Topologia General Clara Neira

7/28/2019 Topologia General Clara Neira

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TOPOLOGIA GENERAL

Clara M. Neira U.

Departamento de MatematicasUniversidad Nacional de Colombia, Bogota


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Indice general

Introduccion 5

0. Teora de Conjuntos 70.1. Definiciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.2. Union, interseccion y diferencia - Diferencia simetrica . . . . . 80.3. Uniones e intersecciones arbitrarias . . . . . . . . . . . . . . . 120.4. Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140.5. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150.6. Productos arbitrarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190.7. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210.8. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1. Espacios Metricos 261.1. Metricas y seudometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.2. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3. Topologa de un espacio metrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2. Espacios Topologicos 392.1. Bases para una topologa - Conjuntos

abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2. Espacios topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3. Vecindades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.4. Conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.5. Adherencia de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.6. Puntos de acumulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

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INDICE GENERAL 3

2.7. Interior, exterior y frontera de un conjunto . . . . . . . . . . . 67

2.8. Subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3. Funciones continuas 76

3.1. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.2. Homeomorfismos e inmersiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4. Topologas iniciales y Topologas finales 88

4.1. Estructuras iniciales - Topologa inicial . . . . . . . . . . . . . 88

4.2. Topologa Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.3. Productos arbitrarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.4. Estructuras finales - Topologa final . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.5. Topologa cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5. Propiedades de Separacion y de enumerabilidad 105

5.1. Espacios T0 y espacios T1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.2. Espacios de Hausdorff - T2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.3. Espacios regulares y Espacios T3 . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.4. Espacios completamente regulares y Espacios de Tychonoff . . 116

5.5. Espacios normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.6. El Lema de Urysohn y el Teorema de Extension de Tietze . . 122

5.7. Propiedades de enumerabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6. Convergencia - Filtros 131

6.1. Filtros sobre un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.2. Bases y sub-bases para un filtro . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.3. Convergencia de filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.4. Ultrafiltros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7. Espacios compactos 145

7.1. Espacios Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

7.2. La Caracterizacion de Kuratowski-Mrow k a . . . . . . . . . . . 148

7.3. Algunos resultados sobre compacidad . . . . . . . . . . . . . . 1517.4. El Teorema de Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.5. Compacidad local - Compactificacion de Alexandroff . . . . . 157

7.6. La compactificacion de Stone-Cech . . . . . . . . . . . . . . . 159

7.7. Compacidad en espacios metricos . . . . . . . . . . . . . . . . 162


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4 INDICE GENERAL

8. Espacios Conexos 167

8.1. Espacios Conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1678.2. Propiedades de los espacios conexos . . . . . . . . . . . . . . . 1718.3. Componentes conexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1748.4. Conexidad por arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1778.5. Espacios localmente conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Referencias 183


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Introduccion

Estas notas de topologa nacieron de la necesidad de presentar los contenidosbasicos de topologa general, de la forma mas clara posible, a estudiantesde la carrera y del posgrado en Matematicas de la Universidad Nacional deColombia.

Poco a poco se vislumbro la posibilidad de dar a conocer a traves de ellaspresentaciones novedosas de conceptos conocidos, as como algunas demos-traciones y resultados originales.

Es bien conocido por ejemplo, que cualquier espacio topologico T0 se puede

sumergir en un producto de espacios de Sierpinski. Como una generalizacionde este resultado, se muestra aqu que cualquier espacio topologico, goce ono de la propiedad de ser T0, se puede sumergir en un producto de espaciosde Sierpinski de tres puntos.

En el captulo de compacidad se hace especial enfasis en la Caracterizacionde Kuratowski-Mrowka de los espacios topologicos compactos, que da unavision categorica del concepto y es una herramienta valiosa que permite dardemostraciones alternativas de resultados ya conocidos sobre compacidad.Es de resaltar la asombrosa sencillez de la demostracion del Teorema deTychonoff que, en el caso finito, brinda esta caracterizacion.

Al final de cada seccion se ofrece una variada seleccion de ejercicios, algunosde los cuales buscan reforzar los conocimientos en los estudiantes, mientrasque otros les ofrecen la oportunidad de poner a prueba su creatividad y suingenio.

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6 INTRODUCCION

Las referencias bibliograficas incluyen no solo textos clasicos de Topologa

General, sino tambien enlaces con otros sitios de interes en topologa ubicadosen la red.


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Captulo0Teora de Conjuntos

En esta seccion se presentan muy brevemente conceptos basicos de la Teorade Conjuntos, as como la notacion que se utilizara en adelante. Suponemosque el lector esta familiarizado con estas definiciones y resultados por lo cualno incluimos demostraciones.

0.1. Definiciones basicas

Asumimos que el significado de la palabra conjunto es intuitivamente claroy, como es costumbre, utilizamos preferiblemente letras mayusculas A, B,...para denotar los conjuntos y letras minusculas a, b,... para denotar los ele-mentos de un conjunto.

Si a y b son elementos distintos, escribimos a = b y con A = B estamosindicando que A y B son conjuntos distintos.

Si un elemento a pertenece al conjunto A utilizaremos la notacion a A ysi deseamos expresar que a no es un elemento del conjunto A escribiremosa / A. Para indicar que todos los elementos del conjunto A pertenecentambien al conjunto B, esto es que que A es un subconjunto de B o que elconjunto A esta contenido en B, escribiremos A B y si deseamos especificarque, aunque A es un subconjunto de B, existen elementos de B que nopertenecen a A, escribiremos A B. En este caso diremos que A es unsubconjunto propio de B. Como es natural, si A B y B A entonces A yB tienen los mismos elementos, en este caso escribimos A = B.

Para describir un conjunto podemos listar de manera explcita sus elementos

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8 CAPITULO 0. TEORIA DE CONJUNTOS

como cuando escribimos A = {2, 3, 5, 7}, o indicar una propiedad que loscaracterice, como cuando utilizamos la notacion

A = {x : x es un numero primo menor que 10},

o equivalentemente

A = {x | x es un numero primo menor que 10}.

Denotamos con el smbolo al conjunto vaco y afirmamos que X paratodo conjunto X.Si X es un conjunto cualquiera, la coleccion de todos los subconjuntos de X

es un conjunto que denotamos con el smbolo P(X) y llamamos el conjuntopartes de X, o conjunto potencia de X.Por ejemplo, si X = {0, 1, 2}, entonces

P(X) = {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}.

Observamos que si X es un conjunto finito con n elementos, entonces P(X)contiene 2n elementos.

0.2. Union, interseccion y diferencia - Dife-rencia simetrica

Si A y B son conjuntos entoncesla union de A y B, que denotamosA B, es el conjunto formado porlos elementos que pertenecen a A opertenecen a B. Es decir

A

B =

{x : x

A o x

B

}.


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0.2. UNION, INTERSECCION Y DIFERENCIA - DIFERENCIA SIMETRICA 9

Si A y B son conjuntos entonces lainterseccion de A y B, que denota-mos A B, es el conjunto formadopor los elementos que pertenecen aA y simultaneamente pertenecen aB. Es decir

A B = {x : x A y x B}.

Si A B = , decimos que los conjuntos A y B son disyuntos.De las definiciones se concluye que A A B, B A B, A B A yA B B.Ademas se satisfacen las siguientes propiedades:

1. A A = A y A A = A para cada conjunto A.

2. A = A y A = para cada conjunto A.

3. A

B = B

A y A

B = B

A para todo conjunto A y todo conjunto

B.

4. A B = A si y solo si B A.

5. A B = A si y solo si A B.

6. A (B C) = (A B) C para A, B y C conjuntos arbitrarios.

7. A (B C) = (A B) C para A, B y C conjuntos arbitrarios.

8. A

(B

C) = (A

B)

(A

C) para A, B y C conjuntos arbitrarios.

9. A (B C) = (A B) (A C) para A, B y C conjuntos arbitrarios.

Ademas de la union y la interseccion, la diferencia de conjuntos es una ope-racion interesante y muy util.


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Si A y B son conjuntos entonces ladiferencia AB es el conjunto for-mado por los elementos que perte-necen a A y no pertenecen a B. Esdecir

AB = {x A : x / B}.

Si estamos trabajando con subconjuntos de un conjunto fijo X y A Xnos referiremos a XA como el complemento de A en X y lo denotaremostambien con Ac o con A.Las siguientes propiedades se conocen con el nombre de Leyes de De Morgany resultan de gran utilidad en el trabajo con conjuntos.

1. Si A y B son subconjuntos de X entonces (A B)c = Ac Bc.

2. Si A y B son subconjuntos de X entonces (A B)c = Ac Bc.

Intimamente relacionada con la operacion diferencia de conjuntos esta ladiferencia simetrica.

Si A y B son conjuntos entoncesla diferencia simetrica entre A yB, AB, es el conjunto (A B) (B A). Expresado de otra forma,AB = (A B) (A B).


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0.2. UNION, INTERSECCION Y DIFERENCIA - DIFERENCIA SIMETRICA 11

Ejercicios 0.1-2

1. Demuestre con todo detalle cada una de las siguientes afirmaciones:

a) A A = A y A A = A para cada conjunto A.b) A = A y A = para cada conjunto A.c) A B = B A y A B = B A para todo conjunto A y todo

conjunto B.

d) A B = A si y solo si B A.e) A B = A si y solo si A B.

f) A (B C) = (A B) C para A, B y C conjuntos arbitrarios.g) A (B C) = (A B) C para A, B y C conjuntos arbitrarios.h) A (B C) = (A B) (A C) para A, B y C conjuntos

arbitrarios.

i) A (B C) = (A B) (A C) para A, B y C conjuntosarbitrarios.

j) Si A y B son subconjuntos de X entonces (A B)c = Ac Bc.k) Si A y B son subconjuntos de X entonces (A B)c = Ac Bc.l) Si X es un conjunto con n elementos, entonces

P(X) contiene

exactamente 2n elementos.

2. Escriba los siguientes conjuntos en terminos de uniones e interseccionesde los conjuntos A, B y C.

a) {x : x A y (x B o x C)}.b) {x : x A o (x B y x C)}.c) {x : (x A y x B) o x C}.d) {x : (x A o x B) y x C}.

3. En los siguientes literales de una demostracion de las afirmaciones queconsidere verdaderas o ejemplos que muestren que determinadas afir-maciones son falsas. En caso de que una igualdad no se satisfaga veri-fique si por lo menos una de las contenencias es cierta.

a) A \ (A \ B) = B.


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b) A \ (B \ A) = A \ B.c) A (B \ C) = (A B) \ (A C).d) A (B \ C) = (A B) \ (A C).e) AA = A para cada conjunto A.

f) A = A para cada conjunto A.g) AB = BA para todo conjunto A y todo conjunto B.

h) AB = A si y solo si B = .i) A(BC) = (AB)C para A, B y C conjuntos arbitrarios.

j) Si A y B son subconjuntos de X entonces (AB)c = AcBc.

0.3. Uniones e intersecciones arbitrarias

As como es posible conseguir un nuevo conjunto uniendo o intersectando dosconjuntos dados, es posible formar nuevos conjuntos construyendo la uniono la interseccion de una coleccion arbitraria de conjuntos, o dicho de otramanera, de una familia arbitraria de conjuntos.Dada una coleccion A de conjuntos definimos la union de la coleccion comoel conjunto

AAA = {x : x A para algun A A}y la interseccion de la coleccion como el conjunto

AA

A = {x : x A para cada A A}.

Si la coleccion A es vaca, ningun elemento x satisface la condicion necesariapara poder afirmar que pertenece a

AA A. Entonces

AA A = . Pero la

expresion

AA A solo tiene sentido si estamos pensando en un conjunto Xque sea todo nuestro universo. De ser as, cada elemento x X pertenecea AA A porque de lo contrario existira A A = tal que x / A, lo cuales absurdo. Entonces AA A = X.Si A es una coleccion de subconjuntos de un conjunto X entonces las Leyesde De Morgan tienen la siguiente presentacion:

1.

AA Ac

=

AA Ac.


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0.3. UNIONES E INTERSECCIONES ARBITRARIAS 13

2.

AAA

c

=

AAAc.

Ejercicios 0.3

1. Demuestre las leyes de De Morgan:

a)

AA Ac

=

AA Ac.

b)

AA Ac

=

AA Ac.

2. Justifique cuidadosamente cada una de las siguientes afirmaciones:

a) Si A es una familia vaca de conjuntos entonces AA A = .b) Si A es una familia vaca de subconjuntos de XentoncesAA A =

X.

3. Para cada n N sea An = [n, n]. Calcule

nN An.

4. Para cada n N sea An = [n, n]. Calcule

nN An.

5. Para cada n N sea An = (n, n). Calcule

nN An.

6. Para cada n N sea An = (n, n). Calcule nNAn.

7. Para cada n N sea An =1

n, 2 1

n

. Calcule

nN An.

8. Para cada n N sea An =

1

n, 2 1

n

. Calcule

nN An.

9. Para cada n N sea An = {x R : 1n

< x 0 existe > 0 tal que si (x, x0) < , entonces (f(x), f(x0)) < .

Si la funcion f es continua en cada punto de X decimos simplemente quef es continua.

Los siguientes son ejemplos tpicos de funciones continuas.

1.2.2 EJEMPLOS.

1. Si (X, d) es un espacio metrico entonces IdX : X X, la funcionidentica de X, es continua. En efecto, si x0 X y si es un nume-ro real positivo y consideramos = entonces d(x, x0) < implicad(IdX(x), IdX(x0)) < .

2. Si (X, ) y (Y, ) son espacios metricos y si k Y es un punto arbi-trario pero fijo de Y, entonces la funcion constante f : X Y devalor k es una funcion continua. Para demostrar esto basta observar

que si x0 X, si > 0 y si es un numero real arbitrario, entonces(x, x0) < implica (f(x), f(x0)) = (k, k) = 0 < .

El siguiente resultado muestra la continuidad de una funcion poco mencio-nada hasta ahora.


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32 CAPITULO 1. ESPACIOS METRICOS

1.2.3 Proposicion. Sean (X, d) un espacio metrico y A X, A = . Lafuncion de X en los numeros reales definida por x d(x, A) es continua.Demostracion. Sean x0 X y > 0. Si d(x, x0) < , entonces para cadaa A se tiene que

d(x, A) d(x, a) d(x, x0) + d(x0, a)< + d(x0, a).

Esto significa que d(x, A) < d(x0, a) para todo a A. Entonces d(x, A)

d(x0, A), es decir

d(x, A) d(x0, A) .De la misma forma se obtiene que

d(x0, A) d(x, A) ,

luego

|d(x, A) d(x0, A)| .Esto completa la demostracion.

Ejercicios 1.2

1. Demuestre que si X tiene la metrica discreta y Y es un espacio metricocualquiera, entonces cualquier funcion definida de X en Y es continua.Que ocurre si Y es un espacio seudometrico?

2. Demuestre que si X es un espacio metrico cualquiera y Y tiene laseudometrica definida por d(w, z) = 0 para todo w y todo z en Y,entonces cualquier funcion definida de X en Y es continua. Que ocurre

si X es un espacio seudometrico?

3. De un ejemplo de dos metricas d1 y d2, definidas sobre un mismo con-junto X, de tal manera que la funcion identica de (X, d1) en (X, d2) noresulte continua.


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1.3. TOPOLOGIA DE UN ESPACIO METRICO 33

4. Suponga que d1 y d2 son dos metricas definidas sobre un mismo conjun-

to X. Si la aplicacion identica definida de (X, d1) en (X, d2) es continua,que puede afirmar de d1 y d2? Demuestre su conjetura.

5. Dos espacios metricos (X, d) y (Y, m) son isometricos si existe unafuncion biyectiva f : X Y tal que

d(x1, x2) = m(f(x1), f(x2))

para cada x1 y cada x2 en X. La funcion f se llama una isometra.

a) Pruebe que si f : X Y es una isometra, entonces f y f1 sonfunciones continuas.

b) Pruebe que el intervalo [0, 1] es isometrico a cualquier otro inter-valo cerrado de R de la misma longitud.

c) Pruebe que si R y R2 tienen cada uno su metrica usual, entoncesno son isometricos.

d) Pruebe que si X y Y tienen cada uno la metrica discreta entoncesX y Y son isometricos si y solo si tienen la misma cardinalidad.

e) Defina una metrica en el intervalo abierto (0, 1), de tal maneraque el espacio metrico resultante sea isometrico a R con la metricausual.

1.3. Topologa de un espacio metrico

1.3.1 Definicion. Sean (X, d) un espacio metrico, x X y > 0. Elconjunto B(x, ) = {y X : d(x, y) < } se llama la bola abierta centradaen x con radio . El conjunto B[x, ] = {y X : d(x, y) } se llama labola cerrada centrada en x con radio .

Notese que en R, la bola abierta centrada en un numero real x con radio

es el intervalo abierto (x , x + ).La siguiente figura muestra la bola abierta de radio 1 centrada en el origen,para cada una de las metricas , 1 y 2 definidas sobre R

2 en los numerales2, 3 y 4 de los ejemplos 1.1.2..


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Por su parte, la bola abierta de radio centrada en una funcion f : R Rque pertenezca al espacio metrico des-crito en el numeral 5. de los ejemplos1.1.2., esta formada por las funcionesacotadas que tienen su grafica conte-nida en la franja que se muestra en lafigura.

Si X es un espacio discreto, es decir si en X consideramos la metrica discreta,entonces la bola abierta de radio > 0 centrada en un punto x X se reducea {x} si 1 y es todo el conjunto X si > 1.Si X es el Espacio Metrico de Sierpinski definido en el numeral 8 de 1.1.2.entonces la bola de radio 0 < 1 centrada en cualquier punto x X sereduce a {x}.

Una de las propiedades mas bonitas y relevantes de las bolas en un espaciometrico se enuncia en el siguiente resultado:

1.3.2 Proposicion. Si (X, d) es un espacio metrico, si a y b son elementosde X, si y son numeros reales positivos y si x B(a, )B(b, ) entoncesexiste > 0 tal que B(x, ) B(a, ) B(b, ).


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Para probar esta proposicion basta considerar = mn{d(a, x), d(x, b)}y utilizar la desigualdad triangular.

En los espacios metricos tenemos la posibilidad de hablar de cercana.Decir que un punto esta tan cerca de otro como queramos, significa que lospuntos estan a una distancia menor que un numero positivo que hemos fijadocon anterioridad. En otras palabras, si para nosotros estar suficientementecerca de un punto a significa estar a una distancia menor que un ciertonumero > 0, entonces los vecinos de a o los puntos suficientementecercanos a a son precisamente los elementos del conjunto B(a, ). Estasconsideraciones sugieren la siguiente definicion:

1.3.3 Definicion. Sean X un espacio metrico y x X. Un subconjunto Vde X es una vecindad de x si existe > 0 tal que B(x, ) V. DenotamosporV(x) al conjunto de todas las vecindades del punto x.

1.3.4 EJEMPLOS.

1. En los numeros reales el intervalo [1, +) es una vecindad de 3 (enrealidad es una vecindad de cualquier real mayor que 1); pero no es unavecindad de 1.

2. El conjunto {x R : |x| > 2} es una vecindad de 3 enR.


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3. La bola cerradaB[x, 1] es una vecindad de x = (0, 0) enR2.

4. El conjunto A = {(x, y) : y < x} R2 es una vecindad de cada unosus puntos.

5. El conjunto {f : |f(x)| < 2 para cada x R} es una vecindad dela funcion arctan x en el espacio de funciones acotadas definido en elnumeral 5. de 1.1.2..

Los items 2 y 4 de los ejemplos anteriores muestran conjuntos muy especialesen los que se basara todo nuestro estudio en topologa. Tienen en comun lacaracterstica de ser vecindades de cada uno de sus puntos. De estos conjuntos

diremos que son conjuntos abiertos.

1.3.5 Definicion. Un subconjunto A de un espacio metrico X es un con-junto abierto en X si A es vecindad de cada uno de sus puntos.

Consideremos un espacio metrico X. De la definicion se infieren de manerainmediata los siguientes hechos:

1. El conjunto vaco y el conjunto X son conjuntos abiertos.

2. Si A y B son conjuntos abiertos en X entonces A B es un conjuntoabierto en X.

3. La union de cualquier familia de conjuntos abiertos en X es un conjuntoabierto en X.

Notese que en un espacio metrico X las bolas abiertas son conjuntos abiertosy que cada conjunto abierto se puede expresar como una union de bolas abier-tas. Decimos entonces que las bolas abiertas generan los conjuntos abiertos.Mas adelante expresaremos este hecho diciendo que las bolas abiertas ge-neran la topologa del espacio X o que son una base para la topologa deX.

La siguiente definicion establece un criterio que nos permite saber cuando,desde el punto de vista puramente topologico, vale la pena distinguir entredos metricas aparentemente distintas.


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1.3.6 Definicion. Dos metricas sobre un conjunto X son equivalentes sigeneran los mismos conjuntos abiertos.

1.3.7 EJEMPLOS.

1. Hemos visto que siX es un conjunto contable entonces los subconjuntosunitarios de X son bolas abiertas, tanto si consideramos la metricadiscreta sobre X, como si consideramos la metrica de Sierpinski. Estasdos metricas generan entonces los mismos conjuntos abiertos enX. Enotras palabras, estas metricas son equivalentes.

2. Los numerales 2, 3 y 4 de 1.1.2. establecen metricas equivalentes sobreR2.

3. Si (X, d) es un espacio metrico, la funcion d1 : X X R defi-nida por d1(x, y) = mn{d(x, y), 1} es una metrica acotada sobre Xequivalente a la metrica d.

Estudiaremos otros conceptos topologicos en espacios metricos a lo largo delos siguientes captulos.

Ejercicios 1.3

1. Sea X un espacio metrico. Demuestre los siguientes hechos:

a) El conjunto vaco y el conjunto X son conjuntos abiertos.b) Si A y B son conjuntos abiertos en Xentonces AB es un conjunto

abierto en X.

c) La union de cualquier familia de conjuntos abiertos en X es unconjunto abierto en X.

d) Todo intervalo abierto de R es un conjunto abierto.

2. Sea X un espacio metrico. Decimos que un subconjunto F de X escerrado en X si su complemento es abierto. Pruebe las siguientes afir-maciones:


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a) Los subconjuntos de X que tienen exactamente un punto son

cerrados.b) Si A y B son conjuntos cerrados en X entonces A B es un

conjunto cerrado en X.

c) La interseccion de cualquier familia de conjuntos cerrados en Xes un conjunto cerrado en X.

d) Si X tiene la metrica discreta entonces todo subconjunto de X esabierto y cerrado.

e) Todo intervalo cerrado de R es un conjunto cerrado.

3. Sean X y Y espacios metricos y sea f : X

Y una funcion. Demues-

tre que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) f es continua.

b) Si A es un subconjunto abierto de Y entonces f1(A) es un sub-conjunto abierto de X.

c) Si K es un subconjunto cerrado de Y entonces f1(K) es un sub-conjunto cerrado de X.

4. Muestre que los numerales 2, 3 y 4 de 1.1.2. establecen metricas equi-valentes sobre R2.

5. Sea (X, d) es un espacio metrico. Muestre que la funcion d1 : XX R definida por d1(x, y) = mn{d(x, y), 1} es una metrica acotada sobreX equivalente a la metrica d.


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Captulo2Espacios Topologicos

La distancia definida en un espacio metrico da lugar al concepto de bolaabierta, que a su vez permite hablar de las vecindades de un punto y de losconjuntos abiertos en el espacio. En este captulo generalizamos estas ideas aotros conjuntos en los que no necesariamente se tiene la nocion de distancia.

2.1. Bases para una topologa - Conjuntosabiertos

Hemos visto que en un espacio metrico (X, d) las bolas abiertas satisfacenlas siguientes propiedades:

1.

xX,>0 B(x, ) = X.

2. Si a, b X, si , > 0 y si x B(a, ) B(b, ) entonces existe > 0tal que B(x, ) B(a, ) B(b, ).

Con estas propiedades en mente y teniendo en cuenta que la coleccion de bolasabiertas en un espacio metrico da lugar a conceptos tan importantes como elconcepto de vecindad y el de conjunto abierto que nos permiten estudiar elespacio metrico a profundidad, formulamos la siguiente definicion:

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40 CAPITULO 2. ESPACIOS TOPOLOGICOS

2.1.1 Definicion. SeaX un conjunto. Una coleccionB

de subconjuntos deX es una base para una topologa sobre X si se satisfacen las siguientescondiciones:

1.

BB B = X.

2. Si B1, B2 B y x B1 B2 entonces existe C B tal que x C yC B1 B2.

La primera condicion nos dice que todo elemento de X debe pertenecer aun elemento de B y la segunda que la interseccion de dos elementos de lacoleccion

Bse puede expresar como una union de elementos de la misma

coleccion.

2.1.2 EJEMPLOS.

1. La coleccion de todas las bolas abiertas en un espacio metrico X es unabase para una topologa sobre X.

2. La coleccion de todos los intervalos de la forma [a, b) cona yb numerosreales y a < b es una base para una topologa sobreR.

Al igual que sucede en los espacios metricos, el concepto de base para unatopologa da lugar al concepto de conjunto abierto.

2.1.3 Definicion. Sean X un conjunto y B una base para una topologasobre X. Un subconjunto A de X es un conjunto abierto en X si es unionde una familia de elementos de B.

La coleccion de todos los conjuntos abiertos en X es la topologa sobre Xgenerada porB. Esta definicion justifica el termino base para una topologasobre X.

Notese que, al igual que en los espacios metricos, la topologa sobre X gene-rada por B tiene las siguientes propiedades:

1. El conjunto vaco y el conjunto X son conjuntos abiertos.


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2.1. BASES PARA UNA TOPOLOGIA - CONJUNTOSABIERTOS 41

2. Si A y B son conjuntos abiertos en X entonces A B es un conjuntoabierto en X.

3. La union de cualquier familia de conjuntos abiertos en X es un conjuntoabierto en X.

Ejercicios 2.1

1. Pruebe que la coleccion de todos los intervalos de la forma [a, b) con ay b numeros reales y a < b es una base para una topologa sobre R.

2. Pruebe que la coleccion de todos los rectangulos abiertos (es decir, sin

sus bordes) es una base para una topologa sobre el plano.

3. Para cada entero positivo n, sea Sn = {n, n + 1,...}. Muestre que lacoleccion de todos los subconjuntos de N que contienen a algun Sn esuna base para una topologa sobre N.

4. Sean X un conjunto y Suna coleccion de subconjuntos de X. Sea B lacoleccion de todas las intersecciones finitas de elementos de S.a) Demuestre que la union de la coleccion B es X. (Sugerencia: Con-

sidere la interseccion de una familia vaca de elementos de S.)b) Pruebe que si A y B pertenecen a B y si x A B, entonces

existe C B tal que x C y C A B.Se ha demostrado que B es una base para una topologa sobre X. Lacoleccion Ses una sub-base para la topologa, que genera la base B.Los elementos de Sse dicen ser sub-basicos.

5. Considere la coleccion Sde conjuntos de la forma (, a) junto conlos conjuntos de la forma (b, ). Esta coleccion es una sub-base parauna topologa sobre R.

a) Describa la baseB

generada porS

.

b) Describa los conjuntos abiertos generados por B.6. Considere la coleccion Sde todas las lineas rectas en el plano.

a) Describa la base B generada por S.


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b) Describa los conjuntos abiertos generados por

B.

7. Sea Xun conjunto y B una base para una topologa sobre X. Demuestrecada una de las siguientes afirmaciones:

a) El conjunto vaco y el conjunto X son conjuntos abiertos.b) Si A y B son conjuntos abiertos en Xentonces AB es un conjunto

abierto en X.

c) La union de cualquier familia de conjuntos abiertos en X es unconjunto abierto en X.

2.2. Espacios topologicos

La coleccion de todos los conjuntos abiertos determinados por una base parauna topologa sobre un conjunto X, es la mayor base que genera la misma to-pologa sobre X. Con frecuencia tomaremos como punto de partida esta baseparticular para nuestro estudio. Trabajaremos con la siguiente definicion:

2.2.1 Definicion. SeaX un conjunto. Una coleccion de subconjuntos deX tal que

1. el conjunto vaco

y el conjunto X pertenecen a ,

2. si A, B entonces A B ,3. la uni on de cualquier familia de elementos de pertenece a

es una topologa sobre X. Los elementos de la coleccion se llaman con-juntos abiertos y la pareja (X, ), o simplemente X si no cabe duda sobrecual es la coleccion , se llama un espacio topologico.

2.2.2 EJEMPLOS.

1. Si X es un espacio metrico, la topologa generada por la coleccion de to-das las bolas abiertas es una topologa sobreX que se llama la topologametrica o la topologa generada por la metrica. Los espacios metricosson una importante clase de espacios topologicos.


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2.2. ESPACIOS TOPOLOGICOS 43

La topologa usual sobreR, y en general sobreRn, es la topologa gene-

rada por la metrica usual.Si la topologa sobre un espacio X esta generada por una metrica deci-mos que X es un espacio metrizable.

2. SeaX un conjunto cualquiera. La coleccion P(X) de todos los subcon-juntos deX es una topologa sobreX que recibe el nombre de topologadiscreta. El espacio (X, P(X)) se llama espacio discreto. Notese queesta topologa esta generada por la metrica discreta sobre X.

3. Sea X un conjunto cualquiera. La coleccion {, X} es una topologasobre X que se llama topologa trivial o topologa grosera. El espacio

X con esta topologa es un espacio trivial o espacio grosero.4. La coleccion = {, {0}, {0, 1}} es la topologa de Sierpinski so-

bre el conjunto X = {0, 1}. El espacio (X, ) se llama el espacio deSierpinski.

5. La coleccion {(a, +) : a R} {R} es una topologa sobreR que seacostumbra llamar la topologa de las colas a derecha. Por su parte, lacoleccion {(, a) : a R} {R} es tambien una topologa sobre Rque se llama la topologa de las colas a izquierda.

6. SeaX un conjunto infinito. La coleccion

{A X : Ac es finito }{}es una topologa sobre X que recibe el nombre de topologa de los com-plementos finitos.

7. SeaX un conjunto. La coleccion

{A X : Ac es contable }{}es una topologa sobre X que recibe el nombre de topologa de los com-plementos contables.

8. Un subconjunto A del plano R2 se llama radialmente abierto si por cadauno de sus puntos existe un segmento abierto de linea recta en cadadireccion, que contiene al punto y esta contenido en el conjunto. Esinmediato que la coleccion de todos los conjuntos radialmente abiertoses una topologa sobreR2 que se llama topologa radial. El plano R2

junto con esta topologa es el plano radial.


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9. SeaX un conjunto totalmente ordenado por la relacion


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2.2. ESPACIOS TOPOLOGICOS 45

1. Recordemos la metrica del taxista 1 definida sobreR2 por

1((x1, y1), (x2, y2)) = |x1 x2| + |y1 y2|.Si (x1, y1) R2 y > 0 entonces

{(x, y) : |x x1| + |y y1| < } {(x, y) :

(x x1)2 + (y y1)2 < }.

Esto implica que la topologa usualsobre R2 es menos fina que la to-

pologa generada por la metrica deltaxista.

Ademas se tiene que

(x, y) :(x x1)2 + (y y1)2 0 las vecindades basicas dez = (x, y) seran las bolas abiertas usuales centradas en z con radiomenor o igual que y y si y = 0, las vecindades basicas de z = (x, y)son los conjuntos de la forma {z} A donde A es una bola abiertacontenida en tangente al eje real en z.

El espacio topologico que se obtiene recibe el nombre de Plano de Moore.

3.Para cada punto z del plano definimoslas vecindades basicas de z como losconjuntos de la forma {z} A don-de A es una bola abierta usual, cen-trada en z, de la cual se ha removidoun numero finito de segmentos de li-nea que pasan por z.

El espacio topologico que se obtiene se llama plano ranurado.

4. Para cada numero real x distinto de 0 definimos B(x) como los inter-valos abiertos centrados en x mientras que los elementos deB(0) seranlos conjuntos de la forma (, n) (, ) (n, ) donde n N y > 0.


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2.3. VECINDADES 53

5. Consideremos el conjunto RI de todas las funciones definidas del in-

tervalo I = [0, 1] en R. Definimos las vecindades basicas de f RIcomo los conjuntos de la forma U(f ,F, ) = {g RI : |g(x) f(x)| 0.

Ejercicios 2.3

1. Suponga que X es un conjunto dotado con la topologa discreta. De-termine todas las vecindades de cada punto x X.

2. Sea X un conjunto dotado con la topologa grosera y sea x X. De-termine todas las vecindades de x.

3. Considere el conjunto de los numeros naturales con la topologa de lascolas a la derecha. Determine todas las vecindades de cada numeronatural.

4. Considere el conjunto de los numeros naturales con la topologa de loscomplementos finitos. Determine todas las vecindades de cada numeronatural.

5. Suponga que 1 y 2 son dos topologas sobre el mismo conjunto X yque 1 es mas fina que 2. Compare las colecciones de vecindades de unmismo punto en los dos espacios topologicos.

6. Sea X un espacio topologico y suponga que para cada x X la colec-cion B(x) es un sistema fundamental de vecindades de x. Pruebe lossiguientes hechos:

a) Si V B(x), entonces x V.b) Si V1, V2

B(x), entonces existe V3

B(x) tal que V3

V1

V2.

c) Si V B(x), existe U B(x) tal que si y U entonces W Vpara algun W B(y).

d) Un subconjunto A de X es abierto si y solo si contiene una vecin-dad basica de cada uno de sus puntos.


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7. Sea =

{(x, y)

R2 : y

0

}. Para cada z = (x, y)

considere

la coleccion B(z) definida de la siguiente manera: Si y > 0 B(z) es lacoleccion de todas las bolas abiertas usuales centradas en z con radiomenor o igual que y y si y = 0, V(z) es la coleccion de todos losconjuntos de la forma {z}A donde A es una bola abierta contenida en tangente al eje real en z. Demuestre que estas colecciones satisfacenlas hipotesis de la Proposicion 2.3.6.

8. Para cada punto z del plano definimos B(z) como la coleccion de todoslos conjuntos de la forma {z} A donde A es una bola abierta usual,centrada en z, de la cual se ha removido un numero finito de segmentosde linea que pasan por z. Demuestre que estas colecciones satisfacenlas hipotesis de la Proposicion 2.3.6.

9. Para cada numero real x distinto de 0 definimos B(x) como la coleccionde todos los intervalos abiertos centrados en x mientras que los elemen-tos de B(0) seran los conjuntos de la forma (, n)(, )(n, )donde n N y > 0. Demuestre que estas colecciones satisfacen lashipotesis de la Proposicion 2.3.6.

10. Consideremos el conjunto RI de todas las funciones definidas del in-tervalo I = [0, 1] en R. Para cada f RI definimos B(f) como lacoleccion de todos los conjuntos de la forma U(f ,F, ) =

{g

RI :

|g(x) f(x)| < , para cada x F} donde F es un subconjunto finitode I y > 0. Demuestre que estas colecciones satisfacen las hipotesisde la Proposicion 2.3.6.

2.4. Conjuntos cerrados

Ligado ntimamente con el concepto de conjunto abierto en un espacio to-pologico, esta el concepto de conjunto cerrado.

2.4.1 Definicion. SeaX un espacio topologico. Un subconjunto F de X esun conjunto cerrado en X si su complemento, Fc, es un conjunto abierto.

Hacemos notar que el conjunto vaco y el mismo conjunto X son a la vezabiertos y cerrados y que un subconjunto de X puede no ser abierto nicerrado como sucede por ejemplo con Q en R con la topologa usual.


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2.4. CONJUNTOS CERRADOS 55

La siguiente proposicion establece algunas de las mas importantes propieda-

des de los conjuntos cerrados.

2.4.2 Proposicion. SeaX un espacio topologico.

1. y X son conjuntos cerrados.2. Si F yK son conjuntos cerrados entoncesFK es un conjunto cerrado.3. Si C es una familia de conjuntos cerrados entoncesFC F es un con-

junto cerrado.

Demostracion.

1. Que y X son conjuntos cerrados es una consecuencia inmediata de ladefinicion.

2. Por las Leyes de De Morgan, (F K)c = Fc Kc que es un conjuntoabierto porque as lo son Fc y Kc.

3. Nuevamente por las Leyes de De Morgan,

FC Fc

=

FC Fc que

es tambien un conjunto abierto.

La union arbitraria de conjuntos cerrados no siempre es un conjunto cerradocomo lo muestra el siguiente ejemplo.

2.4.3 EJEMPLO. SeaR el espacio de los numeros reales con la topologa

usual. La coleccion de conjuntos de la forma

1, 1 1

n

donde n N, es

una familia de conjuntos cerrados cuya union es el intervalo [1, 1) que noes un conjunto cerrado.

Ejercicios 2.41. Determine cuales de los siguientes subconjuntos de R son cerrados jus-

tificando completamente su respuesta.

a) [1, 1).


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b) [1,

).

c)1

n: n N.

d)

1

n: n N

{0}.

e) Z.

f) Q.

g) R Z.

h) RQ.

2. Pruebe que en cualquier espacio metrico (X, d), cada bola cerradaB[x, ] = {y X : d(x, y) } es un conjunto cerrado.

3. Sean 1 y 2 dos topologas definidas sobre un mismo conjunto X. Si1 es mas fina que 2, que relacion hay entre la coleccion de conjuntoscerrados de (X, 1) y la coleccion de conjuntos cerrados de (X, 2)?Como es natural, justifique cuidadosamente su respuesta.

4. Sean X y Y espacios topologicos. Una funcion f : X Y es cerradasi aplica conjuntos cerrados en conjuntos cerrados. Esto es, si para cadaK cerrado en X se tiene que f(K) es cerrado en Y.

a) Sean la topologa usual sobre R y la topologa de complementosfinitos sobre Z. De un ejemplo de una funcion cerrada definida de(R, ) en (Z, ).

b) Muestre con un ejemplo que no toda funcion cerrada definida deun espacio metrico en otro es continua.

c) Muestre con un ejemplo que no toda funcion continua definida deun espacio metrico en otro es cerrada.

5. Sean X un espacio topologico y

Kuna familia de subconjuntos de X

que satisface las siguientes condiciones:

a) y X pertenecen a K.b) Si F, K K entonces F K K.c) Si C K, entonces FC F K.


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2.5. ADHERENCIA DE UN CONJUNTO 57

Demuestre que la coleccion de todos los complementos de elementos

de K es una topologa sobre X y que K es la coleccion de conjuntoscerrados del espacio (X, ).

6. Sea X un espacio topologico. Una familia K de subconjuntos cerradosde Xes una base para los conjuntos cerrados en Xsi cualquier conjuntocerrado es interseccion de elementos de K.a) Demuestre que K es una base para los conjuntos cerrados en X si y

solo si la coleccion B = {Kc : K K}, de todos los complementosde elementos de K es una base para la topologa de X.

b) Es la coleccion de todos los intervalos cerrados en

Runa basepara los conjuntos cerrados en Rusual?

2.5. Adherencia de un conjunto

En los conjuntos cerrados se nota un hecho particular. Si un punto est a fuerade un conjunto cerrado, intuitivamente se sabe que el punto esta realmentemuy lejos del conjunto. Esto se sabe porque existe toda una vecindad delpunto contenida en el complemento del conjunto. En otras palabras, si unconjunto es cerrado no hay puntos adheridos a el que se encuentren fuera de

el. Acudiendo nuevamente a la intuicion, diriamos que un punto esta adhe-rido a un conjunto si con seguridad encontraremos puntos del conjunto tancerca como queramos del punto. Esta idea que surge de manera natural denuestra propia experiencia da lugar a la siguiente definicion.

2.5.1 Definicion. Sean X un espacio topologico y A un subconjunto de X.Un punto x X es adherente a A si toda vecindad de x contiene puntosde A. El conjunto de todos los puntos adherentes a A se denota por A y sellama la adherencia de A.

2.5.2 EJEMPLOS.

1. Consideremos A =

1n

: n N

como subconjunto deR. El numero

0 es adherente a A si sobreR consideramos la topologa usual, pero 0


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NO es adherente a A si sobreR consideramos la topologa discreta o

la topologa generada por los intervalos de la forma [a, b) con a < b.Notese que cada elemento deA es adherente aA. Dado n N, cualquiervecindad de

1n

contiene por lo menos a1n

.

2. En el Plano de Moore, cada punto de la forma (a, 0) es adherente alconjunto {(x, y) : y > 0}.

3. Si R2 tiene la topologa de los complementos finitos, el punto (0, 0) esadherente al conjunto A = {(x, y) : y > x2 + 1}. Este punto NO esadherente a A si estamos considerando la topologa usual sobreR2.

4. En R con la topologa usual la adherencia del intervalo (a, b) es el inter-valo [a, b]. Sin embargo no en todo espacio metrico la adherencia de labola abierta B(x, ) es la bola cerrada B[x, ]. Si X es un conjunto conmas de un punto y consideramos la metrica discreta sobreX, entoncespara x X, B(x, 1) = {x} y B[x, 1] = X.

5. La adherencia del conjunto de los numeros racionales Q en R es R.En este caso decimos que el conjunto Q es denso en R. En general,decimos que un subconjunto A de un espacio topologico X es denso enX si A = X.

El comentario final del primer ejemplo nos hace reflexionar sobre un hechocompletamente natural:

Si X es un espacio topologico y A X, entonces A A.Ademas resulta tambien inmediato que si A B entonces A B.El siguiente resultado nos permite hacer otra presentacion de la adherenciade un conjunto.

2.5.3 Proposicion. Si X un espacio topologico y A X entonces A ={K X : K es cerrado y A K}.Demostracion.

1. Si x A y K es un subconjunto cerrado de X que contiene a A entoncesx K, pues de lo contrario existira una vecindad V de x con V Kc,lo cual implicara que V no contiene puntos de A. Entonces x {K X : K es cerrado y A K}.


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2. Por otro lado, si x /

A existe una vecindad abierta V de x sin puntos

en comun con A, entonces Vc es un conjunto cerrado tal que A Vcy x / Vc. Esto significa que x / {K X : K es cerrado y A K}.

Algunas de las mas importantes propiedades de la adherencia se resumen enel siguiente resultado.

2.5.4 Proposicion. SeaX un espacio topologico.

1. A = A para cada A X.

2. A B = A B para cada A, B X.3. A X es cerrado si y solo si A = A.

Demostracion.

1. Por ser interseccion de conjuntos cerrados, A es un conjunto cerrado

que contiene a A. Entonces A A. La otra inclusion es inmediata.2. El conjunto A B es cerrado y contiene a A B, entonces contiene

tambien a A

B, entonces A

B

A

B. Por otro lado, puesto que

A AB y B AB se tiene que A A B y B A B, entoncesA B A B.

3. Si A es cerrado, A A, lo que implica A = A. Por otra parte, si A = Ay x / A existe V V(x) tal que V A = . Entonces V Ac, dedonde Ac es abierto y A es cerrado.

Cuando se tiene un espacio topologico X automaticamente se tiene una fun-cion, que se llama operacion de adherencia de Kuratowski, de P(X) en P(X)que asigna a cada subconjunto A de X su adherencia A. De manera recpro-ca, dado un conjunto X y una funcion A A : P(X) P(X) con laspropiedades adecuadas, se puede encontrar una topologa sobre X en la quela adherencia de cada subconjunto de X esta dada por la funcion. Este es elresultado que se presenta en la siguiente proposicion.


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2.5.5 Proposicion. Sea X un conjunto y supongamos que se ha definido

una operacion A A : P(X) P(X) tal que1. A A para cada A X.

2. A = A para cada A X.

3. A B = A B para cada A, B X.

4. = .

Existe una topologa sobre X cuya operacion de adherencia es precisamente

A A.Demostracion. Como nuestro deseo es que la operacion dada sea la operacionde adherencia en el espacio topologico que formemos, comenzaremos por darla coleccion de los que esperamos sean conjuntos cerrados. Sea F= {F X : F = F}. Veamos que la coleccion = {A : Ac F} es la topologa sobreX que estamos buscando.

1. Puesto que F, X . Por otro lado, X X, luego X = X, dedonde X F, por tanto .

2. Si A, B se tiene(A B)c = Ac Bc

= Ac Bc= Ac Bc= (A B)c,

entonces (A B)c Fy A B .

3. Veamos ahora que la union de cualquier coleccion de elementos de pertenece a . En primer lugar, notese que si A B entonces B =A B, luego B = A B = A B, de donde A B. As se tiene quesi C Fentonces CC C C para cada C C, de donde CC C C = C para cada C C, lo cual implica que CC C CC C. Estosignifica que

CC C F.


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Si

Aes una familia de subconjuntos de X contenida en se tiene

AA

A

c=AA

Ac

=AA

Ac

=AA

Ac

= AAAc

,

entonces

AA Ac Fy AA A .

Hasta aqu hemos demostrado que es una topologa sobre X. Veamos que laoperacion de adherencia en este espacio topologico es precisamente la opera-cion dada inicialmente.

Sea A X. Puesto que A = A, se tiene que A es un conjunto cerrado. Si Fes un conjunto cerrado tal que A F, entonces

F = F

A

= F A,

luego A F = F. Esto implica que la adherencia de A en X es A.

2.5.6 EJEMPLOS.

1. SeaX cualquier conjunto. Diremos que para cada A X, A = A. Eneste caso cada subconjunto deX sera un conjunto cerrado y la topologa

que se genera a partir de esta operacion de adherencia es la topologadiscreta.

2. Sea X un conjunto cualquiera y definamos ahora A = X para todoA X, A = y = . En este caso encontramos la topologa trivial ogrosera sobre X.


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3. Si X es un conjunto infinito y para cada A

X definimos

A =

A si A es finito

X si A es infinito,

obtenemos la topologa de complementos finitos sobreX.

4. Si para cadaA R definimos

A =

(, sup A] si A es no vaco y esta acotadosuperiormente

R si A es no vaco y no esta acotadosuperiormente

si A = ,

obtenemos la topologa de colas a derecha sobreR.

5. SeanX un conjunto y B un subconjunto fijo de X. Para cada A Xdefinimos

A =

A B si A =

si A =

.

La funcion A A es una operacion de adherencia que da lugar auna topologa sobre X para la cual los conjuntos cerrados son y lossubconjuntos de X que contienen a B.

Ejercicios 2.5

1. Consideremos A =

1n

: n N

como subconjunto de R. Pruebe que

el numero 0 es adherente a A si sobre R consideramos la topologa usual,pero NO si sobre R consideramos la topologa discreta o la topologagenerada por los intervalos de la forma [a, b) con a < b.

2. Pruebe que en el Plano de Moore, cada punto de la forma (a, 0) esadherente al conjunto {(x, y) : y > 0}.


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3. Pruebe que siR2 tiene la topologa de los complementos finitos, el punto

(0, 0) es adherente al conjunto A = {(x, y) : y > x2 + 1} y que estepunto NO es adherente a A si estamos considerando la topologa usualsobre R2.

4. Pruebe que enR con la topologa usual la adherencia del intervalo (a, b)es el intervalo [a, b].

5. Pruebe que la adherencia del conjunto de los numeros irracionales enR es R.

6. Es Q un conjunto denso en R con la topologa de los complementos

finitos?7. Es Q un conjunto denso en R con la topologa de las colas a la derecha?

8. Suponga que 1 y 2 son dos topologas sobre un mismo conjunto X yque 1 es mas fina que 2. Compare la adherencia de un subconjunto Ade X en (X, 1) con su adherencia en (X, 2).

9. Sea X cualquier conjunto. Diremos que para cada A X, A = A.Pruebe que la funcion A A es una operacion de adherencia.

10. Sea X un conjunto cualquiera y definamos A = X para todo A X,A

=

y

=

. Pruebe que la funcion A

A es una operacion de

adherencia.

11. Si X es un conjunto infinito y para cada A X definimos

A =

A si A es finito

X si A es infinito,

pruebe que la funcion A A es una operacion de adherencia.12. Si para cada A R definimos

A =

(, sup A] si A es no vaco y esta acotado

superiormente

R si A es no vaco y no esta acotado

superiormente

si A = ,


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pruebe que la funcion A

A es una operacion de adherencia.

13. Sean X un conjunto y B un subconjunto fijo de X. Para cada A Xdefinimos

A =

A B si A = si A = .

Pruebe que la funcion A A es una operacion de adherencia.

2.6. Puntos de acumulacion

El concepto que estudiaremos ahora permite tambien caracterizar los con-juntos cerrados en un espacio topologico.

2.6.1 Definicion. Sean X un espacio topologico y A un subconjunto de X.Un punto x X es un punto de acumulacion de A si para cada vecindadV de x se tiene V (A {x} = . El conjunto de todos los puntos deacumulacion de A se denota por A y se llama el derivado de A.

De la definicion se tieneA A

as como tambien queA = A A

y de esta ultima igualdad se obtiene el siguiente resultado.

2.6.2 Proposicion. Sea X un espacio topologico. Un subconjunto A de Xes cerrado si y solo si contiene todos sus puntos de acumulacion.

2.6.3 EJEMPLOS.

1. ConsideremosR con la topologa usual. Cada punto del conjunto A =1

n: n N

es adherente aA pero que ningun elemento deA es punto

de acumulacion deA. El unico punto de acumulacion de este conjuntoes 0.


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2.6. PUNTOS DE ACUMULACION 65

2. Si consideramos nuevamenteR con la topologa usual, entonces el con-

junto de puntos de acumulacion deZ es vaco, mientras que el conjuntode puntos de acumulacion deQ esR.

3. En el intervalo cerrado [0, 1] con la topologa usual, todo conjunto infi-nito tiene un punto de acumulacion. En efecto, sea A un subconjunto

infinito de [0, 1]. Si A

0,1

2

es un conjunto infinito, sean a1 = 0 y

b1 =1

2, de lo contrario sean a1 =

1

2y b1 = 1. Note que en cualquier

caso el intervalo [a1, b1] contiene un numero infinito de elementos de A.

Ahora bien, si Aa1, a1 + b12 es un conjunto infinito, sean a2 = a1 yb2 =

a1 + b12

, de lo contrario sean a2 =a1 + b1

2y b2 = b1. Nuevamente

tenemos que el intervalo [a2, b2] contiene un numero infinito de elemen-

tos de A. Ademas [a2, b2] [a1, b1] y |b2 a2| = 122

=1

4. Continuando

este proceso de manera inductiva, supongamos que se ha construido elintervalo [ak, bk] [ak1, bk1], que [ak, bk] contiene un numero infinitode elementos de A y que |bk ak| = 1

2k. Si A

ak,

ak + bk2

es un

conjunto infinito, sean ak+1 = ak y bk+1 =

ak + bk

2 , de lo contrario

sean ak+1 =ak + bk

2y bk+1 = bk. El intervalo [ak+1, bk+1] contiene un

numero infinito de elementos de A. Ademas [ak+1, bk+1] [ak, bk] y|bk+1 ak+1| = 1

2k+1.

Resumiendo, para cada n N con n > 2, se ha construido el intervalo[an, bn] que contiene un numero infinito de puntos de A y es tal que

[an, bn] [an1, bn1] y |bn an| = 12n

. Note que (an) es una sucesion

creciente, mientras que (bn) es decreciente. Sea = sup{an : n N}.Veamos que es un punto de acumulacion de A. Sea > 0. ExisteN N tal que

1

2N, +

1

2N

( , + ) y existe n > N + 1

tal que | an| < 12N+1

. Se tiene que [an, bn]

12N

, +1

2N

.


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En efecto, si x

[an, bn] entonces|an

x|

1

2ny se tiene:

|x | |x an| + |an | 0existe > 0 tal que d(x1, x2) < implica m(f(x1), f(x2)) < . Se dice que fes continua si es continua en cada punto x X.Una observacion cuidadosa nos muestra que la funcion f : X Y escontinua si y solo si para cada subconjunto abierto O de Y, el conjuntof1(O) es abierto en X.

Utilizaremos esta ultima propiedad para definir lo que es una funcion conti-nua entre dos espacios topologicos.

3.1.1 Definicion. SeanX yY espacios topologicos. Una funcionf : XY es continua si f1(O) es un conjunto abierto en X para cada conjunto

abierto O de Y.

Naturalmente tambien es posible definir lo que significa que la funcion f :X Y es continua en un punto x X.

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3.1. FUNCIONES CONTINUAS 77

3.1.2 Definicion. SeanX yY espacios topologicos. Una funcionf : X Y es continua en un punto x X si para cada vecindad V de f(x) en Yexiste una vecindad U de x en X tal que f(U) V.

De estas dos ultimas definiciones se concluye de manera inmediata que unafuncion f : X Y es continua si y solo si f es continua en x para cadax X.

3.1.3 EJEMPLOS.

1. Si f : X Y es una funcion constante de valor k, entonces f escontinua. En efecto, si O es un subconjunto abierto de Y entoncesf1(O) es X o , dependiendo de si k es o no un elemento de O. Encualquier caso f1(O) es abierto en X.

2. Si 1 y 2 son topologas definidas sobre un conjunto X y si 1 esmas fina que 2 (esto es 2 1), entonces la funcion identica idX :(X, 1) (X, 2) es continua. En caso contrario, es decir si existe unsubconjunto O de X que pertenece a 2 pero no a 1, entonces id

1X (O)

no es abierto en (X, 1). En este caso, aunque parezca sorprendente, lafuncion identica no es continua.

3. Si X es un espacio discreto, cualquier funcion con dominio X es con-tinua.

4. Si Y es un espacio grosero, es decir si los unicos subconjunto abiertosde Y son y el mismo Y, entonces toda funcion con codominio Y escontinua.

3.1.4 Observacion. Si(X, ) y(Y, ) son espacios topologicos, sif : X Y y si

Bes una base para la topologa de Y podemos hacer las siguientes

observaciones:

1. Si f es continua entonces f1(B) es abierto en X para cada B B.2. De manera recproca, si f1(B) es abierto en X para cada B B y

O es un subconjunto abierto de Y entonces O =

iI Bi para alguna


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78 CAPITULO 3. FUNCIONES CONTINUAS

familia

{Bi

}iI de elementos de

B, luego

f1(O) = f1(iI

Bi)

=iI

(f1Bi)

es abierto en X.

Las observaciones anteriores nos permiten concluir que una funcion f : X Y es continua si y solo si la aplicacion imagen recproca de f aplica elementos

basicos de la topologa de Y en subconjuntos abiertos de X.

3.1.5 EJEMPLO. Consideremos el intervalo [0, 1) con la topologa indu-cida de la topologa usual deR y denotemos con C la circunferencia en elplano complejo, con centro en el origen y radio 1. Definamos la funcionf : [0, 1) C por f(x) = e2ix.

Veamos que f es una funcion continua.

El conjunto formado por todos los segmentos abiertos de la circunferenciaes una base para la topologa de C. Si J es uno de tales segmentos y si Jno contiene al numero complejo 1, entonces f1(J) es un intervalo abiertode la forma (a, b) donde 0 < a < b < 1. Luego f1(J) es abierto en [0, 1).Por otra parte, si 1 J entonces f1(J) tiene la forma [0, a) (b, 1) donde0 < a < b < 1 que tambien es un conjunto abierto en [0, 1). Se concluye quef es continua.


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El siguiente resultado nos da algunos criterios que permiten decidir si una

funcion entre dos espacios topologicos es o no una funcion continua.

3.1.6 Teorema. Sean X y Y espacios topologicos y f : Y una funcion.Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. f es continua.

2. Si K es un subconjunto cerrado de Y, entonces f1(K) es un subcon-junto cerrado de X.

3. Si A X, entonces f(A) f(A).Demostracion.

1. = 2. Notese que (f1(K))c = f1(Kc). As, si K es cerrado en Y, Kc esabierto; y como f es continua, f1(Kc) es abierto en X, o lo que es lomismo, f1(K) es cerrado.

2. = 3. Sea A X. Se tiene que f1(f(A)) es un subconjunto cerrado de Xy A f1(f(A)), entonces A f1(f(A)) esto implica que f(A) f(A).

3. = 1. Sea O un subconjunto abierto de Y. Notese en primer lugar que

XX f1(O) f1(O).

Por otro lado, si x X f1(O), entonces f(x) f(X f1(O)),luego f(x) f(X f1(O)) lo cual es imposible si x f1(O); larazon de esta afirmacion es que x f1(O) implica que O es unavecindad de f(x) que claramente no tiene puntos en comun con f(Xf1(O)).

Hemos demostrado que

f1(O) XX f1(O).

Esto completa la prueba.


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El siguiente resultado es supremamente importante; ya que no solo facilita

gran cantidad de calculos, sino que, en estudios posteriores, permite presentara los espacios topologicos con las funciones continuas como una categora.

3.1.7 Teorema. Si f : X Y y g : Y Z son funciones continuasentonces la compuesta g f : X Z tambien es una funcion continua.Demostracion. Si O es un subconjunto abierto de Z, la continuidad de gimplica que g1(O) es abierto en Y; y como f es continua, f1(g1(O) es unsubconjunto abierto de X. La igualdad

(g f)1(O) = f1(g1(O)

concluye la prueba del teorema.

3.1.8 Observacion. Observe que si f : X Y es una funcion continua ysi A es un subespacio de X, entonces la restriccion f A de f a A tambienes una funcion continua. Ademas, si Y es un subespacio de Z entonces f :X Y es continua si y solo sif es continua cuando se le considera definidade X en Z.

Veamos ahora como es posible concluir que una funcion es continua si se sabeque sus restricciones a ciertos subespacios de su dominio son continuas.

3.1.9 Proposicion. Si {A} es cualquier familia de subconjuntos abier-tos de X cuya union es X, entonces una funcion f : X Y es continuasi y solo si su restriccion a cada A es continua.

Demostracion. Es inmediato que si f es continua, f A es continua paracada .De manera recproca, sea O un subconjunto abierto de Y. Para cada el conjunto f 1A (O) = f

1(O) A es abierto en A; pero como A esabierto en X, entonces f1(O) A tambien es abierto en X. Ahora bien,f1(O) =

f

1(O) A, luego f1(O) es abierto y f es continua.

Si los elementos de la coleccion {A} no son conjuntos abiertos, es posibleque no se pueda concluir la continuidad de la funcion f. Por ejemplo lafuncion f : R R definida por

f(x) =

0 si x Q1 si x / Q.


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no es continua en ningun punto de R aunque su restriccion a cada subconjunto

unitario de R s lo es.

La anterior observacion muestra que f puede no ser continua aunque cadaelemento de la familia {A} tenga la propiedad de ser un conjunto cerradoy f A sea continua para cada .Un resultado analogo al presentado en la proposicion 3.1.9 se tiene cuando{A} es una coleccion finita de subconjuntos cerrados de X.

3.1.10 Proposicion. Si {Ai}i=1,...,n es una familia finita de subconjuntoscerrados de X cuya union es X, entonces una funcion f : X Y escontinua si y solo si su restriccion a cada Ai es continua.

Demostracion. Nuevamente, si f : X Y es continua, entonces su restric-cion a cada Ai es continua.Sea K un subconjunto cerrado de Y. Para cada i = 1,...,n el conjuntof 1Ai (K) = f

1(K) Ai es cerrado en Ai; pero como Ai es cerrado enX, entonces f1(K) Ai tambien es cerrado en X. Ahora bien, f1(K) =

i=1,...,n f1(K) Ai, luego f1(K) es cerrado y f es continua.

La condicion de finitud de la familia {Ai}i=1,...,n dada en la proposicion an-terior se puede debilitar un poco si se tiene en cuenta la siguiente definici on.

3.1.11 Definicion. Una familia de subconjuntos de un espacio topologicoes localmente finita si cada punto del espacio tiene una vecindad que tienepuntos en comun con solo un numero finito de elementos de la familia.

3.1.12 EJEMPLO. La coleccion de todos los intervalos de la forma (n, n+1)con n N es una familia localmente finita de subconjuntos de R, mientrasque la coleccion de todos los intervalos abiertos enR no lo es.

Tenemos el siguiente resultado.

3.1.13 Proposicion. Si{A} es una familia localmente finita de subcon-juntos cerrados de X cuya union es X, entonces una funcion f : X Yes continua si y solo si su restriccion a cada A es continua.


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Demostracion. Como en los casos anteriores, si f es continua, f A es con-

tinua para cada .Recprocamente, sea x X y sean O una vecindad abierta de f(x) y Vuna vecindad abierta de x que tiene puntos en comun solo con un numerofinito de elementos de la familia {A}. Digamos que V Ai = parai = 1,...,n y que V A = si = i para cada i = 1,...,n.Dado i {1,...,n} consideremos Bi = V Ai. La coleccion {Bi}i=1,...,n esuna familia finita de subconjuntos cerrados de V cuya union es V y comola restriccion de f V a Bi es continua para cada i = 1,...,n, entonces laproposicion 3.1.10 garantiza que la funcion f V es continua. Esto garantizaque existe una vecindad abierta W en V tal que f V (W) O. Estacontenencia implica que f es continua en x porque W es una vecindad de xen X, ya que V es abierto en X y ademas f(W) = f V (W).Puesto que x fue escogido de manera arbitraria, se concluye que f es unafuncion continua.

Ejercicios 3.1

1. Demuestre que toda funcion definida de un espacio discreto X en cual-quier espacio Y es continua y ademas que si cada funcion con dominioX es continua, entonces X tiene la topologa discreta.

2. Demuestre que toda funcion definida de un X en un espacio Y contopologa grosera es continua y que si cada funcion con codominio Yes continua, entonces Y tiene la topologa grosera.

3. Sea A un subconjunto de un conjunto X. La funcion caracterstica deA, A : X R, se define por

A(x) =

1 si x A0 si x / A.

Demuestre que si X es un espacio topologico y A X, entonces lafuncion caracterstica de A es continua si y solo si A es abierto y cerradoen X.

4. Demuestre que si f y g son funciones continuas definidas de un espacioX en R, entonces el conjunto {x X : f(x) = g(x)} es cerrado en X.


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5. Utilice el ejercicio anterior para justificar la siguiente afirmacion: Si

dos funciones continuas definidas de un espacio X en R coinciden enun subconjunto denso de X, coinciden en todo X.

6. Demuestre que si f : R R es una funcion continua y si f(a) < f(b)entonces para cada y [f(a), f(b)] existe x entre a y b tal que f(x) = y.

7. Utilice el ejercicio anterior para probar que toda funcion continua de-finida de R en R aplica intervalos en intervalos.

8. De un ejemplo de una funcion definida de R en R que aplique intervalosen intervalos y no sea una funcion continua.

9. Sea f : X Y una funcion continua. Determine cuales de las si-guientes afirmaciones son verdaderas y cuales son falsas, justificandoen cada caso su respuesta con una demostracion o un contraejemplo.

a) Si A X y x A, entonces f(x) f(A).b) Si A X y x A, entonces f(x) f(A).c) Si A X y x A, entonces f(x) (f(A)).

10. Sean X un espacio topologico y (xn)nN una sucesion en X (formal-

mente, una sucesion en X es una funcion de N en X). Decimos que(xn)nN converge a un punto x X si y solo si para toda vecindad Vde x existe N N tal que xn V para cada n N.

a) Demuestre que la sucesion

1 1

n

nN

converge a 1 en R con la

topologa usual; pero que no converge si sobre R consideramos latopologa generada por los intervalos de la forma [a, b).

b) Demuestre que si X y Y son espacios metricos, entonces una fun-cion f : X Y es continua si y solo si para cada sucesion(xn)nN que converge a un punto x X, la sucesion (f(xn))nNconverge a f(x) en Y.

c) Sean X y Y espacios topologicos. Pruebe que si f : X Y escontinua, entonces para cada sucesion (xn)nN que converge a unpunto x X, la sucesion (f(xn))nN converge a f(x) en Y.


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3.2. Homeomorfismos e inmersiones

Consideremos la funcion f : R (1, 1) definida por f(x) = x1 + |x| . La

funcion f es continua, uno a uno y sobreyectiva, ademas su inversa, definida

por f1(t) =t

1 t , tambien es una funcion continua. Esta funcion f conestas caractersticas nos permite pasar del espacio topologico R al espaciotopologico (1, 1) sin perder informacion alguna. En otras palabras, gracias ala funcion f, conocemos la topologa de uno de los espacios una vez conocemosla topologa del otro.

En el fondo, aunque los dos espacios son en apariencia distintos, son el mismo

espacio. Los conjuntos abiertos, cerrados, las adherencias, los interiores o lospuntos de acumulacion en uno de los espacios tienen su contraparte en elotro y la funcion f es el puente para pasar de uno de los espacios al otro.Diremos que R y el intervalo (1, 1) son homeomorfos y que la funcion f esun homeomorfismo.

En general tenemos la siguiente definicion.

3.2.1 Definicion. Sean X y Y dos espacios topologicos. Una funcionf : X Y es un homeomorfismo si f es continua, uno a uno y so-breyectiva y si ademas f1 tambien es una funcion continua.

Si existe un homeomorfismo f : X Y decimos que los espacios X y Yson homeomorfos.

3.2.2 EJEMPLO. Si f : R R es una funcion sobreyectiva y estricta-mente creciente (esto es, si x < y implica f(x) < f(y)), entonces f es unhomeomorfismo. En efecto, f es uno a uno por ser estrictamente creciente.Ademas, si w < z se tiene que f1(w) < f1(z). Sean a < b. Se tiene

x f1(a, b) f(x) (a, b)

a < f(x) < b

f1(a) < x < f1(b) x (f1(a), f1(b)),

luego f1(a, b) = (f1(a), f1(b)). Esto prueba que f es continua. De lamisma forma se prueba que f1 es una funcion continua.


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3.2. HOMEOMORFISMOS E INMERSIONES 85

Es inmediato que una funcion continua f : X

Y es un homeomorfismo

si y solo si existe una funcion continua g : Y X tal que g f =idX yf g =idY, donde idX y idY son las funciones identidad de X y Y, respecti-vamente.

Notese que la condicion de que f1 sea continua es equivalente a afirmar quef es una funcion abierta, esto es, que aplica conjuntos abiertos en conjun-tos abiertos, o a afirmar que f es una funcion cerrada, es decir, que aplicaconjuntos cerrados en conjuntos cerrados.

En resumen, una funcion f : X Y es un homeomorfismo si es uno a uno,sobre, continua y abierta (o cerrada).

Con esta observacion en mente resulta ser un facil ejercicio demostrar elsiguiente resultado.

3.2.3 Proposicion. Si X y Y son espacios topologicos y f : X Y esuna funcion uno a uno y sobreyectiva, entonces las siguientes afirmacionesson equivalentes:

1. f es un homeomorfismo.

2. Si A X, entonces f(A) es abierto en Y si y solo si A es abierto enX.

3. Si K X, entonces f(K) es cerrado en Y si y solo si K es cerradoen X.

4. Si M X, entonces f(M) = f(M).

3.2.4 Observacion. La relacion definida en los espacios topologicos porX Y si y solo si X y Y son homeomorfos es una relacion de equivalencia.Esto justifica el hecho de que veamos dos espacios topologicos homeomorfoscomo el mismo espacio. La relacion ser homeomorfos nos permite conocer

un espacio topologico por sus caractersticas relevantes (aquel las que lo hacenunico) y no por los nombres de sus elementos.

Cuando en la observacion anterior hablamos de caractersticas relevantesde un espacio nos estamos refiriendo a las propiedades topologicas del espacio.


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Una propiedad topologica es aquella que si la posee un espacio X, la posee

tambien cualquier espacio homeomorfo a X.

Que los conjuntos unitarios de un espacio topologico sean conjuntos cerradoses un ejemplo de una propiedad topologica.

3.2.5 Definicion. Si f : X Y es una funcion continua y uno a uno ysi f1 : f(X) X tambien es continua entonces X y f(X) son homeo-morfos. En este caso decimos que la funcion f es una inmersion de X enY o que X esta inmerso en Y.

En terminos practicos, podemos pensar que si X esta inmerso en Y, entoncesX es un subespacio de Y.

La inclusion de un subespacio en un espacio topologico es el ejemplo masinmediato que se puede presentar de una inmersion.

Ejercicios 3.2

1. Sean X y Y espacios topologicos y f : X Y una funcion unoa uno y sobreyectiva. Demuestre que las siguientes afirmaciones sonequivalentes:

a) f es un homeomorfismo.

b) Si A X, entonces f(A) es abierto en Y si y solo si A es abiertoen X.

c) Si K X, entonces f(K) es cerrado en Y si y solo si K es cerradoen X.

d) Si M X, entonces f(M) = f(M).2. Pruebe que la relacion definida en los espacios topologicos por X Y

si y solo si X y Y son homeomorfos es una relacion de equivalencia.

3. Muestre que cada intervalo abierto (a, b) en R, con a < b es homeomorfoal intervalo (0, 1).

4. Muestre que cada intervalo cerrado [a, b] en R, con a < b es homeomorfoal intervalo [0, 1].


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3.2. HOMEOMORFISMOS E INMERSIONES 87

5. Defina un homeomorfismo de N con la topologa discreta en Z tambien

con la topologa discreta.

6. Sean 1 y 2 dos topologas definidas sobre el mismo conjunto X. Pruebeque la funcion identica IdX : (X, 1) (X, 2) es un homeomorfismosi y solo si 1 = 2.

7. Pruebe que la propiedad de que cada funcion continua de valor real so-bre un conjunto X tome un valor maximo es una propiedad topologica.

8. Utilice el ejercicio anterior para probar que [0, 1] y R no son homeo-morfos.

9. Muestre que la funcion f : R+ R definida por f(x) = x es unainmersion.

10. Llamaremos la recta extendida al conjunto R = R{, +}, con latopologa dada por la relacion de orden que se define de la siguientemanera:

I Si x, y R y si x y, entonces x y.II x para todo x R.

III x + para todo x R.

a) Pruebe que la funcion f : R [1, 1] definida porf(x) =

x

1 + |x| si x R, f() = 1 y f(+) = 1,

es estrictamente creciente y sobreyectiva y que por lo tanto es unhomeomorfismo.

b) Pruebe que R es un subespacio denso de R.


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Captulo4Topologas iniciales y Topologas

finales

En este captulo estudiaremos estructuras iniciales como los espacios produc-to y estructuras finales como los espacios cociente.

4.1. Estructuras iniciales - Topologa inicial

Sean X un conjunto, {X} una familia de espacios topologicos y paracada sea f : X X una funcion. Si consideramos la topologadiscreta sobre el conjunto X cada una de las funciones f resulta ser continua.

Nuestro proposito ahora es dotar al conjunto X de la topologa menos finapara la cual cada f es una funcion continua.

Si f es continua, entonces para cada subconjunto abierto O de X el con-junto f1 (O) debe ser un subconjunto abierto de X. Entonces la coleccion

S= {f1 (O) : y O es abierto en X}

debe estar contenida en la topologa del espacio X.

La coleccion B de todas las intersecciones finitas de elementos de Ses unabase para una topologa sobre X y claramente si consideramos la topologagenerada por B sobre X, entonces f es una funcion continua para cada .

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4.1. ESTRUCTURAS INICIALES - TOPOLOGIA INICIAL 89

4.1.1 Definicion. La topologa generada por la baseB es la topologa inicialsobre X inducida por la familia {f}.

El siguiente resultado caracteriza las funciones continuas que tienen comocodominio un espacio con una topologa inicial.

4.1.2 Teorema. Si X tiene la topologa inicial inducida por una familia defunciones{f}, dondef : X X, entonces una funcion f : Y Xes continua si y solo si f f es continua para cada .

Demostracion. Es inmediato que si f es continua, entonces ff es continuapara cada .Supongamos la continuidad de f f para cada . Puesto que X tienela topologa inicial inducida por la familia {f}, un conjunto abierto sub-basico de X tiene la forma f1 (O) para algun y algun subconjuntoabierto O de X. Se tiene que f

1(f1 (O)) = (f f)1(O) es abierto en Y,porque f f es continua.

4.1.3 Observacion. Sea una topologa sobre X tal que cadaf es continuay denotemos por X el espacio (X, ). Puesto que f

idX : X

X es

continua para cada , se tiene que la aplicacion identica idX : X Xes continua y esto solo se tiene si es mas fina que la topologa inicialsobre X inducida por la familia {f}. La topologa inicial es entonces latopologa menos fina con la que se puede dotar al conjunto X, de manera talque cada funcion f resulte ser continua.

4.1.4 EJEMPLOS.

1. Si Y tiene la topologa grosera entonces la topologa inicial sobre un

conjunto X inducida por una funcion f : X Y es la topologagrosera.

2. Si Y tiene la topologa discreta entonces la topologa inicial sobre unconjunto X inducida por una funcion uno a uno f : X Y es latopologa discreta.


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90 CAPITULO 4. TOPOLOGIAS INICIALES Y TOPOLOGIAS FINALES

Ejercicios 4.1

1. Demuestre que si Y tiene la topologa grosera entonces la topologainicial sobre un conjunto X inducida por una funcion f : X Y esla topologa grosera.

2. Suponga que Y tiene la topologa discreta.

a) Pruebe que la topologa inicial sobre un conjunto X inducida poruna funcion uno a uno f : X

Y es la topologa discreta.

b) Que ocurre si f no es uno a uno?

3. Considere la topologa de los complementos contables definida sobre elconjunto de los numeros reales. Cual es la topologa inicial sobre Qinducida por la inclusion de Q en R?

4. Resuelva el ejercicio anterior pero considerando R Q en lugar de Q.

5. Considere la topologa de las colas a la derecha definida sobre el conjun-

to de los numeros enteros. Cual es la topologa inicial sobre R inducidapor la funcion parte entera, x [x] : R Z?

6. Considere la topologa usual sobre el conjunto de los numeros reales.Cual es la topologa inicial sobre R2 inducida por la funcion que aplicaa cada punto del plano en su distancia usual al origen?

7. Sean (Y, d) un espacio metrico y f : X Y una funcion. Definimosla funcion m : X X R por m(x1, x2) = d(f(x1), f(x2)).

a) Demuestre que m es una metrica sobre X si y solo si f es uno auno; y que en caso de no serlo, m resulta ser una seudometricasobre X.

b) Compare la topologa generada por m sobre X con la topologainicial inducida por f.


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4.2. TOPOLOGIA PRODUCTO 91

4.2. Topologa Producto

La posibilidad de construir estructuras iniciales descrita en la secci on an-terior, nos permite dotar al producto cartesiano de una familia de espaciostopologicos de una topologa que resulta ser muy util en distintos contextos.

4.2.1 Definicion. Sean X y Y dos espacios topologicos y consideremosla topologa inicial sobre el producto cartesiano X Y inducida por lasproyecciones canonicas 1 : X Y X y 2 : X Y Y. Llamamosa esta topologa la topologa producto sobre X Y.

Los conjuntos de la forma 11 (A) 12 (B) donde A y B son subconjun-tos abiertos de X y Y, respectivamente, forman una base para la topologadefinida sobre X Y.

Ahora bien, si A y B son subconjuntos abiertos de X y Y, respectivamente,entonces 11 (A) 12 (B) = A B. As, la topologa producto sobre X Yse puede describir como la topologa generada por los conjuntos de la formaA B donde A y B son subconjuntos abiertos de X y Y, respectivamente.


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4.2.2 Observacion. En general, si X1, X2,...,Xn son espacios topologicos,

la topologa producto sobreX1 X2,..., Xn es la topologa inicial inducidapor las funcionesi : X1 X2,..., Xn Xi, i = 1,...,n; y una base paraesta topologa esta dada por los conjuntos de la forma A1 A2,..., An,donde Ai es un subconjunto abierto de Xi para cada i = 1,...,n.

4.2.3 EJEMPLOS.

1. La topologa usual deR2 es la topologa producto sobreRR.2. La topologa usual deRn es la topologa producto sobre el producto car-

tesiano Rn.

3. El producto de una familia finita de espacios metricos es un espaciometrico.

Ejercicios 4.2

1. Sean X y Y dos espacios topologicos y 1 : X Y X y y 2 :X Y Y las proyecciones canonicas.

a) Pruebe que 1 y 2 son funciones abiertas.b) Muestre con un ejemplo que 1 y 2 pueden no ser funciones cerra-

das.

2. Sean X y Y espacios topologicos, A X y B Y.a) Demuestre que A B = A B.b) Demuestre que (A B) = A B.

3. Sean X un espacio topologico y = {(x, x) : x X} la diagonalde X. Demuestre que si tiene la topologa heredada de la topologa

producto, entonces X y son homeomorfos.

4. Sean X y Y espacios topologicos y f : X Y una funcion continua.Demuestre que si el conjunto G = {(x, f(x)) : x X} tiene la topologaheredada de la topologa producto de X Y, entonces X y G sonhomeomorfos.


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4.3. PRODUCTOS ARBITRARIOS 93

5. Sea X un espacio con un numero finito de puntos y sea Y cualquier

espacio topologico. Demuestre que la proyeccion 2 : X Y Y esuna aplicacion cerrada.

6. Sea X un espacio con la topologa grosera y sea Y cualquier espaciotopologico. Demuestre que la proyeccion 2 : X Y Y es unaaplicacion cerrada.

7. Sean (X1, 1), (X2, 2),..., (Xn, n) espacios topologicos, X = X1X2...Xn, W un espacio topologico cualquiera y para cada i = 1,...,n seafi : W Xi una funcion continua. Pruebe que la funcion f : W X definida por f(w) = (f1(w),...,fn(w)) es continua.

8. Sean (X1, m1), (X2, m2),..., (Xn, mn) espacios metricos y sea X = X1X2 ... Xn.a) Demuestre que la funcion m : X X R definida por

m(x, y) =

ni=1

mi(xi, yi)2,

donde x = (x1, x2,..., xn) y y = (y1, y2,..., yn), es una metrica

sobre X.b) Demuestre que la topologa producto sobre X es la misma topo-

loga inducida por la metrica m.

4.3. Productos arbitrarios

Consideremos ahora una familia arbitraria {X} de espacios topologicos.Recordemos que un elemento x del producto cartesiano

X es una

funcion x :

X tal que x() = x X, para cada .

Para cada , la proyeccion canonica : X X esta definidapor (x) = x.4.3.1 Definicion. Definimos la topologa producto sobre

X como la

topologa inicial inducida por la familia{} de proyecciones canonicas.


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Consideremos la coleccion

S= {1 (O) : y O es abierto en X}y recordemos que la familia B de todas las intersecciones finitas de elementosde Ses una base para la topologa producto.Entonces, un conjunto abierto basico tiene la forma

i=1,...,n

1i (Oi) = {x

X : xi Oi para todo i = 1,...,n}

= A donde A es abierto en X para todo ,Ai = Oi, i = 1,...,n y A = X si = i, i = 1,...,n.

As, un conjunto abierto basico de la topologa producto es un producto desubespacios abiertos de los espacios originales, en el cual cada factor es igualal espacio total, salvo para un numero finito de ndices.

4.3.2 Observacion. En este punto vale la pena hacer la siguiente observa-cion. Puesto que la topologa producto definida sobre el producto cartesianode una familia (X) de espacios topologicos es una topologa inicial, esdecir es la topologa menos fina que se puede definir sobre X de mane-ra tal que : X X sea continua para cada , una funcionf definida de un espacio topologico X en

X es continua si y solo si

f es continua para cada .Esta propiedad que caracteriza la topologa producto se puede expresar enterminos de la siguiente propiedad universal.

Sea(X) una familia de espacios topologicos. SiX es un espacio topologi-co y si f : X X es una funcion continua para cada , entoncesexiste una unica funcion continua f : X X tal que f = fpara cada .

Trabajaremos ahora con espacios topologicos que tienen una propiedad espe-cial: Si x y y son puntos distintos del espacio, existe una vecindad V de x talque y / V, o existe una vecindad W de y tal que x / W. En otras palabras,dados dos puntos distintos del espacio, existe una vecindad de alguno de losdos puntos, que no contiene al otro.


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4.3. PRODUCTOS ARBITRARIOS 95

Hay una gran cantidad de ejemplos de espacios con esta propiedad: cualquier

espacio metrico la tiene, as como cualquier conjunto con la topologa decomplementos finitos o cualquier conjunto totalmente ordenado con la topo-loga de las colas a la derecha. Por supuesto tambien existe espacios sin estapropiedad, como los conjuntos con mas de un punto y topologa grosera.

Los espacios tales que dados dos puntos distintos del espacio, existe unavecindad de alguno de los dos puntos, que no contiene al otro, estan inmersosen productos de espacios de Sierpinski como lo muestra el siguiente ejemplo.

4.3.3 EJEMPLO.Sea C =

{0, 1

}el espacio de Sierpinski. La topologa sobre este espacio es

{, {0}, {0, 1}}. Consideremos un espacio topologico (X, ) tal que dadosdos puntos distintos del espacio, existe una vecindad de alguno de los dospuntos que no contiene al otro y tomemos el espacio producto

A XA,

donde XA = C para cada A .Para cada x X definimos la funcion (x) =x : AXA por

x(A) = 0 si x A1 si x / A.

Veamos que la funcion : X

A XA es una inmersion. Es decir quees una funcion continua, abierta sobre su imagen y uno a uno.1. SeaA y O un subconjunto abierto de XA. Entonces

1(1A (O)) =

A si O = {0}X si O = {0, 1}.

En cualquier caso, 1(1A (O)) es un conjunto abierto en X, luego es continua.

2. SeaA un subconjunto abierto de X. Se tiene

A = {x : x A}= 1A ({0}) X,

entonces es una funcion abierta sobre su imagen.


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3. Seanx yy elementos distintos deX. Por hipotesis, existe una vecindad

abierta V de uno de los puntos, digamos de x, que no contiene al otro.Es decir y / V. Entonces y(V) = 1 y x(V) = 0. Se concluye quex =yy que es uno a uno.

En el ejemplo anterior resulto indispensable que el espacio topologico Xtuviera una propiedad especial para que fuera posible sumergirlo, por mediode la aplicacion , en un producto de espacios de Sierpinski. Esta es unaoperacion que no se puede realizar con todo espacio topol ogico.

El siguiente ejemplo muestra como, sorprendentemente, todo espacio to-pologico es un subespacio de un producto de espacios de tres puntos.

4.3.4 EJEMPLO. Consideremos el conjunto C = {0, 1, 2} con la topologa{, {0}, C}. Llamaremos al espacio topologico C el espacio de Sierpinski detres puntos.

Sea (X, ) un espacio topologico cualquiera y consideremos el espacio pro-ducto

AP(X) CA, donde CA = C para cada A P(X).

Para cada x X definimos la funcion (x) =x : P(X) AP(X)CA por

x(A) =

0 si x A1 si x F rA A

2 si x / A.Veamos que la funcion : X AP(X) CA es una inmersion. Con este

fin veamos que es una funcion continua, abierta sobre su imagen y uno auno.

1. SeaA P(X) y O un subconjunto abierto de CA. Entonces

1(1A (O)) =

A si O = {0}X si O = {0, 1, 2},

luego es continua.

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