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"EL LENGUAJE ALGEBRAICO".

Unidad 3

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Se puede pensar que el álgebra comienza cuando se empiezan a utilizar letras para

representar números, pero en realidad comienza cuando los matemáticos empiezan a inte-

resarse por las operaciones que se pueden hacer con cualquier número, más que por los

mismos números, y así el gran paso de la aritmética al álgebra. La utilización de letras

dentro del ambiente matemático es muy antigua, ya que los griegos y romanos las utiliza-

ban para representar números bien determinados. Las ecuaciones y sus soluciones son de

mucha importancia en casi todos los campos de la tecnología y de la ciencia. Una fórmula es

el enunciado algebraico de que dos expresiones representan al mismo número. Por ejemplo,

la fórmula del área de un círculo es: A = p r2. El símbolo A representa el área, lo mismo que

la expresión: p r 2, pero aquí el área se expresa en términos de otra cantidad, el radio: r.

A menudo es necesario resolver una fórmula para una letra o símbolo que aparecen en

ella. En la práctica es necesario plantear ecuaciones para ser resueltas y no siempre es fácil

identificar la información que nos lleva a la ecuación.

Los problemas de aplicación no vienen en forma "resuelva la ecuación", sino que son

relatos que suministran información suficiente para resolverlos y debemos ser capaces de

traducir una descripción verbal al lenguaje matemático. Cualquier solución matemática

debe ser verificada si es solución del problema en cuestión, porque podría tener solución

matemática que carezca de sentido con el contexto del problema. Los problemas que se

proporcionaran serán de mayor o menor realismo con objeto de presentarle ejercicios para

calcular el o los valores de x.

INTRODUCCIÓN

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• Reconocer el lenguaje algebraico como una forma de manejo de las herramientas

matemáticas.

• Adquirir conocimiento conceptual y metodológico respecto a los contenidos referidos a

Álgebra Fundamental en Educación Básica.

• Desarrollar la habilidad para resolver problemas aplicando ecuaciones de primer grado

en una incógnita y sistemas de ecuaciones de primer grado en una incógnita.

OBJETIVOS

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El algebra en términos simples puede definirse como una forma diferente de manejar

y aplicar las herramientas matemáticas. Es un lenguaje matemático que se utiliza para

expresar una información de manera clara y precisa.

Su importancia es fundamental para la resolución de problemas y para entender los

números desde otra perspectiva.

Hace 50 años estudiar álgebra no era tan importante como ahora, en estos tiempos

modernos el álgebra tiene aplicaciones diversas en la ingeniería, economía, arquitectura,

estadística, exploración espacial y todas las ciencias físicas.

1.1 ALGEBRA.

Observe las siguientes frases y su expresión matemática:

En el primer caso, los números y una operación entre ellos, son suficientes para

expresar la información. Sin embargo, en el segundo debemos considerar una letra para

representar un valor desconocido. Decimos que el primero está expresado con un lenguaje

aritmético y que el segundo es algebraico.

Así, en el lenguaje algebraico aparecen:

- Números.

- Símbolos de operaciones.

- Letras que representan números.

- El signo =

1. LENGUAJE ALGEBRAICO.

Los emparedados de queso

cuestan $150 y los de jamón

$50 pesos más.

Precio del emparedado de

jamón = 150 + 50 = 200

El kilo de uvas cuesta $150

más que el de manzanas.

P = precio de 1kg de manzanas. El kilo de uvas

cuesta p + $150

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La combinación correcta de los símbolos anteriores nos permite escribir "frases

algebraicas":

2 + x - 1 = 2x

1.2 APRENDIZAJE DE UN LENGUAJE.

Aprender una lengua distinta de la propia es útil, puesto que nos sirve para comunicar-

nos con otras personas; pero ¿para qué sirve el lenguaje algebraico? El lenguaje algebraico

es necesario para:

- Expresar sin ambigüedades una información determinada.

- Resolver, de manera sencilla, muchos problemas.

1.3 IGUALDADESEL SIGNO DE IGUALDAD.

Cuando se indica que dos expresiones algebraicas son iguales, utilizamos el símbolo de

igualdad:

2c + 7 = c - 5

Según los valores que pueda tomar "la cantidad desconocida", la igualdad recibe dife-

rentes nombres:

1.3.1 IDENTIDAD

Es una igualdad que se verifica para cualquier valor de la cantidad simbolizada por el

término literal o letra.

La igualdad:

(a + 3)2 = a2 + 6a + 9

Es cierta sean cuáles sean los valores de a y b.

La cantidad desconocida recibe, en este caso el nombre de variable.

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1.3.2 ECUACIÓN.

Es una igualdad en la que interviene una cantidad desconocida y que sólo se verifica

para algunos valores de la misma. En este caso, la cantidad desconocida se llama incógnita.

La igualdad:

3x + 5 = 12 sólo se verifica para x = 2

x2 - 5x + 6 = 0 sólo se verifica para x = 2 y x = 3

El grado de una ecuación es el mayor exponente al que aparece elevada la incógnita.

La ecuación x2 + 6 = 10 es de segundo grado, mientras que; x + 7 = 9 es una ecuación

de primer grado.

Resolver una ecuación consiste en encontrar el valor o valores de la incógnita que

verifiquen la igualdad. Esos valores reciben el nombre de raíces o soluciones de la ecuación.

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Las ecuaciones 2x - 3 = 7 y 2x = 10 son equivalentes, ya que ambas tienen como única

solución x = 5.

Plantear una ecuación consiste en traducir al lenguaje algebraico una información

expresada en el lenguaje cotidiano. El punto más importante de esta traducción es la

identificación de la incógnita.

Ejemplo:

Encontrar las dimensiones de un rectángulo, sabiendo que la longitud de uno de sus

lados desiguales es igual al triple de la longitud del otro menos 7cm, y que el perímetro es

igual a 26cm.

Se elige como incógnita la longitud de uno de los lados del rectángulo y le llamamos n.

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1.4 FÓRMULA.

Es una igualdad que relaciona varias variables. La fórmula que relaciona el área de un

rectángulo con sus dimensiones lineales es:

A = b x c

Siendo A el área y b y c las longitudes de los dos lados distintos del rectángulo. Observa

que en esa igualdad las cantidades A, b y c son variables.

Las variables que se sustituyen en una fórmula, deben estar siempre expresadas en las

mismas unidades.

1.5 ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA.

Una ecuación es de primer grado si el mayor de los exponentes al que aparece elevada

la incógnita es 1.

Si una ecuación de primer grado tiene solución, es única.

1.5.1 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO.

Para resolver una ecuación, podemos utilizar varios métodos.

Cálculo mental.

No hace falta ninguna estrategia especial para revolver ecuaciones como la siguiente:

n + 2 = 7

Evidentemente, el número que sumando a 2 nos da 7 es el 5.

Enunciado Traducción

algebraica

Longitud de un lado n

Longitud del otro lado igual al triple menos 7.

3n – 7

Perímetro igual a 26 2n + 2(3n – 7) = 26

n

3n - 7

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Método de deshacer

Observe la siguiente ecuación:

2t - 40 = 120

Este método consiste en hacerse las siguientes preguntas:

¿Qué hemos hecho con el valor de la incógnita para llegar a 120?

Multiplicamos el valor de la incógnita por 2 y al resultado le restamos 40. Esto da 120.

Valor de la incógnita: t x 2 2t -40 120

¿Qué debemos hacer con 120 para llegar al valor de la incógnita?

A 120 debemos sumarle 40 y el resultado dividirlo por 2 para obtener el valor de la incógnita.

Valor de la incógnita: 80 : 2 160 +40 120

Mirar la ecuación "por partes".

Este método consiste en ir analizando parcialmente la ecuación. Por ejemplo, para

resolver la ecuación:

2(x - 5) + 6 = 10 podemos preguntarnos:

3

¿Cuál es el valor de 2(x - 5) para que al sumarle 6 nos dé como resultado 10?

3

+ 6 = 10 la respuesta es: 2(x - 5) = 4

3

¿Cuál es el valor de 2(x - 5) para que al dividirlo por 3 el cociente sea 4?

= 4 la respuesta es: 2(x - 5)= 12

3

¿Cuál es el valor de (x - 5) si al multiplicarlo por 2 es igual a 12?

2 x = 12, la respuesta es x - 5 = 6

Y por último, ¿cuál es el valor de x si al restarle 5 se obtiene 6?

?

?

?

- 119 -

- 5 = 6 la respuesta es: x - 11

Método de trasposición

Consiste en encontrar una serie de ecuaciones equivalentes a la dada de manera que,

a la última, la incógnita esté sola en uno de los miembros de la ecuación. Por esto, también

se dice que en este método se trata de despejar la incógnita.

Para una mejor comprensión de este método, representaremos la ecuación por medio

de una balanza en equilibrio. Si algo se modifica en uno de los platillos, la balanza se

desequilibrará.

Este proceso indica por qué el método es conocido como transposición:

?

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- Para aislar la incógnita, algunos términos deben cambiar de miembro.

- Si un término cambia de miembro, lo hace cambiando por su inversa la operación en la

que intervenía.

Resumen los pasos generales para resolver una ecuación de primer grado con una

incógnita son:

Ecuaciones reducibles a otras de primer grado.

Son aquéllas que vienen dadas como producto de ecuaciones de primer grado e iguala-

das a cero.

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Discusión de una ecuación.

Es averiguar si tiene o no tiene solución, y en le caso que la tenga, cuántas tiene.

Número de soluciones de una educación de primer grado con una incógnita.

Se pueden presentar los siguientes casos:

1. Que tenga solución; entonces, es única 2x = 6 x = 3.

2. Que no tenga solución; llegamos a 0 = número, lo que es imposible.

2x + 1 + x = 3x + 5 0 = 4 que es imposible.

Nota: Un tercer caso sería cuando tenga infinitas soluciones; pero, entonces, no es una

ecuación, sino una identidad.

1.6 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES.

Método general.

Al leer un problema nos encontramos a una mezcla de números, datos, relaciones,

preguntas, figuras, unidades, etc. Hay una serie de pasos que, seguidos en un orden,

permiten por un lado comprender mejor el problema y por otro, conseguir la solución.

Siempre que sea posible, realizar un dibujo de la situación o esquema. Procure ser lo

más preciso posible.

1. Localice cuál es el valor desconocido que se quiere calcular. Es decir, deduzca del enun-

ciado cuál es la incógnita que le interesa considerar y simbolícela mediante una letra. Es

conveniente que escriba algo así:

"quiero calcular el valor de…., llamo x a ese valor".

Haga una estimación del valor de la incógnita.

2. Escriba ordenadamente los datos expresándolos, cuando sea necesario, en función de la

incógnita.

3. Escriba la ecuación.

4. Resuelva la ecuación, utilizando el método que prefiera. Es importante que antes de

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empezar prevea los pasos que tiene que seguir.

5. Una vez resuelta la ecuación, compare la solución con la estimación anterior. Si algo

falla, repase el planteamiento y la resolución.

Compruebe que la solución es correcta viendo si verifica la ecuación.

6. Escriba cuál es la solución del problema, utilizando las unidades de medida adecuadas.

Ejemplo.

- Calcule las dimensiones de un rectángulo, sabiendo que el perímetro mide 26 m y que es

3 m más largo que ancho.

Problemas de mezclas y aleaciones

1. La cantidad total de la mezcla es la suma de las cantidades de cada componente.

2. El valor total de la mezcla es la suma de los valores correspondientes a cada componen-

te.

x

x + 3

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Mezclamos 16 kg. De café de $800/kg con café de $600/kg, y queremos que la mezcla

nos salga a $650/kg. ¿Cuántos kilogramos de café de $600/kg necesitamos?

Problemas de edades.

Un padre tiene 44 años y su hijo 15. ¿Dentro de cuántos años de edad del padre será

el doble de la del hijo?

Incógnita Datos Ecuación

X Kg de café de $600/kg

Estimación debe ser

positivo y mayor que 16.

16 kg café de $800

X + 16 peso de la mezcla.

650 precio de café de la

mezcla.

600x + 800 x 16 =

= 650(x + 16)

Resolución Comprobación Solución de problema

600x + 12.800 = 650x +

10.400 – 50x = -2.400

X = 48

48 x 600 + 16 x 800 =

$41.600.

Precio de la mezcla (16 +

48)650 = 64 x 650 =

$41.600

Es posible

Necesitamos 48 kfg de

café de $600/kg.

Incógnita Comprobación Ecuación

t años transcurridos

Estimación: debe ser un

número positivo, no muy

grande.

44 edad del padre ahora.

15 edad del hijo ahora.

44 + t edad del padre

luego

15 + t edad del hijo luego

2(15 +t) = 44 + t

Resolución Comprobación Solución del problema

30 + 2t = 44 + t

t = 14

Edad del hijo luego

15 + 14 = 29 años

Edad del padre luego

44 + 14 = 58

58 es el doble de 29.

Es posible.

Solución del problema.

Dentro de 14 años el padre

tendrá el doble de edad

que el hijo.

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1. Llamando x a un número indeterminado, asocie cada enunciado con la expresión que le

corresponde:

a) El doble del número. b) El doble más cinco.

c) El doble del resultado de sumarle cinco. d) La mitad del número.

e) La mitad menos cinco. f) La mitad del resultado de restarle cinco.

2. Haga corresponder cada enunciado con su expresión algebraica:

a) La distancia recorrida en x horas por un camión que va a 60 km/h.

b) El costo de x kilos de peras que están a $0,80 /kg.

c) El área de un triángulo de base 0,80 m y altura x metros.

d) La edad de Pedro, siendo x la de su abuelo, que tenía 60 años cuando nació Pedro.

3. Copie y complete la tabla, atendiendo a los siguientes enunciados:

- Cristina tiene x años.

- Alberto, su esposo, tiene 3 años más.

- Javier, su padre, le dobla la edad.

- Marta, su madre, tiene 5 años menos que su padre.

- Loli y Mar son sus hijas gemelas. Las tuvo con 26 años.

- Javi, el pequeño, tiene la mitad de años que las gemelas.

4. Reduzca.

a) x + x + x b) a + a c) 2x - x d) 5a + 2a

e) 3x + x f) 8a - 5a g) 4x - 3x h) 4a + 5a

i) 7x - 7x j) -3a + 4a k) 2x - 3x l) 3a - 7a

5. Opere.

a) 3x + 2x + x b) 10x - 6x + 2x c) 5a - 7a + 3a

d) a - 5a + 2a e) -2x + 9x - x f) -5x - 2x + 4x

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Y TRANSFERENCIA AL AULA.

CRISTINAALBERTOJAVIERMARTALOLI Y MARVAVI

xEDAD

- 125 -

6. Reduce todo lo posible.

a) x + x + y b) 2x - y - x

c) 5a + b - 3a + b d) 3a + 2b + a - 3b

e) 2 + 3x + 3 f) 5 + x - 4

g) 2x - 5 + x h) 3x + 4 - 4x

i) x - 2y + 3y + x j) 2x + y - x - 2y

7. Resuelva estas ecuaciones:

a) 3x + 2 = 14 b) 3 - 2x = 5 c) 5x + 12 = 2

d) 3 = 4 - 3x e) 2x = x + 3 f) 5x - 2 = x + 1

8. Encuentre el valor de x en cada caso:

a) 2x - 3 = 2x + 1 b)3x + 1 = 7x - 1 c) x + 8 + 2x = 6 - 2x

d) 3 + 4x - 7 = x - 3 e) 5x - 1 = 3x - 1 + 2x f) 6 - 3x + 2 = x + 7

9. Resuelve.

a) 2x + 5 - 3x = x + 19 b) 7x - 2x = 2x + 1 + 3x

c) 11 + 2x = 6x - 3 + 3x d) 7 + 5x - 2 = x - 3 + 2x

e) x - 1 - 4x = 5 - 3x - 6 f) 5x = 4 - 3x + 5 - x

10.Ubique x en cada caso:

a) 2(x + 5) = 16

b) 5 = 3 · (1 - 2x)

c) 5(x - 1) = 3x - 4

d) 5x - 3 = 3 - 2(x - 4)

e) 10x - (4x - 1) = 5 · (x - 1) + 7

f) 6(x - 2) - x = 5(x - 1)

g) 7(x - 1) - 4x - 4(x - 2) = 2

h) 3(3x - 2) - 7x = 6(2x - 1) - 10x

i) 4x + 2(x + 3) = 2(x + 2)

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Problemas para resolver con ecuaciones.

a) Si triplicas un número y al resultado le restas 16, obtienes 29. ¿Cuál es el número?

b) ¿Cuál es el número que sumado con su anterior y su siguiente da 117?

c) La suma de tres números consecutivos es 84. ¿Qué números son?

d) Si a un número le restas 28 unidades, obtienes el mismo resultado que si lo divides entre

3. ¿Qué número es?

e) Si a este cántaro le añadieras 13 litros de agua, tendría el triple que si le sacaras dos.

¿Cuántos litros de agua hay en el cántaro?

f) En mi colegio, entre alumnos y alumnas somos 624. El número de chicas supera en 36 al

de chicos. ¿Cuántos chicos hay? ¿Y chicas?

g) Roberta tiene un año menos que su hermana Marta, y ya tenía cinco cuando nació

Antonio, el más pequeño. ¿Cuál es la edad de cada uno, sabiendo que entre los tres,

ahora, suman 35 años?

h) En una ferretería se venden clavos en cajas de tres tamaños diferentes. La caja grande

contiene el doble de unidades que la mediana, y ésta, el doble que la pequeña. Si

compras una caja de cada tamaño, te llevas 500 unidades. ¿Cuántos clavos tiene cada

caja?

i) Un granjero ha contado, entre avestruces y caballos, 27 cabezas y 78 patas. ¿Cuántos

caballos hay en la granja? ¿Y avestruces?

j) Victoria tiene 50 sellos (láminas) más que Aurora, y si le diera 8 sellos, aún tendría el

triple. ¿Cuántos sellos tiene cada una?

k) Una parcela rectangular es 18 metros más larga que ancha, y tiene una valla de 156

metros. ¿Cuáles son las dimensiones de la parcela?

l) Los dos lados iguales de un triángulo isósceles son 3 cm más cortos que el lado desigual,

y su perímetro es de 48 cm. ¿Cuánto mide cada lado?