Tesis Lianggi Espinoza_ Una evolución de la analiticidad de las funciones TESIS MAESTRIA

i

CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DE ESTUDIOS AVANZADOS DEL INSTITUTO POLITÉCNICO

NACIONAL Unidad Distrito Federal

Departamento de Matemática Educativa

UNA EVOLUCIÓN DE LA ANALITICIDAD DE LAS FUNCIONES EN EL SIGLO XIX. UN ESTUDIO

SOCIOEPISTEMOLÓGICO.

Tesis que presenta

Lianggi Luis Espinoza Ramírez

Para obtener el Grado de

Maestro en Ciencias

en la especialidad de Matemática Educativa

Director de la Tesis: Dr. Ricardo Cantoral Uriza

México, Distrito Federal Octubre 2009

Agradecimientos

ii

AGRADECIMIENTOS

En nuestro entorno científico, la evidencia habla más que las ideas. Cada vida es una

historia. La mía quizás sea algo peculiar. Durante tres años viví una vida sin sentido,

sumergido en diversas adicciones y en exagerada violencia. Sin embargo, mi vida

cambió. Después de tres años en los que mi racionalidad me decía que no había solución

para mi caso, en los que fui el peor de mi clase y el caso perdido para mis profesores, el

“sin esperanza”, a mis diecisiete años mi vida cambió. ¿Cómo alguien que por más de dos

años no llevaba incluso cuadernos a la escuela podría aspirar a seguir una carrera

académica? En mi situación las posibilidades eran mínimas. Sin embargo, finalice una

carrera como uno de los mejores de mi generación, fui escogido en una selección

nacional en Chile para realizar estudios en Francia, y fui becado por mi país para realizar

estos estudios de postgrado en México. ¿Cómo poder explicar un cambio tan radical en

mi vida? Por estos motivos expreso mi agradecimiento en primer lugar a Dios, por

haberse mostrado en mi vida tal cual es, una realidad muy diferente a la que se expresa

por medio de la religión y la filosofía, pues más que una fe es una realidad. Gracias Jesús

por haberte entregado para que ocurriera este cambio tan increíble en mí, por haberme

devuelto la vida y regalarme sueños de justicia por los cuales vivir y por enseñarme con tu

vida como vivirlos. Gracias por mostrarte diariamente, a través de distintas

circunstancias, tan real y palpable, con evidencias tan consistentes que no queda lugar a

la razón de dudar de tu existir. Gracias porque en ti encuentro mis fuerzas para luchar

por ver un mundo más honesto, más justo, menos individualista y más solidario.

Quiero agradecer de manera especial a dos personas que son totales protagonistas en

esta historia, a mis padres. Luis, tu inteligencia y creatividad son admirables, eres el

hombre más ingenioso que he conocido. Estoy convencido que de ti heredé la

inteligencia que se puede reconocer en mí. Amada, tu entrega y capacidad de amar no

tienen límites. De ti recibí el deseo de invertir mi vida por amor en otros. A mis padres, a

quienes las circunstancias de la vida no fueron una escusa para dar lo mejor de sí mismos

para sus hijos, agradezco y dedico esta tesis.

Agradezco a mis hermanos, quienes conocen mejor que nadie mis cualidades y grandes

defectos, pero que a pesar de esto me aman tal cual soy. Sepan que la distancia nos ha

hecho más cercanos. Davies, gracias por ser mi hermano mayor, mi admiración, ejemplo y

Agradecimientos

iii

guía en todas mis decisiones. Krass, gracias por ser mi hermano menor y alegrar mis días

a través de tus sueños y tu vida.

Agradezco a una gran familia que Dios me ha regalado, con quienes he luchado por

tantos años hombro a hombro por la Revolución de Jesucristo en Valparaíso, Chile.

Ustedes se han convertido en parte de mí, sus ejemplos han formado mi carácter y sus

vidas me inspiran a luchar con mayor pasión y alegría. Gracias Hugo y Oriana por ser para

mí como unos segundos padres. Gracias a los que fueron un sustento, un refrigerio,

amigos de verdad en mi lejanía de nuestra amada cuidad, Valparaíso.

Agradezco a una nueva familia, a aquellos que han marcado mi vida en mi estancia en

México. Venticuatrosiete y PuntoNet, gracias por permitirme compartir con ustedes

todas aquellas aventuras y locuras, esos sueños y experiencias de cambiar al mundo y

hacer historia por medio de las buenas noticias de la cruz. Ustedes son parte esencial de

esta tesis, pues juntos recorrimos miles de kilómetros conociendo diferentes maneras de

vivir y pensar, diferentes lenguajes e ideologías, en las Sierras de México y por

Centroamérica, entendiendo que hay una esperanza para que este mundo sea diferente,

y que esta esperanza se encuentra en Jesús. Gracias por mostrarme el valor de la

verdadera amistad, gracias por enseñarme nuevas maneras de vivir. Gracias en especial

Timmy, por ser un verdadero amigo y ejemplo de entrega por la verdad y la justicia.

Agradezco a la comunidad del Cinvestav, por haber encontrado aquí un colectivo que

comparte un mismo sueño y trabaja en conjunto para lograrlo. Gracias a mis compañeros,

por haber compartido conmigo las experiencias más diversas. Gracias por la amistad.

Gracias Karla por el enorme apoyo recibido en mi distancia de mi hogar. Admiro sus

enormes capacidades y sus vidas. Gracias a mis maestros, de manera especial a Francisco

Cordero, quién nunca tuvo alguna escusa para no atenderme y permitirme aprender de

él. También de manera especial gracias Lalo, Tere, Darly, Jano y Dani, ustedes saben

todos los motivos que tengo para estar agradecidos de ustedes, de los cuales lo primero

es la amistad.

Nombres a quienes agradecer son muchos. Tú sabes que te tengo muy presente en estas

líneas…

Agradecimientos

iv

Finalizo agradeciendo a Ricardo Cantoral, junto a quién elaboré esta investigación.

Ricardo, no dimensionas cuanto he aprendido de ti y no sabes cuánto disfrutaba cada

sesión de tesis. Has sido mucho más que un director de tesis, has sido un ejemplo de vida,

de liderazgo, lucha y consecuencia. Gracias por vislumbrar desde la plataforma científica

una expresión del ideal de justicia que compartimos.

Atentamente…

Lianggi Espinoza Ramírez

México D.F.

Octubre de 2009

v

INDICE

Resumen 1

Abstract 2

Introducción 3

CAPÍTULO 1. El problema, sus antecedentes y algunas consideraciones teóricas y

metodológicas.

6

1.1 Explicación del problema 8

1.2 Antecedentes 12

1.3 Consideraciones teóricas y metodológicas 17

CAPÍTULO 2. Lagrange y la analiticidad en una manera de ver al conocimiento

matemático como relativo al conocimiento sensible del mundo.

36

2.1 Su obra didáctica, la teoría de las funciones analíticas. 38

2.2 Una obra escrita por la contingencia sociopolítica y laboral del momento 41

2.3 La mecánica, el contexto de significación de su discurso matemático escolar 47

2.3.1 El contexto de significación de la obra: la mecánica 50

2.3.2 Evidencias en el artículo de 1772 54

2.4 El significado que tiene para Lagrange la representación analítica. 58

CAPÍTULO 3. Un quiebre y el comienzo de una nueva manera del ver el hacer

matemáticas

65

3.1 La crítica a Lagrange, una publicación para fundamentar una nueva

construcción

67

3.1.1 La crítica de Cauchy a la Teoría de las Funciones Analíticas de Lagrange 67

3.1.2 El por qué de la crítica: la argumentación de una nueva construcción

matemática.

71

3.2 Una nueva arquitectura matemática que rechaza el conocimiento sensible del

mundo

74

3.2.1 El contenido de la obra 75

3.2.2 El rechazo intencional al conocimiento sensible del mundo 77

Índice

vi

3.2.3 Una mirada de su producción didáctica en conjunto 79

3.2.4 Una construcción matemática desarrollada por una necesidad de difusión

escolar

80

3.2.5 El por qué de la interrupción de su producción didáctica 80

3.3 El desprendimiento de lo sensible, una expresión del pensamiento monárquico

de su tiempo

82

3.3.1 El apego de Cauchy a las ideas conservadoras. 83

3.3.2 La negativa a firmar juramento ante el régimen revolucionario 84

3.3.3 El desprendimiento de lo sensible del conocimiento matemático, una

expresión de su postura política y filosófica alineada a la Monarquía.

85

3.4 La concepción de Cauchy sobre el conocimiento matemático 86

3.4.1 Los límites del conocimiento humano 87

3.4.2 ¿Un límite en las ciencias matemáticas? 91

3.4.3 Un viraje de lo inductivo a lo deductivo 92

3.5 El contexto de significación del curso de análisis de Cauchy 94

CAPÍTULO 4. Un conflicto causado por la confrontación de dos racionalidades del

conocimiento matemático

97

4.1 Un teorema demostrado y la existencia de contraejemplos 99

4.1.1 El teorema de series de Cauchy 99

4.1.2 Los contraejemplos de Fourier 100

4.1.3 Cauchy demuestra la convergencia de los contraejemplos de Fourier 101

4.2 Abel y la denuncia pública de las “excepciones” al teorema de Cauchy 101

4.3 El lema oculto y la solución de la paradoja. Seidel a la escena. 103

4.4 ¿Por qué los matemáticos de la época no pudieron ver esta relación de los

procesos de límites involucrados?

105

CAPÍTULO 5. Weierstrass y la analiticidad en una mirada de la matemática

desprendida del conocimiento sensible del mundo.

110

5.1 La representación analítica de funciones arbitraras y su significación

probabilística.

112

5.1.1. Sobre la posibilidad de representar analíticamente funciones arbitrarias de 112

Índice

vii

variable real.

5.1.2 La relación de la demostración con la modelación del error de Gauss (1822) 115

5.1.3 La significación probabilística en la demostración de Bernstein (1913) 117

5.2 Un breve recorrido en la evolución de las ideas en la construcción matemática

de Weierstrass.

118

5.2.1 Sus ideas iniciales y trabajo como profesor de secundaria. 118

5.2.2 Un cambio radical, Weierstrass como profesor en la universidad de Berlín 120

5.2.3 Hacia la representación analítica de funciones arbitrarias 121

5.2.4 La publicación científica del teorema en 1885 122

5.2.5 La difusión del teorema en 1885 125

5.3 Rigor, estructura, y generalidad. El contexto de significación del teorema de

Weierstrass

126

5.3.1 La idea germinal, la definición de un número irracional 126

5.3.2 La generalidad y la estructura encontrada en el camino del rigor 128

5.3.3 ¿Por qué fue tan importante para la analiticidad de las funciones la

variable compleja?

129

5.4 Las funciones analíticas 131

5.4.1 Definición de función analítica dada por Weierstrass 131

5.4.2 Significación de la analiticidad como representación polinomial 132

5.5 Un desarrollo en una nueva Racionalidad 133

5.5.1 Lo fenomenológico, la evolución de la noción de función 133

5.5.2 La generalidad, el abandono del espacio físico hacia un espacio analítico. 135

5.5.3 Lo evolutivo, de la función como centro del estudio a la función como un

elemento que describe la naturaleza del espacio de funciones continúas.

136

5.5.4 Una nueva racionalidad del conocimiento matemático 137

CAPÍTULO 6. Aportaciones a la construcción social de la analiticidad y al discurso

matemático escolar

138

6.1 Aportaciones a la construcción social de la analiticidad de las funciones. 140

6.1.1 La analiticidad como una práctica social 140

6.1.2 El cambio de racionalidad, un camino necesario para concebir la

analiticidad de las funciones.

145

Índice

viii

6.2 Aportaciones al discurso matemático escolar 149

6.2.1 Los contextos de significación en la evolución estudiada 150

6.2.2 Elementos para significaciones del conocimiento en su difusión escolar. 152

6.2.3 Elementos para la articulación curricular: del cálculo a la topología. 154

CAPÍTULO 7. Aportaciones a la Socioepistemología: la Racionalidad y los

Contextos de Significación. Conclusiones.

157

7.1 La Racionalidad, un elemento para el rediseño del discurso matemático escolar

en base a una epistemología de prácticas.

160

7.2 Los Contextos de Significación: una herramienta teórica para entender la

significación en escenarios socioculturales

162

7.3 Comentarios finales y conclusiones. 163

7.3.1 La intencionalidad didáctica del Cálculo 164

7.3.2 Consideraciones metodológicas para la investigación en matemática

educativa.

165

7.3.3 Profundizaciones de la investigación y sus posibles rumbos posteriores. 166

7.3.4 La referencia hacia lo contextual y al “contexto” 167

Referencias bibliográficas 169

Anexo A Algunos acontecimientos sociopolíticos franceses (1670 – 1840)

Anexo B Sobre la posibilidad de representar analíticamente funciones

arbitrarias. Weierstrass, 1885.

Anexo C Prefacio de la teoría de las funciones analíticas. Lagrange, 1797.

Anexo D Crítica a la obra de Lagrange. Cauchy, 1822.

ix

“Las ideas tienen consecuencias”

Darrow L. Miller, miembro de FHI, Fundación contra el hambre internacional

“No os conforméis al mundo actual, sino transformaos por medio de la renovación de vuestro entendimiento, para que comprobéis lo que es

bueno, agradable y perfecto” Romanos 12:2

Resumen

ix

RESUMEN

Esta investigación estudia la evolución de la analiticidad de las funciones en un escenario

histórico, en el periodo comprendido entre Lagrange y Weierstrass. La analiticidad de las

funciones es un hilo conductor que vincula al cálculo con los inicios de la topología.

Nuestro interés es el rediseño del discurso matemático escolar en base a una

epistemología de prácticas. Por esto buscamos las prácticas que norman la producción y

evolución del conocimiento, con el fin de desarrollar una construcción social de la

analiticidad de las funciones. Evidenciamos como la práctica de conocer lo que no se

conoce con base en lo que se conoce, la que entendemos como la Analiticidad, es una

práctica social normativa en la construcción de la fundamentación del cálculo.

Para el estudio fabricamos una secuenciación de obras matemáticas desde 1772 hasta

1885. Para cada obra, se hizo un estudio Socioepistemológico para entender cuáles son

las intencionalidades subyacentes de los conocimientos y sus ideas germinales,

considerando los mecanismos de producción y difusión de las mismas. La variable

sociocultural mostró incidir significativamente en la construcción de los conocimientos

matemáticos. De aquí la consideración de los acontecimientos sociopolíticos en los

cuales se produjeron las obras estudiadas. Un resultado de esta indagación es la

caracterización de la noción Socioepistemológica de contexto de significación,

entendida como el ámbito en el cual una persona o colectivo significa cierto

conocimiento. Otro resultado fue, al entender que la “manera de ver” al conocimiento es

situada a los contextos en los cuales se producen los conocimientos, la teorización en

torno a la noción de racionalidad, la cual entendemos como una manera de ver,

argumentar y validar al conocimiento científico. Al respecto evidenciamos que la

racionalidad es contextualizada, que media la manera de mirar al conocimiento y que la

naturaleza epistemológica de los conocimientos es relativa a cierta racionalidad.

La presenta investigación aporta: a) información relevante de las ideas germinales y los

contextos de significación de las obras estudiadas, b) una construcción social de la

analiticidad de las funciones en base a una epistemología de prácticas; c) precisa la

noción Socioepistemológica de contexto de significación, e introduce la noción de

racionalidad, elementos que se muestran relevantes para considerar en el rediseño del

discurso matemático escolar.

1

Abstract

2

ABSTRACT

This research studies the evolution of the Analyticity of functions in a historic context

between Lagrange and Weierstrass periods. The Analyticity of the functions joins the

calculus with the beginnings of topology. Our interest is the redesign of mathematical

school discourse based on the epistemology of practice. In this way we look for the

practices that rule the production and evolution of knowledge, with the aim of

developing a social construction of the Analyticity of functions. We have witnessed how

the practice of to know what we do not know based on what we know, which we

understand as Analyticity, is a normative social practice in the construction of the

foundations of calculus.

For the present study we produce a sequence of mathematical works from 1772 to 1885.

For each work, a Socioepistemological study was made to understand which are the

underlying intentionalities of the knowledge and their germinal ideas, considering the

production and diffusion mechanisms of them. The sociocultural variable showed a

significant impact on the construction of mathematical knowledge. Hence the

consideration of socio-political events which occurred in the works studied. One result of

this research is the characterization of the Socioepistemological notion of significance

context, defined as the area in which an individual or collective means certain

knowledge. Another result was, as we understand that "seeing how" knowledge is

situated at the contexts in which knowledge is produced, theorizing about the notion of

rationality, which it is understood as a way to view, arguing and validate scientific

knowledge. In this regard we witness that rationality is contextualized, mediating the

way of looking at knowledge and how the epistemological nature of knowledge is

relative to some rationality.

The present research provides: a) relevant information of the germinal ideas and the

significance context of the works studied, b) a social construction of the Analyticity of the

functions based on an epistemology of practice; c) defines the notion

Socioepistemological of significance context, and introduces the notion of rationality,

elements that are important to see in the redesign of mathematical school discourse.

Introducción

3

INTRODUCCIÓN

En la actualidad estamos enfrentando desafíos de envergadura en torno a la educación a

nivel mundial. Los procesos de globalización están incidiendo hacia una homogenización

de la enseñanza, a través de diferentes nociones que están en boga: estándares,

competencias, mapas de progreso, etc. Sin embargo, la investigación en matemática

educativa está mostrando lo contextual del aprendizaje humano. El humano aprende con

una racionalidad contextualizada (Cantoral, 2009). Esta situación nos plantea un gran

reto: Planear algún mecanismo que permita unificar respetando la diversidad,

estandarizar conservando la colectividad. Ante esta cuestión, plantear un abandono en la

centración de los objetos matemáticos y su naturaleza epistemológica, prefiriendo una

epistemología de prácticas relativa a la construcción social de los conocimientos

matemáticos, es una alternativa. Las prácticas pueden ser un constructor unificador que

permita una expresión diferente de los mismos conocimientos en cada contexto, en cada

realidad, a cada mundo.

De esta manera, nuestro enfoque teórico, la Socioepistemología, necesita elementos

teóricos que permitan entender las diferentes realidades, los diferentes contextos, estos

diferentes mundos. Estos diferentes mundos se pueden encontrar en diversas

expresiones culturares (como también en las llamadas subculturas) tanto hoy en día

como a través de la historia. Este interés de acercarnos a la realidad de otros, en nuestro

caso en la historia, fue el punto de partida de nuestra investigación. El buscar entender la

“mirada de otro” nos llevo a teorizar sobre lo que entendemos por racionalidad, la cual

entendemos como una manera de ver, validar y argumentar al conocimiento. La

racionalidad es contextualizada, por tanto media la construcción del conocimiento

matemático.

Este acercamiento a la historia requirió de una mirada sociocultural. Como mostraremos

a lo largo de esta investigación, lo sociocultural incide significativamente tanto en la

construcción del conocimiento matemático como en su difusión institucional. ¿Qué

relación existe entre una revolución política y la producción de métodos matemáticos?,

¿o entre el debate intelectual entre dos corrientes políticas antagónicas y la creación de

la teoría matemática? Estas interrogantes serán respondidas en esta investigación.

Introducción

4

También, este acercamiento requirió de entender cómo ciertos conocimientos

matemáticos se dieron a luz y se desarrollaron, cuáles fueron sus ideas germinales y sus

medios de significación. Estas cuestiones no se encuentran explícitamente en los

conocimientos, pues los procesos de transposición en conjunto con la corriente de

formalización hacen que estos se escondan en la historia. Nuestra tarea es poder indagar

para entender estos asuntos que la historia ha olvidado. Por esto el interés de acercarnos

a la historia.

El interés de estudiar a la analiticidad de las funciones obedece al reconocimiento que

existe sobre esta como un hilo conductor normativo en la construcción del cálculo que

precede (antónimo) a la práctica social de predicción (Cantoral, 2001), en el abandono

de los conceptos y la atención hacia las prácticas propuestas por la Socioepistemología.

De esta manera, buscamos entender la evolución de la analiticidad de las funciones,

entendiendo por Analiticidad la práctica social de conocer lo que no se conoce con base

en lo que se conoce. Esta práctica social norma la construcción del conocimiento

matemático en el periodo de Lagrange a Weierstrass, considerando casi 150 años de

historia, años en los que se produjeron los acontecimientos sociopolíticos que definieron

la estructura organizativa de la sociedad actual, la aspiración a la democracia. Entender

la evolución de la analiticidad de las funciones en este periodo es de interés para aspirar

a un rediseño del discurso matemático escolar actual basado en una epistemología de

prácticas.

En el capítulo uno de esta tesis explicaremos cómo llegamos a este problema de estudio.

También comentaremos sobre algunos antecedentes relevantes para la investigación,

como también algunas consideraciones teóricas y metodológicas.

Después presentaremos la evolución estudiada, organizada en base a diferentes

racionalidades del conocimiento matemático. El capítulo dos presentaremos la obra

didáctica de Lagrange, la Teoría de las funciones analíticas de 1797, considerándola

como nuestro punto de partida en el estudio de la evolución de la analiticidad de las

funciones. Situamos a esta obra en una racionalidad del conocimiento matemático que

lo considera como relativo al conocimiento sensible del mundo. Después presentaremos

en el capítulo tres la nueva arquitectura del cálculo presentada por Cauchy en 1821, la

cual aparece como una respuesta del autor a sus críticas a la obra didáctica de Lagrange.

Aquí se evidencia el comienzo de una nueva racionalidad del conocimiento matemático,

Introducción

5

considerándolo desprendido de este conocimiento sensible. En el capítulo cuatro

mostraremos un episodio de la historia en el cual la confrontación de éstas dos

racionalidades del conocimiento matemático comentadas se enfrentan, causando que un

teorema demostrado por Cauchy y sus contraejemplos (Lakatos, 1976) coexistieran por

toda una generación de matemáticos. De este conflicto nace la noción de convergencia

uniforme. Para terminar nuestro recorrido, en el capítulo cinco se evidenciará en

plenitud esta nueva racionalidad del conocimiento matemático, considerado como

desprendido del conocimiento sensible del mundo, en conjunto con la obra de

Weierstrass y la más alta expresión de la analiticidad de las funciones, con la

demostración de su teorema sobre la representación analítica de funciones arbitrarias

(1885).

Después sintetizamos las aportaciones de la investigación. En el capítulo seis

presentamos una construcción social de la analiticidad de las funciones, con conjunto

con las aportaciones de la investigación al discurso matemático escolar. En el capítulo

siete finalizamos con las aportaciones de la investigación a la Socioepistemología: la

racionalidad y los contextos de significación, y las conclusiones finales del estudio.

Esta investigación es un recorrido por la historia por los acontecimientos sociopolíticos y

los debates ideológicos de épocas que capitalizaron el cálculo como lo entendemos hoy

en día. En este recorrido descubriremos elementos que permiten entender la

significación de los conocimientos y la evolución de la racionalidad del conocimiento

matemático en diferentes escenarios históricos…

6

CAPÍTULO 1

EL PROBLEMA, SUS ANTECEDENTES Y ALGUNAS

CONSIDERACIONES TEÓRICAS Y METODOLÓGICAS.

7

CAPITULO 1

EL PROBLEMA, SUS ANTECEDENTES Y ALGUNAS CONSIDERACIONES TEÓRICAS Y

METODOLÓGICAS.

La perspectiva desarrollada en la presente investigación requiere de la siguiente

precisión: ¿Por qué mirar a la analiticidad y no a un objeto matemático como la derivada,

la integral o las series de funciones?, ¿Por qué poner la atención en algo que no es un

objeto matemático? La respuesta a este asunto corresponde a la perspectiva sobre la cual

se ha desarrollado esta investigación, la aproximación Socioepistemológica (Cantoral y

Farfán, 2003). Una de las preguntas fundamentales de esta teoría es la siguiente: ¿Existe

una manera matemática de pensar que pueda ser difundida socialmente? (Cantoral,

2009). Esta ha llevado a la investigación Socioepistemológica a descentrar su atención de

los objetos matemáticos y de su naturaleza epistemológica, privilegiando una

epistemología de prácticas asociada a la construcción de los conocimientos matemáticos

(Montiel, 2005).

Este privilegio por una epistemología de prácticas se hace muy relevante en un escenario

histórico, pues permite develar lo que la misma historia esconde, esto es, las

significaciones que dieron origen al conocimiento matemático. Entender la historia

desde una mirada de objetos matemáticos estáticos y poco relativos a las dimensiones

socioculturales, cegará los ojos del investigador de la historia misma. Una mirada más

social permita explicar, más que la evolución de conceptos, la construcción social del

conocimiento matemático. Esto permitirá acercar al conocimiento a la realidad de cada

persona y su entorno sociocultural.

Con esta aclaración, presentamos a continuación la explicación del cómo se gestó

nuestro problema de investigación, los antecedentes que fueron relevantes, y las

consideraciones teóricas y metodológicas de este estudio, siendo estas últimas una

construcción de la investigación y parte de sus aportaciones teóricas para la

Socioepistemología.

El problema, antecedentes, consideraciones teóricas y metodológicas_ Capítulo 1

8

1.1 EXPLICACIÓN DEL PROBLEMA

Nuestro problema de investigación se gestó en el curso de un seminario de investigación

del Análisis Matemático, desarrollado en el departamento de Matemática Educativa del

Cinvestav-IPN, México. En un grupo de 16 investigadores en formación y un experto

discutimos sobre la importancia que tienen los polinomios en la matemática, relativa a la

representación analítica de funciones trascendentes. En base a esta importancia

desarrollamos actividades, en torno a la visualización matemática (Espinoza y García,

2008), para desarrollar un lenguaje gráfico relativo al uso de los polinomios en el cálculo

(Cantoral y Montiel, 2001). Después de esto reflexionamos en torno a la significación

escolar que tienen las aproximaciones polinomiales, organizadas como aproximación

puntual, local y global (Figura 1.1)

Figura 1.1

En relación a la aproximación puntual y local, existen resultados de investigaciones que

han proveído significaciones escolares, de las cuales ya se han desarrollado propuestas

didácticas para el aula (Cantoral y Montiel, 2003). Sin embargo, para el caso de la

aproximación global no existe en este momento una significación escolar que nazca de la

investigación. Por esta razón comenzamos a desarrollar investigación para encontrar

alguna significación de esta aproximación, que nos permitiera construir una explicación

escolar. La ruta que escogimos para comenzar nuestro estudio fue la de los polinomios

de Bernstein.

S. N. Bernstein (1880-1968) fue un matemático nacido en el Imperio Ruso. En 1913,

publica un artículo titulado “Démostration du théorème de Weierstrass fondée sur le

calcul des probabilités1", en el cual, mediante el uso de la esperanza de una distribución

Aproximación local

Series de Taylor Aproximación global

Teorema de Weierstrass

Aproximación puntual Interpolación de Lagrange

Una evolución de la analiticidad de las funciones en el siglo XIX. Un estudio socioepistemológico

9

binomial, brinda una manera para construir polinomios que converjan uniformemente a

una función continua cualquiera. En la demostración del teorema original, Weierstrass

(1885) demuestra que existe la posibilidad de representar analíticamente una función

continua cualquiera mediante polinomios, pero no muestra una manera de encontrarlos.

Bernstein plantea la esperanza matemática de la siguiente manera:

2

(Bernstein, 1913, p.1)

Después de lo cual, en cortas dos planas de demostración, plantea que una función

continua cualquiera )(xF en el intervalo 1,0 , puede ser representada como la suma de

una serie de polinomios, de la siguiente manera:


Este teorema es fácilmente ampliable para cualquier intervalo real ba, .

Con esto de base, nos preguntamos si podríamos construir alguna explicación escolar de

la aproximación global en base a los polinomios de Bernstein. Esto lo hicimos en un

trabajo que duro 8 semanas, en donde estudiamos la publicación original, libros

didácticos actuales que realizan tratamientos considerando estos polinomios,

publicaciones en revistas de la disciplina al respecto, sus aplicaciones para problemas de

la física, experimentaciones con programas de geometría dinámica y una exhaustiva

búsqueda en Internet sobre desarrollos teóricos y didácticos sobre el tema. El resultado

del trabajo fueron algunos acercamientos a significaciones escolares, basados en la

visualización y en explicaciones probabilísticas. Sin embargo, nuestra mayor conclusión

fue la dificultad de desarrollar una explicación escolar de este asunto. Esto nos llevó a

1 “Demostración del teorema de Weierstrass fundado sobre el cálculo de probabilidades”

2 nE hace alusión a la esperanza matemática y !)!(

!

nnm

mC m

n

.


10

intentar entender esta dificultad en la naturaleza epistemológica de este conocimiento

matemático.

Al considerar la publicación de Weierstrass (1885), pusimos atención en que el autor

afirma la “posibilidad” de representar analíticamente una función arbitraria, más no en el

cómo hacerlo. ¿Por qué le habrá interesado al autor afirmar que la posibilidad existe, sin

saber cómo hacerlo?, nos preguntamos. Nuestra respuesta, que fue con la que

terminamos este seminario de investigación, fue que tanto para Bernstein y Weierstrass,

sus resultados son de interés en un dominio teórico más que práctico. Esta hipótesis de

investigación la fundamentamos en tres argumentaciones, las cuales pueden ser

estudiadas en el Anexo A.

Esta hipótesis fue la que motivó la presente investigación, pues apunta a entender cómo

el autor de una obra antigua entendía su producción. Al comenzar a profundizar en la

obra de Weierstrass (1815-1897), nos percatamos de un asunto que nos causó mucho

interés. La obra de Weierstrass es un desenlace, una síntesis de los conocimientos

matemáticos del cálculo, muestra una naturaleza más cercana a los conocimientos de la

Topología matemática que al Análisis matemático, como lo conocemos en la actualidad.

Esto nos llamó mucho la atención, pues en la actualidad la enseñanza del cálculo se

encuentra completamente desvinculada de la enseñanza de la topología matemática.

En el Instituto de Matemáticas de la Universidad PUCV de Valparaíso-Chile, se imparte la

carrera de profesor de matemáticas para nivel Medio3. En su formación matemática, los

futuros profesores cursan dos cursos de Cálculo, y tres cursos de Análisis Matemático en

los cuales se trabajan los principios topológicos de los contenidos vistos en Cálculo. Los

índices de reprobación crecen de manera considerable cuando los estudiantes pasan de

los cursos de Cálculo a los de Análisis Matemático. Pareciera existir una barrera

“intelectual” entre estos cursos que causa el crecimiento de la reprobación. Esta

situación particular causó un mayor interés en investigar la vinculación percibida en la

obra de Weierstrass con la obra general del Cálculo y su vinculación con la Topología

matemática.

Con estos aspectos nos propusimos hacer un estudio de corte histórico-

Socioepistemológico que nos permitiera entender esta vinculación percibida en la

3 Para alumnos de 14 a 17 años de edad.


11

lectura de la obra de Weierstrass. Por esto comenzamos a desarrollar un viaje por la

historia de la matemática, con el siguiente fin:

Entender la evolución de la analiticidad de las funciones, de manera de

encontrar una línea conceptual que nos permitiera vincular los conceptos del

Cálculo y el Análisis Matemático con los inicios de la Topología Matemática

¿Qué episodios estudiar?, fue la pregunta inicial. La respuesta que desarrollamos la

explicamos a través del siguiente esquema (Figura 1.2)

Figura 1.2

Pensando en la evolución de la analiticidad de las funciones, decidimos considerar estos

cinco episodios reseñados en la línea de tiempo anterior, por considerar su relevancia en

tal evolución. Nuestro punto de partida es la teoría de las funciones analíticas de

Lagrange (1797). En esta obra el autor, por primera vez, plantea el desarrollo de una

función en una serie de Taylor. Esta obra es relevante, pues por primera vez se considera

a la derivada como una función más que un cociente, considerando como método para el

cálculo las leyes del álgebra, de lo cual emerge la necesidad de tener representaciones

de funciones cualquiera que puedan ser trabajadas con las reglas del álgebra. Después

consideramos como segundo episodio la crítica que hace Cauchy (1822) a la obra de

Lagrange. Cauchy, en esta publicación, muestra como existen algunas funciones que no

permiten un desarrollo en series de Taylor, y que por tanto la teoría de Lagrange

contiene resultados “del no todo correctos”. En efecto, muestra como teoremas


12

demostrados en base a la teoría de Lagrange son de alcance limitado. De aquí que

Cauchy desarrolla una nueva construcción para el análisis y el cálculo (Cauchy, 1821,

1823, 1826, 1829), la cual tiene una nueva arquitectura y una nueva piedra basal: su

definición de continuidad. Esto constituye el tercer episodio considerado.

Esta nueva arquitectura propuesta por Cauchy trae algunos conflictos que su época no

pudo enfrentar. Esto es, la demostración de la continuidad de la función límite de una

serie de funciones continuas, teorema validado por su época, a pesar de los

contraejemplos existentes al teorema encontrados en la teoría de Fourier (1822). Este

teorema y contraejemplos, demostrados por el mismo Cauchy (1826b), fueron aceptados

por veinticinco años, hasta que el matemático Seidel en 1846 resolviera el conflicto,

dando nacimiento al concepto de convergencia uniforme. Este es nuestro cuarto

episodio. Después, es la convergencia uniforme la que tiene una notable incidencia en el

desarrollo de la concepción de analiticidad, en particular en la obra de Weierstrass. Este

Weierstrass, después de una larga producción didáctica y con setenta años, demuestra

en 1885 que existe la posibilidad de representar analíticamente una función arbitraria

mediante funciones polinomiales. Este teorema viene a sintetizar todo un desarrollo

conceptual y a abrir nuevas líneas de investigación en la matemática. Este es nuestro

quinto episodio considerado.

1.2 ANTECEDENTES

En relación a lo analítico, Cantoral (1990, 2001) desarrolla un estudio sobre la formación

social de la analiticidad. Esta obra la consideramos como germinal en los planteamientos

bases de la aproximación Socioepistemológica, en lo relativo al viraje de los conceptos a

las prácticas (Cantoral, Farfán, Lezama y Martínez, 2006; Covián, 2005; Montiel, 2005). El

estudio desarrolla un extenso estudio histórico, en el cual estudia el periodo desde los

inicios del cálculo hasta la formalización de Cauchy, con mayor énfasis y profanidad en

los desarrollos de la física del movimiento del siglo XVIII. De esta manera, sus últimas

obras estudiadas en profundidad fue la Teoría de las Funciones Analíticas de Lagrange y

la crítica que Cauchy hace a esta obra de Lagrange. Estas obras son el punto de partida

de nuestro estudio. De aquí es que nuestro estudio completa, en el aspecto

epistemológico, el estudio de la analiticidad de las funciones en términos de su

desarrollo conceptual.


13

El estudio reporta las ideas que dieron comienzo a la matematización del movimiento, lo

cual se capitalizó en lo analítico, en base a la visión del autor, con Lagrange. En efecto,

Oresme (1323-1382) fue un francés y uno de los principales fundadores y divulgadores

de las ciencias modernas. Este representó “lo que varía” mediante una cantidad continua

representada por movimientos rectilíneos. Es aquí el primer eslabón identificado por

Cantoral en la concepción de lo que será la noción de función analítica, entendido como

una función factible de ser estudiada por el análisis. Newton (1643-1727), entre otras

cosas físico ingles que estableció las bases de la mecánica clásica, fue el que asoció el

manejo de las series infinitas al estudio de las velocidades del cambio. De esta manera las

series infinitas nacen como una necesidad funcional para el estudio del movimiento. En

este planteamiento Newton planteó como objetivo de la mecánica el predecir cierta

evolución sin plantear a causas inherentes del movimiento, argumento propio del

planteamiento pre-newtoniano. Cantoral hace un recorrido detallado comenzando por

el estudio del movimiento de Galileo (año 1638), la gravitación universal de Newton

(año 1686), los estudios de hidrodinámica de Euler (año 1749), de la figura de la tierra de

D´Clairaut (año 1743), del movimiento y el equilibrio de los fluidos de D´Alambert (año

1752) y a la propagación del calor en cuerpos sólidos de Fourier (año 1822) (Cantoral,

2001).

Sigue mostrando Cantoral como después se produjo la necesidad de explicaciones

mediante el descubrimiento de leyes que regulan el comportamiento de los fenómenos,

de modo que predigan el desarrollo ulterior de lo observable. De aquí que el

pensamiento matemático reconstruya y reorganice la relación entre predicción y

analítico mostrada anteriormente como una necesidad funcional. Aquí el

reconocimiento de esta articulación se da como un algoritmo infinitesimal mediante el

cual se revelan sus leyes a la razón (Cantoral, 2001). Estos estudios permiten que

predicción se pueda controlar cada vez con más eficiencia. Siempre la predicción de un

comportamiento en base a un primer estado inicial. La idea estaba en encontrar las leyes

que gobiernan el cambio de magnitudes en sus expresiones más sencillas. Es aquí donde

podemos ubicar la obra de Lagrange (1797) como una reorganización de la matemática

de su época tomando la idea germinal de la predicción como elemento que sustenta su

construcción matemática relativa al desarrollo de funciones en series de Taylor.

Es aquí donde se encuentra una herramienta matemática que permite identificar

diferentes racionalidades de lo analítico en la evolución del cálculo. De aquí que la


14

interpretación de analítico como una representación polinomial es “una” de muchas

interpretaciones posibles, las cuales se hacen visibles al considerar la relación dialéctica

entre la predicción y lo analítico y a la serie de Taylor como una herramienta matemática

que expresa el significado conceptual y contextualizaciones características de esta

relación. Cantoral (2001) reconoce las siguientes racionalidades de la noción de lo

analítico, relativas a la relación con la predicción y a la serie de Taylor como herramienta:

a) El modelo de la regularidad binomial, en donde se desarrolla la predicción en

base a regularidades de desarrollos binomiales, como el triángulo de Pascal o el

binomio de Newton, y en donde la serie de Taylor aparece implícitamente.

b) El modelo variable variación, que consiste en reconocer y utilizar

sistemáticamente la idea de que la parte contiene la información del todo. Aquí

el estudio de la variación instantánea de una magnitud proporciona una

información integral del fenómeno. Los conceptos de fuerza, aceleración,

diferencial, integral y fluxión pertenecen a esta expresión de lo analítico, y la

serie de Taylor se relaciona con el teorema fundamental del cálculo.

c) El modelo de predicción paramétrica, en donde se determina el estado futuro

vecino con la información actual de facto. Conocer un valor y sus variaciones

permite predecir el estado futuro vecino. La serie de Taylor como tal pertenece a

este modelo, en el sentido explicado.

d) El modelo de evolución paramétrica, que consiste, teniendo un estado inicial

conocido, en determinar las leyes que rigen el comportamiento del sistema. Aquí

se encuentra la teoría de ecuaciones diferenciales, los inicios del análisis

complejo y la mecánica de los medios continuos, en donde se estudia las

variables relativas a las descripciones físicas del movimiento de cuerpos,

partículas, fluidos, calor, electricidad, magnetismo, a través de un método

esbozado en modelos matemáticos.

e) El modelo de aproximación polinomial, que se caracteriza por el intento de

reducir el cálculo de las funciones al cálculo de polinomios. Este modelo es el

considerado en el problema inicial que dio origen a esta investigación, y es de

donde nació la problemática del presente estudio. Aquí, la serie es el instrumento

de aproximación y el residuo el error de la medida.

f) El modelo de metamorfosis funcional, que ya no aproxima, sino que remplaza a la

función por una expresión polinomial. Aquí la noción de función aparece como


15

función arbitraria, y precisa como elemento que valida la igualdad a la

convergencia, poniendo la atención en el residuo de la serie.

g) El modelo de generalización inductiva, en donde la serie de Taylor pasa a ser

parte de una construcción teórica, y en donde se organiza el conocimiento hasta

la fecha en una nueva arquitectura del análisis basada en continuidad y la noción

de límite.

h) El modelo de analiticidad compleja. En donde se extienden los resultados a la

variable compleja, área que se fundamenta sólo en series de potencias. Aquí

existe la noción de continuidad analítica, y los resultados de la serie de Taylor son

utilizados con regularidad.

Por tanto, la noción de “analítico” es mucho más amplia que referirse a las funciones

analíticas o a representaciones analíticas, y tiene diferentes significaciones en base a la

evolución misma del cálculo. Es en esta evolución en la que se constituye paulatinamente

y adquiere su significación epistémica actual. Ésta se hace explícita hacia finales del siglo

XVII y alcanza su madurez conceptual en el siglo XVIII.

En diferentes momentos la articulación de la predicción con la analiticidad otorgaba

diferentes significaciones, en base a diferentes prácticas de referencia y contextos de

significación del conocimiento. Ahora, lo que le interesa a un estudio

Socioepistemológico es entender las circunstancias que permitieron que el

conocimiento se construyera como se construyó (Cantoral, 2001, p.xxiii). Por esto, no es

suficiente recuperar solamente los significados y la génesis histórica de los conceptos,

sino que también es necesario entender aquellos elementos que hicieron posible su

construcción. (Cantoral, 2001, p.1) En este sentido, los procesos del conocimiento

matemático que se orientan vía el pensamiento físico, en relación a los fenómenos de

flujo continuo de la naturaleza, requieren de “entender los mecanismos funcionales que

operan la relación dialéctica entre las nociones de “predicción” propia de las ciencias

físicas y de la ingeniería y de lo “analítico” peculiar de las matemáticas” (Cantoral, 2001

p. viii) A este mecanismo el autor le llama la prœdiciere, que se conforma en la acción y

efecto de predecir el estado vecino a la luz de los datos que nos provee el conocimiento

de estado de facto, en base al reconociendo de regularidad de patrones, que nos

permiten reconocer al todo sólo con mirar la parte, y que alcanza sus formulaciones más

nítidas en la forma de “lo analítico”. Por tanto la prœdiciere no es la predicción como tal,


16

sino aquello que nos permite predecir. Es decir, la prœdiciere se constituye como una

práctica social.

Para la Socioepistemología, una práctica social es aquélla que tiene un carácter

normativo sobre el conocimiento, es aquélla que permite entender el por qué el

conocimiento se construyó como se construyó (Covián, 2005, p.65). En efecto, “lo que

normó el pensamiento matemático avanzado por tres siglos fue la noción de “El

prœdiciere”, llegando a normar la relación existente entre la predicción y lo analítico”

(Covián, 2005, p.69) Ésta normó la relación entre la predicción y lo analítico desde la

época de Galileo hasta la época reportada por Cauchy, y en cada ocasión manifestó una

significación diferente de lo que es cada una de ellas. De esta manera, el carácter

normativo de la prœdiciere es el que permite observar estas distintas significaciones de

la predicción y lo analítico en diferentes periodos del desarrollo del cálculo. Quizás sea

difícil visualizar a la prœdiciere en este proceso. Pues, ésta no se puede nombrar, es

invisible, pero se siente y la misma construcción del cálculo aludida da evidencia invisible

de esta práctica social.

Esta práctica social es la idea germinal de la mecánica, ya sea de los cuerpos celestes,

terrestres, partículas o medios continuos, y del cálculo en su sentido amplio. Entender

esto permite una base de significaciones para los conceptos y procesos matemáticos, de

manera de incidir en el discurso matemáticos escolar y su didáctica en aula (Cantoral,

2001, p.1)

Además, en relación a la interpretación epistemológica de las obras, destacamos como

antecedentes vitales para nuestra investigación los siguientes:

Delambre (1867), quién escribió “Notice sur la vie et les œuvrages de M. Le Comte J.

L. Lagrange4" en el prefacio de la publicación de sus obras completas. Éste fue un

matemático de primer nivel en su época, secretario perpetuo de la Academia de

Ciencias de París, y conocedor profundo de las obras de Lagrange. En este escrito, su

autor sintetiza aspectos de su vida y su obra.

Dhombres, publicó en 1994 su escrito “el rigor o cómo se construye una realidad” a

modo de prefacio en la traducción al español de los cursos de matemáticas de

4 Registro sobre la vida y las obras del señor, el conde J. L. Lagrange


17

Cauchy. Dhombres presenta reflexiones interesantes de la historia de Cauchy como

de su adhesión a los pensamientos sociopolíticos de su época.

Dugac (1973) publica en los archivos de la historia de las ciencias exactas el artículo

“Eléments d´analyse de Karl Weierstrass”5. Este historiador ha estudiado el periodo

de la producción matemática en la segunda mitad del siglo XIX. Este periodo fue

difícil para nuestra investigación, ya que la mayoría de la literatura a estudiar se

encontraba en idioma alemán y ruso. Dugac publica en este artículo, en francés,

información muy relevante de la formación, la carrera académica y la producción de

Weierstrass.

Lakatos (1976), en su obra “pruebas y refutaciones” presenta todo un análisis del

acontecimiento conocido como el error de Cauchy. El análisis desarrollado por

Lakatos fue nuestra plataforma para lograr fundamentar la crisis producida por un

problema matemático que nació en una época que no lo pudo entender.

1.3 CONSIDERACIONES TEÓRICAS Y METODOLÓGICAS.

Como ya hemos anunciado, nuestro interés es poder entender el cómo los autores de las

obras entendieron sus obras, más que hacer una mirada retrospectiva desde nuestra

mirada actual del conocimiento. Cada individuo tiene un mundo diferente y cada cultura

tiene su historia. El esfuerzo de mirar desde el mundo del otro es un intento necesario

para nuestra investigación. Nuestro interés, más que entender la obra matemática…

5 Elementos del Análisis de Karl Weierstrass


18

Es entender como el autor mira su obra…

Es verla desde los sus ojos…

Es mirarla desde su mundo en vez del nuestro

¿Es que podemos encontrar alguna manera de abandonar nuestras significaciones y

poder entender el cómo los autores significaban sus obras matemáticas? La respuesta

afirmativa a esta interrogante plantea todo un desafío teórico y metodológico. Si bien,

para algunos epistemólogos de las ciencias este intento es imposible (Dhombres, 1994),

desde nuestra perspectiva es un intento necesario y deseable, en el sentido de poder

estudiar la didáctica inmersa en escenarios socioculturales (Cantoral y Farfán, 2003). De

esta manera, más que hablar del significado de cierto conocimiento, hablaremos de la

significación que tiene cierto conocimiento en cierto contexto de significación.

?

(Cauchy, 1821)

?

(Lagrange, 1797)

?


19

1.3.1 La “significación” del conocimiento matemático relativa a lo contextual

A diferencia de la Matemática, la Matemática Educativa abandona la preocupación de la

validez de los enunciados matemáticos para tomar dirección hacia la comprensión. Si

nuestra problemática es la comprensión, entonces el significado aparece como un

elemento central, pues entender un concepto es concebido como el acto de adquirir un

significado (Sierpinska, 1990, citado en Dámore, 2005). Como mostraremos a

continuación, la articulación de los procesos de construcción de significado con lo social

que se desarrolla en base al planteamiento Socioepistemológico, hace que la noción de

“significación” de los conocimientos matemáticos tome una relevancia especial por

sobre la noción clásica de “significado”.

Para la postura clásica y tradicional, el conocimiento es concebido como una relación

convencional entre signos y entidades concretas e ideales que existen

independientemente de los signos lingüísticos (Godino y Batanero, 2004, citado en

Dámore, 2005), y por tanto, la existencia de los objetos matemáticos suponen una

realidad conceptual independiente del ser humano. Aquí el conocimiento matemático es

un sistema de verdades seguras, no modificable por la experiencia humana. Esto es una

visión platónica realista del conocimiento matemático. En este planteamiento “conocer”

significa “descubrir” un conocimiento ya existente (Dámore, 2005, p.4). Por tanto, como

el conocimiento es fijo, ya tiene su significación intrínseca. Aquí hablamos de

“significado” como tal. Si la matemática es estática, su significado es intrínseco a su

estructura lógica. Estamos en presencia de un significado auto referenciado por

implicancias lógicas. Por tanto, el significado de un enunciado deriva de la aceptabilidad

de su veracidad, y esto en base a leyes lógicas fijas. Unas de las expresiones de la

concepción realista es el abandono de la preocupación del significado, por ser

autodefinido, desviando el interés a la estructura deductiva y formal, en base a la cual se

usa este significado. De esta manera, la significación misma del conocimiento no es un

problema, pues, al estar considerados los problemas y enunciados matemáticos, el

problema se vuelve entonces en desarrollar, en base a estos, nuevos problemas y

enunciados matemáticos.

Esta visión realista del conocimiento científico tiene implicancias. Una de estas es que

oculta intencionalmente la historia del conocimiento. El movimiento de los años setenta,

con personajes como Lakatos, Toulmin, Kuhn y otros (López, 2005), criticaron duramente


20

esta visión platónica del conocimientos y se manifestaron a favor de la historicidad del

conocimiento científico. Esta visión es ampliamente compartida por nosotros. Si estamos

apuntando a la comprensión, entonces no podemos omitir la historia intrínseca al

conocimiento científico. Si el conocimiento tiene historia, entonces el significado mismo

del conocimiento variará en base a lo temporal. Para ciertos episodios iE históricos, el

conocimiento tendrá un cierto significado iS asociado. De esta manera ya no podremos

hablar del “significado” del conocimiento como tal, sino que la perspectiva se amplía a

considerar los “procesos de comprensión de significado”. Esto nos lleva a posicionarnos

en una dirección “pragmática” del conocimiento matemático, en donde el significado

varía con base al contexto y al uso del conocimiento. En esta perspectiva, es en base a los

usos del conocimiento, que podremos hablar de significado del conocimiento (D´amore,

2005, p.5)

Ahora bien, el carácter socio de la presente investigación lleva esta cuestión del

significado más allá. Si bien, esta visión más pragmática del conocimiento matemático

cambia la idea de lo estable y fijo del conocimiento matemático, no logra cambiar de raíz

el problema de la articulación de lo social en este proceso. Es decir, se logra dotar a la

matemática de una dimensionalidad histórica, pero sigue presente el problema de la

difusión institucional, la construcción social del conocimiento, los mecanismos

aprendizaje y la misma socialización del saber científico. ¿Por qué esta articulación con

lo social causa conflicto? Respondemos que es porque se ha asumido que la racionalidad

no tiene que ver con el contexto específico. Cuando entendemos la dimensión

contextual de la racionalidad, el “significado” es una noción que necesita una ampliación

a lo sociocultural.

De esta manera, más que el “significado”, el interés está en la construcción de

significados en un contexto específico con una racionalidad situada a éste, y donde el

conocimiento tiene un significado iS específico relativo al contexto iC . Es por esto que

más que hablar de significado, utilizaremos la noción de “significación”, la cual es

entendida como un proceso de adquisición progresiva del significado, proceso que está

situado a cierto contexto en base al cual el significado iS variará en función de iC .

Dejar de considerar al conocimiento como fijo y estático, y comenzar a entenderlo como

una variable en función de lo temporal, así como inherente al él su uso, podemos


21

embonarlo con los procesos sociales de construcción del conocimiento con base en esta

noción de “significación”. De facto, la esencia epistémica del conocimiento no está

separada de esta dimensión social, pues el conocimiento matemático lo entendemos

como un producto de las dinámicas sociales. Es más, las prácticas mismas contienen

conocimiento científico. Al considerar el conocimiento como variable a la dimensión

temporal y su articulación con lo social, la noción de “significado” queda restringida. Es

por esto que la noción de “significación”, que permite embonar estos procesos, contiene

y extiende la noción de significado.

Al plantear el carácter situado de la significación, es donde podemos referirnos a los

contextos de significación del conocimiento matemático.

1.3.2 La racionalidad entendida como una “manera de ver” al conocimiento.

Ahora bien, el referirnos a la significación del conocimiento matemático, supone cierta

racionalidad relacionada a este proceso de significación. Lo sociocultural influye en la

manera de pensar y actuar de las personas, moldeando de cierta manera y

condicionando sustancialmente sus acciones y pensamientos. De aquí que, en un

escenario sociocultural, se pueden identificar ciertas significaciones colectivas. De aquí

que la construcción del conocimiento es representativo del escenario sociocultural en el

que se gesta (Crespo, 2007). Nuestra investigación ha revelado en relación a la

racionalidad que, la “manera de ver” al conocimiento científico es determinante en la

significación que otorgan las personas a sus producciones matemáticas. Es por esto que

nos vimos en la necesidad de precisar lo que estamos entendiendo por racionalidad, la

cual tiene diferentes acepciones desde la perspectiva filosofía y la de la psicología

experimental.

Desde una perspectiva filosófica, el debate de la racionalidad se refiere a los

mecanismos de la validación del conocimiento. El cuestionamiento está en el saber cómo

sé que se algo, dejando de lado a la persona que comprende. De esta manera define los

modos para aceptar un enunciado como válido, dejando de lado la variable humana.

En esta perspectiva se encuentra, por ejemplo, el planteamiento de Toulmin (1972), en

donde se entiende por racionalidad la atribución de ciertas razones a ciertas acciones o

creencias. La atención está puesta en el sistema de razones que consideran a un


22

conocimiento como válido. En esta perspectiva las razones asociadas a esta validación no

se asocian solamente al pensamiento lógico o formal, sino que también considera como

razones plausibles a la intuición, la funcionalidad, la emoción, una experiencia personal

profunda, el consenso de una multitud, creencias arraigadas, concepciones mágicas o

metafísicas, la fe, el sentido común o incluso una corazonada (Toulmin, 1972; Villoro,

1989) Esta ampliación en las razones de la racionalidad hace a esta noción más

enriquecedora, pues el planteamiento clásico, centrado en las formas lógicas de la razón,

resulta destructivo para la comprensión histórica y la crítica racional.

“Los hombres demuestran su racionalidad no ordenando sus conceptos y

creencias en rígidas estructuras formales, sino por su disposición a responder

a situaciones nuevas con espíritu abierto, reconociendo los defectos de sus

procedimientos anteriores y superándolos”

(Toulmin, 1972, p.12)

Este entendimiento de la racionalidad trastoca el entendimiento de un resultado

científico ¿Es que cierto conocimiento se puede fundamentar sólo en razones objetivas, o

es que siempre ocultan nuestras más racionales creencias, voluntad y deseos personales?

(Villoro, 1989). En esta línea Toulmin (1972) se pregunta sobre en qué medida nuestros

conceptos derivan de la experiencia sensorial. Estas preguntas apuntan a tener una

mirada del conocimiento relativa a la historia de los sujetos y la humanidad, y logra una

mirada más proclive a un análisis histórico más empírico y pragmático. Es en esta

dirección que el autor reflexiona como en ciertos periodos históricos, entre ellos el siglo

XVII, la confianza de los resultados no era sólo científica sino también filosófica, pues

había una concepción unificada del conocimiento y el conocer de los humanos (Toulmin,

1972). También comenta que durante el siglo XVI, los argumentos razonables y bien

sustentados tenían tanta aceptación como las demostraciones matemáticas más

rigurosas, que simplemente respondían a necesidades diferentes (Chamizo, 2007) pero

que en el siglo XVII la racionalidad lógica desplazó tal equidad para darle mayor valor y

reconocimiento a lo lógico. Esta variabilidad temporal de los sistemas de validez del

conocimiento, como veremos más adelante, se relacionará con una cierta “manera de

ver” al conocimiento científico en ciertos contextos históricos.

Es interesante considerar la evolución de las ideas desde la década de los setenta hasta

nuestros tiempos. En (Toulmin, 2003, citado en Chamizo, 2007), se debate la racionalidad


23

en base a un esquema de lo racional y lo razonable, adjuntando en esta última la

dimensión del humano en el estudio de las estructuras de validez del conocimiento. Aquí

se evidencia el intento de reconocer lo razonable que hay en los seres humanos, llegando

a que las racionalidades “relativas” remplazan la ambición de una racionalidad absoluta

del pensamiento.

Este último planteamiento se encuentra en la dirección la acepción de la racionalidad de

la psicología experimental, la cual entiende la racionalidad en el sentido del cómo piensa

el ser humano. En esta dirección, los psicólogos experimentales han criticado el concepto

tradicional de la racionalidad, entendida por la capacidad de realizar procesos

inferenciales cuyo funcionamiento se realiza con base en principios normativos

abstractos, tales como las reglas de la lógica, la probabilidad, los cálculos matemáticos,

las reglas gramaticales, etc. De esta manera, se distancian de la consideración de lo

racional como una manera uniforme del pensamiento, en base a reglas abstractas y

universalmente aplicables (Stein, 1996, citado en Cantoral, 2009), apuntando hacia una

visión alternativa de la racionalidad, en la cual se debe entender los principios

normativos del razonamiento dentro de los contextos específicos bajo lo que se realiza

una inferencia (Cantoral, 2009). Esta tesis se sostiene en base a diversas evidencias que

muestran como el pensamiento humano es contextual, por ejemplo, la de Stein (1996,

citado en Cantoral, 2009). Todo esto apunta a criticar la suposición de la existencia de

una racionalidad universal en el pensamiento humano. Por tanto, se entiende que las

personas aprenden y piensan de manera contextualizada, lo que nos lleva a apuntar a

una noción de “racionalidad contextualizada”, aspirando con esta hacia una mejor

explicación de los procesos de significación aludidos anteriormente.

En base a estos planteamientos, lo que entendemos por racionalidad en esta

investigación es una síntesis y evolución de estos puntos de vista. La racionalidad será

entendida como una “manera de ver”, una “manera de entender”, una “manera de

pensar” al conocimiento matemático, donde nuestra intencionalidad es entender los

principios normativos del pensamiento en contextos específicos, planteando una

racionalidad contextualizada (Cantoral, 2009), y considerando como razones válidas para

esta racionalidad un ámbito más amplio que el lógico y el formal, considerando también

aspectos de funcionalidad, consenso, validez, heurísticas, etc. (Toulmin, 1972; Villoro

1989)


24

Ahora bien, si nos planteamos la noción de racionalidad contextualizada, al igual que en

el caso de la significación contextualizada, necesitaremos explicar a lo que nos estamos

refiriendo por contexto y a su naturaleza sociocultural.

1.3.3 En relación a la dimensión sociocultural

Sin duda, la evidencia muestra que al incorporar la dimensión sociocultural en la

comprensión histórica, se consideran nuevos elementos que permiten un análisis más

enriquecedor en lo relativo a la relación del conocimiento con los procesos de su

construcción social (Cantoral, 2001; Crespo, 2007; Montiel, 2005). En esta dirección,

Crespo (2007, 2009), quien estudió las argumentaciones matemáticas, clarifica lo que se

entiende por “escenario sociocultural” en el marco de la Socioepistemología.

El individuo es un ser social, por tanto existe inmerso en una sociedad y rodeado por un

contexto. Es a este contexto lo que se denomina por sociocultural. Lo sociocultural es una

construcción que vincula características sociales e individuales, que surgen de algún

grupo culturalmente situado. De aquí que:

“Los escenarios socioculturales son ámbitos en los que actúan los grupos

sociales. Están definidos por prácticas culturales específicas que manifiestan

necesidades de tipo ideológico, psicológico, fisiológico o ambiental de los

individuos que constituyen las sociedades específicas. En estos escenarios se

explicitan peculiaridades históricas y cotidianas, de carácter filosófico,

epistemológico, ideológico, o podemos decir más generalmente: culturales”

(Crespo, 2007, p.37).

Figura 1.3

Escenario Sociocultural

Están definidos por prácticas culturales específicas

Explicita peculiaridades del grupo social


25

Podemos considerar diversos tipos de escenarios, por ejemplo: el histórico (Montiel,

2005), escolar (Laborde, 2004), de difusión (Zaldívar, 2009), entre otros. Crespo (2007)

desarrolla una clasificación en la que considera escenarios académicos y no académicos.

Lo sociocultural está en la manera de mirar el escenario en cuestión. De aquí que un

estudio, por ejemplo, en un escenario histórico, puede o no tener esta dimensión

sociocultural. La mirada sociocultural del escenario es una condición necesaria para

situar una investigación en la Socioepistemología.

Lo sociocultural puede ser entendido en diferentes niveles. La tesis de Crespo (2007)

estudia la dimensión sociocultural en el nivel de las culturas, en donde las escalas de

tiempo consideradas entre un escenario y otro son amplias. Por ejemplo, considera cómo

en algunos escenarios sin influencia aristotélica se construyeron los conceptos de cero e

infinito, lo cual sucedió con dificultad en los escenarios aristotélicos; o también, cómo la

lógica hindú tenía cinco estados para validar un enunciado como cierto, a diferencia del

verdadero y falso de los escenarios aristotélicos.

Nuestro estudio contiene escala de tiempos diferentes. Estudiamos las producciones que

se desarrollan en ciertas escuelas de pensamiento en cierto momento dado, en una

región dada, en un ámbito universitario específico y en una situación sociopolítica

peculiar. Por tanto la escala temporal es menor. Es decir, la dimensión de lo sociocultural

ya no se encuentra al nivel de culturas, sino que se entenderá en un nivel situacional. Sin

embargo, se mantiene la esencia de lo sociocultural como una manera de mirar el

escenario en cuestión. Al preocuparnos por la significación que tiene para el autor su

producción en cierto escenario, nos referiremos a un contexto en el cual esta

significación, y por tanto la racionalidad asociada, está situada. Es en la misma pregunta

de partida en que derivamos nuestra atención a los contextos de significación. ¿De qué

naturaleza es este contexto aludido?, ¿cuál es su tamaño necesario para la

Socioepistemología? La siguiente caracterización es un resultado, un hallazgo de esta

investigación.

1.3.5 Los contextos de significación de conocimientos matemáticos

Retomemos nuevamente nuestra preocupación: ¿Cómo ve el autor su obra? Como toda

respuesta de una ciencia social como la nuestra, la respuesta que podemos dar va a ser

relativa a los datos que tomamos y a la perspectiva teórica utilizada. Esto es lo que se


26

entiende en el medio como la subjetividad del resultado. Sin embargo, esto no quiere

decir que uno pueda responder cualquier cosa a nuestra pregunta. Es exactamente lo

que queremos precisar en este apartado.

Para responder a la pregunta ¿Cómo ve el autor su obra?, no podemos dar “la” respuesta,

sino “una” respuesta, la cual debe sin embargo tener una evidencia histórica sustentable.

Nosotros hemos aludido que la significación es situada a contexto, y que la racionalidad

relativa a la significación también actúa en un contexto. Es por esto que, sea cual sea la

respuesta que demos en torno a la significación que le dé el autor a su obra, ésta debe

estar contenida en cierto contexto en el cual se sitúa la significación y su respectiva

racionalidad. Es decir, una declaración epistemológica sobre la significación de una obra

para su autor debe estar contenida en su “contexto de significación”.

De aquí que nuestra tarea es poder entender en qué contexto se significa cierto

conocimiento o producción matemática. Es de aquí que entendemos por “contexto de

significación” al ámbito en el cual la significación se sitúa en cierto escenario, en nuestro

caso, un escenario histórico. Es en este momento que es importante precisar a lo que nos

referimos por contexto. Por esto nos preguntamos ¿cuáles son la naturaleza, las

dimensiones y el tamaño de este contexto de significación?

Desde una perspectiva clásica, el contexto es el ámbito situacional en el que se puede

situar un conocimiento. Desde esta perspectiva, la preocupación sería cuál es el tamaño

suficiente del contexto para entender al conocimiento.

Sin embargo, al cuestionarnos sobre esta naturaleza del contexto en base a la evidencia

encontrada en esta investigación, nos pudimos dar cuenta que la pregunta es más amplia

que el tamaño del contexto. En efecto, para nosotros, el contexto en el cual se significa la


27

obra tiene una dimensión situacional que define el tamaño, una dimensión sociocultural

que mira con cierta profundidad a la dimensión situacional, y una dimensión de la

racionalidad relativa al contexto en cuestión. Es en esta noción de contexto en la que

podemos situar la significación del conocimiento.

Figura 1. ?

Modelo para entender el “contexto de significación”

de cierto conocimiento matemático

La dimensión situacional del contexto de significación:

Esta dimensión incluye el conjunto de factores o circunstancias a considerar en el

contexto de nuestra unidad de análisis. En nuestro caso, un escenario histórico, en donde

la unidad de análisis es la obra antigua, la dimensión situacional puede discutir sobre la

pertinencia de incluir la vida del autor de la obra, su cuna y familia, su ámbito laboral, el

ámbito sociopolítico de su época, en lo relativo a las implicancias en los cambios de las

estructuras educacionales y científicas, por ejemplo, o también la producción científica

del autor, sus producciones relativas a la epistemología del conocimiento o algunas

cartas con sus colegas, las instituciones publicadoras de las obras, los evaluadores de las

obras, los destinatarios de las obras, etc. El tamaño suficiente para interpretar el cómo el

autor entiende su obra dependerá de cada episodio estudiado.

La dimensión sociocultural del contexto de significación:

Esta dimensión obedece a la manera de mirar la dimensión situacional. En efecto, lo

sociocultural, más que una dimensión situacional, tiene que ver con la mirada que se les

da a tales situaciones. En nuestro caso, un escenario histórico, en donde la unidad de

análisis es la obra antigua, una mirada sociocultural puede considerar el debate

ideológico-filosófico en los acontecimientos de índole político, una interpretación de la

postura filosófica o política del autor en su producción científica, el cómo sus


28

condiciones familiares lo llevaron a tener una postura en relación a la vida misma, el

cómo el debate ideológico incidió en una lucha de poderes que trajo que cierta

presentación matemática triunfara sobre otra, o como la visión política de cierto

matemático afectó en su relación con sus colegas, las cuales pusieron restricciones en la

publicación científica de sus escritos. Finalmente, esta dimensión puede incluir la

expresión matemática de una época completa, la cual fue destinataria y originaria de las

producciones matemáticas producidas en su periodo.

La dimensión de la racionalidad del contexto de significación:

Esta dimensión obedece a una cierta “manera de ver” situada al contexto considerado. A

una visión de mundo situada al contexto, a aquellas creencias y concepciones que son la

base de su racionalidad, la cual afecta las acciones y los pensamientos de las personas a

las que incluye. Del punto de vista del desarrollo del pensamiento matemático son

esferas que definen una “manera de ver” al conocimiento científico y matemático, de su

estatus epistemológico en relación a su esencia y su funcionalidad. Esta “manera de ver”

sitúa al pensamiento de las personas, haciéndolos pensar de cierta manera y preocuparse

de cierto tipo de problemas y no de otros. Esta racionalidad es relativa al conocimiento

científico, en el sentido de que la misma estructura de este conocimiento, en cierta

etapa de su desarrollo, es relativa a cierto tipo de racionalidad, a cierta “manera de ver”

al mismo conocimiento científico y su relación con su entorno sociocultural.

De esta manera, la primera dimensión, la situacional, define la amplitud del contexto, la

segunda dimensión, la sociocultural, define la manera de ver esta amplitud, lo que

denominamos la profundidad del contexto, y la tercera dimensión, la de la racionalidad,

describe la “manera de ver” el conocimiento científico en este contexto. Esta amplitud,

profundidad, y dimensión de la racionalidad del contexto de significación la explicamos

a través del siguiente diagrama (Figura 1.3)


29

Figura 1.3

En donde la dimensión situacional del contexto definirá su tamaño, la dimensión

sociocultural la profundidad y la dimensión de la racionalidad será un plano paralelo que

determinará la manera de ver el conocimiento científico en el contexto de significación

de cierto conocimiento.

1.3.6 Consideraciones metodológicas de la investigación

Si nuestro estudio es sociocultural, la unidad de análisis debe ser concebida como tal,

una producción sociocultural. Nuestra unidad de análisis es la siguiente (Figura 1.4):

Figura 1.4


30

La Socioepistemología dota a la investigación en matemática educativa una

aproximación sistémica y situada. Esta aproximación sistémica incorpora las cuatro

componentes fundamentales en la construcción del conocimiento matemático, a saber,

su naturaleza epistemológica, su dimensión sociocultural, los planos de lo cognitivo y los

modos de trasmisión vía la enseñanza (Cantoral y Farfán, 2003). De esta manera no se

puede desarrollar un estudio Socioepistemológico separando alguna de estas cuatro

dimensiones. Esto, sin embargo, no significa que un estudio Socioepistemológico debe

estudiar las cuatro componentes de una vez, sino que la naturaleza de la unidad de

análisis considerada en la investigación debe potencialmente poder estudiarlas. Nuestra

unidad de análisis presentada en la Figura 1.4 contiene potencialmente las cuatro

dimensiones (Figura 1.5)

Figura 1.5

Nuestra unidad de análisis se compone de diversos objetos de estudio, esto es, obras

antiguas. En relación a esta, consideramos lo siguiente: cuando tomamos esta obra en

nuestra manos vemos en ella mucho más que un libro, o un libro antiguo; vemos en ella

una producción con historia, un objeto de difusión y una parte de una expresión

intelectual más global.

Una producción con historia

Un objeto de difusión

Parte de una expresión intelectual más global

Naturaleza epistemológica

Planos de lo cognitivo

Mecanismos de institucionalización

vía enseñanza

Dimensión sociocultural

UA Unidad de

Análisis


31

Esta descripción de la naturaleza sociocultural de la obra nos ha permitido desarrollar un

planteamiento metodológico para nuestra tesis. De esta manera, para entender la obra

como un producto sociocultural, estudiaremos las condiciones de producción de la obra,

sus mecanismos de difusión y su posición en la producción completa del autor.

Una producción con historia

La obra matemática, más que un simple libro, es una producción con historia. Por tanto

su autor, más que el nombre del autor, es un sujeto con historia y un representante del

escenario histórico al cual pertenece. De esta manera, nuestra búsqueda será entender

esta historia, es decir, entender los acontecimientos que incidieron y mediaron su

producción. Por tanto, para entender las condiciones de producción, consideraremos

elementos de su vida personal, su época y su vida profesional (Figura 1.6)

Figura 1.6

Aquí buscamos entender las circunstancias individuales y colectivas en las cual se produjo

la obra y del contexto sociopolítico en el cual se produjo. De esta manera, buscaremos

entender las condiciones de producción de la obra y las intencionalidades subyacentes

de este proceso, para tener elementos que nos permitan caracterizar la racionalidad

involucrada y los medios de significación utilizados por el autor o la época para significar

el conocimiento matemático involucrado.

Un objeto de difusión

La obra matemática, más que un simple libro, es un objeto de difusión. Por tanto,

intrínsecamente tiene una intencionalidad de difundir algo a alguien. Esta intención

Vida profesional Carrera académica

Relación con sus colegas

Intereses académicos

Vida personal Su cuna (familia) Su formación Episodios relevantes de su vida

Autor

Época Contexto sociopolítico en

fechas relevantes Problemas abordados por

la ciencia de la época


32

mediará el pensamiento del autor plasmado en la obra. De esto nuestra frase: toda

difusión conlleva cierta intencionalidad. Es por este motivo la insistencia de que, más que

estudiar la producción de un alumno en clases, de estudiar el proceso de producción de

conocimiento, pues las intencionalidades, por ejemplo, del contrato didáctico, median

significativamente el pensamiento del estudiante en su comunicación (Laborde, 2004).

Sin embargo, en nuestro caso no podemos estudiar al autor produciendo conocimiento.

Queremos entender el significado que él atribuyó a su obra, pero nuestra unidad de

análisis es un escrito mediado. De aquí que el desafío es tener alguna manera para

entender las intencionalidades de la difusión y los factores que median la misma, de

manera que podamos acercarnos al pensamiento del autor de la obra mediada. Estas

intencionalidades pueden ser, por ejemplo, los intereses de cierta comunidad a la que se

comunica, una intención de difusión o didáctica, entre otras. De aquí que, para entender

lo que el autor piensa de su obra, estudiaremos los elementos pertenecientes a las

condiciones de difusión de la obra, de lo cual hacemos una exploración en el autor de la

obra y sus destinatarios, el medio de difusión, el tipo de producción y las condiciones

relativas a estas (Figura 1.7). Para poder entender esto, necesitamos entender también

una visión general del periodo histórico considerado.

Figura 1. 7

Destinatarios de la obra

Autor de la obra

Condiciones del medio de

difusión:

- Cantidad de páginas

- Comité de evaluación

- Intencionalidad

específica de la obra

Institución publicadora

Tipo de producción:

- Publicación científica

- Obra didáctica

- Carta entre matemáticos

- Ensayos - Etc.

Medio de difusión

Obra matemática

Periodo histórico


33

En base a estos elementos analizaremos las diferentes condiciones de difusión de las

obras y la mediación implícita, de manera de deducir la intencionalidad de esta

mediación, y por consiguiente una interpretación posterior en relación a las

intencionalidades implícitas del autor, de una época, y de ciertas instituciones.

Parte de una expresión intelectual más global

La obra matemática, más que una producción individual, es una parte de una expresión

intelectual más global. Esta expresión global es la producción matemática del autor, en

conjunto de las diversas publicaciones sobre la epistemología del conocimiento o sobre

temas de actualidad quizás medios alejados a su producción matemática. ¿Por qué

considerar la obra en un sistema más amplio que considere la producción global del

autor? Pues es la manera de poder entender el encadenamiento, la evolución y la

relevancia de las ideas del autor y la relevancia o causalidad de sus producciones

matemáticas. Para desarrollar esto, además de la obra estudiada, consideraremos las

obras con temas relacionados a la obra estudiada y las obras más relevantes de la

producción científica del autor, además de algunos ensayos de corte epistemológico y

metafísico y algunas correspondencias entre matemáticos (Figura 1.8)

Figura 1.8

Obra estudiada

Obras relevantes en la producción del autor

Obras relacionadas a la obra estudiada

Correspondencias entre matemáticos

Ensayos de corte epistemológico o metafísico

Intencionalidad

Condiciones de Difusión

- Autor

- Época - Instituciones


34

Este análisis nos permitió entender el contenido matemático de las obras estudiadas,

desprender elementos para considerar los medios de significación utilizadas y además

para entender la racionalidad involucrada. También nos permitió considerar la relevancia

y casualidad de algunas obras, y lo sensible de éstas a acontecimientos de índole

sociopolítico.

De esta manera, ante la pregunta de cómo entender el pensamiento del autor desde

su obra, respondemos que lo haremos considerando las condiciones de producción,

los mecanismos de difusión y la posición de la obra en la producción completa del

autor. Estos son instrumentos metodológicos diseñados para entender las obras

desde los ojos de los autores.

El análisis de los datos

Ahora bien, para cada obra estudiada desarrollamos de manera extensa y discursiva cada

uno de los tres elementos considerados, a través de la revisión de diversas fuentes

bibliográficas, logrando un amplio escrito con los datos obtenidos. Después estos datos

fueron estudiados buscando las intencionalidades reseñadas (Figura 1.9)

Figura 1.9

En base a esto comenzamos a desarrollar nuevos escritos, desechando la información no

relevante y profundizando en aquélla que se encontró algo interesante. Este proceso se

realizó por lo menos tres veces con cada episodio de estudio. En todos estos escritos los

tres elementos metodológicos estaban escritos por separado. Finalmente, cuando había


35

conjeturas de interés y evidencia convincente, desarrollamos un escrito final, en donde

estos tres elementos se acoplan y embonan constituyendo un escrito uniforme. Esto con

cada episodio. Finalmente, teniendo los resultados de los cinco episodios, se estudiaron

en conjunto para analizar las vinculaciones, y en definitiva la evolución buscada,

desarrollando un argumento global del hilo conductor. Finalmente se reescribieron

nuevamente los cinco episodios para resaltar, a parte de sus características individuales,

la evolución reseñada. Fue en este proceso donde los episodios de la crítica de Cauchy a

Lagrange y la nueva arquitectura de Cauchy se unieron en un único escrito.

Presentamos a continuación cuatro capítulos que sintetizan los resultados de la

investigación desarrollada…

36

CAPÍTULO 2

LAGRANGE Y LA ANALITICIDAD EN UNA MANERA DE

VER AL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO COMO RELATIVO

AL CONOCIMIENTO SENSIBLE DEL MUNDO.

37

CAPÍTULO 2

LAGRANGE Y LA ANALITICIDAD EN UNA MANERA DE VER AL CONOCIMIENTO

MATEMÁTICO COMO RELATIVO AL CONOCIMIENTO SENSIBLE DEL MUNDO

No podemos entender una obra desprendida de su escenario histórico. ¿Qué tanta

relación puede tener una obra matemática con una revolución política, o incluso, con un

cambio de condiciones en el contrato laboral de una persona? Una respuesta de la

perspectiva realista y a-histórica del conocimiento postularía que no tiene mucha

relación. Nuestra respuesta en base a evidencias científicas es diferente. Como

mostraremos en los fragmentos siguientes, la obra didáctica de Joseph Louis Lagrange

(1736-1813) fue escrita debido al estallido de una revolución política y al cambio en las

condiciones de su contrato laboral. La relación aludida es tan significativa, que es muy

probable que sin esta revolución y cambio de situación laboral su obra no se hubiera

escrito. Nos referimos a su obra titulada Teoría de las Funciones Analíticas6, publicada en

1797, en la cual el autor presenta por primera vez un modelo matemático para trabajar

las funciones derivadas, ubicando en el centro de esta construcción a la serie de Taylor.

Existen investigaciones (Morales, 2009) que interpretan esta obra como un intento de

proponer un modelo para considerar representaciones analíticas (mediante polinomios)

para funciones arbitrarias. Sin embargo, es estudio profundo de la obra de Lagrange y la

consideración de las variables de los contextos de producción y difusión de la obra nos

llevó a cuestionar esta interpretación y a plantearnos la siguiente pregunta:

Y en caso que la respuesta sea no, ¿Qué veía Lagrange en esta ecuación?, ¿Qué idea

significaba su pensamiento en relación a esta expresión? Estas preguntas son las que

responderemos a continuación.

6 Théorie des Fonctions Analytiques

(Lagrange, 1797, p.69)

¿Miraba Lagrange, una representación Polinomial de una función arbitraria en esta expresión?

El conocimiento matemático como relativo al conocimiento sensible del mundo _ Capítulo 2

38

2.1 SU OBRA DIDÁCTICA, LA TEORÍA DE LAS FUNCIONES ANALÍTICAS.

Esta obra publicada en 1797 y reeditada en 1813, plantea un viraje en el método de

trabajo del cálculo infinitesimal de su época. El título completo de la obra es “Théorie

des fonctions analytiques, contenant les principes du calcul différentiel, dégagés de

toute considération d´infiniment petits,

d´évanouissants, de limites et de fluxions, et réduits

a l´analise algébraique des cuantités finies”7

(Lagrange, 1813, p.1) Antes de Lagrange, El francés

Leibniz utilizó como método de trabajo para el

cálculo infinitesimal a los infinitamente pequeños,

mientras que el inglés Newton utilizó las fluxiones.

Lagrange, en su obra, plantea que estas

concepciones utilizadas para fundamentar el

análisis eran poco claras e inseguras para

fundamentar una ciencia donde la certitud debe

ser sustentada en la evidencia (Lagrange, 1813, p.5). Critica a los infinitamente pequeños

por no ofrecer una idea muy precisa al espíritu y a las fluxiones por su dependencia

directa de la idea de velocidad. También cuestiona la dificultad de demostrar en rigor

este último método. En base a estas críticas, el autor plantea un nuevo método para

trabajar el mismo cálculo infinitesimal, llevando a la noción de diferencial a un contexto

funcional, a través de la introducción de la noción de función derivada. De esta manera

el autor construye un método para el cálculo y análisis infinitesimal que es totalmente

deducible por reglas algebraicas, lo que llama método analítico. La obra de Lagrange no

plantea una revolución del conocimiento. Más bien, es la propuesta de un nuevo método

para trabajar el mismo cálculo de su época, que supera las deficiencias que él veía en los

métodos anteriores al suyo.

7 “Teoría de las funciones analíticas, con los principios del cálculo diferencial, liberado de toda consideración de infinitamente pequeños, evanescentes, limites y fluxiones, y reducido al análisis algebraico de cantidades finitas”


39

Este método consiste en el cálculo de las funciones primitivas y derivadas mediante el

desarrollo de series de Taylor de funciones arbitrarias.

8

El desarrollo en series lo hace al considerar una función fx9 de variable cualquiera x . Al

considerar un incremento i , siendo esta una cantidad indeterminada cualquiera, y al

poner ix en lugar de x , se tendrá )( ixf , y por la teoría de series de Taylor de la

época, se podrá desarrollar esta nueva función en series de la manera siguiente:

En donde las cantidades .,,, etcrqp serán nuevas funciones de x, derivadas de la función

primitiva fx , e independientes de la cantidad indeterminada i (Lagrange, 1813, p. 7-8).

Para plantear la igualdad de la función con su serie de potencias, considera que cuando i

se haga cero se tendrá que )( ixf y fx serán iguales (Lagrange, 1813, p. 9-10). De

aquí el autor afirma que la principal ventaja del método es que las funciones .,,, etcrqp

se derivan de la función fx , y que siempre se puede tomar un valor de i lo

8 si se tiene una función con una cantidad indeterminada y si esta es algebraica, se puede desarrollar una serie de potencias de esta indeterminación. El primer término del desarrollo será la función propuesta que se llamará función primitiva y los términos siguientes serán formados de diferentes funciones de la misma variable, multiplicados por las potencias sucesivas de la variable indeterminada. Estas nuevas funciones dependerán únicamente de la función primitiva de donde ellas se derivan, y por tanto se llamarán funciones derivadas. 9 Para Lagrange, si una función depende de x se denota fx, pero si es una función de función se utiliza el paréntesis, como en el caso de f(2x), f(3x+5) o f(x+i).


40

suficientemente pequeño para que un término cualquiera de la serie sea más grande que

la suma de todos los términos que le sigan (Lagrange, 1814, p.14).

Después de esto, en el segundo capítulo, considera que para establecer una teoría de

funciones derivadas, es necesario investigar la ley de sus derivaciones (Lagrange, 1813,

p.17). De aquí, después de diversos desarrollos algebraicos que evidencian como se

derivan las funciones .,,, etcrqp de la función fx , plantea la siguiente expresión:

De la cual el autor afirma:

10


Después de esto el autor muestra como estas nuevas funciones derivadas coinciden con

las razones diferenciales de Leibniz.

Estos extractos son los primeros capítulos de la primera parte de la obra (La obra tiene en

total tres partes). En los capítulos siguientes el autor presenta diversas aplicaciones en el

análisis, entre estas, lo aplica funciones trascendentes como las exponenciales, las

logarítmicas y algunas trigonométricas. La segunda parte del libro contiene las

aplicaciones de la teoría a la geometría, donde en base a la misma crítica de de poca

generalidad y simplicidad de los métodos existentes, fundamenta el uso de su método

para el estudio de tangencias de rectas en curvas y de planos en superficies. Critica en

específico el considerar a la tangente como el límite de secantes o considerar a la curva

como un polígono de infinitos lados. El autor plantea que su teoría permite abordar el

problema de las tangentes y otros problemas del mismo género de manera analítica,

alejándose de toda metafísica. Entre los capítulos 5 al 11 de esta parte, el autor aborda

10 “esta nueva expresión tiene la ventaja de hacer ver como los términos de la serie dependen unos de otros, y sobre todo, como cuando se forma la primera función derivada de una función primitiva cualquiera, se puede formar todas las funciones derivadas que contiene la serie en cuestión”


41

problemas de máximos y mínimos de funciones de una variable y presenta un modelo

general para varias variables, trabajando para esto el contacto de las superficies curvas

con sus planos tangentes. La tercera parte del libro trata las aplicaciones de la teoría de

las funciones a la mecánica, la cual la entiende como una extensión del análisis

geométrico al considerarla como una geometría de cuatro dimensiones (las tres

coordenadas del espacio más el tiempo) (Lagrange, 1813, p.311) En general, esta tercera

parte corresponde a temas centrales de la mecánica, esto es, el estudio del movimiento

uniforme través de su modelación funcional de movimientos rectilíneos simples en base a

la serie de Taylor.

En síntesis, el acento de la intención del método de Lagrange está puesto en la relación

entre las funciones derivadas y sus primitivas. En efecto, concibe al análisis transcendente

o infinitesimal como el análisis de funciones primitivas y derivadas, y el cálculo

diferencial e integral como el cálculo de las mismas funciones. Con esto plantea haber

sintetizado, poniendo como corazón del cálculo a la serie de Taylor, las principales

verdades del cálculo diferencial (Lagrange, 1813, p.5). También explicita su logro de

construir un análisis de características superiores al análisis ordinario, debido a su

generalidad y numerosos usos, y a la facilidad y simplicidad de sus operaciones de

cálculo (Lagrange, 1813, p.4). Esta superioridad la expresa, además, en haberlo fundado

rigurosamente el cálculo sobre en nociones formales (Antolín, 1981).

2.2 UNA OBRA ESCRITA POR LA CONTINGENCIA SOCIOPOLÍTICA Y LABORAL DEL

MOMENTO

Al considerar los aspectos de difusión estudiados, primeramente podemos señalar que la

Teoría de las Funciones Analíticas de Lagrange es una obra didáctica.

11

(Lagrange, 1813, p.5).

11 “[…] este escrito, que me determine a publicar por la consideración la utilidad que puede tener a aquellos que estudian esta área importante del análisis”


42

¿A qué estudiantes se refiere el autor? Nada más ni menos que a los estudiantes de la

recién fundada Escuela Politécnica12 de París. Pero, ¿qué es esta escuela?, ¿por qué

recién fundada? Estas son preguntas que nos traen la necesidad de situarnos en el

contexto en el que se produjo la obra. Este contexto es la Revolución Francesa.

El julio de 1789 estalla la revolución Francesa en París, con el acontecimiento de la toma

de la Bastilla (Figura 2.1). La revolución francesa fue un suceso sociopolítico de gran

envergadura de los tiempos modernos, que marcó un desenlace profundo de cambios

políticos en Europa y sus colonias existentes por todo el mundo. En medio de la

opulencia de vida de la monarquía en el

palacio de Versalles y una dura situación

económica que vivía el pueblo, un grupo

de intelectuales franceses rompe

relaciones con las autoridades y toma las

armas para exigir que el poder legislativo

estuviera separado del poder del monarca,

es decir, el rey. Al tomar las armas, el

pueblo necesitó de pólvora para cargarlas.

Fue aquí donde se desarrollo la toma de la Bastilla, un edificio en el cual se guardaba

gran cantidad de pólvora, lo cual marcó el comienzo de un proceso revolucionario que se

extendió por 10 años en París y trajo radicales cambios en todas las esferas sociales

administrativas, entre estas, en la educación. En este ámbito, la Academia de Ciencias de

París, fundada por el mismo Rey Sol y encargada entre otras cosas de formar a los

científicos de la época, fue suspendida. Todos estos cambios se dieron en un contexto de

violencia y presiones, la revolución se veía amenazada por los movimientos

contrarrevolucionarios internos y por la hostilidad de los reinados vecinos ante el mover

social imperante en Francia. Entre estos hechos se destaca el Reinado del Terror,

impulsado por el mismo Robespierre, en el cual murieron en la guillotina entre 11.000 y

40.000 personas, entre ellos el Rey Luis XVI, su esposa María Antonieta, el propio

Robespierre e incluso científicos de renombre de la época como Lavoisier, quién había

intercedido por Lagrange para que no fuera arrestado por la revolución cuando se

resolvió el decreto de arresto a los extranjeros. Ante su muerte Lagrange afirmó “Tomo

un momento causar la caída de su cabeza y cien años no serán suficientes para producir

otra igual” (O´connor y Robertson, 1999) Entre las reformas sociales promulgadas por la

12 École Polytechnique

Toma de la Bastilla


43

asamblea constituyente de la revolución se abolió la esclavitud y se tomaron medidas

que buscaban la igualdad en la distribución de las riquezas, como la fundación del

comité de la Academia de Ciencias para estandarizar pesos y medidas (del cual Lagrange

formó parte). Entre estas acciones se fundó una nueva escuela, la École Polítechnique.

Los alumnos de esta escuela fueron los destinatarios del libro de Lagrange. ¿Qué fue

exactamente la École Polytechnique?

Esta escuela se creó a causa de la carencia de científicos y técnicos en servicios públicos

que pudieran hacer frente a la crisis nacional e internacional que vivía la Revolución. Su

creación estuvo a cargo de un grupo de científicos de renombre partidarios de la

revolución, entre ellos Carnot y Mongue. La misión de la escuela fue “ofrecer a los

alumnos una sólida formación científica, basada en un profundo conocimiento de las

matemáticas, la física y la química, y de proporcionarles

la preparación necesaria para ingresar en las

instituciones especiales de los servicios públicos del

Estado, la Escuela Superior de Ingeniería de Minas o la

Escuela Superior de Ingeniería de Caminos”. Sus

estudiantes fueron seleccionados tras una serie de

pruebas que se llevaron a cabo en toda Francia (Historique, n.d.) La primera promoción

contó con 400 alumnos, todos de la elite intelectual francesa, los cuales fueron becados y

alojados en casa de familias francesas a modo de anfitriones. Sus maestros fueron los más

destacados científicos de la época. La escuela abrió las puertas a sus estudiantes en

diciembre de 1974. La fundación de esta escuela contribuyó a un fructífero desarrollo del

conocimiento y científicos en París en los años siguientes, entre ellos Laplace, Fourier,

Poisson, Cauchy, Galois, Hermite y el mismo Lagrange. También contribuyó a impulsar

una época de internacionalización de las matemáticas francesas. Esto es importante,

pues, la Teoría de las Funciones Analíticas fue estudiada por los grandes matemáticos

que precedieron a Lagrange, muchos de estos continuaron con la tendencia del modelo

analítico propuesto en la obra. Otros fueron disidentes del planteamiento y criticaron la

obra, sobre todo en la generación de Cauchy. Este publicó una crítica a la obra el año

1822. Lagrange comenzó a dictar cátedras en la École Polytechnique desde su fundación.

Pero, ¿Cómo fue que Lagrange llegó a ser profesor de esta escuela de elite intelectual

francesa? Para responder esto necesitamos ir hacia atrás y analizar la carrera académica

de Lagrange.

École Polytechnique


44

Joseph Louis Lagrange nació el 25 de enero de 1736 en Turín, Francia (actualmente en

Italia) Su padre fue Tesorero de la Oficina de Trabajos Públicos y Fortificaciones en Turín,

y su madre fue la única hija de un doctor en medicina de la cuidad de Cambiano, cerca

de Turín. A pesar de esto, su familia no era adinerada (Oćonnor y Robertson, 1999).

Estudio la carrera de abogado en la Universidad de Turín. En sus estudios universitarios

encontró su interés por las matemáticas y comenzó hacer una carrera autodidacta. En

agosto de 1755, escribió una carta a Euler con los resultados de sus investigaciones sobre

la tautocrana incluyendo su método de máximos y mínimos. Euler le contestó en

septiembre y se mostró impresionado por las ideas de Lagrange. Este mismo año fue

designado profesor de matemáticas en la escuela real de artillería en Turín, con solo

diecinueve años. En dos ocasiones rechazó la propuesta de trabajo de la academia de

ciencias de Berlín. En la tercera ocasión aceptó el puesto de sucesor del mismo Euler

como Director de Matemáticas en la Academia de Berlín, en donde trabajó por 20 años,

desde 1766 hasta 1786. En 1783 muere su esposa, con quién tenía dieciséis años de

casado sin hijos, muere su mejor amigo matemático, DÁlambert y también su primer

mentor, Euler (Fraser, 1985, p.26). Esto conllevó a que en los años siguientes no tuviera

una muy agradable estancia en Berlín. En este periodo incluso no tuvo el alto nivel de

producciones de los años anteriores. Lagrange era un matemático muy bien cotizado.

Recibió algunas ofertas para hacer docencia e investigación en Italia, las cuales rechazo.

Después, aceptó el ofrecimiento de la Academia de Ciencias de París, llegando a París el

año 1787, dos años antes que comenzara la revolución francesa. Un detalle importante

es que el contrato ofrecido por la Academia Parisina tenía una cláusula que le permitía

no dar docencia y dedicarse tiempo completo a la investigación, lo que parece haber

llamado la atención a Lagrange para aceptar el puesto (Oćonnor y Robertson, 1999).

Por tanto, Lagrange llegó a Francia en 1787, dos años antes de la revolución francesa,

con un contrato que lo exentaba a dictar cátedras. Dos años después, en 1789 estalla la

revolución. Lagrange sobrevive en la revolucionada Francia, gracias a su desapego de los

asuntos sociales y políticos. Después, en este periodo, la Academia de Ciencias de París, a

al cual llego a trabajar a París, fue destituida, lo cual hace que sus acuerdos laborales

cambian radicalmente, y se ve en la situación de dictar cátedras de análisis en la recién

fundada École Polytechnique, destinada a formar a los futuros científicos e ingenieros

franceses a un nivel masivo (antes de esto la formación de este nivel se daba al alero de

tutores). Existen antecedentes relevantes que evidencian que Lagrange no era un buen


45

maestro. Esto reafirma la idea de la decisión de viajar a París por la cláusula de excepción

de cátedras. Fourier, quién tomo clases con él en la también recién fundada École

Normale y después fue su alumno de doctorado, afirmo sobre la docencia de Lagrange lo

siguiente: “su voz es muy débil, al menos cuando no se acalora […] Los estudiantes, la

mayoría de los cuales son incapaz de apreciarlo, le dan poca acogida” (O´connor y

Robertson, 1999).

Ahora bien, por ser esta escuela nueva en su diseño y estructura, no existían libros de

textos para sus cursos. Por esto los científicos, puestos en el rol de maestros, comienzan a

sintetizar la matemática de su tiempo elaborando un discurso matemático escolar para

introducir a los nuevos aprendices de las ciencias. Y fue exactamente esto lo que hizo

Lagrange, y el fruto de este trabajo fue la obra que estamos estudiando, la Teoría de las

Funciones Analíticas. Lagrange tenía 61 años de edad y más de 40 años de vida

profesional al publicar esta obra.

Figura 2.1

En base a todo lo expresado planteamos finalmente la siguiente tesis: La obra didáctica

de Lagrange fue escrita por la coyuntura sociopolítica del momento y por los cambios en

las condiciones académicas del autor. Sin estas circunstancias Lagrange no se hubiera

visto en la situación de dar cátedras de análisis a la élite intelectual de Francia. La

masificación de la enseñanza científica fue algo pionero promovido por la revolución a

través de la École. Una escuela como esta era inexistente en este periodo histórico, ya

Revolución Francesa 1789

Berlín París

1787

Cláusula excepción de dictar cátedras_

Fundación de la École Polytechnique 1794

Profesor de Análisis de la École Polytechnique, publica su libro en 1797


46

que los grandes científicos se formaban a la mano de un tutor personal. Por tanto, al ser

Lagrange el primer profesor de Análisis en esta escuela, no tenía algún plan de estudio

para seguir o algún libro de texto que seguir en la enseñanza (Figura 2.1) Le fue

necesario desarrollar una reconstrucción del conocimiento científico de su época para

ser difundido en un escenario escolar. Los antecedentes muestran que las motivaciones

científicas del trabajo de Lagrange en París no eran desarrollar un trabajo como este. Sin

embargo, las condiciones políticas cambiaron sus acuerdos laborales y se vio inmerso en

este proyecto. Por tanto, la motivación de la redacción de esta obra se debe a la

coyuntura del momento, a los acontecimientos políticos y al cambio de las condiciones

académicas del autor. Lagrange comenzó a dictar sus cátedras en la École en 1974 y en

1797 publicó su obra. El siguiente es un extracto del prefacio de la obra que confirma la

tesis planteada:

13


Nótese que el autor afirma, después de haber señalado en las líneas anteriores a este

extracto que él había recordado un artículo publicado por el en la academia de Berlín en

1772, veinticinco años antes, en relación a la idea central de esta obra, y después que no

ha habido publicaciones al respecto, que “me he encontrado comprometido por

circunstancias particulares a desarrollar los principios generales del análisis”. Estas

situaciones de contingencia política y laboral comprometieron a Lagrange a embarcarse

en el proyecto de la elaboración de esta obra didáctica.

Nos preguntamos, si estas situaciones de contingencia del momento no se hubieran

llevado a cabo, Lagrange, ¿Hubiera escrito esta obra? Esta pregunta cuestiona la

13 “[…] y me he encontrado comprometido por circunstancias particulares a desarrollar los principios generales del análisis, he recordado mis ancianas ideas sobre el cálculo diferencial, y he hecho nuevas reflexiones en torno a confirmarlas y a generalizarlas; esto fue lo que ocasionó este escrito, que me determine a publicar por la consideración la utilidad que puede tener a aquellos que estudian esta área importante del análisis”


47

importancia de esta producción en base a la totalidad de la obra de Lagrange. Para

desarrollar esta obra didáctica, el autor retoma reflexiones que había abandonado

veinticinco años antes: “he recordado mis ancianas ideas sobre el cálculo diferencial, y he

hecho nuevas reflexiones en torno a confirmarlas y a generalizarlas; esto fue lo que

ocasionó este escrito, que me determine a publicar por la consideración la utilidad que

puede tener a aquellos que estudian esta área importante del análisis” (Lagrange, 1813,

p.5). Todo esto, ¿Significa que en estos veinticinco años no había hecho ninguna

reflexión o publicación en relación a estos temas? Al considerar estas interrogantes, nos

preguntamos ¿Qué relevancia tendría para Lagrange esta obra en base a toda su

producción científica? ¿Es que la significación de su obra se encuentra fuera del contexto

de ella misma? Estas respuestas las encontramos al considerar la obra del autor, lo cual

analizaremos a continuación.

2.3 LA MECÁNICA, EL CONTEXTO DE SIGNIFICACIÓN DE SU DISCURSO MATEMÁTICO

ESCOLAR

Al estudiar la producción científica de Lagrange anterior a su obra, pudimos percatarnos

que su producción se encuentra en la astronomía y la física. Es una característica de los

matemáticos de la época. Es una época en la cual la racionalidad del conocimiento

matemático es considerarlo relativo al conocimiento sensible del mundo. Es una época

donde comienzan a nacer los primeros artículos propiamente matemáticos, pero estos

son dependientes a las ciencias exactas y aplicadas de la época. De hecho, Laplace,

contemporáneo a Lagrange en la docencia en la École Polytechnique, postulaba que la

Mecánica era la ciencia madre que perduraría y que la matemática estaba al servicio de

esta. Sin embargo, Lagrange creía que la mecánica se constituiría como una rama del

análisis matemático.

Estas impresiones las obtuvo de una de sus primarios acercamientos a las ciencias,

Edmund Halley. Sus obras de astronomía fueron las primeras lecturas de Lagrange. Sin

embargo, Lagrange también heredó de Halley el interés de demostrar la superioridad

del análisis en relación a la mecánica (Delambre, 1867) A pesar de esto, la gran parte de

la obra del autor se inscribe en estos campos del conocimiento, Mecánica y Astronomía,

de gran relevancia y desarrollo en esos años. Publicó artículos que se pueden denominar

matemáticos puros (sin alusión a la física, con problemas propios de la matemática), pero

que sin embargo están vinculados a sus investigaciones relativas al conocimiento sensible


48

del mundo. El primer trabajo de Lagrange fue un escrito en el cual hizo una analogía

entre el teorema del binomio y las derivadas sucesivas del producto de funciones. En

Turín publicó artículos que cubrían una diversidad de temas, como el cálculo de

variaciones, y su breve cálculo de probabilidades. En un trabajo sobre los fundamentos

de la dinámica, Lagrange basó su desarrollo en el principio de mínima acción, mismo

principio utilizado en su obra didáctica de 1797, y en la energía cinética. Ganó el premio

de la academia de ciencias de París en 1764, con 28 años, con su trabajo sobre el

balanceo de la luna. También lo ganó en 1772 con el problema de los tres cuerpos, en

1774 con el movimiento de la luna y en 1780 con las perturbaciones de las órbitas de los

cometas por los planetas. Fue en este fructífero periodo de publicaciones relativas a la

astronomía que publicó el artículo de 1772 que da las bases de la Teoría de las Funciones

Analíticas. En su estancia en Berlín trabajó diversos temas: astronomía, la estabilidad del

sistema solar, mecánica, dinámica, mecánica de fluidos, probabilidad, teoría de números

y los fundamentos del cálculo. En 1770 presentó su importante trabajo Réflexions sur la

résolution algébrique des équations donde muestra por qué las ecuaciones de hasta 4º

grado pueden ser resueltas usando radicales. Este documento es pionero en considerar

las raíces de una ecuación como cantidades abstractas en lugar de valores numéricos.

En Turín, Lagrange hizo un estudio trascendental sobre la propagación del sonido,

realizando importantes contribuciones a la teoría de cuerdas vibratorias.

Toda la obra de su vida la sintetizó en una obra magistral, que se puede afirmar que es la

obra de su vida y su aportación más reconocida por sus predecesores. En efecto, en 1788

publicó su Mécanique analytique, en el que resumió todo el trabajo realizado en el

campo de la mecánica desde los tiempos de Newton aportando un modelo funcional,

destacado por el uso de la teoría de las ecuaciones

diferenciales. La aportación fue transformar a la

mecánica en una rama del análisis matemático. En el

comité de publicación de esta obra estuvieron Laplace,

Legendre y Condorcet, entre otros. Esta obra contiene el

trabajo de Lagrange desde los inicios de su carrera hasta

su muerte. Delambre, secretario perpetuo de la

academia de ciencias, fue el compilador de las

producciones de Lagrange en las œuvres du Lagrange, y

por tanto conocedor de toda la obra de Lagrange,


49

escribe una introducción de la obra de Lagrange en la introducción de la compilación, en

la cual sintetiza la obra de Lagrange. De manera textual el afirma:

14

(Delambre, 1867)

También es interesante como uno de los matemáticos más vinculados en los estudios de

la epistemología e historia de las ciencias, Cauchy, se refiere de Lagrange. En los

prefacios de sus obras didácticas de la École Polytechnique publicadas en la década de

1820, Cauchy se refiere a Lagrange como el ilustre autor de la Mecánica Analítica, al

hacer alusión a la teoría de las funciones derivadas, publicada en la Teoría de Funciones

Analíticas y no en la Mecánica Analítica (Cauchy, 1823, p.2-3) Sin duda, la Mecánica fue

la obra magistral del autor.

El entender que la Teoría de las Funciones Analíticas es una obra que se desarrolló por

contingencias sociopolíticas y laborales, nos llevo a reflexionar sobre la real importancia

de la obra para el autor. ¿Hubiera publicado esta obra sin estas contingencias del

momento? ¿Qué miraba Lagrange cuando veía su obra?, ¿Cómo la significaba?, ¿Cuál es

el contexto de significación de su obra? Si logramos responder esto, entonces podremos

entender con mayor precisión lo que significó representación analítica para Lagrange, el

tema de nuestra investigación.

14 “Entre las numerosas obras maestras que le debemos a su genio, su mecánica es sin duda el más grande, la más notable y la más importante. Las Funciones Analíticas están en un segundo rango, a pesar de la fertilidad de la idea principal y de la belleza de los desarrollos”


?


50

El considerar que la Mecánica fue la que él cultivó con más esmero en toda su vida, y que

en relación a esta, la Teoría de las Funciones analíticas queda relegada a un segundo

rango, nos llevó a buscar en la obra mecánica del autor algún posible indicio del

contexto de significación, para el autor, de su obra. Por esto nos fuimos a estudiar en

profundidad el capítulo tres de la Teoría de las Funciones Analíticas, las aplicaciones de

la teoría a la Mecánica. Lo que encontramos nos impresionó mucho. Lagrange, al mirar el

desarrollo de funciones arbitrarias en series de Taylor, está pensando en una

generalización de la modelación funcional del movimiento rectilíneo. Esto lo

explicaremos en los párrafos siguientes.

2.3.1 El contexto de significación de la obra: La mecánica

En el comienzo de la tercera parte de la Teoría de Funciones Analíticas, Lagrange

sintetiza sus concepciones en torno al movimiento. Comienza aclarando que se referirá

esencialmente a funciones que están en función del tiempo, y que la posición de un

punto en el espacio dependerá de las coordenadas x , y y z , generando un sistema de

variables tzyx ,,, , entendiendo a la mecánica como una geometría de cuatro

dimensiones y al análisis mecánico como una extensión del análisis geométrico

(Lagrange, 1813, p.311) La idea central de estos capítulos es el estudio de la modelación

funcional del movimiento rectilíneo mediante movimientos simples. Para esto comienza

a describir los movimientos rectilíneos uniforme y uniforme acelerado.

El autor describe un movimiento rectilíneo cualquiera a través de la función15 ftx ,

donde x es el espacio que depende del tiempo t . Al pensar en la expresión más simple

de este movimiento presenta al movimiento uniforme atx , siendo a el único valor

que describe este movimiento, la velocidad. Después se plantea cual sería el movimiento

más simple que le puede seguir a at , presentando la expresión 2btx , donde b es la

medida de la fuerza y el único valor que describe este movimiento, el cual llama

acelerado, y en particular uniformemente acelerado. En ambos casos, justifica estas

expresiones “en base a la observación de la experiencia” (Lagrange, 1813, p.311-312) y

argumenta de manera detallada por escrito como se puede explicar estos movimientos a

través de representaciones cartesiana de rectas y parábolas. Sin embargo, no presenta

los bosquejos gráficos de esto.

15 En la actualidad lo escribiríamos como )(tfx


51

Después de esto continúa con la misma idea, planteando que el movimiento más simple

que seguirá a la expresión 2btx sería 3ctx . Aquí comenta “[…] la nature ne nous

offre aucun mouvement simple de cette espèce, et nous ignorons ce que le coefficient c

pourrait représenter, en le considérant d´une manière absolue et indépendante des

vitesses et des forces“ 16 (Lagrange, 1813, p. 313). En seguida, presenta el movimiento

uniformemente retardado de manera similar a los ya explicados. A continuación,

comienza a esbozar la manera en la cual él entiende un movimiento rectilíneo general en

base a los movimientos rectilíneos simples descritos.

Lagrange entiende que un movimiento rectilíneo cualquiera ftx puede ser descrito

como composición de estos movimientos rectilíneos simples. Esto lo hace al considerar el

tiempo t , con t fijo, de lo cual se puede, por la teoría de las funciones analíticas,

obtener la siguiente expresión:

.2

´´´)(

2

etctf

tffttf

De donde, el espacio recorrido en el tiempo será fttf )( , y podrá ser

representado de la siguiente manera:

.3.2

´´´

2

´´´)(

32

etctftf

tffttf

Donde t es una constante. De esta manera, se puede representar un movimiento

rectilíneo cualquiera como la suma de los movimientos parciales tf ´ , 2

´´2 tf,

3.2

´´´3 tf,

etc., en donde el primero representa un movimiento rectilíneo uniforme con medida de

velocidad tf ´ , el segundo representa un movimiento rectilíneo uniformemente

acelerado en donde la fuerza aceleratriz es proporcional a tf ´´2

1, y en donde los

siguientes no tienen relación alguna con movimientos simples conocidos, por lo cual no

será necesario considerarlos en particular (Lagrange, 1813, p. 314-315).

16 “la naturaleza no ofrece algún movimiento simple de esta especie, y nosotros ignoramos lo que el coeficiente c pueda representar, considerándolo de una manera absoluta e independiente de la velocidad y las fuerzas”


52

En base a esto, el autor desarrolla una abstracción del movimiento, considerando un

valor entre 0 y 1, de manera que el espacio recorrido en el tiempo puede ser

representado de manera exacta mediante la siguiente fórmula,

)(3.22

32

tftftf

en donde:

17

(Lagrange, 1797, p. 341).

En este fragmento de la obra de Lagrange se puede entender algo interesante. Lagrange

está pensado que el movimiento rectilíneo en general se puede descomponer en una

infinidad de movimientos rectilíneos simples. El tercer elemento representa la totalidad

de otros movimientos.

18

(Lagrange, 1797, p.339)

Sin embargo, la intencionalidad del autor no está en expresar el movimiento a través de

todos estos movimientos, sino solo por aquellos que tienen una interpretación “de la

naturaleza”. Es por esto que comprime en el grado tres todos los otros restos en una

17 “Los dos primeros términos representan, como se ha visto, los movimientos compuesto de uniforme y uniformemente acelerado; el tercero representa la totalidad de otros movimientos que se combinan con estos, y que impide al verdadero movimiento ser un resultado de los otros dos” 18 "Son estos los movimientos simples de los cuales todos los otros tipos de movimientos pueden ser vistos como compuestos, y el arte de la Mecánica consiste en esta descomposición y descomposición, de donde resultan las medidas entre el tiempo, los espacios, las velocidades y las fuerzas"


53

especie de residuo de la serie19. De hecho, el autor no hace ninguna pausa en esta parte

para explicar esta idea que estamos planteando. Esto es porque no es la idea que desea

difundir en estas planas. El autor continúa planteando que se puede tomar un valor de

tan pequeño como se quiera, de manera que el movimiento compuesto de los dos

términos tftf 2

2 se aproxime al valor de lo uniforme y lo uniformemente acelerado

del verdadero movimiento (Lagrange, 1813, p. 515), logrando que el término tf

exprese todo lo que puede haber de uniforme en el movimiento y el término tf 2

2a su

vez exprese todo lo que puede haber de uniformemente acelerado en el mismo.

De esta manera el autor concluye lo siguiente:

20

(Lagrange, 1813, p. 316)

Después de esto, el autor desarrolla el paralelismo que tiene estos planteamientos con la

obra de Newton, destacando que sus nociones de velocidad y fuerza aceleratriz son

simples e independientes de toda metafísica, y explica como la velocidad y la fuerza

aceleratriz, vista como funciones del tiempo, son representadas por las funciones

primeras y segundas, es decir, por las primeras y segundas derivadas.

Es interesante como el autor culmina estos planteamientos,

19 La teoría de residuos no está desarrollada en este tiempo. El mismo Lagrange afirma en el capítulo seis de la primera parte de la obra que él no puede resolver este problema de manera general. Una generalización de este método se puede encontrar en la obra de Cauchy de 1826, su teoría de residuos. 20 “Se puede concluir de esto que todo movimiento rectilíneo, representado por la ecuación ftx , puede,

en un instante cualquiera después del tiempo t , puede ser observado como compuesto de un movimiento uniforme […] y de un movimiento uniformemente acelerado […]”


54

21

(Lagrange, 1813, p. 316)

Estas líneas plantean un aspecto sobre la racionalidad argumentativa del autor. Las

razones que está considerando el autor para sustentar su pensamiento se basan en la

confirmación de las observaciones de la naturaleza. En toda esta parte de las

aplicaciones de la mecánica, por más anunciado que sea la lejanía de toda metafísica, el

autor está usando como contexto de significación y argumentativo a los fenómenos de la

naturaleza, es decir, al conocimiento sensible del mundo. Este contexto es el que provee

las ideas germinales de su método para el cálculo infinitesimal y el que brinda su validez

significativa. Tanto por su producción, sus preocupaciones teóricas y el análisis de este

texto, además de la consideración de las obras de su periodo histórico, podemos decir

que Lagrange es un representante de un periodo en el cual el conocimiento matemático

es relativo, dependiente en distintos grados, de las ciencias de su época, es decir, una

época en la cual el conocimiento matemático es

relativo al conocimiento sensible del mundo.

2.3.2 Evidencias en el artículo de 1772

Antes de continuar brindaremos más argumentos

que validan nuestra tesis: “El contexto de

significación de la obra matemática de Lagrange

se encuentra en su Mecánica. Si esto es así, debe

existir alguna evidencia en la obra germinal de la

obra de Lagrange, la publicación de 1772. Cuando

Lagrange dice en la introducción de la Teoría de

las Funciones Analíticas “he recordado mis

ancianas ideas sobre el cálculo diferencial […]”

(Lagrange, 1813, p.5)22, se está refiriendo a su publicación de 1772, publicada en la

21 “varios fenómenos de la naturaleza, y sobre todo los resultados de diferentes experiencias que pueden ser imaginadas sobre la caída de cuerpos, confirman plenamente la conclusión que nosotros hemos encontrado, y que debe ser consideradas como el principio fundamental de toda teoría del movimiento”


55

Academia de Berlín, titulada “Sur une nouvelle espèce de calclu relatif a la

différentiation et a l´intégration des quantités variables”23. Es interesante destacar las

producciones anteriores a esta, como la del estudio de la propagación del sonido

(publicados en los años 1759, 1761 y 1769) en los cuales plantea la ecuación diferencial

general para el movimiento, y una publicación sobre las leyes de Kepler (año 1771). Es en

este tiempo que el autor comienza a resolver problemas de la aritmética, el álgebra y el

cálculo de su época, presentando su método de variaciones. En este contexto se publica

este artículo de 1772.

En este artículo expone básicamente el mismo método analítico para el cálculo

infinitesimal en base a la serie de Taylor propuesto en 1797, pero con algunas pequeñas

diferencias el uso de la notación matemática24. Al igual que en la Teoría de las Funciones

Analíticas, Lagrange criticando el uso de los infinitésimos y remarca que su método es

independiente de toda metafísica. Algunos aspectos que no se encuentra explícitos en la

obra de 1797 es la alusión al cálculo integral. En la introducción del artículo explica

como idea germinal del modelo la idea introducida por Leibniz años antes sobre la

relación entre las potencias positivas con la diferenciación y la de las potencias negativas

con la integración, y plantea al cálculo diferencial como encontrar las funciones

derivadas y del cálculo integral como el encontrar las funciones primitivas.

Un aspecto interesante de contrastar las dos publicaciones, a saber, 1772 y 1797, es que

son dos tipos de difusiones diferentes. La segunda tiene una intencionalidad de difusión

escolar, la primera no. Ya hemos explicado como la comunicación de las ideas depende

de los destinatarios. Al ser una difusión escolar, la obra de 1797 introduce la obra de

manera secuenciada y organizada, de una a varias variables. Esto es así por la

transposición que produce la transformación del saber en un discurso escolar. Sin

embargo, en la obra de 1772, al ser una obra de difusión científica, la mediación de la

difusión actúa de manera diferente. Aquí la presentación de una y varias variables se da

en conjunto, y la pequeña cantidad de planas también hace que el autor tenga que filtrar

la información y lo lleve a comunicar lo medular de su resultado25. En base a estas

22 “[...] j´ai rappelé mes anciennes idées sur ceux du Calcul différentiel“ 23 Sobre una nueva especie de cálculo relativo a la diferenciación y a la integración de cantidades variables 24 Aquí no se encuentra la notación fx, sino dice “una función de x”. Por esto, a diferencia del escrito de 1797, nunca escribe el desarrollo de la serie como igual a la función tal correspondiente. 25 Es en el contraste de estas dos obras que nos podemos acercar a los pensamientos del autor sobre el corazón de su obra. Ambas obras están mediadas por la intencionalidad de comunicación, a públicos diferentes y con intencionalidades de comunicación diferentes. Entender esta mediación es lo que nos lleva a acercarnos al pensamiento original del autor. Analizar este escrito de difusión científica nos hace


56

diferencias, encontramos en el artículo de 1772 una preocupación especial por obtener

resultados para funciones de varias variables. Esto lo explicaremos a continuación:

En la introducción del artículo el autor remarca que para comenzar:

(Lagrange, 1772, p. 442)

Esta naturaleza es la posibilidad de realizar desarrollos en series de Taylor para cualquier

función finita de una o varias variables. Se puede ver como a lo largo del escrito el autor

presenta su método primero en una variable con un fin explicativo, pero inmediatamente

después lo presenta para funciones de varias variables. En los dos casos que presenta el

artículo, el autor, al referirse a funciones de varias variables, hace alusión a funciones de

variables .,,,, etctzyx Para cada caso hace alusión a estas variables en ocasiones

reiteradas.

En el primer caso, al plantear el desarrollo de series de Taylor para mostrar las funciones

derivadas, primero presenta el modelo para la variable x , después para dos variables

yx, , y enseguida lo presenta para varias variables de la siguiente manera:

26

(Lagrange, 1772, p. 446)

Aquí una función de varias variables para el autor es representada por las variables

,...,,,, tzyx .

entender que el interés del autor no está en las funciones de una variable, sino que está en la modelación del espacio físico mecánico. Esto no se podría haber entendido de la sola obra del 1797, pues, por ser una obra de difusión escolar, y por tanto sus destinatarios alumnos que se introducen a estos temas, necesita un encadenamiento de las ideas desde una variable hasta varias variables, viéndose estas últimas como una simple generalización del método de una variable, ocultando de esta manera esta intencionalidad del autor de modelar el espacio mecánico. 26 “En general, si u es una función de ,...,,,, tzyx […]”


57

En la segunda ocasión plantea la relación entre las funciones derivadas que el presenta

con los diferenciales de Leibniz. Aquí presenta primero el desarrollo para una variable x

y después ya no lo hace para dos variables, sino que inmediatamente lo presenta para

varias variables, en varios fragmentos de los cuales mostramos dos:

27

(Lagrange, 1772, p.448)

28

(Lagrange, 1772, p.449)

Nos preguntamos, ¿Por qué Lagrange, al referirse a una función de varias variables, o de

un número cualquiera de variables, hace alusión a las variables ,...,,,, tzyx ? Una posible

respuesta es porque está pensando en funciones que permiten trabajar en el espacio

Mecánico. Está pensando en funciones de la mecánica, en funciones que permiten

modelar el movimiento. Recordemos que, para Lagrange, las funciones del movimiento

están en función del tiempo t y la posición dependerá de un punto en el espacio de

coordenadas zyx ,, , generando el sistema mecánico de variables tzyx ,,, , entendiendo

de esta manera al análisis mecánico como una extensión del análisis geométrico

(Lagrange, 1813, p.311). Las ideas germinales de la Teoría de las Funciones Analíticas, la

obra de 1772, son una matematización del espacio físico Mecánico para la modelación

funcional del movimiento. Esta evidencia reafirma nuestra tesis: “El contexto de

significación de la obra matemática de Lagrange se encuentra en su Mecánica”.

Ahora bien, en base a esta tesis es que podemos formular el cómo significaba Lagrange

su obra. Afirmamos que cuando Lagrange mira el desarrollo en series de Taylor de

funciones arbitrarias, tiene en mente la modelación funcional del movimiento rectilíneo

(Figura 2.2)

27 “Y si u es una función de varias variables u ,...,,,, tzyx se tendrá […]” 28 “[…] si en una función u de un número cualquiera de variables ,...,,,, tzyx […]”


58

Figura 2.2

Esta es la idea que él tomó como modelo y generalizó para desarrollar su construcción

matemática, su método analítico para el cálculo infinitesimal. Lagrange es un

matemático que concibe al conocimiento matemático como relativo al conocimiento

sensible del mundo. Esta racionalidad del conocimiento matemático es la que lo hace ver

cómo ve. Es en base a esta manera de mirar que se debe entender la Teoría de las

Funciones Analíticas de Lagrange. Es justamente en esta manera de mirar, en esta

racionalidad, que debemos entender como el autor mira su obra en relación a la

representación analítica de funciones arbitrarias.

2.4 EL SIGNIFICADO QUE TIENE PARA LAGRANGE LA REPRESENTACIÓN ANALÍTICA.

Con todos los elementos analizados retomamos la pregunta inicial: ¿Qué significado

tiene para Lagrange, en su Teoría de las Funciones Analíticas, la representación analítica

de funciones arbitrarias29?

29 El calificativo de arbitrarias lo utilizamos para dar una coherencia a la investigación. Es un término utilizado por Weierstrass para considerar una función cualquiera. Lagrange utiliza la noción “función cualquiera”, no función arbitraria. Recalquemos que el espacio de funciones, es decir, el tipo de funciones consideradas arbitrarias, es diferente en los casos de estos matemáticos, pues el tamaño de este espacio evoluciona juntamente con la problemática de la analiticidad de las funciones.


59

En relación al significado que atribuía Lagrange a representación analítica, podemos

afirmar que para él una representación analítica no es una representación polinomial,

como se entiende en la actualidad. Sino, más bien, es el desarrollo de una función en

series de Taylor, hasta un grado cualquiera más un residuo que comprime a todos los

valores siguientes. Esta igualdad es para el autor una representación analítica de una

función arbitraria. Esto lo argumentaremos a continuación, pero vamos por partes.

La primera precisión necesaria es el significado que tiene para el autor la palabra

“analítico”. Esta palabra alude a un método propio de la época, que consistía en llevar el

estudio de las ciencias de su época a los método del análisis, esto es, el algebraico

(Lagrange, 1813). Un método analítico para Lagrange es un método válido en las

fronteras del análisis, no fundamentados en ideas extranjeras como los infinitésimos, las

cantidades evanescentes, las fluxiones o los límites.

(Lagrange, 1813, p.182?)30

Se puede observar que el método utilizado por Lagrange para encontrar las funciones

derivadas es puramente algebraico. Está el supuesto del desarrollo de la función

)( axf , siendo este valor a un infinitésimo. Sin embargo esto lo deja como un

conocido teorema de series. Más allá de la consideración de este valor, todo el método

es puramente algebraico. Para Lagrange, en breves palabras, un método analítico es un

método que se basa en las leyes del álgebra.

30 “Nuestro objeto, en esta primera parte, no ha sido más que establecer la teoría de funciones y de ecuaciones derivadas de una manera puramente analítica e independiente de toda suposición o consideración extranjera” (Negrita puesta por los investigadores)


¿Miraba Lagrange, en esta expresión, una representación polinomial de una función arbitraria?


60

El término analítico apareció con bastante fuerza en la época de Lagrange. Sus obras,

Mecánica Analítica de 1788 y Teoría de las Funciones Analíticas de 1797 vinieron a

reestructurar el conocimiento científico de su época en relaciones puramente

funcionales, con métodos generales y demostrables en el rigor de la época, en base a

reglas algebraicas con el anunciado rigor de los ancianos geómetras, el cual había sido

en cierto grado abandonado por Newton y Leibniz. Existen otras obras, incluso en otros

campos del conocimiento, que utilizaron esta terminología, como la Teoría Analítica de

las Probabilidades31 de Laplace publicada en 1820.

El significado de representación analítica para Lagrange

Ahora bien, cuando Lagrange observaba el desarrollo de una función arbitraria en series

de Taylor, el no observaba un desarrollo infinito, sino que observaba un desarrollo hasta

un cierto grado, más un valor que jugaba el papel de residuo. Esto se puede entender del

contexto de significación mecánico de la modelación funcional del movimiento

rectilíneo, la idea germinal que fue generalizada por Lagrange para obtener su método.

Ciertamente Lagrange ve la posibilidad de que una función pueda expresarse por una

suma infinita de coeficientes de un desarrollo de serie de Taylor, como también veía que

un movimiento rectilíneo cualquiera puede escribirse como una suma infinita de

movimientos simples. Sin embargo, lo que generalizó Lagrange, fue la modelación

funcional del movimiento, que es la suma de las expresiones que representan al

movimiento uniforme y uniforme acelerado, más una tercera expresión a totalidad de los

otros movimientos que se combinan con estos y que no tienen una explicación mecánica

(Lagrange, 1797, p.342) en una especie de residuo de serie.

(Lagrange, 1797, p.341)

31 Théorie analytique des probabilités. P. S. Laplace (1749- 1827) fue un astrónomo, físico y matemático Francés, contemporáneo a Lagrange, autor entre otras de la Mecánica Celeste.


61

Al estudiar el capítulo seis de la primera parte de la obra, se puede observar como esta es

la idea germinal que lleva al planteamiento de lo que es una representación analítica

para Lagrange. Este capítulo resuelve el problema de la resolución general de funciones

cualquiera en series de Taylor. Es en este capítulo que el autor plantea las ecuaciones

que hoy se interpretan como una representación polinomial de una función arbitraria.

El autor comienza este capítulo afirmando que se puede encontrar el desarrollo en series

para una función cualquiera fx32 (Lagrange, 1813, p.54) Considera, para 0x , el

desarrollo en series de Taylor de una función fx de la siguiente manera


Después de expresar diversos desarrollos que fundamentan esta ecuación, plantea un

desarrollo más simple de esta expresión, al considerar la serie


En la cual derivando sucesivamente la expresión se encuentra que

.´´,2

1´,, etcfCfBfA (Lagrange, 1813, p.55-56). En relación a este método

presentado, el autor juzga lo siguiente:

33


Es decir, la intencionalidad de mostrar estas fórmulas es efectivamente la posibilidad de

truncar el desarrollo de la serie en algún término que se quiera. Si el autor estaría

32 Hasta aquí, todos los desarrollos en series se realizaron para funciones del tipo )( ixf 33 “Pero la gran ventaja del método […] consiste en que este brinda una manera de de parar el desarrollo de la serie en el término que se quiera, y de juzgar el valor del resto de la serie”


62

pensando en el gran resultado de lograr representaciones polinomiales funciones

arbitrarias, entonces mínimo hubiera realizado algún comentario en esta parte de la

obra. Sin embargo, no existe ningún comentario o alusión a representaciones

polinomiales, ni en estos extractos ni a lo largo de toda la obra.

El autor continúa esta idea de truncar el desarrollo de la serie, proponiendo un método

particular para un desarrollo en serie de grado 1, 2 y 3. Es en esta parte donde se ve la

clara influencia del contexto de significación mecánico como una idea germinal del

método que ha sido generalizada.

(Lagrange, 1797, p.72-73)

La tercera expresión Rxfx

xffxf 32

´´2

´)( , le pareció suficiente al autor para

explicar este sistema de truncar los desarrollos de series. Si observamos es equivalente al

desarrollo de la modelación del movimiento, donde la tercera expresión acumula todos

los otros movimientos rectilíneos simples que representan el movimiento.

Al considerar esta expresión, ¿será que el autor está intentando demostrar que esto se

cumple para cualquier grado?, ¿o está generalizando la idea de una suma finita más un

residuo? Nosotros nos inclinamos más por esta segunda interpretación. Esto por ser la

modelación funcional del movimiento la idea germinal que es generalizada por Lagrange

y también por considerar que no existe ninguna alusión en el escrito a una

representación polinomial de una función arbitraria.


63

En relación a una representación analítica, lo que continúa de estos fragmentos en el

capítulo 6 de la obra nos sorprendió mucho. Después de afirmar que el análisis

desarrollado en este capítulo brinda una manera de encontrar los restos de la serie, en el

lugar que se desee interrumpir, “a su primer, segundo, tercer, etc., término”


…el autor afirma la siguiente frase:


“He aquí, el problema resuelto analíticamente”. Esta es la primera vez que hace alusión a

esta idea. Por tanto, se puede comprobar la igualdad de la función con su desarrollo en

series en base al acotamiento de esta en algún momento mediante el cálculo de un resto

específico. También hay que hacer una aclaración lingüística. La palabra Voilà en francés

se ocupa para cuando algo se ha terminado, cuando algo está listo, es una palabra muy

del lenguaje cotidiano pero poco del lenguaje escrito. De hecho, es la única vez que

aparece en toda la obra de Lagrange. Esta palabra representa haber terminado lo que se

comenzó, poder expresar una función arbitraria como la suma de una sucesión finita de

términos de una serie de Taylor más un resto, el cual puede ser una función trascendente,

por lo que la representación completa no sería siempre una representación polinomial.

Finalmente, si Lagrange no está diciendo que una función arbitraria puede ser

representada puntualmente por una función polinomial, entonces ¿qué es lo que está

diciendo?


En todo momento, al referirse a un desarrollo en series de una función arbitraria, el autor

remarca la relación existente entre las funciones primitivas y derivadas. En todas las


64

partes remarca esta idea. En relación a la igualdad entre la función desarrollada y la

serie, no hace comentarios y se refiere solamente en contadas ocasiones, solo en tenor

de poder argumentar su método. El autor no da una significación a la igualdad, que es la

significación que le damos actualmente en relación a la analiticidad de las funciones. Lo

importante del autor de esta expresión es que le permite obtener un método para, dada

una función primitiva, calcular analíticamente (por reglas del álgebra) sus funciones

derivadas.

En el siguiente capítulo explicaremos cómo esta racionalidad del conocimiento

matemático relativo al conocimiento sensible del mundo evolucionó, desprendiéndose

este de este conocimiento sensible y encontrando su racionalidad en una arquitectura

interna de la matemática. Esta evolución, que se presenta como un quiebre a la

racionalidad del conocimiento matemático del siglo XVIII, es provocada por una

fenomenología del conocimiento y por una expresión ideológica del debate intelectual

post-revolución entre los partidarios de las ideas de la ilustración y los adherentes a los

planteamientos monárquicos.

65

CAPÍTULO 3

UN QUIEBRE Y EL COMIENZO DE UNA NUEVA MANERA

DE VER EL HACER MATEMÁTICAS

66

CAPÍTULO 3

UN QUIEBRE Y EL COMIENZO DE UNA NUEVA MANERA DEL VER EL HACER

MATEMÁTICAS

Como hemos visto, la crítica de Cauchy a Lagrange tiene un rol argumentativo de una

nueva construcción del cálculo infinitesimal que abandona el uso de las series, esto es, el

corazón de la Teoría de las Funciones Analíticas de Lagrange. Saber esto nos ayuda a

aclarar la interpretación de la crítica con base a la evolución del problema de la

analiticidad de las funciones en este periodo. Sin embargo, es nuestro interés ir más allá,

y ubicar la evolución estudiada en escenarios históricos, donde lo sociocultural nos

brinde una manera nueva de mirar este problema matemático. Esto se sustenta en

nuestro planteamiento Socioepistemológico acerca de que no podemos entender una

obra antigua soslayando su contexto sociocultural, pues es en tal contexto donde esta

adquiere significación34. Es por esto que estudiamos esta nueva arquitectura del cálculo

propuesta por Cauchy, y por lo que también decidimos entender más que esta nueva

arquitectura, el por qué de esta nueva arquitectura. Estudiar esto nos permitió entender

una dimensión social inmersa en el desarrollo de la analiticidad de las funciones, esto es,

un quiebre y un nuevo comienzo de la manera de mirar el hacer matemáticas. Un quiebre

de considerar a la matemática como relativa al conocimiento sensible del mundo y un

comienzo hacia el abandono de esta relación. ¿Por qué un matemático como Cauchy se

aventura a plantear un cambio como éste, tan radical para su tiempo histórico? Son los

acontecimientos políticos de su época y su historia, su cuna, la que hacen que Cauchy

tome esta postura del conocimiento como filosofía de vida, una expresión del

pensamiento político de su tiempo, el cual se plasma en su revolucionaria construcción

matemática, deslindada de la realidad sensible y sustentada en sí misma. De esta manera,

Cauchy rompe con la relevancia de la generalización en el quehacer matemático e

impone la abstracción como método de rigor de las construcciones matemáticas,

logrando desarrollar un trasfondo filosófico que norma el discurso matemático escolar

desde él hacia delante.

34 Cauchy ha sido tema de estudio de diversos filósofos e historiadores de las ciencias. La literatura referente a Cauchy es tan abundante como su obra misma (Dhombres, 1994, p.14) Lo alternativo de la presentación que hacemos es la mirada Socioepistemológica que hacemos a su obra, caracterizándola en base a nuestra noción de Racionalidad.

Un quiebre y el comienzo de una nueva manera de ver el hacer matemáticas _ Capítulo 3

67

Comenzaremos con las condiciones sociopolíticas de su época, para hacer todo un

recorrido que nos permita entender el por qué de esta nueva y revolucionaria

arquitectura del cálculo y el análisis matemático.

3.1 LA CRÍTICA A LAGRANGE, UNA PUBLICACIÓN PARA FUNDAMENTAR UNA NUEVA

CONSTRUCCIÓN

Veinticinco años después de la publicación de la teoría de las funciones analíticas de

Lagrange, A. L. Cauchy (1789-1857), matemático y físico francés, después de estar cinco

años como profesor de análisis de la École Polytechnique y un año después de haber

publicado su Curso de Análisis (1821), publica un artículo en el que deja evidencia cómo

la teoría de Lagrange es insuficiente y arroja conclusiones restringidas a problemas de las

matemáticas de la época. El artículo crítica el desarrollo de funciones arbitrarias en series

de Taylor, el corazón de la obra de Lagrange. Una interpretación a-histórica puede

considerar que la intencionalidad de este artículo es considerar que este cuestiona el

desarrollo analítico de las funciones arbitrarias. Sin embargo, ya mostramos que esta

interpretación no se encuentra en esta época. Como mostraremos a continuación, desde

varios años antes de Cauchy, la teoría de Lagrange era criticada por la necesidad de

asegurar la convergencia de las funciones. Es de aquí que la crítica de Cauchy, más que

aludir a un supuesto error de Lagrange, tiene el fin de argumentar una nueva

construcción del cálculo y el análisis matemático, de la cual él es creador, buscando que

esta nueva construcción se institucionalizara en la École.

3.1.1 La crítica de Cauchy a la Teoría de las Funciones Analíticas de Lagrange

La crítica fue publicada el año 1822 bajo el título Sur le développement des fonctions en

séries et sur l´intégration des équations différentielles ou aux différences partielles35, en

el Bulletin de la Société Philomathique de Paris. El escrito comienza señalando una

diversidad de teoremas importantes que se demuestran basándose en el desarrollo de

las funciones en series de Taylor como el fundamento del cálculo infinitesimal, entre los

que se encuentran teoremas sobre integrales y ecuaciones diferenciales.

35 “Sobre el desarrollo de funciones en series y sobre la integración de ecuaciones diferenciales o de diferencias parciales”


68

Inmediatamente a continuación analiza el siguiente supuesto sobre el desarrollo en

series:

36

(Cauchy, 1822, p. 276)

Es decir, señala la hipótesis implícita de que una función está completamente

caracterizada por el desarrollo de una serie. Cauchy muestra en el artículo que este

planteamiento no es del todo correcto, y más aún, al no serlo, encuentra diferentes

funciones que tienen el mismo desarrollo en series, lo que hace poner en duda los

argumentos de equivalencia de la función con sus desarrollos en series planteados por

Lagrange. Esto lo hace de la siguiente manera.

Si se tiene una función desarrollable en serie de Maclaurin

...)0´´(2.1

)0´(1

)0()(2

fx

fx

fxf , en donde el sistema de funciones

),...0´´(),0´(),0( fff está relacionado siempre a un valor único de la función )(xf . En

base a esto, si los valores de la serie ),...0´´(),0´(),0( fff son cero, por defecto el valor

de )(xf también debería hacerse cero. Es justamente lo que critica Cauchy, al plantear

que esta conclusión puede no ser exacta (Cauchy, 1822, p.277), y da algunos ejemplos

para los cuales las derivadas en cero son cero pero el valor de la función en cero no es

necesariamente cero:

36 “Siempre, al reemplazar la función por su serie de Taylor, se supone implícitamente que la función está completamente caracterizada por el desarrollo de esta considerando un número infinito de términos, al menos en lo que sus términos obtienen valores finitos”


69

, (para x>0)

37

(Cauchy, 1822, p. 50).

En base a este argumento Cauchy plantea una crítica a un punto medular de la teoría de

Lagrange. Afirma que la convergencia de la serie de Taylor a la función arbitraria no se

dará para todos los casos. (Lagrange plantea que si para “todos”38 los casos). En efecto, si

consideramos una función )(x desarrollable en una serie convergente de Maclaurin y

otra función )(xz donde la serie se reduce a cero, entonces las dos funciones )(x y

)()( xzx distintas una de otra, tendrán por desarrollo una misma serie convergente.

39

(Cauchy, 1822, p. 278).

Por tanto, no se puede decir que la serie converge siempre a la función, pues con esto

estaríamos diciendo que las dos funciones señaladas son iguales, lo cual es

contradictorio. Es más, esto pasa con una infinidad de funciones diferentes a las otras

que tienen la misma serie convergente. De aquí Cauchy afirma que no está permitido

37 “se puede entonces encontrar para )(xf una infinidad de funciones diferentes donde el desarrollo en

series de potencias de x se reducirán a cero” 38 “Ponemos en paréntesis todos porque él todos de Cauchy, como mostraremos más adelante, es diferente al todos de Lagrange”.

39 “Por ejemplo, las series 2xe

y 22

1

xx ee

tienen por desarrollo común la serie convergente

...3.2.12.11

1432

xxx

Donde la suma equivale a una sola de entre ellas”


70

substituir indistintamente las series de funciones por las mismas funciones, a no ser que

efectivamente la serie sea igual a la función. El autor continúa:

40

(Cauchy, 1822, p.278)

Es en este fragmento donde Cauchy hace llamado de atención sobre la importancia del

desarrollo de una teoría de residuos. Una función no puede ser vista como una serie

infinita de términos, sino debe considerarse completada por un resto donde su valor está

comprimido entre ciertos límites (Cauchy, 1822, p.278)

El autor cierra la crítica al plantear que no será sorpresa encontrar defectos en algunas

proposiciones generales establecidas por medio de series. Afirma contentarse con

presentar, a modo de ejemplo, el caso del método basado en series para resolver una

ecuación diferencial de primer orden con dos variables, en donde muestra que el

resultado encontrado es un caso particular en función de la solución general del

problema. Como en todas las ocasiones anteriores, Cauchy escribe:

41

(Cauchy, 1821, p.279)

En seguida muestra en detalle la insuficiencia del método fundado en el desarrollo en

series. Después el autor propone un método para sustituirlo, citando el método expuesto

por él en una de sus Lecciones de la Escuela Politécnica, los cuales anuncia como objeto

de una nueva memoria.

40 “en toda otra hipótesis, las series no pueden ser empleadas con una entera confianza al menos que se encuentren reducidas a un número finito de términos, y completadas por los restos donde se conocen los valores exactos de sus aproximaciones. […]” 41 “Pero esta proposición no es siempre verdadera […] Para todos los casos este modo de determinación no podrá ser considerado como suficientemente exacto”


71

3.1.2 El por qué de la crítica: la argumentación de una nueva construcción matemática.

Es interesante entender que las críticas a Lagrange no eran poco recurrentes en la época

de Cauchy. En la década de 1810 existieron muchas críticas en relación al naciente

concepto de convergencia. ¿Por qué Cauchy habrá publicado una crítica a una obra que

ya tenía bastantes críticas fundamentadas? Al analizar la obra matemática del autor,

encontramos información relevante en las publicaciones didácticas de Cauchy

posteriores al año de la publicación de la crítica.

En 1823 Cauchy publica sus lecciones sobre el cálculo infinitesimal42. En esta obra el

autor planta el estudio de la función derivada regresando al método rechazado en la

obra de Lagrange, los infinitésimos. En la introducción de la obra, el autor comenta:

43

(Cauchy, 1823, p.2-3)44

42 Cauchy, A. (1823). Résumé des leçons données à l´école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal. 43 “Por esta razón, he creído deber rechazar los desarrollos de funciones en series infinitas, todas las veces que las series obtenidas no sean convergentes; y me he visto obligado a llevar al cálculo integral la formula de TAYLOR, esta fórmula no podrá más ser admitida como general más que cuando la serie que ella contiene se encuentre reducida a un número finito de términos, y completada por una integral definida.


72

Como podemos ver, Cauchy le da a la publicación de la crítica del año anterior un

carácter argumentativo de su presentación didáctica, la cual retoma como hemos dicho

las nociones infinitesimales como método para el cálculo. Nótese que dice que “los

principios del cálculo diferencial y sus aplicaciones más importantes pueden ser

fácilmente expuestas sin la intervención de series”

En el capítulo tres de esta obra el autor introduce la función derivada. La síntesis que

hace es interesante, pues retoma los planteamientos infinitesimales y de razón de

Leibniz, pero le da el carácter funcional introducido por Lagrange. Cauchy regresa al

método de los infinitésimos por considerar la simplicidad que proveen el uso de los

mismos como método del cálculo diferencial (Cauchy, 1823). De esta manera, Cauchy

define la derivada como el límite de razones de la diferencia…

i

xfixf

dx

di )()(

…en donde, la función derivada )(xfy es considerada una función continua (Cauchy,

1823, p.235). Esta noción de continuidad es introducida por Cauchy en su Curso de

Análisis de 1821 como el cimiento fundamental de su nueva arquitectura propuesta para

el cálculo. De esta manera Cauchy define la derivada sin el uso de series de Taylor.

Este mismo uso argumentativo de la crítica se encuentra en la introducción de la obra de

1829, en la cual república la primera parte de las lecciones del cálculo infinitesimal en la

escuela politécnica, con adaptaciones y una reorganización del escrito. En la

introducción vuelve a plantear extractos cuasi literales del reseñado anteriormente. Es

No ignoro que el ilustre autor de la Mecánica analítica tomó la formula y la uso como base de su teoría de las funciones derivadas. Pero, aunque con todo el respeto que merece una grande autoridad como él, la mayoría de los geómetras en este momento están de acuerdo al reconocer la incertidumbre de los resultados a los que puede conducir el empleo de series divergentes, y nosotros agregamos que, en diversos casos, el teorema de TAYLOR parece proporcionar el desarrollo de una función en serie convergente, aunque la suma de la serie difiere esencialmente de la función propuesta. Finalmente, aquellos que lean mi obra, se convencerán, yo espero que los principios del cálculo diferencial y sus aplicaciones más importantes pueden ser fácilmente expuestas, sin la intervención de las series”

44 En el final de la lección 38 de las lecciones, en cortas líneas, se plasmará nuevamente la ecuación 2

1

xe

conocida como la función de la crítica de Cauchy a Lagrange. Sin embargo, este es un malentendido de la

idea de la crítica, pues el autor en la publicación original se refiere a funciones del tipo 2

1

xe

y no simplemente a esa función. Esta mala interpretación es negativa al intentar entender la vinculación que tienen los tres autores estudiados en esta investigación. El comentario de la lección 28 corresponde a una reseña de una difusión realizada, no es en sí misma la difusión del tema.


73

interesante como el autor sitúa esta obra entre algunas obras didácticas de la época,

como la misma Teoría de las Funciones Analíticas de Lagrange, el Cálculo Diferencial de

Euler, el de Lacroix, en las lecciones y memorias de Ampere, entre otras. (Cauchy, 1829).

Este uso argumentativo de la crítica también se encontró en producciones no didácticas.

En la Mémorie sur divers points d´analyse (Cauchy, 1829b), el autor presenta el método

para determinar condiciones de convergencia para una serie, en función si el resultado

de z

zf )( es superior o inferior a la unidad. Este escrito comienza con el comentario que

hace el autor sobre que se puede desarrollar en series las raíces de ecuaciones, o las

funciones de estas raíces, con la ayuda de la fórmula dada por Lagrange. Destaca su uso

para algunos problemas de Astronomía. Pero comenta

45

(Cauchy, 1829b, p.29)

Después considera un resultado de Laplace, en donde la convergencia de algunas series

dependerá en casos particulares del valor de la excentricidad, en base a lo cual se

pregunta sobre si será posible fijar generalmente las condiciones de convergencia de la

serie de Lagrange y de otras fórmulas del mismo género (Cauchy, 1829b, p.30).

Abstrayendo la idea de Laplace, Cauchy propone el criterio para determinar las

condiciones de convergencia de la serie de Lagrange. Considerando, por la fórmula de

Lagrange, el desarrollo en serie de la raíz z de la ecuación )(zftz 46, entonces la

serie obtenida convergerá o divergirá en base al valor numérico de z

zf )(. Este teorema

lo demuestra y ejemplifica en esta publicación. Nos preguntamos ¿Por qué buscar

condiciones de convergencia? En efecto es por la crítica publicada en 1822, en la cual se

considera como necesario para trabajar con desarrollos en series, que éstas sean

convergentes. Es decir, la crítica está fundamentando el estudio de la convergencia.

45 “Pero, como las series de este género no pueden ser útiles más que en los casos donde éstas son convergentes, es muy importante fijar las condiciones de sus convergencias” 46 Es difícil ver en el original si la constante es t o r. Sin embargo nuestro interés está en el desarrollo de serie f(z)


74

Recordemos además que en el curso de análisis (Cauchy, 1821) se dedica por completo el

capítulo cuatro para estudiar la convergencia y la divergencia de series.

Por tanto, entendemos que la crítica de Cauchy a Lagrange (1822) tiene un rol normativo

importante en la producción matemática de Cauchy. Ésta, más que una simple crítica, es

un argumento para fundamentar una nueva construcción del cálculo, la cual se sustenta

en un nuevo paradigma: una visión de la matemática desprendida intencionalmente del

conocimiento sensible del mundo, y la cual remplaza a la serie de Taylor del corazón del

cálculo con su definición de Continuidad, la piedra fundamental de su nueva

arquitectura para el cálculo y el análisis matemático. Esta nueva construcción nace para

dar servicio a la École Polytechnique, y por tanto tuvo que pelear su validación

institucional con las otras obras didácticas de la escuela, de las cuales la de Lagrange fue

la primera y cuyo autor tenía un reconocido nombre en la Escuela.

Pero, ¿por qué es tan diferente esta nueva arquitectura dada por Cauchy? Para responder

esto profundizamos en esta dirección.

3.2 UNA NUEVA ARQUITECTURA MATEMÁTICA QUE RECHAZA EL CONOCIMIENTO

SENSIBLE DEL MUNDO

Cauchy, en el contexto de la preparación de sus cursos de análisis de la escuela

politécnica, redactó su obra didáctica titulada Curso de Análisis de la Escuela Politécnica

(1821). Esta obra de 471 páginas contiene 11 capítulos a

los que se les incluyen algunas notas de los cursos dictados

en la escuela politécnica desde 1816. Esta obra es la

primera en la historia del cálculo que no tiene ningún

ejemplo o alusión al conocimiento científico de su tiempo a

lo largo de todas sus páginas. Todas las obras antiguas o de

su época relacionan explícitamente la matemática con el

conocimiento sensible de sus épocas. La tercera parte de la

obra de Lagrange, las aplicaciones de la Teoría de las

Funciones Analíticas a la Mecánica es un claro ejemplo del paradigma de los libros de

texto de la época, los cuales contenían muchas páginas para las aplicaciones, libros

donde el cálculo diferencial se presenta como preliminar a la mecánica y sólo para su

utilización práctica (Dhombres, 1994). Esta particularidad esconde un tema más


75

profundo, el de la epistemología del conocimiento matemático. En efecto, en esta obra

aparecen conceptos nuevos que no tienen ideas germinales en las ciencias de su tiempo,

y que pertenecen propiamente tal al campo de las matemáticas. De esta manera, Cauchy

es el primero en plantear a la matemática como una ciencia desprendida del

conocimiento sensible del mundo.

3.2.1 El contenido de la obra

La obra es una reorganización de la matemática estudiada hasta su época bajo la

introducida noción de continuidad y con una intencionalidad de cimentarla en una nueva

arquitectura y con la necesidad de construir un discurso matemático escolar como

servicio a la École Polytechnique. La obra comienza con consideraciones generales sobre

las funciones, las cuales se entienden como relaciones entre cantidades que varían. La

notación de función ya nota una evolución en relación a Lagrange, pues escribe f(x) para

referirse a una función de x47. Cauchy distingue entre funciones algebraicas,

exponenciales o logarítmicas, y trigonométricas o circulares. Cauchy además diferencia

entre funciones simples y compuestas, en donde considera como funciones a expresiones

del tipo x x o ))log(cos( x , las cuales no eran consideradas por Lagrange (Cauchy, 1994,

p.79-80). El autor entiende como función entera a las funciones que tienen potencias

enteras de sus variables, como lo es ... dzcybxa siendo bxa el caso de una

variable.

Después, en el capítulo dos, trata las cantidades infinitamente pequeñas. Define una

cantidad como infinitamente pequeña cuando su valor numérico decrece

indefinidamente de manera que converge hacia el límite 0. Habla de cantidades

infinitamente pequeñas de primer, segundo, tercer orden, etc., y demuestra 8 teoremas

sobre estas cantidades. El autor expresa que “al hablar de la continuidad de las

funciones, no he podido evitar el dar a conocer las principales propiedades de las

cantidades infinitamente pequeñas” (Cauchy, 1994, p.73). De aquí es que,

inmediatamente después de demostrar el octavo teorema, de la definición de

continuidad de las funciones para una variable:

47 Lagrange lo denotaba como fx. Es interesante que Gauss (1822) continúe utilizando la notación de Lagrange, un año después de la publicación del curso de Cauchy.


76

48

(Cauchy, 1821, p.43)

Posteriormente el autor afirma que las funciones consideradas al inicio cumplen con la

definición de continuidad para dos límites finitos de la variable x, siempre y cuando la

función no sea indefinida. Después explicita los dominios de continuidad de estas

48 “Sea f(x) una función de la variable x, y supongamos que, para cada valor de x intermedio entre dos límites dados, esta función admite constantemente un valor único y finito. Si, a partir de un valor de x comprendido entre estos límites, se atribuye de la variable x un incremento infinitamente pequeño , la función misma recibirá como incremento la diferencia f(x+)-f(x), que dependerá al mismo tiempo de la nueva variable y del valor de x. Dado esto, la función f(x) será, entre los dos límites asignados a la variable x, una función continua de esta variable si, para cada valor de x intermedio entre esos límites, el valor numérico de la diferencia f(x+)-f(x) decrece indefinidamente con el de . En otras palabras, la función f(x) permanecerá continua respecto a x entre los límites dados si, entre esos límites, un incremento infinitamente pequeño de la variable produce siempre un incremento infinitamente pequeño de la función. Decimos que la función f(x) es, en la vecindad de un valor particular atribuido a la variable x, una función continua de esta variable, siempre que es continua entre dos límites de x que encierren el valor del que se trata, sin importar cuán próximos estén. En fin, cuando una función f(x) deja de ser continua en la vecindad de un valor particular de la variable x, se dice que ella deviene entonces discontinua, y que existe para este valor particular una solución de continuidad.”


77

funciones. En esto se puede ver como la continuidad es la racionalidad para definir lo

que es o no es una función.

A lo largo de todo el texto, el autor se refiere a diversos temas, de los cuales la

continuidad aparece como el elemento integrador de toda la obra. Estos temas son las

funciones simétricas, alternas y homogéneas, la determinación de funciones enteras a

partir de algunos valores particulares conocidos, en donde usa solamente la

interpolación de Lagrange, la determinación de funciones continuas de una sola variable

adecuadas para verificar ciertas condiciones, las series convergentes y divergentes,

reglas de convergencia y suma de algunas series, las expresiones imaginarias y sus

módulos, las variables y funciones imaginarias, las series imaginarias convergentes y

divergentes, la suma de algunas series imaginarias convergentes, las raíces reales o

imaginarias de las ecuaciones algebraicas y la resolución numérica de algunas de estas

ecuaciones mediante el álgebra y la trigonometría, la descomposición de fracciones

racionales en fracciones parciales y las series recurrentes y sus desarrollos de fracciones

racionales en series recurrentes. Como mencionamos, en todos los capítulos se maneja la

noción de continuidad, por lo que esta noción se convierte en el elemento central de una

nueva arquitectura del cálculo que se desprende intencionalmente del conocimiento

sensible del mundo.

3.2.2 El rechazo intencional al conocimiento sensible del mundo

Como podemos observar, el contenido del escrito es solamente matemático, no hay

indicios de aplicaciones a la geometría ni a la mecánica ni a ninguna otra ciencia. Yendo

más allá, Cauchy rechaza relacionar la matemática con las aplicaciones a las ciencias de

su tiempo. Un ejemplo de esto se puede encontrar en la segunda parte del capítulo 5 de

la obra:


78

49

(Cauchy, 1821, p.106)

Aquí no aparece alguna mención acerca de que esta ecuación culmina una

axiomatización puramente matemática de la estática, resolviendo el problema de

composición de fuerzas. Obviamente esto no era desconocido para Cauchy. De aquí que

se considera que este rechazaba las aplicaciones físicas en su obra (Dhombres, 1994, p.

22). Nótese que la afirmación no es que la matematización de la época sea totalmente

independiente del conocimiento sensible de su tiempo. Esto sería una falacia desde el

punto de vista de una aproximación sociocultural como la nuestra. Lo que estamos

afirmando es que Cauchy desarrolla una racionalidad de la matemática desprendiendo y

rechazando el conocimiento sensible del mundo. Sin embargo, los resultados de esta

matemática, con Cauchy, siguen dando respuesta a las problemáticas de la ciencia de su

tiempo50.

Esto se enmarca en la esencia revolucionaria de la arquitectura que Cauchy da a la

matemática. La continuidad, noción existente desde el comienzo de la historia de las

matemáticas, es reinventada por Cauchy en base a los infinitésimos. En este sentido el

autor no retoma ningún resultado previo ni se apoya en ninguna referencia de algún

matemático anterior a él, es decir, es una construcción revolucionaria (Lakatos, 1976). De

aquí que se puede pensar que el interés del autor es el de romper una práctica a través

de una obra que aspira a ser normativa (Dhombres, 1994). En este sentido Cauchy rompe

radicalmente el método analítico de Lagrange, al no recurrir jamás a las razones

extraídas de la generalidad del álgebra, sino utilizando un método deductivo en el cual

enumera explícitamente cada proposición que introduce (Cauchy, 1821).

49 “Determinar la función )(x de manera que ella siga siendo continua entre dos límites reales

cualquiera de la variable x , y que cumpla, para todo los valores reales de las variables x e y ,

)()(2)()( yxxyxy ” 50 Este rechazo se puede complementar al estudiar la memoria sobre diversos puntos del análisis (Cauchy, 1829b), en la que su autor comenta el potencial de las obras de Lagrange y Laplace en relación al desarrollo de funciones en series. El autor, al referirse tanto a Lagrange como a Laplace, da ejemplos astronómicos en donde sus aportaciones matemáticas tuvieron impacto. Sin embargo, como ya mostramos, rechaza hacerlo con su propia obra.


79

De esta manera, Cauchy rompe con la tradición que le precede, la que fundaba a la

matemática en el conocimiento sensible o sensual del mundo. Cauchy se fue encerrando

en las matemáticas puras, jugando con la técnica más especializada y aislándola de otras

formas del pensamiento, forjando una obra de valor universal (Dhombres, 1994)

3.2.3 Una mirada de su producción didáctica en conjunto

Ahora bien, el Curso de Análisis fue la primera de varias producciones didácticas

producidas por el autor en este periodo, en base a su labor como docente en la École

Polytechnique. Cauchy publicó tres compendios con sus lecciones conferenciadas en la

escuela politécnica sobre el cálculo infinitesimal. La primera en 1823 que contiene

cuarenta lecciones, veinte sobre el cálculo infinitesimal y veinte sobre el cálculo integral.

La segunda es de 1826 y contiene las aplicaciones de esas lecciones a la geometría. La

tercera es de 1829 e incluye la primera parte del escrito de 1823, con veintitrés lecciones

en las cuales se nota un desarrollo más bastó que en la publicación de 1823. Estas obras

fueron desarrolladas a “[…] petición del consejo de instrucción de la Escuela Real

Politécnica” (Cauchy, 1823, p.2), con el fin de presentar “los desarrollos que pueden ser

útiles a los profesores y a los alumnos de los Colegios Reales” (Cauchy, 1821, p.ij). La

enseñanza del cálculo se dividía en dos años, el primer año se estudiaba el cálculo

diferencial y el segundo con el cálculo integral (Cauchy, 1823, p.2). Nótese que las

lecciones sobre el cálculo infinitesimal tiene una mayor relación con el servicio que

desarrolló Cauchy como docente en la École. En cambio, el Curso de Análisis se muestra,

además de ser un servicio a la escuela, como una obra independiente, una construcción

nueva del conocimiento matemático. Sin embargo, ambas obras convergen en el rigor. El

Curso de Análisis busca perfeccionar el análisis matemático con base al rigor que exige la

geometría (Cauchy, 1821) presentando una nueva estructura para su fundamento, y las

lecciones buscan “reconciliar el rigor de la demostración con la simplicidad de los

métodos” (Cauchy, 1826, p.2) al considerar el rigor del Análisis Algebraico “con la

simplicidad que resulta de la consideración directa de las cantidades infinitamente

pequeñas” (Cauchy, 1823, p.2).

El curso de Análisis fue ampliamente conocido y difundido en su época. Tres años

después de su publicación, la obra fue traducida al alemán (Dhombres, 1994). Berlín,

capital de Alemania, en este tiempo se estaba desarrollando en lo que sería después la


80

capital mundial de las matemáticas. Matemáticos de esta nueva corriente, como Abel,

estudiaron el curso y lo tomaron como base para sus producciones científicas (Abel,

1826, citado en Lakatos, 1976). Los analistas de la segunda parte del siglo XIX

reconocieron la importancia de la obra de Cauchy en el desarrollo del análisis moderno.

A estos, la obra de Cauchy significó su cimiento, gracias a la noción de continuidad, los

criterios de convergencia, el análisis complejo y otras aportaciones, además de ser el

paso inicial en la formalización de la noción de límite.

3.2.4 Una construcción matemática desarrollada por una necesidad de difusión escolar

Es interesante concebir estas obras de Cauchy como obras de difusión institucional. El

Curso de Análisis, si bien tiene un nivel de dependencia menor al de las lecciones sobre

el cálculo infinitesimal, también tiene un fin de difusión institucional. De aquí la misma

organización del escrito. Sin embargo, algunos de los resultados de esta magna obra

fueron publicados en el Journal de l´École, que tenían como comité evaluador

principalmente a los integrantes de la Academia de Ciencias de París, es decir, a los

científicos más influyentes de la época. De aquí que la obra misma nace por una

necesidad didáctica, pero desarrolla una estructura matemática nueva, comunicada con

la intención de la difusión escolar. Esto es relevante para entender la obra misma pues

cada uno de los contenidos tratados en cada uno de los capítulos están delimitados por

esta intencionalidad didáctica, dejando en los anexos los elementos “para los que deseen

hacer un estudio especial del análisis” (Cauchy, 1821, p.ij).

Los principales conceptos del cálculo nacen, en definitiva, por una necesidad didáctica, y

son concebidos en su estructura, organización y presentación, con la intencionalidad de

su difusión escolar, que pretende normar el discurso escolar de su época. De esta

manera, la obra de Cauchy es una reconstrucción que busca una exposición didáctica de

la matemática que sintetiza. Fue provocada y desarrollada por una difusión escolar, y

debemos situarnos en este contexto para explorar su significado.

3.2.5 El por qué de la interrupción de su producción didáctica

En 1830 el autor interrumpe el desarrollo de su producción didáctica y no lo volvió a

retomar nunca. Dada la relevancia y gran aportación de su obra, esta interrupción nos

llamó mucho la atención, por lo cual buscamos una explicación a esta situación. En base a


81

la información de los prefacios de sus obras, existe evidencia de al menos cuatro obras

que quedaron pendientes para ser desarrolladas, pero que sin embargo nunca se

publicaron. La primera es el segundo tomo del curso de análisis, anunciado en la

introducción del mismo curso (Cauchy, 1821, i). La segunda y tercera son la continuación

de las aplicaciones de las lecciones del cálculo infinitesimal a la geometría, anunciadas

en la introducción de esta obra (Cauchy, 1826, 2). La cuarta es la re-publicación de la

segunda parte de las lecciones de 1823 sobre el cálculo integral, anunciados en la re-

publicación de las del cálculo diferencial (Cauchy, 1829, p.1) ¿Por qué Cauchy habrá

interrumpido su producción didáctica, de la cual mostraba interés de seguir

desarrollando?

Lakatos (1976) explica que la segunda parte del curso de análisis no se publicó por la

situación incómoda en la que el autor quedó después del debate por su controvertida

demostración sobre la continuidad de la función límite de funciones continuas, que

según Abel admitía excepciones, es decir, contraejemplos. Esta tesis podría considerarse

para el curso de análisis, pero no se puede extender para toda su obra didáctica, pues sus

lecciones sobre el cálculo infinitesimal se reeditaron el año 1829. Tenía que haber algún

motivo más fuerte.

Al estudiar las condiciones de producción de sus obras, entendimos que justamente en

1830 Cauchy deja de ser profesor de la École Polytechnique, y no vuelve a regresar a ese

cargo después. Ya hemos advertido que la producción de su obra didáctica se dio por su

docencia en esta escuela, única en su clase en su época. Pues, si la producción está

relacionada con la docencia, la no producción está relacionada con su salida de la misma

École. ¿Cuáles habrán sido los motivos por los cuales Cauchy dejó la Polytechnique?

Al analizar los acontecimientos sociopolíticos de la época nos percatamos de una

relación relevante. Después de la caída de la monarquía, los 10 años de revolución y 10

años del imperio napoleónico posterior, en 1814 regresa la monarquía a reinar Francia

por 16 años, hasta 1830. Este fue el periodo en el cual Cauchy entró a la Academia de

Ciencias de París y fue profesor de la École Polytechnique. Después de la caída de la

monarquía en 1830, Cauchy se autoexilia al negarse, por dos ocasiones, a firmar

juramento al nuevo régimen, trasladándose a Turín en donde tiene una inestable vida

científica. Si ponemos atención en las obras didácticas estudiadas, podremos ver que

estas fueron publicadas por la Imprenta Real y los títulos de sus obras hacen referencia a


82

L´École Real Polytechnique. Esto es justamente por el regreso del Rey a Francia en estos

años señalados. Al estudiar la misma concepción del conocimiento matemático de

Cauchy y los procesos sociopolíticos de su época, pudimos entender el por qué del

desprendimiento de lo sensible en su obra. Esta interpretación nos ayudará a precisar el

contexto de significación del Curso de Análisis de Cauchy.

3.3 EL DESPRENDIMIENTO DE LO SENSIBLE, UNA EXPRESIÓN DEL PENSAMIENTO

MONÁRQUICO DE SU TIEMPO

La situación sociopolítica francesa de los siglos XVIII y XIX tuvo una influencia de

dimensiones considerables en la ciencia y educación de sus tiempos. En particular, un

debate entre las corrientes conservadoras, caracterizadas por la defensa del Rey como

una autoridad impuesta por Dios, con las corrientes liberales, caracterizadas por

pensamientos críticos hacia la monarquía y su relación con el vaticano, en conjunto con

los principios de la ilustración que fueron basales para el estallido de la revolución, se

puede entender en medio de los diferentes cambios sociales vividos en la Francia de

estos tiempos, considerando los factores situacionales, como la coexistencia del hambre

y la opulencia, y los socioculturales, en los que se manifestaba el debate ideológico entre

diferentes comunidades sociales. De esta manera, identificamos el periodo de la

monarquía, seguido por la revolución francesa, el periodo Imperial de Napoleón, el

regreso de la monarquía a Francia, y el retorno de los planteamientos revolucionarios. La

siguiente escala de tiempo ilustra esta situación (Figura 3.1). Los detalles en relación a los

personajes de estos sucesos históricos, y las implicancias de cada periodo en la ciencia y

educación de la época, pueden ser estudiados y analizados en el Anexo A de esta tesis.

Figura 3.1

Periodo de la monarquía Periodo revolucionario Periodo

Regreso de los planteamientos revolucionarios

….. 1789 1799 1804

1814 1830 18..

Regreso de la monarquía Imperial


83

3.3.1 El apego de Cauchy a las ideas conservadoras

Cauchy nace en París el 21 de agosto de 1789. Su cuna fue católica y su padre primer

teniente de la policía de París. Al estallido de la revolución, la familia se traslada a la

Arcueil, ciudad francesa al sur de París. En este exilio sufrieron hasta el punto que les

faltó el pan (O´Connor y Robertson, 1997). Cauchy se formó en este contexto familiar. Al

corto tiempo regresaron a París. Al terminar su formación inicial, Lagrange, amigo del

padre de familia, recomienda que el joven Cauchy se preparara en idiomas antes de

comenzar a estudiar matemáticas (Belhoste, 1991). Después de trabajar como ingeniero

militar de Napoleón algunos años, se comienza a involucrar en la investigación. Postuló

en algunas ocasiones a la Academia de Ciencias pero no logró entrar. En su postulación

para el área de mecánica en 1814 no recibió ni uno solo de los 53 votos emitidos

(O´Connor y Robertson, 1997). Ya con Luis XVIII en el poder, Cauchy entró como profesor

asistente de análisis en la École Polytechnique51, siendo responsable del segundo curso.

Desde 1816 ocupará la silla paralela con Ampère, en la escuela politécnica. Ampère se

mostró menos interesado que Cauchy en el análisis y le dejó que preparara los cursos de

análisis mientras él se dedicaba a la investigación en física (Belhoste, 1991). Aquí Cauchy

comenzó a desarrollar investigación en análisis matemático. En 1816 es nombrado

miembro de la Academia de Ciencias, en remplazo de Carnot y Mongue, los cuales

fueron expulsados por su relación con los pensamientos revolucionarios. Recordemos

que Carnot y Mongue fueron los fundadores de la École Polytechnique en 1794.

Recordemos además que en este periodo el rey volvió a ser el protector de la academia

de ciencias, una de las reglas abolidas por la Revolución. Ante la expulsión de los

revolucionarios, pareciera ser que Cauchy es un buen candidato, por sus posturas

sociopolíticas. Como comentamos en el Anexo 1, los cambios políticos influyeron

fuertemente en el desarrollo de las ciencias y la educación. La reestructuración

desarrollada en el periodo del regreso de la monarquía necesitaba científicos que

estuvieran alineados a esta nueva visión. De aquí que Cauchy fuera un buen candidato.

En 1817 Cauchy ingresa al Collège de France y en 1821 toma la cátedra de mecánica en

la Facultad de Ciencias de París. Es decir, el regreso de la monarquía favoreció

considerablemente a Cauchy, y causó que tomara la cátedra de análisis en la École, y por

ende toda su producción didáctica, su nueva arquitectura para el análisis matemático.

51 ¿Qué hubiera pasado si hubiera entrado como mecánico con su curso de Análisis?


84

Notemos que en esta época existía una fuerte relación entre las posturas políticas y

religiosas. Cauchy fue un devoto católico, fe inculcada por su cuna y reafirmada en su

edad joven con una clara convicción. En su estancia en la escuela politécnica definió sus

convicciones políticas y religiosas que le siguieron por toda su vida. En 1810, se fue a

trabajar como ingeniero militar de Napoleón con una copia de Virgilio y de La Imitación

de Cristo bajo su brazo, además de algunas obras como la Teoría de las Funciones

Analíticas (Belhoste, 1991). El ser un científico católico, en medio de un ambiente

intelectual áspero a la religión por la situación política de la época le trajo varios

conflictos a lo largo de su vida. Los conflictos con sus colegas eran basados en gran parte

por sus posturas políticas y religiosas (Belhoste, 1991). En 1810 escribe a su madre de

cómo sus colegas acusan que su devoción le está llevando a ser orgulloso, arrogante y

encaprichado, por lo cual se estaba quedando solo (OĆonnor y Robertson, 1997). Sus

posturas religiosas lo involucraron con los Jesuitas en contra incluso de la Academia de

Ciencias. En 1824 fue criticado por el comentario que hizo, en su tratado acerca de la

teoría de la luz, sobre su opinión de que Newton no había creído que la gente tuviera

almas. Un periodista lo cuestionó por ser un académico cumpliendo las funciones de un

respetable misionero predicándole a los paganos (OĆonnor y Robertson, 1997). Abel,

quien visitó a Cauchy en 1826, lo describió como un loco en relación a su fe, y que no

había nada que se podía hacer con él al respecto, pero que sin embargo era el único que

sabía cómo se debía hacer la matemática (OĆonnor y Robertson, 1997). En 1843,

después del regreso de su exilio a Turín, Lacroix muere y queda una vacante para su silla

en el Collège de France. Cauchy, por sus capacidades matemáticas debió haber sido

nombrado en su lugar, pero su visión política y actividades religiosas, entre ellas el apoyo

a los Jesuitas, llevaron a que fuera escogido Libri, matemático claramente más débil que

Cauchy (OĆonnor y Robertson, 1997). A pesar de todos estos conflictos, se conoce que

Cauchy tuvo la costumbre de mantenerse lejos de las conspiraciones internas y mantuvo

distancia a los conflictos, evitó los debates y las riñas internas de la academia y mantuvo

un trato de cortesía hacia sus colegas (Belhoste, 1991). Una carta de su hija que describió

la muerte de Cauchy en 1857, menciona que su padre pronunció “el bendito nombre de

Jesús, María y José” (OĆonnor y Robertson, 1997).

3.3.2 La negativa a firmar juramento ante el régimen revolucionario

En todo esto se puede ver cómo para Cauchy la religión era más que una simple creencia,

era una fe que había alcanzado convicción en su vida. Esta fe, con base en la época, tuvo


85

una fuerte relación con su apoyo a los planteamientos monárquicos, con respecto en los

cuales se puso en el debate de los planteamientos revolucionarios de la época. Esta

postura política se puede evidenciar con claridad en 1830, momento en el cual, después

de ser derrotado el gobierno monárquico por los planteamientos revolucionarios,

Cauchy se niega a jurar lealtad al nuevo régimen, lo cual le trajo como consecuencia la

necesidad de su autoexilio de París, dejando ahí la gran plataforma científica y sus

aspiraciones de continuar desarrollando sus obras didácticas. Cauchy se traslada a Turín

en donde estuvo hasta 1838, después de lo cual regresa a una más tranquila París

después de la revolución de 1830. A su regreso no pudo retomar su posición de profesor

de la École por haberse negado a prestar juramento (O´Connor y Robertson, 1997). El año

siguiente queda una vacante en el departamento de Longitudes y Medidas, donde

trabajó Lagrange al inicio de la revolución. Cauchy fue elegido para el cargo, pero no fue

nombrado a causa de negarse nuevamente a realizar el juramento de lealtad al nuevo

régimen.

Los beneficios que tuvo Cauchy en el periodo del regreso de la monarquía, su religión y

su negación a jurar reglamento ante el nuevo régimen revolucionario de 1830,

evidencian la postura política e ideológica de Cauchy, una postura conservadora de su

tiempo que apoyaba a la monarquía y que peleaba con los planteamientos

revolucionarios de su época. Ahora bien, ¿Qué relación existe en esta postura

conservadora con nueva arquitectura de la matemática de Cauchy?

3.3.3 El desprendimiento de lo sensible del conocimiento matemático, una expresión de

su postura política y filosófica alineada a la Monarquía.

Como podemos ver, los factores sociopolíticos están relacionados al desapego

intencional en su Curso de Análisis de la física. La separación de las matemáticas de las

demás preocupaciones humanas sería el signo de la reacción monárquica y religiosa

francesa al regreso del rey en 1814, con la cual buscó romper las ideologías del progreso

traídas por la ilustración y la revolución, que no separaba las causas del avance social de

las de la propagación el conocimiento (Dhombres, 1994). También, mediante lo extenso

de su obra y lo breve de sus prefacios comentarios, Cauchy plantea una distinción entre

la matemática y filosofía (Dhombres, 1994), la cual estaba siendo relacionada por los

planteamientos revolucionarios: las ideas pueden afectar la realidad y cambiarla. Esta

relación fue el motor intelectual de la revolución.


86

“Él (Cauchy) sostenía una separación franca entre las matemáticas, sus

métodos y sus fines, sus medios y sus verificaciones, y las otras ciencias o

conocimientos humanos; en particular la historia, pero sobre todo la religión,

sobre la que se apoyaba la restauración, la alianza del trono y el púlpito al

que Cauchy rendía fe”

(Dhombres, 1994, p. 16)

Por tanto, el desprendimiento de lo sensible en la obra de Cauchy se muestra como una

expresión de sus posturas políticas e ideológicas llevadas al campo del conocimiento

matemático. De esta manera Cauchy desarrolló una reorganización intelectual del

análisis, construyendo un punto de partida absoluto, el lógico, marcando de esta manera

fin a considerar como punto de partida la observación de la naturaleza, la cual la provocó

y la hizo necesaria (Dhombres, 1994). De esta manera la obra de Cauchy da a la ciencia

matemática una nueva racionalidad, desprendiéndola de lo sensible y fundamentándola

en sí misma. De esta manera Cauchy quiebra una noción del cálculo en la cual su

justificación e ideas germinales se encuentran en el conocimiento sensible del mundo,

dando nacimiento a una nueva era, la cual traerá consigo desarrollos quizás inesperados

incluso para el mismo Cauchy. Después de un proceso de confrontación con la

racionalidad antigua, esta nueva racionalidad sobre la naturaleza del conocimiento

matemático se institucionaliza y permite llevar al análisis a niveles mucho mayores en

cuestión de generalidad, fundamentación y estructura, además de permitir el nacimiento

de nuevas áreas de estudio, como el álgebra lineal.

3.4 LA CONCEPCIÓN DE CAUCHY SOBRE EL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO

El debate sobre el estatus del conocimiento matemático de Cauchy enfrentado al

planteamiento de los revolucionarios se puede profundizar al estudiar la memoria

titulada “sur les limites des connaissances humaines” (Cauchy, 1811), la cual fue leída el

mismo año ante la académica de Cherburg, en donde Cauchy trabajaba como ingeniero

militar de Napoleón. Este escrito nos brinda una visión sobre cómo Cauchy concebía al

conocimiento a los inicios de su carrera científica. En esta obra encontramos las ideas

germinales de su desprendimiento de lo sensible del conocimiento matemático. Esta

obra plantea una posición sobre lo limitado de los alcances del hombre en relación al

conocer, en contraste a la exaltación de esta capacidad que exalta al mismo hombre.


87

3.4.1 Los límites del conocimiento humano

El autor comienza situando el problema del conocimiento humano como un problema

humano, presente en todas las épocas de la historia del hombre. Presenta diversos

ejemplos de los grandes avances del conocimiento, explicando cómo el hombre ha

conseguido señorear a la naturaleza. Esto desde controlar la fuerza gigantesca de un

elefante hasta elevar los ojos al cielo y entender el sistema general del universo; Al

descubrir los secretos de la naturaleza, a distancias que jamás podrán ser recorridas;

Incluso estudia los lenguajes y los signos para entender los pensamientos de diferentes

sociedades, con sus diferentes costumbres, lenguajes y hábitos. Gracias a las ciencias

físicas y mecánicas, el hombre es capaz de conocer los continentes que no estaban a su

alcance y de elevarse al cielo para entender el universo. Incluso ha entendido el mundo

más allá de las tumbas, al ocuparse de entender a Dios y los espíritus que no se pueden

ver. El autor plantea que no terminaría de detallar todos los desarrollos llevados a cabo

por el hombre, todos los avances en conservar la salud de las personas, y las miles de

invenciones útiles para la sociedad, y que si mira al pasado o al futuro vería lo mismo

(Cauchy, 1811).

Después de esta exaltación al conocer humano, propio de la época, sus grandes avances

científicos situados en el comienzo de la revolución industrial y de la ideología de la

ilustración, el autor plantea una crítica en relación a que el conocimiento del hombre

puede crecer indefinidamente. En efecto, plantea que existen límites del conocer

humano que nunca se podrán superar, por lo que el conocimiento humano es limitado,

por sus facultades naturales (Cauchy, 1811, p.6). Afirma que nuestros descubrimientos en

literatura, geografía, ciencias exactas, historia y en metafísica no podrán multiplicarse

indefinidamente. Cita a modo de ejemplo, que jamás alguien podrá conocer todas las

lenguas existentes en el mundo, que la geografía no podrá conocer el cien por ciento del

mundo por motivo de lo inalcanzable de los polos, que no se podrá dar evidencia de las

sustancias que forman el núcleo del globo terráqueo, por la imposibilidad de bajar a esa

profundidad de la tierra; Que el hombre no puede elevarse de la atmósfera, por la

imposibilidad de respirar ahí, qué la química podrá hacer muchos descubrimientos, pero

que al descomponer siempre encontrará cuerpos no descomponibles, etc. (Cauchy, 1811,

p.6) Al respecto, plantea que la ciencia que más ha sorprendido al hombre por sus

descubrimientos ha sido la astronomía, ciencia que ha conseguido develar el universo.

Sin embargo, plantea que esta ciencia tiene límites, como lo es por ejemplo conocer la


88

cara de la luna que está oculta al planeta, o la incapacidad de conocer la naturaleza del

suelo de los planetas a los cuales se ha conocido su órbita, o incluso conocer cómo son

los habitantes de estos planetas, haciendo alusión a extraterrestres. Con esto plantea que

hay ciencias que han crecido, pero que no podrán crecer indefinidamente.

Este punto de vista sobre el conocimiento se contrasta con la exaltación de la capacidad

del conocer del hombre existente en la época, lo que conllevaba a la exaltación del

mismo hombre. Este planteamiento era paralelo a las ideas de la ilustración, propia de los

planteamientos revolucionarios, o más general, de los contrarios a los planteamientos

Monárquicos. Esta corriente planteaba una exaltación a la razón para construir un

sistema autoritario ético, en contraste con las condiciones de coexistencia de opulencia y

miseria dadas en los regímenes monárquicos. Recordemos que en este tiempo la relación

Vaticano-Monarquía era fuerte. Esto era así al menos desde el rey Luis el Grande, quién a

pesar de romper las relaciones con el vaticano, mantuvo su relación con la fe católica, en

la cual fundamentaba su designación como divina (Ver anexo 1). Recordemos que este

Rey construyó el palacio de Versalles, a las afueras de París, en el que vivió en extrema

opulencia mientras Francia pasaba una de las crisis económicas más fuertes de su

historia. Esta relación monarquía-vaticano incidió en que la ilustración considerara una

visión diferente de la espiritualidad, considerando concepciones más personales que

institucionales y dando origen a nuevos planteamientos religiosos. Entre estas corrientes

se encontraba la de los que apelaban a la libertad, en relación al desapego de las

instituciones religiosas. Notemos que la relación entre religión y regímenes políticos fue

muy fuerte en los periodos considerados. La revolución abolió las instituciones del

antiguo régimen, desligando la enseñanza de la teología y exaltando la de las ciencias.

Napoleón quitó la enseñanza de Teología de la Universidad Imperial, que vino a

remplazar a la antiquísima Universidad de París. Después del regreso del Rey en 1814, la

enseñanza de la teología se reanudó (Ver anexo 1). Recordemos también que Cauchy fue

un ferviente católico, hasta el punto de realizar comentarios al respecto en sus escritos,

lo que lo llevó a una situación tensa con varios de sus colegas en la Academia, a pesar de

la buena actitud que tenía hacia ellos, y a relaciones complejas con los gobiernos

opositores a su ideología.

De esta manera el papel de la razón, unido a las leyes naturales del mundo, podría

transformar la calidad de vida humana. De esta manera la razón, en base al axioma, se

comenzó a constituir como base del conocer humano. La tensión con la religión era


89

latente, pues el estado absoluto de las monarquías estaba sometido al catolicismo, y por

ende al Vaticano en Roma, en conjunto con su opulencia y poderío político imperial en

su región. De esta manera la exaltación de la razón significaba más que la exaltación del

conocer humano, implicaba aires de vivir nuevos mundos desligados de las instituciones

que vivían en opulencia en contraste de la pobreza del mundo. Es a esta exaltación de la

razón humana que Cauchy critica en esta memoria. El autor la finaliza refiriéndose a

cómo los científicos de todas las épocas han considerado a la ciencia divina. Al respecto

plantea cómo lo que se conoce es algo que a Dios le ha complacido revelar, o permitido

descubrir (planteando la posición del conocimiento desde la perspectiva clásica y la

ilustración), pero que en relación a la totalidad del conocimiento esto tiene un límite.

Esta concepción sobre los límites del conocimiento del mundo se materializa en su Curso

de análisis, en el que argumenta una separación del análisis y la realidad, y apela a que es

un error llevar a la razón a fronteras que según él no les corresponde. Al respecto, las

palabras del siguiente extracto son reveladoras por sí mismas: Existen verdades más allá

del álgebra y realidades más allá que la de los objetos sensibles, no llevemos a las

matemáticas más allá de su dominio.


90

52

(Cauchy, 1821, P.v-vij).

52 “Por demás, si yo he buscado por una parte perfeccionar en análisis matemático, de otra estoy lejos de pretender que el análisis debe cubrir a todas las ciencias del razonamiento. Sin duda, en las ciencias que llamamos naturales, el solo método que podemos emplear con éxito consiste en observar los hechos y someter después las observaciones al cálculo. Pero será un error grave pensar que solo se encuentra certitud en las demostraciones geométricas, o en el testimonio de los sentidos; y aunque nadie hasta ahora ha intentado probar por el análisis la existencia de Augusto o la de Luis XIV, todo hombre sensato considerará que esta existencia es tan cierta para el que el cuadrado de la hipotenusa o el teorema de Maclaurin. Jo digo más; la demostración de esta último teorema está en el ámbito de un número pequeño de personas, y sabemos que estos no están todos de acuerdo sobre el entendimiento que se le debe atribuir; mientras que todo el mundo sabe muy buen por quien la Francia a estado gobernada en el siglo diecisiete […] Lo que digo aquí sobre un hecho histórico se puede aplicar a una multitud de cuestiones, en religión, en moral, en política. Somos entonces persuadidos que existen otras verdades más de las verdades del álgebra, y otras realidad más que la de los objetos sensibles. Cultivemos con ardor las ciencias matemáticas, sin extenderlas más allá de su dominio; y no imaginemos que podemos atender la historia con las fórmulas, ni dar por sanción de moral los teorema del álgebra o del cálculo integral”


91

3.4.2 ¿Un límite en las ciencias matemáticas?

En medio de esta memoria el autor hace un comentario sobre las ciencias exactas:

53

(Cauchy, 1811, p.6)

Esta parte es interesante, pues plantea una posición de la época. Los matemáticos

anteriores a Cauchy, como Fourier, Laplace, Euler y Leibniz, intentaron unir a la

matemática con las ciencias físicas. Laplace postuló que la mecánica sería una nueva

ciencia en donde la matemática es su herramienta. Lagrange, planteaba que la mecánica

se manifestaría como una rama misma del análisis matemático. En ambas posturas, el

conocimiento matemático tenía un límite, había alcanzado un desarrollo de los más altos

para su racionalidad. Al respecto de este debate, Cauchy zanja el asunto en una nueva

dirección, ignorando la física de su tiempo en su obra matemática. De esta manera,

pensando en el Curso de Análisis, se hizo necesaria una nueva racionalidad del

conocimiento matemático para romper estos límites y dar apertura a nuevos rumbos

sobre el quehacer matemático.

Nótese que en los mismos años que se escribió esta memoria, Fourier, uno de los

primeros ingenieros matemáticos de la historia, estaba desarrollando su obra sobre el

calor. Con sus investigaciones, se niegan los conceptos Fundamentales del análisis

matemático del siglo XVIII, como el de función, el papel del álgebra, el continuo real, así

como la interpretación física de las soluciones y el comienzo del estudio de la

convergencia (Cantoral y otros, 2006, p.91). Nótese que las series de Fourier tienen la

intención de modelar las soluciones de las ecuaciones diferenciales que modelaban el

comportamiento del calor, y no a un fenómeno físico de manera directa. Esta obra abre

paso a una nueva racionalidad del conocimiento, las cuales estaban lejos de la barrera de

las funciones relativas a la física del siglo XVIII, funciones que requirieron, gracias a

Fourier y sus contemporáneos, una aplicación en la noción de función. Estas funciones

53 “Que puedo decir sobre las ciencias exactas: la mayoría parece alcanzar sus periodos más altos. La aritmética, la geometría, el álgebra, las matemáticas trascendentes son las ciencias que se pueden considerar como terminadas, y donde no queda nada más que hacer que aplicaciones útiles”


92

aportaron un nuevo desenlace, el estudio de la convergencia de series de funciones, un

contenido matemático que pertenece a un problema interno, la modelación de la

solución de una ecuación diferencial, dando origen a largo plazo a la convergencia

uniforme, concepto que se enmarca en este nuevo comienzo con esta nueva racionalidad

que existe en todo este nuevo paradigma nuevo de la matemática que se enmarca hasta

que esta fundamentación se lleva a otro nivel más alto, esto es, el teorema de

representación analíticas de funciones arbitrarias de Weierstrass.

Es posterior a esta situación que Cauchy, en 1821, plantea esta nueva arquitectura del

análisis. Consideremos que Cauchy conocía muy bien la obra de Lagrange y sus

contemporáneos, y las limitantes en base a estos nuevos problemas que estaba

enfrentando las matemáticas de sus tiempos. La naturaleza fenomenológica de los

problemas del nuevo siglo (XIX) necesitaron que se comenzara un abandono del espacio

físico para enfrentar estos nuevos problemas que pertenecían a un espacio matemático.

De esta manera, este abandono de lo sensible era algo necesario para enfrentar nuevos

problemas. Sin embargo, los matemáticos de la época estaban en la racionalidad de la

relación con el conocimiento sensible del mundo. De seguro, la extrapolación del

pensamiento monárquico de la época impulsó este proceso de cambio de racionalidad,

en conjunto con la necesidad interna del mismo conocimiento matemático.

3.4.3 Un viraje de lo inductivo a lo deductivo

El cambio de racionalidad que trae a la matemática la obra de Cauchy trajo cambios

profundos y radicales en los métodos lógicos utilizados. El desprenderse de la

experiencia sensible como racionalidad de la matemática y remplazarla por el rigor

lógico puede interpretarse como el paso de la generalización a la abstracción, y por

tanto de la inducción a la deducción. Para describir los fenómenos de la naturaleza se

tomaban datos y las conclusiones se generalizan. La racionalidad de lo relativo a lo

sensible se sustenta en un razonamiento deductivo. Cauchy criticó este tipo de

razonamiento


93

54

(Cauchy, 1821, p.ij-iij)

En efecto, el giro que hace a los planteamientos lógicos de la geometría es por alejarse

de la generalidad del álgebra, base del planteamiento analítico de Lagrange. La crítica

de Cauchy al pensamiento inductivo es clara, y su alternativa es desprenderse de este

terreno sensible definiendo todo desde una nueva base. La nueva arquitectura, basada

en definiciones de partida, se sustenta en un razonamiento deductivo, en un

conocimiento matemático sustentable en bases lógicas, posicionando a la abstracción

54 “En cuanto a los métodos, he buscado en dar todo el rigor que exige la geometría, de manera de jamás recurrir a las razones dadas por la generalidad del álgebra. Las razones de esta especia, que son comúnmente bastante admitidas, sobre todo en relación al pasaje de series convergentes a series divergentes y de las cantidades reales a expresiones imaginarias, no pueden ser consideradas, me parece, como inducciones propias a hacer presentir alguna vez la verdad, pues son poco acordes a la exactitud que elogia a las ciencias matemáticas […] Al determinar […] condiciones […] y al fijar de manera precisa el sentido y la notación que utilizo, hago desaparecer cualquier incertidumbre”


94

como el elemento central de la obra, conllevando un distanciamiento de la

generalización. Es decir, la inducción pierde relevancia epistémica sobre lo deductivo.

Los conceptos matemáticos comienzan a ser abstractos, desprendiéndose lo sensible de

estos y quedando lo que de estos resiste al sustento lógico. En esto, la abstracción

cumple un rol fundamental. Podríamos decir esto de la siguiente manera: El cambio de

racionalidad de lo sensible al desprendimiento de lo sensible trae un cambio

metodológico, de la inducción a la deducción, de la generalidad a la abstracción.

3.5 EL CONTEXTO DE SIGNIFICACIÓN DEL CURSO DE ANÁLISIS DE CAUCHY

Un punto que causa mucho interés en relación al desprendimiento y rechazo del

conocimiento sensible en el Curso de Análisis de Cauchy, es el contexto en el cual fue

producida. En efecto, además de ser única en su tiempo por rechazar la relación de la

matemática con las ciencias, la obra estaba dirigida a los alumnos de la Escuela

Politécnica, institución encargada de formar los cuadros técnicos del estado y la

industria. La época en la cual se gestó fue de gran actividad en las ciencias físicas, pues

Francia estaba interesada en recuperarse de su retraso en relación a la revolución

industrial inglesa. Y además, Cauchy tuvo una formación primaria en la École

Polytechnique, después de lo cual estudió tres años ingeniería en puentes y caminos.

¿Cómo se concibió una obra con esta característica en un tiempo como éste?

Consideremos además que, antes de la entrada de Cauchy a la cátedra de análisis a la

École, tuvo una producción en física considerable, y que terminando su curso de análisis

en 1821, retomó el estudio de la física matemática (Belhoste, 1991)

Estos datos muestran lo contradictorio del ambiente para una obra como ésta. Sin

embargo, esta obra tuvo un reconocimiento en los años que siguieron y se volvió

normativa en cuanto a discurso escolar.

Artículos de

Física

Artículos de

Física


95

Es por esto que no podemos entender a la obra como un intento de separar a las

matemáticas de las ciencias de su tiempo. Sino, lo que intentó es fundar a la matemática

en una nueva racionalidad, es decir, sus argumentaciones y formas de validación se

encontrarían en su estructura interna. Esta racionalidad trajo el desprendimiento de lo

sensible en la racionalidad del conocimiento matemático, afectándolo. Comenzaron a

nacer conceptos nuevos del cálculo que no encuentran sus ideas germinales en las

ciencias de su tiempo, sino en la misma matemática, los cuales vienen para construir una

nueva arquitectura sustentada en la lógica y en principios de partida sólidos. Claro está,

esta manera de construir la matemática trajo varios conflictos internos. Sin embargo, el

conocimiento desarrollado en esta estructura sigue ligado a las necesidades y a los

problemas de la física de su tiempo.

Es de aquí que interpretamos a la obra de Cauchy como una postura en relación a cómo

se debe concebir al conocimiento matemático. Cauchy no buscó apoyar sus

procedimientos a una analogía de la naturaleza sensible o fenomenológica. Tampoco

intentó retomar los desarrollos de las construcciones matemáticas que le precedieron.

De aquí que no se puede encontrar algún elemento significativo para la obra de Cauchy

en aplicaciones o interpretaciones físicas, ni tampoco en una reinterpretación de una

obra anterior. El significado de la obra matemática de Cauchy se debe atribuir a una

construcción, en donde el rigor no es un elemento correctivo como con Lagrange, sino es

parte de la misma estructura construida, en donde la postura es prescindir del mundo

físico y rechazar a la historia misma del cálculo (Dhombres, 1994).

Esta construcción está relacionada a una necesidad, la de desarrollar un discurso escolar

para los que se inician en el estudio de las matemáticas (Cauchy, 1821), alumnos de la

élite intelectual de su época, los estudiantes de la École Polytechnique. Sin esta

necesidad la construcción no se hubiera realizado de esta manera. La estructura

organizativa de las ideas y las ideas mismas son una reorganización de los conocimientos

matemáticos trabajados en la época con una intencionalidad didáctica.

La organización de Cauchy propone una separación, en cuanto a su racionalidad, del

conocimiento matemático en relación al conocimiento sensible del mundo.

Desarrollando una estructura de la matemática basada en una génesis única sustentada

en la lógica, tomando al rigor como un elemento de esta nueva arquitectura. Logrando

con esto un quiebre de una época en la que el conocimiento matemático era relativo al


96

conocimiento sensible del mundo y dando el punta pié inicial para una nueva era, en

donde el cálculo se desliga de su vinculación con la física y de los problemas que le

dieron origen, poniendo los primeros cimientos de una ciencia autónoma, en donde su

pilar fundamental es la abstracción (Dhombres, 1994).

En relación a las motivaciones que llevaron al desprendimiento de lo sensible con

Cauchy, ya hemos respondido en relación a la manifestación del pensamiento

monárquico de su época, en la cual era conveniente en cierto sentido considerar al

conocimiento separado de la realidad, además de la evolución dada por las nuevas

funciones que aparecieron por la solución de ecuaciones diferenciales que modelaban

problemas de una naturaleza nueva.

Por todo esto, para entender el Curso de Análisis de Cauchy, necesitamos entenderlo

considerando todos estos factores planteados de manera conjunta. Ahora bien, con

Cauchy comienza un proceso de instauración de una nueva racionalidad. No es

instantáneo, es un primer paso para la validación institucional de esta nueva concepción

en torno al conocimiento matemático, la cual comenzará a convencer y a formar a una

nueva generación de matemáticos. Como mostraremos en el próximo capítulo, este

proceso de institucionalización de esta nueva racionalidad causó conflictos racionales

que ni el mismo Cauchy pudo hacer frente. Se necesitó esperar a una nueva generación

que pudieran afrontar estos problemas y llevar a la matemática a niveles quizás

insospechados por Cauchy.

97

CAPÍTULO 4

UN CONFLICTO CAUSADO POR LA CONFRONTACIÓN

DE DOS RACIONALIDADES DEL CONOCIMIENTO

MATEMÁTICO.

98

CAPÍTULO 4

UN CONFLICTO CAUSADO POR LA CONFRONTACIÓN DE DOS RACIONALIDADES DEL

CONOCIMIENTO MATEMÁTICO.

Este cambio de racionalidad que comenzó con la obra de Cauchy trajo uno conflicto, uno

de los episodios más interesantes de la historia de la matemática: La coexistencia de la

demostración de un teorema y la validación de sus contraejemplos por toda una

generación de matemáticos.

Cauchy, en su curso de Análisis, demostró que el límite de una serie de funciones

continuas es una función continúa (Cauchy, 1821). Sin embargo, con la definición de

continuidad dada en esta misma obra los conocidos ejemplos de Fourier, hasta entonces

conocidos como funciones continuas, se convirtieron en contraejemplos del teorema

demostrado por Cauchy. Comienza el debate. En 1826 Abel denuncia en una publicación

la existencia de excepciones al teorema de Cauchy, refiriéndose a los ejemplos de

Fourier. Cauchy, en 1827, demuestra la cuestionada convergencia de estos ejemplos de

Fourier. Dirichlet, unos años más tarde, evadió el asunto en sus publicaciones. Esta

situación paradójica sobrevivió a toda una generación de matemáticos. Fue hasta 1847,

veinticinco años después de la publicación del teorema, que el matemático Seidel

resolvió el asunto. El teorema de Cauchy tenía un lema oculto, esto es, la convergencia

uniforme.

Lakatos (1976) explica esta situación, aludiendo a que el conflicto que ocultó la solución

del problema a los ojos de toda una generación fue un método utilizado por los

matemáticos de la época. El método de exclusión de las excepciones (es decir, de dejar

fuera lo que no funciona) fue el que ocultó la solución a los ojos de los matemáticos de la

época. Sin embargo, nuestra mirada sociocultural nos permite ir más allá y brindar una

explicación alternativa: Fue la racionalidad de los matemáticos de la época, que

consideraban al conocimiento matemático como relativo al conocimiento sensible del

mundo, la que ocultó la solución del problema a sus ojos, pues, el lema oculto (la

convergencia uniforme) en la demostración de Cauchy es un concepto que pertenece a

esta nueva racionalidad naciente del conocimiento matemático que lo considera

desprendido del conocimiento sensible del mundo. Las ideas tienen consecuencias.

Un conflicto causado por la confrontación de dos racionalidades del conocimiento Capítulo 4

99

A continuación desarrollaremos una cronología de los acontecimientos y

argumentaremos el por qué la manera de ver incidió en que la convergencia uniforme

estuviera escondida de toda una generación de matemáticos.

4.1 UN TEOREMA DEMOSTRADO Y LA EXISTENCIA DE CONTRAEJEMPLOS

4.1.1 El teorema de series de Cauchy

En su Curso de Análisis de 1821 Cauchy demuestra que el límite de una serie de

funciones continuas en una función continúa. El enunciado del teorema es el siguiente,

considerando la serie (1) como ,...,,...,,,,, ,1,,4,3,2,1, nno uuuuuuu

55

(Cauchy, 1821, p.20)

Para su demostración, considera la serie ...210 uuus en la forma

...1 nnn uuss , donde las cantidades ,...,, 21 nnn uuu conformarán una nueva serie

representada por nr llamada residuo de la serie, obteniendo finalmente la expresión

nn rss . Después de esto el autor considera que si la sucesión s es convergente y sus

diferentes términos son funciones continuas de x en una vecindad de un valor particular

atribuido a esta variable, entonces también ns será evidentemente continua en relación

a x en una vecindad del valor particular del cual se trata. Además, si se incrementa x en

una cantidad infinitamente pequeña , el incremento de ns será una cantidad

infinitamente pequeña para todos los valores posibles de n ; por su parte, el incremento

de nr se hará cero al mismo tiempo que nr si se le atribuye a n un valor muy grande. De

55 “Cuando los diferentes términos de la serie (1) son funciones de una misma variable x , continuas con respecto a esta variable en la vecindad de un valor particular para el cual la serie es convergente, la suma s de la serie es también, en la vecindad de este valor particular, una función continua de x ”


100

aquí que el incremento de la función s no podrá ser sino una cantidad infinitamente

pequeña (Cauchy, 1821, p.155-156). Es decir, concluye que el residuo será un

infinitésimo y no afectará al incremento de la función s , por lo cual la definición de

continuidad se cumplirá.

4.1.2 Los contraejemplos de Fourier

Joseph Fourier (1768-1830) fue un matemático francés partidario de la revolución. Entro

a la Escuela Normal, después trabajó como profesor asociado en la École. Este, en 1807

presentó lo sustancial de su trabajo sobre el calor a la Academia de Ciencias. Este, fue

duramente criticado por Lagrange y Laplace aludiendo a la falta de rigor. En 1811 vuelve

a enviar su trabajo y gana el premio de la Academia. Sin embargo, las críticas

continuaron. Su trabajo fue publicado en las memorias de la Academia en este año, y fue

conocida y difundida entre los matemáticos de la época. Más tarde, en 1822, la obra fue

publicada en formato de libro bajo el título de Teoría Analítica del Calor. La sección IV

de este libro trata el desarrollo de una serie arbitraria en series trigonométricas (Fourier,

1822, p.210) Fourier, entre los ejemplos que presenta, plantea series de funciones

continuas como la siguiente:

...5cos5

13cos

3

1cos xxx .

Fourier tenía la concepción intuitiva de continuidad sobre trazar la gráfica sin levantar el

lápiz. De aquí que consideraba la función límite de esta serie como continua, pues veía

que los puntos de discontinuidad estaban unidos por rectas paralelas (Lakatos, 1976). Sin

embargo, bajo la definición de continuidad introducida por Cauchy en su obra de 1821,

estas funciones se volvieron discontinuas. Como explica Lakatos, esto hizo que los

ejemplos de Fourier se volvieran contraejemplos al principio de continuidad que era

asumido como axioma para los matemáticos de la época: “Lo que es verdadero hasta el

límite es verdadero en el límite”. Se tenía una sucesión de funciones continuas, cuyo

límite era una función discontinua. Lakatos (1976) explica que esta situación llevó a

Cauchy a demostrar su teorema de la continuidad de la función límite, pues existían

dudas de la convergencia de estos ejemplos en los puntos de discontinuidad. “El propio

Fourier tenía dudas acerca de la convergencia de sus series en esos casos críticos”

(Lakatos, 1976, p. 153) Las dudas a la convergencia aludían a la falta de rigor criticada en


101

los trabajos de Fourier. Sin embargo, estas series eran también aceptadas porque

funcionaban bien. Por tanto, el debate en su comienzo era amplio, y uno de sus focos

apuntaba a la convergencia de las series de Fourier.

4.1.3 Cauchy demuestra la convergencia de los contraejemplos de Fourier

El cuestionamiento sobre la demostración de Cauchy estaba en el ambiente matemático

de la época (Lakatos, 1976) Cauchy, en 1827, lee en la Academia y publica su memoria

titulada “Sur les développements des fonctions en séries périodiques”56 (Cauchy, 1827).

En esta afirma que se puede reconocer que las series (haciendo alusión a los

contraejemplos de Fourier) son convergentes, pero que siempre está el deseo que esta

convergencia pueda ser demostrada de una manera general, independientemente de los

valores de la función (Cauchy, 1827, p.12). En la memora el autor desarrolla la

demostración de la convergencia de las series trigonométricas. Además afirma que la

solución de un gran número de problemas de física matemática exige el desarrollo de

funciones en series periódicas (Cauchy, 1827, p.12) La demostración de la continuidad de

estas funciones de 1827 trae a la publicación el tema en boga, existe un teorema

demostrado matemáticamente, afectado, y existen los contraejemplos del mismo

teorema, también demostrados matemáticamente.

Este teorema de Cauchy no es el único en situación de incertidumbre, pues, en la

cuadragésima lección de sus Lecciones de 1823 el demuestra que la integral de la

función suma de una serie convergente es igual a la suma de la serie cuyos términos son

las integrales de cada una de las funciones que la conforman (Cauchy, 1994, p.358-359).

Este teorema, al igual que el de la continuidad de la función límites, no es del todo

correcto por el mismo motivo, la dependencia de los dos procesos de límites

involucrados.

4.2 ABEL Y LA DENUNCIA PÚBLICA DE LAS “EXCEPCIONES” AL TEOREMA DE CAUCHY

Con una corta vida a causa de una tuberculosis y grandes aportaciones a la matemática,

el matemático noruego Abel (1802-1829) comenta en su publicación de 1826 lo que él

56 Sobre el desarrollo de funciones en series periódicas


102

llama las “excepciones” al teorema de Cauchy, refiriéndose a los contraejemplos de

Fourier ya mencionados.

Esta obra fue publicada en Berlín y tiene 32 páginas de extensión. Trata sobre algunos

teoremas sobre convergencia de series. Entre líneas, Abel hace reseña a la obra de

Cauchy, considerándola como excelente y recalcando que debe ser leída por todo

analista que ama el rigor en las investigaciones matemáticas (Abel, 1881, p.221)57, y la

considera como una guía de su publicación. Más adelante, demuestra algunos teoremas

sobre criterios de convergencia de series, como el de la convergencia de la serie nq en

base al valor del cocienten

n

q

q 1 . Después se refiere a la definición de continuidad de

Cauchy58, y demuestra que las series de potencias ...2

210 vvvfx convergen a

una función continua. A pié de página de esta demostración, comenta que en la obra de

Cauchy se encuentra la demostración de este teorema para cualquier tipo de funciones,

y afirma

59

(Abel, 1881, p.225)

El artículo continúa con diversos temas sobre series, entre los cuales se encuentran un

gran número de series de funciones trigonometrías, como las que aparecen en la obra de

Fourier.

En el transcurso de este mismo año, Abel se planteó la necesidad de ser “muy cauteloso

en los teoremas que han sido aceptados sin pruebas rigurosas, pues corre el riesgo de

usarlo sin más evaluación” (Carta de Abel a Hansteen, citado en Sørensen, 2005, p. 461-

462) También planteó que estaba trabajando reblas importantes, demostrando en los

57 La publicación de 1881 es la traducción al francés del original de 1826. 58 La definición es básicamente una reescritura de la definición de continuidad dada por Cauchy (1821, p.43). Una diferencia, que nos puede ayudar a analizar significados, es que Cauchy dice que la función será continua en un valor intermedio entre dos límites dados, pero Abel lo expresa entre los valores x=a y x=b. 59 “Pero me parece que este teorema admite excepciones. Por ejemplo, la serie […] es discontinua para

todo valor (2m+1) de x, donde m es un número entero. Como es sabido, existen una multitud de series con la misma propiedad”


103

casos que estas no son verdaderas, juzgando esto como un buen progreso y algo de

mucho interés (Sørensen, 2005, p.469). Es claro que en estas líneas hace alusión al

teorema de Cauchy. Recordemos también que Abel visitó París en 1826, donde se reunió

con Cauchy.

Además, el tema de las funciones trascendentes era un tema presente para Abel. El

afirmó que el motivo de las pocas calamidades existentes en el análisis de su época se

deba a que “el análisis se ocupa de funciones que se pueden representar mediante series

de potencias. Tan pronto como aparecen otras funciones (cosa que sólo ocurre rara vez)

[…] surge un infinito numero de teoremas incorrectos, llevando uno a los demás” (Abel,

citado en Lakatos, 1976, p.156). También sostuvo en 1825 que las series divergentes eran

una obra del demonio, pues “lo único que producen son calamidades y paradojas” (Abel,

citado en Lakatos, 1976, p. 160). Sørensen (2005) comenta que Abel publicó las

excepciones al teorema de Cauchy por su interés de reformular la teoría de series, lo cual

hizo en la mayor parte de su corta carrera. Abel insistía en la necesidad de separar el

estudio de la convergencia de la serie del estudio del valor de su suma, considerando de

esta manera a la convergencia como un instrumento de validez en el estudio de la suma

de las series.

Ahora bien, el hecho que Abel haya comentado sobre las excepciones del teorema de

Cauchy, plantea que hubo matemáticos que continuaron los desarrollos teóricos

impulsados por Cauchy pero que, al enfrentarse a la situación paradójica del teorema y

sus contraejemplos, no pudieron abordar el fondo del problema. En efecto, lo que hace

Abel es reducir el campo de validez del problema, más que asistir el conflicto concreto,

esto es, dilucidar la situación. Por su parte Dirichlet, en 1829, trato explícitamente como

las series de Fourier continuas representaban series convergentes discontinuas, sin hacer

mención a Cauchy, siendo que el tema era conocido en la época (Lakatos, 1976) Obviar

el tema muestra como no tuvo solución al conflicto paradójico. El conflicto era claro, sin

embargo estos matemáticos no encontraron error alguno en la demostración brindada

por Cauchy a su teorema. ¿Qué estaba escondido en esta demostración de Cauchy de sus

ojos?


104

4.3 EL LEMA OCULTO Y LA SOLUCIÓN DE LA PARADOJA. SEIDEL A LA ESCENA.

Seidel, en 1847, da la solución a la situación paradójica (Lakatos, 1976, p. 154-155). El

encuentra que la demostración del teorema de series de Cauchy tiene un lema oculto,

esto es, que los dos procesos de límites simultáneos involucrados en la demostración no

son independientes. Estos dos procesos de límites son 0 y n . La demostración

de Cauchy trata a estos dos procesos de límites como independientes. El problema no

estaba en la convergencia o no convergencia, sino en el tipo de convergencia. Esta

convergencia no era cualquiera, sino una en que los límites en la cual los dos procesos de

límites estaban en una relación especial, que es lo que conocemos en la actualidad como

convergencia uniforme.

Cauchy, seis años después de la publicación de Seidel, reconoce este asunto. Estando de

regreso en la Academia de Ciencias, publica un artículo titulado “Note sur les séries

convergentes dont les divers termes sont des fonctions continues d´une variable réele ou

imaginaire, entre des limites donées“ (Cauchy, 1853)60 Este artículo comienza reseñando

el teorema original (Cauchy, 1821) y después, citando una publicación de unos

matemáticos llamados Bouquet y Briot, afirma que este teorema se verifica para las series

de potencias, pero que para otras series no podrá ser asumido sin alguna restricción, y

cita la excepción plantada por Abel (1881)61 explicando en detalle la discontinuidad de

la función límite. Después plantea que es fácil ver como modificar el enunciado del

teorema para que no haya cabida a alguna excepción (Cauchy, 1853, p.32), expresando

la dependencia existente entre los dos procesos de límites involucrados en la

demostración. El autor lo plantea de la siguiente manera:

62

(Cauchy, 1853, p.32)

60 “Nota sobre las series convergentes donde los diversos términos son funciones continuas de una variable real o imaginaria, entré límites dados”. 61 Año de la publicación de la traducción al francés del artículo en alemán. 62 “Consideremos, ahora, que se atribuye a n un valor suficientemente grande […], para todos los valores de

x existentes entre los limites dados […] el modulo de rn será inferior a un número tan pequeño como se desee”


105

Es importante reseñar que el escrito no nombra a esta propiedad como convergencia

uniforme. Después el autor incluye el mismo teorema, con la misma condición nueva,

para series de funciones en variable compleja (variable imaginaria, según el autor) y

menciona el mismo resultado para una sucesión de funciones que tienen derivada única

(Cauchy, 1853, p.35), donde el límite será la derivada de la suma de la sucesión.

¿Cómo se puede explicar que el proceso de dos límites involucrados en un mismo

proceso (y de aquí la convergencia uniforme), estuviera escondida a la mirada de toda

una generación de matemáticos?

4.4 ¿POR QUÉ LOS MATEMÁTICOS DE LA ÉPOCA NO PUDIERON VER ESTA RELACIÓN

DE LOS PROCESOS DE LÍMITES INVOLUCRADOS?

¿Cómo pudo ser que la demostración de un teorema como este hubiera pasado el juicio

de los matemáticos de su época, a pesar de las claros contraejemplos de este? Y esto

durante veinticinco años. Nótese que en la época no se les llamo contraejemplos, sino

excepciones. Un contraejemplo afecta una proposición a la que se cuestiona su validez,

pero la demostración de Cauchy fue validada por los matemáticos de la época. ¿Cómo

fue que fue válida para una generación de matemáticos tanto la demostración como sus

excepciones? Recordemos que el rigor en las matemáticas existe con fuerza desde al

menos Lagrange. La situación es la siguiente, los procesos paralelos e independientes de

límites fue algo invisible, que se escondió de la mirada de los matemáticos de la época.

¿Por qué habrá sucedido esto?

Lakatos, en 1976, pone el tema en debate y plantea su posición: lo asocia a un problema

de método. Según él, el método de la exclusión de las excepciones fue el que escondió la

solución de los matemáticos de la época63. En efecto, lo que hicieron los matemáticos de

la época fue llevar el teorema a su dominio seguro, las series de potencias, inhibiendo el

cuestionamiento de las condiciones para el dominio no seguro, las series

trigonométricas. Según Lakatos la idea de mejorar probando nunca se les ocurrió, pues,

lo que los rigoristas consideraban basura sin esperanza, era debidamente entregado a las

llamas (Lakatos, 1976, p. 160).

63 Este método consiste en la tendencia era agregar condiciones a la hipótesis de los teoremas, para así encontrar su dominio seguro de validez. Esto causaba paralelamente que se restringiera el campo de acción efectivo del teorema.


106

“Tocas las excepciones conocidas de este principio de continuidad básico

eran series trigonométricas, por lo que (Abel) propuso restringir el análisis al

interior de las seguras fronteras de las series de potencias, dejando así fuera

las queridas series trigonométricas de Fourier como si fuesen una jungla

incontrolable, en las que las excepciones son una norma y los éxitos, un

milagro” (Lakatos, 1976, p.156)

Por tanto, la respuesta de Lakatos es que fue el dominio de la metodología euclídeas del

periodo la que cegó la mirada a los matemáticos de la época a ver que el problema no

estaba en el dominio de las funciones aceptables, sino en el modo en que estas

convergían. (Lakatos, 1976, p.158).

En relación a esto, agregamos lo que comenta Sørensen (2005) en relación a la

intencionalidad de Abel en restringir el dominio seguro a las series de potencias. El

afirma que probablemente esto fue así porque las series de potencias son el dominio

seguro suficientemente potente para poder demostrar el teorema del binomio. Esta

demostración sobre el teorema del binomio estaba también puesta en duda en la época,

por la existencia de los ejemplos de Fourier. Es decir, no se puede pensar simplemente

que se restringió el dominio de validez para dejar fuera a los casos que no sirven, pues

hay otros aspectos que considerar al respecto, como la intencionalidad de la difusión

comentada por Sørensen.

Nosotros, considerando lo revelador de las evidencias y las consideraciones de Lakatos,

vamos más allá al agregar que lo que cegó a los matemáticos de la época fue un

problema de nivel epistemológico del conocimiento. En efecto, el teorema nace con la

misma obra que lo contiene, el análisis algebraico (Cauchy, 1821). Esta obra, como ya

comentamos, es la primera de su especie, en la cual existe un rechazo intencional de la

relación de la matemática con el conocimiento sensible del mundo. Debido a esto, nacen

nuevos conceptos, propios de una nueva manera de ver el hacer matemáticas, esto es,

una matemática desprendida de todo lo sensible, que se basa y sustenta en una

arquitectura interna, en donde la piedra principal es la definición de continuidad. Esto

conlleva a que la misma matemática tenga nuevos problemas, de fundamento,

problemas internos, enmarcados en esta nueva visión del quehacer matemático. Entre

estos se encuentra la convergencia uniforme, la cual no soluciona un problema ligado al


107

conocimiento sensible del mundo, sino a la validación de la convergencia de una serie de

funciones, un problema interno, un problema de fundamentación matemática. Este

problema en particular es de una naturaleza epistemológica diferente a los problemas

abordados por la época, la cual considera al conocimiento matemático como relativo al

conocimiento sensible del mundo.

La naturaleza del problema era diferente a la de su época. Recordemos que Cauchy

demuestra este teorema en base a que la base de su nueva arquitectura del análisis, la

continuidad, hizo que los conocidos ejemplos de Fourier se transformaran en

contraejemplos al axioma de continuidad. En base a esto Cauchy desarrollo su teorema y

la respectiva demostración. Por tanto, fue en base a la nueva arquitectura que nace la

necesidad de abordar este problema de manera rigurosa. Por tanto, es un problema que

nace bajo este nuevo paradigma de la matemática, desprendida intencionalmente del

conocimiento sensible del mundo. También Cauchy no poseía medios de simbolización

que le permitiera separar los dos procesos de límites simultáneos imbricados (Sørensen,

2005), esto por la naturaleza diferente del teorema. ¿Existe alguna matematización de la

época que involucrara procesos de límites simultáneos dependientes?, pues no. Es un

problema alejado del conocimiento sensible del mundo e inscrito en la nueva visión, la

cual es fundamentada en bases lógicamente rigurosas.

Los procesos de límites simultáneos dependientes estuvieron ocultos de los ojos, más que

de un matemático, de toda una época de matemáticos que no pudo solucionar el

problema. ¿Por qué todos los matemáticos del periodo no pudieron hacer frente a esta

situación de dobles límites relacionados entre sí? Porque corresponde a una situación de

índole sociocultural, de cómo la visión de la matemática de la época coexistió con un

problema que pertenecía a otra visión de la matemática. Podríamos decir que esta

relación fue un problema que nació en una época que no estaba lista para entenderlo,

por la racionalidad propia relativa a lo sensible. El querer dilucidar la situación estaba en

la época, esto se puede ver en Cauchy (1827), Abel (1881)64, Dirichlet y otros

matemáticos del periodo. Sin embargo, la visión del hacer matemáticas que existía en su

periodo lo segó de sus ojos, en términos de mirada y por las dificultades simbólicas,

ambas cosas relacionadas a un desarrollo que una nueva manera de ver el conocimiento,

que nació con Cauchy y se fue institucionalizando hasta Seidel, quién ya pertenece a una

64 Fecha de la traducción al francés del original de 1826 en alemán.


108

nueva generación de matemáticos, quién nació en 1821, el mismo año en el que Cauchy

publicó la demostración de su teorema. En esto, se puede ver como la postura

inaugurada por Cauchy en este año ya era reconocida en 1826 por el joven Abel, quién

exaltó el rigor de la obra (Abel, 1881, p.221). Este mismo Abel siguió la línea de Cauchy

al criticar que el análisis de su época carecía de plan y coherencia, además de que muy

pocos teoremas se demostraran con el convincente rigor (Sørensen, 2005). También se

alineo a la exaltación de la inducción sobre el pensamiento inductivo para el

conocimiento matemático.

Ahora, ¿Por qué Cauchy no pudo ver el problema de su demostración? Esto es porque

Cauchy es el primero en plantear esta nueva manera de hacer matemáticas. Como

comentamos en el apartado anterior, este intento es una manifestación del pensamiento

monárquico en contra de los planteamientos ideológicos revolucionarios, que

planteaban una relación entre el conocimiento y la realidad, en lo concreto el cambio

social. Cauchy apuntó en la otra dirección, siendo claro en los límites del conocimiento

humano y en el desprendimiento intencional de lo sensible al conocimiento matemático.

Sin embargo, él no estaba listo para afrontar los problemas matemáticos que emergerían

de esta nueva concepción sobre el conocimiento. No lo estaba en términos simbólicos ni

en términos de la manera de ver. Con Cauchy, comenzó una manera de ver el

conocimiento matemático que paulatinamente fue reconociéndose (por ejemplo, en la

obra de Abel en 1826) y poco a poco fue institucionalizándose. Veinticinco años después

una nueva generación de matemáticos creció en este nuevo paradigma, lo cual trajo una

nueva racionalidad para la matemática, la cual permitió que estos nuevos problemas se

desarrollaran y nacieran las nuevas áreas del conocimiento matemático como el Algebra

Lineal y la Topología, áreas en las cuales la preocupación era de otro nivel, la naturaleza

del espacio trabajado.

Es en esta situación sociocultural en la que inscribimos la situación aludida por Lakatos.

Estamos de acuerdo que no se puede comprender cabalmente este periodo sin adoptar

un enfoque fabilista (Lakatos, 1976, p.163), pero agregamos que necesitamos además

entender al mismo periodo histórico, explorando las condiciones de producción y

difusión del conocimiento, desarrollando una mirada “desde la época” de los temas

matemáticos en cuestión. Es en base a este análisis realizado que argumentamos que el

problema está situado en el nacimiento de una nueva manera de concebir el hacer

matemáticas, la cual tiene en sí misma un marco racional diferente al antiguo. Al no estar


109

desarrollado este marco racional, los matemáticos de la época no pudieron resolver el

conflicto. Este marco racional nace y comienza a desarrollarse desde Cauchy, el

arquitecto de este nuevo modo de ver al conocimiento matemático. De esta manera

Cauchy marca un quiebre en la manera de mirar, y construye una nueva racionalidad, una

nueva mirada del hacer matemáticas. Es al posicionar nuestro planteamiento en la

confrontación entre esta nueva racionalidad con el paradigma racional antiguo de los

matemáticos de la época, donde podemos entender el por qué la convergencia

uniforme, no solo fue invisible para Cauchy, sino para toda su generación de

matemáticos. La convergencia uniforme es una construcción teórica que no nace

motivada por alguna interpretación, generalización, inducción, etc., del conocimiento

sensible del mundo, sino por un acontecimiento fortuito provocado por la validez interna

de esta nueva estructura, que busca fundamento desprendiéndose de esta realidad

sensible, pero que debe ser coherente con los problemas a los cuales la matemática

construida da respuestas.

Para concluir esta parte, comentamos sobre el cómo plantear el juicio histórico ante esta

“mancha” en la obra de Cauchy, después del anunciado rigor e inhabilidad en su obra.

Nuestro comentario es que, más que un error de Cauchy, su gran mérito es el haberse

situado en una época posterior a él, en una época donde la convergencia uniforme se

convertiría en el elemento central de los planteamientos en relación a la analiticidad de

las funciones hasta finales de su siglo. Este elemento “encontrado” por Cauchy, sin

saberlo el claro está, fue la base del teorema de aproximación de Weierstrass, y por

tanto de la evolución de la analiticidad de las funciones a la analiticidad del espacio de

funciones continúas. Sobre Weierstrass el siguiente capítulo…

110

CAPÍTULO 5

WEIERSTRASS Y LA ANALITICIDAD EN UNA MIRADA DE

LA MATEMÁTICA DESPRENDIDA DEL CONOCIMIENTO

SENSIBLE DEL MUNDO

111

CAPÍTULO 5

WEIERSTRASS Y LA ANALITICIDAD EN UNA MIRADA DE LA MATEMÁTICA

DESPRENDIDA DEL CONOCIMIENTO SENSIBLE DEL MUNDO.

Karl Weierstrass, matemático alemán, demuestra a sus setenta años unos de los teoremas

de mayor importancia de su tiempo, conocido actualmente como el teorema de

aproximación de Weierstrass (1885). Este teorema, además de tener implicancias

relevantes tanto para el campo de la topología, de análisis matemático y el análisis

numérico, cierra un ciclo que comenzó con Galileo y que se desarrollo durante toda la

historia del cálculo, esto es, la analiticidad de las funciones. Weierstrass demuestra que

existe la posibilidad de representar analíticamente cualquier función continua,

representación que puede ser polinomial en un intervalo cerrado. Como mostraremos a

continuación, su estancia como maestro en la universidad de Berlín lo llevó por un

camino que él no proyectaba, el de fundamentar las bases del análisis moderno. La obra

de Weierstrass, desde su comienzo como docente en Berlín, fue del todo matemática,

inscrita en esta visión del conocimiento matemático desprendido del conocimiento

sensible del mundo. De esta manera, la matemática tiene ahora problemas internos en

los que encuentra su estructura y fundamentación.

Estudiar la obra didáctica de Weierstrass nos permitirá entender el camino que llevó a

este matemático alemán, desde la preocupación de las aplicaciones matemáticas a las

ciencias de su tiempo, a posicionarse en una postura de estructura y generalidad de la

matemática. En este tránsito entenderemos la evolución desde el cálculo a los inicios de

la topología matemática. Al reflexionar sobre el contexto de significación de su teorema,

entenderemos que la búsqueda de estructura y generalidad, en una visión del rigor

matemático, son variables que precedieron al teorema. También, podremos ver la

relación que tiene la significación para el autor del teorema con la construcción de los

números reales desarrollada por el mismo. Además veremos cómo, para poder demostrar

su teorema, Weierstrass hizo una abstracción de la modelación del error desarrollada por

Gauss (1822) consiguiendo una herramienta matemática poderosa para lograr su

resultado. Weierstrass, un matemático representante de una nueva época matemática,

fue quién llevó el rigor a los puntos más altos conocido en su siglo y a plantear los

cimientos del análisis moderno.

El conocimiento matemático desprendido del conocimiento sensible del mundo_ Capítulo 5

112

5.1 LA REPRESENTACIÓN ANALÍTICA DE FUNCIONES ARBITRARAS Y SU

SIGNIFICACIÓN PROBABILÍSTICA.

A continuación explicaremos la demostración del conocido como teorema de

aproximación de Weierstrass. Como mostraremos, la significación, según la mirada del

autor y en relación a los métodos utilizados para demostrar el teorema, tienen una

significación probabilística.

5.1.1. Sobre la posibilidad de representar analíticamente funciones arbitrarias de

variable real.

Este teorema fue publicado el año 1885 en los informes de las reuniones de la academia

de ciencias de Berlín65. El título del escrito es “Sobre la posibilidad de una

representación analítica de funciones arbitrarias de una variable real”66. El artículo

completo puede verse en el Anexo B. A intentar entender cómo el autor entiende su

obra, logramos comprender la vinculación existente entre este teorema, que marca una

etapa importante en los inicios de la topología matemática, con los orígenes del estudio

de las distribuciones de probabilidad. Esta vinculación la interpretamos de interés, por

ser estas áreas del conocimiento tan distantes en el discurso matemático escolar actual.

El artículo comienza considerando una función f(x) uniformemente real y continua, tal

que su valor absoluto tenga límite superior finito. Enuncia la siguiente ecuación

considerándola como verdadera:

65 Sitzungsberichte Akademy Berlin 66"Ueber die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Funktionen einer reellen Veränderlichen”

Obra (1885)

Cómo el autor mira su

Weierstrass (1815-1897)


113

(Weierstrass, 1886, p.105)

Aunque el autor no lo comenta, podremos percatarnos que la ecuación hace alusión a la

esperanza de una distribución normal, problema resuelto en la época. De aquí que

Weierstrass lo considera como una igualdad verdadera. La esencia de esta igualdad es

que, a través de un resultado probabilístico, se logra una representación de una función

arbitraria )(xf mediante una función analítica67. La esperanza matemática es el valor

esperado para una cierta distribución en base a cierta desviación estándar expresada en

función de k68. Cuando esta desviación es cero, significa que todos los valores de la

distribución se acumulan en la media aritmética, esto es, el valor x de la ecuación. Por

tanto, si la desviación estándar converge a cero (que sucede con el límite de k tendiendo

a cero), entonces para todo x la esperanza será el valor de )(xf . De aquí la igualdad, y

lo que está mirando Weierstrass de la ecuación propuesta. Enseguida el autor comenta:

69


Y considera una función )(x que satisfaga )()( xx y considerando que la

integral

dxx)( , conserve un valor finito, designado por w. El autor considera, que si se

tiene la expresión


67 El autor le llama a este tipo de funciones trascendentes enteras, y son aquellas diferenciables infinitamente en todos sus puntos, es decir, que en todo su dominio es desarrollable mediante series de Taylor. 68 2k , con desviación estándar. 69 “El teorema que expresa esta ecuación es susceptible de ser fácilmente generalizado”


114

Entonces se tendrá que


Es decir, la función trascendente entera

2

k

xu

e la generaliza por esta función

k

xu ,

donde )(x cumple las condiciones señaladas más arriba. Examinemos primeramente la

igualdad planteada, para después analizar su demostración.

Esta igualdad, siguiendo la idea de la ecuación original, representa la esperanza de una

“distribución de probabilidad”70 , en donde también la desviación estándar está

expresada en función de k . El valor x representa la media aritmética, y por tanto, para

cada media aritmética , se considera una desviación estándar comprimida en el valor

de k . Ahora bien, al igual que en la expresión anterior, si la desviación estándar

converge a cero, entonces todos los valores se acumularán en la media aritmética, y el

valor será igual al de la función en x. Esto es precisamente lo que expresa la segunda

ecuación reseñada.


Esta igualdad es la que el autor demuestra en lo extenso del escrito, con lo cual logra

demostrar su teorema de representación analítica de funciones arbitrarias. (Ver Anexo B)

Así, el autor consigue demostrar que cualquier función continua puede considerarse

representada por una función trascendente entera, esto es, la esperanza de una

generalización de una distribución probabilística.

70 Como veremos enseguida, esta función es una generalización de las propiedades de una distribución de probabilidad, por tanto no es una distribución de probabilidad como tal.


115

5.1.2 La relación de la demostración con la modelación del error de Gauss (1822)

Ahora bien, ¿Por qué decimos que el autor, al mirar estas ecuaciones, está pensando en

una generalización de una distribución de probabilidad? Al estudiar el escrito y darnos

cuenta que cuando el autor dice que el teorema es susceptible a ser generalizado se está

refiriendo a la esperanza matemática de una distribución normal, buscamos el original

de la distribución normal.

Esto nos llevo a la obra de Gauss (1823) titulada “Theoria combinationis observationum

erroribus minimis obnoxiae” Al estudiar la traducción al inglés de esta obra realizada por

Stewart (Gauss, 1995), encontramos algo interesante en relación a la significación

probabilística de Weierstrass de las ecuaciones presentes en la demostración de su

teorema. Esto lo comentaremos en las siguientes líneas.

Gauss (1823), en la página 4 de su obra, modela funcionalmente el error. Considera una

función71 x representando el error de una clase fija de observaciones. Lo que hace

enseguida es, en base a las características del estudio del error, modela la función x .

Considera que la probabilidad del error entre los limites infinitésimos x y dxx será

dxx. 72. El autor plantea que, a pesar de la dificultad de determinar a priori, se

pueden hacer algunas observaciones generales: a). La función fuera de los límites

posibles del error será cero; b). En la mayoría de los casos se podrá asumir que los errores

positivos y negativos son de igual magnitud, por lo que considera )()( xx ; c). Un

pequeño error es más probable a ocurrir en cantidades grandes, por tanto x tendrá su

valor mayor en 0x , y decrecerá continuamente cuando x crezca. Estas son las tres

71 Esta es la notación que utilizaba Gauss y sus predecesores, como lo es Lagrange. Cuando había una función de x no usaban el paréntesis, fx, pero cuando era una función “compuesta”(como la llamaba Lagrange) 72 Esto es, la función multiplicado por dx. Esa era la escritura de la época.

Obra (1885)



Gauss


116

condiciones que pone el autor para la función que modelará el error (Gauss, 1823, p.4)

Después de esto plantea que, en general, el valor de la integral dxx. entre ax y

bx representará la probabilidad que el error, todavía no conocido, entre a y b . De

aquí que su valor…

73

(Gauss, 1995, p.7) traducción del original de 1823

Ahora bien, al analizar en paralelo las condiciones que atribuye Gauss a la modelación

del error, y las que atribuyen Weierstrass a la generalización del reseñado “teorema”,

podemos observar con claridad la relación existente entre estas generalizaciones:

73 “máximo será uno .Ya que x es cero fuera de esos límites, es claro que el valor de la integral dxx.desde x hasta x es siempre uno”. Es interesante como, después de modelar las características del error, plantea la ecuación que lo modela. Plantea tomar la función x de manera que

sea proporcional a hh

xx

e

, de lo que consigue la expresión

h

ex

hh

xx

, donde denota el perímetro de un

círculo de radio uno (Gauss, 1823, p.9) Es decir, primero es considerar las características del error, y

después, digamos mediante un lenguaje gráfico del comportamiento de la función b

a

e

, encuentra la ecuación de distribución normal. Este es un dato interesante para la enseñanza de la probabilidad.

Gauss (1821, 1823) Weierstrass (1885)

=


117

Se observa que la correspondencia en las condiciones de las funciones es directa, incluso

en el orden de redacción. Además, hay que considerar que Gauss fue el maestro de

Gudermann (1798-1852), quién fue maestro de Weierstrass. Por tanto la relación es

fuerte, lo que nos lleva a concluir que Weierstrass estudió esta obra de Gauss, y la utilizó

generalizando las condiciones de Gauss para lograr demostrar la representación analítica

de las funciones arbitrarias. Es interesante observar cómo, con las herramientas de la

época a través de la modelación del error, en 1823 ya se podía concebir casos

particulares de representaciones analíticas de funciones arbitrarias. Claro está que,

debido a la intencionalidad del escrito y a la racionalidad de la época esto no fue notado

por los matemáticos del periodo, pues el concepto de límite estaba desarrollándose y

existía otra concepción del concepto de función. También es interesante considerar que

en este nuevo periodo de la matemática con una racionalidad desprendida del

conocimiento sensible del mundo, la herramienta de Gauss evolucionó, siendo utilizada

por Weierstrass con una intencionalidad diferente, siendo esencialmente el mismo

método.

5.1.3 La significación probabilística en la demostración de Bernstein (1913)

Como ya mostramos al inicio del capítulo 1, entre la diversidad de demostraciones

existentes del teorema de 1885, existe la de Bernstein (1880-1968) titulada

“Démostration du théorème de Weierstrass fondée sur le calcul des probabilités74"

(Bernstein, 1913). La demostración de este teorema se sustenta en la modelación de la

esperanza matemática de una distribución binomial.

75


74 “Demostración del teorema de Weierstrass fundado sobre el cálculo de probabilidades”

k75 nE hace alusión a la esperanza matemática y !)!(

!

nnm

mC m

n

.


118

Es en esencia la misma idea utilizada por Weierstrass, pero con otra distribución de

probabilidad, la que a demás de permitirle demostrar el teorema, brinda una manera de

encontrar los polinomios en cuestión. Este es el motivo por el cual esta demostración es

conocida actualmente en la física matemática.

Ahora bien, al referirnos al contexto de significación, estamos haciendo alusión a la

dimensión sociocultural del contexto. De aquí que necesitamos desarrollar una mirada

más histórica y social para poder entender el contexto de significación de la publicación

de 1885 de Weierstrass. Como mostraremos más adelante, la significación probabilística

obedece a un método matemático para resolver un problema que se encuentra en una

esfera de significación diferente, esto es, en la extrapolación de la construcción de los

números reales y la necesidad de dar argumentos generales y estructurales al análisis

matemático.

5.2 UN BREVE RECORRIDO EN LA EVOLUCIÓN DE LAS IDEAS EN LA CONSTRUCCIÓN

MATEMÁTICA DE WEIERSTRASS.

5.2.1 Sus ideas iniciales y trabajo como profesor de secundaria.

Weierstrass estudió matemáticas de manera autodidacta mientras estudiaba derecho,

entre los 19 y 23 años (Dugac, 1973). Lo primero que estudio fue la Mecánica Celeste de

Laplace y algunas obras sobre las funciones elípticas de Jacobi y Abel. Después entro a

estudiar el profesorado en matemáticas en Münster para enseñanza secundaria, donde

tomo diversos cursos con el matemático Gudermann, los cuales trataron sobre las teorías

de Jacobi y Abel sobre las funciones elípticas, en el contexto de la variable compleja. Los

cursos de Gudermann eran nuevos y de dificultad. Esto se puede ver como en 1839,

después de haber tenido a 13 alumnos en el primer curso, continuó el segundo solo un

estudiante, Weierstrass (Dugac, 1973). En su estancia en Münster desarrolló algunas

publicaciones científicas que trataron, entre otros, la utilización de series enteras y de

ecuaciones diferenciales para construir nuevas funciones -la representación de funciones

analíticas de variable compleja entre valores dados- un tratado en 1841 sobre la teoría

de series enteras, en la cual introduce la noción de convergencia uniforme.


119

Entre las más destacadas de este periodo se encuentra la memoria de 1842 que trata la

definición de las funciones analíticas por medios de ecuaciones diferenciales algebraicas,

en la que incluye la idea de prolongamiento analítico, una noción fundamental en su

teoría de las funciones analíticas. Esta noción es conjuntista, al considerar las

propiedades de la función en la intersección de dos conjuntos de los complejos, y

topológica, al considerar las propiedades de una vecindad en un punto z . Como

métodos utiliza aquí la convergencia uniforme. (Dugac, 1973, p.48-49).

Después de su formación como profesor, Weierstrass ejerce por 13 años, desde 1842 a

1855, como profesor de enseñanza secundaria. En este periodo continuó con sus

producciones matemáticas, como los comentarios sobre los factoriales analíticos de

1842, el cual sería re-publicado a su llegada a Berlín. En 1846 Jacobi escribe a Humboldt

comentando sobre como una nueva generación de analistas construirían un nuevo

análisis, siendo Weierstrass uno de los elementos más importantes de esta generación

(Dugac, 1973, p.50).

Weierstrass tiene un cambio radical en su reconocimiento como matemático, después de

la reconocida publicación suya de 1854 que trata sobre la teoría de las funciones

abelianas. En 1857 entra a la academia de ciencias de Berlín, lo cual le brindó una

plataforma para dar a conocer sus trabajos y le permitió hacer clases en la universidad de

Berlín, en donde desarrolló su teoría matemática. En su disertación a su ingreso a la

academia, en este mismo año, Weierstrass destaca como, bajo la enseñanza de

Gudermann, las funciones elípticas causaron una poderosa atracción en él, y como estas

han influenciado su pensamiento de una manera decisiva. Destaca como el estudio de las

funciones abelianas, proyecta él, se convertiría en el objetivo exclusivo de su obra. En

esto, la representación de las funciones trascendentes que resultan del la integración de

diferenciales algebraicos, y las funciones periódicas de varias variables (Dugac, 1973,

p.53) Lo interesante aquí es que el desarrollo sistemático que realizaría en Berlín en

relación a la teoría de las funciones analíticas no fue mencionado en este discurso, por lo

cual se muestra que no era una preocupación del autor al llegar a Berlín (Dugac, 1973,

p.54).

5.2.2 Un cambio radical, Weierstrass como profesor en la universidad de Berlín


120

Al llegar a Berlín, comenzó a hacer clases de matemáticas en la universidad de esa

ciudad. Esto lo hizo durante treinta años. Esta docencia llevó a Weierstrass en todo un

recorrido hacia la fundamentación del análisis matemático. En su etapa inicial, a opinión

de Dugac (1973), Weierstrass consideraba que la matemática debe ser una herramienta

destinada para resolver el problema propuesto por otras ciencias, en especial la física

(p.54). Nótese que esta preocupación es de un tenor diferente a la comentada en

Lagrange, pues aquí la matemática se fundamenta y sostiene en sí misma para dar

respuesta a las ciencias. Con su docencia universitaria, la preocupación de Weierstrass

giró rápidamente hacia la fundamentación del análisis matemático.

El verano de 1857 dio el curso titulado “los teoremas generales concernientes a las

representaciones de funciones analíticas por series convergentes”. En inverno del mismo

año dicta los cursos “problemas seleccionados de la geometría y la mecánica resueltos a

la ayuda de las funciones elípticas” y “teoría ya aplicaciones de series trigonométricas y

de integrales definidas que sirven para la representación de funciones arbitrarias”. En el

verano de 1858 los cursos “algunos capítulos seleccionados del cálculo integral” y el que

trata una “nueva geometría”. En invierno del mismo año dio el curso “teoremas generales

concernientes a la representación de funciones analíticas por series infinitas”. Es en

invierno de 1859 dicta los cursos “introducción al análisis” y “cálculo diferencial”. En

invierno de 1861 da el curso “teoría general de las funciones analíticas”. Por una

situación de enfermedad interrumpió su actividad docente. En 1863 dictó un curso sobre

funciones elípticas. Vuelve a dar el curso de funciones analíticas dos años más tarde, en

invierno de 1865 (Dugac, 1973). En estos años comienza a desarrollar la teoría de los

números irracionales. Entre el verano de 1868 y 1870 Weierstrass da el curso titulado

“teoría general de las funciones analíticas”, y en el verano de 1872, da el curso

“introducción a la teoría de las funciones analíticas”, en el cual desarrolla su teoría de los

números irracionales.

Es interesante como su teoría de las funciones desarrollada sistemáticamente curso a

curso, en donde entre otras ideas desarrollo la representación analítica de funciones

como la entendemos hoy en día, la cual fue presentada en 1874 en su curso titulado

“introducción a la teoría de las funciones analíticas”. En esta presentación se evidencia

cambio radical y sustancial en su teorización matemática.

5.2.3 Hacia la representación analítica de funciones arbitrarias


121

Después de esta magistral presentación de la teoría de las funciones de 1874,

Weierstrass vuelve a dictar su curso sobre la teoría de las funciones analíticas, en 1876,

1878, 1882 y 1883. En estos años su curso alcanzó gran popularidad y se comenzó a hacer

conocido en todo el mundo matemático (Dugac, 1973, p.60), al punto que el curso de

invierno de 1884 tuvo su primera clase en un auditorio, pues, tenía como alumnos

inscritos a más de mil gentes. Weierstrass se comenzó a hacer conocido en todo el

mundo matemático (Dugac, 1973, p.62). En estos años el autor reconoció como su

madurez matemática era mucho mayor a sus setenta años que cuando tenía cincuenta.

(Dugac, 1973, p.61). En 1885 presenta el teorema que nos reúne, el de la representación

analítica de funciones arbitrarias de variable real. El año siguiente, Weierstrass dictó su

último curso de análisis, titulado “capítulos seleccionados de la teoría de funciones”.

En su curso de invierno 1884-1885, Weierstrass expresa la insatisfacción que él tenía de

sus cursos anteriores, pues la generalidad de los resultados obtenidos no se había puesto

plenamente en evidencia (Dugac, 1973, p.85) Aquí plantea que este será el objetivo del

nuevo curso de análisis: Hacer ver la generalidad de las teorías que son la base del

análisis. De aquí plantea la tarea de elaborar las bases sólidas que concierne a los

principios de la ciencia matemática. Para esto plantea que es indispensable ocuparse de

problemas particulares, pero el objetivo final, que debe estar siempre presente en el

espíritu, es el de atender los fundamentos de la ciencia (Weierstrass, 1884, en Dugac,

1973)

Es por esto que juzga la definición de función de Dirichlet (de correspondencia entre

elementos) más general que la de relación aritmética de Leibniz. Weierstrass destaca, en

base a su resultado sobre la representación analítica de funciones arbitrarias, que estas

dos nociones de función son equivalentes cuando la correspondencia es continúa (una

función continua). En el capítulo dos de este curso, titulado “sobre la representación de

las funciones llamadas arbitrarias”, Weierstrass afirma que si una función puede ser

aproximada por un polinomio de coeficientes racionales, entonces se dirá que esta

admite una expresión aritmética. El autor pensó en algún momento que esto se podría

haber resuelto gracias a las series de Fourier, sin embargo, más tarde mostró que habían

funciones continuas que no podían ser representadas de esta manera. En la página 17

demuestra su célebre teorema, como ya vimos publicado en 1885, con lo cual argumenta

que la noción de función real continua se identifica completamente con la noción de

representación aritmética sobre la forma de una serie infinita de polinomios


122

(Weierstrass, 1884, p.21, en Dugac, 1973, p.86). Aquí se puede ver con claridad cómo los

argumentos ya dejan de centrase en la función y cómo esta noción se comienza a utilizar

para describir una propiedad del espacio de funciones continuas: el espacio de funciones

continuas es potencialmente aritmetizable. Aquí ya estamos en un terreno topológico,

de estructura y cercanía. Ya estamos en el terreno del espacio de funciones, más que en

las funciones mismas.

Antes de finalizar su curso, Weierstrass enuncia el teorema que él considera como de los

más importantes de la teoría de funciones: determinar las condiciones por la que la

igualdad de dos series de funciones en un subdominio del plano, de modo que se puedan

considerar iguales en todo el dominio. Este es el problema de prolongamiento analítico.

Aquí ya no es la función, sino es el espacio de funciones. Este teorema de

prolongamiento analítico se sustenta en la existencia de los puntos de acumulación, es

decir, en un planteamiento de cercanía, por tanto topológico. Al finalizar su curso,

Weierstrass vuelve a comentar que el interés de éste fue el de dar la forma más general a

los teoremas fundamentales sobre la representación de una función arbitraria por una

serie de polinomios, destacando que el último objetivo de la teoría de las funciones es el

de la representación de las funciones76.

5.2.4 La publicación científica del teorema en 1885

Será interesante mostrar algunos fragmentos de la publicación del teorema en 1885.


76 En esta misma dirección, la noción de punto de acumulación, central en la definición de número real,

aparece ahora relacionada con la de representante de una clase de equivalencia, nuevamente lo mismo,

una mirada que apunta a describir una propiedad del espacio, en este caso, comenzando de la recta real

(Dugac, 1973, p.87).


123

Después de demostrar la igualdad comentada al inicio de este apartado, el autor destaca

que no solamente demostró que ),( kxF se aproxima a )(xf cuando k se hace

infinitamente pequeño, sino también que esta convergencia es uniforme para los valores

de x contenidos en un intervalo finito cualquiera (Weierstrass, 1886, p.108), enseguida

de lo cual afirma que encuentra algo “digno de remarcar”. Esto es, que entre las

funciones )(x que satisfacen las condiciones señaladas, hay una infinidad que son

funciones trascendentes enteras que cumplen la igualdad, lo cual el autor considera

“remarcable y fecundo”. Recordemos que las funciones trascendentes enteras son

aquellas que tienen infinitas derivadas en todos sus puntos. Enseguida, plantea el

teorema, expresando esta idea y tomando a modo de ejemplo la función 2

)( xex .

Ya teniendo la igualdad entre la función continua y la función trascendente entera,

mediante el método probabilístico, y al asumir que la función trascendente entera puede

ser desarrollada mediante series de Taylor, concluye que la función continua arbitraria

puede igualarse a una función entera racional.

Posteriormente, y considerando un intervalo finito, plantea una serie de potencias

...2

21 xAxAAo , designando )(xG como la suma de sus primeros n-términos, y

deduce que para un valor de n grande se tendrá que )(´),( xGkxf puede ser tan

pequeño como se quiera, lo que implica que )()( xGxf también será una cantidad

evanescente. En base a esta igualdad plantea el siguiente teorema:

Función arbitraria Continua

Función trascendente

entera

n(x)

Función entera racional

Taylor


Método probabilístico

= =

=


124

77

(Weierstrass, 1886, p.109).

Después desarrolla una construcción de tal función entera racional78. Esta construcción

es una reflexión abstracta, más que un método para hallar tal polinomio, lo cual no

aborda el autor en esta obra. Después de demostrar la convergencia absoluta y

convergente, el autor vuele a plantear el teorema en base a la convergencia de la

siguiente manera:

79

(Weierstrass, 1886, p. 111)

Es decir, al verificar la convergencia uniforme para un intervalo cerrado y la absoluta

para todo su dominio, el autor plantea que toda función puede ser representada por

funciones enteras racionales, esto es, funciones polinómicas. Nótese que su notación de

intervalo, ),...,( 21 xx es diferente a nuestra notación actual 21, xx

77 “Si f(x) es una función de la naturaleza considerada anteriormente y si la variable está restringida a un intervalo finito cualquiera, se puede, dado un valor positivo g que se puede hacer tan pequeño como se quiera, determinar de una variedad de maneras una función ENTERA RACIONAL que, en el intervalo considerado, se aproxima a la función f(x) tan cerca que la diferencia f(x) – g(x) sea siempre más pequeña que g en valor absoluto” 78 Esta versión en francés resalta con mayúsculas la palabra entera racional, mostrando la relevancia que tenía este resultado. Su original en alemán no lo hace. 79 “Toda función f(x) de la naturaleza considerada puede ser representada de una variedad de maneras por una serie infinita donde los términos son funciones enteras racionales de x. Esta serie converge absolutamente para todo valor finito de x y uniformemente en cada intervalo (x1,…,x2)79 donde sus límites son medidas finitas”


125

A continuación de la demostración del teorema inicial, la convergencia, y desarrollar la

reflexión para argumentar la representación racional de funciones arbitrarias, el autor

termina haciendo algunos comentarios y aclaraciones sobre la elección de la función

)(x . Después de esto el autor considera que el cree que la demostración desarrollada

en el artículo es rigurosa y suficiente para mostrar que…

80


Existe una segunda parte de este artículo (Weierstrass, 1886, p.115-138) en la cual se

hace el mismo desarrollo para funciones periódicas mediante series de funciones

tomando la idea de la convergencia de Fourier. En este sentido, Weierstrass el primero

en poner el problema de la unicidad de la representación de una función dada por una

serie trigonométrica (Dugac, 1973, p.55). Recordemos que el problema de la unicidad

fue el sustento de la crítica de Cauchy a Lagrange (Cauchy, 1822). De aquí que, en base a

las ideas de Lagrange y Fourier, existían las herramientas necesarias para poder formular

la representación analítica de algunos tipos de funciones. El punto es que esta

concepción de función evoluciono, con Fourier aparecieron nuevas funciones y después

de la definición de función de Dirichlet aparecieron otras funciones como la continua sin

derivada. Es en este contexto de la aparición de las nuevas funciones que el

planteamiento de la representación analítica de funciones arbitrarias crece, hasta el

punto que Weierstrass demuestra este teorema.

5.2.5 La difusión del teorema en 1885

Es relevante destacar el impacto que tuvo esta publicación de 1885 es su época. El año

1886 se publica en el Journal de mathematiques la traducción al francés del escrito bajo

el título “Sur la possibilité d`une représentation analytique des functions dites arbitraries

d´une variable réelle” La importancia del teorema se puede entender también por el

número de demostraciones que aparecieron después de su publicación. Entre estos están

80 “existen ciertas funciones racionales enteras G(x) que, en todos los puntos de un intervalo dado, se aproximan tan cerca como se quiera de una función dada f(x) y que esta puede ser efectivamente determinadas”


126

los de Picard en 1891, Lerch en 1892 y 1903, Volterra en 1897, Lebesgue en 1898,

Mittag-Leffler en 1900, Fejér en 1900, Landau en 1908, De la Valle Poussin en 1908,

Bernstein en 1913, y otras de Rungue y Phragmén de la misma época. También están

algunas generalizaciones y pruebas adicionales del teorema, como el teorema de

Müntz´s, la interpolación de Hermite- Fejér en 1914, el teorema de Carleman´s en 1927 y

la conocida generalización llamada teorema de Stone Weierstrass realizada por Stone en

1937, quién pone al teorema de Weierstrass en el contexto de la topología algebraica,

entre algunos otros (Pinkus, 2000)

5.3 RIGOR, ESTRUCTURA, Y GENERALIDAD. EL CONTEXTO DE SIGNIFICACIÓN DEL

TEOREMA DE WEIERSTRASS

Ya comentamos en el inicio como el método utilizado para demostrar su teorema fue una

abstracción de la modelación del error de Gauss y su promediación con el uso de la

esperanza matemática de una distribución normal. Sin embargo, al referirnos al contexto

de significación, hacemos alusión a la dimensión sociocultural del contexto.

Mostraremos en las siguientes líneas la idea germinal del teorema, su definición de

número racional, y la ambición matemática que lo llevó a la producción de este

resultado: la búsqueda de estructura y generalidad encontrada en el camino de la

construcción de su fundamentación rigurosa del análisis.

5.3.1 La idea germinal, la definición de un número irracional

Para fundamentar el análisis matemático, Weierstrass se vio en la necesidad de precisar

la teoría de los números reales. En esto, concibe a un número como un entero más la

suma de partes. En el caso de los números racionales esta suma es finita, y en el caso de

los irracionales esta suma es una serie convergente.

Obra (1885)




127

81

(Weierstrass, 1874, citado en Dugac, 1973, p.73)

Al estudiar el artículo de 1885 podemos ver como el autor significa una función continua

arbitraria extendiendo este significado dado para un número irracional.


Weierstrass entiende a una función arbitraria trascendente como una suma infinita de

funciones racionales. Es decir, una suma de partes racionales, donde cada parte es una

función racional. Esta manera de entenderlo nos lleva a entender cómo el autor concibe

la densidad y la naturaleza del espacio de funciones continuas. De esta manera, si un

número irracional lo puede definir mediante un límite de números racionales

(Weierstrass, 1874, citado en Dugac, 1973), también puede definir una función continua

trascendente como un límite de funciones enteras racionales (Weierstrass, 1885). De

esta manera, si se puede aritmetizar los reales mediante series de racionales

(Weierstrass, 1874, citado en Dugac, 1973), también se podrá aritmetizar el espacio de

funciones continuas mediante series de funciones enteras racionales (Weierstrass, 1885).

De esta manera si la convergencia se consigue acotando el resto de la serie de

racionales, se entenderá la convergencia acotando el resto de la serie de funciones

enteras racionales (Weierstrass, 1874, citado en Dugac, 1973). Si un irracional es el

punto de acumulación de una serie de números racionales, una función trascendente

continua será la acumulación de la serie de funciones enteras racionales82.

81 “Los números racionales son aquellos que son compuesto de una sucesión finita de números. Se debe llamar irracional a todo numero que no es racional” 82 Existen explicaciones escolares que plantean el teorema de aproximación de Weierstrass en términos de la existencia de un polinomio en una vecindad de la función arbitraria, y no como la convergencia de una serie de polinomios a tal función. En este tipo de explicación, toda la significación original en torno a la

representación analítica y a la naturaleza del espacio se esconde en los cuantificadores y . Es el caso,

por ejemplo de la siguiente presentación del teorema: Para cualquier 0 y para cualquier función f


128

Como veremos en seguida, esta idea en conjunto con la triada (rigor, estructura,

generalidad), llevaron a que las funciones cambien de estatus de objeto central del

estudio a un elemento descriptor de la naturaleza del espacio de funciones continuas.

5.3.2 La generalidad y la estructura encontrada en el camino del rigor

Al plantearnos el por qué Weierstrass llegó a pensar en la representación analítica de las

funciones arbitrarias, pudimos entender que fue por la búsqueda de la generalidad en los

resultados y la encontrada estructura en su construcción formal rigurosa del análisis

matemático.

La llagada de Weierstrass a Berlín marca una dirección radical en la construcción

matemática. En su discurso ante la academia de ciencias, en las que comentó sus

intenciones en relación al curso de la investigación que continuaría, su teoría de las

funciones analíticas no fue mencionada (Dugac, 1973, p.54), lo que nos lleva a pensar

que no estaba en sus preocupaciones en este momento. Después comenzó a desarrollar

sus cursos en la universidad de Berlín, donde mostró en corto tiempo un cambio de

dirección hacia la fundamentación del análisis. Fue en esta fundamentación que necesito

nuevas herramientas, más finas, como la noción de punto de acumulación, el supremo, la

convergencia uniforme, y la precisión de la noción de límite. Esto lo llevó a la necesidad

de construir una teoría rigurosa de los números reales (Dugac, 1973, p.59). En esta

primera etapa, podemos ver como el rigor fue lo que lo guió a la necesidad de bases

teóricas más sólidas.

Al abordar la empresa de la construcción de la teoría de los números reales, se vio en la

necesidad de heredar la estructura algebraica de los números a su teorización, por lo

cual definió una estructura algebraica para sus números reales. Recordemos que este

tipo de construcciones estructurales se dio en la época también con Dedekind, Cantor y

Peano. Después de enfrentarse con esta estructura, la extendió en una representación

aritmética de los números complejos, los polinomios, las fracciones racionales, las

funciones analíticas (Dugac, 1973, p.71, 74), desarrollando una algebrización del

continua sobre un intervalo Rba , , existe un polinomio de coeficientes reales p tal que

)()(,

xpxfSupbax

.


129

análisis, llegando a concebir una estructura para el espacio de funciones. El hablar de

estructura implica una visión de conjunto. De aquí el vuelco de considerar como centro

de análisis a la función a considerar como centro al espacio de funciones continúas. En

esta segunda etapa, podemos ver como la búsqueda de la estructura llevó a una visión de

las funciones en conjunto.

Esta visión de rigor y estructura trajeron una construcción matemática no alcanzada en la

época (Weierstrass, 1874, en Dugac, 1973), la cual se hizo popular y comenzó a

difundirse a niveles internacionales. Es en este momento cuando encontramos un tercer

momento, la búsqueda de la demostración de la generalidad de la construcción

matemática. Esto se encuentra con claridad en (Weierstrass, 1884, en Dugac, 1973), en

donde Weierstrass manifestó su insatisfacción por no haber puesto en evidencia con

claridad, en sus cursos anteriores, la generalidad de sus resultados (Dugac, 1973, p.85) y

lo plantea como un objetivo a seguir. Son importantes los problemas particulares, pero el

objetivo final es atender a los fundamentos de la ciencia (Weierstrass, 1884, en Dugac,

1973). Es aquí en donde, en base a la generalidad de la definición de función de

Dirichlet, plantea que la noción de función real continua se identifica completamente

con la noción de representación aritmética sobre la forma de una serie infinita de

polinomios (Weierstrass, 1884, p.21, en Dugac, 1973, p.86). De aquí, en base a la

demostración de su teorema que describe la naturaleza del espacio de las funciones

continuas, busca reunir en sus resultados a todas las funciones posibles, de manera de

llevar a la generalidad al estado más alto. En esta tercera etapa podemos ver como la

búsqueda de demostrar la generalidad de los resultados del análisis llevaron a

Weierstrass a demostrar su teorema.

De esta manera, la triada (rigor, estructura, generalidad) se constituye una ruta

epistemológica para la enseñanza de estos temas que vinculan el cálculo con la

topología matemática.

5.3.3 ¿Por qué fue tan importante para la analiticidad de las funciones la variable

compleja?

La analiticidad como la entendemos actualmente nace con Weierstrass en 1856 (Dugac,

1973, p.53), en el contexto del estudio de las funciones en variable compleja. La relación


130

entre la analiticidad de las funciones y la variable compleja es fuerte, por motivos que

explicaremos en este apartado.

El estudio de la variable compleja aparece en la obra de Cauchy (1821), en el marco de

esta nueva racionalidad del conocimiento matemático, y es desarrollada ampliamente

con Abel y Jacobi, en quienes Gudermann, maestro de Weierstrass, sustentó sus trabajos.

La derivada en variable compleja se define en todas las direcciones del plano, a

diferencia que la variable real donde solo son algunas direcciones (una variable, una

dirección, dos variables, dos direcciones (la horizontal y vertical), etc.) Esta diferencia

hace que, en variable compleja, las funciones derivables sean más “suaves”, pues la

derivada suaviza la curva en todas las direcciones. Esto trae resultados en variable

compleja que no se dan en variable real, entre estos uno muy relevante:

Si existe )´(cf , entonces existe )(cf n , para todo n , y considerando c

una variable compleja

Es decir, si existe la función primera derivada, entonces existen todas las otras funciones

derivadas. Esto no sucede en variable real. De aquí que toda función derivable (que

tenga primera derivada) en los complejos es desarrollable en series de potencias, y por

tanto es analítica. El que una función de variable compleja sea analítica hace que esta

brinde mucha información relevante sobre la función misma, más que en la variable real.

De aquí que su estudio sea algo relevante para la matemática. Funciones en variable real

difíciles de trabajar, se pueden prolongar a variable compleja para ser estudiadas con

mayor facilidad.

Notemos que toda la obra matemática no didáctica de Weierstrass se encuentra en el

contexto de la variable compleja. ¿Cuándo se hizo relevante el estudio de las funciones

analíticas en variable real? Quizás pudo tener una relación fuerte aquí la exposición

didáctica desarrollada por Weierstrass en la universidad de Berlín, pues una

característica de la difusión escolar es que la organización temporal de los contenidos es

de lo más simple a lo más complicado. Entonces para enseñar la analiticidad de las

funciones, primero debió enseñarse en variable real, para después llegar a lo relevante,

la variable compleja. La Analiticidad encuentra su relevancia epistemológica en la


131

variable compleja. Así, la relevancia de la analiticidad de las funciones no se puede

significar plenamente desprendida de la consideración de la variable compleja.

5.4 LAS FUNCIONES ANALÍTICAS

5.4.1 Definición de función analítica dada por Weierstrass

La definición de función analítica como una función desarrollable en series de Taylor o

infinitamente diferenciable en todos los puntos (como la consideramos en el discurso

matemático escolar actual), aparece con Weierstrass en el curso de 1856. Anteriormente

este dio algunas definiciones de funciones analíticas mediante ecuaciones diferenciales

algebraicas (Dugac, 1973, p.48). Es interesante considerar que Weierstrass, para definir

una función analítica, comenta dos cuestiones:

a) Es una función desarrollable como serie de Taylor

b) Es una función en la que, si se conoce en un dominio (una bola abierta o vecindad

en nuestro lenguaje actual) tan pequeño como se quiera, se podrá mediante un

prolongamiento definir la función en todo el plano (Dugac, 1973, p.53)

Esta segunda noción es una de las propiedades relevantes de las funciones analíticas en

variable compleja y central en el trabajo de Weierstrass. Por tanto, pareciera que en esta

propiedad de prolongamiento es donde se puede entender la relevancia de una función

analítica, siempre situándonos en el análisis complejo83. Esta idea de prolongamiento

aparece desarrollada ampliamente en la obra didáctica del invierno de 1884-1885.

Notemos que esta noción de prolongamiento requiere de la convergencia uniforme y la

existencia de puntos de acumulación (Dugac, 1973, p.87).

Cabe la pregunta de por qué Weierstrass nombra a este tipo de funciones como

“funciones analíticas”. Lagrange, en su obra de 1797 titulada teoría de funciones

analíticas, propone el desarrollo de funciones en series de Taylor. Como se puede ver el

capítulo 2 de esta tesis, la significación de representación analítica para Lagrange es

diferente que la significación de Weierstrass. Sin embargo, ambas obras tratan sobre el

desarrollo de funciones en series de Taylor. De aquí, el nombre de funciones analíticas se

83 Esto lo respondemos en el siguiente capítulo


132

hereda de la obra de Lagrange a la de Weierstrass, pero cambia su significación. En una

mirada hacia atrás, y soslayando el contexto sociocultural de la obra de Lagrange, se

podría interpretar la significación de Lagrange como la de Weierstrass. Sin embargo,

nuestro estudio ha mostrado que la noción de representación analítica de Lagrange no

tiene la misma significación que Weierstrass. Consideremos en paralelo que la palabra

“analítico” en el sentido de un método analítico, en relación a lo susceptible a ser

estudiado por el análisis, tiene el mismo significado para ambos autores.84

5.4.2 Significación de la analiticidad como representación polinomial

Hemos mostrado como la significación original de las funciones analíticas, considerada

como funciones desarrollables en series de Taylor, está relacionada a la propiedad de

prolongamiento analítico en funciones de variable compleja. Sin embargo, la

significación predominante en el discurso matemático escolar es la de aproximación

polinomial. Existe una diversidad de propuestas didácticas en esta dirección en libros de

textos y páginas webs. De aquí que es relevante preguntarse cuando aparece la

significación de función analítica, considerada como funciones desarrollables en series

de Taylor, como representación polinomial.

En base a nuestra indagación histórica y epistemológica, podemos decir que no hay

evidencia de la significación se las funciones analíticas como aproximaciones de series de

polinomios hasta la publicación en 1885. Esta significación aparece con la necesidad de

argumentar la analiticidad del espacio de funciones continuas. Antes de esto aparecen

las ideas de Analiticidad en el modelo variable variación, predicción paramétrica y

evolución paramétrica (Cantoral, 2001), y en la representación de funciones

trascendentes por medio de funciones trascendentes enteras, en particular, series de

funciones trigonométricas. De aquí podemos entender que esta manera de entender la

analiticidad (representación polinomial) encuentra su significación en una necesidad de

generalidad de la fundamentación del análisis matemático. Esta significación se

institucionalizó posteriormente en el saber matemático escolar. El discurso matemático

tradicional, al considerar “el” significado más que “un” significado del conocimiento

matemático, hace que la significación de aproximación polinomial se amplíe a todas las

84 Esto se puede ver en las consideraciones de un método puramente analítico anunciado por Lagrange en el prefacio de su obra (Lagrange, 1797) y en los anuncios de un método puramente analítico alejado de los métodos geométricos de Reimann en la obra de Weierstrass. (Dugac, 1973, p.87-90)


133

expresiones de Analiticidad de la evolución histórica, escondiendo la diversidad de

significaciones existentes en la construcción social de esta noción.

5.5 UN DESARROLLO EN UNA NUEVA RACIONALIDAD

Fueron diversos fenómenos producidos en el cambio de paradigma racional comenzado

por Cauchy los que fortalecieron esta nueva racionalidad del conocimiento matemático,

la cual llevó al conocimiento matemático a nuevos dominios, poniendo su atención en el

espacio de funciones, generando de esta manera una plataforma racional en la cual

emergieron nuevas áreas del conocimiento matemático, como la topología matemática y

los espacios vectoriales. Analizaremos en esta sección, a modo de cierre de nuestro

análisis Socioepistemológico, algunos de estos fenómenos que impulsaron este tránsito,

en particular, del cálculo y el análisis matemático a los inicios de la topología

matemática.

5.5.1 Lo fenomenológico, la evolución de la noción de función

La noción de Analiticidad, en un sentido más amplio que la analiticidad de las funciones,

se vincula a una situación de índole fenomenológica, en la cual la noción de función

evoluciona, provocando cambios en la misma estructura y epistemología del

conocimiento, como también en la racionalidad del mismo. La evolución de la noción de

función la entendemos en dos dimensiones: a) La noción de función como tal; b) el

tamaño del espacio de funciones considerado en relación a los problemas de la época. En

algunos casos, a pesar de considerar una noción similar de función, el espacio de

funciones considerado es diferente por la evolución de los problemas de la época.

Quisiéramos describir la evolución de la noción de función, relativos ciertas prácticas de

referencias particulares, a la aparición de nuevos problemas matemáticos y al cambio de

la racionalidad del conocimiento científico. La noción de función aparece por primera

vez con Leibniz y después es desarrollada por Euler en 1748. En este periodo la función se

concebía como una expresión analítica, es decir, una fórmula. Es interesante entender

como esta noción de función trascendente introducida por Euler hace referencia a las

funciones que trascienden a lo algebraico (Cantoral y Montiel, 2001). Así aparece una

clasificación que representa a muchas funciones que, para ser estudiadas, quedan fuera

de la frontera de las funciones que pueden ser estudiadas por el análisis, esto es, por las


134

reglas algebraicas (OĆonnor y Robertson, 2005). De aquí que Euler trabaje algunas

funciones trascendentes particulares desarrollándola a través de series de potencias.

Dando el carácter funcional a las razones trigonométricas, en base al estudio de los

movimientos oscilatorios en la matematización de modelos mecánicos que describen

movimientos periódicos (Montiel, 2005, p.106). Esta noción de función se mantuvo con

Lagrange quien la concibió como una expresión analítica, como una fórmula, destacando

la variabilidad de las variables (Lagrange, 1797, p.1). Hasta aquí, este periodo está

normado por la práctica social de la predicción (Montiel, 2005, p.105-107). A pesar del

cambio de racionalidad impulsado por Cauchy, y de definir la función como una

dependencia entre variables (Cauchy, 1821), su obra contiene elementos que muestran

una centración en las expresiones algebraicas (OĆonnor y Robertson, 2005).

Los problemas abordados por las ciencias de la época hicieron que aparecieran nuevas

funciones, las cuales llevaron a que evolucionara la noción de función. En efecto en la

segunda parte del siglo XVIII se desarrolló el estudio de las ecuaciones diferenciales, en

donde las soluciones de estas ecuaciones eran nuevas funciones de una naturaleza

diferente a las existentes en el momento. De aquí que Condorcet, en un escrito de 1778

que nunca se publicó, distinguiera a las funciones definidas por Euler de unas nuevas

funciones que se definen a partir de consideraciones físicas como las que son soluciones

de ecuaciones diferenciales (OĆonnor y Robertson, 2005). Lacroix, influenciado por el

escrito de Condorcet, concibe a la noción de función como una dependencia entre

valores, se conozca o no su fórmula. Más tarde Fourier (1822), bajo la normatividad de la

práctica social de Formalización (Montiel, 2005, p.108), utiliza el desarrollo de series

trigonométricas para representar las soluciones de las ecuaciones diferenciales que

aparecen en su teoría del calor. De esta manera considera a la función como una

correspondencia en las que no se supone que estén relacionadas en una fórmula común.

Dirichlet, en 1837, apoyándose en las consideraciones de Fourier, presenta la definición

de función como una correspondencia entre variables, concepción que utilizará

Weierstrass en su obra. De aquí podemos ver, que en paralelo a la noción de función,

evolucionó el espacio de funciones en base a los nuevos problemas que iban apareciendo

en la historia (esto es lo fenomenológico), los cuales incidieron en la evolución de la

noción de función. Estas nuevas funciones trascendían al dominio de las funciones

susceptibles a ser estudiadas por el análisis, lo que trajo la necesidad de encontrar

métodos para hacerlas analíticas. He aquí una expresión de la Analiticidad en un sentido

más general.


135

El cambio de racionalidad de la tercera década del siglo XIX aportó significativamente a

la evolución de la noción de función. Dirichlet, alemán nacido en 1805, y por tanto

representante de esta nueva racionalidad del conocimiento matemático, fue uno de los

primeros en plantear ejemplos de funciones que no tenían ninguna relación con las

ciencias sensibles de su tiempo. Presentó una función discontinua en todos sus puntos, la

cual para valores racionales tenía un valor y para los irracionales otro valor (O´Connor y

Robertson, 2005). Esta función pertenece a esta nueva racionalidad que considera al

conocimiento matemático como desprendido del conocimiento sensible del mundo, en

la búsqueda de la fundamentación matemática y la generalidad, una expresión clara del

esta racionalidad. En esta misma dirección, Weierstrass presenta un ejemplo de función

continua que no admite derivada en ningún punto, es decir, que todos sus puntos son

picos.

(Weierstrass, 1974, en Dugac, 1973, p.76)

Weierstrass entiende por función como una correspondencia entre variables, definición

dada por Dirichlet y clarificada por Cauchy y Fourier. El ejemplo de función que da

Weierstrass es interesante, pues esta función, desde cierto punto de vista, es una

expresión algebraica, tal cual como lo concebían Leibniz, Bernoulli y Lagrange. La

diferencia está en que el espacio de funciones de Weierstrass es más amplio, lo cual

sucedió al desprender al conocimiento de lo sensible. Notemos que un objetivo de la

obra de Weierstrass en estos tiempos fue la de determinar la clase de funciones más

grande a las que se les puede dar una representación analítica, y que pueden responder

de la forma más completa posible a las necesidades del análisis (Dugac, 1973, p.70-71).

La búsqueda de la generalidad hizo que el espacio de funciones se ampliara hasta su

expresión máxima, las funciones arbitrarias en el sentido del teorema de 1885.

5.5.2 La generalidad, el abandono del espacio físico hacia un espacio analítico.

Este fenómeno explicado anteriormente tiene un fenómeno paralelo. El cómo los

problemas de la época impulsaron una evolución, la cual llevó a un cambio de

racionalidad del conocimiento matemático, en conjunto del abandono del espacio físico


136

en dirección hacia un espacio analítico. Aquí pertenece la preocupación de la naturaleza

del espacio de funciones, otra expresión de esta racionalidad del conocimiento

matemático que lo desprende del conocimiento sensible del mundo.

Sería poco natural pensar que los matemáticos desconocían la historia. En efecto,

Weierstrass conocía la obra de Lagrange, sus aportaciones y alcances. Este

desprendimiento de lo sensible representa la postura que desvincular el espacio mismo

de los fenómenos físicos permitiría mejores problemas para los fenómenos físicos y de las

ciencias estudiados en este siglo XIX, problemas de una naturaleza diferente, como lo es

la transferencia de calor. De esta manera, la noción de analítico evolucionó de la mano

del concepto de función, de los problemas nuevos de la ciencia y de la racionalidad de la

matemática.

5.5.3 Lo evolutivo, de la función como centro del estudio a la función como un elemento

que describe la naturaleza del espacio de funciones continúas.

Este abandono del espacio físico trajo además una preocupación progresiva por la

naturaleza del espacio de funciones. Aquí la función, después de ser el centro de la teoría

misma, desde Leibniz y Newton hasta Cauchy, comienza a perder relevancia ante la

preocupación de la generalidad traída en esta búsqueda de formalización que produjo

esta nueva racionalidad del conocimiento matemático. Por ejemplo, ya no es el valor de

la integral de cierta función, sino es el valor de la integral para alguna función en cierto

intervalo. Ya no es el dibujo de la relación matemática (en variable compleja), sino es el

mapeo producido por la transformación, esto es, una propiedad topológica. Ya no es la

preocupación de la representación analítica de una cierta función, sino la representación

analítica de las funciones arbitrarias, de cualquier (toda) función. El interés está puesto

en el conjunto de “todas” las funciones. Con las nociones de convergencia, convergencia

uniforme, punto de acumulación, y otras nociones topológicas (Dugac, 1973, p.94), la

función, mediante una serie de funciones, es un elemento que permite describir la

naturaleza del espacio de funciones. Ya no es la función, sino es el espacio. Es en este

contexto que se debe significar las nociones de las teorías que aparecen en este periodo,

como la Topología y el Algebra Lineal.

Aquí la obra de Weierstrass es conclusiva en términos de fundamentación matemática.

Con la demostración de 1885 plantea que, sea como sea de extraña o arbitraria una


137

función continua, existe la posibilidad de representarla mediante una función

polinomial. En términos del método, se muestra que las funciones que siempre quedaron

relegadas “fuera de la fronteras de lo susceptible a ser estudiado por el análisis”, las

funciones trascendentes, ya no están fuera, pues pueden ser potencialmente estudiadas

por los métodos del análisis mediante la analiticidad de las funciones. En términos de la

racionalidad de esta época, podríamos decir que el espacio de funciones continuas es

potencialmente analítico.

5.5.4 Una nueva racionalidad del conocimiento matemático

Quisiéramos finalizar este recorrido Socioepistemológico por las sendas de lo analítico

destacando que estos fenómenos comentados, en conjunto con el cambio de

racionalidad aludido, llevaron a esta racionalidad del conocimiento matemático

desprendido del conocimiento sensible del mundo a un crecimiento constante.

Weierstrass, un pleno representante del esta nueva racionalidad (de esta nueva manera

de ver al conocimiento matemático), es el que culmina la arquitectura de esta

construcción interna que fundamenta una disciplina autónoma. El teorema de

aproximación de Weierstrass, además de culminar una construcción, se convierte en el

punto de partida de nuevas área de estudio en esta inaugurada disciplina científica,

como lo son la topología y la teoría de aproximaciones, que hoy en día tienen un

desarrollo constante y de relevancia para las nuevas líneas de estudios que se han

aparecido en los últimos años, como los sistemas dinámicos y el análisis complejo.

138

CAPÍTULO 6

APORTACIONES A LA CONSTRUCCIÓN SOCIAL DE LA

ANALITICIDAD Y AL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR

139

CAPÍTULO 6

APORTACIONES A LA CONSTRUCCIÓN SOCIAL DE LA ANALITICIDAD DE LAS

FUNCIONES Y AL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR

En el presente capítulo desarrollaremos una síntesis de la investigación desarrollada,

desde una mirada Socioepistemológica. Este enfoque teórico permite una mirada

sociocultural de la construcción del conocimiento matemático. Además, busca intervenir

en el sistema didáctico en un sentido amplio, al considerar los fenómenos de producción,

adquisición y difusión del conocimiento matemático (Cantoral y otros, 2006). Por este

motivo, sintetizaremos en dos direcciones: a). En las aportaciones de la investigación en

la construcción social de la analiticidad de las funciones. Aquí nos referiremos a la

Analiticidad, entendida como la práctica de conocer lo que no conozco con base en lo

que conozco, como una práctica social (normativa en la construcción del conocimiento),

la cual nos permitió entender la evolución de lo analítico en relación a la analiticidad de

las funciones. También nos referiremos a la necesidad de incorporar la variable de la

racionalidad del conocimiento en la construcción social de la analiticidad de las

funciones; b). Las aportaciones de la investigación al discurso matemático escolar. Aquí la

noción de contexto de significación permite amplias oportunidades de intervención en

el sistema escolar, permitiendo entender diversas significaciones históricas del

conocimiento que pueden ser utilizadas en la difusión escolar y aportando elementos de

mucho interés para la articulación del cálculo y la topología.

Aportaciones a la construcción social de la analiticidad y al discurso matemático escolar Capítulo 6

140

6.1 APORTACIONES A LA CONSTRUCCIÓN SOCIAL DE LA ANALITICIDAD DE LAS

FUNCIONES.

La Socioepistemología está interesada en estudiar la construcción social del

conocimiento matemático. En esta dirección, ha planteado un viraje desde los objetos a

las prácticas (Cantoral, 2009), es decir, propone una descentración de los objetos

matemáticos y de su naturaleza epistemológica, para privilegiar una epistemología de

prácticas asociadas a tal construcción (Montiel, 2005). Nuestro estudio, en relación a

esta intencionalidad de la aproximación teórica, aporta dos elementos para la

construcción social de la analiticidad de las funciones: a). La práctica de la Analiticidad,

entendida como la práctica de conocer lo que no conozco con base en lo que conozco,

norma la construcción del conocimiento relativo a la analiticidad de las funciones. De

esta manera la Analiticidad, concebida como práctica social, permite entender por qué

se hace lo que se hace (Covián, 2005); b). El cambio de racionalidad del conocimiento

matemático es un acontecimiento necesario para la construcción social de la analiticidad

de las funciones.

6.1.1 La analiticidad como una práctica social

En el comienzo del estudio entendíamos la analiticidad de las funciones como su

representación analítica, en el sentido planteado por Weierstrass. Las funciones

analíticas son las que son desarrollables mediante series de Taylor en todos sus puntos, o

bien, las que son infinitamente diferenciables en todos sus puntos. La representación

analítica y la representación polinomial son conceptos que se confunden, pero son

diferentes, pues proveen significaciones diferentes en relación a lo que es lo analítico.

Desde esta perspectiva, y considerando los contextos de significación estudiados en esta

investigación, podríamos plantar la evolución de la analiticidad de la siguiente manera

(figura 6.1):


141

Figura 6.1

Esta noción de analítico es débil para la comprensión social, pues es una mirada “hacia

atrás” que esconde los elementos de la construcción social del conocimiento. En efecto,

la significación de analiticidad como infinitas derivadas o su simultaneidad apareció en

Alemania a mediados del siglo XIX, y la significación como representación polinomial

apareció en 1885, es decir, al final de la evolución. De esta manera, si miramos a la

analiticidad de las funciones de esta manera, estará oculto a nuestros ojos las

significaciones que le precedieron.

El interés de esta investigación se sitúa en entender la construcción social del

conocimiento matemático. En este sentido, nos interesa entender los procesos

normativos del conocimiento en la evolución estudiada. De aquí nos preguntamos, con

base en toda la evidencia reportada en nuestra investigación, lo siguiente: ¿Qué

elementos normativos del conocimiento podemos ver en esta evolución de la

analiticidad de las funciones?

La respuesta que encontramos, basada en el análisis de la evidencia estudiada, es que en

toda esta evolución está el interés de conocer lo que no se conoce con base en lo que se

conoce. A esta acción reguladora de la práctica la entenderemos como la Analiticidad.


142

La nombramos como Analiticidad, ya que esta palabra es utilizada desde Lagrange,

cuando intenta llevar el estudio del cálculo de su tiempo a las fronteras de lo susceptible

a ser estudiado por el análisis, hasta Weierstrass al plantear que existe la posibilidad de

representar analíticamente cualquier función continua. Al plantear “lo que no conozco”

nos referimos a lo que no está al alcance del dominio de lo conocible, por una cuestión

de naturaleza epistemológica85. Al no ser susceptible a conocerse, emerge la necesidad

de conocerlo con base en lo que se conoce. Al plantear “con base en lo que se conoce”

nos referimos a lo que está al alcance del dominio de lo conocible, a lo que puede ser

conocido.

Conocer lo que no se conoce con base en lo que se conoce

Intentaremos mostrar a continuación cómo la Analiticidad, entendida como la práctica

social de conocer lo que no conozco con base en lo que conozco, tiene un carácter

normativo sobre la práctica y la actividad, y regulador en función de ciertas prácticas de

referencia.

Antes de Lagrange

En los modelos de la analiticidad existentes antes de Lagrange, como la

utilización de la regularidad de los desarrollos binomiales en lo que se busca

predecir un estado próximo, los de reconocer y utilizar sistemática la idea de que

la parte contiene al todo, determinar las leyes del sistema a partir de un estado

inicial conocido o representar valores irracionales específicos mediante series de

números racionales (Cantoral, 2001), se encuentra la intención de conocer lo que

no conozco con base en lo que conozco.

Con Lagrange

Las ideas germinales de la obra de Lagrange consideran a un movimiento

uniforme cualquiera como una suma de movimientos simples. Es decir, en

85 Por ejemplo, un número irracional no se puede conocer, pues tiene infinitos decimales que no pueden ser pensados y expresados o representados, por la limitante temporal. Una función trascendente, analítica o no, no puede ser descrita “de manera exacta” por la misma razón que no lo pueden ser los números irracionales.

Conocer lo que no se conoce con base en lo que se conoce Analiticidad


143

conocer lo que no conozco con base en lo que conozco. Otra interpretación de lo

mismo es la intención de determinar un estado futuro vecino con la información

actual de facto (Cantoral, 2001), en donde se conoce lo que no se conoce con

base en lo que se conoce. La matematización de Lagrange pone el acento en un

método para el análisis de cálculo de funciones primitivas y derivadas. En este

sentido, conociendo la primera derivada se podrán conocer todas las funciones

derivadas. Recordemos que Lagrange plantea como desde la tercera derivada ya

no existe una explicación física. Por tanto, el modelo permite calcular la derivada

enésima con base en conocimiento de la primera derivada. Es decir, conoce lo

que no conoce con base en lo que conoce.

Desde al menos Galileo hasta Lagrange, el conocer lo que no se conoce con base

en lo que se conoce se presenta mediante la práctica social de la predicción

(Cantoral, 2001; Cantoral y otros, 2006). Sin embargo, con Lagrange, en lo

relativo a la representación analítica y su método para el cálculo infinitesimal,

esta práctica ya no tiene la figura de la predicción. Desde aquí le llamamos

Analiticidad.

Con Fourier

Fourier, basándose en su teoría analítica del calor, modeló las soluciones de sus

ecuaciones diferenciales por medio de series de funciones trigonométricas. Es

decir, conoció lo que no podía conocer, que además eran funciones nuevas para

su época, mediante lo que conocía, las funciones trigonométricas.

Cauchy y el cambio de racionalidad

La práctica social de la Analiticidad sobrevivió ante el cambio de racionalidad

que sufrió la matemática con la obra de Cauchy (1821). Cauchy, en sus trabajos de

variables imaginarias86, desarrolló mediante series de potencias los valores

singulares de funciones imaginarias. Es decir, conocer lo que no conoce con base

en lo que conoce.

En esta época, en conjunto con Fourier, y bajo la práctica social de la

formalización (Montiel, 2005, p.108), apareció la necesidad de validar las

representaciones de funciones como series, por lo que se comenzó a trabajar

sobre la noción de convergencia. Este estudio, en esta nueva racionalidad del

86 O variable compleja en el sentido moderno.


144

conocimiento matemático, engendró la noción de convergencia uniforme. Esta

noción sería la que le otorgó validación racional a la práctica social de la

Analiticidad en los años posteriores.

El estudio de la variable compleja

En este periodo también nació el análisis complejo, en donde la noción de

analiticidad de las funciones se vuelve central, ya que en esta variable esta noción

es equivalente a función derivable. Se trabajan las funciones complejas con base

en su representación analítica. Es decir, se conoce lo que no se conoce con base

en lo que se conoce.

Weierstrass

En el marco de la variable compleja, el estudio de la analiticidad de las funciones

tomó una relevancia dentro del desarrollo matemático. Fue el área de

investigación de Gudermann, la cual heredó Weierstrass y la llevó a sus

expresiones más generales, en el marco de la formalización del análisis. Una de

las ideas centrales de la teoría de Weierstrass en este ámbito es la de

prolongamiento analítico (Dugac, 1963), en la cual, con base en la información

de la función en puntos singulares, se puede saber información de la función en

todo su dominio. Es decir, con base en lo que se conoce, se puede conocer lo que

no se conoce. Weierstrass también desarrolló una construcción matemática de

los números reales, describiendo a un irracional como serie de racionales, es

decir, conociendo lo que no conoce con base en lo que conoce. Después,

basándose en la aspiración de generalidad de sus resultados, demostró la

representación analítica de funciones arbitrarias, en donde planteó que se puede

representar una función continua cualquiera a través de una serie de funciones

racionales, es decir, conoce lo que no conoce con base en lo que conoce.

Por tanto podemos ver que en diferentes contextos, necesidades e incluso en diferentes

racionalidades del conocimiento matemático, los matemáticos conocen lo que no

conocen con base en lo que conocen. De esta manera, la Analiticidad se plantea como un

aspecto normativo del conocimiento matemático en relación a los métodos y a una

racionalidad para enfrentar los problemas matemáticos de este periodo. Es decir,

conocer lo que no conozco con base en lo que conozco, esto es, la Analiticidad, permite

explicar el por qué hacen lo que hacen los matemáticos en sus épocas en relación a la


145

evolución estudiada, es decir, es una Práctica Social87, siendo de esta manera la

analiticidad de las funciones una expresión particular de esta práctica.

6.1.2 El cambio de racionalidad, un camino necesario para concebir la analiticidad de las

funciones.

Como se puede ver a lo largo de esta investigación, existe una manera de ver al

conocimiento que nos hará ver ciertas cosas y no otras. Esto es a lo que nos referimos por

la racionalidad. Entendemos a la racionalidad como una manera de ver, de entender, de

argumentar y de validar al conocimiento. Las ideas tienen consecuencias (Miller, 2001),

la racionalidad tendrá implicancias en la manera de entender el conocimiento y en el

conocimiento mismo.

En la evolución de la analiticidad de las funciones, podemos ver un quiebre en la

racionalidad antigua y el comienzo de una nueva racionalidad. La analiticidad de las

funciones pertenece a esta nueva racionalidad, y su estructura epistemológica como

conocimiento matemático es relativa a esta racionalidad, a esta manera especial de

entender al conocimiento científico. Este cambio racional lo ilustraremos en las líneas

que siguen.

Lagrange pertenece a un periodo en el que la racionalidad del conocimiento

matemático es relativa al conocimiento sensible del mundo. Las ideas germinales de su

obra se encuentran en una matematización de un modeló de la naturaleza, que está

presente en sus inicios desde Galileo (Cantoral. 2001), y la cual encuentra su validación

intelectual en razones funcionales “Diversos fenómenos de la naturaleza […] confirman

plenamente la conclusión que acabamos de encontrar” (Lagrange, 1813, p.316). Estas

ideas, demostradas en base al rigor del álgebra, encuentran su significación en la

mecánica de la época. En este periodo el conocimiento matemático encuentra su

fundamento en las ciencias de la época, en especial en la física y la astronomía, y se

desarrolla para dar respuesta a los problemas que estas áreas del conocimiento

engendran.

87 Para la Socioepistemología, una práctica social es la que permite explicar el por qué de cierto conocimiento, es lo que no se ve del proceso social, es lo que ejerce un carácter normativo en la actividad humana, “no es lo que hace en sí el individuo o el grupo, sino aquello que les hace hacer lo que hacen” (Covián, 2005, citado en Cantoral, 2006).


146

Cauchy es el que plantea el comienzo de una nueva racionalidad para la matemática,

desprendiéndola del conocimiento sensible del mundo. “existen […] otras realidades más

que la de los objetos sensibles” (Cauchy, 1821, P.vij). Esta nueva racionalidad sobre la

justificación del conocimiento matemático trae consigo nuevos conceptos, los cuales ya

no encuentran sus ideas germinales en las ciencias de la época, sino que la encuentran en

la necesidad de fundamentación y arquitectura de esta nueva construcción del cálculo. Si

bien, en su racionalidad el conocimiento matemático sufre un desprendimiento

intencional de lo sensible, sigue dando respuesta a los problemas de las ciencias de su

época.

La piedra principal de la arquitectura de Cauchy es la continuidad, concepto existente

desde la antigüedad, pero reinterpretado con base en las cantidades infinitamente

pequeñas de Leibniz. Por ende, a pesar de ser un nuevo concepto de esta nueva

racionalidad, sus herramientas heurísticas están ligadas a su época. Como hemos

mostrado, esta definición hizo que los ejemplos de Fourier, funciones discontinuas, se

volvieran contraejemplos de este principio de continuidad validado en la época, `lo que

es verdadero hasta el límite es verdadero en el límite`, por lo que aparece la necesidad

de demostrar este principio (Lakatos, 1976) La necesidad de sustentar una nueva

estructura hizo que Cauchy demostrara que el límite de una serie de funciones continuas

es una función continua (Cauchy, 1821). Este problema, que nace como una necesidad de

argumentar la nueva construcción de la matemática desprendida de lo sensible, trae a

escena uno de los sucesos más interesantes en la historia del cálculo: la coexistencia de la

demostración de un teorema y de sus contraejemplos, ambos validados por los

matemáticos de la época. ¿Cómo se puede explicar que la solución a esta paradoja

estuviera escondida de los ojos de toda una generación de matemáticos? Nuestra

respuesta: fue debido a una crisis relativa a un cambio de racionalidad (Figura 6.2)


147

Figura 6.2

En efecto, la demostración de Cauchy tenía un lema oculto, la convergencia uniforme.

¿Por qué ésta estuvo oculta a los ojos de toda una generación? Nuestra respuesta es:

porque es un concepto matemático que pertenece a esta nueva racionalidad del

conocimiento matemático. Efectivamente, la convergencia uniforme encuentra su

significación en una problemática interna de la matemática. Esta es su naturaleza

epistemológica. No había otro concepto con esta naturaleza en la obra de Cauchy. La

noción misma nace de una demostración que fue desarrollada, ya hemos dicho, por la

necesidad de fundamentar una nueva estructura, no para resolver algún problema que

estuviera presente en las ciencias de su tiempo. La convergencia uniforme validaría, de

esta manera, la representación analítica de las funciones que aparecían como soluciones

de las ecuaciones diferenciales de Fourier. Estas estudiaban la transferencia de calor,

pero estas funciones no representaban la solución del sistema diferencial. Aquí la

convergencia uniforme sería un instrumento de validez de esta convergencia, y

podríamos decir que apareció “sin la intencionalidad de Cauchy”. Cauchy abordó un

problema de una matemática con una nueva naturaleza, que él estaba desarrollando,

pero que no sería capaz de enfrentar.

La convergencia uniforme nace de una relación especial entre dos procesos de límites

simultáneos, existentes en la demostración de Cauchy, pero que este consideró como

independientes. Fue la simultaneidad de los límites lo que se ocultó a los ojos de toda

una generación. Este fenómeno de procesos de límites simultáneos no encuentra ideas


148

germinales en las ciencias de su época, ni tampoco ejemplificaciones en los problemas

abordados por estas. Es pues, una noción que pertenece a esta nueva racionalidad, en la

que la matemática encuentra su sentido en sí misma, en una arquitectura interna,

desprendida del conocimiento sensible del mundo. Sin embargo, la noción nació en una

generación de matemáticos que concebía al conocimiento matemático como relativo a

lo sensible. Fue esta racionalidad la que ocultó la convergencia uniforme de sus ojos. Las

ideas tienen consecuencias.

Este conflicto racional se solucionó años después. En 1841 aparece esta noción de

convergencia uniforme en la comunidad matemática alemana, en las clases de variable

compleja que cursó Weierstrass con su maestro Gudermann en Münster. Posteriormente,

en 1846 Seidel, matemático que nació en 1821, año en el cual se publicó la obra de

Cauchy, y por tanto representante de una nueva generación de matemáticos formados

con la influencia de esta nueva racionalidad, resuelve el conflicto del teorema

demostrado y su contraejemplo validado, evidenciando que el lema oculto era,

precisamente, el tipo de convergencia y no la convergencia misma, aludiendo a la

convergencia uniforme. Es decir, este problema, perteneciente a la nueva racionalidad,

nació de manera prematura, en una generación de matemáticos con una racionalidad de

la matemática que no les permitió observar el conflicto en cuestión. Esta nueva

racionalidad comienza con la obra de Cauchy, en 1821, año en el cual comenzó a

institucionalizarse mediante la difusión misma de la obra. Esta obra fue traducida al

alemán en 1824 (Dhombres, 1994). Destaquemos que esta obra de Cauchy introduce

también la variable compleja, base de todo el trabajo desarrollado en Alemania, y el

concepto matemático que pertenece a esta nueva racionalidad de la matemática. De

esta manera, esta dicha obra fue utilizada en la formación de una nueva generación de

matemáticos, los cuales se formaron con esta nueva racionalidad naciente y pudieron

hacer frente a los problemas matemáticos relativos a esta “manera de ver” al

conocimiento, como la convergencia uniforme.

Esta noción se transforma, a lo largo del siglo XIX, en el corazón de la vinculación entre el

análisis y los inicios de la topología matemática. Weierstrass, conocido como el

exponente más importante del análisis moderno, pertenece a la nueva generación de

matemáticos. Estos fueron los que estudiaron el análisis complejo y quienes desarrollaron

el fundamento interno de la matemática en su esplendor. Al estar involucrado en la

formación de matemáticas en la Universidad de Berlín, Weierstrass desarrolló toda su


149

fundamentación matemática, de la cual la representación analítica de funciones

arbitrarias fue su desarrollo más elevado y concluyente de su obra. Desde que se

involucró en la fundamentación del análisis, a su llegada a esta universidad, su

producción científica se volcó de manera exclusiva a trabajos que se pueden inscribir en

esta nueva manera de ver a la matemática (Bibliothek der Berlin, 2002). Estos trabajos, al

igual que los de Cauchy, continuaban dando respuesta a las necesidades de las ciencias

de su época, como la representación analítica de las soluciones de ecuaciones

diferenciales de las ciencias físicas, pero se inscriben en una racionalidad de la

matemática desprendida del conocimiento sensible del mundo. Sobre esta racionalidad

fue que se gestó la preocupación, el teorema y la demostración de la representación

analítica de funciones arbitrarias.

Este cambio de la racionalidad del conocimiento matemático fue necesario para que la

noción de analiticidad de las funciones evolucionara. Los conceptos matemáticos

relativos a esto, y los problemas que se abordaban, son pertenecientes a esta etapa de

comienzo y desarrollo de esta nueva racionalidad en la matemática. Esta nueva

racionalidad, como argumentaremos más adelante, llevó a un abandono del espacio

físico y de la función como centro del análisis, transformándose como un elemento que

permite describir la naturaleza del espacio de funciones continuas. De esta manera, la

evolución de la analiticidad de las funciones hacia las significaciones existentes en el

discurso escolar actual, requirieron este cambio de racionalidad.

6.2 APORTACIONES AL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR

Un fin último de la Socioepistemología es la INTERVENCIÓN. De aquí la importancia

que tiene las aportaciones que podemos hacer al discurso matemático escolar. En este

sentido consideramos esta investigación como un primer paso en un proyecto más global

que pretende articular los resultados de esta investigación con las diversas variables de la

difusión institucional del conocimiento, de manera de intervenir en el sistema educativo,

en sus diferentes esferas, como lo son el nivel aula, el nivel currículo, y el nivel

institucional en relación a la visión del por qué de la enseñanza y aprendizaje de las

matemáticas.


150

Mirando a lo siguiente como primer paso en aportaciones al discurso matemático

escolar, la noción de significación entrega amplias posibilidades de intervención. Ya no

nos referimos a “el” significado del conocimiento, sino a “una” significación de este.

Además, esta significación es contextual. De aquí surge que para entender “las”

significaciones del conocimiento necesitamos entender los contextos de significación del

conocimiento. El contexto de significación de cierto conocimiento es el ámbito en el cual

cierta persona o colectivo sitúa la significación de cierto conocimiento en cierto

escenario sociocultural. Estos contextos son permitió acercarnos a la mirada de los

autores respecto a sus obras, de manera de entender las intencionalidades subyacentes y

las ideas germinales de las obras. Los contextos de significación de ciertos conocimientos

tiene tres dimensiones: la situacional, la sociocultural y la de la racionalidad, en las cuales

se sitúa la significación del conocimiento matemático.


de cierto conocimiento matemático

El poner la atención en estas tres dimensiones del contexto en el cual se significa el

conocimiento para alguien, nos permitió tener una mirada más histórica y sociocultural

de los conocimientos matemáticos estudiados, entendiendo a estos mismos no como

meros objetos matemáticos, sino como una construcción sociocultural, motivo por lo cual

consideramos tanto al conocimiento como a su uso al referirnos a conocimiento

matemático.

6.2.1 Los contextos de significación en la evolución estudiada

De esta manera, el contexto de significación de la obra de Lagrange es la Mecánica

Lagrangeana, en la cual la idea germinal de la obra es la modelación funcional del

movimiento rectilíneo. Esta matematización que se dio por las circunstancias


151

sociopolíticas y laborales del autor, en medio de la revolución francesa, y pertenece a

una racionalidad de la matemática relativa al conocimiento sensible del mundo. El

contexto de significación de la obra de Cauchy es una nueva arquitectura, que expresa

una extrapolación del pensamiento monárquico de su tiempo, el cual estaba debatiendo

con los planteamientos filosóficos de la ilustración sobre la base de los conflictos

sociopolíticos de Francia post-revolución. En este contexto, la crítica de Cauchy a

Lagrange se significa para el autor como la argumentación de esta nueva arquitectura de

la matemática, que se sustenta en la racionalidad del conocimiento matemático

desprendido intencionalmente del conocimiento sensible del mundo.

Esta nueva arquitectura es el comienzo del cambio del paradigma racional del

conocimiento matemático existente en la época. Estas dos racionalidades se confrontan,

causando que el teorema de Cauchy y los contraejemplos de Fourier coexistieran

durante toda una generación de matemáticos. Este debate es resuelto por un

matemático representante a esta nueva racionalidad del conocimiento matemático

desprendida del conocimiento sensible del mundo, Seidel. Es de aquí que el contexto de

significación de la convergencia uniforme se encuentra en la argumentación de una

nueva construcción, en la cual cumple el rol de validar la Analiticidad de su tiempo. La

convergencia uniforme encuentra su significado en esta nueva racionalidad del

conocimiento matemático. Finalmente, el contexto de significación de la representación

analítica de las funciones arbitrarias se encuentra en una expresión de la

fundamentación del cálculo, la cual alcanza aquí su nivel más alto. El rigor de

Weierstrass, en conjunto con la estructura encontrada y la necesidad de generalidad,


152

engendraron este teorema, el cual está vinculado metodológicamente con la

modelación del error que hizo Gauss (1822) en sus estudios sobre probabilidad. Las ideas

germinales se pueden encontrar en la teoría de los números reales, construida por él

mismo (año 1874), en donde se expresa en términos de representación analítica de las

funciones la práctica social de la Analiticidad. De esta manera, la triada (rigor, estructura,

generalidad), en conjunto con la práctica social de Formalización (Montiel, 2005, p.108),

son elementos para considerar una construcción escolar de la representación analítica de

las funciones arbitrarias, siempre en una racionalidad del conocimiento matemático

desprendido del conocimiento sensible del mundo.

En estos casos, la matematización (Lagrange), formalización (Cauchy) y fundamentación

(Weierstrass) se desarrollaron por una necesidad de desarrollar un discurso escolar. El

conocimiento matemático sobrevivía y evolucionaba sin esta organización. Estas

organizaciones, producidas por la exaltación de la meritocracia por sobre la aristocracia

impulsada por la revolución francesa88 (Farfán, 1993), llevaron a la organización,

secuenciación y exposición explicativa de un discurso matemático que afectó su rumbo

posterior. De esta manera, la intencionalidad didáctica forma parte de la construcción de

una ciencia autónoma, desprendida del conocimiento sensible del mundo.

6.2.2 Elementos para significaciones del conocimiento en su difusión escolar.

En lo relativo a la analiticidad de las funciones, en un escenario histórico, los resultados

de esta investigación nos brindan información de las ideas germinales y las condiciones

en las cuales se construyó socialmente cierto conocimiento.

En relación a la serie de Taylor

En relación a las ideas germinales, entender que la obra de Lagrange es una

generalización y matematización de la modelación funcional del movimiento

rectilíneo, en relación a una racionalidad del conocimiento matemático relativo

al conocimiento sensible del mundo, da muchas oportunidades para

88 El reconocimiento viene por el mérito en vez del legado familiar o la sangre. Esto impulsó la masificación de la enseñanza, a diversos niveles. En los niveles más altos, conllevó a la elaboración del un discurso escolar del conocimiento matemático de frontera de la época.


153

significaciones escolares, propuestas de intervención didáctica y vinculaciones

entre la enseñanza de la matemática y la física.

En relación a la matematización del cálculo

Entender que la construcción de Cauchy es relativa a una racionalidad diferente,

impulsada por problemas nuevos de las ciencias y por una expresión de un

pensamiento ideológico y filosófico de la sociedad en su época, entrega

oportunidades de entender las variables que originaron esta construcción. El

conocimiento matemático, organizado de manera secuencial y estructurado

sobre la base de planteamientos lógicos sólidos, es una expresión de difusión

escolar del conocimiento matemático existente en la ciencia de su tiempo. El

considerar esta relación con la intencionalidad escolar abre muchas rutas en

relación a rediseños del mismo discurso matemático escolar. Por ejemplo,

introducir la convergencia como un instrumento de validez intelectual de una

expresión de la Analiticidad, en una ruta alternativa -a la del discurso matemático

escolar actual-, que considera las variables de la construcción social del

conocimiento matemático. Plantear la aparición de estas nuevas funciones, como

las de Fourier, pueden inducir a la necesidad de trabajar sobre la convergencia.

Pues la necesidad apareció cuando hubo una crisis. Podría ser interesante utilizar

esta crisis en la racionalidad como una variable didáctica en intervenciones en

aula.

En relación a la analiticidad de las funciones

Situar la formalización del análisis matemático en una necesidad, nuevamente, de

difusión escolar, amplía también la perspectiva en relación al estatus del saber en

el proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática. En este sentido, entender

la racionalidad relativa a estas construcciones, las ideas germinales y la necesidad

que llevó a la formulación de la representación analítica de funciones arbitrarias

continuas, abre muchas oportunidades de intervención en aula. Considerar la

triada (rigor, estructura, generalidad) como una línea conceptual necesaria

puede ser un eje que dé dirección a una intervención de una unidad didáctica en

aula. Entender como idea germinal de esta representación analítica la

construcción de un número irracional como una serie de números racionales,

puede abrir oportunidades de significaciones escolares con un sustento

epistemológico histórico. Plantear la relación entre la Analiticidad, el inicio de la


154

topología y la probabilidad, puede permear vinculaciones interesantes entre

estas áreas del conocimiento que aparecen totalmente desvinculadas en el

discurso matemático escolar. A su vez, considerar la posibilidad de incluir la

relevancia epistemológica que tiene el Análisis complejo en la analiticidad de las

funciones en el discurso matemático escolar, es un intento que puede contribuir a

la significación escolar de estas cuestiones.

6.2.3 Elementos para la articulación curricular: del cálculo a la topología.

La evolución encontrada nos da elementos relevantes para considerar una articulación

de las significaciones encontradas a través de hilos conductores que expresen la

construcción social del conocimiento matemático. El considerar a la Analiticidad como

un hilo conductor amplía las posibilidades de vinculación en el discurso matemático

escolar. Este discurso actual, al estar centrados en conceptos, limita la posibilidad de

desarrollar este tipo de vinculaciones. El considerar a ésta como un hilo conductor,

necesariamente deberíamos incorporar al cambio de racionalidad que sufrió el

conocimiento matemático. Además deberíamos hacer reflexión sobre lo relativo a la

intencionalidad didáctica de la arquitectura y organización de los conocimientos

matemáticos. En términos globales, esta evolución permitiría incorporar los siguientes

elementos en la organización curricular:

El abandono del espacio físico

Como mostramos en la investigación, la aparición de nuevas funciones con la

obra de Fourier, además del cambio de racionalidad impulsado por los debates

ideológicos en medio de las condiciones sociopolíticas de la época, condujeron a

que en el desarrollo matemático, se produjera el proceso del abandono del

espacio físico, llevando a este espacio a un dominio analítico (en el sentido de lo

susceptible a ser estudiado por el análisis), con la aspiración de que pudiera

resolver estos nuevos problemas, además de desvincular al conocimiento

matemático de los objetos sensibles, en relación a una lucha ideológica de la

época.

De las funciones en el centro a la función como un descriptor de la naturaleza del

espacio


155

Esta evolución, en conjunto de este desprendimiento de lo físico en el espacio y

de lo sensible en la racionalidad el conocimiento matemático, cambió el estatus

de la noción de función en el análisis matemático. Desde Euler, en la obra de

Lagrange con la serie de Taylor, y en la obra de Cauchy con la continuidad, la

función tiene el rol protagónico y central en la teoría. Debido al cambio de

racionalidad se comenzó un proceso evolutivo de desprender las propiedades de

los objetos. Por ejemplo, Abel estudió la convergencia de las series sin estudiar

una convergencia específica (Abel, 1826). Es decir, pasó a ser más relevante la

propiedad de convergencia que la convergencia específica de las series. En este

mismo tiempo, la búsqueda de la generalidad llevó a la preocupación del espacio

de funciones más que a las funciones mismas. En este contexto nacen las

disciplinas como el álgebra lineal y la topología. La preocupación por la

estructura y la generalidad llevó la atención de los matemáticos al espacio. En

relación a la evolución de la analiticidad, la función, después de ser el centro del

análisis, se transformó en un elemento que permite describir la naturaleza del

espacio. El espacio es potencialmente analítico, es lo que se puede interpretar en

estos sentidos con el teorema de Weierstrass. De esta manera, para entender la

analiticidad en el trabajo de Weierstrass, no podemos poner la atención en la

función en sí misma, sino en el espacio, en donde la función nos permite describir

su naturaleza.

La evolución de la noción de función

Toda esta evolución no puede entenderse sin la evolución de la noción de

función, en los dos aspectos que hemos considerado: lo que se entiende por

función y el espacio de las funciones en cada tiempo histórico. Por ejemplo, la

función 2

1

xe fue considerada función para Cauchy por ser una función continua, lo

que no sucedió para Lagrange. La validación de cuáles expresiones eran

consideradas o no funciones no obedece solamente a una evolución de la noción

del concepto, sino también a otros aspectos, como los relativos a las

racionalidades, a las intencionalidades de la obra, y a la misma estructura

epistemológica de las construcciones matemáticas. En esta dirección, la

evolución de la noción de función es un asunto que incide en los dos aspectos

evolutivos considerados anteriormente, por lo cual enfrentar este estudio es de


156

interés y aporte para esta investigación. Esta es una de las posibles rutas de

continuación de esta investigación.

De esta manera, al considerar con la evolución de la noción de función y el cambio de la

racionalidad del conocimiento matemático, el abandono del espacio físico y el cambio

del uso de la función, de ser un elemento central de la teoría a un elemento descriptor

de la naturaleza del espacio, podemos concebir a la Analiticidad como un hilo conductor

del currículo que puede vincular el estudio del cálculo con el estudio de los inicios de la

topología matemática. En este sentido, extender el significado de la analiticidad de las

funciones a las diferentes significaciones de la Analiticidad abre brecha para la

comprensión histórica del cálculo.

157

CAPÍTULO 7

APORTACIONES A LA SOCIOEPISTEMOLOGÍA: LA

RACIONALIDAD Y LOS CONTEXTOS DE SIGNIFICACIÓN.

CONCLUSIONES.

158

CAPITULO 7

APORTACIONES A LA SOCIOEPISTEMOLOGÍA: LA RACIONALIDAD Y LOS CONTEXTOS

DE SIGNIFICACIÓN. CONCLUSIONES.

La Socioepistemología es una aproximación teórica que se gesta en los 90s en una

comunidad de matemáticos educativos en el Cinvestav-IPN México, y que se desarrolla

actualmente de manera cooperativa por una comunidad académica que se extiende en

diversos países de Latinoamérica. Ésta considera al conocimiento matemático como una

construcción social, dimensión que en conjunto con las dimensiones cognitiva,

epistemológica y didáctica, genera una aproximación sistémica del conocimiento

matemático (Cantoral y Farfán, 2003). Este enfoque teórico propone una descentración

de los objetos matemáticos y de su naturaleza epistemológica, para privilegiar una

epistemología de prácticas asociadas a la construcción de los conocimientos

matemáticos (Montiel, 2005), buscando de esta manera considerar al conocimiento

matemático sensible a la realidad de las personas y a sus diferentes mundos. Un fin

fundamental de esta Teoría es la intervención, lo cual busca realizar en el sistema

didáctico en un sentido amplio, al considerar los fenómenos de producción, adquisición y

difusión del conocimiento matemático desde una perspectiva múltiple (Cantoral y otros,

2006).

La teoría Socioepistemológica, por su misma característica social, no se construye sobre

una reflexión intelectual o filosófica en relación a la construcción del conocimiento,

como otros enfoques teóricos, sino que lo haces sobre la base de la evidencia empírica.

De aquí que el estudio de la construcción social del conocimiento matemático de

manera sistémica y empírica sea previo a la teorización. Por este motivo estudiamos esta

construcción en la práctica de la edificación de una vivienda tradicional (Covián, 2005),

la práctica de un toxicólogo construyendo conocimiento (Tuyub, 2008), la construcción

social del conocimiento en aula (García, 2008), la construcción del conocimiento

matemático en escenarios históricos (Cantoral, 1990; Crespo, 2007; Montiel, 2005;, esta

investigación), con el fin de entender los mecanismos de construcción del conocimiento

matemático y su difusión institucional. La ruta experimental es nuestra manera de validar

y teorizar. Es de esta manera que han surgido las nociones de práctica social, práctica de

referencia, contexto de significación, escenario sociocultural, entre otros. Es en esta

dirección que presentamos algunas aportaciones teóricas de esta investigación a la

Socioepistemología.

Aportaciones a la socioepistemología: La racionalidad y los contextos de significación Capítulo 7

159

Una teoría, además de sustentar la validez de un resultado científico y situar su impacto y

alcance, provee una manera de ver las problemáticas educativas. Esta manera de ver está

estrechamente relacionada a los principios filosóficos fundamentales que subyacen a sus

planteamientos. En este sentido, la Socioepistemología tiene principios basales que

buscan la democratización del conocimiento matemático. Es decir, busca hacer accesible

este conocimiento, que hoy lo es solo para una elite intelectual, a la mayor cantidad de

personas. Además de todas las variables sociales que inciden en la exclusión escolar, el

mismo discurso matemático escolar excluye (Soto, 2009). Un discurso matemático

escolar con una racionalidad centrada en conceptos y en leyes lógicas hace que sólo los

que logran seguir esta manera de razonar puedan tener éxito en el ambiente escolar. Es a

partir de esto] que la Socioepistemología busca la INCLUSIÓN de los excluidos, en el

sentido de proponer un discurso matemático escolar acorde a la racionalidad de las

personas y no de la matemática misma, con la intención de que la mayoría de las

personas puedan entender y disfrutar de las matemáticas, y no sólo algunos (Cantoral,

2009). Esta inclusión también considera la diversidad sociocultural. Considera a aquellos

que son excluidos por el discurso matemático escolar ya sea por su situación económica,

racial, cultural, discapacidad física, etc. Por estas “cuestiones”, la Socioepistemología

apunta a un abandono de los objetos y su naturaleza epistemológica, privilegiando una

epistemología de prácticas relativas a la construcción del conocimiento matemático

(Montiel, 2005). Las prácticas, que son transversales a los conocimientos en general,

pueden constituir un eje rector que permita unificar en la diversidad, logrando respetar

cada realidad, cada mundo y avanzar hacia la inclusión.

En esta dirección, entender el mundo del otro desde su mirada cómo piensa,

cómo construye conocimiento, cuáles son sus razones para validarlo, importa

mucho.

En esta dirección situamos las aportaciones de nuestra investigación a la aproximación

Socioepistemológica, proponiendo un nuevo elemento a ser considerado en el rediseño

del discurso matemático escolar en base a una epistemología de prácticas: la

Racionalidad, y aportando una teorización de uno de los conceptos centrales para

entender comprensión contextual de las personas: Los Contextos de Significación.

7.1 LA RACIONALIDAD, UN ELEMENTO PARA EL REDISEÑO DEL DME EN BASE A UNA

EPISTEMOLOGÍA DE PRÁCTICAS.


160

El interés de acercarnos a la mirada del otro fue lo que nos llevó a considerar el papel

que juega la racionalidad en la construcción social del conocimiento matemático

(“matemático:”) ¿Cómo ve Pablo su realidad?, ¿Cómo entiende Juan la noción de

proporcionalidad?, ¿Qué piensa Daniel sobre su rol docente?, ¿Cómo percibe Ruth la

educación que reciben sus hijos?, ¿Cómo ve el sistema educativo el rol social de la

educación en Latinoamérica?, ¿Cómo entendía un matemático antiguo sus producciones

matemáticas?, son preguntas que nos llevan a la necesidad de entender la “manera de

ver” desde cada mundo, desde cada realidad.

Lo que entendemos por racionalidad

En la aproximación Socioepistemológica, entendemos a la racionalidad como

una “manera de ver”, una “manera de entender”, una “manera de pensar” al

conocimiento matemático, mediante la cual se desea entender los principios

normativos del pensamiento en contextos específicos, entendiendo como

razones plausibles un ámbito más amplio que el lógico y el formal,

considerando además aspectos de funcionalidad, consenso, sentido común,

heurísticas, etc.

Es decir, se refiere a la manera de mirar, justificar y argumentar al conocimiento

matemático, refiriéndonos a este último como un producto de las dinámicas sociales, e

incluyendo en él su uso. Sobre la base de esta investigación, quisiéramos mencionar tres

características relevantes de la racionalidad para la investigación Socioepistemológica

en general.

Primero: La racionalidad incide en el cómo se ve al mundo y al conocimiento.

La racionalidad es como unos lentes que determinarán una manera de mirar a la

matemática. Esto incidirá en lo se ve o no como un problema en matemáticas, en

lo que se ve o no como una demostración matemática, en lo que se ve relevante o

no como conocimiento científico. Por ejemplo, ¿cómo se puede explicar que en

los escenarios sin influencia aristotélica se construyera el cero mucho antes que

en los con esta influencia (Crespo, 2007), o que alumnos que reprueban un

examen formal puedan aprobar el mismo examen puesto en su contexto


161

cotidiano (Nunhes, 1989, citado en Cantoral, 2009), o que la respuesta a una

paradoja matemática estuviera oculta a la mirada de toda una generación de

matemáticos (esta investigación)? La racionalidad (manera de ver al

conocimiento matemático) tiene consecuencias.

Segundo: La racionalidad es contextualizada.

La racionalidad es relativa a cierto escenario sociocultural. La comprensión

humana es contextualizada (Cantoral, 2009). Cada contexto, con sus prácticas de

referencia asociadas (Montiel, 2005), es relativo a cierta racionalidad del

conocimiento matemático. Por ejemplo, al construir una vivienda tradicional en

la cultura maya (Covián, 2005), como en algunos escenarios de difusión (Zaldívar,

2009), la justificación del conocimiento es funcional. En cambio, en las

argumentaciones en aula se requiere una justificación teórica (García, 2008). La

base justificativa de las ideas germinales de la obra de Lagrange se encuentra en

la generalidad de la naturaleza, mientras que la de Weierstrass se encuentra en la

fundamentación de una disciplina matemática (esta investigación)89.

Tercero: La naturaleza epistemológica de los conocimientos es relativa a cierta

racionalidad.

Los conocimientos se deben entender en contexto, pues la comprensión humana

es contextualizada, y cada conocimiento es relativo a cierta racionalidad. Por

ejemplo, la significación de las gráficas depende del contexto en el que se

utilizan, ya sea en un escenario escolar matemático, un escenario escolar físico o

un escenario de producción de conocimiento de frontera (Parra, 2008; Tuyub,

2008). También los conocimientos matemáticos del siglo XVIII son relativos a una

racionalidad del conocimiento sensible del mundo, en contraste con los del siglo

XIX en el que se desprende lo sensible (esta investigación). En este sentido,

significar en un ámbito escolar un conocimiento con una racionalidad diferente

del conocimiento matemático a la intrínseca a su naturaleza epistemológica

generará conflictos en la comprensión de los estudiantes.

89 Por ejemplo, cómo podemos explicar el paralelismo en algunas contribuciones matemáticas, como las del inicio del cálculo con Newton y Leibniz (Cantoral, 2001), o la noción de continuidad con Cauchy y Bolzano (Dhombres, 1994). Cada época tiene problemas particulares relativos a prácticas de referencias. Por lo tanto también son relativos a una racionalidad y a la emergencia de ciertos conocimientos.


162

La racionalidad del conocimiento matemático es una aportación para ser considerada en

el rediseño del discurso matemático escolar sobre la base de una epistemología de

prácticas, y para ser utilizada como construcción teórica que permita explicar los

fenómenos didácticos y sociales en la investigación sobre la construcción social del

conocimiento matemático.

7.2 LOS CONTEXTOS DE SIGNIFICACIÓN: UNA HERRAMIENTA TEÓRICA PARA

ENTENDER LA SIGNIFICACIÓN EN ESCENARIOS SOCIOCULTURALES

Nuestro estudio además ha aportado en el entendimiento de lo contextual de la

significación del conocimiento. En este sentido, más que hablar de “el” significado del

conocimiento, nos referimos a “una” significación de éste en cierto escenario

sociocultural. Esta dimensión sociocultural ha mostrado ser muy relevante, incidiendo

significativamente en el porqué de cierta construcción matemática. Es a partir de aquí

que surge el interés de entender que la dimensión contextual es la que incide en la

construcción social de cierto conocimiento matemático. En este sentido la pregunta es la

siguiente: ¿Qué tamaño del contexto considerar para un estudio de corte

Socioepistemológico? Nuestra respuesta es la siguiente: más que considerar una noción

clásica de este contexto, la noción situacional, sobre la cual discutir el tamaño del

contexto...

Noción clásica del contexto, plana situacional

…consideramos una noción Socioepistemológica del contexto en la cual se sitúa la

significación de cierto conocimiento: el contexto de significación.

Lo que entendemos por contexto de significación

El contexto de significación es el ámbito en el cual cierta persona o colectivo

significa cierto conocimiento matemático en cierto escenario sociocultural


163

El contexto de significación nos ayudará a situar la significación socio-histórica del

conocimiento matemático y a identificar los medios de significación (herramientas

conceptuales para significar el conocimiento matemático) y las ideas germinales (ideas

que dieron origen) del conocimiento. El contexto de significación tiene tres dimensiones:

a) La situacional, que incluye el conjunto de factores o circunstancias a considerar en el

contexto (es aquí donde se cuestiona sobre el tamaño); b) La sociocultural, que se refiere

a una manera de mirar a la dimensión situacional; y c) La dimensión de la racionalidad,

que será un plano paralelo que determinará la “manera de ver” al conocimiento

científico relativo a la dimensiones situacional y sociocultural.


de cierto conocimiento matemático.

De esta manera podremos entender la significación de cierto conocimiento desde una

mirada Socioepistemológica.

7.3 COMENTARIOS FINALES Y CONCLUSIONES.

Además de las aportaciones a la construcción social de la analiticidad, al discurso

matemático escolar y a la Socioepistemología, comentamos sobre algunos otros aspectos

laterales que consideramos también como aportaciones relevantes de esta investigación,

y dilucidamos las rutas mediante las cuales esta investigación puede seguir su curso.


164

7.3.1 La intencionalidad didáctica del Cálculo

En las tres magnas producciones estudiadas, Lagrange, Cauchy y Weierstrass, pudimos

entender un factor que tienen en común: La matematización del cálculo en este periodo

histórico (Siglo XVIII-XIX) se dio por una necesidad de difusión escolar. En los tres casos,

la necesidad de desarrollar métodos matemáticos para entender las matemáticas de sus

épocas, que prescindían de estos métodos para existir… la necesidad de construir una

arquitectura para afrontar nuevos problemas de las ciencias, los cuales no necesitaron

esta nueva arquitectura para ser estudiados… y la necesidad de demostrar la generalidad

de los métodos matemáticos, sin los cuales la ciencia continuaba existiendo, se dieron

por una necesidad de difusión escolar. El hecho de que en el siglo XVIII comenzara un

proceso de masificación del conocimiento científico, sobre la base de las necesidades de

esta nueva Europa, trajo consigo el comienzo de un desarrollo que años después se

consolidó como una ciencia autónoma, la matemática, desprendida de las ciencias de su

tiempo y con sus problemas internos. En este periodo nacen las nociones de función

derivada, continuidad de las funciones, convergencia de series, cálculo en variable

compleja, convergencia uniforme y los inicios del estudio de la topología.

Entender a estos conocimientos matemáticos desprendidos de la intencionalidad de

difusión escolar nos dará una visión sesgada de su naturaleza epistemológica y su

funcionalidad en la misma teoría matemática. Por esto la poca conveniencia de hacer

una caracterización de estos conocimientos como saber sabio, en el sentido de

Chevallard (1985), y de considerar el estudio de la transposición como tal al saber

escolar, pues en sí mismo el Cálculo tiene la intencionalidad didáctica. La ruta alternativa

es entenderlos como la expresión de una organización del saber científico de su tiempo

con la intencionalidad de una comunicación escolar, destinada a la elite intelectual que

se formaba para ser los futuros científicos e ingenieros de estas culturas.

Es interesante desarrollar la reflexión en el sentido inverso a la de la transposición, en lo

relativo a entender la naturaleza del conocimiento científico y tecnológico. De esta

manera, podremos replantear la enseñanza misma de la matemática hacia estas áreas del

conocimiento y la ingeniería, desprendiendo al conocimiento de su intencionalidad

didáctica de origen y retomando su característica funcional.


165

7.3.2 Consideraciones metodológicas para la investigación en matemática educativa.

En particular, esta investigación aporta consideraciones metodológicas para estudios

Socioepistemológicos en escenarios históricos. El considerar a la obra antigua como una

producción con historia, un objeto de difusión y como parte de una expresión intelectual

más global, nos permitió estructurar una metodología para estudiar la dimensión

sociocultural de las obras y las épocas estudiadas. Consideramos necesario dar pautas de

cómo hacer investigaciones de corte Socioepistemológico en escenarios históricos para

trabajos posteriores. En general, considerar la mediación de la intencionalidad de

difusión de las obras antiguas fue muy relevante en los resultados de esta investigación.

Entender que la difusión media la ostensión del conocimiento con cierta intencionalidad,

nos permite acercarnos desde la ostensión a lo que comunica la ostensión90. De esta

manera, entenderemos la construcción del conocimiento más que el conocimiento

construido. En esta dirección se encuentran algunas investigaciones que intentan

entender el proceso de construcción de conocimiento e incorporar al lenguaje y a los

gestos como medios de análisis de la construcción del conocimiento matemático

(Aparicio, 2003; Bosch, 1994; Espinoza y García, 2009; Laborde, 2004; Miranda, 2009)

Ahora bien, el considerar que la variable sociocultural incide significativamente en la

construcción del conocimiento, nos hace reflexionar sobre el papel que debe jugar ésta

en la interpretación de las producciones de los alumnos. Hemos mostrado cómo en un

escenario histórico, el omitir la variable sociocultural, más que restringir u omitir

información, puede conllevarnos a interpretaciones equivocadas91. Dejar de lado la

dimensión sociocultural en el análisis de las producciones o la construcción del

conocimiento de estudiantes en aula puede hacernos pensar que hay estilos de

pensamiento que favorecen los aprendizajes, pero considerarla nos puede mostrar que

quizás son otras variables las que inciden en la diferencia de respuesta de los estudiantes,

como por ejemplo la profesión de sus padres o sus ocupaciones fuera de aula. Lo

sociocultural incide significativamente en la construcción del conocimiento matemático.

Es por esto que para entender la construcción de conocimientos en aula, además de

estudiar el proceso de construcción más que la construcción misma, necesitamos avanzar

90 Noción introducida por Bosch (1994) para explicar lo que se ostenta (lo que se muestra, lo visible) del proceso de construcción del conocimiento matemático. 91 Nos referimos a la interpretación de la Teoría de las Funciones Analíticas de Lagrange como un intento de argumentar la analiticidad de las funciones. Como mostramos en detalle en el capítulo 2, esto no es así.


166

a considerar la dimensión sociocultural de los estudiantes que inciden en sus

construcciones. Este es todo un desafío para nuestra disciplina.

7.3.3 Profundizaciones de la investigación y sus posibles rumbos posteriores.

Sobre la investigación identificamos elementos que consideramos podrían enriquecer la

Socioepistemología construida. Consideramos que estudiar más a fondo la obra de

Fourier, sobre todo lo relativo a la convergencia uniforme, podría entregar mayor

información del nacimiento de este concepto, central en la evolución de la analiticidad

de las funciones. También la obra didáctica de Laplace, contemporánea a Lagrange, en el

sentido de rastrar la aparición de estas nuevas funciones soluciones de ecuaciones

diferenciales que hicieron que evolucionara la noción de función. Del mismo modo,

concebimos que estudiar el contexto sociocultural y científico de Alemania en el siglo

XIX puede aportar a una comprensión más histórica del episodio de Weierstrass

presentado. En este sentido Gauss, Abel, Jacobi y Cantor son nombres relevantes.

Asimismo estimamos interesante considerar la intervención de Hilbert como sucesor de

Weierstrass en la consolidación de la matemática como ciencia independiente.

Sobre los posibles rumbos que puede seguir esta investigación, en primer lugar,

consideramos la elaboración de intervenciones didácticas sobre la base de la

información que obtenemos del análisis de los contextos de significación de las obras, y a

la diversidad de elementos considerados en el punto 6.2 de esta investigación. En

segundo lugar aspiramos a que se pueda desarrollar una articulación curricular del

cálculo siguiendo como hilo conductor a la Analiticidad. Por último, reflexionamos que el

cambio de racionalidad del conocimiento matemático del siglo XIX encontrado puede

ayudarnos a explicar la epistemología de diversos conceptos matemáticos que nacieron

en esta racionalidad del conocimiento matemático, como lo es la construcción formal de

la matemática, la teorización de los sistemas numéricos, el álgebra lineal y la topología

matemática, entre otros.

En relación a los elementos que aportamos para la Socioepistemología, percibimos que

de esta tesis puede emerger una línea de investigación que estudie a la racionalidad en

la construcción social del conocimiento matemático, en las siguientes direcciones: a) La


167

racionalidad y el aula; b) La racionalidad y el discurso matemático escolar; c) La

racionalidad y la epistemología del conocimiento matemático.

7.3.2 La referencia hacia lo contextual y el contexto.

Ya desde los años setenta comenzó un debate fuerte sobre lo contextual del

conocimiento científico. Expresiones de este debate son las nociones de paradigma y

escuelas científicas de Kuhn o la evolución de los conceptos de Toulmin (López, 2005) De

esta manera, en la actualidad es aceptado en el ámbito de la matemática educativa lo

contextual del conocimiento en escenarios históricos. Sin embargo, este debate ha

evolucionado hasta nuestros años, incorporando la variable sociocultural en este

proceso. El viraje de los objetos a las prácticas plantea nuevos desafíos y precisiones

necesarias en relación a lo contextual. A modo de ejemplo, nos encontramos estudiando

cómo las prácticas de referencia sitúan la característica normativa de la práctica social

(Montiel, 2005), cómo la significación varía sobre la base de los escenarios

socioculturales (Crespo, 2007) o cómo la evolución conceptual precisa el entendimiento

de los diferentes contextos de significación del conocimiento (Cantoral, 2001), o cómo

se puede plantear la construcción del conocimiento matemático en escenarios de

difusión, científicos y escolares (García, 2008; Tuyub, 2008; Zaldívar 2009).

Sobre la base de este viraje hacia las prácticas, postulamos que el aprendizaje, la

significación, la racionalidad y el conocimiento son situados a cierto contexto. De aquí el

desafío de desarrollar planteamientos que permitan incluir esta característica contextual

en los sistemas educativos. Es por esto que surge la necesidad de precisar a qué nos

estamos refiriendo en relación al contexto en la aproximación Socioepistemológica. En

esta dirección, la presente investigación aporta una caracterización del contexto, que

permite considerar lo contextual del aprendizaje, la significación la racionalidad y del

mismo conocimiento matemático.


168


de cierto conocimiento matemático.

La presente tesis es un comienzo. Sus aportaciones permiten una continuación en el

terreno teórico, en el metodológico y en el de la intervención en el sistema didáctico. Sin

embargo, más allá del desarrollo en estas tres direcciones, busca un desarrollo más

general, el reconocimiento de lo que actualmente se desprecia, como el conocimiento

no escolar o la relevancia del rol docente, a favor de una intervención futura que,

además de mejorar el aprendizaje de la matemática, contribuya a un desarrollo y a una

justicia social. Esta, esperamos, será una pronta historia…

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Tesis Lianggi Espinoza_ Una evolución de la analiticidad de las funciones TESIS MAESTRIA

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