Revisión y programación de modelos de optimización como una plataforma en GAMS-CPLEX

para problemas de ruteo de vehículos.

C. E. Torres Pérez, E. Olivares-Benítez, J. L. Martínez Flores Universidad Popular Autónoma del Estado de Puebla

Puebla, Puebla, México

Resumen: Este documento presenta la revisión de modelos de optimización para problemas de ruteo de vehículos: VRP (Ruteo Simple), FSMVRP (VRP con determinación de composición y tamaño de la flota) y HFVRPTW (VRP con Ventanas de Tiempo y Flota Heterogénea). Los modelos se revisaron y se corrigieron o complementaron para programarlos en GAMS. En este trabajo se muestran las modificaciones realizadas a los modelos. Se resolvieron instancias de 7 a 100 clientes. De esta manera se desarrolló una plataforma computacional para resolver instancias reales con este alcance en tamaño, con el propósito de usarla como herramienta en proyectos de investigación y consultoría. Palabras clave: Problema de Ruteo de Vehículos, Flota heterogénea, Ventanas de tiempo Abstract: This paper presents a review of optimization models for vehicle routing problems: VRP (Simple Vehicle Routing Problem), FSMVRP (Fleet Size and Mix Vehicle Routing Problem), and HFVRPTW (Heterogeneous Fleet Vehicle Routing Problem with Time Windows). The models were reviewed and corrected or complemented, to be programmed in GAMS. This work shows the modifications done to the models. Instances of 7 to 100 customers were solved. In this way, a computational platform was developed to solve real instances within this scope in size, with the goal of use it as a tool in research and consulting projects.

Key words: Vehicle Routing Problem, Heterogeneous fleet, Time windows

Introducción

El problema de ruteo de vehículos (Vehicle Routing Problem o VRP, por sus siglas en inglés), es un problema de optimización combinatoria bien conocido en Investigación de Operaciones. Consiste en determinar un conjunto de rutas para una flota de vehículos que parten de uno o más depósitos o almacenes para satisfacer la demanda de varios clientes dispersos geográficamente en una región [1].

El objetivo principal es entregar la demanda a todos los clientes minimizando el costo total involucrado que generan las rutas, disponiendo de una flota de vehículos con una cierta capacidad de transportación. Cada ruta es realizada por un solo vehículo que inicia y termina en el depósito, de tal forma que se satisfagan los requerimientos de los clientes y las restricciones operacionales.

Existe un gran número de variantes del problema de ruteo de vehículos. Entre las más conocidas destacan:

Capacitated VRP (CVRP) Capacitated VRP with time windows (CVRPTW) Periodic VRP (PVRP) Periodic VRP with Time Windows (PVRPTW) Heterogeneous Fleet Vehicle Routing Problem (HF-VRP) Vehicle Routing Problem with Time Windows (VRPTW) Vehicle Routing Problem with Pick-up and Deliveries (VRPPD) Capacitated VRP with Pick-up and Deliveries and Time Windows (CVRPPDTW) Multiple Depot VRP (MDVRP) Multiple Depot VRP with Time Windows (MDVRPTW)

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Modelo matemático

Básicamente, el VRP es una extensión del TSP (Traveling Salesman Problem), y lo podemos expresar en su forma simple como lo describe [2] de la siguiente manera. La red de transporte por la que circulan los vehículos se modela mediante [3] un grafo ponderado G = (V,E,C). Los nodos del grafo representan a los clientes y depósitos. Para el caso de un solo depósito, éste se representa por el nodo {0}. Los nodos {1,..., n} V representan a los clientes, y el conjunto K representa a los vehículos de la flota. En algunos casos se agrega una copia del depósito etiquetada con {n+1} para simplificar la formulación. Cada arco (i,j) E representa el mejor camino para ir desde el nodo i hacia el nodo j en la red de transporte y tiene asociado un costo cij y un tiempo de viaje tij. Denotaremos por y al conjunto de nodos adyacentes e incidentes al nodo i, es decir, y . Cada cliente tiene asociada una demanda di, y cada vehículo tiene una capacidad (cuando la flota es Homogénea), una formulación básica puede verse en [2].

En este problema la cantidad de rutas no es fijada de antemano. Utilizando como base los modelos de [2], podemos formular de la siguiente manera: Sujeto a:

Las variables xij indican si el arco (i, j) es recorrido por un vehículo tomando el valor de 1, y de cero en otro caso. La función objetivo (1) es el costo total de las rutas. Las restricciones (2) y (3) indican que m es la cantidad de vehículos utilizados en la solución y que todos los vehículos que parten del depósito deben regresar. Las restricciones (4) y (5) aseguran que todos los clientes deben ser visitados. La restricción (6) actúa como restricción de eliminación de sub-tours y a la vez impone que la demanda total de los clientes visitados por un vehículo no exceda su capacidad C; La restricción (7) asegura que el número de vehículos a utilizar sea positivo y al menos uno. Por último la restricción (8) hace a xij una variable binaria tal como se indica al principio.

Para implementar el modelo anterior hay que determinar el valor de r(S), donde K es un conjunto con suficientes vehículos para satisfacer la demanda. Esta demanda total se puede expresar como , para un conjunto de clientes S. La variable actúa como una variable de decisión si el vehículo es utilizado.

Entonces, determinar el valor de r(S), requiere resolver el siguiente problema

Sujeto a:

La solución de este problema genera una cota inferior para atender la demanda completa de un conjunto de clientes que pertenecerán a una ruta, con el mínimo de transportes .

Su función objetivo es minimizar el número de rutas, y no existe un límite superior. La restricción (8) no permite que la demanda exceda la capacidad del vehículo y en (9) se requiere que cada cliente sea

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asignado solo a un vehículo. Las variables de decisión son y .

Discusión

Utilizamos los modelos base que propone [2] Olivera, en su trabajo de “Heurísticas para Problemas de Ruteo de Vehículos” , para las versiones del VRP (Problema de Ruteo de Vehículos), FSMVRP (Problema de Ruteo de Vehículos con una Flota Heterogénea) y HF-VRPTW (Problema de Ruteo de Vehículos con ventanas de Tiempo y Flota Heterogénea). Se estudiaron tales modelos y se reformularon parcialmente para corregir algunos errores y para mejorar la implementalidad en el lenguaje del software de optimización. A continuación las propuestas por modelo:

VRP (Problema de Ruteo Simple)

Para el VRP la restricción propuesta por Olivera en la eliminación de sub tours se cambió por la propuesta de Miller Tucker y Zemlin [4] bajo la aplicación de [5] para un modelo similar pero se adaptó a este problema.

Este modelo tiene la capacidad de ajustarse a un

tamaño de flota dado previamente por un parámetro m con capacidad . Ó bien de otra forma puede estimarse el número óptimo de la flota definiendo m como una variable entera positiva con capacidad q.

FSMVRP (Ruteo con Flota Heterogénea)

Para el FSMVRP en [2] se propone

Como una restricción de eliminación de sub-tours, la cual después de ser revisada y programada con el modelo, falló y se cambió por esta:

En donde cambia el dominio de la función. Este modelo determina también el tamaño óptimo de la flota.

VRPTW (Ruteo con Ventanas de Tiempo)

Para el problema de VRPTW que propone [2], las restricciones representadas como:

Las cuales determinan que cada vehículo recorra un camino de 0 a n+1.

Estas se complementaron con dos restricciones, (7) bajo la propuesta que hace [6] para evitar que regresen al nodo copia n+1, y (8) que se generó para evitar que salgan del mismo.

Experimentación

Se realizaron experimentos sobre diferentes instancias resolviendo los modelos con usando GAMS [7] versión 22.9 y el optimizador CPLEX Versión 11.2 en una computadora Lanix Neuron PX con procesador Pentium(R) Dual-Core CPU, T4300 a 2.10 GHz con 3 GB de RAM. Se reportan en las Tablas 1, 2 y 3 los tamaños de las instancias, el número de rutas, el tiempo en segundos que tarda CPLEX en resolverlo y la función objetivo obtenida.

Problema de Ruteo de Vehículos (VRP)

La Tabla 1 presenta resultados para 4 instancias probadas con el modelo del VRP. Este tipo de problemas se aborda actualmente de muchas formas [8].

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Tabla 1: Resultados obtenidos sobre instancias propuestas

para el modelo de VRP.

Tamaño # Rutas Tiempo [seg] F.O.

5 3 0.183 9656

10 4 07.089 32964

17 4 6028.91 21299

30 3 4818.273 21618.78

En la Figura 1 se representan las dos rutas trazadas por el modelo del VRP. En esta, q1 representa la ruta que el transporte 1 recorre y que vista a los clientes 4, 3 y 2, en esa secuencia. Y q2 representa la ruta que el transporte 2 recorre, y que visita a los clientes 1 y 5 en esa secuencia. La instancia fue resuelta bajo la propuesta de una flota homogénea.

Figura 1: Solución gráfica para la instancia 2 de tamaño 7 y

dos transportes con el modelo de VRP.

Problema de Ruteo de Vehículos con una flota Heterogénea FSMVRP

La tabla 2 muestra los resultados para las instancias probadas para el modelo del VRP con una flota heterogénea. Debe decirse que la capacidad del equipo computacional con el que se realizó, solo es suficiente para una instancia no mayor a 15 nodos, ya que en instancias de mayor tamaño indicó error de memoria insuficiente. En [8] se hace una revisión de los modelos heterogéneos, sobre su complejidad y propuestas para resolverlos, mencionando que aun no hay algoritmos exactos para la solución de este tipo de problemas probados con instancias más grandes.

Tabla 2: Resultados obtenidos sobre instancias propuestas

para el modelo de FSMVRP.

Tamaño # Rutas Tiempo [seg] F.O.

6 2 1.036 618.7

10 2 10845.108 2616

14 3 25397.073 7086.78

Problema de Ruteo de Vehículos con Ventanas de Tiempos VRPTW

La Tabla 3 muestra los resultados obtenidos para 4 instancias que van de los 7 a los 20 clientes con una capacidad de flota de hasta 3 tipos de vehículos. El VRPTW puede resolverse bajo otras propuestas como en [9] mediante relajación Lagrangiana, con algoritmos de dos fases como el de barrido que usa [10], o con heurísticas diferentes como en [11].

Entre las ventajas de esta propuesta se puede mencionar primero que ofrece la ventaja de una flota heterogénea, o bien puede tratarse como homogénea si no se hace diferencia en la entrada de datos correspondientes a los tipos de vehículos. El modelo puede resolver también problemas de Flota Heterogénea (FSMVRP) si los valores de las ventanas de tiempo son suficientemente grandes. La entrada de datos y la simplicidad del modelo lo hacen ver como una generalidad que puede atacar más de un tipo de problemas o que bien permite ajustarse a casos específicos.

Tabla 3: Resultados obtenidos sobre instancias propuestas

para el modelo de VRPTW.

Tamaño # Rutas Tiempo [seg] F.O.

7 2 0.203 267.31

10 3 7.143 470.8

15 3 829.708 547.86

20 3 1320.501 617.32

En la Figura 2 se representan las tres rutas trazadas por el modelo del VRPTW con flota heterogénea. En ésta, q1 representa la ruta que el transporte 1 recorre y que vista a los clientes 11, 9 y 5, en esa secuencia. La segunda q2 representa la ruta que el transporte 2 recorre, y que visita a los clientes 4, 8 y 3 en esa secuencia. Y q3 que representa la ruta que el transporte 3 recorre, visita a los clientes 2, 6, 10 y 7 en ese orden. La instancia fue resuelta bajo la propuesta de una flota heterogénea.

1

2

3

4

5

0, n+1

0

1

2

3

4

5

6

7

0 2 4 6 8 10 12

q1

q2

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Figura 2: Solución gráfica para la instancia 2 de tamaño 10

y tres tipos de transportes con el modelo de VRPTW.

Conclusiones

Durante la revisión de la literatura se encontraron propuestas muy interesantes para modelar y resolver diferentes versiones de los problemas de ruteo. Se modificó un grupo de modelos para problemas de los tipos VRP, FSMVRP y HF-VRP-TW. La contribución principal de este trabajo se presenta simplificando restricciones, agregando restricciones y cambiando dominios que no se contemplan en otros modelos y que benefician su desempeño. Se usó por ejemplo la propuesta de [4] como base para la eliminación de subtours en el VRP, sin embargo vale la pena revisar y probar propuestas como la de [12] que prometen mejores soluciones.

Las pruebas con los modelo en GAMS arrojan resultados coherentes y óptimos. La solución de este tipo de problemas se vuelve más compleja al aumentar el número de clientes y transportes, así como el tiempo en el que el sistema computacional puede resolverlo. El desempeño en el tiempo de ejecución del modelo con GAMS depende mucho del hardware con el que se cuenta, representando este una limitante para el tamaño de las instancias que se pueden probar.

Una de las ventajas del estudio de estos modelos es el manejo de flotas heterogéneas en problemas de ruteo, ya que la mayoría de los documentos revisados se basan en flotas homogéneas. Es relativamente fácil probar más instancias una vez que ya se cuenta con la plataforma diseñada en GAMS. Uno de los propósitos de este trabajo es desarrollar una plataforma computacional de modelos de optimización para

diferentes variantes del problema de ruteo para su aplicación en casos reales.

La decisión sobre el diseño de rutas en la Cadena de Suministros es importante como un área de oportunidad en la reducción de costos y optimización de los recursos, y en el mejoramiento del nivel de servicio. La solución de los modelos presentados en este documento pretende aportar simplicidad a la solución de casos similares sin perder confiabilidad en los resultados.

Referencias

[1] H. F. Lieberman, G. Introducción a la investigación de operaciones. Ed. McGraw-Hill. 5ª ed. 1994.

[2] A. Olivera, Heurísticas para Problemas de Ruteo de Vehículos. Uruguay: Montevideo, 2004.

[3] P. Toth, D. Vigo, The Vehicle Routing Problem. Monographs on Discrete Mathematics and Applications. Society of Industrial and Applied Mathematics. Philadelphia. USA, 2002

[4] Miller, A.W. Tucker, R.A. Zemlin, Integer programming formulations and traveling salesman problems, Journal of the Association for Computing Machinery 7, 1960.

[5] Y. Lion, I. Wan Rosmanira, O. Khairuddin and M. Zirour, Vehicle Routing Problem, Models and Solutions, Journal of Quality Measurement and Analysis JQMA 4(1), 205-218, 2008.

[6] B. Kallehauge, J. Larsen , y O.B.G. Madsen. Lagrangian duality applied to the vehicle routing problem with time windows. Computers and Operations Research, 33(5), 1464-1487, 2006

[7] Rosenthal R. GAMS User´s Guide. Tutorial by GAMS Development Corporation. USA: Washington, DC, (2008)

[8] B. Golden, S. Raghavan and E. Wasil, The Vehicle Routing Problem: Latest Advances and New Challenges, Springer Science + Business Media, LLC, pp. 3- 25, USA, 2008.

[9] N. Kohl and O. B. G. Madsen, An Optimization Algorithm for the Vehicle Routing Problem with Time Windows Based on Lagrangian Relaxation, JSTOR Operational Research, Vol. 45 No. 3, pp. 345-406. Lingby, Denmark, 1997.

[10] R. Bent, P.V. Hentenryck, “A Two-Stage Hybrid Algorithm For Pickup and Delivery Vehicle Routing Problems With Time Windows”, Computers & Operations Research 33, pp. 875–893. 2006

[11] J. H. Restrepo, P. Medina, E. Cruz, Un problema logístico de programación de vehículos con ventanas de tiempo (VRPTW), Scientia et Technica Año XIV, No 39, Universidad Tecnológica de Pereira. ISSN 0122-1701, 2008.

[12] I. Kara, G. Laporte and T. Bektas, A note of the lifted Miller- Tucker - Zemlin subtour elimination constraints for de Capacitated Vehicle Routing Problem, European Journal of Operational Reseach 158, 793-795, 2004.

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0

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9

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0 5 10 15

q2 q3 q1

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Autores

Torres Pérez Carlos Edoardo Estudiante investigado tiempo completo de la Maestría en Logística y Dirección de la Cadena de Suministros de la Universidad Popular Autónoma del Estado de Puebla. Sus trabajos están relacionados al modelado y revisión de modelos de Problemas de Ruteos de Vehículos. Su experiencia laboral está relacionada a la implementación de sistemas ERP en la industria metal mecánica. Dirección: Universidad Popular Autónoma del estado de Puebla, 21 sur 1103, Puebla, Pué. México.

Email: edoado.torres@yahoo.com.mx

Elias Olivares Benitez

Doctor en Ciencias de Ingeniería con especialidad en Logística y Optimización por el Tecnológico de Monterrey, campus Monterrey. Es profesor investigador de la Universidad Popular Autónoma del Estado de Puebla. Sus trabajos están relacionados al diseño de cadenas de suministro, diseño de territorios de venta y distribución, y problemas de ruteos de vehículos.

Dirección: Universidad Popular Autónoma del Estado de Puebla, 21 sur 1103, Puebla, Pue. México.

Tel: (222) 229-94-00 ext. 7783 Email: elias.olivares@upaep.mx José Luis Martínez Flores

Licenciado en Matemáticas y Doctor en Ingeniería por la Universidad Autónoma de Nuevo León. Actualmente es profesor-investigador y coordinador del Posgrado en Logística y Dirección de la Cadena de Suministro de la Universidad Popular Autónoma del Estado de Puebla. Es miembro de la Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM) y de la American Mathematical Society (AMS). Ha publicado en diferentes revistas internacionales y ha participado en diferentes foros como ponente. Sus actuales áreas de investigación y consultoría son Optimización, Diseño de Redes Logísticas y Administración de la Cadena de Suministro. Miembro del SNI Nivel I.

Dirección: Universidad Popular Autónoma del Estado de Puebla, 21 sur 1103, Puebla, Pue. México. Tel: (222) 229-94-00 ext. 7704

Email: joseluis.martinez01@upaep.mx