ECUACIONES DIFERENCIALES

Ordinarias Cuando la función f depende de una sola variable

Parciales Cuando la función depende de varias variables

Ejemplo:Dada la función . Diga si es solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO).

Variable Separable

Si la función f(x,y) se puede escribir como el producto de dos funciones h(x)*g(y), entonces:

Ejemplo:

z = 2 + y dz = dy

Solución Implícita

Diga si es variable separable o no y la que sea encuentra su solución.

1.

2.

3.

4.

Resolver

1.

2.

3.

4.

Ecuación Lineal

Los coeficientes solo dependen de x

Se busca una función tal que sea igual a todo el lado izquierdo de la ecuación lineal multiplicada por .

Igualando miembro a miembro

Eliminando la y se obtiene una ecuación diferencial de variables separables:

tomando constante cero:

entonces con la función construida e integrando la ecuación lineal resulta:

Aplicaciones:

1. Determine la función del precio de un producto si se conocen las funciones de demanda y de oferta, que no existe Stoke y que el precio

p(t) de un artículo varía de modo que su razón de cambio con respecto al tiempo es proporcional a la escasez

Desarrollo general:

Ejenplo:

3. Determine la función de la cantidad de población de una ciudad si su tasa de crecimiento es directamente proporcional a la cantidad de población mas la diferencia entre inmigración y emigración.

K: (Nacimiento – Muerte)%

Ejercicios de Clase:

Resolver

1.

2.

Problemas:

1. Un grupo de empresas empieza a invertir en t=o parte de sus ingresos a razón de P dólares por año en un fondo previsto para reforzar la futura expansión del grupo. Suponiendo que el fondo recibe un interés compuesto continuamente de un r%, determine el comportamiento de la cantidad invertida disponible en el fondo, suponga que:

La inversión inicial es igual a 0 y

El interés (r) = 6%

Calcule la cantidad que tendrá en 5 añosQ= 583,098.01

Determinar el tiempo en el que el grupo obtiene pudiendo invertir

al año con una tasa de 8%.t= 7.71

2. El jefe de personal de una empresa da como dato que 30 es el número máximo de unidades que puede producir un trabajador diariamente. El ritmo de crecimiento del número de unidades n producidas respecto del tiempo en días por un empleado nuevo es proporcional a 30-n.

a.) Determine la ecuación diferencial que describe el ritmo de cambio. b.) Resolver la EDO c.) Calcular la solución particular para un empleado nuevo que

produce 10 unidades el primer día y 19 unidades el día 12.

3. La secreción de hormonas que ingresan a la sangre suele ser una actividad periódica. Si una hormona es segregada en un ciclo de 24hrs. Entonces la razón de cambio del nivel de la hormona en la sangre se puede representar por medio del problema de valor inicial

x=cantidad de hormonas contenidas en la

sangre en el instante t= velocidad de secreción media= cantidad de variación en la secreción

K= velocidad de eliminación de la hormona de la sangre

Si Encuentre la cantidad de hormonas en la sangre.

Método de las Ecuaciones Exactas

Dada una función y su diferencial total:

Las derivadas cruzadas deben ser iguales.

Entonces, si la ecuación diferencial

cumple se puede considerar que:

y se le llama Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) exacta.

Ejemplo 1.

Diga si la siguiente EDO es exacta o no

Por lo tanto es una EDO exacta

Métodos:

Como:

Para calcular F(x , y) se integra M con respecto a x y la ¨constante¨ debe depende de y:

El mismo proceso se realiza con N

Igualando y comparando ambas funciones se obtiene la función:

Otra manera de encontrar la solución es partiendo de , y se deriva la función obtenida con respecto a y,

para luego igualarla a N(x,y) para encontrar .

Ejemplo 1

Resuelva la EDO que ya se demostró anteriormente que es exacta

Si derivar

Ejercicios de Clase:

Resolver:

1.

2.

3.

Clasificar en Separables, Lineales o Exactas:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Resolver:

1.

2.

3.

4.

Método del Factor Integrante

Se tiene una EDO que no es exacta, pero al multiplicarla por una función determinada se convierte en exacta.

Ejemplo:

Sea la EDO

no es exacta, pero al multiplicarla por la función 1/x resulta:

que ya se convierte en exacta y se resuelve por el método estudiado anteriormente.

El problema consiste en encontrar la función que al multiplicar la EDO no exacta por ella se transforma en una exacta.

Denotemos la función buscada por y multipliquemos la EDO por ella:

Para que sea exacta debe cumplir:

Supongamos primero que sólo depende de x.

factorizando

resulta una EDO de variables separables porque sólo

depende de x,

Suponemos ahora que sólo depende de y, entonces la ecuación

se transforma en:

que es una EDO de variables separables porque sólo depende de

y,

Resumen: Método del Factor Integrante

1. 1 Si depende sólo de x entonces es factor integrante

1.2 Si depende sólo de y entonces es factor integrante

2.1 2.2

3. Multiplicar la EDO por

4. Resolver la EDO exacta

Ejemplo:

Ejercicios de Clase:

Identifique si es separable, lineal, exacta o factor integrante

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Resolver:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

METODO DE SUSTITUCIÓN

Este método se puede utilizar si al hacer un cambio de la variable toda la ecuación queda en función de “x” y “z”

Ecuación Homogénea:

Pasos:

Derivando el cambio de variable:

1. Transformar la ecuación2. Resolver la nueva EDO con variable z3. Transformar el resultado con la variable original

Ejemplo:

dividir entre x

Sustituyendo en la ecuación:

Que es una ecuación de variables separable:

Ejercicios:

a.

b.

Sustitución

Cuando las variables y se pueden sustituir por la variable ,

derivando

Ejemplo:

Resolver

Cambio de variable

que es una ecuación de variable separable

Resolver los siguientes ejercicios

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

11.-

12.-

ECUACIÓN DE BERNOULLI

Se llama ecuación de Bernoulli a una ecuación de primer orden que se puede expresar en la forma:

donde y son continuas en un intervalo (a, b), y n es un número real.Dividiendo la ecuación diferencial por

tomando el cambio de variable y derivando , se tiene:

sustituyendo en la ecuación diferencial:

que es una ecuación lineal.

Ejemplo:

Resuelve

como n = 3 el cambio de variable sería:

entonces la ecuación se transforma en:

regresando a la variable original:

Ejercicios:

1.

2.

3.

COEFICIENTES LINEALES

ECUACIONES CON COEFIENTES LINEALES

Hemos utilizado varias sustituciones para y con el fin de transformar la ecuación original en una nueva ecuación que pueda ser resuelta. En algunos casos se deben transformar tanto c como y en nuevas variables. Esta es la situación para las llamadas ecuaciones con coeficientes lineales esto es, ecuaciones de la forma:

Donde los , y son constantes. Se deja como ejercicio demostrar que cuando , la ecuación se puede poner en la forma dy / dx = G (ax + by), la cual se resolvió por medio de la sustitución z = ax + by.

se toma como cambio de variable: x = u +h y = v + k

con h y k constantes, por lo tanto dx=du y dy=dv

a. Encontrar k y h

entonces resulta:

La cual es una ecuación homogénea que con el cambio de variable:

se transforma en:

que es una ecuación de variables separable, se resuelve y nuevamente se transforma a sus variables originales con las h y las k calculadas anteriormente.

Ejemplo:

Resolver:

1. (-3x - y – 1) dx + (x + y + 3) dy = 0. 2. (x + y - 1)dx + (y - x - 5) dy = 0.3. (2x – y + 4) dx + (x - 2y - 2) dy = 0. 4. (2x - y) dx + (4x + y - 3)dy = 0

Ejercicios de Práctica

Ecuaciones Separables

En los problemas 1 a 6 determine si la ecuación diferencial dada es separable.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

En los problemas 7 a 16 resuelva la ecuación dada.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15. 16.

En los problemas 17 a 26 resuelva el problema de valor inicial indicado.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

Ecuaciones Exactas

En los problemas 1 a 12 determine si la ecuación es exacta. Si es exacta, resuélvala.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

10.

11.

12.

En los problemas 13 a 18 determine si la ecuación es separable, exacta, ninguna de las dos cosas, o ambas.

13. 14. 15. 16.

17.

18.

En los problemas 19 a 24 resuelva el problema de valor inicial indicado.

19. 20. 21. 22. 23.

Ecuaciones Lineales

En los problemas 1 a 10 obtenga la solución general de la ecuación.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

En los problemas 11 a 16 resuelva el problema de valor inicial indicado.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17. Resuelva la ecuación

18. Múltiplos constantes de soluciones.a) Demuestre que es una solución de la ecuación lineal:

Y es una solución de la ecuación no lineal:

b.) Demuestre que para cualquier constante C, es una

solución de la ecuación , mientas que es solución de la

ecuación solamente cuando C=0 o 1.

c.) Demuestre que para cualquier ecuación lineal de la forma

si es solución, entonces para cualquier constante C

la función es también solución.

19. Soluciones no expresables en términos de funciones elementales.Resuelva los siguientes problemas de valor inicial usando integración definida.

a.)

b.)

Problemas:

En los problemas 1 al 12, escriba una ecuación diferencial que

describa la situación dada. Defina todas las variables introducidas.

Crecimiento de

bacterias.

Desintegración radiactiva.

Crecimiento de inversiones.

Concentración de

medicamentos.

Crecimiento de la población.

Costo marginal.

Recordación.

Propagación de una epidemia.

Corrupción en el gobierno.

Propagación de un rumor.

1. La cantidad de bacterias en un cultivo crece a un ritmo que es proporcional al número de baterías presente.

2. Una muestra de radio se desintegra a un ritmo que es proporcional a su tamaño.

3. Una inversión crece a una razón igual al 7% de su tamaño.

4. El ritmo al que decrece la concentración de un medicamento en el flujo sanguíneo es proporcional a la concentración.

5. La población de cierta ciudad crece a un ritmo constante de 500 personas por año.

6. El costo marginal para un fabricante es $us. 60 por unidad.

7. Cuando a una persona se le pide que recuerde una serie de hechos, el ritmo al que éstos se recuerdan es proporcional al número de hechos importantes, existentes en la memoria de la persona, que aún no ha sido recordados.

8. El ritmo al que una epidemia se propaga en una comunidad es conjuntamente proporcional a la cantidad de personas que ha enfermado y a la cantidad que no ha enfermado.

9. El ritmo al que las personas resultan implicadas en un escándalo gubernamental es conjuntamente proporcional al número de personas ya implicadas y al número de personas involucradas que aún no ha sido implicadas.

10. El ritmo al que se propaga un rumor en una comunidad es conjuntamente proporcional a la cantidad de personas en la comunidad que ha oído el rumor y a la cantidad de las que no lo han oído.

Depreciación.

Costo marginal.

Precios al por menor.

Producción de petróleo.

Inversión.

Concentración de

medicamentos.

11. Compruebe que la función es una

solución de la ecuación diferencial

12. Compruebe que la función es una

solución de la ecuación diferencial .

13. El valor de reventa de cierta maquinaria industrial decrece a un ritmo que depende de su antigüedad. Cuando la maquinaria tiene t años,

el ritmo al que cambia su valor es dólares

por año.a) Exprese el valor de la maquinaria en términos

de su antigüedad y de su valor inicial. b) Si la maquinaria valía en principio $us. 5.200

¿Cuánto valdrá cuando tenga 10 años?

14. En cierta fábrica el costo marginal es dólares por unidad cuando el nivel de producción es q unidades. a) Exprese el costo total de producción en

términos de los costos indirectos (el costo de producir 0 unidades) y del número de unidades producidas?

b) ¿Cuál es el costo de producir 14 unidades si los costo indirectos son $us. 436?

15. En cierta zona del país el precio del pollo en la actualidad es $us. 3 por kilogramo. Se estima que dentro de x semanas el precio crecerá a una razón de centavos por semana. ¿Cuánto costará el pollo dentro de ocho semanas?

16. Cierto pozo petrolífero que produce 400 barriles mensuales de petróleo crudo se secará en 2 años. En la actualidad el precio del petróleo crudo es $us. 20 por barril y se espera que aumente a una razón constante de 4 centavos mensuales por barril. Si el petróleo se vende tan pronto como se extrae del suelo. ¿Cuál será el ingreso futuro total del pozo?

17. Una inversión de $us. 1.000 crece a una razón igual al 7% de su tamaño. Exprese el valor de la inversión como una función del tiempo.

Decrecimiento exponencial.

Funciones exponenciales.

Recordación.

Propagación de una epidemia.

Propagación de una epidemia.

Corrupción en el gobierno.

18. El ritmo al que decrece la concentración de un medicamento en el flujo sanguíneo es proporcional a la concentración. Exprese la concentración de medicamento en el flujo sanguíneo como una función del tiempo.

19. Demuestre que una cantidad que disminuye a un ritmo proporcional a su tamaño decrece exponencialmente.

20. Demuestre que si una función derivable es igual a su derivada, entonces la función debe ser de la forma .

21. Algunos psicólogos creen que cuando a una persona se le pide que recuerde una serie de hechos, el ritmo al que éstos se recuerdan es proporcional al número de hechos importantes, existentes en la memoria de la persona, que no han sido recordados todavía. Exprese el número de hechos que han sido recordados como una función del tiempo y dibuje la gráfica.

22. El ritmo al que se propaga una epidemia en una comunidad es conjuntamente proporcional al número de residentes que ha sido infectado y al número de residentes propensos a la enfermedad que no ha sido infectado. Exprese el número de residentes que ha sido infectado como una función del tiempo (en semanas), si la comunidad tenían la enfermedad inicialmente y si 855 residentes habían sido infectados hacia finales de la primera semana.

23. El ritmo al que se propaga una epidemia en una comunidad es conjuntamente proporcional al número de residentes que ha sido infectado y al número de residentes propensos a la enfermedad que no ha sido infectado. Demuestre que la epidemia se propaga con mayor rapidez cuando la mitad de los residentes propensos ha sido infectada. (Sugerencia: No tiene que resolver una ecuación diferencial para hacerlo. Simplemente empiece con una fórmula para determinar el ritmo al que se propaga la epidemia y emplee el cálculo para maximizar este ritmo).

Curvas logísticas.

Ajuste de precios.

Ahorros.

24. El número de personas implicadas en cierto escándalo gubernamental aumente a un ritmo conjuntamente proporcional al número de personas ya implicadas y al número de personas relacionas con el caso que aún no han sido implicadas. Suponga que 7 personas fueran implicadas cuando un periódico de Washington hizo público el escándalo por primera vez, que 9 personas más resultaron implicadas en los 3 meses siguientes, y otras 12 en los 3 meses posteriores. ¿Cuántas personas aproximadamente estaban involucradas en el escándalo? (Advertencia: ¡Este problema probará su ingenuidad algebraica!).

25. Demuestre que si una cantidad Q satisface la

ecuación diferencia , donde k y B

son constantes positivas, entonces la razón de

cambio es mayor cuando . ¿Qué le

dice este resultado acerca del punto de inflexión de una cuerva logística? Fundamente su respuesta. (Sugerencia: Veáse la sugerencia del problema 23).

26. Suponga que el precio p(t) de determinado artículo varía de modo que su razón de cambio

es proporcional a la escacez D – S, donde D =

7 – p y S =1 + p son las funciones de demanda y de oferta del artículo. a) Si el precio es $us. 6 cuando t = 0 y $us. 4

cuando t = 4, halle p(t). b) Demuestre que cuando t crece sin límite. p(t)

se aproxima al precio en que la oferta es igual a la demanda.

27. El precio actual de cierto artículo es $us. 3 por unidad. Se estima que dentro de t semanas el precio P(t) se incrementará a la razón de 0.02

centavos por semana. ¿Cuánto costará el artículo dentro de 10 semanas?

Ahorros.

Absorción de un

medicamento.

Crecimiento de la población

con inmigración.

Historia de espías.

28. Chris tiene un salario inicial de $us. 27.000 por año y estima que con los incrementos de salario y las primas su compensación aumentará a una tasa media anual del 9%. Ella deposita regularmente el 5% de su salario en una cuenta de ahorros que devenga intereses a la tasa anual del 8% capitalizado continuamente. a) Desarrolle una ecuación diferencial lineal de

primer orden para la cantidad de dinero en la cuenta de ahorros dentro de t años. Suponga que ella realiza depósito de modo continuo.

b) ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta de ahorros dentro de 20 años?

29. Chuck ahorra para realizar una excursión por Europa que dentro de 6 años vale $us.8.000. Sus padres desean ayudarlo y depositan una cantidad total de A dólares en una cuenta de ahorros que devenga intereses del 9% anual capitalizado continuamente. Chuck planea aumentar esta cantidad haciendo depósitos frecuentes que asciendan a $us. 800 por año. Desarrolle una ecuación diferencial para la cantidad de dinero Q(t) existente en la cuenta después de t años, revuélvala y determine cuál debe ser A para que alcance su meta.

30. El ritmo al que cierto medicamento se absorbe

en el sistema circulatorio está dado por ,

donde x(t) es la concentración del medicamento en el flujo sanguíneo en el tiempo t; r y s son constantes positivas. Supóngase que al comienzo no había indicios del medicamento en la sangre: a) Halle x(t)b) ¿Qué le sucede a x(t) a “largo plazo” (a

medida que t crece sin límite)?

31. Sea P(t) la población de cierto país en el tiempo t. Supóngase que la tasa de natalidad r y la de mortalidad s del país son constantes y que hay una tasa constante de inmigración m. a) Explique por qué la población de cierto país en

el tiempo t. Suponga que la tasa de natalidad r y la de mortalidad s del país son constantes y que hay una tasa constante de inmigración m.

b) Halle P(t) c) Si la población del país era 100 millones en

1990, con una tasa de crecimiento (tasa de natalidad menos tasa de mortalidad) del 2%, y si se permite la inmigración a la tasa de 300.000 personas por año. ¿Cuál será la población en el año 2000?

32. Mientras el espía analiza sus opciones de retiro (veáse problema 10 en el capítulo 6, sección 4) es capturado por su mayor enemigo André Seélérat. El espía es atado a una silla y encerrado en un armario hacia el cual se bombea lentamente gas venenoso. El armario tiene un volumen de 400 pies3. El gas venenoso entra con lentitud al ritmo de 0.2 pies3 por minuto, y la mezcla de aire (gas y aire fresco) escapa al mismo ritmo por una rendija bajo la puerta. El gas se vuelve mortífero cuando el aire de la habitación contiene 0.8 pies3 de gas venenoso. Si el espía tarda 3 minutos en desatarse y 45 segundos para dar una patada a la puerta y abrirla. ¿Podrá sobrevivir?.

33. El valor de reventa de cierta maquinaria industrial decrece a un ritmo proporcional a la diferencia entre su valor actual y su valor residual de $us. 40.000 y valía $us. 30.000 después de 4 años. ¿Cuánto valdrá la maquinaria cuando tenga 8 años?.

34. Cierto pozo petrolífero que produce 600 barriles de petróleo crudo al mes se secará en 3 años. En la actualidad, el precio del petróleo crudo es $us. 24 por barril y se espera que aumente a una razón constante de 8 centavos mensuales por barril. Si el petróleo se vende tan pronto como se extrae del suelo. ¿Cuál será el ingreso futuro total obtenido del pozo?

35. Un tanque contiene actualmente 200 galones de salmuera que tiene 3 libras de sal por galón. Hacia el tanque fluye agua clara a un ritmo de 4 galones por minuto, mientras que la mezcla, que se mantiene uniforme, sale del tanque a un ritmo de 5 galones por minuto. ¿Cuánta sal hay en el tanque al final de 100 minutos?

36. El ritmo al que crece la población de cierto país es conjuntamente proporcional al límite superior de 10 millones impuesto por factores del entorno y a la diferencia entre el límite superior y el tamaño de la población. Exprese la población del país (en millones) como una función del tiempo (en años medidos desde 1985). Si la población en ese año era 4 millones y en 1990, de 4.74 millones.

37. Un país tiene $us. 5.000 millones en moneda corriente. Todos los días cerca de $us. 18 millones ingresan a los bancos y se desembolsa la misma cantidad. Suponga que el país decide que cada vez que llega al banco un billete de dólar, éste es destruido y reemplazado por un nuevo tipo de moneda. ¿Cuánto tiempo se necesitará para que el 90% de la moneda en circulación sea del nuevo estilo?

38. Un tanque contiene en principio 30 libras de sal disueltas en 50 galones de agua. Hacia el tanque fluye salmuera, que contiene 2 libras de sal por galón, a razón de 2 galones por minuto, y la mezcla, que se mantiene uniforme al agitarla, sale a razón de 1 galón por minuto. a) Halle la cantidad de sal disuelta en el tanque

en el tiempo t. b) ¿Cuántos galones de solución hay en el

tanque en el momento en que hay en el tanque en el momento en que hay 40 libras de sal?

39. La ley de Pareto en economía dice que la razón de cambio (decrecimiento) del número de personas P, en una economía estable, que tienen un ingreso de al menos x dólares es directamente proporcional al número de estas personas e inversiomente proporcional a su ingreso. Exprese esta ley como una ecuación diferencial y despeje P en términos de x.

40. Los demógrafos emplean la función de Gompertz para predecir la población. Sea P0 la población inicial de un región (un país, el mundo, etc.) y la tasa de crecimiento de la población. Entonces, la función de Gompertz P(t) representa la población en el tiempo t y satisface la ecuación diferencial.