UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE NICARAGUA FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA ESTADISTICA

Teora de Colas

Jos David Solrzano Lpez IV ao de Matemtica

Managua Nicaragua Noviembre 2011

Introduccin Todos hemos experimentado en alguna ocasin la sensacin de estar perdiendo el tiempo al esperar en una cola. El fenmeno de las colas es bastante natural: esperamos en el telfono a que nos atienda un operador y en la cola de un supermercado para pagar. La razn por la que se producen las colas es que en algn momento la capacidad de servicio ha sido (o es) menor que la capacidad demandada. Esta limitacin se puede eliminar invirtiendo en elementos que aumenten la capacidad. En estos casos la pregunta es: Compensa invertir? La teora de colas intenta responder a estas preguntas utilizando mtodos matemticos analticos. Descripcin de un sistema de colas Un sistema de colas se puede describir como: clientes que lle gan buscando un servicio, esperan si este no es inmediato, y abandonan el sistema una vez han sido atendidos. En algunos casos se puede admitir que los clientes abandonan el sistema si se cansan de esperar. El trmino cliente se usa con un sentido general y no implica que sea un ser humano, puede significar piezas esperando su turno para ser procesadas o una lista de trabajo esperando para imprimir en una impresora en red.

Aunque la mayor parte de los sistemas se puedan representar como en la figura anterior, debe quedar claro que una representacin detallada exige definir un nmero elevado de parmetros y funciones. La teora de colas fue originariamente un trabajo prctico. La primera aplicacin de la que se tiene noticia es del matemtico dans Erlang sobre conversaciones telefnicas en 1909, para el clculo de tamao de centralitas. Despus se convirti en un concepto terico que consigui un gran desarrollo, y desde hace unos aos se vuelve a hablar de un concepto aplicado aunque exige un importante trabajo de anlisis para convertir las frmulas en realidades, o viceversa. Caractersticas de los sistemas de colas a) Patrn de llegada de los clientes En situaciones de cola habituales, la llegada es estocstica, es decir la llegada depende de una cierta variable aleatoria, en este caso es necesario conocer la distribucin probabilstica entre dos llegadas de cliente sucesivas. Adems habra que tener en cuenta si los clie ntes llegan

independiente o simultneamente. En este segundo caso (es decir, si llegan lotes) habra que definir la distribucin probabilstica de stos. Tambin es posible que los clientes sean impacientes. Es decir, que lleguen a la cola y si es demasiado larga se vayan, o que tras esperar mucho rato en la cola decidan abandonar. Por ltimo es posible que el patrn de llegada vare con el tiempo. Si se mantiene constante le llamamos estacionario, si por ejemplo vara con las horas del da es no-estacionario. b) Patrones de servicio de los servidores Los servidores pueden tener un tiempo de servicio variable, en cuyo caso hay que asociarle, para definirlo, una funcin de probabilidad. Tambin pueden atender en lotes o de modo individual. El tiempo de servicio tambin puede variar con el nmero de clientes en la cola, trabajando ms rpido o ms lento, y en este caso se llama patrones de servicio dependientes. Al igual que el patrn de llegadas el patrn de servicio puede ser no-estacionario, variando con el tiempo transcurrido. c) Disciplina de cola La disciplina de cola es la manera en que los clientes se ordenan en el momento de ser servidos de entre los de la cola. Cuando se piensa en colas se admite que la disciplina de cola normal es FIFO (atender primero a quien lleg primero) Sin embargo en muchas colas es habitual el uso de la disciplina LIFO (atender primero al ltimo). Tambin es posible encontrar reglas de secuencia con prioridades, como por ejemplo secuenciar primero las tareas con menor duracin o segn tipos de clientes. En cualquier caso dos son las situaciones generales en las que trabajar. En la primera, llamada en ingls preemptive, si un cliente llega a la cola con una orden de prioridad superior al cliente que est siendo atendido, este se retira dando paso al ms importante. Dos nuevos subcasos aparecen: el cliente retirado ha de volver a empezar, o el cliente retorna donde se haba quedado. La segunda situacin es la denominada no-preemptive donde el cliente con mayor prioridad espera a que acabe el que est siendo atendido. d) Capacidad del sistema En algunos sistemas existe una limitacin respecto al nmero de clientes que pueden espe rar en la cola. A estos casos se les denomina situaciones de cola finitas. Esta limitacin puede ser considerada como una simplificacin en la modelizacin de la impaciencia de los clientes. e) Nmero de canales del servicio Es evidente que es preferible utilizar sistemas multiservidos con una nica lnea de espera para todos que con una cola por servidor. Por tanto, cuando se habla de canales de servicio paralelos,

se habla generalmente de una cola que alimenta a varios servidore s mientras que el caso de colas independientes se asemeja a mltiples sistemas con slo un servidor. En la primera figura se dibuj un sistema mono-canal, en la siguiente figura se presenta dos variantes de sistema multicanal. El primero tiene una sola cola de espera, mientras que el segundo tiene una sola cola para cada canal.

Se asume que en cualquiera de los dos casos, los mecanismos de servicio operan de manera independiente. f) Etapas de servicio Un sistema de colas puede ser unietapa o multietapa. En los sistemas multietapa el cliente puede pasar por un nmero de etapas mayor que uno. Una peluquera es un sistema unietapa, salvo que haya diferentes servicios (manicura, maquillaje) y cada uno de estos servicios sea desarrollado por un servidor diferente. En algunos sistemas multietapa se puede admitir la vuelta atrs o reciclado, esto es habitual en sistemas productivos como controles de calidad y reprocesos. Un sistema multietapa se ilustra en la figura a continuacin.

Ejercicios de Lneas de espera Ejemplo 1 (Estacionamiento Ozark College) El estacionamiento de visitas Ozark College se limita slo a 5 cajones. Los automviles que lo usan llegan siguiendo una distribucin de Poisson con frecuencia de cinco por hora. El tiempo de estacionamiento tiene distribucin exponencial con 30 minutos de promedio. Las visitas que no pueden encontrar un lugar vaco inmediatamente cuando llegan pueden esperar provisionalmente dentro del estacionamiento hasta que salga el automvil estacionado. Los cajones provisionales slo pueden contener tres vehculos. Otros vehculos que no se puedan estacionar ni encontrar un espacio de espera temporal se deben ir a otra parte. Determinar lo siguiente: a) La probabilidad de que haya automoviles en el sistema

Tenemos la siguiente informacin:

Utilizando la frmula para encontrar las probabilidades:

Para n del 1 al 5

Para n del 6 al 8

Ahora calculamos

Con este valor podemos calcular todas las probabilidades. A continuacin se presenta el resultado de TORA:

b) La frecuencia efectiva de llegada para automviles que usen en realidad el estacionamiento

c) La cantidad promedio de automviles en el estacionamiento

d) El tiempo promedio que espera un automvil hasta que haya un cajn libre dentro del estacionamiento.

e) La cantidad promedio de cajones de estacionamientos ocupados

f) La utilizacin promedio del estacionamiento

Varias de las respuestas la brinda el TORA:

Ejemplo 2 (Lavado de auto) Las instalaciones de lavado de autos Autmata operan con solo una rampa, los autos llegan de acuerdo con una distribucin de Poisson, con una media de 4 por hora, y esperan en el estacionamiento de las instalaciones si la rampa est ocupada. El tiempo de lavado y de limpieza es exponencial, con una media de 10 minutos. Los autos que no se pueden estacionar dentro esperan en la calle que bordean las instalaciones de lavado. Esto significa que para todo propsito prctico, ni hay lmites en el tamao del sistema, el gerente de las instalaciones quiere determinar el tamao del estacionamiento, donde un auto que llega encuentre un espacio al menos el 90% del tiempo. Informacin: Los resultados utilizando TORA son los siguientes:

Un auto que llega encontrar un espacio el 90% de las veces si hay cuando mucho S autos en el sistema. Esto es equivalente a lo siguiente:

Mirando en la tabla que tenemos el valor de n que tiene una propiedad acumulada mayor que 0.9, sabemos que , porque un nmero menor brinda una posibilidad por debajo del 90% a que haya algn lugar.

Ejemplo 3 (Lavado de auto) Considere las instalaciones del lavado de un auto del ejemplo anterior. Suponiendo que estas tienen un total de 4 espacios de estacionamiento. Si el estacionamiento est lleno los autos que llegan se van a otras instalaciones. El propietario desea determinar el impacto que tiene el espacio de estacionamiento limitado en la prdida de clientes a la competencia. Informacin: La solucin que brinda TORA es la siguiente:

La proporcin de clientes perdidos es igual a la probabilidad de que llegue un carro y encuentre todos los lugares ocupadas, es decir, . Si multiplicamos esa probabilidad por 4 que son los posibles carros que lleguen en una hora, por 24 horas que atiende el autolavado, obtenemos 4.62 autos al da. Esta cantidad estimada de autos son los que se pierden en un da por tener un estacionamiento limitado.