Contribució a l’estudi dels processos de modelització a

l’ensenyament aprenentatge de les matemàtiques a nivell universitari

Tesi doctoral dirigida pel Dr. J. Mª Fortuny

Departament de didàctica de les matemàtiques i de les ciències

experimentals. UAB.

1. Problemàtica de la tesi.

1. Manca d’aplicacions en els currículums de matemàtiques.

2. Excés de formalisme (influència bourbakista) en les presentacions.

3. Insatisfacció en l’ensenyament tradicional i poca motivació.

Preocupació històrica per l’abséncia d’aplicacions Rey Pastor: “L’abséncia d’aplicacions ens fa

incapasos d’inspirar amor a aquesta ciència” John Perry: “Cal desenvolupar la intuicïóper tal de

que l’enginyer aprengui les relacions entre el món real i l’abstracció de les ciències”

Puig Adam: “En l’ensenyament de les matemàtiques cal substituir el formalisme pel pensament intuitiu i les matemàtiques han d’estar en contacte amb situacions de la realitatr”

INTENCIONS INICIALS I OBJECTIUS

1. Aconseguir que els estudiants assumeixin una actitud creativa.

2. Desenvolupar la seva ha seva habilitat en les aplicacions de les matemàtiques i motivar-los per les seves finalitats acadèmiques i professionals.

3. Capacitar als estudiants en les tècniques de modelització. 4. Proporcionar una imatge de les matremàtiques diferent

de la tradicional. 5. Ajudar a l’estidiant a adquirir i comprendre tècniques i

conceptes matemàtics a partir de les seves aplicacions.

Estadis de la formació matemàtica a nivell social: 1. La formació matemàtica pel

desenvolupament econòmic. 2. La formació matemàtica per la

participació política. 3. La formació matemàtica per els nous

valors socials.

Matemàtiques i societat

1. Sentit de les matemàtiques en l’educació dels ciutadans

2. Influència a la societat

Alguns autors estudiats:

1. C. Keitel 2. K. Ruthven 3.O. Skovsmose 4. P. Valera 5. J. De Lange 6. C. Alsina 7. M. Niss 8. P. Abrantes 9. L.Leris 10. A. Treefers

11. W. Blum 12. M. Artigue 13. F. Gofree 14. W.H. Kilpratick 15. C.Laborde 16. J. F. Matos 17. P. Puig Adam 18. R. Vithal 19. Sixto Ríos 20. K. Houston

Esquema del procés de modelització

SITUACIÓ DEL MÓN REAL Simplificació (1)

PLANTEIG DEL PROBLEMA EN TERMES TÈCNICS. Comparació (4)

MODELITZACIÓ: PROCÉS DE Traducció (2) FORMULACIÓ EN TERMES MATEMÀTICS.

MODEL MATEMÀTIC: EXPRESSIÓ MATEMÀTICA QUE REPRESENTA LA SITUACIÓAplicació de mètodes matemàtics (3)

RESOLUCIÓ INTERPRETACIÓ

EXPLICACIO DE L’ESQUEMA En (1) Simplificació: La situació real pot manipular-se de manera que quan tinguem el model real, hàgim suposat

diverses hipòtesis. Per exemple, en situacions de caiguda de cossos no s'obté el mateix model real si considerem la situació amb fregament o bé si el suposem despreciable.

En (2) Traducció: No és el mateix donar el model i treballar-hi, que construir-lo. A vegades la tasca de construcció és molt laboriosa. En aquest pas el que fem és substituir paraules per símbols i expressions (per exemple: equacions, matrius, funcions,etc.). D'aquesta manera s'aconsegueix una formulació matemàtica del problema i d'una manera natural s'obté un problema en termes matemàtics.

En (3) Aplicació de mètodes matemàtics: En aquest pas apareixen els algoritmes adequats per resoldre el problema que s’ha convertit en una situació real. Cal resoldre el model usant les eines pròpies i adequades. Aquí el professor juga un paper important, ja que sovint els estudiants troben un model (per exemple un sistema d'equacions lineals o una integral) que no saben resoldre i aleshores a l'aula o en tutories es presenten els mètodes de resolució. Un dels objectius és que l'estudiant s’adoni que per arribar a resoldre un cas usual de l'àmbit de la seva especialitat, necessita aprendre uns conceptes i unes tècniques per tal d'assolir una resposta al seu problema (ho podem anomenar motivació). D'aquesta manera adquireix un interès per l'aprenentatge de les matemàtiques ja que li veu una utilitat. Això ja és un fet diferencial en relacció amb l'ensenyament tradicional.

En (4) Comparació: Es tracta de reescriure els resultats numèrics obtinguts en termes del problema proposat inicialment, interpretar-los i alhora, saber triar, si hi ha diverses solucions, quina és l'adequada al seu problema.

Matematitzacio i modelització

Assumim per matematització la transformació mental en termes matemàtics de situacions de la realitat com a fase prèvia a la molització. (De Lange ,1987)

Assumim per modelització l’art d’aplicar les matemàtiques a situacions de la vida real (M. Niss, 1989)

Entendrem per model la terna (A,M,f) on A represnta una situacio de la realitat, M un conjunt d’objectes i expressions matemàtiques i f una correspondéncia entre A i M.

Una ullada a l’estat actual del modelatge i educació matemàtica

De fet, si cerquem a Internet continguts amb les següents

paraules clau: modelling, education, mathematical per tal de

trobar informació sobre el modelatge matemàtic i l'educació,

amb Altavista trobem tal com mostra la figura un total

13004 documents . Xifra prou significativa.

De fet, si cerquem a Internet continguts amb les següents paraules clau: modelling,

education, mathematical per tal de trobar informació sobre el modelatge matemàtic i

l'educació, amb Altavista trobem tal com mostra la figura un total 13004 documents . Xifra

prou significativa.

La proposta presentada 1/2

La proposta està focalitzada, per tant, en la innovació docent i en la seva viabilitat. La nova via estudiada i experimentada és el que anomenarem modelització, que es desenvoluparà combinant treballs en forma d'unitats didàctiques i projectes.

El present treball pretén efectuar una aportació al procés d'aprenentatge de les matemàtiques a nivell universitari. Aquesta aportació es concretarà amb el modelatge matemàtic que consisteix -per dir-ho d'una manera breu- a formular un problema tècnic real en termes matemàtics (el que anomenen model), resoldre'l si es possible i interpretar-ne els resultats en termes del problema i de la situació estudiada. Alguns dels propòsits per els quals es construeix un model són:

1. L'obtenció de respostes sobre el que pot succeir davant d'un fenomen físic. 2. Influir en l'experimentació o les observacions que es poden produir posteriorment. 3. Facilitar i fomentar el progrés i la comprensió dels fenòmens tècnics. 4. Fomentar les matemàtiques i l'art de construir models.

La proposta presentada 2/2

Un paper destacat d'aquesta innovació, i que es presenta com un complement de l'ensenyament universitari, és la introducció del modelatge matemàtic. L'experiència està focalitzada en la innovació docent i la seva validacio. Cal tenir en compte que no formem futurs matemàtics sinó futurs enginyers.

El modelatge matemàtic és la construcció i recerca de models més o menys complexos i el modelatge didàctic és l'aprenentatge de les matemàtiques a partir de models.

Les fases del modelatge matemàtic es podrien enumerar, doncs, de la següent forma:

1. Especificació del problema tècnic. 2. Elecció de les eines adequades per traduir en termes matemàtics la situació. 3. Construcció d'un model. 4. Formulació del problema matemàtic. 5. Resolució del problema matemàtic. 6. Interpretació i anàlisi de la solució.

Estadis de treball en la investigació 1. Inicial: Reflexió sobre l’estat actual de

les matemàtiques a les Escoles Universitàries.

2. Mitjà: Recerca d’un espai per treballar i experimentar nous models d’ensenyament.

3. Final: Esbrinar la validesa/eficàcia de la inclusió del modelatge en els curriculums acadèmics d’un enginyer tècnic.

Context de l’experiència

1. Escola universitària politècnica de Vilanova i la Geltrú (Eupvg-UPC).

2. Alumnes de primer curs d’enginyeria industrial.

3. Assignatures: 3.1. Àlgebra lineal (1994-95) d’enginyeria

industrial mecànica. 3.2. Anàlisi matemàtic (1995-96) d’informàtica.

Instruments de recerca

Aquí hi va el llistat dels instruments

DESCRIPCIO DE L’EXPERIENCIA

L'experiència consisteix en implementar les tècniques del modelatge matemàtic, com eina d'aprenentatge, i alhora demostrar la seva viabilitat.

Això s'ha dut a terme en el que anomeno unitats didàctiques i el treball en grup.Les unitats didàctiques, són unes pràctiques dirigides que els estudiants han de desenvolupar a les aules, de manera que a partir d'una situació real, l'alumne descobreixi els conceptes matemàtics que hi són presents, i pensades amb la precaució de que siguin amenes per tal de que s'adquireixi un grau elevat de motivació en vers els estudis que realitzen i alhora notin la necessitat dels conceptes matemàtics involucrats, amb l'objectiu de resoldre la situació plantejada. En les unitats didàctiques, l'estudiant d'una manera individual, construeix el model matemàtic de la situació. Un exemple que trobem és el cas de com a partir d'un sistema de masses i ressorts descobreixen la necessitat de l'aprenentatge del càlcul matricial per resoldre la situació plantejada, tot construint per si mateixos les propietats de les matrius.

El treball en grup, consisteix en plantejar una situació real on el professor ha donat el model i l'estudiant té que treballar sobre el model per tal de descobrir la corretja de transmissió entre el model matemàtic i el problema real. El treball en grup es desenvolupa fora de l'aula i en grups de dos o tres alumnes. Finalment aquest treball (que anomeno projecte) s'exposa a classe de manera que els altres companys hi participen. Un exemple que trobem, és com a partir d'un problema real plantejat per un granger, aprenen i apliquen les tècniques de diagonalització per arribar a la solució.

Cal destacar que en aquest tipus d'activitats hi ha involucrades diferents àrees de coneixement (principalment física, electrònica i circuïts, entre d'altres).

Objectius pedagògics 1/2

Els objectius pedagògics queden plasmats en els següents punts:

1. Unitats didàctiques: en una primera fase es presenta una situació física senzilla. A partir de diverses activitats suggerides a l'alumne es pretén que, amb un mínim de coneixements de secundària, aconsegueixin construir el model matemàtic de la situació plantejada i aprenguin conceptes matemàtics que els siguin útils.

2. En una segona fase l'objectiu és que resolguin el problema en termes matemàtics i que tot seguit interpretin el resultat en termes tècnics.

Objectius pedagògics 2/2

La metodologia adequada i estructura del treball en projectes,parteix de la filosofia que sintetitzo en les següents fases:

1. Presentació als alumnes de situacions tècniques properes a lavida professional.2. Anàlisi de la situació per part dels alumnes individualment o engrup.3. Decisió de la informació a recopilar per tal de modelar elproblema.4. Recopilació i anàlisi de la informació.5. Desenvolupament del procés teòric de modelització delproblema.6. Resolució del model trobat i interpretació dels resultats.

Unitat de ressorts Inicialment, l'objectiu principal consisteix en que ha partir de situacions regulades per la llei de

Hooke, amb un únic ressort i una massa, l'estudiant descobreixi l'esmentada llei com una relació lineal entre la força i el desplaçament.

En una segona activitat s'afegeixen més ressorts i més masses, l'objectiu a mig termini és aconseguir que l'alumne modelitzi la llei de Hooke en varies variables com un model lineal anàlog a l'anterior. D'aquesta manera descobreix el concepte de matriu i les seves operacions i propietas més rellevants com models necessaris per estudiar el moviment del sistema de ressorts. En aquest procés hi han involucrats els conceptes de matriu d'elasticitat i rigidessa (inverses entre sí ). Amb això es preten que descobreixint l'obtenció de la matriu inversa i alhora presentar la seva utilitat en mecànica.

En una tercera fase, es presenta un problema usual de l'àrea de mecànica tècnica per tal de ser estudiat i posteriorment interpretar el comportament físic de la situació. En la següent transparéncia es mostra l’esquema del problema.

Finalment es presenten situacions que comparteixen el mateix model per tal de que l’estudiant interpreti l’analogia: circuïts, xarxes de circulació vial, models econòmics i geomètrics.

SITUACIO PLANTEJADA A LA UNITAT DIDÀCTICA DE RESSORTS

" H i h a u n p a r a l · l e l i s m e e n t r e l a l l e i d e O h m i l a l l e i d e H o o k e , l e s d u e s s ó n e x p r e s s i o n s d e l t i p u s :

A B C e n e l c a s q u e A V C I L e y d e O h m

A F C x L e y d e H o o k e

G u a i t a e l s d o s e s q u e m e s :O b s e r v a e l s e g ü e n t c i r c u i t :

S i p l a n t e g e m l e s e q u a c i o n s : :

V R R I R I

R I R R R I

1 2 1 2 2

2 1 2 3 4 20m a t r i c i a l m e n t :

V R R R

R R R R

I

I01 2 2

2 2 3 4

1

2

O b s e r v a e l s e g ü e n t g r à fi c :

P l a n t e g e m l e s e q u a c i o n s :

f K x K x x

f K x x K x

1 1 1 1 2 2 1

2 1 2 2 1 2 2

m a t r i c i a l m e n t :

f

f

K K K

K K K

x

x1

2

1 1 2 1 2

1 2 1 2 2

1

2

SITUACIONS DIFERENTES COMPARTEIXEN EL MATEIX MODEL

Unitat d’equacions diferencials

Els objectius generals són que "a priori" de les explicacions teòriques, pròpies de l'ensenyament tradicional els estudiants reconeguin una equació diferencial partint de situacions extretes de la realitat. També es considera adient que l'estudiant reconegui diverses situacions tècniques que tenen com a denominador comú el mateix model d'equació diferencial. He treballat en equacions lineals senzilles per tal de que també notin l'analogia amb els models lineals estudiats anteriorment: lineals, homogénies i de segon ordre lineals.

Es presenta la unitat a partir d’un artícle amb format periodístic tal com mostra la següent transparència.

ACTIVITAT 0: INTRODUCCIÓN.

Miguel López Alegría ha sido el primer astronauta español

que ha viajado al espacio. Dentro del transbordador espacial

“Columbia” estuvo 16 días dando vueltas a nuestro planeta

(una cada 90 minutos) en una órbita fuera de la atmosfera de

la Tierra.

La N.A.S.A. (National Aeronautics and Space

Administration) fue fundada en 1958 y sólo 11 años després

consiguió con éxito su primer objectivo: el 21 de Julio de

1969, según la fecha prevista por Kennedy, los astronautas

Armstrong i Aldrin, tripulantes del módulo lunar del “Apolo

11”, consiguieron alunizar y volver a la Tierra.

Pero los últimos objectivos de la N.A.S.A han sido situar en

el espacio numerosos satélites artificiales (principalmente de

comunicaciones) y realizar ciertos experimentos, utilizando

el Columbia. El trabajo a realizar por Miguel López

Alegría, además del pilotaje, consistió en el estudio del

movimento de los cuerpos en condiciones de gravedad y

densidad atmosférica diferentes a los existentes en la Tierra.

És indispensable, pero, preveer los resultados de estos

experimentos para no correr riesgos innecesarios. Las

condiciones de diferente gravedad y densidad

atmosférica se pueden modelizar matemáticamente, i así

obtener unos resultados previos, óptimos, a los experimentos

que posteriormente llevaran a término los astronautas.

TRANSBORDADOR ESPACIAL “COLUMBIA”

PRESENTACIO DE LA UNITAT DIDÀCTICA D’EQUACIONS DIFERENCIALS.

L a p r à c t i c a a c a v a i n t r o d u ï n l ' e q u a c i ó d i f e r e n c i a l d e s e g o n o r d r e a m b c o e f i c i e n t s c o n s t a n t sp a r t i n t d e d u e s s i t u a c i o n s u s u a l s e n e l c u r r í c u l u m d e l f u t u r i n g i n y e r : L ' e q u a c i ó q u e d e s c r i u l ac à r r e g a q u e é s a m a g a t z e m a d a e n l e s p l a q u e s d ' u n c o n d e n s a d o r d e c a p a c i t a t C q u a n e lc o n n e c t e m e n s é r i e a m b u n a r e s i s t é n c i a R i u n a b o b i n a d e c o e f i c i e n t d ' a u t o i n d u c c i ó L é s :

C L

Ld Q

d tR

d Q

d t

Q

C

2

20

E l s a l u m n e s d e s c o b r e i x e n l ' e q u i v a l è n c i a e n t r e l ' o s c i l . l a d o r m e c à n i c :

M

x

i e l c i r c u ï t m o s t r a t L R C , e s q u e m a t i t z a t p e r e l q u a d r e :

O s c i l a d o r m e c à n i c C i r c u ï t L C RP o s i c i ó X C à r r e g a c o n d e n s a d o r QM a s s a M A u t o i n d u c c i ó b o b i n a Lf a c t o r d ' e s m o r t e i m e n t B R e s i s t é n c i a Rc n t . R e c u p e r a d o r a K I n v e r s d e l a c a p a c i t a t 1 / C

E n g e n e r a l , r e s o l e n u n a e q u a c i ó d e l t i p u s :

y y y 0 c o m a m o d e l c o m p a r t i t d e l e s o s c i l . l a c i o n s m e c à n i q u e s i e l é c t r i q u e s .

Els projectes

Pel que fa als treballs en projectes, es presenten també situacions usuals de la tècnica en les quals els alumnes, individualment o en grup, hagin d'analitzar la situació, decidir amb l'ajut del professor quina informació cal recopilar, després reunir i analitzar la informació, investigar les relacions i ponderar el valor pràctic dels resultats obtinguts, per tal de poder aclarir la situació i resoldre problemes que s'hi refereixin. A diferència de les unitats didàctiques, els treballs en projectes no són elaborats a classe.

A més, hi ha un component pedagògic diferent de l'anterior, un component de recerca: l'estudiant ha de recollir informació per tal de desenvolupar les activitats que li són proposades, d'aquesta manera es pretén que l'alumne prengui contacte amb el món extra acadèmic i s'espavili per recollir informació en el context real -fet usual de tot professional que acaba l'enginyeria-.

Finalment, els resultats dels projectes són defensats a classe on es debaten les qüestions tractades.

OBJECTIUS DELS PROJECTES L'objectiu del primer projecte, és que partint d'un cas real -creixement d'una

població de conills- l'estudiant aprengui a desenvolupar per si mateix les eines matemàtiques escaients per tal de resoldre la situació plantejada. El problema proposat és modelitzat per la teoria de valors i vectors propis. Per tant, els objectius a assolir són l'aprenentatge dels valors propis i vectors propis i la seva connexió i utilitat en situacions reals.

En el segon projecte, l'objectiu és l'aprenentatge del càlcul de la potència enèsima d'una matriu usant la diagonalització. Aquest model matemàtic apareix , en aquest cas, de la necessitat de cercar el terme enèsim de la successió de Fibonacci. La successió és presentada a partir de l'estudi d'un hipotétic virus informàtic a l'escola.

En el tecer projecte, l'objectiu és comprovar que les equacions diferencials no lineals pròpies de diverses situacions tècniques -oscil.lacions esmorteïdes-, poden modelitzar-se a través de models d'àlgebra lineal. I que, per tant, amb l'ús de conceptes matricials poden ser resoltes.

RESUM DE COMENTARIS EFECTUATS PELS ESTUDIANTS

El següent llistat és una tria de comentaris efectuats pels propis estudiants, i que per la seva rellevança vull recordar. els següents comentaris són prou adequats per justificar la inclusió del modelatge matemàtic en els currículums de matemàtiques de les escoles universitàries.

1. "He aprendido ha hacer una matriz en aplicaciones cotidianas " 2. " No aniria malament jugar amb sistemes de molles de veritat " 3. " He aprés les aplicacions de les matemàtiques en la vida quotidiana d'un enginyer " 4. " Treballant d'aquesta manera faltaran hores per veure més coses " 5. " El benefici d'aquestes experiències serà un nou i millor ensenyament " 6. " Tot parteix de les matemàtiques, en l'ensenyament tradicional no es veu la utilitat de les

matemàtiques a la vida real " 7. " M'estimo més el mètode creatiu perquè veus en quin àmbit pots aplicar el que has après. En canvi,

amb el mètode tradicional només veus temari i no aplicació " 8. " Identifico la llei de Hooke i Kirchoff i alhora m'adono que té altres aplicacions, a part de les molles,

elèctriques " 9. " Trobo positiu que en aquest mètode didàctic es presenten casos molt propers a tu com a l'última

part on hi ha l'exercici dels cotxes "

10. " El mètode tradicional crec que no és suficient perquè no és prou pràctic. El mètode creatiu, doncs, és millor però cal que hi hagi un professor per ajudar-te quan t'encalles"

11. " El modelatge és un mètode important perquè et presenta situacions reals que pots resoldre matemàticament. En el mètode tradicional no t'adones de la importància de les matemàtiques a la vida quotidiana "

12. " Amb aquest mètode m'he adonat de com es pot resoldre un problema pràctic de la vida real, amb eines matemàtiques "

13. " Caldria que aquestes pràctiques fossin més dirigides, crec que caldria una mica d'explicació per millorar la unitat didàctica "

14. " El mètode basat en la modelització t'ajuda a descobrir les aplicacions i a entendre millor la teoria " 15. "A través de mostrar situaciones de la vida real, he aprendido ecuaciones diferenciales y en donde se aplican. Este

método de enseñanza es mejor que el tradicional puesto que con la práctica voy aprendiendo los conceptos de una manera gradual y vas relacionandolos con sus aplicaciones "

16. " El treball en grup fa participar als alumnes en classe i ajuda a trobar aplicacions pràctiques de la teoria. Té utilitat en els meus estudis, concretament en geometria computacional "

17. " El modelatge facilita l'aprenentatge. És més autodidacta, però no crec que es pugui prescindir de la figura del professor "

18. " Fent el projecte s'hi aprèn el tema molt bé, ja que fas un problema buscant tu la informació. Tot i això, cal més temps per fer un projecte d'aquests "

19. " Penso que es podrien fer mes treballs del tipus "projecte". Estimula el poder aprendre més autodidàcticament " 20. " Les pràctiques de modelatge fetes amb unitats didàctiques i projectes són molt positives, ja que intenta aproximar

mes el temari de l'assignatura al que veiem de mates durant la resta de la carrera "

Reflexions de la’anàlisi dels cinc alumnes A continuació exposaré, a tall de conclussions, la necessitat d'un canvi en la metodologia de

l'ensenyament de les matemàtiques per no matemàtics.

1. Aconseguim una millor connexió amb el món real. Historicament les matemàtiques han estat desvinculades de la realitat.

2. El modelatge és una eina d'aprenentatge eficient: 2.1. Els alumnes aprenen d'una manera espontània, dirigida i agradable. 2.2. Els estudiant veuen l'utilitat del que aprenen. 2.3. Els estudiants veuen la necessitat de les matemàtiques per resoldre problemes i dedueixent

ells mateixos les eines. 2.4. He observat una forta motivació pels temes tractats. 2.5. Els estudiants adquireixent una actitut creativa. 2.6. Desenvolupa l'habilitat en l'ús de les matemàtiques en situacions no matemàtiques. 3. L'ensenyament tradicional manté excesius formalismes que s'allunyen de la realitat del futur

enginyer. En la modelització s'evita la càrrega de formalismes apostant per un aprenentatge més intuitiu i proper als problemes de la tècnica.

Conclusions d’aplicar la metodologia

1. Les aplicacions i el modelatge matemàticconstitueixen una forma de motivació delsalumnes:Els alumnes no massa afavorits en matemàtiques(principalment per l'ensenyament tant teòric que hanpatit anteriorment) es senten fortament motivats perque li veuen un sentit al que estudien.

2.Les aplicacions del modelatge com una componentcultural:Certes aplicacions de la matemàtica que hem tractat en lesunitats didàctiques i els projectes: com ara el modelatge d'unsistema de ressorts, el món de les equacions diferencials,l'estudi del creixement d'una població de conills, lesoscil.lacions esmorteïdes, la successió de Fibonnaci, etc.Tenen una component cultural important, els estudiants handescobert aspectes no pròpiament matemàtics (per exemplela biografia d'en Robert Hooke, anàlisis de circuïts elèctrics,el funcionament d'una granja de conills, l'existència del'astronauta Miguel López Alegria i la seva aportació alsviatges espaials, Michael Schumaker, etc) que formen partdel context de la vida quotidiana, no només de l'enginyer, ique a través dels treballs desenvolupats pels estudiants hepogut comprovar que han adquirit uns coneixements del quepodríem anomenar cultura general.

3.El modelatge constitueix una forma d'evitar aprenentatges incorrectes:En els exemples que he tractat, els alumnes per desenvolupar un problemaconcret i en particular en el cas del modelatge d'un sistema de ressorts, hihavien alumnes que coneixien algunes tècniques de càlcul matricial. Aquest fetcomportava que alhora de cercar una matriu inversa usaven una fórmulamemorística que havien aprés anteriorment, a priori de fer la pràctica algunsalumnes dubtaven de si al fer la inversa tenien que transposar la matriu inicial ono ho tenien que fer. En la pràctica hem observat que partint d'una situaciótècnica ells mateixos construïen la matriu inversa tot construint les matrius derigidesa i elasticitat. D'aquesta manera he aconseguit que desaparegui latendència per la memorització de fórmules que no tenien prou clares les sevesaplicacions.D'aquesta manera s'estimula el procés creatiu, doncs els alumnes (com podemcomprovar en les seves aportacions i afirmacions) han tingut inquietuds peldescobriment d'una manera creativa han descobert i modelat les eines escaientsper resoldre les diverses activitats plantejades.

4.El modelatge com a forma de reconeixement d'estructures:Conèixer un conjunt d'axiomes és quelcom diferent de reconèixer una estructuramatemàtica en situacions físiques, químiques, i fins i tot de la pròpia matemàtica. A partirde l'ús de tècniques de modelatge, els estudiants han reconegut que diferents situacionscomparteixen el mateix model. Només cal posar com exemple el cas de les matrius:situacions de xarxes vials, problemes econòmics, estructura d'un circuït elèctric, modelgeomètric de girs en el pla; tots comparteixen el mateix model matricial.En els projectes també es mostren situacions que comparteixen el mateix model matemàtic,en aquest cas la diagonalització. Hi apareixent el creixement d'una població de conills, larecerca del terme general de la successió de Fibonnaci, i la resolució d'una equaciódiferencial lineal. Tots ells tenen com denominador comú la diagonalització.En els projectes la resolució dels problemes suggerits és idèntica i les situacions sóndiferents. Vull destacar que és admirable el fet de que un mateix model comparteixi icontribueixi a l'estudi de situacions inicials tant distants. Els lligams entre situacionsextretes del món de la ciència i la tècnica, provoquen un grau més elevat d'integració delpaper de les matemàtiques en la societat. En els casos mostrats podem concloure que elsalumnes han adquirit una capacitat de reconèixer, comprendre, analitzar i avalar diversosestadis de l'ús de les matemàtiques, i contribuint a la resolució de problemes d'enunciat nomatemàtic rellevants en d'altres àrees fora del context de la matemàtica teòrica.En aquest aspecte coincideixo amb en Niss i Blum (1989) en vers la necessitat de que"l'ensenyament de les matemàtiques té que proporcionar als alumnes la realitzaciód'experiències d'aplicació i modelatge en situacions diverses, tals que la matemàtica en síels hi ofereixi les seves eines"Aquest reconeixement i identificació d'estructures provoca inserir àrees de la matemàticaen altres camps de la ciència. La capacitat d'usar un concepte matemàtic envolta quelcommés que simples coneixements del concepte. Dels comentaris fets pels estudiants s'hidespren que saber fer càlculs no és garantia de que es sàpiga decidir en quines situacions ésprecís realitzar aquests càlculs i com s'ha d'usar un resultat, desprès de que aquest siguiobtingut. Per poder interpretar els resultats d'uns càlculs, cal un reconeixement del'estructura en que treballem i que hem modelat.