UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

TESIS

E F E C T O S DE C O M P R E S I B I L I D A D Y F R I C C I Ó N EN LAS

O S C I L A C I O N E S FLU I DOD I NAM I CAS EN C O N D U C T O S

por:

ESCUELA '' E C ,\ ! C A -: l¡ P R1 R DE I:;ÜE;.!;HGS t:}u;.;'. ¡ í

^ . 1W \ I B I B L I O T E C A

PABLO DE ASSAS MARTÍNEZ DE MORENTIN

COMSULTA EN BIBLIOTECA

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS

Madrid, Junio 1984

PlWfiSiD&D POLITÉCNICA DE MADRID I

B 1 B 1 I O T E C A

ÍFECHA EWTRAOA . N» DÓCUUF.NTO . .ÍJíQ^fB^ N« EJEMPLAR . . . .#P.¥é.3.

Amabili, egregio sapientique magistro,

cuius sine conatu atque auxilio huic

labori finis forsitan non fuisset iÜL-

giter parentibus meis fratribusque opus

hoc d.d.d.

Esta Tesis ha sido dirigida por el

Profesor D. Amable Liñán, Catedrático de Me_

canica de Fluidos de la E.T.S.I. Aeronáuti­

cos, con quien estoy en deuda por el inte­

rés y dedicación que ne ha dispensado, así

como por el estímulo que ha supuesto para

mi vocación investigadora.

Así mismo hago extensivo mi agrade­

cimiento a las personas e instituciones que

han hecho posible la realización de este tra

bajo. Especial mención merece D. Emilio Isi

doro Carmona por el esmero puesto en la in­

grata labor de mecanografía.

Este trabajo se ha realizado siendo

el autor becario del I.N.A.P.E.

RESUMEN

Se utilizan técnicas de perturbaciones singulares y

de escalas múltiples para analizar los movimientos transito­

rios, de líquidos en conductos, consecuencia de la apertura o

cierre de válvulas.

Esto es siempre posible por ser pequeña la relación

entre los tiempos de ida o vuelta de las ondas en el conducto

y el tiempo de residencia del líquido en el mismo.

Se muestra que los efectos de la fricción no inter­

vienen de modo apreciable durante el período de cierre o aper­

tura cuando este es pequeño frente al tiempo de reaidencia. Los

efectos de la fricción intervienen en el postcierre o postaper­

tura amortiguando lentamente las oscilaciones generadas ante­

riormente .

Como consecuencia del cierre de válvulas pueden gene­

rarse depresiones que originen la aparición de una cavidad, por

rotura de la columna líquida, en alguna sección del conducto y

burbujas a lo largo del mismo. Se analiza la dinámica de la ca­

vidad y las sobrepres iones generadas en el colapso para los ca­

sos en que el tiempo de existencia de la cavidad es del orden

del de ida y vuelta de las ondas y en los casos en que sea mu­

cho mayor.

LISTA DE SÍMBOLOS

v

D

F, G

Pendiente de la ley potencial de cierre o apertura.

Área inicial del conducto.

Área efectiva de salida de la sección de la válvula.

Área efectiva del conducto con Burbujas en el líquido

Distorsionabilidad del conducto.

Pseudo-amplitudes de las oscilaciones de velocidad

y presión;sx)n los valores de f y g al principio de

cada periodo.

Carga en el deposito; P + pgH es la presión motriz a

en el depósito^

coeficiente de compresibilidad del líquido.

Longitud del conducto.

Presión ambiente.

Presión característica.

Preión de referencia.

Relación de áreas entre la sección de la válvula y

el conducto.

Valor inicial de a.

Velocidad de propagación de las ondas.

Parámetro de fricción, definido como f = AL/D.

Pendiente de la distribución de velocidad en la

aproximación incompresible durante ios instantes ini­

ciales de la apertura.

Exponente de la ley potencial de cierre.

Presión adimensional del líquido, función de la

sección x y del tiempo;sólo en el capítulo I p

representa presión dimensional.

Presión adimensional en la sección de la válvula

un periodo después del cierre.

Presión de vapor del líquido.

Tiempo adimensional, referido al tiempo de ida y

vuelta de las ondas. En el capítulo I se usa como

tiempo dimensional.

Tiempo de propagación de las ondas. Se define como

t = L/c. o

Tiempo de residencia del líquido en el conducto.

Velocidad adimensional referida a la velocidad inicial

v : Velocidad adimensional referida a /2gH . En el capí­

tulo I se utiliza como velocidad dimensional.

v : Velocidad estacinaria adimensional. e

x : Distancia adimensional a una sección genérica desde

la entrada del conducto,

z : Altura adimensional de una sección genérica sobre

la válvula,

a' : Fracción volumétrica de burbujas en el líquido.

6 : Tiempo adimensional de cierre referido al tiempo de

ida o vuelta de las ondas.

6 : Tiempo adimensional de apertura referido al tiempo a r

de res idencia.

ó : Tiempo adimensional de cieere referido al tiempo de c r

res idencia.

£ : Relación entre la velocidad /2gH y la velocidad

de propagación de las ondas c.

£, r) : Variables características.

0 : Tiempo adimensional con origen en el instante de

ei erre.

X : Coeficiente de Darcy-Weisbach.

£ : Longitud adimensional. (cap. V ) .

7T' : Parámetro de presión, definido como ir1 = (P -P +pgH)/pv

p : Densidad del líquido.

O : Tiempo referido al tiempo de cierre o apertura.

T : Tiempo adimensional referido al tiempo de residencia.

]¡) : Función genérica.

Í N D I C E

Página

LISTA DE SÍMBOLOS

INTRODUCCIÓN

I. ECUACIONES

INTRODUCCIÓN

1.1. ECUACIONES 1.1

1.2. CONDICIONES INICIALES Y DE CONTORNO 1.4

1.3. ADIMENSIONALIZACION DE LAS ECUACIONES 1.5

II. PROCESOS TRANSITORIOS DURANTE EL CIERRE DE VÁLVULAS

11.1. ANÁLISIS DE TRANSITORIOS LENTOS II.1

11.2. EFECTOS DE COMPRESIBILIDAD EN TRANSITORIOS 11.10

11.2.1. Cierre con relación de áreas del

orden de la unidad _. . . 11.10

11.2.2. Cierre con boquilla a la salida ... 11.19

III. AMORTIGUACIÓN POR EFECTO DE LA FRICCIÓN DE LAS

OSCILACIONES DE PRESIÓN GENERADAS EN EL 'CIERRE

DE UNA VÁLVULA

111.1. ANÁLISIS DE LA AMORTIGUACIÓN CUANDO LA

RELACIÓN DE ÁREAS ES DE ORDEN UNIDAD III.1

111.2. AMORTIGUACIÓN DE LAS OSCILACIONES DE

PRESIÓN CON BOQUILLA A LA SALIDA III.10

IV. ANÁLISIS DE LA APERTURA DE VÁLVULAS

IV.1. INTRODUCCIÓN IV.1

IV.2. RESPUESTA CASI INCOMPRESIBLE EN LA

APERTURA IV.2

IV.3. OSCILACIONES POR COMPRESIBILIDAD EN LA

APERTURA r IV.7

IV.4. PRIMERA ETAPA DE LA APERTURA IV.13

Página

V. ROTURA DE COLUMNA POR EFECTO DEL GOLPE DE

ARIETE .

V.l. INTRODUCCIÓN V.l

•V.2. ANÁLISIS DE LA ROTURA DE COLUMNA CUANDO

LA RELACIÓN INICIAL DE CIERRE aQ ES DE

ORDEN £ V.2

V.3. ANÁLISIS DE LA ROTURA DE COLUMNA PARA

VELOCIDADES INICIALES ALTAS V.6

VI. CONCLUSIONES

VI. 1. CONCLUSIONES Y RESULTADOS V.l

APÉNDICE A

APÉNDICE B

BIBLIOGRAFÍA

-1-

INTRODUCCION

Al estudiar el movimiento de líquidos en tubos, es ñor

mal considerar a aquéllos coino fluidos incompresibles. Este supues

to de fluido incompresible está justificado en la mayoría de los

casos, ya que los incrementos de presión motriz necesarios para

que los efectos de compresibilidad sean apreciables, son muy gran

des frente a los que normalmente aparecen en el movimiento del

líquido que son del orden de la presión dinámica.

Sin embargo hay fenómenos en los que los efectos de la

compresibilidad del líquido adquieren un papel fundamental, como

por ejemplo cuando se cierra, o cuando se abre de forma rápida

la válvula de un conducto que da lugar al llamado golpe de arie

te .

El golpe de ariete está asociado a las grandes sobre-

presiones que aparecen en un conducto muy rígido por el que cir

cula un líquido poco compresible al variar bruscamente su velo­

cidad como consecuencia, por ejemplo, del cierre instantáneo de

una válvula.

A N. Zhukovski (21) se debe el cálculo de la sobrepresión

generada en el cierre instantáneo de un conducto, para la que ob_

tuvo el valor pv c, siendo v la velocidad del líquido en el ré-M o o ^

gimen estacionario, p su densidad y c la velocidad de propaga­

ción de las ondas generadas al cerrar el conducto. También dedu

jo que esta velocidad de propagación dependía'del modulo de elas

ticidad del material, E, y del modulo de compresibilidad del lí-

quido K, obteniendo para el valor de la velocidad de propagación o ID -1/2 íP ^ 2pR>, . , .

la expresión c = 77 + — — para un conducto circular de radio K pE J

R y cuyas paredes tengan un espesor "e".

-2-

Lorenzo Allievi (1) fue el primero que analizo el in­

cremento de presión debido al cierre y a la apertura, gradual

de un conducto, eliminando de las ecuaciones el término de fric

ción. Supuso que el área efectiva de salida varía linealmente

con el tiempo; como conclusión de su estudio obtuvo unos aba

eos en los que con dos parámetros p = cv /2gH y 8 = ct/L se

puede obtener la relación entre la presión del golpe de ariete

y la correspondiente al régimen estacionario, tanto para el cierre

como para la apertura. Con Allievi comienza todo un período de

solución gráfica del golpe de ariete, para leyes más generales

de cierre o apertura.

En la mayor parte de los estudios posteriores a los

realizados por Allievi no se tenían en cuenta los efectos de la

fricción, bien por considerar que estos efectos son pequeños,

bien por no tener un método de cálculo enteramente satisfactorio,

para incluirlos en el análisis del golpe de ariete.

Los primeros intentos de considerar la fricción se hi­

cieron poniendo obstáculos hipotéticos bien a la entrada del con

ducto (PARMAKIAN, J., (1953)}, bien al final del mismo ( R I C H , R.

(1951)). Con estos obstáculos existe la misma pérdida total de

fricción que la del conducto. En estos métodos las ecuaciones a

partir de las cuales se desarrolló el método gráfico, permanecen

igual que el sistema que define el movimiento sin los términos

de fricción, con condiciones de contorno que absorben los efec­

tos de la fricción. Este método proporciona una estimación de

los efectos de la fricción cuya bondad debe constrastarse con

análisis más precisos.

Utilizando operadores matemáticos, WOOD, F.M. (1937)

-3-

y RICH, G. (1945) analizaron las pérdidas por fricción, en el

caso en que estas pérdidas son lineales con la velocidad y no

cuadráticas. Como en la mayoría de los casos prácticos el movi­

miento es turbulento, la linealización del término de fricción

no representa una situación muy real, a parte de la complicación

matemática que el método utilizado conlleva.

Con la llegada de los ordenadores digitales se abordo

la resolución directa de las ecuaciones sin necesidad de linea-

lizar el término de fricción, .extendiendo el método de las carac

terísticas (STREETER, V., (1962); WILLIE, B.E. et al. (1978);

WIGGERT, D.C. et al. (1979); etc.). A partir de entonces todos

los autores que tratan los transitorios hidráulicos"utilizan el

método de las características (CHAUNDRY, M.H., C1979), etc.).

Si prestamos atención al fenómeno del golpe de ariete,

vemos que en él intervienen dos escalas de tiempo muy diferen­

tes. Una asociada al tiempo de propagación de las ondas en el

conducto de longitud L, L/c y otro asociado al tiempo de resi­

dencia L/v del líquido en el conducto. La relación entre estos c H

dos tiempos es £ = v /c muy pequeña frente a la unidad; es por

esta razón por la que en el presente trabajo utilizaremos el me

todo de escalas múltiples desarrollado por COLÉ, J.D. (1968) y

KEVORKIAN, J.; COLÉ, J.D.; (1981), para analizar los fenómenos

de tipo golpe de ariete que se presentan en los transitorios li_

gados al cierre y a la apertura de válvulas en conductos. La

utilización del método de escalas múltiples nos va a permitir

calcular por una parte la sobrepresión generada por el golpe de

ariete y por otra la amortiguación de las oscilaciones de esta

sobrepresión.

En el Capítulo I se plantean las ecuaciones, con la

-4-

llamada aproximación hidráulica, correspondientes al movimiento

turbulento de un fluido en un conducto, en las que las fuerzas

de fricción aparecen representadas por el coeficiente de Darcy-

Weisbach, reteniendo los efectos de distensionabilidad del con­

ducto y de compresibilidad del líquido debido a la presión. Se

incluyen las condiciones iniciales y de contorno correspondien­

tes a un caso típico: como condición inicial los valores corres

pondientes al estado estacionario previo; las condiciones de con

torno son las correspondientes a un tubo alimentado en un extre

mo por un deposito y que en el otro extremo tiene una válvula

de área efectiva A . s

Se escriben las ecuaciones en forma adimensional , con

lo que se ponen de manifiesto los parámetros que determinan el

movimiento. Entre ellos destacamos la relación inicial (o final) A (0)/A de áreas de salida y del conducto: el coeficiente de s o

fricción AL/D (supuesto A constante), el parámetro e= vr /

c J re­

lación entre la velocidad característica del fluido y la veloci.

dad de propagación de las ondas, o también relación entre los

tiempos característicos de propagación de las ondas y de resi­

dencia en el conducto.

Dado que e << 1 en los casos prácticos, se toma como ob

jeto de esta tesis la descripción asintótica, simplificada, de

los transitorios en el límite £ -> 0 . En este límite se encuentran

dos tipos distintos de comportamiento del flujo: a) Flujos con

dos etapas, una corta con efectos de compresibilidad importantes

y otra larga en que éstos no son importantes, y b) flujos de ti

po oscilatorio en los que los efectos de la compresibilidad cuen

tan en todo instante y que en ausencia de los efectos de fric­

ción y pérdidas en la entrada y salida serían estrictamente pe-

-5-

riódicos en el postcierre o postapertura; los efectos de la fric

ción dan lugar a una amortiguación lenta de las oscilaciones. Pa

ra la descripción de estos flujos se utiliza la técnica de esca­

las múltiples. Aunque el análisis que sigue se limita al estudio

de un número reducido de flujos típicos, las técnicas tienen

aplicación a una gran variedad de flujos transitorios en insta­

laciones hidráulicas.

Los Capítulos II y III están dedicados al análisis de

los transitorios asociados al cierre de válvulas. El Capítulo II

está esencialmente dedicado a los fenómenos que aparecen duran­

te el cierre y el III a lo que ocurre después del cierre.

El Capítulo II se inicia con el estudio dé los casos

en que el cierre es lento, por ejemplo, para tiempos de cierre

del orden del tiempo de residencia. En este caso, es de esperar

que los efectos de compresibilidad sean despreciables, aunque no

los de fricción, y ha sido bien estudiado en la literatura (ROUSE,

H., (1950); JAEGER, CH., (1977); etc.). Su estudio se incluye en

esta tesis como preábmulo al estudio de los casos en que los

efectos de compresibilidad son importantes. En este caso, además

del parámetro de fricción, f = AL/D, interviene un parámetro 6

que caracteriza el tiempo de cierre. Se hace un análisis detalla

do para leyes de cierre en que el área de salida varía en una

forma potencial con el tiempo. Para valores de 6 del orden de

la unidad, las sobrepres iones generadas son de-1 orden de la pre­

sión dinámica y los efectos de compresibilidad no intervienen;

para valores pequeños de 6 el análisis incompresible del cierre

muestra que las sobrepresiones alcanzan valores tan altos que se

hace necesario tener en cuenta los efectos de compresibilidad en el

cierre.

-6-

Si la relación de áreas inicial A (O)/A =a es de or s o o —

den unidad, aparecen dos etapas: en la primera, larga, la velo­

cidad apenas se reduce desde su valor inicial; los efectos de

compresibilidad solo intervienen en los últimos instantes del

cierre, cuando la relación de áreas se ha reducido a valores del 1/2

orden de £ . El caso limite distinguido corresponde a tiempos

de cierre cortos frente al de residencia, tales que es del orden

del tiempo de ida y vuelta de las ondas el período de tiempo en

1/2 que el área relativa de salida es de orden e . En este caso

2

las sobrepresiones generadas, del orden de pv en la primera eta

pa, suben a valores del orden de pv c en la útlima. Dado que las

sobrepresiones altas solo aparecen en los últimos instantes del

cierre, solo es importante conocer la forma de la ley de cierre

en estos últimos instantes; se hace un análisis detallado para

leyes de cierre que tienen forma potencial en los últimos instaii

tes .

Si la relación de áreas es inicialmente de orden e,

los efectos de compresibilidad aparecen desde el primer instante

del cierre, si el tiempo en que se efectúa éste es del orden del

de ida y vuelta de las ondas. En este caso, las velocidades ini-

cales son pequeñas y las sobrepresiones originadas son del orden

de pgH. El análisis se hace en forma general, aunque se da más

detalladamente para el caso de leyes de cierre potencial; en es­

tos casos intervienen dos parámetros, n. =a /e,- siendo a =A (0)/A , v o o o s o

y el tiempo de cierre referido al tiempo de ida o vuelta de las

ondas. El caso de cierre lineal fue el tratado por Allievi.

Para instantes posteriores al cierre, el análisis del

del Capítulo II muestra oscilaciones de velocidad y presión pe­

riódicas que permanecerían indefinidamente si no interviene la

-7-

fricción. Esta se encarga de amortiguar las oscilaciones en un

tiempo del orden del de residencia. El análisis de este movimien

to oscilatorio lentamente amortiguado utilizando la técnica de

escalas múltiples (COLÉ, J.D. (1960); KEVORKIAN, J . , COLÉ, J.D.

(1981)) se presenta en el Capítulo III.

Como ya se ha dicho, las oscilaciones de presión tie­

nen lugar en tiempos del orden de t = L/c, mientras que el efec

to amortiguador de la fricción tiene lugar en tiempos del orden

-1 del de residencia, t = L/v = £ t . Esto nos permite, utilizando

r e o ^

dos escalas temporales, separar ambos fenómenos. Se escribe la

solución como un desarrollo en potencias de £ con coe-ficientes

que dependen de la variable espacial x y las dos variables tempo

rales t y £t. Esto nos' conduce a un sistema de ecuaciones.

En las ecuaciones que determinan la solución en prime­

ra aproximación solo intervienen las variables x,t y esta solu­

ción es periódica en la escala t. La solución viene determinada

por los valores de la velocidad y presión al principio o al fi­

nal de cada período, que son funciones a determinar de las va­

riables x, £t. Para determinar la dependencia que los valores de

la velocidad y presión de cada período tienen con la escala lar­

ga £t, es necesario ir a la siguiente aproximación. La solución

de esta debe ser tal que, cuando esperemos un tiempo del orden de

la escala larga, la perturbación no haya crecido a valores com­

parables a la solución de la primera aproximación. Esto exige

que la solución de la segunda aproximación sea periódica del mis_

mo período que la solución primera. Esta exigencia de periodici­

dad es lo que nos va a permitir calcular la dependencia con la

escala larga de la velocidad y presión, y nos conduce a un siste

-8-

ma de ecuaciones integrodiferenciales, en las variables x,et,

que nos de la evolución con la escala larga de la presión y velo

cidad al principio de cada período. Las condiciones iniciales

pueden determinarse a partir de la oscilación de la presión en la

sección de salida durante un período posterior al cierre ya cal­

culado en el Capítulo II, donde se calculó las oscilaciones en

la sección de salida de presión posteriores al cierre.

En el Capítulo IV analizaremos la apertura de un con­

ducto hasta una relación de áreas final del orden de la unidad.

La mayor parte de la apertura puede ser analizada con la aproxi

mación incompresible para el flujo, ya que la evolución tiene

lugar en la escala larga; si bien, superpuesta a éste' existe un

movimiento oscilatorio que también se amortigua en la escala lar

ga y cuyo análisis también se realiza utilizando el método de es

calas múltiples. En los-primeros instantes de la apertura las va

riaciones especiales de la velocidad y presión son tan importan­

tes como las temporales, por lo que en ella intervienen los efe_c

tos de compresibilidad generándose oscilaciones que pueden per­

sistir durante la segunda etapa. Conviene observar que durante

la apertura, al contrario de lo que ocurre en el cierre, existe

un mecanismo amortiguador, adicional a la fricción del conducto,

asociado a las pérdidas en la sección de salida cuando ésta es

pequeña; de manera que, amenos que la apertura sea muy rápida,

las oscilaciones que se generan al principio de la apertura se

amortiguan en los primeros momentos.

El estudio del cierre realizado en el Capítulo II se

ha hecho en el supuesto de que el líquido soporta presiones nega

tivas. Sin embargo los líquidos llevan en su seno impurezas que

-9-

en la práctica conduce a que no soporten presiones inferiores a

su presión de vapor. Si debido a las ondas que se generan en el

cierre, la presión alcanzase en algún punto del líquido la pre­

sión de vapor, se rompe la columna en esa sección. La rotura de

columna aparece descrita teórica y experimentalmente en la lite­

ratura científica. Por ejemplo, BALTZER (1967), WEYLER et al.

(1971), WYLIE (1978) entre otros. Los análisis teóricos han sido

llevados a cabo utilizando el método de las características, re

teniendo los efectos de la fricción y buscando modelar apropia­

damente los efectos posibles de las burbujas y de la cavidad en

la oscilaciones. LI, W.H (17), llevó a cabo un análisis de la

dinámica de la cavidad usando la aproximación incompresible pa­

ra la columna de líquido. Nosotros utilizaremos en el Capítulo

V técnicas de pequeñas perturbaciones y de escalas múltiples pa

ra el analizar el fenómeno y buscar una descripción general del

mismo. Empezaremos el análisis por el caso en que la velocidad

inicial es pequeña para determinar en qué condiciones aparece

una cavidad y estudiar su dinámica en tiempos del orden del de

ida y vuelta de las ondas cuando no intervienen los efectos de

la fricción. Al aumentar la velocidad inicial aumenta también

el tiempo de existencia de la cavidad y, por.lo tanto, actuarán

en la dinámica de la cavidad las fuerzas debidas a la fricción.

Analizaremos el caso en que la velocidad inicial es alta, lo

cual se produce cuando la relación inicial de áreas a =A (0)/A , - c o s o

es de orden unidad. En este caso, la dinámica de la columna lí­

quida puede analizarse con la aproximación de flujo incompresi­

ble hasta el instante del colapso, cuando han de retenerse de

nuevo los efectos de compresibilidad. Se generan entonces sobre-

-10-

presiones del orden de las del golpe de ariete, aunque inferio­

res a las iniciales, pues la velocidad de la columna líquida en

el instante del colapso de la cavidad es inferior al inicial.

Al regreso de la onda de expansión, generada por reflexión en

el deposito de la onda de compresión, se inicia de nuevo la ca­

vidad y el proceso se repite con una velocidad menor. El análi­

sis teórico muestra un acuerdo con los resultados experimentales.

Es de notar que la onda que rompe la columna no sólo

forma la cavidad sino que en su avance va dejando al líquido a

su presión de vapor lo que, junto con «la fricción, hace que se

generen burbujas en la columna líquida según va siendc alcanza­

da por la onda de expansión. Este fenómeno lo analizaremos en

el Apéndice A.

CAPITULO I

ECUACIONES

-0-

INTRODUCCION '

El supuesto de fluido incompresible, cuando se estu­

dia el movimiento de líquidos en conductos, está justificado

en la mayoría de los casos, ya que los incrementos de presión

motriz necesarios para tener en consideración los efectos de

compresibilidad son muy grandes frente a los que aparecen nor­

malmente en el movimiento del líquido.

Sin embargo, los efectos de compresibilidad del líqui_

do adquieren un papel fundamental cuando se quieren analizar

los fenómenos que ocurren cuando se cierra o se abre de forma rá

pida la válvula de un conducto, fenómeno conocido como golpe de

ariete. El golpe de ariete ha sido analizado desde hace ya tiem

po en la literatura hidráulica, siendo Zhukovski (28) y Allievi

(1) los precursores en el análisis de este fenómeno hidráulico.

El golpe de ariete está asociado a las grandes sóbre_

presiones que se originan en un conducto rígido por el que cir

cula un líquido poco compresible al variar bruscamente su ve­

locidad .

Vamos, pues, a plantear las ecuaciones y condiciones

de contorno e iniciales para el sistema representado en la figii

ra adjunta, correspondiente a un líquido que desde un deposito

de presión constante alimenta un conducto rígido, cuya sección

recta es originalmente A y que termiina en una boquilla o una

válvula cuya sección de salida, A , varía con _el tiempo.

-1.1-

I.I.- ECUACIONES

Las ecuaciones que describen el movimiento de un lí

quido a lo largo de un tubo, reteniendo los efectos de compre

sibilidad del líquido y elasticidad del material son:

3 (pA) 3 ( p A v ) 3t 3x

iíl + v — + - l£- + 9^ £ z^ = 3t 3x p 3 x 3 x 2D

( 1 . 1 )

v vi , ( 1 . 2 )

que son las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento

respectivamente, correspondientes a un movimiento turbulento

en el conducto. Se ha considerado que puede haber velocidades

negativas en el conducto, con lo que las pérdidas en: él serán

proporcionales a v|v|. Se supondrá además, aunque no es esen­

cial para el análisis, que el coeficiente de Darcy-Weisbach,

\, es constante.

Se supone pequeña la dimensión transversal del con­

ducto frente a la longitudinal que, por ser el movimiento tur

bulento, la velocidad puede considerarse con buena aproxima­

ción, como uniforme a través de la sección, y que el esfuerzo

de fricción en la pared puede calcularse, en cada instante, en

función de la velocidad local instantánea del fluido, con la

misma expresión del movimiento estacionario. Por último, se

despreciarán, por ser la dimensión transversal del conducto pe­

queña, las variaciones transversales de presión debidas a las

fuerzas gravitatorias, de manera que z(x) es la cota local de,

por ejemplo, el centro de gravedad de la sección x.

Estas ecuaciones han de complementarse con las de la

energía y la de estado. La primera determina las variaciones

de temperatura asociadas a los efectos de disipación viscosa

-I .2-

y de compresión del fluido, que resultan ser muy pequeños si

nos limitamos al caso de líquidos; la ecuación de estado reía

ciona, entonces, la densidad con la presión, p = p(p).

También, en el supuesto de que el material del tubo

es elástico y sigue la ley de Hooke, es posible encontrar una

relación A =A(p) que liga la sección del tubo, A, con la pre­

sión local.

Si se tiene en cuenta que (pA) es solo función de

la presión, la ecuación de la continuidad puede escribirse en

la forma:

(K + D) 8 p 3p] , 3v . "57- + v a I + T" = ° » dt dX) dX ; (1.1' )

donde

K + D = pA dp

es una función de p que mide la compresibilidad del conjunto

líq uido-conducto ; K = — -r~- mide la compresibilidad del líquido H p dp ^ 1 dA

y D =— -— mide la distensionabilidad del conducto. J A dp

Así pues, las ecuaciones (1.1) e(1.2) junto con las re

laciones A = A(p) y p = p(p), y las condiciones iniciales y de

contorno, permiten determinar, en el contexto de la llamada

aproximación hidráulica, el campo de presiones p(x,t) y de ve

locidades v(x,t), como funciones de la posición x y del tiem­

po t.

En los procesos transitorios que vamos a describir,

las variaciones relativas de la sección y de la'densidad son

pequeñas, por lo que describiremos A(p) y p(p) mediante sus

desarrollos en torno a un valor de referencia P . r

-I. 3-

A = A P-P. rD-P ^

1 + + 3. + . . .

donde A es el valor de A a la presión de referencia P y o ^ r J

E.e , siendo E el modulo de elasticidad del material, c1 D

"e" el espesor de la pared del tubo y D su diámetro.

También para la densidad utilizaremos el desarrollo

P = P. P-P.

1 + + 3 P-P.

+ . . .

con P = p c . c 2 o o

Teniendo en cuenta la dependencia de la sección del

tubo y de la densidad del líquido con la presión, descritas an

teriormente, se obtiene la relación:

K+D = r 2 2 ^ " P r ^

l + (a (232-l) + (l-a) (231-D)-^-i-+ . . .

donde

?n PC C c-

1 1 — + —

l-a P P c 2

c

Nótese que en primera aproximación, para p-P << P , K+D, que

mide la variación relativa de la masa líquida por unidad de

longitud del conducto con la presión, es 1/P , donde /P /p = c ° ^ ' c c o

es una velocidad que determina, como veremos, la velocidad de

propagación de las ondas en el conducto. *

Con todo lo anteriormente expuesto, las ecuaciones

de continuidad y cantidad de movimiento quedan en la forma:

- 1 . 4 -

±- f i + ( a2 ( 2 6 9 - l ) + ( l - a ) 2 ( 2 e i - l ) ) ^ + . . . | [ Í E + V | E | + | X = 0 ( I . 3 )

9v _9v _1_ 3 t + V dx + p

P-P. fP-P. 1 - a ^ + a ^ ( l - 3 2 ) +. | £ + i í | £ l = * V | v | . ( I . 4 )

3x dx 2D ' '

1.2.- CONDICIONES INICIALES Y DE CONTORNO

Como condiciones iniciales han de darse los valores

en t = 0 de la velocidad y presión en el conducto. En general

éstos serán los valores correspondientes al estado estaciona­

rio previo; por ejemplo, el reposo si la válvula está antes

cerrada, si se trata de describir la respuesta a la apertura

de la válvula. Estas condiciones se obtienen en el estudio del

régimen estacionario que se hace más adelante.

Para las condiciones de contorno podríamos dar la ve

locidad y presión a la entrada, pero en la práctica no se cono

cen ambas, sino que se conoce la presión a la entrada del con­

ducto (x = 0) y a la salida (x = L) como funciones del tiempo, o

más generalmente una relación a la entrada y otra a la salida

entre la velocidad y la presión.

Estas condiciones se obtienen analizando para la en­

trada el proceso a través de la toma del conducto y a la sali­

da del análisis del flujo en la boquilla, válvula o tobera de

salida. Para el estudio de estas zonas se supondrá el proceso

casi estacionario en ellas y se tendrá:

rP FT7T + g z = g H - 2 v s i v > 0

( 1 . 5 )

d p / v + g z = gH s i v < 0

p ( p )

-I. 5-

en x = O ; y

dp 1 1 ,

ra

(1.6)

en x = L con a(t) = As(t)

, siendo A (t) el área efectiva de sa­

lida de la válvula y A el área del conducto. El factor (—r--l)=K ° a 2

es el coeficiente de descarga de la válvula. K = 0 cuando el con As ducto descarga directamente al exterior (a = -*—= 1 ) . K -* °° cuando ño

la válvula está cerrada (As = 0) en cuyo caso la condición de con

torno (1.6) en x = L se sustituye por:

v = 0 . ( I .6a)

1.3.- ADIMENSIONALIZACION DE LAS ECUACIONES

Para adimensionalizar las ecuaciones (1.3) y (1.4) y

las condiciones (1.5), (1.6) y (I.6a), se utilizarán las siguien

tes variables:

L ' z ' = H L/C ' v v

p + p gz - P. o < p~v C

c

donde las longitudes horizontales se han referido a la longitud

del conducto L; la longitud vertical a la altura H de la su­

perficie libre; el tiempo al tiempo de ida o vuelta de las on­

das L/C; la velocidad a la velocidad característica v =/2gK ,

y el incremento de presión motriz respecto de la presión atmos­

férica a la presión generada por el golpe de ariete p v C .

Si se escriben las ecuaciones con est-as variables, se

obtiene el sistema de ecuaciones:

3 t , + 3 x ' + £ [ V 3 x ' + A p 9 t ' J - ° C £ } (1.7a)

-TTT + "Si + e V •?—r - ap* W + — f v ' v' =o(e ) (I. 7b) dt' 3x' ( . dx' dxT J 2 ' '

-I .6-

donde A =a 2(23 2-l) + (l-a)2(23 1-D, f = p

£ = (1.8)

es un parámetro que toma valores muy pequeños frente a la uni­

dad en los casos prácticos, por lo que buscaremos la solución

asintótica para £ << 1, en forma de desarrollo de las magnitu­

des físicas en serie de potencias de este parámetro.

Los segundos miembros de (1.7) representan términos

2 de orden £ , respecto a los términos del primer miembro, que

no escribimos pues no intervienen en el orden de aproximación

con que describiremos la solución.

Las condiciones de contorno (1.5), (1.6) y'(I.6a) to

man la forma:

en x = 0

PT - TTOtp

P' - o-ap

, 2=-|(l-v' 2) si vT > 0

( I.9a)

t2 - £ si v ' < 0

y en x = 1

P? - fap1 = f Kv si v? > 0 y K ¿ 0

(I.9b)

v' = 0 s i K + ° ° ,

2 si se excluyen de nuevo términos de orden £ .

Este sistema de eauaciones (1.7), (I . 9a ) y (I . 9b )

describe la solución para t' > 0 si se complementan dando las

condiciones iniciales : en: *

tf = 0 , v 1 = vj(x» ) , pf = pj(x' ) , (I.10)

que corresponden, por ejemplo, al estado estacionario previo,

que sería solución estacionaria del sistema (1.7), (1.9a) y (1.9b)

-I . 7-

En el problema anterior intervienen la cota z'(x')

de la línea media del conducto que suponemos no varía con el

tiempo y el coeficiente de descarga de la válvula K(t') =

(A /A (t)J - 1, que depende de la relación de áreas efectivas

a =A /A de la válvula, A , y del conducto A . so s J o

Supondremos conocidas z'(x') y la ley de cierre o

apertura de la válvula caracterizada por K(t').

El carácter de la solución depende del valor daracte

rístico de K o de la relación de áreas a = A /A . Considerare-s o

mos dos casos límites distinguidos. En el primero, a es del or

den de la unidad, en cuyo caso las sobrepresiones generadas en

el cierre instantáneo de la válvula son muy grandes Frente a

p gH. En el segundo caso, la sección de salida inicialmente es

muy pequeña comparada con la del conducto ( a ^ e << 1) y las so-

brepresiones generadas son del orden de p gH.

Se estudiará en primer lugar el caso en que a 1 ,

esto es, cuando el área efectiva de la válvula es, inicialmen­

te, del mismo orden que la del conducto. Posteriormente se ha­

rá el estudio del segundo caso, donde se supondrá que el valor inicial a es del orden de e. o

En la ley de cierre a(t'), interviene otro parámetro,

t /t , relación entre los tiempos característicos del cierre o c o ^

apertura y el de ida o vuelta de las ondas. Nos ocuparemos esen

cialmente del caso en que t /t es del orden de- la unidad, en ^ c o

cuyo caso los efectos de compresibilidad son muy importantes.

Sin embargo empezaremos, a título comparativo, describiendo

el movimiento en el caso en que t /t es del orden de 1/e, que

c o c o r r e s p o n d e a t i e m p o s de c i e r r e d e l o rden d e l de r e s i d e n c i a ,

-1.8-

con lo que, en primera aproximación, puede cosiderarse el flu

jo como incompresible.

En todo lo que sigue, quitaremos la tilde de las va

riables, entendiendo que nos referimos a variables adimensio-

nales.

CAPITULO II

PROCESOS TRANSITORIOS DURANTE EL CIERRE DE VÁLVULAS

-II. 1-

II. 1.- ANÁLISIS DE TRANSITORIOS LENTOS

Si los tiempos de cierre t son grandes comparados

con el tiempo de ida o vuelta de las ondas, t , por ejemplo,

del orden del tiempo de residencia t =L/v , conviene elegir

r e to

como tiempo adimensional el referido a este tiempo de residen

cia, de manera que describiremos el flujo utilizando como va­

riables independientes x y T. La variable T se define: T = t/tr ,

y al referirla al tiempo de ida o vuelta de las ondas t = L/c, J C Q 3

toma el valor:

T = Et .

Se busca la solución en forma del desarrollo:

v = v ( X , T ) +ev ( X , T ) + ...

p =ep ( X , T ) +e p (X,T) + ... (II.1)

con lo que al llevar este desarrollo al sistema (1.7), (1.9),

se obtiene

3v TT = 0 • V = v ( T ) dx O O

(II .2a)

-TT + -s— =~ — f V V

8T dx 2 o ' o

con las condiciones de contorno:

en x = 0

(II . 2b)

Pl = 2 ( 1 - V o } S i V o > 0

(II . 3a)

Pl = 2 S Í Vo < ° ;

-II.2-

y en x = 1

P.1 = | K ( T ) Vo s i v > O y K ^ O o J

(II.3b)

v =0 si a = 0 (K->°°) o

Este sistema no admite la condición inicial general (1.10), si

no la más restrictiva;

v = v_ en T = 0 , o í (II.4)

con V, constante y p (x,0) a determinar como parte de la solu­

ción. Si estas condiciones iniciales no coincidiesen con las

dadas por (I.10), el desarrollo (II.1) no sería uniformemente

válido, existiendo una etapa inicial a ^ £ , durante la cual los

efectos de compresibilidad serían importantes. (Véase el análi­

sis de la apertura, Apartado IV.2).

La ecuación (II.2b) puede integrarse respecto de x

para dar, s i v > 0 ^ ' o

dv o 1

dx 2 o ' o = 2 ( 1- Vo }-Pl ' (II.5)

si v < o, el segundo miembro se sustituye por o ' - - * 2 F l '

Utilizando la condición (II.3b), obtenemos la ecua­

ción

d v^ 1 o v 2 *

— + 2 f V o + — (K(T>+1) "2 = (II .6a)

para v > 0 , y

dv v o 1 ^ 2 o w . 1 A

d T - " 2 f V o + — K ( T ) - 2 = ° (II.6b)

si v < 0. Esta ecuación ha de integrarse, en general, numérica

mente, dada la ley de cierre K ( T ) , usando la condición inicial

v (0) = V_. o I

-II.3-

Si K ( T ) es constante, K = K , existe una solución es­tacionaria v =v > 0 de (II.6) que corresponde al régimen esta-

o e -i i- &

cionario dada por:

v = ÍK +l+fl - 1 / 2 = ( f + a o -2 ) - 1 / 2 (II.7a)

con la distribución de presiones

Pl = ± - (1 + fx) (II.7b)

donde a es la relación inicial de áreas A (0)/A . .o s o

En el caso de ser a = 0, o '

v e = 0 y p 1 (.II .7c)

Los valores de la velocidad y presión dados por (II.7) aparece

rán como condiciones iniciales en el estudio de los transito­

rios.

En el transitorio interviene la ley de cierre a(x) a

_ 2 través de K ( T ) =a - 1. Escribiremos

a = a a(a) o

con a = t _ T

c c (II.8)

siendo a el valor inicial de la relación de áreas A (0)/A y o " S O

G el tiempo referido al tiempo de cierre t = T , de modo que: f f C C V

c

a(0) =1 q ( 1 ) = 0 . •

Así pues, la ley de cierre está caracterizada* por los parámetros

a y T . Si escribimos (II.6a) utilizando o como variable inde-o J c

pendiente, se obtiene la ecuación:

dv» _ . q - ((f) q +1 ) v ' 2

da ~ c 2 2q

(II.9)

-II.4-

a integrar para O < O < 1 con la condición inicial

v'(0) = v f = (l + <f>) -1/2

(11.10)

Aquí, ó = T /a caracteriza el tiempo de cierre, é - fa la ^ ; c c o ^ ' Y o

fricción en el conducto y vf =v /a . J o o

La presión en la sección de salida vendrá dada por:

Pl _ 1

s 2 — 1 a a (a) J

o

(II.11)

donde v = a v ' . o o

Las ecuaciones (II.9) y (II.10) describen el cierre

del conducto cuando la ley de cierre es tal que el tiempo de

cierre es del orden del de residencia, esto es, el' tiempo de

cierre es muy lento comparado con el de ida o vuelta de las o_n

das, de modo que el flujo puede ser considerado como incompre­

sible. Cuan lento o rápido sea el cierre, nos lo indica el pa­

rámetro 6 .

c

Un caso interesante es aquél en el que ó << 1 con $

del orden de la unidad. En otras condiciones, la solución de

(II.9), en primera aproximación es:

v' = vT ( 0 ) = v' e

correspondiente a ó =0. La presión en la sección de salida vie

ne dada por (11.11) con v =a v'(0). c o o

Para obtener la segunda aproximación del valor de la

velocidad, suponemos que ésta puede desarrollarse en potencias

de 6 : c

v' = vT + 6 V ' ( G ) ( II .12)

e e l

y llevando este desarrollo a (II.9), obtenemos para el segundo

término del desarrollo:

-II. 5-

de donde:

2 2 dv' a -((t>a +l)v

1 e da

(II.13) 2a

vi = a a 2 U ) - ((|)a2(C) + l)v;2

) 2a2(C) d£ (II.14)

Esta corrección de la velocidad está determinada por la ley de

cierre a(a). En los instantes finales del cierre a << 1, por lo

que la integral (11.14) puede diverger. En efecto, si en los

últimos momentos del cierre, la ley a(a) es potencial de la

forma:

a(a) = A(l-a) , (11.15)

con A del orden de la unidad (A=l si la ley de cierre, a(a) es

potencial desde el instante inicial), la integral (II.14) con-v,

tiene el término divergente

o ..2

, que tiende a o 2a

, 2, . ,l-2n v1 (l-a) e 2A2(l-2n)

(11.16)

si n ^T^' Por ello, en este caso, existe una segunda etapa corta,

inmediatamente antes del cierre, en la que v caerá desde el va­

lor v' a cero, la cual se analizará más adelante.

e

En el caso en que n < —, la integral (11.14) no diver­

ge, por lo que la velocidad en el instante del cierre tiene,

para ó << 1, el valor v'+ó v' , donde F c • ' e c lf

lf

l a 2 - (4>a2 + l)v'2

da . (II.17) 2a

Si ó no es pequeño, el cálculo dev'(a) ha de hacer­

se por integración numérica del sistema (11.9)-(11 .10 ) . Pero po

-II.6-

demos anticipar que si la ley de cierre es potencial en los ins_

1 tantes finales, con n %,— la velocidad tiende a cero cuando

- 1 (1-a) -* 0 , mientras que si n < —, v'->v' / 0, cuando (-l-o) -*• 0 .

En este caso incluso, para valores de ó del orden de la uni-^ c

dad, la sobrepresión en la válvula no basta para frenar comple­

tamente el fluido del conducto; se genera en o = 1 una onda de

compresión que avanza aguas arriba para asegurar que v = 0 en

la sección de salida para o > 1. La onda de compresión generada

es idéntica a la que corresponde al cierre instantáneo cuando

la velocidad previa en el conducto es v'.

Como ilustración se ha calculado v'(ó , <f>, n) mediante

r e

solución numérica de (II.9)-(II.10) que se representa en la Fig.

1 1 II.1) para cierre potencial con n = — y n = —. Las soluciones asintóticas son:

v f=n-6cVÍT^+*) P"a &<<1-

Cuando n >, -r existe una segunda etapa en los instantes finales

del cierre, de modo que podemos poner:

m Oj

1 - O = ó 9 ,

.m donde ó es mucho menor que la unidad, 6 es del orden de la uni c n J _

dad y m > 0 es un número real a determinar.

En estos instantes finales la velocidad, que cae des­

de un valor próximo av' hasta cero, viene determinada, pues

a << 1, por la ecuación, en la que la deceleración se debe a la

sobrepresión debida a la válvula:

2 dv«_ . v da c „. 2 2A (1-a) 2n *

(11.18)

-II.7-

% Reescribiendo (11.18) en la variable 0:

x,l+m-2mn dv' c v1

de 2A *>2n

Para que los dos miembros sean del mismo orden:

1

As í pues:

1 + m(l-2n) = 0 , ,

dv' 1 v'

m = 2n-l '

d* 2A2 S 2 n '

cuya solución es:

% l-2n

v' v' e 2A 2 2n-l

o.

si n /

1 1 c ~ —t=. o l n © S 1 n = T •>

2A ^

donde las constantes de integración 1/v» y c, de orden unidad,

se obtienen del acoplamiento con la solución para la etapa an­

terior. En ambos casos v1 = 0 en el instante del cierre (0=0).

De (11.11) vemos que en esta segunda etapa previa al

cierre, en la cual a << 1, la presión en la sección de salida

viene dada en primera aproximación por: 2n

2r~ 2n-l (

Pl = vi 6c

9 9 9 9 2a a (0) 2a A 2A a

o o ^ o

1 + v ^l-2nl e 0

2n-l

-2 ^ -2n (11.19)

De esta expresión (11.19) se deduce que cuando n = 1, la presión

en la sección de salida es creciente para todo tiempo previo al

instante del cierre, en el que alcanzará el valor máximo:

2 2 9 2A a

, n>> _ 2A _ o p i ( 0 ) - T 2 —

0 T C C

(II .20)

-II.8-

Si n > 1 , la presión en la sección de salida crece ini

cialmente con el tiempo, alcanzado su valor máximo en un instan

te (0 > 0) anterior al instante de cierre, m

rr1 raax

(n-1)v

2nA (2n-l)a (11.21)

2n 2n-l

•max

2 n -1 A yn

2az l o

n-1 v max e

-2 (11.22)

.ecreciendo posteriormente al valor p.,(0) =0.

Nótese que en el instante del cierre v =.0 en el con-o.

ducto, pero que hay sobrepresiones respecto al de-pósito no nu­

las, si n = 1, cuya distribución es lineal en el conducto entre

el valor cero correspondiente al depósito y el valor p ^ O ) , da_

do por (11.20), en la salida. La evolución posterior de v y p

no puede ser analizada con la aproximación incompresible.

Por otra parte, los efectos de la compresibilidad tam

poco pueden despreciarse antes del cierre si el tiempo que dura -1

este es tal que da lugar a valores de p1 ^ del orden de e , -"•max

ya que en este caso las sobrepresiones generadas serían, según

(II.1), del orden de las del golpe de ariete, pv c. Esto es,

los efectos de la compresibilidad han de retenerse en la últi­ma etapa si 6 es tal que

n-1

ó ^ (n-l)v c e

Vi] a o

2n-l

n con n t 1

que implica

2n-l n+1 2n n

T ^ £ a c o

-II.9-

y si a ^ 1, J o

t 2n-l c n 2n T = —— e c t r

Si n = l , de (11.19) se deduce que para que p ( 0 ) ^ l / e

(II.23a)

T ^/e c

1

(II.23b)

Nótese que el tiempo característico de la segunda eta

pa, t 6 s si los efectos de compresibilidad son importantes

en la misma, es del orden del tiempo de ida o vuelta de las on-

1 das. En el caso n < -^ los efectos de compresibilidad se hacen im

portantes inmediatamente después del cierre, aún en el supuesto

de ser 6 ^ 1 . c

Otro caso singular del análisis es aquél en el que

a << 1; si f es del orden de la unidad, se podrá poner en prime_

ra aproximación (j) = 0 , ya que

<f> = f a < < 1 . o

Obsérvese que a pesar de ser corto el tiempo de cierre, ó pue­

de ser del orden de la unidad por ser a << 1. De (II.9) se ob-c o

tiene para este caso:

2 .2 dv' _ ~ a -v da " c 2

2a (II.24)

con la condición inicialv'(0)=l, obtenida de (11.10) sin más

que hacer en esta <j) = 0 .

Para la integración de esta ecuación es preciso cono

cer la ley de cierre a(cf). En este caso no aparecen dos etapas

en el transitorio del cierre.

La presión en en la sección de salida vendrá dada por

la forma simplificada de (11.11):

-11.10-

s 2aV(a) o

(11.25)

Por ejemplo, en el caso de cierre lineal, a = (1-a) la solución

de (11.24) es: (3.-3^)0/2

(1 + 3, )-(l-g0)(l-Q) 1 2 c

v ' =

(l-3o)-(l-3i)(l-a) (31-39)ó /2

1 2 c

(1-a)

siendo 3

ción de salida

+ /l + ó2 1 = A + ó2. •*• y 3 2 = y la presión en la sec-

( ( 3 - 3 ) 5 / 2 ( i + e 1 ) - ( i + . e 2 ; ( i - a )

2

1 2 (l-32) - (i-31) (i-a)

(31-30)6. 12 1 2 c

(11.27)

En todo caso, las sobrepres iones son, de acuerdo con (II.24), del

2

orden de 1/a . Los efectos de compresibilidad no pueden despre­

ciarse en este caso si a ^ e . o

II.2.- EFECTOS DE COMPRESIBILIDAD EN TRANSITORIOS

II.2.1.- Cierre con relación de áreas del orden de la unidad

Ya se dijo anteriormente que al analizar el cierre de

un conducto, cuando la relación de áreas inicialmente es del or_

den de la unidad, aparecen dos etapas. Durante la primera etapa

los efectos de compresibilidad no intervienen en la solución y

en ella, la velocidad en el conducto apenas-varía de su valor

en el régimen estacionario y la presión aumenta muy poco su va­

lor respecto a la presión correspondiente a la del flujo esta­

cionario. Se producen incrementos importantes de la velocidad

del fluido en la válvula que llevan asociados sobrepresiones en

el extremo del conducto.

-II.li­

cuando, en la segunda etapa, la relación de áreas

1/2 A (a)/A se reduce de su valor inicial a a un valor a e , s o o o

las sobrepresiones se hacen del orden de pv c y es cuando los

efectos de compresibilidad empiezan a contar en el conducto jun

to con los efectos de la inercia si el tiempo de cierre es tal

que el tiempo característico de esta segunda etapa es del orden

del de ida o vuelta de las ondas t . o

Como los efectos de inercia y de compresibilidad solo

intervienen en esta segunda etapa, la forma como se efectúe el

cierre de la válvula durante la primera etapa no es importante.

Solo nos preocupa la forma de la ley de cierre durante esta se-

- " 1/2

gunda etapa en la que la relación de áreas es del - orden de e

Supondremos que durante esta etapa, la ley de cierre es poten­

cial de la forma: a(a)=A(l-a) con n > — , (11.28)

donde A es de orden unidad y será igual a uno si la ley de

cierre es potencial desde el instante inicial del cierre. El

análisis puede generarlizarse sin dificultades para formas de

cierre no potenciales en la segunda etapa.

Nos ocupamos ahora del análisis del transitorio duran

te esta segunda etapa, con efectos de compresibilidad importan­

tes en el supuesto de que la relación inicial de áreas, a , sea

del orden de la unidad y el coeficiente f sea también del orden

de la unidad. El caso en que a << 1 se tratará posteriormente.

^ o ^ Consideraremos pues, el caso distinguido en el que de acuerdo

con (II.J23a), el tiempo de cierre referido a t es tal que: c o

t = 6 e c o -l/2n

(11.29)

-II.12-

con 6 de orden unidad. Por otra parte, durante esta segunda

etapa, los valores de (1-a) son tales que:

(l-o)tc 1 -> (i-a) e 1 / 2 n ,

para que la duración de la segunda etapa dea del orden de t .

Al aparecer en esta segunda etapa los efectos de com

presibilidad y en la primera aproximación, la velocidad en el

conducto tiene variaciones temporales y especiales del orden de

ella misma, con lo que utilizamos para la velocidad y presión

los desarrollos en potencias de £ siguientes:

— = v (x,e) +ev (x,e) + ... V o .1 e

(II .30)

P _ v = P (xse) + ep1(x,e) +

donde v es la velocidad inicial que coincide con la dada por e - l i ­

la primera aproximación en la etapa anterior del cierre (que es

incompresible) y que viene dada por la Ec. (11.10) y 9 = t-t es

la nueva variable temporal que es de orden unidad en esta etapa

Introduciendo el desarrollo (11.30) en las ecuaciones

(I»7) y en las condiciones de contorno (1.9), y quedándonos

con la primera aproximación, se obtiene el sistema:

3 P ° d V ° n T0- + "33r = o

3v 3p °+-4-^ = 0

(11.31)

39 3x

con p =0 en x = 0 *o

« 2n 2, ov-2n . p = ó v ( - 9 ) en x = l *o o

(II . 32a)

(II. 32b)

-II.13-

donde 6

j , 2 n

2n _ e o 2 2

2A a o

^ 2 n

V t £ e c o, 2 2 2A a

o Las ecuaciones (11.31) y (11.32) se integran con la

condición inicial:

-»» -oo v = 1 , P = 0 ' o ' *o

(11.33)

correspondiente al acoplamiento de la solución para esta según

da etapa con la solución incompresible de la primera etapa del

cierre.

Obsérvese que las sobrepres iones y velocidades en el

conducto vienen dadas durante esta segunda etapa, en primera

aproximación, por el sistema (11.31) -(11 . 33 ) , correspondiente

1

a la teoría de Allievi. Intervienen los efectos de compresi­

bilidad, representados por el término 3p /90, los efectos de

la inercia representados por 3v /9 0 y la caida de presión en

la válvula dada por la Ec. (II.32b) en la que se supone una ley

de cierre potencial (con n >—) durante esta etapa.

Para leyes de cierre más generales, tendríamos que

sustituir (-6) por la función a(9) apropiada. En estas ecuacio

nes interviene como único parámetro ó junto con el exponente n

para caracterizar la ley de cierre potencial. Podemos anticipar

que los cierres lentos, correspondientes a ó >> 1, pueden descri_

birse con la aproximación incompresible y que los valores de

ó << 1 corresponden al cierre casi instantáneo.

Un valor importante que obtendremos como parte de la

solución es p(l,9) =p (9) el valor de la presión antes de la

válvula que depende también de ó y n.

El sistema (II.31)-(II.33) puede utilizarse también

-II .le­

para describir la solución en tiempos G > 0 del orden de la uni

dad, posteriores al cierre, sin más que sustituir la condición

( 11 . 32b) por v = 0 . Sin embargo, el desarrollo (11.30) deja de

ser uniformemente válido para tiempos 8 %1/e, pues los efectos

de la fricción se hacen importantes, como veremos más adelante.

El sistema (11.31) es la ecuación de las ondas, cuya

solución general es:

P = f c e - x + i ) - g ( e + x - i )

v = f ( e - x + i ) + g( .e+x-i) , o

(11.34)

donde x se mide a partir de la sección de entrada del conducto

y el valor 6 = 0 corresponde al instante del cierre.

Al imponer las condiciones (11.32), se obtiene:

en x = 0

f(6 + l) =g(8-l) ,, f(0) =g(0-2) para todo 9 (-II.35a)

en x = 1

r2n f(0)-g(0)= — — — ( f ( 0 ) + g ( 0 ) ) para 0 < O (II.35b)

C-0) 2n

y de la condición inicial (11.33):

g ->• — cuando 0 •+ -°° .

De (11.35) se obtiene

(11.36)

2n (g(0) + g(0-2)) = (--] (g(0-2) - g(0)) para 6 < 0 (II.37a)

y (0) + g(0-2) = 0 para 0 > 0 . ( II. 37b)

La ecuación (II.37a) es una ecuación en diferencias,

que junto con (11.36) determina de modo único la solución.

De (II.37a) se obtiene, para cualquier 0 <0:

-II .15-

g(6) ~--^ 2n^i 1 r-e^2n

-2+(x) j + () \^-2^W <"-38)

donde hemos escrito g =g(9-2).

Cuando 9 = 0, v = 0 , luego en x = l y 0 = 0 ,

g(0) =g(-2) = -f(0) ,

con lo que la presión en la sección de salida en el instante

del cierre vendrá dada por:

p (0) = -2g(0) . * v

(11.39)

Para otro instante cualquiera, la presión en la sección, de sa­

lida (x =1) vendrá dada por:

P v O ) = g(0-2) - g(0)

que para 0 > 0 toma la forma

< 0 , (II.40a)

p (9) = 2g(0-2) . (,II.4 0b)

Nótese que para 9 > 0 (tiempos posteriores al cierre), p (0), y

del mismo modo el movimiento en el conducto, es periódico con

período 4 en 9. La condición de antisimetría (II.37b) permite

calcular la respuesta al sistema para 9 > 0 una vez calculado

g(9) en el intervalo (-2,0). Veremos más adelante cómo los efec

tos de la fricción producen una variación lenta en esta respues

ta periódica, variación que describiremos con el método de las

escalas múltiples (6 ,1'4) para determinar la evolución de g(0)

con la escala x = 0•e, asociada al amortiguamiento de las osci­

laciones .

La integración de la ecuación (II.37a) se hace numéri_

camente. En las Figs . ( II.2 ) está representada la presión en

la sección de salida en función del parámetro 6 que caracteri-

-II .16-

za el tiempo de cierre. La solución numérica se ha obtenido

para los valores del exponente n = 1, 3/2, 2 que corresponde a

cierres lineal, cuadrático y uno intermedio entre éstos. De

estas figuras vemos que cuando el cierre es lineal, la presión

máxima en la sección de salida se obtiene en el instante mismo

del cierre, cualquiera que sea la forma en que éste se ha efec

tuado (lento o rápido), mientras que para los otros tipos de

cierre, el máximo de presión se presenta en tiempos anteriores

al instante del cierre y este máximo de presión es más pequeño

y se produce en tiempos tanto antes cuanto más lento se efec­

túe el cierre .

También se ha representado en la Fig. (II.3) el valor

de la presión máxima, y el tiempo en el que se presenta ese mí­

nimo, en función de ó, para los valores de n anteriormente ci­

tados .

Para describir la solución en el caso límite ó << 1,

que corresponde al cierre casi instantáneo, reescribimos la

ecuación (II.37a) en la nueva variable x' =8/6 y, si llamamos

g^T') =g(6T') 9 queda en la forma:

(gl(T') + g 1 (

T ' - | ) ) 2 = (-Tf>2n(g1('C,--f> " S ^ ' ) ) - (H.*l)

2 En primera aproximación g1(T

,--r) = 1/2, por lo que de (11.41)

obtenemos:

i(T.) =-i (l-(T')2n) +(-T')n\/ 1 +Í(-T') 2 n ,

con lo que

p ( T . ) = i + Í H ^ - ( - x . )n \ / i + i ( - f )

2 n

Así pues, en primera aproximación p(0) = 1. Es fácil mostrar

-II . 17-

que en segunda aproximación se tiene, para n > — que

2n p(ó) = 1 -

2n-1(2n-l) (II .42)

como expresión asintótica, para el cierre, de la presión cuando

ó << 1 (cierre casi instantáneo). En el gráfico que representa

la presión máxima en función de ó, esta expresión (11.42) está

dibujada con línea discontinua.

El otro caso límite es el cierre lento correspondiera

te a ó >> 1. En este caso, de la ecuación (11.36) se deduce ha-

a iendo T' =6/5 con a=2n/(2n-l)

f ^ 2 n o* 2

(-T ' ) g1 = "2g1 ,

(11.43)

de donde se obtiene, por integración con la condición de que

g„ = 1/2 cuando T -> -°°

(_Tr)2n-l V ( 5,T) = 2g > 9n-ll ° 1 (_T»)^2n-l) _ 1 / ( 2 n _ 1 )

( II .44)

6-2n/(2n-l) (_ T, }2(n-l) po((59T) = _: _

k-T'/211-1) + l/(2n-l)|

(11.45)

De (11.45) se obtiene que la presión en el instante del cierre

(T = 0 ) , vale:

p ( 0 ) = ó 2 si n = 1 *o

p (0 ) = 0 si n ^ l . *o

(11.46)

Para n > 1, el máximo de presión se presenta para valores de 6

2n (-6)

2n-l (n-l)6

max n(2n-l) ' (11.47)

-2n 2 V

y como ó = —— , al sustituir en (11.47) y referir este tiem 2a A' o •

-11.18-

po al de residencia, se observa que coincide, al igual que el

valor máximo de la presión:

p . í(n-l) ó *max =

n(2n-l)

2(n-l)/(2n-l)

( $ (11.48)

con el valor hallado en el régimen incompresible, como era de

esperar, por ser ó >> 1.

Así pues, durante el cierre con a ^ 1 , existe una

primera etapa en la que no intervienen los efectos de compresi

bilidad , en la que la velocidad apenas varía de su valor en ré­

gimen estacionario y en la que la presión aumenta muy poco res

pecto a su valor en el régimen estacionario. En es*a etapa:

v = v + T v„ e e l

P = e ^ s 1 2

( II .49)

2 2 ^2a^ a(a)

o

- 1 V

donde v viene dada por (II.7a) y v „ por (11.14). e J 1 *

Cuando la relación de áreas A (a)/A toma valores del s o

1/2 orden de £ los efectos de compresibilidad son ya importantes

y para esta segunda etapa la solución es la dada por (11.36) y

(11.38). La presión en la sección de salida está dada por (11.39)

Si el cierre es muy lento, no cuentan en ningún momen_

to los efectos de compresibilidad, aunque sí los de inercia y

el flujo puede ser descrito por la solución incompresible. Si

el cierre es instantáneo (o muy rápido), la_velocidad en la sec

ción de salida es nula desde el primer momento y la presión vie_

ne dada por la ecuación (11.42).

-II .19-

II.2.2.- Cierre con boquilla a la salida

Vamos a analizar ahora el caso en que el conducto

tenga una boquilla en la salida, de forma que a << 1. La pér­

dida de presión en el conducto, en este caso, en el régimen

estacionario es pequeña frente a pgH que es la pérdida de pre

sión en la válvula, de donde obtenemos que la velocidad de sa

1/2 lida es del orden de (2gH) . Aplicando la ecuación de conti

nuidad entre una sección del conducto (cuya sección recta es

A ) y la sección de salida (donde está la válvula y cuya sec­

ción efectiva es A ) vemos que la velocidad en el conducto es

s ^ del orden de a(2gH) 1 / 2.

En el supuesto de que se produzcan cambios en a del

orden de a en tiempos del orden del de ida o vuelta de las on o -• —

das, t , las oscilaciones de presión que aparecen cuando se

cierre la válvula, tienen unas amplitudes

a p /2gH c . o o

Estas oscilaciones son del mismo orden que las sobrepres iones

en la salida, PgH, para valores de a del orden de

o • / 2 § H

a ^ — ~ — = e . o C

Así pues, cuando la relación de áreas A0/A , sea desde el comien r S Q —

zo del orden de £, los efectos de compresibilidad serán impor­

tantes si el cierre ocurre en tiempos t de-1 orden de la unidad, r c

referidos a t (tiempo de ida o vuelta de las ondas). La distri o c —

bución de velocidades y de presión pueden desarrollarse en po­

tencias de £ en la forma:

-II . 20-

V(X,9) =£V 1(x,0) +£ V ( X , 0 ) + ...

p ( x , e ) = e p 1 ( x , e ) +e p ( x , e ) + (II. 50)

donde 0 = t - t . Escribiremos el área de salida en la forma: c

a = en(-0/t ) que se reduce a:

a = en. (-0/t ) o c (11.51)

si el cierre sigue una ley potencial a = en. (1-a) .

Las condiciones iniciales corresponden al instante

0 =-t y vienen dadas, si f es del orden de la unidad, por la

solución estacionaria (11.17) resultante de a =en , con lo o Jo'

que :

Vl = n o = a o / £ ' Pl = 1 / 2 (II.52)

en 0 = -t . c

Llevando el desarrollo (11.50) a las ecuaciones (1.7)

y (1.9), se obtiene para la primera aproximación:

9 P 1 3 v 1

TTT + Tx~ = °

3 V , 9 p 1 + -7T^=- = 0

30 Bx

( 1 1 . 5 3 )

c o n p 1 = 1 / 2 e n x =

v. 1 v 1 P l = " 2 = ~ 2 e n X = 1 S Í 6 < 0

n

( I I . 5 4 a )

( I I . 54b )

o v = O s i 0 ^ O .

Estas ecuaciones hay que integrarlas con las condiciones ini­

ciales (11.52). La solución general de (11.52) es:

p 1 = -|- + f(9-x + l) - g(0 + x-l)

v = n0 + f ( e - x + i ) + g ( 0 + x - i ) (11.55)

-II. 21-

Al imponer las condiciones de contorno (11.54) se ob

tiene que f(8) =g(9-2) para todo 9 y la ecuación en diferencias

(n0 + g(e-2) + g(e))2 = 2n2(| + g(e-2) - g(e)), (n.sea)

ecuación que hay que integrar, para n(-0/t ) dada, con la condi

ción inicial g(0) =0 para todo 6 <-t . En el caso particular de

ley de cierre potencial, la ecuación anterior toma la forma:

(6) = -2 ,-9,2^

(n+g(e-2)) +n 0^)

/Tno^)ny| + no + 2 g ( 0 - 2 ) + | n

2í ^ )

2 n . (II . 56b)

en la que intervienen como parámetros el tiempo de cierre t y

la relación de áreas inicial n. • Esta ecuación (II.56b), junto

con la condición g(9) =0 para todo 9 <-t , determina de modo

único g(9). La presión en la sección de salida, antes de la bo­

quilla, p (9) =p 1(l,9) viene dada por:

(II . 57a) 1 P v ( e ) = j + g ( e - 2 ) - g ( e ) ,

que para el instante del cierre e instantes posteriores ( 0 ^ 0 )

toma la forma

p (0 ) = \ + n + 2g(0-2) . *v 2 o (II.57b)

Es fácil ver que, para 0 > 2, p(0 + 2) = 1 - p(0), que muestra la perio

dicidad de p(0) con período 4 para valores de 0 > 0, como era de

esperar al ser v = 0 para 6 0 .

La presión en la sección de salida para distintos va­

lores de n (n=l,2) y para valores de la relación inicial de

áreas 0.5, 1, 2 están representadas en la Figura ( 11 . M-) . El

valor t =2 corresponde al cierre instantáneo y según se observa en

estos gráficos, el máximo de presión tiene lugar en la sección de salida

El caso de cierre lineal (n = l) es el analizado po Allievi.

-11.22-

FÍ2. II .1 .- Velocidad antes de la válvula, inmediatamente antes del cierre con ley de cierre potencial y n < 1/2 en función del tiempo adimensional 5 de cierre y di­versos valores del parámetro de fricción <{> .

-II . 23-

Fig. II.2.- Presion en la sección de salida en función del tiempo antes y un período después del cierre,para leyes de cierre:(a) lineal,(b) cuadra tica ,(c) n = 3/2 y diversos valores del tiempo adimensional de cierre.

- I I . 2 4 -

F i g . I I . 2 ( c )

-11.25-

n=2

-i Fig.II.3.- Presión máxima durante el cierre,para leyes de cierre

potencial con n = 1 , 3 / 2 y 2 , en función del tiempo a -dimensional de cierre ó . (b) Tiempo,medido desde e] instante del cierre,en el que se presenta la presión máx ima.

I . 26-

Fift.II.^.- Tres ion en la sección de salida antes y un período do: pues del cierre cuando a % e para leyes de cierro (a) lineal y (b) cuadrática para diversos valores d«• i pa­rámetro n .

CAPITULO III

AMORTIGUACIÓN POR EFECTO DE LA FRICCIÓN DE LAS OSCILACIONES

DE PRESIÓN GENERADAS EN EL CIERRE DE UNA VÁLVULA

-III .1-

III.1.- ANÁLISIS DE LA AMORTIGUACIÓN CUANDO LA RELACIÓN DE

ÁREAS ES DE ORDEN UNIDAD

El análisis del apartado anterior ha mostrado que si

el tiempo de cierre es del orden de los dados por (11.33), apa­

recen sobrepresiones del orden de pv c en una etapa corta en c

torno al instante del cierre, y los efectos de la fricción no

cuentan en primera aproximación si e f << 1 . En ausencia de es­

tos efectos de fricción, las sobrepres iones permanecerían inde_

finidamente en forma de oscilación periódica.

Nos ocuparemos, a continuación, del análisis de la -1

amortiguación, en tiempos del orden de t e , de las oscilacio

nes de presión generadas durante el cierre. Puesto que en el

análisis de este movimiento oscilatorio amortiguado, intervie­

nen simultáneamente dos escalas temporales, la t de oscila-

^ o -1 cion de la presión y velocidad y la t e de amortiguamiento,

utilizaremos para el análisis el método de dos escalas

Así pues describiremos el movimiento utilizando, j un_

to con la variable x, dos variables temporales

t' = t y T = et ( III.1)

basadas en t y t lz respectivamente, o J o

Para la presión y la velocidad se suponen unos des­

arrollos en potencias del parámetro s en la forma:

p( X,t ' ,X) - PQ(x,t ' ,T) + £p ( X,t ' ,T) +

( III .2) v(x,t' ,T) • = v (x,t' ,T) +ep (x,t',T) + ...

donde p v , p„ ,v„ son funciones acotadas, de orden unidad, pa-*o o *i 1

ra valores de t'; y T es del orden de la unidad.

Introduciendo estos desarrollos en las ecuaciones

-III . 2-

(1.7) y en las condiciones de contorno (1.9), después de agru.

par términos del mismo orden, se obtienen los sitemas siguien

tes, correspondientes a los dos primeros términos del desarro

lio:

9 P ^ 9V~

9 t ' 9x

9v 9p ( I I I . 3 )

9 t ' 9 x

p = 0 e n x = 0 ^ o

v = 0 e n x = 1 o

9 ^ ^ _ ^ P ,

9 t ' + 3 x 3 T

9v 3 v 1 3 P l

- v

- V

o 9x

9v

- Ap ^ o

o 9 t '

9p. ( I I I . 4 )

9 t ? 9x 9 x O 9 X

O 1 r; | + Cip — — f V V

F o 9x 2 o i o

1 2 1 p = — ( 1 - v ) s i v > 0 6 p„ = TT s i v < 0 e n x = 0 F l 2 o o ^ 1 2 o

v , = 0 e n x = 1 . 1

El sistema (III.3) conduce a la ecuación de las ondas;

por ser este sistema homogéneo y con condiciones de contorno nu_

las, la solución es periódica en t? y de período t' = 4. La solu

cion general de este sistema viene dada por:

V = f( t ' -X,T) + g( t ' +X,T )

p = f( t T-X,T ) - g( t ' +X,T) . o

(III . 5)

Las funciones f y g pueden determinarse a partir de sus valo­

res F y G en t' = 4n, donde n es entero. Estas funciones F y G

dependerán de x,T, mientras que f y g, para T fijo, son funcio

nes (periódicas en t') de x y t'. En el Apéndice mostramos có­

mo dependen las distribuciones de velocidad y presión, esto es

(* ) Obsérvese que las funciones F y G quedan definidas en la forma F(X,T)=f(-x,T) ; G(X,T)=g(X,T) para 0<x<1

-III.3-

f y g, de las funciones F y G, dando esta descripción por zo­

nas en el plano x,t'.

Las funciones F y G se calculan, exigiendo que la so

lucion P..5V del sistema (III.4) sea periódica en t', con lo

que se asegura que £p y £v son pequeños frente a p ,v para o o

-1 tiempos t! del orden de e y, por tanto, el desarrollo (III.2)

es uniformemente válido.

Esta exigencia de periodicidad a p. y v , implica que

la contribución de los segundos miembros de las ecuaciones y

de las condiciones de contorno del sistema (111 . 4 ) , al cabo de

un período, a los valores de p y v es nula. Esto nos propor­

ciona, según veremos, dos ecuaciones integrodiferenciales para

la evolución con T de F y G, cuya solución queda determinada

con los valores de F y G en el instante T = 0, que corresponde

a las distribuciones de velocidad y presión en el instante del

cierre. El mismo resultado se obtiene dando la evolución en

función de los valores en un instante t' posterior, de orden

unidad, ya que una traslación en el tiempo tf de orden unidad

en las condiciones iniciales, no altera la solución, pues se

origina una traslación idéntica a la solución de p ,v y p ,v . ° o o 1 1

El sistema (III. M-) reescrito en las variables carác­

ter! st icas:

n = t - x , £ = t + x

queda en la forma:

3(v1+p1)

~ 2

A-a

9(v +p ) v o o 9T

9P

9(v +p ) 3(v +p ) O ' o * o o 9C 9n

o A+a 9P, - - - f I

2 ^o 3 C 2 ^o 3n 4 Vo ' Vo

- I I I . 4 -

3 ( v - p . ) 3 ( v - p ) v ( 9 ( v - p ) 3 ( v - p ) 1 * i _ 1_ 0 * 0 0 1 o o o o

" " 2 3n 9 T

9p

2 1 H

3P.

9n

, A + a "^o , A - a ~ ^ o 1 _ , , + T po TT ~ po TfT " « f v o I v o I

c o n l a s c o n d i c i o n e s

1 2 1 p 1 = - ( 1 - v ) s i v Q > 0 6 p 1 = - s i v o < 0 e n C _= n

v 1 = 0 e n C - n = 2 .

Exigiendo que la contribución a la solución de los

segundos miembros de estas ecuaciones y de las condiciones de

contorno, al cabo de un período, es nula, se obtienen, como se

muestra en el Apéndice, las ecuaciones:

1 F

9

( I I I . 6 )

F 1 . f (1, ^r =- -i- F I F | - j ~ ((F + FT ) | F + F ' | + ( F + G ' ) | F + G f | + ( F - F I ) | F - F I | +

'o + ( F - G » ) | F - G T | ) d £

4 ^ =- ~ G | G | - r ^ r Í (G + G' ) | G + G T | + ( G + F» ) IG + F ' | + ( G - G , ) | G - G ' | + óT z 1 o J

+ ( G - F ' ) | G - F ? I ) d £

donde F y G son funciones de ( X , T ) , mientras que F' y G' son

las mismas funciones evaluadas en ( £ , T ) . El primer término de

los segundos miembros representa el efecto amortiguador de la

entrada y los últimos el efecto de la fricción del conducto.

Estas ecuaciones han de integrarse partiendo de los valores ini_

ciales F (x) y G (x) de F ( X , T ) y G ( X , T ) en T = 0 . o o

Las ecuaciones (III.6) se han obtenido en el supuesto

de movimiento turbulento y con el coeficiente de Darcy-Weisbach,

A = f D/L , constante. Sin embargo, en un cas*o general, el coefi­

ciente de fricción X es una función de la rugosidad relativa y

del número de Reynolds, R = Ivlv D/v, que escribiremos en la for

J ' e ' ' o u — ma | v | A = ( | v | ) > 0 y el término de fricción en las eauaciones

-III . 5-

-i

tomará la forma - — CL/D) vip(|v|)9 con lo que las ecuaciones an

teriores quedan modificadas en la forma:

(1

o 3T

+ 2 ' |J: • 16D f(F + F f)^( | F + F ' | ) + ( F + G f )I|J ( |F + G» I ) +

+ (F-F f)lp(|F-F l|) + ( F - G T ) ^ ( | F - G f | ) ) d C

l£ + i G | G i - _ii_ 8T

+ 2 G | G I - 16D ((G + G')^(|G + G' | ) + (G + F')ip(|G + F' |) +

Jn

(III.7)

+ (G-Gf)i|K | G-G ' | ) + (G-F')^( | G-F' | ))d£ .

Tanto (III.6) como (III.7) tienen la propiedad de que

si en un punto x el valor de F (respectivamente G) es nulo ini-

cialmente se mantiene nulo para todo T posterior. Por ello ni

F ni G pueden cambiar su signo inicial en un x dado. Si en dos

puntos x hay inicialmente el mismo valor de F (respectivamente

G) posteriormente los valores de F (respectivamente G) se man­

tendrán iguales.

Si F (x) = G (x), correspondiente a una presión nula o o L r

en el conducto al principio del período inicial, posteriormente

se mantiene F =G y el problema (III.7) se reduce a:

3T + 2 F | i I" 8D f(F + FT )\¡)( | F + F' p + CF-FMií^lF-F'pjdS

Análogamente, si G (x) =-F (x), posteriormente G =-F, donde ° ' o o

F ( X , T ) está dada por:

3T 2 ' ' 8D f(F + F' )i|K | F + F T | ) + (F-F f )ip( | F-F 1 | ))d£ .

En el caso de movimiento turbulento, a altos números

de Reynolds, con efectos de rugosidad dominantes ^(|v|) = X | v |

con A constante, mientras que para el movimiento turbulento en

tubos lisos y en un rango amplio de números de Reynolds (entre

-III . 6-

4000 y 10 ), puede utilizarse la formula de Blasius X=0.316R e

- 1 /4 i 3/4 que dé para \¡) un valor \¡) = (v D/v) |v

En el caso laminar (R < 20 00 ) , i/j ( | v | ) =64 V/( V D ) ,

por lo que en lugar de la ecuación (III.6), se obtiene el sis­

tema más simple:

H=-iF|F| -£F dT 2 I I 4

3G _ 1 r i r , f P (III.8)

donde f = (L/D) =- , y en el que la variable x juega el papel de c

un parámetro. Este sistema ha de resolverse con las condiciones

iniciales F(x90) = F (x), G(x90) = G (x). La solución de (III.8)

es de la forma:

F = l F e o

-(f/4)T

2 ftF (l-e-f^/4) z o

F = l 2 | + F ( 1. e f T M ,

2 o

si F > 0

si F < 0

(-III. 9)

y análogamente para la G.

Las expresiones (III.9) y sus análogas para la G per

miten describir de un modo simple la amortiguación de las osci

laciones en el caso laminar. Compárese esta solución obtenida

por el método de las escalas múltiples apoyándose en la hipót_e

sis realista de que la caida de presión por fricción sea peque_

ña frente a la del golpe de ariete p v c, esto es, cuando

(L/D) << 1, con la obtenida por otros métodos (Rich (21^) cD

Una vez calculadas F ( X , T ) y G(x,x) pueden utilizar­

se las expresiones dadas en el Apéndide A para calcular v (x,t',T)

y p (x,t',T) en función de F y G para cualquier punto (x,t') den

tro de cada período, con T fijo.

-III.7-

En particular, la presión en la sección de la válvu

la (x=l), p (tf) puede calcularse en función de F(x,T) y G(x,T)

mediante las expresiones:

p ( t f ,if) = 2F(l-t ' , T ) para 0 <t f <1

p (t',T) =2G(t'-l,T) para 1 < t' < 2

p ( t T , T ) = - p ( t ' - 2 , T ) para 2 < t < 4 .

(III .10)

Los valores iniciales en T = 0 , F (x) y G (x) de F y o o J

G pueden calcularse partiendo de los valores en el instante del

cierre de la velocidad v y de la presión p en el conducto, o o

utilizando las expresiones (III.5) con tT = 4n y x = 0 , o bien

si se ha calculado p ( t' ) en los instantes posteriores al cierre

pueden utilizarse las expresiones (III.10) con T = 0 para el cál_ culo de F (x) y G (x) .

o o

Se ha obtenido la solución de (III.6) en dos .casos

límites:

:':cierre lento con ley de cierre lineal,

:';cierre instantáneo

y en un caso intermedio en el que la ley de cierre es potencial

con n = 2 y en el que el tiempo de cierre es tal que

t = 2(2a /v ) 1 / 4t £ "1 / 4 .

c o e o

Para el cierre lento, con ley de cierre lineal, ya se

dijo anteriormente que la distribución de presión en el conduc­

to, en el instante del cierre, es lineal siendo su valor cero

2 en la sección de entrada (x=0) y p (0)=2e/ó en la sección J r v c

de la válvula (x = 1) y la velocidad nula en todo el conducto

1/2 con tal que 6 = et /a t sea grande frente a e ^ c c o o pues en ca

so contrario la velocidad en el conducto no será nula ni la

-III.8-

la presión lineal con x en el instante del cierre. Así pues,

en el conducto y en el instante del cierre:

F(x) = -G(x) = \ z - \ x . ó c

La ecuación (III.6) se reduce en este caso a:

2 dT1

f l U / f ) i p - ((ty+ty' ) |tp + i|>f |+( . i | ; -^ f ) \ip-i)1 | ) d £ , ( I I I . 1 1 )

2 ef siendo I¡J = ( S /e ) F y T T = ~" T • Nótese que ip representa tam-

C 86 bien p /p ( 0 ) . *v rv

En la Fig. III.1 se ha representado para tres valores

de f la evolución con T , debida a la amortiguación de i/j en el

conducto. Las líneas a trazos corresponden al límite f -*• °°, en

el que el efecto amortiguador de la entrada es despreciable.

Como ilustración de la forma en que se produce el

amortiguamiento de las oscilaciones en un caso más general, en

la Fig. III.2 se ha representado cómo evoluciona con x la osci­

lación de presión en la sección x =1 de salida, en un caso de

cierre cuadrático con 6 = 2 . También se ha representado la evo­

lución con T del valor máximo, en cada período, de la presión

en la sección de salida, para el mismo valor de 6. En la Fig.

III.3 se representa la evolución con T de las distribuciones

de presión y velocidad en el conducto al .principio de cada pe­

ríodo .

En el caso de cierre instantáneo la velocidad en el

conducto y en el instante del cierre es la correspondiente al

régimen estacionario, y la caida de presión en el mismo debida

a la fricción es despreciable frente a pv c si ef << 1. Así pues,

en este caso

F (x) = G (x) = v II . o o e

-III .9-

Posteriormente F y G siguen siendo funciones de T, independien

tes de x, con lo que

f=4(1 + f)F2' F = G = l + v u!f)TM • (III.12)

Aunque los efectos de fricción, atenuando las oscilaciones,

-1 tienen lugar en tiempos del orden de e t , sin embargo la fric

ción también actúa en cada período variando ligeramente las os

cilaciones de la presión. Este efecto de la fricción lo vamos

a ver analizando el caso de cierre instantáneo. De (11.42) con

6 = 0 , tenemos que p(0) = v , luego

p(t) = v 0 < t < 2

p( t) = -v 2 < t < 4 .

c e

La corrección de este valor de la presión durante un período,

se obtendrá sin más que aplicar a la sección de salida "las ecua

ciones escritas en el Apéndice en función de las variables ca­

racterísticas e imponer la condición de F = cte ó G = cte, según

que nos movamos en las características n = cte o L, - cte. Con es­

to obtenemos que:

Pl = 4 fVet 0 < t < 2 ,

2 1 2 p = 1 + fv - - fv t 2 < t < 4 . Fl e 4 e

con lo que la presión en la sección de salida para el cierre

instantáeno y en tiempos posteriores al cierre, viene dada por:

£ 2 p = v + —— f v t F e 4 e 0 < t < 2 ,

2 1 2 p = _ v + e ( 1 + f v - — f v. t ) 2 < t < 4 , ^ e e 4 e

que de una forma cualitativa puede ser representada para el pe­

ríodo :

III.2.- AMORTIGUACIÓN DE LAS OSCILACIONES DE PRESIÓN CON BOQUI­

LLA A LA SALIDA

Ya hemos dicho en II.2.2. que cuando en*el extremo de

salida del conducto hay una boquilla tal que la relación ini­

cial de áreas a =A (0)/A es del orden de e, la velocidad en o s o

el conducto es también de ese mismo orden, por lo que ej. tiempo

de residencia, que es el tiempo característico de amortiguación

de las oscilaciones de presión que se originan al cerrar la val 2

vula, es de orden e referido al tiempo de ida o vuelta de las

ondas t . También vimos que las sobrepresiones generadas en el

cierre son del orden de pgH, esto es, son del orden de e refer^i das a p v C .

o c Así pues, utilizaremos como variables temporales, pa-

2

ra describir el movimiento: t' = t de orden unidad y T = e t ade­

más de x como variable espacial. Supondremos para la velocidad

y presión unos desarrollos en potencias de £ en la forma: 3 *

v(x,t',x) =ev (x,t',T) + e v(x,t',x.) + ... . (III.13)

3 p ( x , t f , T ) = ep ( x , t ' , T ) + £ p ( x , t f , T ) + ...

Las ecuaciones que gobiernan el flujo son las dadas por (1.7) y

- I I I . 1 1 -

( 1 . 9 ) ; i n t r o d u c i e n d o ( I I I . 1 3 ) en e s t a s e c u a c i o n e s y q u e d á n d o ­

nos con l o s d o s p r i m e r o s t é r m i n o s d e l d e s a r o l l o s e o b t i e n e n l o s

s i s t e m a s :

3 p \ 3 v + -T~- = 0 3 t » 3 x

3v 3p + ~~^ = 0

a t 9x ( n i . 1 4 )

o» Pi = 0 e n x = 0

v 1 = 0 e n x = 1

3 p Q 3 v.

3 t ? 3x

3 P 1

1T - v 8 p l , , * l , 9 p l

1 1 7 - A ( p i + 2 ) á T ^

3 v_ 3p

3 t ' 3x

3v

TT ' v i 3 v

P 3 = 2 í p l + j J " 2 V l

+ a ( p 1 + - ) 2 ) T T - 2 f v l ' v l

s i v„ > 0 1

( I I I . 1 5 )

P 3 = 2 _ ( P 1 + 2 " J s i v 1 < 0 en x = 0

v = 0 en x = 1 ,

habiendo tomado como referencia de las presiones, el valor que

ésta tiene en el régimen estacionario para el cierre, de modo

% 1 que P l = P l --.

Si reescribimos la ecuación (III.15), como hicimos

en el caso anterior, en las variables características r| , ¿; , ob_

tenemos el sistema:

- I I I . 1 2 -

°u 3 ( V 3 + P 3 } _ 1 8 ( v l + P i ) v !

" 2

' 3 ( v 1 + p 1 ) 9 ( v 1 + p 1 ) >

3C 9 T 3C 3n o»

A - a , ^ l , p l A + a - ^ ^ 1 . 3 p l l c , ^ _ ( p i + 2 ) - 3 l 2 - ( p l + 7 ) T f T " I T f v l l v l

<\j

3 ( v 3 - p 3 ) 1 SCv^p^) V i

9C 9 x

a C v ^ ) 3 ( v f p ^

9C 3n

^ A + a , ^ ^ 1 , p l A-a ,^ 1 , 9 p l 1 _ i + — ( P 1 + 2 } TT+ ~ ( P 1 + 2 } — ~ 4 f V l I V l

a r ^ _,_ l^ 2 1 2 3 2 ^ 1 2 2 1 s i v > 0

1

( I I I . 1 6 )

a r^ 3 2

v 3 = 0

i p i + V S I

e n n = 5 - 2 .

v , < 0 1

e n n = c

E l s i s t e m a ( 1 1 1 . 1 4 ) n o s c o n d u c e , t a m b i é n en e s t e c a s o ,

a l a e c u a c i ó n de l a s o n d a s y s u s o l u c i ó n g e n e r a l v i e n e d a d a p o r :

V 1 =f(t'-X,T) +g(t'+X,T)

o» (III .17)

P l = f(t f-X,T) + g(t T+X,T)

El problema así enunciado es formalmente análogo al planteado

en el caso anterior y como en él las funciones f y g se determi

nan a partir de sus valores F y G en t' = 4n siendo n un número

entero, de forma que F y G quedan definidas en la forma F ( X , T ) =

=f(-x,i), G ( X , T ) -g(x,x) para 0 < x < l .

La relación de v y p con F y G es análoga a la dada

en el Apéndice A para v y p en elcaso en que a % 1, de modo ^ c o o - o

que las distribuciones por zonas en el plano x,t' son válidas

para este caso. Así mismo la solución v y p debe ser periódica

y la exigencia de periodicidad nos lleva a una solución de

(III.16) análoga a la obtenida en (III.6). Es de notar que en

este caso la escala larga, y por tanto, el tiempo en el que cuen

tan los efectos de la fricción es T = £ t.

-III .13

Fig.III.l.-En la figura se muestra el efecto amortiguadoren la

distribución de presiones al principio de cada p e r í o

do para cierres lentos con Ley de cierre lineal,para

distintos valores del parámetro de fricción.

-III .14-

P max 1

L

(b)

ct/L

n = 2

6 = 2

Fig . 111.2.-(a) Evolución con el tiempo de residencia , pro efecto de la fricción,de la presión máxima en cada período en la s e c c i o n d e salida para valores típicos de n y 6 (b) Forma típica de la oscilación de la presión duran te un período desde el instante del cierre hasta el instante v t/L=.5.

e

-II1.15-

-v/v

.5..

.25..

p/pv c e

.5--

2 5"

v t/L=0

.5 x/L

Fig.III.3.- Evolución con el tiempo por efecto del amortiguamien

to por fricción de las distribuciones de velocidad y

presión en el conducto al principio de cada período.

CAPITULO IV

ANÁLISIS DE LA APERTURA DE VÁLVULAS

1

-IV. 1-

IV.1.- INTRODUCCIÓN

El movimiento del fluido durante la apertura de val

vulas puede describirse en forma simplificada, cuando el tiem

po de apertura es grande, por ejemplo, del orden del tiempo

de residencia, frente al tiempo de ida o vuelta de las ondas.

En este caso aparecen dos etapas bien diferenciadas.

En la primera etapa, cuya duración es del orden de

t , la velocidad apenas crece desde su valor inicial cero; sin o

embargo se generan ondas de presión de amplitud comparable, en

el caso de que la apertura sea lineal, a las variaciones de pre­

sión que aparecen en régimen estacionario.

Durante la segunda etapa, que dura un tiempo del or­

den del de residencia, t , la velocidad crece en la forma que

determinaría la teoría incompresible, hasta su valor estaciona

rio, mientras que la presión tiene oscilaciones, con período

2t , superpuestas a la presión dada por la solución incompresi

ble, que se han generado en la primera etapa.

Conviene señalar que las sobrepres iones o depresio­

nes generadas durante la apertura serán pequeñas, del orden de

2 p v , frente a los valores, del orden de p v c, que aparecen Ko c ' o c n r

durante el cierre.

En lo que sigue, nos ocuparemos en primer lugar de

la segunda etapa, que se analizará utilizando la técnica de es

calas múltiples (6, 1.4). En la Sección IV_.l se exponen los re­

sultados de la primera aproximación para la velocidad, que coin

cide con lo que daría la teoría incompresible. Las oscilaciones

en la presión y velocidad, consecuencia de los efectos de compre

sibilidad en esta segunda etapa, se tratan en IV.2. Finalmente,

el análisis de la primera etapa, necesario para generar las con

diciones iniciales de la segunda etapa, se expone en IV.3

-IV.2-

IV.2.- RESPUESTA CASI INCOMPRESIBLE EN LA APERTURA

Como ya hemos apuntado anteriormente, la velocidad

del líquido en el conducto durante la apertura varía desde

cero a v y se supondrá que el tiempo en el que tiene lugar la

apertura es del orden del tiempo característico de residen­

cia en el conducto.

Así pues podemos suponer para la velocidad y presión

unos desarrollos en potencias de e en la forma:

V = V ( x , t , T ) + £ v ( x , t , T ) + . . .

p = ep 1(x 5t,T)+e p (x,t,T) + ... , (IV.1)

donde t es el tiempo referido a t y representa la escala corta

y x el tiempo referido al tiempo de residencia t y representa

la escala larga. La relación entre estos tiempos viene dada

por x = et. El tiempo de apertura tiene lugar en esta escala lar

ga y también en ésta intervienen, durante la apertura, los efec_

tos de la fricción.

Las ecuaciones que gobiernan el movimiento son las

dadas por (I.7)-(I.9). Estas ecuaciones deben ser integradas

con la condición inicial dada por (II.7c).

Al llevar el desarrollo (IV.1) a las ecuaciones (1.7)-

(1.9) se obtiene en primera aproximación:-

3v = 0 9x

3v o = 0

lo que nos indica que v es sólo función de la variable T; y en

segunda aproximación obtenemos el sistema:

-IV.3-

3P- 3v1

+ -rr-=- = O at 9x

3v1 3p1

+

(IV.2)

o 1 ^ 2 dT 2 o at ax

con las condiciones de contorno

1 2 p„ =— (1-v ) anticipando que v > 0 , en x = 0 ^1 2 o 1 ^ o ( IV.3a)

y en x = 1 px = -~ en el supuesto de que

1 I v "a" pasa de cero a uno en (IV.3b) a ( T ) ' tiempos T del orden

unidad.

6 p = 0 si la apertura se realiza de forma (IV.3c) ins tantánea.

La velocidad v ( T ) se determina a partir del sistema o ^

anterior, pues al ser v función únicamente de T ,*' una solución

de (IV.2) para la presión es:

Pi = d Vo 1 ^ 2 ] 1 , , 2, ^ , ^ , _ _ + _ f V o X + _ ( 1 _ V Q ) + P i ( X s t s T ) , (IV.4)

% siendo p (x,t,i) la parte periódica de p..

Para que el desarrollo (IV.1) sea uniformemente váli­

do, sus términos deben ser periódicos en la escala corta t,

pues de no ser así, al cabo de un tiempo del orden de de la es_

cala larga el desarrollo divergería, ya que los términos corree

tores de la velocidad se harían tan importantes como v . El pe-^ o c

ríodo resultante para las oscilaciones en_ la escala corta es

durante la apertura t = 2. Llevando el valor de p. dado por

(IV.4) al sistema (IV.2) y (IV.3) y exigiendo la periodicidad

de p„ y v, se obtiene para;determinar v la ecuación dv

o dx 2 4Í-Í-V-) V ( IV. 5)

Para resolver esta ecuación se necesita conocer la ley de aper­

tura a(x). Una vez obtenida v ( T ) puede calcularse, por ejem-

-IV.4-

plo, la presión en la sección de salida

1-a (g) 2 ( IV.6)

Reescribiremos la ecuación (IV.5) utilizando o = t/t

como variable independiente y dando la ley de apertura en la

forma a =a a(a), siendo a el valor final de la relación de o o

áreas. Así se obtiene la ecuación:

j » ^ 2 , . , 2. , 2 dv ' _ a a -(l+4> a ) v ' da

(IV.7)

donde ó =T /a , 6 = fa y v' =v /a . a a o o J o o

Cuando a > 1 , esto es, cuando la apertura ya se ha

efectuado, a = 1 y la ecuación (IV.7) se reduce a

dv da =-f-li-U + *)v

c u v a s o l u c i ó n g e n e r a l e s

/ l + (j> L _ t h U1H {-^o+ C) + d> l

( I V . 8 )

estando C determinado por el valor de v' en o = 1. Para o > 1, la so

brepresión en la sección de salida sería nula si a = 1. o

Para que v1 represente la primera aproximación de la

velocidad durante toda la apertura, debe satisfacer la condi­

ción vf(0) =0. Aunque, acpesar del carácter singular de la ecua

ción (IV.7), es posible encontrar una solución de ella con la

condición v'(0) = 0, esta solución no representa bien la veloci_

dad para O << 1 o t 1, pues como se verá más adelante, en tan­

to que a(a) sea del orden de e y el tiempo que tarda en alcan­

zar ese valor sea del orden de t , la velocidad en primera

o/ y

aproximación, será función no sólo de t sino también de x.

-IV:. 5-

Cuando la apertura se efectúa de forma rápida, esto

es, cuando 6 << 1, la velocidad del fluido apenas varía mien-el

tras dura la apertura. La variación de la velocidad tiene lugar

en la postapertura en la que la variable temporal es ahora T;

la velocidad viene regida en este caso por:

v' =_J_th/l + * T

/ 1 + Cf) 2a (IV.8')

que es la forma límite de CIV.8).

Para poder obtener la solución (numérica) de (IV. 7)

se debe conocer su comportamiento analítico para valores o << 1.

Para estos valores de a las ecuaciones (IV.6) y ClV.7) toman,

en el supuesto de que (J) sea de orden unidad, la forma simplifi

cada ,

,2 A t ó 2 , 2 dv T _ __a_ a -v ' da " 2 2 a

v 1 o 2 * 2a

Si, como ocurrirá frecuentemente, la ley de apertura es poten­

cial, a =Aa con A del orden de la unidad, para o << 1, la ecua

ción para v' puede escribirse

dv d° 2A2

<5 .2 2n .2 a A a -vT

2n (IV. 7a)

cuya solución, con la condición v'(0) = 0 , tiene un comportamien

to para a <<1 que depende del valor de n." Para n = 1 y o << 1, vf

puede escribirse

v ' = v /a = m o , o o ' (IV.7b)

con m + 1 - 1 .

-IV. 6-

Para n = 2 y a << 1 ,

v v ' = — = Aa - 2A

(IV.7bf)

Las expresiones (. IV.7b-7bT) representan la solución de (IV.7)

para a < < 1 y n = 1 y 2 y pueden utilizarse a la hora de obtener

la solución numérica de (IV. 7) .

Los valores asociados de p para o << 1, son:

y

1 " 2 2A¿

n = 1 (IV.7c)

Pl ~~2 l 1 - — 0 4_A

a si n = 2 . (IV.7d)

Obsérvese que cuando n = l la presión cae bruscamente del va_

2 2 ^ lor 1/2 al valor m ./2.A , generándose unas ondas de expansión

que dan origen a fluctuaciones que se superponen a la solución

de (IV.7). En cambio, cuando n = 2, la presión varía gradual­

mente desde el valor inicial 1/2 por lo que, en primera apro­

ximación, no se generarán ondas de presión en tanto que la aper

tura se efectúe en un tiempo apreciablemente mayor que el de

ida o vuelta de las ondas; así pues, en este caso, n = 2, el flu

jo durante la apertura estará bien representado por la solución

de las ecuaciones (IV.7) como si el flujo fuese incompresi­

ble .

En las Figs. (IV.l) - (IV.2) están representadas, en

función de o la velocidad en el conducto y'la presión en la

sección de salida para diversos valores de los parámetros 6 y a

0 con leyes de apertura potenciales durante todo el proceso de

-IV.7-

apertura. En las figuras que presentan la presión puede verse

lo que se dijo anteriormente respecto a la caida brusca de la

presión para ¡n =1.

IV.3.- O S C I L A C I O N E S POR C O M P R E S I B I L I D A D EN LA APERTU R A

Vamos a analizar a continuación los efectos de compre

sibilidad en la apertura. Estos efectos de compresibilidad se

muestran como una corrección del flujo incompresible analizado

anteriormente y son fundamentales en la primera etapa de la

apertura cuando en un tiempo t, del orden de t , la relación

de áreas alcanza un valor del orden de e.

Comenzaremos por el primer caso. Si en las ecuacio­

nes (IV.2) y (IV.3) sustituímos el valor de la presión p dado

por (IV.4-), obtenemos para la segunda aproximación en la velo­

cidad y presión el sistema:

%

= o

con

9v1 3p

p „ =0 en x = Q

(IV.9)

P, = o en x = 1

que nos proporciona las oscilaciones de presión y velocidad.

La solución general de este sistema viene dada por dos funcio

nes de (. x , t, T ) en la forma:

V 1 = f( t-X,T ) + g( t + X,T)

p. = f(t-X,T) -g(t+X,T)

(IV.10)

-IV.8-

p y v deben de ser periódicas en la escala corta, pues de

-1 lo contrario, cuando t se hace del orden de e , estas corree

ciones pueden hacerse tan importantes como los términos de la

primera aproximación, como ya se dijo anteriormente. Así pues,

imponiendo la condición de que la solución (IV.10) es períodi

ca, con período 2 en t, la distribución de velocidades y pre­

sión al final de cada período pueden expresarse como funciones

de F y G que son los valores de f y g en t = 2n, de forma que

F y G dependen solo de ( X , T ) :

F ( X , T ) = f(2n-x,r)

(IV.11) G ( X , T ) = g(2n+x,x) .

Dentro de cada período existen unas distribuciones de veloci­

dad y presión, por zonas, que pueden describirse en función de

los valores de F y G. Estas distribuciones están dadas en el

Apéndice A.

Para determinar F y G, y por tanto la amortiguación

de las oscilaciones ( IV . 9) con el tiempo, es necesario acudir

a la siguiente aproximación del desarrollo (IV.1), lo que pro­

porciona, teniendo en cuenta (IV. 4 ) , el sistema:

5p2 9v 8p 3p

+ —-—y + v 3t dx o 3x 3T O

dv o 1 _ 2 d -T— + —fv +x-r-dx 2 o di

3p2 9V2

+ 9 vl 9 V1

dx ' 3t ="Vo31¡ 3T"" f Vo Vl'

dv o 1 _ 2 . -3 + — f V + V , di 2 o o dx

dv

( IV. 12)

con las condiciones de contorno:

x = 0 P 2

= " V o V l

y va

Po = °

- 1

si

en

o 1 si O < 1

O > 1 en x = 1

(IV.13a)

(IV.13b)

(IV.13c)

exigiendo que la solución p ,v , sea periódica en t de período 2

-IV.9-

Teniendo en cuenta que

dv o 1 ,. 2 1 + — f v =

dT 2 o 2 1 -

2 v -\

o

72J

podemos e l i m i n a r en (IV.12) los términos que dependen solo de T, escribiendo

2

V2 = V o

r v

l

d v A o i . ° I •_ x di

o

v2 J %

+ V 2 ( x 9 t , T ) ,

con lo que las ecuaciones (IV.12) se pueden escribir en la forma:

+ — — =-v 9t 9x o 9x 9T

3v^ 9p^ 9v„ 9v 2 ^2 1 1 , . + —-— = -v — K— - f v. v 9t 9x o 9x 9x o 1

( IV . 14 )

con = - V V 2 o 1

P2 = ( V ^

en x = 0

v v* o 1 SÍ O < 1

( IV . 15a)

( IV.15b)

p = 0 si a > 1 en x = 1 . ( IV.15c)

Escribiremos estas ecuaciones utilizando las variables caracte­

rísticas n = t - x, £ = t + x, con lo que se obtiene:

9(v2 + p 2) v(

H

3 ^ + ) 3(v 1 + p 1)l 1 3(v 1 + p 1 )

3C 9n 9T 1 .

" 2 f V o V l

(IV.16 )

3(v2-p2) v o f3(v 1-^ 1) 3(v 1-p 1) 1 1 9 ( v 1 ^ 1 ) 1

9n 2 3C 9n 9T - — "Fv v 2 o 1

P2 = -V0V! en S =

P2 = - 1 o 1 si a < 1

p = 0 si a > 1 en C - n = 2 .

(IV. 17a)

(IV.17b)

(IV.17c)

El exigir que v y p_ sean periódicas en t, de período 2, hace

que la contribución a la solución de los segundos miembros de

-IV.10-

estas ecuaciones así como la de las condiciones de contorno al

cabo de un período, sea nula. Operando para la apertura, de

forma análoga a como se muestra en el Apéndice para el cierre,

se obtiene el sistema:

3F(x,x) 3x

3G(x,x) 3x

= -v ^

va

1 T

+ 2 F(x,T)--f VQ V l

(IV.18)

= -Vo|-T + l] G ( x » T ) 4 f VoVl a ;

s iendo v (T ) = ( F ( £ , T ) +G(^,T))d^ la velocidad media espacial

al principio de cada período.

Dado que las funciones v y a aparecen como funciones

de a, referiremos el tiempo x al tiempo de apertura x , con lo 3.

que las ecuaciones (IV.18) quedan en la forma:

3F(x,a) a 2 + éa (a) . _, . 1 * x t ~ 3a = - — 2f , v^F(x,a)--6acf)v' v±

a ( a) (IV.19)

3G(x,a) a 2 + <ftq (o) , , . 1 , , — —T5 = " — 2, , V G ( x , a ) - ¥ i » V v

a (a)

Sumando y restando estas ecuaciones se obtiene las ecuaciones

que nos proporcionan la evolución con o de las perturbaciones

de la presión y velocidad, p (x,a), v (x,a), y el valor medio

espacial de la perturbación de la velocidad v (x,a), evaluadas

al principio de cada período:

1 ~ l + (f>q (a) 3a a 2, ,

a (a) v' v (IV.20a)

9 p l = _ ^ a 2 + <$>g2(o) , % 3a

3a

a (a) v p.

a 2 + cbot (a) . a , . — ___ 2_ v

T v — é v ' v. 2 2, . 1 2 y 1

a (a)

(IV.20b)

(IV.20c)

-IV.11-

Así pues, para describir la evolución de las distribuciones de

velocidad y presión, pueden utilizarse las ecuaciones (IV. 19)

junto con (IV.7) y (IV.20a), 6 bien las ecuaciones (IV.20) jun

to con (IV.7), tanto durante la apertura, O < 1, como después

de la apertura, o > 1, cuando a = 1 . Estas ecuaciones, en las que

x juega el papel de un parámetro, han de complementarse con unas

condiciones iniciales adecuadas a su carácter singular en 0=0.

Como ejemplo, daremos con detalle el caso en que para

O <<1 la ley de apertura pueda aproximarse por una ley lineal

a(o) = Aa con A de orden unidad. Cuando o << 1, el término de

fricción, supuesto (J) de orden unidad, no interviene en las ecua

clones (IV.19) y, de acuerdo con (IV.7b), éstas quedan:

do V F . 2 O

9_G 9a

¿ a m G

A2 °

cuya solución general puede escribirse en la forma

2

F = K1(x) O

G = K2(x) o

-6 m/A a

-ó m/A a

(IV.21)

y que representan también la forma de la solución de (IV.19)

para o << 1 .

Las condiciones iniciales de (IV.20) se obtienen di­

rectamente de (IV.21), resultando:

2

\ = f (K1(x) + K2(x)) d X O

-ó m/A a (IV.22a)

-IV.12

P l = (K1(x) - K2(x)] O

v = (K1(x) + K2(x)] o

-ó m/A a

-6 m/A a

(IV.22b)

( IV. 22c)

Las funciones K.(x) y K_(x) que aparecen en estas ecuaciones

como "constantes" de integración han de obtenerse con la condi­

ción de acoplamiento con la solución para la primera etapa que

se analiza a continuación.

La evaluación de la forma inicial de la solución pa

ra los casos en que para a << 1 la ley de apertura es potencial,

pero no linead, se hace análogamente.

En el caso particular de que 6 <<1, las- variaciones de

— a,

v1, v, v y p durante la apertura son pequeñas; las variaci*

nes importantes tienen lugar en la postapertura cuando a = 1 y

dependen de la variable x. En este caso límite 5 << 1, v' vie-a ' -

ne dada por (IV.8') y las ecuaciones (IV.20) toman la forma:

3 ln v„

.o -

3T ( 1 + <J>)

o

- _ 1 - v »

9 T 2a o dv

1 3T = - 2 ¡ r ( ( 2 + ( f > ) v i + <J> v i ) v

q u e j u n t o c o n ( I V . 8 T ) pueden i n t eg ra r se dando:

Vl ~ v i c / X^ ^ c h T ' ^

P l = p i o ( x ) < c h T ' )

V l = v i o ( x ) + v i o ( x ) t , ? r ( 2 + <|>?) . ( c h T ' ) - 1

^

( IV . 2 2 ' a )

( I V . 2 2 ' b )

( c h T ' ) ( í > ' ( I V . 2 2 ' c )

J h a b i e n d o l l a m a d o T f = T / l + (f)/2a y .<f> '= - ( 2 + cJ) ) / ( l + (j)) .

Hay que h a c e r n o t a r que l a s e x p r e s i o n e s ( I V . 2 0 ' ) e s t á n o b t e n i ­

das p a r a e l c a s o en que ó =0, y que p o r t a n t o , aunque s e a a d e l a n t a n d o re su l_

a tados que se obtendrán más adelante, v y p (x) son nulas para 6 =0 yaque

las oscilaciones de la velocidad para la apertura instantánea resulta ser en

- IV . 1 3 -

forma de "diente de sierra" cuya media es nula y la presión cae a cero ins­

tantáneamente. No obstante, en cuanto ó no sea nula, aunque sea muy peque

a —

— <\>

ña, v (x) y p (x) ya no serán nulas, pues las oscilaciones de la veloci­

dad ya no serán exactamente en forma de "diente de sierra" y la velocidad crece "más lenta" que con 6 = 0 .

IV,.4.-PRIMERA ETAPA, DE LA APERTURA

Nos ocuparemos finalmente de la primera etapa de la

apertura, en la cual para t 1 , podemos tener variaciones espa

ciales de velocidad y presión comparables a las temporales. Pa

ra describir el movimiento en esta etapa, no utilizaremos esca

las múltiples. Si durante esta etapa el área de salida es a % £ .

las velocidades resultantes serán del orden de e y también se­

rán de este mismo orden las presiones que se conservarán duran

te la apertura; nos ocuparemos a continuación de este caso lí­

mite distinguido. Así pues, escribiremos para t ^ l el desarro­

llo en potencias de £, para la velocidad y presión en la forma:

2 v = £v (x,t) + £ v ( x , t ) + ...

(IV.21) 2

p =£p(x,t) + £ p ( x , t) + ...

Llevando estos desarrollos a las ecuaciones (I.7)-(I.9) y que­

dándonos con el primer término del desarrollo obtenemos las

ecuaciones siguientes:

+ - -i- = 0 3t 3x

9v1 3p + —-L = o

(IV. 22)

9t 3x

1 pl = 2" e n X =

= 2 2 1

p = 7T v en x = 1 ,

2a

donde a = a ot(a) suponemos que es de orden £ para todo t 1 . La

condición inicial en t = 0 es p1 = 1/2, v. = 0. La solución gene-

-IV.14-

ral de este sistema viene dada por:

p 1 = f(t-x+1) - g(t+x-l)

v1 = f(t-x + 1) + gCt + x-1) .

De la condición de contorno en x = 0 obtenemos:

1 1 f ( t + 1) -g(t-l) =2- 9 9

f ("t) = j + g( t-2) para todot. (IV.23a)

De las condiciones iniciales:

~ = f(1-x) - g(x-l)

0 = f(1-x) + g(x-l) ,

de donde se obtiene aue

( t) =- - para -2 < t < 0 , ( IV . 23b)

y de la condición en x = 1 , junto con (IV.23a) obtenemos la ecua

ción en diferencias:

2 |+g(t-2)-g(t) = ~

2a | + g(t-2)+g(t) | 2. (IV.24a)

Esta ecuación, una vez conocida la ley de apertura a(cr), junto

con (IV.23b) nos determina g(t).

Si suponemos para la ley de apertura en los instantes

iniciales una forma potencial a (Cf) = A. a , la ecuación (IV. 24a)

toma la forma:

! + g(.t-2)-g(.t) = | ( | } 2 n [|+ g(t-2)+g(t)|2, (IV.24b)

, , r2n 2 n . 2 . 2 2 n - 2 , • j j donde o =T /a A £ ha de ser de orden unidad, para que

a o ^ n

a^£ cuando t ^ 1 . Aquí i es el tiempo de apertura referido al ^ a r

tiempo de residencia. Así pues, si la ley de apertura de la

válvula es lineal, n=l, cuando el tiempo de apertura es del or_

den del tiempo de residencia, se generan en los primeros instan

tes de la apertura (durante la ida y vuelta de las ondas) osci

-IV.15-

laciones de presión de intensidad comparable a las variaciones

de presión posteriores, que persisten durante toda la apertura;

estas oscilaciones tienen intensidad pequeña cuando ó << 1. Para

una ley de apertura cuadrática, n = 2, por ser ó 1 se obtiene

como consecuencia que las oscilaciones de presión serán impor- -

1/2 tantes si el tiempo de apertura es del orden de e veces el

tiempo de residencia.

La ecuación (IV.24-b) ha de resolverse numéricamente pa

ra valores dados del parámetro 6 y del exponente n. Nos ocupa­

remos especialmente del comportamiento de la solución para t>>l,

pues nos es necesario conocer este comportamiento-como condi­

ción inicial a la hora de describir el movimiento con la solu­

ción de las ecuaciones (IV.20). Como ejemplo trataremos el ca­

so lineal n = 1.

Como parte de la solución de (IV.23b) y (IV.24a) nos

interesa su comportamiento asintotico para t >> 1. Es de esperar,

si tenemos en cuenta los resultados del análisis de la segunda

etapa que, para t >> 1, esta solución sea casi periódica: inclu

yendo una parte no periódica asociada al comportamiento incom­

presible y otra casi periódica de período 2 y amplitud lentamen

te variable con t.

La solución asintótica de (IV.23b) y (IV.24a) para

t >> 1 describirá bien la solución del problema para los tiem­

pos intermedios de acoplamiento t << t << t , para los cuales

r r o r

los efectos de fricción no intervienen. Para la descripción

asintótica de g(t) para t >> 1, se utilizará el método de las es

calas múltiples, escribiendo g(t) como función de dos variables

temporales: t basada en la escala corta t , y t = t/t , donde

-IV.16-

t1 >> 1 es la escala temporal larga.

Daremos en detalle el análisis para el caso en que

en esta etapa la ley de apertura es lineal. Es fácil mostrar

que g(t) puede expresarse para t >>1 en la forma:

1 o,. -a -a g = 31Ct1t + l) - - + (t1t) y(t) + o(.t1u) ,

cuyo primer término corresponde a la teoría incompresible y

y(t) es una función periódica de período 2 en la escala corta.

En (IV.24b) interviene no sólo g(t) sino también g(t-2) que vie

ne dada por:

8.2 = 61(t1%-D- i +( t lb-«(l +^) Y_(t). t l t

2 2 2 2 2 2 Para n = 1, 6 = x /a A = ó /A y de la ecuación en diferencias

a o a

( IV.24b) obtenemos:

+ 1 - 1

2Ma a -

q u e d a n d o p a r a g ( t ) l a e x p r e s i ó n

= B j í t ^ + D - i t ( t ^ ) - 2 0 ^ / A 2

y ( t ) . ( I V . 2 6 )

Una vez obtenida g(t) numéricamente, de la ecuación en diferen

cias (IV.24b), y(t) se obtiene evaluando para t >> 1 la expre­

sión:

1 i 2 3l 6a/A 2

g ( t ) + £ - B1(t + D I t 1 a / A

que debe tender a la función periódica y(t).

De acuerdo con el desarrollo supuesto para la veloci-

-IV.17-

dad en la primera etapa (IV.21), aquélla en la sección de sali

da vendrá dada por:

v = e - + g(t-2) + g(t) ,

y haciendo uso de las expresiones asintóticas obtenidas, se pue

de reescribir en las variables de la segunda etapa en la forma:

v = e

2 2 . -23,6 /A

2 3 ^ 1 + 2 ( t 1 t ) X a y ( t )

= a o ó

-<5 m/A 2

+ 1 - 1 o + e 2 l ^ j

- ó m/A y ( t ) O a , ( I I I . 2 7 )

donde m está dada por (IV.7b).

Lia expresión (IV.27) tiene dos términos: el primero

coincide con el valor para o << 1 de la primera aproximación (in

compresible) de la velocidad (IV.7b); el segundo término debe

acoplar con la segunda aproximación del desarrollo (IV.1) y,

por lo tanto, debe proporcionar las condiciones iniciales de

las ecuaciones (IV.19) que determinan la evolución con o de las

pseudo amplitudes F y G o valores que caracterizan p y v al

principio de cada período, que para el caso de apertura lineal

que estamos analizando son las "constantes" K (x) y K (x) de

las ecuaciones (IV.21).

Sólo resta pasar de la evolución casi periódica de v

en la sección de salida a los valores de F(x,a) y G(x,o) antes

mencionados. La relación entre la velocidad en la sección de sa

lida, v.(l,t) y los valores de F y G al principio de cada perío_

do, viene dada por:

F(x,a) = i v (l9t) para 0 < t < 1

G(x,a) = - v ( l , t ) para. 1 < t < 2 .

-IV.18-

En la sección de salida se verifica la relación entre x y t

1 - x = t; luego, de acuerdo con (IV.21):

2

1 [ E j

-ó m/A Tal

a

K2(x) = ^^

-ó m/A a

Y(l-x)

y(x+l)

o x i.

Una vez conocidas K.(x) y K 9(x), se conocen las condiciones ini_

ciales de (IV.19) y de (IV.20) y, por lo tanto, pueden ser i n -

tegradas y conocerse asi la evolución de v y p con a.

Obsérvese que K y K vienen afectadas por el factor ó m/A2

e , por lo que durante la segunda etapa las oscilaciones

de presión y velocidad no son tan importantes como se había pre

visto, a menos que el tiempo característico de apertura sea cor

2 to en cuyo caso ó m/A <<1.

J a . *

En el caso de apertura casi instantánea, correspon­

diente a ó <<1, la expresión (IV.26) tiende a:

a ^

(t) = _2|4 +

4A

r 1 - l n t

2A2 y(t) , (IV.28a)

que en el caso límite de apertura instantánea (ó =0) se redu-a

ce a :

g(t) =±- + Y(.t) . (IV. 28b )

De (IV.2M-b), para apertura de la válvula lineal y ó =0, se ob-a

1 tiene que g(t) =—+g(t-2) y de la condición (IV.23) se deduce

fácilmente que para t >> 1, g(.t) puede ponerse como superposi­

ción de una recta y de una función en diente de sierra:

-IV.19-

Otro caso límite es el de la apertura lenta (6 >>1). 3.

En este caso la expresión queda en la forma:

g(t) = -^ (l-i)( t + l) - i + t( 1 - 6 )

Y(t) (IV. 29)

que nos dice que las oscilaciones se han amortiguado en la pri­

mera etapa lo suficiente como para que no haya oscilaciones en

la segunda etapa.

Hemos representado en la Fig. (IV.3a) la solución nu­

mérica de la ecuación (IV.24b) para n = 1 y ó /A de orden unidad. 3.

En ella podemos ver verificado lo que adelantábamos: que g(t)

se compone de una parte lineal y otra periódica amortiguada de

período 2. Si a g(t) le quitamos la parte lineal nos quedará

la parte periódica amortiguada representada en la figura (IV.3b)

y la función periódica Y(t) obtenida de (IV.27) se representa

en la Fig. (IV.3c). A partir de esta función se obtienen K (x)

y K 2(x).

La velocidad real en la sección "de salida, que se ob

tiene directamente de la ecuación (IV.24b) se muestra en las

Figs. (IV.M-b) y (IV. 5b), para dos valores del parámetro ó /A cL

que caracteriza la forma en cómo se realiza la apertura. Los va

lores elegidos para este parámetro son ó /A=%1, que caracteriza a * -i

una apertura muy rápida y 6 /A =1. Se observa en estas figuras

que la velocidad consta de una parte lineal, que corresponde a

la velocidad del régimen incompresible, y otra oscilatoria amor

-IV.20-

tiguada, representada en la parte (a) de estas figuras. Cuando

ó /A = 0.1 la amortiguación es muy lenta con t, según se despren ó 2

de de (IV.28a) ya que la variación de la amplitud es — ln t y es

2A

necesario esperar a valores de t muy grandes para tener una va­

riación apreciable en la amplitud de la oscilación de la veloci

dad. La forma; de esta oscilación se asemeja a la de "diente de

sierra" que es la forma de la oscilación de la velocidad cuando

la apertura se realiza de forma instantánea (6 = 0 ) . Para <5, /A=l ^ a a

hemos representado también en la Fig. (IV.6a), con línea a tra­

zos, la envolvente de la oscilación calculada a partir de la ex

presión asintótica (IV.26), ya que

v = | + g(.t-2) + g(t) = 2 3at + 2t"a y(t) ,

de donde se obtiene

v - 23xt = 2t a y(t) .

Para poder comparar la amortiguación de la velocidad según sea

la forma en que se realice la apertura, en la fig. (IV.6) se

representa su parte oscilatoria en el caso de apertura rápida,

ó /A = 0.1, en dos casos en que 5 /A es del orden de la unidad y a a

finalmente, en un caso correspondiente a una apertura lenta

(5 /A = 3) . Vemos que en este último caso la oscilación de la ve a ^ —

locidad se amortigua rápidamente ya en la primera etapa de modo

que en la segunda etapa, prácticamente no existen oscilaciones.

En la primera etapa, ya hemos visto que la presión

viene dada por:

p =f(t-x+l) -g(t+x-l) .

En una sección cualquiera del conducto x = b , con 0 < b < 1 , ven­

drá dada por

-IV.21-

p (b9t)=f(t+l-b)-g(t-l+b)

y de la condición (IV.23a),podremos expresar la presión en la sec­

ción x=b en la forma

p (b9t)=l/2 + g t-(l+b) -g t-(l-b)

En las figs.(IV.7) y (IV.8) presentamos la presión en la sec­

ción de salida (b=l) y en la sección b=0.5 respectivamente,para los

valores del parámetro ó /A correspondinetes a una apertura rápida a

(ó /A =.l),una apertura lenta (ó /A =3) y a dos intermedias, a a

Para valores de t>>l,la expresión asítótica de g(t) viene

dada por (IV.25) y,por tanto,la presión en la sección fijada puede

expresarse como

P1=l/2 - 2b31 + t"a +

t 1+a

+. . . .

ba/t 1+a

Y [t-(l + b)J -Y Ft-(l-b)]

Y Ft-(l+b)J +Y[t-(l-b)J

En la sección de salida ,b = 1 , al ser Y("t) una función periódica de

período 2,1a parte oscilatoria amortiguada es:

2a Y(t) .

1+a

La amortiguación, puede verse,es muy fuerte de forma que práctica­

mente no existen oscilaciones en la segunda etapa, alcanzándose en

2 2 2 seguida el valor 1/2 -2$ =2(3„<5 /A correspondiente a la solución de

l i a

la aproximación incompresible para t >>1 dada por (IV.7c).

En otras secciones del conducto,las oscilaciones decaen co-

-a .» mo t .Por ejemplo en b=.5,la presión para t >>1 vendrá dada por

P 1 = I / 2 - e 1 + t ' •a Y(t-1.5)-Y(t- .5) + . . . .

que señala cómo la presión tiene una parte oscilatoria caracteriza­

da por la función periódica de período 2 , Y(t-1.5)-Y(t-.5),

-IV.22-

que puede obtenerse a partir de la y(t) representada en la Fig.

— a (IV.4c), con amplitud que decae como t . La envolvente de esta

oscilación, para el caso 6 /A = 1 , está representada con línea cL

de trazos en la Fig. (IV.8). Para el valor ó /A = 0.1 se obtie-EL

ne una onda casi cuadrada como era de esperar, ya que este va­

lor del parámetro corresponde a una apertura muy rápida. En el

caso de apertura lenta, a puede expresarse como a - 6-1 + 7-?- + . . .

de modo que la amortiguación es muy fuerte y la presión cae rá­

pidamente al valor correspondiente a la solución incompresible

para O << 1; la evolución posterior hacia el valor correspondí en

te al régimen estacionario, una vez abierta totalmente la válvu

la, viene gobernada por la solución incompresible.

-IV. 23-

Fig.IV.l.- (a,b,c) Evolución según la teoría incompresible de la velocidad

en el conducto para ley de apertura lineal y diversos valores del tiempo adimensional de apertura <5 y del parámetro de fricción $

¡ a \

'i

- I V . 2 4 -

F i g . I V . - l ( c )

-IV.25-

p/2fgH

.5 "

25

p/2fgH

.75 1 t/t

Fig. IV.2.- Evolución según la teoría incompresible de la pre­sión en la sección de salida para ley de apertura lineal para diversos valores del tiempo adimensio-nal de apertura 5 y del parámetro de fricción <j> .

a

-IV.26-

Fig.IV.3.- Parte oscilatoria (a) y parte periódica (c) de la función g(t El período de la parte oscilatoria es t/t = 2.

-IV.27-

Fig. IV.4.- (a) Parte oscilatoria de la velocidad y (b) velocidad real en la sección de salida en los primeros instantes de la apertura de una válvula para ley de apertura li-

-IV.28-

Fig.lV.5 •- (a) Parte oscilatoria de la velocidad y (b) velocidad real en la sección de salida en los primeros instantes de la apertura de una válvula para ley de apertura li-

-IV.'29-

- . 2 5 . .

. 5

. 2 5 - .

- . 2 5 . .

-5-P

. 2 5 . .

- . 2 5 - .

• \ c t / i YYVWWvx

! / • > • "\7 "cTE/L

F i g . I V . 6 . - Parte oscilatoria de la velocidad en la sección de SJI lida en los primeros instantes de la apertura de una válvula para ley de cierre lineal, para los valores del tiempo de apertura: (a) 6 = .1; (b) <5 = .5;

(c) 5 = 1 ; (d) 6 = 3 . a a

- I V . 3 o -

2pÍT.

. 25 -"

. 5

.25 4-

. 25

H 1 1 1 h

( a )

H 1 1 H t/\

( b )

S f 1 1 ( ^ _ j .__, | t / t

C )

j y 1~ f , l_ j _+ H t ^ o

(d-)

^ H H j h 1_ 1 i , , t /1Q

Fig. IV.7.-* Presión en la sección de salida en los primeros ins­tantes de la apertura para diversos valores del tiem po adimensional de apertura (a) 6 =.1; (b)

(c) 6 = 1 ; a

(d) 6 = 3 . a

6 =.1 ; a 6 = . 5; a

-IV.31-

Fig.IV.8.-Presión en la sección x=.5 en los primeros instantes de

la apertura para diversos valores del tiempo adimensio-

nal de apertura (a) $ =.l;(b) £ =.5; (c) & = 1; _

(d) S = 3 . a

Elperíodo de la oscilación es t/t = 2. o

CAPITULO V

ROTURA DE COLUMNA POR EFECTO DEL GOLPE DE ARIETE

-V. 1-

V.I.- INTRODUCCIÓN

Cuando se cierra la válvula de un conducto por el que

descarga un líquido para frenarlo bruscamente se originan prime

ro sobrepresiones y luego depresiones que podrán dar lugares a

valores de la presión inferiores al valor de la presión de va­

por del líquido en algún punto del conducto; se genera así una

columna de vapor, fenómeno que se denomina "rotura de columna".

El proceso del cierre ya se ha analizado en la Sección II en la

hipótesis de que no hay rotura de columna; ahora, a la vista de

los resultados allí expuestos vamos a analizar la rotura de co­

lumna. El mismo fenómeno de rotura de columna se produce cuando

se cierra una válvula colocada a la entrada del conducto. El

análisis de este proceso que vamos a presentar es para el caso

en que la válvula está a la salida.

Para velocidades iniciales altas las ondas de expan­

sión originadas después de la reflexión en el depósito de las

ondas de compresión iniciales, no pueden ser tan intensas como

para impedir un flujo negativo en la válvula sin la aparición

de presiones negativas o inferiores a la presión de vapor. La

intensidad de la onda de expansión que arranca de la válvula es

sólo la necesaria, como veremos en el Apéndice B, para dejar

al fluido tras ella a la presión de vapor y por lo tanto con

una velocidad no nula hacia el depósito con lo cual se genera

la cavidad en la válvula.

La columna líquida que queda detrás de la onda va sien

do frenada por las fuerzas de fricción tanto más en cada sec­

ción cuanto más tiempo haya transcurrido desde el paso de la

onda. Por ello las capas fluidas más próximas a la válvula se

-V.2-.

retrasan respecto a las cercanas a la onda y el principio de

conservación de la masa para el líquido exige la aparición de

burbujas en el seno de éste, a lo largo del conducto, en propor

ción creciente con el tiempo hasta que este proceso queda in­

terrumpido con la llegada de la onda de compresión que viene

del depósito. Como se muestra en el Apéndice, el volumen de bur

bujas generado es tan pequeño que no afecta apreciablemente a

la velocidad de propagación de las ondas ni a la intensidad de

la onda de compresión reflejada.

Empezaremos nuestro análisis por el caso en que las

velocidades iniciales, v , en el conducto son tales que las de

presiones respecto a la presión del depósito, que se generan

posteriormente al cierre de la válvula, del orden de p cv , o 1

sean también del orden de p gH con lo que puede aparecer rotu­

ra de columna. Para ello el área inicial en la válvulo, A (0)= s

A a , debe ser tal que a sea del orden de e. El caso en que o o o ^

a es de orden unidad se analiza posteriormente, o ^

VI.2.- ANÁLISIS DE LA ROTURA DE COLUMNA CUANDO LA RELACIÓN INI­

CIAL DE CIERRE a 0 ES DE ORDEN e.

El análisis del cierre para valores de a o» e fue he­

cho en la Sección II.2.2, en el supuesto de que no hay rotura

de columna. La presión dimensional, p, en una sección cualquie

ra aparece determinada en función de g(6) "por la expresión:

p = p -p gZ(x)+2p gH a. \w> O

- + g(e-i-x) --g(e+x-i) (V.l)

La presión en la sección de salida, x = 1 , antes de la válvula es

(V.2) PS = P a

+ 2 P 0g H l + g ( e ~ 2 ) " g ( 9 )

-V.3-

en tanto que la velocidad en la misma sección es

% v//2gH = n + g(.e-2) + g(0) (V.3)

'XJ

donde r\ es v //2gH, la velocidad adimensional antes del cierre

de la válvula; n =a /e =a c//2gH es del orden unidad y caracte ' o o o to J —

riza también el área inicial de salida de la válvula.

La función g(6) queda determinada por la relación

2 I + g ( e - 2 ) - g ( e ) = 2 n ( T ) n 0 + g ( e - 2 ) + g ( e ) (V.1+)

obtenida al hacer cumplir la ecuación de Bernoulli a través de

la válvula, n ( T) es el área adimensional de salida de la válvii

la II(T) =a(i)/E.

Si elegimos el instante de cierre como origen de tiem

pos, n = 0 para 9 > 0 , con lo que

g(0)=-ri -g(B-2) para 9 > 0 . (V.5)

El cierre se inicia en 0 = -t , con lo que g(9) 5 0 pa_

ra 9 <-t es la condición inicial Dará (V.4) que determina g(9). c

Sólo aparecerá cavitación si el valor mínimo de p da­

do por (V.l) resulta ser menor que la presión de vapor del líqui

do p' en alguna sección del conducto. Dada la ley de cierre ca­

racterizada Dor n, , t y su forma de realizarlo, la cavitación o c

sólo se producirá si r\ , esto es, la velo.cidad inicial supera f o

un valor crítico n. . A la vista de (V.l) el lugar donde aüare-o c

cera la rotura de columna dependerá de la geometría de la línea

media del conducto a través de z(x). (Si el conducto es horizon

tal o con z creciente con x la cavidad se Dresenta en la sec­

ción de salida). En la Fig. (V.l) se representa la presión mí­

nima que como consecuencia de las oscilaciones de presión debi­

das al cierre se presenta en la sección de salida, igualmente se

-V. li­

naria en cualquier otra sección a partir de (V.l), (V.4) y

(V.5), en función de la velocidad inicial en el conducto para

distintos valores del tiempo de cierre y para leyes de cierre

lineal y cuadrático. Vemos que para un valor dado de la presión

de vapor existe una velocidad inicial crítica por debajo de la

cual no se produce cavitación.

Con frecuencia, como supondremos a continuación, el

valor (p'-p )/2p gH es muy pequeño frente a la unidad, por lo

que la velocidad crítica n se calcula escribiendo (D -p )/ 'min

2p gH = 0. Para el cierre instantáneo que analizamos a continua

ción con detalle, el valor crítico de la velocidad inicial es

n. = 0.5. Los resultados se recogen en las Figs . (V.2) y (V.3)

donde se dan los valores adimensionales de la presión y veloci­

dad, p y v , en las distintas regiones del diagrama x,t.

Para valores de n. superiores al crítico tales que

1

r¡ -0.5 = y con 0 < y < —, observamos que se forma, en el instan­

te 6 = 2 , una cavidad cuya superficie libre tiene una velocidad

dirigida hacia el depósito, con valor adimensional igual a y.

El tamaño de la cavidad es ey(0-2), pequeño, y va aumentando con

el tiempo hasta que la onda de compresión reflejada modifica la

velocidad de la entrefase, pues esta onda que deja tras sí el

fluido moviéndose hacia la salida, al llegar a la entrefase con

la cavidad se refleja como una onda de expansión, la cual deja a

la entrefase moviéndose hacia la válvula, -por lo que la cavi­

dad colapsa tanto más rápidamente cuanto menor sea y. Con el

colapso de la cavidad se generan ondas de compresión con sobre

presiones que alcanzan valores p = 2-y, superiores a las del 1máx

golpe de ariete p. = 1+y. En particular para y << 1 las sobrepre 1 c

-V. 5-

siones llegan a alcanzar, aunque durante un tiempo muy corto,

un valor doble que las originadas por el golpe de ariete.

Podemos observar en las Figs. (V.2a) y ( V . 2b ) que des

1 pues del colapso de la primera cavidad se forman, para y < —, a

lo largo del tiempo pequeñas cavidades que colapsan sin origi­

nar sobrepres iones superiores; a las originadas por la primera

cavidad formada en la sección de salida.

En la Fig. (V.3) se representan los resultados para

valores de f) = 1+y con 0 < y < 0 . 5 . En este caso la primera onda

de compresión reflejada no es suficientemente fuerte para cam­

biar el sentido del movimiento de la entrefase; el tiempo de vi

da de la cavidad es ahora superior a M- .

Los resultados son análogos para valores de r) mayo-o

res, pudiéndose generalizar esto para dar como presiones máxi­

mas la expresión, recogida en el gráfico adjunto, n+3

con y = n. -77» siendo n entero positivo y 0 < y < — o ¿ Z

(V.6)

i <-

En los valores de y = 0.5, la cavidad que se origina

es simétrica y el tiempo de su existencia crece con el valor

de la velocidad inicial en la forma t = 4n. t , así pues cuando o o ^

-V.6-

cuando el valor de n, es de orden £ , t se hace del orden de o

t y entran en juego las fuerzas de fricción, sin embargo el

movimiento de la columna líquida puede analizarse como casi in

compresible, esto es, los efectos de la compresibilidad sólo

van a intervenir en los instantes en que colapse la cavidad,

mientras que la dinámica de la entrefase va a venir gobernada

por el flujo incompresible de la columna líquida. Este análisis

es el que realizamos a continuación.

V.3.- ANÁLISIS DE LA ROTURA DE COLUMNA PARA VELOCIDADES INICIA­

LES ALTAS

Cuando la velocidad inicial del líquido que circula

por un conducto es alta, como sucede cuando la relación inicial

de áreas, a =A (0)/A es de orden unidad, las ondas de expan-' o s o

sión que llegan a la sección de la válvula (ondas originadas por

reflexión de las ondas de compresión que se producen al cerrar

bruscamente la válvula en que termina el conducto) y que dejan

detrás de sí al fluido moviéndose hacia el depósito de alimenta

ción, se reflejan en la válvula para impedir el flujo negativo

del fluido en esta sección; ésto sólo se conseguiría si la pre­

sión pudiese tomar valores negativos. Como esto no sucede, la

intensidad de esta onda de expansión reflejada en la sección de

la válvula será la necesaria para dejar al líquido a su presión

de vapor rompiéndose la columna y formándose una cavidad.

En la Sección II.2.1 se analizó el cierre partiendo

de áreas de salida A (0) del orden de los del conducto, de for-s

ma que a =A (0)/A es de orden unidad, y en el supuesto de que o s o J r

el líquido aguantaba presiones negativas. Como ejemplo de los

-V. 7-

resultados obtenidos, en las Figs. (V.3) y (V.4) se muestra có

mo evoluciona con el tiempo la presión (que es de orden p v c) o c

en la sección de salida (con trazo continuo) y en la sección

x =0.5 (con línea a trazos). El análisis hecho en II.2.1 es vá

lido hasta que en algún punto la presión obtenida se hace nega tiva. (Nótese que la presión de vapor p << p v c). Es de obser ^ c ^ *v o c —

var que para valores de 6 ligeramente superiores a 1, se alcan­

za casi simultáneamente el valor p = 0 en todas las secciones

por lo que, a partir de ese innstante t , no es válido el aná­

lisis anterior. Para analizar la evolución posterior del flujo

hemos de tener en cuenta la existencia en el instante t ae una v

velocidad negativa v(x) en el conducto con valores máximos en

la sección de entrada. Esto conduce para t > t a la aparición ^ v

r

<\, de burbujas a lo largo del conducto junto con la condición p -

p . El estudio de la dinámica del flujo con dos fases generado

para estes valores de ó se deja para un trabajo posterior a es­

ta tesis .

Nos ocuparemos aquí del análisis de la rotura de co­

lumna en el caso de cierre instantáneo, o bien para valores de

5 << 1. En este caso la presión negativa, y con ello la rotura

de columna, aparecería en la sección de la válvula cuando la on

da de expansión procedente del depósito, que ha dejado todo el

fluido a la presión de éste, (presión que aparece como nula en

este análisis pues es pequeña frente a p v~ c) alcanza la sec-^ ^ u o c

ción de la válvula.

Esta onda que ha dejado al fluido moviéndose hacia el

depósito con la velocidad inicial v no va seguida de una nueva 1 o °

onda de expansión puesto que suponemos que el líquido no aguan-

-V. 8-

ta presiones negativas y por lo'tanto se rompe la columna en la

sección de salida. Aquí aparece una cavidad cuya entrefase se

mueve hacia el deposito con la velocidad v . (Nótese que en el

o ^

cierre instantáneo esta velocidad es la velocidad del fluido co­

rrespondiente al régimen estacionario v ). e

En la dinámica posterior del flujo, los tiempos carac

terísticos son del orden del de residencia, por lo que en tanto

haya cavidad podemos considerar el flujo como incompresible.

Supondremos, para simplificar el análisis de la evolu

ción de la cavidad, que el conducto es horizontal y admitiremos

que la entrefase líquido-cavidad está localizada en una sección

x (t), de orden unidad, despreciando los efectos gravitatorios

que extenderían la entrefase en una zona que suponemos pequeña

frente a la longitud del conducto.

Las ecuaciones que gobiernan el movimiento de la colum

na líquida son:

dx dt = v

fdv X 2 . P a - P V

+ P S H = P d T " 2 D V X s S 1 V < °

( V . 7 )

( V . 8 a )

P a " P„ + PgH = P ci V

^ + — v 2 x + I p v2 s i v > 0 ( V . 8 b ) d t 2D j s z

donde (V.8) se ha obtenido integrando la ecuación de cantidad

de movimiento entre las secciones de entrada y la cavidad. Aquí

v(t) es la velocidad del líquido igual a la de la entrefase con

la cavidad. El origen de coordenadas x se toma, como antes, én

la entrada del conducto.

Estas ecuaciones se complementan con las condiciones

iniciales:

x = L, v = -v en t = 0 . (V.9)

s o

-V.9-

que nos indican que la cavidad se forma en la sección de salida

y que la velocidad inicial de la columna es aquella con la que

deja moviéndose al líquido la onda de expansión que origino la

cavidad. Nótese que estas ecuaciones no admiten condiciones ini

ciales para la presión de manera que superpuestas a las presio­

nes que da esta solución incompresible pueden existir oscilacio

nes de presión que no describiremos aquí.

Para dar los resultados en forma general, reescribire

mos las ecuaciones (V.7) a (V.9) en las variables adimensionales

£ = x/L , t1 = v t o ' L

U = V / I V ir' = Pa-Pv+pgH

Pv,

Con estas variables, las ecuaciones anteriores pueden expresar­

se en la forma

_1L-dt

= u

si u < 0 IdF" " 2 fu H - *

( du 1 _ 2^ r 1 2

(V.10)

(V.lia)

(V.11b )

tf = 0 , £ =1 , u =-1 9

donde además del parámetro de cavitación ir interviene el parame

tro f = AL/D que presenta la fricción del conducto.

El movimiento viene gobernado por las ecuaciones (V.10)

(V.lla) y (V.llb) hasta el instante t' =t' en el que la superfi-

cié libre del líquido tiene velocidad nula y la cavidad ha alean

zado su tamaño máximo (u = 0 , f = £ ). Apartir de ese instante son

^ m r

las ecuaciones (V.10) y (V.llb) las que describen el movimiento.

Las condiciones iniciales para esta segunda etapa del movimien­

to son u = 0, £ = E , en tf = t' . Esta segunda etapa dura hasta el

m R instante en que colapsa la cavidad, tf = t' por ser £ = 1. En es-

-V.10-

te instante la velocidad es u que es la velocidad del líquido

en el instante en que colapse la cavidad. En el colapso de la

cavidad aparece una onda de compresión con una sobrepresión

p = pu |v |c para frenar el líquido en el conducto y se inicia un

proceso análogo al del cierre.

Nuestro objetivo es calcular el tamaño de la cavidad,

£ , y la velocidad con que ésta colapsa, u . Tanto el tamaño co ^m' J ^ ^ ' c —

mo la velocidad de colapso dependen de los parámetros ir y f. El

valor resultante de u <1 determina las sobrepresiones del gol­

pe de ariete en el colapso de la cavidad.

El tamaño de la cavidad lo obtenemos a partir de las

ecuaciones (V.IO), (V.lla) y la condición inicial (V.12), pues

si dividimos (V.lla) por (V.IO), obtenemos:

du g 2

áE, u

ecuación que con la condición u = -1 en E, = 1 nos proporciona la

velocidad como función de E,

2 0 íe"f , ) - e

u = 2 \—z— + 77'

1 í d£ e f£

cuando £ = £ , u = 0, luego

'f t, -z m e , e dz =

f

-f

7T'

donde hemos puesto f£ = z. Esta expresión se puede poner en la

forma

-f E, (f) - E. (f£ ) =- -1 1 m TT'

(V.13)

expresión que nos permite calcular E, . La velocidad con que co­

lapsa la cavidad la obtenemos a partir de las ecuaciones (V.IO)

y (V.llb). Las condiciones iniciales para estas ecuaciones son

-V.ll-

E = £ , u = 0: obtenemos así para la velocidad de regreso hacia m °

la válvula de la entrefase

2 2TT' u =n 1- e ^ ^m '

J -En el instante del colapso de la cavidad E, = 1 y u = u , obtenién

dose

u 2TT' (

1- e -fa-^h U/2 'm (V.14)

Para valores extremos del parámetro de fricción, f << 1 6 f >> 1 ,

podemos obtener expresiones asintoticas de (V.13) y (V.14). En

efecto, cuando el argumento z de E (z) es mucho menor que la

unidad, podemos desarrollar E (z) en la forma:

2 E 1 ( z ) = - y - l n z + z - -2 , + . .

y obtenemos, cuando f << 1 :

E. (f) - E. (f£ ) = ln E, . 1 1 m ^m

Por otra parte e~ =l-f si f << 1, y de (V.13):

-1/27T' K = e m

y de (V.14)

u = /2TÍ'(1-C ) . c ^m

(V.15)

( V . 1 6 )

1 2 Si TI" >> 1 , esto es, si p + p g H > > p + r pv , la cavidad ra p ^ v 2 K o

se desplaza poco, pues E, puede ponerse, a partir de la expre­

sión (V.15) para valores de TT;>> 1, como

^m 271" '

y la cavidad colapsara con una velocidad prácticamente igual en

modulo a la que la onda de expansión dejo a la columna líquida

al romper la columna.

-V.12-

Si 7Í'<<1, E, -> O , esto es, la cavidad llega a ocupar m

todo el conducto y la velocidad con que colapsa viene dada por

u = /*2TT . c

En el otro caso límite, f >> 1, la expresión (V.13)

puede escribirse

-f -f

M f £ ) =^w + e '1 ^m 2TT' f

- z pues E„ ( z ) = fl ^ 1 z v z

1 z + — + . . . ) si z > > l . Al ser f » 1 , E1(fCm) z '1 sm

toma valores muy pequeños, lo que exige que ( f E, ) >> 1 pudiendo,

por tanto, poner:

-fE, , ,

m -f -f e _ e e ~¥l ~27T + ~f~~

m o b t e n i e n d o p a r a E l a e x p r e s i ó n r ^m ^

f ( 1 - C ) = l n l + ~ m I 2TTJ

y para la velociad con que colapsa la cavidad

1 / 2

( V . 1 7 )

u = c

27T;/f 2TT

( V . 1 8 )

S i TT < < 1 , l a s e x p r e s i o n e s a n t e r i o r e s ( V . 1 7 ) y ( V . 1 8 ) s e r e d u ­

c e n a :

r 1 i f

^m f 2TT

^^"^l 1 / 2

En el caso en que el parámetro de fricción, f, sea de orden uni_

dad, la solución hay que obtenerla numéricamente.

En las Figs. (V.6), (V.7) y (V.8) se presentan para

tres valores típicos del parámetro de fricción, el tiempo de

existencia de la cavidad, el tamaño máximo de ésta y la veloci

-V.13-

dad con que colapsa como funciones del parámetro TT ' .

En la Fig. (V.3) se comparan los resultados obteni­

dos analíticamente con los obtenidos experimentalmente por Wey-

ler et al. (26). Las condiciones para la experimentación reali­

zada por estos autores son:

velocidad inicial del líquido: v.=1.28881 m/s i

velocidad de propagación de las ondas c=1343 m/s

longitud del conducto L=28 m

diámetro del conducto D=8 mm

El material del conducto es cobre; obtenemos para es

tos datos los valores de los parámetros f = 110, JT ' = 117 para

la primera cavidad y f = 120, TT ' = 144 para la segunda. Como pue

de observarse los valores de las sobrepresiones generadas al

colapsar las cavidades coinciden prácticamente. La pequeña di­

ferencia entre el tiempo de vida de la primera cavidad genera­

da es 0.33 según los cálculos frente al valor 0.307 medido y,

al igual que las diferencias más grandes posteriores, pueden

adscribirse a varias causas ligadas al hecho de que el experi­

mento ha sido realizado en condiciones tales que el tiempo de

vida de la cavidad es sólo 8 veces superior al tiempo de ida

y vuelta de las ondas, la primera, y más.reducido para las si­

guientes. En primer lugar es de esperar que las correcciones

necesarias a la aproximación incompresible sean proporcionales

a la relación entre el tiempo de vida de la cavidad o el tiem­

po de propagación de las ondas. En segundo^lugar, siendo tan

corto el tiempo de vida de la cavidad puede haber diferencias

entre el valor del coeficiente de fricción utilizado y el verdadero

que puede estar afectado por efectos no estacionarios.

-V .14-

Fig.V. J . - r'resion n y; ra me tro

nina en ia sección de salida en función del a velocidad inicial es H e n c 1 c a s o o n n u o 1

o , . , . , -quena, par a di verrón valoror (¡el tiempo de cierre -. v de cierre lino a .1 .

- V . 1 5 -

*-r

&+t

> i + h

H

>*b

1-1

I-I

y*

i-t-

9t~t

Yi

I I I

\

o 2-f.

\

Fig. V.2.- Evolución de la cavidad cuando la veloci

dad inicial es pequeña para n = 0 . 5 + u •

-V.16-

m

Y i p, . V. 3 . - evolución de la cavidad cuando la veloci­

dad inicial es pequeña para n = i + p .

-V.17-

p/pvec 1 n

5 -

Fie. V.4.- Sobrepresiones, referidas a la presión de golpe de ariete, en fun­ción del tiemDo, medido desde el instante del cierre, en la sección de salida y en la sección x= .5,, para lev de cierre lineal.'

. 1 f í -

Fig. V.5.- Sobrepresiones referidas a la del golpe de ariete en función del tiempo medido desde el instante del cierre, en la sección de sa­lida y en la sección x= .5 para ley de cierre cuadrática.

-V.19-

l f t

2«-

f = 10

1 T

~h ' /( / ( 1 -í f )

Fig. V.6.- Tiempo de vida de la cavidad en función del parámetro TT ', para di­versos valores del parámetro de fricción.

-V.20-

(i+f)d-? ) iooi

10 "-

10 - í

X \ \

v

~1

,~0 lu

i n2 Tr'/(l+f)

Fig. V.7.- Tamaño máximo de la cavidad para diversos valores del parámetro de fricción, f, en función del parámetro ir'.

-V.21-

r

• 6 1—.. ,,.. O

H 10 10 10 10

1--

m -1 TT'/(l + f)

10 10- 10£

Fig.V;S.- Velocidad de colapso de la cavi-dad, para diversos valores del pará­metro ¿e fricción f, en función del parámetro TT ' .

Feet GÍ Y/oler (absolule} Scol9:60 f ^e t /üno

r *

>

CAPITULO VI

CONCLUSIONES

-VI .1-

VI.1.- CONCLUSIONES Y RESULTADOS

En esta Tesis se han utilizado métodos de perturba­

ciones y de escalas múltiples para analizar las oscilaciones

de presión y velocidad en conductos asociadas al cierre o aper

tura de válvulas. Estos métodos son, sin embargo, aplicables

al estudio de oscilaciones en sistemas hidráulicos más genera­

les .

En el Capítulo I se han escrito las ecuaciones y con

diciones de contorno e iniciales que describen el flujo de un

líquido desde un deposito a través de un conducto de sección

originalmente constante, A , que termina en una ..boquilla o una

válvula, de sección de salida A , variable con el tiempo. Al

escribir estas ecuaciones en variables adimensionales, Ees.

(I.7)-(I.9) aparecen los parámetros:

a =A (0)/A : relación entre el área de la sección inicial o s o

de salida de la válvula y la del conducto,

e: que relaciona la velocidad v^gH y la velocidad

de propagación de las ondas, c; también es la

relación entre el tiempo de propagación de las

ondas, L/c, y el tiempo característico de re­

sidencia, L//2gH.

f = AL/D: parámetro que relaciona el coeficiente de fric_

ción del conducto y las características geomé­

tricas del mismo,

a los que deben añadirse la relación entre el tiempo de cierre

o apertura de la válvula y el tiempo de ida o vuelta de las on­

das .

Los transitorios asociados al cierre de una válvula,

se han analizado en el Capítulo II. La forma de los transito-

-VI.2-

rios esta muy directamente determinada por los valores de a ,

£, t /t 6 t /t y f. Por ser el parámetro £ en la mayoría de c o a o J * J

los casos prácticos £ << 1, se ha utilizado este hecho como ba

se para los análisis llevados a cabo en la Tesis. El parámetro

f se ha supuesto, en general, de orden unidad. En cuanto a los valores de a se han considerado dos casos distinguidos: a del

o & o

orden de la unidad, 6 a << 1, del orden de £ 6 / E según los ca ' o & —

sos. La forma de la respuesta es también muy sensible a la du­

ración t 6 t del cierre o apertura de la válvula; para valo-

c a

res suficientemente grande de estos tiempos, se puede utilizar

la aproximación de flujo incompresible en el análisis de los

transitorios, al igual que en el análisis de las oscilaciones

en masa, que fue abordado también con técnicas de escalas múl­

tiples en la Tesis de I. Parra C29).

Como consecuencia, para valores pequeños del pará­

metro 6 se retienen los efectos de compresibilidad en la últi

c ^ —

ma etapa del cierre que se puede caracterizar, cuando la ley

de cierre se puede aproximar en esta etapa por una ley poten­

cia, por dos parámetros, el exponente n de la ley de cierre y

un parámetro 6.

Los resultados se resumen en las Figs. (II. 2) y (II.3)

que muestran la presión en la sección de salida y su valor má­

ximo en función de 5. En el análisis aparecen como desprecia­

bles en primera aproximación los efectos de fricción y por ello

el movimiento es periódico después del cierre.

El otro caso analizado es el correspondiente a áreas

iniciales de salida pequeñas, tales que a ^ £ . En este caso,

los efectos de compresibilidad intervienen desde el primer mo-

-VI.3-

mento si el tiempo de cierre es del orden de t . Aparece el pa

rámetro n =a /e que es el utilizado por Allievi, que conside-o o

ró cierres con área de salida que se reduce linealmente con el

tiempo. También en este caso los resultados que se presentan

en la Fig. (11.4) son para leyes de cierre potenciales, aun­

que la formulación es general.

En el Capítulo III se ha hecho uso de la técnica de

escalas múltiples para analizar el amortiguamiento por fric­

ción de las oscilaciones generadas en el cierre. Las oscilacio

nes observadas durante tiempos del orden del de ida y vuelta

de las ondas aparecen como periódicas de período. M-t (t : tiem ^ ^ ^ o o —

po de ida o vuelta de las ondas). Sin embargo, las distribucio_

ns de presión y velocidad que se observan al principio de cada

período van modificándose lentamente con el tiempo como conse­

cuencia de la fricción que atenúa las oscilaciones en tiempos

del orden de t >> t . r o

Para describir la evolución lenta de la distribución

de presión y velocida al principio de cada período, proporcio­

nales a (F-G) y (F + G) respectivamente, se han obtenido dos

ecuaciones íntegrodiferenciales (III.7) que describen F (. x, T ) y

G ( X , T ) donde T = £t es la variable lenta.. Se han analizado en

particular el amortiguamiento de:

a) Flujo laminar, del que se obtiene la solución ana­

lítica (III.9).

b) Flujo turbulento con el coeficiente de Darcy - Weis_

bach, A, constante.

Algunos resultados para casos típicos se presentan

en las Figs. (.111.1) a ("III. 3). En la Fig. (III.1) presentamos,

-VI . le­

para dos valores del parámetro de fricción, la evolución con

T =v t/L de los máximos de presión existentes en la sección de e

salida en el caso de cierre cudrático y 5 = 2. También se pre­

senta la amortiguación de la oscilación de presión para el va

lor de f = 50 durante un período.

En la Fig. (III.2) se presenta la amortiguación de

la velocidad y presión que hay en el conducto al final de cada

período para el valor del parámetro f = 50 con ley de cierre

cuadrático ó 6 = 2.

En la Fig. (III.3} se presentan los resultados corres

pondientes al caso de cierre lento con ley de cierre lineal.

En el Capítulo IV hemos analizado la apertura hasta

área final en la sección de la válvula del orden de la del con

ducto que corresponde al valor del parámetro a o» 1. En ella

aparecen dos etapas, una corta en la que sé generan oscilacio

nes en la velocidad y presión, y otra larga en la que puede des

cribirse la solución con la aproximación incompresible en pri­

mera aproximación, si bien persisten las oscilaciones generadas

en la primera etapa. La evolución de la velocidad y presión du

rante la segunda etapa calculadas con la solución incompresible

se presentan en las Figs. (IV.1) y (IV.2).

Utilizando también técnicas de escalas múltiples se

obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, con

x como parametro, que describen la evolución de las oscilaciones

de presión y velocidad en la segunda etapa Ees. (IV.9) . Las

condiciones iniciales han de obtenerse del análisis de la eta­

pa inicial, en la que en primera aproximación no aparecen los

efectos de la fricción en el conducto aunque existe el efecto

-VI.5-

amortiguador de las pérdidas de energía cinética en la salida

por ser el área de la sección de salida muy pequeña.

Los resultados del análisis de esta etapa se presen

tan para casos significativos en las Figs. (IV.3) a (IV.8).

Obsérvese el efecto amortiguador de las pérdidas en la sección

de salida cuando la apertura es moderadamente lenta; si la

apertura es rápida desaparecen las pérdidas importantes en la

salida y las oscilaciones persisten hasta la segunda etapa.

En el Capítulo V se ha efectuado el análisis de la

rotura de columna. El análisis efectuado en el Capítulo II mués

tra que cuando la velocidad inicial es pequeña, existe un va­

lor crítico del parámetro n , valor que depende de la ley de

cierre y del tiempo en que éste se efectúa, por debajo del cual

no se generan presiones negativas o inferiores a la presión de

vapor y, por tanto, no se rompe la columna. Una vez alcanzado

este valor crítico, la columna se rompe y la cavidad que se g_e

ñera tiene un tiempo de existencia comparable al de ida y vuel

ta de las ondas. Este tiempo de existencia va aumentando al au

mentar la velocidad inicial hasta que en la dinámica de la ca­

vidad empiezan a contar los efectos de la fricción. Esto suce­

de cuando el tiempo que dura la cavidad se hace del orden del

tiempo de residencia del líquido en el conducto en cuyo caso

la dinámica de la cavidad se analiza con la aproximación incom

pres ible.

Los resultados del análisis incompresible se muestran

en las Figs. (V.4) a (V.7) donde para valores típicos del para

metro de fricción se dan el tiempo de residencia, el tamaño de

la cavidad y la velocidad con que colapsa en función del para-

-VI.6-

metro ir1 =(p -p +pgH)/pv.. *a v i

También se muestra en la Fig. (V .*? ) la comparación

entre los resultados obtenidos en nuestro análisis con los da

dos experimentalmente por Weyler, M.E.; Streeter, V.L. y Lar-

sen, P.'S. (26). El acuerdo es excelente en lo que respecto a

las sobrepresiones generadas en los colapsos sucesivos de las

cavidades generadas ; las divergencias en cuanto a los tiempos

de existencia pueden deberse fundamentalmente a los errores

asociados a la aproximación incompresible y a efectos no esta­

cionarios en la fricción. Los efectos de las burbujas genera­

das a lo largo del conducto por la onda de expansión que ini­

cia la cavidad son despreciables ya que la fracción volumétri­

ca de burbujas es muy pequeña, según se muestra en e] Apéndice B.

Una de las limitaciones del análisis llevado a cabo en

esta Tesis, que comparte con la mayoría de los estudios numé­

ricos de oscilaciones en conducto está asociada al uso del coe

ficiente de Darcy para calcular las fuerzas de fricción en fun

ción de la velocidad instantánea local. Sin embargo, no existe

información experimental o teórica que nos permita operar de

otro modo de una forma fiable.

APÉNDICE A

-A.l-

APENDICE A

Vamos a obtener aquí las ecuaciones que dan la amorti

guacion con el tiempo, por efecto de la fricción, de las oscila

ciones de presión en el cierre de un conducto. El método segui­

do es aplicable también al proceso de la apertura.

Describiremos la distribución de velocidades y pre­

siones en el cierre de un conducto cuando la relación de áreas

inicial es de orden unidad, mediante desarrollos en potencias

de C en la forma:

V = V ( X , t' ,X ) + £ v ( x , t ' , x ) + ...

(A.l) p = p (x,tT,T) +£p i(x,t

í,T)+...

en los que intervienen dos variables temporales, tf es una va­

riable rápida referida al tiempo de ida o vuelta de las ondas y

T es una variable temporal lenta referida al tiempo de.residen­

cia, que está relacionada con t' en la forma: x = et' . Dentro

del orden de aproximación calculado no es necesario distorsio­

nar, al modo de Poincaré, la variable rápida.

Llevando estos desarrollos a las ecuaciones (1.7)-

(1.9) para las dos primeras aproximaciones se obtienen los sis­

temas de ecuaciones y condiciones de contorno ya dados en la

Sección III . 1 :

con

y

3p 9 v o o

3TT + — = 0

3v 3p o o

3tT- + TT=0

p =0 en x = 0 * o

v =0 en x = 1 o

(A.2)

- A . 2 -

9 p

9 t ' 9 x 9 T o 9 x

9p 0 A ' °

~ - A p o T F 9p

( A . 3 ) 3 v , 9p„ 9v 9v

1 *1 o o d t ' 9 x 9 T O 3 X ^

O 1 . i - — f V V o 9 x 2

1 2 1 con p . = — ( 1 - v ) s i v > 0 6 p „ = — s i v < 0 en x = 0

1 2 o ^ 1 2 o

y v . = 0 en x = 1 . 1

El sistema (A.2) conduce a la ecuación de las ondas.

La solución de este sistema es periódica en tf de período t,=1+.

La forma general de la solución es:

v =f(tf-x,T) +g(t'+x,x)

(A.4) P^ = f(t '-X,T) - g(t*+X,T )

Las funciones f y g las determinaremos a partir de sus valores

F y G en t' =M-n, de forma que F ( X , T ) =f(-x,x) y G ( X , T ) =g(x,l)

en t' = O.

Podemos, pues, expresar en función de F y G la distri_

bucion de velocidad y presión dentro de cada período en el pla­

no (x,t f). Esta distribución la damos por zonas según se muestra

en la siguiente figura, en las variables características

£ = x + t , f| = -x+t

zona 7 zona 1: v = F ( - D » T ) + G ( z; , T )

p^ = F(-n,T ) - G(ZJ,T )

zona 2: v = G ( r¡, T ) + G ( £ , T )

PQ = G(n,C) - G(C,T)

zona

v =-F(2-n,T) - G(C-2 , T ) o

p Q = -F( 2-TI,T) + G(C-2 , T )

v =-G(TI-2,T) - G(C-2,T)

p_o = -G(n-2,T) + G U - 2 , T-)

Zona 3: v = F ( -n, ,T ) - F ( 2-£,T ) zona 9: v =-F ( 2-n , T ) + F( 4- Z, ,T )

PQ = F(-n,T) + F(2-£,T) Po = -F(2-n,T) - F ( 4 - C , T )

zona 4: v = G ( n. , T ) - F( 2-C, T ) zona 10: v =-G ( T\ - 2 ,T ) + F ( 4-£,T )

P Q = G(n,T) + F( 2-C,T) p o = -G(n-2,T) - F(4-C,T)

- A . 3 -

z o n a 5 :

z o n a 6

= - F ( 2 - n , T ) - F C 2 - C T ) z o n a 1 1 : V^T(^-T),T) + F U - £ 9 T )

v

= - F ( 2 - n , T ) + F ( 2 - C , T )

= G ( n , T ) - G ( ^ - 2 , T ) I

= G ( n , T ) + G ( . C - 2 , T )

P = F ( 4 - T I , T ) - F ( H - ^ 5 T ) r o

; o n a ! 2 : v = - G ( n - 2 , T ) + G ( £ - 4 , T ) o

p = G ( n - 2 , T ) - G ( C - 4 , T )

; o n a 1 3 : v

= F ( . 4 - n , T ) - G U - ^ , T )

-A.4-

Para determinar F y G, y por lo tanto f y g, es nece­

sario resolver el sistema (A.3).

Para que el desarrollo (A . 1) sea uniformemente válido

es necesario que £v. y £p. sean pequeños frente a v y p en

1 J rl o o -1

tiempos t' del orden de e , lo cual nos lleva a exigir que v.

y p sean periódicos en esa escala. Esta exigencia de periodici_

dad es la que nos va a proporcionar las ecuaciones para determi_

nar la evolución de F y G con T.

El sistema (A.3) reescrito en las variables caracte­

rísticas toma la forma:

s i endo

3(v +p ) v

9(v 1+p 1)

3(v 1-p 1)

3(v +p )

= \¡) 1 (c, n , T )

= 2 Ce, n 9 T )

(A.5)

A-a

3 T

3p o A + a

3n

3p

o 3 £ o 1 _ i - — f V I V

o 3 f| 2 o ' o

y

, 3Cv +p ) v r3(v -p ) ^ 1 o o o, o o

^ A + a

3 T 2 { 3 c j

3 p A 3 p -. *o L A-a o 1 _ i h D — f V V

o U 2 po 3n 4 o ' o Las condiciones de contorno quedan en la forma:

p =TT (1-v |v 1 ) si v > 0 6 *i 2 o ' o ' o 1

P^ = J en ^ =

v = 0 en £-n = 2.

La exigencia de periodicidad a la solución de (A.3)

al cabo de un período t' = 4, es tanto como exigir que se verifi_

quen las relaciones:

-A. 5-

(V1+VA = (vl + P l )

A ,

y ( vi-Pi }A = ( v i - P i \ ,

(A.6)

Vamos a desarrollar con extensión la primera de estas

relaciones, el desarrollo para la segunda se realiza de una for

ma análoga, por lo que solo daremos el resultado final para ésta.

A lo largo de las líneas características se tiene que:

(v.+p ) = ( v + p , ) + 1 d? , de donde 1 a Al 1 1 A J I X

1

(v +p ) = p - \p dt, pues v* =0 de la condición de contor 1 1 A 1

A i ) 1 2 Al _

no en £-r\ = 2.

r (v -p ) = -p + I T|Í dn

B2 Al jh

Aó 1 1 B 2 J, 1

(v.-p ) = -p + ^ dn B4 XA3 jh

(v +p ) = (v +p ) + \ TÍ) dC Af B4 Jl_

de donde obtenemos que

( v ^ P ^ =(- v0l

v0!) +P X "

AT 11 1 A 1 j r r

ip dr)- ifJ d^+ i|; dn+l il .d? h -'I h Jl u 2 3 *+ 5

y como (v 1+P 1) = (v +p ) ha de verificarse que 1 A A'

i^dC-l ^ 0dn-

i,1 s 2 r

1 jh 3 4

i d ? - ( v v |) =0 (A.7)

De las distribuciones de velocidad y presión dadas anteriormen­

te vemos que

- A . 6 -

a lo l a r g o de 1 V o + P o = 2 F ( - H Í T ) y

3 ( v +p ) 0 0 = _ 2 F ( X , T )

an dx

c o n l o q u e

j i /^dC - A l C ^ _ | F ( X 5 T ) A ^ + G ( C , T ) d C + F ( 2 - C , T ) d C

1 < % , ¡ 1

A-a

A+a

4'

^ i ) ( F ( x , T ) - G ( ? , T ) ) d ? + f ? A 1 ± F i ¿ z £ ^ ) Í F { x 5 T ) + F ( 2 _ C 5 T ) ) d í

3 ? 1 3 5 CA 3 ?

3 F ( X , T ) f1

3 ^ 1 fF(x .T) -G(C,T) )d C + Í I Í i * l i f ( r ( X , T ) + F ( 2 - C , t ) ) d C

í 1

J Í F ( X , T ) + G ( C , T ) ) | F ( X , T ) + G ( C , T ) | d^ +

r5 Al ( F ( X , T ) - F ( 2 - C , T ) ) | F ( X S T ) - F ( 2 - C , T ) | d £

A l o l a r g o d e h V0 ~ P 0 =-2F(2-C,T) con lo que

3 ( v - p )

H ' 2 aT

1 ,^-^n^.m^ - F ( X , T ) A n + F ( - H , T ) d q +

B2 + G ( n , i ) d n - j •F(2-n,T)dn 'o >\

A+a 3 F ( X , T )

2 3 x

'Al

F - ( x , T ) A 1 n +

'° í 1 ínB2 F ( - n , i ) d n + G ( n , r ) d n -

1 M ^O h

F ( 2 - n , T ) ' d n

'Al

A - a

fnB2

r a 3 F fo»T ) ( F ( - n , T ) + F(x ,T) )dn + [ j ^ ( n i l i _ (G(n,T)+F(x,T))dn+

1 n 9n 'AI o 3n

+ J 8 F ( 2 - n ' T ) f -F (2 -n ,T ) + F ( x , T ) ) d n | -1 9n

(O

- 7 f ( F ( - T I , T ) - F ( X , T ) ) | F ( - n , T ) - F ( x , T ) | d n + Al

- A .

( G ( n , T ) - F ( x , T ) ) l G ( n , T ) - F ( x , T ) | d n -

r n B2

1 ( F ( x , T ) + F ( 2 - n , T ) ) ! F ( x , T ) + F ( 2 - n , T ) | d n

A l o l a r g o d e 1 0 v +p = - 2 F ( 2 - q 5 T ) y • ° 3 o o J

3 ( v +p ) ~ , . o *o _ 2 3 F ( x , x )

3 H ~ 3 x

í ,l A r 9 F ( X , T ) A _ 3 F ( X , T ) Jx ^ l d í = — 3 ^ V " 3x F ( x , T ) A 2 C + , F ( 2 - C , T ) d C +

Al

A3 G ( C - 2 , T ) d C - | F ( 4 - C , T ) d C

2 J3

A - a

^Al

+ F ( 2 - C , T ) ) d C - _ ^ i S z l j L l L . ( - F ( x , T ) + G ( c - 2 , T ) ) d C +

2 ^

'A3 9 F ( K , T )

3 3 ?

+ F U - C , T ) ) d ¿ ;

r^A3 F ( 4 - C , T ) d C

A+« 3 F ( x , T ) 2 3x F ( X , T ) A 2 C - F ( 2 - C , T ) d C -

Al

* \ * ( F ( X , T ) + F ( 2 - C , T ) ) | F ( X , T ) + F ( 2 - £ , T )

'Al

( F ( X , T ) + G ( C - 2 , T ) ) | F ( x , T ) + G ( C - 2 , T ) | d £ +

r^A3 ( F ( X , T ) - F ( 4 - £ , T ) ) | F ( x , x ) - F ( U - C , T ) | d C

A l o l a r g o d e h„ v - p = 2 F ( 4 - £ , T ) y

3 ( v - p ) ^ , *

3C

/ ¿„ 3 F ( X , T ) A , , , 3 F ( X , T ) ^ 2 d n = 3^ A 2 n + 3

3 x

a

G ( n - 2 , T ) d n + fnB4

F ( 4 - n , T ) d n

( X , T ) A 2 n - | F ( 2 - n , x ) d n -

^ A 3

a 9 F ( X , T ) [_ , v . T"3 F ( x , T ) A 0 n +

2 3 x

r ,n + F ( 2 - n , T ) d n + G ( n - 2 , x ) d n -

B4 F ( 4 - n , x ) d n

'n A3 j

- A . 8 -

A - g 2

'Bu.

í2 í3

I 3 F ( 2 - n , T ) ( F ( x , T ) + F ( 2 - n , T ) d n - 9 G ^ - 2 > T > ( F ( x , T ) + G ( n - 2 , T ) ) d n - * -

nA3 3 n

3 F ( u _ n , T ) ( - F ( x , T ) + F ( 4 - n , T ) d n

3n 4'

3 _3

2 r 3 n

2

( F ( x , T ) -

'A3

- F ( 2 - n , T ) ) | F ( x , T ) - F ( 2 - n , T ) | d n + ( F ( x , T ) - G ( n - 2 , T ) ) | F ( x , T ) - G ( n - 2 , T ) | d i i ^

, n B4

{ F ( x , T ) + F ( 4 - n , x ) ) | F ( x , T ) + F ( » * - n . , T ) I d n

A l o l a r g o d e 1 v +p = 2 F ( 4 _ n , T ) y o o

3 ( v +p ) , ._ , . o o _ 9 3 F ( x , T ) 3n " ¿ 3 x

f j , d = . 3 F ( X , T ) A 3 F ( x , T )

r ^ A ' + G ( C - i + , T ) d C -

¿,,

3 T 3 ^ 3 x

-u

F ( x , T ) A 3 C+ F ( U - c , T ) d C +.

•A3

A - a ! l £ i t l iU l2_ (F(x 9 T) -F(4 -C ,T) ) d£ -

C 3£ ^A3

3 G ( g - ^ , T ) ( F ( x . T ) - G ( r - u . T ) ) d C

4 3 C

A+a 3 F ( x , T ) 3x

F ( X , T ) A ^ -

A3 4< ru

( F ( x , T ) +

'A3

F ( u - ^ , T ) ) | F ( x , T ) + F ( 4 - £ 3 T ) | d C

^ A , ( F ( x , T ) + G ( í - U , T ) ) | F ( x , T ) + G ( r , - U , T ) | d n

A h o r a b i e n , A £ + A 3 C = A 2 C = 2 , A 1 n = A 2 n = 2 , y d e l a r e l a ­

c i ó n ( A . 7 ) t e n i e n d o e n c u e n t a q u e p a r a L - r\ ( v | v ) = ~Í t. ^ • O O ' j_ ^

=4F(x,T)|F(x,T)|, sustituyendo valores obtenemos una ecuación

cuya solución nos da la variación de F(X,T) con T:

-A.9-

fí1

I ((F + G' ) |F + G' ! + 3 F ( X , T ) 1 ( T ) | F ( x T)|_J-f 3 3x 2 U ' T J ! t<,x,x; I 16 r ,

+ (F + F ? ) |F + F'!+(F-G f)|F-G f|+(F-F T)|F-F T|)d£ (A. 8a)

en la que F y G son funciones de (x,x) y FT y Gf son las mismas

funciones evaluadas en (£,x).

Para la otra relaci< .ón (v -p ) = (v -p ) obten 1 1 ^ 1 1 A » emos

A

\b dn +

1

i ^ d ? - ip 9dn-! i|>1d£ + j h ^ Jl,

ip-dn - (v v I ) = 0 . Jh 2 ° °' 2 5 2 3 4

y operando de forma análoga a lo expuesto anteriormente, se ob­

tiene la ecuación que nos da la evolución con T de la función

G ( X , T ) :

3G __ 1 3 T 2 G G

1 íí 1 - — fj ((G + Ff ) |G + F' I+(G + G' ) |G + GT I +

1 + (G-F1) |G-F' |+(G-Gf) |G-G' |)d£; (A.8b)

J en la que de nuevo F y G son funciones de ( X , T ) y F',GT son las

mismas funciones evaluadas en ( £ , x ) .

Las ecuaciones (A.8) hay que complementarlas con los

valores de F y G en el instante del cierre:

T = 0 , F = F (x ) v G = G ( x ) . o o

Estas ecuaciones tienen la propiedad de que si en un

punto x el valor de F (respectivamente G) es nulo inicialmente

se mantiene nulo para todo x posterior. Por ello ni F ni G pue­

den cambiar su signo inicial en un x dado. Si en dos puntos ini_

cialmente hay el mismo valor para la F (respectivamente G ) , pos

teriormente los valores de F (respectivamente G) se mantendrán

iguales .

La distribución de velocidades y presión por zonas

en el plano (í,r|) para la apertura, es:

r

* V / *

/ 6

U

2 /

1 zona 1: v 1 =F(-TI,T). + G ( £ , T 1

P l=F(-n 9T)-G(C,T)

zona 4: v = G(n , T ) + F(2-£,T)

P l = G(n,T) - F ( 2 - C , T )

zona 2: v = G(n , T ) + G(£,T) zona 5: v 1 = F(2-n ,T ) + F(2-C,T)

P 1 = G ( T I , T ) - G ( C 9 T ) . P l = F(2-n,T) - F(2-C,T)

zona 3: v = F(-n , T ) + F(2-£ , T) zona 6: v = G(n,T ) + G(£ - 2 , T)

P l = G(n,T) - G(C-2,T) P l = F(-n , T ) - F(2-C,T)

zona 7: v = F ( 2-n , T ) + G ( £,- 2 , T )

p = F(2-n,T) - G(C-2,T)

APÉNDICE B

-B .1-

APENDICE B

Como consecuencia del cierre rápido de una válvula en

el extremo de un conducto se genera, como ya se ha dicho, una

onda de compresión para frenar el líquido que se refleja en el

deposito como onda de expanión que invierte el movimiento primi

tivo del fluido. Al llegar esta onda a la sección de la válvula

se refleja en forma de otra onda de expansión para anular de

nuevo la velocidad y que daría lugar, si la velocidad inicial

del fluido es alta, a valores negativos de la presión en la sec

ción de salida. Como los líquidos con impurezas no soportan, sin

que se rompa la columna líquida, presiones por d.ebajo de su pre

sión de vapor, esta onda reflejada rompe la columna en la sec­

ción en que se alcance por primera vez la presión de vapor. En

conductos horizontales ésto ocurre, si el cierre es brusco, en

la sección de salida.

Esta onda va dejando al líquido a su presión de vapor

y moviéndose hacia el depósito. Nos ocuparemos aquí de la diná­

mica del líquido después del paso de la onda para poner de mani_

fiesto que en este proceso aparecen burbujas distribuidas a lo

largo del conducto, además de la cavidad que se genera en el ex

tremo.

En efecto, la columna líquida que queda detrás de la

onda va siendo frenada por las fuerzas de fricción tanto más

cuanto más tiempo haya transcurrido desde" el paso de la onda.

Por esta razón las capas fluidas más próximas a la sección de

la válvula se retrasan respecto a las cercanas a la onda y el

principio de conservación de la masa exige la aparición de bur­

bujas a lo largo de la columna líquida por la que ya ha pasado

-B. 2-

la onda y en proporción creciente con el tiempo.

Vamos a calcular, pues, el área neta ocupada por las

burbujas cuando una de expansión ro-mpe la columna líquida dejan_

do a ésta en su presión de vapor. Calcularemos también la distri_

bución de velocidades existentes antes y después de la onda que

rompe la columna analizando el proceso del flujo desde que se

cierra bruscamente la válvula. Por simplicidad supondremos que

la columna se rompe en la sección de la válvula.

El proceso se representa de la forma esquemática en

la figura adjunta. La onda de expansión pasa por la sección x

en el instante t. = L-x/c contado a partir de su formación. Pre­

viamente la velocidad del fluido era vf hacia el deposito, redu

o —

ciéndose a v' al paso de la onda que deja al fluido a la pre­

sión de vapor p hasta la llegada de la nueva onda reflejada

de compresión. En cambio la velocidad en x se deduce de v' a v

por efecto de la fricción. 7}

/- - i *v

Las ecuaciones que describen el. movimiento posterior

son distintas de las utilizadas en el texto debido a la presen-

cia inevitable de burbujas, que reducen el área efectiva de la

columna líquida desde el valor inicial A correspondiente al con-

^ o r

ducto a un valor A más pequeño: (A -A )/A es la fricción volumé -v 1 o v o —

-B. 3-

trica de burbujas que ya anticipamos que va a ser pequeña.

El principio de conservación de la masa para el lí­

quido toma la forma:

——- + —- ( A v) = 0 , ^ <\j ^ ^ v 9 t 3x

q ue s e reduce a

9A V „ d V

3 t 9x

por ser (A -A )/A y v/c pequeños. F o V o

(B.l)

La ecuación de conservación de la cantidad de movimien

to en la zona de la columna líquida por la que ha ha pasado la

onda, por ser p =p , se reduce a:

3 v

3t

X 'VA 2D '

(B.2)

Integrando esta ecuación, obtenemos para v," teniendo en cuenta

que es negativa, la expresión:

1 ^ ^ 2D K 1 J ' V Vb

(B. 3a)

t =(L-ac)/c es el instante en el que la onda pasó por la sección

% x dejando al fluido a la velocidad v'.

Si adimensionalizamos las velocidades con /2gH, el tiem

po con L/c, la ecuación (B.3) queda en la forma:

— = -V - 4 fCt-t.) (b.3b) v v' 2 1

siendo f = XL/D el parámetro de fricción del conducto; la frac­

ción volumétrica de burbujas a=(A -A )/A viene dada en forma J o v o ' ,

adimensional por:

-B. vi­

vamos a calcular ahora, la condición inicial de la ecuación

(B.3b), v' . Para ello utilizaremos el mismo método seguido en

el Apénidce A para el cálculo de los efectos de la fricción en

las velocidades y presiones que se originan al cerrar bruscamen

te el conducto en tiempos t % 1. Las ecuaciones que nos dan las

correcciones de la velocidad y presión por fricción y dilatabili

dad no lineal del fluido y conducto son:

3P. 3(v 1+p 1) A-a 3 £ 2 *o 3 c

8 ( v l - p l } A-a 8 po 1

O 1 r: I — - — f V v

4 o I o (B.4)

9n 2 Fo 3n , f V V 4 o ' o

con las condiciones de contorno

1 2 p = TT ( 1-v ) si v > 0 *i 2 o o

1 Pl = 2* S 1 Vo < e n ^ = n

v =0 en c - n = 2-,

£ , T] son las variables características: £ = t + x, n = t-x .

Las condiciones iniciales corresponden al movimiento

<\j

estacionario con velocidad adimensional v =v //2gH . Estas son e e

en t = 0

v = v , p =0 o e *o

1 < * 2, f 2 v± =0 , P l = - ( l - v o ) - - x v e .

En la figura adjunta se dan en- el plano ( £ , n.) , las

ondas de compresión y expansión dando los valores de la primera

aproximación de la velocidad y presión. Estos valores están en

variables adimensionales. Calcularemos los valores de las corree

ciones en los instantes anterior y posterior a las reflexiones

de las ondas en las secciones extremas del conducto. De estos

valores de velocidad y presión obtendremos la distribución de

velocidad y presión antes y después del paso de la onda de expan

sión que origina la cavidad.

-B. 5-

."* V 1 1 ^ . "

s

/

/

. %^€.

\V»°

\Ty

0,-o

Pos + v7*

°s

V-

fl-l

/y

le i i i i i l 1 i i i i i i ! y

.1

¿0-"».')

/ /

° /

/ V ' *

/

~ V d

*•

'

/t

Las correcciones de la velocidad y presión, v ,p. ven

drán escritas con los subíndices correspondientes a cada punto.

Así pues en la sección de salida y en t = 0 :

V 1 M = °

P l H = I ( 1 - v ; ) - T f V e -

Siguiendo el camino MNR y MTR, -obtenemos para el ins­

tante en que se refleja en el deposito la onda de compresión

(punto R correspondiente a t = 1 ):

v =-fy2 IR M- y

e

1 / „ 2, 1 4= 2 A-a 2 P 1 R = 2 (1"Ve)- 4 fVe"-irVe

-B.6-

en el instante posterior a su reflexión como onda de expansión

(t = 1 ) , punto A:

v 1 A4v e2U + f)

P1A 2 *

La onda de expansión vuelve hacia la sección de la válvula en­

contrándose al fluido en el instante previo a la reflexión (pun

to S)

v i s = 0

1 ,, 2. A-a 2 P1S = 2 ( 1 - v e 1 - — ve •

El fluido detrás de esta onda, un instante antes de la reflexión

se encuentra con la velocidad y presión:

v 1 B = i v e2 ( 1 + f)

1 1 , 2 P 1 B = 2 + 2 f V e •

Cuando esta onda se refleja en la sección de la valvu_

la como otra onda de expansión, rompe la columna y avanza hacia

el depósito dejando al líquido a su presión de vapor. Esta onda

se encuentra al fluido con una distribución de velocidad y pre­

sión:

v. =|v 2(l + f) i z o

1 1 r- 2 Pl = 2 + 2 f V o X *

1 1 2 La onda baia la presión desde el valor p. = -r + - fv x al valor

1 2 2 o

p / p / 2 g H c , lo que origina un aumento de la velocidad del líqui_

do según va siendo alcanzado por la onda. Así pues, tenemos en

el conducto la siguiente distribución de velocidades y presión

antes y después del paso de la onda:

-B .7-

:antes : vf = -v +% v2(l + f ) o e 2 e

p =•! (1 + fv2 x) ^ 2 e

(B.5a)

"después: P = P /p/2gH c

v'=-v + — b e 2

v (1+f)+ e

, *v 2^ 1 + v f x pgHJ e

CB.5b)

. (B.5b)

Este valor de v' dado por (B.5b) es la condición inicial de la

ecuación (B.2). Como v - v' la expresión (B . 3b ) puede ponerse:

v ' - v = -¿ 2 ¥ ( t -v • donde t . = 1-x; v' - v = 0 (£.) de manera que

I b

v = v¿ + v — ( t-l+x) , b e 2

y al sustituir el valor de v' dado por (B.5b)

v = _ v e + -2 1 _ Pv 2

v (l+f)+ -f + v^f(2x+t-l) e pgH 2

o b t e n i e n d o , p a r a l a f r a c c i ó n v o l u m é t r i c a de b u r b u j a s , l a e c u a ­

c i ó n

3 a 3 v 2 2 ^ TT— = e ^— = e v f . 3 1 3x e

( B . 6 )

En las proximidades de la entrefase transcurre un tiem

po t = 2 hasta que regresa la onda de compresión, luego:

A - A 0 o v . 2 — = 2e v f A o o

es el área relativa ocupada por las burbujas cerca de la entre-

fase, cuando la sección es alcanzada por la onda de compresión.

En otra sección x, esta área se reduce en«el factor x.

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