TP # 7 de Razones y Proporcionalidad Directa e Inversa.

Trabajo Práctico # 7 Razones y Proporciones. Proporcionalidad directa e inversa 2do. Año Definición de razón. Proporción. Propiedad fundamental de la proporciones. Resolver ecuaciones usando

dicha propiedad. Resolver problemas usando dicha propiedad. Proporcionalidad directa: constante, fórmula y gráfica. Proporcionalidad inversa: constante, fórmula y gráfica.

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Analiza las siguientes expresiones: a) “En esta ciudad hay un automóvil cada 5 personas”. Decimos que la razón entre el número de autos y de

personas es 15

b) “En las últimas elecciones, votaron 6 mujeres cada 7 hombres”. Decimos que la razón entre el número de

mujeres y de varones es 67

c) “Este automóvil gasta 15 litros de nafta por cada 100 km”. Decimos que la razón entre el número de litros de

combustible y el número de km. recorridos es 15100

.

Definición: Se llama razón entre dos números a y b ( 0b ≠ ), al cociente de la división de a por b Decir que votaron 6 mujeres por cada 7 hombres es lo mismo que decir que votaron 12 mujeres por cada 14 hombres.

6 127 14=

Decir que se gastan 15 litros por cada 100 km. Equivale a decir que se gastan 3 litros por cada 20 km. 15 3100 20

=

Definición: La igualdad de dos razones se llama proporción

a cb d=

Se lee: “a es a b como c es a d”. a y d reciben el nombre de extremos, mientras que b y c reciben el nombre de medios.

Definición: las proporciones cuyos medios son iguales se llaman proporciones continuas a bb c=

Ejemplos: 1 55 25= o

4 1212 36

=

Propiedad Fundamental de las Proporciones: En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

. .a c a d b cb d= ⇒ =

Vale la recíproca



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Ejemplo: 1 3 1.15 5.35 15= ⇒ =

Ejercicios:

1)

29233

x= 2)

32

1 0,753

x= 3)

1 3 0,29 2

1 23 9

x

+=

+

4) 2

16 1 1125 10 2213

x

− +=

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

5)

2123,53

4 0,25

x

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ =+

6) 1

11 3232144

x −

++=⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

7)

32

38

xx= 8)

2

4

1 2,52

2x

x

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ = 9)

13 0,15

34 0,110

xx

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ =

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

10) ( ) 5

1 2

13 2 .51. 1,2 2,3 .34

2 12 1 3.3 5 4

x− −

+=

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

) )

Problemas:

1) Un número disminuido en dos es a su triple como 3 es a 7. ¿De qué número de trata? 2) El doble de un número es a 9 como el número, disminuido en 3, es a 8. ¿Qué número es? 3) Un número aumentado en 5 es a 7 como su mitad es a 9. ¿De qué número se trata? 4) Marta tiene 15 años y Julia 23, ¿dentro de cuántos años sus edades serán proporcionales a 2 y a 3? 5) ¿Cuál es la medida del lado de un cuadrado, si la razón entre la medida del lado y la superficie, es igual a la

razón entre la medida del lado y el perímetro? 6) ¿Cuánto mide la altura de un rectángulo cuya base es a su superficie como 3 es a 5? 7) Las edades de Juan y Pedro son proporcionales al número de letras de sus nombres, y Juan tiene 6 años

menos que Pedro. ¿cuántos años tiene cada uno?

8) En un rectángulo la razón entre las medidas de la base y la altura es 37, y el perímetro es 128 cm, ¿cuáles son,

en cm, las longitudes de la base y la altura? 9) Dos números están a razón ¾. Si el menor de ellos es 189. ¿Cuál es el otro? 10) Dos obrero trabajan en una fábrica armando cajas, pero mientras que uno arma 3 cajas, el otro arma 7 cajas.

Si el más hábil ha armado 91 cajas, ¿cuántas habrá armado el otro? 11) L a suma de dos números es 2920 y se encuentran en razón 5/3. ¿Cuáles son los números?



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12) Dos números están en razón ¼. Se sabe que uno es 3 unidades mayor que el otro. ¿Cuáles son los números? 13) En un mapa, la distancia entre dos ciudades es de 36 cm y la distancia real es de 288 km, ¿A qué escala fue

diseñado el mapa?

Aclaración: 1:100000 significa que cada centímetro del mapa representa 100000 centímetros, o sea 1000

metros; o que un metro en el mapa representa 100000 metros, o sea, 100 kilómetros

A) 1 : 800

B) 1 : 8.000

C) 1 : 80.000

D) 1 : 800.000

E) 1 : 8.000.000

Proporcionalidad directa e inversa

Definición: Cuando decimos que y es directamente proporcional a x, significa que y=kx ; donde k es un número distinto de cero, y lo llamamos constante de proporcionalidad.

14) RECUERDA REVISAR TANTO EN TU CARPETA LA TEORÍA DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA EN LA PARTE DE FUNCIONES COMO EN EL BLOG. Ejercicio: Las tablas siguientes relacionan, en un caso, la medida de la arista y el volumen del cubo y, en el otro, el volumen y el peso del corcho. Luego de analizar cada tabla contesta:

a. ¿Cuál de las tablas corresponde a magnitudes directamente proporcionales?

b. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? Escriban la fórmula de la función de proporcionalidad y grafiquen dicha función.

Cubo

Corcho

Definición: Cuando decimos que y es inversamente proporcional a x, significa que y=kx ; donde k es un número

distinto de cero, y lo llamamos constante o coefeiciente de proporcionalidad.

Medida de la arista (en cm) 2 5 9

Volumen (en cm3) 8 125 729

Volumen (en cm3) 500 975 2150

Peso (en g) 120 234 516



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15) Si un tren se desplaza 900 km en línea recta, ¿cómo calculamos el tiempo (y) que tarda en recorrer el trayecto a una velocidad constante (x)?

Cómo recordarán, cuando un móvil se desplaza en línea recta a velocidad constante, se cumple que el espacio o trayecto recorrido es igual al producto entre la velocidad y el tiempo empleados para realizarlo. Entonces, para calcular (y), podemos utilizar la siguiente fórmula

Podemos también hacer una tabla de valores y ubicar estos puntos en un sistema cartesiano

Velocidad ( en km/h)

Tiempo (en horas)

x y

50

100

150

3

4,5

y . x = 900, o sea y = 900x

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