se in-teresó por las ecuaciones diferenciales, un tema que dominaría e investigaríaen toda su vida. En 1929 termina sus estudios universitarios y comienza sutrabajo como docente e investigador. En 1932, Vinogradov invitó a Soboleva ser Miembro del Instituto Steklov en mérito a sus profundos trabajos enEcuaciones en Derivadas Parciales en donde introdujo nuevas ideas de solu-ción. Con Smirnov estudió nuevas ideas sobre la ecuación de la onda.

Sobolev fue reconocido al ser nombrado Miembro de la Academia deCiencias de la Unión Soviética en 1933, a los 25 años. Posteriormente, elInstituto fue trasladado a Moscú; en 1935 Sobolev fue nombrado jefe delDepartamento de la Teoría de Ecuaciones Diferenciales del Instituto.

Sobolev es recordado sobre todo por los llamados ”espacios de Sobolev”.Estos espacios fueron investigados en la década de los años 1930’s. Sobolevintrodujo la noción de función generalizada (en particular, de distribución),idea que sería formulada como una teoría por L. Schwartz; otros desarrollosen esta dirección se deben también a Gelfand. Como sabemos la teoría dedistribuciones es un área central de la Matemática . Los espacios de Sobolevfueron introducidos en el estudio de métodos variacionales para resolverproblemas de valor de contorno elípticos. Sobolev aplicó esos espacios pararesolver complicados problemas de la física matemática. En la década de losaños 1940’s , Sobolev impulsó a la teoría espectral de operadores en relacióncon ciertos problemas de la física matemática; sus resultados abrieron nuevosmétodos para estudiar a las soluciones de problemas de valor de contorno no- clásicos. En los años 1950’s se dedica a la Matemática Computacional; en1952 es jefe del primer Departamento de Matemática Computacional en laUnión Soviética. En los años 1960’s se dedica a los métodos numéricos con

4.14. SOBOLEV. 201

énfasis a la interpolación.Sobolev recibió muchos honores por su fecunda labor matemática, entre

otros recibió la Medalla de Oro de la Academia de Ciencias de la UniónSoviética. Murió en Leningrado el 03 de Enero de 1989.


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Capítulo 5

MÉTODOS DE ANÁLISISFUNCIONAL EN E.D.P.

5.1. UN POCO DE ANÁLISIS FUNCIONAL

5.1.1. Algunos Clásicos Teoremas.

Una forma de estudiar la teoría de las ecuaciones en derivadas parcialeses vía el uso del análisis funcional y de la teoría de distribuciones.

Ya hemos tenido la oportunidad (capítulos 1 y 2) de ver algunos re-sultados clásicos en la solución de problemas de valor de contorno y decondiciones iniciales. Actualmente se hace uso de la teoría de wavelets yde métodos númericos para establecer buenas aproximaciones para las solu-ciones de problemas de Dirichlet, Neumann, ... . En esta ocasión vamos ausar algunos resultados del análisis funcional, ya clásicas, que nos permitiránestudiar el siguiente problema de Dirichlet:

“encontrar u ∈ C2 (D)∩C¡D¢tal que

½−∆u = f en Du = g sobre ∂D ≡ Γ (D)

donde D ⊂ Rn es un dominio (abierto) acotado, con frontera Γ; f : D→R y g : Γ→ R son funciones continuas.”

Comenzamos observando que el problema (D) se puede descomponer en:

(D1):½−∆u = f en Du = 0 sobre Γ

y (D2):½−∆u = 0 en Du = g sobre Γ

.

Es claro que si u1 es solución de (D1) y u2 de (D2), entonces u = u1+u2es solución de (D).

Nota. Posteriormente haremos una breve presentación del problema½−∆u+ u = f en Du = 0 sobre Γ

El objetivo es resolver (D) en el sentido generalizado, es decir, encontraru ∈ D0

(D) tal que h−∆u, ϕi = hf, ϕi , ∀ ϕ ∈ D(D) con la condición, en

203

204 CAPÍTULO 5. MÉTODOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL EN E.D.P.

un sentido a preciarse, u = g sobre Γ. La idea es resolver (D1) y (D2) en elsentido generalizado.

Comenzamos precisando algunas ideas del análisis.

• Si u ∈ C∞0 (D), (γ0u) (x) = u(x), x ∈ Γ;

(γ1u) (x) =nXi=1

νi(x)∂u

∂xi(x) =

∂u

∂ν(x), x ∈ Γ,

donde ν = (ν1, ..., νn) es vector normal unitario, exterior; ν : Γ→ Rn.Se observa que si Γ es una superficie “bien regular”, entonces γ0u ∈L2 (Γ) y γ1u ∈ L2 (Γ), algo deseado en los argumentos siguientes.Aclaremos la idea de regularidad. Por definición, un abierto, acotado,D ⊂ Rn es regular si:

(i) C∞0 (D) es denso en Hm (D) , m = 1, 2.

(ii) Γ es una superficie de clase C2, de dimensión n−1, tal que |ν(x)| =1 si x ∈ Γ, y se tiene la fórmula de GaussZ

D

∂

∂xiu(x)dx =

ZΓνi(x)u(x)dσ, i = 1, ..., n ∀ u ∈ C1

¡D¢

con soporte compacto.

(iii) Existe una constante C = C (D) > 0 tal que

kγ0ukL2(Γ) ≤ C kukH1 y kγ1ukL2(Γ) ≤ C kukH2 , ∀ u ∈ C∞0¡D¢,

donde recordamos que kuk2Hm =P|ρ|≤m

kDρuk2L2 .

• Si X e Y son dos espacios normados, la aplicación lineal A : X → Y esun isomorfismo de espacios normados si A es biyectiva y bicontinua.

• Teorema de F. Riesz. Sea H un espacio de Hilbert; si f : H → Res lineal y continua, entonces existe un único u0 ∈ H tal que

f(u) = hu, u0i , ∀ u ∈ H.

Prueba. Por hipótesis f(αu+βv) = αf(u)+βf(v), ∀ α, β números comple-jos, u, v ∈ H y existe una constante positiva C tal que |f(u)| ≤ C kuk , ∀ u ∈H.

Unicidad. Supongamos que f(u) = hu, u0i = hu, u0i , u ∈ H.

Entonces, hu, u0 − u0i = 0, ∀ u ∈ H; luego ku0 − u0k = 0. Por lo tantou0 = u0.

5.1. UN POCO DE ANÁLISIS FUNCIONAL 205

Existencia. El núcleo N = u ∈ H/ f(u) = 0 es un subespacio cerrado deH. Es claro que N es un subespacio lineal. Por otro lado, si un ∈ N tal quelımn→∞

un = u∗, veamos que u∗ ∈ N.

En efecto,

lım |f (u∗)− f (un)| = lım |f (u∗ − un)|≤ lım c ku∗ − unk = 0

luego, f (u∗) = 0 y u∗ ∈ N .Sea N⊥ el complemento ortogonal de N , esto es,

N⊥ = v ∈ H/ hv, ui = 0, ∀ u ∈ N .

Si N⊥ = 0, tenemos la tesis del Teorema ya que basta tomar u1 = 0 (pueshu, u1i = 0, ∀ u y f siendo lineal satisface f(u) = 0, ∀ u).

En caso contrario, si u1 y u2 están en N⊥ y son diferentes de cero,entonces existe λ tal que u1 = λu2.

[En efecto, llamemos u∗ = f(u2)u1 − f(u1)u2, donde f(u1) 6= 0 yf(u2) 6= 0. Observemos que u∗ ∈ N y que u∗ ∈ N⊥. Por tanto u∗ = 0.

Así, u1 =f(u1)

f(u2)u2]. Luego podemos decir que N⊥ = λu1 , λ escalar

arbitrario.

Hagamos ahora la elección u0 =f(u1)

ku1k2u1. Entonces tenemos

f(u1) =

*u1,

f(u1)

ku1k2u1

+= hu1, u0i .

Finalmente, si u ∈ H es arbitrario, por el teorema de la proyecciónen espacios de Hilbert: u = u∗ + u∗∗, con u∗ ∈ N y u∗∗ ∈ N⊥. Esto es,u = u∗ + λu1. Luego,

f(u) = f (u∗ + λu1) = f (u∗) + λf (u1)

= λf (u1) = λ hu1, u0i = hλu1, u0i= hu∗ + λu1, u0i = hu, u0i .

¥

• Desigualdad de Poincaré.

Para muchos propósitos la desigualdad siguiente es de gran importancia.Por simplicidad veamos el caso n = 1, pero ella es cierta para dominiosabiertos acotados de Rn.

Teorema. Sea I = [a, b] ⊂ R un intervalo acotado. Entonces existe unaconstante positiva C = C (|I|) tal que

kukLp1 ≤ C°°°u0°°°

Lp, ∀ u ∈ Lp

1,0 (I) , 1 ≤ p <∞.

Es decir, sobre Lp1,0 (I) tenemos la equivalencia de normas°°°u0°°°

Lp(I)' kukLp1(I)

Prueba.Siendo I acotado, tenemos L∞ (I) ⊂ Lp (I) y k . kLp ≤ k . kL∞ . Entonces

kukp,1 = kukp +°°°u0°°°

p≤ kuk∞ +

°°°u0°°°p.

Pero, u ∈ Lp1,0 (I) implica

|u(x)| = |u(x)− u(a)| =¯Z x

au0(t)dt

¯≤°°°u0°°°

1.

Por tanto, kuk∞ ≤°°°u0°°°

1.

Luego,

kukp,1 ≤°°°u0°°°

1+°°°u0°°°

p≤°°°u0°°°

p+°°°u0°°°

p= 2

°°°u0°°°p. ¥

La versión Rn toma la forma:“Sea D ⊂ Rn un abierto acotado. Entonces existe C = C (D, p) tal que

kukp ≤ C k∇ukp , ∀ u ∈ Lp1,0 (D) , 1 ≤ p <∞”. [*]

Como estamos interesados en el caso p = 2, [*] toma la forma equivalente

nXi=1

°°°° ∂

∂xiu

°°°°22

≥ C kuk22 , ∀ u ∈ H10 (D) .

Ver [BREZ] para otros detalles.

• Teorema de Lax-Milgram. En la interconexión entre los dominiosde las ecuaciones en derivadas parciales y el cálculo de variaciones, elteorema de Lax-Milgram es fundamental.

Sea H un espacio de Hilbert (real), con producto interno h , i y normak . k . H∗ es su espacio topológico dual. Consideremos la forma bilineal a :H ×H → R, la que es continua (|a (u, v)| ≤ C kuk kvk) y es coerciva ó H-elíptica (existe una constante α > 0 tal que a (v, v) ≥ α kvk2 , ∀ v ∈ H). a


no es necesariamente simétrica (a (u, v) = a (v, u)). Consideraremos tambiénla funcional lineal continua L : H → R.

Ahora, sea el problema variacional lineal fundamental:¿ encontrar u ∈ H tal que a (u, v) = L(v), ∀ v ∈ H.À [P]

Teorema. [Lax-Milgram]. Bajo las anteriores hipótesis sobre H, a y L elproblema [P] tiene solución única.Prueba.Unicidad. Sean u1 y u2 dos soluciones de [P], entonces a (u1, v) = L(v) ya (u2, v) = L(v), ∀ v ∈ H; u1, u2 ∈ H. Luego, a (u2 − u1, v) = 0, ∀ v ∈ H.Tomando v = u2 − u1 obtenemos α ku2 − u1k2 ≤ a (u2 − u1, u2 − u1) = 0.Por tanto, u1 = u2.Existencia. Desde que L ∈ H∗, por el teorema de F. Riesz, existe una únical ∈ H tal que L(v) = hl, vi , ∀ v ∈ H. La idea ahora es fijar v en a (v, w);así, la aplicación

H → Rw 7→ a (v,w)

es lineal y continua, y nuevamente por Riesz, existe un único A(v) ∈ H talque

a (v,w) = hA(v), wi , ∀ v, w ∈ H.

A es un operador lineal; en efecto:

a (λ1v1 + λ2v2, w) = hA(λ1v1 + λ2v2), wi , ∀ λ1, λ2 ∈ R, ∀ v1, v2 ∈ H.

Por otro lado, por la bilinealidad de a, tenemos

a (λ1v1 + λ2v2, w) = λ1a (v1, w) + λ2a (v2, w) = λ1 hA(v1), wi+ λ2 hA(v2), wi= hλ1A(v1) + λ2A(v2), wi .

Luego, A(λ1v1 + λ2v2) = λ1A(v1) + λ2A(v2).Convenio notacional: A(v) = Av.A es un operador continuo. En efecto, por hipótesis existe C tal que

|a (v, w)| ≤ C kvk kwk , ∀ v, w ∈ H.

Luego, |hAv,wi| ≤ C kvk kwk .Tomando w = Av, obtenemos |hAv,Avi| ≤ C kvk kvk, esto es,

kAvk2 ≤ C kvk kAvk , ó kAvk ≤ C kvk .

Así A es continuo, con kAk ≤ C.Se tiene hAu, vi = a (u, v) = L(v) = hl, vi , ∀ v ∈ H.Así, el problema [P] es equivalente al problema lineal en H : Au = l, el

cual es equivalente al problema:“encontrar u tal que u = u− ρ (Au− l) , para algún ρ > 0”. [+]

[+] es un problema de punto fijo. Para resolverlo, sea la aplicación

Tρ : H → H, v → Tρ (v) = v − ρ (Av − l) .

Si v1, v2 ∈ H, tenemos

kTρ (v2)− Tρ (v1)k2 = kv2 − ρ (Av2 − l)− v1 + ρ (Av1 − l)k2

= kv2 − v1k2 − 2ρa (v2 − v1, v2 − v1) + ρ2 kA (v2 − v1)k2

≤ (coercividad de a)

≤³1− 2ρα+ ρ2 kAk2

´kv2 − v1k2 .

Si 0 < ρ <2α

kAk2, Tρ será una contracción estricta y uniforme. Por tanto,

si ρ está en tal rango, [+] tendrá una solución única, lo cual implicará laexistencia de la solución única para el problema [P].

¥

Cuando a ( , ) es una forma bilineal, simétrica, sobre H ×H, entoncesse tiene el vital resultado (una caracterización) en relación con el cálculo devariaciones.

Proposición 5.1 Si a ( , ) es, además, simétrica sobre H × H, entonces[P]⇐⇒ “encontrar u ∈ H tal que J(u) ≤ J(v), ∀ v ∈ H, donde

J(v) =1

2a (v, v)− L (v) .” ([P1])

Prueba.[P]⇒([P1]). Sea u la solución de [P] y v ∈ H. Tenemos

J(v) = J(u+ v − u) =1

2a (u+ v − u, u+ v − u)− L (u+ v − u)

=1

2a (u, u)− L (u) + a (u, v − u)− L (v − u) +

1

2a (v − u, v − u)

= J(u) + a (u, v − u)− L (v − u) +1

2a (v − u, v − u) .

Desde que a (u, v − u)− L (v − u) = 0 (u es solución de [P]) y

1

2a (v − u, v − u) ≥ 0 (H − elipticidad),

tenemos J(v) ≥ J(u), ∀ v ∈ H. Luego, u es solución de ([P1]).

([P1])⇒[P]. Sea u una solución de ([P1]) y v ∈ H. Por hipótesis tenemos

J(u+ tv)− J(u)

t≥ 0, ∀ v ∈ H, ∀ t > 0.


Pero, usando la definición de J,

lımt→0

J(u+ tv)− J(u)

t= a (u, v)− L (v) ,

es decir, se tiene a (u, v) − L (v) ≥ 0, ∀ v ∈ H. Si en esta relación usamos−v en vez de v, obtendremos a (u, v) − L (v) ≤ 0. Por tanto, a (u, v) =L (v) , ∀ v ∈ H. Así, u es solución de [P].

¥

Nota. Para mayores referencias sobre el cálculo de variaciones y su relacióncon ecuaciones en derivadas parciales, ver [GLO].

5.1.2. Una Motivación Física hacia el Análisis Funcional.

La Conducción del Calor.

Muchas ideas de la matemática pura han sido motivadas por problemasconcretas del mundo físico. Así fue históricamente en el pasado y lo seguirásiendo en el futuro. En esta ocasión veremos como un problema de la física-matemática conduce a la noción de producto interno, a la idea de espacio deHilbert y de los espacios de Lebesgue L2

¡R3¢. En lo que sigue, la variable-

espacio es denotada con (x, t), donde x = (x1, x2, x3) ∈ R3, t ∈ R es lavariable tiempo.

Objetivo: estudiar la conducción del calor en un dominio acotado D, concontorno “regular” ∂D ≡ Γ.

Previamente precisemos algunas ideas. u = u (x, t) es la temperaturaque deseamos conocer; f = f (x, t) es la densidad del calor producida enD (por ejemplo, causada por una corriente eléctrica) por unidad de tiempoy que es dada. Así mismo, consideramos las “constantes” c, capacidad de

calor (c =∆K

∆t, donde ∆K es el calor ganado o perdido, ∆t es el cambio de

temperatura); ρ es la densidad de masa y K es la conductividad calorífica.Sea Di un subdominio arbitrario de D, limitado por la superficie ∂Di.Físicamente tenemos:


¯ La cantidad de calor en Di en un tiempo dado es proporcionado porRDi

cρudx. Luego, la variación del calor contenido en Di es

d

dt

ZDi

cρudx óZDi

cρ∂

∂tudx (i)

¯ Por otro lado, el flujo de calor, por unidad de tiempo, en Di a travésde ∂Di es dado por

−Z∂Di

k∂u

∂Ndσ. (ii)

¯ También, el calor producido por unidad de tiempo en Di esZDi

fdx. (iii)

Ahora aplicamos el Principio de la Conservación del Calor: (i) = (ii)+(iii), Z

Di

cρ∂u

∂tdx = −

Z∂Di

k∂u

∂Ndσ +

ZDi

fdx,

esto es, ZDi

cρ∂u

∂tdx+

Z∂Di

k∂u

∂Ndσ =

ZDi

fdx, (1)

ecuación del calor en forma integral.

Caso Particular. En el caso estacionario, esto es, cuando u y f son inde-pendientes del tiempo, tenemosZ

∂Di

k∂u

∂Ndσ =

ZDi

fdx (10)

Si f = 0, entonces obtenemos la fórmula de GaussZ∂Di

∂u

∂Ndσ = 0.

Ahora nuestro objetivo es transformar (1) y (10) en la forma de una

ecuación diferencial.Veamos. Desde que N es un vector unitario normal interior, el teorema

de la divergencia tiene la formaZDi

divHdx = −Z∂Di

hH,Ni dσ.

Tomemos el campo vectorial H = −k∇u.


Tenemos, hH,Ni = h−k∇u,Ni = −k ∂u

∂Ny divH = −div (k∇u) =

−k∆u. Luego,−ZDi

k∆udx =

Z∂Di

k∂u

∂Ndσ.

Llevando esta igualdad a (1), obtenemosZDi

cρ∂u

∂tdx−

ZDi

k∆udx =

ZDi

fdx,

lo cual implica

cρ∂u

∂t− k∆u = f , (2)

ecuación del calor en forma diferencial.En el caso estacionario tenemos

−k∆u = f , (20)

ecuación de Poisson.

Obtención de la Ecuación del Calor en Forma de la Identidad dela Energía.

Deseamos, aún, obtener otra expresión para ecuación del calor, llamadala forma de la identidad, de la energía, y que juega un gran rol en cuestionesde existencia y de unicidad. Ella es obtenida a partir de la forma integral(1).

Consideremos una familia finita Di de subdominios Di de D, y unafamilia finita ai de números reales.


Sea la función característica XDi ≡ Xi, esto es,

Xi (x) =½1 ... x ∈ Di

0 ... x ∈ D −Di

y la función simple

v =nXi=1

aiXi.

Aplicando (1) a cada Di y sumando, obtenemosZDi

cρ∂u

∂tdx+

Z∂Di

k∂u

∂Ndσ =

ZDi

fdx,

de donde ZDcρ

∂u

∂taiXidx+ ai

Z∂Di

k∂u

∂Ndσ =

ZDfaiXidx,

ó aún ZDcρ

∂u

∂tvdx+

Xi

ai

Z∂Di

k∂u

∂Ndσ =

ZDfvdx [∗]

Ahora deseamos extender [∗] a funciones regulares. Para ello necesitamosel

Lema 5.1 “Sea H = (h1, h2, h3) un campo vectorial arbitrario definido enD. Entonces, para cualquier función regular v es posible encontrar funcionessimples vε =

Piai,εXi,ε tal que si ε→ 0, se tiene vε → v y

lımε→0

Xi

ai,ε

Z∂Di

hH,Ni dσ =Z∂DhH,Ni vdσ +

ZDhH,∇vi dx .”

Apliquemos este lema a nuestro caso, con H = k∇u. Entonces, de [∗]obtenemos:Z

Dcρ

∂u

∂tvεdx+

Xi

ai,ε

Z∂Di

k∂u

∂Ndσ =

ZDfvεdx.

Por tanto, si ε→ 0 :ZDcρ

∂u

∂tvdx+

Z∂D

k∂u

∂Nvdσ +


ZDfvdx (3)

expresión que es conocida como la ecuación del calor en forma de iden-tidad de la energía.

En el caso estacionario, (3) adopta la formaZ∂D

k∂u

∂Nvdσ +


ZDfvdx (3

0)


De esta expresión extraemos una idea esencial en el análisis funcional, laidea de “producto interno”, una idea básica para concebir a los espacios deHilbert. En este caso se obtiene el “semi-producto interno”

E (u, v) =

ZDk h∇u,∇vi dx.

Observamos que E (u, u) =ZDk |∇u|2 dx, una expresión que para los físicos

representa la “energía” contenida enD. En general, E (u, v) es la energía de ucon respecto a v. Los matemáticos introdujeron la notación k∇uk2 = E (u, u)para generalizar una antigua idea, la de “longitud”, de vector absoluto,...

Es claro que E (u, v) satisface las siguientes propiedades:

E(u) ≡ E (u, u) ≥ 0; E(u) = 0⇐⇒ u es constante;

E (u, v) = E (v, u) ;

E (αu, v) = αE (u, v) ,

E (u, βv) = βE (u, v) ;

E (u1 + u2, v) = E (u1, v) +E (u2, v)

E (u, v1 + v2) = E (u, v1) +E (u, v2) .

5.1.3. Aplicación a Problemas de Valor de Contorno.

En los anteriores argumentos, el problema general es:¿dado f, encontrar uÀ .La solución u no es única, por lo cual se tiene que imponer a u condiciones

extras, como es el caso (por ejemplo) en los problemas de Dirichlet, deNeumann y de Robin. También hemos tenido ocasión de ver la conexiónde estos problemas con el cálculo de variaciones. En esta senda se tiene elsiguiente

Teorema 5.1 [c.v.]. Si u0 es solución del problema de Dirichlet½∆u = f en Du = g sobre ∂D

entonces u0 minimiza la funcional

I(u) = E(u)− 2ZDfudx,

donde u pertenece a la clase h función regular/h = g sobre ∂D≡ R


Prueba.Sea u1 = u− u0, donde u ∈ R; así, u1 = 0 sobre ∂D y u = u0 + u1.Entonces tenemos:

I(u) = I (u0 + u1) = E(u0) + 2E (u0, u1) +E (u1)− 2ZDfu0dx− 2

ZDfu1dx

= [E(u0)− 2ZDfu0dx] + 2[E (u0, u1)−

ZDfu1dx] +E (u1) .

Pero, por (30), E (u0, u1)−

RD fu1dx = 0. Luego,

I(u) = I(u0) +E (u1)

(note que u1 = 0 sobre ∂D).

Conclusión: I(u) > I(u0), a menos que E (u1) = 0, esto es u1 = c óu = u0 + c. ¥

Observación. El teorema [c.v.] reduce el problema de Dirichlet al problemade minimizar una cierta función cuadrática, dentro de un cierto conjunto defunciones. De esta manera, la introducción de espacios de funciones, cada vezmas generales y especiales para determinados problemas, es una necesidadpara estudiar problemas de la física-matemática. La teoría de los espaciosde Hilbert, y de los operadores actuando sobre ellos, provee un fuerte instru-mento matemático para resolver tales problemas. Actualmente la literaturasobre espacios de funciones es muy amplia.

Problemas de Contorno: El Caso no-Estacionario.

La idea ahora es considerar la solución de los mencionados problemas(de Dirichlet, de Neumann y de Robin) en una región del espacio - tiempode la forma D × (0, T ). Ahora las condiciones de contorno son:


Problema de Dirichlet:

u = g1 sobre ∂D; u = h para t = 0(u(x, 0) = h(x))

u = g1 sobre ∂D × (0, T ) .

Problema de Neumann:

−k ∂u

∂N= g2 sobre ∂D

u = h para t = 0

−k ∂u

∂N= g2 sobre ∂D × (0, T ) .

Problema de Robin:

−k ∂u

∂N+ qu = g3 sobre ∂D, q > 0; u = h para t = 0;

−k ∂u

∂N+ qu = g3 sobre ∂D × (0, T ) , q > 0.

Teorema 5.2 La solución del Problema de Dirichlet es única.

Prueba.Sean u1 y u2 dos soluciones del problema, entonces u = u1−u2 es solución

del problema: ⎧⎨⎩∆u = 0 en Du = 0 sobre t = 0u = 0 sobre ∂D × (0, T ) .

Ahora aplicamos (3) y v = u (considerando que f = 0) para obtener

E (u) +

ZDcρ

∂u

∂tudx = 0.

Pero, ZDcρ

∂u

∂tudx = cρ

d

dt

ZDu2dx.

Luego,

E (u) + cρd

dt

ZDu2dx = 0.

Desde que E (u, u) ≥ 0, debemos tener ddt

RD u2dx ≤ 0. En otras palabras,R

D u2dx es una función de t, la que es decreciente en (0, T ) . Pero,RD u2dx ≥

0, y si t = 0, entonces

u(x, 0) = 0 yZDu2 (x, 0) dx = 0.


Luego, ZDu2 (x, t) dx = 0, ∀ t ∈ (0, T ) .

Así, u = 0 ó u1 = u2. ¥

Tarea. Estudiar las soluciones de los respectivos problemas de Neumann yRobin.

5.1.4. Análisis Funcional y Ecuaciones en Derivadas Par-ciales.

Alrededor de hace 50 años atrás se inició una fuerte tendencia de estu-diar a las ecuaciones en derivadas parciales haciendo uso de los métodos delanálisis funcional. Básicamente los trabajos de L. Schwartz y de L. Hörman-der, entre muchos otros, fueron fundamentales en esta tendencia. Años masatrás, cuando solo existían los clásicos métodos, las ecuaciones en derivadasparciales (e.d.p.) formaban parte de la física matemática. La teoría de dis-tribuciones y el análisis funcional dieron a las e.d.p.

0s una gran madurez

ubicándola como una rama central dentro de la matemática pura.Como sabemos, clásicamente, las e.d.p. lineales de segundo orden se

clasifican en elípticas, parabólicas e hiperbólicas [Ver 1.2]. Estos tipos deecuaciones se distinguen entre sí por el diferente comportamiento de sussoluciones. Por ejemplo, la ecuación de Laplace ∆u = 0 (una ecuación elíp-tica), que describe estados estacionarios, tiene soluciones bastantes regulares(tienen derivadas de todas las órdenes); en cambio, las soluciones de ecua-ciones hiperbólicas pueden ser no continuas, como sucede con la ecuación de

la onda∂2u

∂t2−∆u = 0.

Dada una ecuación en derivadas parciales, la que es encontrada en mu-chos estudios particulares, la tarea inicial que se asume es determinar sussoluciones, tarea que es muy compleja y ardua. Encontrada las soluciones,se trata de precisar sus propiedades generales. Hemos visto ya que vía condi-ciones especiales se determinan soluciones particulares. Actualmente estánsiendo estudiadas los métodos numéricos vía el uso de la computadora; enesta dirección se están estudiando las aplicaciones de la teoría de wavelets(ondículas) en problemas de e.d.p.

0s.

De un modo general, un problema en la teoría de ecuaciones en derivadasparciales consiste en:

¿dado un conjunto de condiciones, encontrar una solución dela ecuación diferencial que satisfaga tales condicionesÀ .

El problema es llamado bien puesto o estable (o correcto) si lasolución hallada depende continuamente de los datos, en cierto sentido. Lascondiciones mas conocidas son las condiciones iniciales: condiciones dadascuando t = t0, y las condiciones de contorno: condiciones sobre el estado


en el contorno del dominio. El problema de Cauchy es un ejemplo deproblema de valor inicial; las condiciones son dadas cuando t = 0; esteproblema es bien puesto para ecuaciones parabólicas y para las hiperbólicas.El problema de Dirichlet es un ejemplo de problema de valor de contorno ode frontera. Este problema es estable para ecuaciones elípticas.

También se tienen los llamados problemas mixtos, en donde se dancondiciones iniciales y condiciones de contorno. Este tipo de problema esbien puesto para ecuaciones parabólicas e hiperbólicas.

La idea básica en la aplicación del análisis funcional a las e.d.p.0s es

generalizar los problemas clásicos a situaciones en donde podamos aplicarlos potentes métodos, resultados del análisis funcional. Una cuestión inicialfue: ¿cómo relacionar la idea de derivada (clásica) con el cálculo de tal análi-sis moderno?. Este reto dio origen a la idea de derivada generalizada o dederivada débil, y así, al desarrollo de la teoría de las distribuciones. En esteterreno, los espacios de funciones jugaron un importante rol, en particular,los espacios de Hilbert y los espacios de Banach. Se busca construir apropi-ados espacios para estudiar los problemas mencionados anteriormente (deCauchy y de Dirichlet), y muchos otros problemas. De importancia funda-mental fueron los espacios de Sobolev y la teoría de operadores. Ver [HOR.1]para una amplia exposición de estos temas.

Modelo General.

El estudio de la solución de problemas de ecuaciones en derivadas par-ciales, haciendo uso de los métodos del análisis funcional, sigue el siguienteplan (ver 5.2.1):

(i) . Generalizar el problema clásico dado a un apropiado problema delanálisis funcional; se buscan soluciones en un sentido generalizado (enel sentido de las distribuciones) en adecuados espacios de Sobolev.

(ii) . Se resuelve el problema generalizado usando los fuertes resultados delanálisis funcional, como es, por ejemplo, el teorema de Lax-Milgram.

(iii) . Se estudia la regularidad de la solución del problema generalizado; porejemplo, que la solución sea de clase C2 (D) .

(iv) . Se investiga que la solución generalizada regular sea también la solu-ción clásica del problema dado.

Dentro de este esquema, a continuación damos una breve presentación(con algunos argumentos históricos) de dos clásicos problemas de la teoríade ecuaciones en derivadas parciales, como son los problemas de Dirichlet yde Cauchy. Estos problemas son estudiados con algún detalle en diferentespartes de este libro.


El Problema de Dirichlet.

Sea D un dominio (acotado) en Rn; g es una función definida y con-tinua sobre ∂D y L es un operador diferencial parcial de segundo orden(ver 4.11.2(3)). Problema de Dirichlet: “dada la función f definida sobreD, encontrar una solución u de la ecuación Lu = f en D tal que u|∂D = g,donde u ∈ C2 (D) ∩ C

¡D¢”.

Debe observarse que para operadores diferenciales (lineales) de ordensuperior, el problema de Dirichlet es mas difícil de ser formulado (ver 6.3.3)ya que en este caso es necesario prescribir no solo los valores de u sobre lafrontera, si no también los valores de algunas derivadas. Históricamente, elestudio del problema de Dirichlet contribuyó mucho al desarrollo de nuevasideas en la matemática, en particular en el análisis funcional. Veamos comofue formulado este problema para operadores elípticos de orden superior.

¿Sea L(x,D) un operador diferencial elíptico, con coeficientes regulares(suficientemente lisos); D ⊂ Rn es un dominio con contorno ∂D “bastantesuave” (regular). Sean ϕ0, ϕ1, ..., ϕm−1 funciones definidas y suficientemente“suaves” sobre ∂D.

Encontrar u ∈ C2m (D)∩C2m−1¡D¢tal que Lu = f en D y

∂iu

∂ηi

¯∂D

=

ϕi sobre ∂D, i = 0, 1, ...,m− 1, donde f es una función definida en D y∂

∂ηes la derivada en la dirección de la normal exteriorÀ .

Es claro que esta forma de formularse el problema de Dirichlet no esmuy natural por las diversas hipótesis sobre las funciones ϕ

0is sobre ∂D. La

tarea fue buscar una posibilidad de formular al problema de una maneramas compatible con el caso de la ecuación de Laplace, sin tales hipótesissobre ∂D.

La evolución del desarrollo del problema de Dirichlet está muy relaciona-da con el desarrollo de la teoría del potencial moderno. Ver 1.1.2. para laclásica ecuación del potencial relacionada con la física-matemática. Veamos.Si g fuera una dada función continua sobre ∂D, el problema de Dirichletpara la ecuación de Laplace, ¿siempre tiene solución?; la naturaleza topológ-ica del dominio y de su contorno, ¿es importante en tal existencia?. A ini-cios del siglo XX, Zaremba, Lebesgue y Urysohn construyeron dominios talque el citado problema no tiene solución. Seguramente tales construccionesforzaron encontrar las condiciones mínimas para la existencia de la solución.

Los potentes métodos del análisis funcional permitieron desarrollar caminospara tratar problemas de valor contorno los mas generales posibles, así comopara clases de operadores diferenciales bastantes generales. En este sentido,los métodos de la teoría del potencial fueron muy útiles.

5.2. SOLUCIONES DÉBILES. 219

El Problema de Cauchy.

Con las notaciones usuales (ver 4.11.2), consideremos un operador difer-encial lineal P (x,D) , D ⊂ Rn, donde

P (x,D)u =X|α|≤m

aα (x)Dαu.

Problema de Cauchy. “Dada una función g, encontrar una solución u dela ecuación P (x,D)u = g en D tal que sobre una hipersuperficie S ⊂ Rn

se tenga:

u = ϕ0,∂u

∂N= ϕ1, ...,

∂m−1u

∂Nm−1 = ϕm−1,

donde N es un vector normal unitario exterior a S y ϕ0, ϕ1, ..., ϕm−1 sonfunciones dadas, llamadas los datos iniciales.”

Nota. Si los datos ϕi ’s, y las funciones aα(x) y g(x) fueran funciones analíti-cas, el problema de Cauchy es llamado analítico.

Algunos resultados (históricos) sobre este problema son:

(i) . La unicidad de la solución del problema analítico está garantizadopor el Teorema de Cauchy-Kowalevsky: “el problema de Cauchyanalítico para

P|α|≤m

aα (x)Dαu = g tiene una única solución analítica”.

(ii) . En 1901, Holgrem establece el teorema: “Si P (x,D) es un oper-ador con coeficientes analíticos y si los datos iniciales se anulan sobreuna superficie regular S (de Rn), la cual no es característica, entoncescualquier solución u (no necesariamente analítica) de P (x,D)u = 0,con esos datos iniciales, se anulan idénticamente en una pequeña vecin-dad de cualquier subconjunto cerrado de S”.

(iii) . T. Carleman, en 1939, fue el primero en quitar la hipótesis de analiti-cidad (caso de 2 variables) pero asume que las características de laecuación no sean múltiples, pues en caso contrario la unicidad falla.

(iv) . En 1957, A.P. Calderón generaliza el resultado de Carleman para elcaso n-variables, con n = 3. La herramienta que usa es la teoría de losoperadores integrales singulares, la que tiene un cálculo funcional masconveniente que el de los operadores diferenciales parciales.

5.2. SOLUCIONES DÉBILES.


Definimos: “u es solución débil de Lu = f si

hLu,ϕi = hf, ϕi , ∀ ϕ ∈ D (D) ”.


Es conveniente motivar esta definición, así como explicitar su importanciaen la solución de problemas en ecuaciones diferenciales parciales. Lo masnatural es considerar un simple problema de Dirichlet para una ecuacióndiferencial ordinaria. Así se tiene el problema ([BREZ]):

“dado f ∈ C ([a, b]), encontrar u tal que⎧⎨⎩ −u00+ u = f en [a, b]

u(a) = 0u(b) = 0 .

(PD)

u es una solución clásica (ó fuerte) de (PD) si u ∈ C2 ([a, b]) y satisface(PD) en el sentido usual.

Ahora realizamos una operación muy usual en el tratamiento de la solu-ción débil. Sea ϕ ∈ C1 ([a, b]) tal que ϕ(a) = 0 = ϕ(b). Entonces, −u00ϕ +uϕ = fϕ, luego

−Z b

au00ϕ+

Z b

auϕ =

Z b

afϕ;

integrando por partes, Z b

au0ϕ0+

Z b

auϕ =

Z b

afϕ (SD)

Observamos que (SD) tiene sentido si solo u ∈ C1 ([a, b]), en cambio en(PD) u ∈ C2 ([a, b]) .

Asi, decimos que ¿ u ∈ C1 ([a, b]) es una solución débil de (PD), si usatisface (SD)À .

La ruta seguida en la solución del problema (PD) y de un modo generalen otros de similar tipo, es el siguiente:

(i) . Usar, y generalizar, la idea de solución débil, así como emplear elescenario de los espacios de Sobolev.

(ii) . Usar el teorema de Lax-Milgram para establecer la existencia y unici-dad del problema vía el método variacional.

(iii) . Establecer que la solución débil es de clase C2.

(iv) . Probar que una solución débil y de clase C2, es una solución clásica.

Nota. La parte (iv) es genérica y se puede verificar en la forma siguiente.Sea u ∈ C2 ([a, b]) una solución débil, esto es satisface (SD).Entonces, ∀ ϕ ∈ C1 ([a, b]) tenemos (integrando por partes)Z b

a

³−u00 + u− f

´ϕ = 0


donde remarcamos que ϕ(a) = ϕ(b) = 0. Pero, C10 ([a, b]) es denso enL2 ([a, b]), luego−u00+u = f c.t.p.; pero, siendo u ∈ C2 tendremos −u00+u =f en todas partes; además se tiene (por hipótesis) u(a) = u(b) = 0. Así, ues una solución clásica.

¥En el problema (PD), f es una función dada y pertenece a un espacio

de funciones, como C¡I¢, L2 (I) , ..., donde I = ]a, b[, por ejemplo. En

términos de los espacios de Sobolev, tenemos la

Definición 5.1 Una solución débil de (PD) es una función u ∈ H10 (I)

¡≡ L21,0 (I)

¢tal que Z

Iu0v0+

ZIuv =

ZIfv, ∀ v ∈ H1

0 (I) . (SD)

Observemos que la parte (i), de la ruta mencionada antes, es logradaintegrando por partes conforme se hizo anteriormente. En cuanto a (ii) setiene el siguiente Principio de Dirichlet (ver 2.3.3):

¿Para todo f ∈ L2 (I), existe una única solución u ∈ H10 (I) de (SD)

(esto es, u es una solución débil de (PD). Además, u es obtenida resolviendo

mınv∈H1

0

µ1

2

ZI

³v02+ v2

´−ZIfv

¶.À

La prueba de este Principio es basada exactamente en el teorema deLax-Milgram (5.1.1), donde H = H1

0 (I) es el espacio de Hilbert,

a (u, v) =

ZIu0v0+

ZIuv

es la forma bilineal y

H10 (I) −→ R

v 7−→Zfv

es la forma lineal.

Las hipótesis que tenemos permiten afirmar que se tiene las hipótesis delteorema de Lax-Milgram (sobre todo la coercitividad; ver, de un modo masgeneral, el siguiente Problema de Sturm-Liouville para tal prueba).

Veamos (iii). Sea f ∈ L2 (I) y u ∈ H10 (I) es una solución débil de (PD);

entonces u ∈ H2. En efecto, tenemosZu0v0= −

Z− (f − u) v, ∀ v ∈ C10 (I) .

Desde que f − u ∈ L2, por definición tenemos que u0 ∈ H1 (I), esto es,

u ∈ H2 (I), donde remarcamos que H2 =©u ∈ L2 (I)

±∆u ∈ L2 (I)

ª.


Si además f ∈ C¡I¢, entonces integrando por partes en (SD) y por

densidad tendremos:

−Z

u00v +

Zuv =

Zfv

ó u00= u− f ∈ C

¡I¢, luego u ∈ C2

¡I¢como se desea.

La parte (v) ya fue establecida.

5.2.2. El Problema de Sturm-Liouville.

(Ver 1.4)Este importante problema consiste en encontrar u tal que

− (pu0)0 + qu = f , en I = ]0, 1[u(0) = 0u(1) = 0

[PSL]

donde p ∈ C1¡I¢, q ∈ C

¡I¢y f ∈ L2 (I) son funciones dadas, con

p(x) ≥ α > 0, ∀ x ∈ I.

Solución.

Motivación: Si u es solución clásica de [PSL], multiplicando por v ∈ H10 (I)

e integrando por partes,ZIpu

0v0+

ZIquv =

ZIfv, ∀ v ∈ H1

0 (I) .

Luego tomemosH = H10 (I) y a (u, v) =

RI pu

0v0+RI quv, siendo la forma

lineal v →Rfv. Observemos que a ( , ) es una forma bilineal simétrica, y

por las hipótesis sobre p y q es también continua. Si q ≥ 0, a ( , ) es coerciva.En efecto, por la desigualdad de Poincaré (5.1.1), como I es acotado,

existe una constante C > 0 tal que

kukH1 ≤ C°°°u0°°°

L2.

Entonces,

a (v, v) =

Zp v

0 2+

Zqv2 ≥ mın

Ip

Zv0 2+ mın

Iq

Zv2

≥ C1 kvk2H1 +C2 kvk2L2 ≥ C kvk2H1 .

Ahora estamos en condiciones de aplicar el teorema de Lax-Milgram paraafirmar que existe un único u ∈ H1

0 (I) tal que

a (u, v) =

ZIfv, ∀ v ∈ H1

0 (I) .

Además, u es obtenido vía mınv∈H1

0 (I)

µ1

2

ZI

³p v

0 2+ qv2

´−ZIfv

¶.


Por otro lado, desde queRpu

0v0=RI (f − qu) v con f − qu ∈ L2, ten-

dremos que pu0 ∈ H1 (I), y por tanto, u

0=1

ppu

0 ∈ H1 (I) y aún u ∈ H2 (I)

(luego, u ∈ H2 (I) ∩H10 (I)), lo que significa ∆u ∈ L2 (I) .

Finalmente, con un argumento similar a lo hecho en la sección 5.2.1, sif ∈ C

¡I¢entonces u ∈ C2

¡I¢.

Conclusión: por (iv) de nuestra ruta, u es una solución clásica de [PSL].¥

5.2.3. El Problema de Neumann.

(Ver 1.5)Resolver ⎧⎨⎩

−u00 + u = f en I = ]0, 1[

u0(0) = 0

u0(1) = 0 .

[PN]

La solución descansa en la

Proposición 5.2 Para toda f ∈ L2 (I), existe una única función u ∈ H2 (I)que satisface [PN].

Además, u es obtenida vía:

mınv∈H1

µ1

2

ZI

³v02+ v2

´−ZIfv

¶.

Si f ∈ C¡I¢, entonces u ∈ C2

¡I¢.

Prueba.Observemos que Lp

m (I) ⊂ Cm−1 (I) y por tanto u ∈ H2 (I) implicau ∈ C1

¡I¢, luego tiene sentido la condición u

0(0) = 0 = u

0(1). Por esto, no

es suficiente tener u ∈ H1 (I) .Motivación: si u es solución clásica de [PN] entoncesZ

Iu0v0+

ZIuv =

ZIfv, ∀ v ∈ H1 (I) .

Luego elegimos H = H1 (I) y a (u, v) =RI u

0v0+RI uv y la forma lineal

v →RI fv. Se tienen las hipótesis para aplicar Lax-Milgram. Así obtenemos

una solución débil u ∈ H1 (I) de [PN], esto es, u satisfaceZIu0v0+

ZIuv =

ZIfv.

Integrando por partes obtenemosZI

³−u00 + u− f

´v + u

0(1)v(1)− u

0(0)v(0), ∀ v ∈ H1 (I) .


Además se tiene que u ∈ H2 (I). Si en la última ecuación tomamosv ∈ H1

0 (I), tendremos −u00+ u = f c.t.p., lo que llevamos a la ecuación

para obtener

u0(1)v(1)− u

0(0)v(0) = 0, ∀ v ∈ H1 (I) .

Desde que v(0) y v(1) son arbitrarios, tendremos que u0(0) = u

0(1) = 0 (pues

si u0(0) 6= 0 y v0(1) 6= 0, bastaría tomar v(1) = 1

u0(1)y v(0) = − 1

u0(0)para

obtener una contradicción).Similar a lo hecho antes, si f ∈ C

¡I¢entonces u ∈ C2

¡I¢.

Por lo tanto u es una solución clásica de [PN].¥

5.3. EL PROBLEMA DE DIRICHLET.

5.3.1. El Problema de Dirichlet para el Laplaciano.

El problema de Dirichlet fue planteado en 1.5. y con más detalle en 5.1.3,en donde consideramos el problema: “encontrar u ∈ C2 (D) ∩C (D) tal que½

−∆u = f en Du = g sobre Γ ≡ ∂D

(D)

donde D ⊂ Rn es un abierto acotado; f y g son funciones continuas dadas”.Vimos que (D) es equivalente a resolver:

(D1):½−∆u = f en Du = 0 sobre Γ

y (D2):½−∆u = 0 en Du = g sobre Γ.

Veamos (D1).Considerando que γ0u = 0 es satisfecha para ∀ u ∈ H1

0 (D) , la condiciónde contorno “u = 0 sobre Γ” puede ser substituida por “u ∈ H1

0 (D)”. Asítenemos el

Teorema 5.3 Sea D ⊂ Rn un dominio (abierto) acotado. Si f ∈ H−1 (D)[ H−1 (D) es el espacio dual de H1

0 (D) ], entonces el problema de Dirichlet½−∆u = f D0

(D)u ∈ H1

0 (D)

tiene una única solución u = Gf , donde

G : H−1 (D) −→ H10 (D)

f 7−→ Gf

es un isomorfismo de espacios normados.

5.3. EL PROBLEMA DE DIRICHLET. 225

Prueba.Sea la forma bilineal

a (u, v) =nXi=1

hDiu,Divi , u, v ∈ H1 (D) ,

donde Di ≡∂

∂xiy h , i ≡ h , iL2 , k . k ≡ k . kL2 . Sea c0 la constante de la

desigualdad de Poincaré

nXi=1

kDiuk2 ≥ c0 kuk2 , ∀ u ∈ H10 (D)

y pongamos γ = mın½c0,1

2

¾. Entonces a (u, u) ≥ γ kuk2 y

|a (u, v)| ≤ n kukH1 kvkH1 , ∀ u, v ∈ H10 (D) .

Luego tenemos las hipótesis del teorema de Lax-Milgram y afirmamosque existe un isomorfismo de espacios normados

A : H10 (D) −→ H1

0 (D)u 7−→ Au

tal que

a (u, v) = hAu, viH1 , u, v ∈ H10 (D) .

A es lineal y continuo sobre H10 y por tanto por el Teorema de F. Riesz,

existe un isomorfismo

S : H−1 (D) −→ H10 (D)

f 7−→ Sf

tal quekSfkH1 = kfkH−1 , ∀ f ∈ H−1 (D) ,

yhf, vi = hSf, viH1 , ∀ f ∈ H−1 (D) , v ∈ H1

0 (D) .

Sea ahora la composición G = A−1S. Observemos que

G : H−1 (D)→ H10 (D)

es un isomorfismo, sobre y continuo, con inverso

G−1 = S−1A : H10 (D)→ H−1 (D) .


Veamos ahora el problema del teorema.Si f ∈ H−1 (D) , sea u = Gf = A−1 (Sf). Así u ∈ H1

0 (D). Luego, siϕ ∈ D (D) tendremos

h−∆u, ϕi i×p= a (u, ϕ) = hAu,ϕiH1 = hSf, ϕiH1 = hf, ϕi .

Por lo tanto −∆u = f en D0(D) y u ∈ H1

0 (D) .

Unicidad de la Solución.Sea v ∈ H1

0 (D) tal que −∆v = f en D0(D). Entonces, w = u − v ∈

H10 (D) y −∆w = 0. Luego,

c0 kwk2 ≤ a (w,w) = h−∆w,wi = 0;

por tanto, w = 0, esto es, v = u. Así tenemos solucionado el problema (D1).¥

Desde que L2 (D) ⊂ H−1 (D) tenemos el

Corolario 5.1 Si f ∈ L2 (D), entonces existe un único u = G0f ∈ H10 (D)

tal que −∆u = f . Además, la aplicación lineal G0 : L2 (D) → H10 (D) es

inyectiva y continua.

Prueba.Sabemos que natural inyección i : L2 (D)→ H−1 (D) es continua.

Se tiene el diagrama L2 (D)i→ H−1 (D)

G→ H10 (D) .

Luego, G0 = G i : L2 (D)→ H10 (D) es inyectiva y continua.

¥


Solución del Problema (D2):½−∆u = 0 en Du = g sobre Γ

.

Hagamos el siguiente argumento. Si D ⊂ Rn es un conjunto abierto,regular, y u ∈ H1 (D), entonces la condición “u = g sobre Γ” puede sersubstituida por γ0u = g, (ver 5.1.). Si esto admitimos y si u1 ∈ H1 (D) talque γ0u1 = g, entonces para todo v ∈ H1

0 (D) tenemos

γ0 (v + u1) = γ0v + γ0u1 = γ0u1 = g.

Esto nos motiva considerar la clase K =©u+ u1/u ∈ H1

0 (D)ª. En-

tonces la condición “u = g sobre Γ” ó mas generalmente el problema (D2)puede ser escrito en la forma

¿encontrar v ∈ K tal que −∆v = 0À,ya que si v ∈ K, v = u + u1 y γ0 (v) = γ0 (u) + γ0 (u1) = γ0 (u1) = g.

Pero, aún: “v ∈ K ⇔ v = u + u1 ⇔ v − u1 = u ∈ H10 (D)”. Lo que nos

permite escribir el problema (D2) en la forma:¿dado u1 ∈ H1 (D), encontrar u ∈ H1 (D) tal que½

−∆u = 0u− u1 ∈ H1

0 (D)À .

En esta dirección tenemos el

Teorema 5.4 Sea D ⊂ Rn un conjunto abierto, acotado. Entonces, paratodo v ∈ H1 (D) existe un único u = s0v ∈ H1 (D) tal que½

−∆u = 0u− v ∈ H1

0 (D),

donde la aplicación lineal s0 : H1 (D)→ H1 (D) , v → s0v, es continua.

Prueba.Remarcamos aún la notación h , i = h , iL2 , y k . k = k . kL2 .Si v ∈ H1 (D), entonces para todo ϕ ∈ C∞0 (D) tenemos

|h∆v, ϕi| i×p=¯¯nXi=1

− hDiv,Diϕi¯¯ ≤ n kvkH1 kϕkH1 .

Esto significa que ∆v ∈¡H10 (D)

¢0= H−1 (D) y que

k∆vkH−1 ≤ n kvkH1 , ∀ v ∈ H1 (D) .

Como en el teorema 5.3, sea G = A−1S donde S : H−1 (D)→ H10 (D) es

un isomorfismo y A : H10 (D) → H1

0 (D) es también un isomorfismo. Ahoradefinamos la aplicación lineal s0 : H1 (D)→ H1 (D) vía

s0v = v +G (∆v) , ∀ v ∈ H1 (D) .


Entonces tenemos,

ks0vkH1 ≤ kvkH1 + kG (∆v)kH1 ≤ kvkH1 + n kGk kvkH1

= (1 + n kGk) kvkH1 , ∀ v ∈ H1 (D) .

De esta manera s0 es una aplicación lineal y continua. Pongamos w =G (∆v), esto es, w ∈ H1

0 (D) y w = s0v−v, luego∆w = ∆ (s0v)−∆v = −∆vó −∆w = ∆v, w ∈ H1

0 (D) .

Conclusión. Si u = s0v (y por tanto u ∈ H1 (D)) tendremos u = v + w y−∆u = −∆v −∆w = 0, u− v = w ∈ H1

0 (D) .Así, u es solución del problema (D2).

Unicidad. Sea u0tal que ½

−∆u0 = 0u0 − v ∈ H1

0 (D)

(otra solución de (D2)). Entonces, −∆³u− u

0´= 0 y

u− u0= (u− v)−

³u0 − v

´∈ H1

0 (D) .

Ahora aplicamos el teorema 5.3 (con f = 0). Entonces, u − u0= Gf =

G0 = 0. Así u = u0.

¥Como consecuencia de los teoremas 5.3 y 5.4 se tiene el


Corolario 5.2 [Problema de Dirichlet].Sea D ⊂ Rn un conjunto abierto acotado. Si f ∈ H−1 (D) y v ∈ H1 (D),

entonces el problema ½−∆u = fu− v ∈ H1

0 (D)

tiene una única solución u = S (f, v), donde la aplicación

S : H−1 (D)×H1 (D) → H1 (D)(f, v) → u

es lineal y continua.

¥

5.3.2. El Problema de Dirichlet para Operadores Elípticosde Orden Superior.

Para algunas definiciones y notaciones, ver 4.11.2. y 4.11.3. Comenzamoscon el caso de un operador diferencial de segundo orden.

Teorema 5.5 Sea L un operador diferencial parcial lineal de segundo orden,definido en un abierto, limitado D ⊂ Rn, uniformemente elíptico

L = −nX

i,j=1

aij (x)∂2

∂xi∂xj+

nXj=1

aj (x)∂

∂xj+ a (x) ,

donde aij ∈ C2 (D) ∩C1¡D¢, aj ∈ C1 (D) ∩ C

¡D¢, a ∈ C

¡D¢.

Entonces existe λ0 ∈ R tal que para todo λ ≥ λ0 y para todo f ∈L2 (D) existe un único u ∈ D (D), con primeras derivadas en D (D), tal queLu+ λu = f en el sentido que

hu,L∗ϕ+ λϕi = hf, ϕi , ∀ ϕ ∈ D (D) .

Prueba.Para todo ϕ,ψ ∈ D (D) tenemos,

hLϕ,ψi = −nX

i,j=1

¿aij

∂2ϕ

∂xi∂xj, ψ

À+

nXj=1

¿aj

∂ϕ

∂xj, ψ

À+ haϕ, ψi

=nX

i,j=1

¿∂ϕ

∂xj,∂aij∂xi

ψ

À+

nXi,j=1

¿∂ϕ

∂xj, aij

∂ψ

∂xi

À+

nXj=1

¿aj

∂ϕ

∂xj, ψ

À+ haϕ, ψi .

Definamos la forma bilineal B ( , ) vía

B (ϕ,ψ) =Xi,j

¿∂ϕ

∂xj,∂aij∂xi

ψ

À+Xi,j

¿∂ϕ

∂xj, aij

∂ψ

∂xi

À+Xi,j

¿aj

∂ϕ

∂xj, ψ

À+haϕ,ψi .

Las hipótesis nos permite afirmar que existe una constante b > 0 tal que

|B (ϕ,ψ)| ≤ b kϕk(1)2 kψk(1)2 ,

donde

kgk(m)p =

⎛⎝ X|α|≤m

kDαgkpLp

⎞⎠ 1p

, 1 ≤ p <∞.

Además, si ponemos

D(m)p (D) = D (D)L(m)p (D)

,

la desigualdad es aún cierta para ϕ,ψ ∈ D(1)2 (D) (usando continuidad).Sea ahora la forma bilineal

Bλ (ϕ,ψ) = B (ϕ,ψ) + λ hϕ,ψi .

Entonces aún |Bλ (ϕ,ψ)| ≤ b kϕk(1)2 kψk(1)2 .Por otro lado, con las notaciones asumidas anteriormente se tiene el

importante:

Teorema 5.6 [Desigualdad de Gärding].“Existen constantes c1, c2 > 0 tal que para todo ϕ ∈ D (D) se tiene

hϕ,Lϕi ≥ c1

hkϕk(1)2

i2− c2 [kϕkL2 ]

2 .”

La idea ahora es aplicar esta desigualdad a L∗ :Para todo ϕ ∈ D (D) ,

B (u, u) = hLu, ui = hu,L∗ui ≥ c1

hkuk(1)2

i2− c2 [kuk2 ]

2 .

Entonces, para λ ≥ c2 tendremos,

Bλ (u, u) ≥ c1

hkuk(1)2

i2+ (λ− c2) kuk22 ≥ c1

³kuk(1)2

´2.

Nuevamente, por continuidad, la desigualdad vale para u ∈ D(1)2 (D). De

esta manera Bλ es una forma bilineal sobre D(1)2 (D) que satisface el teoremade Lax-Milgram; además, si f ∈ L2 (D), la funcional

Ff : D(1)2 (D) −→ Cv 7−→ hf, vi

es continua.


Por tanto, existe una única u ∈ D(1)2 (D) tal que para todo v ∈ D(1)2 (D)se tiene

hf, vi = Ff (v) = Bλ (u, v) .

En particular, para ϕ ∈ D (D) se tendrá:

hf, ϕi = Bλ (u, ϕ) = hu,L∗ϕ+ λϕi .

Basta tomar entonces u = (L+ λ)−1 f.¥

Veamos ahora al Problema de Dirichlet para operadores elípticosde segundo orden en un contexto mas amplio.

Sea D ⊂ Rn un dominio (posiblemente no acotado); A : Rn → Rn un op-erador lineal; a0 ∈ L∞ (D) , a0 (x) ≥ α0 > 0 c.t.p. D; ai,j ∈ L∞ (D) , i, j =1, ..., n.Además, existe α > 0 tal que A (x) ξ.ξ ≥ α |ξ|2 c.t.p. D,

ξ = (ξ1, ..., ξn) ∈ Rn, |ξ|2 =nXi=1

ξ2i ; f ∈ L2 (D)

y g ∈ L2 (Γ), donde Γ ≡ ∂D.Entonces tenemos el

Problema de Dirichlet. “Encontrar u tal que½−∇. (A∇u) +∇. (βu) + a0u = f en D

u = g sobre Γ[PD]

donde β : D→ Rn es una función vectorial dada.”

Caso Particular. Si A = I (identidad), a0 = 0 y β = 0, entonces [PD] sereduce al clásico problema de Dirichlet para el Laplaciano:½

−∆u = f en Du = g sobre Γ

.

Veamos ahora la formulación variacional de [PD].Sea v ∈ D (D); de esta manera v = 0 sobre Γ. Nos será de utilidad la

siguiente fórmula de Green-Ostrogradsky:“Si V : D → Rn

x → V (x)es una función vectorial, entonces

ZDV ·∇vdx+

ZDv∇ · V dx =

ZD∇ · (vV ) dx =

ZΓvV ·Ndσ

donde v es una función regular definida sobre D (v es una función “prue-ba”).”


Aplicando esta fórmula a nuestro caso (v = 0 sobre Γ) se obtieneZD(A∇u) ·∇vdx−

ZDuβ ·∇vdx+

ZDa0uvdx =

ZDfvdx, v ∈ D (D) [•]

Observación. Esta igualdad es una generalización de la conocida expresión:

“

ZD∇u ·∇vdx+

ZDuvdx =

ZDfvdx”.

De algún modo (“retrocediendo”) si tenemos [•], entonces u satisface laecuación diferencial en [PD] (en el sentido de las distribuciones).

Recordemos al espacio de Sobolev H10 (D) = D (D)H

1(D). Si Γ es sufi-

cientemente regular se tiene la caracterización:

H10 (D) =

©v ∈ H1 (D)

±γ0v = 0

ª,

donde γ0 es el operador traza (ver 5.1.1 y 5.4.3). Es claro que H10 (D) es un

subespacio cerrado de H1 (D) .Asumamos que si D fuera acotada en al menos una dirección de Rn, en-

tonces v →³R

D |∇v|2 dx

´ 12 define una norma sobre H1

0 (D), la que es equiv-

alente a la norma H1 (D). Así mismo asumiremos las siguientes hipótesis:a0 ∈ L∞ (D) , a0 (x) ≥ α0 > 0 c.t.p.D; β ∈ (L∞ (D))n , ∇ · β = 0 en el sen-tido de las distribuciones; existe g ∈ H1 (D) tal que g = γ0g. Remarcamosque A (x) ξ.ξ ≥ α |ξ|2 c.t.p. D y que f ∈ L2 (D) .

La idea es aplicar el teorema de Lax-Milgram. Para ello consideramos laforma bilineal a : H1 (D)×H1 (D)→ R, donde

a (u, v) =

ZD(A∇u) ·∇vdx−

ZDuβ ·∇vdx+

ZDa0uvdx, ∀ u, v ∈ H (D)

y la funcional lineal L : H1 (D) → R, donde L (v) =RD fvdx, ∀ v ∈

H1 (D) .Tanto a ( , ) como L( ) son aplicaciones continuas en sus respectivas

topologías.

Lema 5.2 Si β satisface β ∈ (L∞ (D))n y ∇ · β = 0, entoncesZDvβ ·∇wdx = −

ZDwβ ·∇vdx, ∀ v,w ∈ H1

0 (D) .

De esta manera, la forma bilineal v, w →RD vβ · ∇wdx es “casi”

simétrica sobre H10 (D)×H1

0 (D) .Prueba.

Sean v, w ∈ D (D); entoncesZDvβ ·∇wdx =

ZDβ ·∇ (vw) dx−

ZDwβ ·∇vdx.


Como vw ∈ D (D) y ∇.β = 0, se tiene tambiénZDβ ·∇ (vw) dx = hβ,∇ (vw)i = − h∇ · β, vwi = 0.

Luego tenemosZDvβ ·∇wdx = −

ZDwβ ·∇vdx, ∀ v, w ∈ D (D) .

La tesis sigue ahora por la densidad de D (D) en H10 (D) .

¥

Proposición 5.3 Bajo las anteriores hipótesis para a0, A y β, tenemos quela forma bilineal

a (u, v) =


ZDuβ ·∇vdx+

ZDa0uvdx, ∀ u, v ∈ H1 (D)

es H10 (D)-elíptica (coerciva).

Prueba.Tenemos

a (v, v) ≥ mın (α,α0) kvk2H1(D) −ZDvβ.∇vdx, ∀ v ∈ H1

0 (D) .

Pero, ∇ · β = 0 y el lema 5.2 implican queZDvβ ·∇vdx = 0, ∀ v ∈ H1

0 (D) .

Finalmente,

a (v, v) ≥ mın (α, α0) kvk2H1(D) , ∀ v ∈ H10 (D) . ¥

Proposición 5.4 El problema variacional:

¿encontrar u ∈ H1 (D) tal que½a (u, v) = L (v)

γ0u = g, ∀ v ∈ H10 (D) .

À [PV ]

tiene una única solución. Esta solución es también la única solución, enH1 (D), del problema de Dirichlet½

−∇ · (A∇u) +∇. (βu) + a0u = f en Du = g sobre Γ.

[PD]

Nota. En esta proposición estamos asumiendo todas las hipótesis, men-cionadas antes, para los ingredientes de la proposición.Prueba.


Unicidad. Si u1 y u2 fueran dos soluciones de a (u, v) = L (v) entoncestendríamos a (u1, v) = L (v) y a (u2, v) = L (v), esto es, a (u2 − u1, v) =0, ∀ v ∈ H1

0 (D). Por otro lado, u1, u2 ∈ H1 (D) con γ0u1 = g = γ0u2,entonces u2 − u1 ∈ H1 (D) con γ0 (u2 − u1) = 0. Luego, u2 − u1 ∈ H1

0 (D) .Si v = u2 − u1, a (u2 − u1, v) = 0 y la proposición 5.3, implican

0 ≤ mın (α, α0) ku2 − u1k2H1(D) ≤ 0.

Luego, u2 = u1.

Existencia.Si g ∈ L2 (Γ), existe g ∈ H1 (D) tal que g = γ0g. Pongamos u = u− g ∈

H10 (D). Entonces se tiene la equivalencia entre los problemas:⎧⎨⎩

“encontrar u ∈ H1 (D) tal quea (u, v) = L (v)γ0u = g, ∀ v ∈ H1

0 (D) ”

y ⎧⎨⎩“encontrar u ∈ H1

0 (D) tal quea (u, v) = L (v)− a (g, v)∀ v ∈ H1

0 (D) ”.

Observemos que, por la proposición 5.3, a ( , ) es una forma bilineal,continua y H1

0 (D)-elíptica. Además, se verifica, que la funcional lineal v →L (v)−a (g, v) es continua sobreH1

0 (D). Luego, aplicando el teorema de Lax-Milgram, se concluye que a (u, v) = L (v)− a (g, v) tiene una única soluciónen H1

0 (D). Por tanto, por la anterior equivalencia de problemas, [PV] tieneuna única solución.

Veamos la segunda parte. Si u es solución del problema [PV], entonces ues solución del problema [PD] (pues si v ∈ D (D), entonces la definición dea ( , ) y de L( ), y argumentos familiares, vemos que u es solución de [PD]).

Recíprocamente, si u es solución de [PD], entonces u es solución de [PV].¥

5.3.3. Operadores de Orden Superior.

Veamos ahora el Problema de Dirichlet para operadores elípticos de or-den superior.

Sea D ⊂ Rn un conjunto abierto y consideremos el operador diferencialparcial lineal

L (x) =X

|α|≤2maα (x)D

α

(de orden 2m), x = (x1, ..., xn) ∈ D.

Asumamos que los aα (x)0s sean funciones de valor real, entonces se tiene

el

Lema 5.3 Si aα ∈ C(|α|−m) (D) , m < |α| ≤ 2m, entonces L se puedeescribir en la forma

L (x) =P

|ρ|,|σ|≤m(−1)|ρ|Dρ [aρ,σ (x)D

σ] [∗]

donde aρ ∈ C(|ρ|)¡D¢cuando |ρ| > 0, ρ, σ ∈ Nn. Así, ∀ ϕ ∈ D (D)

tendremos X|α|≤2m

aα (x)αDϕ =

X|ρ|,|σ|≤m

(−1)|ρ|Dρ [aρ,σ (x)Dσϕ] .

Remarcamos que ρ = (ρ1, ..., ρn) , σ = (σ1, ..., σn) , |ρ| = ρ1 + ... + ρn;para |α| = 2m pondremos α = (ρ, σ) , |ρ| = m, |σ| = m, aα = (−1)m aρ,σ.Recíprocamente, dado un operador diferencial parcial lineal L(x) escritoen la forma [∗], si aρ,σ ∈ C(|ρ|) (D) , |ρ| > 0, entonces L puede ser escrito enla forma:

L (x) =X

|α|≤2maα (x)D

α,

con aα ∈ C(|α|−m) (D) , m < |α| ≤ 2m.

Nota. La representación [∗], para el operador L, no es única.Prueba.

Dado α ∈ Nn, con m < |α| ≤ 2m, poniendo α = ρ+ σ (ρ, σ ∈ Nn) con|ρ| , |σ| ≤ m, |σ| = m, tendremos usando la fórmula de Leibniz,

Dρ (aαDσϕ) =

Xγ≤ρ

µργ

¶¡Dρ−γaα

¢ ¡Dγ+σϕ

¢= aαD

αϕ+Xγ<ρ

µργ

¶¡Dρ−γaα

¢ ¡Dγ+σϕ

¢.

Luego,

aαDαϕ = Dρ (aαD

σϕ)−Xγ<ρ

µργ

¶(Dρ−γaα) (Dγ+σϕ) [+]

con |γ + σ| < |ρ+ σ| = |α| y

Dρ−γaα ∈ C(|α|−m−|ρ−γ|) (D) = C(|γ+σ|−m) (D) ,

desde que α− (ρ− γ) = σ + γ.Ahora la idea es usar inducción para probar [∗], lo que sigue de [+] (observando

que cuando |α| = m+1, [+] nos dice que aαDα se puede escribir en la forma[∗]). Si [∗] vale para α ∈ Nn con m < |α| < k, entonces [+] nos dice que latesis vale también para aαDα con |α| = k.

El recíproco sigue también observando [+] .¥


Pensando en usar el teorema de Lax-Milgram introduzcamos una conve-niente forma bilineal. En efecto, a un operador L escrito en la forma

L (x) =mX

|ρ|,|σ|=0(−1)|ρ|Dρ [aρ,σ (x)D

σ] ,

con aρ,σ ∈ L∞loc (D) le asociamos la forma bilineal

B : D (D)× L2m,loc (D) → C

(ϕ, u) → B (ϕ, u) =mP

|ρ|,|σ|=0hDρϕ, aρ,σ (x)D

σui ,

donde hg, hi =RD g(x)h(x)dx y

L2m,loc (D) =©f ∈ L2loc (D)

±Dαf ∈ L2loc (D) , |α| ≤ m

ª.

Lema 5.4 Sea L un operador diferencial parcial lineal definido en D, escritoen la forma [∗], con aρ,σ ∈ C(|ρ|) (D). Sea B la forma bilineal asociada a L.Dado u ∈ C(2m) (D), tenemos

Lu = f ⇐⇒ B (ϕ, u) = hϕ, fi , ∀ ϕ ∈ D (D) .

Prueba.

hϕ, fi = hϕ,Lui =Dϕ,X

(−1)|ρ|Dρ [aρ,σDσu]E

=X

hDρϕ, aρ,σDσui = B (ϕ, u) . ¥

El lema 5.3 motiva la siguiente definición (ver 4.11.2)

Definición 5.2 Sea L un operador diferencial parcial lineal escrito en laforma [∗] .

Dada f ∈ L2loc (D), decimos que u ∈ L2m,loc (D) es una solución débilde Lu = f si B (ϕ, u) = hϕ, fi , ϕ ∈ D (D) .

Definición 5.3 Operador Elíptico. Decimos que el operador diferencialparcial lineal, escrito en la forma [∗], es un operador elíptico en el puntox0 ∈ D si para todo ξ ∈ Rn, ξ 6= 0, tenemosX

|ρ|=|σ|=maρ,σ (x0) ξ

σξρ 6= 0.

Nota.

• Si n > 2, todo operador elíptico tiene orden par 2m, resultado que aúnvale cuando n = 2 si los coeficientes aρ,σ son reales.


• ∂

∂x+ i

∂

∂yes un operador elíptico de orden 1 en el plano.

Operador Uniformemente Elíptico.

Definición 5.4 Decimos que el operador diferencial parcial lineal L, escritoen la forma [∗], es uniformemente elíptico en D si:

(i) aρ,σ ∈ L∞ (D) y aρ,σ ∈ C¡D¢si |ρ| = |σ| = m;

(ii) Existe c0 > 0 (constante de elipticidad) tal que para todo ξ ∈ Rn

tenemos X|ρ|=|σ|=m

aρ,σ (x) ξσξρ ≥ c0 kξk2m , ∀ x ∈ D.

Observación. Sabemos que si u es una solución débil de −u00 + u = f en[a, b], con u(a) = u(b) = 0, y u es de clase C2 ([a, b]), entonces u es soluciónclásica de la ecuación diferencial dada. En el actual contexto tenemos unasituación similar. En efecto, si u es una solución débil de Lu = f y u ∈C(2m)

¡D¢con aρ,σ ∈ C(m)

¡D¢, entonces u es también una solución en el

sentido clásico.En efecto, por hipótesis tenemos B (ϕ, u) = hϕ, fi , ∀ ϕ ∈ D (D) .

Por otro lado,

B (ϕ, u) =X

|ρ|,|σ|≤mhDρϕ, aρ,σ (x)D

σui

=X

|ρ|,|σ|≤m

Dϕ, (−1)|ρ|Dρ [aρ,σ (x)D

σu]E

=

*ϕ,

X|ρ|,|σ|≤m

(−1)|ρ|Dρ [aρ,σ (x)Dσu]

+= hϕ,Lui .

Por tanto, hϕ,Lui = hϕ, fi , ∀ ϕ ∈ D (D). Así, Lu = f en D.

¥

Operador Uniforme Fuertemente Elíptico.

Definición 5.5 Decimos que un operador diferencial parcial lineal L, es-crito en la forma [∗], es uniforme fuertemente elíptico si

(i) aρ,σ ∈ L∞ (D) y aρ,σ ∈ C¡D¢si |ρ| = |σ| = m;

(ii) Existe c0 > 0 (constante de elipticidad) tal que para todo ξ ∈ Rn,

ReX

|ρ|=|σ|=maρ,σ (x) ξ

σξρ ≥ c0 kξk2m , ∀ x ∈ D.


Problema de Dirichlet Generalizado.

Dado un operador diferencial parcial lineal L, escrito en la forma [∗] concoeficientes aρ,σ ∈ L∞ (D) y demos u0 ∈ L2m (D). Decimos que u ∈ L2m (D)es solución del Problema de Dirichlet Generalizado

Lu = f en Du = u0 sobre Γ = ∂D

si u es una solución débil de Lu = f , y si u− u0 ∈ D (D)L2m(D) ≡ Hm

0 (D) .

Nota. La condición u−u0 ∈ Hm0 (D) significa que u y u0 “coinciden” sobre

Γ, desde que Hm0 (D) es el espacio de funciones que se anulan “cerca” de la

frontera Γ y es un espacio denso.Se tiene el siguiente resultado fundamental.

Teorema 5.7 Sea L un operador diferencial parcial lineal, definido sobreD y escrito en la forma [∗], con coeficientes aρ,σ ∈ L∞ (D). Sea B unaforma bilineal asociada a L. Si existe una constante c > 0 tal que para todoϕ ∈ D (D) se tenga

|B (ϕ,ϕ)| ≥ c kϕk2m

⎛⎝kϕk2m = X|α|≤m

Z|Dαϕ|2 dx

⎞⎠ ,

entonces, para todo f ∈ L2 (D) y u0 ∈ L2m (D), el problema de Dirichletgeneralizado ½

Lu = f en Du = u0 sobre Γ

tiene una única solución.

Prueba.Para toda w ∈ Hm

0 (D) y u ∈ L2m (D) tenemos, por la desigualdad deCauchy-Schwartz,

|B (w, u)| =

¯¯ X|ρ|=|σ|≤m

hDρw, aρ,σDσui

¯¯ ≤ sup

|ρ|,|σ|≤mkaρ,σk

X|ρ|,|σ|≤m

|hDρw,Dσui|

≤ C0 X|ρ|,|σ|≤m

kDρwkL2 kDσukL2 ≤ C

0 X|ρ|≤m

kDρwkL2 .X|σ|≤m

kDσukL2

≤ C0 kwkL2m . kukL2m ,

dondekaρ,σk = sup

x∈D|aρ,σ (x)| , C

0= sup|ρ|,|σ|≤m

kaρ,σk .


Por tanto, B es una forma bilineal continua.Por otro lado, la funcional lineal

F : Hm0 (D) → C

w → F (w) = hw, fi−B (w, u0)

es continua, ya que

|F (w)| ≤ |hw, fi|+ |B (w, u0)| ≤ kwkL2 kfkL2 +C0 kwkL2m ku0kL2m

≤³kfkL2 + ku0kL2m

´kwkL2m .

De esta manera, B satisface las hipótesis del teorema de Lax-Milgramen el espacio Hm

0 (D) y por tanto existe una y sola una v ∈ Hm0 (D) tal que

para toda w ∈ Hm0 (D) se tiene

F (w) = B (w, v) .

Sea ahora u = u0 + v. Entonces

hw, fi = F (w) +B (w, u0) = B (w, v) +B (w, u0)

= B (w,u− u0) +B (w, u0) = B (w, u) .

Así, hw, fi = B (w, u) y u− u0 ∈ Hm0 (D), lo que implica que u es la única

solución del problema de Dirichlet generalizado.¥

Nota. Recordamos que el teorema de Lax-Milgram dice:“Sea H un espacio de Hilbert y B : H ×H → C es una forma bilineal,

continua y existe una constante c > 0 tal que ∀ x ∈ H tenemos |B (x, x)| ≥c kxk2. Entonces, para todo L ∈ H

0, existe un y solo un y ∈ H tal que

L(x) = B (x, y) , ∀ x ∈ H.”

En el contexto de los operadores de orden superior, la Desigualdad deGärding adopta la siguiente forma (ver 5.2.2)

Teorema 5.8 Si ReP

|ρ|,|σ|=maρ,σ (x) ξ

σξρ ≥ c0 |ξ|2m donde los coeficientes

aρ,σ son de valor complejo, continuas sobre D, entonces la función bilineal

P (f, f) =X

|ρ|,|σ|=m

Zaρ,σD

ρfDσfdx

satisfaceReP (f, f) ≥ c |f |2m − k |f |2

para algunas constantes c y k, independientes de f , y donde recordamos que|f |2m =

P|α|=m

R|Dαf |2 dx.

Prueba. Ver por ejemplo, [RUB].


5.4. EL PROBLEMA DE NEUMANN.

5.4.1. Consideraciones Generales.

Sea D ⊂ Rn un dominio regular, con frontera Γ ≡ ∂D regular, y seaH = (h1, . . . , hn) ∈ C1

¡D¢una función vectorial. Si x ∈ D y q ∈ Γ, y

divH (x) =nXi=1

∂hi∂xi

(x), entonces

ZDdivHdx =

ZΓhNq,H (q)i dσ (q) (d)

donde Nq es el vector unitario normal exterior a Γ en q, dσ es la medida desuperficie en ∂D, y h , i es el usual producto interno en Rn.

Este resultado es el conocido teorema de la divergencia, y que nosservirá para deducir a las identidades de Green. En efecto, sean u ∈C0¡D¢∩ C1 (D) y v ∈ C1

¡D¢∩ C2 (D) ; entonces,

u4v + h∇u,∇vi =nXi=1

∂

∂xi

µu∂v

∂xi

¶.

Luego,ZDu4vdx+

ZDh∇u,∇vi dx =

ZD

nXi=1

∂

∂xi

µu

∂v

∂xi

¶dx

= (teorema de la divergencia)

=

Z∂D

unXi=1

∂v

∂xiηidσ

=

Z∂D

u∂v

∂Ndσ,

donde η ≡ N = (η1, . . . , ηn) es un vector unitario normal a Γ.Conclusión:Z

D(u4v + h∇u,∇vi) dx =

Z∂D

u∂v

∂Ndσ Primera identidad de Green

Corolario 5.3 • Sea el Problema de Dirichlet: Dado f ∈ C0 (∂D),encontrar u ∈ C0

¡D¢tal que⎧⎨⎩∆u = 0 en D

u = f sobre ∂D.

Si existe la solución del problema, veamos su unicidad. En efecto,asumamos u = 0 sobre ∂D, entonces tendríamos |∇u| = 0 ó u = cconstante en D. Pero u ∈ C0

¡D¢y u = 0 sobre ∂D, luego u = 0 sobre

D. Por lo tanto la solución es única.

5.4. EL PROBLEMA DE NEUMANN. 241

• Sea el Problema de Neumann: dado f ∈ C0 (∂D), encontrar u ∈C0¡D¢tal que ⎧⎨⎩

∆u = 0 en D

∂u∂n = f sobre ∂D.

Si la condición de contorno fuera ∂u∂N = 0 sobre ∂D, entonces u es con-

stante en D; pero u ∈ C0¡D¢, luego u es constante en D. Luego, las

soluciones del problema de Neumann difieren en una constante, estoes, la solución es única a menos de una función constante arbitraria

• Sea el Problema Mixto o de Robin: dada f ∈ C0 (∂D), encontraru ∈ C0

¡D¢tal que⎧⎨⎩

∆u = 0 en D

a (x)u+ ∂u∂N = f sobre ∂D

donde a (x) > 0 sobre ∂D.

Si la condición de radiación fuera

a (x)u+∂u

∂N= 0

sobre ∂D, entonces

a (x)u2 + u∂u

∂N= 0,

luego ZD|∇u|2 dx =

Z∂D

u∂u

∂Ndσ = −

Z∂D

au2dσ.

Asi, ZD|∇u|2 dx+

Z∂D

au2dσ = 0.

Como a (x) = 0,ZD|∇u|2 dx = 0 y

Z∂D

au2dσ = 0.

en el primer caso, u es constante en D; en el segundo, u = 0 sobre∂D. Como u ∈ C0

¡D¢, entonces u = 0 en D. Por tanto la solución

del problema de Robin es único.


5.4.2. El Problema de Neumann.

Sea el problema de Neumann homogéneo⎧⎨⎩−∆u+ u = f en D

∂u∂N = 0 sobre Γ

(PN)

donde f pertenece a un espacio de funciones, digamos a L2 (D).Como ya sabemos, usando la identidad de Green obtendremosZ

D∇u.∇v +

ZDuv =

ZDfv, ∀v ∈ H1 (D) . (c.d.)

Nuevamente definimos una solución débil de (PN) a aquella u ∈ H1 (D)que satisface (c.d.) para todo v ∈ H1 (D).

Como en otra oportunidad, si ponemos

a (u, v) =

ZD∇u.∇v +

ZDuv,

entoncesa (u, u) = kuk2H1(D) ,

es decir, a ( , ) satisface la condición H1 (D)−elípticidad y es una formasimétrica, continua. Luego, por el teorema de Lax-Milgram, el problematiene solución única, y como sabemos minimiza a la funcional

J (v) =1

2

µZD∇v.∇v +

ZDv2¶−ZDfv, ∀v ∈ H1 (D)

Nuevamente, haciendo un argumento conocido, si u es una solución débilde (PN) y u ∈ H2 (D), usando Green obtenemos para todo v ∈ H1 (D)Z

D−∆u.v +

ZDuv +

ZΓ

∂u

∂N.v =

ZDfv

Si v ∈ D (D),RΓ = 0 y por tanto tendremos (en el sentido de las distribu-

ciones) −∆u+ u = f . Desde que D (D) es denso en L2 (D), tal ecuación essatisfecha en L2 (D). Por otro ladoZ

Γ

∂u

∂N· v = 0

y considerando que v |Γ∈ H12 (Γ) , espacio que es denso en L2 (Γ), tendremos

que ∂u∂N = 0 en L2 (Γ).

Conclusión: Si u ∈ H2 (D) , solución de (PN), entonces u es una soluciónclásica de (PN).


Caso No_Homogéneo

Sea el problema de Neumann para el operador I−∆ : “dados f : D→ Ry g : Γ→ R, funciones continuas, encontrar u ∈ C2 (D) ∩ C1

¡D¢tal que⎧⎨⎩

u−∆u = f en D

∂u∂N = g sobre Γ.

”

Estudiemos la solución de este problema. Consideremos la forma bilineal

a (u, v) =nXi=1

hDiu,Divi u, v ∈ H1 (D) ,

donde remarcamos que Di =∂∂xi

y h , i = h , iL2 . Asumamos que D ⊂ Rn

es un abierto, acotado y regular. Sea u ∈ C2¡D¢tal que ∂u

∂N = 0. Entonces,∀ϕ ∈ C∞0 (D) tenemos (usando Green):

− h∆u,ϕi = −ZD(∆u)ϕdx =

nXi=1

ZD[(Diu) (Diϕ)−Di (ϕDiu)] dx

= a (u, ϕ)−ZΓϕ∂u

∂Ndσ

= a (u, ϕ)

Esto es, se ha llegado a

− h∆u, ϕi = a (u, ϕ) , ∀ϕ ∈ C∞0 (D) .

Desde que C∞0 (D) es denso en H1 (D), se ha obtenido:

a (u, v) = − h∆u, vi , ∀v ∈ H1 (D) .

Observación 5.1 Esta última igualdad la utilizaremos como una alterna-tiva de la condición de contorno “ ∂u

∂N = 0”, ya que tal igualdad no dependedel domino D.

Así, para cualquier abierto D de Rn pongamos

K =©u ∈ H1 (D) / ∆u ∈ L2 (D) y a (u, v) = − h∆u, vi , ∀v ∈ H1 (D)

ª.

Entonces, si g = 0, el problema de Neumann lo escribiremos como: “Dadof ∈ L2 (D), encontrar u ∈ H1 (D) tal que⎧⎨⎩

u−∆u = f en D

u ∈ K. ”


Si f = 0 en (PN), entonces el problema adopta la forma “dado v ∈ H2 (D),encontrar u ∈ H1 (D) tal que⎧⎨⎩

u−∆u = 0 en D

u− v ∈ K. ”

Proposición 5.5 (Caracterización de K) Sea u ∈ H1 (D). Entonces,

u ∈ K ⇔ existe c = c (u) > 0 talque

|a (u, v)| ≤ c kvk , ∀v ∈ H1 (D) .³k . k = k . kL2(D)

´.

Esto es, si fu es la funcional lineal fu (v) = a (u, v), ∀v ∈ H1 (D) , entonces:

K =©u ∈ H1 (D) / fu es continua sobre H1 (D) , en la topologia L2

ª.

Prueba

(⇒) Sea u ∈ K. Como ∆u ∈ L2 (D), pongamos c = k∆uk; además se tienea (u, v) = − h∆u, vi .Luego

|a (u, v)| ≤ k∆uk kvk = c kvk , ∀v ∈ H1 (D) .

(⇐) Tenemos |a (u, v)| ≤ c kvk ∀v ∈ H1 (D). Luego la funcional fu es con-tinua en la topologia de L2 (D), luego fu tiene una extensión con-tinua a L2 (D). Usando el teorema de representación de Riesz, existeu ∈ L2 (D) tal que

a (u, v) = fu (v) = hu, viL2 , ∀v ∈ H1 (D) .

Si v ∈ C∞0 (D), a (u, v) = hu, vi implica (Green) que h−∆u, vi = hu, vi.Por tanto, ∆u = −u ∈ L2 (D). Luego, a (u, v) = − h∆u, vi, es decir,u ∈ K

¥

Teorema 5.9 Solución del Problema de Neumann. Sea D ⊂ Rn abier-to. Si f ∈ L2 (D) y v ∈ H2 (D), existe un único u (= N (f, v)) ∈ H1 (D) talque ⎧⎨⎩

u−∆u = f en D

u− v ∈ K[PN]

Además

N : L2 (D)×H2 (D) −→ H1 (D)(f, v) 7−→ N (f, v) = u

es una aplicación lineal y continua.


PruebaDado f ∈ L2 (D), observemos que la funcional (Cauchy - Schwartz)

F : H1 (D)→ R, v 7−→ hf, vi, es continua, con kFk ≤ kfk. Esto y el teoremade representación de F. Riesz, permiten obtener una aplicación lineal

S : L2 (D)→ H1 (0)

tal que

(i) kSfk1 ≤ kfk (k . k1 = k . kH1) ;

(ii) hSf, vi1 = hf, vi, ∀f ∈ L2 (D), ∀v ∈ H1 (D).

Dados f ∈ L2 (D) y v ∈ H2 (D), sean u1 = Sf y u2 = v + S (∆v − v) .Entonces u1 ∈ K En efecto, ∀ϕ ∈ C∞0 (D) tenemos

hu1 −∆u1, ϕi = hu1, ϕi1 = hSf, ϕi1(ii)= hf, ϕi .

Luego, u1 − ∆u1 = f . También, ∀v ∈ H1 (D) tenemos (usando a (u, v) =PhDiu,Divi)

|a (u1, v)| = |hu1, vi1 − hu1, vi| = |hSf, vi1 − hu1, vi|(ii)= |hf, vi− hu1, vi|= |hf − u1, vi|≤ kf − u1k kvk .

Luego, u1 ∈ K (Proposición de caracterización de K).

Conclusión: u1 es solución del problema⎧⎨⎩u1 −∆u1 = f

u1 ∈ K.

Sean ahora g = ∆v − v y u3 = Sg. Desde que ∆v y v ∈ L2 (D), g ∈ L (D).Veamos el siguiente argumento:

hu3 −∆u3, ϕi(i×p)= hu3, ϕi1 = hSg, ϕi1

(ii)= hg, ϕi .

Luego,u3 −∆u3 = g = ∆v − v.

Además, u3 ∈ K (usando a (u3, v) y un argumento similar a “u1 ∈ K”).Luego, u2 = v + u3 es solución del problema⎧⎨⎩

u2 −∆u2 = 0

u2 − v ∈ K.


En efecto, u2 −∆u2 = v + u3 −∆v −∆u3 = v −∆v +∆v − v = 0.Además, u2 − v = v + u3 − v = u3 ∈ K.Ahora construiremos u vía u = u1 + u2. Entonces u es solución del

problema [PN]: ⎧⎨⎩u−∆u = f

u− v ∈ K,pues

u1 + u2 −∆u1 −∆u2 = u1 −∆u1 = f .

Es claro que u− v ∈ K.

Unicidad de Solución del problema [PN] Si u y v son soluciones de[PN], entonces, w = u− v satisface⎧⎨⎩

w −∆w = 0

w ∈ K.

Entonces, para todo v ∈ H1 (D) tenemos:

0 = hw −∆w, vi = hw, vi− h∆w, vi = hw, vi+ a (w, v) = hw, viH1 .

Luego, w = 0.Finalmente veamos que N es una aplicación continua. En efecto, (i)

implica ku1kH1 ≤ kfk; además,

ku2k1 = kv + u3k1 ≤ c1 kvkH2 .

Así, kuk1 ≤ c [kfk+ kvkH2 ].Luego kNkH1 = kukH1 ≤ c [kfk+ kvkH2 ].

¥

5.4.3. El Problema de Neumann para Operadores Elípticosde Segundo Orden.

En esta ocasión discutiremos la formulación y la solución del problema deNeumann, vía métodos variacionales, para operadores elípticos de segundoorden. Sea D un dominio, posiblemente no acotado, de Rn, con frontera∂D = Γ suficientemente regular. Sea A : Rn → Rn un operador lineal;A (x) = (aij (x))j,i=1,...,n. Luego,

∇ · (A∇v) =nXi=1

∂

∂xi

nXj=1

aij∂v

∂xj

=nX

i,j=1

aij∂2v

∂xi∂xj+

nXi,j=1

∂aij∂xi

∂v

∂xi.


Problema de Neumann (Formulación - divergencia)Dados f, g y a0 apropiadas funciones, encontrar u tal⎧⎨⎩

−∇ · (A∇u) + a0u = f en D

(A∇u) ·N = g sobre Γ[PN]

donde remarcamos que · es el usual producto interno en Rn; N es elvector normal unitario exterior a Γ.

Si A fuera el operador identidad I, esto es, si

aij (x) =

⎧⎨⎩1 . . . i = j

0 . . . i 6= j

entonces [PN] se reduce al problema⎧⎪⎨⎪⎩−∆u+ a0u = f en D

∂u

∂N= g sobre Γ.

Sea v una función regular definida sobre D (una función “prueba”).Como es usual, multipliquemos −∆u+a0u = f por v e integramos sobre D.Obtenedremos:

−ZD∇ · (A∇u) vdx+

ZDa0uvdx =

ZDfvdx. (•)

Sea la funcional vectorial V : D → Rn, x → V (x). Entonces se tiene,fórmula de Green - Ostrogradsky,Z

DV ·∇vdx+

ZDv∇ · V dx =

ZD∇ · (vV ) dx =

ZΓvV ·Ndσ.

Tomando V = A∇u en esta fórmula se obtiene

−ZD∇ · (A∇u) vdx =


ZΓ(A∇u) ·Nvdσ.

Considerando (•) y la condición (A∇u) ·N = g sobre Γ, se obtieneZD(A∇u) ·∇vdx+

ZDa0uvdx =

ZDfvdx+

ZΓgvdσ [+]

Observemos nuevamente [ver 5.3.2] que [+] es una versión ampliada dela expresión

“

ZD∇u ·∇vdx+

ZDuvdx =

ZDfvdx”,

vista ya en diversas oportunidades. Además, como antes [+] solo consideraderivadas de primer orden de u, a diferencia de [PN]. Si

E =©v ∈ C1

¡D¢/ v tiene soporte compacto en D

ª,


el anterior argumento permite afirmar que si se tiene [+] para todo v ∈ E,entonces u es (en algún sentido) una solución del problema de Neumann[PN].

Para lograr nuestro objetivo, recordemos algunas ideas del análisis fun-cional. H1 (D) es el espacio de Sobolev½

v ∈ L2 (D) /∂v

∂xi∈ L2 (D) , i = 1, . . . , n

¾.

Remarcamos que las derivadas son en el sentido de las distribuciones.H1 (D)es un espacio de Hilbert con el producto interno

hu, vi1 =ZD(∇u ·∇v + uv) dx

y la norma

kuk21 =ZD

³|∇u|2 + |u|2

´dx.

En general, en la topología de H1 (D), D¡D¢es denso en H1 (D), donde

remarcamos que

D¡D¢=©v ∈ C∞

¡D¢/ v tiene soporte compacto en D

ª.

Si D fuera acotado, D¡D¢= C∞

¡D¢.

El Operador Traza.

El operador traza γ0 (ver 5.1.1) es definido siendo γ0 : D¡D¢→

D (Γ) ⊂ L2 (Γ) tal que γ0v = v |Γ, ∀v ∈ D¡D¢.

Además, ver 5.1.1, existe una constante c (D) tal que kγ0vkL2(D) ≤c kvk1, ∀v ∈ D

¡D¢. Luego, existe un operador lineal continuo, de H1 (D) a

L2 (Γ), cuya restricción a D¡D¢coincide con γ0. Usaremos aún la notación

γ0 para aquel operador, el operador traza, y se tiene kγ0vkL2(Γ) ≤ c kvk1.Formalizaremos las condiciones en [PN]. Asumiremos que f ∈ L2 (D)

y g ∈ L2 (Γ); a0 ∈ L∞ (D), a0 (x) ≥ α0 > 0 c.t.p D; aij ∈ L∞ (D),∀ i, j = 1, . . . , n. Existe α > 0 tal que A (x) ξ · ξ ≥ α |ξ|2 c.t.p. en D,

∀ ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ Rn, donde |ξ| =µ

nPi=1

ξ2i

¶ 12

.

Remarcamos que nos estamos dirigiendo a aplicar el teorema de Lax-Milgram; en consecuencia consideramos la forma bilineal y la funcional lin-eal:

a : H1 (D)×H1 (D) −→ R(u, v) 7−→ a (u, v) =

RD (A∇u) ·∇vdx+

RD a0uvdx,


∀ u, v ∈ H1 (D);

L : H1 (D) −→ Rv 7−→ L (v) =

RD fvdx+

RΓ gγ0vdσ

∀ v ∈ H1 (D) .Usando la desigualdad de Schwartz en L2 (D) y en L2 (Γ) tenemos,

|L (v)| ≤ kfkL2(D) kvkL2(D) + kgkL2(Γ) kγ0vkL2(Γ)≤

³kfkL2(D) + c kgkL2(Γ)

´kvkH1(D) , ∀v ∈ H1 (D) .

Por tanto, L es una funcional lineal y continua.Veamos ahora que a ( , ) es una forma bilineal continua. En efecto,

definamos

|A (x)| = supξ∈Rn−0

|A (x) ξ||ξ| .

La condición “A (x) ξ · ξ ≥ α |ξ|2” y aij ∈ L∞ (D) implica que la funciónx → |A (x)| pertenece a L∞ (D) y su norma será denotada con kAkL∞(D).Luego,

|a (u, v)| ≤ kAkL∞(D)µZ

D|∇u|2 dx

¶ 12µZ

D|∇v|2 dx

¶ 12

+ ka0kL∞(D) kukL2(D) kvkL2(D)

≤ max³kAkL∞(D) , ka0kL∞(D)

´kukH1 kvkH1(D) , ∀u, v ∈ H1 (D) .

Finalmente, a ( , ) es coerciva ó H − elıptica. En efecto,

a (u, v) =

ZD(A∇v) ·∇vdx+

ZDa0v

2dx ≥ α

ZD|∇v|2 dx+ α0

ZD|v|2 dx

≥ mın (α, α0)

µZD

³|∇v|2 + |v|2

´dx

¶= mın (α, α0) kvk2H1(D) , ∀v ∈ H1 (D) .

¥Ahora estamos en condiciones de aplicar el teorema de Lax-Milgram para

obtener la

Proposición 5.6 El problema “encontrar u ∈ H1 (D) tal quea (u, v) = L (v), ∀v ∈ H1 (D) ” [PV]

tiene una única solución.

En particular, si A fuera simétrica (esto es, aij (x) = aji (x), ∀i, j =1, . . . , n) entonces a ( , ) sería simétrica y entonces, como ya conocemos, elproblema [PV] es equivalente al problema minimizante (clásico en el calculo


de variaciones): “encontrar u ∈ H1 (D) tal que J (u) ≤ J (v), ∀v ∈ H1 (D),donde

J (v) =1

2

ZD(A∇v) ·∇vdx+ 1

2

ZDa0v

2dx−ZDfvdx−

ZΓgvdσ ”.

¿Vale el recíproco?, es decir, una solución del problema [PV], ¿es solucióndel problema [PN]?

Veamos. Consideremos en primer lugar v ∈ D (D). Desde que D (D) ⊂H1 (D), tenemos a (u, v) = L (v), ∀v ∈ D (D); es decir, teniendo en cuentaque γ0v = 0 , ∀v ∈ D (D), tenemosZ

D(A∇u) .∇vdx+

ZDa0uvdx =

ZDfvdx, ∀v ∈ D (D) ,

que puesto en el sentido de las distribuciones, tendremos

hA∇u,∇vi+ ha0u, vi = hf, vi , ∀v ∈ D (D) ,ó aún

− h∇ · (A∇v, v)i+ ha0u, vi = hf, vi , ∀v ∈ D (D) ;es decir, en el sentido de las distribuciones tendremos:

−∇ · (A∇u) + a0u = f

en D.Remarcamos que en el contexto de esta motivación, se verifica que

(A∇u) ·N = g sobre Γ.

De esta manera, toda solución de [PV] es también solución de [PN].Justifiquemos que se tiene la condición de contorno en [PN]. Sea v ∈

D (D);de −∇ · (A∇u) + a0u = f obtendremos:

−ZD∇ · (A∇u) vdx+

ZDa0uvdx =

ZDfvdx,

y por la fórmula de Green - Ostrogradsky se tendrá:ZD(A∇u) ·∇vdx+

ZDa0uvdx =

ZDfvdx+

ZΓ(A∇u) ·Nvdσ;

recordando a la forma bilineal a ( , ), tendremos

a (u, v) =

ZDfvdx+

ZΓ(A∇u) ·Nvdσ, ∀v ∈ D

¡D¢.

Recordando que

L (v) =

ZDfvdx+

ZΓgγ0vdσ y a (u, v) = L (v) ,

se tendrá ZΓgvdσ =

ZΓ(A∇u) ·Nvdσ, ∀v ∈ D

¡D¢.

De esta manera, (A∇u) ·N = g sobre Γ.¥

5.5. PROBLEMAS DE VALOR PROPIO. 251

5.5. PROBLEMAS DE VALOR PROPIO.

5.5.1. Algo más sobre Análisis Funcional.

Operadores Compactos.

Sea A : H → H un operador lineal, donde H es un espacio de Hilbert.A es llamado finito-dimensional si su rango R (A) está contenido en unespacio de dimensión finita, esto es, si dimR (A) = k < ∞; k es llamadola dimensión del operador A. Es conocido que si e1, . . . , ek es una baseortonormal (b.o.n) para R (A), entonces

Ax =kPi=1hx, e∗i i ei ∀x ∈ H y donde e∗i es la funcional lineal continua

e∗i (ei) = hei, e∗i i ;

La familia e∗1, . . . e∗k es una b.o.n. para R (A∗), donde A∗ es el op-erador adjunto asociado a A. Así se tiene dimR (A) = dimR (A∗) y

A∗y =kPi=1hy, eii e∗i .

Definición 5.6 Un operador lineal A es llamado compacto si él puede seraproximado uniformemente por una sucesión de operadores finito-dimensional,esto es, si existe una sucesión (An), dimR (An) <∞, tal que

lımn→∞

kA−Ank = 0.

Consecuencias.

Todo operador finito-dimensional es un operador compacto.

Si A y B son operadores compactos, entonces αA+ βB es compacto,α, β son escalares.

Si (An) es una sucesión de operadores compactos tal que An → Auniformenente, entonces A es compacto.

Si A es compacto y B es un operador limitado, entonces AB y BA sonoperadores compactos.

A es compacto si y solo si A∗ es compacto

A es compacto si y solo si A aplica todo conjunto acotado en un conjun-to condicionalmente compacto (esto es, si X es acotado en H, entoncesA (X) es un conjunto compacto). [F. Riesz].

Un clásico ejemplo es: sea k una función continua definida sobre unconjunto compacto E×E ⊂ Rn×Rn; entonces, para toda f ∈ L2 (E),el operador integral

(Af) (x) =

ZEk (x, y) f (y) dy

es un operador compacto

(Friedrichs) Sea H un espacio de Hilbert y sean H1 y H2 dos sube-spacios de H tal que dimH1 =∞ y dimH2 <∞. Entonces existe unvector no nulo x0 ∈ H tal que x0 ⊥ H2.

Definición 5.7 A : H → H es llamado un operador simétrico si A eslineal y si hAu, vi = hu,Avi, ∀x, y ∈ D (A). A es llamado hermitiano si Aes un operador continuo y simétrico.

Teoría Espectral de Rellich.

Con σ (A) denotaremos al conjunto de todos los valores propios de A, yes llamado el espectro puntual de A. Se tienen los siguientes resultados.

1. Sea A : H → H un operador compacto. Si λ 6= 0 es un valor propio deA, entonces el núcleo de A − λI, N (A− λI), donde I es el operadoridentidad, es un subespacio de dimensión finito.

2. Sea A : H → H un operador compacto, entonces σ (A) es a lo mas unconjunto enumerable.

3. Sea A : H → H un operador simétrico y si u, v son vectores propiosde A correspondientes a valores propios diferentes, entonces hu, vi = 0[ver 1.4].

4. Sea A un operador lineal, autoadjunto (A∗ = A) y continuo sobre unespacio de Hilbert H. Entonces,

kAk = supkxk=1

|hAx, xi| .

5. Si A : H → H es un operador autoadjunto, compacto, A 6= 0, entoncesexiste λ ∈ σ (A) tal que kAk = |λ|.

6. Sea A : H → H un operador autoadjunto, compacto. Entonces, si Mes el espacio vectorial generado por la unión de los núcleosN (A− λI) ,λ ∈ σ (A) , se tiene: M⊥ = 0 (M⊥ es el ortogonal de M).

7. Si A : H → H es un operador autoadjunto, entonces

N (A)⊥ = R (A).


8. Si A : H → H es un operador autoadjunto y compacto, entonces

H = N (A)⊕X

λ∈σ(A)λ6=0

N (A− λI) .

Además, A (H) es de dimensión finita si y solo si σ (A) es un conjuntofinito.

9. Sea A : H → H un operador autoadjunto, compacto, con espectro(puntual) σ (A) = λ1, λ2, . . . infinito. Para todo número natural n,sea Pn la proyección de H sobre Hn ≡ N (A− λnI). Entonces se tiene:

a) H = H1 ⊕H2 ⊕ · · ·

b) x =∞Pn=1

Pnx, ∀x ∈ H.

c) Ax =∞Pn=1

λnPnx, ∀x ∈ H.

d) lımn→∞

λn = 0

10. Sea H un espacio de Hilbert separable, de dimensión finita y A : H →H un operador autoadjunto, compacto y biunívoco. Entonces existeuna sucesión de números reales (λn) y una sucesión de vectores (en)en H tales que

a) kAk = |λ1| ≥ |λ2| ≥ · · · , λn → 0

b) Aen = λnen

c) (en)n∈N es un conjunto ortonormal completo en H.

Nota: (9) y (10) son conocidos como teoremas espectrales.

11. Sea A : H → H un operador lineal, con domino D (A) denso en elespacio de Hilbert H. Si A es simétrico de D (A) sobre H, entonces Aes autoadjunto.

Teorema 5.10 (de Rellich.) Sea D ⊂ Rn un conjunto abierto y limitado.Entonces la inyección natural i : H1

0 (D)→ L2 (D) es un operador compacto.

Recordemos por comodidad que

Lpk,0 (D) = D (D)

Lpk(D), L2k ≡ Hk, L2k,0 ≡ Hk0 , H0 ≡ L2.

Probemos el teorema de Rellich en el contexto mas general “la inyecciónnatural i : Hm+1

0 (D)→ Hm0 (D) es un operador compacto”.

Prueba

• Caso m = 0. Si (ui)i∈N → 0 en H10 (D) en el sentido débil, entonces

(ui)i∈N → 0 en L2 (D) en el sentido fuerte.

En efecto, extendiendo las funciones ui a Rn se obtiene que (ui)i∈N →0 débilmente en H1 (Rn). (Asumimos la existencia de tales exten-siones). Por tanto, ella es acotada, esto es, existe C1 > 0 tal quekuikH1 ≤ C1, ∀i ∈ N. Ahora, si x ∈ Rn pongamos

Ex (y) =

⎧⎨⎩ (2π)n2 e−ix.y . . . y ∈ D

0 . . . y /∈ D,

(pensando en la transformada de Fourier).

Se verifica que Ex ∈ L2 (D) y que

kExkL2(Rn) = (2π)−n2 |D|

12 ≡ C2

donde |D| es la medida de Lebesgue de D.

Entonces, sabemos que Ex ∈ H−1 (Rn); además, (ui)i∈N → 0 débil-mente en H1 (Rn) implica que tengamos

lımi→∞

[ui (x)]∧ = lım

i→∞hEx, uii = 0, ∀x ∈ Rn.

De esta afirmación, dekuikH1 ≤ C1

y del teorema dominado de Lebesgue, para una bola Br (0) se tieneque

lımi→∞

Zkxk≤r

¯[ui (x)]

∧¯2 dx = 0. (*)

Por otro lado,

Zkxk>r

¯[ui (x)]

∧¯2 dx =

Zkxk>r

³1 + kxk2

´ ¯[ui (x)]

∧¯21 + kxk2

dx

≤ 1

1 + r2

Zkxk>r

³1 + kxk2

´ ¯[ui (x)]

∧¯2 dx≤ 1

1 + r2kuikH1

≤ C11 + r2

(**)

Ahora, dado ε > 0 sea rε tal queC11 + r2ε

≤ ε2

2. Luego (*) y (∗∗)

implican la existencia de iε tal que para todo i > iε se tengaZRn

¯[ui (x)]

∧¯2 dx < ε2.

Finalmente (en este caso), vía el teorema de Plancherel, se obtiene

kui − 0kL2(D) = kuikL2(D) = kuikL2(Rn) =°°[ui]∧°°L2(Rn) < ε.

Lo que prueba la afirmación en este caso.

• Caso General. Sea ahora (ui)i∈N una sucesión limitada enHm+10 (D);

entonces ella posee una subsucesión (vi)i∈N que es débilmente conver-gente en Hm+1

0 (D) , esto es, se tiene (vi)i∈N → v débilmente, conv ∈ Hm+1

0 (D). Luego, sabemos, para todo |α| ≤ m, (Dαvi)i∈N → Dαvdébilmente en H1

0 (D). Entonces, por el caso m = 0, tendremos queDαvi → Dαv en L2 (D); así, (vi)i∈N → v fuertemente en Hm

0 (D).Luego, tal inyección natural i es compacta.

¥

Observación 5.2 Cuando el domino D es tal que ui es prolongada a Rn,entonces (en realidad) se tiene que la inyección i : Hm+1 (D)→ Hm (D) escompacta

5.5.2. Teorema Espectral para el Laplaciano.

El objetivo de esta sección es estudiar el problema de los valores propiospara el operador Laplaciano ∆ sobre conjuntos acotados de Rn. Para elloutilizaremos los teoremas espectrales 9 y 10 para operadores compactos yautoadjuntos de Hilbert de dimensión infinita.

Idea: Asociar a I−∆ un dominio en donde podamos considerar a (I −∆)−1como un operador autoadjunto y compacto sobre L2 (D), donde D ⊂ Rn esun conjunto abierto.

Pongamos,

D (A) =©u ∈ H1

0 (D) / ∆u ∈ L2 (D)ª. (α)

D (A) es denso en

L2 (D)£C∞0 D ⊂ D (A) ⊂ H1

0 (D) ⊂ L2 (D)¤;

sea el operador A : L2 (D)→ L2 (D), donde

Au = u−∆u. (β)

(•) Ahora nuestro objetivo es probar que A es un operador autoadjuntosobre H ≡ L2 (D) .

Observando el teorema 11, será suficiente probar que A es simétricoy que A [D (A)] = H. El siguiente resultado nos será de utilidad en


esta tarea. En el caso que D no sea un conjunto limitado (como esnuestro caso en general), el teorema 5.3 de 5.3.1 es sometido al siguienteargumento. Es claro que ahora ya no es posible usar la desigualdad dePoincaré (como usamos en tal teorema). En esta ocación, en vez deusar la forma bilineal

a (u, v) =nXi=1

hDiu,Divi , u, v ∈ H1 (D) ,

consideremos para ε > 0, la forma bilineal

aε (u, v) = ε hu, vi+ a (u, v) , ∀u, v ∈ H10 (D) .

Considerando que

|aε (u, v)| ≤ (u+ ε) kukH1 kvkH1 ,

aε (u, v) ≥ mın ε, 1 kuk2H1

y que

aε (u, ϕ) = hεu−∆u, ϕi , ∀u ∈ H10 (D) , ϕ ∈ C∞0 (D) ,

se obtiene:

12. Sea D ⊂ Rn un conjunto abierto y ε > 0. Si f ∈ H−1 (D), el problemade Dirichlet modificado para el operador Laplaciano⎧⎨⎩

εu−∆u = f en D0 (D)

u ∈ H10 (D)

tiene una única solución uε = Gεf , donde la aplicación

Gε : H−1 (D) −→ H−1 (D)f 7−→ uε

es un isomorfismo.

Probemos (•)En 12 tomemos ε = 1 y f ∈ L2 (D)

¡⊂ H−1 (D)

¢. Afirmamos que

existe u ∈ D (A) tal que Au = f . En efecto, dado f ∈ L2 (D) (por 12)existe u1 ≡ u ∈ H1

0 (D) tal que G1f = u, y −∆u + u = f . Además,u ∈ H1

0 (D) ⊂ L2 (D) y f ∈ L2 (D) implican que ∆u ∈ L2 (D). Luego,u ∈ D (A). También, Au = −∆u+ u = f .

Conclusión: A aplica D (A) sobre L2 (D) .

Probemos ahora que A es simétrico. En efecto, si u ∈ D (A) yϕ ∈ C∞0 (D), entonces

hAu,ϕi (β)= hu, ϕi+nXi=1

hDiu,Diϕi = hu,ϕiH1

(remarcamos que h , i ≡ h , iL2(D)). Por otro lado, siendo C∞0 (D) densoen H1

0 (D), tenemos

hAu, vi = hu, viH1 , ∀u ∈ D (A) , v ∈ H10 (D) (γ)

Luego,

hAu, vi = hu, viH1 = hv, uiH1 = hAv, ui = hu,Avi , ∀u ∈ D (A) , v ∈ D (A) .

[Remarcamos que D (A) ⊂ H10 (D)]. Luego A es un operador simétrico.

De esta manera A es un operador autoadjunto (usando 11).Además observamos que:

kuk2H1

(γ)= hAu, ui ≤ kAuk kukH1 , ∀u ∈ D (A) ,

Así, kukH1 ≤ kAuk.Luego

kukH1 ≤°°A−1Au°°

H1 ≤ kAukH1 , ∀u ∈ D (A)

lo que prueba que A es un operador invertible, con inversa B = A−1 :L2 (D)→ H1

0 (D), donde B es continuo (desde que°°A−1Au°°

H1 = kukH1≤

kAuk).

Definición 5.8 El operador A : L2 (D)→ L2 (D) , precisado por (α) y (β),se llama la realización autoadjunta de I −∆ a L2 (D) .

Ahora estudiaremos los valores propios para el operador Laplaciano ∆.Utilizaremos el teorema espectral 10 y el teorema de Rellich.

Teorema 5.11 Sea D ⊂ Rn un conjunto abierto, acotado. Entonces ex-iste una sucesión de números reales αnn∈N y una sucesión de funcionesWnn∈N en H1

0 (D) tal que:

1. 0 < α1 ≤ α2 ≤ · · · ≤ αm ≤→∞

2. −∆Wm = αmWm

3. Wmm∈N es una sucesión ortonormal y completa en L2 (D) .

PruebaSea A : L2 (D)→ L2 (D) un operador lineal definido vía

D (A) =©u ∈ H1

0 (D) / ∆u ∈ L2 (D)ª

y Au = u−∆u, esto es, A es la realización autoadjunta de I −∆ a L2 (D).Entonces A−1 ≡ B : L2 (D)→ H1

0 (D) es continua, luego°°A−1Au°°H1 = kukH1 ≤ kAuk .

Usando el teorema de Rellich obtendremos que

B1 = i.B : L2 (D)→ L2 (D)

es un operador compacto tal que B−11 = B−1.i−1 = A es un operadorautoadjunto (ya que nuevamente¡B−11

¢∗=³(i ·B)−1

´∗=¡B−1

¢∗·i = A∗·i = A·i = B−1·i = (i ·B)−1 = B−11 ),

como ya fue probado. Luego, B1 es autoadjunto en L1 (D) (ya que

B∗1 = B∗1 ·¡B−11

¢·B = B∗1

¡B1 ·B−11

¢∗B1 = B1).

Entonces, aplicando el teorema espectral 10 obtendremos que existen unasucesión de números reales λm y una sucesión Wm de L2 (D) tal que

(i) |λ1| ≥ |λ2| ≥ · · · > 0, con lımm→∞

λm = 0 (kB1k = |λ1|)

(ii) B1Wm = λmWm

(iii) Wm es una sucesión ortonormal y completa en L2 (D).

Ahora probaremos que 0 < λm < 1, m = 1, 2, . . .En efecto, Wm ∈ L2 (D) y desde que A es inyectivo y B1 = A−1, B1 esinyectivo; luego Wm ∈ Im (B1) = D (A) (observe que B1 : L2 (D)→ L2 (D)y vea (ii))

Aún mas,Wm ∈ H10 (D) .En efecto,B1Wm = λmWm implica (i ·B)Wm =

λmWm, esto es, i · (BWm) = λmWm, luego

BWm| z ∈H1

0 (D)

= λmWm ,

por tanto también λ−1m λmWm ∈ H10 (D), esto es, Wm ∈ H1

0 (D). Ahora,usando la relación (γ), tenemos

hAWm,Wmi = hWm,WmiH1 = kWmk2H1 .

Usando la desigualdad de Poincaré, obtendremos

kWmk2H1 = kWmk2 +nXi=1

kDiWmk20 ≥ 1 + C0.

También tenemos que λm 6= 0. En efecto, B1Wm = λmWm implica

i (BWm) = λmWm ó BWm = λmWm.

Luego, si λm = 0, BWm = 0 y siendo B biyectivo, tendríamos Wm = 0, unacontradicción.

Luego,AWm = λ−1m Wm (••)

(en efecto, AWm = λ−1m AλmWm = λ−1m AB1Wm = λ−1Wm).Luego,

hAWm,Wmi =λ−1m Wm,Wm

®= λ−1m .

En conclusión,

λ−1m = hAWm,Wmi = kWmk2H1 ≥ 1 + C0 > 1.

Así se ha probado que 0 < λm < 1, como deseábamos.Ahora pasemos a ver la tesis del teorema 5.11. Es claro que ya tenemos

3. Veamos 1. En efecto, la sucesión αm es obtenida poniendo

αm = λ−1m − 1.

Asi, αm ≥ C0 > 0. Entonces,

αm + 1 =1

λm;

lo que implica 0 ≤ α1 ≤ α2 ≤ · · · ≤ αm ≤ →∞.Finalmente veamos 2. En efecto, usando (••), tenemos

−∆Wm = AWm −Wm = λ−1m Wm −Wm

=

µ1

λm− 1¶Wm

= αmWm.

¥


5.6. TAREAS.

1.

a) Exponga algunos argumentos críticos sobre los teoremas de: F.Riesz, la desigualdad de Poincaré y de Lax - Milgram.

b) Vía 5.1.2, por ejemplo, explique como surgen algunos métodosdel análisis funcional en la solución de problemas de la física -matemática.

c) ¿Cuál es el modelo general, que hemos visto, para estudiar proble-mas de ecuaciones en derivadas parciales vía el análisis funcional.

2.

a) Exponga algunos argumentos, críticos - históricos, sobre los prob-lemas de Dirichlet y de Cauchy.

b) ¿Cuál es el rol de la teoría de distribuciones en las ecuacionesdiferenciales parciales?

c) Explique como surge la idea de solución débil en un clásico prob-lema de Dirichlet.

3. Teorema de la Divergencia SeaD ⊂ Rn un dominio abierto regular,con frontera ∂D (regular) y sea H = (h1, h2, . . . , hn) ∈ C1

¡D¢una

función vectorial. Si x ∈ D, q ∈ ∂D y

div H (x) =nXi=1

∂hi∂xi

(x) ,

pruebe que ZDdiv Hdx =

Z∂DhNq,H (q)i dσ (q)

donde Nq es un vector unitario normal exterior a Γ en q, dσ es lamedida de superficie en ∂D y h , i es el usual producto interno en Rn.

4. Pruebe que:

a) Todo operador finito - dimensional es un operador compacto.

b) Si A y B son operadores compactos, entonces αA + βB es com-pacto, donde α y β son escalares.

c) Si (An) es una sucesión de operadores compactos tal que An → Auniformemente, entonces A es compacto.

d) Si A es compacto y B es un operador limitado, entonces AB yBA son operadores compactos.

5.6. TAREAS. 261

e) A es compacto ⇐⇒ su adjunto A∗ es compacto.

f ) A es compacto ⇐⇒ A aplica todo conjunto acotado en un con-junto condicionalmente compacto. (Ver 5.5.1 (i)).

5. Friedrichs: Sea H un espacio de Hilbert y sean H1 y H2 dos sube-spacios de H tal que dimH1 = ∞ y dimH2 < ∞. Pruebe que existeun vector no-nulo x0 ∈ H tal que x0 ⊥ H2.

6.

a) Sea A : H → H es un operador compacto. Si λ 6= 0 es un valorpropio de A, pruebe que el núcleo N (A− λI) es un subespaciode dimensión finita.

b) Si A : H → H es un operador compacto, pruebe que σ (A) es alo mas un conjunto enumerable.

7.

a) Si A : H → H es un operador simétrico y si u, v son vectores pro-pios de A, correspondientes a valores propios diferentes, pruebeque hu, vi = 0.

b) Sea A un operador lineal, autoadjunto (A∗ = A) y continuo sobreun espacio de Hilbert H, pruebe que

kAk = supkxk=1

|hAx, xi| .

c) Sea A : H → H es un operador autoadjunto, compacto, A 6= 0,pruebe que existe λ ∈ σ (A) tal que kAk = |λ|.

8.

a) Sea A : H → H un operador autoadjunto, compacto. Si M es elespacio vectorial generado por la unión de los núcleos N (A− λI),λ ∈ σ (A), pruebe que M⊥ = 0.

b) Si A : H → H es un operador autoadjunto, pruebe que

N (A)⊥ = R (A).

9. Si A : H → H es un operador autoadjunto y compacto, pruebe que

H = N (A)M X

λ∈σ(A)λ6=0

N (A− λI) .

Además, A (H) es de dimensión finita⇐⇒ σ (A) es un conjunto finito.


10. Teoremas Espectrales.

a) Sea A : H → H un operador autoadjunto, compacto, con espectro(puntual) σ (A) = λ1, λ2, . . . infinito. Para todo número naturaln, sea Pn la proyección de H sobre Hn ≡ N (A− λnI). Pruebeque se tiene:

1) H = H1L

H2L· · ·

2) x =∞Pn=1

Pnx , ∀x ∈ H.

3) Ax =∞Pn=1

λnPnx , ∀x ∈ H.

4) lımn→∞

λn = 0.

b) Sea H un espacio de Hilbert separable, de dimensión finita yA : H → H un operador autoadjunto, compacto y biunívoco.Pruebe que existe una sucesión de números reales (λn) y unasucesión de vectores (en) en H tal que

1) kAk = |λ1| ≥ |λ2| ≥ · · · , λn → 0

2) Aen = λnen;3) (en)n=1,2,... es un conjunto ortonormal completo en H.

11. Sea A : H → H un operador lineal, con dominio D (A) denso en elespacio de Hilbert H. Si A es simétrico de D (A) sobre H, pruebe queA es autoadjunto.

12. Problema de Dirichlet. Sea D ⊂ Rn un conjunto abierto y acotado.Si f ∈ H−1 (D) y v ∈ H1 (D), pruebe que el problema:½

−∆u = fu− v ∈ H1

0 (D)

tiene una única solución u = S (f, v), donde la aplicación

S : H−1 (D)×H1 (D) −→ H1 (D)(f, v) 7−→ u

es lineal y continua.


5.7. COMENTARIOS.

(i) Actualmente existen diversos tratados sobre ecuaciones en derivadaparciales vía los métodos del análisis funcional (que incluye a la teoríade distribuciones y a la teoría de operadores). Históricamente, el volu-men 2 del clásico libro de Courant - Hilbert (publicado en 1962) jugóun papel importante en el aprendizaje y desarrollo de las ecuacionesdiferenciales parciales en su etapa de transición, de los métodos clási-cos a los modernos. La teoría de distribuciones de L. Schwartz y la tesisdoctoral de Hörmander marcaron una nueva tendencia en el enfoquedel estudio de problemas concretos surgidos en diversas ramas de laciencia.

Aparecieron diversos grupos de investigación que elaboraron numerosostrabajos, tanto en el aspecto teórico como en las aplicaciones. Surgieron,también, diversos libros mas actualizados como por ejemplo los pub-licados por F. Treves (Ver [TRE.1] y [TRE.2]). El libro de K. Yosida[YOS], es una excelente fuente matemática de cómo los métodos delanálisis funcional se aplican a las ecuaciones en derivadas parciales; enesta dirección está también el libro de Brezis, [BREZ], y muchos otros.Como tratado teórico, y de nivel bastante especializado, mencionamosla obra ”The Analysis of Linear Partial Differential Operators”, de L.Hörmander y que consta de cuatro volúmenes:

1. Teoría de distribuciones y análisis de Fourier.

2. Operadores diferenciales con coeficientes constantes.

3. Operadores pseudo - diferenciales y

4. . Operadores integrales de Fourier.

Existen otros buenos tratados, como ”Non - Homogeneous BoundaryValue Problems and Applications” de J. L. Lions - E. Magenes. Dealgún modo, algo del volumen I se ha considerado en el presente capí-tulo.

(ii) El Teorema de Lax - Milgran (5.1.1) es de fundamental importancia enel Programa para estudiar problemas de valor de contorno vía espaciosde Sobolev. Su estudio, incluido su demostración, debe estar presenteen lecturas sobre ecuaciones en derivadas parciales. En [GLO] , el lectorpuede encontrar un excelente material de estudio en conexión con elcálculo de variaciones y el uso del citado teorema.

(iii) Es deseable remarcar que el surgimiento de algunas primeras ideas delanálisis funcional están relacionadas con el estudio de ciertos proble-mas concretos (ver 5.1.2).


Asi ocurrió con la idea de espacio abstracto de dimensión infinita (ver5.1.4). De igual manera la idea de solución débil tiene una fuerte motivaciónen un clásico problema de valor de contorno asociado a una situación física(ver 5.2.1). Asi mismo, los problemas de Dirichlet y de Cauchy, inicialmenteestudiados con una matemática clásica, posteriormente fueron estudiadoscon finos argumentos del análisis funcional.

5.8. DIRICHLET. - F. RIESZ. 265

5.8. DIRICHLET. - F. RIESZ.

Peter Gustav L. Dirichlet.

Nació en Düren en 1805. Estudió en París y ejerció el magisterio en Breslauy Berlin; fue discípulo de Gauss al que sucedió en Gotinga en 1855 en méri-to a su talento. Dirichlet fue un eterno admirador de Gauss y se propusoterminar la obra incompleta de su maestro, algo que no pudo cumplir porsu prematura muerte en 1859. En esta dirección sus “Lecciones sobre teoríade números” es en efecto una explicación de las “Disquisitiones Arithmeti-cae” de Gauss, al cual agregó un gran número de importantes resultadosoriginales.

Dirichlet utiliza los recursos del análisis en el estudio de la teoría denúmeros. Por ejemplo, generaliza al teorema de Euclides: “la sucesión denúmeros naturales 1,2,3,... contiene un número infinito de números primos”.Asi, partiendo de la sucesión a, a + b, a + 2b, ... , a + nb,... donde a y bson números primos entre si, Dirichlet prueba que esta sucesión contieneinfinitos números primos. Su demostración es delicada y analítica; utiliza

la hoy llamada “Serie de Dirichlet”∞Pn=1

an1nz , donde an y z son números

complejos. En esta dirección prueba también que “la suma de los recíprocosde los números primos de la sucesión a+ nb es divergente”. Para el cason = 5 , Dirichlet prueba al “último teorema de Fermat”.

Entre 1822 y 1825, Dirichlet se relaciona con Fourier en París. De talvivencia resultó un profundo trabajo sobre la convergencia de las series deFourier, tarea que lo llevaría a generalizar al concepto de función. Los tra-bajos de este noble, humano y modesto matemático se centran en la teoríade números, en la teoría de series e integrales trigonométricas y en las ecua-ciones en derivadas parciales (el “Problema de Dirichlet”).


Friedrich Riesz.

Nació en 1880 en Györ, Hungría. Estudio en Budapest, en Gotinga y enZurich, obteniendo su doctorado en 1902 con un trabajo sobre geometría.Permaneció dos años enseñando en escuelas antes de lograr una posiciónuniversitaria. Riesz fue uno de los fundadores del análisis funcional; contin-uó con la obra de Hilbert. Su trabajo conjuga resultados introducidos porFrechet, por Lebesgue y por Hilbert relativo a las ideas de distancia, defunciones de valor real y de las ecuaciones integrales.

En 1907 y en 1909 Riesz elabora teoremas de representación para fun-cionales sobre espacios L2 (Rn); luego, en 1910 introduce a los espaciosLp (Rn) , 1 ≤ p ≤ ∞, p real, estudiando asi a los espacios de funcionesnormados pues para p ≥ 3 estos espacios ya no son espacios de Hilbert. Seinicia la teoría de operadores. Estuvo cerca de un estudio organizado de losespacios normados, tarea que realizaría S. Banach.

Escribió “Leçon’s d’analyse functionnelle”, uno de los mas famosos librosque se haya escrito sobre análisis funcional; hoy es un excelente clásico quecontinúa formando a nuevas generaciones de matemáticos. Por su trabajo,Riesz mereció muchos homenajes y distinciones por diversas universidadeseuropeas. Falleció en Budapest en 1956.

Capítulo 6

EL PROBLEMA DECAUCHY

6.1. ALGUNOS ASPECTOS CLÁSICOS.

En 1.2 hemos tenido la oportunidad de presentar al problema de Cauchypara la cuerda vibrante. Veamos ahora algunos detalles técnicos de tal prob-lema, así como otras consideraciones generales. Ver, por ejemplo, [ORT.1]para mas detalles en esta dirección. El problema de Cauchy o “problema devalor inicial” está relacionado con problemas de la física-matemática, comolo es precisamente el problema de la cuerda vibrante, cuyo estudio lleva a

la ecuación hiperbólica uxx −1

c2utt = 0, donde c 6= 0 es una adecuada

constante física.Para precisar las soluciones de esta ecuación, se le asocia las condiciones

iniciales: u(x, 0) = f(x) y ut(x, 0) = g(x) , donde f y g son convenientesfunciones dadas.

6.1.1. Problema de Cauchy para la Ecuación de la Onda Ho-mogénea.

Informalmente presentamos al problema de Cauchy homogéneo como elproblema de determinar una función u que satisface⎧⎨⎩

utt − c2uxx = 0u(x, 0) = f(x)ut(x, 0) = g(x) .

(PC)

La idea ahora es simplificar la ecuación diferencial. La ecuación carac-terística asociada es d2x− c2d2t = 0, esto es, dx+ cdt = 0 y dx− cdt = 0;de donde x + ct = c1 y x − ct = c2. Si consideramos las transformacionesx = x+ ct, y = x− ct, vía la regla de la cadena obtendremos −4c2ux y = 0,esto es, ux y = 0.

267

268 CAPÍTULO 6. EL PROBLEMA DE CAUCHY

Integrando esta ecuación, respecto a x, se obtiene uy = ψ (y); integrandoahora respecto a y, obtenemos:

u(x, y) =

Zψ(y)dy +Φ1(x) ≡ Φ1(x) + Φ2(y),

siendo Φ1,Φ2 funciones arbitrarias. Retornando a las originales variables,se obtiene la solución general de la ecuación de la onda dada:

u(x, t) = Φ1(x+ ct) + Φ2(x− ct).

Observemos que esta representación motiva tomar Φ1 y Φ2 dos vecesdiferenciables. Vía las condiciones iniciales, obtendremos

f(x) = u(x, 0) = Φ1(x) + Φ2(x) y g(x) = ut(x, 0) = cΦ01(x)− cΦ

02(x).

Integrando g(x), obtenemos Φ1(x)− Φ2(x) =1

c

Z x

x0

g(s)ds+ c.

Resolviendo el sistema en Φ1 y Φ2, obtenemos

Φ1(x) =1

2f(x) +

1

2c

Z x

x0

g(s)ds+c

2; Φ2(x) =

1

2f(x)− 1

2c

Z x

x0

g(s)ds− c

2.

Luego tendremos la representación:

u(x, t) =1

2(f(x+ ct) + f(x− ct)) +

1

2c

Z x+ct

x−ctg(s)ds . (1)

Si f ∈ C2 y g ∈ C1, (1) existe dentro de las condiciones del problema. (1) esconocida como la solución de D

0Alembert (1747) del problema de Cauchy

planteado. Dadas f y g tal solución existe y es única; además, es estable odepende continuamente de f y g. Esto significa que dados ε > 0 y [0, t0] ,existe δ = δ (ε, t0) tal que si |f(x)− f1(x)| < δ y |g(x)− g1(x)| < δ, entonces|u(x, t)− u1(x, t)| < ε.

Ejemplo 6.1 Si f(x) = x, g(x) = x2 y c = 1, la solución del respectivo(PC) es

u(x, t) = x+1

6

¡(x+ t)3 − (x− t)3

¢.

6.1.2. Problema de Cauchy para la Ecuación de la Onda No-homogénea.

Problema. Dadas las funciones h(x, t), f(x) y g(x), encontrar u(x, t)tal que:

utt − c2uxx = h(x, t)u(x, 0) = f(x)ut(x, 0) = g(x) .

[PC]

6.1. ALGUNOS ASPECTOS CLÁSICOS. 269

Vía el cambio de variable y = ct, utt = c2uyy. Luego, c2uyy − c2uxx =

h(x, t), esto es, uxx − uyy = −1

c2h(x, y) ≡ h(x, y).

Además, ut(x, y) = cuy(x, y). Luego, g(x) = ut(x, 0) = cuy(x, 0); así,

uy(x, 0) =1

cg(x) ≡ g(x).

En conclusión, [PC] es equivalente al problemauxx − uyy = h(x, y)u(x, 0) = f(x)uy(x, 0) = g(x) .

[[PC]]

Estudiemos este problema. Para esto, sea P = (x0, y0) un punto delplano y sean L1 y L2 las rectas características de la ecuación diferencialque pasan por P y que intersectan al eje x en P1 = (x0 − y0, 0) y P2 =

(x0 + y0, 0). Así se ha obtenido el triángulo ∆ ≡ ∆PP1P2, con interior∆ y

lados L0, L1, L2. Integrando sobre∆, obtenemosZ

∆(uxx − uyy) dxdy =

Z∆h(x, y)dxdy.

Pero, por el Teorema de GreenZ∆(uxx − uyy) dxdy =

Z∆(uxdy + uydx) =

ZL0

...+

ZL1

...+

ZL2

...

Calculando las integralesZL0

(uxdy + uydx) =

Z x0+y0

x0−y0uydx.Z

L1

(uxdy + uydx) =

ZL1

(uxdx+ uydy) = u (x0 − y0, 0)− u (x0, y0) .ZL2

(uxdy + uydx) = −ZL2

(uxdx+ uydy) = u (x0 + y0, 0)− u (x0, y0) .


Luego,Z∆h(x, y)dx dy =

Z∆(uxx − uyy) dx dy =

= −2u (x0, y0) + u (x0 − y0, 0) + u (x0 + y0, 0) +

Z x0+y0

x0−y0uydx.

Por tanto,

u (x0, y0) =1

2(u (x0 − y0, 0) + u (x0 + y0, 0))+

1

2

Z x0+y0

x0−y0uydx−

1

2

Z∆h(x, y)dx dy.

Considerando las condiciones de Cauchy, podemos escribir en general

u(x, y) =1

2(f(x− y) + f(x+ y)) +

1

2c

Z x+y

x−yg(s)ds− 1

2

Z∆h(x, y)dx dy.

Finalmente, volviendo a la variable original, tenemos

u(x, t) =1

2(f(x− ct) + f(x+ ct)) +

1

2c

Z x+ct

x−ctg(s)ds− c

2

Z∆h(x, t)dx dt.

Ejemplo 6.2 Dado el problema de Cauchy⎧⎨⎩uxx − uyy = 1u(x, 0) = xuy(x, 0) = 1,

determinar su solución en el punto (1,2).

SoluciónSe tiene

u(1, 2) =1

2(f(1− 2) + f(1 + 2)) +

1

2

Z 3

−11dx− 1

2

Z 2

0

Z −y+3

y−11dx dy = 1.

¥

6.1.3. Problema de Cauchy para la Ecuación del Calor.

En 1.1.3 hemos presentado a la ecuación del calor vía la idea de Fouriery en 1.6, enunciamos un problema de Cauchy para tal ecuación. Ver también5.1.2.

En esta oportunidad veremos algunos detalles sobre tal problema. Con-sideremos el caso de una varilla de longitud L, suficientemente delgada paraasumir que el calor se distribuye homogéneamente en cualquier región de el-la; se asume que no hay pérdida del calor a través de su frontera. Asumimosla ubicación 0 L

Problema de Cauchy (Mixto). Sea f ∈ C0 ([0, L]) , seccionalmente con-tinua en (a, b), tal que f(0) = f(L) = 0. Encontrar u(x, t) tal que⎧⎨⎩

ut − kuxx = 0, 0 < x < L, t > 0u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ Lu(0, t) = 0, u(L, t) = 0 .

[PCM]

SoluciónExistencia de la Solución. Usaremos el método de separación de vari-ables.

Pongamos u(x, t) = X(x)T (t); luego la ecuación diferencial esX(x)T0(t) =

kX00(x)T (t); de donde

X00(x)

X(x)=

T0(t)

kT (t)= −λ2, donde λ es una constante

positiva. Así [PCM] toma la forma⎧⎨⎩ X00(x) + λ2X(x) = 0

X(0) = 0X(L) = 0

(*)

yT0(t) + λ2kT (t) = 0.

Respecto al problema (*), la solución es de la forma X(x) = A cosλx+Bsenλx, y por las condiciones de contorno, 0 = X(0) = A y 0 = X(L) =

BsenλL; esto es, senλL = 0, ó λ =nπ

L, n = 1, 2, .... Luego la solución de

(*) es (en forma mas conveniente)

Xn (x) = Bn sennπx

L.

Veamos la ecuación en t.Su solución general es de la forma T (t) = Ce−λ

2kt ó Tn(t) = Cne−(nπL )

2kt.

En conclusión, la solución no trivial de la ecuación del calor (sin usaraún la condición de valor inicial) toma la forma

un (x, t) = Xn (x)Tn(t) = BnCne−(nπL )

2ktsen

nπx

L, n = 1, 2, 3, ... .

De esta forma se puede conjeturar que la solución ha de ser de la forma

u (x, t) =∞Xn=1

un (x, t) =∞Xn=1

ane−(nπL )

2ktsen

nπx

L, (an = BnCn) .

Ahora consideramos la condición inicial f(x) = u(x, 0). u(x, t) es solu-

ción de [PCM] si f(x) =∞Pn=1

ansennπx

L, una serie de Fourier donde debemos

tener

an =2

L

Z L

0f(x)sen

nπx

Ldx,

lo que es factible garantizarse por las hipótesis dadas a f.

u(x, t) =∞Xn=1

ane−(nπL )

2ktsen

nπx

L(**)

es solución de [PCM]. En efecto,

|an| ≤2

L

R L0 |f(x)| dx ≤M, M > 0 constante. Luego, si t ≥ t0 :¯

ane−(nπL )

2ktsen

nπx

L

¯≤Me−(

nπL )

2kt0 .

Pero∞Pn=1

e−(nπL )

2kt0 <∞; por tanto

∞Pn=1

ane−(nπL )

2ktsen

nπx

Lconverge uni-

formemente respecto a x, t, con t ≥ t0, 0 ≤ x ≤ L. De esta manera u(x, t)está bien definida vía (**). Además, derivando (término a término) respectoa t, obtenemos

ut = −∞Xn=1

an

³nπL

´2ke−(

nπL )

2ktsen

nπx

L,

donde la serie también converge uniformemente en 0 ≤ x ≤ L, t ≥ t0.Por otro lado,

uxx = −∞Xn=1

an

³nπL

´2e−(

nπL )

2ktsen

nπx

L.

Luego, u(x, t), definida vía (**), es solución de la ecuación del calor

ut − kuxx = 0, 0 < x < L, t > 0.

u(x, t) satisface la condición inicial u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ L. En efecto,por la condición impuesta,

f(x) =∞Xn=1

ansennπx

L

(la serie converge uniforme y absolutamente). Ahora usamos el

Test de Abel: “Si la serie∞Pn=1

Xn (x) converge uniformemente respecto a

x ∈ D, donde D ⊂ R2 es un dominio cerrado, y si para todo t ∈ D, Tn(t)es una sucesión de funciones uniformemente limitadas y monótonas respectoa n, entonces la serie

∞Xn=1

Xn (x)Tn(t)

converge uniformemente respecto a x, t en D”.

Desde quene−(

nπL )

2kto, n = 1, 2, 3, ... , es una sucesión de funciones

uniformemente limitadas, y monótonas respecto a n, y considerando la con-

vergencia uniformemente de∞Pn=1

ansennπx

L, concluimos que

∞Xn=1

ane−(nπL )

2ktsen

nπx

L

es uniformemente convergente en 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0; luego (por (**)) u(x, t)es continua en 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0.

Por tanto, u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ L.Finalmente, u(x, t) satisface también las condiciones de contorno ya que

la serie es uniformemente convergente en 0 ≤ x ≤ L, t > 0, y de estamanera u(x, t) es continua en x = 0 y en x = L. Luego, u (0, t) = 0 yu (L, t) = 0, ∀ t > 0.

Unicidad de la Solución.Sean u1(x, t) y u2(x, t) dos soluciones del problema [PCM]. Probemos

que u1 = u2 en 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0.En efecto, si w (x, t) = u1(x, t)− u2(x, t), entonces w satisface el problema⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

wt − kwxx = 0, 0 < x < L, t > 0w (x, 0) = 0w (0, t) = 0w (L, t) = 0.

Sea la funcional

J(t) =1

2k

Z L

0w2 (x, t) dx ≥ 0.

Entonces (ya que w es continua y diferenciable),

J0(t) =

1

k

Z L

0wwtdx =

Z L

0wwxxdx = wwx|L0 −

Z L

0w2xdx = −

Z L

0w2xdx.

Luego J0(t) ≤ 0. Desde que

J(0) =1

2k

Z L

0w2 (x, 0) dx = 0,

concluimos que J(t) es una función no-creciente; entonces, J(t) ≤ 0.En conclusión: J(t) = 0 para t ≥ 0, lo que implica w (x, t) = 0 en0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0. Así, u1 = u2. ¥


6.1.4. Problemas Bien y Mal Puestos.

Históricamente las ecuaciones en derivadas parciales estuvieron, y es-tán aún, íntimamente relacionadas a problemas del mundo físico; ellas sonmodelos matemáticos que interpretan situaciones concretas. Las condicionesextras que se imponen son para precisar a la solución del problema en estu-dio. Es natural entonces, que surgido un problema exijamos que la solución:

(a) deba existir (existencia)

(b) sea única (unicidad)

(c) dependa continuamente de los datos iniciales (estabilidad).

Definición 6.1 Un problema en ecuaciones en derivadas parciales es lla-mado “bien puesto” si satisface (a), (b) y (c). Es llamado “mal puesto”cuando al menos una de las anteriores condiciones, no se cumple.

Existen problemas mal puestos. Veamos.

• Problema Cuya Solución no Existe.Para construir un problema que no posea solución vamos a usar el Princi-

pio de la Reflexión de Schwartz (un principio análogo al del prolongamientoanalítico en la teoría de variable compleja). Tal principio dice:

“Sea D ⊂ Rn un dominio tal que su frontera ∂D contenga una parteplana P (por ejemplo, que ∂D contenga una parte plana P del hiperplanox1 = 0 y que D esté contenida en x1 > 0). Sea u ∈ C0

¡D¢, solución del

problema ½∆u = 0 en Du = 0 sobre P,

y si D0es el dominio reflejado de D respecto a x1 = 0, entonces existe una

función armónica w ∈ D ∪ P ∪D0tal que w = u en D.”

Problema de Hadamard. Problema de Cauchy para la Ecuaciónde Laplace.

“Sea P un subconjunto cerrado y limitado de x1 = 0. Determinar una

función armónica u(x) en una vecindad N de P , tal que u(x) = 0 y∂u

∂x1= f

en P , donde f no es una función analítica”.Este problema no tiene solución. En efecto, supongamos que la solución

u existiera, esto es, u es armónica en D = N ∩ x1 > 0 , u ∈ C0¡D¢, tal

que u(x) = 0 y∂u

∂x1= f en P . Entonces, por el Principio de Reflexión de

Schwartz, u sería prolongable para la región simétrica, obteniéndose así una


función armónica w en una región que contiene a P . Pero, w es tambiénanalítica, así como también lo son sus derivadas parciales. Desde que

∂w

∂x1=

∂u

∂x1= f,

f sería una función analítica, una contradicción.¥

• No Unicidad de la Solución.Es factible construirse problemas de Cauchy para los cuales no se tiene

la unicidad de la solución. Así, Myskis en 1947 y Landis en 1950 dieronejemplos de problemas con funciones que no están en C∞ y en donde no setiene unicidad de la solución. Aún, es factible construirse contraejemplos confunciones en C∞, como los dados por De Giorgi en 1955 y A. Plis en 1954para ecuaciones no elípticas y que tenían características reales múltiples.Aún mas, Plis en 1960 y P. Cohen en 1960 construyeron contraejemplospara ecuaciones elípticas. Debemos remarcar que la unicidad de la soluciónpuede darse para ecuaciones elípticas con coeficientes en C∞.

• Problema No-Estable. Hadamard.“Determinar u(x, t) tal que⎧⎪⎨⎪⎩

utt + uxx = 0 en R2+u(x, 0) = 0

ut(x, 0) =1

nksennx

donde n y k son enteros positivos”.Este problema no es estable. En efecto, se verifica que

u(x, t) =1

nk+1sennx.

ent − e−nt

2

es una solución del problema dado.

Además, |ut(x, 0)| ≤1

nk; luego, si n→∞, ut(x, 0)→ 0, ∀ x.

Pero, para t arbitrariamente pequeño, la solución asume valores muygrandes para n→∞.

Sea ahora el problema de Cauchy⎧⎨⎩utt + uxx = 0 en R2+u(x, 0) = g0(x)ut(x, 0) = g1(x)

con solución u0(x, t) (asumimos esto). Entonces, la función

u0(x, t) +1

nk+1sennx.

ent − e−nt

2


es una solución del problema de Cauchy

utt + uxx = 0, u(x, 0) = g0(x), ut(x, 0) = g1(x) +1

nksennx.

Finalmente queda observar que en los últimos problemas (de Cauchy)los datos iniciales pueden diferir muy poco, pero sus soluciones respectivas,pueden diferir mucho.

6.1.5. Los Teoremas de Cauchy-Kowalevsky y de Holgren.

Las series de potencias, ya surgidas en la mente de Newton, contribuyeronal progreso del cálculo infinitesimal y de las ecuaciones diferenciales. La ideaes representar a la solución del problema de Cauchy como una serie de po-tencias. En una época en que el análisis de estas series no existía, es claro queaparecieran diversas dificultades en la formulación del modelo matemático,pero la intuición estaba correcta. El problema de Cauchy fue primero for-

mulado para una ecuación diferencial ordinaria de la formadu

dt= f (t, u),

con la condición u (t0) = u0. En este contexto se probó la existencia y launicidad de la solución, siendo precisamente A. Cauchy quien resolvió elproblema cuando f es una función analítica (holomorfa) en una vecindad de(t0, u0). Mas exactamente, probó que existe una y sola una solución u (t), laque es analítica en una vecindad del punto t0. Fue S. V. Kowalevsky quiengeneralizó el problema de Cauchy para ecuaciones en derivadas parciales,surgiendo así el famoso clásico Teorema de Cauchy-Kowalevsky.

Remitimos al lector a 4.11 para las notaciones correspondientes. Recordemosque un operador diferencial parcial L sobre un abierto D ⊂ Rn es una apli-cación lineal de la forma u → Lu =

P|α|≤k

aαDαu, al cual le está asociado

su parte principal o forma característica, el polinomio Pk (ξ) =P

aα (x) ξα,

con x ∈ D, ξ ∈ Rn.

Dada una función f (en un cierto espacio), una ecuación diferencial par-cial lineal, de orden k, es de la forma

Lu ≡X|α|≤k

aαDαu = f.

El Problema de Cauchy: “Encontrar una solución de Lu = f tal que sobre

una hipersuperficie S ⊂ Rn tengamos u = ϕ0,∂u

∂ν= ϕ1, ...,

∂k−1u

∂νk−1= ϕk−1,

donde ν es un vector normal a S, y ϕ0, ϕ1, ..., ϕk−1 son funciones dadas yque son llamadas los datos iniciales.”

El problema de Cauchy es llamado un problema no-característico si Ses una superficie no característica. Por ejemplo, en el plano, para la ecuaciónde la onda ux2x2−ux1x1 = 0, tenemos ξ22−ξ21 = 0 y ξ22+ξ21 = 1, lo que implica


ξ2 = ±√2

2; de esta manera, las curvas características forman un ángulo de

45 con el eje x2. Así, para la ecuación de la onda dada, la superficie x2 = 0es una hipersuperficie no-característica. Por tanto, sobre esta hipersuperficie,el respectivo problema de Cauchy es no-característico.

Definición 6.2 Un problema de Cauchy es llamado analítico si los datosiniciales ϕ0, ϕ1, ..., ϕk−1, las funciones aα y f fueran funciones analíticas.

Notas.

En el caso de una variable independiente, el problema de Cauchy se

reduce al problema de encontrar una solución u(x) de la ecuacióndu

dx=

F (x, u) tal que u(x0) = u0. Este problema se estudia en la teoría deecuaciones diferenciales ordinarias.

En el problema de Cauchy (PC) (i), f y g no son asumidos, en general,ser funciones analíticas y por tanto la solución, dada por la fórmula deD0Alembert, no sería analítica. En este caso se tiene la unicidad de la

solución del problema, lo que en general no se tiene. Si el problema deCauchy fuera analítico, la unicidad está garantizada por el siguientefamoso resultado.

Teorema de Cauchy-Kowalevsky. “El problema de Cauchy analíticopara

P|α|≤k

aαDαu = f tiene una única solución analítica”.

Observemos que este resultado es de caracter local pues la unicidad dela solución es probada en la vecindad de un punto, y la esencia de la pruebaes probar que en esa vecindad, los coeficientes de la serie, en que la soluciónes expandida, son unívocamente determinados por las condiciones inicialesy por la ecuación diferencial. De esta manera, si tuviéramos dos solucionesanalíticas para el problema dado, con las mismas condiciones iniciales, ellasnecesariamente coinciden en tal vecindad.

Por otro lado, el teorema de Cauchy-Kowalevsky solo nos garantiza launicidad de la solución en la clase de las funciones analíticas, dejando laposibilidad de que existieran otras soluciones no-analíticas del problema. Elmas importante resultado en esta dirección fue dado por Holmgren en 1901,quien trabaja con ecuaciones diferenciales analíticas lineales con un númeroarbitrario de variables independientes, tanto con ecuaciones simples, comocon sistemas. Se tiene el

Teorema de Holmgren. “Si L es un operador diferencial lineal, con co-eficientes analíticos, y si los datos iniciales de Cauchy se anulan sobre unahipersuperficie regular no-característica S0, entonces cualquier solución u


(no necesariamente analítica) de Lu = 0, con esos datos iniciales, se anulaidénticamente en una pequeña vecindad de cualquier subconjunto cerradode S0.”

Obsérvese que el teorema de Holmgren nos asegura la unicidad de lasolución para datos de Cauchy arbitrarios, no necesariamente analíticos so-bre S0, pues si tuvieramos dos soluciones u1 y u2, entonces u = u1−u2 tienedatos de Cauchy iguales a cero, luego, por el teorema de Holmgren, u debeanularse idénticamente en una vecindad.

Veamos algunos otros argumentos sobre los teoremas de Cauchy-Kowalevskyy de Holmgren. Precisemos la siguiente notación que utilizaremos.

(t, x) ∈ R×Rn. El operador diferencial L es escrito en la forma

Lu =∂ku

∂tk+

k−1Xj=0

X|α|≤k−j

aj,α (t, x)∂α

∂xα∂ju

∂tj.

Como hemos mencionado, el teorema de Cauchy-Kowalevsky, en el casolineal, asegura la existencia local de una solución analítica (real) del siguienteproblema de Cauchy.

Teorema de Cauchy-Kowalevsky. El problema de Cauchy½Lu = f (t, x)

u (t0, x) = ϕ0 (x) , ..., ∂k−1t u (t0, x) = ϕk−1 (x) ,[C −K]

donde aj,α (t, x) y f (t, x) son funciones analíticas (reales) sobre unavecindad de (t0, x0) en Rn+1 y ϕ0, ϕ1, ..., ϕk−1 son funciones analíticas (reales)sobre una vecindad de x0 ∈ Rn, posee una solución analítica real en unavecindad de (t0, x0) .

Nota. Se puede asumir (t0, x0) = (0, 0) .Prueba. (Bosquejo)

El sistema [C −K] puede ser convertido en un sistema de primer ordende la forma

(∂u

∂t= L (t, x) ∂xu+ L0 (t, x)u+ f

u (0, x) = ϕ (x)[C −K]

0

donde

L (t, x) ∂x =nX

j=1

Lj (t, x)∂

∂xj.

Se asume que los Lj (t, x) son analíticos reales, que K × K es una matrizde funciones, que f y ϕ son funciones analíticas reales, con valores en Ck.Nótese que si se tiene [C −K]

0, entonces

∂j+1t u =jP

l=0

µjl

¶h³∂j−lt L

´∂x∂

ltu+

³∂j−lt L0

´∂ltui+ ∂jt f [∗]

Así, inductivamente, ∂j+1t u (0, x) es unívocamente determinado. De estamanera, [C −K]

0tiene a lo mas una solución analítica real u, local.

Por otro lado, si usando [∗] podemos encontrar adecuadas estimativas de∂j+1t u

¯t=0

= uj+1(x) de modo que la serie de potencias

u (t, x) =∞Xj=0

1

j!uj(x)t

j [∗∗]

sea convergente para t en alguna vecindad de 0, entonces [∗∗] nos darála solución de [C −K]

0.

Precisemos la idea. Pongamos u0(x) = ϕ(x) y definamos uj+1(x) induc-tivamente vía,

uj+1(x) =jP

l=0

nPν=0

µjl

¶∂j−lt Lν (0, x) .∂νul (x) + ∂jt f (0, x) . [∗ ∗ ∗]

Estamos usando la notación ∂ν =∂

∂xν, ν ≥ 1, y que ∂0u = u. El obje-

tivo es conseguir estimativas para uj+1(x) que nos asegure la convergencialocal de la serie [∗∗].

Remarcamos que estamos considerando coeficientes siendo funciones analíti-cas reales (es decir, sobre un conjunto abierto U ⊂ Rn). La idea ahora esextender estos coeficientes y los datos a funciones holomórficas definidas enuna vecindad U de Cn; asi mismo, L (t, x) , f (t, x) y ϕ(x) son extendidasa funciones holómorficas en x, en una vecindad de 0 en Cn. Conservamos tsiendo un número real. Así tenemos que L (t, z) , f (t, z) y ϕ(z) son holomór-ficas en z en, digamos, la bola unitaria cerrada B ⊂ Cn, con |t| ≤ 1.

Consideremos ahora al espacio de Banach

Hj =

½f holomórfica sobre B/Nj(f) := sup

z∈Bδ (z)j |f(z)| <∞

¾donde δ (z) = 1− |z| es la distancia de z a ∂B.

La idea ahora es obtener, inductivamente, estimativas para Nj(uj). En


efecto, de [∗ ∗ ∗], tenemos

Nj+1(uj+1) ≤jX

l=0

Xν

µjl

¶°°°∂j−lt Lν (0)°°°L∞(B)

Nj+1 (∂νul) +Nj+1

³∂jt f

´.

Una estimativa clave en este proceso es que para una cierta constanteγ = γ (n) , tenemos

Nj+1

¡∂xνul

¢≤ γ (j + 1)Nj (ul) .

Aceptemos esta estimativa. Desde que Nj (v) ≤ Nl (v) para l ≤ j,tendremos

Nj+1(uj+1) ≤ γ (j + 1)jP

l=0

Pν

µjl

¶°°°∂j−lt Lν (0)°°°L∞

Nl (ul)+Nj+1

³∂jt f

´.[+]

Por otro lado, por la hipótesis sobre L, podemos asumir que existenestimativas de la formaP

νk∂mt Lν (0)kL∞(B) ≤ C1λ

mm! [++]

para ciertas constantes C1 y λ. Bien, la hipótesis inductiva sobre ul esque existen constantes C2 y µ tal que

Nl (ul) ≤ C2µll!, 0 ≤ l ≤ j. [+ + +]

El caso l = 0 sigue de la hipótesis sobre ϕ (x) . Así mismo, podemostambién asumir que para todo j,

Nj+1

³∂jt f

´≤ C2µ

j (j + 1)!

substituyendo estas estimativas en [+], obtendremos

Nj+1(uj+1) ≤ γC1C2 (j + 1)!

jXl=0

λj−lµl + C2µj (j + 1)! .

Asumamos que µ = 2λ y µ ≥ 2γC1+1. EntoncesjP

l=0

λj−lµl ≤ 2µj , luego

Nj+1(uj+1) ≤ C2 (j + 1)! (2νC1)µj + C2µ

j (j + 1)! ≤ C2µj+1 (j + 1)!

Esto completa el proceso de inducción, es decir, tenemosNj(uj) ≤ C2µ

jj!, ∀ j. [+ + ++]Asi se ha probado el teorema de Cauchy-Kowalevsky, que en función de

la terminología usada en la prueba lo podemos enunciar en la forma:¿C.K. Dadas las hipótesis sobre [C − K] existe una única solución

u(t, x) analítica real sobre una vecindad de (t0, x0) ∈ Rn+1. El “tamaño” dela región sobre el cual u(t, x) es definida y analítica depende del tamaño delas regiones sobre los cuales los coeficientes y los datos de [C − K] tienenextensiones holomórficas en una forma determinada por [+], [+++] y [++++].À

Observación 6.1 Si los coeficientes aj,α y f son funciones analíticas enuna vecindad U del origen en el espacio-(t, x) ; si ϕ es una función datoanalítica en una vecindad V del origen en el espacio-x; y si W es la vecin-dad del origen en el espacio-(t, x) , en la cual la solución u es analítica,entonces W depende de U, V y del máximo módulo de los aj,α . Por otrolado, el teorema de Cauchy-Kowalevsky se aplica a una clase no muy ampliade operadores, los que deben tener los requerimientos de analiticidad indi-cados en tal teorema. Pero, tales hipótesis (en general) no son conseguidoscuando se estudian problemas en el mundo físico. Holmgren fue el primeroen remarcar que, usándose el teorema de Cauchy-Kowalevsky, es factibleprobarse la unicidad de la solución del problema de Cauchy sin la condiciónde analiticidad de los datos iniciales. Holmgren (1901) trabaja con ecua-ciones diferenciales parciales analíticas lineales, con un número arbitrariode variables independientes. Una primera versión del resultado de Holmgrenya fue expresado al inicio de esta sección. Pasemos a ver tal resultado deun modo mas formal. Si ε > 0, pongamos

Dε =n(t, x) ∈ Rn+1

±|t|+ |x|2 < ε

o.

Sean los espacios,

E = u : Rn → C/u ∈ C∞ (Rn)

yEk = u : Rn → C/u posee hasta k derivadas continuas .

Teorema 6.1 (Holmgren). Si los coeficientes aj,α del operador diferencialL (dado en el teorema de C−K) son funciones analìticas en la vecindad Udel origen, entonces existe un número ε0 > 0 satisfaciendo la condición:para todo 0 < ε < ε0, el dato inicial ϕ se anula sobre (t = 0)∩Dε, y entoncestoda soluciòn u ∈ Ek del problema de Cauchy:⎧⎨⎩

Lu = 0 en Dεµ∂

∂t

¶j

u = 0 sobre (t = 0) ∩Dε, j = 0, 1, ..., k − 1

se anula idénticamente en Dε.

Prueba.Vía un cambio de variables (t, x) →

³t0, x

0´, donde x

0

j = xj , j =

1, ..., n, y t0= t + x21 + ... + x2n, el semi-espacio t ≥ 0 es aplicado en el

dominio Ω =½³

t0, x

0´∈ Rn+1

±t0 −

¯x0¯2≥ 0

¾en el espacio-

³t0, x

0´.

La función u0³t0, x

0´, y sus derivadas hasta la orden k−1 en la dirección

de la normal interior a la superficie½t0 −

¯x0¯2= 0

¾, obtenemos una funciòn


en Ek, que aún denotamos con u, y que tiene soporte contenido en Ω. Eloperador diferencial es transformado en otro operador diferencial de ordenk, con coeficientes analíticos.

Así, podemos asumir que u sea una solución de una ecuación

Lu ≡µ∂

∂t

¶k

u+X

j≤k−1|α|+j≤k

aj,α (t, x)

µ∂

∂x

¶αµ ∂

∂t

¶j

u = 0,

u con soporte contenido en Ω. Sea Lt el operador transpuesto de L, y vuna solución de Lt (v) = 0 en Ωh = Ω ∩ 0 ≤ t ≤ h , tal que satisface

las condiciones v (h, x) =∂

∂tv (h, x) = ... =

µ∂

∂t

¶k−2v (h, x) = 0 sobre el

hiperplano (t = h). [•]Entonces tenemos Z

Ωh

¡uLt(v)− vL(u)

¢dxdt = 0.

Integrando por partes respecto a t y a x, se obtiene (usando [•])ZΩh

¡uLt(v)− vL(u)

¢dxdt =

Zt=h

(−1)k u (t, x)µ∂

∂t

¶k−1v (t, x) dx.

Luego, Zt=h

(−1)k u (t, x)µ∂

∂t

¶k−1v (t, x) dx = 0. [••]

Sean ahora los problemas de Cauchy⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩Lt (v) = 0µ∂

∂t

¶j

v (0, x) = 0, j = 1, ..., kµ∂

∂t

¶k−1v (0, x) = P (x)

donde P (x) recorre a través de polinomios.Entonces, por el teorema de Cauchy-Kowalevsky, existen soluciones v(x)

en una vecindad fija |t| ≤ h satisfaciendo los citados problemas de Cauchy.Luego, ∃ h > 0 tal que para todo polinomio P (x) existe v, definida en Ωh,

que satisface [•] conµ∂

∂t

¶k−1u (h, x) = P (x) . Luego, por [••], u(t, x) es

ortogonal a todo polinomio P (x) para t ≤ h. Así, u(t, x) ≡ 0 para 0 ≤ t ≤ h.Reemplazando t por −t, obtenemos u(t, x) ≡ 0 para −h ≤ t ≤ 0.

De esta manera u(t, x) ≡ 0 en Dε.¥

6.2. UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN DEL PRO-BLEMADE CAUCHY.283

El teorema de Cauchy-Kowalevsky puede ser establecido para ecuacionesno lineales. Erik Holmgren tuvo la brillante idea de saber que sucede si enel teorema de Cauchy-Kowalevsky lineal la solución u no es analítica, perosi suficientemente regular. Como hemos visto, Holmgren tuvo la respuesta:si la solución existe, ella es única. G. Métivier, en 1993, comprueba que elteorema falla para sistemas no-lineales con coeficientes analíticos.El teore-ma también falla para ecuaciones con coeficientes no-analíticos. El teoremade Holmgren es extendido para operadores no-analíticos lineales de primerorden, los cuales sean elípticos y que (casi) conmutan con sus adjuntos. Estaextensión ilustra el uso de las funciones peso introducidas por Torsten Car-leman (en 1939) en un trabajo sobre la unicidad para sistemas de primerorden en dos variables. El resultado de Carleman fue extendido a variasvariables por A. P. Calderón en 1958. Así se tiene el

Teorema 6.2 (Calderón). “Sea L un operador diferencial de la forma

Lu =∂ku

∂tk+

k−1Xj=0

X|α|≤k−j

aj,α(t, x)∂α

∂xα∂ju

∂tj,

con coeficientes reales.

Asumamos que en una vecindad del origen todos los coeficientes aj,α(t, x),para j+ |α| = k, pertenecen a C1+σ (σ > 0), y que los otros coeficientes sonacotados.

Además, supongamos que la ecuación característica, en el origen,

P (λ, ξ) ≡ λk +X

j+|α|=kaj,α(0, 0)ξ

αλj = 0

tiene distintas raices para cualquier real ξ 6= 0.Si la solución u pertenece a Ck y tiene datos de Cauchy cero (esto es,

dato de Cauchy cero en una vecindad del hiperplano t = 0), entonces u ≡ 0en una vecindad del origen.”

La prueba de este Teorema hace uso de la teoría de los operadores inte-grales singulares. Ver [CAL.1].

6.2. UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN DEL PRO-BLEMA DE CAUCHY.

PARA ECUACIONES DIFERENCIALES CONCOEFICIENTES PRINCIPALES CONSTANTES.

En esta sección vamos a presentar algunos resultados de L. Nirenberg[NIR.1] y de L. Hörmander [HOR.1] en relación al problema de Cauchy y


a ciertos operadores diferenciales parciales. En la sección anterior ya hemosvisto el problema de Cauchy para la ecuación de la onda y del calor, asicomo los resultados fundamentales de Cauchy-Kowalevsky y de Holmgren.Nirenberg considera ecuaciones de la forma

Pu+qP

j=1aj(x)Pju = f(x) [∗]

donde P y Pj son polinomios diferenciales, esto es, operadores linealescon coeficientes constantes, y los a

0js son funciones limitadas, y establece

las condiciones para que se tenga la unicidad de la solución del problemade Cauchy. Tales condiciones están relacionadas con propiedades que lospolinomios Pj deben tener con relación al polinomio P , asi como del tipode dominio particular en que se busca la solución del problema. En estaorientación, Nirenberg introduce el concepto de polinomio admisible relativoal polinomio P.

La propiedad de la continuación única para una ecuación diferencialparcial elíptica afirma que “u(x) ≡ 0 es la única solución en algún dominioen el cual tiene un cero infinito en algún punto del dominio”, lo que significaque u converge a cero, en el punto, mas rápido que cualquier potencia dela distancia del punto. Se sabe que la propiedad vale para una ecuación concoeficientes analíticos como una consecuencia de la analiticidad de todas lassoluciones. En 1933 Carleman probó la propiedad para ecuaciones elípticasde segundo orden y para sistemas elípticos de primer orden en dos variables,las cuales no se exige que sean analíticas. Existe una formulación débil dela propiedad de la continuación analítica: “ una solución de una ecuaciónelíptica Lu = 0 en un dominio, la cual se anula en un subconjunto abierto, seanula idénticamente”. Esta forma es equivalente a la unicidad de la solucióndel problema de Cauchy. Para un operador L de orden k tal forma nos dice:“u ≡ 0 es la única solución de Lu = 0 en una vecindad de un punto, tal queu y todas sus derivadas hasta la orden k − 1, se anulan sobre una hipersu-perficie (n− 1) dimensional que contiene al punto”. (n es la dimensión delespacio) E. Heinz, en 1955, extiende la propiedad de la continuación únicapara ecuaciones elípticas de segundo orden con cualquier número de vari-ables, y que tiene al operador de Laplace como su parte principal. Nirenberg[NIR.1] extienede el resultado de Heinz a ecuaciones de orden k, teniendocoeficientes principales constantes. Esto presentamos en esta oportunidad.

6.2.1. Preliminares.

Ya hemos tenido oportunidad de ver que a cada polinomio P (ξ) se leasocia un polinomio diferencial P (D). Un polinomio diferencial aplicado a ues denotado por P (D)u ≡ Pu para funciones u(x), x = (x1, ..., xn) . P (α) (ξ)

representa la derivada de P (ξ) : P (α) (ξ) =∂α1

∂ξα11...

∂αn

∂ξαnnP (ξ), donde el


orden de la derivada es |α| =nPi=1

αi, αi es entero no negativo. Como es usual

∂D es la frontera de un dominio D y D es la cerradura de D; Sε es la esferaabierta con centro en el origen y radio ε.

Definición 6.3 Sea η un vector arbitrario. Un polinomio diferencial M(D)es llamado η-admisible relativo al polinomio diferencial P (D) si el co-ciente

|M (ξ + iλη)|2P|α|≥1

¯P (α) (ξ + iλη)

¯2es uniformemente limitado para todos los vectores reales ξ y todos los númerosreales λ.

Definición 6.4 M(D) es llamado admisible relativo a P (D) si

|M (ξ)|2P|α|≥1

¯P (α) (ξ)

¯2es uniformemente limitado para todo complejo ξ ∈ Cn.

Nota. La admisibilidad implica η-admisibilidad pues en la definición 6.3tenemos vectores complejos de la forma ξ+ iλη, que constituyen un subcon-junto de Cn.

Definición 6.5 Un dominio D es llamado estrictamente convexo en unpunto x de la frontera ∂D si existe un hiperplano H que intersecta D ensolamente aquel punto x. Un cubo es estrictamente convexo en sus vértices,pero no en sus otros puntos frontera.

Para nuestros propósitos consideraremos dominios D que son estricta-mente convexos en el origen 0, y el eje x1 es perpendicular al hiperplano Hen 0. Designemos con Dc al conjunto de los puntos de D con x1 = c.

6.2.2. Teorema de Unicidad.

El siguiente teorema implicará la unicidad de la solución del problemade Cauchy para ecuaciones del tipo [∗].


Teorema 6.3 Sea D estrictamente convexo en el origen; P (D) es un poli-nomio diferencial de orden k y sean P1(D), ..., Pq(D) polinomios diferen-ciales de órdenes menores los cuales son ξ1 = (1, 0, ..., 0)-admisibles relativosa P (D), esto es, satisfacen

qXj=1

¯Pj¡ξ + iλξ1

¢¯2 ≤ KX|α|≥1

¯P (α)

¡ξ + iλξ1

¢¯2(1)

para todo vector real ξ y todo número complejo λ, y para alguna constante K,independiente de ξ y λ. Sea u ∈ Ck−1 en D y que tiene derivadas continuaspor partes de orden k en D, tales que u y sus derivadas hasta la orden k− 1se anulan sobre ∂D ∩ Sε, donde Sε0 = x/ |x| ≤ ε0, para algún ε0 > 0.De esta manera, u tiene datos iniciales de Cauchy cero sobre D, cerca delorigen. Además, admitamos que para todo c > 0, suficientemente pequeño,u satisface Z

Dc|Pu|2 dx2...dxn ≤ K1

ZDc

qXj=1

|Pju|2 dx2...dxn (2)

donde K1 es una constante independiente de c.Entonces, existe ε > 0 tal que u = 0 en D ∩ Sε.

Probaremos que el teorema 6.3 implica la unicidad de la solución delproblema de Cauchy, cerca del origen (donde D es estrictamente convexo),para ecuaciones de la forma

Pu+

qXj=1

aj(x)Pju = f(x) (3)

donde los Pj son ξ1−admisibles relativos a P , de órdenes inferiores a P ,y los coeficientes aj(x) son funciones limitadas. Entonces, dado el prob-lema de Cauchy para las ecuaciones (3) solo resta verificar (2) (las otrascondiciones son satisfechas por hipótesis). En efecto, sean u1 y u2 dossoluciones del problema en cuestión y pongamos u = u1 − u2. Entonces, u

satisface Pu +qP

j=1aj(x)Pju = 0, lo que implica Pu = −

qPj=1

aj(x)Pju, luego

|Pu|2 ≤ K1

qPj=1

|Pju|2, de donde integrando obtenemos (2).

Luego existe ε > 0 tal que u = u1 − u2 = 0 en D ∩ Sε.

Observación 6.2 El considerar el origen (o) en el teorema 6.3 no es nadaespecial pues si D es estrictamente convexo en x ∈ ∂D, sea η la normal uni-taria al hiperplano H, que intersecta D apenas en el punto x, y supongamos

que la desigualdad (1) vale substituyendo ξ1 con η, y que una desigualdadanáloga a (2) se verifica con Dc, que es la intersección de D con hiperplanosortogonales a η. Entonces, por medio de una translación seguida de unarotación que lleva el punto x en el origen y el vector η al vector (1, 0, ..., 0),el problema se reduce al caso del teorema 6.3.

Las ecuaciones (3) constituyen una clase amplia de ecuaciones ya queninguna restricción es hecha respecto a su tipo (el polinomio diferencialpuede ser hipérbolico, elíptico, ...), tampoco se exige que la frontera ∂Dsea no-característica en el origen. Lo que limita al teorema 6.3 es que setrabaja con dominios bastantes especiales (D es estrictamente convexo).Por otro lado, es importante saber cuando los polinomios Pj , j = 1, ..., q, sonξ1−admisibles relativos a P . La respuesta está en las siguientes proposicionespara el caso en que P es homogéneo.

Proposición 6.1 Sea P un polinomio homogéneo. Entonces, todos los poli-nomios Pj , j = 1, ..., q, hasta la orden r < k son ξ1−admisibles relativos aP ⇔todas las derivadas P (k−r)

¡ξ + λξ1

¢no tienen alguna raíz real común

(ξ, η) sobre |ξ|2 + λ2 = 1.

Prueba. ⇒. Llamando ξ + λξ1 = η, tenemos por hipótesis,

|Pj (η)|2¯P (1) (η)

¯2+ ...+

¯P (k−r−1) (η)

¯2+¯P (k−r) (η)

¯2+ ...+

¯P (k) (η)

¯2 ≤ K.

Supongamos que las derivadas P (k−r) (η) tengan una raíz común η0 enla esfera unitaria. Tomemos η = tη0 (η es aún una raíz pues P es homogénea);entonces tenemos ¯

Pj¡η0¢tr¯2¯

P (1) (η0) tk−1¯2+ ...+

¯P (k−r−1) (η0) tr+1

¯2+¯P (k−r) (η0) tr

¯2+términos de ordenmenores a 2r

≤ K.

Ahora aplicamos el Lema 1. P (k−r)¡η0¢= 0 implica P (k−r−1)

¡η0¢= 0.

[Prueba.

Tenemos que∂P (k−r−1)

¡η0¢

∂η0j= 0, pues

∂P (k−r−1)¡η0¢

∂η0j=³P (k−r)

¡η0¢´

j= 0.

Por el teorema de Euler sobre funciones homogéneas, tenemos

(r + 1)P (k−r−1)¡η0¢=X

η0j∂P (k−r−1)

¡η0¢

∂η0j= 0

de donde P (k−r−1)¡η0¢= 0].

¤]De acuerdo al Lema 1, concluimos que P (k−r−2)

¡η0¢= ... = P (2)

¡η0¢=

P (1)¡η0¢= 0.

Luego, si t→∞, el cociente tiende a infinito, lo que contradice la hipóte-sis.

⇐ . Por hipótesis P (k−r) (η) no tienen raíz común sobre la esfera unitaria, lo

que nos garantiza queP|α|≥1

¯P (α) (η)

¯2 6= 0. Pero el cociente |Pj (η)|2P|α|≥1

¯P (α) (η)

¯2es una función continua, que toma valores sobre la esfera unitaria, que escompacta; luego ella es limitada.

¥

Observación 6.3 No existe restricción en tomarse η apenas sobre la esferaunitaria ya que si tuviéramos dos polinomios homogéneos del mismo gradok, P (η) y Q(η), entonces

P (η)

Q(η)=

1|η|kP (η)

1|η|kQ(η)

=P ( η|η|)

Q( η|η|).

Proposición 6.2 Si P es un polinomio homogéneo, entonces todos lospolinomios hasta la orden r < k son admisibles relativos a P ⇐⇒ las raicescomplejas de P (ξ) sobre |ξ| = 1 tienen multiplicidad menor que k − r + 1.

Prueba.Basta establecer la equivalencia de la condición-derecha con la afirma-

ción: “todas las derivadas P (k−r) (ξ) no tienen raices comunes sobre |ξ| = 1”.En efecto, supongamos las derivadas P (k−r) (ξ) tuvieran una raíz comúnξ0 sobre |ξ| = 1, esto es, P (k−r) (ξ0) = 0, ξ0 una raíz simple; entoncesP (k−r−1) (ξ0) = 0; ξ0 una raíz doble; entonces ... P (ξ0) = 0, ξ0 es una raízde multiplicidad k − r + 1, lo que contradice la hipótesis de que P (ξ) tieneraices de multiplicidad menor que k − r + 1.

Recíproco. Si las raices de P (ξ) sobre |ξ| = 1 tuviesen multiplicidad mayoro igual que k − r + 1, esto implicaría que las derivadas P (k−r) (ξ) tendríanuna raíz común sobre |ξ| = 1, lo que es falso.

¥

Proposición 6.3 Si P es una combinación lineal de los polinomios D2j , j =

1, ..., n, con coeficientes no-nulos, entonces cualquier polinomio de ordeninferior es admisible relativo a P.

Prueba. Aplicar la proposición 6.2.


La utilidad de la proposición 6.2 está en el hecho de que si tuviéramos

una ecuación del tipo Pu +qP

j=1aj(x)Pju = f(x), y si P es de orden k,

entonces para garantizar la unicidad de la solución del problema de Cauchypara esas ecuaciones, debemos tomar los polinomios Pj tales que sus raicestengan en lo máximo multiplicidad (k − r) .

A continuación presentamos una forma mas débil del teorema 6.3, dondelos Pj son admisibles relativo a P y con funciones u satisfaciendo, en lugarde (2), la condición

|Pu|2 ≤ K1

qXj=1

|Pju|2 en D. (4)

Asi se tiene el

Teorema 6.4 Sea D estrictamente convexo en el origen; sean P un poli-nomio diferencial y P1, ..., Pq polinomios diferenciales admisibles relativos aP . Si u satisface (4) en D y tiene datos de Cauchy que son cero sobre ∂Dcerca del origen (esto es, u y sus derivadas hasta la orden k − 1 se anulanahi), entonces u = 0 en D ∩ Sε para algún ε > 0.

Como consecuencia del teorema 6.3, tenemos el

Teorema 6.5 Sea D un dominio limitado con frontera regular por partesy sean P1, ..., Pq polinomios diferenciables admisibles relativos al polinomiodiferencial P de orden k. Sea u ∈ Ck−1, con derivadas continuas por partesde orden k en D y que satisface (4). Si u tiene datos de Cauchy cero sobre∂D, entonces u = 0 en D.

Prueba. Sea B una bola que contiene a D. Definamos

u =

½u ... en D0 ... en B −D .

Entonces tenemos,

• u ∈ Ck−1, y Dku es continua por partes, lo que sigue por la construc-ción de u.

•• u satisface (4) para todo x ∈ B − ∂D, ya que si x ∈ D se tiene elresultado pues u(x) = u(x), y si x ∈ B − D, u(x) = 0 y (4) sesatisface trivialmente. Luego (4) se verifica en casi toda parte. De estamanera, por integración, (2) se verifica.

Probemos ahora que la función u es idénticamente cero en B. Supong-amos, por el absurdo, que no lo fuera, esto es, existen puntos x dondeu(x) 6= 0. Sea R el radio de la bola B y tomemos x0 ∈ ∂B. Con centrox0, consideremos las bolas Br(x0), cuyas fronteras designaremos con Sr,donde 0 < r < 2R. Existe r, 0 < r < 2R tal que sobre Sr existe un puntodonde los datos de Cauchy no son cero.

Sea A =½

r ∈ (0, 2R) tal que sobre Sr existe un puntodonde los datos de Cauchy no son cero

¾.

Tenemos,

* A 6= φ, pues r ∈ A;

** A es abierto, pues sea r ∈ A, lo que implica que existe un punto P ∈ Srdonde los datos de Cauchy no son cero, esto es, donde por lo menosuno de los valores

u(P ),∂u(P )

∂ν,∂2u(P )

∂ν2, ...,

∂k−1u(P )

∂νk−1,

es diferente de cero, digamos por ejemplo,∂2u(P )

∂ν26= 0. Desde que

u ∈ Ck−1, existe Bε(P ) tal que los datos de Cauchy no son cero entodo punto Q ∈ Bε(P ).

Observemos que el intervalo (r − ε, r + ε) está contenido en A, pues sir0 ∈ (r − ε, r + ε) tenemos que Sr0 ∩Bε(P ) 6= φ, esto es, sobre Sr0 existe unpunto donde los datos de Cauchy no son cero. Luego r

0 ∈ A.

Sea σ = supA. Tenemos que σ /∈ A pues A es abierto. Ahora, sobre Sσlos datos de Cauchy son cero (pues si no los fueran, σ ∈ A lo que es falso).Pongamos I = Sσ ∩ BR; entonces I es estrictamente convexo en todos suspuntos. Aplicando el Teorema 6.3, y por la compacticidad de I, existe un

número finito de bolas Br1 , Br2 , ..., Brn tal que I ⊂nS

j=1Brj , y u = 0 sobre

Bσ ∩Brj , j = 1, ..., n.

Si δ =dist

ÃI,Bσ −

nSj=1

Brj

!. Entonces, en Sr para σ − δ < r < σ, los

datos de Cauchy son cero, lo que es contrario al hecho de ser σ = supA.Por tanto, u = 0 en B, y por tanto u = 0 en D.

¥

6.2.3. Una Desigualdad de Hörmander.

En 3.5. hemos considerado la transformada de Fourier en sus aspectosbásicos; en 3.7. vimos la transformada de Fourier de una distribución tem-perada. Definimos, para u ∈ L1 (Rn), la transformada de Fourier vía: u (ξ) =

6.2. UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN DEL PRO-BLEMADE CAUCHY.291Ze−2πix.ξu(x)dx. Vía un adecuado cambio de notación (a fin de compatibi-

lizar lo que trataremos luego), para una función u ∈ C∞0 (Rn) (infinitamentediferenciable, de soporte compacto), definimos la transformada de Fourierde u vía:

u (ξ) =1

(2π)n2

Zeix.ξu(x)dx , x.ξ = x1ξ1 + ...+ xnξn.

Sea P (D) un polinomio diferencial y P (ξ) su asociado polinomio. En-tonces,

[P (D)u]∧ (ξ) = P (ξ)u (ξ) .

En efecto,

[P (D)u]∧ (ξ) = (2π)−n2

Zeix.ξP (D)u(x)dx,

donde recordamos que

P (D)u(x) =X|α|≤m

aαDαx u(x).

ConsiderandoZeix.ξ i

∂u

∂xjdx e integrando por partes, obtenemos

Zeix.ξ i

∂u

∂xjdx = i

Z∂Ω

ueix.ξdσ + ξj

Zeix.ξu(x)dx,

donde Ω es un dominio que contiene el soporte de u. Desde que u ∈ C∞0 (Rn) ,Z∂Ωueix.ξdσ = 0,

luego Zeix.ξ i

∂u

∂xjdx = ξi

Zeix.ξu(x)dx.

Así, un proceso de iteración nos lleva a lo deseado.Como corolario obtenemos que:Z

|P (D)u(x)|2 dx =Z|P (ξ)|2 |u(ξ)|2 dξ.

En efecto, por la igualdad de Parseval, tenemosZ|P (D)u(x)|2 dx =

Z ¯[P (D)u]∧ (ξ)

¯2dξ =

Z|P (ξ)|2 |u(ξ)|2 dξ.


Definición 6.6 Sea P (D) un polinomio diferencial. Diremos que un poli-nomio Q(D) es más debil que P (D) si existe una constante C tal queZ

|Q(D)u|2 dx ≤ C

Z|P (D)u|2 dx, ∀ u ∈ C∞0 (D),

o equivalentemente, si kQ(D)uk2L2 ≤ C kP (D)uk2L2 .

Pongamos P (ξ) =³P ¯

P (α)(ξ)¯2´ 12

, entonces se tiene la siguiente carac-terización para un operador más débil que otro.

Teorema 6.6 (Hörmander)

kQ(D)uk2 ≤ C kP (D)uk2 ⇐⇒ Q(ξ)

P (ξ)≤ K.

Nota. k k2 ≡ k k2L2 .Prueba⇒ • Sea la función ψ ∈ C∞0 (D), ψ 6= 0; pongamos u(x) = ψ(x)eix.ξ, con ξun vector real. Entonces tenemos:

(i) u(x) ∈ C∞0 (D).

(ii) P (D)u(x) = eix.ξP|α|≥0

P (α)(ξ)Dαψ(x)

|α|! . En efecto, usando la fórmula

de Leibniz,

P (D)(vw) =X|α|≥0

1

|α|!Dαv.P (α)(D)w,

tenemos en nuestro caso

P (D)u = P (D)³ψ(x)eix.ξ

´=X|α|≥0

1

|α|!Dαψ(x).P (α)(D)eix.ξ

= eix.ξX|α|≥0

P (α)(ξ)1

|α|!Dαψ(x).

De un modo análogo, se tiene

(iii) Q(D)u(x) = eix.ξP|α|≥0

Q(α)(ξ)1

|α|!Dαψ(x).

Tomando conjugados se obtiene

(iv) Q(D)u(x) = e−ix.ξP|β|≥0

Q(β)(ξ)1

|β|!Dβψ(x).


Multiplicando (iii) y (iv) e integrando, obtenemos:

Z|Q(D)u|2 dx =

Z ⎛⎝X|α|≥0

Q(α)(ξ)Dαψ(x)

|α|!

⎞⎠⎛⎝X|β|≥0

Q(β)(ξ)Dβψ(x)

|β|!

⎞⎠ dx

=X|α|≥0|β|≥0

Q(α)(ξ)Q(β)(ξ)

ZDαψ(x)Dβψ(x)

|α|! |β|! dx.

Poniendo, ψαβ =

ZDαψ(x)Dβψ(x)

|α|! |β|! dx, tenemos

Z|Q(D)u|2 dx =

X|α|≥0|β|≥0

Q(α)(ξ)Q(β)(ξ)ψαβ.

De un modo análogo se tiene,Z|P (D)u|2 dx =

X|α|≥0|β|≥0

P (α)(ξ)P (β)(ξ)ψαβ.

Luego, por la hipótesis se tiene queP|α|≥0|β|≥0

Q(α)(ξ)Q(β)(ξ)ψαβ ≤ CP|α|≥0|β|≥0

P (α)(ξ)P (β)(ξ)ψαβ. [∗]

Sea m la más alta orden de P y Q; y tα, 0 ≤ |α| ≤ m, son números com-plejos tales que tα = tα0 cuando α

0es una permutación de α. Consideremos

ahora a la forma cuadrática definida por

X|α|≤m

X|β|≤m

tαtβψαβ =

Z ¯¯ X|α|≤m

tαDαψ

|α|!

¯¯2

dx.

Desde que

Z ¯¯ X|α|≤m

tαDαψ

|α|!

¯¯2

dx =

Z ¯¯ X|α|≤m

tαξα

|α|!

¯¯2 ¯ψ (ξ)

¯2dξ

(porZ|Q(D)u(x)|2 dx =

Z|Q(ξ)|2 |u(ξ)|2 dξ), se tiene que la forma cuadráti-

ca considerada es positiva, a no ser que el polinomioP

|α|≤m

1

|α|! tαξα se anule

idénticamente, esto es, que tα = 0 para todo α.


Luego, ella es una forma cuadrática definida positiva y de acuerdo a esto,existe una constante C

0tal queX

|α|≤m|tα|2 ≤ C

0 X|α|≤m

X|β|≤m

tαtβψαβ.

Poniendo tα = Q(α)(ξ), de esta desigualdad obtenemos queP|α|≤m

¯Q(α)(ξ)

¯2 ≤ C0 P|α|≤m

P|β|≤m

Q(α)(ξ)Q(β)(ξ)ψαβ [∗∗]

Por otro lado, existe C00> 0 tal queP

|α|≤m

P|β|≤m

P (α)(ξ)P (β)(ξ)ψαβ ≤ C00 P|α|≤m

¯P (α)(ξ)

¯2. [∗ ∗ ∗]

Luego de [∗], [∗∗], y [∗ ∗ ∗], tenemos:X|α|≤m

¯Q(α)(ξ)

¯2≤ C

000 X|α|≤m

¯P (α)(ξ)

¯2,

esto es,Q(ξ)

P (ξ)≤ K.

La condición suficiente será probado después de que probemos la primeraparte del siguiente teorema.

Teorema 6.7 (Hörmander). Sea P (D) un polinomio diferencial de ordenm. Entonces, para toda función u(x) ∈ C∞0 ([−1, 1]) tenemosZ ¯

P (α)(D)u¯2dx ≤ C

Z|P (D)u|2 dx [8,1]

para todo α, donde C es una constante que depende solo de m y de n(dimensión de Rn).

En general, para cualquier polinomio diferencialM(D) existe una con-stante C

0tal que Z

|M(D)u|2 dx ≤ C0Z|P (D)u|2 dx [8,2]

vale para toda u ∈ C∞0 ([−1, 1]) ⇐⇒|M(ξ)|2P

|α|≥0

¯P (α)(ξ)

¯2 ≤ C00

[8,3]

para todo vector real ξ.

Prueba.

Prueba de [8.1] Usamos inducción en |α| . En efecto, supongamos que[8,1] se verifica para |α| = 1, esto es, tenemosZ ¯

P (α) (D)u¯2dx ≤ C

Z|P (D)u|2 dx, con α = (0, ..., 1, ..., 0) ,


lo que probaremos al final de la inducción. Supongamos que para cualquiervector α, con |α| = n, tengamosZ ¯

P (α) (D)u¯2dx ≤ C

Z|P (D)u|2 dx

y sea β un vector tal que |β| = n+ 1; luego, β = α+ (0, ..., 1, ..., 0) .De esta manera, aplicando lo supuesto para vectores de magnitud 1,

tenemosZ ¯P (β) (D)u

¯2dx ≤ K

Z ¯P (α) (D)u

¯2dx ≤ C

Z|P (D)u|2 dx,

usando la hipótesis de inducción, como se desea.Prueba de [8.1] para |α| = 1. Sabemos que,Z ¯

P (α) (D)u¯2dx =

Z ¯P (α) (ξ) u (ξ)

¯2dξ yZ

|P (D)u|2 dx =

Z|P (ξ) u (ξ)|2 dξ.

Por comodidad consideraremos α = (1, 0, ..., 0); luego, P (α) (ξ) =∂

∂ξ1P (ξ) .

Entonces, tomando transformada de Fourier con relación a x2, ..., xn,tenemosZ ¯

P (α) (D)u¯2dx =

Z ¯∂

∂ξ1P (D1, ξ2, ..., ξn) u (x1, ξ2, ..., ξn)

¯2dx1dξ2...dξn,

donde∂

∂ξ1P (D1, ξ2, ..., ξn) es el operador obtenido substituyendo ξ1 por D1

en P (α) (ξ) .Análogamente,Z|P (D)u|2 dx =

Z|P (D1, ξ2, ..., ξn) u (x1, ξ2, ..., ξn)|2 dx1dξ2...dξn.

Luego [8.1] se verifica si para todo (ξ2, ..., ξn) se tieneZ ¯∂

∂ξ1P (D1, ξ2, ..., ξn) u (x1, ξ2, ..., ξn)

¯2dx1 ≤ C

Z|P (D1, ξ2, ..., ξn) u (x1, ξ2, ..., ξn)|2 dx1.

Pero, esta desigualdad sigue de la desigualdad generalZ ¯P0µid

dx

¶v

¯2dx ≤ C1

Z ¯P

µid

dx

¶v

¯2dx [8,4]

para v ∈ C∞0 ([−1, 1]), donde P (ξ) es un polinomio en una variable,P0(ξ) es su derivada y la constante C1 depende solamente del grado de

P (ξ) .


Ahora factorizando, P (ξ) =Q

j (ξ − λj) y observando quedP (ξ)

dξes una

combinación lineal de los productosQ0

j (ξ − λj) =

Q(ξ − λj)

(ξ − λj), la desigual-

dad [8,4] se obtendrá de la siguiente desigualdadZ ¯Y 0 µid

dx− λj

¶v

¯2dx ≤ C2

Z ¯Yµid

dx− λj

¶v

¯2dx.

Ahora, si ponemosQ 0

µid

dx− λj

¶v = w, todo quedará probado si

probamos Z|w|2 dx ≤ C2

Z ¯µid

dx− λ

¶w

¯2dx [8,5]

para todo número complejo λ y w(x) ∈ C∞0 ([−1, 1]), donde C2 es unacostante independiente de λ y de w(x).Prueba de [8.5]

[8.5] es equivalente aZ|w|2 dx ≤ C2

Z ¯w0+ iλw

¯2dx. Pongamos iλ =

µ, (µ = µ1 + iµ2) ; entonces tenemosZ|w|2 dx ≤ C2

Z ¯w0+ µw

¯2dx.

Consideremos la descomposición polar de w, w = weiθ. Entonces, w0=³ ew0 + iθ

0w´eiθ.

Tenemos,¯w0+ µw

¯2=

¯ ew0 + iθ0w + µ1w + iwµ2

¯2=¯ ew0 + µ1w + i

³θ0w + wµ2

´¯2=

¯ ew0 + µ1w¯2+¯θ0wµ2

¯2≥¯ ew0 + µ1w

¯2=

¯ ew0 ¯2 + |µ1|2 |w|2 + 2w ew0µ1 ≥ ¯ ew0 ¯2 + 2w ew0µ1.Pero, Z

w ew0dx = 1

2

Z ¡w2¢0dx =

1

2

£w2¤1−1 = 0.

Luego, Z ¯w0+ µw

¯2dx ≥

Z ¯ ew0 ¯2 dx.Usando la desigualdadZ

|w|2 dx ≤ 2Z ¯ ew0 ¯2 dx,


válida para toda w ∈ C∞0 ([−1, 1]) , tendremosZ ¯w0+ µw

¯2dx ≥ 1

2

Z|w|2 dx = 1

2

Z|w|2 dx,

lo que prueba [8,5].

Prueba de la Condición Suficiente ⇐ del Teorema 6.6

De la hipótesis

³P ¯Q(α)(ξ)

¯2´ 12³P ¯

P (α)(ξ)¯2´ 12 ≤ C se obtiene

|Q(ξ)|2 ≤ C2X¯

P (α)(ξ)¯2.

Por otro lado, usandoZ|Q(D)u(x)|2 dx =

Z|Q(ξ)|2 |u(ξ)|2 dξ,

y de esta última desigualdad, obtenemosZ|Q(D)u|2 dx =

Z|Q(ξ)|2 |u(ξ)|2 dξ ≤ C2

XZ ¯P (α)(ξ)

¯2|u(ξ)|2 dξ

= C2XZ ¯

P (α)(D)u¯2dx.

Aplicando [8,1], obtenemosZ|Q(D)u|2 dx ≤ C

0Z|P (D)u|2 dx.

¥Teorema 6.6

Prueba de la Segunda Parte del Teorema 6.7.[8.3]⇒[8.2].En efecto, por hipótesis |M(ξ)|2 ≤ C

00 P|α|≥0

¯P (α)(ξ)

¯2, luego

Z|M(x)u|2 dx ≤ C

00 X|α|≥0

Z ¯P (α)(D)u

¯2dx ≤ (por [8.1])

≤ C0Z|P (D)u|2 dx,

que es [8.2].[8.2]⇒[8.3].En efecto, por hipótesis tenemos

R|M(D)u|2 dx ≤ C

0 R |P (D)u|2 dxpara todo u ∈ C∞0 ([−1, 1]); luego, por el Teorema 6.6,

M(x)

P (x)≤ K. Luego,

|M(x)|2 ≤X|α|≥0

¯M (α)(x)

¯2≤ C

00 X|α|≥0

Z ¯P (α)(x)

¯2.

¥Teorema 6.7


6.2.4. Extensión de la Desigualdad de Hörmander.

Nirenberg [NIR.1] extendió la desigualdad de Hörmander, la cual seráutilizada en la prueba del Teorema 6.3. Tal extensión está contenida enla

Proposición 6.4 (Nirenberg). Sea P (D) un polinomio diferencial de or-den m. Entonces, para cualquier u(x) ∈ C∞0 (B), donde B = x/ |x| ≤ 1, ypara cualquier vector real η, tenemosZ

eηx¯P (α)(D)u

¯2dx ≤ C

Zeηx |P (D)u|2 dx [9,1]

donde C es la constante en [8.1].Mas generalmente, dado M(D) y un vector real η, tenemosZ

eηx |M(D)u|2 dx ≤ C0Zeηx |P (D)u|2 dx [9,2]

para alguna constante C0y cualquier u ∈ C∞0 (B) ⇔¯

M¡ξ − 1

2iη¢¯2P

|α|≥0

¯P (α)

¡ξ − 1

2iη¢¯2 ≤ K,

para todo vector real ξ. [9,3]Prueba.

En primer lugar verificamos que si e12ηxu = v, entonces

e12ηxM (iD)u =M

µiD − 1

2iη

¶v.

En efecto, tomando derivada∂

∂xjen el segundo miembro, tenemosµ

i∂

∂xj− 12iηj

¶v = i

∂

∂xj

³e12ηxu´− i

2e12ηxuηj

=1

2ηje

12ηxu+ ie

12ηx ∂

∂xju− i

2ηje

12ηxu = ie

12ηx ∂u

∂xj.

Vía un proceso de iteración tenemos la igualdad deseada.

Prueba de [9,1]. Esta desigualdad es equivalente aZ ¯P (α)

µD − 1

2iη

¶v

¯2dx ≤ C

Z ¯P

µD − 1

2iη

¶v

¯2dx.

Ahora, al polinomio diferencial P¡D − 1

2iη¢le está asociado el polinomio

P¡ξ − 1

2iη¢, el que podemos escribir en la forma

P

µξ − 1

2iη

¶=X|α|≤m

aα

µξ − 1

2iη

¶α

=X|α|≤m

bαξα = P (ξ) .


Asociamos a P (ξ) el polinomio diferencial P (D). Observemos que el op-erador P (α) (D) coincide con la derivada P (α)

¡D − 1

2iη¢. Entonces tenemosZ ¯

P (α) (D) v¯2dx ≤ C

Z ¯P (D) v

¯2dx,

la que ya fue probada (fórmula [8,1]).

Prueba de [9,2]⇔ [9,3] .

[9,2] ⇔Z ¯

M

µD − 1

2iη

¶v

¯2dx ≤ C

0Z ¯

P

µD − 1

2iη

¶v

¯2dx

⇔Z ¯

M (D) v¯2dx ≤ C

0Z ¯

P (D) v¯2dx

⇔

¯M (ξ)

¯2P|α|≥0

¯P (α) (ξ)

¯2 ≤ K

⇔¯M¡ξ − 1

2iη¢¯2P

|α|≥0

¯P (α)

¡ξ − 1

2iη¢¯2 ≤ K,

que es [9.3].¥

Proposición 6.5 Se tiene la equivalencia,¯M¡ξ − 1

2 iη¢¯2 ≤ C

00 P|α|≥1

¯P (α)

¡ξ − 1

2iη¢¯2

, u ∈ C∞0 (B) [10,1]

⇐⇒Zeηx |M (D)u|2 dx ≤ C

00 P|α|≥1

Zeηx

¯P (α) (D)u

¯2dx, u ∈ C∞0 (D) [10,2]

Prueba.[10.2]⇐⇒

Z ¯M¡D − 1

2 iη¢v¯2dx ≤ C

00Z P|α|≥1

¯P (α)

¡D − 1

2 iη¢v¯2dx.

Tomando Transformada de Fourier obtenemos,Z ¯M

µξ − 1

2iη

¶v

¯2dξ ≤ C

00Z X

|α|≥1

¯P (α)

µξ − 1

2iη

¶v

¯2dξ ⇔ [10.1].

¥

Proposición 6.6 Sea P (D) un polinomio diferencial de orden m. Paracualquier u(x) ∈ C∞, que se anula fuera de un dominio cuyos diámetrosen las direcciones x1, ..., xn son l1, ..., ln, se tiene

300 CAPÍTULO 6. EL PROBLEMA DE CAUCHYZeηx

¯P (α) (D)u

¯2dx ≤ C

¯l(α)¯2 R

eηx |P (D)u|2 dx [11,1]

donde l(α) = lα11 ...lαnn .

Prueba.Si en [9.1] ponemos v en vez de u, e y en vez de x, sean y1 → l1y1 =

x1, ..., yn → lnyn = xn. Al polinomio P (D)u =P

|β|≤maβD

(β)x u le asociamos

P (ξ) =P

|β|≤maβξ

β, y a

P (α) (D)u =X

|β| ≤ mβj − αj ≥ 0

aββ!

(β − α)!D(β−α)x u

le asociamos

P (α) (ξ) =X

|β| ≤ mβj − αj ≥ 0

aββ!

(β − α)!ξβ−α.

Entonces tenemos,

Zeηx

¯P (α) (D)u

¯2dx =

Zeηx

¯¯¯

X|β| ≤ m

βj − αj ≥ 0

aββ!

(β − α)!D(β−α)x u

¯¯¯2

dx

=

Zeηly

¯¯¯

X|β| ≤ m

βj − αj ≥ 0

aββ!

(β − α)!

1

lβ−αD(β−α)y v

¯¯¯2

|J | dy

=¯l(α)¯2 Z

eηly

¯¯¯

X|β| ≤ m

βj − αj ≥ 0

aβlβ

β!

(β − α)!D(β−α)y v

¯¯¯2

|J | dy

≤ C¯l(α)¯2 Z

eηly¯X aβ

lβDβy v¯2|J | dy,

desigualdad que se tiene por [9.1]. Finalmente, está última expresión es iguala

C¯l(α)¯2 Z

eηx

¯¯¯

X|β| ≤ m

βj − αj ≥ 0

aβDβxu

¯¯¯2

dx = C¯l(α)¯2 Z

eηx |P (D)u|2 dx.

¥

Proposición 6.7 Si¯M¡ξ + iλξ1

¢¯2 ≤ KP|α|≥1

¯∂α

∂ξα1P¡ξ + iλξ1

¢¯2, [12,1]

para todo vector real ξ, ξ1 = (1, 0, ..., 0), y todo número real λ, entoncesZeλx1 |Mu|2 dx ≤ CKl21

Zeλx1 |Pu|2 dx [12,2]

donde u es una función que se anula en un dominio cuyo diámetro enla dirección x1 es l1 < 1; C es una constante que depende solo de m y n.

Prueba.De [12.1] obtenemosZ ¯

M¡ξ + iλξ1

¢u (ξ)

¯2dξ ≤ K

Z X|α|≥1

¯∂α


¢u (ξ)

¯2dξ,

lo que implica (tomando η = λξ1),Zeλx1 |M (D)u|2 dx ≤ K

X|α|≥1

Zeλx1

¯∂α

∂ξα1P (D)u

¯2dx.

Ahora, por [11.1] y considerando que solamente derivamos en la direcciónξ1, tenemosZ

eλx1 |M (D)u|2 dx ≤ KX|α|≥1

C¯l(α)1

¯2 Zeλx1 |P (D)u|2 dx

= KC

Zeλx1 |P (D)u|2 dx.

X|α|≥1

¯l(α)1

¯2.

Pero,X|α|≥1

¯l(α)1

¯2= l21 + l41 + ...+ l2m1 =

l211− l21

¡1− l2m1

¢≤ l212m,

de donde obtenemos [12.2].¥

Proposición 6.8 Sea P (D) un polinomio diferencial de ordenm y P1(D), ..., Pq(D)polinomios diferenciales de órdenes inferiores, los cuales son ξ1-admisiblesrespecto a P (D). Entonces tenemos,

qPj=1

Zeλx1 |Pjv|2 dx ≤ KC3l

2

Zeλx1 |Pv|2 dx [13,1]

para toda función v ∈ C∞ que se anula fuera de la bola de radio l < 1; Kes la constante de [1.1], λ es cualquier número real y C3 depende solo de my n.

Prueba.Apliquemos la desigualdad de Hörmander, en forma extendida, a Pj y P

para η = λξ1. Por hipótesis,

qXj=1

¯Pj

µξ − 1

2iλξ1

¶¯2≤ K

X|α|≥1

¯P (α)

µξ − 1

2iλξ1

¶¯2.

Por un proceso análogo al usado en la proposición 6.7, tendremos

qXj=1

Zeλx1 |Pj (D) v|2 dx ≤ K

X|α|≥1

Zeλx1

¯P (α) (D) v

¯2dx

donde usamos el hecho de que λξ1x = λx1.[13.1] quedará probada si demostramos queX

|α|≥1

Zeλx1

¯P (α) (D) v

¯2dx ≤ C3l

2

Zeλx1 |Pv|2 dx.

En efecto, por [11.1] tenemosX|α|≥1

Zeλx1

¯P (α) (D) v

¯2dx ≤

X|α|≥1

C¯l(α)¯2 Z

eλx1 |P (D) v|2 dx

= C

Zeλx1 |P (D) v|2 dx

X|α|≥1

¯l(α)¯2

≤ C

Zeλx1 |P (D) v|2 dx.C 0

l2

= C3 l2

Zeλx1 |P (D) v|2 dx.

¥

Observación 6.4 Entre los polinomios Pj de la proposición 6.8, podemossuponer sin pérdida de generalidad que uno de los polinomios Pj es la iden-tidad, esto es, Pj (D) = 1; en caso contrario se introduciría Pq+1 (D) = 1,lo cual es aún admisible con relación a P.

6.2.5. Prueba del Teorema 6.3.

Sea u la función considerada en el teorema 6.3; asumamos que [1.2] essatisfecha para C < C0 y sea l < ε0 un número positivo tal que KC3K1l

2 ≤1

2; sea ε <

1

3C0 un número positivo tan pequeño tal que Dc (complemento

de D) esté en Bl para 0 < C < 3ε (pues D es estrictamente convexo en 0).Sea ζ (x1) ∈ C∞, no-negativa en 0 ≤ x1 ≤ 3ε, idénticamente 1 en 0 ≤

x1 ≤ 2ε, que decrece monotonicamente a cero en (2ε, 3ε), y es cero parax1 ≥ 3ε. Pongamos v(x) = ζ (x1)u(x). Desde que u junto con sus derivadas

hasta la orden m−1 se anulan sobre·D∩Bε0 (

·D es la frontera de D) y como

Bl ⊂ Bε0 tenemos que v y sus derivadas hasta la orden m − 1 se anulansobre

·D ∩Bl (para ello se utiliza la fórmula de Leibniz aplicada a v). Ahora

la idea es extender la función v(x) a todo Bl poniendo v(x) = 0 donde v noesté definida. Aplicando [13.1] a v y considerando que v = u para x1 ≤ 2ε,tenemosqX

j=1


2

∙Zx1≤2ε

eλx1 |Pv|2 dx+Zx1>2ε

eλx1 |Pv|2 dx¸.

Ahora aplicamos [1.2] (que implica una integral de volumen) a la primeraintegral del segundo miembro, tendremos

qXj=1


2

⎡⎣K1

qXj=1

Zx1≤2ε

eλx1 |Pjv|2 dx+Zx1>2ε

eλx1 |Pv|2 dx

⎤⎦ ,de donde, considerando que KC3l

2K1 ≤1

2y mediante una transposición de

términos,

qXj=1

Zx1≤2ε

eλx1 |Pjv|2 dx ≤ 2KC3l2

Zx1>2ε

eλx1 |Pv|2 dx.

Si restringimos la región de integración del miembro a la izquierda, yescogiendo λ < 0, tendremos

eλεZx1≤ε

|Pjv|2 dx ≤Zx1≤ε

|Pjv|2 dx ≤Zx1≤2ε

|Pjv|2 dx;

luego,qX

j=1

Zx1≤ε

|Pjv|2 dx ≤ 2e−λεKC3l2

Zx1>2ε

eλx1 |Pv|2 dx,

de donde, si λ→ −∞, el segundo miembro tiende a cero pues el es mayoradopor

2e−λεKC3l2e2ελ

Zx1>2ε

eλx1 |Pv|2 dx.

Esto significa que los Pjv se anulan para x1 ≤ ε. Desde que uno de losPj es la identidad, esto significa que v = 0 para x1 ≤ ε. Pero, para x1 ≤ εse tiene v = u. Luego, u = 0 para x1 ≤ ε, y en particular u = 0 en D ∩Bε.

¥Teorema 6.3

Teorema 6.8 Sea P un polinomio diferencial de orden m, y P1, ..., Pq sonpolinomios diferenciales satisfaciendo

qXj=1

¯Pj¡ξ + iλξ1

¢¯2 ≤ KX|α|≥1

¯∂α


¢¯2, ξ1 = (1, 0, ..., 0)

para todo vector real ξ y números reales λ. Además, las funciones u, Pju yµ∂α

∂ξα1

¶P (D)u, α ≥ 0, son supuestas cuadrado-integrables sobre cada plano

x1 = c, 0 < c < c0 y admitimos queZx1=c

|Pu|2 dx2...dxn ≤ K1

Zx1=c

qXj=1

|Pju|2 dx2...dxn, 0 < c < c0.

Si u tiene dados de Cauchy cero sobre el plano x1 = 0, es de clase Cm−1 en0 < x1 < c y tiene derivadas continuas por partes de orden m en 0 ≤ x1 <c0, entonces u = 0.

Prueba.Por la hipótesis, y de acuerdo a la proposición 6.7, en vez de trabajar

con [13.1], usaremos [12.2] para probar que u = 0 para x1 < ε siguiendo unproceso análogo a la prueba del teorema 6.3. La función ζ (x1) es construidacomo antes. El argumento es repetido para probar que u = 0 para x1 < 2ε,y así sucesivamente.

Este proceso es justificado por el hecho de ser P y P1, ..., Pq polinomiosdiferenciales (con coeficientes constantes). ¥

6.3. NO UNICIDADDE LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMADECAUCHY.305

6.3. NO UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN DELPROBLEMA DE CAUCHY.

CONTINUACIÓN ÚNICA.

6.3.1. Reseña Histórica.

Hemos visto que el problema de Cauchy para ecuaciones diferencialesparciales con coeficientes analíticos tienen por lo menos una solución regularsiempre que los dados sean asumidos sobre una superficie no-característica.Holmgren probó que el problema de Cauchy tiene a lo máximo una solucióncontinua con derivadas continuas siempre que la ecuación sea lineal y tengacoeficientes analíticos. T. Carleman, en 1939, dió la primera contribuciónen el sentido de retirar la hipótesis de analiticidad de los coeficientes en elargumento de Holmgren (ver 6.1.5), probando el resultado en el caso de dosvariables independientes, asumiendo que las características de la ecuaciónno sean múltiples.

E. Giorgi mostró un ejemplo con características múltiples para el cualel problema de Cauchy tiene mas de una solución, demostrando asi que lacondición sobre la característica en el resultado de Carleman no era artificial,como parecía.

En el caso de mas de dos variables ningún progreso esencial fue hechohasta que C. Müller en 1954 estudió una ecuación especial de segundo orden.Hartman-Wintner-E. Heinz propusieron el caso de ecuaciones de segundo or-den casi-lineales, con el laplaciano como parte principal. Después, Aronszajnextendió este resultado al caso elíptico de segundo orden. En 6.2. hemos vis-to que Nirenberg (en 1957) trata el caso de la unicidad del problema deCauchy para operadores con coeficientes principales constantes.

A. P. Calderón ([CAL.1]), en 1957, generaliza el teorema de Carlemana funciones de cualquier número de variables con excepción del caso deecuaciones de tres variables y sistemas de tres o cuatro variables (ver 6.1.5).Calderón trabaja con ecuaciones cuyos coeficientes son Hölder-continuamentediferenciables, siempre bajo la condición adicional de que las característicassean no-múltiples. Posteriormente generaliza su resultado, probando que lascondiciones sobre el número de variables pueden ser retiradas.

6.3.2. No Unicidad de la Solución del P. de Cauchy.

Continuación Única.

A Plis [PLI.1] dió un ejemplo en que muestra que la multiplicidad de lascaracterísticas reales puede causar la no unicidad de la solución del prob-lema de Cauchy, siempre en el caso de coeficientes en C∞. Surge entoncesla pregunta: ¿en los teoremas de unicidad podemos admitir la multiplici-dad de las características, esencialmente complejas? Hörmander probó un

teorema de unicidad para ecuaciones con coeficientes principales constantescon un máximo de multiplicidad doble de las características, esencialmentecomplejas. En [PLI.1] se tiene una respuesta a la anterior pregunta: ella esen general negativa para coeficientes en Cm, siendo m finito. Tal respuestaestá contenida en el siguiente resultado.

Teorema 6.9 “Existe un sistema lineal de ecuaciones diferenciales par-ciales de tipo elíptico para el cual el problema de Cauchy tiene dos solu-ciones diferentes de clase C∞. Los coeficientes principales son constantes ylos restantes son funciones de clase Cm en las variables t, x, y son analíticasen x, siendo 0 ≤ m < ∞. Las características imaginarias son de multipli-cidad m + 3; el sistema consiste de 2(m + 3) ecuaciones complejas en dosvariables independientes reales. Las soluciones son analíticas en x.

El sistema es:

ut + iLux = hλ (t)u1 + f(t, x)v1

vt + 2iLvx = hµ (t) v1 + g(t, x)u1

donde u =¡u1, ..., up

¢, v =

¡v1, ..., vp

¢. L es una matriz constante p× p :

L =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣−1 1 0 ... 0 00 −1 1 ... 0 0. . . . . .0 0 0 ... −1 10 0 0 ... 0 −1

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ ,h es el vector p : (0, 0, ..., 0, 1); f, g son funciones vectoriales en C∞ yλ (t) , µ (t) son funciones reales m−veces Hölder continuamente diferencia-bles”.

Propiedad de la Continuación Única. Probemos ahora la equiva-lencia entre la propiedad de la continuación única (en su forma débil) y launicidad de la solución del problema de Cauchy.

(A) Propiedad de la Continuación Única; “una solución de una ecuaciónelíptica P (D)u = 0 en un dominio D, la cual se anula en un subcon-junto abierto, se anula idénticamente”.

(B) Unicidad de la Solución del Problema de Cauchy: “para unpolinomio diferencial P (D) de orden m, u = 0 es la única soluciónde P (D)u = 0 en una vecindad de un punto, tal que u, junto con susderivadas hasta la orden m − 1, se anulan sobre una hipersuperficie(n− 1)−dimensional S, que contiene al punto.”

Teorema 6.10 (A)⇐⇒(B)

6.3. NO UNICIDADDE LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMADECAUCHY.307

Prueba.(A)=⇒(B). Tenemos,

P (D)u ≡ Pu =X|α|≤m

aαDαu = amD

mu+X

|α|≤m−1aαD

α11 ...Dαn

n u = 0,

pero, por la hipótesis, X|α|≤m−1

aαDα11 ...Dαn

n u = 0.

Luego, Dmu = 0 sobre S.Sea x ∈ S; llamemos D+ y D− a las subregiones que S determina en D,

y definamos

u1 =

½u ... en D+0 ... en D− , u2 =

½0 ... en D+u ... en D− .

Entonces tenemos que u = u1 + u2, Pu1 = 0 y Pu2 = 0. Luego, u1 = 0en D− (abierto) implica u1 = 0 en una vecindad V (x) de x (por la hipótesis).

Análogamente, u2 = 0 en D+, lo que implica u2 = 0 en V (x).

Conclusión: u = 0 en V (x).

(B)=⇒(A). Sea G el subconjunto abierto máximo donde u (solución dePu = 0) se anula; supongamos que G 6= D. Probemos que existe una bolaB ⊂ G tal que exista x ∈ ∂B y x ∈ D − G. Sea P = r > 0/Br(z) ⊂ Gy Q = r > 0/Br(z) 6⊂ G, donde z ∈ G es un elemento muy cercano dela frontera ∂G, conteniendo elementos de D. Sea r0 el elemento que separaP y Q. Afirmamos que Br0(z) es la bola deseada. En efecto, Br0(z) ⊂ Gpues si tuviéramos Br0(z) 6⊂ G, entonces existiría x ∈ Br0(z) tal que x /∈ G.Tomemos |z − x| < r < r0 y consideremos la bola Br(z). Tenemos entonces,x ∈ Br(z) y x /∈ G, luego x ∈ G. Pero, esto es absurdo puesto que r0 es elínfimo de Q.

Ahora probemos la existencia de x tal que x ∈ ∂B y x ∈ D − G. Porel absurdo, supongamos que Br0(z) ∩ (D −G) = φ (intersección de doscerrados); entonces existe una bola B (abierta) tal que Br0(z) ⊂ B y B ∩(D −G) = φ, lo que es absurdo por el hecho de ser r0 maximal.

Sea ahora x ∈ Br0(z) ∩ (D −G); considerando el problema de Cauchy,encontramos una vecindad V (x) 6⊂ G, en donde u(x) = 0 (hipótesis), peroesto es una contradicción por ser G el máximo abierto donde u = 0.

¥

De acuerdo al Teorema 6.10, Plis construyó ecuaciones diferenciales detipo elíptico sin la propiedad de la continuación única, siendo los coeficientesde clase Cm, 0 ≤ m < ∞. Plis en [PLI.2] dió ejemplos similares y rela-cionados, pero ahora los coeficientes son de clase C∞. Sus resultados estáncontenidos en los siguientes teoremas.

Teorema 6.11 “Existen dos funciones f y g en las variables independientest, x, y de clase C∞ sobre R3 tal que la ecuación

Pu =

"µ∂2

∂t2+

∂2

∂x2+

∂2

∂y2

¶2+ t

µ∂2

∂x2+

∂2

∂y2

¶2− 12

∂4

∂x4

#u = fux + gu

tiene una solución u, de clase C∞ en R3 que se anula para t ≤ 0 pero no seanula idénticamente en cualquier vecindad de t = 0”.

En el plano, Plis construyó una ecuación diferencial elíptica lineal, com-pleja, en la cual la solución del problema de Cauchy no es única, esto es,sus soluciones no tienen la propiedad de la continuación única. Esto estácontenido en el siguiente resultado.

Teorema 6.12 “Para cualquier tres enteros positivos p, q, k satisfaciendo

las desigualdades1

2(p+ 3) < q ≤ p, k >

p− 12q − p− 3 , existe una función

compleja f(t, x) de clase C∞ sobre el plano todo tal que la ecuación difer-encial parcial compleja

Pu =

"µ∂

∂t− i

∂

∂x

¶p

+ tkµi∂

∂x

¶q

−µi∂

∂x

¶q−1#u = f(t, x)u

tiene una solución de clase C∞ sobre todo el plano anulándose para t ≤ 0,pero no nula idénticamente en cualquier vecindad de t = 0”.

En particular tenemos los corolarios, [PLI.2].

Corolario 6.1 “Existe una función compleja f1(t, x) de clase C∞ sobre elplano tal que la ecuación de cuarto orden, de tipo elíptico,"µ

∂

∂t− i

∂

∂x

¶4+ t4

∂4

∂x4+ i

∂3

∂x3

#u = f1(t, x)u

tiene una solución de clase C∞, que se anula para t ≤ 0, pero no nula encualquier vecindad de t = 0”.

Corolario 6.2 “Existe una función compleja f2(t, x) de clase C∞ sobre elplano tal que la ecuación elíptica de sexto orden, con coeficientes principalesconstantes, "µ

∂

∂t− i

∂

∂x

¶6+ it6

∂5

∂x5− ∂4

∂x4

#u = f2(t, x)u

tiene una solución de clase C∞, no nula para t ≤ 0, pero no idénticamentenula en cualquier vecindad de t = 0”.

6.4. ALGO MÁS SOBRE OPERADORES DIFE-RENCIALES. 309

Observación 6.5 En [NIR.1] se consideran los siguientes resultados aso-ciados a la continuación única. Asi tenemos,

(α) “Sea u ∈ C1, con derivadas segundas continuas por partes en un do-minio D y que satisface

|∆u(x)|2 ≤ C³|∇u(x)|2 + |u(x)|2

´.

Si u anúlase en un conjunto abierto, entonces u es idénticamente nu-la.”

(β) “Sea u ∈ C2m−1, con derivadas de orden 2m continuas por partes enun dominio D y que satisface

|∆mu|2 ≤ C

⎛⎝m−1Xj=1

¯³D(j)∆m−j

´u¯2+

mXk=0

¯D(k)u

¯2⎞⎠en todo punto donde la suma es comprendida sobre todas las derivadasD(j), D(k) del orden mostrado. Si u se anula sobre un conjunto abierto,entonces u es idénticamente nula”.

6.4. ALGO MÁS SOBRE OPERADORES DIFE-RENCIALES.

En esta sección vamos a complementar la información sobre los oper-adores diferenciales, al estilo de lo visto en las anteriores secciones, aún cuan-do lo tratado no esté directamente relacionado con el Problema de Cauchy.La clásica literatura al respecto es, por ejemplo, [HOR.1], [HOR.2], [TRE.2],[COU-HIL] vol.2, entre otras referencias.

[MIZ] es un excelente libro sobre ecuaciones en derivadas parciales, endonde la unicidad de la solución del problema de Cauchy es también tratadovía los operadores integrales singulares según el método de Calderón [CAL.1]y [CAL.2]. Esto veremos brevemente en la próxima sección.

6.4.1. Funciones Peso.

En la sección 6.2.3. hemos visto que dado un operador diferencial P (D),se le asoció la “norma”

P (ξ) =

⎛⎝X|α|≥0

¯P (α) (ξ)

¯2⎞⎠ 12

,

en base a la cual se estableció la equivalencia de Hörmander (teorema 6.6).La idea ahora es poner esta situación de un modo mas general. asi, dado un

polinomio P de grado m, le asociamos la función P : Rn → [0,∞) definidapor

P (ξ) =

⎛⎝X|α|≥0

¯P (α) (ξ)

¯2⎞⎠ 12

,

donde P (α) ≡ DαP.Estas funciones P son casos particulares de las llamadas funciones pe-

so. Asi, definimos la clase de las funciones peso vía:

W =

½w : Rn → [0,∞)/∃C,N > 0 y se tiene w (ξ + η) ≤ (1 + C |ξ|)N w (η) ,

∀ ξ, η ∈ Rn

¾.

Veamos que si P es un polinomio de grado m, entonces P ∈W.En efecto,¯

P (ξ + η)¯2

=X|α|≥0

¯P (α) (ξ + η)

¯2= (fórmula de Taylor)

=X|α|≥0

¯¯ X0≤|β|≤|α|

P (α+β) (η)ξβ

β!

¯¯2

≤X|α|≥0

¯P (α) (η)

¯2+X|α|≥0

X0<|β|≤|α|

¯¯P (α+β) (η) ξββ!

¯¯2

=¯P (η)

¯2+X|α|≥0

Qα (|ξ|)¯P (α) (η)

¯2(donde Qα es un polinomio de grado 2m, Qα (0) = 0, con coeficientes quedependen solo de m y n).

Luego, ¯P (ξ + η)

¯2≤

⎡⎣1 + X|α|≥0

Qα (|ξ|)

⎤⎦ ¯P (η)¯2 .Por la naturaleza de Qα, existe una constante C = C (m,n) tal que

1 +X|α|≥0

Qα (|ξ|) ≤ (1 + C |ξ|)2m , ξ ∈ Rn.

De esta manera tenemos¯P (ξ + η)

¯2≤ (1 +C |ξ|)2m

¯P (η)

¯2,

esto es,P (ξ + η) ≤ (1 + C |ξ|)m P (η) ,

con ξ, η ∈ Rn. Luego, P ∈W.¥

Corolario 6.3 Si w, w1, w2 ∈ W , entonces ws ∈ W , con s ∈ R; tambiénw1 + w2, sup (w1, w2) y w1w2 están en W.

6.4.2. Espacios Bp,w, 1 ≤ p <∞, w ∈W.

Sea 1 ≤ p <∞; por definición

Bp,w =

⎧⎪⎨⎪⎩u ∈ S0. u es una función medible tal que

kukp,w =∙

1

(2π)n

ZRn|w (ξ) u (ξ)|p dξ

¸ 1p

<∞

⎫⎪⎬⎪⎭ .

Si p =∞, se considera al supremo en ξ en la forma usual.Veamos el siguiente caso particular. Sea P un polinomio de grado m;

tomemos w = P y p = 2. Entonces tenemos,

kuk2,P =

∙1

(2π)n

ZRn

¯P (ξ)

¯2|u (ξ)|2 dξ

¸ 12

=

⎡⎣ 1

(2π)n

ZRn

X|α|≥0

¯P (α) (ξ)

¯2|u (ξ)|2 dξ

⎤⎦ 12

=

⎡⎣ 1

(2π)nX|α|≥0

ZRn

¯³P (α)(D)u

´∧(ξ)

¯2dξ

⎤⎦ 12

=

⎡⎣ 1

(2π)nX|α|≥0

°°°°³P (α)(D)u´∧°°°°2L2

⎤⎦ 12

=

⎡⎣X|α|≥0

°°°³P (α)(D)u´°°°2L2

⎤⎦ 12

,

algo que nos es familiar (ver, por ejemplo, el teorema 6.7 de 6.2.3).

Corolario 6.4 Sea P un polinomio (de grado m) y u ∈ Bp,w. Entonces,P (D)u ∈ Bp,w

P.

En efecto, tenemos¯(P (D)u)∧ (ξ)

¯= |P (ξ) u (ξ)| ≤

¯P (ξ) u (ξ)

¯,

luego ¯(P (D)u)∧

w

P

¯≤ |wu| ,

de donde integrando obtenemos la tesis.¥

Corolario 6.5

(a) La clase Bp,w es un espacio de Banach con k kp,w. Se tiene S ⊂ Bp,w ⊂S0, donde S

0es el espacio de las distribuciones temperadas. Además

D, es denso en Bp,w con p <∞.

(b) Si w1, w2 ∈ W y si existe una constante C > 0 tal que w2 (ξ) ≤Cw1 (ξ) , ∀ ξ ∈ Rn, entonces Bp,w1 ⊂ Bp,w2 .

(c) Si w1, w2 ∈W , entonces Bp,w1 ∩ Bp,w2 = Bp,w1+w2 .

Espacios Blocp,w (Ω) . Sea Ω ⊂ Rn un conjunto abierto. Pongamos Bp,w (Ω) =Bp,w ∩ ε

0(Ω). Ahora consideramos al espacio local asociado a Bp,w (Ω) en el

siguiente sentido. Si V es un subespacio vectorial de D0(Ω), definimos

V loc =nu ∈ D0

(Ω).D (Ω) .u ⊂ V

o.

Decimos que V es semi-local si V ⊂ V loc.V es llamado local si V = V loc. En este sentido se define al espacio local

Blocp,w (Ω) .

Teorema 6.13 (a) Blocp,w1 (Ω) ⊂ Blocp,w2 (Ω) ⇐⇒ ∃ C > 0 tal que w2 (ξ) ≤Cw1 (ξ) , ∀ ξ ∈ Rn.

(b) P (D)¡Blocp,w (Ω)

¢⊂ Blocp,w

P

(Ω) .

6.4.3. Comparación de Operadores Diferenciales.

[Ver 6.2.3. Teorema 6.6].

Definición 6.7

Si P y Q son dos polinomios, diremos que Q es mas débil que P , y

escribimos Q ≺ P , si supξ∈Rn

Q (ξ)

P (ξ)<∞.

En este caso decimos, también, que P es mas fuerte que Q, y escribi-mos P Â Q.

Si Q ≺ P y P ≺ Q diremos que P y Q son fuertemente iguales.

Diremos que P domina a Q, y escribimos P À Q, si

lımt→∞

supξ∈Rn

Q (ξ, t)

P (ξ, t)= 0,


donde

P (ξ, t) =

⎛⎝ X|α|≤m

¯P (α) (ξ)

¯2t2|α|

⎞⎠ 12

, ξ ∈ Rn, t ≥ 0.

Teorema 6.14 Sean P y Q dos polinomios. Entonces, (i) Q ≺ P ⇐⇒(ii) ∃ w ∈W, 1 ≤ p ≤ ∞, tal que f ∈ Bp,w ∩ E

0y P (D)u = f implica

Q(D)u ∈ Blocp,w (Rn) .

Prueba.(i)⇒(ii). Vamos a usar el resultado:“Sea w ∈W, 1 ≤ p ≤ ∞; sea P un polinomio. Si f ∈ Bp,w ∩ E

0, entonces

se tiene que la ecuación P (D)u = f tiene una única solución, la que está enBlocp,wP

(Rn)” [2,1]

Entonces, asumiendo que tenemos w, p, por [2.1],

f ∈ Bp,w ∩ E0y P (D)u = f

implican que u ∈ Blocp,kP

(Rn). Mirando al teorema 6.13.(b)., y por la hipótesis

Q ≺ P , se tiene que Q(D)u ∈ Blocp,w P

Q

⊂ Blocp,w, donde la inclusión es por el

teorema 6.13.(a). Luego se tiene (ii).

(ii)⇒(i). Por hipótesis se tiene la implicancia mencionada para p, wdados. Luego, si u ∈ Bp,wP ∩ E

0entonces f = P (D)u ∈ Bp,w ∩ E

0; además,

Q(D)u ∈ Blocp,w (Rn) ∩ E 0 = Bp,w ∩ E0. Ahora usamos el siguiente resultado

“Sea w ∈W, 1 ≤ p ≤ ∞; P es un polinomio. Entonces tenemosP (D)−1 (Bp,w) ∩ E

0= Bp,wP ∩ E

0”. [2,2]

Aplicando [2,2] a Q concluimos que u ∈ Blocp,wQ

(Rn) ∩ E 0 ⊂ Bp,wQ.Entonces, Bp,wP ∩ E

0 ⊂ Bp,wQ, luego (corolario 6.5) se tiene Q ≺ P.

¥

Nota. Se tiene también:[2,3] Q ≺ P ⇐⇒ ∃ w ∈ W, 1 ≤ p ≤ ∞, tal que u ∈ E 0 , P (D)u ∈ Bp,w

implica Q(D)u ∈ Bp,w.La relación ≺ tiene las siguientes propiedades.

Proposición 6.9

(a) Si Q1 ≺ P, Q2 ≺ P, α1, α2 ∈ C, entonces α1Q1 + α2Q2 ≺ P (lo quesigue directamente de la definición de ≺).


(b) Si Q1 ≺ P1 y Q2 ≺ P2 entonces Q1Q2 ≺ P1P2.

En efecto. Q1 ≺ P1 implica: P1(D)u ∈ Bp,w ⇒ Q1(D)u ∈ Bp,w,Q2 ≺ P2 implica: P2(D)u ∈ Bp,w ⇒ Q2(D)u ∈ Bp,w.

Pongamos, Q = Q1Q2, P = P1P2, w ∈ W, 1 ≤ p ≤ ∞. Sea u ∈ E 0 yasumamos P (D)u ∈ Bp,w. Probemos que Q(D)u ∈ Bp,w; esto implicaráQ ≺ P.

Bien, tenemos P1(D) (P2(D)u) ∈ Bp,w, entonces (anterior nota) Q1(D)P2(D)u ∈Bp,w, aún, Q1(D)Q2(D)u ∈ Bp,w, esto es, Q(D)u ∈ Bp,w.

(c) Si Q1Q2 ≺ P1P2 y P1 ≺ Q1 entonces Q2 ≺ P2.

En efecto,

Asumamos u ∈ E 0 y que P2(D)u ∈ Bp,w, entonces (corolario 6.4),P1P2u ∈ Bp, w

P1

.

Luego, Q1Q2u ∈ Bp, wP1

. Entonces, Q2u ∈ Bp,w

Q1P1

⊂ Bp,w, esto es,

Q2 ≺ P2.

¥

Proposición 6.10 Sean P y Q dos polinomios. Entonces,

(a). Q ≺ P ⇐⇒ (b). ∃ C 0> 0 tal que

¯Q (ξ)

¯≤ C

0P (ξ) , ξ ∈ Rn ⇐⇒

(c). ∃ C 00> 0 tal que Q (ξ, t) ≤ C

00P (ξ, t) , ξ ∈ Rn, t ≥ 1.⎡⎣Recordemos que P (ξ, t) = Ã P

|α|≤m

¯P (α) (ξ)

¯2t2|α|

! 12

⎤⎦ .6.4.4. Operadores Elípticos.

Sea P un polinomio de gradom. La parte principal de P es el polinomiohomogéneo Pm consistente en todos los términos en P de grado m.

Definición 6.8 Un polinomio P, y su correspondiente operador diferencialP (D), son llamados elíptico si Pm (ξ) = 0 implica ξ = 0.

Teorema 6.15 Un operador diferencial P (D) es elíptico ⇐⇒ Q ≺ Pm paratodo polinomio Q de grado menor o igual que m.

Prueba.⇐ . Sea P un polinomio elíptico; entonces C = ınf

|ξ|=1|Pm (ξ)|2 > 0. Si ξ ∈ Rn,

tenemos

C |ξ|2m ≤ |ξ|2m¯Pm

µξ

|ξ|

¶¯2≤ (|P (ξ)|+ |Pm (ξ)− P (ξ)|)2

≤ |P (ξ)|2 + 2 |P (ξ) (Pm (ξ)− P (ξ))|+ |Pm (ξ)− P (ξ)|2 .


Ahora usamos el hecho que un polinomio de grado menor o igual que2m− 1 es dominado por C1

³1 + |ξ|2m−1

´. De esta manera,

C |ξ|2m ≤ |P (ξ)|2 +C1

³1 + |ξ|2m−1

´.

Veamos ahora el siguiente argumento.

Si |ξ| ≥ 2C1C, entonces tenemos

1 + |ξ|2m−1 = 1 +1

|ξ| |ξ|2m ≤ 1 + C

2C1|ξ|2m

≤ 1 +1

2C1|P (ξ)|2 + 1

2

³1 + |ξ|2m−1

´.

Luego, para |ξ| ≥ 2C1C

se tiene, 1 + |ξ|2m−1 ≤ 2 +1

C1|P (ξ)|2, y por

lo tanto existe C2 > 0 tal que 1 + |ξ|2m−1 ≤ C2

³1 + |P (ξ)|2

´, para to-

do ξ ∈ Rn. Entonces se tiene que existe C3 > 0 tal que 1 + |ξ|2m ≤C3

³1 + |P (ξ)|2

´, ∀ ξ ∈ Rn.

Por la teoría de polinomios, se establece que uno de los términos, P (α), |α| =m, es una constante diferente de cero, lo que permite concluir que existaC4 > 0 tal que P (ξ) ≥ C4, ∀ ξ ∈ Rn, lo que a su vez permite concluir que

1 + |ξ|2m ≤ C3

³P (ξ)

´2+

C3C24

C24 ≤µC3 +

C3C24

¶³P (ξ)

´2.

Luego, para cualquier polinomio Q, de grado menor o igual que m, setiene una constante C5 > 0 tal que

Q (ξ)2

P (ξ)2≤

C5

³1 + |ξ|2m

´µC3 +

C3C24

¶³1 + |ξ|2m

´ = C5

C3 +C3C24

,

lo cual implica Q ≺ P.

⇒ . Supongamos que tuviéramos ξ ∈ Rn, ξ 6= 0 y Pm (ξ) = 0. Busque-mos una contradicción. Desde que Pm es homogéneo, tenemos Pm (tξ) =tmPm (ξ) , ∀ t ∈ R, y³

P (tξ)´2=X|α|≤m

µ¯P (α) (tξ)

¯2¶.

En esta expresión, los únicos términos con tm es la suma |Pm (tξ)|2 =0, lo que nos dice que P (tξ) es una expresión en el cual aparecen solo


términos tm−1. Sea Q un polinomio homogéneo de grado m con Q (ξ) = 0(por ejemplo, Q(x) = xm1 +xm2 + ...+xmn ). Entonces, Q (tξ) = tmQ (ξ); luego,

lımt→∞

Q (tξ)

P (tξ)=∞.

Viendo la Proposición 6.10 (a)⇐⇒(b), y por este límite concluimos queno se tiene Q ≺ P , lo que contradice la hipótesis.

¥

Proposición 6.11 Un polinomio P , de grado m, domina a todo polinomiode grado menor que m si y solo si

nXi=1

¯∂Pm∂ξi

(ξ)

¯26= 0, ∀ ξ ∈ Rn, ξ 6= 0.

Nota. El lector es remitido a [HOR.2] y [TRE.2] para mayor informaciónsobre operadores diferenciales parciales.

6.5. LA UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN

DEL PROBLEMA DE CAUCHY SEGÚN CALDERÓN.

Breve Presentación.


A. P. Calderón en dos brillantes trabajos, [CAL.1] y [CAL.2], establece unconjunto de teoremas de existencia y unicidad para la solución del problemade Cauchy. Lo original de su obra radica en el potente uso de la teoríade operadores integrales singulares, que él y su maestro A. Zygmund habíanelaborado años atrás. La idea es representar operadores diferenciales linealesvía operadores integrales singulares. La técnica usada por Calderón es muysingular, diferente a la usada por Nirenberg [NIR.1]; la teoría de Calderónes mas general pues trabaja con ecuaciones cuyos coeficientes de la parteprincipal son Hölder continuamente diferenciables, lo que obviamente es masamplio al requerimiento de solo exigir que los coeficientes sean constantes.Calderón, [CAL.1], presenta teoremas de unicidad para ecuaciones lineales,para sistemas de ecuaciones lineales; estudia también el caso no-lineal. Ellector interesado puede consultar [NIR.2] en donde se expone el trabajo deCalderón, [CAL.2], y otros resultados.

6.5. LA UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN 317

6.5.2. Operadores Integrales Singulares.

La fuente natural de este tema son los numerosos trabajos que Calderón-Zygmund escribieron desde el año 1952. En [ORT.3] se presenta la teoría delos operadores integrales singulares (actualizada hasta el año 1972), en dondese dan las referencias bibliográficas relacionadas a tal teoría. Además, sepresenta los detalles de la prueba de la unicidad de la solución del problemade Cauchy según Calderón, [CAL.1].

De alguna manera, el punto de partida es la transformada de Hilbert.

La distribución temperada “valor principal” de1

x, v.p.

1

x, es definida vía

v.p.1

x(ϕ) = lım

ε→0

Z|x|>ε

ϕ (x)

xdx , ϕ ∈ S.

Recordemos que el Núcleo de Poisson (en el plano) es definido siendo

Pt(x) =t

t2 + x2, donde x ∈ R, t > 0 real.

Qt(x) =1

π

x

x2 + t2es el Núcleo de Poisson Conjugado. Se tiene la:

Proposición 6.12

lımt→0

Qt =1

πv.p.

1

xen S

0.

Corolario 6.6

lımt→0

Qt ∗ f(x) =1

πlımε→0

Z|y|>ε

f (x− y)

ydy , f ∈ S.

Definición 6.9 Hf = lımt→0

Qt∗f es llamada la Transformada de Hilbertde f ∈ S.

La teoría de Calderón-Zygmund parte de la extensión de la transformadade Hilbert a Rn. Las primeras integrales singulares son del tipo

Hf(x) = lımε→0

Z|y|>ε

Ω³y0´

|y|n f(x− y)dy,

donde Ω es una función definida sobre la esfera unidad Sn−1 de Rn, la quees integrable, con promedio nulo e y

0=

y

|y| . Observemos que Hf es la

convolución de f con la distribución temperada v.p.Ω³x0´

|x|n . De un modo

mas general, sea el operadorHf(x) = a(x)f(x) +

RRn h (x, x− z) f(z)dz [2,1]


donde a(x) es una función de valor complejo y acotada, h (x, z) es unafunción de valor compleja, homogénea de grado -n respecto a z, esto es,h (x, λz) = λ−nh (x, z) con λ > 0. Remarcamos que λz = (λz1, ..., λzn).Además, h (x, z) tiene valor medio (promedio) cero sobre la esfera Sn−1 =n|z| =

¡z21 + ...+ z2n

¢ 12 = 1

opara cada x. Si a(x) y h (x, z) son independi-

entes de x, tomando transformada de Fourier se tiene [Hf ]∧ =³a+ h

´f ,

donde remarcamos que h es la transformada de Fourier de h (x, z) = h(z);la integral es tomada en el sentido valor principal. Si h(z) es continua en|z| > 0, entonces existe h(z), es una función homogénea de grado cero (estoes, h (λz) = h(z), ∀ λ > 0), y tiene valor medio cero sobre Sn−1. Recíproca-mente, toda función suficientemente regular que tenga estas propiedades, esla transformada de Fourier de alguna función h(z). En la expresión “multi-

plicador”, [Hf ]∧ =³a+ h

´f , a+ h es llamado el símbolo del operador H

y pondremos σH = a+ h.

Veamos un “puente” entre el mundo de los operadores diferenciales par-ciales y el de los operadores integrales singulares. Hemos visto que Hf =af + h ∗ f, donde remarcamos que a es una constante compleja y h ∈C∞ (Rn − 0) es un núcleo de Calderón-Zygmund, esto es, h(x) es unafunción homogénea de grado -n tal que

R|x|=1 h(x)dσ = 0.

Como es usual, sea α = (α1, ..., αn) ∈ Nn, |α| = α1 + ... + αn; si x =(x1, ..., xn) ∈ Rn pondremos xα = xα11 ...xαnn . Como en anteriores secciones,pongamos µ

∂

∂x

¶α

f ≡ Dαf =

µ∂

∂x1

¶α1

...

µ∂

∂xn

¶αn

f.

Como sabemos, al polinomio de orden menor o igual que m,

P (x) =X|α|≤m

aα(x)xα

le asociamos el operador diferencial parcial

P (D) =X|α|≤m

aα

µ∂

∂x

¶α

.

Si f ∈ S (f es una distribución rápidamente decreciente), sabemos que∙∂

∂xjf

¸∧(x) = 2πixj f(x),

y de un modo general

[P (D)f ]∧ (x) = P (2πix) f(x).


Si por ejemplo, P (x) = x21 + ...+ x2n = |x|2, entonces

P (D)f =∂2f

∂x21+ ...+

∂2f

∂x2n≡ ∆f,

y de esta manera[∆f ]∧ (x) = −4π |x|2 f(x).

Definamos ahora al operador Λ vía:[Λf ]∧ (x) = 2π |x| f(x) [∗]

Entonces se prueba (ver, por ejemplo, [ORT.3]) que

Λf(x) = inX

j=1

Rj∂

∂xjf,

donde Rj es la transformada de M. Riesz,

(Rjf) (x) = lımε→0

an

Z|x−t|>ε

xj − tj

|x− t|n+1f(t)dt

(observemos que Rj es una natural extensión a Rn de la transformada deHilbert

Hf(x) =

µ1

π

¶lımε→0

Z|x−t|>ε

f (t)

x− tdt.

La relaciónRj = −i∂

∂xj(−∆)−

12 fue usada por Calderón en el tratamien-

to de la unicidad de la solución del problema de Cauchy.Reiterando [∗], obtenemos

[Λmf ]∧ (x) = (2π |x|)m f(x).

En particular,£Λ2f

¤∧(x) = (2π |x|)2 f(x) = 4π2 |x|2 f(x) = − [∆f ]∧ (x),

de donde Λ2 = −∆.En forma similar,∙µ

∂

∂x

¶α

f

¸∧(x) = (2πix)α f(x) =

µx

|x|

¶α

i|α| (2π |x|)|α| f(x)

= i|α|³x0´α £Λ|α|f

¤∧(x).

[2,2]

Desde que³x0´α∈ C∞ (Rn − 0) y que es una función homogénea de

grado cero, se sabe que existe un operador integral singular Hα tal que³x0´α

= σHα , donde de un modo general, el símbolo σH del operador Hsatisface

σH (x) = a(x) + h(x).


De esta manera,∙µ∂

∂x

¶α

f

¸∧(x) = i|α|

³a(x) + h(x)

´ hΛ|α|f

i∧(x).

Por otro lado, antitransformando [2,2] se obtieneµ∂

∂x

¶α

f = i|α|HαΛ|α|f,

donde

Hαf (x) = a(x)f(x) +

ZRn

hα (x, x− z) f(z)dz

y de esta manera,

P (D)f =X|α|≤m

aα(x)

µ∂

∂x

¶α

f =X|α|≤m

i|α|aα(x)HαΛ|α|f.

En particular, para |α| = m tenemos

X|α|=m

aα(x)

µ∂

∂x

¶α

f = im

⎛⎝ X|α|=m

aα(x)Hα

⎞⎠Λmf ≡ imHΛmf,

donde H =P

|α|=maα(x)Hα. Así, Pm(D)f = imHΛmf. [2,3]

Volviendo a [2,1], remarcamos que el símbolo σH del operador H esdefinido vía σH = a(x)+h(x, z), donde la transformada de Fourier es tomadacon respecto a z. En [2,3], el símbolo del operador H es

P|α|=m

aα(x)zα |z|−m,

dondeP

|α|=maα(x)z

α es la forma característica del operador Pm(D).

Se observa que los operadores del tipo [2,1] no forman una álgebra bajola composición ordinaria; por ello se introduce el producto H1 H2 vía lafórmula σ (H1 H2) = σ (H1)σ (H2) , producto que es definido bajo ligerasrestricciones y con el cual la clase de los operadores integrales singulares for-man una álgebra conmutativa, la cual es isomorfa al álgebra de funciones desus símbolos. Calderón [CAL.1] observa que los operadores H son acotadossobre L2 (Rn) ; Λ es densamente definida sobre L2 (Rn) pero no es acota-da, sin embargo, Λ (H1 H2 −H1H2) ó (H1 H2 −H1H2)Λ es un operadoracotado sobre L2 (Rn) .

6.5.3. Algunas Propiedades de los Operadores H.

Las notaciones a ser empleadas son: si 1 ≤ β ≤ 2, Cβ es la clase delas funciones de valor complejo y acotadas en C1, con primeras derivadasparciales acotadas y que satisfacen una condición uniforme de Hölder de

orden β−1. Si 0 ≤ β ≤ 1, Cβ es la clase de las funciones continuas acotadasque satisfacen una condición uniforme de Hölder de orden β. Cβ,∞ es la clasede las funciones (de dos o mas variables) que están en C∞ con respecto a laúltima variable, y cuyas derivadas de todas las órdenes con respecto a susvariables, están en Cβ. L21 (Rn) es el usual espacio de Sobolev.

Se dice que el operador H, según [2,1] , es de tipo Cβ,∞ si a(x) ∈ Cβ yh(x, z) ∈ Cβ,∞ en |z| ≥ 1.

Se tienen los siguientes resultados, cuyas pruebas son dadas en A. P.Calderón-A. Zygmund, “Singular Integral Operators and Differential Equa-tions”. Amer. J. of Math. Vol. 79. 1957. Ver también [ORT.3].

Teorema 6.16 “Sea β ≥ 0 dado; consideremos la clase de los operadoresinteghrales singulares H de tipo Cβ,∞. Entonces, Hf es bien definida en elsentido valor principal para f ∈ L2; además, Hf ∈ L2 y H es un operadoracotado sobre L2.

Existe una aplicación lineal, uno a uno, σ de la clase de los operadoresde tipo Cβ,∞ sobre la clase de funciones F (x, z), x, z ∈ Rn, homogéneade grado cero con respecto a z, que están en Cβ,∞ en |z| ≥ 1, y tal quesi NH es la menor de las cotas superiores de |F (x, z)| (F (x, z) = σH) y desus derivadas con respecto a z de orden 2n, evaluadas en |z| ≥ 1, entonceskHk ≤ cNH , donde kHk es la norma de H como un operador sobre L2 yc = c(n) es una constante.”

Teorema 6.17 “Sea f ∈ L21 y f su transformada de Fourier. Entonces,f(x) |x| ∈ L2. De esta manera el operador Λ, definido vía [Λf ]∧ = f(x) |x| ,tiene como dominio L21 y rango en L

2; además, Λ es un operador simétrico.”

Teorema 6.18 “Sea H un operador integral singular de tipo Cβ,∞, 1 <β ≤ 2. Sea MH la menor cota superior para |σH | (≡ |F (x, z)|), de susderivadas con respecto a z de orden 2n, de sus derivadas de primer ordencon respecto a x, y de sus constantes de Hölder en |z| ≥ 1. Sea H∗ el operadoradjunto de H; definamos H# y H1H2 vía, σH# = σH y σH1H2 = σH1σH2 .

Entonces, H# y H1 H2 son operadores integrales singulares de tipoCβ,∞. Además, si H es de tipo Cβ,∞ y f ∈ L21, entonces Hf y H∗f estánen L2; de esta manera los operadores ΛH, HΛ, ΛH∗ y H∗Λ están definidasen L21. Aún, si f ∈ L21 entonces (las normas son en L2),

k(ΛH −HΛ) fk ≤ CMH kfk ;°°Λ ¡H∗ −H#

¢f°° ≤ CMH kfk°°¡H∗ −H#

¢Λf°° ≤ CMH kfk ; kΛ (H1 H2 −H1H2) fk ≤ CMH1MH2 kfk

[3,1]

k(H1 H2 −H1H2)Λfk ≤ CMH1MH2 kfk ,donde C = C(n) es constante. Los operadores en [3,1] pueden ser exten-

didos continuamente como operadores acotados sobre L2.”


Teorema 6.19 “Si H1 y H2 están en Cβ,∞, β ≥ 0, y las funciones σH1 =F1(x, z), σH2 = F2(x, z) son independientes de x, entonces

H1 H2 = H1H2 , H#1 = H∗

1 ,

y H1 tiene inversa si y solo si σH1 no se anula. Además, H1 : L21 → L21 y

H1Λ = ΛH1.”

Teorema 6.20 “Sea P (D) =Pαaα(x)D

α, donde α = (α1, α2, ..., αn) , α1+

α2+...+αn = m, y Dα =∂α1+α2+...+αn

∂xα11 ∂xα22 ...∂xαnnes un operador lineal homogéneo,

de homogenidad de orden m, con coeficientes aα(x) en Cβ, β ≥ 0. Si f(x) ∈L2 y tiene derivadas de órdenes menor o igual m en L2, entonces Λmf esdefinida y P (D)f = HΛmf , donde H es un operador integral singular detipo Cβ,∞ y

σH = imX

aα(x)zα |z|−m ,

donde zα = zα11 zα22 ...zαnn . En particular, si f ∈ L21 entonces

∂f

∂xj= iRjΛf = iΛRjf,

donde σ (Rj) =zj|z| .

Recíprocamente, si f ∈ L21, entonces iΛf =nX

j=1

Rj∂f

∂xj=

nXj=1

∂Rjf

∂xj.”

Nota. Una lectura cuidadosa de los anteriores teoremas nos dan una visiónde los potentes resultados obtenidos por Calderón-Zygmund y que son losprerequisitos que usa Calderón para tratar la cuestión de la unicidad de lasolución del Problema de Cauchy.

El siguiente técnico y profundo resultado [CAL.1] es aplicado a los teo-remas de unicidad que veremos luego. Veamos la notación correspondi-ente. Conside- raremos operadores integrales singulares que dependen de unparámetro t; f(t) toma valores en L2. f es continua si kf(t)− f(t0)k → 0

si t → t0, ∀ t0. f(t) es diferenciable si existe una funcióndf

dt= v(t) tal que°°°°f(t)− f(t0)

t− t0− v(t0)

°°°°→ 0 si t→ t0, ∀ t0.

Proposición 6.13 “Sea f(t), 0 ≤ t ≤ h, una función con valores en L21,continuamente diferenciable tal que Λf(t) es continua. Sean P (t) y Q(t) dosope- radores integrales singulares tal que σP = F1 (t, x, z) y σQ = F2 (t, x, z)son reales y están en Cβ,∞, β > 1, en |z| ≥ 1 (F1 y F2 están en Cβ,∞ comofunciones de sus variables).


Asumamos que P (t) tiene inversa por ambos lados para cada t ó anúlaseidénticamente, y sea φn(t) =

¡t+ 1

n

¢−n.

Entonces, si f(0) = 0 yZ h

0φ2n

°°°°dfdt + (P + iQ)Λf

°°°°2 dt ≤ C

Z h

0φ2n kfk2 dt

donde C es una constante y n es arbitrariamente grande, se tiene f(t) = 0en una vecindad de t = 0.”

Proposición 6.14 Sea f(t), 0 ≤ t ≤ h, con valores en L2 y continuamentediferenciable. Entonces tenemos

n2

(1 + h)2

Z h

0φ2n kfk2 dt ≤

Z h

0φ0n

2 kfk2 dt ≤Z h

0φ2n

°°°°dfdt°°°°2 dt.

6.5.4. Unicidad.

Calderón, [CAL.1], estudia la unicidad de la solución del problema deCauchy para el caso de una simple ecuación lineal, para el caso de un sistemade ecuaciones lineales y para el caso-no lineal. Para el primer caso el proble-ma consiste en probar que “si f ∈ Cm es una solución de la ecuación diferen-cial parcial lineal homogénea P (D)f = 0 de orden m, f y sus derivadas deorden menor o igual quem se anulan sobre una variedad no-característicaM ,entonces f se anula en una vecindad deM.” Luego Calderón pasa a probarel siguiente teorema en donde se hace uso fundamental de las proposiciones6.13 y 6.14.

Teorema 6.21 “Sea P (D)f = 0 una ecuación diferencial parcial lineal deorden m, donde f es una función en n variables; los coeficientes de laecuación tienen derivadas de orden m, son reales y están en Cβ, β > 1;el resto de los coeficientes son medibles y acotadas. Si las característicasde la ecuación son no-múltiples, entonces las soluciones del problema deCauchy son únicos en Cm, siempre que n 6= 3 ó m ≤ 3.”

Para el caso de un sistema de ecuaciones lineales, Calderón prueba elsiguiente resultado.

Teorema 6.22 “Sea P (D)f = 0 un sistema de r ecuaciones diferencialesparciales lineales de orden m, en r funciones fj de n variables. Si las car-acterísticas del sistema son no-múltiples, entonces

(i) Las soluciones del problema de Cauchy son únicas en Cβ siempre quelos coeficientes de derivadas de orden m sean reales y estén en Cβ, β >1; el resto de coeficientes son medibles y acotados; además, n = 2 ón > 4;

(ii) Las soluciones del problema de Cauchy son únicas en Cr−m siempreque los coeficientes de derivadas de orden m sean reales y estén enCm(r−1), los coeficientes restantes estén en Cm(r−1); además, n 6= 3 ómr ≤ 3.”

Finalmente, en [CAL.1], Calderón extiende sus resultados sobre unicidadal caso no-lineal.

Por otro lado, en [CAL.2] se presentan algunos teoremas sobre existenciay unicidad para sistemas de ecuaciones diferenciales parciales. Como antes,el instrumento básico es la teoría de operadores integrales singulares. SeaP (D)f = g un sistema de l ecuaciones diferenciales parciales lineales enl incógnitas. Bajo ciertas condiciones, N. Katz (1961) probó que si l = 1o si P (D) es elíptico, entonces P (D)f = g tiene una solución débil en L2

sobre todo compacto si g está en L2 y si los coeficientes de L satisfacenciertas condiciones de regularidad. Calderón extiende el resultado de Katz asistemas no-elípticos y al caso distribucional. Además, usando la propiedadde la continuación única establece la existencia de soluciones globales (através del espacio Rn).

Veamos brevemente algunos detalles. Sea P (D) un operador diferencialparcial lineal de orden m, con coeficientes regulares definidos en una vecin-dad del origen en Rn+1; p = pm (x, ξ) es su símbolo. Se asume que el hiper-plano xn+1 = 0 no es característico en el origen, esto es, p (0, ξ) 6= 0 paraξ = (0, ..., 0, 1) . Se tiene el Problema de Cauchy: “encontrar una soluciónf de P (D)f = g en una vecindad del origen teniéndose dados de Cauchy so-bre el plano xn+1 = 0, ∂jn+1f = 0 sobre x

n+1 = 0 para j = 0, 1, ...,m− 1 (lacondición de que tal plano no es característico es lo que permite determinarla unicidad de todas las derivadas de f sobre el plano).”

Bajo “ciertas condiciones”, Calderón establece el siguiente resultado.

Teorema 6.23 “Asumamos que el plano xn+1 = 0 es no-característico enel origen y que se tiene tales “ciertas condiciones”. Si f es una soluciónde P (D)f = 0 en una vecindad del origen, que se anula idénticamente paraxn+1 < 0 entonces f ≡ 0 en la total vecindad del origen”.

Nota. El tratamiento de la unicidad de la solución del Problema deCauchy según el método de Calderón es bastante técnico y profundo, yestá fuera del nivel con que se ha concebido este escrito. Se incluyó estasección 6.5 como una motivación para los lectores interesados en este tipode metodología.

6.6. TAREAS. 325

6.6. TAREAS.

1. Estudie el método de Riemann para obtener una fórmula integral parala solución del Problema de Cauchy. (Ver, por ejemplo, [MY I] , pag.62).

2. Determine la solución de cada uno de los siguientes problemas deCauchy:

a) utt − c2uxx, u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 1

b) utt − c2uxx, u(x, 0) = cosx, ut(x, 0) = e−1

c) utt − c2uxx, u(x, 0) = x, ut(x, 0) = senx.

3. Determine la solución de cada uno de los siguientes problemas deCauchy:

a) utt − c2uxx = x, u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 3

b) utt − c2uxx = ex, u(x, 0) = 5, ut(x, 0) = x2

c) utt − c2uxx = 2, u(x, 0) = x2, ut(x, 0) = cosx.

4. Sean los conjuntos

D = (x, y) / 0 < x < π, y > 0 y D = (x, y) / 0 ≤ x ≤ π, y ≥ 0 .

Encontrar, si fuera factible, una solución sobre D de los siguientes pro-blemas mixtos:

a) uxx − uyy = 0 , sobre Du(x, 0) = sen2x , 0 ≤ x ≤ πuy(x, 0) = 0 , 0 ≤ x ≤ πu(0, y) = u(π, y) = 0 , y ≥ 0.

b) uxx − uyy = 0 , sobre D

u(x, 0) =

½x ...0 ...

0 ≤ x < πx = π

uy(x, 0) = 0 , 0 ≤ x ≤ πu(0, y) = u(π, y) = 0 , y ≥ 0.

5. Encuentre, si fuera factible, una solución sobre D del problema:

uxx − uyy = 0, sobre D

uy(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 1 ;

u(x, 0) = 2senxcosx, 0 ≤ x ≤ 1u(0, y) = u(1, y) = 0, y ≥ 0.


6. En términos a lo expuesto en 6.1.5,

(i) explique, de un modo general, en que consiste el problema deCauchy para un operador diferencial parcial lineal L =

P|α|≤k

aαDα;

(ii) comente al teorema de Cauchy-Kowalevsky;

(iii) comente al teorema de Holmgren.

7. Explique las ideas esenciales que conducen a la unicidad de la solucióndel problema de Cauchy, según Nirenberg (Ver 6.2)

8. Con la notación de 6.4.1, si w,w1, w2 pertenecen a W , pruebe quews ∈W , con s ∈ R, y que w1 + w2, sup (w1, w2) y w1w2 están en W.

9. (Ver 6.4.2). Pruebe que,

Blocp,w1 (Ω) ⊂ Blocp,w2 (Ω)⇐⇒ ∃ C > 0

tal que w2 (ξ) ≤ Cw1 (ξ) , ∀ ξ ∈ Rn.

10. (Ver 6.4.3). Sean P y Q dos polinomios. Pruebe que, Q ≺ P ⇐⇒ ∃C0> 0 tal que

¯Q (ξ)

¯≤ C

0¯P (ξ)

¯, ξ ∈ Rn.


6.7. COMENTARIOS.

(i) El problema de Cauchy, en sus diversos contextos, ha merecido mu-chos trabajos de investigación, de diversas monografías y de capítulosen diversos libros de ecuaciones en derivadas parciales. Desde un puntode vista clásico, el libro de Petrovskii, [PET], es de importancia aún.Mizoata le dedicó una monografía, “Lectures on the Cauchy Problem”.Bombay, 1965, la que fue incorporada en su libro [MIZ]; Mizoata, en-tre otros métodos usa la teoría de operadores integrales singulares deCalderón-Zygmund.

(ii) En el presente Capítulo hemos considerado aspectos básicos sobre elproblema de Cauchy con la intensión de motivar a los lectores quepor primera vez estudien este problema de un modo organizado. Losejemplos típicos son los problemas de Cauchy para la cuerda y para elcalor. Además, damos breves comentarios sobre los problemas bien ymal puestos.

(iii) Los Teoremas de Cauchy-Kowalevsky y de Holgren son dos clásicosresultados que forman parte de la historia del problema de Cauchy yque presentamos brevemente en 6.1.5. La lectura de esta sección, noredactada de un modo autosuficiente, requiere de lecturas complemen-tarias en otros textos para aquellos lectores interesados en el tema.Ver, por ejemplo, [BER-JOH-SCH].

(iv) Las secciones 6.2 y 6.3 son un re-escrito ampliado de nuestra mono-grafía [ORT. 2] elaborada en Brasilia bajo la asesoría del profesor. D.Figueiredo. Ella es basada en el artículo de L. Nirenberg, [NIR. 1]. Sulectura puede ser complementada con [HOR. 1] y/o [HOR. 2]; así, ellector obtendrá un buen entrenamiento en los operadores diferencialesparciales; ver también [TRE. 2]. En la subsección 6.3.2 presentamos al-gunos comentarios sobre la no-unicidad de la solución del problema deCauchy y su relación con la propiedad de la continuación única. En 6.4complementamos con algunas ideas sobre los operadores diferenciales.

(v) Lo tratado en la sección 6.5, la unicidad del problema de Cauchy segúnA.P. Calderón es de lectura opcional en una primera lectura dada lanaturaleza matemática de los prerequisitos para su tratamiento. Es unenfoque con metodología diferente a lo usual y requiere la comprensiónde delicados resultados previos. El lector interesado en la aplicaciónde los operadores integrales singulares al problema de Cauchy puedeconsultar [CAL. 1] para mayores detalles (ver tambien [ORT. 4]).


6.8. CAUCHY. - L. HÖRMANDER

Agustin Louis Cauchy.

Nació el 21 de Agosto de 1789 en París en pleno inicio de la Revolu-ción. Sobrevivió al Terror, heredando una frágil salud física; su educaciónprimaria estuvo a cargo de su padre. Pronto conoció a los grandes maestrosfranceses, como Laplace y Lagrange; su padre cuidó de su formación integralmotivándolo a que lea literatura; así con 13 años entró a la Escuela Centralen donde ganó unos premios en griego y en composición latina.

En 1804 se dedica intensivamente a la matemática; al año siguiente entraa la Politécnica en segundo lugar. Trabajó un tiempo como ingeniero paraluego consagrarse a las ciencias puras. En París, en 1813, con 24 años, atraela atención de los maestros franceses por sus trabajos sobre poliedros ypor las funciones simétricas. En 1814 Cauchy publica una memoria sobreintegrales definidas, las que fueron posteriormente la base de la teoría de lasfunciones complejas. En 1816 gana el premio de la Academia Francesa porun trabajo sobre ondas; desarrolla una intensa actividad científica.

A Cauchy le debemos un gran aporte hacia la rigorización del análisis.Escribió su famosa obra ”Lecciones sobre el Cálculo Infinitesimal” (1823) endonde desarrolla el cálculo diferencial e integral sobre la base de su conceptode límite y de continuidad. Hizo aportes significativos a los series infinitas.Sin embargo, es en el campo de las funciones de una variable compleja endonde Cauchy produce sus resultados que serían vitales en la matemáticadel siglo XIX.

En relación a las ecuaciones en derivadas parciales le debemos el teoremade existencia para soluciones de tales ecuaciones sujetas a condiciones ex-tras; se le recuerda desde entonces vía el famoso “Problema de Cauchy”.

6.8. CAUCHY. - L. HÖRMANDER 329

Produjo 789 trabajos matemáticos, producto de su genio y de su intensa ac-tividad matemática. Sus obras completas fueron publicadas en 27 volúmenes.

Cauchy murió en 1857.

Lars Hörmander.

Nació el 24 de enero de 1931 en Mjällby, Suecia. Estando aún en elGimnasio (secundaria) fue ya capaz de estudiar matemática de nivel univer-sitario estimulado por un ex alumno de Marcel Riesz. En 1948 culmina elGimnasio e ingresa a la Universidad de Lund, teniendo por profesor a M.Riesz con quien aprendió la clásica teoría de funciones y el análisis armóni-co. En 1950 obtuvo el grado de Master; luego estudia bajo la supervisiónde Riesz. En 1952, Riesz se retira de Lund y Hörmander comienza a traba-jar en la teoría de ecuaciones en derivadas parciales. En el período de 1953-54 realiza el servicio militar pero aún en tales circunstancias continúa estu-diando matemática, preparando su tesis doctoral, la que culmina en 1955.Ella está contenida en [HOR.1]. Por esta época visita algunas universidadesnorteamericanas (Chicago, Kansas, Minnesota y el Instituto Courant).

En 1957 ingresa como docente en la Universidad de Estocolmo, alternan-do su tiempo con la Universidad de Stanford y con el Instituto para EstudiosAvanzados de Princeton.

En 1962 recibió la Medalla Field, máxima distinción en matemática, porsus trabajos sobre ecuaciones diferenciales parciales. En 1963 apareció su,ahora clásico , libro sobre operadores diferenciales parciales (ver [HOR.2]).

Entre 1983 y 1985 apareció su tratado, en cuatro volúmenes, “The Analy-sis of Linear Partial Differential Operadors” (ver 5.7.(i)), el cual es una ac-tualización de su libro de 1963, y que es una monumental obra sobre el tema


de las ecuaciones en derivadas parciales. Hörmander también ha escrito ellibro “An Introduction to Complex Analysis in Several Variables” en base asus lecturas dadas en Stanford en 1964.

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