APLICAS LA DIFERENCIAL EN ESTIMACIÓN DE ERRORES Y

APROXIMACIONES DE VARIABLES, EN LAS CIENCIAS EXACTAS,

SOCIALES, NATURALES Y ADMINISTRATIVAS.

¿CÓMO ES LA VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN CUANDO SU VARIABLE INDEPENDIENTE

CAMBIA?

En cálculo diferencial resolvimos problemas de derivación y los métodos de

derivación, ahora retomaremos esos conceptos de derivación para obtener la

diferencial de la función f(x) descrita como dy=f(x).dx

El objeto de estudio de la diferencial, es como varia una función, cuando el valor

de su variable independiente cambia.

Si tenemos que “X” es la variable independiente de la función y= f(x) y su valor

cambia de x₁ a x2 el aumento (o la disminución) respectivo se llama incremento

de x y se simboliza con Δx (“Delta equis”). Así que tenemos que:

En caso de que la variable y= f(x) experimenta un incremento Δx, de igual manera

la función sufre un aumento (o una disminución) de valor, denominándolo

incremento de la función y se representa con Δy (“Delta ye”). Así tenemos que:

Δy= f(x₂) - f(x₁)

Como Δy= X₂ - X₁, al despejar X₂, obtenemos X₂ = X₁ + Δx.

Al sustituir este valor de X₂ en la ecuación obtenemos:

Δy= f (X₁ + Δx) - f(x₂)

Nota: Se utiliza la palabra incremento para referirse tanto como a un aumento,

como a una disminución.

Diferencial

Definición: Si una función f está definida por la ecuación y= f(x), entonces la

diferencial de y será: dy= f´(x) x

En donde esta se denota por dy. Además x está en el dominio de f´ y x es un

pequeño incremento arbitrario de x.

Por otro lado tenemos la definición de la diferencial de la variable dependiente:

Definición: Si una función f está definida por la ecuación y=f(x), entonces la

diferencial de x será: dx= x

En donde esta se denota por dx. Además x está en el dominio de f´ y x es un

pequeño incremento arbitrario de x.

Con estas definiciones podemos dar a conocer la relación entre las diferenciales

de la variables respectivas: dy=f´(x) dx

Esto señala que la diferencial de una función es igual al producto de su derivada

por la diferencial de la variable independiente.

Dentro de la diferencial podemos encontrar aplicaciones, de las cuales son vistas

desde diferentes ramas como; las matemáticas, las ciencias exactas, ciencias

naturales y ciencias sociales, a continuación les mostramos ejemplos.

Ejemplo 1 Calcula la Raíz cuadrada de 24.2 por medio de la diferencial.

*Paso 1: Se busca la fórmula que represente al problema de manera general

(puede ser una raíz cuadrada, raíz cubica, volumen, área, etc.

√

√ *Paso 2: se calcula la derivada de la función del paso 1.

√

*Paso 3: Se despeja dy, para obtener la diferencial.

(

√ ) ( )

*Paso 4: El valor de la raíz cuadrada se separa en dos partes, una que tenga raíz

entera y la otra lo que falta o sobra.

√ = √

*Paso 5: los valores de x y dx se sustituyen en la diferencial que resulto en el paso

3.

(

√ ) (

) ( )

dy = 0.08

*Paso 6: Se calcula la raíz tomando la que tiene parte entera y restando o

sumando según el caso.

√ = √

= 5 - 0.08

= 4.92

Ejemplo 1 (2.15)2

( )( )

( )2( )

2

( ( ))( )

( )( )

(2.15)2 = 4 +dy = 4.6

Ejemplo 2 √

√

x dx

√

(

√ ) ( )

√ √

(

√ ) ( )

( )( )

(

) ( )

( )( )

√ √

Ejemplo de aplicación 1: Un terreno cuadrado mide 2 km de cada lado. Calcula cuál

es el error si la cerca se recorre 1 m.

A= X2

A=2X

= 2x

= 2x (dx)

a) Hacia afuera b) Hacia adentro

dy= (2l) (dx) dy= (2l) (dx)

dy= (2) (2000) (1) dy= (2x) (1999) (1)

x=2k =2000m

dx= 1m =1m 2

2

dy= (2 (2000) (1) =4000 dy= 3990 =

Ejemplo de aplicación 2 Calcula la disminución aproximada del área de una

quemadura de forma circular cuando el radio disminuye de 2 a 1.98 cm.

Se disminuye por tanto se resta

-

dr= 0.02

dA= (2 π r ) (dr)

dA = (2 (3.14) (2) (0.02)

dA= 0.25

Ejemplo de aplicación 3 Una persona tiene un tumor de forma esférica, calcula

el incremento aproximado del volumen del tumor cuando su radio aumenta

de 2 a 2.1 cm.

dr= 0.1 r = 2

=

dv= 4(3.14 (2 (0.1)

dv= 5.024

= 4 π

dv= 4 π (dr)

El incremento aproximado del tumor es de 5.024

= 2 π r