Universidad Pblica de Navarra Nafarroako Unibertsitate Publikoa ESCUELA TCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALESY DE TELECOMUNICACIN APUNTES DE LA ASIGNATURA: TEORA DE MQUINAS ASIGNATURA DE 3 DE INGENIERA INDUSTRIAL TEMA 8 MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES JESS M PINTOR BOROBIA DR. INGENIERO INDUSTRIAL DPTO. DE INGENIERA MECNICA, ENERGTICA Y DE MATERIALES D DE EP PA AR RT TA AM ME EN NT TO O D DE E I IN NG GE EN NI IE ER R A A M ME EC C N NI IC CA A, , E EN NE ER RG G T TI IC CA A Y Y D DE E M MA AT TE ER RI IA AL LE ES S TEMA 8 MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORA DE MQUINAS - 8.2 - INDICE8.1 INTRODUCCIN. 8.2 FUNCIN DE LOS ENGRANAJES Y RELACIN DE TRANSMISIN. 8.3 CLASIFICACIN DE LOS ENGRANAJES SEGN EL AXOIDE DEL MOVIMIENTO. 8.4 LEY GENERAL DE ENGRANE. PERFILES CONJUGADOS. 8.5 PERFILES DE LOS DIENTES. 8.5.1 Perfil de Evolvente.8.5.2 Otros tipos de perfiles.8.6 ENGRANAJES CILNDRICO-RECTOS. 8.6.1 Nomenclatura.8.6.2 Engranajes normalizados.8.6.3 Relaciones fundamentales.8.6.4 Generacin de engranajes.8.6.4.1 Reproduccin.8.6.4.2 Generacin por cremallera.8.6.4.3 Generacin por pin.8.6.5 Interferencia de tallado y de funcionamiento. 8.6.5.1 Interferencia de tallado o penetracin.8.6.5.2 Interferencia de funcionamiento.8.6.6 Arco de conduccin y relacin de contacto.8.6.7 Estudio analtico del perfil de evolvente.8.6.8 Engranajes corregidos.8.7 ENGRANAJES CILNDRICO-HELICOIDALES. 8.7.1 Caractersticas.8.7.2 Plano normal y plano frontal. Relaciones angulares.8.7.2.1 Cremallera de dientes inclinados. Perfil frontal y perfil normal.8.7.3 Relacin de contacto.8.7.4 Generacin por cremallera.8.8 DINMICA DE LOS ENGRANAJES CILNDRICO-RECTOS. 8.8.1 Esfuerzos de contacto.8.8.2 Potencia transmitida y rendimiento. D DE EP PA AR RT TA AM ME EN NT TO O D DE E I IN NG GE EN NI IE ER R A A M ME EC C N NI IC CA A, , E EN NE ER RG G T TI IC CA A Y Y D DE E M MA AT TE ER RI IA AL LE ES S TEMA 8 MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORA DE MQUINAS - 8.3 - 8.1 IntroduccinLos engranajes y las transmisiones de engranajes estn presentes en muchas de lasmquinas que podemos encontrar a nuestro alrededor, adems de ayudara moverlas ruedas yhlices de nuestros medios de transporte, ya sea por tierra, mar o aire.Sin embargo, la tecnologa asociada a los engranajesno es, en absoluto, una cuestinnovedosa. Antes bien, para buscar su origen debemosde remontarnos, porlomenos hasta a laGrecia de la antigedad. As, hasta hace no mucho,se deca que la primera referencia a losengranajes corresponda a Aristteles, o a los discpulos de su escuela, y apareca en el libro"Problemas Mecnicos de Aristteles" (280 a.C.). Tal apreciacin, sin embargo, es incorrecta ya quelo que contiene dicho libro es una referencia a un mecanismo constituido por ruedas de friccin.Para una referencia ms acertada deberamos trasladarnos hacia el ao 250 a.C., cuandoArqumedes desarroll un mecanismo de tornillo sin fin - engranaje, en sus diseos de mquinasde guerra.Por otro lado, el mecanismo de engranajesms antiguo que se conserva es el mecanismode Antikythera -descubierto en 1900 en la islagriega de ese nombre en un barco hundido-. Elmecanismo, datado alrededor del ao 87 D.C., result adems serextremadamente complejo(inclua trenes de engranajes epicicloidales) ypodra tratarse de una especie de calendariosolar y lunar.Con anterioridad a este descubrimiento, sehaba venido considerando como la primeraaplicacin conocida de engranajes diferencialesepicicloidales al llamado "carro que apuntahacia el Sur" (120-250 D.C.): un ingeniosomecanismo de origen chino (Fig. 8.0) quemantena el brazo de una figura humanaapuntando siempre hacia el Sur (considerando,eso s, que en las ruedas del carro no existadeslizamiento). Figura 8.0 Carro que apunta hacia el Sur.Posteriormente, la tecnologa de los engranajes apenas sufri avances hasta llegar a lossiglos XI-XIII con el florecimiento de la cultura del Islam y sus trabajos en astronoma. Asimismo, alpoco tiempo, el desarrollo en Europa de sofisticados relojes (en muchos casos destinados acatedrales y abadas) hacia el siglo XIV impuls tambin de forma importante esta tecnologa. D DE EP PA AR RT TA AM ME EN NT TO O D DE E I IN NG GE EN NI IE ER R A A M ME EC C N NI IC CA A, , E EN NE ER RG G T TI IC CA A Y Y D DE E M MA AT TE ER RI IA AL LE ES S TEMA 8 MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORA DE MQUINAS - 8.4 - Sera, sin embargo, un siglo ms tarde (XVal XVII)cuando las teoras de engrane y lasmatemticas de los perfiles de los dientes de los engranajes -los perfiles cicloides (Desargues) y losperfiles de evolvente (La Hire)- comienzan a ser establecidas. Y es con la revolucinindustrial(mediados del XIX) cuando la ciencia de los engranajes alcanza su mximo esplendor. A partir deeste momento, la aparicin de nuevos inventos conlleva el desarrollo de nuevas aplicaciones paralos engranajes, y con la llegada del automvil -porejemplo- la preocupacin por una mayorprecisin y suavidad en su funcionamiento se hace prioritaria.Ya en nuestros das, los mtodos de desarrollo de mecanismos constituidos por engranajeshan avanzado de forma considerable. As, por ejemplo,nos podemos encontrar con aplicacionesareas en las que se utilizan engranajes de materiales ligeros, sometidos a condiciones de granvelocidad y que a su vez deben soportar un carga importante. Al mismo tiempo, por poner unejemplo, las tcnicas de anlisis estructural basadas en la aplicacin del MEF permiten resolver losproblemas de tensiones y esfuerzos dinmicos, as como el clculo de las frecuencias deresonancia para este tipo de engranajes. D DE EP PA AR RT TA AM ME EN NT TO O D DE E I IN NG GE EN NI IE ER R A A M ME EC C N NI IC CA A, , E EN NE ER RG G T TI IC CA A Y Y D DE E M MA AT TE ER RI IA AL LE ES S TEMA 8 MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORA DE MQUINAS - 8.5 - 8.2 Funcin de los engranajes yrelacin de transmisinEl objetivo de los engranajes es transmitir una rotacin entre dos ejes con una relacinde velocidades angulares constante. As, se habla de "Par de Engranajes, Ruedas Dentadas oEngrane" para referirse al acoplamiento que se utiliza para transmitir potencia mecnica entre dosejes mediante contacto directo entre dos cuerpos slidos unidos rgidamente a cada uno de los ejes.La "Relacinde Transmisin" es el cociente entre la velocidad angular de salida e2(velocidad de la rueda conducida) y la de entrada e1 (velocidad de la rueda conductora):= e2/ e1. Dicha relacin puede tener signo positivo -si losejes giran en el mismo sentido- onegativo -si los giros son de sentido contrario-. Del mismo modo, si la relacin de transmisin esmayor que 1 (>1) se hablar de un mecanismo multiplicador, y si es menor que 1 ( 2 sen2 z (35)- La distancia entre centros viene impuesta por la normalizacin de los mdulosy losnmeros de dientes, ya que:( ) 2 1 2 1 z z2m R R d + = + = (36) D DE EP PA AR RT TA AM ME EN NT TO O D DE E I IN NG GE EN NI IE ER R A A M ME EC C N NI IC CA A, , E EN NE ER RG G T TI IC CA A Y Y D DE E M MA AT TE ER RI IA AL LE ES S TEMA 8 MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORA DE MQUINAS - 8.29 - La solucin a estas necesidades y problemas viene dada por los engranajes corregidos. Laidea consiste en tomar como lnea primitiva de lacremallera de tallado -en el caso de generacinpor cremallera- una lnea en la que la anchura del diente sea distinta de la anchura del hueco.Es decir, consiste (Fig. 8.32)en desplazar la cremallera unacantidad 'xm', donde x es llamadofactorde correcciny m el mdulodel engranaje.Una correccinpositiva, evitar la interferencia detallado y el apuntamiento del diente. Figura 8.32 Correccin positiva en tallado con cremalleraSe puede, en tal caso, plantear el problema de interferencia de tallado de modo inverso:conocido el nmero de dientes a tallar, calcular cul ser el factor de correccin mnimo para que notenga lugar interferencia de tallado. Figura 8.33 Correccin con cremalleraAnalizando la Figura 8.33 adjunta,donde se ha desplazado la cremallerauna distancia xm, puede deducirse quepara que no exista interferencia de talladoha de cumplirse que:( ) s sen CP x 1 m (37)siendo = = 2 2 sen2mz sen R sen CPDe donde, recordando (35):ite lm2zz 12sen z 1 x = > (38)Por otro lado, en lo referente a la limitacin de la distancia entre centros, sean dos ruedas R1 y R2talladas con la misma cremallera pero con desplazamientos distintos x1,x2. Si x1y x2sonpositivos, las ruedas no engranarn a la distancia d = R1 + R2, porque ha aumentado el espesor delos dientes en las circunferencias primitivas de tallado, y cada diente no cabe en el hueco de la otra rueda. Anlogamente, si ambas son negativas, existir gran holgura entre el espesor del diente y elhueco sobre la circunferencia primitiva. Y cabe la posibilidad de que x1y x2sean de signoscontrarios. En cualquier caso, las ruedas engranarn a otra distancia entre ejes y los radios de lascircunferencias primitivas de talladono coincidirn con los de las circunferencias primitivas defuncionamiento. Tal y como se observa en la Figura 8.34 de la pgina siguiente, los nuevos radios primitivosde funcionamiento R1v y R2v se hallarn situando los engranajes a una distancia tal que el espesordel diente de una rueda coincida con el hueco de la otra. La nueva distancia de engrane ser ahorad = R1v+ R2v. Por otro lado, al variar la distancia tambin variar el ngulo de presin, designadopor v. D DE EP PA AR RT TA AM ME EN NT TO O D DE E I IN NG GE EN NI IE ER R A A M ME EC C N NI IC CA A, , E EN NE ER RG G T TI IC CA A Y Y D DE E M MA AT TE ER RI IA AL LE ES S TEMA 8 MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORA DE MQUINAS - 8.30 - Engranajes sin correccin Engranajes corregidos Condiciones de funcionamientoFigura 8.34 Condiciones de funcionamiento de engranajes corregidosLas circunferencias base no varan, por lo que se cumple:V V 2 2 2V V 1 1 1cos R cos Rcos R cos R = = = = (39)Para deducir las condiciones de funcionamiento de los engranajescorregidos habr queestudiar la forma en que vara el espesordel diente. Partimos para ello (Fig. 8.35) de unacremallera en la que colocamos la lnea primitiva y la lnea media (lnea en la que la que la anchuradel diente es igual a la anchura del hueco, y que en el caso de engranajes no corregidos coincidecon la lnea primitiva). Podemos distinguir: Figura 8.35-e: espesor del diente tallado a cero -con lacircunferencia primitiva normal-e = p/2 = mt/2 (40)-e': espesor del diente tallado con lacircunferencia primitiva con correccin(circunferencia primitiva de tallado). + = tg m x 2 e ' e (41)Los espesores de los dientes sobre las circunferencias primitivas de tallado sern entonces: + t = + t =tg m x 2 2m etg m x 2 2m e2,21,1(42) con lo que al variar el espesor del diente y en igual medida, pero con signo contrario, la anchura del hueco en las circunferencias primitivas de tallado,stas ya no podrn ser las circunferenciasprimitivas de funcionamiento. D DE EP PA AR RT TA AM ME EN NT TO O D DE E I IN NG GE EN NI IE ER R A A M ME EC C N NI IC CA A, , E EN NE ER RG G T TI IC CA A Y Y D DE E M MA AT TE ER RI IA AL LE ES S TEMA 8 MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORA DE MQUINAS - 8.31 - Teniendo en cuenta la expresin vista para el espesor de un diente para un radio dadoconocido el espesor en otro punto del mismo (34), los espesores del diente en las nuevascircunferencias primitivas de funcionamiento sern: ( ) ( ) | |)` + = V1,1 V 1,V 1 Ev Ev 2Re R e (43) ( ) ( ) | |)` + = V2,2 V 2,V 2 Ev Ev 2Re R e (44) E igualando la suma de los espesores de los dientes de ambas ruedas al paso medido sobrelas circunferencias primitivas de funcionamiento:1V 11V 11V 1 V,V 2,V 1 RR mmR 2R 2zR 2 p e e t = t = t = = + (45) Sustituyendo (43) y (44) en la expresin (45) anterior queda:( ) ( ) | | ( ) ( ) | |1V 1 V2,2 V 2 V1,1 V 1 RR m Ev Ev 2Re R Ev Ev 2Re R t =)` + +)` + (46) que, operando, resulta:( ) ( ) | | { } ( ) ( ) | | { }1V 1 V 2,22V 2 V 1,11V 1RR m Ev Ev R 2 eRR Ev Ev R 2 eRR t = + + + (47) Teniendo en cuenta que, segn (39)la relacin de radios permanece constante,2V1V2121RRRR= =, se puede simplificar esta expresin quedando:( ) ( ) | | { } ( ) ( ) | | { } t = + + + m Ev Ev R 2 e Ev Ev R 2 e V 2,2 V 1,1 (48) Sustituyendo (40) y (41), sacando factor comn y simplificando:( ) ( ) ( ) ( ) | | 0 Ev Ev2z z m tg x x m V 2 1 2 1 = + + + (49) Luego de la condicin geomtrica de que un engranaje engrane con otro sin juego, se obtieneuna relacin entre las correcciones y las condiciones de funcionamiento:( ) ( ) ( )( )++ + = tgz zx x 2 Ev Ev2 12 1 V (50) D DE EP PA AR RT TA AM ME EN NT TO O D DE E I IN NG GE EN NI IE ER R A A M ME EC C N NI IC CA A, , E EN NE ER RG G T TI IC CA A Y Y D DE E M MA AT TE ER RI IA AL LE ES S TEMA 8 MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORA DE MQUINAS - 8.32 - 8.7 Engranajes cilndrico-helicoidales8.7.1 CARACTERSTICASLos engranajes rectostienen la caracterstica de que cada diente empieza a engranarbruscamente en toda su longitud y termina de engranar del mismo modo. Por lo tanto, los pequeoserrores geomtricos inevitables en la fabricacin de los dientes se traducen en pequeos choques alempezar el engrane, acompaados del correspondiente ruido. Adems, al ser variable con el tiempoel nmero de dientes en contacto (por ejemplo, parauna relacin de contacto del 1,7), ello setraduce en variaciones de carga sbitas sobre los dientes (no es lo mismo que un diente soportetoda la carga que sta sea repartida entre dos); esdecir, variaciones bruscas de la fuerzatransmitida a cada diente.Debido a esto, los engranajes cilndricos rectos noresultan adecuados para transmitirpotencias importantes (producen vibraciones, ruidos,...).Una primera aproximacin para solucionar este problema podra consistir en tallar engranajesrectos desplazados, de modo que los saltos sbitos se suavicen. Es lo que se conoce comoengranajes cilndricos escalonados(Fig. 8.36) y su funcionamiento es tanto ms suavecuantomayor es el nmero de escalones en los que es tallado el engranaje. Figura 8.36 Las ruedas helicoidales pueden considerarse el lmite de una rueda escalonadaLa idea de los engranajes helicoidales surge as como el paso al lmite de los engranajes escalonados, en donde los saltos son tan pequeos (infinitesimales) que hay continuidad (Fig. 8.36).En ellos, el engrane de dos dientes empieza y termina de forma gradual, lo que se traduce en unamarcha ms suave (menos ruido y vibraciones). Al mismo tiempo, los dientes helicoidales permitenobtener, con cualquier nmero de dientes, una relacin de contacto tan grande como se desee. D DE EP PA AR RT TA AM ME EN NT TO O D DE E I IN NG GE EN NI IE ER R A A M ME EC C N NI IC CA A, , E EN NE ER RG G T TI IC CA A Y Y D DE E M MA AT TE ER RI IA AL LE ES S TEMA 8 MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORA DE MQUINAS - 8.33 - 8.7.2 PLANO NORMAL Y PLANO FRONTAL. RELACIONES ANGULARESEn una ruedahelicoidal (Fig. 8.37), unaseccin por un plano normalal eje de giro presenta unperfil anlogo al de unarueda de dientes rectos(perfil de evolvente, ngulode presin, lnea deengrane, ...). Este es elperfil frontalde la rueda,situado sobre el planofrontal o aparente. Figura 8.37 Angulo de inclinacin en el cilindro base |b En sucesivos planos paralelos al anterior, se va repitiendo el mismo perfil, pero desfasadorespecto al plano frontal de tal manera que la basedel flanco del diente traza sobre el cilindro debase de las evolventes una hlice de ngulo de inclinacin |b (ngulo de inclinacin en el cilindro base). Figura 8.38 Helicoide regladoLa forma que toman los flancos delos dientes es una superficie llamadahelicoide reglado. Esta superficie es laque engendra el segmento AB de laFigura 8.38 cuando el plano ABCD seenrolla sobre el cilindro base o ruedasobre l sin deslizar. Cualquier seccinde esta superficie por un plano tangenteal cilindro base esuna lnea recta, ycualquier seccin perpendicular al eje delcilindro es una evolvente. En un engranajecilndrico de ruedashelicoidales (Fig. 8.39),las dos ruedas debentener las hlices desentidos contrarios(una a derechas y laotra a izquierdas), peroambas con el mismovalor del ngulo deinclinacin |b. Es decir: |b1 = -|b2 Figura 8.39 La hlice del cilindro primitivo = de la del cilindro baseCada rebanada de las ruedas de espesor infinitesimal engrana como si se tratara de unarueda de dientes rectos con un perfil igual al perfil frontal o aparente. En sucesivos planos paralelosal anterior, se reproduce el mismo engrane pero conun cierto retraso o adelanto. Es decir, que a D DE EP PA AR RT TA AM ME EN NT TO O D DE E I IN NG GE EN NI IE ER R A A M ME EC C N NI IC CA A, , E EN NE ER RG G T TI IC CA A Y Y D DE E M MA AT TE ER RI IA AL LE ES S TEMA 8 MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORA DE MQUINAS - 8.34 - efectos de engrane dos ruedas helicoidales se comportan igual que dos ruedas rectas cuyo perfilfuera el perfil frontal o aparente. As, los axoides son dos cilindros de contacto, el ngulo de presinser el ngulo de presin del perfil frontal o ngulo de presin aparente a, y los radios de lascircunferencias primitivas o axoides (R1 y R2) se calcularn con las mismas expresiones vistas paraengranajes de dientes rectos:d = R1 + R2(51) R1 = 1 / cosa(52) R2 = 2 / cosa(53) Ahora bien, la traza del flanco de un diente sobre el cilindro primitivo es tambin una hlice,pero con un ngulo de inclinacin (|) mayor que el de la hlice del cilindro base (Fig. 8.39). Ello esdebido a que esta nueva hlice se desarrolla sobre un cilindro de mayor radio. Observando la Figura8.40, puede demostrarse que el ngulode inclinacinsobre el cilindroprimitivoo ngulo deinclinacin de funcionamiento (|) es: tg| = tg|b / cosa(54) Tanto la hlice del cilindro primitivo comola del cilindro base deben tener el mismo pasoaxial (H: avance axial correspondiente a unavuelta completa de la hlice), que es unacaracterstica general del diente.Desarrollando ambos cilindros sobre unplano (Fig. 8.40) puede verse que:HR 2 tg ,H2 tg bt = | t = | (55)De donde se deduce, como afirmbamosen (54):a b cos R tg tg = = | | (56) Figura 8.40 Relacin entre | y |b 8.7.2.1 Cremallera de dientes inclinados. Perfil frontal y perfil normalPor definicin, una cremallera es una rueda dentadade radio infinito, en la que el cilindroprimitivo se convierte en un plano primitivo. La cremallera correspondiente a una rueda helicoidal esuna cremallera de dientes inclinados. Los dientes de esta cremallera tienen una generatrizrectilnea, pero estn inclinados respecto a la direccin transversal de la cremallera el ngulo deinclinacin sobre el cilindro primitivo | (Fig. 8.41). Los flancos de estos dientes son planos, igual quelos de una cremallera recta; pero en una cremallera de este tipo cabe distinguir dos planos o perfiles diferentes que pueden apreciarse en la Figura 8.41: - El perfil frontal o aparente ( de datos a, ma y a), que se obtiene cortando la cremallerapor un plano perpendicular al eje de la rueda. Este perfil es conjugado del perfil frontal deuna rueda helicoidal y es el que define la manera de engranar la cremallera con la rueda. D DE EP PA AR RT TA AM ME EN NT TO O D DE E I IN NG GE EN NI IE ER R A A M ME EC C N NI IC CA A, , E EN NE ER RG G T TI IC CA A Y Y D DE E M MA AT TE ER RI IA AL LE ES S TEMA 8 MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORA DE MQUINAS - 8.35 - - El perfil normal (de datos n, mn y a), que se obtiene cortando la cremallera por un planonormal a la directriz de los dientes. Este plano forma un ngulo | con el plano frontal oaparente (Fig. 8.41). Este perfil es el que debe tenerse en cuenta en el tallado de la rueday al calcular la resistencia de los dientes. Figura 8.41 Perfil frontal y perfil normal de una cremallera de dientes inclinadosLa Figura 8.42 representa lacremallera cortada por un plano normal yotro frontal, y permite determinar larelaciones angulares entre losparmetros definidos en cada plano.Por la forma de hacer estassecciones se comprende que los dosperfiles tendrn el mismo addendum oaltura de cabeza (a). No obstante, elperfil frontal resulta un perfil ms estirado(como un acorden), con un mayor paso(un mayor mdulo) y un mayor ngulo depresin (). De la Figura se deduce que:pn = pacos| mn = macos| (57)qn = qacos|y como:qa = atga, qn = atgn resultatgn = tgacos| (58) Figura 8.42 Relacin perfil normal vs. frontalEn una rueda helicoidal existe tambin el perfil frontal, pero no cabe definir un perfil normal yaque, por la forma alabeada del diente, no cabe cortarlo por un plano que sea perpendicular a la D DE EP PA AR RT TA AM ME EN NT TO O D DE E I IN NG GE EN NI IE ER R A A M ME EC C N NI IC CA A, , E EN NE ER RG G T TI IC CA A Y Y D DE E M MA AT TE ER RI IA AL LE ES S TEMA 8 MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORA DE MQUINAS - 8.36 - superficie del diente en todos los puntos de corte.Por ello, cuando se habla del perfilnormalde una rueda helicoidalse sobreentiende que se est hablando del de la herramienta utilizada paratallarlo.8.7.3 RELACIN DE CONTACTOSe llama salto de base (sb) de undiente helicoidal al arco que avanza unextremo del diente con respecto del otro,medido sobre el cilindro base (Fig. 8.43).Llamando b a la anchura de larueda y recordando el ngulo de hlicesobre el cilindro base (|b), ser:sb = btg|b(59) Figura 8.43 Salto de un diente (sb) La existencia del salto mejora notablemente la relacin de contacto o coeficiente derecubrimiento de un engranaje helicoidal. En efecto, cuando un extremo del diente deje de engranar,el otro extremo todava tendr que girar un arco (sb) para dejar de engranar; de modo que el arco deconduccin queda aumentado en un valor igual al salto, y ser la suma del correspondiente al perfilfrontal (visto para los engranajes cilndricos rectos) ms el salto.t | + = + = cab tab tmR tg b qpR s q(60)Una buena norma de proyecto es hacer que el salto(sb) sea siempre mayor que el pasoaparente, con lo cual la relacin de contacto ser siempre mayor que la unidad por pequeo quesea la relacin de contacto del perfil frontal. Esta propiedad permite utilizar un trozo muy pequeode la lnea de engrane (AB), y por lo tanto addendums tan pequeos como se quiera, sinpreocuparse de si la relacin de contacto sersuficiente. Una altura de cabeza pequeo tiene laventaja de que el diente es ms robusto y , adems, el contacto se realiza siempre ms cerca delpunto primitivo (polo del movimiento relativo) con lo que el deslizamiento es menor (y, por lo tanto,tambin ser menor el desgaste por rozamiento).La libertad de escoger el pequeo trozo til (AB) dentro de la lnea de engrane (CD) permiteadaptarse a condiciones especiales. En particular, si interesa mucho reducir el rozamiento y elruido, conviene situar el segmento de engrane (AB) completamente del lado de salida de la lnea deengrane, o sea del lado de la rueda conducida.Estas propiedades se llevan al lmite en los perfiles de contacto instantneo, en los cuales losperfiles se modifican de modo que slo se toquen al pasar por un punto prximo al punto primitivo P.En este caso, el coeficiente de recubrimiento frontal es prcticamente nulo y la continuidad delengrane se confa al salto (sb). 8.7.4 GENERACIN POR CREMALLERA D DE EP PA AR RT TA AM ME EN NT TO O D DE E I IN NG GE EN NI IE ER R A A M ME EC C N NI IC CA A, , E EN NE ER RG G T TI IC CA A Y Y D DE E M MA AT TE ER RI IA AL LE ES S TEMA 8 MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORA DE MQUINAS - 8.37 - La cremallera que se utiliza en los engranajes cilndricos helicoidales es idntica a la usadapara tallar dientes rectos, pero inclinada una ngulo ###| respecto al eje del cilindro (Fig. 8.44). Elproceso a seguir para el tallado ser tambin el mismo. a - Engranaje cilndrico recto b - Engranaje cilndrico helicoidalFigura 8.44 Tallado con cremallera de un engranaje cilndricoEl perfil de la herramienta seconvierte en el perfil normal de la cremallera generadoraimaginaria. En cambio, el perfil frontal o aparente de la cremallera generadora tendr un paso y unngulo de presin mayores. Si los datos nominales de la herramienta son mt, t y at, los datos delperfil frontal de la superficie generadora sern:t tattat tta a a ,costgtg ,cosmcospp =|= | t=|= (61)Las ruedas helicoidales pueden tambin tallarse a cero o con desplazamiento, aunque la tallacon desplazamiento tiene mucho menos inters que en el caso de ruedas rectas.Los datos intrnsecos que determinan la rueda obtenida quedan definidos con su perfil frontal y su ngulo de inclinacin: - El perfil frontal se calcula igual que si fuese una rueda de dientesrectos tallada con unacremallera recta cuyo perfil fuera el perfil frontal calculado en (61); es decir, empleando(tamta) en lugar de (tmt) o, lo que es lo mismo, (ama) en lugar de (m); ya querueda y herramienta tenan el mismo mdulo y el mismo ngulo de presin-.- El ngulo de inclinacin de la hlice de la base(|b) obtenida se calcula aplicando laexpresin (54)tg|b = tg| cosat (62)Por lo tanto, los engranes helicoidales sern estudiados en las secciones frontales oaparentes, necesitando para ello definir los llamados parmetros aparentes: D DE EP PA AR RT TA AM ME EN NT TO O D DE E I IN NG GE EN NI IE ER R A A M ME EC C N NI IC CA A, , E EN NE ER RG G T TI IC CA A Y Y D DE E M MA AT TE ER RI IA AL LE ES S TEMA 8 MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORA DE MQUINAS - 8.38 - |t =|=cosmcosp pa (63)|=cosm ma (64)Es decir, el paso en una seccin de engranaje helicoidal puede tomar distintos valorescambiando el ngulo |. Sobre cada seccin trabajaremos como si se tratara de un engranaje cilndrico recto, perocambiando### m por ma y ### por a, recordando (58):| = cos tg tg a (65)Podremos tambin estudiar el nmero de dientes mnimo para evitarla interferencia detallado:a2a2 aa2a2 sencos 2mz sen2z msen R cos R R m |= = = sa2 sencos 2 z| > (66)Del mismo modo, la distancia entre centros vendr dada por:( )| +cos 2z z m =2z m +2z m = R + R = d 2 1 2 a 1 a 2 1 (67)Donde se observa que en los engranajes helicoidalesla distancia entre centros depende deun parmetro ms: cos|. Por ello, en la prctica no se utilizan engranajes helicoidales corregidos,ya que basta con cambiar el ngulo | para conseguir la distancia entre centros deseada. D DE EP PA AR RT TA AM ME EN NT TO O D DE E I IN NG GE EN NI IE ER R A A M ME EC C N NI IC CA A, , E EN NE ER RG G T TI IC CA A Y Y D DE E M MA AT TE ER RI IA AL LE ES S TEMA 8 MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORA DE MQUINAS - 8.39 - 8.8 Dinmica de engranajes8.8.1 ESFUERZOS DE CONTACTOAl estudiar la cinemtica de los engranajes, se ha descrito la lnea de engrane como el lugargeomtrico de los sucesivos puntos de contacto entre la rueda y el pin. As, las rectas que unenpuntos de la lnea de engrane con elpunto primitivo P representan las sucesivas normales a losperfiles de los dientes en el momento de contacto y, por ello, a su vez representan la direccin enque uno de los perfiles transmite fuerza sobre el otro (suponiendo que no exista rozamiento).Si los perfiles en contacto ern perfiles de evolvente, la lnea de engrane resultaba ser unalnea recta. Por lo tanto, en este caso, la fuerza transmitida es de direccin constante, lo quedinmicamente constituye un efecto muy favorable frente a cualquier otro perfil de diente. En lodesarrollado a lo largo de este apartado consideraremos, en todo momento, que los perfiles de losdientes son perfiles de evolvente. La fuerza de un diente sobre otro (F), si se desprecia el rozamiento, es perpendicular a lasuperficie del diente; por lo tanto, no es tangente al cilindro primitivo de funcionamiento o axoide. Engeneral, F tendr una componente tangencial (T), una radial (R) y una axial (A), relacionadas entres por la geometra del diente. La componente tangencial (T), que es la nica que da unmomentorespectoal eje de giro, quedadeterminada porel partransmitido. Las otrascomponentes quedan determinadas en funcin de T:-Engranajes Cilndrico-rectos: El punto decontacto evoluciona a lolargo de la recta deengrane para los perfiles de evolvente. Elempuje F tiene, considerando que no existerozamiento, la direccin de la lnea de engrane.Por ello, aunque su punto de aplicacin vacambiando de posicin, F pasa siempre por elpunto primitivo P (Fig. 8.45). Trasladando elempuje al punto P se puede descomponer en:T = FcosR = Fsen(68)o, en funcin de los pares transmitidos:T = M1/R1 = M2/R2(69)R = Ttg(70) Figura 8.45 Fuerza sobre un dientecilndrico-recto D DE EP PA AR RT TA AM ME EN NT TO O D DE E I IN NG GE EN NI IE ER R A A M ME EC C N NI IC CA A, , E EN NE ER RG G T TI IC CA A Y Y D DE E M MA AT TE ER RI IA AL LE ES S TEMA 8 MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORA DE MQUINAS - 8.40 - -Engranajes Cilndrico-helicoidales: La carga F corta siempre al eje instantneo delmovimiento relativo (pasa siempre por el punto primitivo P del perfil frontalcorrespondiente), pero su posicin exacta respecto a las caras frontal y trasera de la ruedadentada depende de qu trozo del diente est engranando:En la Figura 8.46, se supone aplicada en un puntointermedio de la rueda, pudindose deducir que:T = Fcoscos| (71)A = Fcossen| (72)R = Fsen(73)o bien, en funcin de los pares transmitidos:T = M1/R1 = M2/R2(74)A = Ttg| (75)R = Ttg /cos| (76)En este caso, debe tenerse especial cuidado a lahora de establecer el sentido de la componenteaxial A. Figura 8.46 Fuerza sobre un dientecilndrico-helicoidalLa figura 8.47 puede servir de orientacin para determinar correctamente dicho sentido. Figura 8.47 Sentidos de la componente axial8.8.2 RENDIMIENTOSea el caso de la figura 8.48 donde una primera rueda motora c engrana con una segundarueda conducida d. Si consideramos la presencia de rozamiento, aparecer una fuerza que seopone al deslizamiento relativo entre los dientes de ambas ruedas.Para estudiar ese deslizamiento relativo paramos la rueda cintroduciendo en el sistema unavelocidad angular de e1. En tal caso, la e de la rueda dser: er = e1 + e2 (puesto que e1 y e2 eran de sentido opuestos al tratarse de engranajes exteriores). D DE EP PA AR RT TA AM ME EN NT TO O D DE E I IN NG GE EN NI IE ER R A A M ME EC C N NI IC CA A, , E EN NE ER RG G T TI IC CA A Y Y D DE E M MA AT TE ER RI IA AL LE ES S TEMA 8 MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORA DE MQUINAS - 8.41 - El punto de contacto, como perteneciente a larueda d, tender a ir hacia abajo, y la fuerza derozamiento se opondr a ese desplazamiento.Aparecen as dos fuerzas iguales y de sentidoscontrarios sobre cada uno de los dientes (Fig. 8.48) yde valor igual a F. Tomando momentos respecto de O1 y O2: ( ) 0 x sen R F cos R F M 1 1 1 = + (77)( ) 0 x sen R F cos R F M 2 2 2 = + + (78)Se define el rendimiento q como:1 naje gra en del sale que Potencia2 naje gra en del sale que Potencia = q (79)Por lo tanto:21121 12 2RRMMMM =e e = q (80) Figura 8.48 Rozamiento entre engranajesIntroduciendo las expresiones (77) y (78) en (80) yrecordando que el coeficiente derozamiento puede expresarse como =tgo: ( )( )12211 12 2Rx F tg sen F tg cos FRx F tg sen F tg cos FRRx sen R F cos R Fx sen R F cos R F o + o o o = + = qOperando, obtenemos la expresin del rendimiento en funcin del punto de contacto: 12Rx F sen sen sen F cos cos FRx F sen sen sen F cos cos F o + o o o o o = q ( )( )12Rx sen cosRx sen cos o + + o o + o= q (81) De donde puede deducirse que para que el rendimiento h 1 ha de cumplirse que:-x 0, o 0 (que ambos valores sean lo menores posibles).-R1, R2 (que las circunferencias pirmitivas de funcionamiento sean grandes).Calcularemos un valormedio para el rendimiento; para ello, hayque recordar que, siendo P (puntoprimitivo) el polo del movimientorelativo entre ambas ruedas dentadas,la velocidad de deslizamiento en elpunto de contacto es (Fig. 8.49):vd = (e1+e2)l (82) Figura 8.49 Velocidad de deslizamiento en el punto decontacto D DE EP PA AR RT TA AM ME EN NT TO O D DE E I IN NG GE EN NI IE ER R A A M ME EC C N NI IC CA A, , E EN NE ER RG G T TI IC CA A Y Y D DE E M MA AT TE ER RI IA AL LE ES S TEMA 8 MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORA DE MQUINAS - 8.42 - En tal caso, el espacio diferencial recorrido por la fuerza de deslizamiento en un dt es:ds = vddt = (e1+e2)ldt(83) Adems, los ngulos girados por las ruedas c y d en ese intervalo diferencial (e1dty e2dt), se pueden expresar(recordando como a partir de la definicin del perfil de evolventededucamos que los segmentos medidos sobre la recta de engrane son iguales a los arcos descritossobre la circunferencia base):e1dt = dl / R1cos(84) e2dt = dl / R2cos(85) Sustituyendo (84) y (85) en (83) e integrando el ds entre 0 y l1, l2 respectivamente (longs. delos segmentos de aproximacin y alejamiento sobre el segmento de engrane, Fig. 8.49): |||

\|+ =cosdlRlRl ds2 1(86) |||

\|+ = |||

\|+ = = } } cos 2lR1R1 dl lcos1R1R1 ds S212 1l' 0 2 1l' 0 11 1 (87) |||

\|+ = |||

\|+ = = } } cos 2lR1R1 dl lcos1R1R1 ds S222 1l' 0 2 1l' 0 22 2 (88) +|||

\|+ = + =cos 2l lR1R1 S S S22212 12 1 (89) En tal caso, el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento ser: +|||

\|+ =cos 2l lR1R1 F W22212 1roz (90) Por otro lado, el trabajo aprovechable de la fuerza motora (trabajo til) es:( ) 2 1 til l l F W + = (91) De donde se deduce que el rendimiento medio es: ( )( )2 122212 122212 12 12 1l ll lR1R1cos 211cos 2l lR1R1 F l l Fl l F++|||

\|+ += +|||

\|+ + + + = q (92) Expresin que permite concluir que para que el rendimiento aumente es necesario:- Minimizar el coeficiente de rozamiento () entre las superficies de los dientes.-Aumentar el radio (R1 y R2) de los cilindros primitivos de funcionamiento.-Aumentar el cos; es decir, disminuir el ngulo de presin . -Minimizarlas longitudes (l1 y l2) de los segmentos de aproximacin y alejamiento.