PROYECCIONES

a) Proyección en perspectiva. b) Proyección paralela

PROYECCIONES EN PERSPECTIVA

CONSTRUCCIÓN DE UNA PROYECCIÓN

PERSPECTIVA DE 2 PUNTOS

PROYECCIONES PARALELAS

Proyección ortográfica

PROYECCIÓN ISOMÉTRICA

PROYECCIÓN OBLICUA

PROYECCIONES GEOMÉTRICAS PLANAS

ESPECIFICACIÓN DE LA VISTA EN 3D

El plano de vista se define mediante el punto de referencia de vista (VRP, view reference point) y una normal al plano llamada normal al plano de vista (VPN, view plane normal). Estos se definen en el sistemas de coordenadas de referencia de vista (VRC, viewing-reference-coordinates). El origen del VRC es el VPR. Un eje del VRC es VNP y se denomina n. El vector de vista arriba (VUP, view-up vector) determina el eje v del plano de vista. El eje u se define de tal manera que u, v y n forman un sistema de mano derecha. El centro de la ventana CW, lo determina los valores mínimos y máximos de u y v.

CONTINUACIÓN

El punto de referencia de proyección (PRP) define el centro de proyección y la dirección de proyección (DOP). Se especifica en el sistema VRC.

CONTINUACIÓN

El volumen de vista limita la porción del mundo que se recortará y proyectará sobre el plano de vista.El plano de recorte anterior y el plano de recorte posterior definen el volumen finito que se proyectará. Estos se definen por la distancia al plano anterior F y la distancia al plano posterior B.

EJEMPLOS DE VISTAS 3D

GRÁFICACIÓN

PROYECCIÓN DE UNA CASA

Proyección en perspectiva de dos puntos de una casa (figura 1), la casa esta definida en coordenadas de mundo de acuerdo con la figura 2.

Figura 1 Figura 2

VISTA POR OMISIÓN

Parámetros valor

VRP(WC) (0,0,0)

VPN(WC) (0,0,1)

VUP(WC) (0,1,0)

PRP(WC) (0.5,0.5,1.0)

Ventana (0,1,0,1)

Tipo paralela

PROYECCIONES EN PERSPECTIVA

Parámetros valor

VRP(WC) (0,0,0)

VPN(WC) (0,0,1)

VUP(WC) (0,1,0)

PRP(WC) (8,6,84)

Ventana (-50,50,-50,50)

Tipo perspectiva

CONTINUACIÓN

Parámetros valor

VRP(WC) (0,0,54)

VPN(WC) (0,0,1)

VUP(WC) (0,1,0)

PRP(WC) (8,6,84)

Ventana (-1,17,-1,17)

Tipo perspectiva

DOS POSIBLES DEFINICIONES

PERSPECTIVA DE UN PUNTO

Parámetros valor

VRP(WC) (16,0,54)

VPN(WC) (0,0,1)

VUP(WC) (0,1,0)

PRP(WC) (20,25,20)

Ventana (-20,20,-5,35)

Tipo perspectiva

PERSPECTIVA DE 2 PUNTOSParámetros valor

VRP(WC) (16,0,54)

VPN(WC) (1,0,1)

VUP(WC) (0,1,0)

PRP(WC) (0,25,202)

Ventana (-20,20,-5,35)

Tipo perspectiva

PROYECCIONES PARALELAS

Parámetros valor

VRP(WC) (0,0,0)

VPN(WC) (0,0,1)

VUP(WC) (0,1,0)

PRP(WC) (8,8,100)

Ventana (-1,17,-1,17)

Tipo paralela

VOLÚMENES DE VISTA FINITOS

Parámetros valor

VRP(WC) (0,0,54)

VPN(WC) (0,0,1)

VUP(WC) (0,1,0)

PRP(WC) (8,6,84)

Ventana (-1,17,-1,17)

Tipo perspectiva

F(VRC) +1

B(VRC) -23

MATEMÁTICAS DE LAS PROYECCIONESPuede verse que se cumplen las siguientes razones debido a la semejanza de triángulos:

x

d

x

z

y

d

y

zp p ;

xd x

z

x

z dy

d y

z

y

z dp p

,

MATRIZ DE LA PROYECCIÓN

0100

0100

0010

0001

per

d

M

La forma matricial de esta transformación es:

10100

0100

0010

0001

per z

y

x

d

PM

W

Z

Y

X

El punto homogéneo es:

;,,,,,,

ddz

y

dz

xzyx

W

Z

W

Y

W

Xppp

El punto real es:

VOLÚMENES CANÓNICOS

x x y y z z 1 1 1 1 0 1, , , ,

x z x z y z y z z z z , , , ,min 1

Volumen de vista canónico en proyección paralela:

Volumen de vista canónico en proyección en perspectiva:

IMPLANTACIÓN

CASO DE PROYECCIÓN PARALELA

Los pasos para efectuar la proyección paralela son:

1. Traslade VRP al origen

2. Rote VRC tal que el eje n (VPN) coincida con el eje z, u sea el eje x, y v el eje y.

3. Corte de tal manera que la dirección de proyección coincida con el eje z.

4. Traslade y escale a un volumen canónico de proyección paralela.

CONTINUACIÓN

El paso 1 se realiza mediante una matriz de traslación T(-VRP). El paso 2 se realiza mediante una matriz de rotación R dada por:

1000

0

0

0

321

321

321

zzz

yyy

xxx

rrr

rrr

rrr

R

xzyz

zxz RRR

RR

RR ;;

VUPVUP

VPNVPN

Donde:

CONTINUACIÓN

El paso 3 es efectuado con una matriz de corte dada por

1000

0100

010

001

par

par

par

shy

shx

SH

shxdop

dopshy

dop

dopx

z

y

zpar par ;

Donde:

Corte para alinear al volumen de vista.

CONTINUACIÓN

El paso 4 se hace mediante una traslación seguida de un escalamiento. Las transformaciones son:

.1

,2

,2

,,2

,2

minmaxminmaxpar

minmaxminmaxpar

BFvvuuSS

Fvvuu

TT

En suma,las transformaciones para obtener Npar son:

N S T SH R T VRPpar par par par ( ).

Volumen de vista después de los pasos de transformación 1 a 3.

RESULTADOS DE LAS TRANSFORMACIONES

Situación original

Paso 1, trasladar VRP al origen:

Paso 2, alinear sistema (u,v,n) con (x,y,z).

Paso 3, hacer DOP paralelo a eje z.

Paso 4, escalado y traslación a volumen canónico.

Imagen resultante

PROYECCIÓN EN PERSPECTIVA

1. Traslade VRP al origen

2. Rote VRC tal que el eje n (VPN) coincida con el eje z, u sea el eje x, y v el eje y.

3. Traslade para que el centro de proyección (COP), dado por PRP, este en el origen.

4. Corte de tal manera que la dirección de proyección coincida con el eje z.

5. Traslade y escale a un volumen canónico de proyección en perspectiva, la pirámide truncada definida por los 6 planos definida anteriormente.

Los pasos 1 y 2 son los mismos que para el caso paralelo. El paso 3 es solo una traslación T(-PRP). Es fácil ver el paso 4 es la matriz de corte SHpar.

Sección transversal del volumen de vista después de los pasos 1, 2 y 3 de la transformación.

Sección transversal del volumen de vista antes y después del escalamiento.

Situación original:

Paso 1, trasladar VRP al origen:

Paso 2, alinear sistema (u,v,n) con (x,y,z).

Paso 3, traslación del centro de proyección COP al origen.

Paso 4, hacer DOP paralelo a eje z.

Paso 5, escalado y traslación a volumen canónico.

Imagen resultante

TAREA

Genere las vistas de la casa que se muestran en los acetatos.

TAREA

Escriba una archivo de texto con la especificación de un objeto en 3D, el formato es:

Número de puntos

Lista de coordenadas de puntos

Número de aristas

Lista de aristas

80 0 01 0 01 1 00 1 00 0 11 0 11 1 10 1 1

121 22 33 44 11 52 63 74 85 66 77 88 5

Datos para un cubo