Compresibilidad y cambios térmicos en el comportamiento ondulatorio de...

Compresibilidad y cambios trmicos en el comportamiento ondulatorio de la

fluidizacin rpida

Tesis que presenta:

Jos Rosario Guadalupe Snchez Lpez

Para obtener el grado de

Doctor en Ciencias en Ingeniera Qumica

Asesor:

Dr. Alberto Soria Lpez

Posgrado en Ingeniera Qumica del Departamento de

Ingeniera de Procesos e Hidrulica de la

Divisin de Ciencias Bsicas e Ingeniera

Universidad Autnoma Metropolitana-Iztapalapa

mircoles 25 de julio de 2012

iii

Agradecimientos

Esta tesis doctoral, si bien ha requerido de esfuerzo y mucha dedicacin por parte del autor y su

director de tesis, su finalizacin no hubiese sido posible sin la cooperacin desinteresada de

todas y cada una de las personas que a continuacin citar y muchas de las cuales han sido un

soporte muy fuerte en momentos de angustia y desesperacin.

Primero y antes que nada quiero agradecer a Dios, por estar conmigo en cada paso que doy, por

fortalecer mi corazn e iluminar mi mente y por haber puesto en mi camino a todas aquellas

personas que han sido mi columna y compaa durante todo el periodo de estudio.

Tambin deseo expresar mi agradecimiento hoy y siempre a mi familia porque a pesar de no

estar presentes fsicamente, se que procuran mi bienestar desde mi ciudad, Los Mochis, Sinaloa

y est claro que si no fuese por el esfuerzo realizado por ellos, mis estudios de doctorado no

hubiesen sido posibles. A mis padres Agustn y Rosa, a mis hermanos mayores Mnica Beatriz

y Agustn Enrique y a mis hermanos menores Samuel Christian, Daniel Abraham, Jssica Mara

y Juan Carlos, a mis sobrinos Carlos Enrique, Grecia y Jos Emilio porque a pesar de la

distancia, el nimo, apoyo y alegra que me brindan me dan la fortaleza necesaria para seguir

adelante.

De igual manera mi ms sincero agradecimiento a mi director de tesis, Dr. Alberto Soria Lpez

quien ha tenido un papel fundamental en mi formacin profesional y con quien siempre estar

agradecido, a la Dra. Elizabeth Salinas Rodrguez por motivarme y por ser una persona que ha

influido mucho tambin en mi formacin profesional. Al Coordinador del Posgrado en

Ingeniera Qumica, Dr. Jos de Jess lvarez Ramrez quien siempre me ha apoyado y con

quien estoy profundamente agradecido. Al Dr. Jess Alberto Ochoa Tapia, quien ha sabido

escucharme y aconsejarme en momentos en que realmente lo necesitaba. A todas estas personas

por permitirme realizar el doctorado en una universidad tan prestigiosa como lo es la

Universidad Autnoma Metropolitana-Iztapalapa, alrededor de gente brillante y muy talentosa.

iv

A las secretarias Martita del rea de ingeniera qumica y a Mara Elena de la jefatura de IPH de

la Divisin de CBI quienes me han facilitado fotocopias, can de proyecciones y me han

ayudado con trmites administrativos siempre que as lo he necesitado y que me han brindado

siempre una sonrisa.

En general quisiera agradecer a todas y cada una de las personas que han vivido conmigo la

realizacin de esta tesis doctoral, con sus altos y bajos porque tanto ellas como yo sabemos que

desde lo ms profundo de mi corazn les agradezco el haberme brindado todo el apoyo,

colaboracin, nimo y sobre todo cario y amistad. Son tantas personas a las cuales debo parte

de este triunfo, de lograr alcanzar mi culminacin acadmica, la cual es el anhelo de todos los

que as lo deseamos.

A Salvador por ayudarme con un programa en FORTRAN, Centilio, Omar, David, Gustavo,

Claudia F., al Sr. Arnulfo, Sal V., Max, Sergio, Alicia, Fausto, Carlos Alberto y muy en

especial a Xchitl por todo su apoyo.

A los profesores que me han brindado sus enseanzas:

Dr. Jos de Jess lvarez Ramrez por el apoyo econmico otorgado al ser su Ayudante

de Investigador SNI Nivel III.

Dr. Jess Alberto Ochoa Tapia del Depto. de IPH de la UAM-I.

Dr. Leonardo Dagdug Lima del Depto. de Fsica de la UAM-I, por sus sabias palabras y

por demostrarme que adems de ser mi profesor es mi amigo. Por creer en m e

invitarme a participar en la escritura de un libro con el reconocido profesor de esta casa

de estudios, el Dr. Leopoldo Garca Coln-Scherer, lo cual signific para m un gran

honor y que despus de poco ms de 5 aos de trabajo duro, hoy es una realidad.

Dr. Emmanuel Haro Poniatowski del Depto. de Fsica de la UAM-I a quien conoc

porque impartimos un curso juntos y por brindarme su confianza, motivarme y apoyarme.

v

Dr. Gustavo Izquierdo Buenrostro del Depto. de Matemticas de la UAM-I quien sin

conocerme me apoy en la demostracin de los casos asintticos del promedio espacio-

temporal que estn incluidos en el Apndice A de esta tesis.

Dr. Lorenzo Hctor Jurez Valencia del Depto. de Matemticas de la UAM-I quien

adems de ensearme mtodos numricos, me brind su amistad, motivacin y

confianza, demostrando siempre una alta calidad humana.

Ing. Uriel Archiga Viramontes del Depto. de IPH de la UAM-I con quien di un curso en

licenciatura y me enseo acerca de la humildad y paciencia que debe tener un profesor.

En general, quisiera dar un agradecimiento muy especial a mi comit de revisin de tesis, por

sus valiosas correcciones y comentarios que ayudaron a perfeccionar este trabajo:

Dr. Alberto Soria Lpez, del Depto. de IPH de la UAM-I

Dr. Jos de Jess lvarez Ramrez, del Depto. de IPH de la UAM-I

Dr. Jess Alberto Ochoa Tapia, del Depto. de IPH de la UAM-I

Dr. Rosalo Fernando Rodrguez Zepeda del Instituto de Fsica de la UNAM en CU

Dr. Eduardo Ramos Mora del Depto. de Termociencias del Centro de Investigacin en

Energa de la UNAM en Temixco, Morelos.

Con esto llego al trmino de los agradecimientos, no sin antes agradecer tambin al Consejo

Nacional de Ciencia y Tecnologa (Conacyt) por el apoyo econmico otorgado a travs de la

beca 162476.

vii

Resumen

Se modela un flujo de dos fases gas-slido en el rgimen de fluidizacin rpida mediante un

conjunto de ecuaciones con promedio espacio-temporal. Se define el promedio espacio-temporal

y se obtienen las ecuaciones de conservacin y de balance, de masa, de cantidad de movimiento,

de energa y de entropa con promedio espacio-temporal. Estas ecuaciones se obtuvieron

sistemticamente a partir de sus correspondientes ecuaciones locales instantneas. El promedio

espacio-temporal contiene al promedio volumtrico y al promedio temporal como casos

asintticos. Se demuestran y discuten las condiciones bajo las cuales se obtienen los casos

asintticos del promedio espacio-temporal. Se estudia el balance de entropa y al aplicar la

segunda ley de la termodinmica se obtienen restricciones sobre los trminos fuente generados

al promediar y que requieren de cerradura. Estas restricciones sirven como criterio para deducir

formas cuadrticas positivas definidas, que cumplan con la segunda ley de la termodinmica.

El enfoque del promedio espacio-temporal permite obtener una ecuacin de estado en donde se

incorporan correcciones a primer orden o a rdenes ms elevados en las desviaciones de las

variables de estado. Esta es una diferencia sustantiva entre la descripcin con promedios

espacio-temporales de sistemas multifsicos y la descripcin en trminos de la teora cintica

extendida a medios granulares que aplica Gidaspow (1994). No obstante, en este primer estudio

no se consideraron y se utiliz la ecuacin de estado del gas ideal para representar la

compresibilidad de la fase gaseosa, mientras que a la fase slida se le consider incompresible.

Se evala la hiptesis de incompresibilidad en los modelos de lechos fluidizados mediante la

comparacin de los modelos (1-D) incompresible y compresible. Todos los trminos

compresibles aparecen multiplicados por la velocidad de propagacin del sonido, s al cuadrado.

En los dos modelos propuestos, se recupera la parte incompresible al aplicar el lmite, s .

Se ha extendido el anlisis de estabilidad de Liu (1982), para estimar la contribucin de la

compresibilidad. Se desarrolla un criterio basado en las rapideces de propagacin y en el nmero

de onda. Este mtodo se aplica a dos sistemas fsicos cuyas propiedades del slido difieren

ampliamente: catalizador de FCC-vapor de agua y arena-aire.

viii

Se identifica a dos rapideces de propagacin de tercer orden con la propagacin de la onda de

presin. Todos los eigenvalores del modelo de cuarto orden coinciden con las rapideces de

propagacin de cuarto orden. Se muestra que el efecto de compresibilidad del fluido es tan

importante como el efecto del mdulo de compresibilidad del slido. La onda de segundo orden

es incompleta, ya que hay un slo operador de onda actuando en una derivada espacial. Se

muestra que al considerar la friccin en la pared, se incluye un modo de propagacin asociado a

la pared completndose la onda de segundo orden, pasando de parablica a hiperblica. Se

separa la dinmica de la pared de la del centro del tubo y se obtiene un criterio de Liu

generalizado al incorporar este efecto y se estudia cmo es que la pared del tubo aumenta la

regin de estabilidad basado en el criterio del nmero de onda.

Se desarrolla un modelo no-isotrmico cuya cerradura es acorde con la segunda ley de la

termodinmica, en el que los efectos dominantes estn en la regin interfacial y no en el

volumen. En este modelo se separaron los trminos asociados a los dos efectos considerados:

compresibilidad y termicidad. Todos los trminos asociados a la parte trmica aparecen

multiplicados por el coeficiente de expansin volumtrica, V . Se recupera el modelo

isotrmico al tomar el lmite, 0V . Se sigue con los dos casos anteriores FCC y CFB, pero

con su extensin no-isotrmica a nivel de los coeficientes, encontrando cmo los efectos

trmicos modulan a los coeficientes isotrmicos. Se ha demostrado que al considerar los efectos

trmicos, un operador ondulatorio de quinto orden gobierna las perturbaciones de fraccin

volumen, de presin y de temperatura del gas. Mientras que en el caso de la temperatura del

slido, es el operador de quinto orden actuando en una onda de primer orden de la temperatura

de las partculas slidas.

Finalmente, se incorpora el efecto de la pared adiabtica y se analiza cmo este modelo es el

ms general y permite estudiar un conjunto de ocho casos que estn dados por la combinacin

de los efectos: compresibilidad, termicidad y pared del tubo. La metodologa diseada en este

trabajo permite estudiar el impacto que tiene cada efecto en la dinmica y en la estabilidad, as

como en las estrategias de modelado.

ix

Abstract

Fast fluidization of a two-phase gas-solid flow was modeled by a set of space-time averaged

equations. The space-time average is defined and the conservation and balance equations of

mass, momentum, energy and entropy with space-time averaging were obtained. These

equations were systematically obtained from the corresponding local-instantaneous equations.

Space-time averaging contains volume averaging and time averaging as asymptotic cases. The

conditions under which this occurs is demonstrated and discussed. The entropy balance is

studied and when the second law of thermodynamics is applied, constraints on the source terms

resulting from averaging were found which require closure. These restrictions provide a

criterion to deduce positive definite quadratic forms that satisfy the second law of

thermodynamics.

The space-time averaging approach allows obtaining a state equation in which first or higher

order corrections on state variables deviations are incorporated. This is a substantial difference

between the space-time averaging of multiphase systems and the extended kinetic theory

approach to granular media of Gidaspow (1994). Nevertheless, in this first study this correction

is not considered and the ideal gas state equation was used to represent the gas phase

compressibility, whereas the solid phase was assumed incompressible.

The incompressibility hypothesis in fluidized beds models is evaluated by comparing the

incompressible and compressible 1-D models. All compressible terms appear multiplied by the

squared sound propagation speed, s. In both proposed models, the incompressible part was

retrieved in the limit s . Lius (1982) linear stability analysis was extended to estimate the

compressibility contribution. A criterion based on the propagation speeds and the wave number

was developed. This method was applied to two physical systems whose solid properties differ

widely: FCC catalyst-water vapor and CFB sand-air.

x

Two third-order propagation speeds were identified with pressure wave propagation. All the

fourth-order model eigenvalues coincide with the fourth-order propagation speeds. It was shown

that the effect of the fluid compressibility is as important as the effect of the solid

compressibility modulus. The second-order wave is incomplete, since there is only one wave

operator acting in a space derivative. It is shown that when wall friction is considered, a

propagation mode associated to the wall is included. This completes the second-order wave,

passing from parabolic to hyperbolic. The wall dynamics is separated from the tube core thus

resulting in a generalized Lius criterion. In addition, it is shown how the wall enhances the

stability region based on the wave number criterion.

A non-isothermal model was developed which closure is in agreement with the second law of

thermodynamics assuming that the interfacial effects overcome the volumetric ones. In this

model we separate the terms associated to both considered effects: compressibility and

thermicity. All thermal-associated terms appear multiplied by the volumetric expansion

coefficient, V . The isothermal model is retrieved by the limit, 0V . It was continued with

FCC and CFB systems, but with its non-isothermal extension at the level of the coefficients

finding how thermal effects module the isothermal coefficients. It was demonstrated that the

void fraction, pressure and gas temperature are governed by the same fifth order wave operator,

since the solid temperature is governed by the fifth wave operator acting in a first order wave of

the solid particles temperature.

Finally, the adiabatic wall effect is incorporated and it was shown how this model is the most

general and allows studying an eight cases set. These cases are given by the combination of the

effects: incompressibility, compressibility, thermal effects and tube wall. The methodology

designed in this work allows studying the impact of each effect over the dynamic and the

stability, as well as in the modeling strategies.

xi

C O N T E N I D O

Agradecimientos ......iii

Resumen ...........vii

Abstract .............ix

Contenido ..............xi

ndice de Figuras .......xvii

ndice de Tablas ........... xviii

Notacin...xix

INTRODUCCIN. Antecedentes y justificacin.........1

Regmenes de flujo en la fluidizacin gas-slido....1

Fluidizacin rpida..........1

Antecedentes.......5

Justificacin.........7

Hiptesis, objetivos y metodologa.......9

Hiptesis..........9

Objetivo general ....9

Objetivos particulares....9

Metodologa.10

Captulo 1. Ecuaciones de balance con promedio espacio-temporal .........11

1.1 Introduccin .....11

1.2 Descripcin en el nivel local instantneo .....13

1.2.1 Ecuacin de conservacin de la masa ..13

1.2.2 Ecuacin de balance de cantidad de movimiento.......13

xii

1.2.3 Ecuacin de balance de energa total 13

1.2.4 Ecuacin de energa mecnica ..14

1.3 Promediado utilizando funciones de distribucin ..14

1.3.1 Funcin indicadora de fase ..14

1.3.2 Propiedades de la funcin de distribucin ,kX t x .....15

Derivadas distribucionales ...15

1.4 Operadores para el promediado espacio-temporal .....17

1.5 Restricciones de escala ........21

1.5.1 Expansin en series de Taylor .21

1.6 Teoremas fundamentales para el desarrollo de las ecuaciones con promedio espacio-temporal .23

1.7 Ecuaciones de balance promediadas en el espacio-tiempo ......26

1.7.1 Ecuacin de continuidad .27

1.7.2 Ecuacin de cantidad de movimiento ...27

1.7.3 Ecuacin de energa total ....27

1.7.4 Ecuacin de energa mecnica .28

Captulo 2. Segunda ley de la termodinmica y su aplicacin a la cerradura de

los modelos promediados .....29

2.1 El balance de entropa y la segunda ley de la termodinmica ....29

2.2 Descripcin en el nivel local instantneo ...30

2.2.1 Ecuacin de balance de entropa ...30

2.2.2 Implicaciones de la segunda ley en el nivel local instantneo ...31

2.3 Descripcin en el nivel promediado ...32

2.3.1 Ecuacin para la energa interna y energa cintica turbulenta ..32

2.3.2 Ecuacin para la energa cintica turbulenta .....32

2.4 Relacin de Gibbs ....34

xiii

2.5 Restriccin a escala promedio de la segunda ley de la termodinmica para modelos

de dos fluidos (energas: trmica y cintica turbulenta) ..... 37

2.5.1 Ecuacin de balance de entropa ...37

2.6 Restriccin de la segunda ley de la termodinmica para modelos de dos fluidos (energa

trmica).....43

2.7 Restriccin de la segunda ley de la termodinmica para modelos de dos fluidos (energa

cintica turbulenta)..44

2.8 Segunda ley de la termodinmica en el nivel local y en el nivel promedio 45

2.9 Forma de aplicar las restricciones encontradas con la segunda ley de la termodinmica .....46

Captulo 3. Modelo isotrmico unidimensional con promedio espacio-temporal .........47

3.1 Introduccin ....47

3.2 Modelamiento del flujo gas-slido en el tubo elevador (riser) ...48

3.2.1 Sistema fsico .......48

3.2.2 Ecuaciones promediadas en el espacio-tiempo ....48

Ecuacin de conservacin de la masa ..49

Ecuacin de cantidad de movimiento ..49

3.2.3 Cerradura del conjunto de ecuaciones promediadas .....51

3.3 Validacin de las cerraduras con la segunda ley de la termodinmica .......52

3.3.1 Cerraduras propuestas y su consistencia con las restricciones impuestas por la segunda ley de la

termodinmica .........52

3.3.2 Proyeccin de las ecuaciones (modelo 1-D) ....53

Captulo 4. Propagacin de ondas isotrmicas compresibles e incompresibles con

modelos de lechos fluidizados rpidos 1-D linealizados ..57

4.1 Introduccin ........57

4.2 Jerarqua de ondas ..60

4.2.1 Ecuaciones del modelo ......60

xiv

4.2.2 Enunciado del problema ...62

4.2.3 Estructuras ondulatorias ...........65

4.3 Anlisis de estabilidad .69

4.3.1 Anlisis de estabilidad de Whitham por aproximacin de velocidades de fase ..69

4.3.2 Extensiones al enfoque de Liu (1982) ....... 71

4.4 Resultados y discusin ... 72

4.4.1 Valores de los parmetros y de las condiciones de operacin de un sistema catalizador-vapor

en una unidad de FCC y un sistema arena-aire en un CFB ...72

4.4.2 Comparacin de los coeficientes ondulatorios y significado de las jerarquas de onda ... 73

4.4.3 Anlisis de las rapideces de propagacin ... 77

4.4.4 Condiciones de estabilidad de Whitham .....81

Captulo 5. Incorporacin del efecto de la pared en la propagacin de ondas isotrmicas

compresibles e incompresibles con modelos de lechos fluidizados rpidos 1-D

linealizados .83

5.1 Introduccin ....83

5.2 Jerarqua de ondas ...85

5.2.1 Ecuaciones del modelo ..85

5.2.2 Enunciado del problema ...87

5.3 Anlisis de estabilidad .92

5.3.1 Anlisis de estabilidad de Whitham por aproximacin de velocidades de fase .. 92

5.3.2 Extensiones al enfoque de Liu (1982) ...94

5.4 Resultados y discusin ....95


en una unidad de FCC y un sistema arena-aire en un CFB ........96

5.4.2 Comparacin de los coeficientes ondulatorios y significado de las jerarquas de onda ....96

5.4.3 Anlisis de las rapideces de propagacin ...... 101

5.4.4 Condiciones de estabilidad .......104

xv

Captulo 6. Modelo no-isotrmico unidimensional con promedio espacio-temporal ..105

6.1 Introduccin ....... 105

6.2 Modelamiento del flujo no-isotrmico gas-slido en el riser ....105

6.2.1 Sistema fsico .......... 105

6.2.2 Ecuaciones promediadas en el espacio-tiempo ....... 105

Ecuaciones de conservacin de la masa .... 106

Ecuacin de balance de cantidad de movimiento ......... 106

Ecuacin de balance de energa trmica ......... 107

6.2.3 Cerradura del conjunto de ecuaciones promedio .. 108

6.3 Validacin de las cerraduras con la segunda ley de la termodinmica 118

6.3.1 Cerraduras propuestas y su consistencia con las restricciones impuestas por la segunda ley de la

termodinmica ....... 118

6.3.2 Proyeccin de las ecuaciones (modelo 1-D) ...... 127

Captulo 7. Propagacin de ondas trmicas compresibles e incompresibles con modelos 1-D

linealizados ...... . 131

7.1 Introduccin ...... 131

7.2 Jerarqua de ondas ..... 131

7.2.1 Ecuaciones del modelo ......... 131

7.2.2 Enunciado del problema ..... 134

7.2.3 Estructuras ondulatorias ........ 134

7.2.4 Anlisis de trminos del operador entre llaves en la Ec. (7.32) . 141

7.3 Anlisis de estabilidad ... 150

7.3.1 Extensiones al enfoque de Liu (1982) ..... 150

7.4 Resultados y discusin ....... 151


en una unidad de FCC y un sistema arena-aire en un CFB, donde estn incorporados los

efectos trmicos ... 151

7.4.2 Comparacin de los coeficientes ondulatorios y significado de las jerarquas de onda .......153

xvi

Captulo 8. Incorporacin de la transferencia de calor en la pared en la propagacin de ondas

trmicas compresibles e incompresibles con modelos 1-D linealizados ... 155

8.1 Introduccin ....... 155

8.2 Jerarqua de ondas ...... 155

8.2.1 Ecuaciones del modelo ..... 155

8.2.2 Enunciado del problema .......... 157

8.2.3 Estructuras ondulatorias ......... 158

Conclusiones .......... 173

Perspectivas ........... 179

Bibliografa .... 181

APNDICE ............ 191

A. El promedio volumtrico y el promedio temporal como casos asintticos del promedio

espacio-temporal...... 193

B. Anlisis de promedios ponderados de desviaciones ..................... 201

C. Ecuaciones promediadas en el espacio-tiempo ........ 203

D. Derivacin del conjunto de ecuaciones representado en la Ec. (2.40) ...... 211

E. Evaluacin de la derivada del mdulo de compresibilidad del slido .......... 219

F. Expresiones explcitas de las matrices B, C y D dadas en la Ec. (4.6)............... 221

G. Sistemas de ecuaciones cuyas races son las rapideces de propagacin del Captulo 4....... 223

H. Expresiones explcitas de los componentes de la matriz D* dadas en la Ec. (5.11) ........ 227

I. Coeficientes de la parte de segundo y tercer orden compresible del modelo del Captulo 5 ..229

J. Ecuacin de estado de campo promedio para la entalpa ....... 231

K. Evaluacin de la derivada de la densidad del gas ........... 235

L. Expresiones explcitas de las matrices B, C y D dadas en la Ec. (7.8) .. 237

M. Sistemas de ecuaciones cuyas races son las rapideces de propagacin de la Ec. (7.34) 239

N. Sistemas de ecuaciones cuyas races son las rapideces de propagacin de la Ec. (7.43) 243

O. Expresiones explcitas de los componentes de la matriz D** dadas en la Ec. (8.16)....... 249

xvii

ndice de Figuras Pgina

1.1 Patrones de flujo en un lecho fluidizado gas-slido (Grace, 1986) .....2

1.2 Lecho fluidizado rpido de donde se extrae el volumen que se toma como

sistema para aplicar el mtodo del promedio espacio-temporal con tres

vistas en perspectiva ...................................................................................................................................18

2.1 Metodologa para obtener las restricciones que surgen de aplicar la segunda ley de la

termodinmica a las ecuaciones promediadas .......................................................................................29

2.2 Metodologa para aplicar las restricciones de la segunda ley

en los trminos de cerradura de las ecuaciones promediadas ......................................................46

4.1 (a) Tiempo de relajacin adimensional del operador diferencial de

segundo orden del modelo incompresible para el FCC (lnea gris)

y Arena (lnea negra) ... 74

4.2 (a) Coeficientes adimensionales y C para los sistemas: (a) granos de

catalizador de FCC y (b) Arena ....... 75

4.3 Coeficientes adimensionales de la onda compresible de segundo orden

(degenerada) para el FCC (lnea gris) y para la arena (lnea negra) ..... 76

4.4 Rapidez de propagacin de primer orden incompresible a (lnea negra),

rapideces de propagacin de segundo orden incompresibles 1c y 2c

(lneas grises) y rapidez de propagacin de segundo orden compresible

incompleta 21 (lnea punteada), para los sistemas: (a) FCC y (b) Arena ..77

4.5 Rapideces de propagacin de tercer orden del modelo compresible

1 , 2 y 3 en la Ec. (4.29), para los sistemas: (a) FCC y (b) Arena ............ 78

4.6 Rapidez de propagacin de la onda de presin para el sistema de la arena.

: Datos experimentales de van der Schaaf y col. (1998). Lnea continua:

raz exacta de la Ec. (4.30). Lnea punteada: solucin aproximada,

Ec. (4.47) con 0flowU ............ 80

4.7 0 para estabilidad lineal, como una funcin de 0s para los sistemas:

(a) FCC y (b) Arena ............ 81

4.8 Aumento de la regin de estabilidad debido al efecto de compresibilidad

del fluido, expresado como porcentaje por las funciones 1H y 2H , para

los sistemas: (a) FCC y (b) Arena .......... 82

5.1 Coeficiente A para los sistemas: Arena (lnea gris) y FCC (lnea negra)... 97

5.2 Coeficiente de tercer orden wC para los sistemas: Arena (lnea gris) y FCC (lnea negra)98

xviii

5.3 Coeficiente de segundo orden B para los sistemas: Arena (lnea gris) y FCC (lnea negra)......99

5.4 Coeficiente de segundo orden para los sistemas: Arena (lnea gris) y FCC (lnea negra)..100

5.5 Contribucin de segundo orden de los efectos de pared a las rapideces

de propagacin, como funcin de la fraccin volumen de slido para

los sistemas: (a) FCC y (b) Arena ......101

5.6 Rapideces de propagacin de segundo orden, para los sistemas:

(a) FCC y (b) Arena ...... 102

5.7 Rapideces de propagacin 2 y 3w como funcin de la fraccin volumen

de slido, para los sistemas: (a) FCC y (b) Arena ......... 103

5.8 Nmero de onda para estabilidad lineal, como funcin de la fraccin

volumen de slido para el sistema de la Arena ..........104

6.1 Transferencia de calor interfacial..........113

6.2 Transferencia de calor con la pared del tubo .......... 116

7.1 Coeficientes adimensionales y C considerando los efectos trmicos

y sin considerarlos para los sistemas: (a) granos de catalizador

de FCC y (b) Arena ....153

7.2 Coeficientes adimensionales de la onda compresible de segundo

orden (degenerada) para el FCC (lnea gris) y para la arena (lnea negra) .....154

Tabla ndice de Tablas Pgina

4.1 Valores de los parmetros y condiciones de operacin en estado base.........................................72

4.2 Valores lmite de las fracciones volumen de slidos..............74

4.3 Errores porcentuales de las rapideces de propagacin de las ondas de presin para las mejores aproximaciones .......... 80

5.1 Valores de los parmetros y de las condiciones de operacin en estado base .........95

7.1 Ecuaciones de perturbacin obtenidas al eliminar una variable con el modelo

no-isotrmico sin efectos de pared 139

7.2 Valores de los parmetros y de las condiciones de operacin en estado base ...152

8.1 Ecuaciones de perturbacin obtenidas al eliminar una variable con el modelo no-isotrmico con efectos de pared ...163

F.1 Coeficientes de las matrices B, C y D .....221

H.1 Coeficientes de la matriz D* ........... 227

L.1 Coeficientes de las matrices B, C y D ..........238

O.1 Coeficientes de la matriz D** .... 249

xix

N o t a c i n

En esta Seccin definimos las variables que aparecen dentro de la tesis e indicamos las

dimensiones que tienen mediante la simbologa: M (masa), L (longitud), t (tiempo), T

(temperatura). Las variables en negritas, indican carcter vectorial o tensorial. Salvo que se

indique otra cosa, los nmeros entre parntesis se refieren a las ecuaciones en las que aparecen

los smbolos por primera vez o se da su definicin.

a velocidad de la onda incompresible de primer orden, Ec. (4.22), 1L t .

a velocidad adimensional de la onda incompresible de primer orden, adimen.

wa rapidez de propagacin de la onda incompresible de primer orden,

modificada por los efectos de pared, Ec. (5.29), 1L t .

fa rapidez de la onda incompresible de tercer orden (dinmica de la pared

exclusivamente), definida en la Ec. (5.26), 1L t .

ka rea interfacial especfica, formada por las fases k y , Ec. (1.41), 1L .

a a rea interfacial especfica, entre la fase continua y la dispersa, 1L .

kW Wka a rea interfacial de la fase k -sima con la pared del tubo, 1L .

A coeficiente de la onda plana, pg. 69.

A coeficiente de la onda incompresible de tercer orden asociada a la dinmica

de la pared exclusivamente, definida en la Ec. (5.23), adimensional.

2A coeficiente de la onda de segundo orden del modelo no-isotrmico

aglutinado, Ec. (7.43) y que se define en la pg. 147, 2 3 1M L t T .

3A coeficiente de la onda de tercer orden del modelo no-isotrmico aglutinado,

Ec. (7.43) y que se define en la pg. 147, 3 1 1M L t T .

4A coeficiente de la onda de cuarto orden del modelo no-isotrmico aglutinado,

Ec. (7.43) y que se define en la pg. 147, 3 1M L T .

5A coeficiente de la onda de quinto orden del modelo no-isotrmico aglutinado,

Ec. (7.43) y que se define en la pg. 147, 3M L .

gsA rea interfacial dentro de TxV , Ec. (1.24), 2L .

xx

B coeficiente de la onda compresible de segundo orden asociada a la dinmica

de la pared exclusivamente, definida en la Ec. (5.25), 1t .

B 0B CBL U , coeficiente adimensional de la onda compresible de segundo

orden asociada a la dinmica de la pared exclusivamente, aparece por

primera vez en la Ec. (5.48), adimensional.

B matriz de 4 4 , cuyos elementos son constantes, Ec. (F.1).

B matriz de 6 6 , cuyos elementos son constantes, Ec. (L.1).

sBi sBii p

k

h d

k, nmero de Biot de calor de las partculas slidas, adimensional.

1c , 2c velocidades de la onda incompresible de segundo orden, Ec. (4.21), 1L t .

21Tc , 22Tc velocidades de la onda no-isotrmica incompresible de segundo orden,

pg. 143, 1L t .

41Tc 42Tc 43Tc 44Tc velocidades de la onda no-isotrmica incompresible de cuarto orden,

Apndice M, 1L t .

5iTc , 1, ,5i velocidades de la onda no-isotrmica incompresible de quinto orden,

Apndice M, 1L t .

pc capacidad calorfica a presin constante por unidad de masa, 2 2 1L t T .

pkc capacidad calorfica a presin constante de la fase k , Ec. (J.2), 2 2 1L t T .

C representa a la ecuacin de continuidad en la Fig. 2.1.

C coeficiente de la onda compresible de tercer orden, Ec. (4.20), adimensional.

C 2

0C U s C , coeficiente adimensional de la onda compresible de tercer

orden, aparece por primera vez en la Ec. (4.26), adimensional.

C matriz de 4 4 , cuyos elementos son constantes, Ec. (F.2).

C matriz de 6 6 , cuyos elementos son constantes, Ec. (L.2).

wC coeficiente de la onda compresible de tercer orden asociada a la dinmica de

la pared exclusivamente, Ec. (5.24), adimensional.

wC w wC CC , coeficiente adimensional de la onda compresible de tercer

orden asociado a la dinmica de la pared exclusivamente, aparece por

primera vez en la Ec. (5.42), adimensional.

xxi

DC coeficiente de arrastre (de las siglas en ingls: Drag Coefficient),

adimensional.

CFB Circulated Fluidized Bed (lecho fluidizado circulante).

CFD Computational Fluid Dynamics (Dinmica de Fluidos Computacional).

D regin volumtrica, en el Apndice A, pg. 196.

D matriz de 4 4 , cuyos elementos son constantes, Ec. (F.3).

D matriz de 6 6 , cuyos elementos son constantes, Ec. (L.3).

*D matriz de 4 4 , cuyos elementos son constantes, Ec. (H.1).

**D matriz de 6 6 , cuyos elementos son constantes, Ec. (O.1).

kD tensor de rapidez de deformacin de la fase k , 1t .

tD dimetro del tubo elevador (considerado constante), L .

pd dimetro promedio de las partculas slidas, L .

E error cuadrtico medio, Tabla 4.3, adimensional.

E representa a la ecuacin de balance de la energa total en la Fig. 2.1.

kE k k k k k k kk k

E X a q n q , fuente de calor interfacial, 1 3M L t .

TgWE transporte de calor de la fase gas con la pared, Ec. (8.13), 1 3M L t .

TsWE transporte de calor de la fase slida con la pared, Ec. (8.14), 1 3M L t .

EDP Ecuacin Diferencial Parcial.

re vector unitario en la direccin r , adimensional.

ze vector unitario en la direccin z , adimensional.

ES representa a la ecuacin de balance de la entropa en la Fig. 2.1.

F fuerza promedio local ejercida por el fluido en las partculas, 2 2M L t .

Tf funcin auxiliar en la demostracin del Apndice A, Ec. (A.3).

Vf funcin auxiliar en la demostracin del Apndice A, Ec. (A.18).

kFf factor de friccin asociado a la fase k , adimensional.

kWf factor de friccin asociado a la fase k con la pared del tubo, adimensional.

kWF fuerza de arrastre de la fase k en la pared del tubo, 2 2M L t .

FCC Fluid Catalytic Cracking (Desintegracin cataltica en medio fluido).

xxii

kg campo vectorial de la aceleracin gravitacional actuando en la fase k, 2L t .

g magnitud del campo de aceleracin gravitacional, 2L t .

1g , 2g funciones que sirven de cota superior para las funciones Tf y Vf , aparecen

por primera vez en la Ec. (A.3) y en la Ec. (A.18), respectivamente.

G 20G Lg U , coeficiente adimensional de la onda compresible de segundo


ih coeficiente de transferencia de calor asociado a la interfaz, 3 1M t T .

ih coeficiente promedio de transferencia de calor asociado a la interfaz sg ,

3 1M t T .

0ih coeficiente promedio de transferencia de calor asociado a la interfaz sg

evaluado en el estado base, 3 1M t T .

kWh coeficiente de transferencia de calor asociado a la interfaz entre la fase k y

la pared, 3 1M t T .

kWh coeficiente promedio de transferencia de calor asociado a la interfaz entre la

fase k y la pared, 3 1M t T .

1h , 2h funciones que definen la parte que se ampla el intervalo de estabilidad por

el efecto de la compresibilidad del fluido:

3 22,1 1 2 32 j j jC

h c Pc P c Ps

, 1,2j , Ec. (4.45), 1L t .

. . .h o t high order terms (trminos de alto orden).

1H , 2H funciones de estabilidad definidas en la Ec. (4.49)-(4.50), adimensionales.

kH entalpa local especfica, se trata en el Apndice J, 2 2L t .

i nmero imaginario que se define como 1 .

IGT-DOE Institute of Gas Technology.

k indica la fase k -sima.

K grados Kelvin, T .

kk coeficiente de conductividad trmica, 3 1M L t T .

1K , 2K operadores diferenciales de segundo y primer orden, respectivamente,

Ec. (4.12)-(4.13).

xxiii

Re

kK energa cintica turbulenta, aparece por primera vez en la Ec. (1.49), 2 2L t .

KE ME representa a la ecuacin de balance de la energa cintica o energa

mecnica en la Fig. 2.1 (se tomaron las siglas en ingls de: Kinetic Energy o

Mechanical Energy, respectivamente).

L longitud del lecho fluidizado, L .

sL longitud caracterstica de la estructura de flujo, L .

L operador local instantneo general que describe el comportamiento

dinmico del fluido en la regin V , aparece por primera vez en la Ec. (1.43).

1L , 2L , 3L operadores diferenciales de segundo orden, Ec. (4.9)-(4.11).

4L , 9L operadores diferenciales de orden cero, Ec. (7.13) y Ec. (7.16).

6L , 8L , 10L operadores diferenciales de primer orden, Ec. (7.14), Ec. (7.15) y Ec. (7.17).

5L operador ondulatorio de quinto orden con efectos trmicos, Ec. (7.31).

5WL operador ondulatorio de quinto orden (con termicidad y pared), Ec. (8.36).

sl longitud caracterstica de las fases dispersas, L .

longitud caracterstica de las ecuaciones locales-instantneas, L .

longitud caracterstica de la fase continua (Fig. 1.2), L .

longitud caracterstica de la fase dispersa (Fig. 1.2), L .

21M , 22M coeficientes polinomiales de la onda compresible de pared de segundo

orden, Ec. (5.22) y estn definidos en el Apndice I.

31M , 32M , 33M coeficientes polinomiales de la onda compresible de pared de tercer orden,

Ec. (5.22) y estn definidos en el Apndice I.

1M , 2M coeficientes polinomiales asociados a la onda no-isotrmica de tercer orden,

Ec. (7.34) y estn definidos en el Apndice M, Ec. (M.3) y Ec. (M.4).

kM k k kX M , fuente de cantidad de movimiento interfacial,

Ec. (1.48), 2 2M L t .

kpM kp k k k iX P P M 1 , fuerza de presin interfacial, Ec. (2.30),

2 2M L t .

xxiv

ktM kt k k k iX M , fuerza debida a los esfuerzos de corte

interfaciales, Ec. (2.30), 2 2M L t .

D

kM D

k kp kt k k ki iP M M M I , esfuerzos superficiales totales

(normales y tangenciales), 2 2M L t .

M peso molecular de la fase continua o fluida, 1M mol .

M representa a la ecuacin de balance de momentum en la Fig. 2.1.

kn vector normal unitario que apunta hacia fuera de la fase k , adimensional.

1N 2N 3N 4N coeficientes polinomiales asociados a la onda no-isotrmica de cuarto orden,

Ec. (7.34) y estn definidos en el Apndice M, Ec. (M.10)-Ec. (M.13).

NuL NukW

L

k

h L

k, Nmero de Nusselt del fluido, adimensional.

Nu s Nui p

s

s

h d

k, Nmero de Nusselt de la partcula slida, adimensional.

iO , 1, ,5i coeficientes polinomiales asociados a la onda no-isotrmica de quinto orden,

Ec. (7.34) y estn definidos en el Apndice M, Ec. (M.20)-Ec. (M.24).

1p , 2p polinomios auxiliares en la Ec. (G.1) y en la Ec. (G.2) del Apndice G.

kP campo de presin de la fase k , 1 2M L t .

1P , 2P , 3P polinomios definidos en el Apndice G, Ec. (G.10)-Ec. (G.12).

kiP campo de presin de la fase k evaluado en la frontera de la regin espacial

kV denotada por kS , (Fig. 1.2), 1 2M L t .

ksP presin de la fase k evaluada a la entropa y densidad promedio, 1 2M L t .

p perturbacin de la presin alrededor del estado uniforme 0p , 1 2M L t .

0p campo de presin evaluado en un estado estacionario uniforme, 1 2M L t .

kq vector de flujo de calor de la fase k , 3M t .

p

kq k k kp

k

k

X P

vq , flujo de calor debido a la presin de la fase k , 1 3M L t .

t

kq k k kt

k

k

X

vq , flujo de calor debido a los esfuerzos viscosos de la fase

k , 1 3M L t .

xxv

K

kq 12

k k k k kK

k

k

X

v v vq , flujo de calor debido a la energa cintica de la fase

k , 1 3M L t .

r

kq k k k kr

k

k

X U

vq , vector de flujo de calor de la fase k , 1 3M L t .

Re

kq trmino que representa la suma de varios trminos turbulentos de energa

mecnica y energa trmica de la fase k , 1 3M L t .

convq conv kW W kq h T T , flux de calor por unidad de rea, 3M t .

Q representa el calor, 2 2L t .

kQ fuente de calentamiento por unidad de volumen asociada a la fase k ,

Ec. (1.3), 1 3M L t .

1Q , 2Q , 3Q funciones auxiliares definidas en la Ec. (5.31).

0r radio del volumen promediante V (Fig. 1.2), L .

k k r x y vector de posicin, L .

R constante universal de los gases, 2 2 1 1M L t T mol .

hR radio hidrulico, L .

1R , 2R , 3R funciones auxiliares definidas en la Ec. (5.31).

Reg 0Reg p g gd U , nmero de Reynolds referido al gas, adimensional.

Res Res p g t gd U , nmero de Reynolds referido a una partcula slida,

adimensional.

s s RT M , velocidad del sonido, 1L t .

S representa a los flujos de entropa en la ecuacin de balance para la

entropa en la Fig. 2.1.

S regin superficial definida por la regin volumtrica V , 2L .

SSS abreviacin para la referencia: Snchez-Soria-Salinas.

kS entropa especfica de la fase k , 2 3L t .

kWS rea interfacial entre la fase k y la pared del tubo elevador, 2L .

S S rea interfacial entre la fase continua y la fase dispersa , 2L .

kS rea interfacial entre las fases k y , 2L .

xxvi

St St p f , nmero de Stokes, adimensional.

kS regin superficial en 2 , definida por las fases k y , 2L .

keS entradas y salidas de la fase k en la frontera de la regin espacial V , 2L .

S regin interfacial, entre la fase continua y la fase dispersa , 2L .

kWS regin interfacial, entre la fase k y la pared del tubo, 2L .

t escala de tiempo en el nivel de descripcin promediado o global, t.

t 0t t t , tiempo adimensional, adimensional.

t escala de tiempo en el nivel de descripcin local-instantneo, t.

0t tiempo caracterstico asociado a las ecuaciones locales-instantneas, t.

*t t descomposicin de la escala temporal, t es el punto medio de la regin

temporal de integracin y es la desviacin alrededor de l para llegar a

*t , t.

T regin temporal de integracin en el promedio espacio-temporal, t.

T coeficiente de la onda compresible de cuarto orden, Ec. (4.19), t.

T 0 ,T U T LC coeficiente adimensional de la onda compresible de cuarto


0T temperatura de operacin del lecho fluidizado, T .

kT temperatura de la fase k , T .

WT temperatura de la pared de la columna del lecho fluidizado, T .

1WT temperatura de la superficie interna de la pared de la columna del lecho

fluidizado en la Fig. 6.2, T .

2WT temperatura de la superficie externa de la pared de la columna del lecho

fluidizado en la Fig. 6.2, T .

T

k fuerzas de interaccin de la fase k , Ec. (5.5)-(5.6),

2 2M L t .

iT temperatura de la interfaz, ver la Fig. 6.1, T .

kiT temperatura de la fase k evaluada en la frontera de la regin espacial kV

denotada por kS , T .

xxvii

ksT temperatura de la fase k evaluada a la entropa y densidad promedio, T .

gTT fuerzas de interaccin de la fase gas con termicidad, Ec. (8.7), 2 2M L t .

sTT fuerzas de interaccin de la fase slida (termicidad), Ec. (8.8), 2 2M L t .

TE representa a la ecuacin de balance de la energa trmica en la Fig. 2.1 (se

tomaron las siglas en ingls de: Thermal Energy).

TKE representa a la ecuacin de balance de la energa cintica turbulenta en la

Fig. 2.1 (se tomaron las siglas en ingls de: Turbulent Kinetic Energy).

TSL representa a la segunda ley de la termodinmica en la Fig. 2.1 (se tomaron

las siglas en ingls de: Thermodynamic Second Law).

u vector columna de 1 4 , de variables perturbadas en la Ec. (4.5) y (5.10).

u vector columna de 1 6 , de variables perturbadas en la Ec. (7.7) y (8.15).

U representa a la ecuacin de la energa interna especfica en la Fig. 2.1.

flowU velocidad de flujo caracterstica, Ec. (4.47) y Ec. (4.48), 1L t .

mU velocidad de la mezcla promedio, 1L t .

0U 0 0 0 2g sU v v , velocidad promedio aritmtico, 1L t .

kU energa interna especfica de la fase k , 2 2M L t .

ksU energa interna especfica de la fase k evaluada a la entropa y densidad

promedio, 2 2M L t .

gU velocidad promedio de la fase gas, 1L t .

sU velocidad superficial de los slidos, Ec. (4.46), 1L t .

SkU velocidad superficial de la fase k , 1L t .

SgU velocidad superficial del gas, 1L t .

SsU velocidad superficial de las partculas slidas, 1L t .

tU t s m g g sU V U V V , magnitud de la velocidad terminal de las

partculas en un medio estancado, 1L t .

tU velocidad terminal de las partculas en un medio estancado, pg. 110,

1L t .

xxviii

v representa al campo de velocidad local en la Fig. 2.1.

kv velocidad de flujo de la fase k dentro de V , 1L t .

kv desviacin del campo de velocidad de la fase k con respecto a un

promedio ponderado en la masa, 1L t .

kv desviacin del campo de velocidad de la fase k con respecto a un

promedio espacio-temporal, 1L t .

kv velocidad promedio de la fase k , 1L t .

kiv velocidad promedio de la fase k en el lmite cuando nos acercamos a la

interfaz desde el interior de la fase k , 1L t .

0gv velocidad promedio de la fase continua o fluida evaluada en un estado

estacionario uniforme, 1L t .

0sv velocidad promedio de la fase dispersa o slida evaluada en un estado

estacionario uniforme, 1L t .

kV velocidad intersticial de la fase k , 1L t .

V vector que representa las propiedades termodinmicas en V , Ec. (1.43).

V volumen promediante, definido por la regin tridimensional V , 3L .

kV volumen ocupado por la fase k en V , 3L .

V regin en 3 (Fig. 1.2), 3L .

kV regin ocupada por la fase k en V ; es decir, k V V , 3L .

kw velocidad de la interfaz k , 1L t .

w w velocidad de la interfaz gas-slido, 1L t .

kiW ki k k kW X v , trabajo interfacial, 1 3M L t .

kiW ki k k k k k iW X P 1 v v , trabajo extra interfacial, aparece

por primera vez en la Ec. (2.30), 1 3M L t .

x vector de posicin al centroide de la regin V , L .

x vector de posicin dirigido a cualquier punto de la regin V , L .

kx vector de posicin caracterstico de la escala de descripcin local

instantnea, dirigido desde el sistema coordenado de referencia a un punto

de la fase k en la regin espacial V , definida en la Fig. 1.2, L .

xxix

,kX t x funcin indicadora de fase o funcin generalizada, Ec. (1.6).

ky vector dirigido del centroide a cualquier punto dentro del volumen

promediante, L .

z direccin axial en el tubo elevador, L .

z distancia axial adimensional, adimensional.

Smbolos griegos

1 , 2 , 3 rapideces de propagacin del modelo aglutinado y que toman en cuenta

tanto el comportamiento compresible como el incompresible, resultan de la

solucin de la Ec. (4.30), 1L t .

1w , 2w , 3w rapideces de propagacin del modelo aglutinado y que toman en cuenta el

comportamiento compresible, el incompresible y los efectos de pared,

aparecen por primera vez en la Ec. (5.30), 1L t .

3

4D g t

p

C Ud

, grupo de constantes que es proporcional al arrastre

interfacial, 3 1M L t .

V 1

gV g g g P

T , coeficiente de expansin volumtrica, 1T .

kW 2

kW k kW

t

fD

, grupo de constantes que representa la friccin de la fase k

con la pared del tubo, 1L .

fase continua.

p Vc c , ndice adiabtico o razn de capacidades calorficas,

adimensional.

1 , 2 rapideces de propagacin de la onda compresible de segundo orden, donde

estn aglutinados los efectos de pared, Ec. (5.30), 1L t .

operador de onda asociado a la pared del tubo, Ec. (5.16), 2t .

xxx

representa una derivada inexacta.

j error porcentual, que aparece en la Tabla 4.3, adimensional.

V volumen ocupado por la regin D , 3L .

k representa la distribucin delta de Dirac, asociada a la interfaz k , en el

contexto de las funciones generalizadas, adimensional.

representa a los trminos de generacin de entropa en la ecuacin de

balance para la entropa en la Fig. 2.1.

k representa a los trminos de generacin de entropa en la ecuacin de

balance para la entropa, Ec. (2.3).

k fraccin volumen de la fase k , adimensional.

g fraccin volumen de la fase continua, adimensional.

s fraccin volumen de la fase slida, adimensional.

0 fraccin volumen de la fase continua, evaluada en el estado estacionario

uniforme, adimensional.

0s fraccin volumen de la fase slida o dispersa, evaluada en un estado

estacionario uniforme, adimensional.

0,mins valor crtico a partir del cual puede despreciarse la onda de cuarto orden en

relacin a los trminos de segundo y tercer orden, Ec. (4.27), adimensional.

0,s IC valor crtico de fraccin volumen de slido, para el cual la onda

incompresible de segundo orden tiene un mismo coeficiente que la onda

compresible de tercer orden; esto es, C , adimensional.

21 velocidad de la onda compresible de segundo orden, Ec. (4.23), 1L t .

31 , 32 , 33 velocidades de las ondas compresibles de tercer orden, aparecen por

primera vez en la Ec. (4.17), 1L t .

41 , 42 , 43 , 44 velocidades de la onda compresible de cuarto orden, Ec. (4.24)-(4.25), 1L t .

representa una perturbacin general; esto es, es: , , , , ,g s g sp v v T T . mdulo de compresibilidad de la fase slida, aparece por primera vez en la

Ec. (3.6) y el Apndice E est dedicado a su estudio, 1 2M L t .

xxxi

k flujo msico interfacial, 3 1M L t .

ki valor de la propiedad k en el lmite cuando nos acercamos a la interfaz

desde el interior de la fase k , definido en la pg. 28.

ngulo formado entre el vector gravedad y la direccin axial ascendente en

el tubo dada por el vector unitario ze , radianes.

nmero de onda, 1L .

0 nmero de onda, Ec. (4.43), 1L .

1 , 2 operadores de onda asociados a la pared del tubo, Ec. (5.14)-(5.15),

3 2M L t .

k segundo coeficiente de viscosidad de la fase continua, viscosidad

volumtrica o de bulto, 1 1M L t .

k viscosidad dinmica o de corte de la fase k , 1 1M L t .

21 , 22 rapideces adimensionales de las ondas de pared de segundo orden,

aparecen por primera vez en la Ec. (5.48), i.e., 21 21 0U , adimensional.

31 , 32 , 33 rapideces adimensionales de las ondas de pared de tercer orden, aparecen

por primera vez en la Ec. (5.48), i.e., 31 31 0U , adimensional.

21 , 22 rapideces de las ondas de pared de segundo orden, aparecen por primera

vez en la Ec. (5.27), 1L t .

31 , 32 , 33 rapideces de las ondas de pared de tercer orden, aparecen por primera vez

en la Ec. (5.27), 1L t .

k k k kP 1 , tensor de presiones de la fase k , 1 2M L t .

Re

k Re

k k k k k kX v v , esfuerzos de Reynolds, 1 2M L t .

densidad del fluido, 3M L .

k densidad de la fase k , 3M L .

g densidad de la fase continua o fluida, 3M L .

s densidad de las partculas, 3M L .

fase dispersa.

xxxii

kW rea interfacial entre la fase k y la pared del tubo.

,k

suma sobre las dos fases, continua y dispersa.

k k

suma sobre todas las interfaces del tipo k tal que la fase k este presente.

tiempo de relajacin de la onda dinmica incompresible, Ec. (4.18), t .

0 ,U L coeficiente adimensional en la Ec. (4.26), adimensional.

f escala de tiempo caracterstica de la turbulencia del fluido, t .

p tiempo de relajacin de las partculas, t .

k tensor de esfuerzos viscosos de la fase k , 1 2M L t .

tk tensor de esfuerzos turbulentos de la fase k ,

1 2M L t .

k flux de k dentro de kV .

variable auxiliar que puede tomar el valor de ,t z , aparece por primera

vez en la Ec. (K.1).

k densidad volumtrica de una cantidad termodinmica de inters, aparece

por primera vez en la Ec. (1.11).

frecuencia, Hz.

I parte imaginaria de la frecuencia, Hz.

R parte real de la frecuencia, Hz.

representa cualquier propiedad termodinmica, con carcter tensorial en

general.

1 tensor mtrico o unitario, adimensional.

xxxiii

Otros smbolos

3 coeficiente de la onda no-isotrmica de tercer orden, aparece por primera

vez en la Ec. (7.34), 2 3M L t .

4 coeficiente de la onda no-isotrmica de cuarto orden, aparece por primera

vez en la Ec. (7.34), 3 1M L t .

5 coeficiente de la onda no-isotrmica de quinto orden, aparece por primera

vez en la Ec. (7.34), 3M L .

3 coeficiente adimensional de la onda no-isotrmica de tercer orden, aparece

por primera vez en la Ec. (7.41) y se define en la Ec. (7.42), adimensional.

4 coeficiente adimensional de la onda no-isotrmica de cuarto orden, aparece


5 coeficiente adimensional de la onda no-isotrmica de quinto orden, aparece


10, , ,g sp T L T , aparece por primera vez en la Ec. (7.32).

W 10 1, , ,W g sp T L T , aparece por primera vez en la Ec. (8.37).

xxxiv

Smbolos matemticos

es idntico a.

se define como.

es aproximadamente igual a.

se aproxima por.

a variable evaluada en a .

C: a b c, , conjunto C integrado por los elementos ,a b y c .

indica la pertenencia, que asocia a una determinada coleccin de objetos.

que es un subconjunto de.

representa al conjunto de los nmeros complejos.

representa al conjunto de los nmeros reales.

2 representa algo en dos dimensiones; por ejemplo una superficie.

3 representa algo en tres dimensiones; por ejemplo un cuerpo en el volumen.

3 representa algo en cuatro dimensiones; i.e., en el espacio y tiempo simultneos.

tr A traza de la matriz A .

TA transpuesta de la matriz A .

x , y , z coordenadas rectangulares, L .

r , , coordenadas esfricas.

Lneas superiores

~ desviacin de un promedio ponderado en la masa.

. desviacin de un promedio espacio-temporal.

. valor adimensional.

Subndices

correspondiente a la fase lquida.

, g correspondiente a la fase continua o fluida.

, s correspondiente a la fase dispersa o slida.

k correspondiente a la fase k .

Superndices

T

transpuesto.

xxxv

Operadores matemticos

operador promedio integral, aparece por primera vez en la Ec. (1.17).

k operador promedio de superficie intrnseco, Ec. (1.40).

operador promedio intrnseco en la superficie de las partculas de

catalizador.

W operador promedio intrnseco en la superficie del tubo elevador.

kW operador promedio intrnseco en la superficie del tubo elevador.

k operador promedio espacio-temporal de k , Ec. (1.17).

k i campo k con promedio interfacial.

k

k operador promedio intrnseco de fase, Ec. (1.20).

,k gs

k operador promedio interfacial, Ec. (1.22).

gs

k operador promedio interfacial intrnseco, Ec. (1.23).

k

k promedio ponderado en la masa del campo k , Ec. (1.25).

kD

Dt k k

D

Dt t

v , derivada material cuyo movimiento est referido a la

velocidad de la fase k , 1t .

kD

Dt k k

D

Dt t

w , derivada material cuyo movimiento est referido a la

interfaz k , 1t .

tt

derivada temporal a posicin fija, 1t .

zz

derivada espacial a tiempo fijo, 1L .

kn

derivada normal, 1L .

Operador gradiente, nabla o del en la escala local, 1L .

Operador gradiente, nabla o del en la escala promedio o global, 1L .

lima

f xx

lmite de la funcin f x cuando x tiende al valor de a .

1

INTRODUCCIN. Antecedentes y justificacin

Regmenes de flujo en la fluidizacin gas-slido

Los regmenes de flujo en una sola fase pueden clasificarse de acuerdo a su movimiento

interno en: laminar, de transicin y turbulento. Sin embargo, los flujos en dos o ms fases

no pueden clasificarse de esta manera y los distintos regmenes se clasifican de acuerdo a la

geometra de la interfaz (Ishii, 1990). Parte de la definicin del rgimen de flujo es una

descripcin del arreglo morfolgico de las fases o patrn de flujo (Wallis, 1969).

La introduccin de gas por el fondo de una columna que contiene partculas slidas

mediante un distribuidor de gas puede causar que las partculas se fluidicen. Se han

identificado diversos patrones de flujo/regmenes (Figura 1.1). Con un incremento en la

velocidad del gas, los regmenes en lechos fijos son: burbujeante retardado o fluidizacin

libre de burbujas, fluidizacin burbujeante, fluidizacin en flujo tapn, fluidizacin

turbulenta, fluidizacin rpida y conveccin neumtica diluida. Sin embargo, contina

habiendo problemas para identificar la transicin de un rgimen a otro; por ejemplo, el

cambio de la fluidizacin turbulenta a la rpida no est bien definido (Andreux y col.,

2005).

Fluidizacin rpida

La fluidizacin rpida es un rgimen para poner en contacto ntimo gas a altas velocidades

con slidos finos en una corriente densa caracterizada por turbulencia extrema y reflujo

extenso de paquetes concentrados de partculas. Este rgimen se ha utilizado como una

tcnica que se orienta principalmente hacia aplicaciones en reactores tipo gas-slido,

catalticos o no-catalticos, en donde ofrece muchas ventajas (Yerushalmi y col., 1976).

Este rgimen de fluidizacin es muy importante porque en l ocurren muchos procesos

industriales, tales como la desintegracin cataltica de hidrocarburos o mejor conocida

como FCC por sus siglas en ingls.

2

Figura 1.1. Patrones de flujo en un lecho fluidizado gas-slido (Grace, 1986).

Existen diversos modelos para representar la estructura turbulenta en un flujo, Prandtl

(1925) suponiendo que los remolinos se mueven en un fluido de igual forma que lo hacen

las molculas en un gas, sugiri una ecuacin diferencial parcial para la longitud de mezcla;

posteriormente, Rotta (1951) mejor el modelo de Prandtl al sugerir uno que inclua dos

ecuaciones para dos escalas de la turbulencia en vez de una. Launder y Spalding (1972)

propusieron un modelo de dos ecuaciones y que es el que ms se utiliza. Este modelo

consiste de una ecuacin para la energa cintica turbulenta k y otra para la tasa de

disipacin de la energa turbulenta epsilon. El modelo k-epsilon, aunque originalmente se

propuso para una sola fase, su aplicacin se ha extendido a sistemas de dos fases dando

buenos resultados. Algunos autores han utilizado este modelo para representar la

turbulencia, en columnas de burbujas (Troshko y Hassan, 2001; Lahey, 2005), en lechos

fluidizados (Abou-Arab y Elghobashi, 1983; Chen y Wood, 1985; Dasgupta y col., 1994),

en medios porosos (Pedras y de Lemos, 2001). A pesar del hecho de que la validez del

modelo k-epsilon no es universal, presenta un buen compromiso entre simplicidad y

generalidad.

Lecho fijo o de burbujeo retardado

Rgimen burbujeante

Rgimen tapn

Rgimen turbulento

Fluidizacin rpida

Transporte neumtico

FLUIDIZACIN AGREGATIVA

Incremento de U,

(a) (b) (c) (d) (e) (f)

Lecho fijo o de burbujeo retardado

Rgimen burbujeante

Rgimen tapn

Rgimen turbulento

Fluidizacin rpida

Transporte neumtico

(a) (b) (c) (d) (f)

3

Elghobashi (1994) clasific los flujos del tipo gas-slido en dos regmenes: diluido y denso.

En el rgimen diluido, donde la fraccin volumen de slido es menor al 0.1%, las colisiones

entre partculas tienen un efecto despreciable en la turbulencia del gas acarreador. En tanto

que en el rgimen denso, la fraccin volumen de slido es mayor al 0.1% y las colisiones

entre partculas empiezan a jugar un papel importante en los flujos.

Zhang y Reese (2001) estudiaron flujos turbulentos del tipo gas-slido, con un modelo que

incorpora la influencia de la turbulencia del gas en el movimiento aleatorio de las partculas

por medio de la teora cintica generalizada, sus resultados indicaron que no debe ignorarse

la influencia de la turbulencia del gas en el comportamiento del flujo microscpico de

partculas para flujos relativamente diluidos, especialmente con partculas pequeas.

Zheng y col. (2001) hicieron simulaciones numricas utilizado modelos tipo k-epsilon-k(p)-

epsilon(p)-Theta para modelar la turbulencia en un flujo isotrmico incompresible en un

tubo elevador. Encontraron que la interaccin de la turbulencia del gas con las partculas

slidas es un factor crucial que afecta los resultados que ellos obtuvieron.

Diversos autores han modelado procesos de la fluidizacin rpida; entre ellos Gidaspow

(1994), Neri y Gidaspow (2000), y Valencia (2001). Ding y Gidaspow (1990) pudieron

predecir la formacin de burbujas de gas en un lecho fluidizado utilizando modelos

obtenidos con teora cintica extendida a medios granulares; Theologos y Markatos (1993),

por otra parte, propusieron un modelo muy completo para reactores del tipo FCC, que

incorpora la reaccin de cracking cataltico del gasleo y que resolvieron numricamente

(Theologos y col., 1997). Con este modelo ellos lograron predecir los aspectos ingenieriles

ms importantes en el tubo elevador como son: la cada de presin, la retencin de

catalizador, la velocidad de deslizamiento interfacial, la zona de aceleracin del catalizador,

la distribucin de temperaturas en ambas fases y de rendimientos en el reactor. Este modelo

constituy una buena aproximacin a estos sistemas, pero no se tom en consideracin el

efecto de la compresibilidad del flujo de vapor; adems, la turbulencia del vapor se incluy

a travs de un modelo muy simple tipo Boussinesq, con la viscosidad turbulenta.

Posteriormente, como un acercamiento ms a los procesos que tienen lugar en los sistemas

de FCC, Theologos y col. (1999) incorporaron en su modelo los efectos de alimentacin de

gasleo y su tasa de evaporacin.

4

Jinsen y col. (1999) propusieron un modelo similar al de Theologos y Markatos (1993). En

este modelo se incorporaron esquemas de reaccin ms complejos y la turbulencia se

represent con un modelo tipo k-epsilon. En sus resultados encontraron que el rgimen de

flujo reactivo-turbulento de gas en los tubos elevadores de las unidades de FCC es

extremadamente complejo, especialmente en la zona de alimentacin. Jinsen y col. (2001)

resolvieron numricamente el modelo y lo utilizaron como herramienta de estudio para la

operacin y modificacin del proceso de FCC. Sugirieron que la selectividad de la reaccin

para producir gasolina puede mejorarse al reducir el dimetro de la gota de gasleo

alimentada a la mitad; es decir, de 80 a 40 m. Estos estudios muestran la importancia que

tiene la obtencin de modelos confiables en la optimizacin y mejoramiento del proceso de

FCC.

Los flujos multifsicos tienen ms fuentes de disipacin que las situaciones de flujo en una

fase equivalentes. Se incluyen fuentes adicionales de disipacin tales como la disipacin de

energa turbulenta entre las fases y la disipacin interfacial. Al aplicar la tcnica de

promediado se elimina informacin detallada del sistema que despus debe introducirse

adecuadamente en los trminos fuente mediante una cerradura acorde a la situacin fsica

especfica. Estos trminos deben ser consistentes con la segunda ley de la termodinmica.

Tener un modelo consistente con la segunda ley de la termodinmica, implica que la tasa de

cambio de entropa y el flujo de entropa sean positivos definidos. Si todos los efectos estn

representados adecuadamente, entonces deberamos encontrar que la segunda ley de la

termodinmica siempre se satisface. De otra forma, si las expresiones de cerradura que se

obtengan nos conducen a que el balance de entropa no siempre satisface la desigualdad de

Clausius-Duhem, entonces sabemos que los trminos de disipacin en la generacin de

entropa no se estn modelando correctamente. Al verificar la congruencia del modelo con

la segunda ley de la termodinmica puede encontrarse que la forma de cerrar el problema

sobre-estima o sub-estima la disipacin, dependiendo de la situacin de flujo (Arnold y

col., 1990). La segunda ley de la termodinmica no es capaz de decirnos cules relaciones

de comportamiento son correctas, slo puede detectar cul conjunto de relaciones de

comportamiento es incompatible con requerimientos fsicos especficos.

5

Por ello, un conjunto de relaciones de comportamiento aceptable debera (Arnold y col.,

1990):

Incluir todos los efectos importantes,

ser congruente con la segunda ley de la termodinmica,

ser compatible con el principio de objetividad (Drew y Lahey, 1979),

llevar a un modelo promediado bien planteado, y

predecir los datos disponibles.

Antecedentes

En un trabajo anterior (Snchez-Lpez, 2003), considerando un sistema de dos fases gas-

slido, de un flujo homogneo e isotrmico de partculas slidas rgidas e iguales, se obtuvo

un modelo hidrodinmico de dos fluidos con promedio espacio-temporal. Esto es, uno que

no considera transferencia de masa, ni reacciones qumicas y por lo tanto, no incorpora

balances de especies qumicas. En el modelo se incorporaron los efectos de compresibilidad

de la fase fluida (gas o vapor) y se calcul el nmero de Stokes utilizando datos de dos

sistemas fsicos: (1) catalizador de FCC-vapor de agua (Kellogg, 1984) y (2) arena-aire

(van der Schaaf y col., 1998). El nmero de Stokes caracteriza el comportamiento de las

partculas suspendidas en un flujo y se define como la razn de un tiempo caracterstico de

la relajacin de las partculas en el flujo a un tiempo caracterstico del flujo.

Posteriormente, con este modelo se realiz un estudio ondulatorio, el cual consiste en

obtener una ecuacin de onda representativa del modelo linealizado en las variables de

perturbacin para luego analizar con ella sus coeficientes, rapideces de propagacin y

estabilidad lineal, con el fin de estudiar las ondas de presin en el lecho y de establecer la

importancia de la compresibilidad en la estabilidad del modelo.

Ms delante, se tom como punto de partida el modelo obtenido por Snchez-Lpez

(2003), en el cual se suprimieron los efectos asociados a la turbulencia, con la finalidad de

estudiar solamente la hiptesis de incompresibilidad. Con este modelo se realiz un estudio

de estabilidad lineal para estudiar el comportamiento dinmico del sistema mediante una

representacin de una ecuacin de jerarqua de ondas.

Consideraremos que un operador ondulatorio de primer orden es representado por

t za , donde a es la velocidad de la onda de primer orden.

6

De acuerdo con Whitham (1974), una ecuacin de jerarqua de ondas es una ecuacin en donde

aparecen distintos operadores ondulatorios, los cuales se jerarquizan de acuerdo al orden

del operador ms alto presente en la ecuacin. Con esta ecuacin de jerarqua de ondas se

hizo un estudio formal (Soria y col., 2008) donde se compararon los modelos compresible e

incompresible asociado a travs de un procedimiento sistemtico, el cual consiste en

utilizar la representacin de operadores en el modelo, para luego hacer manipulaciones

operacionales y representar los dos modelos en una misma base de comparacin.

El estudio ondulatorio se llev a cabo y se valid con los datos de dos sistemas, el flujo de

vapor-catalizador en una unidad de FCC y el flujo de aire-arena en una unidad de CFB.

Entre los resultados ms importantes que se obtuvieron estn: se predijeron ondas de

presin al incluir la compresibilidad de la fase gaseosa, cosa que no se consigue al utilizar

un modelo incompresible. Las ondas de presin estn esencialmente vinculadas con la

compresibilidad de la mezcla de las dos fases [Micaelli (1982)]. La propagacin de la

presin gobierna en un sistema especfico; por ejemplo, en el tubo elevador de un lecho

fluidizado [Snchez-Lpez (2003)]. Su velocidad de propagacin es menor o igual a la

velocidad del sonido sobre las dos fases [Nguyen y col. (1981)]. Con el modelo

incompresible slo se obtienen ondas de fraccin volumen de primero y segundo orden,

mientras que con el compresible se encontraron ondas de segundo a cuarto orden; sin

embargo, la onda de cuarto orden tiene un coeficiente sensiblemente inferior al de tercer

orden, lo cual justifica despreciarla en relacin a las otras. Al incluir la compresibilidad, el

modelo ondulatorio incompresible aumenta en un orden, de segundo a tercer orden.

Las rapideces de propagacin de las ondas de segundo orden del modelo incompresible

resultaron ser complejas conjugadas, con parte real del orden de 10 y parte imaginaria del

orden de 410 . Bour (1988) asocia la ocurrencia de rapideces complejas a modelos de dos

fluidos rgidos que consideran un campo nico de presin. En el caso de burbujas de aire en

un medio continuo como agua, este problema se soluciona con presiones distintas basadas

en la ecuacin de Young-Laplace, pero para sistemas formados de partculas slidas

pequeas del orden de m en un medio continuo, el campo de presin del slido no est

definido. Para definir la presin en los granos slidos se propuso una hiptesis bsica en la

obtencin de los teoremas de Arqumedes de la hidrosttica, que es considerar que el

campo de presin del fluido se contina al interior del slido ms una funcin de la

aglomeracin de slidos que depende de la fraccin volumen de slido (Gidaspow, 1994).

7

La funcin de aglomeracin o mdulo de compresibilidad del slido que utilizamos por ser

adecuada para los casos de estudio de esta tesis, es la propuesta por Jiradilok y col. (2006).

Con esta modificacin se logr remover las partes imaginarias en el modelo ondulatorio

incompresible. Estas razones motivan el deseo de profundizar en el tema, con el fin de

desentraar aspectos fundamentales acerca del papel que juegan los efectos de

compresibilidad y de termicidad en los modelos de la fluidizacin rpida, los cuales tienen

un carcter no-homogneo en general. As como tener una descripcin termodinmica

completa al incluir los efectos trmicos, incorporando el balance de energa y de entropa.

En particular, se modelar el comportamiento ante pulsos de calor a la entrada,

introduciendo la fase gaseosa a diferente temperatura que las partculas slidas. Con la

finalidad de evaluar las expresiones de cerradura que se obtengan, se analizar la

consistencia del modelo con la segunda ley de la termodinmica (Arnold y col., 1990).

Justificacin

Como se hizo notar en la revisin bibliogrfica, existe una cantidad variada de trabajos que

reportan modelos de lechos fluidizados rpidos, que consideran las fases incompresibles e

incorporan modelos de la turbulencia. Otros modelos consideran los efectos trmicos del

sistema y algunos ms incorporan reacciones qumicas y efectos de transferencia de masa.

Los enfoques y propsitos son diversos. Entre stos, el nfasis en el comportamiento

hidrodinmico del sistema requiere elaborar modelos que representen adecuadamente la

respuesta dinmica, primero a un nivel del anlisis del movimiento de las fases, para luego

incorporar, utilizando procedimientos compatibles, los efectos trmicos y de transporte de

componentes y reacciones en el modelo.

El propsito de este trabajo es desarrollar un modelo hidrodinmico de dos fluidos, en el

que las fases slida y fluida slo interactan a travs de las fuerzas de friccin interfacial y

de los efectos trmicos y de disipacin de energa mecnica, de modo que las

perturbaciones en el sistema induzcan movimientos ondulatorios que sean correctamente

representados por el modelo. Esto implica aplicar principios locales de conservacin y de

balance para dos materiales puros (los granos de slido y el fluido continuo) y extender

estos balances aplicando tcnicas de promediado y resolviendo las cerraduras requeridas,

bajo condiciones especficas plausibles.

8

Se ha demostrado en trabajos anteriores (Soria y col., 2008) que la inclusin de la

compresibilidad del fluido afecta la respuesta de los modelos ante pequeas perturbaciones.

En efecto, el modelo compresible que se obtuvo es de cuarto orden en tanto que el

incompresible es slo de segundo. Adems, las rapideces de propagacin del modelo

compresible incorporan los modos de propagacin relacionados con la velocidad del

sonido.

La consideracin de la hiptesis de incompresibilidad implica que las ondas de presin

viajan en el sistema con velocidad infinita (Bour, 1988). Asimismo se estudiar el

comportamiento no-isotrmico porque deseamos representar adecuadamente la disipacin

de la energa entre las fases. Considerar isotermicidad implica que la respuesta trmica del

sistema, incluidos los efectos de disipacin viscosa, se propagan en el sistema con

velocidad infinita de tal manera que son transferidos instantneamente a los alrededores y

no hay un incremento en la temperatura. La inclusin de la segunda ley de la

termodinmica es necesaria para analizar si la forma en la que se cierra el problema cumple

con el postulado de Clausius-Duhem.

Aunque la turbulencia generada por el flujo de gas es muy importante en el flujo de

partculas en el tubo elevador en el rgimen de fluidizacin rpida, ya que gobierna el

movimiento de los slidos en el tubo, su efecto no se considerar en los modelos que se

estudiaran en este trabajo. Sin embargo, se estudia su efecto en las restricciones implicadas

por la segunda ley de la termodinmica. La importancia del efecto de compresibilidad de la

fase fluida debe ser evaluada, as como la propagacin de ondas no-isotrmicas, que

determinan el flujo de calor debido a la disipacin de energa en el sistema y es necesaria

para establecer el balance de entropa, que se requiere para aplicar la segunda ley de la

termodinmica. Los efectos de transferencia de masa y los efectos asociados a reacciones

qumicas quedan fuera del alcance de este proyecto, aunque la sistematizacin de

procedimientos tiles para la extensin a estos problemas quedar establecida.

Las aportaciones originales estn en el modelar adecuadamente un sistema no-isotrmico-

compresible, la evaluacin de los efectos de compresibilidad, as como en el estudio de las

ondas trmicas y la congruencia de las cerraduras con el postulado de Clausius-Duhem.

9

Hiptesis, objetivos y metodologa

Hiptesis

Los efectos de compresibilidad y de termicidad determinan ampliamente el comportamiento

de los lechos fluidizados rpidos. Su inclusin apropiada en los modelos de dicha operacin

debe tener impacto en los resultados, como podr observarse en los anlisis de estabilidad

de ondas de fraccin volumen, trmicas y de presin.

Objetivo general

Elaborar un modelo hidrodinmico, que incluya promedios espacio-temporales y que sea

consistente con la segunda ley de la termodinmica, que permita evaluar los efectos de

compresibilidad y la evolucin de ondas trmicas en la fluidizacin rpida en ausencia de

turbulencia.

Objetivos particulares

Obtener un modelo para el rgimen de la fluidizacin rpida usando tcnicas de

promedio espacio-temporal.

Cerrar el conjunto de ecuaciones utilizando modelos de celda y ecuaciones de

estado para flujos de gas o vapor compresible.

Verificar la consistencia del modelo aplicando la segunda ley de la termodinmica.

Estudiar la dinmica y la estabilidad lineal del modelo.

Analizar la importancia de los efectos considerados en el modelo.

10

Metodologa

Primero, partiendo de las ecuaciones de conservacin de la masa y de la energa,

ecuaciones de balance de momentum y de entropa, se procede a aplicarles promedio

espacio-temporal (Drew, 1983; Snchez-Lpez, 2003). Posteriormente para cerrar el

modelo, se utiliza la ecuacin de estado del gas ideal (sin embargo, como se har notar en

la seccin 2.4, en esta descripcin en trminos de variables con promedio espacio-temporal,

es posible obtener una ecuacin de estado que describa el comportamiento termosttico del

gas ms real que la del gas ideal, pero en esta primera aproximacin no se utilizar) para

incorporar la compresibilidad de la fase fluida y los trminos interfaciales se cierran

mediante un modelo de celda. Se estudia la consistencia del modelo con la segunda ley de

la termodinmica, siguiendo la metodologa establecida por Arnold y col. (1990). A

continuacin se linealiza el modelo respecto a las perturbaciones y se eliminan las

velocidades de las fases mediante las ecuaciones de conservacin de la masa, obteniendo

as un sistema de ecuaciones para (a) la fraccin volumen y para la presin en el caso

isotrmico, y para (b) la fraccin volumen, la presin y la temperatura de cada una de las

fases, para el caso no-isotrmico. Luego, mediante la aplicacin de operadores diferenciales

a las ecuaciones, podemos obtener una sola ecuacin diferencial de orden superior que

represente al sistema original, en esta ecuacin estn separados los efectos tomados en

cuenta en el modelo; es decir, la compresibilidad, la pared del tubo y los efectos trmicos.

Esta metodologa nos permite evaluar cada efecto por separado y medir su importancia en

la dinmica y en la estabilidad del sistema. Con este modelo se estudian las rapideces de

propagacin y se analiza la estabilidad lineal mediante la relacin de dispersin asociada.

Por ltimo, se comparan los resultados del modelo incompresible con los del compresible y

los del isotrmico con los del no-isotrmico. Se confrontan distintos casos de estudio; por

ejemplo, para el caso isotrmico se comparan los datos experimentales de FCC reportados

por Kellogg (1984) con los reportados en un trabajo experimental realizado por van der

Schaaf y col. (1998) sobre un lecho fluidizado circulante CFB de partculas de arena

arrastradas con aire a temperatura ambiente, donde se dan mediciones de la velocidad del

sonido. Con los datos de este trabajo se obtuvo un nmero de Stokes de 2.15, lo que implica

que las partculas slidas tienen un movimiento ms independiente del gas que en el FCC,

donde el nmero de Stokes result ser de 0.13. El estudio ondulatorio con estos dos

sistemas se vuelve atractivo por las diferencias importantes entre las propiedades de ambos,

las cuales se presentan y discuten ms adelante.

11

Captulo 1

Ecuaciones de balance con promedio espacio-temporal

1.1 Introduccin

La principal dificultad en el modelamiento del flujo multifsico es que involucra muchas

escalas caractersticas de longitud y tiempo diferentes del sistema, la geometra compleja y

las condiciones a la frontera. La forma apropiada de modelar estos sistemas tan complejos

debe basarse en un mtodo riguroso en el que se establezca una conexin entre el nivel

local instantneo y la escala global. Por lo tanto, es importante desarrollar un mtodo

matemtico que pueda utilizarse sistemticamente para obtener las ecuaciones promediadas

a partir de las ecuaciones locales instantneas y que las relaciones de cerradura que se

requieran sean bien definidas y calculables (Zhang, 1993).

Prosperetti y Tryggvason (2007) sealan que: El problema del promediado en el flujo

multifsico es una complicacin de muchos aos, que se extiende en la historia tan lejos

como a la turbulencia monofsica. Hay sin embargo, una desventaja con este caso: mientras

que las ideas relativamente simples que se aplican a la turbulencia en una sola fase, tales

como la hiptesis de la longitud de mezclado, da buenos resultados, los enfoques simples

aplicados al promediado multifsico han tenido un xito mucho ms limitado. En realidad,

hablando en trminos generales, es justo decir que los modelos de ecuaciones promediadas

para el flujo multifsico son mucho menos desarrollados y mucho menos fieles a la realidad

fsica, que los de la turbulencia monofsica. Estas dificultades son todava considerables

pues afectan el modelamiento de muchos trminos y las ecuaciones a menudo parecen ser

algo deficientes an en el nivel puramente matemtico.

A partir de 1967 el promedio volumtrico fue usado para obtener las ecuaciones de medio

efectivo que implican dos fases. Sin embargo, el promedio volumtrico es adecuado y

suficiente para medios porosos. Si ambas fases estn en movimiento, los mtodos

estadsticos o de promedio espacio-temporal son ms adecuados.

12

Los procedimientos de promediado que se aplican a sistemas de dos fases pueden

clasificarse en tres grupos principales basados en los conceptos fsicos utilizados para

formular sistemas dinmicos (Ishii, 1975). Estos son, el promedio:

(1) Euleriano,

(2) Lagrangiano y

(3) Estadstico de Boltzmann.

El primero se sigue tradicionalmente ya que las ecuaciones locales instantneas estn

formuladas en un marco de referencia Euleriano, por lo que ste se adopta normalmente

para desarrollar el promediado. El promedio Lagrangiano sigue una determinada

trayectoria; por ejemplo, la trayectoria de una partcula slida. En el tercero, el promedio se

toma sobre una funcin estadstica de distribucin, comnmente la distribucin de

Maxwell-Boltzmann. Otro mtodo estadstico propuesto para desarrollar modelos es el

promedio de ensamble (Zhang, 1993; Zhang y Prosperetti, 1994; Drew y Passman, 1999).

En flujos multifsicos, pensaremos en el ensamble correspondiente a un movimiento dado

como un conjunto muy grande de realizaciones con variaciones que podemos observar. En

efecto, el conjunto puede (tericamente) contener rearreglos de los tomos dentro de las

fases; sin embargo, estas distintas realizaciones no son diferentes en el contexto de la

mecnica de medios continuos y por lo tanto no las consideraremos. Una diferencia

importante entre el promedio volumtrico y el promedio de ensamble, es que el promedio

de ensamble no requiere que el volumen de control contenga un gran nmero de partculas

en cada realizacin como lo requiere el promedio volumtrico. Por otro lado, el promedio

de ensamble es ms general que el promedio temporal y que el promedio volumtrico, ya

que se vuelve equivalente al promedio volumtrico para flujos que son estadsticamente

uniformes u homogneos espacialmente. Similarmente, cuando el nmero de muestras

tiende a infinito, lo cual implica la ergodicidad del proceso, el promedio de ensamble es

equivalente al promedio temporal (Drew y Passman, 1999). En este trabajo se demuestran

las condiciones bajo las cuales el promedio espacio-temporal contiene al promedio

volumtrico y al promedio temporal, como casos asintticos. La seleccin de una descripcin

de promediado para un determinado problema depende del fenmeno que se desea describir.

La fluidizacin rpida es un rgimen altamente turbulento donde las fases gas-slido estn

en movimiento, entonces para obtener un modelo en este rgimen, se necesitan un

promedio temporal y un promedio volumtrico. Con la finalidad de conseguir variables

suavizadas; primeramente, se debe tomar un promedio temporal y despus un promedio

volumtrico o viceversa. Sin embargo, en este trabajo se propone un promedio espacio-

temporal para obtener variables suavizadas en el tiempo y en el espacio en un slo paso.

13

Equation Section 1

1.2 Descripcin en el nivel local instantneo1

Las ecuaciones de balance a nivel local instantneo para la fase k son:

1.2.1 Ecuacin de conservacin de la masa

0k k kt

v . (1.1)

1.2.2 Ecuacin de balance de cantidad de movimiento

k k k k k k k kt

v v v g 0 . (1.2)

1.2.3 Ecuacin de balance de energa total

1 12 2

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