TopAlg Master 1314

TOPOLOGIA ALGEBRAICA

Prof. Marta Macho Stadler

MASTER EN MODELIZACION E INVESTIGACION MATEMATICA,ESTADISTICA Y COMPUTACION 2013/2014

2Marta Macho StadlerDepartamento de MatematicasFacultad de Ciencia y TecnologaUniversidad del Pas VascoEuskal Herriko UnibertsitateaBarrio Sarriena s/n, 48940 Leioae-mail: [email protected]://www.ehu.es/mtwmastmTlf: 946015352 Fax: 946012516

Portada: Running Addiction, ilustracion de Scott DuBar (www.scottdubar.com).Gracias por permitirme incluirla.

Indice general

Introduccion 50.1. Por que la Topologa Algebraica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.2. Donde se aplica la Topologa Algebraica? . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

0.2.1. Teora de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.2.2. La teora de nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80.2.3. Otras aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100.2.4. Organizacion del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1. Preliminares 11.1. Categoras y functores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Conexion por caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Algunas nociones sobre grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1. Grupo (no abeliano) libre con dos generadores . . . . . . . . . . 61.3.2. Grupo libre sobre un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.3. Producto libre de dos grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.4. Producto amalgamado de dos grupos . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.5. Presentaciones de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4. Clasificacion de superficies compactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.1. Definicion de superficie y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2. Regiones poligonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.3. Suma conexa de superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. Homotopa de aplicaciones 232.1. Homotopa de aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2. La categora de espacios topologicos y homotopas . . . . . . . . . . . . 252.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

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4 Indice general

3. El grupo fundamental 333.1. Homotopa de caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2. El grupo fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3. Grupo fundamental de la esfera de dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . 383.4. Teorema de SeifertVan Kampen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.5. Grupos de homotopa superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4. Estudio de los espacios recubridores 554.1. Espacios recubridores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.2. Propiedades de levantamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3. Aplicaciones recubridoras y grupo fundamental . . . . . . . . . . . . . . 594.4. El grupo de las transformaciones recubridoras . . . . . . . . . . . . . . . 604.5. Homomorfismos recubridores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.6. El espacio recubridor universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.7. Acciones propiamente discontinuas y espacios recubridores . . . . . . . . 654.8. El teorema de clasificacion de los espacios recubridores . . . . . . . . . . 664.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Bibliografia 71

Introduccion

0.1. Por que la Topologa Algebraica?

Uno de los problemas basicos de la topologa es el de determinar cuando dos espa-cios son o no homeomorfos. No hay un metodo general para resolver esta cuestion, peroexisten tecnicas que se pueden aplicar en casos particulares.

Probar que dos espacios son homeomorfos consiste en encontrar una funcion continuade uno de los espacios sobre el otro, que tenga una inversa continua. Pero, la construccionde funciones continuas no es un problema sencillo en general.

Probar que dos espacios no son homeomorfos es un asunto diferente: para ello, debe-mos demostrar que no existe ninguna funcion continua con inversa continua entre ambosespacios. Si encontramos una propiedad topologica verificada por uno de los espaciospero no por el otro, el problema queda resuelto y los espacios no pueden ser homeomor-fos. Por ejemplo, el intervalo cerrado [0, 1] no puede ser homeomorfo al intervalo abierto(0, 1) (ambos provistos de la topologa inducida por la de la recta real), porque el primerespacio es compacto y el segundo no. Tambien sabemos que los espacios eucldeos R yR2 no pueden ser homeomorfos, porque si se elimina un punto de R2 el espacio resultantesigue siendo conexo, pero este no es el caso si se priva a R de un punto.

Las herramientas topologicas que conocemos de un curso de topologa general no sonlas mas adecuadas para solucionar este problema de detectar la equivalencia topologica dedos espacios. Por ejemplo, podemos probar que el plano eucldeo R2 no es homeomorfoal espacio eucldeo R3? Si pasamos revista a las propiedades topologicas que conocemoscompacidad, conexion, metrizabilidad, etc. no encontramos ninguna peculiaridad quenos permita distinguirlos.

Otro ejemplo ilustrativo se obtiene al considerar superficies como la esfera S2, el toroT2 o la superficie compacta de genero dos T2. De nuevo, ninguna de las propiedadestopologicas que conocemos nos permiten distinguirlos: los tres espacios son compactos,conexos y metrizables.

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6 Introduccion

As, debemos introducir nuevas propiedades y tecnicas para resolver este problema.Una de las herramientas mas naturales es la de conexion simple: de manera informal, unespacioX es simplemente conexo, cuando toda curva cerrada enX puede contraerse a unpunto en el espacio. Esta cualidad permite distinguir R2 de R3: si se elimina un punto deR3, el espacio resultante es simplemente conexo, pero este no es el caso si se consideraR2privado de un punto. Esta propiedad tambien diferencia S2, que es simplemente conexo,de T2 que no lo es. Pero, por ejemplo, no distingue entre T2 y T2, porque ninguno de losdos espacios posee esta propiedad.

Hay una idea, mas general que la de conexion simple, un concepto que engloba a estacomo un caso particular y que tiene relacion con un cierto grupo, llamado el grupo funda-mental del espacio. Dos espacios homeomorfos tienen grupos fundamentales isomorfos;y la condicion de conexion simple consiste precisamente en que el grupo fundamentalsea trivial. La prueba de que S2 y T2 no son homeomorfos puede reformularse, diciendoque el grupo fundamental de S2 es trivial y que el de T2 no lo es. El grupo fundamen-tal distingue mejor los espacios que la condicion de conexion simple. Puede usarse, porejemplo, para probar que T2 y T2 no son homeomorfos, argumentando que T2 tiene grupofundamental abeliano, mientras que el de T2 no lo es.

Lamentablemente, con estas herramientas, tampoco somos capaces de probar que, porejemplo, S2 y Sn para n > 2 no son homeomorfos: para demostrarlo habra que recurrir apropiedades de homologa, que escapan de los objetivos de este curso.

0.2. Donde se aplica la Topologa Algebraica?

Los resultados que veremos en este curso, que son tan solo una pequena parte delo que se denomina topologa algebraica, se aplican en primer lugar a otras ramas delas matematicas: son, sin duda alguna, esenciales en muchos de los razonamientos degeometra diferencial, analisis, algebra, analisis numerico e investigacion operativa.

Pero es ademas una herramienta indispensable en fsica, qumica, medicina, biologa,informatica, teora de juegos, etc.

Citamos a continuacion brevemente algunas de estas aplicaciones.

0.2. Donde se aplica la Topologa Algebraica? 7

0.2.1. Teora de grafos

El estudio de grafos esta ligado habitualmente a la topologa, convirtiendose en unavaliosa herramienta matematica en campos tan dispares como la investigacion operativa,la lingustica, la qumica, la fsica, la genetica y la teora de redes. Un grafo es un conjuntode puntos, los vertices, algunos de los cuales estan ligados entre s por medio de lneas,las aristas. La naturaleza geometrica de estos arcos no tiene importancia, solo cuenta lamanera en la que los vertices estan conectados. Un buen texto para profundizar en estamateria es [R. Diestel, Graph Theory, Springer, 2000].

Uno de los problemas clasicos de matematicas resueltos con esta teora es el conocidoproblema de los siete puentes de Konisberg: en 1700, los habitantes de Konisberg, sepreguntaban si era posible recorrer esta ciudad pasando una vez y solo una por cada unode los puentes sobre el ro Pregel, y volviendo al punto de partida. En aquella epoca,Konisberg tena siete puentes, uniendo las cuatro partes de la ciudad separadas por lasaguas, y dispuestas como se muestra en la figura.

En 1736, L. Euler probo que la respuesta a esta pregunta era negativa, usando un grafocon cuatro vertices simbolizando las cuatro partes separadas de la ciudad y trazando entreestos vertices las aristas, representando los puentes: este grafo no es euleriano, condicionprobada como necesaria y suficiente para que el problema tenga respuesta positiva.

En 1847, G. Kirchhoff analizo un tipo especial de grafo llamado arbol y utilizo esteconcepto en ciertas aplicaciones de redes electricas, al formular su extension de las leyesde Ohm para flujos electricos. Diez anos despues, A. Cayley uso el mismo tipo de grafospara contar los distintos isomeros de hidrocarburos saturados del tipo CnH2n+2, para nentero positivo.

8 Introduccion

El teorema de los cuatro colores (ver un excelente repaso historico del problema en[R. A. Wilson, Four colors suffice: how the map problem was solved, Penguin Books,2002]) tiene tambien estrecha relacion con esta teora. En 1852, F. Guthrie plantea lasiguiente conjetura: para colorear cualquier mapa geopoltico plano (suponiendo cadapas formado por un unico trozo), de tal modo que dos pases con frontera comun sean dedistinto color, basta (como maximo) con cuatro colores. Si se elige un punto en cada pasrepresentado y se traza una lnea uniendo dos puntos cada vez que correspondan a dospases adyacentes, se obtiene un grafo. El problema del coloreado consiste entonces enatribuir un color a cada vertice del grafo, de manera que dos vertices conectados tengansiempre un color diferente.

En 1976, K. Appel y W. Haken dan una prueba del teorema de los cuatro colores,demostrando mediante un complicado programa de ordenador que, efectivamente, cuatrocolores son suficientes para colorear cualquier mapa plano. Algunos matematicos tienenmuchas reservas con respecto a esta demostracion. Pero, en 1996, N. Robertson, D. P.Sanders, P. Seymour y R. Thomas, publican una nueva prueba, sin los inconvenientes dela demostracion de Appel y Haken, como el elevado numero de configuraciones a estudiary el tiempo que todo este procedimiento requiere.

El teorema de los cuatro colores es igualmente cierto para mapas esfericos. Sobre otrassuperficies, el numero de colores necesarios vara, por ejemplo un mapa torico precisacomo mnimo siete colores.

Los grafos no solo interesan a los matematicos puros. Se usan tambien para represen-tar circuitos electricos, para realizar calculos teoricos relativos a partculas elementales,etc. La teora de grafos tiene igualmente una importancia economica directa, por sus nu-merosas aplicaciones en investigacion operativa. Por ejemplo, para determinar el trayec-to optimo (el menos costoso, el mas rapido) de camiones que deben repartir y recogerproductos a numerosos clientes esparcidos por un pas determinado, la red de carreteraspuede modelizarse por un grafo, cuyas aristas son las carreteras de una ciudad a otra, acada arista se le asocian varios numeros: longitud del camino correspondiente, tiempo derecorrido, coste del peaje, etc. Usando calculos y algoritmos a veces complejos, se de-terminan una o varias soluciones, y se trata entonces de encontrar la mejor de ellas: seesta estudiando la llamada topologa de la red.

0.2.2. La teora de nudos

La tecnica de tejido, que precisa cruces y anudados de hilos, se conoce ya en el neo-ltico. Aun en epocas anteriores, existen metodos que permiten unir una lamina de slexa su mango, con tripas, nervios de animales o fibras vegetales. Lamentablemente, la des-composicion de todas estas ligaduras organicas no permitira nunca conocer con precisionla edad de los primeros nudos. En la epoca actual, los marinos se han apropiado de esta

0.2. Donde se aplica la Topologa Algebraica? 9

tecnica, esencial para su trabajo. En 1944, el pintor C.W. Ashley describe y dibuja en sulibro The Ashley Book of Knots exactamente 3.854 nudos.

Los nudos estan presentes en ambitos tan dispares como la decoracion, la industriatextil, la magia, el alpinismo o la ciruga. Su estudio matematico permite ademas ver surelacion con la fsica, la qumica o la biologa molecular.

El ADN, el material genetico mas importante en la mayora de los organismos, se vehabitualmente como una doble helice, en la que dos cadenas de nucleotidos complemen-tarios se enrollan a lo largo de un eje curvo comun. La doble helice puede moverse enel espacio para formar una nueva helice de orden mayor; en este caso se habla de ADNsobreenrollado. Una gran parte de los ADN conocidos se muestran de esta manera so-breenrollada en algun momento del ciclo de su vida. Cada propiedad fsica, qumica ybiologica del ADN (comportamiento hidrodinamico, energetico, ...) esta influenciado porlas deformaciones asociadas al sobreenrollamiento.

Fotografa ADN Nudo que la representa

La comprension del mecanismo del sobreenrollamiento y las consecuencias de estascaractersticas estructurales para el ADN es un problema matematico bastante complejo,que hace intervenir dos ramas de la matematica: la topologa algebraica y la geometradiferencial. Para estudiar matematicamente el sobreenrrollamiento, hay que construir unmodelo en el que la estructura se represente como un estrecho lazo torcido de espesor in-finitesimal. Por ello, es necesario describir los nudos, encontrar caractersticas esencialesque permitan distinguirlos, en otras palabras, clasificarlos sin riesgo a confusion. Estapropiedades, que deben permanecer inalterables a lo largo de la deformacion, se llamaninvariantes del nudo.

Combinando la teora de nudos con la teora fsica de cuerdas, ha sido posible daruna descripcion unificada de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza: gravedad,electromagnetismo y las interacciones fuertes y debiles entre partculas.

Los qumicos crean en el laboratorio moleculas anudadas, cuyas propiedades les per-miten modificar su forma o desplazarse en funcion de factores electricos, qumicos oluminosos, decididos por la persona que dirige la experiencia. Estas nuevas moleculas separecen en algunas ocasiones a aquellas que, en la naturaleza, estuvieron en el origen dela vida. Otras, permiten imaginar memorias para futuros ordenadores moleculares, ya noelectronicos.

10 Introduccion

0.2.3. Otras aplicacionesLa topologa algebraica, en particular a traves de la denominada topologa digital,

posee numerosas aplicaciones en informatica grafica, robotica o procesamiento de ima-genes digitales (utilizado a su vez en control automatico de calidad, lectura automatica dedocumentos, radiologa, meteorologa, geologa, etc.).

En teora de sistemas dinamicos, el estudio de las propiedades cualitativas (topologi-cas) de los modelos permite hacer predicciones certeras sobre el comportamiento de lossistemas observados.

La teora de homotopa se ha descubierto con una herramienta indispensable en fsica

(i) para clasificar formas de objetos como solitones, vortices, etc.;

(ii) en estudio de cristales lquidos, sustancias que exhiben la dualidad solido-lquido, esdecir que, simultaneamente, poseen propiedades de los lquidos (fluidez y viscosi-dad) y propiedades opticas que se parecen de modo asombroso a las de los cristales;

(iii) para la clasificacion de defectos y texturas en medios ordenados, como los cristales.

Ademas, fsicos y qumicos se centran en la teora de casi-cristales, aleaciones metali-cas, donde la disposicion de los atomos es regular, como en un cristal, pero aperiodica.Las teoras de grafos y de mosaicos proporcionan modelos de difraccion para los solidoscasi-cristalinos.

La teora cuantica de campos emplea las teoras de homotopa y homologa como he-rramientas basicas, la teora de fibrados es esencial en estudios electromagneticos, etc. Sinduda, se descubriran en el futuro otras muchas maneras de aplicar las teoras topologicasa otros campos de la Ciencia.

0.2.4. Organizacion del textoLas demostraciones de los resultados mas importantes estan indicadas en el texto.Hay una amplia coleccion de ejercicios, de diferente dificultad, alguno de los cuales

debera entregarse resuelto como ejercicio del curso.La bibliografa indicada es muy amplia, aunque no exhaustiva. Se indican con * los

textos mas recomendables, por su sencillez en algunos casos, o por tratarse de textosbasicos y clasicos en otras ocasiones.

Leioa, octubre de 2013

Preliminares

En este captulo, repasamos algunos conceptos y estudiamos otros que utilizaremosconstantemente durante el curso.

1.1. Categoras y functoresIntuitivamente, una categora puede pensarse como una coleccion de conjuntos dota-

dos de estructuras de la misma especie y aplicaciones que preservan estas estructuras. Demanera mas precisa

Definicion 1.1. Una categora C esta formada por

(1) una clase de objetos, Obj(C),

(2) a cada par ordenado de objetos (X, Y ), le corresponde un conjunto de morfismos, de-notado homC(X, Y ), siendo las familias homC(X, Y ) y homC(X , Y ) disjuntas siel par (X, Y ) es distinto del par (X , Y ). Un morfismo cualquiera f homC(X, Y )se escribe usualmente del modo f : XY ,

(3) dada una terna de objetos de la categora (X, Y, Z), se define una aplicacion

: homC(X, Y ) homC(Y, Z)homC(X,Z),llamada composicion, que cumple los dos axiomas siguientes

Asociatividad: si f homC(X, Y ), g homC(Y, Z) y h homC(Z,W ), esh (g f) = (h g) f ,Identidad: a cada objeto Y en la categora se le puede asociar el morfismoidentidad (que es unico, debido a los axiomas), 1Y homC(Y, Y ), tal que sif homC(X, Y ) y g homC(Y, Z), entonces g 1Y = g y 1Y f = f .

Ejemplos 1.1. Algunos ejemplos de categoras son

(i) Set, la categora de conjuntos y aplicaciones;

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2 Captulo 1. Preliminares

(ii) Group, la categora de grupos y homomorfismos de grupos;

(iii) Ab, la categora de grupos abelianos y homomorfismos de grupos;

(iv) Ring, la categora de anillos conmutativos con unidad y homomorfismos de anillos;

(v) Top, la categora de espacios topologicos y aplicaciones continuas;

(vi) VectR, la categora de espacios vectoriales reales y aplicaciones Rlineales;

(vii) Diff, la categora de variedades diferenciales de clase C y aplicaciones diferen-ciables de clase C;

(viii) Top, la categora de pares de espacios topologicos con punto base (X, {x0})(donde x0 X) y aplicaciones continuas f : XY tales que f(x0) = y0;

(ix) ParTop, la categora de pares de espacios topologicos (X,A) (donde A X) yaplicaciones continuas f : XY tales que f(A) B.

Definicion 1.2. Si f homC(X, Y ) y existe g homC(Y,X), tal que g f = 1X yf g = 1Y , se dice que f es una equivalencia en la categora C. Se dice que g es la inversade f y se denota por g = f1.

Definicion 1.3. Un functor covariante T de una categora C1 en una categora C2, deno-tado T : C1C2, esta definido por(i) una funcion T que asocia a cada objeto X en C1, un objeto T (X) en C2,

(ii) una funcion, denotada tambien T , que asocia a cada morfismo f homC1(X, Y ) unmorfismo T (f) homC2(T (X), T (Y )), de tal modo que(1) T (1X) = 1T (X),

(2) si f homC1(X, Y ) y g homC1(Y, Z), es T (g f) = T (g) T (f).Definicion 1.4. Un functor contravariante T : C1C2, esta definido por(i) una funcion T que asocia a cada objeto X en C1, un objeto T (X) en C2,

(ii) una funcion, denotada tambien T , que asocia a cada morfismo f homC1(X, Y ) unmorfismo T (f) homC2(T (Y ), T (X)), de tal modo que(1) T (1X) = 1T (X),

(2) si f homC1(X, Y ) y g homC1(Y, Z), es T (g f) = T (f) T (g).

1.1. Categoras y functores 3

El gran problema de la topologa algebraica es el de encontrar y estudiar una suficientecantidad de functores, de modo que la solucion de una cuestion topologica complicadaequivalga a la de un problema algebraico mas simple. Es decir, se trata de encontrar func-tores de Top en Group, o de Top en Ab, etc.

Ejemplos 1.2. Algunos ejemplos de functores son

(i) el functor identidad de cualquier categora C en s misma, definido de la maneraobvia;

(ii) el functor de olvido, de la categora Top en la categora de conjuntos Set, que asignaa cada espacio topologico X el conjunto base X (sin estructura) y a cada aplicacioncontinua la misma aplicacion olvidando su continuidad. Existen tambien functoresde olvido entre otras muchas categoras, por ejemplo de Group en Set, de Ab enGroup, etc;

(iii) siM es un espacio topologico, se define el functor covariante (M) : TopTop,donde (M)(X) = X M para cada espacio topologico X y si f : XY escontinua, (M)(f) = f 1M ;

(iv) el functor espacio dual, () : VectRVectR, que asigna a cada espacio vectorialreal V , su dual V (espacio vectorial de las aplicaciones lineales V R) y acada aplicacion lineal : V W la aplicacion dual : W V definida por(f)(x) = f((x)), es un ejemplo de functor contravariante;

(v) el functor contravariante C(;R) : DiffRing, que asocia a una variedaddiferenciable M el anillo de las funciones reales diferenciables en M y a la apli-cacion de clase C f : MN el homomorfismo f : C(N ;R)C(M ;R),dado por f () = f .

Proposicion 1.1. Si T : C1C2 es un functor y f es una equivalencia en C1, entoncesT (f) es una equivalencia en C2, tal que (T (f))1 = T (f1).

Definicion 1.5. Si T yS son dos functores de la categora C1 en la categora C2, unatransformacion natural de S en T , denotada : ST , es un sistema de morfismosen C2, X homC2(S(X), T (X)) para cada objeto X en C1, que hace conmutativo elsiguiente diagrama, para cada f homC1(X, Y )

S(X)S(f) S(Y )

X

yy Y

T (X)T (f) T (Y )


Si cada X es una equivalencia, se llama una equivalencia natural. En tal caso, secumple = 1 (es decir, X = 1X , para cada objeto X en C1), y es tambien unaequivalencia natural (invirtiendo las flechas verticales en el diagrama anterior), llamadaequivalencia natural inversa.

Ejemplos 1.3. Algunos ejemplos de transformaciones naturales son

(i) consideremos los siguientes functores

()X : RingGroup, que asocia a un anillo R el grupo multiplicativo RXde los elementos inversibles del anillo, y a un homomorfismo f : RS surestriccion al subconjunto de los elementos inversibles f |RX : RXS;GL(n;) : RingGroup, que asocia a un anillo R el grupo GL(n;R) delas matrices n n, inversibles y con valores en el anillo R, y a un homomor-fismo f : RS el homomorfismo de grupos f : GL(n;R)GL(n;S),definido por f ((aij)i,j) = (f(aij))i,j .

Entonces, detR : GL(n;R)RX , que asocia a cada matriz inversible su determi-nante, es una transformacion natural entre estos dos functores;

(ii) consideremos los functores

identidad Id : VectRVectR,el functor doble dual () : VectRVectR.

Entonces, : VectRVectR, definido por V (v) = (f f(v)), para el espaciovectorial real V y f V , es una transformacion natural entre estos dos functores.Si restringimos a la subcategora de los espacios vectoriales de dimension finita,se obtiene una equivalencia natural.

1.2. Conexion por caminosLa conexion es una propiedad difcil de manejar, al tratarse de una propiedad en sen-

tido negativo: un espacio topologico es conexo si no existe una separacion no trivial porabiertos disjuntos. La conexion por caminos posee la ventaja de ser una propiedad alge-braica y en sentido positivo.

Definicion 1.6. Dado un espacio topologico X , un camino en X es una aplicacion con-tinua : [0, 1]X . Si (0) = a y (1) = b, se dice que es un camino de a a b.Definicion 1.7. X es conexo por caminos, si para todo par de puntos a, b X existe uncamino que los une.

1.2. Conexion por caminos 5

Proposicion 1.2. Si X es conexo por caminos, es conexo.

El recproco no es cierto:

Ejemplo 1.1. La curva seno topologico es el sub-espacio del plano eucldeo

A = ((, 0] {0}) {(

x, sin

(1

x

)): x > 0

}.

A es conexo, pero no es conexo por caminos.

Ejemplos 1.4. A continuacion se dan algunos ejemplos de espacios conexos por caminos

(i) los espacios indiscretos son conexos por caminos;

(ii) en la recta real, los conjuntos conexos y los conexos por caminos coinciden;

(iii) para A Rn, se verificasi A es conexo y abierto, es conexo por caminos;

si A es convexo, es conexo por caminos;

si A es contable y n > 1, Rn A es conexo por caminos.Teorema 1.3. La imagen continua de un espacio conexo por caminos, es conexa porcaminos.

Por lo tanto, la conexion por caminos es una propiedad topologica, pasa al cociente,etc. Pero, no es una propiedad hereditaria.

Teorema 1.4. El producto finito de espacios conexos por caminos, es conexo por caminos.

Se define sobre X la relacion binaria x y si y solo si existe un camino en X queune x e y. Se trata de una relacion de equivalencia, cuyas clases son las componentesconexas por caminos de X . Se denota usualmente por pi0(X) a la familia de estas clases.La componente conexa por caminos de un punto x es el mayor conjunto conexo porcaminos de X que lo contiene.

Definicion 1.8. X es localmente conexo por caminos, si cada punto de X posee una baselocal formada por conjuntos conexos por caminos.

A pesar del ejemplo 1.1, existe un recproco parcial de la proposicion 1.2

Proposicion 1.5. Si X es conexo y localmente conexo por caminos, entonces es conexopor caminos.


1.3. Algunas nociones sobre grupos

1.3.1. Grupo (no abeliano) libre con dos generadoresSea E el conjunto de las palabras finitas (incluida la palabra vaca) que se pueden

formar al yuxtaponer los smbolos ap y bq, con p, q Z. Dada una palabra, esta permitidoefectuar las siguientes reducciones

reemplazar un grupo de dos smbolos consecutivos apaq por el smbolo ap+q;

reemplazar un grupo de dos smbolos consecutivos bpbq por el smbolo bp+q;

suprimir a0 y b0.

Una palabra para la que toda reduccion es imposible, es una palabra reducida. Esta for-mada por una sucesion de smbolos alternativamente de la forma ap y bq, con exponentesno nulos. Se verifica facilmente que toda palabra admite una unica reduccion.

Se denota por L(a, b) o Z Z, al conjunto de las palabras reducidas dotado de laley de composicion siguiente: el producto m.m de dos palabras, es la palabra reducidaasociada a la palabra (no necesariamente reducida) obtenida al escribir m y m conse-cutivamente.

Para esta ley, L(a, b) es un grupo para el que la palabra vaca es el elemento neutro y(apnbqn . . . ap1bq1) es la inversa de la palabra (bq1ap1 . . . bqnapn).

Las aplicaciones a, b : ZL(a, b) definidas por a(p) = (ap) y b(q) = (bq) son doshomomorfismos inyectivos.

Ademas, si G es un grupo y , : ZG son dos homomorfismos, existe un unicohomomorfismo : L(a, b)G tal que a = y b = , y dado por (ap) = (p)y (bq) = (q).

1.3.2. Grupo libre sobre un conjuntoEs una generalizacion de la nocion anterior: en vez de formar palabras con la ayuda

de letras a y b, se utilizan todos los elementos del conjunto S. En particular, si S es unconjunto finito de n elementos, se obtiene el grupo libre de n generadores, que se denotaL(S).

1.3.3. Producto libre de dos gruposEs otra generalizacion de la primera nocion: sean G1 y G2 dos grupos; se considera

el conjunto de las palabras finitas constituidas por elementos de G1 y de G2. Se permite areemplazar dos letras consecutivas g1 y g1 si estan en el mismo grupoG1 por la unica letrag1.g

1 G1, y lo mismo conG2. Ademas, se suprimen los elementos neutros. Como antes,

1.3. Algunas nociones sobre grupos 7

una palabra reducida es una sucesion finita de elementos provenientes alternativamente deG1 y G2. El conjunto de las palabras reducidas, dotado de la ley de composicion evidente,constituye el grupo G1 G2, producto libre de ambos grupos.

Para i {1, 2}, las aplicaciones i : GiG1 G2 dadas por i(gi) = (gi), sonhomomorfismos inyectivos. Ademas, si G es un grupo y se tienen los homomorfismosi : GiG, existe un unico homomorfismo : G1 G2G tal que i = i. Sehabla de esta propiedad como de la propiedad universal del producto libre de dos grupos.

Observaciones 1.1. Para el producto libre de grupos, se verifica que

(i) la anterior propiedad caracteriza el producto libre G1 G2, salvo isomorfismos;(ii) si G2 se reduce al elemento neutro, entonces 1 es un isomorfismo;

(iii) siG1 yG2 son los grupos generados por los smbolos a y b respectivamente estamosen el caso del apartado 1.3.1.

1.3.4. Producto amalgamado de dos gruposRecordemos que si H es un grupo y N un subgrupo, se dice que N es normal en H ,

si para cada h H y x N , es h1xh N . Si K es un subgrupo de H , se denota porK a la interseccion de todos los subgrupos normales en H que contienen a K: este grupoesta constituido por la familia de los elementos h1kh con h H y k K y por todossus productos, y es el menor subgrupo normal de H que contiene a K. Se dice que K esla clausura normal de K en H .

Sean G0, G1 y G2 grupos y para i {1, 2} homomorfismos i : G0Gi. Sea N elmenor subgrupo normal en G1 G2 que contiene todos los elementos de la forma

{(1(g)2(g)1), (2(g)1(g)1) : g G0},

y sea : G1 G2G1 G2/N la sobreyeccion canonica. Se denota al grupo cocientepor G1 G2/N = G1 G0 G2, y se dice que es el producto de G1 y G2 amalgamado porG0.

Para i {1, 2}, los homomorfismos i = i satisfacen la relacion 11 = 22,ya que para g G0 los elementos 1(1(g)) y 2(2(g)) difieren en un elemento queesta en N = ker().

Ademas, si H es un grupo y para i {1, 2} los homomorfismos i : GiH verifi-can la identidad 11 = 22, existe un unico homomorfismo : G1 G0 G2H talque i = i. En efecto, por la propiedad universal del producto libre, existe un unicohomomorfismo : G1 G2H tal que i = i; pero la identidad 11 = 22prueba que {(1(g)2(g)1), (2(g)1(g)1) : g G0} ker(), y por lo tanto, estambien N ker(), con lo que pasa al cociente por N .


Como se caracterizan los elementos de N? Para que una palabra (no necesariamentereducida) represente un elemento de G1 G2 que esta en N , es necesario y suficiente quese pueda reducir al neutro (la palabra vaca) por una sucesion de manipulaciones de lostipos siguientes

(i) reemplazar una letra 1(g) por 2(g), para g G0 y recprocamente;(ii) reemplazar dos letras consecutivas gi y gi (donde gi, g

i Gi, i {1, 2}), por la letra

gi = gi.gi Gi, y recprocamente, descomponer una letra gi en una sucesion gi gi,

si gi = gi.gi.

Estas manipulaciones no cambian el elemento correspondiente de G1 G2 y permitenalcanzar la palabra reducida deseada.

Observaciones 1.2. Como casos particulares, tenemos

(i) si G0 se reduce al elemento neutro, N es el grupo trivial y el producto amalgamadoG1 G0 G2 es isomorfo a G1 G2;

(ii) si G2 se reduce al elemento neutro, entonces N es el subgrupo normal engendradopor el conjunto 1(G0) = {1(g) : g G0}. Ademas, G1 G2 es isomorfo a G1,por la observacion 1.1 (i). El producto amalgamado es entonces el cociente de G1por el menor subgrupo normal 1(G0), que contiene a 1(G0).

1.3.5. Presentaciones de gruposA veces, es conveniente describir un grupo dando un conjunto de generadores y una

lista de reglas que expliquen como se multiplican estos generadores. Por ejemplo, el grupocclico de orden n generado por g puede describirse como el grupo generado por g, conla unica relacion gn = 1: cualquier otra relacion del grupo, como g2n = 1 o g3n = g3 sederiva de la primera. Pero es preciso expresar con rigor estas nociones.

Definicion 1.9. Una presentacion de un grupo es un par ordenado, S|R, donde S esun conjunto arbitrario y R es un conjunto de elementos del grupo libre L(S). Los ele-mentos de S y R se llaman generadores y relaciones de la presentacion, respectivamente.Una presentacion define un grupo, denotado tambien S|R, como el cociente S|R =L(S)/R, donde R es la clausura normal de R en L(S).

Cada generador s S determina un elemento en S|R y toda relacion r R repre-senta un producto particular de generadores y sus inversos, que es igual a 1 en el cociente.En cierto sentido, S|R es el mayor grupo generado por S en el que todos los productosrepresentados por los elementos de R son iguales a 1.

1.4. Clasificacion de superficies compactas 9

Si G es un grupo y existe un isomorfismo G ' S|R, se dice que S|R es unapresentacion del grupo G. Todo grupo admite una presentacion, pero lo importante esencontrar una eficaz, es decir, con los conjuntos S y R lo menores posible.

Si G admite una presentacion S|R, para S = {1, . . . , n} y R = {r1, . . . , rm}conjuntos finitos, se dice que G tiene una presentacion finita. Y la presentacion se es-cribe de la forma 1, . . . , n|r1, . . . , rm o tambien 1, . . . , n|r1 = 1, . . . , rm = 1.A veces, se escribe 1, . . . , n|r1 = q1, . . . , rm = qm para expresar la presentacion1, . . . , n|r1q11 , . . . , rmq1m .Ejemplos 1.5. Algunos ejemplos de presentaciones de grupos son

(i) Z Z tiene como presentacion g1, g2|g1g2 = g2g1;(ii) Z/nZ tiene como presentacion g|gn = 1;(iii) Z/nZ Z/mZ tiene como presentacion g1, g2|gn1 = 1, gm2 = 1, g1g2 = g2g1.

1.4. Clasificacion de superficies compactas

1.4.1. Definicion de superficie y ejemplosDefinicion 1.10. Una variedad topologica de dimension n es un espacio topologico Haus-dorff y segundo numerable, donde cada punto posee un entorno homeomorfo a Rn (equi-valentemente, a una bola abierta eucldea de dimension n). Es decir, se trata de un espaciomodelado por el espacio eucldeo Rn.

Una superficie topologica es una variedad de dimension dos. Los primeros ejemplosde superficies son el plano R2, la esfera S2, el toro T2, y en general, cualquier abierto deuna superficie sigue siendo una superficie.

La descripcion de las superficies no compactas es muy complicada. Aqu, vamos adar unicamente un breve repaso de las propiedades de las superficies compactas. Para suestudio, es conveniente tener una manera uniforme de representarlas.

El prototipo es el toro T2, que se define co-mo el cociente de un cuadrado en R2, identi-ficando aristas por pares de una determinadamanera, como se muestra en la figura

Definicion 1.11. El toro T2 es el cociente de [0, 1]2, por la relacion de equivalencia(0, t) (1, t) y (t, 0) (t, 1), si 0 t 1.


Nuestro objetivo es probar que toda superficie compacta se puede representar comoel cociente de una region poligonal en el plano por una relacion de equivalencia queidentifica los lados a pares. Como ejemplos basicos, tenemos

Lema 1.6. La esfera S2 es homeomorfa a cualquiera de los cocientes siguientes

(i) el cociente del disco unidad D2, bajo la relacion de equivalencia (x, y) ' (x, y), si(x, y) fr(D2);

(ii) el cociente de [0, 1]2, por la relacion de equivalencia (0, t) (t, 0) y (1, t) (t, 1),si 0 t 1.

Lema 1.7. El plano proyectivo real RP2 es homeomorfo a cualquiera de los cocientessiguientes

(i) el cociente de S2, obtenido tras identificar puntos antipodales;

(ii) el cociente de D2, bajo la relacion (x, y) ' (x,y), si (x, y) fr(D2);(iii) el cociente del cuadrado [0, 1]2, por la relacion de equivalencia (0, t) (1, 1 t) y

(t, 1) (1 t, 0), si 0 t 1.

1.4.2. Regiones poligonales

Definicion 1.12. Una region poligonal P en el plano es unconjunto compacto, cuya frontera topologica es union de unafamilia finita de segmentos cerrados llamados aristas, con pun-tos finales denominados vertices, tales que


(i) para cada punto q en una arista que no sea un vertice, existe un entorno U en R2, talque P U = U H , donde H = {(x, y) : ax+ by+ c 0} es un cierto semiplanocerrado;

(ii) cada vertice v posee un entorno V en R2, tal que P V = V H , donde H es launion de dos semiplanos cerrados cuyas fronteras se cortan en v.

El siguiente resultado es clave en todo lo que sigue (ver [Lee]).

Proposicion 1.8. Sea P una region poligonal en el plano con un numero par de aristasy sea una relacion de equivalencia que identifica cada arista con exactamente otra,por medio de un homeomorfismo lineal que enva los puntos finales de una arista en lospuntos finales de la otra. El cociente resultante es una superficie compacta.

La importancia de esta representacion plana para unasuperficie es que, en muchas ocasiones, es mas sen-cillo manipular objetos sobre la region poligonal quela representa. Por ejemplo, esto sucede al estudiarcaminos sobre el toro T2, como muestra la figura dela derecha.

Definicion 1.13. La botella de Klein K2 se define como el cociente de [0, 1]2 por larelacion de equivalencia ' que identifica (0, t) ' (1, t) y (t, 1) ' (1 t, 0), si 0 t 1.


Para visualizarlo, pensar primero en pegar las aristas izquierda y derecha para formarun cilindro, y despues pasar la tapa superior del cilindro a traves de su pared, con elfin de pegar el crculo superior con el inferior desde dentro. Desde luego, esto no puederealizarse con un modelo fsico; de hecho la superficie de Klein no es un subespacio deR3. Sin embargo, la proposicion 1.8 prueba que es una superficie.

1.4.3. Suma conexa de superficiesPara construir otros ejemplos de superficies, vamos a introducir una manera estandar

de fabricar variedades, pegando otras mas sencillas, procedimiento que sera valido encualquier dimension.

Sean M1 y M2 dos variedades topologicas de dimension n y conexas. Para i {1, 2},sean Di Mi subconjuntos homeomorfos a bolas cerradas eucldeas de radio 1 y Bi elinterior de Di. Elegimos un homeomorfismo : fr(D1)fr(D2) (que existe porqueambas fronteras son homeomorfas a la esfera Sn1). Si M i = Mi Bi, sobre la sumadisjunta M 1 unionsqM 2, se identifica q fr(D1) con su imagen (q) fr(D2).Definicion 1.14. El cociente resultantese llama la suma conexa de M1 y M2,y se denota por M1]M2. Geometrica-mente, la suma conexa se obtiene cor-tando una pequena bola abierta de ca-da una de las variedades y pegando losespacios resultantes, a traves de sus es-feras frontera.

Proposicion 1.9. Si M1 y M2 son variedades de dimension n y conexas, cualquier sumaconexa M1]M2 es una variedad de dimension n y conexa.

La definicion de M1]M2 depende, a priori, de varias elecciones: para i {1, 2} losconjuntos Di, el homeomorfismo , etc. A pesar de eso, se puede probar que diferentesdecisiones dan lugar a sumas conexas homeomorfas.

Ejemplos 1.6. Los siguientes son ejemplos sencillos de sumas conexas

(i) si M es una variedad, M]Sn es homeomorfa a M ;

(ii) la suma conexa T2] (n). . . ]T2 es la superficie compacta de genero n (este nombre seaclarara en los problemas) o esfera de n asas. Esta ultima nomenclatura se debe a


que, de hecho, esta superficie es homeomorfa a la suma conexa S2]T2] (n). . . ]T2, ycada toro anadido parece un asa pegada a la esfera base.

Como hemos mencionado antes, para dar el teorema de clasificacion de superficiescompactas, precisamos una manera uniforme de describir tales objetos. Vamos a repre-sentar todas estas superficies como cocientes de regiones poligonales con 2n lados. Demanera informal, podemos describir cada relacion de equivalencia entre aristas, nom-brando las aristas con letras a1, . . . , an y dibujando sobre cada una de ellas una flechaapuntando hacia uno de sus vertices, de modo que los vertices con el mismo nombre seidentifican, con las flechas indicando el modo en que las aristas se pegan. Una vez reali-zado este proceso, se asocia al polgono una sucesion de smbolos, obtenidos al leer lasetiquetas de sus bordes en el sentido de las agujas del reloj: para cada smbolo ai en lafrontera, escribimos ai en la sucesion si la flecha posee el sentido horario y ponemos a1isi la flecha va en el sentido antihorario. Por ejemplo, la relacion de equivalencia de [0, 1]2

que da lugar al toro (ver definicion 1.11) resulta en una sucesion de smbolos aba1b1.Formalmente, la presentacion de una superficie es un par, a1, . . . , an | W1, . . .Wk,

que consiste en una familia finita de smbolos {a1, . . . , an} y otro conjunto finito de pala-bras {W1, . . .Wk} cada una de las cuales es una sucesion finita de elementos, que puedenser ai o a1i (donde (a

1i )1 = ai), para algun ai en la lista, de tal manera que

(1) cada smbolo ai ocurre exactamente un numero par de veces enW1, . . .Wk (contandoambos ai o a1i como una aparicion);

(2) cada palabraWj posee longitud (numero de letras) 3 al menos, salvo en el caso en quela presentacion completa tenga solo una palabra, en cuyo caso a la palabra simplese le asigna la longitud 2.

Una presentacion determina un espacio topologico con la siguiente receta

(1) se asocia a cada palabra Wj un kjpolgono convexo Pj en el plano, donde kj es lalongitud de Wj , y donde los polgonos elegidos son disjuntos (en el caso especialde kj = 2, se usa en su lugar un disco cerrado, porque no existe un polgono de doscaras, y se consideran las aristas como los semicrculos izquierdo y derecho);

(2) se define una correspondencia uno a uno entre las letras de Wj y las aristas delkjpolgono, siguiendo el orden de las agujas del reloj, empezando por una aristaarbitraria;


(3) se identifica cada par de aristas que tienen el mismo smbolo, de acuerdo con elhomeomorfismo afn que pega los primeros vertices en orden de las agujas del reloj,si dos aristas tienen la misma etiqueta ai o a1i , y que identifica el primer vertice deuna con el segundo vertice de la otra si las aristas estan etiquetadas ai y a1i .

Por la proposicion 1.8, el espacio topologico resultante es una superficie compacta.Los interiores, aristas y vertices de los polgonos Pj se llaman caras, aristas y vertices dela presentacion. El numero de caras es el mismo que el numero de palabras, la cantidadde aristas de la presentacion es el doble que el numero de smbolos a1, . . . , an. Para unaarista etiquetada ai, el vertice inicial es el primero siguiendo el orden de las agujas delreloj, y el vertice final es el otro; para una arista etiquetada a1i , estas definiciones seinvierten.

La superficie determinada por una presentacion con una unica cara es conexa, porquees un cociente de un polgono conexo; con mas de una cara, no hay certeza de que eslo que sucede. Las unicas elecciones arbitrarias involucradas en esta construccion sonformas, tamanos y ubicaciones de los polgonos y la decision de cual es la primera arista(para seguir luego, a partir de ella, el orden de las agujas del reloj); es facil ver quediferentes elecciones en este sentido, dan lugar a superficies homeomorfas.

Ejemplos 1.7. Las siguientes superficies estan determinadas por las presentaciones:

(1) la esfera S2: a | aa1 o a, b | aa1bb1;(2) el toro T2: a, b | aba1b1;(3) el plano proyectivo RP2: a | aa o a, b | abab;(4) la botella de Klein K2: a, b | aba1b.

Ahora vamos a describir las presentaciones estandar de superficies formadas por sumaconexa. La clave es la siguiente proposicion

Proposicion 1.10. Sean M1 y M2 superficies dadas por presentaciones a1, . . . , an | W1y b1, . . . , bm | W2 respectivamente (W1 y W2 representan palabras simples, y parte dela hipotesis es que cada presentacion tiene una cara simple). Entonces, la suma conexaM1]M2 tiene como presentacion a1, . . . , an, b1, . . . , bm | W1W2, donde W1W2 indica lapalabra formada al concatenar W1 y W2.


De la proposicion 1.10 y de los ejemplos 1.7, se deduce

Ejemplos 1.8. Se tienen las siguientes presentaciones, llamadas estandar

(1) a1, b1, . . . , anbn | a1b1a11 b11 . . . anbna1n b1n para la superficie compacta de generon;

(2) a1, . . . , an | a1a1 . . . anan para la suma conexa de n copias de RP2.

Hay ciertas reglas para transformar presentaciones de superficies en otras diferentesde la misma superficie (bajo homeomorfismo). Se dice que dos presentaciones son equi-valentes, si determinan superficies homeomorfas. Y puede probarse

Proposicion 1.11. Cada una de las siguientes operaciones sobre una presentacion pro-duce otra equivalente

(1) Renombramiento: cambiar las ocurrencias de un smbolo ai, por un nuevo smbolo,aun no existente en la presentacion; intercambiar todas las ocurrencias de dossmbolos ai y aj o intercambiar todas las ocurrencias de ai y a1i , para algun i;

(2) Reflejo: a1, . . . , an | a1 . . . am,W2, . . . ,Wk 7 a1, . . . , an | a1m . . . a11 ,W2, . . . ,Wk;(3) Rotacion: a1, . . . , an | a1a2 . . . am,W2, . . . ,Wk 7

7 a1, . . . , an | a2 . . . ama1,W2, . . . ,Wk;(4) Corte: si W1 y W2 son palabras con al menos longitud 2, a1, . . . , an | W1W2 7a1, . . . , an, c | W1c, c1W2;

(5) Pegado: a1, . . . , an, c | W1c, c1W2 7 a1, . . . , an | W1W2;


(6) Doblado: siW1 yW2 tienen ambas longitud al menos 2, a1, . . . , an, a | W1aa1W2 7a1, . . . , an | W1W2.

Se presentan debajo esquematicamente estas operaciones

Utilizando las anteriores transformaciones, es facil comprobar

Lema 1.12. Se verifican las propiedades

(1) la botella de Klein es homeomorfa a la suma conexa RP2]RP2;

(2) la suma conexa RP2]RP2]RP2 es homeomorfa a T2]RP2.

Y finalmente, combinando los anteriores resultados, se deduce el teorema de clasifi-cacion de superficies compactas

Teorema 1.13. Cualquier superficie conexa y compacta es homeomorfa a una de lassiguientes

(1) una esfera S2;

(2) una suma conexa de toros T2] (n). . . ]T2;

(3) una suma conexa de planos proyectivos RP2] (n). . . ]RP2.

1.5. Problemas1.- Probar los siguientes espacios son conexos por caminos

(i) las nvariedades conexas;

1.5. Problemas 17

(ii) el cono de un espacio topologico X: sobre X [0, 1], se considera la relacion deequivalencia (x, 1) (y, 1), para x, y X . El cociente bajo esta relacion, C(X),es el cono de X . X se identifica con el subespacio X {0} de C(X);

(iii) la suspension de un espacio X: sobre X [1, 1], se considera la relacion de equi-valencia (x, 1) ' (y, 1) y (x,1) ' (y,1), para x, y X . El cociente S(X) (quetambien puede verse como un cociente de C(X)) se llama suspension de X .

2.- Si X es un espacio topologico, se denota por pi0(X) el conjunto de las componentesconexas por caminos. Dada una funcion continua f : XY , se define la aplicacionpi0(f) : pi0(X)pi0(Y ) que lleva una componente conexa por caminos C en X en launica componente conexa por caminos en Y que contiene al conjunto f(C). Demostrarque pi0 : TopSet es un functor covariante.3.- Sean X e Y espacios topologicos, A X y f : AY continua. Se denota porX f Y al cociente de la suma disjunta de X unionsq Y por la relacion de equivalencia queidentifica x A con f(x) Y . Se dice que se ha adjuntado X a Y a traves de f .

Se pide probar

(i) Y se puede pensar como un subespacio de X f Y , con lo que hay una copia homeo-morfa de Y en X f Y ;

(ii) si X e Y son espacios compactos y Hausdorff, A es cerrado en X y f : AY escontinua, entonces X f Y es compacto y Hausdorff;

(iii) si A es cerrado y se adjunta X a Y = {y0} por la aplicacion constante f(A) = y0,entonces el espacio de adjuncion asociado es homeomorfo al cociente X/A;


(iv) comprobar que el cono de X se obtiene adjuntando X [0, 1] a Y = {y0}, atraves de la aplicacion constante f : X {1}Y . Y la suspension de X , se ob-tiene adjuntando X [1, 1] a Y = {a, b}, a traves de la aplicacion continuag : X {1, 1}Y que lleva g(X {1}) = a y g(X {1}) = b;

(v) si se adjuntaX[0, 1]Y a la union disjuntaXunionsqY a traves de la aplicacion continuaf : X {0, 1} Y X unionsq Y definida por f(x, 0, y) = x y f(x, 1, y) = y, seobtiene el join, X Y de X e Y .

Comprobar queX{x0} es homeomorfo al cono deX y queXS0 es homeomorfoa su suspension;

(vi) si (X, x) e (Y, y) son espacios con puntos base, se define su wedge, X Y , comoel cociente de su suma disjunta X unionsq Y , tras identificar los puntos base. Expresarlocomo un espacio de adjuncion;

(vii) supongamos que X , Y y W son espacios compactos Hausdorff y A es un sub-conjunto cerrado de X . Sea f : AY continua y g : X unionsq Y W continua ysobreyectiva. Si para cada w W , g1(w) es o bien un punto de X A o bien launion de un punto y Y con f1(y) A, probar que entonces W es homeomorfoa X f Y ;

(viii) S1 S1 es homeomorfo al espacio de adjuncion de dos cilindros S1 [0, 1] atraves de la aplicacion identidad que identifica sus crculos frontera, es decir, eshomeomorfo al toro T2;

(ix) S1S2 es homeomorfo al espacio de adjuncion de dos toros solidos S1D2 a travesde la aplicacion identidad entre los toros frontera S1 S1;

(x) S3 es homeomorfo al espacio de adjuncion de dos toros solidos S1 D2 a travesde la aplicacion entre los toros frontera que intercambia los meridianos y paralelosh : S1 S1S1 S1, definida por h(x, y) = (y, x).

4.- Para cada una de las siguientes presentaciones de superficies, aplicar el algoritmo declasificacion de la proposicion 1.11 y determinar de que superficie se trata

1.5. Problemas 19

(i) a, b, c | abacb1c1; (ii) a, b, c | abca1b1c1;(iii) a, b, c | abca1b1c; (iv) a, b, c | ab1c1a1cb;(v) a, b, c | abc1bca; (vi) a, b, c, d, e, f | abc, bde, c1df, e1fa;(vii) a, b, c, d, e, f, g | afg1e1b1bec1cgd1df1a1;(viii) a, b, c, d, e, f | ab1cedefa1bc1d1f;(ix) a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l,m, n, o | abc, bde, dfg, fhi, haj, c1kl, e1mn, g1ok1,

i1l1m1, j1n1o1.

5.- La banda de Mobius

En [0, 1]2 se identifican (0, y) ' (1, 1 y), para cada y [0, 1]. La banda de Mobiuses el cociente M = [0, 1]2/ ', y es lo que se denomina una superficie con borde. Pro-bar que si p : [0, 1]2M es la aplicacion cociente, el subespacio de M definido porp ([0, 1] {0, 1}) (llamado la arista de la banda) es homeomorfo a S1.Una superficie S es orientable si no contiene ningun subespacio homeomorfo a la bandade Mobius (de otro modo, si no existe ningun embebimiento i : MS, de la banda Men la superficie dada). En caso contrario se dice no orientable. Se pide probar

(i) la esfera S2 es orientable;

(ii) la orientabilidad es una propiedad topologica;

(iii) al contrario que las superficies no orientables, toda superficie orientable puede em-beberse en R3.

6.- El toro

Sea la aplicacion f : [0, 1]2S1 S1, definida por

f(s, t) = (cos(2pis), sin(2pis), cos(2pit), sin(2pit)).

Se pide probar

(i) f pasa al cociente dado por la definicion 1.11, de donde se deduce que el toro T2 eshomeomorfo al producto S1 S1;

(ii) el toro (y cualquier suma conexa de toros) es una superficie orientable.


7.- La botella de Klein

Se pide probar que

(i) la botella de Klein K2 es homeomorfa al espacio de adjuncion de dos bandas deMobius por la aplicacion identidad que identifica sus aristas;

(ii) deducir que la botella de Klein es no orientable;

(iii)K2 no puede embeberse en R3, pero si en R4: la funcion f : [1, 1]2R4 dada porf(x, y) =

((1 + |x|) cos(piy), (1 + |x|) sin(piy), sin(pix) cos (piy

2

), sin(pix) sin

(piy2

)),

es continua y pasa al cociente dado en la definicion 1.13.

8.- El plano proyectivo real

Se pide probar que

(i) el plano proyectivo real RP2 es homeomorfo al espacio de adjuncion de una banda deMobius y un disco por la aplicacion identidad que identifica sus fronteras;

(ii) deducir que RP2 (y cualquier suma conexa de planos proyectivos) es no orientable;

(iii) el plano proyectivo real no puede embeberse en R3, pero si en R4: se considerala funcion continua f : R3R4 dada por f(x, y, z) = (x2 y2, xy, yz, xz). Laimagen por f de dos puntos antipodales de S2 R3 es el mismo punto deR4, por loque esta funcion pasa al cociente dado por el lema 1.7, definiendo un embebimientodel RP2 en R4.

9.- Caracterstica de Euler y genero de una superficie

Aunque hemos demostrado en el teorema 1.13 que toda superficie conexa y compactaes homeomorfa a una esfera o a una suma conexa de toros o de planos proyectivos, nosabemos si estos tipos de superficies son topologicamente distintos. En otras palabraspodra suceder, si m y n son enteros positivos distintos, que la suma conexa de n torosfuera homeomorfa a la suma conexa de m toros? Para demostrar que esto no es posibleintroducimos un invariante numerico, llamado caracterstica de Euler, y que tiene susraces en la conocida formula de Euler que afirma que si P es un poliedro convexo en elespacio, con f caras, e aristas y v vertices, entonces v e+ f = 2.Esta formula puede generalizarse a superficies compactas arbitrarias, del modo siguiente

Definicion 1.15. Si M es una superficie con una presentacion P dada, se define la ca-racterstica de Euler de la presentacion como (P ) = v e + f , donde v es el numerode vertices, e el de aristas y f el de caras de P , tras las identificaciones que definen lasuperficie.

1.5. Problemas 21

Se pide probar

(i) (P ) depende solo de M , es decir, es invariante por las transformaciones de laproposicion 1.11, con lo que queda definida la caracterstica de Euler de M , (M)como la de cualquier presentacion de la superficie;

(ii) teorema de invariancia topologica de la caracterstica de Euler: seaM una superficiecompacta sin borde y conexa, entonces

1) si M es homeomorfa a la esfera, es (M) = 2,

2) si M es homeomorfa a la suma conexa de n toros, es (M) = 2 2n,3) si M es homeomorfa a la suma conexa de n planos proyectivos, entonces es

(M) = 2 n;(iii) si M1 y M2 son superficies compactas, entonces (M1]M2) = (M1) +(M2)2.

Observar que la caracterstica de Euler de la suma conexa de n toros coincide con la de lasuma conexa de 2n planos proyectivos: la orientacion permite distinguir estos dos casos.

Es facil comprobar que una superficie es no orientable cuando tiene alguna presentacionP , donde aparecen dos smbolos consecutivos de la forma a, a1, ..., an/W1, ..., aa.T2] (n). . . ]T2 se llama superficie compacta de genero n y RP2] (n). . . ]RP2 superficie com-pacta no orientable de genero n. S2 es la unica superficie orientable de genero 0.

Se pide probar

(i) la relacion entre el genero g(M) de una superficie M y su caracterstica de Euler es

g(M) =

{12(2 (M)) si M es orientable;

2 (M) si M es no orientable.

(ii) si M1 y M2 son superficies compactas, M1 es homeomorfa a M2, si y solo si son am-bas orientables o no orientables y (M1) = (M2): este es un teorema topologicopor excelencia, que reduce el problema de clasificacion de superficies compactas ala determinacion de la orientabilidad y la caracterstica de Euler, problemas que sonambos facilmente resolubles;

(iii) si M1 y M2 son superficies compactas, M1 es homeomorfa a M2, si y solo si sonambas orientables o no orientables yg(M1) = g(M2).

Homotopa de aplicaciones

El problema central de la Topologa es el de decidir si dos espacios topologicos son ono homeomorfos. En Topologa Algebraica, se usa el siguiente modelo de procedimientopara solucionar esta cuestion: dado un espacio topologico X , se le asocia un objeto alge-braico A(X), de modo que si Y es otro espacio homeomorfo a X , el objeto algebraicoA(Y ) adjudicado a Y por el mismo procedimiento resulta ser isomorfo a A(X). Es decir,A(.) es lo que se llama un invariante topologico. As, estos objetos algebraicos permitendetectar cuando estos dos espacios topologicos no son homeomorfos, si los invariantesasociados a uno y al otro no son isomorfos. Se pasa de objetos topologicos a algebraicos,porque estos ultimos son mas sencillos de manejar, mas computables.

La homotopa, que introducimos a continuacion, es el invariante topologico mas cono-cido y utilizado.

2.1. Homotopa de aplicacionesDefinicion 2.1. Sean X e Y espacios topologicos y A X . Si f, g : XY son aplica-ciones continuas, tales que f |A = g|A, se dice que f y g son homotopas relativamente aA, si existe una aplicacion continua, H : X [0, 1]Y , tal que

(i) H(x, 0) = f(x), para cada x X ,

(ii) H(x, 1) = g(x), para cada x X ,

(iii) H(x, t) = f(x) = g(x), para cada x A y t [0, 1].

Se expresa del modo H : f ' g(rel A).Si A = , se escribe H : f ' g, y sedice que f y g son homotopas (o librementehomotopas).

23

24 Captulo 2. Homotopa de aplicaciones

Observacion 2.1. Si para t [0, 1] se definela aplicacion continua ht : XY por laformula ht(x) = H(x, t), la homotopaH dalugar a una familia uniparametrica {ht}t[0,1]de funciones continuas, transformando demanera continua h0 = f en h1 = g. La fun-cion ht puede pensarse como la deformacionen el instante t.

Ejemplos 2.1. Para ilustrar esta definicion se tienen los ejemplos siguientes

(i) dadas las funciones continuas 1R, f : RR, donde f(x) = x2, la aplicacion conti-nua H : R [0, 1]R dada por H(x, t) = x2(1 t)+ tx, es una homotopa entreambas;

(ii) dada la funcion f : [0, 1]R2 {0}, definida por f(s) = (cos(2pis), sin(2pis)), laaplicacionH : [0, 1] [0, 1]R2 {0}, dada porH(s, t) = (cos(2pist), sin(2pist))es una homotopa entre la aplicacion constante igual a (1, 0) y f .

Observacion 2.2. El ejemplo 2.1 (ii) prueba que el camino cerrado f alrededor del ori-gen, es homotopo en R2 {0} a un camino constante, a pesar de que R2 {0} tiene unagujero rodeado por f . Luego para detectar agujeros en X no es suficiente con estudiarlos caminos cerrados homotopos a constantes: la solucion a este problema, que veremosmas adelante, sera considerar homotopas de caminos, que dejan los extremos de la de-formacion fijos.

Teorema 2.1. La homotopa (rel A) es una relacion de equivalencia sobre el conjuntoC(X, Y ) de las aplicaciones continuas de X en Y .

Demostracion: La relacion es reflexiva, pues F : f ' f(rel A), tomando F (x, t) = f(x).Si F : f ' g(rel A), entonces G : g ' f(rel A), donde G(x, t) = F (x, 1 t), con loque se obtiene la simetra. Finalmente, la relacion es transitiva pues si F : f ' g(rel A) yG : g ' h(rel A), entonces H : f ' h(rel A), donde

H(x, t) =

{F (x, 2t) si 0 t 1

2

G(x, 2t 1) si 12 t 1.

As, se puede hablar de clases de homotopa (rel A), de aplicaciones continuas de Xen Y . Se denota por [f ]A (respectivamente, por [f ], si A = ) la clase de homotopa def(rel A). Y [X, Y ]A (respectivamente, [X, Y ], si A = ) es la familia de dichas clases dehomotopa.

2.2. La categora de espacios topologicos y homotopas 25

2.2. La categora de espacios topologicos y homotopasProposicion 2.2. Sean X, Y, Z espacios topologicos, A X , B Y y f0, f1 : XYy g0, g1 : Y Z aplicaciones continuas, tales que F : f0 ' f1(rel A), f0(A) = f1(A) B y G : g0 ' g1(rel B). Entonces, g0 f0 ' g1 f1(rel A).Demostracion: Se verifica

(i) g0 F : g0 f0 ' g0 f1(rel A), y(ii) G (f1 1[0,1]) : g0 f1 ' g1 f1(rel f11 (B)), y como A f11 (B)), es tambien

g0 f1 ' g1 f1(rel A).Por transitividad, se obtiene el resultado.

Observacion 2.3. Queda as definida una categora, hTop, la categora de homotopa,donde

(i) los objetos son espacios topologicos,

(ii) los morfismos son las clases de homotopa (rel ) de aplicaciones entre estos espaciostopologicos, es decir, hTop(X, Y ) = [X, Y ]. La proposicion 2.2 garantiza que lacomposicion esta bien definida, por [g] [f ] = [g f ], para clases [f ] [X, Y ] y[g] [Y, Z].

Observacion 2.4. En vez de trabajar con espacios topologicos, podramos considerarpares de espacios topologicos (X,A). Y llegaramos, de modo similar al anterior, a lacategora de pares de espacios y clases de homotopa de aplicaciones continuas entrepares de espacios.

Definicion 2.2. Una aplicacion continua f : XY es una equivalencia de homotopa siexiste otra aplicacion continua g : Y X tal que gf ' 1X y f g ' 1Y . En tal caso, sedice que X tiene el mismo tipo de homotopa que Y , y se escribe X ' Y . Intuitivamente,como se vera con mayor claridad en lo que sigue, es posible deformar X en Y .

Lema 2.3. La relacion de ser homotopicamente equivalentes entre dos espacios topologi-cos es una relacion de equivalencia.

Observacion 2.5. Las equivalencias de homotopa son precisamente los isomorfismos enhTop.

Proposicion 2.4. Si X e Y son homeomorfos, son homotopicamente equivalentes.

Observacion 2.6. El recproco no es cierto, y se veran ejemplos mas adelante.


Observacion 2.7. En muchas ocasiones, la manera mas sencilla de distinguir topologica-mente dos espacios, sera demostrar que no son homotopicamente equivalentes y aplicarla proposicion 2.4.

Se trata, a partir de ahora, de construir functores T : TopC, donde C es una cate-gora algebraica como Group, Ab, etc., de modo que si f ' g, sea T (f) = T (g). Estapropiedad transforma la teora de homotopa en valiosa, porque garantiza que un proble-ma algebraico en C, que proviene de uno topologico va T , es mas simple de resolver quela cuestion original.

Definicion 2.3. Una aplicacion continua f : XY es nulhomotopa, si existe una apli-cacion constante c : XY , tal que f ' c.Definicion 2.4. Un espacio topologico X se dice contractil, si la aplicacion identidad1X es nulhomotopa. La funcion H : 1X ' c que define la homotopa se llama unacontraccion.

Ejemplo 2.1. Los conjuntos convexos en Rn son contractiles.

Demostracion: SiA Rn es convexo y a A, la aplicacionH : A [0, 1]A definidapor H(x, t) = tx+ (1 t)a es una homotopa H : 1A ' a, donde a denota la aplicacionconstante igual a a.

Proposicion 2.5. Si Y es contractil, dos aplicaciones continuas cualesquiera f, g : XYson homotopas.

Demostracion: Sea H : 1Y ' c la homotopa que existe por hipotesis. Entonces f =1Y f ' c f ' c ' c g ' 1Y g = g.

Observacion 2.8. En particular, si Y es contractil, dos aplicaciones constantes de Y ens mismo son homotopas, y a su vez homotopas a la identidad. As, en un espacio con-tractil, 1Y es homotopa a cualquier aplicacion constante sobre este espacio, a traves deuna homotopa libre; esta propiedad no se extiende a homotopas relativas a subespaciosarbitrarios A, como puede verse en [Sp], pag. 26.

Proposicion 2.6. Un espacio es contractil si y solo si posee el tipo de homotopa de unpunto.

Demostracion: Sea X contractil, H : 1X ' c, donde c denota a la funcion constante iguala c. Si P = {c} e i : P X es la inclusion, ci = 1P y 1X ' c = ic. Y recprocamente,si P = {c} yX ' P , existen f : XP y g : P X , tales que gf = 1X y fg = 1Y .Pero g f es una aplicacion constante. Luego X es contractil.

2.3. Problemas 27

Corolario 2.7. Cualquier espacio homotopicamente equivalente a uno contractil es tam-bien contractil.

Definicion 2.5. Sea A X y la inclusion iA : AX . Se dice que A es(i) un retracto de X , si existe una aplicacion continua r : XA, la retraccion, tal que

r iA = 1A. Observar que r es siempre sobreyectiva;(ii) un retracto por deformacion de X , si existe una retraccion r : XA, verificando

la condicion iA r ' 1X ;(iii) un retracto por deformacion fuerte de X , si existe una retraccion r : XA, tal

que iA r ' 1X(rel A).Proposicion 2.8. Si A X es un retracto por deformacion de X , entonces A ' X .Observacion 2.9. En la definicion 2.5 se verifican las implicaciones (iii) (ii) (i),pero los recprocos no son ciertos, como lo prueban los siguientes contraejemplos

(i) 6 (ii) dado un espacio X no contractil que existen y p X , {p} es un retracto deX , pero no por deformacion;

(ii) 6 (iii) sean el espacio peine X = (({ 1n

: n N} {0}) [0, 1]) ([0, 1] {0})y A = {(0, 1)} X . Entonces, A es un retracto pordeformacion de X , pero que no es fuerte.

2.3. Problemas1.- En el ejercicio 2 del apartado 1.5, se ha demostrado que pi0 : TopSet es un functorcovariante. Probar que ademas, si f ' g, es pi0(f) = pi0(g).2.- Una propiedad relativa a espacios topologicos es una propiedad de homotopa, si seconserva por equivalencias de homotopa. Probar

(i) toda propiedad de homotopa es una propiedad topologica;

(ii) la conexion, el numero de componentes conexas por caminos (luego, la conexion porcaminos) y la contractibilidad son propiedades de homotopa;

(iii) la convexidad (cuando tenga sentido), la compacidad y el axioma de Hausdorff, noson propiedades de homotopa.


3.- Probar las siguientes propiedades relativas a espacios contractiles

(i) todo conjunto convexo en Rn es contractil;

(ii) todo espacio contractil es conexo por caminos;

(iii) la imagen continua de un espacio contractil no es en general contractil;

(iv) un retracto de un espacio contractil es tambien contractil;

(v) X es contractil si y solo si todo atomo {x} es un retracto por deformacion de X .

4.- Probar las siguientes propiedades relativas a retractos

(i) Sn es un retracto por deformacion fuerte de Rn+1 {0} (0 es el origen de Rn+1);(ii) el ecuador de Sn es un retracto por deformacion de Sn {N,S} (N es el polo norte

y S el polo sur);

(iii) el disco cerrado unidad Dn Rn, es un retracto por deformacion de Rn;(iv) S1 es un retracto por deformacion de X = {(x, y) R2 : 1 x2 + y2 4};(v) la figura de ocho X = {(x, y) R2 : (x 1)2 + y2 = 1 o (x+ 1)2 + y2 = 1} es un

retracto por deformacion de R2 {(1, 0), (1, 0)};(vi) dados los conjuntos X, Y, Z R2, definidos por X = {(x, y) : (x+ 1)2 + y2 = 1},

Y = {(x, y) : (x 1)2 + y2 1} y Z = {(x, y) : (x 1)2 + y2 = 1}, se cumpleque X es un retracto por deformacion de X Y . No sucede lo mismo con X Z,aunque de momento no sabemos demostrarlo.

5.- Probar las siguientes propiedades relativas a conos de espacios

(i) el cono de cualquier espacio topologico es un espacio contractil. Concluir que todoespacio topologico puede embeberse en un espacio contractil;

(ii) una aplicacion continua f : XY es nulhomotopa si y solo si posee una extensioncontinua al cono de X .

6.- Probar que el ecuador de la banda de Mobius es un retracto por deformacion fuerte deM. Concluir que la banda de Mobius y el cilindro son homotopicamente equivalentes.

7.- Sea X el complementario de un punto en el toro T2. Probar que existe un subconjuntode X homeomorfo a la figura de ocho, y que es un retracto por deformacion fuerte de X .

2.3. Problemas 29

Torus into 8, c Josh Levenberg.http://www.technomagi.com/josh/images/index.html

8.- Se pide probar

(i) si f, g : XSn son dos aplicaciones continuas tales que f(x) 6= g(x) para cadax X , entonces f ' g. Deducir que si f : XSn es continua y no sobreyectiva,entonces f es nulhomotopa;

(ii) si f : SnSn es continua y sin puntos fijos, es homotopa a la aplicacion antipodal;

(iii) si f : SnSn es continua y f(x) 6= x, para cada x Sn, es homotopa a laidentidad.

9.- Sea p Sn y f : SnY continua. Probar que son equivalentes

(i) f es nulhomotopa;

(ii) f puede extenderse a una aplicacion continua F : Dn+1Y ;

(iii) f es homotopa (rel {p}) a la aplicacion constante igual a f(p).


Concluir que toda aplicacion continua f : SnY con Y contractil, tiene una extensioncontinua al disco Dn+1.

10.- Probar las siguientes propiedades relativas a productos

(i) dos aplicaciones continuas f, g : XY1 Yn son homotopas si y solo si paracada i {1, . . . , n}, es pi f ' pi g, donde pi : Y1 YnYi es la proyec-cion canonica;

(ii) Y1 Yn es contractil si y solo si Yi es contractil para cada i {1, . . . , n}.

11.- Sean X e Y espacios topologicos. Probar que [X, Y ] tiene un unico elemento en lossiguientes casos

(i) Y es contractil;

(ii) X es contractil e Y conexo por caminos.

12.- SeanX e Y espacios topologicos y f : XY continua. Se define el mapping cylin-der Zf de f como el espacio cociente de la suma disjunta (X[0, 1])unionsqY por la relacion deequivalencia determinada por (x, 0) f(x), para x X . Sea q : (X [0, 1]) unionsq Y Zfla aplicacion cociente.

Se pide probar

(i) si Y es un punto, entonces Zf es el cono de X;

(ii) q lleva homeomorficamente Y sobre un subespacio cerrado q(Y ) de Zf . Por mediode este embebimiento, Y puede considerarse como un subespacio cerrado de Zf .Y g : XZf definida por g(x) = q(x, 1) lleva homeomorficamente X sobre elsubespacio cerrado q(X {1}) de Zf . Luego, X e Y pueden considerarse comosubespacios disjuntos y cerrados de Zf , y se llaman dominio y rango de Zf , respec-tivamente;

(iii) probar que q(Y ) es un retracto por deformacion fuerte de Zf ;

2.3. Problemas 31

(iv) si f es una equivalencia de homotopa, probar que q(X {1}) es un retracto pordeformacion de Zf ;

(v) dos espacios son homotopicamente equivalentes si y solo si son ambos homeomorfosa retractos por deformacion de algun espacio;

(vi) toda aplicacion continua f : XY es homotopicamente equivalente a una apli-cacion inclusion g : XZf ;

(vii) las aplicaciones g : XZf y q f : XZf son homotopas;

(viii) dadas dos aplicaciones continuas f : XY y g : XZ, son equivalentes

a) existe h : ZY continua tal que h g ' f ;b) existe una aplicacion continua F : ZgY , tal que F iX ' f , donde la

aplicacion iX : XZg es la inclusion del apartado (ii).

13.- En este problema, se trata de dar un ejemplo no trivial de espacio contractil(i) sea S1 C. Se consideran los caminos y en S1, basados en el punto 1 y definidospor

(s) =

e4piis si 0 s 1

2

e4pii(2s1) si 12 s 3

4

e8pii(1s) si 34 s 1

y (s) = e2piis. Geometricamente, enrol-la cada uno de los segmentos [0, 1

2], [1

2, 34] y

[34, 1] en la circunferencia, los dos primeros

en sentido antihorario, y el tercero en senti-do de las agujas del reloj. El lazo enrolla[0, 1] una sola vez en la circunferencia y ensentido antihorario. Probar que estos dos la-zos son homotopos;

(ii) un espacio contractil puede tener una apariencia poco contractil: identificamos loslados de un triangulo lleno, como muestra la figura. Se obtiene as un espacio, llamado elcapelo del tonto. Se trata de probar que este espacio es contractil, aunque no es obvia lamanera de contraerlo.


Se pide probar lo anterior, siguiendo los pa-sos

(a) si f, g : S1X son aplicacionescontinuas homotopas, los espaciosobtenidos a partir de X uniendole undisco utilizando f o g (X f D2 yX g D2, respectivamente), son ho-motopicamente equivalentes;

(b) usando (a) y la parte (i) de este pro-blema, probar que el capelo del tontotiene el mismo tipo de homotopa queun disco, y por consiguiente es con-tractil.

El anterior dibujo esta extrado de [Fr], pagina 21.

14.- Probar que un cubo lleno [0, 1]3 R3 privado de tres cilindros tiene el tipo dehomotopa de una rosa de tres petalos, es decir, la union por un punto de tres copiasdisjuntas de S1.

15.- Tienen las dos figuras siguientes el mismo tipo de homotopa? Los objetos son doscubos macizos con perforaciones diferentes: en el primer caso la figura esta agujereadapor medio de dos cilindros disjuntos y el segundo cubo esta atravesado por un objetoconexo.

El grupo fundamental

En este captulo, se trata de asociar un grupo topologicamente invariante a un espa-cio, es decir, de modo que grupos asociados a espacios topologicos homeomorfos seanisomorfos.

Que propiedad topologica de un espacio permite distinguir un discoD2 de una coronacircular? En otras palabras, puede detectarse el agujero de la corona, sin utilizar para elloideas que no sean puramente topologicas (como distancias, angulos,... )? Una respuestanatural se obtiene al intentar contraer un camino cerrado en cada uno de los espacios.

Intuitivamente, en D2, todo camino cerrado puede lle-varse a un punto (el camino constante), mientras queesto es imposible en la corona circular, en donde elagujero actua de barrera para caminos cerrados querodean a este agujero, impidiendo dicha contraccion.

3.1. Homotopa de caminosDefinicion 3.1. Dos caminos , : [0, 1]X , tales que (0) = (0) y (1) = (1) sellaman caminos homotopos si ' (rel{0, 1}). La homotopa de caminos, es decir, lahomotopa con extremidades fijas, se denota por .

Explcitamente, existe una homotopaH : [0, 1] [0, 1]X tal que(i) H(t, 0) = (t) y H(t, 1) = (t), para

t [0, 1],(ii) H(0, s) = (0) y H(1, s) = (1), para

s [0, 1].Por el teorema 2.1, sabemos que es una relacion de equivalencia sobre el conjunto delos caminos en X , C([0, 1], X). Denotamos por [] la clase de homotopa del camino .

33

34 Captulo 3. El grupo fundamental

Definicion 3.2. Dados dos caminos, : [0, 1]X , tales que (1) = (0), suproducto es el camino

( )(t) ={

(2t) si 0 t 12;

(2t 1) si 12 t 1.

El camino opuesto de es (t) = (1 t).

Lema 3.1. Sean 0, 1, 0, 1 caminos en X tales que 0(1) = 0(0), 1(1) = 1(0) yF : 0 1, G : 0 1. Entonces, 0 0 1 1.Demostracion: La homotopa buscada es

H(t, s) =

{F (2t, s) si 0 t 1

2

G(2t 1, s) si 12 t 1.

As, es posible multiplicar clases de caminos: si , son caminos, tales que (1) = (0),tiene sentido definir el producto de sus clases [].[ ] def= [ ], es decir, la equivalenciade caminos es compatible con su producto.

Aunque la multiplicacion de caminos no es asociativa, lo es el producto de sus clases,es decir, en las condiciones anteriores, es ([].[ ]) .[] = []. ([ ].[])

Lema 3.2. Sean , , caminos en X , tales que (1) = (0) y (0) = (1). Entonces,se verifica que ( ) ( ) .Demostracion: Obviamente los caminos son diferentes, ya que

( )(t) =

(4t) si 0 t 14

(4t 1) si 14 t 1

2

(2t 1) si 12 t 1.

( ) (t) =

(2t) si 0 t 12

(4t 2) si 12 t 3

4

(4t 3) si 34 t 1.

La homotopa buscada H : [0, 1] [0, 1]X es

H(t, s) =

( 4t

1+s) si 0 t s+1

4

(4t s 1) si s+14 t s+2

4

(4ts22s ) si

s+24 t 1.

Sea x : [0, 1]X el camino constante igual a x. Si : [0, 1]X es un caminocon origen el punto x y extremo el punto y, entonces

3.2. El grupo fundamental 35

Lema 3.3. x y .Demostracion: Veamos que x , el otro caso es similar.

x(t) ={

x si 0 t 12

(2t 1) si 12 t 1.


H(t, s) =

{x si 0 t 1s

2

(2t1+s1+s

) si 1s2 t 1.

Con esto, hemos probado que [x].[] = [] = [].[y], es decir, [x] es el neutro aizquierda de [] y [y] es su neutro a derecha.

Lema 3.4. Si y son caminos tales que (0) = (0), (1) = (1) y F : , es .Demostracion: La homotopa buscada G : es G(t, s) = F (1 t, s).

La clase [] actua como inversa a izquierda y a derecha de [], es decir, [].[] = [y]y [].[] = [x]

Lema 3.5. Si es un camino tal que (0) = x y (1) = y, entonces x y y.Demostracion: Veamos que x.

(t) ={

(2t) si 0 t 12

(2t 1) = (2 2t) si 12 t 1.


H(t, s) =

(2t) si 0 t 1s

2

(1 s) si 1s2 t 1+s

2

(2 2t) si 1+s2 t 1.

3.2. El grupo fundamentalDefinicion 3.3. Un camino : [0, 1]X se llama cerrado o lazo, si (0) = (1). Siademas (0) = (1) = x, se dice tambien que es un lazo (o un camino) basado en x.


Si (X, x) es la familia de los lazos basados en x, es claro que el producto y lainversion de caminos son operaciones internas en este conjunto. Sobre (X, x) se puedeconsiderar la relacion de homotopa de caminos. Si pi1(X, x) = (X, x)/ es el cocientebajo esta relacion, los resultados del apartado 3.1 prueban que

Teorema 3.6. pi1(X, x) es un grupo, llamado grupo fundamental de X en x o grupo dePoincare de X en x.

Si se cambia el punto base, los grupos correspondientes no guardan relacion

Ejemplo 3.1. Si consideramos el subespacio del plano eucldeo X = S1 {(0, 0)},veremos mas adelante que pi1(X, (1, 0)) ' Z y claramente pi1(X, (0, 0)) ' 0.

Sin embargo, se verifica que

Teorema 3.7. Si x, y X y es un camino que une x e y, entonces el homomorfismo degrupos : pi1(X, x)pi1(X, y), definido por ([ ]) = [ ], es un isomorfismo.Demostracion: es un homomorfismo de grupos, de inverso : pi1(X, y)pi1(X, x).

Corolario 3.8. Si X es conexo por caminos, el grupo fundamental pi1(X, x) no dependedel punto x X . En tal caso, se escribe pi1(X), y se habla del grupo de Poincare de X .

Que efecto ejerce una aplicacion continua entre espacios topologicos sobre los gru-pos fundamentales correspondientes? Sea f : XY continua. Si , son dos caminosen X , son obvias las siguientes propiedades

(i) f es un camino en Y ,(ii) si (X, x), entonces f (Y, f(x)),(iii) dada la homotopa H : , entonces f H : f f .

Luego, si [] pi1(X, x), es [f ] pi1(Y, f(x)), yLema 3.9. La aplicacion pi1(f) : pi1(X, x)pi1(Y, f(x)) dada por pi1(f)([]) = [f ]es un homomorfismo de grupos, llamado homomorfismo inducido por f .

Teorema 3.10. Si f : XY y g : Y Z son aplicaciones continuas, se verifica que(i) pi1(g f) = pi1(g) pi1(f),(ii) pi1(1X) = 1pi1(X,x).

3.2. El grupo fundamental 37

Observacion 3.1. As, el grupo fundamental proporciona una manera de pasar de latopologa al algebra: acabamos de probar que pi1 es un functor covariante de la categoraTop en la categora Group.

Corolario 3.11. Si f : XY es un homeomorfismo, entonces la aplicacion inducidaentre los grupos fundamentales, pi1(f) : pi1(X, x)pi1(Y, f(x)) es un isomorfismo paracada x X .Observacion 3.2. Esto no significa que dos espacios con grupos de Poincare isomorfossean homeomorfos

(i) si X es un espacio discreto, una aplicacion : [0, 1]X es continua si y solo si esconstante. Luego, (X, x) = {x} y pi1(X, x) = 0 para cada x X;

(ii) siX es un espacio indiscreto, toda aplicacion : [0, 1]X es continua. As, en estecaso, (X, x) = { : [0, 1]X : (0) = x = (1)}. Para cada , (X, x),es . Luego, pi1(X, x) = 0 para todo x X .

Dos aplicaciones homotopas inducen el mismo homomorfismo sobre grupos funda-mentales, salvo un automorfismo interior, que se comprende por el hecho de que dosaplicaciones homotopas pueden enviar el punto base de X en distintos puntos base de Y

Teorema 3.12. Sean f, g : XY aplicaciones continuas, H : f ' g una homotopa yx X . Sea : [0, 1]Y el camino dado por (t) = H(x, t). Entonces, se cumple quepi1(g) = pi1(f), donde es el isomorfismo inducido por , segun el teorema 3.7.Demostracion: Si (X, x), hay que probar que pi1(g)([]) = pi1(f)([]) =[ f ].

(f )(t) =

H(x, 1 4t) si 0 t 14

H((4t 1), 0) si 14 t 1

2

H(x, 2t 1) si 12 t 1.

Ademas, g((t)) = H((t), 1), y si g(x) = z, es g() ' z g() z, donde

z (g() z)(t) =

H(x, 1) si 0 t 14

H((4t 1), 0) si 14 t 1

2

H(x, 1) si 12 t 1.

La homotopa buscada F : [0, 1] [0, 1]X es

F (t, s) =

H(x, 1 4t(1 s) si 0 t 1

4

H((4t 1), s) si 14 t 1

2

H(x, 1 + 2(t 1)(1 s) si 12 t 1.


Corolario 3.13. Si dos espacios conexos por caminos X e Y tienen el mismo tipo dehomotopa, entonces sus grupos fundamentales son isomorfos.

Demostracion: Tenemos dos aplicaciones f : XY y g : Y X tales que

F : 1X ' g f y G : 1Y ' f g.

Sea x = g(y) g(Y ) X . Vamos a probar que pi1(f) : pi1(X, x)pi1(Y, f(x)) es unisomorfismo.

Sea (t) = F (x, t), camino que une x con g f(x). El teorema 3.12 dice quepi1(g f) = pi1(1X) = : pi1(X, x)pi1(X, g(f(x))) es un isomorfismo. Esto de-muestra que pi1(f) : pi1(X, x)pi1(Y, f(x)) es inyectiva.

Sea (t) = G(y, t), camino que une y con f g(y) = f(x). El teorema 3.12 dice quepi1(f g) = pi1(1Y ) = : pi1(Y, y)pi1(Y, f(x)) es un isomorfismo. Esto pruebaque pi1(f) : pi1(X, x)pi1(Y, f(x)) es sobreyectiva.

Corolario 3.14. Se verifican las siguientes propiedades

(i) siA es un retracto por deformacion deX y a A, entonces la inclusion iA : AXinduce un isomorfismo entre pi1(A, a) y pi1(X, a);

(ii) todo espacio contractil tiene grupo fundamental trivial.

Definicion 3.4. Si X es conexo por caminos y pi1(X) es trivial, se dice que X es simple-mente conexo.

Observacion 3.3. El corolario 3.14 (ii), dice que un espacio contractil es simplementeconexo. El recproco no es cierto: si n > 1, Sn no es contractil.

Teorema 3.15. Sean X e Y espacios, x0 X , y0 Y y las proyecciones coordenadaspX : X Y X , pY : X Y Y . El homomorfismo

: pi1(X Y, (x0, y0))pi1(X, x0) pi1(Y, y0),

definido por = (pi1(pX), pi1(pY )), es un isomorfismo.

Observacion 3.4. El producto de espacios simplemente conexos es simplemente conexo.

3.3. Grupo fundamental de la esfera de dimension 1 39

3.3. Grupo fundamental de la esfera de dimension 1Vamos a calcular el grupo fundamental de S1 utilizando las propiedades especiales de

la esfera.

El producto de numeros complejos, define una estructura de grupo topologico sobrela esfera unidad S1 = {x C : x = 1}.

El punto de partida para calcular pi1(S1) es la aplicacion exponencial, exp: RS1,definida por exp(t) = e2piit. La igualdad e2pii(s+t) = e2piise2piit, que expresa de maneraresumida las formulas clasicas del coseno y el seno de una suma, afirma que la sobreyec-cion continua exp es ademas un homomorfismo del grupo aditivo de los numeros reales(R,+) sobre el grupo multiplicativo de los numeros complejos de modulo 1, (S1, .). Elnucleo de este homomorfismo es Z.

Ademas, exp verifica las siguientes propiedades topologicas.

Lema 3.16. La aplicacion exp: RS1 es continua, sobreyectiva y abierta.Demostracion: Veamos que es abierta. Para ello, sean U R abierto y F = S1 exp(U).Como exp1(exp(U)) =

nZ

(U + {n}) que es abierto, se deduce que exp1(F ) es ce-rrado. Ademas, para cada x R, existe x [0, 1] tal que exp(x) = exp(x), luegoF = exp(exp1(F ) [0, 1]), imagen continua de un compacto, luego cerrado.

Proposicion 3.17. La restriccion de exp a cualquier intervalo de amplitud 1 (t, t+ 1), esun homeomorfismo sobre S1 {exp(t)}.Demostracion: Es una conscuencia del lema 3.16.

Sea : [0, 1]S1 un camino: para s [0, 1], existe s R tal que (s) = exp(s).El problema es que s no esta determinado de modo unico a partir de s. El objetivo ahoraes probar que para cada s [0, 1], es posible elegir s R de modo que (s) = exp(s) yque la funcion : [0, 1]R que lleva s en s, sea continua.

Comencemos por el lema de levantamiento de caminos.

Lema 3.18. Para todo camino : [0, 1]S1, con (0) = exp(0) = 1, existe un unicocamino : [0, 1]R, tal que (0) = 0 y exp = . El camino se llama un levan-tamiento de .

Demostracion: Como [0, 1] es un compacto metrico, : [0, 1]S1 es uniformementecontinua. En particular, existe > 0 tal que si |t t| < es (t) (t) < 2.


Esta condicion garantiza en particular que (t) y (t) no son puntos antipodales. Por lapropiedad arquimediana, existe n N tal que t

n< para cada t [0, 1].

Para todo t [0, 1], subdividimos el intervalo [0, t] en n intervalos de la misma am-plitud, a traves de los puntos

0 = t0 2;(iii) si n > 2, Rn y R2 no son homeomorfos;

(iv) si n > 2, Sn y S2 no son homeomorfos.

10.- El espacio proyectivo real

El espacio proyectivo real de dimension n se define como el cociente RPn = Sn/ ,donde es la relacion de equivalencia sobre la esfera que identifica puntos antipodales.Con la topologa cociente inducida RPn es un espacio de Hausdorff y compacto. Seap : SnRPn la aplicacion cociente, que es abierta y localmente inyectiva. Se pide de-mostrar

(i) cada punto p(x) RPn posee un entorno abierto V , tal que p1(V ) = V V esunion de dos abiertos, cada uno de los cuales se aplica homeomorficamente por psobre V . V se llama un entorno distinguido de p(x) RPn;

(ii) la aplicacion cociente posee la propiedad de levantamiento de caminos, es decir, sitenemos un camino : [0, 1]RPn y x0 Sn es tal que p(x0) = (0), entoncesexiste un unico camino : [0, 1]Sn, tal que (0) = x0 y = p . El camino se llama un levantamiento de . Dado : [0, 1]RPn, existen precisamente doslevantamientos y y verifican = ;

(iii) dados p(x), p(y) RPn, se define d(p(x), p(y)) = mn{xy, x+y}, es decir,geometricamente, d(p(x), p(y)) es la longitud del menor lado del rectangulo cuyosvertices son x,x, y yy. Probar que d es una metrica sobre RPn, compatible consu topologa. Con esta metrica, diam(RPn) =

2;

(iv) RP1 es homeomorfo a S1;

(v) sean n 2 y x0 Sn. Dados dos caminos cerrados 1 y 2 basados en p(x0) RPn,sean 1 y 2 sus levantamientos con origen en x0. Entonces, 1(1) = 2(1) si y solosi 1 2. Concluir que pi1(RPn) es un grupo con dos elementos.

3.6. Problemas 51

11.- Utilizar las propiedades de la aplicacion ndice definida en el teorema 3.20, para daruna prueba topologica del teorema fundamental del algebra:Un polinomio p(z) = zn + an1zn1 + + a1z + a0, de grado n 1 y de coeficientesa0, . . . , an1 C, tiene una raz en el plano complejo.12.- Utilizar el teorema de BorsukUlam, para demostrar el teorema de LusternikSchnirelmann: si S2 se escribe como union de tres subconjuntos cerrados, S2 = F1 F2 F3, entonces existe i {1, 2, 3}, tal que Fi contiene un par de puntos antipodales.13.- Sea X el toro T2 privado de un disco abierto, es decir, un asa. Se pide

(i) probar que X tiene el tipo de homotopa de la figura de ocho (ver el problema 7 en2.3);

(ii) probar que la inclusion de la frontera de X en X , i : fr(X) ' S1X induce elhomomorfismo pi1(i) : pi1(S1)pi1(X) que lleva el generador de pi1(S1) en el ele-mento a1b1ab, donde pi1(X) es el grupo libre generado por a y b;

(iii) utilizar el teorema de Seifert VanKampen para comprobar que el grupo fundamen-tal del toro es pi1(T2) ' a, b | a1b1ab = 1.

14.- Sea Y la botella de Klein K2 privada de un disco abierto. Se pide

(i) probar que Y tiene el tipo de homotopa de la figura de ocho;

(ii) probar que la inclusion de la frontera de Y en Y , j : fr(Y ) ' S1Y induce elhomomorfismo pi1(j) : pi1(S1)pi1(Y ) que lleva el generador de pi1(S1) en el ele-mento a1b1ab1, donde pi1(Y ) es el grupo libre generado por a y b;

(iii) utilizar el teorema de Seifert VanKampen para comprobar que el grupo fundamen-tal de la botella de Klein es pi1(K2) ' a, b | a1b1ab1 = 1;

(iv) observar que el asa (ver el problema 4) e Y tienen el mismo tipo de homotopa, sinembargo, no son espacios homeomorfos. Por que?

15.- Sea Z el plano proyectivo real RP2 privado de un disco abierto. Se pide

(i) probar que Z tiene el tipo de homotopa de una circunferencia;

(ii) probar que la inclusion de la frontera de Z en Z, k : fr(Z) ' S1Z, induce elhomomorfismo pi1(k) : pi1(S1)pi1(Z) que lleva el generador de pi1(S1) en el ele-mento a2, donde pi1(Z) es el grupo generado por a;

(iii) aplicar el teorema de Seifert VanKampen para probar que pi1(RP2) ' a | a2 = 1;


(iv) probar que S1 no es un retracto de RP2.

16.- Sea X R2 el conjunto compacto que consiste en todos los segmentos que unenp = (0, 1) con qn =

(1n, 0), para n N, junto con el segmento de p al punto (0, 0).

Si A = {(0, 0)} X , se pide probar

(i) la inclusion iA : AX es una equivalencia dehomotopa;

(ii) A no es un r

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