TECSUP PFRMatemtica Aplicada NDICE Unidad I:DERIVADAS APLICACIONES MECNICAS 1.Cinemtica .................................................................................................... 1 1.1.Movimiento rectilneo .......................................................................... 1 1.2.Velocidad media ................................................................................. 1 1.3.Velocidad instantnea ......................................................................... 1 1.4.Aceleracin media ............................................................................... 2 1.5.Aceleracin instantnea ....................................................................... 2 1.6.Movimiento armnico simple ................................................................ 3 2.Razn instantnea ....................................................................................... 14 2.1.Razn .............................................................................................. 14 2.2.Razn instantnea ............................................................................ 15 Unidad II:INTEGRALES: APLICACIONES MECNICAS 1.Momentos ................................................................................................... 25 1.1.Momentos de primer orden ................................................................ 25 1.2.Centro de masas o de gravedad ......................................................... 25 1.3.Centro de gravedad de una magnitud continua.................................... 26 1.4.Teorema de PAPPUS Y GULDIN .......................................................... 27 1.5.Aplicaciones ..................................................................................... 28 2.Momentos de inercia de reas ...................................................................... 39 2.1.Definiciones ...................................................................................... 39 2.2.Momento de inercia axial de un rea .................................................. 39 2.3.Momento de inercia polarde un rea ................................................. 40 2.4.Producto de inercia de un rea ........................................................... 41 2.5.Teorema del eje paralelo o de STEINER .............................................. 41 3.Trabajo....................................................................................................... 52 3.1.Definiciones ...................................................................................... 52 4.Energa y potencia ....................................................................................... 64 4.1.Potencia ........................................................................................... 64 4.2.Eficiencia o rendimiento ..................................................................... 65 4.3.Energa cintica ................................................................................ 65 4.4.Energa potencial .............................................................................. 66 4.5.Principio del trabajo y la energa ........................................................ 66 4.6.Ley de la conservacin de la energa .................................................. 66 Unidad III:ECUACIONES DIFERENCIALES 1.Definiciones ................................................................................................ 75 1.1.Ecuacin diferencial .......................................................................... 75 1.2.Solucin a ecuaciones diferenciales .................................................... 76 1.3.Ejemplos numricos .......................................................................... 78 1.4.Mtodos de solucin de ecuaciones diferenciales ................................. 81 2.Aplicaciones de ecuaciones diferenciales ........................................................ 87 2.1.Aplicaciones: crecimiento poblacional ................................................. 87 Matemtica AplicadaTECSUP PFR 2.2.Aplicaciones: circuitos elctricos con impedancias ................................ 90 2.3.Aplicaciones: problemas qumicos y mezclas ........................................ 96 3.Vibraciones mecnicas................................................................................ 101 3.1.Definiciones .................................................................................... 101 3.2.Movimiento armnico simple ............................................................ 101 3.3.Vibraciones libres-lineales ................................................................ 102 Unidad IV:CONTEO Y PROBABILIDADES 1.Definiciones ............................................................................................... 111 1.1.Experimento aleatorio ...................................................................... 111 1.2.Espacio muestral ............................................................................. 111 1.3.Evento............................................................................................ 112 1.4.Suceso ........................................................................................... 112 1.5.Variable aleatoria ............................................................................ 112 2.Conteo ...................................................................................................... 113 3.Notacin factorial ....................................................................................... 114 4.Permutaciones ........................................................................................... 114 5.Combinaciones .......................................................................................... 115 6.Multiplicacin de probabilidades .................................................................. 117 7.Probabilidad .............................................................................................. 118 8.Axiomas de la probabilidad ......................................................................... 119 Unidad V:DISTRIBUCIN DE PROBABILIDADES DISCRETAS 1.Distribucin binomial .................................................................................. 127 1.1.Representacin grfica..................................................................... 128 1.2.Media y varianza de una distribucin binomial .................................... 131 2.Distribucin de POISSON ............................................................................ 136 2.1.Media y varianza de ladistribucin de POISSON................................ 138 3.Distribucin hipergeomtrica ....................................................................... 141 3.1.Media y varianza de ladistribucin hipergeomtrica .......................... 143 Unidad VI:DISTRIBUCIN DE PROBABILIDADES CONTINUAS 1.La distribucin normal ................................................................................ 147 1.1.Estandarizacin de la variable aleatoria ............................................. 148 1.2.Aplicaciones: limites de control ......................................................... 153 2.Distribucin GAMMA ................................................................................... 157 2.1.Media y varianza de la funcin GAMMA ............................................. 158 3.Distribucin exponencial ............................................................................. 159 3.1.Grfico de la funcin exponencial ...................................................... 159 3.2.Media y varianza de la funcin exponencial........................................ 160 4.La distribucin beta .................................................................................... 161 4.1.Media y varianza de la funcin beta .................................................. 161 5.La distribucin de WEIBULL ........................................................................ 163 5.1.Media y varianza de la funcin WEIBULL ........................................... 164 TECSUP PFRMatemtica Aplicada 1 Unidad I D DE ER RI IV VA AD DA AS S: : A AP PL LI IC CA AC CI IO ON NE ES S M ME EC C N NI IC CA AS S 1.CINEMTICA Lacinemticaeselestudiodelmovimientosinconsiderarlasfuerzasuotros factores que influyen sobre el mismo. 1.1.MOVIMIENTO RECTILNEO EselrealizadoporunpuntoPalalargodeunalnearecta,que,por conveniencia,escogeremoscomoejex.Lossmbolosvectorialesse omitirn en esta parta. POSICINLa posicin del punto P en un instante cualquiera t se expresa en funcin desudistanciaxaunorigenfijosobreelejex.Ladistanciaxser negativa o positiva de acuerdo con el convenio normal de notacin. 1.2.VELOCIDAD MEDIA La velocidad media vm del punto P durante el intervalo de tiempo entre tyt + t,durante el cual su posicin vara de x a t + t, es el cociente v/t. Matemticamente, se escribe: txvmAA=(1) 1.3.VELOCIDAD INSTANTNEA La velocidad instantnea v del punto P en el instante t es el lmite de la velocidad media (definida anteriormente) cuando el incremento de tiempo tiende a cero como lmite. Matemticamente, se escribe: dtdx txvlim0 t=AA= (2) Matemtica AplicadaTECSUP PFR 2 1.4.ACELERACIN MEDIA La aceleracin meda am del punto P durante el intervalo de tiempo entre t y t + t, durante el cual su velocidad vara de v a v +v , es el conciente v/t. Matemticamente, se escribe tvamAA=(3) 1.5.ACELERACIN INSTANTNEA La aceleracin instantnea a del punto P en el instante t es el lmite de la aceleracinmedia(definidaanteriormente)cuandoelincrementode tiempo tiende a cero como lmite. Matemticamente, se escribe. 220 t dtx d dtdv tvalim= =AA= (4) Enelcasodeaceleracinconstantea=Ksonvlidaslassiguientes frmulas. at v v o + = (5) as2 v v2o2+ = (6)

2oat21tv s+ =

(7) t) v v(21s o+ =(8) En donde: vo = velocidad inicial. v = velocidad final. a = aceleracin constante.t = tiempo. s = desplazamiento. TECSUP PFRMatemtica Aplicada 3 1.6.MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Movimientoarmnicosimpleesunmovimientorectilneoenelquela aceleracinesproporcionalaldesplazamientoconsignonegativo. Matemticamente, se escribe. x -k a 2=(9) Comoejemplo,veamosquelaecuacin(9)lasatisfaceunpuntoque vibra de modo que su desplazamiento x viene dado por la ecuacin. t A sen xe = (10) En donde: A = Amplitud medida linealmente. w = frecuencia circular o angular constante en radiantes por segundo. t = tiempo en segundo. As: t ASen x e =t Cos Adtdxv e e = =x t ASendtx da2 222e = e e = = EJEMPLO 1 UnpuntoPsemuevealolargodeunalnearectadeacuerdoconla ecuacin5 t 2 t 4 x3+ + =en donde x est en metros y t en s. Determinar el desplazamiento, la velocidad y la aceleracin cuandos 3 t = Solucin: 22 23 3 m/s 72 )3 ( 24 t24 dv/dta m/s 110 2 )3 ( 12 2 t 12 dx/dtv m 119 5 )3 ( 2 ) 3 ( 4 5 t2 t 4 x = = = == + = + = == + + = + + = Matemtica AplicadaTECSUP PFR 4 EJEMPLO 2 Unpuntosemuevealolargodeunalnearectademodoquesu desplazamiento es: s = 8t2 + 2t, en donde s esta en m y t en s.Representareldesplazamiento,lavelocidadylaaceleracinenfuncin del tiempo. Solucin: t 2 t 8 s 2+ = 2 t16 ds/stv+ = =16 s/dt d dv/dta 2 2= = = As se ve que la aceleracin es constante, 16 m/seg2. Para obtener las graficas tabularemos t, s, v, y a. tt 2 t 8 s2+ =2 t 16 v + = 16 a =00216 2363416 52108216 1082016216 TECSUP PFRMatemtica Aplicada 5 s(cm)40020006008002 3 4 5 6 7 8 9 10 1t(s)v0t(s)0t(s)a t 2 t 8 s 2+ =at} = =}v0v0t0tv v d v a d t } = =}s0s0t0ts s dv vdtt Figura 1. De las ecuaciones: 2 t16 ds/stv+ = =16 s/dt d dv/dta 2 2= = = La integracin entre los lmites adecuados: } = =}v0v0t0tv v dv adt} = =}s0s0t0ts s dv vdt En donde: } = =}v0v0t0tv v dv adt =reabajoeldiagramaa-t enelintervalode tiempo comprendido entre t yto ,por lo tanto representa la variacin de la velocidad. Matemtica AplicadaTECSUP PFR 6 0t (s)a t} = =}v0v0t0tv v dv adt Figura 2 } = =}s0s0t0ts s dv vdt =reabajoeldiagramat v enelintervalode tiempocomprendidoentret y to,porlotantorepresentalavariacin del espacio recorrido. v0t (s)} = =}s0s0t0ts s dv vdt Figura 3. EJEMPLO 3 Un tren vara su velocidad uniformemente de 60 km/h a 30 km/h en una distancia de 500 m. Cul es su aceleracin? Solucin: Datos: m/s. 7 , 16 km/h60 vo = = m/s 3 , 8 km/h30 v = = m 500 s= Laaceleracinaesconstanteporquelavelocidadvarauniformemente en una lnea recta. TECSUP PFRMatemtica Aplicada 7 as2 v v2o2+ =22 2 2o2 m/s 21 , 0 - m) 500 ( 2 m/s) 7 , 16 - (m/s) 3 , 8 ( s 2 -v va = = =Queavecesseexpresadiciendoqueexisteunadeceleracinde0,209 m/s2. EJEMPLO 4 La aceleracin de un punto en un movimiento rectilneo viene dada porlaecuacin: a = -9,8. Se sabe que la velocidad v es cero y el desplazamiento xes +25 cuando t es igual a cero. Determinar la ecuacin del desplazamiento. Solucin Comosucedeconfrecuenciaenlosproblemasfsicos,laaceleracin puedeobtenerseporobservacinysustituirseenlaecuacindiferencial de segundo orden. La resolucin es sencilla puesto que las variables x y t pueden separarse. Escribamos la ecuacin dada del modo siguiente: 8 , 9 - dv/dta= = Luego: dt. 8 , 9 - dv= dt 8 , 9 dvv0vt0t} } = 0 ot t 8 , 9 - v v = 0 v0 = cuando0 to = La ecuacin para la velocidad es: . t 8 , 9 dt / dx v = = Luego: tdt 8 , 9 dx = tdt 8 , 9 dxx0xt0t} } = Matemtica AplicadaTECSUP PFR 8 ) t t (28 , 9x x2020 = 25 x + = cuando0 t0 = La ecuacin para el desplazamiento es:. 25 t 9 , 4 x2+ = EJEMPLO 5 Unapartculasemuevesobre unalnearectahorizontalcon una aceleracin de 3. s 6 a = Cuandos 2 t = ,su desplazamientoesm 27 s + = y suvelocidads / m 27 v + = . Calcularlavelocidadyla aceleracindelapartculacuandos 4 t = . Solucin: Comolaaceleracinvienedada enfuncindeldesplazamiento, utilizaremos las ecuaciones:adt dvdtdva = = (a) vdt dsdtdsv = =(b) Al combinar a y b: ads vdv =ds s 6 vdv3=ds s 6 vdv3} }=13 / 4 2C3 / 4s62v+ =Luego: 13 / 4 2C s 9 v + = Cuando27 v + = 27 s + = ,0 C1 = s (cm)72360108144t (s)3) 1 t ( s+ =180v (m/s)361805472t (s)2) 1 t ( 3 v+ =90a (m/s)126018241 2 3 4 5t (s)) 1 t ( 6 a+ =302TECSUP PFRMatemtica Aplicada 9 Luego: 3 2 3 / 4s 3 s 9 v = =Utilicemos ahora: dt / ds v = Reemplazando: dtdss 33 / 2=dt 3 s / ds3 2=} }=dt 3 ds s3 / 2 23 / 1C t 33 / 1s+ = 23 1C t 3 s 3 + = . Cuando27 s + =2 t = ,3 C2 = Luego: 3) 1 t ( s + = . Por consiguiente, las ecuaciones son 3) 1 t ( s + =2) 1 t ( 3 v + =) 1 t ( 6 a + = Cuandos 4 t = :m 125 s = , s / m 75 v =2s / m 30 a = Sehadibujadounarepresentacindeestasmagnitudesenfuncindel tiempo. EJEMPLO 6 En el mecanismo de vaivn o biela triangular de la figura la manivela OA estgirandoconunavelocidadangularconstanteerad/s.Deducirla expresindeldesplazamiento,velocidadyaceleracindelelemento deslizante. Matemtica AplicadaTECSUP PFR 10 xBAOlue Figura 4. Solucin B representa la posicin del extremo izquierdo del elementocuandou = 0. El desplazamiento x puede escribirseu = OACos l OB x . Adems: OA l OB + = , por tanto: ) Cos 1 ( OA OACos l OA l x u = u + = Sea:OA=R,ademscomolamanivelaestgirandoconvelocidad angular constantee, la expresint epuede sustituir au . Luego: ) t Cos 1 ( R x e = t Sen Rdtdxv e e = =y t Cos Rdtdva2e e = = TECSUP PFRMatemtica Aplicada 11 PROBLEMAS PROPUESTOS 1 1.Unapartidatieneunmovimientoenlnearectadeacuerdoconla ecuacin5 -t 3 -t x 2 3= estandox enmyt ens .Culesel desplazamientoenellapsoenquelavelocidadvarade m/s 8 a m/s 40 ?Sol:121,35m x = 2.Uncuerposemuevealolargodeunalnearectademodoquesu desplazamientomedidodesdeunpuntofijosobredichalneaviene dado port 2 t 3 s 2+ = . Hallar el desplazamiento, la velocidad y la aceleracin al final de los s. 3Sol: m 33 , s / m 20 , 2 m/s 6 3.Elmovimientodeunpartculaestdefinidoporlarelacin 8 -t 2 t 3 -t s 2 3 4+ = , estandos enm ytens . Determinarlavelocidad -s ylaaceleracin - -s cuando s2 t=Sol: m/s 4 s + =- 2 m/s 16 s + =- - 4.La curva velocidad-tiempo de un punto que se mueve sobre una lnea rectaestdibujadaenlafigura.Qudistanciarecorreelpuntoen s 2 ?v (m/s)01 2t (s)t41Cos 4 vt = Figura 5. Sol: m 09 , 5 x = 5. Un objeto se mueve en lnea recta con una aceleracin constante dem/s. 2 Cunto tiempo tardar en variar su velocidad de 5 a 8 m/s? Qu variacin de desplazamiento tendr lugar en este intervalo de tiempo? Matemtica AplicadaTECSUP PFR 12 Sol:s5 , 1 t= m 95 , 9 s= 5.Elmovimientodeunapartculavienedadoporlaaceleracin 7 t 2 -t a 2 3+ = estandoaen 2s / m yt ens .Lavelocidades de3,58m/scuando s 1 t= yeldesplazamientovale+3,39m cuanto s 1 t= . Calculareldesplazamiento,lavelocidadylaaceleracincuando s 2 t= . Sol:m 9 , 15 s =m/s 67 , 9 v= 2 m/s 7 a = 6.Sedejacaerunapiedradesdeungloboqueseestelevandocon velocidadconstante de 9m/s.Silapiedra tarda10senalcanzarel suelo, a qu altura estaba el globo en el momento de dejar caer la piedra? Sol: m 400 s = 7.Ungloboseestelevandoconunavelocidadde1m/scuandose arroja un saco de lastre. Si su altura en el instante en que se suelta el sacoes84m,cuntotiempo(s)tardarestelastreenllegaral suelo?Sol: s 23 , 4 t = 8.Una partcula se muevesobre una lnea verticalcon una aceleracin v 2 a = .Cuandos 2 t = ,sudesplazamientoesm 3 / 64 s = ysu velocidads / m 16 v = .Determinarlasecuacionesdel desplazamiento,la velocidadylaaceleracinyevaluarelvalorpara cada una de estos parmetros cuandos 3 t =Sol:3) 2 t (31s + =) 2 (t v2+ =) 2 (t 2 a + =Cuandos 3 t = : m 7 , 41 s = m/s 25 v = 2 m/s 10 a = 9.Laaceleracindeunpuntoquesemuevesobreunalneavertical vienedadaporlaecuacin20 t 12 a = .Sesabequesu desplazamientoesm 10 s = eneltiempo0 t = yquesu desplazamientoesm 10 s + = eneltiempos 5 t = .Deducirla ecuacin de su movimiento. Sol:10 t - 4 t 10 -t 2 s 2 3+ = TECSUP PFRMatemtica Aplicada 13 10.Completarlosdiagramasdevelocidadvs.Tiempoyaceleracinvs tiempo del movimiento lineal de un pistn hidrulico el cual se mueve controlado por tecnologa proporcional. La1a2a3tVSALIDAa +VENTRADAPARABOLAa4v1v3v2v4v5(cm)(s)-a2-a1RECTAa = Aceleracinv = Velocidada -t(s)t(s)(cm/s)(cm/s)2L = Posicin Figura 6. 11.Determinar el desplazamiento lineal, la velocidad y la aceleracin de lacrucetaCenelmecanismobiela-manivelaparaunaposicin cualquieradelamanivelaR,queestgirandoconunavelocidad angular constante dee rad/s. Matemtica AplicadaTECSUP PFR 14 Determinarlavelocidaddelpistncuando4 l = cm,10 R = cm,o30 = u . RPM 200 n = | ulARDhCXe Figura 7. Sol: u + u =22Senl 2R) Cos 1 ( R x) 2 Senl 2RSen ( R v u + u e =) 2 CoslRCos ( R a2u + u e = 2.RAZN INSTANTNEA 2.1.RAZN abscisas Cambio de ordenadas Cambio de x x) x ( f ( ) x ( f00= Razn Instantnea al lmite: 000x xx x) x ( f ) x ( flim Existenmuchasaplicacionesdeestosdosconceptos.Porejemplo,la cantidaddeaguaQ (enlitros)quehayenunrecipienteesfuncindel tiempot . Si el agua entra y sale,Qcambia en una cantidadQ Ade un tiempota un tiempo. t t A + La razn promedio de cambio deQcon respecto ates:

TECSUP PFRMatemtica Aplicada 15 min) / l (tQAA 2.2.RAZN INSTANTNEA (l/min)tQlimdtdQ0 t=. EJEMPLO 1 Unrecipientecilndricode10cmderadioesllenadoconuncaudalde aceitede4l/min.Determinelavelocidad(cm/s)conquesubela superficie del aceite. Solucin El volumen de un cilindro es: h42dVt=Derivandoelvolumenylaaltura con respecto al tiempo (d = cte) dh42ddVt=dtdh42ddtdV t= VvQ = 4 l/mindh v42dQt=Reemplazando el valor de:Q = 4 l/min = 4000 cm3/min; d = 20 cm. v = 12,7 cm/min = 0,21 cm/s EJEMPLO 2 Dos barcos salen simultneamente de un puesto: uno viaja hacia el Sur a una velocidad de 20 km por hora, el otro hacia el Este a una velocidad de 30kmporhora.Alfinalde3horas, culeslavelocidad deseparacin de los dos barcos? Matemtica AplicadaTECSUP PFR 16 Solucin Sea: zLa distancia entre los dos barcos. t 20La distancia hacia el Sur recorrida por el primer barco. t 30La distancia hacia el Este recorrida por el segundo barco. t El tiempo transcurrido en horas desde que dejaron el puerto. Entonces: zt 20 t 30 Figura 8. t 1300 z t 1300 z ; ) t 30 ( ) t 20 ( z2 2 2 2 2= = + =1300dtdz= = 36.06 km por hora aproximadamente. EJEMPLO 3 Aunconorectocircularinvertidoleentraaguaaraznde2cm3por minuto. La altura del cono es dos veces su dimetro. A qu rapidez sube lasuperficiedelagua(cm/minuto)cuandolamismaalcanzauna profundidad de 10 cm en el cono? Solucin V Volumen del agua en el cono,hProfundidad (cm) r Radio superior (cm) t tiempo (minutos)=dtdVCaudal =dtdhRapidez con que sube la superficie de agua. TECSUP PFRMatemtica Aplicada 17 Entonces:h r31V2t =con r 4 h =3 2h48h )4h(31Vt= t = dtdh)48h(dhddtdV3t= dtdhh16 dtdV2t= 2rh = 4r10 cm Figura 9. Al remplazar las cantidades conocidas por sus valores se tiene: dtdh101622t= uto mincm102 . 032 . 0dtdh=t= EJEMPLO 4 Searrojaunapiedraenunestanquedeaguatranquila.Elradiodela onda generada aumenta a una velocidad de 4 pies por segundo, cuando elradioesde10pies.Aquevelocidadaumentaelreadelcrculode agua perturbada? Matemtica AplicadaTECSUP PFR 18 Solucin: 2r A t = . dtdrr 2dtdr) r (drddtdA2t = t = r = 10 piesv Figura 10. EJEMPLO 5 Un hombre de 1,80 m de estatura se aleja a una velocidad de 3 Km/h de unaluzqueesta4,5msobreelniveldelpiso.Cuandosudistancia horizontal de la luz es de 3,6 m: 1.A qu velocidad crece su sombra (Km/h)?2.Aquvelocidadsemuevelapartemsalejadadelasombracon respecto a la luz (Km/h)? Solucin 1.Seax ladistanciahorizontalqueseparaalhombredelaluzyla longitud de su sombra: 4,50 m1,80 mx = 3,6 myzsombra Figura 11. s / pie 33 , 251 80 4 . 10 . 2 = t = tTECSUP PFRMatemtica Aplicada 19 Se pide=dtdyvelocidad con que crece la sombra En la figura, por semejanza de tringulos se tiene: y 7 , 2 x 8 , 18 , 1y5 , 4y x= =+ dtdy7 , 2dtdx8 , 1 = Remplazando los valores: h / km 2dtdydtdy7 , 2 ) 3 ( 8 , 1 = = 2.Se pide=dtdzRapidez con la que se mueve la sombra con respecta a la luz. 4,50 m1,80 mx = 3,6 myzsombradtdydtdxdtdz Figura 12. Sea:2 2 2 2u ) 5 . 4 ( ) y x ( ) 5 . 4 ( z + = + + = ( )dtduu 5 . 4udtdz22+= Donde:u y x = + Luego: Matemtica AplicadaTECSUP PFR 20 ( ))dtdydtdx(u 5 . 4udtdz22++= Cuando: 4 , 2 y 6 . 3 x = =6 u = Tambin: 3dtdx=(Dato);2dtdy=(Caso a) Luego reemplazando estos valores: hkm4 ) 2 3 (6 5 . 46dtdz2 2= ++= EJEMPLO 6 Unbalnesfricopierdeairearaznconstantede2cm3/s.Conque razn decrece el radio del baln (cm/s) cuando su dimetro es de 1 m. Solucin Sea: R= Radio del balnV = Volumen del baln. Luego. 3R34V t = Derivando con respecto al tiempo se tiene: dtdRR 4dtdV2t = Figura 13. Q = 2 cm /s 3vRTECSUP PFRMatemtica Aplicada 21 Donde: dtdVR 41dtdR2t= Donde: scm2dtdV3 = Luego: scm00006 . 0 ) 2 (50 41dtdR2 = t= EJEMPLO 7 Enunafbricadecementosedepositaarenadetalmaneraqueforma una pila cnica cuya altura siempre es igual a los 4/3 del radio de la base. 1.Con qu rapidez aumenta el volumen cuando el radio de la base es de 90 cm y el cual aumenta a su vez a una velocidad de 1/8 cm por minuto?2.Conqurapidezaumentaelradiocuandotiene1,80mysu volumen aumenta a una razn de 3 m3 por minuto? Solucin 1.Sea: = r radio de la base y= h altura de la pila en el tiempo t . Sabemosqueelvolumendelapilacnicaes:h r31V2t = Donde:r34h = Luego:3 2r94) r34( r31V t = t =dtdrr34dtdV2t = Reemplazando los datos: 90 r =81dtdr=mincm1350819034dtdV32t = t =Matemtica AplicadaTECSUP PFR 22 h = 4/3r r = 90scm81dtdr= Figura 14. EJEMPLO 8 Unpuntosemuevesobrelapartesuperiordelaparbolasemicbica 3 2x y =de tal manera que su abscisa aumente 5 unidades por segundo cuando4 x = . Con qu rapidez cambia la ordenada? Solucin:Datos: 5dtdx= Incognitadtdy= Derivando 3 2x y = conrespectoat se obtiene: dtdxx 3dtdyy 22=. Cuando, 4 x =8 y = .Al remplazar estos valores se obtiene: sunidades15dtdy5 ). 4 ( 3dtdy) 8 ( 22= = 3 2x y =XY Figura 15. TECSUP PFRMatemtica Aplicada 23 PROBLEMAS PROPUESTOS 2 1.Un hombre camina a 7 km/h hacia la base de una torre que tiene 18mdealtura.Conqurapidezseacercaalacimadelatorre cuando su distancia de la base es 24 m? Resp.: Se acerca a 6 km/n 2.Un puntose mueve sobre la parbolax 12 y2= , de manera que la abscisa aumenta uniformemente 2 cm/s. En qu punto aumentan la abscisa y la ordenada a la misma razn? Resp.: (3,6) 3.Hallelosvaloresdex paralosquelarapidezdevariacindela funcin13 x 15 x 12 x2 3 + es cero. Resp.:3 y 5 4.UnbuquenavegabahaciaelSuraunavelocidadde6millaspor hora;otronavegabahaciaelEsteaunavelocidadde8millaspor hora. A las cuatro de la tarde el segundo cruz la ruta del primero en el punto por el que ste haba pasado dos horas antes.-Cmo variaba la distancia entre los buques a las tres de la tarde?-Cmo a las cinco de la tarde?-Cundo no variaba la distancia entre ellos? Resp.:-Disminua 2,8 millas por hora;-Aumenta 8,73 millas por hora;-A las 3 h 17 min de la tarde. 5.Las aristas de un tetraedro regular miden 10 cm; si aumentan 0,1cm por minuto, calcule la rapidez de aumento del volumen. 6.El dimetro y la altura de un cilindro circular recto son, en un cierto instante,10y20cm,respectivamente.Sieldimetroaumentaa razn de 1 cm por minuto qu alteracin de la altura mantendr el volumen constante? Resp.: Una disminucin de 4 cm/min. 7.El radio de la base de cierto con aumenta a razn de 3 cm por hora y la altura disminuye a razn de 4 cm por hora. Calcule cmo varia el rea total del cono cuando el radio mide 7 cm y la altura 24 cm. Resp.: Aumenta 26tcm2/h Matemtica AplicadaTECSUP PFR 24 8.Ungasmetrocontiene1000m3 degasalapresinde300gfpor cm2 . Si la presin disminuye a razn de 3 gf por cm2 por hora, con querapidezaumentarelvolumen?(Dseporsentadalaleyde Boyle:. c pv = ) Resp.:10 m3/h 9.Laleyadiabticaparalaexpansindelairees. c PV4 , 1= Sienun tiempo dado se observa que el volumen es de 10 m3 y la presin es de50kgfporcentmetrocuadrado,culeslaalteracindela presin si el volumen disminuyen un metro cbico por segundo? Resp.: Aumenta 7 kgf/cm2 por segundo 10.Seechaaguaenunrecipientehemisfricode35cmdedimetroa razn de 16 cm3 po segundo.Con qu rapidez sube el agua:-Cuando ha llegado a media profundidad;-En el momento de rebosar?(El volumen de un segmento esfrico de una base es 3 2h31rh t t , siendohla altura del segmento.) 11.Elgasdeungloboesfricoseescapaaraznde1000cm3por minuto. En el instante en que el radio es 25 cm: a) con qu rapidez disminuyeelradio?,b)conqurapidezdisminuyeelreadela superficie? Resp.: b) 80 cm2/min 12.Una va de ferrocarril cruza una carretera bajo un ngulo de 60. Una locomotoradista160mdelcruceysealejadelalavelocidadde 100 km por hora. Un automvil dista del cruce 160 m y se acerca a l a la velocidad de 50 km por hora A qu razn se altera la distancia entre los dos? Resp.:25 km/h o