TESIS de MAGÍSTER - Pontificia Universidad...

D O C U M E N T O D E T R A B A J O

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TESIS DE GRADO

MAGISTER EN ECONOMIA

Castro Cienfuegos Nicolás

Julio 2009

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE I N S T I T U T O D E E C O N O M I A MAGISTER EN ECONOMIA

Administración de Fondos de Pensiones: un Nuevo Indicador de

Rentabilidad

Nicolás Andrés Castro Cienfuegos*

Comisión

Jaime Casassus, Augusto Castillo.

Julio, 2009

* Este trabajo corresponde a la tesis para optar al grado de Magíster en Economía, mención Economía

Financiera, de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Agradezco la ayuda de Salvador Valdés tanto por

proponer el tema de investigación que aquí desarrollo, como por las numerosas conversaciones que

sostuvimos a lo largo del semestre. Quisiera agradecer también la ayuda y comentarios de los profesores de

la comisión de Economía Financiera, Jaime Casassus y Augusto Castillo. Además, agradezco el valioso

apoyo brindado por LVA Índices, a través de su Gerente General, Sr. Gregorio González, y su Jefe de

Investigación y Desarrollo, Sr. José Vaisman. Fueron sumamente útiles los comentarios y la ayuda de Marco

Morales, Juan Ignacio Zucal, Pablo Castañeda, Raimundo Atal, Guillermo Marshall, y Esperanza Johnson. Por

supuesto, todos los errores u omisiones son de mi absoluta responsabilidad. Por último, agradezco

enormemente el apoyo recibido por parte de mi familia durante todo este proceso.

Abstract

This thesis presents a methodology by which it is possible to build a new return index for the

performance of pension fund administrators (PFA). This index —which I refer to as the index for

Social Security return (IRP for it Spanish name) — integrates changes in pension prices to the

variations of the value of certain types of pension funds. As a result, we gain a precise idea of the

variation in purchasing power (in terms of their pensions) experienced by affiliates of these specific

types of pension funds. In view of this I find that, during the period between January 2005 and June

2008, fund E for all of the four largest PFAs showed consistently lower levels of variation rates of

the IRP than the corresponding traditional index. The increase experienced by the unit cost of an

annuity essentially explains this difference. A simple model using the IRP is also developed to allow

an exploration of its effect on the optimal duration choice of a portfolio. The model indicates that the

optimal duration of the portfolio will depend on the existing correlation between the unit cost of an

annuity and the assets of the fund.

Resumen

Este trabajo presenta la metodología para construir un nuevo índice de rentabilidad de las

Administradoras de Fondos de Pensión (AFPs). Este índice —que llamo Índice de Rentabilidad

Previsional (IRP) — integra a las variaciones en el valor cuota de un cierto tipo de fondo de

pensión, los cambios del costo de la pensión que se adquiera. Así, se obtiene una idea precisa de

las variaciones del poder adquisitivo (en términos de pensión) que tienen los afiliados de un cierto

tipo de fondo. Se encuentra que durante el período abarcado entre enero de 2005 y junio de 2008,

las tasas de variación del IRP alcanzaron niveles sostenidamente inferiores a las tasas de

variación del índice de valor cuota del Fondo E, para las cuatro mayores AFPs del mercado. Esta

diferencia se debe principalmente al alza que ha experimentado el precio de la renta vitalicia

unitaria durante dicho período. Se desarrolla también una aplicación para el IRP, estudiando el

efecto que tiene tomar en cuenta este índice en la duración promedio de los activos de un

administrador de portafolio. El modelo teórico indica que la duración de la cartera dependerá de la

correlación existente entre la prima unitaria de renta vitalicia y los activos del fondo.

Resumen

Índice

1. Introducción 2

2. Metodología 6

2.1. Precio de la Pensión Unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. MWR de Mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1. Valor Presente Esperado . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Procedimientos 13

3.1. Datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2. Análisis de Medias MWRs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.1. Literatura Relacionada: Chile . . . . . . . . . . . . . 173.2.2. Literatura Relacionada: Estados Unidos y Reino Unido 18

3.3. Análisis de Dispersión de MWRs . . . . . . . . . . . . . . . 193.4. Estimación Econométrica del MWR de Mercado . . . . . . 20

3.4.1. Resultados Estimación . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5. Prima Renta Vitalicia Unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.5.1. Inverso del MWR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.5.2. VPE Renta Vitalicia Unitaria . . . . . . . . . . . . . 26

4. Resultados 28

4.1. Prima Estimada de Renta Vitalicia Unitaria . . . . . . . . . 284.2. Indice de Rentabilidad Previsional . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2.1. Valores Cuota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2.2. IRP Estimado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5. Aplicación 35

5.1. Desarrollo del Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.2. Optimización con Valor Cuota. . . . . . . . . . . . . . . . . 365.3. Optimización con Valor Cuota y Valor Pensión Unitaria. . . 375.4. Comparación de resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6. Conclusión 41

A. Apéndice 45

A.1. Interpolación de Estructura de Tasas. . . . . . . . . . . . . 45A.2. Interpolación de tablas RV-2004 . . . . . . . . . . . . . . . . 45A.3. Metodología Rentabilidad Indices . . . . . . . . . . . . . . . 47A.4. Solución Problema de Optimización con Valor Cuota. . . . 48A.5. Solución Problema de Optimización con Valor Cuota y Val-

or Pensión Unitaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1

1. Introducción

Es usual relacionar el comienzo de la teoría nanciera moderna con el análisisde elección de cartera desarrollado por Markowitz [1952], donde los individuosescogen los activos que mantendrán en su poder basados en un análisis media-varianza de los retornos. Sin embargo, el conocido resultado que los inversion-istas que sólo se preocupen por la media y la varianza de los retornos deman-darán una misma combinación de activos riesgosos compuestos por bonosy acciones no ha sido observado en la práctica. Comunmente, los admin-istradores nancieros construyen portafolios de inversiones que dieren segúnlas características del cliente y sus objetivos, yendo aparentemente en contra delo que la teoría considera cómo una administración de cartera eciente. Una delas razones de este fenómeno consiste simplemente en que los individuos no sólose interesan en la media y la varianza de los activos nancieros, sino que existenotros factores que también inuyen en sus preferencias. Así, la existencia de im-puestos, la disponibilidad de otras fuentes de riqueza nanciera o no nanciera,y el horizonte de inversión, aparecen como algunas causas factibles de explicarlas diferencias en la composición de las carteras de inversión que se encuentranen la práctica. Sin embargo, la teoría no se ha quedado atrás, desarrollándosea partir de Merton [1969] un análisis intertemporal de equilibrio parcial, queincorpora al problema de elección de cartera elementos más realistas que lossupuestos por Markowitz [1952]. El modelo de Merton ha mostrado una graninuencia en la teoría nanciera moderna, viéndose enriquecido con el paso deltiempo gracias a diversos aportes. Por ejemplo, Cox et al. [1985] desarrollanun modelo de equilibrio general en tiempo continuo, donde tanto el precio delos activos como sus propiedades estocásticas son determinados endógenamente.Sundaresan [1989] construye un modelo donde la utilidad del individuo dependede la historia del consumo. Basándose en un modelo de equilibrio general similaral de Cox et al. [1985], Sundaresan consigue racionalizar el comportamiento rel-ativamente estable del consumo en comparación a las uctuaciones de la riquezananciera.

En el ámbito de pensiones, la aplicación de modelos de elección de cartera espertinente pues la decisión de inversión de los fondos ahorrados para la vejez demillones de personas se delega en un grupo de administradores nancieros quedeben encontrar la forma más eciente de llevar a cabo esta tarea. En este tipode problema, es de particular interés realizar un análisis de largo plazo comoel que se desarrolla en Campbell and Viceira [2003]. En efecto, el horizonte deinversión de los aliados a un sistema de pensiones de contribución denida hacerelevante la evaluación de riesgos que no necesariamente serían analizados enlas decisiones de un inversor de corto plazo, como el riesgo de tasa de interéso el riesgo de inación. Así, las decisiones óptimas de inversión diferirán delanálisis miópico de Markowitz [1952] al incorporar términos de cobertura enlas demandas de activos, como la demanda de hedging encontrada en Merton[1971, 1973]. Si bien en la literatura se han resuelto problemas de elección decartera incluyendo distintos factores de riesgo que surgen al tomar un horizonte

2

de inversión de largo plazo (ver Campbell and Viceira [2003], Cairns et al. [2006])existe un factor de riesgo que no ha sido incorporado al análisis: las variacionesen el precio de la pensión. En efecto, los aliados a un sistema previsional deconstribución denida, ahorran parte de sus ingresos durante el período activode su vida laboral, y deben transformar dichos ahorros en una pensión en elmomento en que deciden jubilarse. La forma en que dicha transformación ocurrees adquiriendo con el dinero ahorrado en el fondo, el derecho a recibir un montomensual mediante la compra de un contrato, ya sea de renta vitalicia, retiroprogramado, o algún híbrido entre estos dos tipos.

Para valorar el dinero ahorrado en el fondo se utiliza el concepto de valorcuota. Actualmente en Chile, cada Tipo de Fondo de Pensiones del sistema decapitalización individual está formado por las inversiones, y la rentabilidad deestas inversiones, realizadas con las cotizaciones obligatorias y voluntarias de losaliados al sistema, además de aportes adicionales y Bonos de Reconocimiento.La forma en que estas inversiones se valoran es establecida por la Superinten-dencia de Pensiones (SAFP), y debe ser utilizada diariamente para valorar cadaTipo de Fondo de Pensiones. El valor cuota de un fondo se obtiene dividiendoel valor total del fondo en el número de cuotas existentes1.

El poder adquisitivo que tienen los aliados en términos de pensiones, de-pende entonces de dos factores claves: el valor cuota del fondo, y el precio de lapensión que adquieren. Matemáticamente, la pensión mensual por renta vitaliciaque un individuo puede adquirir está dada por:

Pt,t =V Ct ·NtPrimaunitt,t

(1.1)

donde

Pt,t+d : es el monto mensual en el momento t que paga una renta vitalicia apartir del momento t+d;

V Ct : es el valor cuota del fondo de pensiones en el momento t ;

Nt : es el número de cuotas pertenecientes al individuo en el momento t;

Primaunitt,t+d : es el precio en t de una pensión unitaria (i.e. que paga $1 en cadaperíodo) que comienza a pagar en el período t+d;

Se observa que si el precio de la pensión covaría negativamente con el valorcuota, cae el riesgo del aliado que valora el ujo de pensiones. En este punto,Valdés [2008] da un paso adicional y propone que todos los actores del pro-ceso, incluyendo aliados, administradores de fondos y reguladores, midan larentabilidad con el IRP, no con el valor cuota, aduciendo que sólo el IRP es deinterés para los aliados, y por ende para los demás actores del sistema. Luego,

1Todas las cuotas de un fondo son de igual monto y características. Además, el númerototal de cuotas es jo.

3

propone cuanticar las variaciones del IRP construyendo un índice de preciospara la prima de la pensión unitaria, con el n de medir la tasa de variación yla incertidumbre del IRP, que no han sido analizadas previamente.

En esta tesis se lleva a la práctica esa idea y además se cuantica la im-portancia del IRP para una aplicación especíca: en qué medida esta nuevaperspectiva debería afectar las elecciones óptimas de inversión del fondo.

Al llevar a cabo este análisis, se necesita denir la metodología para obtenerla prima de la pensión unitaria. Para denir esta metodología, resulta funda-mental el uso del Money's Worth Ratio (MWR) de las pensiones. El MWR deuna pensión está denido por la razón entre el valor presente esperado (VPE)de la pensión, y la prima o precio que se paga por dicho contrato. Así, el MWRindica que tan favorable es el contrato que está obteniendo un cierto individuo:un MWR mayor a 1 indica un precio menor al ujo esperado que reporta unapensión, mientras que un MWR menor a 1 reeja la existencia de un castigoaplicado al comprador del contrato. Para obtener los MWR de las rentas vitali-cias, se trabaja con la metodología propuesta por Brown et al. [1999] y Mitchellet al. [1999], que es utilizada en la mayor parte de la literatura relacionada (verpor ejemplo Finkelstein and Poterba [1999], Murthi et al. [1999], Cannon andTonks [2002], Thorburn et al. [2006]). Los resultados obtenidos para los MWRsdel mercado chileno de rentas vitalicias son similares a los encontrados en laliteratura para mercados de países desarrollados, aunque dieren de otros estu-dios realizados para Chile (Thorburn et al. [2006], James et al. [2006]) pues engeneral se encuentranMWRs inferiores a 1. Las diferencias para el caso chilenoradican probablemente en los supuestos que acá se realizan para construir losMWRs.

Este trabajo aporta de dos maneras distintas. En primer lugar, se proponela metodología para construir un Índice de Rentabilidad Previsional (IRP), in-corporando a las variaciones del valor cuota de un fondo de pensiones, las varia-ciones de la prima de la pensión unitaria por renta vitalicia. La diferencia entreel IRP y el índice derivado del valor cuota de un fondo, consiste en las variacionesde la prima de la pensión unitaria, y representa para los aliados una fuentede riesgo que no se está tomando en cuenta en la administración de portafolioactual. El IRP permite cuanticar este riesgo.

El segundo aporte consiste en ilustrar la importancia que puede tener parala administración de un fondo el tomar en cuenta las variaciones del precio dela pensión unitaria. Se plantea un modelo de elección de cartera para estudiarel efecto en la duración promedio del fondo, de incorporar al análisis variacionesdel precio de la pensión unitaria.

La tesis se estructura de la manera siguiente. La sección 2 presenta lametodología utilizada para la construcción del IRP explicando en detalle lospasos necesarios para obtener un indicador de la prima de renta vitalicia uni-taria. Como ya se ha adelantado, para esto se hace uso de los MWRs de las rentasvitalicias. La sección dene también la metodología con la cual se construyen

4

dichos MWRs.En la sección 3 se ejecutan los procedimientos planteados en la metodología.

Si bien estos procedimientos apuntan a la construcción de la prima de rentavitalicia unitaria (y posteriormente del IRP), se pone un énfasis especial en elanálisis de los MWRs. Esto se debe al atractivo que este tema posee en sí mismo,dada la amplia literatura relacionada disponible, y lo utilizado del concepto enel ámbito de pensiones.

La sección 4 muestra los principales resultados encontrados, presentando unanálisis tanto de la prima de renta vitalicia unitaria, como del IRP. La primade renta vitalicia unitaria constituye la diferencia sustancial entre el IRP y elíndice derivado del valor cuota de un fondo de pensión, lo que hace necesario suestudio.

La sección 5 en tanto, busca ilustrar el efecto que puede tener para unadministrador de fondos de pensiones el tomar en cuenta un índice como elIRP para elegir la composición óptima de sus inversiones. Para estos efectos,se desarrolla un modelo simple de elección de cartera en tiempo continuo, endonde el administrador del fondo elige la proporción óptima en que invierte losactivos del fondo.

Finalmente, la sección 6 concluye el trabajo, presentando las principalesimplicancias del IRP.

5

2. Metodología

El cálculo del IRP requiere de la existencia de un indicador del precio de lapensión unitaria, de manera de añadir a los cambios porcentuales del valor cuotade un fondo, las variaciones del precio de la pensión. Este indicador conllevaalgunas dicultades prácticas para el caso de las rentas vitalicias2:

1. Cada aliado que desee comprar una pensión obtiene por lo general unprecio diferente aún cuando sus características sean similares a la de otrosaliados. Esto se traduce en que no exista un sólo precio para la pensiónunitaria, por lo que al denir un indicador de esta variable, es necesarioagregar la información de ciertos tipos de personas relativamente similaresen un individuo representativo.

2. A diferencia del retiro programado, no existe una fórmula denida queestablezca la forma en que se calcula el costo de adquirir una pensiónunitaria por renta vitalicia. Si bien es posible calcular un precio actuar-ialmente justo, en general la evidencia empírica en los mercados de rentasvitalicias de países desarrollados revela la existencia de un castigo apli-cado por las CSV a los compradores de tales contratos. Esto implica lanecesidad de estimar el castigo que el mercado aplica a los compradoresde rentas vitalicias período a período.

Esta sección describe la metodología adoptada para solucionar estos problemas,obteniendo así un estimador del precio de la pensión unitaria, y posteriormentedel IRP.

2.1. Precio de la Pensión Unitaria

En Chile, desde 2005, el mercado de las rentas vitalicias está intermediadopor el Sistema de Consultas y Ofertas de Montos de Pensión (SCOMP). Con eln de transparentar el mercado de pensiones, el SCOMP establece un sistemade cotización de rentas vitalicias, donde indirectamente los aliados interesadosen jubilar consultan por los montos de pensión que pueden obtener según suscaracterísticas personales y la prima que han acumulado en la AFP durante susaños de cotización. El sistema surgió por causa de irregularidades observadasen la década de 1990, donde algunas compañías de seguros de vida y corredoresde pensiones ofrecían montos de dinero en efectivo a los aliados interesados enjubilar, estableciendo al mismo tiempo altas comisiones que disminuían el valorpresente esperado de las rentas vitalicias que los aliados contrataban3. Esta

2Si bien la tesis no desarrolla el IRP aplicado a los retiros programados, su extensión esrelativamente sencilla, pues la diferencia radica en la forma en que se calcula el denominadorde (1.1). Para los retiros programados, la SAFP establece en el documento Nota Técnica N°

1 la forma de calcular el precio de la pensión unitaria (que en dicho documento es llamadoCapital Necesario Unitario) y el monto de la pensión. Para la construcción del IRP aplicadoa retiros programados, se debería entonces calcular el Capital Necesario Unitario período aperíodo y observar sus variaciones porcentuales.

3Walker [2009]

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práctica era llevada a cabo de manera recurrente en el mercado de las rentasvitalicias, creando una alta dispersión de las tasas de venta para pensionadosde similares características.

Si bien el SCOMP ha tenido por efecto homogeneizar las ofertas que recibenlos interesados en pensionarse mediante renta vitalicia , todavía existen diferen-cias en los precios que perciben personas relativamente parecidas (en términosde edad, sexo, estado civil, etcétera), lo que equivale a decir que cada alia-do enfrenta un precio diferente por peso de pensión que quiera contratar. Paraconstruir un índice de la prima unitaria de una pensión de renta vitalicia, esnecesario establecer primero cuál es el precio que se busca medir. El precio quelas CSV cobran a un aliado por recibir un cierto monto de pensión dependeráde sus características, pues estas inuyen directamente en los ujos de caja quela CSV se compromete a desembolsar al vender una renta vitalicia.

En términos matemáticos, el valor presente de los egresos de caja esperadosque le genera a una CSV proveer una renta vitalicia individual contratada porun individuo de edad x en el momento j es:

V P ej,ind. =12(τ−x)∑t=d+1

P · px,jt + CM · (1− px,jt )(1 + rj,t)

(2.1)

donde

V P ej : valor presente esperado de la renta vitalicia adquirida en el momento j;

P : valor en UF de la pensión mensual que recibirá el causante de la rentavitalicia;

CM : cuota mortuoria, esto es, monto en UF que toda renta vitalicia paga en casode fallecimiento del causante. En Chile CM =UF 15;

pz,jt : probabilidad, de un individuo de edad z al momento j, sobreviva t meses más(i.e. hasta cumplir z+ t/12 años). En el caso de renta vitalicia garantizada, pz,jtse ja igual a 1 por la totalidad del período asegurado;

d : número de períodos diferidos para el caso de renta vitalicia diferida;

τ : último período en la tabla de mortalidad (i.e. mayor edad asumida que un individuopuede alcanzar, en Chile se ja τ = 110);

rj,t : tasa acumulada entre el momento j y el momento t utilizada para descontar losujos.

Si por el contrario, la renta vitalicia proveída por la CSV fuese conjunta, encaso de fallecimiento del causante del contrato, el cónyuge recibe el 60% de lapensión, por lo que el valor presente de los egresos de caja esperados estaríadado por:

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V P ej,conjun =12(τ−x)∑t=d+1

P · px,jt + 0.6 · P · (1− px,jt ) · py,jt + CM · (1− px,jt )(1 + rj,t)

(2.2)

donde las variables son las mismas que las de la ecuación (2.1) y donde

py,jt : probabilidad de sobrevivencia del cónyuge del causante, de edad y al momentoj de rmar el contrato.

El valor presente esperado del egreso de caja que le genera a una CSV proveerun pensión de renta vitalicia representa su costo, pero no necesariamente cor-responde al precio que el aliado nalmente paga por adquirir el derecho apensión. En efecto, la prima que la AFP transere a una CSV que se encargaráde proveer la pensión de un aliado, tiende a ser diferente del costo de proveerla pensión. La razón entre el VPE de la renta vitalicia y la prima que se cancelapara adquirirla, es llamado el Money's Worth Ratio (MWR) e indica la relaciónentre el costo de proveer una pensión y el valor que debe pagar un aliado paraadquirirla. En términos de las ecuaciones (2.1) y (2.2):

MWRi,t =V PPi,t

PrimaPi,t(2.3)

donde V PPi,tcorresponde al valor presente esperado de una renta vitalicia,contratada en el momento t, que paga $P al individuo i todos los meses, calcu-lado como en (2.1) o en (2.2), y PrimaPi,t es el monto transferido desde la AFPa la CSV que el individuo i debe pagar para obtener derecho a recibir la pensiónmensual de $P .

El lado derecho de la ecuación (2.3) puede ser interpretado como el ratioentre el costo de proveer la renta vitalicia $P al individuo i, y el precio paraadquirir dicha renta vitalicia. Si se supone que dicho ratio, en el período t, esigual para un cierto tipo de individuo i, entonces se puede determinar el preciode la pensión unitaria que ese individuo es capaz de obtener ese período.(

V PPi,tPrimaPi,t

= Costoi,tPrecioi,t

)∧( V Puniti,t

Primauniti,t= Costoi,t

Precioi,t

)⇒ Primauniti,t = PrimaPi,t

V PPi,tV Puniti,t

Primauniti,t = 1MWRi,t

V Puniti,t (2.4)

Es decir, para un individuo tipo i, el precio que debe pagar en el momentot por recibir una pensión unitaria, es igual al costo de proveer dicha pensión,ajustado por un factor de mercado, dado por el inverso del MWR, que indica el

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castigo (o premio) aplicado al contrato del individuo. Si el MWR sube, el factorde mercado castiga menos a los aliados, con lo que el lado derecho de (2.4)disminuye, así como también la prima unitaria de renta vitalicia.

El costo de la pensión unitaria, V Puniti,t , se puede obtener al aplicar las fórmu-las de (2.1) o (2.2) a una pensión con P = 1, sin embargo es necesario estimarMWRi,t. Como ya se mencionó, cada transacción de renta vitalicia obtieneun MWR particular, por lo que para calcular un sólo valor de Primauniti,t esnecesario agregar la información disponible en el mercado acerca de los MWRobtenidos por individuos de características similares. En otras palabras, se re-quiere encontrar el MWRt de mercado.

Obteniendo un estimador de (2.4), se puede construir el índice de manera di-recta reemplazándo el valor de Primauniti,t en (1.1) y asumiendo, para simplicar,que el número de cuotas igual a 1:

IRPFi,t = V CFtPrimauniti,t

=V CFt

1MWRi,t

V Puniti,t

(2.5)

4%IRPFi,t = IRPi,t+1IRPi,t

− 1 (2.6)

donde IRPFi,t es el Indice de Rentabilidad Previsional de un Tipo de FondoF, es decir, medido con el valor cuota del Tipo de Fondo F, V CFi,t.

2.2. MWR de Mercado

Puesto que la medición del valor de la pensión unitaria requiere estimar losMWRs que un individuo de ciertas características es capaz de conseguir en dis-tintos momentos del tiempo, se propone una estimación econométrica delMWRde mercado en cada período de tiempo. La mayoría de los trabajos existentesen la literatura relacionada se basan en el análisis de relativamente pocas obser-vaciones de ofertas de rentas vitalicias (i.e. no en las verdaderas transacciones),computando promedios según categorías bastante amplias. El nivel de informa-ción que las CSV deben reportar a los entes regulatorios del mercado chileno, laSuperintendencia de Valores y Seguros (SVS) y la SAFP, permite acceder a lainformación de las transacciones efectivas del mercado de rentas vitalicias, lo queabre la posibilidad de realizar un estudio mucho más robusto de los promediosde cada categoría deMWR, y un análisis econométrico de los determinantes deesta variable4. Tanto el modelo a estimar como los resultados se detallan en lasección 3 de la tesis. En esta subsección se desarrolla la metodología utilizadapara la construcción de los MWRi,t con los que posteriormente se estimará elMWRt de mercado.

4Thorburn et al. [2006]

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2.2.1. Valor Presente Esperado

Como se señala en la ecuación (2.3), elMWR de un contrato de renta vitali-cia particular es la razón entre el valor presente esperado (VPE) de los ujos queuna CSV deberá pagar al causante del contrato, y la prima que dicho causantecancela para adquirir el derecho a la pensión. Si bien en Chile la SVS disponede la información acerca de la prima cancelada en cada contrato reportado porlas CSV, no existe en su base de datos un registro del VPE que cada renta vi-talicia tiene al momento de ser adquirida. Sin embargo, a partir de dicha base esposible construir el VPE de las rentas vitalicias y posteriormente el MWR. Endicho proceso, es necesario diferenciar los casos en que las rentas vitalicias seanindividuales o conjuntas, diferidas y/o garantizadas, utilizando las ecuaciones(2.1) o (2.2) según corresponda. Uno de los insumos más importantes para estaconstrucción son la estructura de tasas de interés que se utiliza para descontarlos ujos de cada renta vitalicia, y la probabilidad de sobrevivencia que tengandistintas cohortes de individuos para ponderar el valor esperado a pagar en cadaperíodo. A continuación se describe la metodología para generar la estructurade tasas y las tablas de sobrevivencia.

Estructura de Tasas

Los estudios existentes que analizan MWRs y el VPE de las rentas vitali-cias utilizan normalmente dos tipos de tasas para descontar los ujos esperadosgenerados por el contrato. Por un lado, se utilizan estructuras de tasas de in-terés de bonos cero-cupón libres de riesgo, ya sean nominales o reales, segúncorresponda el tipo de pensión. Por otro lado, se aplican estructuras de tasasriesgosas, utilizando como referencia tasas de bonos corporativos, o adicionandoun cierto spread a las tasas libres de riesgo. La razón para tomar en cuenta unaestructura de tasas de interés riesgosa es reejar las verdaderas oportunidadesde inversión que los proveedores de las rentas vitalicias pueden tener a lo largodel tiempo, las que pueden diferir considerablemente de instrumentos libres deriesgo.

Mientras Brown et al. [1999] utilizan el primer método para descontar los u-jos esperados de las rentas vitalicias, Mitchell et al. [1999], Murthi et al. [1999],Finkelstein and Poterba [1999] y más recientemente Thorburn et al. [2006] uti-lizan los dos métodos para construir MWRs. Los resultados son en general,cualitativamente los mismos aunque los MWR tienden a diferir cuantitativa-mente, siendo más bajos al utilizar una estructura de tasas riesgosa. Cannonand Tonks [2002] en tanto, utilizan estructuras de tasas libres de riesgo como elresto de la literatura y comparan sus resultados con los obtenidos al aplicar laestructura de tasas libres de riesgo ex-post, esto es, la estructura de tasas librede riesgo que se observó efectivamente después de rmados los contratos.

La estructura de tasas utilizadas en este trabajo corresponde a tasas reales li-bres de riesgo. Los datos fueron proporcionados por LVA Índices y correspondena la estructura de tasa que mejor calza con la valorización de bonos cero-cupóncon distinta maduración en cada momento del tiempo. Los bonos utilizados

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para hacer el calze corresponden a instrumentos del Ministerio de Hacienda, dela Tesorería General de la República y del Banco Central . Las rentas vitaliciasen el mercado chileno se jan en términos reales utilizando la unidad de cuentareajustable por IPC, Unidad de Fomento (UF), lo que justica el uso de estetipo de tasas de descuento.

Para descontar pensiones cuyos pagos se efectuan de manera mensual, lastasas que deben aplicarse en la ecuación (2.1) o (2.2) corresponden a una estruc-tura de tasas mensuales. Como la estructura de tasas proveída por LVA Indicesestá en términos anuales, es necesario interpolarla para conseguir tasas acumu-ladas mensuales. La subsección A.1 del Apéndice indica el método utilizado paraefectuar dicha interpolación.

Tablas de Mortalidad

Un elemento fundamental en el cálculo del VPE de una renta vitalicia, es latabla de mortalidad utilizada para ponderar el ujo pecuniario mensual que elcausante recibirá mientras viva. La tabla de mortalidad presenta las probabili-dades qax de que una persona de x años de edad el año a, muera antes de cumplirla edad x+ 1. Existen algunos detalles relativos a las tablas de mortalidad quedeben ser analizados con cuidado para no obtener estimaciones sesgadas de losMWRs calculados y para que la comparación de estas estimaciones con aquellaspresentes en la literatura tenga sentido.

Población General versus Población Pensionada

Existen dos tipos de tablas de mortalidad que se utilizan normalmente en laliteratura relacionada. El primer tipo corresponde a tablas de mortalidad dela población general, que reejan la mortalidad de la población general de unpaís. El segundo tipo son tablas que reejan la mortalidad de un subgrupo de laproblación general, la población pensionada por renta vitalicia . Como se señalaen Mitchell et al. [1999], las tablas de mortalidad para la población general y parala población pensionada por renta vitalicia pueden diferir considerablemente,siendo las probabilidades de mortalidad del primer tipo de tabla mayores alsegundo las del segundo tipo. Esta diferencia se atribuye a un problema deselección adversa: los individuos que creen tener una esperanza de vida mayoral promedio de la población serían más proclibes a contratar pensiones vía rentavitalicia, pues se verían beneciados de su sobrevida. Calcular el VPE utilizandotablas de mortalidad de la población general generaría entonces un sesgo deatenuación en los MWRs pues asignaría probabilidades de sobrevivencia menoresa las observadas en la población pensionada por renta vitalicia.

Tablas Dinámicas versus Tablas Estáticas

Al calcular el valor presente esperado de una renta vitalicia, es necesario proyec-tar las probabilidades de mortalidad que tendrán las personas en el futuro. Unatabla de mortalidad estática (period mortality table en inglés) representa lasprobabilidades de mortalidad de un grupo de individuos en un período de tiem-po relativamente corto, usualmente un año. Una tabla de mortalidad dinámica

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(cohort mortality table en inglés) representa la mortalidad a lo largo de la vidade una cohorte de personas durante un año en particular. Presumiblemente,las probabilidades de mortalidad para una cierta persona con una edad dada,disminuirán con el paso del tiempo, fruto del desarrollo de las condiciones sani-tarias, económicas y del conocimiento médico. Las tablas de mortalidad dinámi-cas capturan este efecto, ajustando año a año las probabilidades de mortalidadde la problación.

Las tablas utilizadas para este trabajo corresponden a las RV-2004. Estastablas, aplicadas ocialmente en el sistema de pensiones desde 2005, se con-feccionaron con datos de mortalidad observada durante los años 1995 a 2003,para hombres y mujeres pensionados por vejez, bajo las modalidades de retiroprogramado y renta vitalicia, además de pensionados en el Instituto de Normal-ización Previsional, con pensiones superiores a la pensión mínima. Las tablasRV-2004 son tablas estáticas pero pueden dinamizarse utilizando un factor deajuste que se aplica año a año de manera de rescatar el hecho que las probabil-idades de mortalidad disminuyen con el tiempo. Para un año a = 2004 + d, laprobabilidad que un individuo de edad x no sobreviva hasta la edad x + 1 esqax = q2004x (1−AAx)d, con 0 < AAx < 1, y donde AAxes el factor de ajuste parala edad x según la tabla RV-2004. Ajustando las probabilidades de mortalidadcon esta metodología, se consiguen resultados análogos a los que se observaríancon una tabla de mortalidad dinámica.

El último aspecto necesario de mencionar se relaciona con la periodicidadde las probabilidades de mortalidad utilizadas. Al igual que para el caso dela estructura de tasas de interés, se necesita contar con las probabilidades demortalidad mensuales para descontar el valor esperado de la pensión recibidapor renta vitalicia. Las tablas de mortalidad RV-2004 sin embargo (publicadasen conjunto por la SAFP y la SVS) sólo están disponibles en términos anuales.La manera estrictamente correcta de obtener tablas mensuales es utilizar elmétodo de ajuste con que se construyeron las tablas RV-20045. Dado que nofue posible conseguir los parámetros utilizados en dicho método, se optó porinterpolar las probabilidades anuales de mortalidad de la manera detallada enla subsección A.2 del Apéndice.

5Esto es, el método Whittaker Henderson Tipo B, según SVS and SAFP [2005].

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3. Procedimientos

La sección anterior presentó la metodología propuesta para la construcciónde un índice de rentabilidad que incorpora a las variaciones del valor cuota delfondo de pensión, las variaciones del precio o prima unitaria de renta vitalicia.Para llevar a cabo este objetivo, es necesario contar con un estimador de dichaprima unitaria, dada por Primaunit =

(1

MWR

)·V Punit. Esta sección desarrolla

los procedimientos para obtener esta prima unitaria.Si bien el MWR no es el interés central de esta construcción, la sección

pone énfasis en el estudio de esta variable por dos razones. En primer lugar, elMWR representa la herramienta más importante para la obtención de la primaunitaria, y por ende del IRP, pues indica el factor de ajuste que el mercadoaplica al VPE unitario de la renta vitalicia. Estudiar los MWRs es valioso paraefectos del IRP pues la obtención de MWRs coherentes con la literatura validalos resultados que se encuentren posteriormente con el índice. En segundo lugar,elMWR constituye un tema de estudio interesante en sí mismo, dada la extensaliteratura relacionada que existe. El análisis detallado de esta variable para elmercado de rentas vitalicias chileno se hace valioso aún cuando, para efectos deesta tesis, constituya sólo un insumo para el IRP.

3.1. Datos

Los datos de rentas vitalicias utilizados para la estimación de los MWRsfueron facilitados por la SVS. En Chile, un 60% de las pensiones transadasutilizan la modalidad de renta vitalicia, por lo que la elaboración del IRP paraeste tipo de contrato parece ser el punto de partida más interesante6.

Los datos totales corresponden a 49,013 rentas vitalicias transadas entreenero de 2005 y junio de 2008. Para cada renta vitalicia, es posible obtenerinformación acerca de las características del causante (edad, género, hijos in-válidos, hijos menores de edad, estado civil), características de la renta vitalicia(diferida, anticipada, garantizada, prima pagada, pensión recibida, tasa de ven-ta), y características de mercado (tasa libre de riesgo, índice de concentración,comisiones promedio de mercado). Además, durante el período abarcado por losdatos, el SCOMP ya estaba en funcionamiento, lo que elimina la posibilidad deque exista un quiebre estructural en la determinación de los precios (y de losMWRs) debido a las mejoras introducidas por el sistema.

El cuadro 1 muestra estadísticas descriptivas de la base de datos, separadaspor año. Se observa que un porcentaje importante (57% del total) de las transac-ciones de cada año corresponde a rentas vitalicias conjuntas, mientras que lasrentas vitalicias de mujeres solteras y hombres solteros son menos importantes enrelación al volumen transado, sintuándose con un 28% y un 6% de las transac-ciones totales respectivamente. Por otro lado, la edad promedio de jubilaciónde hombres que contratan rentas vitalicias conjuntas (60 años) y hombres que

6Como se menciona en el pie de página 2, la metodología a utilizar para aplicar el IRP apensiones vía retiro programado es más simple que para el caso de rentas vitalicias, pues lafórmula para calcular la prima unitaria de retiro programado está denida por la autoridad.

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Cuadro 1: Estadísticas Descriptivas Rentas Vitalicias2005 2006 2007 2008 Total

Rentas Vitalicias 14,584 11,670 14,304 8455 49,013Hombres RV Individual 767 655 927 433 2,782% Total 5% 6% 6% 5% 6%Mujeres RV Individual 3,560 3,119 3,152 3,818 13,649% Total 24% 27% 22% 45% 28%Hombres RV Conjunta 8,929 6,836 8,926% 3,465 28,156% Total 61% 59% 62% 41% 57%Mujeres RV Conjunta 4 8 9 14 35% Total 0% 0% 0% 0% 0%Otros Casos 1,324 1,052 1,290 725 4,391% Total 9% 9% 9% 9% 9%Edad Promedio Hombres RV Conjunta 59.3 60.8 60.2 63.1 60.45Edad Promedio Cónyuge Hombres RV Conjunta 56.7 58.1 57.5 60.1 57.71Edad Promedio Hombres RV Individual 61.6 61.8 60.9 62.7 61.80Prima Promedio (UF) 2,415 2,498 2,656 2,637 2,543Número de casos diferidos 4,916 4,227 5,846 3,379 18,368% Total 34% 36% 41% 40% 37%De los cuales:12 meses 3,532 2,915 4,000 2,218 12,665% Total 72% 69% 68% 66% 69%24 meses 1,127 1,053 1,479 900 4,559% Total 23% 25% 25% 27% 25%36 meses 214 224 321 228 987% Total 4% 5% 5% 7% 5%Casos con Garantía 11,584 9,343 11,943 6,962 39,832% Total 79% 80% 83% 82% 81%de los cuales:5 años 205 159 213 90 667% Total 2% 2% 2% 1% 2%10 años 5,775 4,342 5,235 3,110 18,462% Total 50% 46% 44% 45% 46%15 años 3,975 3,286 4,305 2,683 14,249% Total 34% 35% 36% 39% 36%20 años 1,384 1,352 1,859 872 5,467% Total 12% 14% 16% 13% 14%

Nota: Los valores corresponden a construcciones propias realizadas a partir de datos proporcionados

por la SVS. Las observaciones de 2008 corresponden a rentas vitalicias transadas entre enero y junio

de ese año.

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contratan rentas vitalicias individuales (62 años) evidencia la importancia de lamodalidad de jubilación anticipada en un mercado donde la jubilación por vejezestá jada en 65 años para el caso de los hombres. Las rentas vitalicias diferidasmuestran ser relativamente populares como modalidad de pensión pues un pocomás de un tercio de las transacciones corresponden a este tipo de contratos. Sinembargo, el período en que dichas pensiones se dieren es relativamente corto,concentrándose el 69% en 12 meses, 25% en 24 meses y 5% en 36 meses. El1% restante corresponde a períodos diferidos entre 1 y 96 meses. Por último,las rentas vitalicias garantizadas representan la mayoría de las transacciones.Un 81% del total de los contratos son garantizados durante algún período detiempo. La mayoría de las rentas vitalicias garantizadas, lo son a 10 años (46%)y a 15 años (36%).

Cabe destacar que los patrones encontrados con esta base de datos encuanto a las características de las principales transacciones no son particu-lares al período estudiado. Thorburn et al. [2006] encuentran resultados simi-lares relacionados con la importancia de las rentas vitalicias conjuntas, rentasvitalicias diferidas y rentas vitalicias garantizadas para datos de Chile del mesde marzo de 1999, 2002, 2003, 2004 y 2005, por lo que las categorías identi-cadas aquí parecieran ser interesantes de analizar independiente del período dela muestra.

Un último tema importante de mencionar es el de la periodicidad de losdatos. Las compañías de seguros de vida tienen la obligación de reportar deforma mensual los datos acerca de los contratos vendidos en el período. Por estarazón, las observaciones disponibles de las transacciones de rentas vitalicias sonagrupadas de manera mensual y no se reportan sus verdaderas fechas. Estacaracterística de los datos diculta la construcción del índice para períodosdiarios o semanales. Es por esto que la elaboración del IRP debe hacerse demanera mensual.

3.2. Análisis de Medias MWRs

Bajo los supuestos realizados y las metodologías adoptadas, los resultadosobtenidos para los MWR en el mercado de rentas vitalicias chileno en el períodocomprendido entre enero de 2005 y junio de 2008 se presentan en el cuadro 2.Dicho cuadro, análogo al presentado en Thorburn et al. [2006], muestra losMWRs promedio encontrados para distintos tipos de pensionados durante losaños estudiados. A diferencia de los resultados encontrados por Thorburn et al.[2006] para el caso chileno, el promedio de todos los MWRs calculados conlas RV-2004 dinamizadas y una estructura de tasas de interés libre de riesgoes menor a 1 para todos los años estudiados. Si se toma en cuenta sólo el mesde marzo, como se hace en Thorburn et al. [2006], y se compara el promedioencontrado en este trabajo para 2005 (no presentado en el cuadro) con aquelencontrado para el mismo período en el estudio citado, no se encuentran losmismo valores. Acá, el promedio de todos los MWRs resulta ser de 0.9573 versus1.062 encontrado por lo autores mencionados. La diferencia que se encuentraentre estos valores, a partir de los mismos datos de rentas vitalicias para marzo

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de 2005, implica la utilización de una metodología distinta para contruir el VPEde las rentas vitalicias. Esta diferencia puede surgir tanto por la forma propuestapara interpolar las tablas de mortalidad, como por la estructura de tasas quese utilizó para descontar los ujos esperados de las rentas vitalicias, lo que haceque los resultados presentados en el cuadro 2 no sean estrictamente comparablescon los de Thorburn et al. [2006].

Cuadro 2: Money's Worth Ratio Enero 2005 - Junio 2008

Año2005 2006 2007 2008

Todos los casos 0.9416 0.9683 0.9416 0.9534Máximo 1.1857 1.1956 1.2535 1.2167Mínimo 0.5961 0.6505 0.6554 0.6004Hombre RV Individual 1.0102 1.0349 1.0093 1.0078Mujer RV Individual 1.0235 1.0388 1.0131 1.0051RV Conjunta 0.9079 0.9348 0.9134 0.9007Hombre 65 años RV Individual 1.0305 1.0473 1.0234 1.0179Hombre 55 años RV Individual 1.0013 1.0253 1.0034 0.9921Mujer 60 años RV Individual 1.0229 1.0406 1.0178 1.0061Mujer 55 años RV Individual 0.9942 1.0315 1.0072 0.9931RV Conjunta Hombre 55 Mujer 55 0.9062 0.9410 0.9267 0.9292RV Conjunta Hombre 60 Mujer 55 0.8965 0.9035 0.8865 0.8895RV Conjunta Hombre 65 Mujer 55 0.8488 0.8788 0.8539 0.8605RV Conjunta Hombre 65 Mujer 60 0.8851 0.9113 0.8816 0.8686Con Prima inferior a UF 1000 0.8860 0.8996 0.8653 0.8824Con Prima superior a UF 3000 0.8798 0.9101 0.8685 0.8818Con Período Garantizado 0.8535 0.8824 0.8472 0.8306Sin Período Garantizado 0.8966 0.9167 0.8945 0.8772Con Período Diferido 0.8882 0.9126 0.8804 0.8730Sin Período Diferido 0.8782 0.9088 0.8841 0.8566

Nota: Los valores corresponden a construcciones propias realizadas a partir de datos de rentas

vitalicias proporcionados por la SVS. Los MWR fueron calculados con una estructura de tasas

libres de riesgo, proporcionada por LVA Índices y las tablas de mortalidad RV-2004, dinamizadas

con el método explicado en el texto.

Los resultados obtenidos muestran diferencias considerables en los MWRsdependiendo del tipo de pensionado que se analize. Para todos los años estu-diados, el MWR promedio, tomando en cuenta todas las categorías de rentasvitalicias, es menor a uno. Este resultado se encuentra normalmente en la lit-eratura aunque existe evidencia, para el caso de Chile, de MWRs mayor a launidad.

Para el caso de rentas vitalicias individuales, los hombres obtienen un MWRlevemente inferior al que obtienen mujeres que adquieren ese mismo producto.Esta diferencia reeja probablemente que la mayor duración del contrato demujeres solteras, debido a una mayor esperanza de vida que los hombres, no

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se ve contrarrestada por un castigo en la pensión obtenida. Además, el númerorelativamente pequeño de hombres que contratan rentas vitalicias individuales(ver cuadro 1) puede dicultarle a este tipo de personas obtener una mejorpensión en el mercado.

LosMWRs para las rentas vitalicias conjuntas, son entre un 15% y un 17%menores que aquellos para contratos individuales. Esto se puede deber a la exis-tencia de un castigo en la prima conseguida en contratos conjuntos por el hechode representar una mayor duración esperada para la CSV, y por ende aumentarel riesgo de sobrevida y reinversión en relación a contratos individuales.

Los contratos sin período garantizado por otro lado, obtienen un mayorMWR que aquellos que sí cuentan con garantía, reejando logicamente la ex-istencia de un costo de asegurarse. Finalmente, los contratos de renta vitaliciadiferida obtienen MWRs consistentemente mayores que los contratos inmedi-atos.

3.2.1. Literatura Relacionada: Chile

El cuadro 3 compara otros resultados obtenidos para MWRs en el mercadochileno de rentas vitalicias.

Las columnas del cuadro no son comparables entre sí pues no ocupan lasmismas tablas de mortalidad ni corresponden a las mismas fechas analizadas.Sin embargo, el patrón que se encuentra comparando las las, sí es comparabley es parecido para las tres columnas. Para el caso chileno, y a diferencia de laevidencia para otros países encontrada en Mitchell et al. [1999], Brown et al.[1999], Murthi et al. [1999] y Finkelstein and Poterba [1999] , se ha encontra-do una relación positiva entre edad y MWR, controlando por sexo y tipo depensión. Este fenómeno podría reejar la menor duración esperada de la rentavitalicia de una persona de mayor edad, lo que permite a las CSV ofrecer unapensión mensual más importante, dada una cierta prima. Por otro lado, al igualque en James et al. [2006], este estudio encuentraMWRsmayores para hombresque contratan rentas vitalicias individuales que para mujeres que adquieren elmismo producto, aunque este resultado no se repite ni en Thorburn et al. [2006]ni en la literatura en general.

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Cuadro 3: MWR para Chile

Calculos Propios James et al. [2006] Thorburn et al. [2006]Tabla de Mortalidad RV-2004 Dinamizada RV-98 Dinamizada RV-2004 DinamizadaFecha 2005 Marzo 2003 Marzo 2003Hombre 55 años 1.00129 0.976 1.034Hombre 65 años 1.03049 1.012 1.069Mujer 55 años 0.99417 0.929 1.049Mujer 60 años 1.02286 0.958 1.077Conjunta 65 años 0.92607 0.946 Conjunta 65-60 años 0.8851 1.050

Nota: Los valores de la segunda columna corresponden a construcciones propias realizadas a partir

de datos proporcionados por la SVS y LVA Índices. Las columnas 3 y 4 reproducen resultados

obtenidos por los autores citados.

3.2.2. Literatura Relacionada: Estados Unidos y Reino Unido

El cuadro 4 presenta MWRs encontrados para Reino Unido y Estados Unidosen diferentes estudios y fechas. Hay por lo menos tres características claras enlos resultados encontrados para los mercados ingleses y norteaméricanos. Enprimer lugar, los promedios de MWR para las diferentes categorías son menoresa 1 en todos los estudios. Como lo muestra el cuadro 3, este resultado dieredel caso chileno, donde se han observado valores superiores a 1. Esta diferenciaindica la existencia de un castigo asignado a los aliados al contratar una rentavitalicia en Reino Unido y Estados Unidos, castigo que no es siempre observadoen el caso chileno.

En segundo lugar, los resultados para Estados Unidos y Reino Unido mues-tran en su mayoría una relación inversa entre edad y MWR, controlando porsexo y tipo de póliza, lo que no se obtiene para el caso chileno.

Finalmente, a exepción del estudio de Finkelstein and Poterba [1999] delmercado de rentas vitalicias de Reino Unido, los otros trabajos tienden a en-contrar MWRs mayores para cotizantes mujeres que para cotizantes hombres,controlando por edad y tipo de contrato. Este fenómeno varía en el caso chileno.Mientras James et al. [2006] y los cálculos propios indican MWRs mayores parahombres que para mujeres en marzo de 2005 y en el año 2005 respectivamente,Thorburn et al. [2006] y los cálculos propios indican una relación acorde a laevidencia internacional para marzo de 2003 (ver cuadro 3) y los años 2006 a2008 respectivamente (ver cuadro 2).

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Cuadro 4: MWRs para Reino Unido y Estados Unidos, tasas libres de riesgo

EE.UU. Reino Unido Reino Unido Reino UnidoTabla Mortalidad Pob. Pens. Pob. Gral. Pob. Pens. Pob. Gral.Fecha 1995 Agosto 1998 Abril 1999 Noviembre 1998Hombre 55 años 0.934 Hombre 60 años 0.867 Hombre 65 años 0.927 0.854 0.883 0.822Hombre 70 años 0.836 0.867 0.806Hombre 75 años 0.913 0.871 0.790Mujer 55 años 0.937 Mujer 60 años 0.876 Mujer 65 años 0.927 0.857 0.915 0.817Mujer 70 años 0.836 0.867 0.801Mujer 75 años 0.919 0.887 0.795Conjunta 55 años 0.930 Conjunta 60 años Conjunta 65 años 0.929 0.852 Conjunta 70 años 0.854 Conjunta 75 años 0.922 0.870

Nota: Todos los cálculos fueron efectuados con la estructura de tasas libre de riesgo respectiva.

Los datos de las columnas 2 a la 5 corresponden a resultados de Mitchell et al., 1999,Brown et al.,

1999,Murthi et al., 1999 y Finkelstein and Poterba, 1999 respectivamente.

3.3. Análisis de Dispersión de MWRs

Además del análisis de medias hecho en la subsección anterior, es posibleestudiar de manera análoga a lo hecho por Thorburn et al. [2006], la dispersiónde los MWRs obtenidos. El cuadro 5 muestra las medias, desviaciones estándaresy el coeciente de variación7 para todas las observaciones y para el tercio conMWRs más bajos, separados por año. La última columna del cuadro muestralos resultados de Thorburn et al. [2006] para estas mismas variables en marzo de2005. La comparación muestra que los MWRs calculados en este trabajo tienenuna dispersión mayor, con medias más bajas que las obtenidas por Thorburnet al. [2006]. Como ya se ha visto antes para todos los casos, este estudio arrojaMWRs consistentemente menores para el tercio de observaciones con menoresMWRs. La desviación estándar encontrada acá es mayor a la de Thorburn et al.[2006] para todas las categorías, lo que, junto con las medias más bajas, implicaun coeciente de variación bastante mayor que el del estudio anterior.

Este resultado conrma una diferencia en la metodología de construcciónde los MWRs, por lo que podría ser necesario utilizar alguna otra forma parainterpolar las tablas de mortalidad RV-2004 en futuros análisis y/o aplicacionesdel IRP.

7Esto es, σµ.

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Cuadro 5: Volatilidad MWRs

Cálculos Propios Thorburn et al. [2006]2005 2006 2007 2008 Marzo 2005

3er Tercio Todos 3erTercio Todos 3erTercio Todos 3erTercio Todos 3erTercio TodosMedia 0.7582 0.9416 0.7951 0.9683 0.8232 0.9416 0.7678 0.9534 1.055 1.062Desviación Estándar 0.0341 0.0757 0.0344 0.0713 0.0310 0.0659 0.0374 0.0780 0.041 0.045Coef. Var. 4.4971 8.0395 4.3209 7.3591 3.7692 7.0007 4.8739 8.1780 3.928 4.245

Nota: Los valores de las columnas correspondientes a los años 2005, 2006, 2007, y 2008 son con-

strucciones propias realizadas a partir de datos proporcionados por la SVS y LVA Índices. El año

2008 incluye observaciones solamente desde enero a junio. La columna correspondiente a marzo de

2005 reproduce los resultados obtenidos por los autores citados. El coeciente de variación aparece

multiplicado por 100 para facilitar su lectura.

3.4. Estimación Econométrica del MWR de Mercado

La estimación econométrica del MWR de mercado se hace necesaria paraagregar la información de cada transacción de renta vitalicia. Como se observóen la tabla 1, los MWRs pueden diferir considerablemente según la naturalezadel contrato que se analize. Este fenómeno se asocia a los diferentes perles depagos que originan para las CSV los contratos de personas con característicasdisímiles. Por ejemplo, la duración esperada de la renta vitalicia individual deuna mujer de 60 años es mayor a la de una renta vitalicia individual de unhombre de 65 años, ceateris paribus. Por otro lado, los MWRs también sonel reejo de las estrategias de inversión que siguen las diferentes CSV. Antemayores tasas de interés de instrumentos de larga duración libres de riesgo,menor es el costo de cubrir un cierto perl de pagos de una renta vitalicia, conlo que más fácil es para las CSV competir por clientes aumentando el MWRque les ofrece. Es por esto que entre las variables que determinan los MWRes lógico incluir tanto características individuales, que reejen la naturaleza delcontrato transado, como variables de mercado, que indiquen las posibilidadesde inversión que mantienen las CSV durante el período.

Una ecuación posible para la estimación del inverso del MWR, que es lavariable necesaria para construir la prima unitaria, se plantea a continuación.

1MWRi,t

= f( ~INDi,t, ~MERCt) + εi,t (3.1)

donde

MWRi,t : Money Worth Ratio de la renta vitalicia transada por el individuo ien el momento t. Se construye dividiendo V PPi,t en Prima

Pi,t;

f(~x) : función lineal del vector ~x;

~INDi,t : Vector de características individuales del individuo i (e.g. edad, sexo,edad cónyuge, etcétera) y de la renta vitalicia que adquiere (e.g. renta

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vitalicia individual o conjunta, número de períodos diferidos, número deperíodos garantizados, etcétera).

~MERCt : Vector de características del mercado en el momento t (e.g. índice deconcentración, comisiones promedio de las CSV, estructura de las inver-siones de las CSV, etcétera).

εi,t : Error estadístico.

Alternativamente, se puede hacer una regresión restringiendo la muestra a todasaquellas observaciones que clasiquen dentro de ciertas características comunesque denan a un individuo representativo j:(

1MWRi,t

)j= f( ~MERCt) + υi,t (3.2)

Una ecuación cómo (3.2) facilita la interpretación de los coecientes, ya queplantea el inverso del MWR solamente en función de variables intensivas, lo quedebiera implicar homocedasticidad de los errores υ.

Para la estimación realizada a continuación, se trabaja con (3.2), donde elindividuo representativo escogido es un causante hombre que contrata una rentavitalicia conjunta, inmediata (i.e. no diferida), y garantizada por un período de10 años. Si se restringiese la edad de los individuos que conformarán la muestra,el número de observaciones caería drásticamente, dicultando la estimación delmodelo. Para evitar este problema, se opta por incluir observaciones de individ-uos de cualquier edad que cumplan con las características descritas previamente,pero se introduce la edad del causante y del cónyuge dentro del set de regresores.Dentro del grupo descrito como individuo representativo, se cuenta con 7,208observaciones durante todo el período observado.

Las variables que incorporan características de mercado son la tasa promediode comisiones, concentración de la industria de CSV (medido con el índice deHerndahl del mercado), el ratio del capital de la industria de las CSV (pat-rimonio/pasivos) y una serie de indicadores ponderados de la inversión de lasCSV.

Los indicadores ponderados de inversión corresponden a la proporción de ac-tivos de las CSV invertidos en instrumentos nancieros8, según aparezca en laúltima FECU trimestral, multiplicados por la rentabilidad obtenida por dichos

8Los tipos de instrumentos nancieros reportados en la página de la Superintendencia deAdministradoras de Fondos de Pensión son Instrumentos del Estado, Depósitos a plazo, BonosBancarios, Letras Hipotecarias, Bonos y Debentures, Créditos Sindicados, Mutuos Hipotecar-ios, Acciones de S.A., Fondos Mutuos, Fondos de Inversión, Inversiones en el Extranjero,entre otros. Estos instrumentos fueron clasicados según su tipo, y ponderados por el retornoimplícito de un índice correspondiente, proporcionado por LVA Índices.

21

intrumentos en que se invirtieron los fondos9. Es decir, si α`t es la proporción delos activos invertidos en el instrumento ` en el momento t, y r`t es la rentabil-idad ex-post obtenida por el instrumento `, en el momento t, los indicadoresponderados corresponden al conjunto Ω = It42t=1 donde It =

α`t · r`t

∀`∈L, y

donde L es el conjunto de instrumentos nancieros disponibles10. La rentabilidadobtenida en cada instrumento se encuentra implícitamente a partir de índicessectoriales proporcionados por LVA Índices. La subsección A.3 del Apéndiceindica la metodología para la construcción de los retornos.

En algún sentido, la estimación realizada se asemeja a la de Rocha et al.[2006], donde se examinan los determinantes principales de la tasa interna deretorno de las rentas vitalicias en el mercado chileno, mediante un estudio depaneles que separa las observaciones según CSV. Las principales diferencias dedicha estimación con el análisis propuesto en este trabajo consisten en (i) lautilización del inverso del MWR como variable dependiente y no de la tasa in-terna de retorno; (ii) la separación de la muestra utilizando las observacionescorrespondientes sólo al individuo representativo escogido y la posterior esti-mación por rolling regressions y no por panel de datos; y (iii), la utilización delconjunto Ω como insumo para los regresores de la ecuación (3.2). El aporte deocupar Ω en lugar de tomar en cuenta por separado la rentabilidad de los tiposde instrumentos y la proporción invertida en los activos, como se hace en Rochaet al. [2006], consiste en la posibilidad de capturar cambios en la estructura deinversión de las CVS. La utilización de Ω es la adecuada para este problemapues se podría querer predecir el inverso del MWR para períodos futuros11, adiferencia de Rocha et al. [2006], donde lo que se busca es analizar los determi-nantes de la tasa interna de retorno durante un período de tiempo particular.Al ocupar indicadores de rentabilidad y/o proporciones de inversión por sepa-rado, la interpretación de los coecientes obtenidos no puede ser extrapoladaa cualquier momento del tiempo pues al cambiar la estructura de inversión de

9Las proporciones invertidas en cada instrumento de las CSV se publican trimestralmenteen la FECU. Como las observaciones de rentas vitalicias están disponibles en términos mensu-ales, se asume una estructura de inversión constante durante los meses del trimestre hasta laaparición de la próxima FECU. Este procedimiento genera dos efectos. Por un lado aumentala volatilidad de los errores en los meses en que se publica la FECU, pues es necesario ajustardiscretamente proporciones que en realidad se ajustan de manera gradual. En segundo lugar,se disminuye la proporción de la volatilidad explicada de los MWRs entre trimestres, puesse dejan constantes variables que en realidad cambian en el tiempo. Sin embargo, la relativaestabilidad de las proporciones invertidas en los activos más importantes hace pensar que losproblemas mencionados no debieran ser tan importantes.

10En estricto rigor, r`t no es siempre la rentabilidad del instrumento `, aunque por motivosexpositivos se presenta así. La razón consiste en que para ciertos tipos de instrumentos, setoma la rentabilidad por sobre la tasa libre de riesgo, esto es r`t − rft , donde rft es la tasa librede riesgo. Los instrumentos para los cuales se hace esa diferencia son aquellos que presentanuna mayor similitud en términos de duración, rentabilidad y variabilidad con los instrumentosdel Estado, considerados libres de riesgo. En otras palabaras, lo que interesa es el spread sobrela tasa libre de riesgo de instrumentos considerados sustitutos a los instrumentos del Estado.Los instrumentos para los cuales se utiliza el spread sobre rentabilidad libre de riesgo sonBonos Bancarios y Bonos y Debentures.

11Esto se relaciona con el análisis de la sección 5, donde se plantea una aplicación para elIRP analizando sus implicancias en decisiones de inversión.

22

los activos de las CSV, cambia el peso que la rentabilidad de cada tipo de in-strumento representa en la rentabilidad total de la CSV, lo que diculta unapotencial predicción del MWR y del IRP. La utilización del conjunto Ω comovariable explicativa, permite capturar el efecto de los cambios en la estructurade inversión a través del tiempo, y facilita la interpretación de los coecientes.

3.4.1. Resultados Estimación

La estimación efectuada corresponde a un pooled OLS realizado por rollingregressions. En cada período, se realiza un pooled OLS con las observacionesdisponibles a la fecha que cumplan con las características del individuo repre-sentativo denido. Por ejemplo, para el primer período de la muestra, enerode 2005, se realiza una regresión por OLS con todos los datos de rentas vi-talicias correspondientes a causantes hombres que contrataron rentas vitaliciasconjuntas, inmediatas, con un período garantizado de 120 meses. Para el segun-do período, febrero de 2005, se repite la estimación pero se toman en cuentalos datos disponibles hasta febrero de 2005. El restringir la muestra a aquellosdatos que calzen con el individuo representativo implica disponer para la esti-mación de enero de 2005 con 353 observaciones, para después ir aumentandosostenidamente el número hasta llegar a 7,208 en junio de 2008. Para facilitarla interpretación de los coecientes, el cuadro 6 presenta los resultados de la es-timación para el período 42, correspondiente a junio de 2008, donde la variabledependiente es 100*MWR.

Los resultados muestran una relación negativa entre el MWR de las rentasvitalicias conjuntas y la edad del causante, lo que es consistente con el patrónobservado en el cuadro 2. Sin embargo, la relación positiva observada en elcuadro 2, entre MWR y edad del cónyuge no parece ser signicativa estadísti-camente según la estimación por OLS. De hecho, la regresión arroja evidenciade un efecto negativo y signicativo de la edad del cónyuge en el MWR.

Los coecientes correspondientes a los indicadores de inversión ponderadostienen en general signicancia estadística y el signo esperado. El coeciente dela categoría de Instrumentos del Estado por ejemplo, tiene un signo positivo, loque indica que un aumento del retorno obtenido al nanciar las rentas vitaliciascon este tipo de activos permite ofrecer una mayor pensión al aliado, dada unaprima cancelada. Lo mismo ocurre para Bonos y Debentures, Inversiones en elExtranjero, Renta Variable, e Instrumentos Hipotecarios. El resultado muestralógicamente que cuando mayor es la rentabilidad de un instrumento ponderadapor la importancia que tiene el instrumento en la cartera, menor es el costo denanciar la renta vitalicia, y mayor es el MWR.

Por otro lado, el cuadro 6 muestra la existencia de un efecto negativo de laconcentración de la industria de CSVs (medida como el índice de Herndahl)en el MWR que obtienen los cotizantes. La tasa de comisión promedio en elmercado de rentas vitalicias no aparece como signicativa a la hora de explicarel MWR que obtienen los aliados. Finalmente, el ratio del capital de la industriade CSVs, tiene un efecto negativo sobre el MWR de un aliado, lo que es unresultado relativamente contraintuitivo. Lo que uno esperaría al observar una

23

Cuadro 6: Estimación MWRVariable 100*MWREdad_Caus -0.0771***

(0.0132)Edad_Conyu -0.129***

(0.00358)Comisión 2.823

(1.691)Herndahl -0.00271***

(0.000222)Ratio K -133.5***

(20.24)Bon&Deben 0.288***

(0.0339)Instr Estado 0.559***

(0.0704)Bon Banc -0.701***

(0.120)Inver Extr 0.147***

(0.0326)Dep Plaz 1.095

(2.187)Rent Var 0.132***

(0.0238)Hip 0.209***

(0.0711)Constante 114.7***

(2.848)Obervaciones 7208R2 0.306Errores estándares robustos entre paréntesis

***p<0.01, **p<0.05, *p<0.1Nota: La estimación se realizó por pooled OLS con datos de rentas vitalicias proporcionados por

la SVS y estructura de tasas proporcionada por LVA Índices. La submuestra con la que se efec-

tuó la estimación corresponde a rentas vitalicias conjuntas, sin período diferido, con 120 meses

garantizados.

24

proporción alta del patrimonio en relación a los pasivos de las CSV, es una menorprima cobrada a los aliados para una pensión dada, con el objetivo de expandirel negocio de las CSV y acercarse a un ratio de capital óptimo. Esto conllevaríaun aumento del MWR obtenido por los aliados y no una disminución como loindican los resultados. El efecto negativo del ratio del capital en el MWR puededeberse a políticas contracíclicas llevadas a cabo por las CSV durante el períodode la muestra. Este fenómeno podría ser causado con el objetivo de las CSV deprotegerse de bajas generalizadas en las tasas de los activos en los que las CSVinvierten sus fondos, disminuyendo sus obligaciones con nuevos aliados a travésde menores pensiones para una prima dada, causando así un efecto negativo enel MWR.

3.5. Prima Renta Vitalicia Unitaria

Las subsecciones anteriores presentaron un análisis de los MWR individ-uales construídos a partir de datos del mercado de rentas vitalicias chileno.Además, se realizó una estimación del MWR de mercado, proceso mediante elcual se agrega la información individual en un sólo estimador del factor con elcual el mercado castiga a los compradores de rentas vitalicias. Dicho MWR demercado constituye el insumo fundamental para la construcción de la prima derenta vitalicia unitaria y por ende, del IRP. En esta subsección, se construyenlos insumos nales para la obtención de tal prima de renta vitalicia unitaria,utilizando la metodología planteada en la sección 2, y los resultados de la sub-sección anterior. Si bien sería valioso comparar los IRPs obtenidos para distintosindividuos representativos, este no es el enfoque adoptado en este estudio, puesse ha acotado el problema a denir la metodología para construir el IRP y ex-plorar posibles aplicaciones de este12. Es por esto que acá sólo se presenta elcaso del individuo representativo ya denido.

Como ya se ha mencionado, la prima de la renta vitalicia unitaria corre-sponde al denominador del IRP y representa el ajuste necesario de realizar paraobtener el poder adquisitivo del valor cuota del fondo en términos de unidadesde pensión. La prima unitaria se construye como el producto entre el VPE deuna renta vitalicia unitaria, y un factor de mercado que indica que tan grandees el castigo del mercado en el precio de la prima. Dicho factor corresponde alinverso del MWR, estimado en la subsección 3.4.

3.5.1. Inverso del MWR

Como el objetivo es obtener un estimador de(

1MWR

)para construir la prima

de renta vitalicia unitaria el IRP de la forma planteada en (2.4), la ecuación es-timada por OLS en cada período es análoga a la del cuadro 6 pero con

(1

MWR

)12Sin embargo, la extensión del IRP para otros tipos de individuo es relativamente sencilla,

basta con denir las características del individuo representativo que se desee analizar, y realizarla regresión econométrica de la subsección 3.4 con la submuestra de observaciones que haganparte del grupo en cuestión.

25

Figura 1: MWR Estimado

Diciembre 2004 Junio 2005 Diciembre 2005 Junio 2006 Diciembre 2006 Junio 2007 Diciembre 2007 Junio 20080.84

0.86

0.88

0.9

0.92

0.94

0.96

Nota: El gráco corresponde a estimaciones dentro de muestra realizadas por rolling regressions a

partir del modelo expuesto en 3.4. Intervalos de conanza al 95%.

como variable dependiente. Para cada período, se realiza una estimación delinverso del MWR correspondiente al individuo representativo escogido, evalu-ando los regresores asociados a variables de mercado en sus valores del período,y jando la edad en 60 años para el caso del aliado, y en 57 años para el casodel cónyuge, situándose así en la media del total de las muestra. De esta formaes posible obtener el factor de ajuste que el mercado aplica a las rentas vitaliciasperíodo a período, con el que se construye Primaunitt . Si bien es el inverso delMWR lo que se utiliza para la construcción, la gura 1 muestra la evolución delMWR estimado para facilitar la interpretación de los resultados.

La gura presenta las predicciones dentro de muestra con intervalos de con-anza calculados al 95%. Es decir, para cada período se calcula el MWR estimadode ese mismo período, y no se trata de predecir MWRs para períodos siguientes.

3.5.2. VPE Renta Vitalicia Unitaria

El último insumo necesario para la obtención de la prima de renta vitaliciaunitaria corresponde al VPE de este contrato. Para calcular esta variable, seaplica la fórmula planteada en (2.2) jando P = 1

V Punitt,j =12(τ−x)∑t=d+1

1 · px,jt + 0.6 · 1 · (1− px,jt ) · py,jt + 15 · (1− px,jt )(1 + rj,t)

(3.3)

26

La ecuación (3.3) indica que el VPE de la renta vitalicia unitaria variará con(i) la estructura de tasas utilizada para descontar los ujos en cada momentodel tiempo; (ii) las probabilidades de sobrevivencia del causante y su cónyuge.Utilizando esta fórmula para el caso de rentas vitalicias conjuntas, se obtiene elVPE de la renta vitalicia unitaria.

Con la construcción de los elementos nales, necesarios para obtener la rentavitalicia unitaria, se concluye la sección. La sección 4 presenta los principalesresultados relativos al IRP.

27

4. Resultados

En esta sección, se presenta el IRP construído a partir de la metodologíaplanteada en la sección 2, y los resultados obtenidos a partir de los proced-imientos de la sección 3. Si bien el IRP es el objetivo nal, se presentan tambiénresultados intermedios de la prima estimada de renta vitalicia unitaria. Másque continuar detallando paso a paso la construcción del IRP, se busca mostrarcomportamientos interesantes de los determinantes de este índice.

4.1. Prima Estimada de Renta Vitalicia Unitaria

A partir del estimador del inverso del MWR y del VPE de la renta vitaliciaunitaria obtenidos en la sección 3, se construye la prima de la renta vitaliciaunitaria, Primaunitt , calculando el producto entre las dos variables.

Por construcción, la prima de la renta vitalicia unitaria se comporta de man-era similar al VPE de la renta vitalicia unitaria pues simplemente se le aplica unajuste por el factor de mercado correspondiente al inverso del MWR. La gura2 presenta la evolución del VPE de la renta vitalicia unitaria y de la prima dela renta vitalicia unitaria. La prima de la renta vitalicia se comporta de manerasimilar al VPE, aunque diere estadísticamente de este, situándose en un nivelmás arriba. En otras palabras, el MWR estimado es estadísticamente distinto de1 y de hecho, como muestra la gura 1, sólo alcanza niveles inferiores a 1,por lo que el precio a pagar para recibir una renta vitalicia unitaria es mayor alcosto, representado por el VPE de la pensión unitaria.

Otra forma de dar cuenta de esto es analizando el cuadro 7, donde se presen-tan algunas estadísticas de las variables descritas en esta subsección. Mientrasla media del VPE de la renta vitalicia unitaria es aproximadamente UF 224, lamedia de la prima unitaria de renta vitalicia unitaria es UF 248. La diferenciaentre los dos valores se explica por un MWR promedio menor a 1 durante elperíodo analizado. El cuadro 7 también presenta estadísticas de las variacionesporcentuales de las variables de un período a otro. Se puede observar un prome-dio positivo de los cambios porcentuales tanto para el VPE de la renta vitaliciaunitaria como para elMWR. Sin embargo, el promedio positivo del cambio por-centual del VPE unitario contrarresta el efecto de un mejor contrato implicadopor aumentos en el MWR, esto se observa en un promedio positivo del cambioporcentual de la prima de renta vitalicia unitaria.

28

Figura 2: VPE Renta Vitalicia Unitaria y Prima Renta Vitalicia Unitaria

Diciembre 2004 Junio 2005 Diciembre 2005 Junio 2006 Diciembre 2006 Junio 2007 Diciembre 2007 Junio 2008200

210

220

230

240

250

260

UF

Prima RV Unit

VPE RV Unit

Nota: El VPE de la renta vitalicia unitaria fue construído con una estructura de tasas libres de

riesgo proporcionada por LVA Índices y siguiendo la ecuación (2.2), jando P = 1. La prima de

renta vitalicia unitaria se construye siguiendo la ecuación (2.6) y utilizando los resultados de la

regresión planteada en la sección 4.1. Intervalos de conanza al 95%.

Cuadro 7: Estadísticas MWR, VPE Renta Vitalicia Unitaria, Prima RentaVitalicia Unitaria.

Media Desv. Est. Máx MínMWR 0.9055 0.0194 0.9368 0.8468M % MWR 0.0346 2.1385 5.7085 -7.4150V Punit (UF) 224.27 9.08 238.88 200.25M % V Punit 0.1340 2.4725 4.2097 -7.0262Prima RV Unit (UF) 248.39 7.91 258.81 227.344% Prima RV Unit 0.11 2.17 -4.07 4.6

Nota: Los valores corresponden a construcciones propias realizadas a partir de datos proporcionados

por la SVS y LVA Índices.

29

4.2. Indice de Rentabilidad Previsional

4.2.1. Valores Cuota

Una vez construída la prima unitaria Primauniti,t , se necesita contar con losniveles del valor cuota de alguna AFP. La gura (3) muestra los niveles de losvalores cuota del Fondo E para las cuatro principales AFPs del mercado: Capi-tal, Cuprum, Habitat, y Provida. Los datos, que corresponden a publicacionesociales de la SAFP, están disponibles de manera regular en el sitio web delente regulador. Los niveles se han normalizado creando un índice para cadaAFP, jando en 1,000 el valor cuota de cada administradora en enero de 2005.

La gura 3 presenta un resultado ya conocido en la literatura de pensiones:las cuatro AFPs analizadas obtienen resultados relativamente parecidos en cuan-to a cambios en el nivel que experimenta la cuota del fondo. Para el períodoanalizado, Habitat es la compañía con mejores resultados en cuanto a valor cuo-ta nal del Fondo E, le siguen Capital y Cuprum de manera similar y un pocomás atrás, Provida.

Figura 3: Niveles Valor Cuota Fondo E

Diciembre 2004 Junio 2005 Diciembre 2005 Junio 2006 Diciembre 2006 Junio 2007 Diciembre 2007 Junio 20081000

1050

1100

1150

1200

1250

1300

1350Índice Enero 2005 = 1000

Niv

el Ín

dice

CapitalCuprumHabitatProvida

Nota: Los valores cuota para cada una de las AFPs fueron obtenidos en la página web de la SAFP.

Para cada AFP, el valor cuota correspondiente a enero de 2005 se ja en 1,000 y se normaliza el

resto de la serie.

4.2.2. IRP Estimado

Para cada AFP por separado, se construye el IRP correspondiente al FondoE, IRPE , dividiendo el valor cuota de cada compañía por la prima estimada dela renta vitalicia unitaria. El valor inicial del IRPE , en enero de 2005, se ja

30

en 1,000. El nivel del valor cuota del Fondo E de enero de 2005, se normalizatambién a 1,000 para permitir la comparación. Las guras 4 y 5 muestran elnivel del Fondo E de cada AFP, junto con el IRPE respectivo y sus intervalosde conanza. Los resultados indican que, partiendo de un mismo nivel inicial,el IRP se ha ubicado en niveles persistentemente inferiores con signicanciaestadística, que los niveles alcanzados por el índice derivado del valor cuotapara cada una de las AFPs analizadas. Este resultado se puede atribuir a dosefectos. En primer lugar, la similitud de la relación entre valor cuota e IRP paracada una de las AFPs se explica lógicamente por la semejanza existente en laevolución de los valores cuotas de las AFPs, como se observa en la gura 3. Ensegundo lugar, el hecho de encontrar un IRP consistentemente menor al índiceconstruído para el valor cuota, puede ser atribuído al alza que ha experimentadola prima estimada de la renta vitalicia unitaria, observada en la gura 2 en lasubsección anterior. Este fenómeno también se puede apreciar en el cuadro 7,que indica una variación porcentual mensual promedio de la prima estimada dela renta vitalicia unitaria de 0.11% durante el período estudiado.

Figura 4: Valor Cuota Fondo E e IRPE Capital y Cuprum

Dic−04 Jun−05 Dic−05 Jun−06 Dic−06 Jun−07 Dic−07 Jun−08900

1.000

1.100

1.200

1.300

1.400IRP Y VALOR CUOTA CAPITAL

NIV

EL

IND

ICE

S


1000

1100

1200

1300IRP Y VALOR CUOTA CUPRUM

NIV

EL

IND

ICE

IRP

Valor Cuota



resto de la serie. Intervalos de conanza al 95%.

31

Figura 5: Valor Cuota Fondo E e IRPE AFP Habitat y Provida


1000

1100

1200

1300

1400IRP Y VALOR CUOTA HABITAT

NIV

EL

IND

ICE


1000

1100

1200

1300

1400IRP Y VALOR CUOTA CAPITAL

NIV

EL

IND

ICE

S

IRP

Valor Cuota




La gura 6 captura la diferencia negativa que ha existido entre el índice delvalor cuota y el IRP. Para simplicar el análisis, y dada la similitud del com-portamiento del IRP entre AFPs, sólo se presenta el caso de AFP Capital. Elprimer panel que se observa es igual al de la gura 4 para el caso de AFP Cap-ital. El segundo panel en tanto, muestra grácamente la diferencia en términosporcentuales del índice del valor cuota y el IRP. Las diferencias encontradas a lolargo del período son negativas y estadísticamente signicativas. Se encuentraque el IRP es en promedio un 9.6% inferior al índice del valor cuota. Por último,vale la pena notar que la tendencia durante el primer semestre de 2008 fue unadisminución de la brecha Valor Cuota - IRP. A medida que la prima de rentavitalicia unitaria disminuya, podría ser factible encontrar un IRP mayor que elvalor cuota del fondo.

32

Figura 6: Diferencia Valor Cuota Fondo E e IRPE AFP Capital


1000

1100

1200

1300

1400IRP Y VALOR CUOTA CAPITAL

NIV

EL

IND

ICE

S

Dic−04 Jun−05 Dic−05 Jun−06 Dic−06 Jun−07 Dic−07 Jun−08−20%

−15%

−10%

−5%

0

DIF

ER

EN

CIA

PO

RC

EN

TU

AL

DIFERENCIA VALOR CUOTA − IRP

IRP

Valor CUota




Finalmente, es posible realizar un análisis de la volatilidad del IRP en relacióna la volatilidad observada del valor cuota. El cuadro 8 compara la media,desviación estándar y coeciente de variación de las variaciones porcentualesexperimentadas por los valores cuota e IRP para cada AFP. Para cada unade las AFPs estudiadas, la media de las variaciones porcentuales disminuye altomar en cuenta el IRP. Nuevamente, este es un resultado atribuíble al alzaen la prima de la renta vitalicia unitaria durante el período enero 2005 - junio2008. En cuanto a volatilidad, esta lógicamente aumenta al observar los cambiosporcentuales del IRP para cada AFP pues se está incluyendo en el índice lasvariaciones de la prima unitaria de renta vitalicia.

El punto a recalcar es la existencia de una fuente de riesgo a la que estánexpuestos los aliados que puede ser disminuída. Si se mide la volatilidad delfondo como el coeciente de variación, el hecho de tomar en cuenta los cambiosen la prima unitaria de renta vitalicia a través del IRP, implica que un aliadoal fondo E de cualquiera de las cuatro AFPs más importantes del mercadovea aumentada la volatilidad de su riqueza para jubilarse ajustada por poderadquisitivo de pensión entre 3.3 y 3.4 veces. Las implicancias en el bienestar delaliado al utilizar el IRP son sólo una de las aplicaciones posibles de explotarcon el IRP. La sección nal de este trabajo explora otra aplicación, pues buscailustrar cómo afecta en las decisiones de inversión de un administrador de fondosde pensiones el tomar en cuenta las variaciones de la prima de renta vitaliciaunitaria.

33

Cuadro 8: Estadísticas Cambios Porcentuales Valor Cuota e IRP

V CCap IRPCap V CCup IRPCup V CHab IRPHab V CPro IRPProMedia 0.628 0.553 0.630 0.555 0.678 0.602 0.597 0.521

Desv. Est. 0.661 1.930 0.649 1.953 0.674 1.969 0.646 1.919Coef. Var. 1.052 3.492 1.028 3.518 0.994 3.267 1.082 3.685

Nota: Las estadísticas del IRP corresponden a construcciones propias realizadas a partir de la

metodología presentada en el texto, con datos proporcionados por la SVS y LVA Índices. Las es-

tadísticas de los valores cuota de cada AFP corresponden a cálculos efectuados sobre datos obtenidos

en la página web de la SAFP. El coeciente de variación aparece multiplicado por 100 para facilitar

la lectura.

34

5. Aplicación

En las secciones anteriores se presentó la metodología y realizó la construc-ción del IRP. El índice, al tomar en cuenta las variaciones en la prima de rentavitalicia unitaria, agrega volatilidad al proceso de los retornos observados delvalor cuota de los fondos de pensiones. También se encontró un retorno prome-dio menor al experimentado por el valor cuota de todas las AFPs analizadas,diferencia gatillada principalmente por el aumento de la prima de renta vitaliciaunitaria durante el período comprendido entre enero de 2005 y junio de 2008.Estos resultados indican que el proceso de la riqueza ajustada en términos pen-sión que tienen los aliados es estadísticamente distinta al proceso que sigue lariqueza sin ajustar. Un administrador de cartera que tome en cuenta la relaciónexistente entre los activos en que invierte la riqueza del fondo y la prima derenta vitalicia unitaria, tendría la posibilidad de disminuir el riesgo al que seven expuestos los aliados. Esta sección desarrolla un modelo de elección decartera simple, donde se busca ilustrar las diferencias que pueden generar enlas decisiones óptimas de inversión el tomar en cuenta el proceso que sigue lariqueza del fondo ajustada en términos del poder adquisitivo de pensión.

5.1. Desarrollo del Modelo

El problema planteado consiste en una maximización intertemporal en tiem-po continuo siguiendo el modelo de Merton (1969). El individuo tiene una fun-ción de utilidad terminal con aversión al riesgo γ constante que depende de lavariables de estado XT :

U(XT ) =(XT )1−γ

1− γ(5.1)

donde XT = WT para el caso en que el administrador no observa el preciode la pensión unitaria, y XT = WT

UTpara el caso en que sí lo hace. Con:

WT : Valor del fondo de pensión en el momento terminal T;

UT : Valor de la pensión unitaria en el momento terminal T.

Existen en la economía dos bonos, uno de duración igual a 0, que paga r encada instante del tiempo, y un segundo bono de larga duración que paga $1 enJ períodos más a partir de su emisión. La tasa del bono corto sigue un procesode Vasicek neutral al riesgo dado por

dr = κ(θ − r)dt+ σrdZqr (5.2)

donde dZqr = λdt + dZr. Esto es, dZq representa un proceso Brownianoajustado por riesgo, donde λ es el premio por riesgo por unidad de tiempo.

Por otro lado, en el momento t, el bono de larga duración tiene un preciodado por

35

Bt(J) = Eqt

exp

− J∫t

rudu

· 1

Vasicek [1977] demuestra que bajo condiciones de no arbitraje, junto con unpremio por riesgo constante, se puede derivar el siguiente proceso de difusiónpara el retorno del bono:

dB

B= (r + λA1 (τ)) dt+A1 (τ)σrdZr (5.3)

donde A1 (τ) = 1−exp(−τκ)κ , y τ = J − t es la duración del bono para el

administrador del fondo, mantenida constante mediante un rebalanceo continuode la cartera. Es decir, el administrador compra y vende bonos de larga duraciónconstantemente, de manera de tener en cada momento un bono de duración τ .

El problema del administrador del fondo consiste en maximizar la utilidadterminal del alidado, dada por la ecuación (5.1), sujeto a las ecuaciones (5.2),(5.3) y a la ecuación que determine el proceso de la variable estado del fondo,X, que dependerá de si se toma en cuenta o no las variaciones de la prima uni-taria de renta vitalicia. En cada instante del tiempo entre el momento inicial yel momento terminal T , el administrador elige la proporción óptima α ∗ (t) y(1− α ∗ (t)), que debe invertir en el activo de larga duración y en el de corta du-ración respectivamente. Las proporciones invertidas en cada activo determinanla duración implícita de la cartera, D∗(t) = (1− α ∗ (t)) ·0+α∗(t) ·τ = α∗(t) ·τ .

La subsección siguiente analiza el problema cuando X es simplemente elvalor cuota del fondo, mientras que la subsección 5.3 resuelve el problema deoptimización para el caso en que X es igual al valor cuota ajustado por la primade renta vitalicia unitaria. Finalmente, la subsección 5.4 compara los resultados.

5.2. Optimización con Valor Cuota.

El administrador que toma en cuenta sólo el valor cuota del fondo, observael siguiente proceso para el precio de X

dX

X=dW

W

dW

W= (1− α) rdt+ α

dB

B

dW

W= (r + αλA1 (τ)) dt+ αA1 (τ)σrdZ

⇔ dW =W (r + αλA1 (τ)) dt+WαA1 (τ)σrdZ (5.4)

36

donde W = Wt es el valor del fondo en el instante t.

El problema consiste entonces en solucionar la maximización planteada enla subsección anterior, con el proceso de dX denido por (5.4). La función devalor planteda para solucionar el problema es:

J(t) ≡ J(W, t) = max Et[U(WT )]αpt≤p≤T

si se adelanta 4t períodos la expresión anterior:

J(W, t+4t) = max Et+4t[U(WT )]

Aplicando la esperanza condicional en t a cada lado se obtiene:

Et [J(W, t+4t)] = Et [max Et+4t[U(WT )]]

Por la ley de expectativas iteradas:

Et [J(W, t+4t)] = maxEt [U(WT )]

⇒ Et[J(t+ M t)− J(t)] =0

Al tomar el límite de la última expresión, cuando 4t tiende a 0, se obtieneEt(dJ) = 0, que es la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman.

La subsección A.4 del Apéndice presenta una solución estándar al problemadescrito. La proporción óptima de inversión en el bono largo, α∗(t), correspondea:

α∗(t) =1γ

λ

σ2rA1 (τ)

+(

1− 1γ

)B2 (T − t)A1 (τ)

(5.5)

Donde B2 (T − t) =(

exp(−(T−t)κ)−1κ

)y A1(τ) se dene como en la subsec-

ción anterior. La duración implícita de la cartera en el momento t, D∗(t), es elpromedio ponderado de las duraciones de los dos bonos:

D∗(t) =[

1γ· λ

σ2rA1 (τ)

+(

1− 1γ

)· B2 (T − t)

A1 (τ)

]· τ (5.6)

5.3. Optimización con Valor Cuota y Valor Pensión Uni-

taria.

En el caso en que el administrador tome en cuenta para el proceso de Xtanto el valor cuota del fondo como el valor de la pensión unitaria, X = W

U , porlo que el proceso queda determinado por

37

dX

X=dW

W− dU

U− dU

U

dW

W+

12

(dU

U

)2

Es decir, el cambio porcentual del valor cuota ajustado por precio de pensiónunitaria depende de la variación porcentual del valor cuota del fondo, de lavariación porcentual del precio de la pensión unitaria, de un término asociado ala covarianza entre ambos, y de un término asociado a la convexidad del retornode la pensión unitaria.

El método de solución es análogo al anterior y consiste en plantear la ecuaciónde Hamilton-Jacobi-Bellman en términos de dJ , tomando en cuenta la diferenciadel proceso de la variable estado X al incluir tanto las variaciones de W comolas de U . La subsección A.5 del Apéndice presenta el desarrollo detallado de lasolución del problema. Se puede demostrar que la proporción óptima invertidaen el bono de larga duración es:

α∗(t) =1γ· λ

σ2rA1 (τ)

+(

1− 1γ

)· B2 (T − t)

A1 (τ)+ρσuσr

1A1 (τ)

(5.7)

Donde ρ = E [dZu · dZr].Nuevamente, la duración implícita de la cartera en el momento t, D∗(t), es

el promedio ponderado de las duraciones de los dos bonos:

D∗(t) =[

1γ· λ

σ2rA1 (τ)

+(

1− 1γ

)· B2 (T − t)

A1 (τ)+ρσuσr

1A1 (τ)

]· τ (5.8)

5.4. Comparación de resultados.

Las ecuaciones (5.5) y (5.7) presentan resultados relativamente parecidos, yque ya han sido estudiados en la literatura de modelos de elección de cartera.La demanda por el bono queda determinada por un promedio ponderado dedos términos, donde la ponderación es proporcional al coeciente relativo detolerancia al riesgo.

El primer término de la demanda por bono largo corresponde a la demandausual que tendría un maximizador de media-varianza en un modelo de un sóloperíodo. Esta demanda miópica λ/

(σ2rA1 (τ)

)consiste en el premio por riesgo

ajustado por la volatilidad y duración del bono. Ante un mayor premio porriesgo λ, dejando todo lo demás constante, la proporción invertida en el bonolargo aumenta. Lo contario ocurre cuando aumenta la varianza de la tasa deinterés, σ2

r .El segundo término consiste en lo que Merton [1971, 1973] introdujo como

la demanda de hedging intertemporal, pues reeja la voluntad del individuo decubrirse ante cambios desfavorables en los precios. En este caso, la demanda dehedging depende de la relación entre una función del tiempo remanente parahacer usufructo de la riqueza del fondo, B2 (T − t), y una función creciente dela duración del bono, A1 (τ).

38

La diferencia entre la demanda por el bono largo en el caso en que se tomanen cuenta las variaciones de la prima unitaria de renta vitalicia y en el casosimple, en que sólo se observa el valor cuota del fondo, corresponde al tercertérmino de (5.7), (ρσu) / (A1 (τ)σr). Para el modelo presentado en esta sección,este término es negativo pues viene dado por el signo de ρ, la correlación entrela prima de renta vitalicia unitaria y la tasa instantánea del bono corto. La tasadel bono corto está perfectamente relacionada con la tasa de largo plazo, la quea su vez, se relaciona negativamente con la prima de renta vitalicia unitaria.Esta relación negativa viene dada por dos efectos: recordemos que Primaunit =(

1MWR

)V Punit por lo que el efecto nal de las variaciones de la tasa en la prima

unitaria será el resultado compuesto del efecto en el inverso del MWR, y en elVPE de la renta vitalicia unitaria. En el caso del MWR, un cambio positivo enla tasa de largo plazo permite a las CSV cubrir los pasivos generados por loscontratos con una mayor rentabilidad, lo que se traduce en una mayor pensióndada una prima, o bien un mayor MWR (y un menor inverso de esta variable).Por otro lado, la relación entre la tasa de largo plazo y el VPE unitario esnegativa pues la tasa se utiliza para descontar el ujo esperado cada período.De esta manera, sumando ambos efectos, la tasa covaría negativamente con laprima de renta vitalicia unitaria.

Esta relación negativa provoca de manera inambigüa una disminución en lademanda del bono largo. La razón de este resultado radica en el planteamien-to sencillo del modelo, y no debería ser interpretado como una implicancia detomar en cuenta las variaciones en la prima de renta vitalica unitaria. En efecto,el tercer término de (5.7) corresponde a una demanda de hedging que busca pro-teger al individuo de las covariaciones entre la prima de renta vitalicia unitariaU , y el valor cuota del fondo, W . En el modelo planteado dicha covarianza esnegativa pues queda determinada por la relación entre la tasa del bono corto yU . En un modelo más realista, en que exista un mayor número de instrumentosen los que el administrador pueda invertir, es probable encontrar una correlaciónpositiva entre la prima de renta vitalicia unitaria y el valor cuota del fondo. Elcuadro 9 muestra las correlaciones obtenidas entre los valores cuota del fondoE para distintas AFPs y la prima de renta vitalicia unitaria. Como se observa,existe evidencia de una correlación positiva y cercana a 0.4 entre la prima de larenta vitalicia unitaria y los valores cuota de los distintos fondos. Esto abre laposibilidad de encontrar una demanda mayor por el bono largo en modelos másrealistas que incorporen más activos a la cartera del fondo.

39

Cuadro 9: Matriz de Correlación Prima Unitaria y Valores Cuota

Primaunit Capital Cuprum Habitat ProvidaPrimaunit 1

Capital 0.4040 1

Cuprum 0.4038 0.9995 1

Habitat 0.3968 0.9998 0.9996 1

Provida 0.4176 0.9996 0.9997 0.9993 1

Nota: Las correlaciones fueron calculadas a partir de los datos de valores cuota de las AFPs,

obtenidos en la página web de la Superintendencia de Administradoras de Fondos de Pensiones.

La serie correspondiente a la prima unitaria de renta vitalicia se construyó con la metodología de-

sarrollada en este texto, con datos proporcionados por la Superintendencia de Valores y Seguros

y LVA Índices. El período abarcado corresponde al denido entre enero de 2005 y junio de 2008.

Números en negrita indican una correlación signicativa al 99% de conanza.

40

6. Conclusión

El presente trabajo desarrolló la metodología para la construcción de uníndice de rentabilidad de los fondos de pensiones, que toma en cuenta las varia-ciones de la prima unitaria de renta vitalicia con el n de capturar de maneraadecuada las variaciones experimentadas en la riqueza de los aliados en térmi-nos de unidades de pensión. Para elaborar dicho índice, es fundamental obtenerun estimador de la prima unitaria de renta vitalicia, que se construye utilizandoel concepto de MWR. Los MWR encontrados para Chile dieren levemente delo que han encontrado otros estudios para el mismo mercado, lo que probable-mente se explica por los supuestos establecidos para el cálculo de esta variable.Aún cuando el MWR no es el interés central de esta tesis, se realizó un extensoanálisis de esta variable, comparando los resultados encontrados con los exis-tentes en la numerosa literatura relacionada. El valor de este análisis radica enel hecho que el MWR reeje parte importante de las variaciones en la prima dela pensión unitaria.

Una vez construído el estimador de la prima unitaria es posible obtener elIRP.

Se encuentra que para el período abarcado entre enero de 2005 y junio de2008 el IRP ha alcanzado niveles estadísticamente dístintos e inferiores a los quese han observado en los valores cuota de los Fondos E de las cuatro principalesAFPs del mercado. Esta menor rentabilidad implícita del IRP ha sido gatilladaprincipalmente por un alza de la prima de renta vitalicia unitaria durante elmismo período. Ya que el IRP depende de la evolución de esta última variable,no se puede decartar encontar un IRP mayor al índice asociado al valor cuota delos fondos de pensiones. Además, los resultados arrojan evidencia que al tomaren cuenta las variaciones porcentuales del IRP, la riqueza de los liados se veexpuesta a una volatilidad tres veces mayor a la observada simplemente en losvalores cuota.

También se planteó una aplicación teórica para el uso del IRP, ilustrandoen un modelo de elección de cartera en tiempo continuo, cuales son las prin-cipales implicancias en las decisiones de inversión de observar un índice cómoel IRP. Los resultados muestran la aparición de una demanda de hedging quebusca proteger al individuo de posibles cambios desfavorables en el precio delos activos. El efecto de esta demanda de hedging en la duración promedio dela cartera del administrador del fondo va a depender de la correlación existenteentre los activos del fondo y la prima unitaria de renta vitalicia. Para el modeloplanteado dicha correlación es negativa, implicando una duración óptima de lacartera menor a la que mantiene el administrador al no observar el IRP. Sinembargo, es de esperar que al desarrollar un modelo más realista que incluyadistintos tipos de activos existan correlaciones positivas, aumentando así la du-ración promedio de la cartera. Esta última armación no es una implicancia deeste trabajo, y queda así abierto el tema a futuras extensiones del mismo.

41

Finalmente, existen implicancias que surgen al utilizar el IRP para la tomade decisiones de inversión que serían interesantes de seguir desarrollando. Porejemplo, es factible medir la ganancia de un aliado en términos de utilidad,al tener un fondo administrado en base al IRP. Si el aumento de la volatilidadde la riqueza fuese efectivamente cercano al observado empíricamente en estetrabajo, es probable que esta ganancia sea importante para individuos aversosal riesgo.

42

Referencias

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44

A. Apéndice

A.1. Interpolación de Estructura de Tasas.

Sea Yt,t+d la tasa de interés anual acumulada entre el período t y el t+d. Porcondición de no arbitraje, se debe cumplir que (1 + Y0,i) = (1 + Y0,i−1) (1 + Yi−1,i),donde Yi−1,i es la tasa de interés anual forward entre el período i−1 y el i. Bajoel supuesto que la tasa anual forward se compone de tasas forward mensuales

iguales para cada mes del año i, se puede escribir

(1 + Yi−1,i) = (1 + ri−1,i,1) (1 + ri−1,i,2) ... (1 + ri−1,i,12)

(1 + Yi−1,i) = (1 + ri−1,i)12

Así, ri−1,i = (1 + Yi−1,i)112 − 1.

Entonces se dene r0,i = (1 + Y0,1)112 − 1 para i = 1, y

ri−1,i =

(

1+Y0,i1+Y0,i−1

) 112 − 1 i = 2, 3, ..., 20

r19,20 i > 20

Finalmente, la tasa acumulada mensual desde el período 0 hasta elm−esimomes del año i, se consigue haciendo (1 +R0,i,m) =

∏12(i−1)+mt=1 (1 + rt−1,t).

A.2. Interpolación de tablas RV-2004

Bajo el supuesto que la probabilidad de morir de un individuo durante eli− esimo mes del año x, dado que sobrevivió hasta el mes i− 1, es constante e

igual a πx, se puede escribir la probabilidad de mortalidad anual cómo:

qx = πx + (1− πx)πx + (1− πx)2 πx + (1− πx)3 πx + ...+ (1− πx)11 πx

se puede demostrar que

πx = 1− (1− qx)112

Al aplicar la fórmula a las probabilidades anuales que aparecen en la RV-2004, se obtienen las probabilidades de mortalidad mensual para cada año.Luego, para encontrar la probabilidad de sobrevivencia px,jt , de un individuode edad x el año j, que se utiliza en (2.1) y (2.2), es necesario encontrar laprobabilidad acumulada:

px,jt =t∏i=1

(1− πpiso(x+ i

12 ))

45

Las probabilidades de sobrevivencia de un hombre y una mujer de 65 añosen 2005 y las probabilidades de sobrevivencia de un hombre de 60, 65 y 70 añosen 2005 se presentan en la gura 7 y en la gura 8 respectivamente.

Figura 7: Probabilidad de Sobreviviencia con RV-2004 Interpoladas

65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Edad (Años)

Pro

babi

lidad

de

Sob

revi

venc

ia

MujerHombre

Nota: Las probabilidades de sobrevivencia fueron construídas a partir de las tablas de mortalidad

RV-2004, obtenidas en la página de la Superintendencia de Administradoras de Fondos de Pensiones,

e interpoladas mediante la metodología presentada en el texto.

46

Figura 8: Probabilidad de Sobrevivencia Hombres de 60, 65 y 70 años con lasRV-2004 Interpoladas

0 100 200 300 400 500 600

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Meses desde la Fecha Inicial

Pro

babi

lidad

de

Sob

revi

vien

cia

Hombre de 60 añosHombre de 65 añosHombre de 70 años

Nota: Las probabilidades de sobrevivencia fueron construídas a partir de las tablas de mortalidad

RV-2004, obtenidas en la página de la Superintendencia de Administradoras de Fondos de Pensiones,

e interpoladas mediante la metodología presentada en el texto.

A.3. Metodología Rentabilidad Indices

Cada índice está disponible de forma diaria para el período estudiado. Laconstrucción de los índices es tal, que se cumple INDICEdiariot = INDICEdiariot−1 ·(1 +Rdiariot ). Esto implica

(1 +Rdiariot ) =INDICEdiariot

INDICEdiariot−1

Como lo datos de rentas vitalicias están disponibles de forma mensual, esnecesario agregar el retorno observado en cada índice de manera de compararlos mismos períodos de tiempo.

(1 +Rmensualt ) =∏∀i∈mes(t)(1 +Rdiarioi ) =

∏∀i∈mes(t)

(INDICEdiarioi

INDICEdiarioi−1

)

Para facilitar la interpretación de los resultados, se anualizan los resultadospara retornos mensuales.

47

(1 +Ranualt ) =(1 +Rmensualt )12 =

∏∀i∈mes(t)

(INDICEdiarioi

INDICEdiarioi−1

)12

⇔ Ranualt =

∏∀i∈mes(t)

(INDICEdiarioi

INDICEdiarioi−1

)12

− 1

A.4. Solución Problema de Optimización con Valor Cuo-

ta.

El problema es maxEt[

W 1−γt

1−γ ]

αpt≤p≤T

, sujeto a

dW =W (r + αλA1 (τ)) dt+WαA1 (τ)σrdZr

dr =κ(θ − r)dt+ σdZqr

o bien

dr = (κ(θ − r) + λσr) dt+ σrdZr

donde dZqr = λdt + dZr. Esto es, dZqr representa un proceso Brownianoajustado por riesgo, donde λ es el premio por riesgo por unidad de tiempo quepor simplicidad se asume constante.

Por último,

dB = B (r + λA1 (τ)) dt+BA1 (τ)σrdZr

donde A1 (τ) = 1−exp(−τκ)κ .

Para solucionar el problema, se plantea la ecuación de valor:

J(t) ≡ J(W, t) = max Et[U(W t)]αpt≤p≤T

si se adelanta 4t períodos la expresión anterior:

J(W, t+4t) = max Et+4t[U(WT )]

Aplicando la esperanza condicional en t a cada lado se obtiene:

48

Et [J(W, t+4t)] = Et [max Et+4t[U(WT )]]

Por la ley de expectativas iteradas:

Et [J(W, t+4t)] = maxEt [U(WT )]

⇒ Et[J(t+ M t)− J(t)] =0

Al tomar el límite de la última expresión, cuando 4t tiende a 0, se obtieneEt(dJ) = 0, que es la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman.

Por otro lado, por el lema de Îto:

dJ = JwdW + Jtdt+ Jrdr +12Jww(dW )2 +

12Jrr (dr)2 + Jwr (drdW ) (A.1)

Reemplazando (A.1) en la ecuación de HJB e incertando los valores paradW y dr se obtiene:

dJ = JwW (r + αλA1(τ)) + Jt + Jr (κ (θ − r) + λσr)+ 1

2JwwW2α2σ2

rA21 (τ) + 1

2Jrrσ2r + JwrWαA1 (τ)σ2

r (A.2)

α∗, la proporción óptima de inversión en el bono de larga duración, se obtienederivando (A.2) c/r a α, igualando a cero y despejándo la incógnita:

∂dJ

∂α=JwWλA1(τ) + JwwW

2ασ2rA

21 (τ) + JwrWA1 (τ)σ2

r = 0

⇒ α∗ =−JwJww

λ

Wσ2rA1 (τ)

+−JwrJww

1WA1 (τ)

(A.3)

Reemplazando (A.3) en (A.2), desarrollando y simplicando, se obtiene

dJ =Jw

(rW −

(Jwλ

2 + Jwrσ2rλ

Jww

))+ Jt + Jr (κ (θ − r) + λσr)

+12

(Jwλ+ Jwrσ

2r

)2Jwwσ2

r

+12Jrrσ

2r −

(JwJwrσrλ+ J2

wrσ2r

Jww

)= 0 (A.4)

Tomando la condición de borde,

J (W, r, T − T ) =(WT )1−γ

1− γ(A.5)

49

Las ecuaciones (A.4) y (A.5) denen el sistema para la obtención de J .

Deno la guess de J como J(W, r, T − t) = W 1−γ

1−γ ·Ψ (r, T − t),

donde Ψ (r, T − t) = exp (B0(T − t) +B1(T − t) · r).

Luego

Jw =W−γ exp (B0(T − t) +B1(T − t) · r)

Jw =W−γΨ

Jww =− γW−(1+γ) exp (B0(T − t) +B1(T − t) · r)

Jww =− γW−(1+γ)Ψ

Jr =W 1−γ

1− γexp (B0(T − t) +B1(T − t) · r)B1 (T − t)

Jr =W 1−γ

1− γ·Ψ ·B1

Jrr =W 1−γ

1− γexp (B0(T − t) +B1(T − t) · r)B2

1 (T − t)

Jrr =W 1−γ

1− γ·Ψ ·B2

1

Jt =W 1−γ

1− γ(−B′0 − rB′1) exp (B0(T − t) +B1(T − t) · r)

Jt =W 1−γ

1− γ· (−B′0 − rB′1) ·Ψ

Jwr =W−γ exp (B0(T − t) +B1(T − t) · r) ·B1(T − t)

Jwr =W−γ ·Ψ ·B1

50

Reemplazando los valores de Jw, Jww, Jr, Jrr, Jt y Jwr en (A.4), igualandolos coecientes que contienen r y aquellos que no, y resolviendo el sistema deecuaciones diferenciales sujeto a las condiciones de borde implícitas en (A.5) (i.e.B0 (0) = 0 y B1 (0) = 0), se puede demostrar que B0y B1 tienen las siguientesformas:

B0 (τ) = ξ0 · (τ) +B1 (τ) · (ξ1 +B3 (τ))

donde ξ0y ξ1 son constantes conocidas que dependen de los parámetros delproblema λ, γ, σr, κ y B3 (τ) = 1+exp(−τκ)

2 . Por otro lado, B1 (τ) está denidapor:

B1 (τ) = (1− γ)(

1− exp (−τκ)κ

)De esta manera,

J (W, r, T − t) =W 1−γ

1− γexp ξ0 (T − t) +B1 (T − t) · (r + ξ1 +B3 (T − t))

Para simplicar la interpretación de los resultados nales, se dene B2 (τ) =−(

1−exp(−τκ)κ

),o bien B2 (τ) = 1

(γ−1)B1 (τ) de tal manera que J quede redeni-

da cómo:

J (W, r, T − t) =W 1−γ

1− γexp ξ0 (T − t) + (γ − 1)B2 (T − t) · (r + ξ1 +B3 (T − t))

o bien

J (W, r, T − t) =W 1−γ

1− γ·Ψ (T − t)

Dada esta forma de la función valor, calculando sus derivadas parciales yreemplazándolas en (A.3), se obtiene el valor de α∗(t):

α∗(t) =1γ· λ

σ2rA1 (τ)

+(

1− 1γ

)· B2 (T − t)

A1 (τ)

La duración implícita de la cartera en el momento t, D∗(t), es el promedioponderado de las duraciones de los dos bonos:

D∗(t) = (1− α∗(t)) · 0 + α∗(t) · τ

D∗(t) =[

1γ· λ

σ2rA1 (τ)

+(

1− 1γ

)· B2 (T − t)

A1 (τ)

]· τ

51

A.5. Solución Problema de Optimización con Valor Cuota

y Valor Pensión Unitaria.

En el caso en que el administrador tome en cuenta tanto el valor cuota delfondo como el valor de la pensión unitaria, se tiene Xt = Wt

Ut. El proceso de Xt

queda entonces determinado por

dX =dW

U− dU

U

W

U− dU

U

dW

U+W

U

(dU

U

)2

o bien

dX

X=dW

W− dU

U− dU

U

dW

W+

12

(dU

U

)2

Análogamente al caso anterior,

dJ = JxdX+Jrdr+Jtdt+12Jxx (dX)2+

12Jrr (dr)2+

12Jtt (dt)2+JxrdXdr (A.6)

al tomar esperanza de la expresión anterior e igualando a cero, se puedereemplazar los valores de dX, (dX)2, por:

dX =W

U(r + αλA1 (τ))

(dX)2 =1U2

(dW )2 +1U4

(dU)2W 2 − 2W

U3dWdU

(dW )2 =W 2 (1− α)2A21 (τ)σ2

r

(dU)2 =U2σ2u

dXdU =UWαA1 (τ)σuσrρ

Con estos reemplazos, se obtiene:

52

dJ =JxW

U(r + αλA1 (τ)) + Jr (κ (θ − r) + λσr) + Jt

+12Jxx

(W

U

)2 [α2A2

1 (τ)σ2r + σ2

u − 2A1 (τ)ασuσrρ]

+12Jrrσ

2r + Jxr

W

U

[αA1 (τ)σ2

r − σuσrρ]

(A.7)

Derivando (A.7) con respecto a α, se puede encontrar el valor óptimo α∗ :

α∗ =−JxJxx

λ

Xσ2rA1 (τ)

+−JxrJxx

1X

1A1 (τ)

+ρσuσr

1A1 (τ)

Reemplazando la expresión para α∗en (A.7) se obtiene una ecuación análogaa (A.4) la que, junto con la condición de borde J (X, r, T − T ) = X1−γ

1−γ , permitesolucionar el sistema para la resolución de J .

Eligiendo una guess análoga a la del problema enterior,

J(W, r, T−t) = W 1−γ

1−γ ·Φ (r, T − t), donde Φ (r, T − t) = exp (B0(T − t) +B1(T − t) · r).

Luego, es posible demostrar que

B0 (τ) = (T − t) · χ0 +B1 (τ) · (χ1 +B3 (τ))

B1 (τ) = (1− γ)(

1− exp (−τκ)κ

)

B3 (τ) =1 + exp (−τκ)

2 (1− γ)

Donde χ0 y χ1son constantes conocidas que dependen de los parámetros delproblema, γ, λ, κ, ρ, σr y σu.

De esta manera,

J (W, r, T − t) =W 1−γ

1− γexp (T − t) · χ0 +B1 (τ) · (r + χ1 +B3 (τ))

Para facilitar la interpretación de los resultados nales, se dene B2 (τ) =−(

1−exp(−τκ)κ

), o bien B2 (τ) = 1

(γ−1)B1 (τ), por lo que J queda redenida por

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J (W, r, T − t) =W 1−γ

1− γexp (T − t) · χ0 + (γ − 1)B2 (τ) · (r + χ1 +B3 (τ))

Dada esta forma de la función valor, calculando sus derivadas parciales yreemplazándolas en la expresión para α∗(t):

α∗(t) =1γ· λ

σ2rA1 (τ)

+(

1− 1γ

)B2 (T − t)A1 (τ)

+ρσuσr

1A1 (τ)

La duración implícita de la cartera en el momento t, D∗(t), es el promedioponderado de las duraciones de los dos bonos:

D∗(t) =α∗(t) · 0 + (1− α∗(t)) · τ

D∗(t) =[

1γ· λ

σ2rA1 (τ)

+(

1− 1γ

)B2 (T − t)A1 (τ)

+ρσuσr

1A1 (τ)

]· τ

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TESIS de MAGÍSTER - Pontificia Universidad...

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