Proporciones

Magnitudes Razones

Proporcionalidad

Cuarta proporcional

Propor. directa Propor. inversa Propor compuesta

Los tantos por ciento

ProblemasProblemas Problemas

Problemas

Proporción significa que hay una correspondencia entre las partes de una cosa y el todo o entre cosas que se hallan interrelacionadas. Un dibujo no está proporcionado cuando sus partes no guardan relación.

Una razón entre dos números a y b, es el cociente a

bPueden ser números cualquiera

Una proporción es la igualdadigualdad entre dos razones.

- La razón entre a y b es a / b- La razón entre c y d es c / d

a cb d

Siendo a y d los “extremos” de la proporción; b y c son los “medios “

Llamamos constante o razón de proporcionalidad, de una proporción al cociente de cualquiera de sus razones.

ab

es la constante y puede ser cualquier número

Por reducción a la unidad: buscamos el valor que corresponde a una sola unidad.

Regla de tres: Planteamos una proporción entre la

razón de dos cantidades de una de las magnitudes y la de las dos cantidades correspondientes de la otra magnitud.

Reducción a la unidad

Si ayer pagué 60 céntimos por 5 chicles.¿Cuánto me hubieran costado 8 chicles?Se calcula el precio de un chicle 60/5=12 centSe calcula el precio de los 8 chicles 8*12=96cent

SE BUSCA EL PRECIO DE UNAUNA CANTIDAD

Regla de tres

Si ayer pagué 60 céntimos por 5 chicles. ¿ Cuánto me hubieran costado 8 chicles? 5/8=60/n n=96

SE PLANTEA UNA PROPORCIÓN ENTRE LA RAZÓNRAZÓN

Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden con esta tabla:

Son DIRECTAMENTE PROPORCIONALES si se verifica que:

a/d=b/e=c/f=…=K, siendo k la RAZÓN DE PROPORCIONALIDAD

Magnitud 1 a b c …

Magnitud 2 d e f …

Si dos magnitudes son tales que a doble, triple, mitadmitad , etc , cantidad de la primera le corresponde respectivamente doble, triple, mitadmitad , etc , cantidad de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son:

DIRECTAMENTE PROPORCIONALESDIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Ejemplo: Un ciclista recorre 150 kms. en 5 horas. ¿Cuántos recorrerá en 7 horas?

Solución150 km. -----------------5 horas. x Km.-----------------7 horas

Ya que las horas y los kilómetros son magnitudes directamente proporcionales tenemos la proporción:

150/x = 5/7 o sea x=150.7/5 x=210Km

Observa la gráfica de una proporción directa. La altura del agua en la probeta es directamente proporcional al tiempo que permanece abierto el grifo.

En el enunciado de cualquier problema de proporción, los datos correspondientes a una misma unidad pueden estar expresados en cualquier medida, pero……todos tienen que estar expresados en la misma medida.

Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden con esta tabla:

Son INVERSAMENTE PROPORCIONALES si se verifica que:

a.d=b.e=c.f=…=K, siendo k la RAZÓN DE

PROPORCIONALIDAD

Magnitud 1 a b c …

Magnitud 2 d e f …

Si dos magnitudes son tales que a doble, triple, mitad , etc , cantidad de la primera le corresponde respectivamente la mitad, la tercera parte, el doble , etc , cantidad de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son INVERSAMENTE PROPORCIONALES.

Una brigada de 8 constructores, en la cual trabajan todos con las misma eficiencia, ejecuta una cierta obra trabajando durante 20 días.¿En cuánto tiempo podrían ejecutar la misma obra dos de los obreros de la brigada?

SoluciónDisposición de los datos

20 días--------- 8 obreros x días--------- 2 obreros

ya que las magnitudes son inversamente proporcionales, setiene:

20/X =2/8 X= 20.8/2 o sea X=80 días.

Magnitudes directas: Al multiplicar una cantidad ,se

multiplica la otra. Ejemplo : cuanto más compramos

más nos gastamos. Ejemplo: El salario de un obrero y la

duración de su trabajo.

Magnitudes inversas: Al multiplicar una cantidad se divide

la otra. Ejemplo: a más velocidad, menos

tiempo invertido. Ejemplo: El número de obreros y el

tiempo que emplean en ejecutar un trabajo.

1. PROPORCIÓN DIRECTA2. Dos magnitudes M y M´ directamente

proporcionales dan lugar a una gráfica de este tipo:  

Si la gráfica de dos variables es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas, entonces una variable es directamente proporcional a la otra.

PROPORCIÓN INVERSA Si dos magnitudes son inversamente

proporcionales dan lugar a una gráfica del tipo: hipérbola

En la tele o la radio habrás oído que un Banco ha tenido un 7 por ciento  de beneficios. Esto quiere decir que por cada 100 monedas ha conseguido 7 más y ahora tiene 107 monedas. El porcentaje de beneficio ha sido el 7 %.Porcentaje o tanto por ciento quiere decir lo mismo.   

Otro ejemplo: La ley de IVA dice que todos los comerciantes pagan al Estado  un impuesto del 8 por ciento (8 %) de todas las ventas. Si una tienda ha vendido 100 euros pagará al Estado 8 euros; si hubiese vendido 200 euros, tendría que pagar 16 euros.

Un TANTO POR CIENTO o un PORCENTAJE es una parte de un total de 100 unidades. Se expresa mediante el símbolo%

Un procentaje es equivalente a una razón con denominador 100 y también al número decimal correspondiente.

Disminuciones: En varias épocas del año vemos en los comercios elcartel de rebajas.

Si el cartel dice 20 % esto quiere decir que porcada 100 monedas que valga el producto merebajarán 20 monedas. Si compro un pañuelo que vale 100 monedas, merebajarán 20 y tendré que pagar 80.

   

DISMINUCIONES

Para hallar el tanto por ciento de unacantidad se multiplica ese tanto por lacantidad y se divide por 100. Así el 20 % de 2500 = (20 x 2500) : 100 =500. También se puede hacer así: 2500 x 0,20 =500.

Para hallar la cantidad final de otra a la que le aplicamos un r % de disminución multiplicamos esa cantidad por(1-r/100)

(1-r/100) es el ÍNDICE DE VARIACIÓN DE LA DISMINUCIÓN PORCENTUAL

Incrementos:

Un trabajador ganaba 1580 € al mes en el año

2010. ¿Cuánto ganará al mes en 2011 si el

sueldo ha tenido una subida del 2%?1580 + 2% de 1580 = 1580 + 0.02 · 1580 = (1+0.02) ·

1580 = 1.02 · 1580 = 1611.60

Ganará 1611.60 € al mes

Un aumento porcentual es añadir un porcentaje a una cierta cantidad.

Para hallar la cantidad final de otra a la que le aplicamos un r% de aumento multiplicamos esa cantidad por(1+r/100)

(1+r/100) es el ÍNDICE DE VARIACIÓN DE LA INCREMENTO PORCENTUAL

EJEMPLOS

AUMENTOEl precio de unabicicleta era de240 euros. A esteprecio hay queañadirle el 16% deI.V.A. ¿Cuál es elprecio final?1+0,16 =1,16240·1,16 =278,40

euros

DISMINUCIÓNEl precio de unordenador era de1200 euros, pero mehan hecho un 15% de descuento.¿Cuál es el preciofinal?1- 0,15=0,851200·0,85=1020

euros

Se estudia el tipo de proporcionalidad entre dos magnitudes cuando las otras permanecen fijas.

Se iguala la razón que contiene la incógnita con el producto de las razones de las otras magnitudes. Si las magnitudes son inversamente proporcionales, se invierte la razón correspondiente.

Un peregrino, caminando 10 horas diarias durante 24 días, recorre 720 kilómetros. ¿Cuántos días necesitará para recorrer 432 kilómetros, caminando 8 horas diarias?

INVERSA

24 días------------10 horas------------720km x días------------ 8 horas-------------432km

DIRECTA

24 8 720.

10 432X 18 díasX