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TOPOLOGÍA

Resumen Curso 2011/2012

Capítulo 1

Espacios métricos

1.1. Medir la proximidad

Sea X un conjunto. Denotaremos por X ×X al conjunto de los paresde elementos de X.

Definición 1.1.1. Una distancia sobre X es una aplicación d : X×X →R cumpliendo:

1. d(x, x′) ≥ 0, ∀x, x′ ∈ X,

2. d(x, x′) = d(x′, x), ∀x, x′ ∈ X (Propiedad simétrica),

3. d(x, x′) = 0 si y sólo si x = x′, ∀x, x′ ∈ X,

4. d(x, x′) ≤ d(x, x′′)+d(x′′, x′), ∀x, x′, x′′ ∈ X (Propiedad triangular),

Al par (X, d) se le llama espacio métrico. Si la condición (3) se sustituyepor

(3′) d(x, x) = 0,

entonces d se llama seudodistancia y el par (X, d) espacio seudométri-

co.

Definición 1.1.2. Sea V un espacio vectorial sobre R. Una norma sobreV es una aplicación || · || : V → R cumpliendo:

1. ||v|| ≥ 0, ∀v ∈ V ,

2. ||λv|| = |λ| · ||v||, ∀λ ∈ R, ∀v ∈ V ,

3. ||v|| = 0 si y sólo si v = 0, ∀v ∈ V ,

2

CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS 3

4. ||v + w|| ≤ ||v||+ ||w||, ∀v, w ∈ V .

Al par (V, || · ||) se le llama espacio normado.

Proposición 1.1.3. Si (V, || · ||) es un espacio normado, la aplicaciónd : V × V → R dada por d(v, w) = ||v − w|| es una distancia sobre V .

A (V, d) se le llama espacio métrico asociado al espacio nor-

mado (V, || · ||).

Definición 1.1.4. Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico. Dados x ∈ Xy ε > 0, se llama bola abierta de centro x y radio ε a

Bd(x, ε) = {y ∈ X; d(x, y) < ε}.

Una bola cerrada de centro x y radio ε es

Bd[x, ε] = {y ∈ X; d(x, y) ≤ ε}.

Una esfera de centro x y radio ε es

Sd[x, ε] = {y ∈ X; d(x, y) = ε}.

Proposición 1.1.5. (Propiedades de las bolas abiertas)Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico. Se cumplen:

1. Dados ε > 0 y x ∈ X, x ∈ Bd(x, ε).

1’. Si 0 < ε′ < ε, entonces Bd(x, ε′) ⊆ Bd(x, ε).

2. Si y ∈ Bd(x, ε), donde x, ε son arbitrarios, entonces existe δ > 0con Bd(y, δ) ⊆ Bd(x, ε).

3. Si z ∈ Bd(x, ε)∩Bd(x′, ε′), entonces existe µ > 0 tal que Bd(z, µ) ⊆

Bd(x, ε) ∩ Bd(x′, ε′).

Proposición 1.1.6. (Propiedad de separación de Hausdorff) Si (X, d)es un espacio métrico y x 6= x′ ∈ X, entonces existe ε > 0 tal queBd(x, ε) ∩ Bd(x

′, ε) = ∅.


1.2. Conjuntos que “envuelven” a sus puntos

Definición 1.2.1. Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico y A ⊆ X. Dec-imos que x ∈ X es un punto interior de A si existe ε > 0 tal queBd(x, ε) ⊆ A. En tal caso se dice que A es entorno de x en (X, d).

Se llama interior de A en (X, d), denotado por intA, a:

intA = {x ∈ X, x es interior a A}.

Un conjunto A ⊆ X se dice abierto en (X, d) si A = intA.

Proposición 1.2.2. 1. Se cumple que intA ⊆ A en todo espacio (seu-do)métrico (X, d).

2. Toda bola abierta en un espacio (seudo)métrico es un conjuntoabierto en (X, d).

Proposición 1.2.3. En los espacios métricos (R2, de(euclídea)), (R2, dtaxi)y (R2, dmax), cualquier conjunto A ⊆ R

2 tiene el mismo interior. Por tan-to, las familias de los conjuntos abiertos de los tres espacios coinciden.

Corolario 1.2.4. Las bolas abiertas de (R2, de), son abiertos en (R2, dtaxi)y (R2, dmax). Análogamente para el resto de los casos.

Proposición 1.2.5. Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico. Entonces:

1. A ⊆ X es abierto en (X, d) si y sólo si A es entorno de todos suspuntos.

2. N ⊆ X es entorno de x en (X, d) si y sólo si existe un abierto Gen (X, d) con x ∈ G ⊆ N .

3. x es un punto interior de A en (X, d) si y sólo si existe un abiertoG con x ∈ G ⊆ A.

Proposición 1.2.6. (Propiedades del interior) Sea (X, d) un espacio(seudo)métrico. Entonces:

1. intA ⊆ A.

2. Si A ⊆ B, entonces intA ⊆ intB.

3. int(A1 ∩ . . . ∩ An) = intA1 ∩ . . . ∩ intAn.

4. int(intA) = intA. En particular, intA siempre es abierto.


Proposición 1.2.7. (Propiedades básicas de los conjuntos abiertos enun espacio (seudo)métrico). Dado un espacio (seudo)métrico (X, d), secumplen:

1. Los conjuntos ∅ y X son abiertos en (X, d).

2. Si A1, . . . , An son abiertos en (X, d), entonces A1∩. . .∩An tambiénes abierto.

3. Si {Aα}α∈Λ es una familia cualquiera de abiertos en (X, d), en-tonces ∪α∈ΛAα también lo es.

Capítulo 2

Espacios topológicos

En el capítulo anterior vimos que distacias distintas podían dar lugara un mismo çontrol de proximidad". Por tanto debe existir una nociónsubyacente a la de distancia que nos lleve a la fundamentación general dela idea de proximidad. Esta estructura es la de topología como colecciónde subconjuntos sujetos a las condiciones que se reflejan en la propiedadesbásicas de los conjuntos abiertos de los espacios (seudo)métricos en laproposición 1.2.7. El relevo de una (seudo)distancia por la familia deabiertos permite establecer sobre un conjunto una estructura de proxim-idad sin valores numéricos.

2.1. La proximidad sin distancia

Definición 2.1.1. Dado un conjunto X cualquiera, se llama topología

sobre X a cualquier familia T de subconjuntos de X cumpliendo:

1. Los conjuntos ∅ y X están en T .

2. Si A1, . . . , An están en T , entonces ∩ni=1Ai también está en T .

3. Si {Aα}α∈Λ está formada por conjuntos en T , entonces ∪α∈ΛAα

también está en T .

Al par (X, d) se le llama espacio topológico. Los conjuntos de T sellaman abiertos del espacio topológico (X, T ).

Nota 2.1.2. Se cumple que Tdeuclıdea= Tdtaxi

= Tdmax, es decir, que el

espacio topológico asociado a las tres distancias es el mismo.

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CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 7

Definición 2.1.3. Sea (X, d) un espacio topológico. Si A ⊆ X y x ∈ X,decimos que x es interior a A en (X, T ) si existe un G en T conx ∈ G ⊆ A. En particular, ∈ A.

Se llama interior del conjunto A en (X, T ) al conjunto intA = {x ∈X; x es interior a A}.

Nota 2.1.4. Observamos que intA ⊆ A siempre se cumple.

Proposición 2.1.5. El conjunto A está en T si y sólo si A = intA.

Definición 2.1.6. Dado N ⊆ X, decimos que N es entorno de x ∈ Xen el espacio topológico (X, T ) si x ∈ intN .

Proposición 2.1.7. A está en T si y sólo si es entorno de todos suspuntos.

Definición 2.1.8. Dado (X, d) un espacio topológico, se dice que x ∈ Aes un punto aislado en A ⊆ X si existe G en T con x ∈ G tal queG ∩ A = {x}.

En particular, x se dice aislado en X si existe G en T con G = {x}.Si un punto x ∈ A no es aislado en A, entonces para todos G en T y

x ∈ G se cumple que G ∩ A 6= {x}, es decir, que (G − {x}) ∩ A 6= ∅.Un punto no aislado se dice punto de acumulación; esto es

Definición 2.1.9. Dado un espacio topológico (X, T ) y A ⊆ X, decimosque x ∈ X es punto de acumulación de A si para todo abierto G en(X, T ) con x ∈ G, se cumple que (G − {x}) ∩ A 6= ∅.

Proposición 2.1.10. (Caracterización de puntos de acumulación en es-pacios métricos) Dados (X, d) un espacio métrico y A ⊆ X, el puntox ∈ X es de acumulación de A si y sólo si todo abierto G en (X, d)contiene infinitos puntos de A.

Corolario 2.1.11. Si (X, d) es un espacio métrico y A = {a1, . . . , an}es un conjunto finito, todos sus puntos son aislados.

Definición 2.1.12. Dados (X, T ) un espacio topológico y un conjuntoA ⊆ X, decimos que x ∈ X es punto adherente a A si todo abierto Gde T con x ∈ G cumple G ∩ A 6= ∅.

Definición 2.1.13. Se llama clausura de A al conjunto A = {x ∈X; x es adherente a A}.

Por la nota anterior, siempre se cumple A ⊆ A. Un conjunto A sellama cerrado en (X, T ) si A = A.


Proposición 2.1.14. Si X es infinito, no existe ninguna distancia dsobre X cuyos abiertos sean los conjuntos que aparecen en la topologíade Zariski.

Nota 2.1.15. Se deja como ejercicio el demostrar que tampoco existe unaseudodistancia d sobre un conjunto infinito X para la cual la topologíade Zariski sea la familia de abiertos de (X, d).

Definición 2.1.16. Sea (X, d) un espacio topológico. Una sucesión {xn}n≥1

de X se dice que converge a x0 ∈ X (o equivalentemente, que x0 es unpunto límite de {xn}n≥1) en (X, T ) si para todo abierto G de (X, T )con x0 ∈ G existe n0 tal que si n ≥ n0, entonces xn ∈ G.

Proposición 2.1.17. Sea (X, d) un espacio métrico. Toda sucesión con-vergente en (X, d) tiene un único punto límite.

Definición 2.1.18. Un espacio topológico (X, T ) se dice que tiene lapropiedad de separación de Hausdorff (o que es un espacio de Haus-

dorff) si dados x, x′ ∈ X con x 6= x′, existen abiertos G, G′ en (X, T )tales que x ∈ G, x′ ∈ G′ y G ∩ G′ = ∅.

Proposición 2.1.19. Si (X, T ) es un espacio topológico de Hausdorff,entonces toda sucesión convergente tiene un único punto límite.

Proposición 2.1.20. (Caracterización de la clausura en espacios (seu-do)métricos). Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico. Son equivalentes:

1. x ∈ A con x ∈ X y A ⊆ X.

2. Dado ε > 0, existe a ∈ A con d(x, a) < ε.

3. Existe {an}n≥1 ⊆ A con {an}n≥1 convergiendo a x.

Corolario 2.1.21. En un espacio (seudo)métrico, A es cerrado si y sólosi “para todo x ∈ X para el cual exista {an}n≥1 ⊆ A convergiendo a x setiene que x ∈ A”.

2.2. Propiedades de la clausura y el interior

Proposición 2.2.1. (Propiedades de la clausura y el interior. Análisisde la posición)

Sea (X, τ) un espacio topológico. Se cumple:1. Si A ⊆ X entonces A ⊆ A.


2. Si A ⊆ B entonces A ⊆ B.3. A1 ∪ ... ∪ An = A1 ∪ ... ∪ An.

4. A = A. En particular, A siempre es cerrado.

Proposición 2.2.2. (Dualidad abierto-cerrado)Sea (X, τ) un espacio topológico. Dado A ⊆ X se tiene:1. A = X − int(X − A).2. int(A) = X − (X − A).En particular, A es abierto si y sólo si X − A es cerrado.

Proposición 2.2.3. (Propiedades de los cerrados)1. ∅ y X son cerrados.2. Si A1...An son cerrados, entonces

⋃n

i=1 Ai es cerrado.3. Si {Aα}α∈Λ es una familia de cerrados, entonces

⋂α∈Λ Aα es cer-

rado.

Proposición 2.2.4. Sea (X, τ) un espacio topológico. Entonces, paratodo A ⊆ X, se tiene:

A = (A − A′) ∪ A′

donde A′ = {x ∈ X, x es punto de acumulación}.

Definición 2.2.5. Sea (X, τ) un espacio topológico. Dado A ⊆ X, dec-imos que x ∈ X es un punto frontera de A si para todo conjunto Gabierto de (X, τ) con x ∈ G, se verifica que G∩A 6= ∅ y (X−A)∩G 6= ∅.

Se llama conjunto frontera de A aFrA = {x ∈ X, x punto frontera de A}

Proposición 2.2.6. FrA = A ∩ X − A

Proposición 2.2.7. Sea (X, τ) un espacio topológico. Entonces, paratodo A ⊆ X, se cumple:

A = int(A) ∪ FrAAdemás, int(A) ∩ FrA = ∅.

Definición 2.2.8. Sea (X, τ) un espacio topológico, y A ⊆ X. Un el-emento x ∈ X se dice exterior a A si x ∈ int(X − A). Se define elexterior de A como:

ext(A) = int(X − A)


Proposición 2.2.9. Sea (X, τ) un espacio topológico, entonces:1. FrA = Fr(X − A)2. X = int(A) ∪ FrA ∪ ext(A)3. Los anteriores conjuntos son disjuntos entre sí.

Definición 2.2.10. Sea (X, τ) un espacio topológico, A ⊆ X se dicedenso en (X, τ) si A = X.

Definición 2.2.11. Sea (X, τ) un espacio topológico, y A ⊆ X. Sea lafamilia de subconjuntos de A,

τA = {A ∩ G, G ∈ τ}.Entonces, la familia τA es una topología sobre A, llamada topología

relativa a A (o restricción). A (A, τA) se le llama subespacio topológico

de (X, τ), y se tiene que C ⊆ A es un cerrado de (A, τA) si y sólo siC = {F ∩ A, F cerrado de (X, τ)} Además, si A abierto de (X, τ), en-tonces todos los abiertos de (A, τA) son abiertos de (X, τ). Del mismomodo se tendrá para los cerrados.

Nota 2.2.12. Si B ⊆ A ⊆ X y (X, τ) espacio topológico, denotamos por

BX

a la clausura de B en (X, τ), y BA, a la clausura de B en (A, τA).

Probar que BA

= BX∩ A.

Nota 2.2.13. Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico, y sea τd la topologíade los abiertos de (X, d). Dado A ⊆ X, denotamos por d|A a la distan-cia restricción cuyos abiertos forman la topología τd|A, entonces se tieneτd|A = (τd)A. Se deja como ejercicio comprobar la igualdad (Ayuda: setiene que para toda a ∈ A, Bd|A(a, ε) = Bd(a, ε) ∩ A).

2.3. Continuidad

Definición 2.3.1. Sean (X, τ) e (Y, τ ′) espacios topológicos. Una apli-cación f : (X, τ) 7−→ (Y, τ ′) se dice continua si para todo A ⊆ X,se verifica que f(A) ⊆ f(A). Es decir, si para todo a ∈ A, entonces,f(a) ∈ f(A).

Proposición 2.3.2. (Caracterización de la continuidad por abiertos ycerrados)

Sean (X, τ) e (Y, τ ′) espacios topológicos, y sea una aplicación f :(X, τ) 7−→ (Y, τ ′). Son equivalentes:


(1) f es continua.(2) Si F es un cerrado en (Y, τ ′), entonces f−1(F ) es cerrado en

(X, τ).(3) Si G es un abierto en (Y, τ ′), entonces f−1(G) es abierto en (X, τ).

Proposición 2.3.3. (Caracterización en espacios (seudo)métricos)Sea f : (X, d) 7−→ (Y, d′) una aplicación entre espacios (seudo)métricos.

Son equivalentes:(1) f es continua (con la caracterización por abiertos).(2) Para todo x ∈ X y para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que si

d(x, x′) < δ, entonces, d′(f(x), f(x′)) < ε. O equivalentemente, f(Bd(x, δ)) ⊆Bd′(f(x), ε).

Proposición 2.3.4. (Caracterización por convergencia)Sea f : (X, d) 7−→ (Y, d′) una aplicación entre espacios (seudo)métricos.

Son equivalentes:(1) f es continua.(2) Si {xn}n≥1 ⊆ X y {xn}n≥1 converge a x0 en (X, d), entonces

{f(xn)}n≥1 converge a f(x0) en (Y, d′).

Proposición 2.3.5. (Propiedades generales de las aplicaciones contin-uas)

a) Cualquier aplicación constante es continua.b) La identidad id : (X, τ) 7−→ (X, τ) es continua.c) La composición de aplicaciones continuas es continua.d) La restricción de una aplicación continua es continua respecto de

la topología restricción (o relativa).Notar que b) + d) implica que toda inclusión i : (A, τA) 7−→ (X, τ) :

i(a) = a ∀a ∈ A, con A ⊆ X, es continua.

Proposición 2.3.6. Sea f : (X, τ) 7−→ (Y, τ ′) continua, y f : (X, τ) 7−→

(f(X), τ ′|f(X)) la restricción sobre la imagen, dada por f(x) = f(x) ∀x ∈

X. Entonces f es continua.

Definición 2.3.7. Una aplicación f : (X, τ) 7−→ (Y, τ ′) se dice equiv-

alencia topológica (homeomorfismo) si f es biyectiva, y f y f−1 soncontinuas.


Proposición 2.3.8. Las proyecciones pi : (Rn,euclídea) 7−→ (R,euclídea),definidas como pi(x1, ..., xn) = xi, para 1 ≤ i ≤ n son siempre continuas.

Proposición 2.3.9. Una aplicación f : (X, τ) 7−→ (Rn,euclídea) es con-tinua si y sólo si pi ◦f : f : (X, τ) 7−→ (R,euclídea) es continua para todo1 ≤ i ≤ n.

Proposición 2.3.10. Si f : (X, τ) 7−→ (Y, τ ′) es un homeomorfismo yG ⊆ X es un abierto de (X, τ), entonces f(G) es abierto de (Y, τ ′). Setendrá un resultado análogo para los cerrados.

Definición 2.3.11. Una aplicación f : (X, τ) 7−→ (Y, τ ′) se dice abierta

si para todo abierto G de (X, τ), entonces f(G) es abierto de (Y, τ ′).Análogamente, se dice que f es cerrada si para todo cerrado F de (X, τ),entonces f(F ) es cerrado de (Y, τ ′).

Proposición 2.3.12. f es homeomorfismo si y sólo si es biyectiva, con-tinua y abierta, si y sólo si es biyectiva, continua y cerrada.

Proposición 2.3.13. Todos los intervalos abiertos de R son homeomor-fos entre sí (incluyendo R).

Definición 2.3.14. Dada f : (R,euclídea) 7−→ (R,euclídea), se llamagráfica de f a Γf = {(x, y) : y = f(x)} ⊆ R

2

Definición 2.3.15. Una inmersión es una aplicación continua e inyec-tiva f : (X, τ) 7−→ (Y, τ ′), cuya restricción a la imagen f : (X, τ) 7−→(f(X), τf(X)) es homeomorfismo.

Proposición 2.3.16. Si f es continua, ϕf es una inmersión de (R,euclídea)en (R2,euclídea).

Capítulo 3

Compacidad

3.1. Definición y primeros ejemplos

Definición 3.1.1. Dado un conjunto X y A ⊆ X, un recubrimiento de Aen X es una familia {Cα}α∈Λ de subconjuntos de X tal que A ⊆

⋃α∈Λ Cα.

Nota 3.1.2. Si A = X la inclusión es una igualdad: X =⋃

α∈Λ Cα.

Definición 3.1.3. Un subrecubrimiento de {Cα}α∈Λ es una subfamilia{Cα′}α′∈Λ′ con Λ′ ⊆ Λ y aún A ⊆

⋃α′∈Λ′ Cα′

Definición 3.1.4. Sea (X, τ) un espacio topológico. Un subconjuntoA ⊆ X se dice compacto en (X, τ) si de todo recubrimiento de A porabiertos en (X, τ) se puede extraer un subrecubrimiento finito.

Nota 3.1.5. Si A = X decimos que (X, τ) es un espacio compacto.

Lema 3.1.6. A ⊆ es compacto en (X, τ) si y solo si el subespacio (A, τA)es compacto.

3.2. La compacidad y los conjuntos cerrados

Definición 3.2.1. Una familia de conjuntos {Aα}α∈Λ se dice que tienela Propiedad de Intersección Finita (PIF) si toda subfamilia finitaAα1

, . . . , Aαntiene intersección Aα1

∩ · · · ∩ Aαn6= ∅ no vacía.

Proposición 3.2.2. Sea (X, τ) un espacio topológico. Son equivalentes:

1. (X, τ) es compacto.

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CAPÍTULO 3. COMPACIDAD 14

2. Tada familia de cerrados con la PIF tiene intersección distinta devacío.

Proposición 3.2.3. (Los cerrados heredan la compacidad).Sea (X, τ) un espacio topológico y F ⊆ X cerrado en él. Entonces F escompacto en (X, τ).

Corolario 3.2.4. En (R, euclidea) si A es cerrado y acotado, entoncesA es compacto.

3.3. Compacidad y propiedad de Haussdorff

Proposición 3.3.1. (Separación de punto y compacto)Sea (X, τ) un espacio topológico con la propiedad de Haussdorff. Sea F ⊆X compacto y x 6∈ F. Entonces existen abiertos U y V de (X, τ) conx ∈ U, F ⊆ V y U ∩ V = ∅.

Nota 3.3.2. La proposición anterior vale para cualquier espacio métrico.

Corolario 3.3.3. Todo compacto en un espacio con la propiedad de sep-aración de Hausdorff (en particular en un espacio métrico) es siemprecerrado.

Proposición 3.3.4. (Separación de compactos)Sea (X, τ) un espacio topológico con la propiedad de separación de Haus-dorff. Sean F1, F2 ⊆ X compactos disjuntos. Entonces existen abiertos Uy V de (X, τ) con F1 ⊆ U, F2 ⊆ V y U ∩ V = ∅.

Nota 3.3.5. La proposición anterior vale para todos los espacios métri-cos.

3.4. Compacidad y continuidad

Proposición 3.4.1. (La continuidad preserva la compacidad)Sea f : (X, τ) → (Y, τ ′) una aplicación continua entre espacios topológi-cos. Si A ⊆ X es compacto en (X, τ) entonces f(A) lo es en (Y, τ ′).

Proposición 3.4.2. (Continuidad entre espacios de Hausdorff compactos).Sean (X, τ) e (Y, τ ′) espacios topológicos compactos con la propiedad deHausdorff. Toda f : (X, τ) −→ (Y, τ ′) continua es también cerrada.


Nota 3.4.3. En la demostración sólo se ha usado la compacidad de(X, τ) y la propiedad de Hausdorff de (Y, τ ′).

Corolario 3.4.4. Toda aplicación biyectiva y continua, f : (X, τ) →(Y, τ ′) entre espacios compactos y de Hausdorff es un homeomorfismo.

3.5. Compacidad en espacios productos. Ca-

racterización de la compacidad en los es-

pacios euclídeos.

Sean (X1, d1) . . . (Xn, dn) espacios (seudo)métricos. Sobre el produc-to cartesiano X1 × X2 × · · · × Xn podemos considerar las siguientesseudo(distancias) δtaxi

n = δtaxin (d1, . . . , dn), δmax

n = δmaxn (d1, . . . , dn) y

δeuclidean = δeuclidea

n (d1, . . . , dn), dadas porδtaxin ((x1, . . . , xn), (x′

1, . . . , x′n)) =

∑n

i=1 di(xi, x′i),

δmaxn ((x1, . . . , xn), (x′

1, . . . , x′n)) = max{d1(x1, x

′1), . . . , d(xn, x

′n)}, y

δeuclidean ((x1, . . . , xn), (x′

1, . . . , x′n)) =

√∑n

i=1 di(xi, x′i)

2, respectivamente.Obsérvese que si X1 = X2 = · · · = Xn = R y d1 = d2 = · · · = dn =

euclídea sobre R entonces δtaxin = dtaxi, δmax

n = dmax y δeuclidean = deuclidea

sobre Rn. Además, extendiendo la Nota ??, se puede comprobar (ejerci-

cio) que las tres generan los mismos conjuntos abiertos. Por tanto, susespacios topológicos subyacentes son el mismo y, como consecuencia, lacompacidad se puede estudiar con cualquiera de estas (seudo)distancias.

Proposición 3.5.1. Sean (X1, d1) . . . (Xn, dn) espacios (seudo)métricos,y sea δ cualquiera de las (seudo)distancias δtaxi

n , δmaxn o δeuclidea

n .Si Ai ⊆ Xi, 1 ≤ i ≤ n compacto en (Xi, di), entonces A1 × · · · × An escompacto en (X1 × · · · × Xn, δ).

Corolario 3.5.2. El paralelogramo (producto de intervalos) [a1, b1] ×· · · × [an, bn] es compacto en (Rn, dmax) (o equivalentemente (Rn, dtaxi) o(Rn, deuclidea))

Nota 3.5.3. Generalización a espacios topológicos: Si (X1, T1) y (X2, T2)espacio topológico. Se define sobre X1×X2 la topología producto, T1∗T2 ={∅ y G ⊆ X1 × X2, tales que para todo (x, y) ∈ G existen U y Vabiertos de T1 y T2 con (x, y) ∈ U × V ⊆ G}. Se puede demostrar, conuna demostración similar a la de ?? que si A1 y A2 son compactos de(X1, T1) y (X2, T2), respectivamente, entonces A1 × A2 es un compactode (X1 × X2, T1 ∗ T2).


Proposición 3.5.4. Sea (X, d) espacio (seudo)métrico. Entonces, todoC ⊆ X compacto está acotado.

Proposición 3.5.5. (Teorema de Heine-Borel).A ⊆ R es compacto en (Rn, euclídea) si y sólo si A es cerrado y acotado.

Nota 3.5.6. ⇒) Es válida para todo espacio métrico.

3.6. Compacidad en espacios métricos

Proposición 3.6.1. Sea (X, d) espacio métrico y {xn}n≥1 ⊆ X unasucesión sin subsucesiones convergentes. Entonces:

1. El conjunto A = {x1, x2, x3, . . . , xn, . . . } es infinito.

2. El conjunto de puntos de acumulación de A, A′ = ∅, es vacío.

Corolario 3.6.2. (Propiedad de Bolzano-Weierstrass). Si (X, d) es unespacio métrico compacto entonces toda sucesión en X posee una sub-sucesión convergente.

Proposición 3.6.3. (Teorema de Bolzano-Weierstrass) El recíproco tam-bién es cierto, es decir, un espacio métrico (X, d) es compacto si y sólosi posee la propiedad de Bolzano-Weierstrass.

Proposición 3.6.4. Sea (X, d) espacio métrico con la propiedad de Bolzano-Weierstrass. Entonces para cualquier ε > 0, X se puede cubrir con unacantidad finita de bolas de radio ε.

Proposición 3.6.5. (Lema de Lebesgue) Sea (X, d) un espacio métri-co con la propiedad de Bolzano-Weierstrass, entonces dado cualquierrecubrimiento U = {Uα}α∈Λ de X existe ε > 0 (llamado número deLebesgue de U) tal que para cada bola abierta de radio ε, Bd(x, ε) existeα0 ∈ Λ con Bd(x, ε) ⊆ Uα0

Nota 3.6.6. El lema de Lebesgue implica que si A ⊆ X es cualquier

conjunto con diámetro δ(A) <ε

2, entonces A ⊆ Uα0

para algún α0 ∈ Λ.

En efecto, si a ∈ A, δ(A) <ε

2implica que A ⊆ Bd(a, ε) y esta bola está

contenida en algún Uα por el lema de Lebesgue.

Definición 3.6.7. Sea f : (X, d) −→ (Y, d′) entre espacios (seudo)métricos.Decimos que f es uniformemente continua si dado ε > 0, ∃δ > 0 tal quesi d(x, x′) < δ, entonces d′(f(x), f(x′)) < ε.


Proposición 3.6.8. (Teorema de Heine). Sea f : (X, d) −→ (Y, d′)con (X, d) espacio métrico compacto. Entonces, si f es continua, f esuniformemente continua.

Definición 3.6.9. Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico. Una sucesión{xn}n≥1 ⊆ X se dice de Cauchy si dado ε > 0, ∃n0 con d(xn, xn′) < εpara todo n, n′ ≥ n0.

Proposición 3.6.10. Toda sucesión convergente es de Cauchy.

Definición 3.6.11. Un espacio (seudo)métrico (X, d) se dice completosi toda sucesión de Cauchy en (X, d) es convergente.

Proposición 3.6.12. Los espacios euclídeos (Rn, euclídea) son comple-tos.

Proposición 3.6.13. Todo espacio métrico compacto (X, d) es completo.

3.7. Compacidad local

Definición 3.7.1. Un espacio topológico (X, τ) se dice localmente com-pacto si ∀x ∈ X y cualquier entorno N de x existe otro entorno N ′ de xcon N ′ ⊆ N y N ′ compacto.

Proposición 3.7.2. Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico. Son equi-valentes:

1. (X, d) es localmente compacto.

2. Dado x ∈ X existe una bola cerrada Bd[x, ε] que es compacta.

3. Todo x ∈ X posee un entorno N en (X, τ) que es compacto.

Proposición 3.7.3. Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico localmentecompacto.

1. Si A ⊆ X es cerrado, (A, d|A) es localmente compacto.

2. Si B ⊆ X es cerrado, (B, d|B) es localmente compacto.

Capítulo 4

Conexión

4.1. Conexión por caminos

Definición 4.1.1. Dado (X, T ) un espacio topológico, un camino entredos elementos x, y ∈ X es una aplicación continua α : ([0, 1], euclídea) →(X, T ) tal que α(0) = x y α(1) = y.

Definición 4.1.2. Un espacio topológico (X, T ) se dice conexo por caminossi ∀x, y ∈ X existe un camino entre x e y. Más generalmente, A ⊆ X sedice conexo por caminos si lo es (A, T /A).

La siguiente proposición muestra que todos los espacios conexos porcaminos tienen sólo al espacio total y el vacío como conjuntos simultánea-menta abiertos y cerrados.

Proposición 4.1.3. Si (X, T ) es conexo por caminos, entonces los úni-cos conjuntos abiertos y cerrados de (X, T ) son X y ∅.

Para los intervalos de R el recíproco de la proposición anterior tambiénes cierto y ello nos permite determinar todos los conjuntos conexos porcaminos de la recta euclídea. Explícitamente,

Proposición 4.1.4. (Caracterización de los conjuntos conexos por caminosde la recta euclídea)En (R,euclídea), las siguientes propiedades son equivalentes para cualquierA ⊆ R.

1. A es conexo por caminos.

2. Los únicos conjuntos que son a la vez abiertos y cerrados en (A,euclídea)son A y ∅.

18

CAPÍTULO 4. CONEXIÓN 19

3. Si a ≤ b con a, b ∈ A, entonces [a, b] ⊆ A.

4. A es un intervalo.

Proposición 4.1.5. Sea f : (X, T ) → (Y, T ′) continua. Si A ⊆ X esconexo por caminos f(A) también.

Consecuencia: Si f es homeomorfismo y (X, T ) es conexo por caminos,entonces (Y, T ′) también lo es.

Proposición 4.1.6. Sean (X1, d1) y (X2, d2) e. (seudo)métricos conexospor caminos. Entonces (X1 × X2, δ

max2 ) es conexo por caminos, donde

δmax2 (d1, d2)((x1, x2), (x

′1, x

′2)) = max{d1(x1, x

′1), d2(x2, x

′2)}

Nota 4.1.7. La proposición anterior es válida también para las (seu-do)distancias δtaxi

2 y δeuclidea2 ; ver Sección 3.5. Más generalmente, la proposi-

ción es válida para (X1×X2, T1∗T2) donde T1∗T2 es la topología productoen 3.5.3. Igualmente se puede generalizar a un número cualquiera de fac-tores (X1, d1), ..., (Xn, dn) con n ≥ 2.

Proposición 4.1.8. La relación “estar conectados por un camino en(X, T ).es de equivalencia. La denotaremos por ∼.

Proposición 4.1.9. Sea {Cα}α∈Λ familia de conexos por caminos en(X, T ). Supongamos que ∃α0 ∈ Λ tal que Cα∩Cα0

6= ∅ ∀α ∈ Λ. Entonces

C0 =⋃

α∈Λ

Cα es conexo por caminos.

Proposición 4.1.10. Variante: Si⋂

α∈Λ

Cα 6= ∅ entonces C0 =⋃

α∈Λ

Cα

también es conexo por caminos.

Definición 4.1.11. Sea (X, T ) un espacio topológico. Se llama com-ponente conexa por caminos de x ∈ X al mayor conexo por caminosCx ⊆ X con x ∈ Cx.

Proposición 4.1.12. Cx coincide con la clase de equivalencia de x re-specto a la relación ”estar conectado por un camino”.

Proposición 4.1.13. (Propiedades de componentes conexas por caminos)Sea (X, T ) un espacio topológico. Se cumplen:

1. x ∈ Cx.


2. Cx es conexo por caminos.

3. Cx es la clase de x por la relación “estar conectado por un caminoen (X, T )".

4. Cx ∩ Cy 6= ∅ ⇒ Cx = Cy. Es decir, las componentes conexas porcaminos forman una partición de X.

Definición 4.1.14. Un espacio topológico (X, T ) se dice localmenteconexo por caminos si dado x ∈ X y cualquier entorno de N de x,existe otro entorno N ′ de x con N ′ ⊆ N y N ′ es conexo por caminos.

Proposición 4.1.15. Si (X, T ) es localmente conexo por caminos, lacomponente conexa por caminos (Cx) es abierto y cerrado ∀x ∈ X.

Proposición 4.1.16. (Invarianza del número de componentes conexaspor caminos)Sea f : (X, T ) → (Y, T ′) un homeomorfismo. Si Cx es la componenteconexa por caminos de x, entonces f(Cx) lo es de f(x).

Consecuencia: f induce una biyección entre las familias de componentesconexas por caminos de (X, T ) y de (Y, T ′).

Nota 4.1.17. Algunas observaciones:

1. No siempre la clausura de un conexo por caminos es conexo porcaminos.

2. No siempre las componentes conexas por caminos son cerradas.

4.2. Puntos de Corte

Definición 4.2.1. Sea (X, T ) un espacio topológico. Un punto x ∈ X sedice un punto de corte de (X, T ) si X − {x} no es conexo por caminos.Al número de componentes conexas por caminos de X − {x} se le llamaorden de corte de x.

Definición 4.2.2. Sea (X, T ) un espacio topológico. Un punto x ∈ X sedice un punto de corte local de orden n de (X, T ) si para todo entorno Nde x existe otro N ′ ⊆ N tal que N ′ − {x} tiene n componentes conexaspor caminos.


Proposición 4.2.3. (Invarianza de los puntos de corte)Sea f : (X, T ) → (Y, T ′) un homeomorfismo:a) x es punto de corte de orden n de (X, T ) si y sólo si f(x) lo es de(Y, T ′).b) x es punto de corte local de orden n de (X, T ) si y sólo si f(x) lo esde (Y, T ′).

4.3. La conexión topológica. Definición y primeras

propiedades

Recordemos que la recta eucídea y todos los espacios conexos porcaminos tienen la propiedad de que la familia de los conjuntos abiertosy cerrados a la vez en cualquiera de ellos se reduce al espacio total yel conjunto vacío. Por tanto, esta propiedad generaliza la conexión porcaminos y vamos ahora a estudiarla con más detalle en esta sección.Comenzamos probando que es equivalente a la siguiente propiedad quellamaremos conexión topológica.

Definición 4.3.1. Un espacio topológico (X, T ) se dice disconexo siexisten dos abiertos U y V de (X, T ), distintos del vacío tales que U∩V =∅ y X = U ∪ V . En caso contrario se dirá que es topológicamente conexoo, por abreviar, conexo.En general, un subconjunto A ⊆ X se dice conexo en (X, T ) si (A, T /A)es conexo.

Proposición 4.3.2. Un espacio topológico (X, T ) es conexo si y sólo silos únicos conjuntos que son abiertos y cerrados a la vez son ∅ y X.

La Proposición 4.3.2 nos permite rescribir la Proposición 4.1.4 comosigue. De esta manera se caracterizan los conjuntos conexos de la rectaeuclídea además de establecerse que en ella la conexión es equivalente ala conexión por caminos.

Proposición 4.3.3. (Caracterización de los conexos de la recta euclídea)En (R,euclídea) las siguientes propiedades son equivalentes para un con-junto A ⊆ R.

1. A es conexo por caminos.

2. A es conexo.

3. Si a ≤ b con a, b ∈ A, entonces [a, b] ⊆ A.


4. A es un intervalo.

En general, la Proposición 4.1.3 muestra que la conexión topológicageneraliza a la conexión por caminos. Ambas propiedades no son equiv-alentes como se observa a continuación. Veamos una condición suficientepara que un espacio conexo sea conexo por caminos.

Proposición 4.3.4. Sea (X, T ) localmente conexo por caminos. En-tonces (X, T ) es conexo si y sólo si (X, T ) es conexo por caminos.

Proposición 4.3.5. Sea f : (x, T ) → (Y, T ′) continua y A ⊆ X conexo.Entonces f(A) es conexo. En particular, si f es homeomorfismo y (X, T )es conexo, entonces (Y, T ′) también.

Proposición 4.3.6. Sea (X, T ) un espacio topológico y A ⊆ X conexo,entonces todo B ⊆ X tal que A ⊆ B ⊆ A es conexo. En particular A essiempre conexo.

4.4. Otras caracterizaciones y propiedades de

los espacios conexos

Comenzamos observando que la Proposición 4.3.2 permite demostrarque la conexión de un espacio es equivalente a que toda aplicación de eseespacio en la recta euclídea cumpla el Teorema del Valor Intermedio deBolzano en la Proposición ??. Esto es,

Proposición 4.4.1. Sea (X, T ) un espacio topológico. Son equivalentesa) (X, T ) es conexo.b) Si f : (X, T ) → (R, euclídea) y a, b ∈ f(X) con a ≤ b entonces[a, b] ⊆ f(X)c)(Teorema de Bolzano) Si f : (X, T ) → (R, euclídea) es continua y∃x1, x2 ∈ X con f(x1) < 0 y f(x2) > 0, entonces ∃x0 ∈ X con f(x0) = 0.

Definición 4.4.2. Un espacio topológico (X, T ) se dice discreto si todoslos conjuntos unitarios {x} son abiertos.

Proposición 4.4.3. Sea (X, T ) espacio topológico discreto. EntoncesA ⊆ X es conexo si y sólo si A = {x} tiene un sólo elemento.

Proposición 4.4.4. Sea (X, T ) cualquier espacio topológico. Son equiv-alentes:a) (X, T ) es conexo.b) Toda f : (X, T ) → (Y, T ′) continua con (Y, T ′) discreto es constante.


Proposición 4.4.5. Sea (X, T ) cualquier espacio topológico. Son equiv-alentes:a) (X, T ) es conexo.b) Dados a, b ∈ X, ∃C ⊆ X conexo tal que a, b ∈ C.

Proposición 4.4.6. Sea (X, T ) un espacio topológico. Sea {Cα}α∈Λ conCα ⊆ X conexo ∀α ∈ Λ. Supongamos que existe α0 con Cα ∩ Cα0

6= ∅

∀α ∈ Λ (*). Entonces C =⋃

α∈Λ

Cα es conexo.

Proposición 4.4.7. (Variante 1) Supongamos que en vez de (∗) en 4.4.6se tiene Cα ∩ Cα′ 6= ∅ ∀α, α′ entonces C sigue siendo conexo.

Proposición 4.4.8. (Variante 2) Sean C1, C2, ..., Cn una sucesión con

Ci ∩ Ci+1 6= ∅ ∀i ≥ 1. Entonces C =∞⋃

n=1

Cn es conexo.

Proposición 4.4.9. Sean (X1, d1) y (X2, d2) espacios (seudo)métricosconexos. Entonces (X1 × X2, δ

max2 ) con

δmax2 ((x1, x2)(x

′1, x

′2)) = max{d1(x1, x

′1), d2(x2, x

′2)}

es conexo.

Nota 4.4.10. La proposición anterior es válida también para las (seu-do)distancias δtaxi

2 y δeuclidea2 . De hecho, todo lo indicado en 4.1.7 perma-

nence válido para si cambiamos la conexión por caminos por la conexióntopológica.

4.5. Componentes conexas

Definición 4.5.1. Dado (X, T ) un espacio topológico y x ∈ X llamamoscomponente conexa de X al mayor conjunto conexo Cx ⊆ X que contienea x.

Proposición 4.5.2. (Propiedades básicas de las componentes conexas)Sea (X, T ) un espacio topológico. Si Cx es la componente conexa de x ∈X, se cumplen:

1. x ∈ Cx

2. Cx es conexo.


3. Cx es cerrado en (X, T ).

4. Si Cx ∩ Cy 6= ∅ ⇒ Cx = Cy. Es decir, las componentes conexasforman una partición de X.

Definición 4.5.3. Un espacio topológico (X, T ) se dice localmente conexosi dado cualquier x ∈ X y cualquier entorno N de x en (X, T ) entoncesexiste otro entorno N ′ de x que es conexo y N ′ ⊆ N .

Proposición 4.5.4. Si (X, T ) es localmente conexo entonces toda com-ponente Cx es un conjunto abierto (y por tanto abierto y cerrado).

Proposición 4.5.5. (Invarianza del número de componentes conexas)Sea f : (X, T ) → (Y, T ′) un homeomorfismo, entonces si Cx es compo-nente de x se tiene que f(Cx) es componente conexa de f(x).

Consecuencia: Existe una biyección entre las componentes conexas de(X, T ) y las de (Y, T ′).

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