INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE ECONOMÍA

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

MODELOS DE TASAS DE INTERÉS CON

CALIBRACIÓN DE PRECIOS OBSERVADOS

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:

MAESTRIA EN CIENCIAS ECONÓMICAS

(ECONOMÍA FINANCIERA)

PRESENTA

RUBÉN MANCERA LINARES

MÉXICO, D.F. DICIEMBRE 2010

Agradecimientos

El presente trabajo está dedicado a mis padres Esperanza Linares López y Eusebio Mancera

Guerrero por las herramientas que me han brindado, con sus ejemplos de vida y el apoyo que he recibido

durante todo este tiempo, donde sus consejos me han servido y dirigido durante toda mi vida para mi

realización como persona.

En el mismo sentido agradezco a mi esposa Silvia Montoya Carranza, por todos los años de impulso,

lucha y esfuerzo que hemos compartido. A mis hijos Laura, Isaac y Atzin, porque ellos son la fuente

de inspiración, de fuerza, para poder terminar esta etapa de mis estudios, y para ponerles el ejemplo de que

cuando se tienen objetivos en la vida se tienen que finalizar, sin olvidar que tiene que ser constantes día a

día.

A mis hermanos Eusebio, Maricela, Gabriel y Gerardo que me han apoyado en este largo recorrido

y me ayudaron a no decaer en la lucha diaria, dándome los ánimos necesarios para continuar y poder

concluir.

Al Dr. Francisco Venegas Martínez por su paciencia y entereza, que siempre estuvo a mi lado para

guiar el presente trabajo sin olvidar que me aporto su gran experiencia, así como a mis amigos Adriana,

Arianna, Daniel, Imelda, Josué, Martha, Mildret, Verenice y Vianey que compartieron conmigo

los obstáculos y los logros.

Y muy especialmente a la Escuela Superior de Economía del Instituto Politécnico Nacional, por

otorgarme las herramientas necesarias para desarrollarme profesionalmente y así concluir un cíclo más en

mi vida y con gran entereza para aperturar el siguiente cíclo.

i

Índice General

Índice de cuadros y gráficas iv

Abreviaturas v

Glosario vi

Resumen xii

Abstract xiii

Introducción xiv

Capítulo I. Bonos y mercado de bonos 1

I.1. La tasa de interés 2

I.1.1 Bonos con contratos 2

I.1.2 Tasa de rendimiento 3

I.1.3 La relación entre las tasas de interés y la inflación 4

I.2 Proceso de valoración de bonos 5

I.3 Limpieza de precios sucios 6

I.4 El rendimiento y la relación con los precios 7

I.5 Precios de bonos 8

I.5.1 Arbitraje el enfoque de libre fijación de precios 9

I.6 Opción de bonos 9

I.7 Tipos de bonos 13

I.8 Tipos de emisores 15

I.8.1 Descripción y características de los bonos 16

ii

I.8.2 Relación entre retorno requerido y precio en un momento determinado. 17

I.9 Medidas convencionales de retorno del vencimiento 18

I.9.1 Madurez del rendimiento al vencimiento 19

I.9.2 Rendimiento de Compra 21

I.10 Características de la volatilidad de los precios en los bonos 22

I.11 Rendimiento al vencimiento 30

Capítulo II. Calibración de un modelo de estructura a plazos de la volatilidad en el mercado

33

II.1 El calibrar un modelo a la estructura a plazo de la volatilidad del mercado 33

II.2 Estructuras afines a plazo 37

II.3 El modelo de Hull-White 39

II.4 La curva de rendimiento del modelo de Hull-White y gestión de riesgos 40

II.5 El modelo general de Hull-White y supercalibración 41

II.6 El Modelo generalizado 42

II.7 Multiobjetivo de calibración 51

II.8 Tasa de interés de opción de precios 58

II.9 Calibración de datos desde los enfoques de mercado 59

Capítulo III. Modelos de tasa corta; Hull & White y Ho & Lee 64

III.1 Modelo de tasa corta de Hull y White: Calibración con una curva inicial de cero

64

III.2 El modelo de tasa corta de Hull-White 64

III.3 Calibración del nivel de largo plazo de la tasa corta utilizando una curva inicial de ceros

67

iii

III.4 Curva de rendimiento y precios de bonos 72

III.5 Modelo de tasa corta de Ho y Lee 72

III.6 Planteamiento del modelo 74

III.7 Ecuación diferencial parcial del comportamiento de un bono cupón cero 75

III.8 Calibración de una curva inicial de ceros 77

III.9 Calibración de la curva de rendimiento 79

III.10 El precio de un bono cupón cero 81

Conclusiones 87

Bibliografía 89

iv

Índice de cuadros, tablas y gráficas

Cuadro 1. Retorno del vencimiento 20

Cuadro 2. Relación entre cupón y rendimiento 21

Cuadro 3. Rendimiento de la compra. 21

Cuadro 4. Comportamiento de la volatilidad 22

Cuadro 5. Comportamiento de la volatilidad con un cambio en el precio 23

Cuadro 6. Comportamiento de la volatilidad con un cambio en el valor del precio 24

Cuadro 7. Comportamiento de los bonos sobre una base de 1/8 en el precio 25

Cuadro 8. Comportamiento de la duración de la volatilidad 26

Cuadro 9: Cálculo de la duración y convexidad para bonos con un retorno de 6% 27

Cuadro 10: Cálculo de la duración y convexidad para bonos con un retorno de 9% 28

Cuadro 11: Regresión Lineal de los Precios observados de agosto de 2005 a agosto de 2010

83

Gráfica 1. Relación del precio con el retorno requerido 18

Gráfica 2. Comportamiento de la volatilidad no lineal 22

Gráfica 3. Indica la relación precio/retorno 29

Gráfica 4. Curvas hipotéticas de retorno 30

Gráfica 5. Identificación del problema de liquidez de los cupones 31

Gráfica 6. Rendimiento a mediano plazo 31

Figura 1. Porcentaje del mercado TSIR y TSV con 99% de niveles de confianza 54

Figura 2 Comparativo de los precios observados de 2005–2010 84

Figura 3 Seguimiento de los precios observados desde 2005 hasta 2010 85

Figura 4: Comparativo de Ho & Lee contra CIR 86

v

Abreviaturas

R Rentabilidad exigida.

C Cupón.

F Valor nominal.

P Precio de un bono

DTF Índice de referencia.

LIBOR Tasa de referencia de Reino Unido.

NS Nelson-Siegel

ANS Permite el modelo de Nelson-Siegel

YTM Rendimiento al vencimiento.

ZCB Zero Cupon Bond (Bono cupón cero).

OTC Over the Counter.(sobre la mesa)

FED Sistema Federal de Reservas de los Estados Unidos

PVBP Price Value of a Basis Point (Valor del precio en punto básico)

HJM Heath, Jarrow y Morton

RMSE Raíz cuadrada media de precios del error

QE Cuasi-exponencial

TSV Temporal Structure of Volatility (Estructura temporal de volatilidades)

MC Modelo de consistencia

vi

Glosario

Amortización de un Bono: Corresponde a la cancelación total (única vez al vencimiento) o

parcial de la deuda (en fechas predeterminadas).

Arbitraje: Dos bonos que tienen los mismos riesgos y características similares debieran valer lo

mismo, o sea la tasa de rendimiento debería ser semejante. Pero si, aún así, existiese un

diferencial en el rendimiento, entonces, se trataría de una posibilidad de arbitraje, o sea de

comprar el que está más barato y vender el que está más caro, anticipando la corrección del

mercado y ganar la diferencia.

Barbell: Esta estrategia envuelve invertir en seguridad de mayor maduración para limitar el

riesgo ante una fluctuación en los precios. A diferencia de la estrategia escalando, los bonos

tendrán maduraciones en los dos extremos, largo plazo y corto plazo.

Bearish: Se dice que el mercado está "bearish" cuando tiene tendencia negativa. Gráficamente es

la imagen de un oso ("bear") que con las garras empuja hacia abajo.

Bono Swap: La venta de un título y la compra de otro ya sean para cambiar maduración, tasa u

otros objetivos dentro del portafolio.

Bonos a tasa fija: La tasa de interés está prefijada y es igual para toda la vida del bono.

Bonos basura: Los bonos de baja calificación son formalmente denominados de alto rendimiento

(high yield), pero en la jerga financiera mundial se los conoce menos piadosamente como "bonos

basura" (junk bonds).Los bonos basura llevan ese nombre despectivo porque su nivel de riesgo

sobrepasa todos los límites de una inversión común y corriente. En contrapartida suelen tener un

rendimiento elevado, por encima del promedio del mercado.

Bonos bolsa: Se trata de un producto novedoso en España. Con estos bonos el inversor apuesta

por la subida de la bolsa o de un sector concreto. Con estos bonos el inversor no puede perder

dinero, su capital está garantizado; si la bolsa sube ganará, pero si baja no pierde el dinero. Esto

se consigue con la combinación de la renta fija y los productos derivados.

vii

Bonos canjeables: Estos bonos son un producto intermedio entre las acciones y los bonos. Son

un producto anfibio porque vive dos vidas, una en la renta fija y otro si se desea en la renta

variable. La sociedad lanza una emisión de bonos con una rentabilidad fija, y establece la

posibilidad de convertir el dinero de esos bonos en acciones. Estos canjes suelen tener descuento

respecto al precio de las acciones en el mercado. A diferencia de los bonos convertibles, en los

canjeables los bonos se cambian por acciones viejas, es decir ya en circulación y con todos los

derechos económicos.

Bonos con cupón cero, interés compuesto: Son emitidos con un descuento del valor de

maduración y no tienen pagos periódicos de intereses.

Bonos con garantías: son bonos que tienen algún tipo de garantía sobre el capital y/o intereses.

Bonos con opción de venta ("put option"): Incluye la opción para el inversor de vender el bono

al emisor en una fecha y precios determinados.

Bonos con opciones incorporadas: Son bonos que incluyen opciones especiales como:

Bonos con tasa flotante "Floating-rate bonds": La tasa depende de una tasa referencial (tasa de

corto plazo) más un spread.

Bonos con tasa variable (floating rate): la tasa de interés que paga en cada cupón es distinta ya

que está indexada con relación a una tasa de interés de referencia como puede ser la Libor.

También pueden ser bonos indexados con relación a un activo financiero determinado (por

ejemplo un bono estadounidense).

Bonos con tasas flotantes y variables: Estos se hacen atractivos en un ambiente de tasas de

interés crecientes.

Bonos convertibles: bonos con warrants: Es un bono más una opción para comprar una

determinada cantidad de acciones nuevas a un precio dado. También hay bonos soberanos que

tienen warrants por los que puede comprar otro bono.

Bonos convertibles: Son idénticos a los canjeables, salvo que en este caso la empresa entrega

acciones. Es un bono más una opción que le permite al tenedor canjearlo por acciones de la

empresa emisora en fecha y precio determinado. También hay bonos soberanos que son

convertibles en otros bonos.

viii

Bonos corporativos: Son los bonos emitidos por las empresas

Bonos cupón cero: no existen pagos periódicos, por lo que el capital se paga al vencimiento y no

pagan intereses. Se venden con una tasa de descuento.

Bono cupón cero: Son bonos emitidos a descuento, debajo del valor par, y al vencimiento

reciben el principal al valor par.

Bonos cuyo cupón se incrementa a través del tiempo: "step-up notes" La tasa del cupón va

subiendo.

Bonos emitidos por el gobierno nacional: Se denomina deuda soberana.

Bonos emitidos por entidades financieras: Los bonos corporativos (emitidos por las empresas),

a los cuales se denomina deuda privada.

Bonos emitidos por las provincias: O bonos provinciales, por municipios, y por otros entes

públicos.

Bonos escriturales: Son aquellos bonos en los que no tienen láminas físicas, sino que existen

sólo como registros de una entidad especializada, la que se encarga de los distintos pagos. De

todas formas aunque la lámina (y por lo tanto los cupones) no existan físicamente, igualmente se

utiliza la palabra "cupones" para definir los distintos pagos que realiza el bono.

Bonos matador: Estos bonos los emiten organismos supranacionales o empresas

multinacionales. Son bonos para el inversor extranjero, y se denominan matador, torero, como

seña distintiva de que son españoles. Estos inversores para captar dinero optan por la moneda

española y sus tipos de interés. Supone diversificar su deuda y así eligen captar sus recursos en

pesetas. El emisor no sólo paga los intereses sino que corre el riesgo de la fluctuación de la

cotización de la peseta respecto de la propia moneda.

Bonos rescatables ("callable"): Incluye la opción para el emisor de solicitar la recompra del

bono en una fecha y precios determinados. Algunos bonos pueden ser rescatables si las

condiciones macroeconómicas / impositivas en las que fueron emitidos cambiasen, por lo tanto el

emisor puede recomprarlos a un precio establecido.

Bonos Samurai: Son iguales que los bonos matador pero en este caso, se emiten en yenes. Los

bonos samurai son títulos en yenes que emiten en el mercado financiero nipón los gobiernos o

ix

empresas de todos los orígenes excepto de Japón, y que son colocados por un prestatario

extranjero (generalmente un banco internacional) entre inversores japoneses.

Bonos titulizados: Esto bonos son una novedad en nuestro país, y actualmente sólo son

hipotecarios, su garantía esta en hipotecas. Consisten en que un banco o una caja de ahorros

convierten una serie de créditos hipotecarios homogéneos en una emisión de bonos. De este

modo el prestatario de la hipoteca está pagando los intereses de los tenedores de los bonos así

como devolviéndoles el capital invertido.

Bonos Yankees: Son emitidos por los gobiernos y registrados generalmente en la Bolsa de New

York y en algunas bolsas de Europa y Asia (Emisión Global). Todas las emisiones son reguladas

por la Securities and Exchange Comission en Estados Unidos.

Bullet: bonos que pagan el 100% del capital al vencimiento.

Convexidad: Es una medida de la curvatura de los cambios de precios, y es así un complemento

a la duración. La necesidad de esta medida adicional se plantea, ya que, como se ha mencionado,

la duración es una medida lineal, mientras que, en realidad, a medida que cambian las tasas de

interés, el precio es una función convexa de las tasas de interés.

Corporate Bonds: Son obligaciones de deuda emitidos por corporaciones públicas o privadas.

Usualmente son emitidos en múltiplos de us$1000 y/o us$5000. Los intereses son con pagos

semi-anuales y además estos intereses son gravados.

Cupón: es el monto que paga un bono en cada período en concepto de renta y/o amortización.

Los bonos están formados por uno o varios cupones que representan los diferentes pagos que va

hacer el bono a lo largo de su vida.

Curva de rendimientos: es el gráfico que relaciona los rendimientos de los bonos con sus

respectivos plazos (vida promedio) o sensibilidad (duración)

Diversificación del portafolio: La diversificación le puede brindar cierto grado de seguridad a su

portafolio en la manera en que si una parte de su portafolio está bajando su rentabilidad la otra

parte puede estar incrementándola logrando mantener un equilibrio.

Duración: Es una medida lineal de cómo el precio de un cambio de bonos en respuesta a los

cambios de los tipos de interés. Es aproximadamente igual a la variación porcentual en el precio

x

para un determinado cambio en el rendimiento, y puede ser pensado como la elasticidad del

precio del bono con respecto a los tipos de interés.

El yield to maturity: es el valor presente de los pagos de cupones más el principal al

vencimiento.

Escalando: Esto es comprar bonos de varias maduraciones. Al comprar bonos de diferente

maduración, se está reduciendo la sensibilidad del portafolio ante riesgos en las tasas de interés.

Fondos de Bonos: Algunos inversionistas que desean cosechar buenos ingresos con los bonos

corporativos compran partes en un fondo mutuo en vez de un bono individual.

Garantía hipotecaria: es un bono cuyo repago se encuentra garantizado por una cartera de

créditos hipotecarios. Otros tipos de garantía: exportaciones, prendas, activos.

La curva de retorno: es la relación entre el retorno de bonos de un mismo nivel riesgo de

crédito pero con distintos vencimientos.

Mercado internacional: son bonos emitidos en una moneda determinada pero colocados fuera

del país emisor. Existen los Eurobonos, también hay bonos Samurai (es un título emitido en

yenes y colocado en Japón por una institución no residente en dicho país), y bonos Yankees (es

un título de deuda en dólares colocado en USA por una entidad no residente en dicho país).

Mercados emergentes: Son los mercados financieros de aquellos países que se encuentran en

vías de desarrollo con mercados financieros incipientes.

Municipal Bonds asegurados: Esto es para reducir el riesgo de la inversión. En el evento de un

incumplimiento por parte del emisor, una compañía de seguros garantiza el pago tanto de los

intereses como del principal.

Municipal Bonds: Son obligaciones de deuda emitidas por los estados, ciudades, países y otros

entes gubernamentales para captar dinero con el fin de hacer obras sociales y proyectos.

Opción: Un contrato que da al comprador el derecho, pero no la obligación, de comprar o vender

un subyacente a un precio determinado (el ejercicio o precio del ejercicio) en o antes de una fecha

acordada (el período de ejercicio).

xi

Put Provisions: Un bono con la característica "putable bond" le da derecho al inversionista a

vender al emisor a valor par en fechas determinadas. Existen ciertas restricciones para la

recompra de deuda por parte del emisor.

Riesgos del mercado: Cuando se va a vender un municipal bond, se vende al precio que estos

tengan en el mercado el cual puede ser mayor o inferior al precio de adquisición. Los precios de

los bonos cambian ante las fluctuaciones en las tasas de interés.

Sinking fund provision: Es algo típico de emisiones públicas y privadas de bonos industriales.

Obliga al emisor a retirar cierto porcentaje de deuda cada año. Beneficios para el inversionista:

1. El vencimiento final es menor al recibir paste de su inversión cada año;

2. El precio de estos bonos es menos volátil y

3. Dado que el emisor tiene la obligación de cancelar deuda aunque las tasas de interés sean

altas, y el precio bajo par, esta provisión puede beneficiar al inversionista.

Theoretical spot curve: ésta es establecida basada en la curva de retorno de los retornos de las

notas del tesoro y los cupones de los instrumentos del tesoro.

Usos: La principal ventaja de una opción de obligaciones es el bloqueo-en el precio del bono

subyacente para el futuro reduciendo así el riesgo de crédito asociado a las fluctuaciones en el

precio del bono.

xii

Resumen

En el primer capítulo abordaremos la introducción sobre los conceptos, así como la relación que

existe entre la tasa de interés y la inflación, Como inversionista debe conocer como los precios de

los bonos se conectan directamente con los ciclos económicos y la inflación. Como una regla

general el mercado de bonos y la economía en general se benefician de las tasas de crecimiento

continuo y sostenible, pero hay que tener en cuenta que este crecimiento podría llevar a

crecimientos en la inflación, que encarece los costos de los bienes y servicios, conduciendo

además, a un alza en las tasas de interés y repercutiendo en el valor de los bonos.

La presente investigación aborda la teoría de opciones reales y analiza la utilización del modelo

de Ho-Lee, se ha visto que a partir de una especificación exógena de la dinámica de la tasa de

interés instantánea, o tasa corta, es posible determinar el precio de un bono cupón cero de manera

endógena. Este se hizo utilizando los enfoques de ecuaciones diferenciales parciales y

probabilistas. En el primer caso, se caracteriza el precio del bono como solución de una ecuación

diferencial parcial de segundo orden. Dicha ecuación diferencial parcial se obtiene al cubrir, el

riesgo de mercado, un portafolio de bonos a distintos vencimientos y a través de argumentos

económicos de equilibrio general.

De forma empírica, los resultados muestran cómo cambia el valor del proyecto a lo largo del

tiempo conforme cambia el valor de los parámetros y conforme cambian las condiciones

existentes en el mercado, hasta ahora, el supuesto fundamental fue que si los mercados estaban en

equilibrio, entonces no podían existir oportunidades de arbitraje. Una vez que la ecuación

diferencial parcial era resuelta, su solución se utilizaba para generar curva de rendimiento, la cual

estaba en función del valor más reciente de la tasa corta y de la estimación de los parámetros que

intervenían en el modelo.

xiii

Abstract

In the first chapter will discuss the introduction to the concepts and the relationship between interest rates

and inflation, As an investor must know how the prices of the bonds are directly connected with economic

cycles and inflation. As a general rule, the bond market and the economy generally benefit rates steady

and sustainable growth, but be aware that this growth could lead to increases in inflation, adding to costs

of goods and services , leading also to higher interest rates and impacting the value of the bonds.

This investigation focuses on real option theory and analyzes the use of Ho-Lee model, has been that from

an exogenous specification of the dynamics of the instantaneous interest rate or short rate, it is possible to

determine the price a zero coupon bond endogenously. This was done using the approaches of partial

differential equations and probability. In the first case, characterized the bond price as the solution of

partial differential equations of second order. This partial differential equation is obtained to cover market

risk, a portfolio of bonds at different maturities and through general equilibrium economic arguments.

Empirically, the results show how to change the project's value over time as it changes the value of the

parameters and conditions change in the market, until now, the fundamental assumption was that if the

markets were in equilibrium, then there could be no arbitrage opportunities. Once the partial differential

equation was solved, its solution is used to generate yield curve, which was based on the most recent value

of the short rate and the estimation of the parameters involved in the model.

xiv

Introducción

El modelo de Ho & Lee de calibración es sólo un factor fundamental. Una vez que la ecuación diferencial

está resuelta, se utiliza para generar una curva de rendimiento, la cual es en función del valor más reciente

de la tasa corta y de los parámetros que intervienen en el modelo. En el arbitraje no se presenta, se

entiende que los parámetros del modelo son coherentes con los precios de los bonos implícitos en la curva

de cupón cero.

El objetivo de la investigación es la calificación de las tasas de interés con la aplicación del modelo de Ho

& Lee, para calibrar los precios observados, donde el modelo asume una tasa de corto plazo siguiendo una

distribución normal y con sujeción a una reversión. El parámetro de reversión a la media asegura la

coherencia con la observación empírica de que los tipos de largo plazo son menos volátiles que los tipos

de corto plazo.

En el caso especial donde el parámetro de reversión a la media es igual a cero, el modelo de Hull & White

trabaja el uso de la distribución normal, proporciona una buena cantidad de trazabilidad analítica, donde

hay curva de rendimiento de arbitraje.

La teoría estocástica fue utilizada, en principio, para obtener una ecuación en derivadas parciales que

describe el precio de una opción en función del precio de la acción, ecuación cuya exigencia a su

transformación en la ecuación del calor. La teoría de las ecuaciones diferenciales estocásticas se desarrolló

ampliamente para obtener una solución directa de la ecuación en derivadas parciales en función de la

esperanza matemática de algunas variables estocásticas.

1

MODELOS DE TASAS DE INTÉRES CON

CALIBRACIÓN DE PRECIOS OBSERVADOS.

Capítulo I. Bonos y mercado de bonos

Un bono es una obligación financiera contraída por el inversionista; otra definición para

un bono es un certificado de deuda, o sea una promesa de pago futura documentada en

un papel y que determina el monto, plazo, moneda y secuencia de pagos.

Cuando un inversionista compra un bono, le está prestando su dinero ya sea a un

gobierno, a un ente territorial, a una agencia del Estado, a una corporación o compañía, o

simplemente al prestamista. En retorno a este préstamo el emisor promete pagarle al

inversionista unos intereses durante la vida del bono para que el capital sea reinvertido a

dicha tasa cuando llega a la maduración o vencimiento.

¿Por qué invertir en bonos?

Muchos de los asesores financieros recomiendan a los inversionistas tener un portafolio

diversificado constituido en bonos, acciones y fondos entre otros. Debido a que los

bonos tienen un flujo predecible de dinero y se conoce el valor de este al final (lo que

le van a entregar al inversionista al final de la inversión), mucha gente invierte en ellos

para preservar el capital e incrementarlo o recibir ingresos por intereses, ya que las

personas que buscan ahorrar para el futuro de sus hijos en educación , casa, incrementar

el valor de su pensión u otra cantidad de razones que tengan un objetivo financiero,

invertir en bonos puede ayudarlo a conseguir sus objetivos.

Claves para escoger el bono que más convenga

Hay muchas variables que considerar para tomar la decisión de invertir en determinado

tipo de bonos: su maduración, contratos, pago de los intereses, calidad del crédito, la

tasa de interés, precio, yield, tasas tributarias e impuestos. Todos estos puntos ayudan a

2

un inversionista a determinar el tipo de bono que puede colmar sus expectativas y el

grado de inversión que se desea obtener de acuerdo con los objetivos buscados.

I.1. La tasa de interés

Los intereses que pagan los bonos pueden ser fijos o variable (unidos a un índice como

la DTF, LIBOR.). El periodo de tiempo para su pago también es diferente, pueden ser

pagaderos mensualmente, trimestralmente, semestralmente o anualmente, siendo estas

las formas de pago más comunes. Cabe anotar que los intereses en la gran mayoría de

los países son pagados a su vencimiento.

Maduración

La maduración de un bono se refiere a la fecha en la cual el capital o principal será

pagado. La maduración de los bonos maneja un rango entre un día a treinta años. Los

rangos de maduración a menudo son descritos de la siguiente manera:

1. Corto plazo: maduración hasta los cinco años.

2. Plazo intermedio: maduración desde los cinco años hasta los doce años.

3. Largo plazo: maduración de doce años en adelante.

I.1.1 Bonos con contratos

Cuando la maduración de un bono es una buena guía de cuánto tiempo el bono será

extraordinario para el portafolio de un inversionista, ciertos bonos tienen estructuras que

pueden cambiar substancialmente la vida esperada del inversionista. En este contrato se

pueden efectuar las llamadas provisiones de compra, en las cuales permiten al emisor

reembolsar cierto dinero al principal del inversionista a una fecha determinada. Las

operaciones de call para los bonos se usan cuando las tasas de interés han caído

dramáticamente desde su emisión (también son llamadas call risk). Antes de invertir en

un bono pregunte si hay provisiones de compra, y si la hay asegures de recibir el

rendimiento de compra y el rendimiento a la maduración. Los bonos con provisiones de

redención por lo general tienen un mayor retorno anual que compensan el riesgo del

bono a ser llamado prontamente.

3

Por otra parte las operaciones de venta, permiten al inversionista exigirle al emisor

recomprar el bono en una fecha determinada antes de la maduración. Esto lo hacen los

inversionistas cuando necesitan liquidez o cuando las tasas de interés ha subido desde la

emisión y reinvertirse a tasas más altas.

Calidad del crédito

Se refiere al grado de inversión que tengan los bonos así como su calificación para la

inversión. Estas calificaciones van desde AAA (que es la más alta) hasta BBB y así

sucesivamente determinando la calidad del emisor.

Precio

El precio que se paga por un bono está basado en un conjunto de variables, incluyendo

tasas de interés, oferta y demanda, calidad del crédito, maduración e impuestos. Los

bonos recién emitidos por lo general se transan a un precio muy cerca de su valor facial

(al que salió al mercado). Los bonos en el mercado secundario fluctúan respecto a los

cambios en las tasas de interés (recordemos que, la relación entre precio y tasas es

inversa).

I.1.2 Tasa de rendimiento

La tasa de rendimiento es la tasa de retorno que se obtiene del bono basado en el precio

que se pagó y en el pago de intereses que recibe. Hay básicamente dos tipos de

rendimiento para los bonos: rendimiento ordinario y rendimiento de maduración.

El rendimiento ordinario es el retorno anual del dinero pagado por el bono y se obtiene

de dividir el pago de los intereses del bono y su precio de compra. El rendimiento de la

maduración, es más significativo, por cual, el retorno total que se obtiene por mantener

el bono hasta su maduración. Permite comparar bonos con diferentes cupones y

maduraciones e iguala todos los intereses que se reciben desde la compra más las

ganancias o pérdidas.

4

Tasas tributarias e impuestos

Algunos bonos presentan más ventajas tributarias que otros, algunos presentan los

intereses libres de impuestos y otros no. Un asesor financiero le puede mostrar los

beneficios de cada bono, así como de las regulaciones existentes para cada caso.

I.1.3 La relación entre las tasas de interés y la inflación

Como inversionista debe conocer como los precios de los bonos se conectan

directamente con los ciclos económicos y la inflación. Como una regla general el

mercado de bonos y la economía en general se benefician de las tasas de crecimiento

continuo y sostenible, pero hay que tener en cuenta que este crecimiento podría llevar a

crecimientos en la inflación, que encarece los costos de los bienes y servicios,

conduciendo además, a un alza en las tasas de interés y repercutiendo en el valor de los

bonos. El alza en las tasas de interés presiona los precios de los bonos a la baja y es por

esto que el mercado de bonos reacciona negativamente.

Como invertir en bonos

Hay muchas maneras de realizar una inversión en bonos. Las más comunes son comprar

bonos individualmente y entrar a fondos de bonos. Hay una enorme cantidad de bonos

para escoger y encontrar aquel que colme sus expectativas y sus necesidades. La

mayoría de los bonos son negociados en el mercado sobre el mostrador u OTC (over the

counter por sus siglas en Inglés) y en cada una de las bolsas del mundo.

Si planea invertir en un bono primario, el asesor le explicará los pasos a seguir y los

riesgos que tiene tal bono en sus términos y condiciones. Si quiere comprar o vender un

bono en el mercado secundario muchos corredores mantienen una lista de bonos con

diferentes características que le pueden interesar. Cada firma cobra una comisión por las

operaciones en bolsa, estas comisiones son establecidas por cada firma y pueden variar

de acuerdo al monto de la transacción en el tipo de bono y la cantidad de negocios que le

de la firma.

5

Los fondos de bonos ofrecen una selección y un manejo profesional del portafolio y le

permiten al inversionista diversificar el riesgo de su inversión. Estos fondos no tienen

una fecha específica de maduración de la inversión, debido a las condiciones de compra-

venta en el mercado y la de los bonos para establecer el portafolio, para obtener el

resultado de las operaciones del valor de los fondos, fluctuará diariamente mostrando el

valor de los bonos de portafolio.

I.2 Proceso de valoración de bonos

Es el proceso de determinar el precio justo de un bono, como con cualquier valor o

inversión de capital, el valor razonable teórico de un bono es el valor presente de la

corriente de flujos de efectivo que se espera generar. Por lo tanto, el valor de un bono se

determina descontando los flujos de caja esperados del bono a la presente tasa de uso de

la oferta apropiada. La determinación de este tipo en la práctica, es decir, el "precio",

donde el vínculo se hace con referencia a otros instrumentos. Una vez que el precio o

valor se ha calculado la sensibilidad de los precios puede estimarse entonces, el

rendimiento de varios se refiere al precio de los bonos, a sus cupones que también se

pueden determinar.

Valoración de bonos

Como el anterior, el precio justo de los bonos (un bono sin opción integrado) se

determina descontando los flujos de caja esperados en la tasa de descuento apropiada.

Flujos de efectivo.

Los pagos de cupones periódicos C, cada uno de los cuales se hace n veces (n es por lo

general 2) cada año, el par o F de valor nominal, que se abona al vencimiento de la

fianza después de t años. (Nota: los pagos de último año se encuentran el valor nominal

más los pagos de cupones para el año). En algunos de los bonos, su madurez Redención

de precios puede ser más que el par de valor, en este caso, la F es en realidad el precio

de rescate.

6

Tasa de descuento.

El requerido (compuesto anual) el rendimiento o tasa de retorno r.

donde r es la tasa de interés de mercado para los bonos con términos similares

calificación de riesgo y m es el número de cupones a pagar durante la vida útil restante

de la fianza, es decir, n veces T. (Se supone que el cupón anterior ha sido pagado.) u es

(1 + r) ^ (1 / n), es decir un factor de acumulación de intereses durante un período de

cupón.

𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝐵𝑜𝑛𝑜 = 𝐶

𝑈𝑡

𝑚

𝑡=1

+𝐹

1 + 𝑟 𝑇

Debido a que el precio es el valor presente de los flujos de efectivo, no hay una relación

inversa entre el precio y tasa de descuento más alta es la tasa de descuento más bajo es el

valor de la fianza.

I.3 Limpieza de precios sucios

Cuando el bono no se valora justamente en una fecha del cupón, la relación del valor

actual y del anterior se les incorpora los intereses devengados, cualquier interés por el

propietario de los bonos de descuento desde la fecha anterior. El precio de un bono que

incluye los intereses devengados se conoce como precio sucio, el precio limpio es el

precio sin ningún interés que se ha acumulado.

La limpieza de los precios es generalmente más estable en el tiempo que en los precios

sucios. Esto se debe a que limpiar los precios cambia por razones económicas (un

cambio en las tasas de interés o de la calidad crediticia del emisor de bonos), mientras

que el día a día cambia los precios según el lugar en la fecha actual en relación con las

fechas de descuento, además de las razones económicas.

Es práctica de mercado citar a los bonos en base a los precios de limpieza. Cuando se

instala un enlace a los intereses devengados se añade al valor basado en el precio limpio

para reflejar el valor total del mercado.

7

I.4 El rendimiento y la relación con los precios

Una vez que el precio o valor se ha calculado, los rendimientos distintos que se refieren

el precio de los bonos a sus cupones entonces se pueden determinar.

Rendimiento al vencimiento

El rendimiento al vencimiento YTM (yield to maturity por sus siglas en Inglés) es la tasa

de descuento que devuelve el precio de mercado de los bonos, en otras palabras, es

idéntica a la R (rentabilidad exigida). YTM es la tasa interna de retorno de una inversión

en el vínculo de hecho y en el precio observado. Desde YTM se puede utilizar para el

precio de un bono, donde los precios de los bonos son a menudo citados en términos de

YTM. Para lograr un rendimiento igual a YTM, donde es el rendimiento requerido sobre

el bono, así que el propietario de bonos deberá:

• compra el bono al precio P0,

• mantener hasta el vencimiento del bono, y

• redimir el bono a la par.

Rendimiento de descuento

Rendimiento de descuento también se denomina rendimiento nominal. El rendimiento de

bonos es simplemente el pago de cupón (C) como un porcentaje del valor nominal (F).

El rendimiento de descuento = C / F

Rendimiento actual

El rendimiento actual es simplemente el pago de cupón (C) como porcentaje del valor

(actual) del precio inicial de un bono (P).

Rendimiento actual = C / P0.

8

Relación.

El concepto de rendimiento actual está estrechamente relacionado con los conceptos de

bonos, incluyendo rendimiento al vencimiento, y el rendimiento de cupón. La relación

entre el rendimiento al vencimiento y la tasa de cupón es la siguiente:

• Cuando un bono se vende a un descuento, YTM > rendimiento actual >

rendimiento de descuento.

• Cuando un bono se vende a una prima, el rendimiento de cupón > rendimiento

actual > YTM.

• Cuando se vende un bono a la par, YTM = rendimiento actual = amt,

rendimiento de cupón.

I.5 Precios de bonos

Como se menciona antes, la relación del valor actual refleja el enfoque teórico para

determinar el valor de un bono. En la práctica, el precio del bono es (usualmente)

determinado con referencia a otros instrumentos más líquidos, como por ejemplo los

enfoques de precio relativo.

El enfoque de precios relativos

Bajo este enfoque, el bono tendrá un precio en relación con un punto de referencia, por

lo general un gobierno de seguridad tendrá que ver la valoración relativa. Aquí, el

rendimiento al vencimiento se determina sobre la base de calificación del bono de

crédito en relación con una garantía del gobierno o con el vencimiento similar o con la

duración. Cuanto mejor sea la calidad de los bonos, menor es la diferencia entre su

rendimiento requerido y la YTM del índice de referencia. Este retorno requiere entonces

ser utilizada para descontar los flujos de efectivo de bonos que el anterior para obtener el

precio.

9

I.5.1 Arbitraje el enfoque de libre fijación de precios

Bajo este enfoque, el precio del bono refleja un arbitraje de precio libre. Aquí, cada flujo

de efectivo (cupón) es separado, descontando a la misma velocidad que un bono de

cupón cero correspondiente a la fecha de descuento, y de la capacidad crediticia

equivalente (si es posible, de un mismo emisor como el vínculo objeto de valoración).

En general, se aplica la lógica racional de precios en relación con los activos y los flujos

de efectivo idénticos.

En detalle: (1) fechas de cupón del bono y el importe se conocen con certeza. Por lo

tanto, (2) un múltiplo (o fracción) de los bonos de cupón cero, correspondiente a las

fechas de cupón del bono, se puede especificar con el fin de producir los flujos de caja

idéntica a la de bonos. (3) el precio del bono de hoy debe ser igual a la suma de cada uno

de sus flujos de efectivo descontados a la tasa de descuento implícito en el valor de la

ZCB correspondiente. El arbitraje podría financiar su compra de cualquiera de los bonos

o la suma de los valores públicos distintos era más barato, por la venta en corto el otro, y

cumplir con sus compromisos de flujo de efectivo utilizando los cupones y la

maduración apropiada. (5) es libre de riesgo, sin fines de lucro de arbitraje sería la

diferencia entre los dos valores.

La sensibilidad al precio

La sensibilidad del precio de mercado de un bono a un tipo de interés (rendimiento), los

movimientos se miden por su duración y por su convexidad. En concreto, la duración

puede formularse como la primera derivada de la función del precio con respecto a la

tasa de interés, y la convexidad de la segunda derivada, la duración de bonos cerrados, la

fórmula de la forma; convexidad de bonos cerrado fórmula de la forma.

I.6 Opción de bonos

En las finanzas, una opción de bonos es un OTC comercializados, es un instrumento

financiero que facilita una opción de compra o venta de un vínculo en particular, en una

fecha determinada a un precio determinado. Es similar a una opción sobre acciones con

10

la diferencia de que el activo subyacente sea una obligación. Opciones de bonos puede

ser valorado mediante el modelo de Black. El valor de mercado actual se conoce como

el precio de contado, mientras que el valor futuro según la opción se conoce como el

precio de ejercicio.

Tipos de opción bonos

• Una opción de bonos europeos es una opción para comprar o vender un bono en una

fecha determinada en el futuro a un precio predeterminado.

• Una opción de bonos de América es una opción para comprar o vender un bono en o

antes de una fecha determinada en el futuro a un precio predeterminado.

Incorporación de una opción

El término "opción del bono" se utiliza también para la opción como características de

algunos bonos. Estos son una parte inherente de la fianza, en lugar de un producto

comercializado por separado. Estas opciones no son mutuamente excluyentes, por lo

que un bono puede tener un montón de opciones incorporadas.

• Un bono redimible permite al emisor volver a comprar el bono a un precio

determinado en el tiempo determinado en el futuro. El titular de dicha obligación, en

efecto, vende una opción de compra para el emisor. Exigible bonos no pueden ser

llamados para los primeros años de su vida. Este período es conocido como el

bloqueo del período de inactividad.

• Un bono con opción de venta permite a su titular a la demanda de reembolso

anticipado, a un precio determinado en el tiempo determinado en el futuro. El titular

de dicha obligación, en efecto, adquirió una opción de venta sobre el bono.

• Un bono convertible permite a su titular exigir la conversión de bonos en las

acciones del emisor a un precio determinado en cierto período de tiempo en el

futuro.

11

• Un bono intercambiable permite a su titular exigir la conversión de bonos en

acciones de una compañía diferente, por lo general de una filial pública del emisor,

a un precio determinado en cierto período de tiempo en el futuro.

Relación con tope y piso

Una opción de venta europea de bonos cupón cero puede considerarse como equivalente

a una cápsula adecuada, una tasa de componentes de interés tope, mientras que las

opciones de compra se puede ver como equivalente a la aceptación del piso adecuado,

los componentes de pisos de tipo de interés.

Por esta razón, el comprador paga una prima al vendedor. El vendedor (escritor) de una

opción tiene la obligación de comprar o vender al precio de ejercicio, el comprador debe

ejercer su derecho. Con opciones de estilo europeo, el comprador puede aceptar la

entrega del subyacente sólo al final de la vida de la opción. Las opciones americanas

pueden ejercerse para entrega inmediata, en cualquier momento durante la vida de la

opción. Los titulares de sami estilo americano o las opciones de las Bermudas pueden

ser ejercidos en las fechas especificadas normalmente en forma mensual o trimestral.

Las opciones se pueden comprar los productos básicos, acciones, índices bursátiles,

tipos de interés, bonos, monedas, la terminología de comercio, sin embargo, pueden

cambiar de acuerdo al producto. En la mayoría de los casos, el derecho a comprar el

subyacente se conoce como una llamada, y el derecho a vender, una venta.

Las opciones son negociadas en mercados oficiales y en más de venta libre (OTC). Los

intercambios, como el Chicago Board Options Exchange, el London International

Financial Futures and Options Exchange y la Bolsa de Filadelfia, principalmente ofrecer

opciones estandarizadas; los mercados OTC de ofrecer productos a medida para

ajustarse a los requisitos específicos. La elección entre la OTC y opciones negociados en

bolsa dependerá del grado de adaptación necesario, la liquidez relativa de ambos

mercados (esto es variable) dependiendo del subyacente y las preocupaciones de crédito.

12

Tal aumento de preocupaciones sobre el crédito con vencimiento de la opción, ya que la

probabilidad de que una contraparte por defecto aumenta con la duración de tiempo que

transcurre entre la opción que se compran y que se ejerce. Varios derivados de los

intercambios han tratado de cerrar la brecha entre la OTC y opciones negociadas en la

bolsa mediante la introducción de opciones flexibles que pueden ser personalizadas por

el comprador.

El modelo de precios es simple con cinco opciones, de los cuales, los principales

insumos: el ejercicio de la opción o precio de ejercicio, el tiempo de expiración, el

precio del instrumento subyacente, el riesgo de tipo de interés libre en el instrumento

subyacente, y la volatilidad del activo subyacente.

Opción Europea de estilo suelen tener un precio fuera a puerta cerrada una forma de

modelo de análisis publicado por primera vez por Fischer Black y Myron Scholes en

(1973), que posteriormente ha sido modificado para adaptarse a diferentes activos

subyacentes ( Black-Scholes).1

La medida en que una opción está in the money (en qué medida el precio de ejercicio

está por debajo de/por encima del precio actual del mercado a plazo) se llama su valor

intrínseco. Cuando el precio de ejercicio es menos favorable que el precio de mercado,

la opción se dice que está fuera de el dinero, y donde los dos precios son los mismos que

se en el dinero.

En cualquier momento antes del vencimiento, el precio de una opción será una

combinación de su valor intrínseco (que es siempre ya sea mayor o igual a cero) y su

1 El modelo de Black (1976) es uno de los más utilizados en la evaluación de opciones europeas de bonos cupón cero

(una referencia básica que complementa en varios sentidos los conceptos que a continuación se presentan es Hull,

2005). Originalmente, el modelo de Black es formulado para evaluar una opción del precio futuro de una acción. Si el

precio, St, de la acción es conducido por el movimiento geométrico browniano. dS t S tdt S tdW t

En el que (Wt) t[0,T] es un movimiento browniano definido de un espacio fijo de probabilidad con su filtración

aumentad a, (, F, (FtW)t[0,T], IP), IR es el rendimiento medio esperado de la acción, 0 es la volatilidad

instantánea de la acción, es un espacio muestral, F es una -álgebra de , (FtW)t[0,T] es una filtración de F e IP es

una medida de probabilidad definida de F, entonces el precio de una opción de dicha acción, con precio de ejercicio K

que se inicia en t y ven ce en T,

13

valor en el tiempo. Este último incluye el costo de transportar y la probabilidad de que el

precio del subyacente se moverá o permanecer en el dinero. Opciones de forma general

se puede utilizar de dos maneras para la especulación o de los seguros. Su utilidad, tanto

desde un comprador y un vendedor punto de vista, se deriva de sus desembolsos.

A diferencia de otros tipos de cobertura, las opciones de ofrecer seguros contra

movimientos desfavorables en el precio de un producto y la oportunidad de tomar

ventaja de los movimientos favorables. Forwards y futuros, por ejemplo, exigir a

compradores y vendedores en un tipo de bloqueo. A cambio de asumir este riesgo, los

vendedores de opciones de recibir una prima, en realidad una toma de riesgos de tasas.

La recompensa de una opción de compra significa que el riesgo de precio de una opción

se limita a su prima no está tan expuesta a movimientos adversos en su posición en el

subyacente. Para los especuladores, la venta de las opciones (por escrito), esto a menudo

significa tomar una posición de opción de desnudos y por lo tanto estar expuestos a

movimientos adversos en el subyacente. Hedgers podrá vender las opciones para reunir

prima para compensar cualquier ligero descenso esperado en un mercado.

I.7 Tipos de bonos

Existen diversos tipos de bonos y estos se pueden diferenciar en:

a. función del emisor

b. función de la estructura

c. función del mercado donde fueron colocados

Se trata básicamente de instrumentos emitidos por corporaciones o países que, debido al

poco crédito del que gozan entre los inversionistas, tienen que pagar un cupón o un

interés muy alto para tornarse atractivos, para que la gente quiera comprarlos.

Básicamente, los bonos basura son valores que han recibido una nota baja de las

calificadoras de riesgo ("BB" o inferior) y no alcanzan la categoría de "grado de

inversión" o Investment grade.

Más riesgo y rendimiento

14

Adquirir esos bonos puede resultar atractivo porque su rendimiento es mucho mayor al

de sus hermanos mayores, pero el riesgo de que la empresa se vaya a pique o el país

entre en moratoria de pagos es también alto. Las empresas que caen en este subgrupo

son las más nuevas y poco conocidas, o aquellas que tienen una mala reputación en

términos de solidez crediticia.

Alto rendimiento también llamado (basura)

Desde ya que las calificadoras, como Moody's y Standard & Poors, se cuidan mucho de

usar el término "bono basura", cuya connotación peyorativa no escapa a nadie. Como

decíamos, oficialmente se habla de bonos de "alto rendimiento".

Buena parte de la deuda de los países emergentes también caen en esa categoría para

financiarse, los países emiten bonos. Si son países con escaso grado de confiabilidad

financiera, como ocurre con la gran mayoría de los países de América Latina, esos bonos

deberán pagar una tasa más alta.

El riesgo país golpea a las empresas

En el caso de los países es peor, porque el denominado "riesgo país" salpica a sus

empresas, ya que si una firma de un país latinoamericano quiere fondearse en el exterior

y emite bonos, esos bonos tendrán como techo la misma calificación que tiene el país.

En otras palabras: si se creó una empresa muy sólida en Venezuela y Moody's le puso

nota BB o menos a la calificación de país, su empresa nunca podrá tener mejor nota que

eso y también tendrá que pagar caro por el dinero, independientemente del buen nivel de

gestión que pueda tener.

Thomson Financial Securities Data

En realidad existen dos mercados para comprar y vender Corporate Bonds. Uno es el

New York Stock Exchange, y el otro es el mercado sobre el mostrador en donde es

transado el mayor volumen de estos bonos

15

The Bond Market Association estimates; Federal Reserve System

Los inversionistas en los bonos corporativos incluyen a grandes instituciones, como los

fondos de pensiones, fundaciones, fondos mutuos, compañías de seguros, bancos.

I.8 Tipos de emisores

Los principales emisores de bonos son:

1. Servicios públicos

2. Compañías de transporte

3. Compañías industriales

4. Compañías de servicios financieros

5. Conglomerados

Los bonos corporativos por lo general están divididos en:

Corto plazo: maduración entre 1 a 4 años.

Medio plazo: maduración entre 5 y 12 años.

Largo plazo: maduración de 12 años en adelante.

Como todos los bonos tienden a incrementar su valor cuando las tasas de interés caen, y

caen cuando las tasas de interés aumentan. Los administradores de estos fondos

diversifican el riesgo de estos fondos con varios emisores de diferentes calificaciones,

cupones y maduraciones. Todos los bonos municipales ofrecen ingresos exentos de

impuestos federales y estatales. Por esta exención son muy populares a la hora de

invertir incluyen otros beneficios.

Beneficios de los bonos municipales.

o Ingresos libres de tasas federales y estatales.

o Alto grado de seguridad con pago de intereses y repago del capital.

o Ingresos predecibles rango de alternativas que se acomodan a los objetivos de

cada inversionista.

o Liquidez en caso de vender antes de la maduración.

16

Seguridad de los Municipal Bonds

Los emisores de estos bonos tienen un historial formidable respecto al pago de sus

obligaciones, además gozan de una excelente calificación (por lo general BBB) y son

considerados de grado de inversión.

I.8.1 Descripción y características de los bonos

Emisores: Financiamiento a corto, mediano y largo plazo a través del mercado de

capitales (sin utilización del crédito bancario). Emisión de títulos en los mercados de

capitales locales e internacionales.

Inversionistas: Inversión en títulos a corto, mediano y largo plazo en los mercados de

capitales locales e internacionales.

Deuda emitida por empresas locales, gobiernos municipales y Gobierno Federal.

Tipos de bonos: Oferta pública o privada; deuda con colaterales o no aseguradas

Periodo al vencimiento: Es el número de años en que el emisor va a cumplir con las

condiciones pactadas en el bono.

Importancia

a) El vencimiento indica la vida esperada del instrumento, o el número de periodos en

que el tenedor del bono recibirá sus intereses (cupones) y el número de años en que

recibirá nuevamente su capital.

b) El retorno del rendimiento de un bono depende de su vencimiento.

c) La volatilidad en el precio del bono está muy relacionada con su vencimiento.

d) Cambios en las tasas de interés afectarán más los cambios en los precios de los

bonos de largo plazo.

e) Otro riesgo asociado con el vencimiento de un bono: Algún tipo de privilegio al

emitir el bono como por ejemplo una compra de privilegio.

Principales cupones

Compras y reembolso de provisiones.

Si algún bono tiene una compra futura o una compra de provisiones, el emisor tiene el

derecho de retirar la deuda, total o parcialmente, antes del vencimiento. El beneficio es

17

que permite al emisor, si las tasas de interés disminuyen, de reemplazar el bono emitido

por uno de más bajo costo. Otro beneficio para las corporaciones es para las que desean

utilizar liquidez no prevista para retirar bonos del mercado o que desean reestructurar

sus balances. Una limitación de esta característica es que el emisor está sujeto a un

periodo determinado dentro del cual puede ejercer ese derecho.

Precio del bono y medidas de rendimiento

El precio de cualquier instrumento financiero es igual al valor presente de los flujos de

caja esperados. La tasa de interés o tasa de descuento que se utiliza para calcular el valor

presente depende del retorno ofrecido en un instrumento comparable en el mercado.

Determinar el flujo de caja. El flujo de caja de un bono una libre (noncallable /

nonputable) en pagos periódicos de los cupones a la fecha de vencimiento más el valor

par al vencimiento.

Determinación del retorno requerido El rendimiento requerido es la tasa de descuento o

tasa de interés que un inversionista desea recibir al invertir en un bono. Este rendimiento

es determinado investigando los retornos ofrecidos en bonos con similares cualidades

(crédito y vencimiento).

Determinación del precio El precio de un bono es igual al valor presente de los flujos de

caja y puede ser determinado sumando el valor presente de los cupones semestrales y el

valor presente del valor par o valor de vencimiento.

I.8.2 Relación entre retorno requerido y precio en un momento

determinado.

El precio de un bono (libre opción) cambia en dirección opuesta al retorno requerido. La

razón es porque el precio del bono es el valor presente de los flujos de caja. A medida

que el retorno se incrementa, el valor presente de los flujos de caja disminuye y el precio

también disminuye. Si graficamos una relación precio / retorno veremos que la forma es

convexa, esto es importante dentro de las propiedades de inversión sobre un bono.

18

Gráfica 1. Relación del precio con el retorno requerido.

Razones de las variaciones en los precios de los bonos

1. Un cambio en las tasas de interés de la economía (si las tasas de interés suben por

una política de la FED, entonces los precios de los bonos bajarán y a la inversa).

2. Un cambio en el precio de un bono que se vende a otro valor que su valor par y

va llegando a su vencimiento.

3. Si los bonos del Tesoro no cambian pero el spread (extensión), con respecto a

ellos sí, los precios de los bonos, que no son del Tesoro cambiarán.

4. Un cambio en la calidad de crédito del emisor.

I.9 Medidas convencionales de retorno del vencimiento

Un inversionista que compra un bono espera recibir un retorno en dólar por una o más

de las siguientes razones:

1. El pago de cupón

2. Una ganancia de capital (o pérdida) cuando el bono es vendido o comprado.

3. Utilidad por reinversión de los pagos de cupones, esta última es llamada interés

sobre interés.

Las tres más comúnmente usadas medidas de retorno son las siguientes: Rendimiento

actual (current yield), Retorno al vencimiento (yield to maturity) y Rendimiento de

compra (yield to call). Estas mediciones son expresadas en términos porcentuales.

Precio

Retorno Requerido

19

Rendimiento actual

El rendimiento actual relaciona el cupón anual con el precio de mercado es:

RENDIMIENTO ACTUAL = $ CUPON ANUAL / PRECIO

El rendimiento actual considera sólo el interés recibido por el cupón y ninguna otra

opción de ganancia adicional. Se considera la ganancia de capital que un inversionista

podría obtener al vencimiento del bono. Tampoco reconoce alguna pérdida que el

inversionista podría obtener cuando un bono comprado sobre la par venza.

I.9.1 Madurez del rendimiento al vencimiento

El retorno del vencimiento considera los pagos de cupón más la ganancia de capital o

pérdida que el inversionista puede tener por mantener el bono hasta el vencimiento.

También es considerado el periodo del flujo de caja, donde se toma en cuenta además de

los intereses sobre intereses, pero considerando que la reinversión es a una tasa igual que

la del rendimiento al vencimiento. Esto quiere decir que si el retorno es 9.5%, los

intereses recibidos por cupones también son invertidos a esa misma tasa de interés. El

inversionista logrará un retorno al vencimiento de 9.5%, sólo si:

1. Los cupones pueden ser reinvertidos a la tasa de retorno del vencimiento; y

2. Si el bono se mantiene hasta el vencimiento.

Riesgo de reinversión

Hay 2 características principales:

1. Para un retorno al vencimiento y cupón definido, cuanto más largo el vencimiento,

mayor será la dependencia del retorno con respecto a la reinversión de intereses para

lograr el retorno al vencimiento al momento de la compra.

2. Es el cupón, cuanto mayor sea el cupón más complicado será lograr un retorno para la

re inversión de los intereses.

20

Riesgo de tasas de interés

El precio de un bono se mueve en dirección opuesta a las tasas de interés. Cuando las

tasas de interés suben (bajan), los precios de los bonos bajan (suben). Para un

inversionista que desee o deba vender un bono antes de su vencimiento las tasas de

interés serán un factor importante para la ganancia o pérdida que pueda realizar.

Cuadro 1. Retorno del vencimiento

El retorno al vencimiento tiene un valor limitado para determinar el retorno potencial de

un bono. Suponiendo que un inversionista con un horizonte de 5 años tiene las siguientes

opciones. Asumimos que los bonos tienen el mismo riesgo crediticio. Pudiendo plantear

las siguientes preguntas

¿Cuál sería el más atractivo?

1. Si elige el bono Y porque le da el yield to maturity más alto se olvida de considerar

que si desea vender a los 5 años, el precio del mismo puede encontrarse bajo la par.

2. El bono W ofrece el segundo más alto retorno al vencimiento. Este es un bono a corto

plazo y esto dificulta la re inversión por los 2 siguientes años restantes.

¿Cuál es el mejor entonces?

BonosCupón

( % )

Vencimiento

(años)

Yield to

Maturity

W 5 3 9

X 6 20 8.6

Y 11 15 9.2

Z 8 5 8

Fuente: Elaboración Propia

21

La respuesta depende de las expectativas del inversionista. Depende de la tasa a la cual

puede reinvertir los cupones recibidos hasta finalizar los 5 años (que es su horizonte de

inversión).

Cuadro 2. Relación entre cupón y rendimiento

I.9.2 Rendimiento de Compra

Es un retorno que se mide considerando la fecha en que el emisor puede cancelar la

deuda. Las más usuales son la fecha de la compra en la primera compra (call date at first

call) y compra par (par call). El rendimiento de compra es la tasa de interés que hace el

valor presente de los flujos de caja si el bono se mantiene hasta la fecha de la compra al

precio establecido.

Cuadro 3. Rendimiento de la compra.

Precio de Bonos Relación

Par Cupón = Current Yield = Yield to Maturity

Bajo par Cupón < Current Yield < Yield to Maturity

Sobre par Cupón > Current Yield > Yield to Maturity

Fuente: Elaboración Propia

Interés Anual

%

Interés

Semestral

%

Valor Presente de

pagos de $30

Valor Presente de

pagos de $1,030 en 10

periodos

Valor Presente

Flujo de caja

13.7 6.85 212.18 531 743.18

14.2 7.1 209.74 518.73 728.47

14.7 7.35 207.34 506.78 714.12

15.2 7.6 204.99 495.12 700.11

Fuente: Elaboración Propia

22

Los inversionistas conservadores calcularán el retorno al vencimiento y la compra al

vencimiento de un bono, que se vende sobre par y seleccionarán el menor como retorno

potencia, el menor será el que el inversionista utilizará para evaluar el retorno del bono.

I.10 Características de la volatilidad de los precios en los bonos

Relación Precio / Retorno. Una propiedad fundamental en un bono sin opciones es que

el precio cambia inversamente al cambio en el retorno. Esto se da porque el precio de un

bono es igual al valor presente de sus flujos de caja esperados. Un incremento

(disminución) en el retorno disminuye (incrementa) el valor presente de los flujos de caja.

Cuadro 4. Comportamiento de la volatilidad.

En esta relación no lineal que muestra el gráfico, representa la volatilidad.

Gráfica 2. Comportamiento de la volatilidad no lineal.

Retorno

%

5 años

6%

20 años

6%

5 años

9%

20 años

9%

6.0 100.00 100.00 112.80 134.67

6.1 99.57 98.85 112.34 133.25

6.5 97.89 94.45 110.53 127.76

7.0 95.84 89.32 108.32 121.36

8.0 91.89 80.21 104.06 109.90

Fuente: Elaboración Propia

Precio

Retorno Esperado

23

Cuando el retorno se incrementa, el precio del bono disminuye, pero la relación es

convexa, esto quiere decir que los precios suben en una mayor proporción que la caída

en el retorno y que los precios bajan en una menor proporción que un incremento en el

retorno

Medidas de la volatilidad de los precios en los bonos

Price Value of a Basis Point “PVBP” (Valor del precio en punto básico).

Es el cambio en el precio del bono si el retorno cambia en un punto básico, no obstante,

el valor del precio en puntos básicos se expresa como el valor absoluto en el cambio del

precio, en consecuencia, cuanto mayor el valor del precio en puntos básicos, mayor es la

volatilidad del precio en términos monetarios. Los cambios en precios son casi

simétricos para pequeños cambios en el retorno. Esto no hace una gran diferencia si se

incrementa o disminuye el retorno para calcular el valor del precio en puntos básicos. En

la práctica, se utiliza el promedio en el cambio de un incremento y disminución del

retorno.

En la gráfica se muestra el precio inicial, el precio disminuyendo el retorno por un punto

básico y el precio incrementándolo por un punto básico. El precio es calculado y

promediado para obtener el valor del precio en puntos básicos.

Cuadro 5. Comportamiento de la volatilidad con un cambio en el precio.

Retorno

%

5 años

6%

20 años

6%

5 años

9%

20 años

9%

6.00 100.0000 100.0000 112.7953 134.6722

5.99 100.0427 100.1200 112.8412 134.8159

6.01 99.9600 99.8800 112.7494 134.5287

5.99 0.0427 0.1157 0.0459 0.1437

6.01 0.0426 0.1155 0.0459 0.1435

Fuente: Elaboración Propia

Valor absoluto de cambio en el precio

por un cambio en punto básico en el retorno

P R E C I O

24

Algunos inversionistas calculan el precio en base a más de un punto básico.

La relación sigue siendo casi simétrica por una diferencia de 10 puntos básicos en el

cambio del retorno y ello es igual a 10 veces el valor del precio de un punto básico. Sin

embargo, cuanto mayores sean los cambios en el retorno, habrá una diferencia entre el

valor del precio de un punto básico si el retorno se incrementa o disminuye, y el cambio

de precio por un mayor número de puntos básicos no será ya aproximadamente las veces

del valor del precio en un punto básico.

Cuadro 6. Comportamiento de la volatilidad con un cambio en el valor del precio.

Yield Value of a Price Change, (Valor de retorno sobre cambio en el precio).

Otra medida que se utiliza para medir la volatilidad del precio de un bono es el cambio

en el retorno dado un cambio específico en el precio. Esto se hace calculando el retorno

del vencimiento del bono y luego recalculando el retorno si el precio se incrementa en x.

La diferencia entre el retorno inicial y el nuevo retorno es el valor del retorno por un

cambio en el precio.

Retorno

%

5 años

6%

20 años

6%

5 años

9%

20 años

9%

6.00 100.0000 100.0000 112.7953 134.6722

5.90 100.4276 101.1651 112.2556 136.1193

6.10 99.5746 98.8535 112.3373 133.2472

5.90 0.4276 1.1651 0.4603 1.4471

6.10 0.4254 1.1465 0.4580 1.4250

Promedio 0.4265 1.1558 0.4592 1.4361

Fuente: Elaboración Propia

P R E C I O

Valor del precio pór 10 puntos básicos

por un cambio en punto básico en el retorno

Valor absoluto de cambio en el precio

25

Cuanto más bajo el valor del retorno dado un cambio x en el precio, mayor será la

volatilidad en el precio. La razón de esto es que para producir un cambio en el precio de

x dólares, el cambio en el retorno será menor.

Los bonos corporativos y municipales son comercializados sobre la base 1/8.

Cuadro 7. Comportamiento de los bonos sobre una base de 1/8 en el precio.

Duración

Otra medida de la volatilidad del precio es la duración. Frederick Macaulay definió

duración (duration) como un promedio ponderado del flujo de caja al vencimiento del

bono. La ponderación son los valores presentes de cada flujo de caja como un porcentaje

del valor presente de todos los flujos de caja. Los ponderados son los valores presentes

de cada flujo de caja como porcentaje del precio del bono total.

PRECIO 5 años

6%

20 años

6%

Inicial 100.000 100.000

Disminución 99.875 99.875

Incremento 10.125 10.125

Disminución 6.02934 6.01082

Incremento 5.9707 5.98919

Disminución 0.029343 0.010829

Incremento 0.029299 0.010807

Promedio 0.029321 0.010814

Fuente: Elaboración Propia

PRECIO POR UN CAMBIO EN 1/8

Nuevo precio si el precio cambia

Valor absoluto por cambio en el retorno de 6%

Retorno en Octavos

26

Duración en un cupón determinado

Cálculo Macaulay (en años): =𝑛𝑖=1

𝑡∗𝑃𝑉𝐶𝐹

𝐾∗𝑃𝑉𝑇𝐶𝐹 =

1∗PVCF 1 +2∗PVCF 2 +3∗PVCF 3 +⋯+PVCF n

k∗PVTCF

donde

k = Número de periodos (pagos) por año

n = Número de periodos hasta el vencimiento (años hasta el vencimiento k)

t = Periodo del flujo de caja esperado

PVCF (t) = Valor presente del flujo de caja en el periodo t descontado al retorno

al vencimiento

PVTCF = Precio del bono en una fecha de pago de cupón.

Para un bono con pago de cupón semestral, el flujo de caja para el periodo 1 hasta n -1

es la mitad del cupón anual. El flujo de caja en el periodo n es el cupón semestral más el

valor al vencimiento. Para un bono que se vende es su fecha de pago de cupón, el total

del valor presente del flujo de caja es simplemente el precio del bono. Para un bono que

no se vende en la fecha de pago de cupón, el valor presente total del flujo de caja es el

precio del bono más los intereses corridos.

Cuadro 8. Comportamiento de la duración de la volatilidad.

La "Macaulay duration" de un cupón de un bono es menor a su vencimiento. Para un

bono cero cupón, la "Macaulay duration" es igual a su vencimiento, cuanto menor sea el

cupón, mayor será la duración de un bono.

Bono Macaulay Duration

5 años 6% 4.39

20 años 6% 11.9

5 años 9% 4.19

20 años 9% 10.98

Fuente: Elaboración Propia

27

Manteniendo los demás factores constantes, podemos decir:

Cuanto más largo el vencimiento, mayor el porcentaje en la volatilidad del precio

Cuanto mayor el vencimiento, mayor la duración

Cuanto más bajo el cupón, mayor será el porcentaje de volatilidad en el precio

Cuanto menor sea el cupón, mayor será la duración.

La relación entre "Macaulay duration" y la volatilidad del precio es 1.

𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 % 𝑒𝑛 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 =𝑀𝑎𝑐𝑎𝑢𝑙𝑎𝑦 𝑑𝑢𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 ∗ 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜

1 + 𝑟𝑒𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜

𝑘

∗ 100

Cuadro 9: Cálculo de la duración y convexidad para bonos con un retorno de 6%.

𝑀𝑎𝑐𝑎𝑢𝑙𝑎𝑦 𝑑𝑢𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 =878.6108

(2 ∗ 100)= 4.39

𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑖𝑑𝑎𝑑 = 20.396

La duración (Macaulay) asume que cuando el retorno cambia, el flujo de caja del bono

no cambiara. Sin embargo esto no es cierto para bonos redimibles o computables. En el

caso de un bono redimible, una disminución en el retorno de mercado debajo o cerca al

valor del cupón, reducirá la apreciación del precio del mismo. Esto es porque los

Periodo Flujo de caja PV PV*t PV*t*(t+1)

1 3.00 2.9126 2.9126 5.8252

2 3.00 2.8278 5.6556 16.9668

3 3.00 2.7454 8.2362 32.9448

4 3.00 2.6655 10.662 53.3100

5 3.00 2.5878 12.939 77.6340

6 3.00 2.5125 15.075 105.5250

7 3.00 2.4393 17.0751 136.6008

8 3.00 2.3682 18.9456 170.5104

9 3.00 2.2993 20.6937 206.9370

10 103.00 76.6416 766.416 8430.5760

100.0000 878.6108 9,236.8300

Fuente: Elaboración Propia

Total

Cálculo de "duration" y convexidad para un bono a 5 años, 6%

que se vende a unn retorno de 6%

28

inversionistas se pueden ver afectados cuando el bono ejecute una compra al precio

determinado.

Cuadro 10: Cálculo de la duración y convexidad para bonos con un retorno de 9%.

𝑀𝑎𝑐𝑎𝑢𝑙𝑎𝑦 𝑑𝑢𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 =9458689

2 ∗ 112.7952 = 4.19

𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑖𝑑𝑎𝑑 = 20.396

Esta curva se da porque cuando el valor de mercado o retorno de bonos comparables es

mucho mayor que el cupón del bono, es poco probable que el emisor efectúe la compra.

Cuando los retornos en el mercado disminuyen mayor será la posibilidad que el emisor

ejecute la compra.

Convexidad

En la gráfica indica la relación precio/retorno, trazando una línea dado un retorno y la

tangente muestra la tasa de cambio en el precio con respecto a cambios en las tasas de

interés en ese momento. Para un determinado precio, la línea (que nos muestra la tasa de

Periodo Flujo de caja PV PV*t PV*t*(t+1)

1 4.50 4.3689 4.3689 8.7378

2 4.50 4.2417 8.4834 25.4502

3 4.50 4.1181 12.3543 49.4172

4 4.50 3.9982 15.9928 79.9640

5 4.50 3.8817 19.4085 116.4510

6 4.50 3.7687 22.6122 158.2854

7 4.50 3.6589 25.6123 204.8984

8 4.50 3.5523 28.4184 255.7656

9 4.50 3.4489 31.0401 310.4010

10 104.50 77.7578 777.5780 8553.3580

112.7952 945.8689 9,762.7286

Fuente: Elaboración Propia

Cálculo de "duration" y convexidad para un bono a 5 años, 9%

que se vende a unn retorno de 6%

Total

29

un cambio en términos absolutos en el precio) está íntimamente ligada con la duración

de un bono (que nos dice el porcentaje de cambio en el precio).

Cuanto más vertical la línea, mayor la duración; cuanto más horizontal la línea, menor la

duración. En consecuencia, si el retorno se incrementa (disminuye), la duración

disminuye (incrementa).

Gráfica 3. Indica la relación precio/retorno.

Cuando el retorno disminuye, el cambio estimado en el precio será menor al cambio

actual. Por otro lado, cuando el retorno se incrementa, el cambio estimado en el precio

será mayor al cambio actual.

¿Que mide la convexidad?

Mide el cambio en la duración cuando el retorno cambia, tal que, la duración se

incrementa cuando el retorno disminuye, por ende se acelera la subida en el precio.

Cuando el retorno se incrementa, la duración disminuye. Por ende se desacelera la baja

en el precio. Un bono (free-option) tiene una convexidad positiva. Por esta razón, el

valor absoluto o cambio porcentual en el precio es mayor cuando el retorno disminuye

que cuando se incrementa por los mismos puntos básicos.

Precio

P

Y

Retorno

Precio actual

Línea Tangente en Y

(precio estimado)

30

I.11 Rendimiento al vencimiento

En el pasado, la mayoría de participantes en el mercado establecían curvas de retorno

para observar los precios y retornos en los títulos del tesoro. ¿Por qué?

1. Porque los títulos del tesoro no tenían riesgo de default y su calidad de crédito no

afectaba el retorno esperado, y

2. Porque los bonos del tesoro no presentan problemas de iliquidez ni de poca

frecuencia de negociación.

Los gráficos muestran curvas hipotéticas de retorno que han sido analizadas en los

Estados Unidos. La curva de rendimiento de estos bonos se utiliza como Benchmark

para establecer los precios y retornos de otros tipos de deudas, como préstamos

bancarios, hipotecas, deuda corporativa y bonos internacionales.

Gráfica 4. Curva hipotética de retorno.

Sin embargo, los participantes en el mercado se han dado cuenta que estas curvas de

retorno de los títulos del tesoro no es una medida satisfactoria entre el retorno requerido

y el vencimiento.

La razón de esto es que títulos con igual vencimiento pueden tener diferentes retornos.

Este fenómeno refleja el impacto de las diferencias en los cupones. Es necesario

desarrollar curvas de retorno más perfectas con estimados más confiables. Este método

Normal

Vencimiento

Rendimiento

31

consiste en identificar retornos que se aplican a los bonos de cupón cero y así se elimina

el problema de no liquidez y relación con el retorno al vencimiento.

La relación es considerada normal cuando el retorno se incrementa con el vencimiento.

Gráfica 5. Identificación del problema de liquidez de los cupones.

Esto se da cuando las tasas de mediano plazo son mayores que las de instrumentos de

corto y largo plazo.

Gráfica 6. Rendimiento a mediano plazo.

La curva es considerada plana cuando los rendimientos de corto, mediano y largo plazo

son prácticamente iguales.

Joroba

Vencimiento

Rendimiento

Plano

Vencimiento

Rendimiento

32

Utilización de la curva de rendimiento para valorar un bono

El precio de un bono es el valor presente de sus flujos de caja. Se ha asumido que una

tasa de interés puede ser utilizada para descontar el flujo de caja del bono. La tasa

apropiada es el rendimiento en un bono del tesoro con el mismo vencimiento del bono,

más una extensión o prima de riesgo Sin embrago se presenta un problema al utilizar la

curva del rendimiento del tesoro para determinar el rendimiento apropiado al cual

descontar el flujo de caja de un bono.

Por la diferencia entre las características de los flujos de caja no es apropiado utilizar la

misma tasa de descuento. En su lugar cada flujo de caja debería ser descontado a una

tasa única apropiada para el periodo en que el flujo de caja se va a recibir.

El modo correcto para determinar los bonos A y B no es considerando los flujos de caja

como todo de los bonos. Específicamente, existen instrumentos de bonos cupón cero, en

donde la diferencia entre el valor al vencimiento y el precio pagado seria el interés

pagado.

Para determinar el valor de cada instrumento cupón cero es necesario conocer el

rendimiento del cupón cero, instrumento del tesoro con el mismo vencimiento. Este

rendimiento es llamada tasa spot y la relación entre esta tasa y el vencimiento se llama

curva de la tasa spot. Dado que no existe cupón cero instrumentos del tesoro que tengan

un vencimiento mayor a un año, es necesario derivar una curva tomando en cuenta

consideraciones teóricas aplicables a los títulos del tesoro actuales.

Secuencialmente se obtiene la tasa spot teórica de 10 periodos y estas representan la

estructura de las tasas de interés en un momento determinado en base a los precios de los

bonos especificados.

33

Capitulo II. Calibración de un modelo de estructura a plazos

de la volatilidad en el mercado.

En el capitulo anterior se trabajó con los conceptos esenciales para determinar los bono

cupón cero y el tipo de mercado donde se encontrará el área de investigación.

Calibración de un modelo de estructura a plazos de la volatilidad en el mercado

Todos los modelos de estructura a plazo deberían ajustar la información del mercado

respecto a los tantos de interés observados históricamente y su volatilidad. Se observa

que el ajuste de la curva inicial a plazo se hace por construcción en algunos modelos; en

otros, puede ser una tarea difícil.

II.1 El calibrar un modelo a la estructura a plazo de la volatilidad del

mercado

El calibrar un modelo a la estructura a plazo de la volatilidad del mercado es más difícil

todavía. Se necesitan técnicas de optimización avanzada para los parámetros, que nos

proporcionan precios de mercado para derivados de tanto de interés líquidos. Es más

fácil trabajar con modelos para los cuales se dispone de fórmulas de valoración de forma

cerrada, por ejemplo los bonos cupón cero y las opciones europeas más típicas.

Suponiendo que tenemos una familia de precios de bonos sin arbitraje, donde el precio

relativo del bono

𝑧 ∗ (𝑡,𝑇) =𝐵(𝑡,𝑇)

𝐵𝑡 ,∀𝑡 ∈ 0,𝑇

Sigue una martingala2 bajo p*, tenemos, después de algunas consideraciones que:

2 Es un determinado proceso estocástico. Sin embargo, se conoce comúnmente con este nombre a un método de apuesta en juegos de

azar consistente en multiplicar sucesivamente en caso de pérdida una apuesta inicial determinada. En el momento de ganar la

apuesta, el proceso se iniciaría de nuevo. El concepto de la martingala en la teoría de probabilidades fue introducida por Paul Pierre

Lévy, y una gran parte del desarrollo original de la teoría lo realizó Joseph Leo Doob. Parte de la motivación para ese esfuerzo era

demostrar la inexistencia de estrategias de juego infalibles.

34

𝐵 𝑡,𝑇 = 𝐸𝑝 ∗ 𝑒− 𝑟𝑤𝑑𝑢

𝑇𝑡

𝐹𝑡 ,∀𝑡 ∈ 0,𝑇 ,

Partimos de que se cumple la hipótesis de esperanza neutral al riesgo:

𝐵 𝑡,𝑇 = 𝐸𝑝 𝑒− 𝑟𝑤𝑑𝑢

𝑇𝑡

𝐹𝑡 ,∀𝑡 ∈ 0,𝑇 .

En el caso de estructuras de tiempo continuo, es costumbre modelizar el tanto de interés

a corto plazo por medio de un proceso de Itô, o como un proceso de difusión

unidimensional. En primer caso, suponemos que 𝑑𝑟𝑡 = 𝜇𝑡𝑑𝑡 + 𝜎𝑡𝑑𝑤𝑡, 𝑟0 > 0,

donde µ y σ son procesos estocásticos adaptados con valores en R y Rd ,

respectivamente. La ecuación anterior es una forma corta de la representación integral

𝑟𝑡 = 𝑟0 + 𝜇𝑢𝑑𝑢 + 𝜎𝑢𝑡

0𝑑𝑤𝑢 , ∀𝑡 ∈ 0,𝑇

𝑡

0,

donde se supone que P es una valoración subjetiva del mercado para el comportamiento

futuro del tanto de interés.

Lin Chen (1996) dice que hay dos tipos de modelos de estructuras a plazo: los modelos

de equilibrio y los modelos del no arbitraje y, por tanto, existen dos fórmulas de

valoración de tantos de interés. Los modelos de no-arbitraje se caracterizan por el

trabajo de Ho y Lee (1986) Heath et al. (1992), Hull y White (1990, 1993) y Black et al.

(1990).

En general, el problema principal de la aproximación de no-arbitraje a los modelos de

estructura a plazo es que, en cualquier momento, se ha de estimar una función para la

estructura a plazo de los tantos de interés, pero no existe garantía de que la función

estimada sea consistente con la función estimada previamente, por lo que, a pesar de la

habilidad de la aproximación de no arbitraje para ajustar la estructura a plazo inicial, su

comportamiento empírico no es suficiente.

Los modelos de equilibrio de la estructura a plazo de tantos de interés tienen la ventaja

de que todos los derivados de tantos de interés se valoran en una base común y que son

35

de fácil manejo, pero tienen el inconveniente de que no valoran correctamente los

precios actuales de los bonos, debido a la carencia de realismo empírico y a que

adolecen de falta de parámetros suficientes para el ajuste. Se cree, en general, que las

fórmulas de valoración de derivados de equilibrio sólo se usarán con fines prácticos

hasta que se logren mejoras beneficiosas.

Musiela et al. (1997) hacen una clasificación alternativa de los modelos de estructuras a

plazo. Después de clasificar a los modelos en unifactoriales y multifactoriales, se hace

una clasificación en modelos homogéneos en el tiempo y modelos no homogéneos.

Entre los modelos homogéneos de factor único tenemos el modelo de Vasicek (1977), el

modelo de Cox, Ingersoll, Ross (CIR) (1985) y el modelo de Longstaff y Schwartz

(1992).Para los modelos no homogéneos de factor único contamos con el modelo de

Hull y White (1990, 1993) y el modelo log normal o modelo de Black, Derman y Toy

(1990).

Se supone que el tanto a corto sigue un proceso de Markov (unidimensional), por lo que

puede identificarse con una única variable del modelo. En cambio, los modelos

multidimensionales implican varias fuentes de incertidumbre (representadas típicamente

por un movimiento browniano multidimensional).

36

Como el análisis de los modelos de dos factores es pesado, y se basa en argumentos de

equilibrio general, pruebas empíricas de modelos de dos y más factores, muestran que

introduciendo variables de estado adicionales (y por tanto, también factores adicionales),

se mejora significativamente el ajuste, lo que implica la necesidad de incrementar los

procedimientos numéricos por el problema difícil de identificar factores adicionales.

Desde el punto de vista teórico, un modelo general multifactores se basa en la

especificación de un proceso de Markov3 multidimensional.

Al contrario que en el caso del precio de la acción, donde el modelo de Black-Scholes (a

pesar de sus inconvenientes) es el modelo canónico, existe un número grande de

modelos diferentes para el proceso del tanto a corto. Se presenta una lista, susceptible de

ampliación, donde si un parámetro depende del tiempo se escribe explícitamente.

3 La definición misma del Proceso de Makov. Donde los pe de Markov son la compilación inmediata y siguiente de los pe no

correlacionados. Para caracterizar un pe es necesario conocer solamente dos objetos matemáticos.𝑃(𝑥𝑖 , 𝑡𝑖 |𝑥𝑖−1 , 𝑡𝑖−1) y 𝑃(𝑥, 𝑡) En un

proceso de Markov el futuro no depende del pasado, sino del presenta dado.

37

II.2 Estructuras afines a plazo

Supongamos que elegimos un modelo particular de la forma 𝑑𝑟 𝑡 = 𝜇 𝑡, 𝑟 𝑡 𝑑𝑡 +

𝜎 𝑡, 𝑟 𝑡 𝑑𝑤 𝑡 y tratamos de calcular el precio particular de un título contingente

particular por ejemplo, una opción europea sobre un T-bono subyacente, con fecha de

entrega S y precio de ejercicio K (K, S y T fijos). Hemos de valorar el S contrato

𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 𝑝 𝑆,𝑇 − 𝐾, 0 ,

y siguiendo la expresión de T. Björk (1996) se tiene que seguir los puntos siguiente

1.- Resolver la ecuación de estructura a plazo para la T-función dada:

𝐹𝑡𝑇 𝑡, 𝑟 + 𝜇 𝑡, 𝑟 𝐹𝑟

𝑇 𝑡, 𝑟 + 1

2𝜎2 𝑡, 𝑟 𝐹𝑟𝑟

𝑇 − 𝑟𝐹𝑇 𝑡, 𝑟 = 0 𝐹𝑇 𝑡, 𝑟 = 1

2.- Para el valor dado de T, resolvemos: 𝐺𝑡 𝑡, 𝑟 + 𝜇 𝑡, 𝑟 𝐺𝑡 𝑡, 𝑟 + 1

2𝜎2 𝑡, 𝑟 𝐺𝑟𝑟 − 𝑟𝐺 𝑡, 𝑟 = 0

3.- El precio de la opción está dado ahora por: P(t, x) = G(t, r(t)).

Si se recurre a este programa para un gran número de opciones, dentro de un tiempo

razonable, es importante que las ecuaciones en derivadas parciales sean fáciles de

resolver, para lo cual se estudia la existencia de la estructura afín a plazo.

Si los precios de los bonos están dados por: p(t,T) = FT (t, r(t)), donde FT tiene la forma:

𝐹𝑇 𝑡, 𝑟 = 𝑒𝐴 𝑡 ,𝑇 −𝐵 𝑡 ,𝑇 𝑟 siendo A(t,T) y B(t,T) funciones determinísticas, se dice que el

modelo tiene una estructura afín a plazo.

Es muy fácil dar condiciones suficientes para la existencia de una estructura afín a plazo.

Supongamos que el modelo del tanto a corto está dado por 𝑑𝑟 𝑡 = 𝜇 𝑡, 𝑟 𝑡 𝑑𝑡 +

𝜎 𝑡, 𝑟 𝑡 𝑑𝑊 𝑡 , siendo W un Q proceso de Wiener, y suponiendo también que

disponemos de una estructura afín a plazo. Usando la ecuación

𝐹𝑇 𝑡, 𝑟 = 𝑒𝐴 𝑡 ,𝑇 −𝐵 𝑡 ,𝑇 𝑟

Se pueden calcular las distintas derivadas parciales de FT y, sustituyendo en la ecuación

de estructura a plazo:

𝜕𝐹𝑇

𝜕𝑡+ 𝜇

𝜕𝐹𝑇

𝜕𝑟+ 1

2𝜎2

𝜕2𝐹𝑇

𝜕𝑟 2 − 𝑟𝐹𝑇 = 0 𝐹𝑇 𝑡, 𝑟 = 1

38

donde los precios de los bonos están dados por:

𝑝 𝑡,𝑇 = 𝐹𝑇 𝑡, 𝑟(𝑡)

llegamos a

𝐴 𝑡,𝑇 − 1 + 𝐵𝑡(𝑡,𝑇) = 0

Considerando que FT

(r,T) = 1, entonces tenemos

A(T,T) = 0, B(T,T) = 0.

Se comprueba que si µ y σ2 son afines en r, entonces la ecuación anterior es separable.

Con las hipótesis ulteriores de que:

𝜇 𝑡, 𝑟 = 𝛼 𝑡 𝑟 + 𝛽 𝑡

𝜎 𝑡, 𝑟 = 𝛾 𝑡 𝑟 + 𝛿 𝑡 .

Sustituyendo en la ecuación anterior y simplificando llegamos a una ecuación que se

cumple para toda t, T y r.

𝐵𝑡 𝑡,𝑇 = −𝛼 𝑡 𝐵 𝑡,𝑇 +1

2𝛾 𝑡 𝐵2 t, T − L

𝐴𝑡 𝑡,𝑇 = 𝛽 𝑡 𝐵 𝑡,𝑇 −1

2𝛿 𝑡 𝐵2 t, T .

Siguiendo la metodología aplicada se puede calcular la estructura a plazo para el modelo

de Vasicek (1977), obteniendo:

𝐵 𝑡,𝑇 =1

𝑎 1−𝑒−𝑎 𝑇−𝑡

𝐴 𝑡,𝑇 =𝜎2

2 𝐵2𝑇

𝑡 𝑠,𝑇 𝑑𝑠 − 𝑏 𝐵

𝑇

𝑡

𝑠,𝑇 𝑑𝑠.

También consideramos el modelo de Hull-White (1990, 1993) para valores fijos de a y

s, suponiendo que la estructura a plazo observada es dos veces continuamente

diferenciable. Llegamos a obtener los precios teóricos de los bonos.

Lo mismo podemos hacer para los otros modelos, pero se ha de observar que no estamos

calculando precios de bonos, sino que usamos los precios teóricos de los bonos con el

fin de ajustar nuestro modelo de tantos de interés a los datos observados (para

determinar Q). Suponemos implícitamente que el mercado de bonos es eficiente y

podemos entonces calcular precios para los derivados de tantos de interés en función de

los precios de los bonos dados por el mercado.

39

La resolución de la ecuación diferencial en derivadas parciales no es fácil, por lo que se

desarrolla una teoría de medidas a plazo que facilitan el cálculo de los derivados de tanto

de interés. Debido a la imposibilidad de exponer ampliamente el tema, simplificamos y

enfatizamos la aplicación de la modelización martingala Q para los tantos a plazo. Hasta

ahora

𝑝 𝑡,𝑇 = 𝐸𝑄 r s ds

T

t

Ft

En el caso de modelización de tantos a plazo, la situación es diferente, puesto que una

especificación de los tantos a plazo es equivalente a una especificación de los precios de

los bonos (es importante la condición de deriva del modelo HJM). Se supone que Q es

una medida martingala para el mercado de bonos, y suponemos que la dinámica del

tanto a plazo, bajo Q está dada por 𝑑𝑓 𝑡,𝑇 = 𝛼 𝑡,𝑇 𝑑𝑡 + 𝜎 𝑡,𝑇 𝑑𝑊 𝑡 donde W es un

Q-proceso de Wiener. Tenemos, pues:

a) T > 0 , se cumple con probabilidad casi 1: 𝛼 𝑡,𝑇 = 𝜎 𝑡,𝑇 𝜎𝑇

𝑡 𝑡, 𝑠 𝑑𝑠.

b) Las dinámicas del precio de los bonos bajo están dadas por: 𝑑𝑝 𝑡,𝑇 =

𝑝 𝑡,𝑇 𝑟 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑝 𝑡,𝑇 𝑠 𝑡,𝑇 𝑑𝑊 𝑡 , donde 𝑠 𝑡,𝑇 = 𝜎𝑇

0 𝑡, 𝑠 𝑑𝑠.

II.3 El modelo de Hull-White

El modelo de Hull-White es un solo factor, donde no dan el arbitraje al modelo de la

curva en la que el tipo a corto plazo de interés es el factor aleatorio o variable de estado.

De ninguna de arbitraje, se entiende que los parámetros del modelo son coherentes con

el precio de los bonos implícita en la curva de rendimiento de cupón cero. Además, los

modelos de curva de rendimiento garantizar la coherencia con el hecho de que, en

ausencia de riesgo de impago, el precio de un bono debe tirar hacia la par que se acerca

su vencimiento.

El uso de la distribución normal proporciona una buena cantidad de tratabilidad

analítica, lo que resulta en tiempos de cálculo muy rápido con respecto a la competencia

no arbitraje modelos curva de rendimientos. La ecuación diferencial estocástica que

40

describe la forma del modelo de tasa de interés del Hull-White implementado en el

programa es 𝑑𝑟 = 𝜃 𝑡 − 𝑎𝑟 𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑧.

donde

En la práctica, el modelo de Hull-White es calibrado por elegir el tipo de reversión a la

media y desviación estándar tipo a corto plazo de tal manera para que sean coherentes

con los precios observados opción en el mercado. Los valores empíricos para el

"parámetro" (tasa media de supervivencia) son del orden de (0,0) a (0,1) en América del

Norte, mientras que el "σ" parámetro (desviación tipo normal corta) tiende a ser de entre

0.01 y 0.03.

II.4 La curva de rendimiento del modelo de Hull-White y gestión de

riesgos

En los modelos de curva de rendimiento tales como el modelo de Hull-White, el precio

de un valor derivado es una función de la curva de rendimiento, en lugar de un precio

único como en modelos más sencillos como el de Black. El entorno de la curva de

rendimiento se define en el modelo de Hull-White por tres entradas: a) la curva de cero,

dr = es el cambio en la tasa de interés a corto plazo durante un pequeño intervalo

r = es la tasa de interés a corto plazo

θ(t) =

es una función del tiempo para determinar la dirección media en la que se mueve r, elegido

de tal manera que los movimientos en r son consistentes con la curva de cupón cero de hoy

el rendimiento

A =es la tasa de reversión a la media, sobre las relaciones entre las volatilidades de corto un tipo

a largo plazo

dt = es un pequeño cambio en el tiempo

σ = es la desviación estándar anual de la tasa de corto

dz = es un proceso de Wiener (un dibujo de un proceso estocástico estándar normal)

Fuente: Elaboración Propia

41

b) la desviación estándar del tipo a corto plazo, y c) la tasa de reversión a la media

[estos dos últimos parámetros se combinan para crear la volatilidad real].

Muchas de las funciones en la categoría de Hull-White están destinadas a facilitar los

precios y la gestión del riesgo mediante el uso de los turnos cubo de la curva de cero. El

usuario puede definir curva de cubos cero arbitrario, que se define por tres argumentos:

la fecha Bucket-Start (Cubo de inicio), Bucket-End (Cubo de la fecha de término), y

Bucket-Shift (Cubo de cambio). Estos son los tres últimos argumentos de muchas

funciones en la categoría. Para el precio de un instrumento sin un cambio de cubo,

establecer estos tres últimos argumentos a cero.

Curva de cubos cero están diseñados para incluir la fecha de inicio hasta, pero sin

incluir, la fecha de finalización. Es común para definir cubos estrechos en el extremo

corto de la curva de cero, por ejemplo, en intervalos mensuales, seguido por cubos

gruesos, por ejemplo a los 6 meses o de periodicidad anual. Para resolver la sensibilidad

a los precios a un cambio en la curva de cero, el precio del valor con el cambio de cubo

y restar el precio sin el cambio. Para los títulos con rentabilidades fijas o lineal (como

los bonos o swaps), la suma de los deltas cubo a través de la curva de cero es igual a un

cambio de tamaño equivalente de la OEA. Esta equivalencia no se sostiene para conocer

las opciones y los swaps de bonos o con opciones incorporadas, debido a la convexidad

opción.

II.5 El modelo general de Hull-White y supercalibración

Hay dos enfoques principales para modelar la estructura temporal de tasas de interés. Un

enfoque es el modelo de la evolución de las tasas o precios enviarán los bonos

descontados. Esta enfoque fue desarrollado por primera vez por Heath, Jarrow y Morton

(HJM, 1992). En este artículo que modelan el comportamiento de las tasas de interés

instantáneo. El método es de gran alcance (es contiene muchos otros modelos estructura

temporal como casos especiales) y fácil de entender. Lo ajusta exactamente a la

estructura inicial plazo de las tasas de interés, permite una volatilidad tan complejo

estructura de la forma deseada, y fácilmente puede extenderse a mayor cantidad de

fuentes de riesgo como se desee. Más recientemente, el modelo de HJM ha sido

42

modificado por Brace, Gatarek y Musiella (1997), Jamshidian (1997), y Miltersen,

Sandmann, y Sondermann (1997) para aplicar a no instantánea de las tasas de interés.

En otra versión de las tasas de interés siguen el modelo de intercambio. Esto permite que

el modelo exactamente replicar observó en precios europeos de las opciones de

intercambio. La principal dificultad con la HJM-LMM modelos es que son difíciles de

aplicar por cualquier otro medio.

El otro enfoque importante para modelar la estructura temporal es describir la evolución

de la tasa instantánea de interés, la tasa que se aplica en el siguiente intervalo corto de

tiempo. Modelos de tipos cortos son a menudo más difícil de entender que los modelos

del tipo de cambio futuro. Sin embargo, su aplicación en forma de un árbol similar a la

recombinación de la población árbol de primer precio desarrollado por Cox, Ross y

Rubinstein (1979). Esto los hace computacionalmente rápido y útil para la valoración de

todo tipo de derivados sobre tipos de interés.

II.6 El Modelo generalizado

El modelo generalizado de Hull-White es un modelo en el que la función de la tasa corta

obedece a un proceso de difusión de Gauss, de la siguiente forma

𝑑𝑓 𝑟 = 𝜃 𝑡 − 𝑎 𝑡 𝑓 𝑟 𝑑𝑡 + 𝜎 𝑡 𝑑𝑧 (2.1)

La función θ(t) se escogerá de manera que el modelo se ajusta a la estructura inicial.

Donde las funciones a(t) y σ(t) son los parámetros de volatilidad que se eligen para

adaptarse a los precios de mercado de un conjunto de negociaciones activamente las

opciones sobre tipos de interés.

El modelo generalizado del Hull-White contiene muchos modelos populares como

estructura temporal casos especiales. Cuando f(r) = r, a(t) =0 y σ es constante es el de

Ho-Lee (1986) del modelo. Cuando f(r) = r, a(t) no es cero, es el original del Hull-White

(1990) del modelo. En estos dos casos las tasas de interés de los futuros modelos de

todos los vencimientos se distribuyen normalmente y hay muchas soluciones analíticas

para los precios de los bonos y opciones sobre bonos. Cuando f(r) =√r se trata de un

43

modelo desarrollado por Pelsser (1996) y cuando f(r) =ln r es el de Black-Karasinski

(1991) modelo que es tal vez la versión más popular actualmente en uso. En este modelo

el futuro de la tasa corta es una distribución logarítmica normal y las tasas de todos los

vencimientos son aproximadamente otros una distribución logarítmica normal.

Implementación

El modelo generalizado se implementa en una recombinación. Inicialmente se va a

suponer que los parámetros de la volatilidad, un a(t) y σ(t), y la forma funcional, f(r), se

han seleccionado. Más adelante se describe cómo estos son los elegidos.

Primero fijamos la hora actual a 0 y definir una función g determinista, que cumpla

𝑑𝑔 = 𝜃 𝑡 − 𝑎 𝑡 𝑔 𝑡 𝑑𝑡, que a continuación, definir una nueva variable, x, es decir

𝑥 𝑟, 𝑡 = 𝑓 𝑟 − 𝑔(𝑡). La nueva variable obedece a un proceso de difusión mucho más

simple 𝑑𝑥 = −𝑎 𝑡 𝑥𝑑𝑡 + 𝜎 𝑡 𝑑𝑧.

El valor inicial de g se seleccionará de forma que el valor inicial de x es de 0 Este

proceso se entenderá volviendo a 0, por lo que si x comienza en 0 el valor esperado de x

incondicional en todas las futuras veces es 04.

1. Elección de los tiempos en que los nodos se colocan

Cuando un modelo de estructura temporal se aplica por lo general es para algún

propósito específico tales la fijación de precios una opción sobre un swap. Como

resultado de ello es conveniente construir el árbol de tal manera que tenemos los nodos

en las fechas establecidas, como el pago y las fechas de ejercicio. Suponer que queremos

construir un árbol n-paso con nodos en los tiempos t0, t1, t2, ..., tn siendo t0 = 0, ti> ti-1 y

tn= T, la más larga fecha a considerar. Como los valores de todos los bonos, swaps y

4 Cuando la tasa de reversión es constante la forma de g es 𝑡 = 𝑔 0 𝑒−𝑎𝑡 + 𝜃

𝑡

0(𝑠)𝑒−𝑎(𝑡−𝑠)𝑑𝑠 parece ominoso que en realidad no

siempre tiene que determinar su forma exacta. La incorporación de esta función a la proceso es sólo un dispositivo que hace la

aplicación más sencilla.

44

otros instrumentos se calculan mediante el descuento de sus pagos de vuelta a través del

árbol, T debe ser seleccionará de forma que ningún pago se producen después de que T.

2. Elección de los valores de x donde los nodos se van a poner

Una vez que los nodos se van a poner han sido elegidos, en cada paso de tiempo nos

debe elegir los valores de x donde los nodos se van a poner. En primer lugar tenemos un

nodo en x = 0 en cada paso de tiempo. Luego, en cada paso de tiempo ti (i = 1, ..., n) que

ponemos en los nodos, ± ∆xi ± 2∆xi,....,± mi∆xi. La determinación del valor de las millas

se explicará en el siguiente sección. Al elegir el ∆xi, la única restricción que nos

enfrentamos es que la separación de los nodos debe ser lo suficientemente amplia como

para representar a la volatilidad de x en ese momento. Esto se consigue establecer el

espaciado de x en el tiempo ti t05.

∆𝑥𝑖 = 𝜎 𝑡𝑖−1 3 𝑡𝑖 − 𝑡𝑖−1 (2.2)

La siguiente etapa de la aplicación es determinar cómo los nodos (x, t) el espacio se

conectados entre sí. Esto también determinará la µi’s, los índices de los más altos y más

nodos que son alcanzables en cada paso de tiempo.

3. La elección del proceso de ramificación.

Elegimos la ramificación en el árbol de modo que en cada punto del árbol que imitando

el proceso de difusión lo más cerca posible. Esto se hace para garantizar que el cambio

esperado y la varianza de la diferencia en x visto en el árbol son los mismos que

predicho por el proceso de difusión para x. En cada nodo del árbol se selecciona la

ramificación proceso y las probabilidades de ramificación en consecuencia.

Supongamos que nos encontramos en algún nodo j∆xi en el paso i y proponer al poder a

los ganglios 𝑘 − 1 ∆𝑥𝑖+1,𝑘𝑥𝑖+1, 𝑦 𝑘 + 1 ∆𝑥𝑖+1 en el paso i+1. Desde el proceso de

difusión para que x cálculo de la variación media esperada de x sobre el intervalo

5 El espacio nodo se puede configurar ∆𝑥𝑖 = 𝜎(𝑡𝑖−1) 𝑛(𝑡𝑖 − 𝑡𝑖−1) para una serie de valores de n, sin perjudicar el procedimiento

numérico. La elección de n = 3 se hace porque esto permite que el procedimiento numérico exactamente el replicar los 5 primeros

momentos de la distribución de x(ti) | x(ti-1) cuando la tasa de reversión es igual a cero. Esto produce una convergencia ligeramente

más rápido que los otros valores de n.

45

siguiente, E(dx) = M, y el segundo momento de x, E(dx2) = V + M

2.6 Que la

probabilidad de crear una rama a 𝑘 − 1 ∆𝑥𝑖+1.

𝑘∆𝑥𝑖+1 y 𝑘 + 1 ∆𝑥𝑖+1 y 𝑘 + 1 ∆𝑥𝑖+1 ser pd, pm, y pu, respectivamente. Coincidencia

de la media y la varianza dadas

𝑗∆𝑥𝑖 + 𝑀 = 𝑘∆𝑥𝑖+1 + 𝑝𝑢 − 𝑝𝑑 ∆𝑥𝑖+1

𝑉 + (𝑗∆𝑥𝑖 + 𝑀)2 = 𝑘2∆𝑥𝑖+12 + 2𝑘 𝑝𝑢 − 𝑝𝑑 ∆𝑥𝑖+1

2 + 𝑝𝑢 − 𝑝𝑑 ∆𝑥𝑖+12 (2.3)

Solución de la ecuación (2.3) nos encontramos

𝑝𝑢 =𝑉

2∆𝑥𝑖+12 +

𝛼2 + 𝛼

2

𝑝𝑑 =𝑉

2∆𝑥𝑖+12 +

𝛼2+𝛼

2 (2.4)

𝑝𝑚 = 1 −𝑉

∆𝑥𝑖+12 + 𝛼2

donde

𝛼 =𝑗∆𝑥𝑖 + 𝑀 − 𝑘∆𝑥𝑖+1

∆𝑥𝑖+1

La distancia entre el valor esperado de x al nodo central a la que estamos ramificación.

𝑉 = σ2 ti ti+1 − ti y ∆𝑥𝑖 = 𝜎(𝑡𝑖) 3(𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖) Si dos se puede demostrar que todos los las

probabilidades de ramificación son positivos si − 23 < 𝛼 > 2

3 . Es decir, cuando la

ramificación desde el punto j∆xi, debemos elegir como el nodo central de la sucesora de

3 nodos en un nodo 23 ∆𝑥𝑖+1 de los resultados esperados. Por lo general, elegimos el

nodo más cercano al resultado que se espera mediante el establecimiento de k con el

valor de (𝑗∆𝑥𝑖 + 𝑀)/∆𝑥𝑖+1redondeado al más cercano entero. Esto asegura que están

dentro de ∆𝑥𝑖+1/2 de los resultados esperados y el estado del las probabilidades de

positivo es satisfecho.

6 Una aproximación razonable es 𝑀 = 𝑥𝑎 𝑡𝑖 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖 = 𝑗∆𝑥𝑖𝑎 𝑡𝑖 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖 𝑦 𝜎2(𝑡𝑖)(𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖). Cuando una constante y σ

son los cálculos más exactos posibles.

46

El procedimiento que se describe determina las ramas del árbol y las ramas

probabilidades. Del mismo modo, el nodo más bajo en el paso i +1,-mi +1, está

determinada por la ramificación desde el nodo más bajo en el paso i,-mi. Dado que en el

paso 0 sólo hay un nodo de m0 = 0.

4. Ajuste del árbol

La etapa final del proceso de construcción de árboles como la inclusión de la función

g(t) al valor de x en cada nodo. Como g(t) es una función de θ(t) y la función θ(t) es

seleccionada para que el modelo se ajusta a la estructura de plazos, el proceso de facto es

ajustar los nodos en el árbol para que correctamente los precios de los bonos de

descuento de todos los vencimientos. Esto se hace en una secuencia proceso que

comienza en el nodo raíz.

Denotamos nodo (i,j) como el nodo en el árbol en ti tiempo durante el cual

𝑥 = 𝑗∆𝑥𝑖(0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛;−𝑚𝑖 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚𝑖)

y se define:

gi: g (ti)

xij: valor de x en el nodo (i, j)

fij: valor de f (r) en el nodo (i, j). Esta es xij + gi.

rij: tasa de interés en el nodo (i, j). Esto es f -1 (xij + gi)

Q (i, j /h, k): el valor en el nodo (h, k) del valor, que vale la pena $1 en el nodo (i, j) y de

cualquier otro nodo.7 p (i, j /h, k): la probabilidad de transitar desde el nodo (h,k) al nodo

(i, j) Qij: Q (i, j | 0, 0). La variable Q (i, h j |, k) es conocida como una de Arrow-Debreu

(AD) de los precios. Nos referiremos a la Qij como la raíz del anuncio Precios para el

nodo (i, j).

La raíz del anuncio precios para el nodo (i, j) se puede determinar una vez que la raíz de

AD precios para todos los nodos en tiempo de ti-1 han sido determinadas. Para ver esto

tenemos en cuenta que 𝑄 𝑖, 𝑗 \𝑖 − 1,𝑘 = 𝑝 𝑖, 𝑗 \𝑖 − 1,𝑘 𝑒𝑥𝑝 −𝑟𝑖−1,𝑘(𝑡𝑖 − 𝑡𝑖−1) .

7 El valor de cualquier valor con pagos de determinación pueden ser fácilmente calculado usando los precios de la AD. Dejando que

Cij pago se recibirá en el nodo ij el valor de la seguridad en el nodo hk' th es entonces 𝑄𝑗 (𝑖, 𝑗/ 𝑕, 𝑘)𝐶𝑖𝑗𝑖>𝑕 donde la suma sobre

todos los pasos de tiempo, i, a más tardar horas y todos los nodos en cada paso de tiempo, j.

47

y

𝑄𝑦 = 𝑄𝑘 𝑖, 𝑗 \𝑖 − 1,𝑘 𝑄𝑖−1𝑘 ,

𝑄𝑦 = 𝑝𝑘 𝑖, 𝑗 \𝑖 − 1,𝑘 𝑒𝑥𝑝 −𝑟𝑖−1,𝑘(𝑡𝑖 − 𝑡𝑖−1) 𝑄𝑖−1𝑘 (2.5)

Consideremos ahora un bono de descuento que paga $1 en cada nodo en el momento de

la etapa i +1. Vamos a ser el 1 Pi precios en el nodo (0, 0) de este bono de descuento y

dejar Vij ser el valor de este bono en el nodo (i, j).

El proceso para determinar el ajuste en el paso gi para i desarrolla en dos partes. En

primer lugar Qij determinar para cada nodo y en el paso i. El uso de estas raíces AD

precios que a continuación, calcular el un valor de Pi. Dado que el bono de descuento

paga $ 1 en cada nodo en ti un valor ijh al nodo es

𝑉𝑖𝑗 = 𝑒𝑥𝑝 −𝑟𝑖,𝑗 (𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖) ;

𝑉𝑖𝑗 = 𝑒𝑥𝑝 −𝑓1 𝑥𝑖𝑗 + 𝑔𝑖 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖 ;

y el valor actual es

𝑃𝑖+1 = 𝑄𝑖𝑗𝑗 𝑉𝑖𝑗 ;

𝑃𝑖+1 = 𝑄𝑖𝑗𝑗 𝑒𝑥𝑝 −𝑓1 𝑥𝑖𝑗 + 𝑔𝑖 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖 (2.6)

El valor de gi se ajusta hasta que el valor calculado utilizando la ecuación (2.6) coincide

con el precio del bono de descuento calculado a partir de la estructura actual plazo. La

implementación de este proceso avanza en la capitalización de la siguiente manera. El

valor de una garantía que paga $1 en el nodo raíz es de $1, de modo que Q00 = 1. Con

base en el valor de Q00 ecuación (2.6) se utiliza para calcular g0 para que coincida con

el precio de un bono de descuento con vencimiento en t1.

Esto permite utilizar la ecuación (2.5) para calcular Q1j para cada nodo y, que permite

utilizar la ecuación (2.6) para calcular g1 y así sucesivamente. Para completar la

ilustración del proceso de construcción de árboles que ahora se puede meter un árbol a

una estructura temporal.

48

Calibración

La calibración es el proceso de determinación de los parámetros de volatilidad que se

utilizan en el modelo de estructura plazo. En el caso del modelo generalizado de Hull-

White de los parámetros de volatilidad que han de ser elegidos son los funciones a(t) y

σ(t). El procedimiento consiste en seleccionar los parámetros de volatilidad, de modo

que el árbol de la aplicación del modelo de estructura de plazos con precisión replica los

precios de mercado de opciones se negocian activamente. En concreto se utiliza un

procedimiento numérico, como el algoritmo de Levenberg Marquardt para encontrar el

conjunto de parámetros que minimiza la volatilidad suma de los cuadrados de las

diferencias entre los precios de un modelo y precios de mercado de estas opciones.

Debido a la volatilidad la función de los parámetros son necesarios para parametrizar

antes de iniciar el proceso de calibración. Normalmente nos aproximamos a las

funciones de volatilidad con funciones lineales a trozos. Esto corresponde a la selección

de un conjunto de tiempos T0, T1, T2, ...,Tm donde T0, Ti > Ti-1 y luego definir la función

de tasa de reversión como 𝑎 𝑡 = 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖𝑡 𝑇𝑖 ≤ 𝑡 < 𝑇𝑖+1, sujeto a 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖𝑇𝑖+1 =

𝛼𝑖+1 + 𝛽𝑖+1𝑇𝑖+1, 𝛽0 = 0, 𝛽𝑚 = 0

La primera condición garantiza que la función es continua y la segunda y tercera

garantizar que es constante en el primer intervalo de tiempo y más allá de los últimos

datos.8 Está especificada las limitaciones de garantizar la existencia de m grados de

libertad en el conjunto de parámetros. La función de volatilidad se define de manera

análoga.

La elección del número de puntos en las esquinas de las funciones de la volatilidad y en

qué momento las esquinas se deben colocar más de un arte que una ciencia. Si tenemos

m calibrar las opciones con vencimientos distintos m, después la celebración de una

función de volatilidad constante (por lo general la tasa de supervivencia) y elegir el

8 Ninguna de estas condiciones se requiere. Se utilizan sólo por la creencia de que la volatilidad de las funciones debe ser continua y

acotada. Una parametrización alternativa que parece funcionar bien es un paso función en la que los parámetros son constantes a

trozos. Tenga en cuenta que las divisiones de tiempo utilizado para las dos funciones de volatilidad no es necesario ser lo mismo.

49

puntos en las esquinas de la otra opción para la madurez a veces se asegura que pueden

caber exactamente en los precios de las opciones.

La fuente más común de precios de las opciones para la calibración son citas que están

disponibles para los corredores sobre las opciones de intercambio de estilo europeo y la

capitalización.

Los resultados de ajuste muestran la tasa de reversión de mejor ajuste, la volatilidad de

mejor ajuste y la raíz cuadrada media de precios del error9 (RMSE). El ajuste del modelo

a los precios de las opciones es moderadamente bueno para las dos versiones del

modelo, aunque la versión normal se ajusta un poco mejor que el versión log normal. La

media de porcentaje de error absoluto de precios (la media de los error de precio

absoluto dividido por el precio de mercado) es de aproximadamente 2.5%. En el modelo

normal, el parámetro de volatilidad corresponde a la desviación estándar de los cambios

anuales en la tasa de corto plazo de interés, mientras que en el modelo log normal es la

desviación estándar de los cambios proporcionales en el precio.

El parámetro de volatilidad para el modelo normal es relativamente constante y los

cambios en la tasa de reversión, sólo cinco veces de lo que sugiere aproximadamente el

mismo ajuste podría ser alcanzado con los parámetros de un número mucho menor. En

el modelo log normal, por el contrario, tanto a(t) y σ(t) son muy variables.

Alguna experimentación revela que no es posible instalar este panel completo de precios

de las opciones gracias a este modelo o cualquier factor de un modelo de Markov de la

estructura temporal. A consecuencia cuando este tipo de modelos se utilizan en la

práctica son calibrados en la misma forma que la equidad y F / X los modelos de

valoración de opciones están calibrados. Un conjunto de parámetros es la volatilidad

utilizados por cada opción diferente, o para cada tipo diferente de opción. Por lo general,

9 La raíz del error cuadrado medio se define como

𝑃𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 −𝑃𝑚𝑒𝑟𝑐𝑎𝑑𝑜 2

𝑛

𝑛𝑖=1 donde n es el número de opción los precios están en

forma.

50

la volatilidades de las opciones europeas que se utilizan para cubrir la opción de que se

trate se utilizados para la calibración.

Supercalibración

Los parámetros de volatilidad para una forma particular del modelo podrían

determinarse a partir de los precios del mercado de opciones. Se describen cómo la

forma funcional del modelo también puede determinarse a partir de los precios de

mercado de opciones.

Dado que la volatilidad de los mercados para los topes y pisos no son independientes de

los tipos de la huelga podemos concluir que la hipótesis log normal no refleja la

percepción del mercado de la distribución de las tasas, muestra que la capitalización

volatilidades en-el dinero-son significativamente superiores a los de la capitalización

monetaria. A excepción de amortización muy largos, las capitalización fuera de el

dinero-también tienen volatilidades algo mayor que las capitalización para el dinero.

La percepción del mercado es, que las tasas muy bajas y (en menor medida) muy altas

las tarifas son más propensos que la distribución log normal podría sugerir.

Los modelos de estructura temporal implícita por la ecuación (2.7) supone que una

función de la tipo a corto plazo, x = f(r), sigue un proceso de reversión promedio

normal. Para comprender el papel que la forma funcional, f(r), obras de teatro en cuenta

que el proceso que el tipo a corto plazo, r, se obedece

𝑑𝑟 = 𝑑𝑡 +𝜕𝑕 𝑥

𝜕𝑥𝜎(𝑡)𝑑𝑧 (2.7)

donde h es la inversa de la función f, es decir, r = h (x) El principal efecto de la elección

de la forma funcional se encuentra en su impacto en el componente de volatilidad de este

proceso, σ(t) ∂ h(x) / ∂x. Esto determina la relación entre el nivel de los tipos y la

ariabilidad de las tasas. Ahora proponemos un modelo más general en el que σ(t) ∂ h(x) /

∂x = σ(t) s(r) para alguna función del nivel de los tipos, s(r). La función σ(t) s(r) es

51

conocida como la desviación estándar local de la tasa y σ(t) s(r) / r es el volatilidad de

los locales. En este trabajo se han considerado hasta ahora dos casos:

• x = f(r) = r ó r = h(x) = x para el cual σ(t) s(r) = σ(t), las tasas de siempre el

mismo nivel de variabilidad y las futuras tasas tienen una distribución normal. Es el

modelo original de Hull-White.

• x = ln(r) ó r = exp (x) para los que σ(t) s(r) = σ(t) r, la variabilidad de las tasas es

proporcional al nivel de las tasas y las tarifas son una distribución logarítmica

normal. Este es el modelo Black-Karasinski.

Estos dos modelos s(r) = 1 y s(r) = r.,así como las funciones de volatilidad, a(t) y σ(t),

se construyen como funciones lineales a trozos, s(r) también puede ser construido como

un función lineal a trozos. Esto se realiza mediante la selección de un número de tipos

diferentes, ri>0 para i = 1, 2, …, n y los valores correspondientes de s(r)> 0, si para i =

1, 2, ..., n. Por lo general, vigor s(r) para pasar por el origen. Esto asegura que a medida

que r se hace pequeña la variabilidad de los tipos de tasas negativas se desvanece y no se

producen.

Para ilustrar el efecto de calibrar la forma funcional a la volatilidad de entrada y salida

de las opciones de dinero σ(t) = 1 y encontrar el mejor s(r) para ajustarse a los precios

de las capitalización de tres años. Los puntos de esquina de s(r) se fijan en la tasa

monetaria ± 0.5%, ±.1% y ± 2%. Este proceso se repite para los siete años y la

capitalización de diez años. El ajuste perfecto de forma funcional de la inestabilidad

local para cada uno de los tres plazos de vencimiento. Con el fin de elevar el precio (y la

volatilidad implícita) de capitalización dentro y fuera del dinero que tenemos que

aumentar la volatilidad de los locales, sin alejarse del dinero. Cuanto más corta sea la

vida de la opción, es más extremo que se convierte en el ajuste.

II.7 Multiobjetivo de calibración

El objetivo es la presentación de una nueva metodología para la calibración del modelo

de Hull-White mediante el empleo de curvas consistentes, y tomando como datos

52

empíricos los precios del mercado norteamericano. La base de nuestra propuesta está

basada en el empleo de una clase de problemas de optimización multicritério no lineales.

Además, la capacidad de ajuste del algoritmo frente a los métodos tradicionales, basados

en el uso de curvas no consistentes, obteniendo unos resultados que avalan la eficiencia

de la metodología propuesta

Cualquier modelo acepta que los precios de derivados de tipo de interés deben ajustarse

a la estructura observada a plazos. Esta idea es por primera vez por Ho y Lee, se ha

explorado en el pasado por muchos otros investigadores, como Black y Karasinski y

Hull-White. Los modelos actuales son más complejas ya que consideran que la

evolución del interés general curva como un sistema infinito de ecuaciones diferenciales

estocásticas (Heath, Jarrow y Morton). En particular, que utilizan como entrada inicial,

una curva de tipos de interés futuros continua.

En particular, estudiaron el problema de la coherencia de la familia de las curvas de

proposiciones de Nelson y Siegel y cualquier HJM modelo de la tasa de interés con la

volatilidad determinista, consiguiendo que no exista un modelo de intereses

concordantes de la misma.

Se notará que la interpolación de Nelson y Siegel es un esquema importante de una

paramétrica familiar de curvas hacia adelante, porque es ampliamente adoptado por los

bancos centrales. Su curva en forma avanzada, GNS (z, •) es dada por la expresión

𝐺𝑁𝑆 𝑧, 𝑥 = 𝑧1 + 𝑧2𝑒−𝑧4𝑥 + 𝑧3𝑥𝑒

−𝑧4𝑥

donde x denota el tiempo a la madurez y el vector de parámetros z = (z1, z2,...).

A pesar de todas las características positivas empírica y la aceptación general por la

comunidad financiera, Filipovi´c ha demostrado que no existe un proceso de Itô que sea

consistente con la familia de Nelson-Siegel. En estudios recientes De Rossi, se aplica a

los resultados de la coherencia proposiciones un modelo exponencial constante

dinámica, y estimaciones utilizando datos sobre la tasa LIBOR y las tasas de

intercambio del Reino Unido. Por otra parte, Buraschi y Corielli, añaden resultados de

53

marco teórico que indica que el uso incoherente de las familias paramétricas para

obtener sin problemas curvas de tipos de interés, viola los argumentos estándar de la

autofinanciación de replicar las estrategias, con directa consecuencias en los

procedimientos de gestión de riesgos.

Para ilustrar esta situación, se describe un procedimiento de renta fija de mercado muy

común. En el mundo real, los médicos suelen volver a estimar la curva de rendimiento y

parámetros de HJM modelo sobre una base diaria. Este procedimiento consta de dos

pasos:

• Se adaptan la curva de rendimiento inicial de los datos del mercado discretos (precios

de los bonos, tasas de intercambio, a corto plazo cero las tasas), entonces

• Obtienen una estimación de los parámetros del modelo de HJM, minimizando el error

en el precio de algunos un mercado activo (claramente) los derivados de tipos de

interés (comúnmente opciones de intercambio o capitalización).

Se hace notar que este procedimiento es puro de la sección transversal se debe tener en

cuenta que se repita. Si M y G son inconsistentes, entonces el modelo tipo de interés

producirá hacia adelante curvas fuera de la familia utilizados en la etapa de calibración,

y esto obliga al analista a cambiar los parámetros del modelo de todos los tiempos, y no

porque el modelo no es el modelo de la verdad, sino simplemente porque la familia no

va bien con el modelo

La hipótesis de la coherencia declarada por Björk, implica que la curva de bonos cupón

cero tiene que ser determinada al mismo tiempo, como los parámetros del modelo.

Angelini y Herzel proporcionan el uso de una optimización de los programas

relacionados con las calibraciones mencionado diario, el cual es compatible con esta

estimación conjunta. Los resultados empíricos, comparando la primera consistente

calibración algoritmo la falta de coherencia de datos simulados y enfocados, a

continuación, presentar los resultados de la instalación de los diferentes modelos con los

datos de Estados Unidos y de mercado. En la última sección damos algunas

observaciones finales.

54

Figura 1. Porcentaje del mercado TSIR y TSV con 99% de niveles de confianza.

Fuente: RACSAM, R. Acad. Cien. Serie A. Mat., vol. 103 (2), 2009. pp. 235-249

El modelo

Sea W un proceso estocástico dimensional de Wiener definido en un espacio de

probabilidad completo (Ω,F,P). Factor sencillo Heath, Jarrow, Morton se basa en la

dinámica de la totalidad de tipos de curva de interés rt(x), x> 0. Por lo tanto, bajo la

parametrización de Musiela, se deduce que la dimensión infinita proceso de difusión

dada por

𝑑𝑟𝑡 𝑥 = 𝛽 𝑟𝑡 ,𝑥 𝑑𝑡 + 𝜎(𝑟𝑡 , 𝑥)𝑑𝑊𝑡 (2.8)

𝑟0 𝑥 = 𝑟 ∗ 𝑥

55

donde (r*(x), x ≥ 0), se puede interpretar como la curva de tipos de interés futuros

observados. La condición estándar de la deriva derivados de Heath, Jarrow y Morton se

puede transferir fácilmente a la parametrización de Musiela

𝛽 𝑟𝑡 ,𝑥 =𝜕

𝜕𝑥𝑟𝑡 𝑥 + 𝜎 𝑟𝑡 , 𝑥 𝜎 𝑟𝑡 , 𝑠

𝑥

0

𝑑𝑠.

Por lo tanto, un modelo en particular se construye por la elección de una función

explícita de la volatilidad σ(rt, x).

σ(rt, x) = σ(x) =-σe-ax

.

El modelo de Hull-White incorpora el significado de mejorar la reversión del modelo de

Ho-Lee y ofrecer fórmulas cerradas para las opciones de líquidos como límites de interés

de tasas. Este modelo es uno de los modelos más simples que HJM gaussiana conserva

la propiedad de Markov, permitiendo métodos numéricos muy eficiente para la fijación

de precios de opciones exóticas.

En el lado negativo, no captura joroba formas de la estructura temporal de

volatilidades (TSV en lo sucesivo). Sin embargo, exhibe un desempeño relativo bueno

cuando se elige como solución parsimoniosa para negocios ciclos con TSV

monótonamente decreciente, como se muestra.

La representación del modelo

Cabe también señalar que σ(x) es una función de una dimensión cuasi-exponencial (QE

para abreviar), porque es de la forma 𝑓 𝑥 = 𝑒𝜆𝑖𝑥 +𝑖 𝑒𝛼𝑖𝑥 𝑝𝑖 𝑥 cos 𝑤𝑖𝑥 + 𝑞𝑖 𝑥 sin 𝑤𝑖𝑥 𝑖

con λi, αi, ωi ser real y los números de pi, qi son polinomios reales.

Es bien conocido que si f(x) es una función QE m-dimensional, entonces admite la

matriz siguiente representación 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑒𝐴𝑥𝐵, donde A es a(n×n) matriz, B es a(n×m)

matriz y c es un vector fila de n dimensiones. Por lo tanto, σ(x) se puede escribir como:

𝜎 𝑥 = 𝑐𝑒𝐴𝑥𝑏, 𝑐 = 1, 𝐴 = −𝑎, 𝑏 = 𝜎.

Por medio de la proposición de Björk, se puede escribir la ecuación (2.7) de tipos de

interés como 𝑑𝑞𝑡 𝑥 = 𝐹𝑞𝑡 𝑥 𝑑𝑡 + 𝜎 𝑥 𝑑𝑊𝑡 𝑞0 𝑥 = 0

56

𝑟𝑡 𝑥 = 𝑞𝑡 𝑥 + 𝛿𝑡(𝑥) (2.9)

Aquí F es un operador lineal que se define por 𝐹 =𝜕

𝜕𝑥, y St (x) es el proceso

determinista dada por 𝛿𝑡 = 𝑟 ∗ 𝑥 + 𝑡 + 𝑥 + 𝑡 − 𝑠 𝑑𝑠 𝑡

0 con 𝑥 = 𝜎 𝑥 𝜎 𝑠 𝑑𝑠

𝑥

0

Por otra parte, qt(x) tiene el concreto ejercicio de dimensión finita

𝑑𝑍𝑡 = −𝑎𝑍𝑡𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡 𝑍0 = 0 (2.10)

𝑞𝑡 𝑥 = 𝑒−𝑎𝑥𝑍𝑡

La proposición de Björk. Es un SDE lineal en el sentido estricto con la solución explícita

𝑍𝑡 = 𝜎𝑒−𝑎𝑡 𝑒𝑎𝑠𝑑𝑊𝑠 ,𝑡

0

Ahora, con la definición de 𝑆(𝑥) = 𝜎(𝑢)𝑑𝑢𝑥

0 , es fácil de obtener que

𝑡 + 𝑥 − 𝑠 𝑑𝑠𝑡

0=

1

2 𝑆2 𝑡 + 𝑥 − 𝑆2 𝑥 ,

y, por tanto, la combinación de estos resultados explícitos con descomposición (2),

llegamos a la dinámica de la tasa de interés

𝑟𝑡 𝑥 = 𝑟 ∗ 𝜋 𝑥 + 𝑡 +1

2 𝑆2 𝑡 + 𝑥 − 𝑆2(𝑥) + 𝑒−𝑎𝑥𝑍𝑡 (2.11)

La ecuación (2.11) permite realizar El Monte Carlo de hacerse a término las curvas

generadas por el modelo y puede ser útil para fines de gestión del riesgo. Como

mostramos a continuación, esta última expresión puede ser usado para construir inicial

de tipos de interés curvas r* (x) el tiempo-en consonancia con el modelo.

Curvas de acuerdo con el modelo

Si se quiere medir el impacto real que las opciones alternativas a la curva de rendimiento

de una interpolación de Nelson-Siegel, el enfoque produce en los precios y los derivados

de cobertura, es necesario determinar que las familias coherentes para este modelo en

particular. Los resultados fundamentales se pueden encontrar en Björk y Christensen en

más detalle. Al adaptar algunos de ellos para nuestro caso de estudio de Gauss, sin

mayor discusión técnica para el caso general.

57

Considere el espacio H se define como el espacio de todas las funciones de C, y

𝑟:ℝ+ → ℝ satisfacer la condición de norma 𝑟 2 = 2−𝑛∞𝑛=0

𝑑𝑛 𝑟

𝑑𝑥 𝑛 𝑥

2

𝑒𝛾𝑥𝑑𝑥 < ∞∞

0,

donde γ es un número real positivo fijo.

Como lo demuestran las Björk y Landen, este espacio, H es un espacio de Hilbert.

Considerando el teorema 1, la figura de la asignación es G: Z → H, donde el espacio de

parámetros Z es un subconjunto abierto conexo de Rd, H un espacio de Hilbert y la curva

hacia adelante G ⊆ múltiples H se define como G = Im (G). La familia G es coherente

con la modelo de un factor de volatilidad determinista función σ(•), si y sólo si

𝜕𝑥𝐺 𝑧, 𝑥 + 𝜎 𝑥 𝜎(𝑠)𝑑𝑠 ∈𝑥

0𝐼𝑚 𝜕𝑧𝐺 𝑧, 𝑥 , (2.12)

𝜎 𝑥 ∈ 𝐼𝑚 𝜕𝑧𝐺 𝑧, 𝑥 (2.13)

para todo z ∈ Z.

Las declaraciones (2.12) y (2.13) se les llama respectivamente, la tendencia consistente y

coherente de la volatilidad condiciones. Estos son fáciles de aplicar en casos concretos,

como se muestra Bjôrk y Christensen o De Rossi, entre otros. Para el modelo particular

de un factor que consideramos a lo largo de este, la aplicación directa para obtener el

resultado útil.

Proposición 1 La familia

𝐺𝑚 𝑧, 𝑥 = 𝑧1𝑒−𝑎𝑥 + 𝑧2𝑒

−2𝑎𝑥 (2.14)

es la familia de la dimensión mínima consistente con el modelo se caracteriza por σ(x)

=σe-ax

.

Hay una manera de justificar (2.14) se centra en la evolución de interés futuros deducida

en (2.11), y para obtener una visión sobre cómo las simulaciones puede ser aplicado con

la finalidad de gestión de riesgos, que describimos a continuación. Por definición de

S(x), tenemos que S'(x) = σ(x). Entonces es fácil deducir que la expresión determinista =

S2 (T + x) - S

2(x) / 2 es de la forma g(t) e

-ax + h (t) e

-2ax.

58

Así, la evolución de tipos de interés se convierte en

𝑟𝑡 𝑥 = 𝑟 ∗ 𝑥 + 𝑡 + 𝑔 𝑡 + 𝑍𝑡 𝑒−𝑎𝑥 + 𝑕 𝑡 𝑒−2𝑎𝑥 (2.15)

De la expresión (2.15) vemos que una familia que es invariante en el tiempo de

traducción está en consonancia con el modelo, si y sólo si, contiene el espacio lineal

𝑒−𝑎𝑥 , 𝑒−2𝑎𝑥 .

𝐺 𝑧, 𝑥 = 𝐺𝑚 𝑧, 𝑥 + ∅ 𝑧, 𝑥

donde Φ (•), es una función arbitraria, es también coherente con este modelo. Las

siguientes observaciones finales acerca de las familias utilizan a lo largo de este trabajo

ya se entiende.

• La familia de Nelson-Siegel (en adelante NS) 𝐺𝑁𝑆 𝑧, 𝑥 = 𝑧1 + 𝑧2𝑒−𝑧4𝑥 + 𝑧3𝑥𝑒

−𝑧4𝑥

no es coherente con el modelo.

• La familia 𝐺𝑁𝑆 𝑧, 𝑥 = 𝑧1𝑒−𝑎𝑥 + 𝑧2𝑥𝑒

−2𝑎𝑥 es la familia la dimensión más baja

consistente con el modelo (en lo sucesivo MC).

• La familia 𝐺𝐴𝑁𝑆 𝑧, 𝑥 = 𝑧1 + 𝑧2𝑒−𝑎𝑥 + 𝑧3𝑥𝑒

−𝑎𝑥 + 𝑧4𝑒−2𝑎𝑥 es la más simple ajuste

basado en la familia NS restringida que permite la coherencia del modelo (en lo sucesivo

ANS).

II.8 Tasa de interés de opción de precios

Para calibrar el modelo a través de datos reales, que realmente se necesita para

determinar el vector de parámetro θ = (σ, a). Con el fin de estimar la volatilidad de tipos

de interés, el análisis estadístico de los datos del pasado puede ser una solución posible,

se prefieren generalmente la volatilidad implícita, por el que se adentro de unos precios

de mercado de derivados, con base técnica. De esta manera implica un problema de

minimización que se puede tomar la función de pérdida como

𝑙(𝜃) = (𝐶𝑖∗ − 𝐶𝑖(𝜃,𝑇𝑖))2

𝑛

𝑖=1

59

donde Ci(θ) son el i-nésimo precio teórico derivados y C* ≡ *C(Ti) es el precio de

mercado i de una. Como es bien conocido, el precio, en t = 0, de la tapa viene dada por

𝐶 𝑇 = 1 + 𝜏𝐾 𝑘𝑛−1𝑗=0 𝐷 𝑥𝑗 𝑁 −𝑑+ − 𝐷 𝑥𝑗 + 1 𝑁 −𝑑− (2.16)

donde

𝑑± =𝑙𝑛

𝐷(𝑥1)

𝑘𝐷 (𝑥𝑗+1)±1

2𝜗2(𝑥𝑗 )

𝜗(𝑥𝑗 ) (2.17)

el intervalo [0, T] se subdivide en puntos equidistantes, es decir,

𝑥𝑗 = 𝑗 + 1 𝜏 𝑗 = 0,1,……… ,𝑛;

Desarrollo (•) es la función de descuento inicial, k es igual a (1 + τK)-1

con K que indica

el tipo máximo, y la función de volatilidad 𝜗(∙)

𝜗 𝑥𝑗 =𝜎

𝑎 1 − 𝑒−𝑎𝜏

1 − 𝑒−2𝑎𝑥𝑗

2𝑎

Las ecuaciones (2.16) y (2.17), expresan también la influencia efectiva de estimación ab

initio curva de rendimiento de los tapa de fijación de precios.

II.9 Calibración de datos desde los enfoques de mercado

Los procedimientos de calibración pueden ser descritos formalmente como sigue. El

vector θ(σ, a) del parámetro de los valores para el modelo en cuestión. Suponiendo que

las observaciones de series de tiempo implíca volatilidades, σiB, de capitalización de N,

con ataques diferentes, Ki, y vencimientos Ti con i = 1,. . ., N, donde N = 7. Ahora

suponiendo que también están equipadas con la estimación de la función de descuento,

D(x), en el tiempo t = 0.

Los participantes del mercado traduce la cita de la volatilidad a las cotizaciones de

efectivo adoptar el modelo Black. Además, que la convención bien sabido que las

cantidades Ki debe ser igual a

𝐾𝑖 =𝐷 𝜏 −𝐷 𝑇𝑖

𝜏 𝐷𝑛𝑗=1 𝑥𝑗

, (2.18)

donde τ = xj +1 - xj es la longitud de las cápsulas subyacente. La derivación de la

fórmula (2.18) puede ser que se encuentren. Ahora, mediante inspección, está claro que

esta convención de mercado hace que Ki depende de la estimación del rendimiento de la

curva. Permite denotar los precios de mercado de la capitalización con C* (Ti, D(x),

60

Ki(D(x)), σiB). Esta última expresión es explícita y pone de relieve la dependencia

implícita (a través de huelgas de cajeros automáticos) en la estimación de la función de

descuento, incluso para los precios de mercado. Dejar C* (Ti, D(x), Ki(D(x)), θ) el

precio teórico correspondiente bajo nuestro modelo en particular.

Dos métodos tradicionales

En primer lugar, elegimos una familia parametrizada no coherente de las curvas de tipos

de interés G(z, x). Sea D(z, x) la precios de los bonos de cupón cero reportados por G (z,

x). Sea Dk* el factor de descuento correspondientes observaciones xk en vencimientos

con k = 1,. . ., M = 10. Por cada bono de cupón cero indican con el subíndice k, el

logarítmica de precios error10

se escribe como sigue 𝜖𝑘 𝑧 = log𝐷𝑘∗ − 𝑙𝑜𝑔𝐷 𝑧, 𝑥𝑘 .

Entonces, se ha optado en este trabajo la suma de los cuadrados de error en los precios

logarítmicamente, LD, como la pérdida objetivo función a minimizar:

𝑙𝐷 = 𝑚𝑖𝑛𝑧 log𝐷 ∗ − log𝐷 𝑧, 𝑥 2 = 𝑚𝑖𝑛𝑧 ∈𝑘2 𝑧 .𝑀

𝑘=1 (2.19)

Ahora, a través de los estimadores de mínimos cuadrados z, una estimación de descuento

toda factor permite la fijación de precios de las capitalización con las prácticas de

mercado o un modelo de HJM. Siguiendo un esquema similar para los derivados

apropiado que el utilizado en el secundarios de los bonos 𝜂𝑖 𝜃 = 𝑙𝑜𝑔𝐶𝑖∗ − 𝑙𝑜𝑔𝐶(𝜃,𝑇𝑖) y

𝑙𝐶 = 𝑚𝑖𝑛𝜃 𝑙𝑜𝑔𝐶∗ − log𝐶(𝜃,𝑇) 2 = 𝑚𝑖𝑛𝜃 𝜂𝑖

2 𝜃 𝑁𝑖=1 (2.20)

donde se resume las dependencias de la simplicidad. Tenga en cuenta que estimar el

rendimiento de la curva es externo a la modelo en el sentido de que no es necesario saber

en primer lugar cualquiera de los parámetros del modelo para la resolución de θ no lineal

programa (2.19).

10

Recompra que, para las pequeñas, es también la fijación de precios relativos de error D*-Dk-D (z, xk) / n .

61

La calibración conjunta a la cubierta y precios de los bonos

El procedimiento conjunto de límites máximos de bonos de calibración que se ha sentido

de manera coherente de la familia. Tomamos nota de que en esta situación los

parámetros del modelo se determinan, junto con la curva de tipos de interés inicial.

Esto es diferente abarcando desde el montaje tradicional del modelo de Hull-White,

donde los dos pasos son independientes, como hemos hablado antes. De la expresión

(2.14), nos damos cuenta de la dependencia del parámetro de la familia a. Sea G(z, x, a)

ser una familia, de conformidad con nuestro modelo Gaussiano y definir los estimadores

de mínimos cuadrados, z^(a)

^𝑧 = arg𝑚𝑖𝑛𝑧 (𝑙𝑜𝑔𝐷𝑘∗ − 𝑙𝑜𝑔𝐷(𝑧,𝑎, 𝑥𝑘))2𝑀

𝑘=1 (2.21)

de la expresión

𝑙𝑜𝑔𝐷 𝑧,𝑎, 𝑥𝑘 = − 𝐺𝑥𝑘

0 𝑧,𝑎, 𝑠 𝑑𝑠 = 𝑀𝑘𝑗 𝑎 𝑧𝑗

𝑛𝑝𝑗=1

(2.22)

Tomando nota de que, para las familias coherente y de duración determinada de un

problema de la (2.21) es lineal en z-parámetros (para la Gm de la familia np=2, y para la

familia GANS, np = 4). Por lo tanto, z es una función explícita y continuada de a.

calibración de rigor, en participación ha de ser formalizado como un problema de

optimización multicritério (MOP):

𝑚𝑖𝑛 𝜎 ,𝑎 𝜖𝑆 𝑙 𝜎,𝑎 = 𝑙𝐷 𝑎

𝑙𝐶 𝜎,𝑎 , 𝑙:ℝ2 → ℝ2

donde

𝑆 = 𝑎:𝑕 𝑎 = 0 ,

con

𝑕 𝑎 = 𝑧 − 𝑅 𝑎 𝑄−1 𝑎 𝑙𝑜𝑔𝐷 ∗

Siendo Q, R matrices de la descomposición QR reducido de M(a) que se define por la

relación (15) y funciones parciales pérdida, li(σ, a), definido como

𝑙𝐶 𝜎, 𝑎 = log C ∗ D z, σ, a − log D z, θ , σ, a 2

𝑙𝐷 𝑎 = log𝐷 ∗ −𝑀 𝑎 𝑧 2

62

Teniendo en cuenta que es muy probable que estos objetivos sería tanto entrar en

conflicto, en general, y puesto que no es única (σ, a) en general todos los li reduciría al

mínimo al mismo tiempo, se trata de óptimo de Pareto. Un método popular y aceptable

para encontrar un conjunto discreto de puntos de Pareto óptimo requiere para construir

una combinación convexa de los objetivos en un solo objetivo y función de minimizar el

único objetivo de los varios los valores del parámetro de control utilizado para combinar

los objetivos: 𝑚𝑖𝑛 𝜎 ,𝑎 𝜖𝑆𝜆𝑇𝑙 𝜎, 𝑎 = 𝜆𝐷𝑙𝐷 𝑎 + 𝜆𝐶𝑙𝐶 𝜎, 𝑎 con 𝜆𝜖(ℝ+ ∪ 0 )2 𝑦 𝜆𝐶 + 𝜆𝐷 = 1.

Este algoritmo proporciona una colección discreta de puntos óptimos de Pareto

representante de todo el espectro de soluciones eficientes como se señala. Así,

idealmente, una calibración consistente llevando a cabo con coherencia de las familias,

implica todo el conjunto óptimo de Pareto, en contraste con la singularidad de la

solución que aparece en el escalar de dos pasos el problema.

Resultados empíricos

En este contexto, el objetivo principal es analizar el impacto que un esquema de

interpolación alternativa tiene en las capacidades de ajuste del modelo. A tal fin, se

utiliza como una medida, el diario (en promedio) en comparación con los precios

errores, (en lo sucesivo RPEC):

𝑅𝑃𝐸𝐶 =1

𝑁

𝐶𝑖∗−𝐶(𝜎 , 𝑎 ,𝑇𝑖)

𝐶𝑖∗

𝑁𝑖=1 ;

El mismo tipo de medida se utiliza para los precios de los bonos de cupón cero y lo

denotaremos con RPED:

𝑅𝑃𝐸𝐷 =1

𝑀

𝐷𝑘∗−𝐷 𝑧 , 𝑎 ,𝑎 ,𝑥𝑘

𝐷𝑘∗

𝑀𝑘=1 .

El análisis centrado ejercerá en el mercado de los EEUU. La fecha real consta de 248

observaciones diarias durante un año. El conjunto de datos se compone de factores de

descuento EE.UU. para los vencimientos de los diez años y de las volatilidades

implícitas de la capitalización en los tipos de interés con plazos de vencimiento de 1

63

hasta 10 años. Esta base de datos es proporcionada por los flujos de datos de servicios

financieros.

A medida que se han explorado antes, calibración diaria conjunta de las capitalizaciones

y los vínculos coherentes con las familias, debe un desarrollo correcto de un problema

de optimización con restricciones de vectores. Se hace notar que se han dividido en dos,

sólo por la facilidad de la inspección visual. De esta manera, asumimos que el mismo 10

logarítmicamente son propagaciones de valores como el componente del segundo vector

para todas las fechas de negociación. Por otra parte, tener en cuenta que se pueden

encontrar muy diferentes topologías para este fronteras en función de la fecha. Algunos

de los objetivos son contradictorios y mejor se ajustan a los bonos de cupón, lo peor que

calibrar las capitalización.

64

Capítulo III. Modelos de tasa corta; Hull & White y Ho & Lee

En el capitulo dos se manifiesta la estructura de la calibración a plazos de la volatilidad

del mercado, con diferentes técnicas de optimización de los parámetros que proporciona

el mercado sobre las tasas de interés.

III.1 Modelo de tasa corta de Hull y White: Calibración con una curva

inicial de ceros

Existen en la literatura vario modelos de tasa de interés en donde el término de las

tendencias se calibra con una curva inicial de ceros, siendo el caso más sencillos el de

Ho y Lee (1986). En 1990 Jhon C. Hull y Alan White publican el artículo “Pricing

Interest Rate Derivative Securities” en el “Review of Financial Studies”, en el cual

extienden el modelo de Vasicek utilizando fundamentalmente las ideas del modelo de

Ho-Lee.

Vale la pena mencionar que Jhon Hull y Alan White, de la universidad de Toronto, han

acumulado una prominente producción intelectual de más de 20 artículos elaborados de

manera conjunta. Sus investigaciones han abordado muchas y muy diversas áreas de las

matemáticas financieras. Por esta razón, la existencia en la literatura de varios modelos

que se conocen como Hull y White, lo cual requiere, cuando se habla de algunos

modelos de Hull-White, precisar el área en cuestión (tasa, derivados, coberturas,

volatilidad estocástica, métodos de aproximación, riesgo crédito, derivados de crédito,

etc.) en este capítulo se analizará, en detalle l modelo de Hull-White (1990), en el cual se

calibra un estructura de plazos con una curva inicial de ceros utilizando observaciones

de mercado, específicamente precios de bonos.

III.2 El modelo de tasa corta de Hull-White

En el modelo de Vasicek, la dinámica de la tasa corta es conducida por la siguiente

ecuación diferencial estocástica:

𝑑𝑟𝑡 = 𝑎(𝑏 − 𝑟𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡, (3.1)

65

Donde a, b y σ son constantes positivas y (Wt)t ≥ 0 es un movimiento Browniano definido

sobre un espacio fijo de probabilidad con su filtración aumentada. Ω,ℱ, ℱt t ≥ 0,ℙ .

En su artículo, Hull y White extienden este modelo para incluir un parámetro

dependiente del tiempo, lo cual se denotará mediante bt, esta manera (3.1) se transforma

en:

𝑑𝑟𝑡 = 𝑎(𝑏𝑡 − 𝑟𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡, (3.2)

Si se supone que a y σ han sido estimadas por algún método estadístico, se desea

seleccionar bt(0)

en el tiempo t=0, de tal manera que los precios de mercado y los teóricos

coincidan en dicho tiempo.

Ecuación diferencial parcial de un bono cupón cero

Esta ecuación se establece la ecuación diferencial parcial que determina el precio de un

bono cupón cero asociado a la tasa corta definida en (3.2). Para ello, se supone que el

precio, B (t,T) de un bono cupón cero se valúa en t y que en el vencimiento T, paga una

unidad monetaria satisface:

𝜕𝐵

𝜕𝑡+

1

2𝜎 +

∂2B

𝜕𝑟𝑡2 + 𝑎 𝑏𝑡 − 𝑟𝑡

𝜕𝐵

𝑟𝑡− 𝑟𝑡𝐵 = 0 (3.3)

Junto con la condición final B (T,T) = 1.

Solución de la ecuación diferencial parcial de un bono cupón cero

Con base a la sección anterior, se observa la ecuación deferencial parcial que determina

el precio de un bono, no tiene derivadas parciales cruzadas. Por esta razón, se pone una

solución en variables separables de la forma:

𝐵(𝑡,𝑇) = 𝑒𝐴 𝑡 ,𝑇 −𝑟𝑡𝐷(𝑡 ,𝑇). (3.4)

Claramente, en este caso, se cumple que A (T, T) = 0 y D (T, T) = 0, ya que el valor

nominal del bono en el tiempo T, está dado por: B (T, T) = 1.

66

Al diferenciar parcialmente B (t, T), en (3.4) se sigue que:

𝜕𝐵

𝜕𝑡=

𝜕𝐴

𝜕𝑡− 𝑟𝑡

𝜕𝐷

𝜕𝑡 𝐵,

𝜕𝐵

𝜕𝑟𝑡= −𝐷𝐵;

𝜕2𝐵

𝜕𝑟𝑡2 = 𝐷2𝐵.

Después de sustituir las ecuaciones en (3.26), se obtiene

𝜕𝐴

𝜕𝑡− 𝑟𝑡

𝜕𝐷

𝜕𝑡+

1

2𝜎2𝐷2 − 𝑎 𝑏𝑡 − 𝑟𝑡 𝐷 − 𝑟𝑡 = 0 (3.5)

Dado que A y D son funciones de t y T, se deriva de (3.28) con respecto a rt, se obtiene

−𝜕𝐷

𝜕𝑡+ 𝑎𝐷 − 1 = 0, (3.6)

Equivalentemente,

𝜕𝐷

𝜕𝑡+ 𝑎𝐷 − 1.

La solución a la ecuación diferencial anterior con condición final D (T, T) = 0 está dada

por

𝐷 𝑡,𝑇 = D T, T e−a T,t − e−a(T,t) ea T−s t

Tds ,

𝐷 𝑡,𝑇 = −𝑒−𝑎(𝑇,𝑡) 𝑒𝑎(𝑇−𝑠)𝑡

𝑡𝑑 (3.7)

𝐷(𝑡,𝑇) =1 − e−a(T,t)

𝑎

Por lo tanto, al sustituir 3.6 en 3.5, se obtiene

0 =𝜕𝐴

𝜕𝑡− 𝑟𝑡 𝑎𝐷 − 1 +

1

2𝜎2𝐷2 + 𝑎(𝑟𝑡 − 𝑏𝑡)𝐷 − 𝑟𝑡

0 =𝜕𝐴

𝜕𝑡+

1

2𝜎2𝐷2 + 𝑎𝑏𝑡𝐷

67

en otras palabras

𝜕𝐴

𝜕𝑡= 𝑎𝑏𝑡𝐷 −

1

2𝜎2𝐷2;

O bien,

𝜕𝐴

𝜕𝑡= 𝑏𝑡 −𝑒

−𝑎 𝑇,𝑡 −𝜎2

2𝑎2 1 − 𝑒−𝑎 𝑇,𝑡 2 (3.8)

en consecuencia

𝐴 𝑡,𝑇 = 𝑏𝑠𝑡

𝑇 1 − 𝑒−𝑎 𝑇−𝑠 𝑑𝑠 −

𝜎2

2𝑎2 𝑡,−𝑇 +

𝜎2

𝑎2 𝑒−𝑎(𝑇−𝑠)𝑡

𝑇𝑑𝑠 −

𝜎2

2𝑎2 𝑒−2𝑎(𝑇−𝑠)𝑡

𝑇𝑑𝑠;

𝐴 𝑡,𝑇 = − 𝑏𝑠𝑇

𝑡 1 − 𝑒−𝑎 𝑇−𝑠 𝑑𝑠 −

𝜎2

2𝑎2 𝑡 − 𝑇 +

𝜎2

𝑎3 (𝑒−𝑎 𝑇−𝑡 − 1) −𝜎2

4𝑎3 (𝑒−2𝑎 𝑇−𝑠 − 1) (3.9)

𝐴 𝑡,𝑇 = − 𝑏𝑠𝑇

𝑡 1 − 𝑒−𝑎 𝑇−𝑠 𝑑𝑠 +

𝜎2

2𝑎2 𝑇 − 𝑡 +2

𝑎𝑒−𝑎 𝑇−𝑡 −

1

2𝑎𝑒−2𝑎 𝑇−𝑡 −

3

2𝑎 .

Es importante destacar que el suponer una solución de la forma 3.4 ha permitido

transformar la ecuación diferencial parcial 3.3 e dos ecuaciones diferenciales ordinarias

de primer orden, a saber, 3.6 y 3.8. En las próximas secciones se utilizarán las

expresiones obtenidas para D (t, T) y A (t,T), en 3.7 y 3.9 respectivamente, para calibrar

bs con una curva inicial de ceros.

III.3 Calibración del nivel de largo plazo de la tasa corta utilizando

una curva inicial de ceros

Si se supone que a y σ han sido estimados por algún método de inferencia estadística y

se desea calibrar A (0, T) con una curva de rendimiento inicial, B(0,T) = e-R(0,T)T

es decir,

se desea encontrar bT(0)

tal que

𝐴 𝑡,𝑇 = − 𝑏𝑠 0 𝑇

0 1 − 𝑒−𝑎 𝑇−𝑠 𝑑𝑠 +

𝜎2

2𝑎2 𝑇 +2

𝑎𝑒−𝑎𝑇 −

1

2𝑎𝑒−2𝑎𝑇 −

3

2𝑎 ;

equivalentemente, se desea encontrar bT(0)

tal que

− 𝑏𝑠 0 𝑇

0 1 − 𝑒−𝑎 𝑇−𝑠 𝑑𝑠 +

𝜎2

2𝑎2 𝑇 +2

𝑎𝑒−𝑎𝑇 −

1

2𝑎𝑒−2𝑎𝑇 −

3

2𝑎 = ln𝐵 0,𝑇 + 𝑟0𝐷 0,𝑇 (3.10)

68

− 𝑏𝑠 0 𝑇

0 1 − 𝑒−𝑎 𝑇−𝑠 𝑑𝑠 +

𝜎2

2𝑎2 𝑇 +2

𝑎𝑒−𝑎𝑇 −

1

2𝑎𝑒−2𝑎𝑇 −

3

2𝑎 = ln𝐵 0,𝑇 + 𝑟0

1−e−aT

𝑎 .

Observe que la ecuación anterior es una ecuación integral en bt(0)

. Una forma de resolver

esta ecuación integral consiste en calcular sus dos primeras derivadas con respecto de T,

para ello, denote el integrando de (3.10), por un momento como 𝑔 𝑇, 𝑠 = 𝑏𝑠 0 1 −

𝑒−𝑎 𝑇−𝑠

En este caso la regla de Leibnitz conduce a

𝜕

𝜕𝑇 𝑔 𝑇, 𝑠 𝑑𝑠𝑇

0=

𝜕

𝜕𝑇

𝑇

0 𝑔 𝑇, 𝑠 𝑑𝑠;

𝜕

𝜕𝑇 𝑔 𝑇, 𝑠 𝑑𝑠𝑇

0= 𝑎 𝑏𝑠

0 𝑇

0𝑒−𝑎 𝑇−𝑠 𝑑𝑠.

Por lo tanto, la derivada parcial de (3.33) con respecto de T ésta dada por:

−𝑎 𝑏𝑠 0 𝑇

0𝑒−𝑎 𝑇−𝑠 𝑑𝑠 +

𝜎2

2𝑎2 1 − 2𝑒−𝑎𝑇 + 𝑒−2𝑎𝑇 =

𝜕

𝜕𝑇𝑙𝑛𝐵 0,𝑇 + 𝑟0𝑒

−𝑎𝑇 (3.11)

ó

𝑏𝑠 0 𝑇

0𝑒−𝑎 𝑇−𝑠 𝑑𝑠 =

𝜎2

2𝑎3 1 − 𝑒−𝑎𝑇 2 −

1

𝑎

𝜕

𝜕𝑇𝑙𝑛𝐵 0,𝑇 −

𝑟0

𝑎𝑒−𝑎𝑇 (3.12)

Con el propósito de derivar nuevamente (3.11) con respecto de T, se defina ahora

𝐺 𝑇, 𝑠 = 𝑏𝑠 0 𝑒−𝑎(𝑇−𝑠). Y en este caso la regla de Leibnitz conduce a la expresión

𝜕

𝜕𝑇 𝐺 𝑇, 𝑠 𝑑𝑠𝑇

0=

𝜕

𝜕𝑇

𝑇

0 𝐺 𝑇, 𝑠 𝑑𝑠 + 𝐺 𝑇,𝑇

𝜕𝑇

𝜕𝑇− 𝐺(𝑇, 0)

𝜕0

𝜕𝑇;

𝜕

𝜕𝑇 𝐺 𝑇, 𝑠 𝑑𝑠𝑇

0= −𝑎 𝑏𝑠

0 𝑇

0𝑒−𝑎 𝑇−𝑠 𝑑𝑠+𝑏𝑇

0 .

De esta manera, al derivar (3.11), se obtiene

𝑎2 𝑏𝑠 0 𝑒−𝑎 𝑇−𝑠 𝑑𝑠

𝑇

0− 𝑎𝑏𝑇

0 +𝜎2

𝑎 1 − 𝑒−𝑎𝑇 𝑒−𝑎𝑇 =

𝜕2

𝜕𝑇 2 𝑙𝑛𝐵 0,𝑇 − 𝑟0𝑎𝑒−𝑎𝑇 ,

69

ó

𝑏𝑠 0 𝑒−𝑎 𝑇−𝑠 𝑑𝑠

𝑇

0=

1

𝑎𝑏𝑇 0 −

𝜎2

𝑎3 1 − 𝑒−𝑎𝑇 𝑒−𝑎𝑇 +

1

𝑎2

𝜕2

𝜕𝑇2 𝑙𝑛𝐵 0,𝑇 −𝑟0

𝑎𝑒−𝑎𝑇 (3.13)

Después de igualar (3.13) con (3.12) se cumple que

𝑏𝑇 0 −

𝜎2

𝑎2 1 − 𝑒−𝑎𝑇 𝑒−𝑎𝑇 +

1

𝑎

𝜕2

𝜕𝑇 2𝑙𝑛𝐵 0,𝑇 =

𝜎2

2𝑎2(1 − 𝑒−𝑎𝑇)2 −

𝜕

𝜕𝑇𝑙𝑛𝐵 0,𝑇 .

Lo cual implica que

𝑏𝑇 0

= −1

𝑎

𝜕2

𝜕𝑇 2𝑙𝑛𝐵 0,𝑇 −

𝜕

𝜕𝑇𝑙𝑛𝐵 0,𝑇 +

𝜎2

𝑎2 1 − 𝑒−𝑎𝑇 𝑒−𝑎𝑇+=

𝜎2

2𝑎2(1 − 𝑒−𝑎𝑇)2;

𝑏𝑇 0 = −

1

𝑎

𝜕2

𝜕𝑇 2 𝑙𝑛𝐵 0,𝑇 −𝜕

𝜕𝑇𝑙𝑛𝐵 0,𝑇 +

𝜎2

2𝑎2 1 − 𝑒−2𝑎𝑇 (3.14)

𝑏𝑇 0 =

1

𝑎

𝜕

𝜕𝑇𝑓 0,𝑇 + 𝑓 0,𝑇 +

𝜎2

2𝑎2 1 − 𝑒−2𝑎𝑇 .

Para encontrar A (t, T) a partir de (3.9), se escribe (3.14) empleando en t en lugar de T,

es decir,

𝑏𝑡 0

= −1

𝑎

𝜕2

𝜕𝑡 2 𝑙𝑛𝐵 0,𝑇 −𝜕

𝜕𝑡𝑙𝑛𝐵 0,𝑇 +

𝜎2

2𝑎2 1 − 𝑒−2𝑎𝑡 .

Por lo tanto, el término en la integral en la última igualdad de (3.9) satisface

𝑏𝑠 0 𝑇

𝑡(1 − 𝑒−𝑎 𝑇−𝑠 )𝑑𝑠 = (−

1

𝑎

𝜕2

𝜕𝑠2 𝑙𝑛𝐵 0, 𝑠 −𝜕

𝜕𝑠𝑙𝑛𝐵 0, 𝑠 +

𝜎2

2𝑎2 1 − 𝑒−2𝑎𝑠 )(1 − 𝑒−𝑎 𝑇−𝑠 )𝑑𝑠

𝑇

𝑡,

𝑏𝑠 0 𝑇

𝑡(1 − 𝑒−𝑎 𝑇−𝑠 )𝑑𝑠 = −

1

𝑎 (1 − 𝑒−𝑎 𝑇−𝑠 )

𝜕2

𝜕𝑠2 𝑙𝑛𝐵 0, 𝑠 𝑑𝑠 − 1 − 𝑒−𝑎 𝑇−𝑠 𝑇

𝑡

𝜕

𝜕𝑠𝑙𝑛𝐵 0, 𝑠 𝑑𝑠 +

𝑇

𝑡

𝜎2

2𝑎2 1 − 𝑒−2𝑎𝑠 𝑇

𝑡(1 − 𝑒−𝑎 𝑇−𝑠 )𝑑𝑠 (3.15)

La primera integral de la última igualdad de (3.15) se calcula mediante integración por

partes, de tal manera que

1 − 𝑒−𝑎 𝑇−𝑠 𝑇

𝑡

𝜕2

𝜕𝑠2 𝑙𝑛𝐵 0, 𝑠 𝑑𝑠 = − 1 − 𝑒−𝑎 𝑇−𝑡 𝜕

𝜕𝑡𝑙𝑛𝐵 0, 𝑡 + 𝑎 𝑒−𝑎 𝑇−𝑠

𝑇

𝑡

𝜕

𝜕𝑠𝑙𝑛𝐵 0, 𝑠 𝑑𝑠

(3.16)

La segunda integral en (3.15) satisface

70

1 − 𝑒−𝑎(𝑇−𝑠 𝑇

𝑡

𝜕

𝜕𝑠𝑙𝑛𝐵 0, 𝑠 𝑑𝑠 =

𝜕

𝜕𝑡

𝑇

𝑡𝑙𝑛𝐵 0, 𝑡 𝑑𝑠 − 𝑒−𝑎 𝑇−𝑠

𝑇

𝑡

𝜕

𝜕𝑠𝑙𝑛𝐵 0, 𝑠 𝑑𝑠,

1 − 𝑒−𝑎(𝑇−𝑠 𝑇

𝑡

𝜕

𝜕𝑠𝑙𝑛𝐵 0, 𝑠 𝑑𝑠 = 𝑙𝑛𝐵 0,𝑇 − 𝑙𝑛𝐵 0, 𝑡 − 𝑒−𝑎 𝑇−𝑠

𝑇

𝑡

𝜕

𝜕𝑠𝑙𝑛𝐵(0, 𝑠)𝑑𝑠;

1 − 𝑒−𝑎(𝑇−𝑠 𝑇

𝑡

𝜕

𝜕𝑠𝑙𝑛𝐵 0, 𝑠 𝑑𝑠 = ln

𝐵 0,𝑇

𝐵 0,𝑡 − 𝑒−𝑎 𝑇−𝑠

𝑇

𝑡

𝜕

𝜕𝑠𝑙𝑛𝐵 0, 𝑠 𝑑𝑠 (3.17)

Por último la tercera integral de (3.17) está dada por

1 − 𝑒−2𝑎𝑠 1 − 𝑒−𝑎 𝑇−𝑠 𝑇

𝑡𝑑𝑠 = (1 − 𝑒−2𝑎𝑠 − 𝑒−𝑎 𝑇−𝑠 + 𝑒−𝑎 𝑇+𝑠 𝑇

𝑡)𝑑𝑠;

1 − 𝑒−2𝑎𝑠 1 − 𝑒−𝑎 𝑇−𝑠 𝑇

𝑡

𝑑𝑠

= 𝑇 − 𝑡 −1

2𝑎 𝑒−2𝑎𝑡 − 𝑒−2𝑎𝑇 −

1

𝑎 1 − 𝑒−𝑎 𝑇−𝑡 +

1

𝑎 𝑒−𝑎 𝑇+𝑡 −𝑒−2𝑎𝑇 ,

1 − 𝑒−2𝑎𝑠 1 − 𝑒−𝑎 𝑇−𝑠 𝑇

𝑡𝑑𝑠 = 𝑇 − 𝑡 + −

1

2𝑎𝑒−2𝑎𝑡 −

1

2𝑎𝑒−2𝑎𝑇 +

1

𝑎𝑒−𝑎 𝑇−𝑡 +

1

𝑎𝑒−𝑎 𝑇+𝑡 −

1

𝑎

(3.18)

Después de sustituir las ecuaciones (3.16), (3.17) y (3.18) en la expresión (3.15), se

sigue que

𝑏𝑠 0 𝑇

𝑡 1 − 𝑒−𝑎 𝑇−𝑠 𝑑𝑠 =

1−𝑒−𝑎 𝑇−𝑡

𝑎 𝜕

𝜕𝑡𝑙𝑛𝐵 0, 𝑡 − 𝑒−𝑎 𝑇−𝑠

𝑇

𝑡

𝜕

𝜕𝑠𝑙𝑛𝐵 0, 𝑠 𝑑𝑠 − ln

𝐵 0,𝑇

𝐵 0,𝑡 +

𝑒−𝑎 𝑇−𝑠 𝑇

𝑡

𝜕

𝜕𝑠𝑙𝑛𝐵 0, 𝑠 𝑑𝑠 +

𝜎2

2𝑎2 𝑇 − 𝑡 ±1

2𝑎𝑒−2𝑎𝑡 −

1

2𝑎𝑒−2𝑎𝑇 +

1

𝑎𝑒−𝑎 𝑇−𝑡 +

1

𝑎𝑒−𝑎 𝑇+𝑡 −

1

𝑎

(3.19)

por lo tanto,

𝐴 𝑡,𝑇 = − 𝑏𝑠 0 𝑇

𝑡 1 − 𝑒−𝑎 𝑇−𝑠 𝑑𝑠 +

𝜎2

2𝑎2 𝑇 − 𝑡 +2

𝑎𝑒−𝑎 𝑇−𝑡 −

1

2𝑎𝑒−2𝑎 𝑇−𝑡 −

3

2𝑎 ;

𝐴 𝑡,𝑇 = ln 𝐵 0,𝑇

𝐵 0,𝑡 −

1−𝑒−𝑎 𝑇−𝑡

𝑎 𝜕

𝜕𝑡𝑙𝑛𝐵 0, 𝑡 −

𝜎2

2𝑎2 𝑇 − 𝑡 ±1

2𝑎𝑒−2𝑎𝑡 −

1

2𝑎𝑒−2𝑎𝑇 +

1

𝑎𝑒−𝑎 𝑇−𝑡 +

1

𝑎𝑒−𝑎 𝑇+𝑡 −

1

𝑎 +

𝜎2

2𝑎2 𝑇 − 𝑡 +2

𝑎𝑒−𝑎 𝑇−𝑡 −

1

2𝑎𝑒−2𝑎 𝑇−𝑡 −

3

2𝑎 ;

𝐴 𝑡,𝑇 = ln 𝐵 0,𝑇

𝐵 0,𝑡 −

1−𝑒−𝑎 𝑇−𝑡

𝑎 𝜕

𝜕𝑡𝑙𝑛𝐵 0, 𝑡 −

𝜎2

2𝑎2 𝑇 − 𝑡 ±

1

2𝑎𝑒−2𝑎𝑡 −

1

2𝑎𝑒−2𝑎𝑇 +

1

𝑎𝑒−𝑎 𝑇−𝑡 +

1

𝑎𝑒−𝑎 𝑇+𝑡 −

1

𝑎 +

𝜎2

4𝑎3 𝑒−2𝑎𝑇 − 𝑒−2𝑎𝑡 + 1 − 2𝑒−𝑎 𝑇−𝑡 + 𝑒−2𝑎 𝑇−𝑡 +2𝑒−𝑎 𝑇+𝑡 .

71

en conclusión,

𝐴 𝑡,𝑇 = ln 𝐵 0,𝑇

𝐵 0,𝑡 − 𝐷 𝑡,𝑇

𝜕

𝜕𝑡𝑙𝑛𝐵 0, 𝑡 −

𝜎2

4𝑎3 𝑒−𝑎𝑇𝑒−𝑎𝑡 2 𝑒2𝑎𝑡 − 1 ;

𝐴 𝑡,𝑇 = ln 𝐵 0,𝑇

𝐵 0,𝑡 − 𝐷 𝑡,𝑇

𝜕

𝜕𝑡𝑙𝑛𝐵 0, 𝑡 −

𝜎2

4𝑎𝐷2 𝑡,𝑇 1 − 𝑒 −2𝑎𝑡

(3.20)

Una vez que se han obtenido D (t,T), y A (t,T) en (3.18) y (3.19), respectivamente, se

puede calcular, de acuerdo con (3.20), el precio de un bono cupón cero y, por ende, la

curva de ceros asociada a dicho bono. En la siguiente sección se proporcionará una

aproximación para A (t,T) que se utiliza con mucha frecuencia en la práctica.

Aproximación de la tasa Forward

En la práctica es común utilizar la siguiente aproximación sobre la pendiente del precio

inicial del bono 𝜕

𝜕𝑡ln𝐵 0, 𝑡 ≈

ln 𝐵 0,𝑡+∆𝑡 −ln 𝐵 0,𝑡

∆𝑡

Con Δt pequeña. De tal forma que (3.43) se transforma en

𝐴 𝑡,𝑇 = ln 𝐵 0,𝑇

𝐵 0, 𝑡 −

𝐷 𝑡,𝑇

∆𝑡ln

𝐵 0, 𝑡 + ∆𝑡

𝐵 0, 𝑡 −

𝜎2

4𝑎𝐷2 𝑡,𝑇 1 − 𝑒 −2𝑎𝑡

(3.21)

Observe también que

𝐷 𝑡, 𝑡 + ∆𝑡 =1 − 𝑒−𝑎∆𝑡

𝑎≈ ∆𝑡,

Ya que e-aΔt

≈1-aΔt si Δt es suficientemente pequeña. Por lo tanto,

𝐴 𝑡,𝑇 = ln 𝐵 0,𝑇

𝐵 0, 𝑡 −

𝐷 𝑡,𝑇

𝐷(𝑡, 𝑡 + ∆𝑡)ln

𝐵 0, 𝑡 + ∆𝑡

𝐵 0, 𝑡 −

𝜎2

4𝑎𝐷2 𝑡,𝑇 1 − 𝑒 −2𝑎𝑡

(3.22)

72

Es frecuente utilizar en esta aproximación un término cuadrático en D(t,T) modificado

de tal forma que

𝐴 𝑡,𝑇 = ln 𝐵 0,𝑇

𝐵 0,𝑡 −

𝐷 𝑡 ,𝑇

𝐷 𝑡 ,𝑡+∆𝑡 ln

𝐵 0,𝑡+∆𝑡

𝐵 0,𝑡 −

𝜎2

4𝑎 1 − 𝑒−2𝑎𝑡 𝑑 𝑡,𝑇 𝐷 𝑡,𝑇 −

𝐷 𝑡, 𝑡 + ∆𝑡 (3.23)

III.4 Curva de rendimiento y precios de bonos

Una vez determinadas las funciones D (t,T), y A (t,T) en (3.6) y (3.19), así como sus

aproximaciones en (3.22), se calculan la curva de ceros y el vector de precios,

respectivamente, mediante

𝑅 𝑡,𝑇 =𝑟𝑡𝐷 𝑡,𝑇 − 𝐴 𝑡,𝑇

𝑇 − 𝑡

y

𝐵 𝑡,𝑇 = 𝑒𝐴 𝑡 ,𝑇 −𝑟𝑡𝐷 𝑡 ,𝑇

Por su puesto, la aproximación (3.23) puede ser empleada en las ecuaciones anteriores.

Desde una perspectiva práctica poco se puede argumentar en contra de la calibración de

un modelo utilizando precios de mercado. Sin embargo, frecuentemente los resultados

de este tipo de modelos en un mediano plazo pueden mostrar grandes inconsistencias

¿Cómo se justifica esto? La respuesta es simple, con modelos de calibración que toman

en cuenta un solo factor de riesgo es lo mejor que se puede hacer.

III.5 Modelo de tasa corta de Ho y Lee

Calibración con una curva inicial de ceros

Hasta ahora, en varios capítulos anteriores, se ha vista que a partir de una especificación

exógena de la dinámica de la tasa de interés instantánea, o tasa corta, es posible

determinar el precio de un bono cupón cero de manera endógena. Este se hizo utilizando

los enfoques de ecuaciones diferenciales parciales y probabilistas. En el primer caso, se

caracteriza el precio del bono como solución de una ecuación diferencial parcial de

segundo orden. Dicha ecuación diferencial parcial se obtiene al cubrir, el riesgo de

73

mercado, un portafolio de bonos a distintos vencimientos y a través de argumentos

económicos de equilibrio general. El supuesto fundamental fue que si los mercados

estaban en equilibrio, entonces no podían existir oportunidades de arbitraje. Una vez que

la ecuación diferencial parcial era resuelta, su solución se utilizaba para generar curva de

rendimiento, la cual estaba en función del valor más reciente de la tasa corta y de la

estimación de los parámetros que intervenían en el modelo. El siguiente paso era

decidirse por un método de estimación de parámetros en cuestión, el cual se basaba,

usualmente, en registros históricos de la tasa corta. Estos pasos se resumen, a

continuación, con mayor precisión:

(i) Se supone una especificación exógena de la dinámica estocástica de la tasa corta:

𝑑𝑟𝑡 = 𝜇 𝑟𝑡 ;𝜃 𝑑𝑡 + 𝜎(𝑟𝑡 ;𝜃)𝑑𝑊𝑡 (3.24)

Donde (Wt)t≥0 es un movimiento Browniano definido sobre un espacio fijo de

probabilidad con una filtración, Ω,ℱ, (ℱ𝑡 𝑡 ≥ 0,ℙ) y 𝜃 era un vector de parámetros.

(ii) El precio de equilibrio, B(rt,t;T, 𝜃), en t, de un bono cupón cero que el

vencimiento, T, paga una unidad monetaria, satisface

𝜕𝐵

𝜕𝑡+

1

2𝜎(𝑟𝑡 ;𝜃) +

∂2B

𝜕𝑟𝑡2 + 𝜇 𝑟𝑡 ;𝜃

𝜕𝐵

𝑟𝑡− 𝑟𝑡𝐵 = 0 (3.25)

Junto con la condición final

B (rt,T;T, 𝜃)=1

(iii) La ecuación diferencial parcial en (3.25) se resuelve suponiendo una solución

de la forma

𝐵(𝑟𝑡 , 𝑡;𝑇, 𝜃) = 𝑒𝐴 𝑡 ,𝑇;𝜃 −𝑟𝑡𝐷(𝑡 ,𝑇;𝜃). (3.26)

(iv) En virtud de (3.26) la curva de rendimiento se calcula mediante

𝑅 𝑡,𝑇;𝜃 = −ln 𝐵(𝑟𝑡 ,𝑡;𝑇,𝜃)

𝑇−𝑡=

𝑟𝑡𝐷 𝑡 ,𝑇;𝜃 −𝐴 𝑡 ,𝑇;𝜃

𝑇−𝑡. (3.27)

(v) Se obtiene un estimador, 𝜃 , 𝜃 del vector de parámetros 𝜃, y se sustituye en

(3.26) y (3.27). por otro lado, el enfoque probabilista calcula de manera

directa

𝐵 𝑟𝑡 , 𝑡;𝑇, 𝜃 = 𝐸 exp − 𝑟𝑠𝑑𝑠𝑇

𝑡 |ℱ𝑡 (3.28)

74

Utilizando la distribución de 𝑟𝑠𝑑𝑠𝑇

𝑡.

Otra alternativa para valuar bonos cupón cero, con base en el comportamiento de una

tasa corta, es propuesta por Thomas S. Y. Ho y Sang-Bing Lee en su artículo “Term

Structure Movements and Pricing Interest Rate Contingent Claims”, publicado en 1986

en el “Journal of Finance”. En su metodología, Ho-Lee, a partir de una curva de

rendimientos conocida, calibran para un tiempo posterior una curva de rendimientos

factible. La nueva curva de rendimientos se obtiene calibrando la tendencia de la tasa

corta con la pendiente de la tasa forward asociada a la curva de rendimientos conocida

más en un término lineal en la variable de tiempo. De esta forma, los valores de la curva

de rendimiento conocida son los consistentes con los valores teóricos obtenidos a través

de la metodología propuesta por Ho-Lee. Por esta razón el modelo de Ho-Lee no

pertenece a la clase de los modelos de tasa de equilibrio general.

Es importante mencionar también que los modelos de Merton (1973), Vasicek (1973) y

Cox, Ingersoll y Ross (1985), la estimación de los parámetros se lleva a cabo mediante

una serie histórica de la tasa corta, mientras que en el modelo de Ho y Lee sólo el

parámetro de volatilidad se estima con un registro histórico de la tasa corta, pues como

se ha mencionado, al curva de rendimiento se calibra ajustando la información actual del

mercado a la tendencia de la tasa corta.

Por último, vale la pena destacar que al igual que al modelo de Vasicek, el de Ho y Lee

puede producir varios valores negativos de rt, lo cual es una limitación seria. Aun

cuando la probabilidad de que se presenten los valores negativos en el modelo de Ho y

Lee es muy pequeña, la posibilidad de que estos valores ocurran siempre están presente.

III.6 Planteamiento del modelo

El modelo original de Ho y Lee (1986) es desarrollado en el tiempo discreto. Con el

propósito de que dicho modelo pueda compararse con los modelos estudiados en

capítulos anteriores, es necesario plantearlo en tiempo continuo. El modelo de tasa corta

propuesto por Ho y Lee considera, como los modelos de Merton, Vasicek y Cox,

Ingersoll y Ross, un solo factor de incertidumbre. En este modelo el término de

75

tendencia es dependiente del tiempo e independiente del nivel de la tasa corta. El

comportamiento de la tasa corta es conducido por el siguiente proceso:

𝑑𝑟𝑡 = 𝑕𝑡𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡 , (3.29)

Donde σ > 0 es una cantidad contante ht = h(t) es una función de tiempo y Wt~ 𝒩(0,t).

Es decir, la dinámica estocástica de la tasa corta sigue una distribución normal y

𝑟𝑡 = 𝑟𝑜 + 𝑕𝑠𝑑𝑠𝑡

0

+ 𝜎 𝑑𝑊𝑠 .𝑡

0

En este caso, media y varianza de la tasa corta satisfacen, respectivamente,

𝐸 𝑟𝑡|ℱ0 = 𝑟𝑜 + 𝑕𝑠𝑑𝑠𝑡

0,

y

𝑉𝑎𝑟 𝑟𝑡|ℱ0 = 𝜎2𝑡.

Donde ℱ0es la información relevante disponible en t=0. La función ht determina, en

promedio, hacia donde moverá rt en el futuro y se elegirá de tal manera que la curva de

rendimiento sea consistente con una curva de rendimiento anterior. Finalmente, observe

que la volatilidad es constante, es decir, es independiente del nivel de la tasa corta y del

tiempo.

III.7 Ecuación diferencial parcial del comportamiento de un bono

cupón cero

En el modelo de Ho y Lee el precio del bono cupón cero, B (t, T), satisface la siguiente

ecuación diferencial parabólica:

𝜕𝐵

𝜕𝑡− 𝑕𝑡

𝜕𝐵

𝜕𝑡+

1

2𝜎2 𝜕2𝐵

𝜕𝑟𝑡2 − 𝑟𝑡𝐵 = 0, (3.30)

76

Junto con la condición final B(T,T)=1. Dado que la ecuación anterior no tiene derivadas

parciales cruzadas de ht no depende de rt, se puede suponer una solución en variables se

parables como el modelo de tasa corta de Merton de la forma:

𝐵 𝑡,𝑇 = 𝑒𝐴 𝑡 ,𝑇 −𝑟𝑡 𝑡 ,𝑇 . (3.31)

Claramente, en este caso, se cumple que A (T,T) = 0, ya que el valor nominal del bono

en el tiempo T, esta dado por

𝐵 𝑇,𝑇 = 𝑒𝐴 𝑇,𝑇 = 1.

Ahora se observa que

𝜕𝐵

𝜕𝑡=

𝜕𝐴

𝜕𝑡+ 𝑟𝑡 𝐵,

𝜕𝐵

𝜕𝑡= − 𝑇 − 𝑡 𝐵

y

𝜕2𝐵

𝜕𝑟𝑡2 = 𝑇 − 𝑡 2𝐵.

Si se sustituyen las derivadas parciales anteriores en (3.30) se encuentra que

𝜕𝐴

𝜕𝑡+ 𝑟𝑡 𝐵 +

1

2𝜎2 𝑇 − 𝑡 2𝐵 − 𝑟𝑡𝐵 − 𝑕𝑡 𝑇 − 𝑡 𝐵 = 0

Equivalentemente,

𝜕𝐴

𝜕𝑡= 𝑕𝑡 𝑇 − 𝑡 −

1

2𝜎2 𝑇 − 𝑡 2. (3.32)

Es relevante destacar que al suponer una solución de la forma (3.31), la ecuación

diferencial de segundo orden en B, expresada en (3.30), se ha transformado en una

ecuación diferencial ordinaria de primera orden, dada en (3.32). La solución de la

ecuación diferencial ordinaria en (3.33) está dada por

𝐴 𝑡,𝑇 = − 𝑕𝑠𝑇

𝑡 𝑇 − 𝑠 𝑑𝑠 +

1

6𝜎2 𝑇 − 𝑡 3 (3.33)

77

En virtud de (51.4), A (t, T) – rt (T-t)= ln B (t,T), donde se desprende que

𝑕𝑠𝑇

𝑡 𝑇 − 𝑠 𝑑𝑠 = −𝑙𝑛𝐵 𝑡,𝑇 +

1

6𝜎2 𝑇 − 𝑡 3 − 𝑟𝑡 𝑇 − 𝑡 .

O en forma alternativa, en términos de la curva de rendimiento R (t,T),

𝑅 𝑡,𝑇 𝑇 − 𝑡 = 𝑕𝑠𝑇

𝑡 𝑇 − 𝑠 𝑑𝑠 −

1

6𝜎2 𝑇 − 𝑡 3 + 𝑟𝑡 𝑇 − 𝑡 . (3.34)

De esta manera, se considera ht que se podría determinar R (t, T). Sin embargo, ht no es

conocida. ¿Que se puede hacer para resolver esta problema? la forma de contestar esta

pregunta es justamente la contribución de Ho y Lee, como se verá en la siguiente

sección.

III.8 Calibración de una curva inicial de ceros

Se supone que σ ha sido estimada por algún método de inferencia estadística. La función

hs(0)

se elegirá de tal manera que sea consistente con los valores de B (0, T) = e-R(0,T)T

,

obtenidos en t = 0. Es decir, se desea determinar hs(0)

de tal manera que satisfaga (3.34),

esto es,

𝑕𝑠 0 𝑇

0 𝑇 − 𝑠 𝑑𝑠 = −𝑙𝑛𝐵 0,𝑇 +

1

6𝜎2𝑇3 − 𝑟0𝑇. (3.35)

Como se puede observar, la expresión anterior es una ecuación integral en hs(0)

Esta

ecuación ln B (0,T) es conocido y sólo el miembro izquierdo es desconocido. Este

razonamiento contiene justamente toda la esencia del modelo de Ho y Lee. Aunque la

ecuación (2.7) se deriva en el marco del equilibrio general, la calibración de hs(0)

con B

(0, T) = e-R(0,T)T

rompe con dicho marco. Por esta razón, este tipo de modelos son

conocidos como de no arbitraje. Una forma de resolver la ecuación integral (3.35) es

calculando sus dos primeras derivadas. Con el fin de derivar (3.35) con respecto de T,

denote el integrando de (3.12), por un momento, como 𝑔 𝑇 − 𝑠 = 𝑕𝑠 0 𝑇 − 𝑠 .

78

En este caso, la regla de Leibnitz conduce a

𝜕

𝜕𝑇 𝑔𝑇

0 𝑇, 𝑠 𝑑𝑠 =

𝜕

𝜕𝑇𝑔

𝑇

0 𝑇, 𝑠 𝑑𝑠 + 𝑔 𝑇,𝑇

𝜕𝑇

𝜕𝑇− 𝑔 𝑇, 0

𝜕0

𝜕𝑇;

𝜕

𝜕𝑇 𝑔𝑇

0

𝑇, 𝑠 𝑑𝑠 = 𝑕𝑠 0 𝑑𝑠.

Por lo tanto, la derivada parcial de (3.35) con respecto de T, está dada por

𝑕𝑠 0 𝑇

0𝑑𝑠 = −

𝜕

𝜕𝑇 𝑙𝑛𝐵 0,𝑇 +

1

2𝜎2𝑇2 − 𝑟0. (3.36)

Si se deriva de nuevo (3.12), con respecto a T, se encuentra que

𝑕𝑇 0 = −

𝜕2

𝜕𝑇2 𝑙𝑛𝐵 0,𝑇 + 𝜎2𝑇,

o bien en términos de la tasa forward instantánea

𝑕𝑇 0 =

𝜕

𝜕𝑇 𝑓 0,𝑇 + 𝜎2𝑇 (3.37)

Lo anterior significa que la tasa corta se moverá, en promedio, en la dirección de la

pendiente de la tasa forward.

Para encontrar A (t, T), se escribe primero (3.37) sustituyendo t en lugar de T, es decir,

𝑕𝑡 0 = −

𝜕2

𝜕𝑡 2 𝑙𝑛𝐵 0, 𝑡 + 𝜎2𝑡 (3.38)

ó

𝑕𝑡 0 =

𝜕

𝜕𝑡 𝑓 0, 𝑡 + 𝜎2𝑡

De esta manera, la dinámica estocástica de la tasa corta no presenta reversión a la media.

Observe que si la pendiente de la tasa forward es positiva, entonces ht(0)

es positiva.

Mientras que si la pendiente de la tasa forward es negativa y grande en valor absoluto,

entonces ht(0)

podría ser negativa. Ahora bien, en virtud de (3.38), el término integral en

(3.12) satisface

79

𝑕𝑠 0 𝑇

0 𝑇 − 𝑠 𝑑𝑠 = −

𝜕2

𝜕𝑠2 𝑙𝑛𝐵 0, 𝑠 + 𝜎2𝑠 𝑇

𝑡 𝑇 − 𝑠 𝑑𝑠,

𝑕𝑠 0 𝑇

0 𝑇 − 𝑠 𝑑𝑠 = − 𝑇 − 𝑠

𝑇

𝑡

𝜕2

𝜕𝑠2 𝑙𝑛𝐵 0, 𝑠 𝑑𝑠 + 𝑠𝑇

𝑡 𝑇 − 𝑠 𝑑𝑠;

𝑕𝑠 0 𝑇

0 𝑇 − 𝑠 𝑑𝑠 = −𝑇

𝜕2

𝜕𝑠2

𝑇

𝑡𝑙𝑛𝐵 0, 𝑠 𝑑𝑠 + 𝑠

𝑇

𝑡

𝜕2

𝜕𝑠2 𝑙𝑛𝐵 0, 𝑠 𝑑𝑠 +𝜎2

6 𝑇3 − 3𝑇𝑡2 + 2𝑡3 (3.39)

La segunda integral puede resolverse mediante la integración por partes, como sigue:

𝑠𝑇

𝑡

𝜕2

𝜕𝑠2 𝑙𝑛𝐵 0, 𝑠 𝑑𝑠 = 𝑠𝜕

𝜕𝑠𝑙𝑛𝐵 0, 𝑠 | 𝑇

𝑡−

𝜕

𝜕𝑠

𝑇

𝑡𝑙𝑛𝐵 0, 𝑠 𝑑𝑠,

𝑠𝑇

𝑡

𝜕2

𝜕𝑠2𝑙𝑛𝐵 0, 𝑠 𝑑𝑠 = 𝑇

𝜕

𝜕𝑇𝑙𝑛𝐵 0,𝑇 − 𝑡

𝜕

𝜕𝑡𝑙𝑛𝐵 0, 𝑡 − 𝑙𝑛𝐵 0,𝑇 + 𝑙𝑛𝐵 0, 𝑡 .

En consecuencia, la integral en (3.39) satisface

𝑕𝑠 0 𝑇

𝑡 𝑇 − 𝑠 𝑑𝑠 = −𝑇

𝜕

𝜕𝑇

𝑇

𝑡𝑙𝑛𝐵 0,𝑇 + 𝑇

𝜕

𝜕𝑡𝑙𝑛𝐵 0, 𝑡 + 𝑇

𝜕

𝜕𝑇𝑙𝑛𝐵 0,𝑇 − 𝑡

𝜕

𝜕𝑡𝑙𝑛𝐵 0, 𝑡 − ln

𝐵 0,𝑇

𝐵 0,𝑡 +

𝜎2

6 𝑇3 − 3𝑇𝑡2 + 2𝑡3 (3.40)

𝑕𝑠 0

𝑇

𝑡

𝑇 − 𝑠 𝑑𝑠 = 𝑇 − 𝑡 𝜕

𝜕𝑡𝑙𝑛𝐵 0, 𝑡 − ln

𝐵 0,𝑇

𝐵 0, 𝑡 +

𝜎2

6 𝑇3 − 3𝑇𝑡2 + 2𝑡3 .

Se sustituye (3.40) en (3.33), se obtiene que

𝐴 𝑡,𝑇 = ln 𝐵 0,𝑇

𝐵 0, 𝑡 − 𝑇 − 𝑡

𝜕

𝜕𝑡𝑙𝑛𝐵 0, 𝑡 −

𝜎2

6 𝑇3 − 3𝑇𝑡2 + 2𝑡3 +

𝜎2

6 𝑇 − 𝑡 3

ó

𝐴 𝑡,𝑇 = ln 𝐵 0,𝑇

𝐵 0,𝑡 − 𝑇 − 𝑡

𝜕

𝜕𝑡𝑙𝑛𝐵 0, 𝑡 −

𝜎2

2𝑡 𝑇 − 𝑡 2 (3.41)

III.9 Calibración de la curva de rendimiento

Una vez que la tendencia se ha calibrado con una curva de rendimiento conocida, en

virtud de (3.34), la curva de rendimiento está dada por:

𝑅 𝑡,𝑇 =1

𝑇 − 𝑡 𝑕𝑠

0 𝑇

𝑡

𝑇 − 𝑠 𝑑𝑠 −1

6𝜎2 𝑇 − 𝑡 3 + 𝑟𝑡 𝑇 − 𝑡 ,

es decir,

80

𝑅 𝑡,𝑇 =𝜕

𝜕𝑡𝑙𝑛𝐵 0, 𝑡 −

1

𝑇−𝑡ln

𝐵 0,𝑇

𝐵 0,𝑡 +

1

2𝜎2𝑡 𝑇 − 𝑡 + 𝑟𝑡 (3.42)

o en términos de l tasa forward

𝑅 𝑡,𝑇 = −𝑓 0, 𝑡 −1

𝑇−𝑡ln

𝐵 0,𝑇

𝐵 0,𝑡 +

1

2𝜎2𝑡 𝑇 − 𝑡 + 𝑟𝑡 . (3.43)

En la práctica se utiliza en (3.38) y en (3.43) la aproximación

−𝑓 0, 𝑡 =𝜕

𝜕𝑡𝑙𝑛𝐵 0, 𝑡 ≈

𝑙𝑛𝐵 0,𝑡+∆𝑡 −𝑙𝑛𝐵 0,𝑡

∆𝑡 (3.44)

Con Δt pequeña.

Bajo esta aproximación es usual cambiar el término de segundo orden en t, σ2t (T-t) / 2,

por el término modificado σ2t [T-t-Δt] / 2. Las cantidades que se refieren al tiempo cero,

a saber B (0, t), B (0, t+Δt) y B (0, T) representan precios en un periodo anterior; las

cantidades referenciadas al tiempo t se consideran disponibles en el presente. Si al día

siguiente se presentan cambios en el mercado es recomendable estimar ht(0)

y el

parámetro de volatilidad. La metodología de Ho y Lee es muy popular y no se puede

pedir más cuando se trabaja con modelos de calibración con un solo factor de

incertidumbre.

En la práctica, los tiempos 0 y t se pueden pensar de dos formas. Por un lado, el tiempo

cero es una fecha anterior y t es el presente, en el momento que se conoce rt. De esta

manera R (t, T) es la curva de rendimiento actual. Por otro lado, el tiempo cero puede ser

presente y t es una fecha futura. En este caso se debe conocer toda la curva de

rendimiento actual, R (0, T), y se tiene que estimar rt. De esta manera R (t, T) es una

curva de rendimiento estimada para una fecha futura t. A fin de estimar rt en una fecha

futura se puede utilizar, con base en (3.38),

𝑟𝑡 = 𝑟0 + 𝜕

𝜕𝑠

𝑡

0

𝑓 0, 𝑠 𝑑𝑠 +𝜎2

2𝑡2 + 𝜎 𝑑𝑊𝑠

𝑡

0

,

equivalentemente

𝑟𝑡 = 𝑓 0, 𝑡 𝑑𝑠 +𝜎2

2𝑡2 + 𝜎𝑤𝑡 ,

81

Ya que f (0,0) = r0. En este caso, se tiene la siguiente aproximación

𝐸 𝑟𝑡|ℱ𝑡 ≈ −1

∆𝑡ln

𝐵 0, 𝑡

𝐵 0, 𝑡 + ∆𝑡 +

1

2𝜎2𝑡2 .

III.10 El precio de un bono cupón cero

En esta sección se determina el precio de un bono cupón cero asociado al modelo de tasa

corta de Ho y Lee. A partir de (3.8) se sigue que

𝐵 𝑡,𝑇 = 𝑒𝑥𝑝 ln 𝐵 0,𝑇

𝐵 0,𝑡 − 𝑇 − 𝑡

𝜕

𝜕𝑡𝑙𝑛𝐵 0, 𝑡 −

𝜎2

2𝑡 𝑇 − 𝑡 2 − 𝑟𝑡 𝑇 − 𝑡 (3.45)

Para fines prácticos, la aproximación (3.21) también puede ser utilizada en este caso.

Tasa forward

A continuación se calcula la tasa forward asociada al modelo de tasa corta de Ho y Lee.

Considere la identidad

𝑓𝑇

𝑡

𝑡, 𝑠 𝑑𝑠 = −𝑙𝑛𝐵 𝑡,𝑇 = 𝑅 𝑡,𝑇 𝑡 − 𝑡 .

Después de derivar la expresión anterior con respecto a T, se sigue que

𝑓 𝑡,𝑇 = 𝑅 𝑡,𝑇 + 𝑇 − 𝑡 𝜕

𝜕𝑇𝑅 𝑡,𝑇 ,

𝑓 𝑡,𝑇 =𝜕

𝜕𝑡𝑙𝑛𝐵 0, 𝑡 −

1

𝑇 − 𝑡ln

𝐵 0,𝑇

𝐵 0, 𝑡 +

1

2𝜎2𝑡 𝑇 − 𝑡 + 𝑟𝑡 +

1

𝑇 − 𝑡ln

𝐵 0,𝑇

𝐵 0, 𝑡 −

𝜕

𝜕𝑇𝑙𝑛𝐵 0,𝑇

+1

2𝜎2𝑡 𝑇 − 𝑡 ;

𝑓 𝑡,𝑇 =𝜕

𝜕𝑡𝑙𝑛𝐵 0, 𝑡 −

𝜕

𝜕𝑇𝑙𝑛𝐵 0,𝑇 + 𝜎2𝑡 𝑇 − 𝑡 + 𝑟𝑡 .

82

Dinámica de la tasa corta

En esta sección se determina la dinámica estocástica de la tasa corta. En virtud de que

𝑕𝑡 =𝜕

𝜕𝑡𝑓 0, 𝑡 + 𝜎2𝑡 (3.46)

se tiene

𝑑𝑟𝑡 = 𝜕

𝜕𝑡𝑓 0, 𝑡 + 𝜎2𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡.

Es decir, la tendencia de la tasa corta está dada por la pendiente de la tasa forward más

un término lineal en t.

83

Cuadro 11: Regresión Lineal de los Precios observados de agosto de 2005 a agosto

de 2010

Resumen

Estadísticas de la regresión

Coeficiente de correlación múltiple 0.999599962

Coeficiente de determinación R^2 0.999200083

R^2 ajustado 0.999199516

Error típico 0.044163813

Observaciones 1413

ANÁLISIS DE VARIANZA

Grados de libertad Suma de cuadrados Promedio de los cuadrados F Valor crítico de F

Regresión 1 3437.69804 3437.69804 1762522.185 0

Residuos 1411 2.752074258 0.001950442

Total 1412 3440.450114

Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Inferior 95% Superior 95% Inferior 95.0% Superior 95.0%

Intercepción 0.009944458 0.005432522 1.830541862 0.067379766 -0.000712229 0.020601146 -0.000712229 0.020601146

Variable X 1 0.999001157 0.000752486 1327.60016 0 0.997525044 1.000477269 0.997525044 1.000477269

84

Figura 2 Comparativo de los precios observados de 2005 – 2010

En comparación de los precios que se observaron durante cinco años, nos muestra una

diferencia del año 2010 con respecto a los años anteriores el cual el más significativo el

de 2010 con respecto al 2009, donde se muestra en la gráfica que la línea de inferior es

de 2009 y la línea superior es del 2010.

Interpretando este resultado podemos denotar que la calibración de los precios en el

2010 resulta mejor que para la calibración de los precios del 2009.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

1

55

10

9

16

3

21

7

27

1

32

5

37

9

43

3

48

7

54

1

59

5

64

9

70

3

75

7

81

1

86

5

91

9

97

3

10

27

10

81

11

35

11

89

12

43

12

97

13

51

14

05

Ho & Lee 2005

Ho & Lee 2006

Ho & Lee 2007

Ho & Lee 2008

Ho & Lee 2009

Ho & Lee 2010

85

Figura 3 Seguimiento de los precios observados desde 2005 hasta 2010

El comportamiento de la línea es ascendente, lo que podemos deducir que los precios desde 2005

hasta 2010, representan una buena calibración en el trayecto de los cinco años

86

Figura 4: Comparativo de Ho & Lee contra CIR

En este gráfico se muestra que haciendo una comparación con el modelo CIR (Cox-Ingersoll-

Ross), el modelo de Ho & Lee, esta mejor calibrado y que los precios se observan con mayor

claridad.

0.080

0.082

0.084

0.086

0.088

0.090

0.092

0.094

0.096

0.098

1

19

37

55

73

91

10

9

12

71

45

16

3

18

1

19

9

21

72

35

25

3

27

1

28

9

30

73

25

34

3

36

1

37

9

39

74

15

43

3

45

1

46

94

87

50

5

52

3

54

1

55

95

77

59

5

61

3

63

1

64

96

67

68

5

70

3

72

1

73

97

57

77

5

79

3

81

1

82

98

47

86

5

88

3

90

1

91

99

37

95

5

97

3

99

1

10

09

10

27

10

45

10

63

10

81

10

99

11

17

11

35

11

53

11

71

11

89

12

07

12

25

12

43

12

61

12

79

12

97

13

15

13

33

13

51

13

69

13

87

14

05

14

23

CIR

Ho & Lee

87

Conclusiones

Se concluye que, en los modelos de la estructura a plazo, los modelos de un factor son

manejables, argumentando que una única variable no es suficiente para captar bien la

dirección de los cambios futuros de la curva del rendimiento. Señalando que el proceso

conjunto de dos factores se eligió por la facilidad del manejo analítico, más que por su

realismo empírico.

La habilidad de que un modelo de estructura a plazo capte el aspecto estocástico de la

volatilidad del tanto de interés es una buena señal de su utilidad como medida de

cobertura. A veces, es posible obtener fórmulas analíticas para los precios de los bonos y

títulos derivados.

Los modelos gaussianos, que tienen una volatilidad determinísticas, y son aceptados por

su fácil manejo, tienen también inconvenientes, porque existe una probabilidad positiva

de que existan tantos de interés negativos. Los modelos log-normales admiten tantos de

interés positivos, pero la cuenta monetaria puede tener un valor esperado igual a infinito.

En este trabajo queda demostrado cómo con un modelo general de tasa de corta puede

ser implementado y calibrado con datos de mercado. El proceso de calibración incluye la

selección de la forma funcional del modelo de estructura temporal que mejor se adapte a

los precios de dentro y fuera del dinero de opciones

En esta situación si un modelo normal se utiliza la probabilidad de las tasas a ser

negativa es muy grande, mientras que si un modelo log normal se utiliza las

volatilidades debe ser superior al 100% para captar la variabilidad observada de los

tipos. Un modelo log normal con estos grandes volatilidades implica que tasas será muy

variable cuando se levantan por encima del 1%. Esta cuestión se examina en más detalle

en Hull y White (1997).

88

El procedimiento de supercalibración, descrito en este documento se encuentra en el

mismo espíritu del implícito árbol metodología para opciones sobre acciones

desarrolladas por Derman, Kani y Chriss (1996), y Rubinstein (1994).

Esto puede dar lugar a un modelo que refleja con mayor precisión la forma en la

estructura temporal realidad evoluciona. Es un modelo que mejor reproduce observa

precios de mercado. Hay una serie de puntos de vista sobre lo que es mejor en la

adaptación de un modelo a los datos. Esto significa que los parámetros de volatilidad no

debe ser función del tiempo y que forma funcional del modelo no debería cambiar con el

tiempo.

El comportamiento de los modelos con estas propiedades son las mismas en el futuro

como lo es ahora. Sin embargo, si restringimos nosotros mismos para modelos

inmóviles, sólo se puede utilizar con precios observados de mercado. En el otro extremo

está lo que podríamos llamar vista del comerciante que el modelo debe encajar

exactamente todos los precios de las opciones observadas.

El comportamiento futuro del modelo puede ser muy diferente de sus características

actuales. En particular, el futuro de las volatilidades implícitas de opción, el modelo

puede ser muy diferente de las volatilidades vistas hoy en día. La opinión es que en un

enfoque moderado deben tomarse en la adaptación de un modelo para precios

observados de opción, no afecta gravemente el futuro comportamiento del modelo y

permite un buen ajuste a los precios actuales.

89

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