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Curso Corto de Procesos de PoissonTeoría, Modelación y Aplicaciones

Víctor M Pérez Abreu CDepto PyE CIMAT

III Verano de Probabilidad y EstadísticaCIMAT, Guanajuato, julio 19-22 del 2010

Víctor M Pérez Abreu C Depto PyE CIMAT () Curso Corto de Procesos de PoissonIII Verano de Probabilidad y Estadística CIMAT, Guanajuato, julio 19-22 del 2010 1

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Ultima semana del III Verano de PyE19 al 22 de julio del 2010

1 Curso de Procesos de Poisson: Actividades

1 Clases de Teoría con Víctor Pérez Abreu

1 Proceso de Poisson Clásico (introducción)2 Medidas Aleatorias de Poisson (avanzado)

2 Sesiones de Prácticas y Problemas con Alejandro Santoyo Cano3 Ejercicios y Tareas en equipos4 Lectura, correcciones y comentarios a notas y material del curso

2 Conferencias de la Semana

1 Lunes 19: Entropía (Elías Rodríguez)2 Martes 20: Probabilidad en Finanzas (Erick Treviño)3 Miércoles 21: El proceso de Riesgo (Katia Todorova)4 Jueves 22: Aplicaciones de Proba en ED (Alfredo López Mimbela)

3 Entrega de reportes: Jueves 22 hasta 19 horas.4 Entrega de constancias: Viernes 23 desde las 9.30 am.


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Horarios de la Semana III Verano de PyE

Curso de Procesos de Poisson en el Auditorio

Lunes a jueves de 9.00 a 11.00 horas

Sesiones de Prácticas y Problemas

Lunes, Martes y Miércoles de 16 a 18 horas en el Salón HJueves de 16 a 18 horas en salón por definir (voluntario)

Conferencias de la semana

Lunes a Jueves de 12.30 a 14.00 en el Auditorio


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Material de lectura y trabajo para el cursoNotas de Cursos página web del III Verano de PyE

Material para el Curso de Procesos de Poisson de VPA

1 Notas del Curso Parte 1 (nueva versión el miércoles).

2 Notas del Curso Parte 2 (nueva versión el jueves).3 Artículo de Begoña Fernández sobre Simeon Poisson.4 Artículo de Víctor Pérez Abreu sobre Aproximación de Poisson encasos más generales a lo usual y usando cálculo.

5 Artículo de Raúl Rojas sobre un análisis del número de goles enpartidos de mundiales. Análisis previo de físicos.

6 Artículo de Jara y Rosenblueth sobre el análisis de tiemposentre terremotos en México.

7 Durante la semana: Lista de Ejercicios y Prácticas.


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1 Notas del Curso Parte 1 (nueva versión el miércoles).2 Notas del Curso Parte 2 (nueva versión el jueves).

3 Artículo de Begoña Fernández sobre Simeon Poisson.4 Artículo de Víctor Pérez Abreu sobre Aproximación de Poisson encasos más generales a lo usual y usando cálculo.





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1 Notas del Curso Parte 1 (nueva versión el miércoles).2 Notas del Curso Parte 2 (nueva versión el jueves).3 Artículo de Begoña Fernández sobre Simeon Poisson.

4 Artículo de Víctor Pérez Abreu sobre Aproximación de Poisson encasos más generales a lo usual y usando cálculo.





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1 Notas del Curso Parte 1 (nueva versión el miércoles).2 Notas del Curso Parte 2 (nueva versión el jueves).3 Artículo de Begoña Fernández sobre Simeon Poisson.4 Artículo de Víctor Pérez Abreu sobre Aproximación de Poisson encasos más generales a lo usual y usando cálculo.





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Parte I: El Proceso de Poisson ClásicoEnfasis: Introducción, Panorama General, Modelación, Simulación, Aplicación, Estadística

1 Introducción

1 El Problema del Submarino2 Aproximación de Poisson y la Distribución exponencial

2 Proceso de Poisson Clásico en R

1 Importancia2 Propiedades Básicas3 Tiempos de Ocurrencias y entre Llegadas de Eventos

3 Simulación e Inferencia Estadística en el Procesos de Poisson

1 Simulación del Proceso de Poisson Clásico2 Muestreo de Procesos de Poisson y Estimación de Parámetros

4 Extensiones del Proceso de Poisson Clásico

1 Combinación de Procesos de Poisson2 Proceso de Poisson no Homogéneo3 Proceso de Poisson Compuesto


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Parte II: Medidas Aleatorias de PoissonEnfasis: Aspectos matemáticos

1 Espacios de Medida

2 Modelos Estocásticos para Conjuntos de Puntos

1 Teorema de Aditividad Numerable2 Espacios de Probabilidad para Procesos de Poisson

3 Procesos de Poisson en Espacios Generales

1 Propiedades Básicas2 Teorema de Superposición3 Teorema de Mapeo4 Teorema de Existencia

4 Elementos de Teoría de la Medida


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El Problema del SubmarinoInformación disponible

Mantenimientos no programados para los motores General Motors Co.de propulsión Diesel, del submarino U.S.S. Grampus.

Tiempos de mantenimiento no programado del motor número cuatro,debido a que había fallado o estaba a punto de fallar.

Los tiempos (en miles de horas) corresponden a las primeras 16000horas de operación para este motor

0.860 1.258 1.317 1.412 1.897 2.011 2.122 2.4393.203 3.298 3.902 3.910 4.000 4.247 4.411 4.4564.517 4.899 4.910 5.676 5.755 6.137 6.221 6.3116.613 6.975 7.335 8.158 8.498 8.690 9.042 9.3309.394 9.426 9.872 10.191 11.511 11.575 12.100 12.12612.368 12.681 12.795 13.399 13.668 13.780 13.877 14.00711.028 14.035 14.173 14.173 11.449 11.587 14.610 15.07016.000


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El Problema del SubmarinoAlgunas preguntas de interés

1 ¿Qué modelo estocástico es adecuado?

2 Por razones estratégicas, el submarino tiene que comenzar deinmediato una travesía de 60 días. ¿Cuál es el riesgo asociado a estatravesía, por mantenimientos no programados del submarino?

3 Un nuevo capitán se hace cargo del submarino y por razones deemergencia no tiene acceso a la bitácora de mantenimiento. ¿Cuántashoras deben pasar para que la probabilidad del próximomantenimiento no programado del submarino sea mayor que 0.95?.

4 La política de mantenimiento integral de garantía tipo B delsubmarino dice que se debe hacer un mantenimiento general en elmomento del décimo mantenimiento no programado. ¿Cuál es eltiempo esperado del mantenimiento integral de garantía tipo B?


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El Problema del SubmarinoAlgunas preguntas de interés

1 ¿Qué modelo estocástico es adecuado?2 Por razones estratégicas, el submarino tiene que comenzar deinmediato una travesía de 60 días. ¿Cuál es el riesgo asociado a estatravesía, por mantenimientos no programados del submarino?

3 Un nuevo capitán se hace cargo del submarino y por razones deemergencia no tiene acceso a la bitácora de mantenimiento. ¿Cuántashoras deben pasar para que la probabilidad del próximomantenimiento no programado del submarino sea mayor que 0.95?.

4 La política de mantenimiento integral de garantía tipo B delsubmarino dice que se debe hacer un mantenimiento general en elmomento del décimo mantenimiento no programado. ¿Cuál es eltiempo esperado del mantenimiento integral de garantía tipo B?


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Aproximación de PoissonDistribución del número de fallas

ξ ii≥1 sucesión de ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito p y

Sn =n

∑i=1

ξ i

P(Sn = k) =(nk

)pk (1− p)n−k , k = 0, ..., n

Supongamos que para λ > 0 fijo, p = pn = λ/n. Entonces

limn→∞

P(Sn = k) = λke−λ/k !, k = 0, 1, 2, ....

¿Cuál es la interpretación de la Aproximación de Poisson?Distribución de Poisson: media, varianza, probabilidad de cero,probabilidad de al menos uno, función generatriz de probabilidades.Universalidad de la Aproximación de Poisson (VPA, 1991)Distribución de Poisson: Ley de eventos raros (BegoñaFernández, 2009).


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Sn =n

∑i=1

ξ i

P(Sn = k) =(nk

)pk (1− p)n−k , k = 0, ..., n


limn→∞

P(Sn = k) = λke−λ/k !, k = 0, 1, 2, ....

¿Cuál es la interpretación de la Aproximación de Poisson?

Distribución de Poisson: media, varianza, probabilidad de cero,probabilidad de al menos uno, función generatriz de probabilidades.Universalidad de la Aproximación de Poisson (VPA, 1991)Distribución de Poisson: Ley de eventos raros (BegoñaFernández, 2009).


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Sn =n

∑i=1

ξ i

P(Sn = k) =(nk

)pk (1− p)n−k , k = 0, ..., n


limn→∞

P(Sn = k) = λke−λ/k !, k = 0, 1, 2, ....

¿Cuál es la interpretación de la Aproximación de Poisson?Distribución de Poisson: media, varianza, probabilidad de cero,probabilidad de al menos uno, función generatriz de probabilidades.

Universalidad de la Aproximación de Poisson (VPA, 1991)Distribución de Poisson: Ley de eventos raros (BegoñaFernández, 2009).


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Sn =n

∑i=1

ξ i

P(Sn = k) =(nk

)pk (1− p)n−k , k = 0, ..., n


limn→∞

P(Sn = k) = λke−λ/k !, k = 0, 1, 2, ....

¿Cuál es la interpretación de la Aproximación de Poisson?Distribución de Poisson: media, varianza, probabilidad de cero,probabilidad de al menos uno, función generatriz de probabilidades.Universalidad de la Aproximación de Poisson (VPA, 1991)

Distribución de Poisson: Ley de eventos raros (BegoñaFernández, 2009).


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Sn =n

∑i=1

ξ i

P(Sn = k) =(nk

)pk (1− p)n−k , k = 0, ..., n


limn→∞

P(Sn = k) = λke−λ/k !, k = 0, 1, 2, ....

¿Cuál es la interpretación de la Aproximación de Poisson?Distribución de Poisson: media, varianza, probabilidad de cero,probabilidad de al menos uno, función generatriz de probabilidades.Universalidad de la Aproximación de Poisson (VPA, 1991)Distribución de Poisson: Ley de eventos raros (BegoñaFernández, 2009).


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Distribución de Tiempos de FallasLa Distribución Exponencial

Densidad de v.a. T con distribución exponencial λ > 0

fT (t) = λe−λt , t > 0.

Media y varianza de T .Función de distribución FT de T es

FT (t) = 1− e−λt , t > 0.

Probabilidad de cola o función de confiabilidad es

FT (t) = P(T ≥ t) = e−λt , t > 0.

Propiedad de pérdida de memoria de la distribución exponencial:

Para cualesquiera dos números no negativos x e y

P(T ≥ x + y |T ≥ y) = P(T ≥ x).InterpretaciónPérdida de memoria caracteriza distribución exponencial.


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fT (t) = λe−λt , t > 0.

Media y varianza de T .

Función de distribución FT de T es

FT (t) = 1− e−λt , t > 0.


FT (t) = P(T ≥ t) = e−λt , t > 0.





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fT (t) = λe−λt , t > 0.


FT (t) = 1− e−λt , t > 0.


FT (t) = P(T ≥ t) = e−λt , t > 0.





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fT (t) = λe−λt , t > 0.


FT (t) = 1− e−λt , t > 0.


FT (t) = P(T ≥ t) = e−λt , t > 0.

Propiedad de pérdida de memoria de la distribución exponencial:Para cualesquiera dos números no negativos x e y

P(T ≥ x + y |T ≥ y) = P(T ≥ x).

InterpretaciónPérdida de memoria caracteriza distribución exponencial.


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fT (t) = λe−λt , t > 0.


FT (t) = 1− e−λt , t > 0.


FT (t) = P(T ≥ t) = e−λt , t > 0.


P(T ≥ x + y |T ≥ y) = P(T ≥ x).Interpretación

Pérdida de memoria caracteriza distribución exponencial.


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fT (t) = λe−λt , t > 0.


FT (t) = 1− e−λt , t > 0.


FT (t) = P(T ≥ t) = e−λt , t > 0.




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Proceso de Poisson: Primera definición

Definición 1. Una colección de variables aleatoriasN(t), t ≥ 0 se llama proceso de Poisson con intensidad λ > 0 si

1 P(N(0) = 0) = 1.2 Tiene incrementos estacionarios de Poisson:∀ 0 ≤ s < t, N(t)−N(s) tiene distribución de Poisson deparámetro λ(t − s), es decir

P(N(t)−N(s) = k) = [λ(t − s)]k

k !exp(−λ(t − s))

3 Tiene incrementos independientes: ∀ 0 ≤ t1 < · · · < tn , n ≥ 1,las variables aleatorias N(tn)−N(tn−1), . . . ,N(t2)−N(t1), N(t1),son independientes.

Observaciones:

N(t) tiene distribución de Poisson de parámetro λt.La distribución del incremento N(t)−N(s) y la de la variablealeatoria N(t − s) es la misma con media λ(t − s).


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1 P(N(0) = 0) = 1.

2 Tiene incrementos estacionarios de Poisson:∀ 0 ≤ s < t, N(t)−N(s) tiene distribución de Poisson deparámetro λ(t − s), es decir

P(N(t)−N(s) = k) = [λ(t − s)]k



Observaciones:



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P(N(t)−N(s) = k) = [λ(t − s)]k



Observaciones:



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P(N(t)−N(s) = k) = [λ(t − s)]k



Observaciones:N(t) tiene distribución de Poisson de parámetro λt.

La distribución del incremento N(t)−N(s) y la de la variablealeatoria N(t − s) es la misma con media λ(t − s).


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P(N(t)−N(s) = k) = [λ(t − s)]k



Observaciones:N(t) tiene distribución de Poisson de parámetro λt.La distribución del incremento N(t)−N(s) y la de la variablealeatoria N(t − s) es la misma con media λ(t − s).


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Proceso de Poisson: Primeros Aspectos de Modelación

N(t)−N(s) número de fallas en intervalo de longitud t − s, s < t.

λ es el número promedio de fallas por unidad de tiempo.Si 0 ≤ s < t, P(N(t)−N(s) ≥ 0) = 1 :

P(N(t)−N(s) ≥ 0) =∞

∑k=0

P(N(t − s) = k) = 1.

N(t); t ≥ 0 trayectorias no decrecientes, continuas porderecha, con límite por izquierda.Probabilidad de no fallas en (s, s + t]

P(N(t + s)−N(s) = 0) = P(N(t) = 0) = e−λt

Riesgo asociado en (s, s + t]: Probabilidad de al menos una falla

P(N(t) ≥ 1) = 1−P(N(t) = 0) = 1− e−λt

Probabilidad de una falla en (s, t + s ]

P(N(t) = 1) = λte−λt .


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N(t)−N(s) número de fallas en intervalo de longitud t − s, s < t.λ es el número promedio de fallas por unidad de tiempo.

Si 0 ≤ s < t, P(N(t)−N(s) ≥ 0) = 1 :

P(N(t)−N(s) ≥ 0) =∞

∑k=0

P(N(t − s) = k) = 1.


P(N(t + s)−N(s) = 0) = P(N(t) = 0) = e−λt


P(N(t) ≥ 1) = 1−P(N(t) = 0) = 1− e−λt


P(N(t) = 1) = λte−λt .


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N(t)−N(s) número de fallas en intervalo de longitud t − s, s < t.λ es el número promedio de fallas por unidad de tiempo.Si 0 ≤ s < t, P(N(t)−N(s) ≥ 0) = 1 :

P(N(t)−N(s) ≥ 0) =∞

∑k=0

P(N(t − s) = k) = 1.


P(N(t + s)−N(s) = 0) = P(N(t) = 0) = e−λt


P(N(t) ≥ 1) = 1−P(N(t) = 0) = 1− e−λt


P(N(t) = 1) = λte−λt .


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P(N(t)−N(s) ≥ 0) =∞

∑k=0

P(N(t − s) = k) = 1.

N(t); t ≥ 0 trayectorias no decrecientes, continuas porderecha, con límite por izquierda.

Probabilidad de no fallas en (s, s + t]

P(N(t + s)−N(s) = 0) = P(N(t) = 0) = e−λt


P(N(t) ≥ 1) = 1−P(N(t) = 0) = 1− e−λt


P(N(t) = 1) = λte−λt .


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P(N(t)−N(s) ≥ 0) =∞

∑k=0

P(N(t − s) = k) = 1.


P(N(t + s)−N(s) = 0) = P(N(t) = 0) = e−λt


P(N(t) ≥ 1) = 1−P(N(t) = 0) = 1− e−λt


P(N(t) = 1) = λte−λt .


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Proceso de Poisson: ImportanciaTeórica: Son Ejemplos Simples de Modelos más Generales

1 Procesos de Nacimiento y Muerte

2 Procesos con Incrementos Independientes y Estacionarios (Lévy)

3 Procesos de Markov

4 Procesos de Renovación

5 Procesos Puntuales

6 Martingalas

7 Medidas Aleatorias


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Proceso de Poisson: ImportanciaAplicaciones: Modelos Simples Utiles en

1 Teoría de Colas

2 Problemas en Seguros

3 Ecología

4 Ingeniería Sísmica

5 Industria

6 Confiabilidad

7 Ciencias Naturales

8 Tráfico en Internet, aeropuertos. etc.


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Distribución del Tiempo de Primera Falla en un PP

¿Cómo modelamos el tiempo T1 de la primera falla a partir de lasvariables aleatorias N(t), t ≥ 0?

T1 = inf t ≥ 0;N(t) = 1 .Observación clave:

T1 ≤ t = N(t) ≥ 1.Proposición 2. T1 tiene una distribución exponencial de parámetroλ.Demostración: Para t ≥ 0

FT1(t) = PT1 ≤ t = PN(t) ≥ 1= 1−P(N(t) = 0)

= 1− e−λt .

DerivandofT1(t) = F

′T1(t) = λe−λt , t ≥ 0

que es la densidad exponencial de parámetro λ.


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T1 = inf t ≥ 0;N(t) = 1 .

Observación clave:


FT1(t) = PT1 ≤ t = PN(t) ≥ 1= 1−P(N(t) = 0)

= 1− e−λt .

DerivandofT1(t) = F

′T1(t) = λe−λt , t ≥ 0



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T1 ≤ t = N(t) ≥ 1.

Proposición 2. T1 tiene una distribución exponencial de parámetroλ.Demostración: Para t ≥ 0

FT1(t) = PT1 ≤ t = PN(t) ≥ 1= 1−P(N(t) = 0)

= 1− e−λt .

DerivandofT1(t) = F

′T1(t) = λe−λt , t ≥ 0



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T1 ≤ t = N(t) ≥ 1.Proposición 2. T1 tiene una distribución exponencial de parámetroλ.

Demostración: Para t ≥ 0FT1(t) = PT1 ≤ t = PN(t) ≥ 1

= 1−P(N(t) = 0)

= 1− e−λt .

DerivandofT1(t) = F

′T1(t) = λe−λt , t ≥ 0



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FT1(t) = PT1 ≤ t = PN(t) ≥ 1= 1−P(N(t) = 0)

= 1− e−λt .

DerivandofT1(t) = F

′T1(t) = λe−λt , t ≥ 0

que es la densidad exponencial de parámetro λ.Víctor M Pérez Abreu C Depto PyE CIMAT () Curso Corto de Procesos de PoissonIII Verano de Probabilidad y Estadística CIMAT, Guanajuato, julio 19-22 del 2010 15

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Distribución de Tiempos de Fallas en un PP

Proposición 2. T1 tiene una distribución exponencial de parámetroλ.

Corolario 2. El tiempo esperado de la primera falla es 1/λ.E(T1) = 1/λ.

¿Cuál es la distribución del tiempo Tm de la m-ésima falla ?

Modelación de Tm :

Tm = inf t ≥ 0;N(t) = m .0 = T0 < T1 < · · · < Tm no son variables aleatorias independientesObservación clave: ∀t ≥ 0 y ∀m > 0 se tiene que

Tm ≤ t = N(t) ≥ m.

¿Qué distribución tiene Tm?


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Modelación de Tm :

Tm = inf t ≥ 0;N(t) = m .

0 = T0 < T1 < · · · < Tm no son variables aleatorias independientesObservación clave: ∀t ≥ 0 y ∀m > 0 se tiene que

Tm ≤ t = N(t) ≥ m.



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Modelación de Tm :

Tm = inf t ≥ 0;N(t) = m .0 = T0 < T1 < · · · < Tm no son variables aleatorias independientes

Observación clave: ∀t ≥ 0 y ∀m > 0 se tiene que

Tm ≤ t = N(t) ≥ m.



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Modelación de Tm :

Tm = inf t ≥ 0;N(t) = m .0 = T0 < T1 < · · · < Tm no son variables aleatorias independientesObservación clave: ∀t ≥ 0 y ∀m > 0 se tiene que

Tm ≤ t = N(t) ≥ m.



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Distribución del Tiempo de m-ésima Falla en un PP

Proposición 3. La v.a. Tm tiene distribución gama G (m,λ) , esdecir

fTm (t) =

1

Γ(m)λmtm−1e−λt si t ≥ 00 de otra forma

.

Demostración:

FTm (t) = P(Tm ≤ t) = P(N(t) ≥ m) = 1−P(N(t) ≤ m− 1)

= 1−m−1∑k=0

P(N(t) = k) = 1−m−1∑k=0

(λt)ke−λt

k !

Derivando

fTm (t) = F ′Tm (t) = λe−λtm−1∑k=0

(λt)k

k !− e−λt

m−1∑k=1

λk(λt)k−1

k !

=1

Γ(m)λ (λt)m−1 e−λt .


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Distribución del Tiempo de la m-ésima Falla en un PP

Proposición 3. La v.a. Tm tiene distribución gama G (m,λ) .

Valor esperado de la m-ésima falla

E(Tm) =mλ.

VarianzaVar(Tm) =

m

λ2.

Propiedad de la distribución Gamma: Sean τ1, ..., τm variablesaleatorias independientes con la misma distribución exponencial demedia 1/λ y sea

Tm =m

∑k=1

τk

Entonces Tm tiene distribución gama G (m,λ) .Veremos mas adelante como construir un proceso de Poisson usandoeste hecho.


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Proposición 3. La v.a. Tm tiene distribución gama G (m,λ) .Valor esperado de la m-ésima falla

E(Tm) =mλ.

VarianzaVar(Tm) =

m

λ2.


Tm =m

∑k=1

τk



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E(Tm) =mλ.

VarianzaVar(Tm) =

m

λ2.


Tm =m

∑k=1

τk

Entonces Tm tiene distribución gama G (m,λ) .

Veremos mas adelante como construir un proceso de Poisson usandoeste hecho.


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E(Tm) =mλ.

VarianzaVar(Tm) =

m

λ2.


Tm =m

∑k=1

τk



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Distribución del Tiempo de la Próxima Falla

Dado un tiempo t queremos estudiar el tiempo φt que tardaremos enobservar la próxima falla

Modelación de φt

φt := inf s ≥ t ; N(s)−N(t) = 1 .

Proposición 4. La v.a. φt tiene distribución exponencial de media1/λ (no depende de t).Demostración: Sea g(s) = 1−P (φt ≤ s) = P (φt > s) yτm = Tm − Tm−1.Paso 1. Muestre que φt > s = τt > t + s ∀ s < t y

g(s + h) = P (φt > s + h)

= P (τt > t + s , N (t + s + h)−N (t + s) = 0) .


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Modelación de φt

φt := inf s ≥ t ; N(s)−N(t) = 1 .

Proposición 4. La v.a. φt tiene distribución exponencial de media1/λ (no depende de t).

Demostración: Sea g(s) = 1−P (φt ≤ s) = P (φt > s) yτm = Tm − Tm−1.Paso 1. Muestre que φt > s = τt > t + s ∀ s < t y

g(s + h) = P (φt > s + h)

= P (τt > t + s , N (t + s + h)−N (t + s) = 0) .


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Modelación de φt

φt := inf s ≥ t ; N(s)−N(t) = 1 .

Proposición 4. La v.a. φt tiene distribución exponencial de media1/λ (no depende de t).Demostración: Sea g(s) = 1−P (φt ≤ s) = P (φt > s) yτm = Tm − Tm−1.

Paso 1. Muestre que φt > s = τt > t + s ∀ s < t y

g(s + h) = P (φt > s + h)

= P (τt > t + s , N (t + s + h)−N (t + s) = 0) .


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Modelación de φt

φt := inf s ≥ t ; N(s)−N(t) = 1 .

Proposición 4. La v.a. φt tiene distribución exponencial de media1/λ (no depende de t).Demostración: Sea g(s) = 1−P (φt ≤ s) = P (φt > s) yτm = Tm − Tm−1.Paso 1. Muestre que φt > s = τt > t + s ∀ s < t y

g(s + h) = P (φt > s + h)

= P (τt > t + s , N (t + s + h)−N (t + s) = 0) .


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Paso 2. Muestre que los eventos τt ≤ s + t yN (t + s + h)−N (t + s) = 0 son independientes. Así

g (s + h) = P (τt > t + s)P (N (t + s + h)−N (t + s) = 0)= P (φt > s)P (N (h) = 0) = g(s)e−λh.

Por lo tantog ′ (s) = −λg (s) .

Cuya única solución es:

g(s) = P (φt > s) = e−λs , s > 0.


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Resumen de lo visto hasta ahora

1 Definición de Proceso de Poisson

1 Caso simple de Modelos más generales2 Es un modelo muy útil.

2 Propiedades de Modelación

1 Intensidad Media2 Trayectoria de un Proceso de Poisson3 Algunas probabilidades de interés.

3 Distribuciones de Tiempos de Fallas

1 Tiempos de primera falla2 Tiempo de la n-ésima falla.3 Tiempo de la próxima falla.


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Resumen de lo visto

1 Definición de Proceso de Poisson: N(t), t > 0 ,N(0) = 0, tieneincrementos independientes y estacionarios y

P(N(t)−N(s) = k) = [λ(t − s)]k

k !exp−λ(t − s)

2 Modelación: Intensidad media, algunas probabilidades de interés

1 Trayectorias de un Proceso de Poisson, E(N(t)) = λt2 N(t)−N(s) es el número de fallas en un intervalo de longitud t − s.


1 Tiempos de primera falla T1 sigue distribución exponencial media 1/λ.2 Tiempo de la n-ésima falla Tm sigue una distribución gama G (m,λ)3 Relación clave: Tm ≤ t = N(t) ≥ m .4 Tiempo de la próxima falla φt sigue una distribución exponencial demedia 1/λ la cual no depende de t


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Procesos de Poisson II: Más Aspectos

1 Tiempos entre fallas τ1, ..., τm

1 Distribución2 Independencia

2 Construcción de un Proceso de Poisson

1 De N(t), t ≥ 0 a T1, ...,Tm , τ1, ..., τm2 De τ1, ..., τm a N(t), t ≥ 0

3 Simulación de Procesos de Poisson

1 Simulación de variables aleatorias2 Simulación de variables aleatorias exponenciales.3 Simulación del proceso de Poisson4 Ejemplo

4 Muestreo de Procesos de Poisson y Estimación del Parámetro

1 Observando los tiempos de fallas2 Observando el número de fallas


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Tiempos entre Fallas en un Proceso de Poisson

Tiempos de fallas: 0 = T0 < T1 < · · · < Tm

Tm tiene distribución gama G (m,λ)Tiempos entre fallas: τ1, ..., τm

τk = Tk − Tk−1, k = 1, ...,m.

Observación:

Tk =k

∑j=1

τj , k = 1, ...,m.

¿Cuál es la distribución de τ1, ..., τm?Observe que

E(τk ) = E(Tk − Tk−1) = E(Tk )−E(Tk−1)

=kλ− k − 1

λ=1λ


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Tiempos de fallas: 0 = T0 < T1 < · · · < TmTm tiene distribución gama G (m,λ)

Tiempos entre fallas: τ1, ..., τm

τk = Tk − Tk−1, k = 1, ...,m.

Observación:

Tk =k

∑j=1

τj , k = 1, ...,m.


E(τk ) = E(Tk − Tk−1) = E(Tk )−E(Tk−1)

=kλ− k − 1

λ=1λ


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Tiempos de fallas: 0 = T0 < T1 < · · · < TmTm tiene distribución gama G (m,λ)Tiempos entre fallas: τ1, ..., τm

τk = Tk − Tk−1, k = 1, ...,m.

Observación:

Tk =k

∑j=1

τj , k = 1, ...,m.


E(τk ) = E(Tk − Tk−1) = E(Tk )−E(Tk−1)

=kλ− k − 1

λ=1λ


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τk = Tk − Tk−1, k = 1, ...,m.

Observación:

Tk =k

∑j=1

τj , k = 1, ...,m.

¿Cuál es la distribución de τ1, ..., τm?

Observe que

E(τk ) = E(Tk − Tk−1) = E(Tk )−E(Tk−1)

=kλ− k − 1

λ=1λ


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τk = Tk − Tk−1, k = 1, ...,m.

Observación:

Tk =k

∑j=1

τj , k = 1, ...,m.


E(τk ) = E(Tk − Tk−1) = E(Tk )−E(Tk−1)

=kλ− k − 1

λ=1λ


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Teorema 3. τ1, ..., τn son variables aleatorias independientes con lamisma distribución exponencial con media 1/λ.

Intuición de independencia: incrementos independientes

Intuición de exponencialidad: Tm tiene una distribución gamaG (m,λ) por lo que es suma de m variables aleatorias independientesexponenciales con parámetro 1/λ y

Tm =m

∑j=1

τj .

Demostración: La mayoría de los libros usan probabilidad condicional,de manera poco rigurosa pues no se ha estudiado a detalle elconcepto de probabilidad y esperanza condicional.

En las notas de este curso se presenta una demostración sin usarprobabilidad condicional.


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Idea de demostración

Teorema 3. τ1, ..., τm son variables aleatorias independientes con lamisma distribución exponencial con media 1/λ.

m = 2 y usar inducción

m = 2. Queremos demostrar que ∀ 0 < s1 < s2 < ∞ se tiene que

F (s1, s2) = P(τ1 ≤ s1, τ2 < s2) = P(τ1 ≤ s1)P(τ2 ≤ s2).

F (s1, s2) = P(T1 ≤ s1,T2 − T1 ≤ s2) = P(T1 ≤ s1,T2 ≤ s1 + s2)= P(N(s1) ≥ 1,N(s1 + s2) ≥ 2)

=∞

∑k1=1

P(N(s1) = k1,N(s1 + s2) ≥ 2)

=∞

∑k1=1

∞

∑k2=k1+1

P(N(s1) = k1,N(s1 + s2)−N(s1) = k2 − k1)


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Idea de la demostración

Por incrementos independientes

F (s1, s2) =∞

∑k1=1

∞

∑k2>k1

P(N(s1) = k1)P(N(s1+ s2)−N(s1) = k2− k1)

Usando la propiedad de incrementos estacionarios

F (s1, s2) =∞

∑k1=1

∞

∑k2>k1

P(N(s1) = k1)P(N(s2) = k2 − k1)

=

(∞

∑k1=1

P(N(s1) = k1)

)(∞

∑k2=1

P(N(s2) = k2)

)= (1−P(N(s1) = 0) (1−P(N(s2) = 0)

=(1− e−λs1

) (1− e−λs2

)= P(τ1 ≤ s1)P(τ2 ≤ s2)


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Construcción de un Proceso de Poisson

Problema: Construir el proceso N(t), t ≥ 0, a partir de τ1, ..., τm

Ejercicio: Sea τ1, τ2, ... una sucesión de variables aleatoriasindependientes con la misma distribución exponencial con media 1/λy para m ≥ 1, sea

Tm = τ1 + ...+ τm

Suponga que t > 0 y consideremos la variable aleatoria

N(t) = maxn ≥ 0 : Tn ∈ [0, t]

Entonces N(t); t ≥ 0 es un proceso de Poisson con parámetro λ.

En particular N(t) tiene distribución de Poisson con media λt.


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Aplicación: Simulación de un Proceso de Poisson

Primero: Simulación de variables aleatorias en una computadora

Lo básico es contar con un generador de números aleatorios condistribución uniforme en (0, 1).

Computadoras: urand(), rand(), etc.

Se construyen usando congruencias y números primos.

Se le aplican pruebas estadísticas para checar que son "aleatorios"

Supondremos que la computadora nos da variables aleatoriasindependientes U1,U2, ... con distribución uniforme en (0, 1)

P (a ≤ U ≤ b) = b− a, 0 < a < b < 1.

Sugerencia: siempre hagan pruebas a los generadores de lacomputadora que usen.


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Aplicación: Simulación de un Proceso de Poisson

Primero: Simulación de variables aleatorias en una computadoraLo básico es contar con un generador de números aleatorios condistribución uniforme en (0, 1).

Computadoras: urand(), rand(), etc.

Se construyen usando congruencias y números primos.

Se le aplican pruebas estadísticas para checar que son "aleatorios"

Supondremos que la computadora nos da variables aleatoriasindependientes U1,U2, ... con distribución uniforme en (0, 1)

P (a ≤ U ≤ b) = b− a, 0 < a < b < 1.

Sugerencia: siempre hagan pruebas a los generadores de lacomputadora que usen.


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Simulación de Variables Aleatorias Exponenciales

Proposición 8. Sea U una variable aleatoria con distribuciónuniforme en (0, 1) y sea λ > 0. Entonces τ = − 1

λ ln(1− U) tieneuna distribución exponencial de media 1/λ.

Demostración: Por demostrar que para x > 0

P (τ ≤ x) = 1− e−λx

P (τ ≤ x) = P (ln (1− U) ≥ −λx)

= P(1− U ≥ e−λx

)= P

(U ≤ 1− e−λx

).

Recordando que para 0 ≤ u ≤ 1

P(U ≤ u) = u,

P(U ≤ 1− e−λx

)= 1− e−λx , x ≥ 0.

¿Cómo simulamos v.a. con distribución F ?


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Simulación de Variables Aleatorias Exponenciales

Proposición 8. Sea U una variable aleatoria con distribuciónuniforme en (0, 1) y sea λ > 0. Entonces τ = − 1

λ ln(1− U) tieneuna distribución exponencial de media 1/λ.

Demostración: Por demostrar que para x > 0

P (τ ≤ x) = 1− e−λx

P (τ ≤ x) = P (ln (1− U) ≥ −λx)

= P(1− U ≥ e−λx

)= P

(U ≤ 1− e−λx

).

Recordando que para 0 ≤ u ≤ 1

P(U ≤ u) = u,

P(U ≤ 1− e−λx

)= 1− e−λx , x ≥ 0.

¿Cómo simulamos v.a. con distribución F ?Víctor M Pérez Abreu C Depto PyE CIMAT () Curso Corto de Procesos de Poisson

III Verano de Probabilidad y Estadística CIMAT, Guanajuato, julio 19-22 del 2010 30/ 82

Simulación de Variables Aleatorias con Distribución F

Proposición 8’. Sea F una función de distribución con inversa F−1 ysea U una variable aleatoria con distribución uniforme en (0, 1). Lavariable aleatoria

Y = F−1(U)

tiene distribución F .

Demostración. Por demostrar que

P (Y ≤ y) = F (y)

Usando el hecho de que F es una función no-decreciente y aplicandoinversa en ambos lados se tiene

P (Y ≤ y) = P(F−1(U) ≤ y

)= P (U ≤ F (y)) = F (y)

ya que P(U ≤ u) = u para 0 < u < 1.Ejercicio: Encuentre una función de distribución con inversa explícita.


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Y = F−1(U)



P (Y ≤ y) = F (y)


P (Y ≤ y) = P(F−1(U) ≤ y

)= P (U ≤ F (y)) = F (y)

ya que P(U ≤ u) = u para 0 < u < 1.

Ejercicio: Encuentre una función de distribución con inversa explícita.


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Y = F−1(U)



P (Y ≤ y) = F (y)


P (Y ≤ y) = P(F−1(U) ≤ y

)= P (U ≤ F (y)) = F (y)

ya que P(U ≤ u) = u para 0 < u < 1.Ejercicio: Encuentre una función de distribución con inversa explícita.


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Simulación de un Proceso de Poisson

Algoritmo: Para simular un PP con parámetro λ > 0.

Simule U1, ...,Un variables aleatorias independientes con distribuciónuniforme en (0, 1).Use la Proposición 1 para simular τ1, ...τn variables aleatoriasexponenciales: τi = F−1(Ui ) donde F es la distribución exponencialde media 1/λ.

Defina los tiempos de la m-ésima falla

Tm =m

∑i=1

τi , m = 1, ..., n.

Para t > 0N(t) = max m;Tm < t

Dos esquemas:

Tomamos n tan grande como sea necesario para un t fijo.Fijamos n y observamos hasta un tiempo aleatorio Tn .


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Algoritmo: Para simular un PP con parámetro λ > 0.Simule U1, ...,Un variables aleatorias independientes con distribuciónuniforme en (0, 1).

Use la Proposición 1 para simular τ1, ...τn variables aleatoriasexponenciales: τi = F−1(Ui ) donde F es la distribución exponencialde media 1/λ.


Tm =m

∑i=1

τi , m = 1, ..., n.


Dos esquemas:



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Algoritmo: Para simular un PP con parámetro λ > 0.Simule U1, ...,Un variables aleatorias independientes con distribuciónuniforme en (0, 1).Use la Proposición 1 para simular τ1, ...τn variables aleatoriasexponenciales: τi = F−1(Ui ) donde F es la distribución exponencialde media 1/λ.


Tm =m

∑i=1

τi , m = 1, ..., n.


Dos esquemas:



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Tm =m

∑i=1

τi , m = 1, ..., n.


Dos esquemas:

Tomamos n tan grande como sea necesario para un t fijo.

Fijamos n y observamos hasta un tiempo aleatorio Tn .


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Tm =m

∑i=1

τi , m = 1, ..., n.


Dos esquemas:



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Simulación de un Proceso de Poisson: Ejemplos

¿Qué observamos?

Trayectorias: N(t) como función de t:

Función escalonada no-decrecienteLos escalones son de tamaño unoLa función salta en T1, ...,TnLa función media del proceso es

M(t) = E(N(t)) = λt

Que es una recta que pasa por el origen y tiene pendiente λ.

Con esto podemos checar si un proceso de conteo es de Poisson

Tarea: Simule tiempos entre llegadas que no son exponenciales.

Práctica de la tarde: Simulaciones de trayectorias de un Proceso dePoisson y algunos modelos alternativos simples.


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¿Qué observamos?Trayectorias: N(t) como función de t:


M(t) = E(N(t)) = λt






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Función escalonada no-decreciente

Los escalones son de tamaño unoLa función salta en T1, ...,TnLa función media del proceso es

M(t) = E(N(t)) = λt






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Función escalonada no-decrecienteLos escalones son de tamaño uno

La función salta en T1, ...,TnLa función media del proceso es

M(t) = E(N(t)) = λt






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Función escalonada no-decrecienteLos escalones son de tamaño unoLa función salta en T1, ...,Tn

La función media del proceso es

M(t) = E(N(t)) = λt






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M(t) = E(N(t)) = λt






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Recordemos el Problema del Submarino

Supongamos que el número de fallas N(t) por mantenimientos noprogramados del motor número cuatro del submarino se puedemodelar mediante un proceso de Poisson de parámetro λ > 0.

Pregunta 1: Por razones estratégicas, el submarino tiene quecomenzar de inmediato una travesía de 60 días. ¿Cuál es el riesgoasociado a esta travesía, por mantenimientos no programados delsubmarino?

Variable aleatoria de interés: N(t + s)−N(s) donde t = 60× 24 =1440 horas y s es el tiempo presente.Por incrementos estacionarios N(1440+ s)−N(s) y N(1440) tienenla misma distribución de Poisson con media 1440λ.Evento de interés: N(t) ≥ 1 = N(1440) ≥ 1Riesgo:

P(N(1440) ≥ 1) = 1−P(N(1440) = 0) = 1− e−1440λ.


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Variable aleatoria de interés: N(t + s)−N(s) donde t = 60× 24 =1440 horas y s es el tiempo presente.

Por incrementos estacionarios N(1440+ s)−N(s) y N(1440) tienenla misma distribución de Poisson con media 1440λ.Evento de interés: N(t) ≥ 1 = N(1440) ≥ 1Riesgo:

P(N(1440) ≥ 1) = 1−P(N(1440) = 0) = 1− e−1440λ.


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Variable aleatoria de interés: N(t + s)−N(s) donde t = 60× 24 =1440 horas y s es el tiempo presente.Por incrementos estacionarios N(1440+ s)−N(s) y N(1440) tienenla misma distribución de Poisson con media 1440λ.

Evento de interés: N(t) ≥ 1 = N(1440) ≥ 1Riesgo:

P(N(1440) ≥ 1) = 1−P(N(1440) = 0) = 1− e−1440λ.


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Variable aleatoria de interés: N(t + s)−N(s) donde t = 60× 24 =1440 horas y s es el tiempo presente.Por incrementos estacionarios N(1440+ s)−N(s) y N(1440) tienenla misma distribución de Poisson con media 1440λ.Evento de interés: N(t) ≥ 1 = N(1440) ≥ 1

Riesgo:

P(N(1440) ≥ 1) = 1−P(N(1440) = 0) = 1− e−1440λ.


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Variable aleatoria de interés: N(t + s)−N(s) donde t = 60× 24 =1440 horas y s es el tiempo presente.Por incrementos estacionarios N(1440+ s)−N(s) y N(1440) tienenla misma distribución de Poisson con media 1440λ.Evento de interés: N(t) ≥ 1 = N(1440) ≥ 1Riesgo:

P(N(1440) ≥ 1) = 1−P(N(1440) = 0) = 1− e−1440λ.


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Pregunta 2: Un nuevo capitán se hace cargo del submarino y porrazones de emergencia no tiene acceso a la bitácora demantenimiento. ¿Cuántas horas deben pasar para que la probabilidaddel próximo mantenimiento no programado del submarino sea mayorque 0.95?

Variable aleatoria de interés: φtEvento de interés

φt ≤ xtal que

P(φt ≤ x) ≥ 0.95


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Variable aleatoria de interés: φt

Evento de interésφt ≤ x

tal queP(φt ≤ x) ≥ 0.95


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Variable aleatoria de interés: φtEvento de interés

φt ≤ xtal que

P(φt ≤ x) ≥ 0.95


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Pregunta 3: La política de mantenimiento integral de garantía tipoB del submarino dice que se debe hacer un mantenimiento general enel momento del décimo mantenimiento no programado. ¿Cuál es eltiempo esperado del mantenimiento integral de garantía tipo B?

Variable aleatoria de interés T10Tiempo esperado del mantenimiento integral de garantía tipo B esE (T10)La v.a. T10 tiene distribución gama G (10,λ)Por lo tanto

E (T10) =10λ


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Variable aleatoria de interés T10

Tiempo esperado del mantenimiento integral de garantía tipo B esE (T10)La v.a. T10 tiene distribución gama G (10,λ)Por lo tanto

E (T10) =10λ


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Variable aleatoria de interés T10Tiempo esperado del mantenimiento integral de garantía tipo B esE (T10)

La v.a. T10 tiene distribución gama G (10,λ)Por lo tanto

E (T10) =10λ


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Variable aleatoria de interés T10Tiempo esperado del mantenimiento integral de garantía tipo B esE (T10)La v.a. T10 tiene distribución gama G (10,λ)

Por lo tantoE (T10) =

10λ


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Variable aleatoria de interés T10Tiempo esperado del mantenimiento integral de garantía tipo B esE (T10)La v.a. T10 tiene distribución gama G (10,λ)Por lo tanto

E (T10) =10λ


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Cuestionamientos sobre el Problema del Submarino

¿Realmente el número de fallas N(t) por mantenimientos noprogramados del motor número cuatro del submarino se puedemodelar mediante un proceso de Poisson?

¿Cuál es el valor de λ?¿Incrementos independientes?

¿Incrementos estacionarios?

Hacia la respuesta: Material que sigue.


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¿Cuál es el valor de λ?

¿Incrementos independientes?




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¿Cuál es el valor de λ?¿Incrementos independientes?




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Martes: Resumen de lo visto hasta ahora

1 Definición de Proceso de Poisson: N(t), t > 0 ,N(0) = 0, tieneincrementos independientes y estacionarios y

P(N(t)−N(s) = k) = [λ(t − s)]k

k !exp−λ(t − s)

2 Modelación: Intensidad media, algunas probabilidades de interés

1 Trayectorias de un Proceso de Poisson, E(N(t)) = λt2 N(t)−N(s) es el número de fallas en un intervalo de longitud t − s.


1 Tiempos de primera falla T1 sigue distribución exponencial media 1/λ.2 Tiempo de la n-ésima falla Tm sigue una distribución gama G (m,λ)3 Relación clave: Tm ≤ t = N(t) ≥ m .4 Tiempo de la próxima falla φt sigue una distribución exponencial demedia 1/λ la cual no depende de t


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Resumen de lo visto hasta ahora

1 Tiempos entre fallas τ1, ..., τm

1 Distribución2 Independencia

2 Construcción de un Proceso de Poisson

1 De N(t), t ≥ 0 a T1, ...,Tm , τ1, ..., τm2 De τ1, ..., τm a N(t), t ≥ 0

3 Simulación de Procesos de Poisson

1 Simulación de variables aleatorias con distribución uniforme2 Simulación de variables aleatorias con distribución exponencial3 Simulación de Proceso de Poisson

4 Práctica: Simulación de trajectorias

1 Tiempos entre fallas exponenciales2 Tiempos entre fallas no exponenciales.


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Proceso de Poisson: Definición Alternativa

Definición 2. Una colección de variables aleatorias N (t) , t ≥ 0es un Proceso de Poisson de parámetro λ > 0 si:

1 P (N (0) = 0) = 1.2 N (t) tiene incrementos estacionarios.3 N (t) tiene incrementos independientes.4 Para h pequeña:

1 P (N (t + h)−N (t) = 1) = λh+ o (h).2 P (N (t + h)−N (t) > 1) = o (h).

Recordemos: una función g es o (h), si g(h)/h→ 0, cuando h→ 0.

Observaciones:

(4.a) Probabilidad de exactamente una falla en un intervalo detiempo pequeño, es proporcional a la longitud del intervalo.(4.b) dice: Probabilidad de dos o más fallas en un intervalo detiempo pequeño es despreciable.


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1 P (N (0) = 0) = 1.

2 N (t) tiene incrementos estacionarios.3 N (t) tiene incrementos independientes.4 Para h pequeña:



Observaciones:



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1 P (N (0) = 0) = 1.2 N (t) tiene incrementos estacionarios.

3 N (t) tiene incrementos independientes.4 Para h pequeña:



Observaciones:



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1 P (N (0) = 0) = 1.2 N (t) tiene incrementos estacionarios.3 N (t) tiene incrementos independientes.

4 Para h pequeña:



Observaciones:



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Observaciones:



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1 P (N (t + h)−N (t) = 1) = λh+ o (h).

2 P (N (t + h)−N (t) > 1) = o (h).


Observaciones:



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Observaciones:



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Observaciones:

(4.a) Probabilidad de exactamente una falla en un intervalo detiempo pequeño, es proporcional a la longitud del intervalo.

(4.b) dice: Probabilidad de dos o más fallas en un intervalo detiempo pequeño es despreciable.


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Observaciones:



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Equivalencia de Definiciones de Proceso de Poisson

Teorema 1. Las dos definiciones son equivalentes.

Def. 2: Distribución de Poisson aparece como ley de eventos rarosQue N (t + s)−N (t) tiene distribución de Poisson se obtiene de

Incrementos independientes y estacionarios másP (N (t + h)−N (t) = 1) = λh+ o(h)P (N (t + h)−N (t) > 1) = o (h)


Def. 1 ⇒ Def. 2 es trivial.Def. 2 ⇒ Def. 1:

f (t, n) := P(N(t) = n)

ddtf (t, n) = λf (t, n− 1)− λf (t, n)

f ′ (t, 0) = −λf (t, 0) , f (t, 0) = e−λt

f (t, n) = (λt)ne−λt

n!


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Teorema 1. Las dos definiciones son equivalentes.Def. 2: Distribución de Poisson aparece como ley de eventos raros

Que N (t + s)−N (t) tiene distribución de Poisson se obtiene de




f (t, n) := P(N(t) = n)

ddtf (t, n) = λf (t, n− 1)− λf (t, n)

f ′ (t, 0) = −λf (t, 0) , f (t, 0) = e−λt


n!


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Teorema 1. Las dos definiciones son equivalentes.Def. 2: Distribución de Poisson aparece como ley de eventos rarosQue N (t + s)−N (t) tiene distribución de Poisson se obtiene de




f (t, n) := P(N(t) = n)

ddtf (t, n) = λf (t, n− 1)− λf (t, n)

f ′ (t, 0) = −λf (t, 0) , f (t, 0) = e−λt


n!


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Incrementos independientes y estacionarios más

P (N (t + h)−N (t) = 1) = λh+ o(h)P (N (t + h)−N (t) > 1) = o (h)



f (t, n) := P(N(t) = n)

ddtf (t, n) = λf (t, n− 1)− λf (t, n)

f ′ (t, 0) = −λf (t, 0) , f (t, 0) = e−λt


n!


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Incrementos independientes y estacionarios másP (N (t + h)−N (t) = 1) = λh+ o(h)

P (N (t + h)−N (t) > 1) = o (h)Idea de demostración


f (t, n) := P(N(t) = n)

ddtf (t, n) = λf (t, n− 1)− λf (t, n)

f ′ (t, 0) = −λf (t, 0) , f (t, 0) = e−λt


n!


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f (t, n) := P(N(t) = n)

ddtf (t, n) = λf (t, n− 1)− λf (t, n)

f ′ (t, 0) = −λf (t, 0) , f (t, 0) = e−λt


n!


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Idea de demostraciónDef. 1 ⇒ Def. 2 es trivial.

Def. 2 ⇒ Def. 1:f (t, n) := P(N(t) = n)

ddtf (t, n) = λf (t, n− 1)− λf (t, n)

f ′ (t, 0) = −λf (t, 0) , f (t, 0) = e−λt


n!


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Idea de demostraciónDef. 1 ⇒ Def. 2 es trivial.Def. 2 ⇒ Def. 1:

f (t, n) := P(N(t) = n)

ddtf (t, n) = λf (t, n− 1)− λf (t, n)

f ′ (t, 0) = −λf (t, 0) , f (t, 0) = e−λt


n!


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Temas Selectos del Proceso de Poisson Clásico

1 Observando Procesos de Poisson y Estimación del Parámetro

1 Observando los tiempos de falla2 Observando el número de fallas en un intervalo de tiempo3 Observando varias veces el número de fallas en un intervalo de tiempo

2 Distribuciones condicionales asociadas al Proceso de Poisson simple3 Procesos de Renovación

1 Introducción2 Resultados Asintóticos

4 Procesos de Poisson vs Procesos de Renovación


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Estimación del Parámetro del Proceso de Poisson

Se tienen varios posibles esquemas de observación:

Esquema 1: Se observan los tiempos entre fallas τ1, ..., τn o enforma equivalente los tiempos de falla T1, ...,Tn.Esto corresponde a observar UNA trayectoria del procesoObtenemos el promedio τ de las observaciones τ1, ..., τn

τ =1n

n

∑i=1

τi .

Recordemos que para una distribución exponencial la media es 1/λ.

Entonces un estimador razonables de λ es

λ =1τ.

Cuando n es grande este estimador es más razonable usando el cursode Miguel Nakamura.Este esquema de observación es el que se tiene para los tiempos defalla del submarino.


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Se tienen varios posibles esquemas de observación:Esquema 1: Se observan los tiempos entre fallas τ1, ..., τn o enforma equivalente los tiempos de falla T1, ...,Tn.

Esto corresponde a observar UNA trayectoria del procesoObtenemos el promedio τ de las observaciones τ1, ..., τn

τ =1n

n

∑i=1

τi .



λ =1τ.



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Se tienen varios posibles esquemas de observación:Esquema 1: Se observan los tiempos entre fallas τ1, ..., τn o enforma equivalente los tiempos de falla T1, ...,Tn.Esto corresponde a observar UNA trayectoria del proceso

Obtenemos el promedio τ de las observaciones τ1, ..., τn

τ =1n

n

∑i=1

τi .



λ =1τ.



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Se tienen varios posibles esquemas de observación:Esquema 1: Se observan los tiempos entre fallas τ1, ..., τn o enforma equivalente los tiempos de falla T1, ...,Tn.Esto corresponde a observar UNA trayectoria del procesoObtenemos el promedio τ de las observaciones τ1, ..., τn

τ =1n

n

∑i=1

τi .



λ =1τ.



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τ =1n

n

∑i=1

τi .



λ =1τ.

Cuando n es grande este estimador es más razonable usando el cursode Miguel Nakamura.

Este esquema de observación es el que se tiene para los tiempos defalla del submarino.


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τ =1n

n

∑i=1

τi .



λ =1τ.



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Esquema de observación 2: Se sabe cuantas fallas ocurrieron en unintervalo de longitud t

No necesariamente se sabe cuándo ocurrieron las fallas.

Esto corresponde a observar la variable aleatoria N(t) que tienedistribución de Poisson con media λt.

Estimación sugerida de λ

λ =N(t)t.

El estimador es razonable cuando t → ∞.Lo mejor, cuando se puede, es observar varias trayectorias Ni (t),i = 1, ..., n del mismo proceso y promediar los valores λ1, ..., λn.


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λ =N(t)t.

El estimador es razonable cuando t → ∞.

Lo mejor, cuando se puede, es observar varias trayectorias Ni (t),i = 1, ..., n del mismo proceso y promediar los valores λ1, ..., λn.


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λ =N(t)t.

El estimador es razonable cuando t → ∞.Lo mejor, cuando se puede, es observar varias trayectorias Ni (t),i = 1, ..., n del mismo proceso y promediar los valores λ1, ..., λn.


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Esquema de observación 3: Se tienen varias observaciones de N(t),el número de fallas en un intervalo de longitud t

Se observan las variables de Poisson N1(t), ...,Nn(t)Estimación sugerida de λ

λ =1nt

n

∑i=1Ni (t).

Es estimador insesgado

E(λ) = E(1nt

n

∑i=1Ni (t)) =

1nt

n

∑i=1

E(Ni (t))

=1nt

n

∑i=1

λt = λ.

El estimador es razonable cuando n→ ∞.Recomendación general: cuando se puede usen varios métodos.


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Esquema de observación 3: Se tienen varias observaciones de N(t),el número de fallas en un intervalo de longitud tSe observan las variables de Poisson N1(t), ...,Nn(t)


λ =1nt

n

∑i=1Ni (t).


E(λ) = E(1nt

n

∑i=1Ni (t)) =

1nt

n

∑i=1

E(Ni (t))

=1nt

n

∑i=1

λt = λ.



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Esquema de observación 3: Se tienen varias observaciones de N(t),el número de fallas en un intervalo de longitud tSe observan las variables de Poisson N1(t), ...,Nn(t)Estimación sugerida de λ

λ =1nt

n

∑i=1Ni (t).


E(λ) = E(1nt

n

∑i=1Ni (t)) =

1nt

n

∑i=1

E(Ni (t))

=1nt

n

∑i=1

λt = λ.



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λ =1nt

n

∑i=1Ni (t).


E(λ) = E(1nt

n

∑i=1Ni (t)) =

1nt

n

∑i=1

E(Ni (t))

=1nt

n

∑i=1

λt = λ.

El estimador es razonable cuando n→ ∞.

Recomendación general: cuando se puede usen varios métodos.


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λ =1nt

n

∑i=1Ni (t).


E(λ) = E(1nt

n

∑i=1Ni (t)) =

1nt

n

∑i=1

E(Ni (t))

=1nt

n

∑i=1

λt = λ.



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Proceso de Poisson SimpleOtras distribuciones asociadas

N (t) , t ≥ 0 proceso de Poisson con parámetros λ

Distribuciones asociadas: Poisson, exponencial, gamma

Hay otras distribuciones asociadas obtenidas mediantecondicionamiento en el número de eventos que ocurren en unintervalo de tiempo

Ejercicios:

6. Dado que N (t) = n y 0 < s < t, calcule P (N (s) = k | N (t) = n)7. Encuentre la función de densidad de (Tk | N (t) = n) para k < n8. Pruebe que (T1 | N (t) = 1) ∼ U (0, t).

Estadísticas de orden de una distribución uniforme


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Ejercicios:

6. Dado que N (t) = n y 0 < s < t, calcule P (N (s) = k | N (t) = n)

7. Encuentre la función de densidad de (Tk | N (t) = n) para k < n8. Pruebe que (T1 | N (t) = 1) ∼ U (0, t).



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Ejercicios:

6. Dado que N (t) = n y 0 < s < t, calcule P (N (s) = k | N (t) = n)7. Encuentre la función de densidad de (Tk | N (t) = n) para k < n

8. Pruebe que (T1 | N (t) = 1) ∼ U (0, t).



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Ejercicios:

6. Dado que N (t) = n y 0 < s < t, calcule P (N (s) = k | N (t) = n)7. Encuentre la función de densidad de (Tk | N (t) = n) para k < n8. Pruebe que (T1 | N (t) = 1) ∼ U (0, t).



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Distribuciones condicionales en el problema del submarino

9. ¿Cuántos mantenimientos no programados debemos esperar para elsubmarino en el primer año de operación, si sabemos que en 13000horas de operación ocurren 43 mantenimientos no programados?

10. ¿Cuántos mantenimientos no programados para el submarino debemosesperar en 13000 horas? ¿Cuál es la varianza del número demantenimientos no programados en 13000 horas? Explique las ventajasde contar con la información del problema 9.

11. ¿Cuál es el tiempo promedio del séptimo mantenimiento noprogramado entre los 43 tiempos de mantenimientos no programadosen 13000 horas?

12. Encuentre el tiempo esperado entre mantenimientos no programados.¿Cuál es la varianza asociada? ¿Explique las diferencias y ventajas detener la información dada en el problema 11.


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Distribuciones condicionales en el Proceso de Poisson


Distribución binomial: 0 < s < t

P (N (s) = k | N (t) = n) =(nk

)( st

)k (1− s

t

)n−k, k = 0, ..., n

Distribución uniforme U (0, t)

P (T1 ≤ s | N (t) = 1) =st, 0 ≤ s ≤ t

fT1(s | N (t) = 1) =1t, 0 ≤ s ≤ t

P (Tm ≤ s | N (t) = n) es distribución Beta con densidad

h (s | n) = n!m! (n−m)!

( st

)m−1 (1− s

t

)n−m−1Observe que estas distribuciones son independientes de λ.


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P (N (s) = k | N (t) = n) =(nk

)( st

)k (1− s

t

)n−k, k = 0, ..., n


P (T1 ≤ s | N (t) = 1) =st, 0 ≤ s ≤ t

fT1(s | N (t) = 1) =1t, 0 ≤ s ≤ t


h (s | n) = n!m! (n−m)!

( st

)m−1 (1− s

t

)n−m−1

Observe que estas distribuciones son independientes de λ.


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P (N (s) = k | N (t) = n) =(nk

)( st

)k (1− s

t

)n−k, k = 0, ..., n


P (T1 ≤ s | N (t) = 1) =st, 0 ≤ s ≤ t

fT1(s | N (t) = 1) =1t, 0 ≤ s ≤ t


h (s | n) = n!m! (n−m)!

( st

)m−1 (1− s

t

)n−m−1Observe que estas distribuciones son independientes de λ.


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N (t) , t ≥ 0 proceso de Poisson con parámetros λ > 0.

Estadísticas de orden de una distribución uniforme:

Sean T1,T2, ... los tiempos de ocurencias de un proceso de Poissonhomogéneo de parámetro λ.Condicionado en N (t) = n las variables aleatorias T1,T2, ...Tn tienenla densidad conjunta

fT1,...Tn |N (t)=n (t1, ..., tn) =n!tn, 0 < t1 < · · · < tn ≤ t

Observe que el resultado anterior es independiente del parámetro λdel proceso de Poisson


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Sean T1,T2, ... los tiempos de ocurencias de un proceso de Poissonhomogéneo de parámetro λ.

Condicionado en N (t) = n las variables aleatorias T1,T2, ...Tn tienenla densidad conjunta




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Sean T1,T2, ... los tiempos de ocurencias de un proceso de Poissonhomogéneo de parámetro λ.Condicionado en N (t) = n las variables aleatorias T1,T2, ...Tn tienenla densidad conjunta




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Resultados Elementales sobre Procesos de Renovación

Procesos de Renovación

1 N (t) , t ≥ 0 es proceso de conteo con saltos de tamaño 12 Tiempos de ocurrencias T1,T2, ...3 Tiempos entre ocurrencias τ1, τ2, ... i.i.d. con distribución F y media µ

Construcción del proceso de renovación dados τ1, τ2, ...

1 T0 = 0

Tm =m

∑i=1

τi (1)

2

N(t) = sup m ≥ 0 : Tm ≤ t

Son procesos con incrementos independientes y estacionarios.

Notación: Fm = FTm es la m-ésima convolución de F .


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Procesos de Renovación1 N (t) , t ≥ 0 es proceso de conteo con saltos de tamaño 1

2 Tiempos de ocurrencias T1,T2, ...3 Tiempos entre ocurrencias τ1, τ2, ... i.i.d. con distribución F y media µ


1 T0 = 0

Tm =m

∑i=1

τi (1)

2

N(t) = sup m ≥ 0 : Tm ≤ t




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Procesos de Renovación1 N (t) , t ≥ 0 es proceso de conteo con saltos de tamaño 12 Tiempos de ocurrencias T1,T2, ...

3 Tiempos entre ocurrencias τ1, τ2, ... i.i.d. con distribución F y media µ


1 T0 = 0

Tm =m

∑i=1

τi (1)

2

N(t) = sup m ≥ 0 : Tm ≤ t




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Procesos de Renovación1 N (t) , t ≥ 0 es proceso de conteo con saltos de tamaño 12 Tiempos de ocurrencias T1,T2, ...3 Tiempos entre ocurrencias τ1, τ2, ... i.i.d. con distribución F y media µ


1 T0 = 0

Tm =m

∑i=1

τi (1)

2

N(t) = sup m ≥ 0 : Tm ≤ t




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Relación claveTm ≤ t = N(t) ≥ m

Distribución de N(t)

P(N (t) = n) = Fn(t)− Fn+1(t)

Demostración:

P (N (t) = n) = P(N (t) ≥ n)−P(N (t) ≥ n+ 1)= P(Tn ≤ t)−P(Tn+1 ≤ t)= Fn(t)− Fn+1(t).

Función Media 0 ≤ t < ∞

M(t) = E(N (t)) =∞

∑n=1

Fn(t)


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Notación: Fm = FTm es la m-ésima convolución de F .Relación clave

Tm ≤ t = N(t) ≥ m

Distribución de N(t)

P(N (t) = n) = Fn(t)− Fn+1(t)

Demostración:



M(t) = E(N (t)) =∞

∑n=1

Fn(t)


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Notación: Fm = FTm es la m-ésima convolución de F .Relación clave

Tm ≤ t = N(t) ≥ mDistribución de N(t)

P(N (t) = n) = Fn(t)− Fn+1(t)

Demostración:



M(t) = E(N (t)) =∞

∑n=1

Fn(t)


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M(t) = E(N (t)) =∞

∑n=1

Fn(t).

Idea demostración:

1 Representación de N(t)

N (t) =∞

∑n=1

In(t)

In(t) =1 si Tn ≤ t0 de otra forma

2

P(In(t) = 1) = P(Tn ≤ t) = Fn(t)3

M(t) = E(N (t)) =∞

∑n=1

E (In(t)) =∞

∑n=1

P(In(t) = 1) =∞

∑n=1

Fn(t)


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M(t) = E(N (t)) =∞

∑n=1

Fn(t).

Idea demostración:1 Representación de N(t)

N (t) =∞

∑n=1

In(t)


2

P(In(t) = 1) = P(Tn ≤ t) = Fn(t)3

M(t) = E(N (t)) =∞

∑n=1

E (In(t)) =∞

∑n=1

P(In(t) = 1) =∞

∑n=1

Fn(t)


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M(t) = E(N (t)) =∞

∑n=1

Fn(t).


N (t) =∞

∑n=1

In(t)


2

P(In(t) = 1) = P(Tn ≤ t) = Fn(t)

3

M(t) = E(N (t)) =∞

∑n=1

E (In(t)) =∞

∑n=1

P(In(t) = 1) =∞

∑n=1

Fn(t)


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M(t) = E(N (t)) =∞

∑n=1

Fn(t).


N (t) =∞

∑n=1

In(t)


2

P(In(t) = 1) = P(Tn ≤ t) = Fn(t)3

M(t) = E(N (t)) =∞

∑n=1

E (In(t)) =∞

∑n=1

P(In(t) = 1) =∞

∑n=1

Fn(t)


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Resultados Asintóticos en Procesos de Renovación

µ media de distribución de tiempos entre ocurrencias τi

Ley de Grandes Números

P

(limt→∞

N (t)t

=1µ

)= 1

Teorema de Renovación Elemental

limt→∞

M (t)t

=1µ

Teorema Central del Límite Si existe la varianza σ2 de F , cuandot → ∞ la variable aleatoria

Zt =N(t)− t/µ

σ√t/µ3

tiende a una distribución normal estándar.N(t) es asintóticamente normal con media t/µ y varianza tσ2/µ3.


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µ media de distribución de tiempos entre ocurrencias τiLey de Grandes Números

P

(limt→∞

N (t)t

=1µ

)= 1


limt→∞

M (t)t

=1µ


Zt =N(t)− t/µ

σ√t/µ3



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P

(limt→∞

N (t)t

=1µ

)= 1


limt→∞

M (t)t

=1µ


Zt =N(t)− t/µ

σ√t/µ3

tiende a una distribución normal estándar.

N(t) es asintóticamente normal con media t/µ y varianza tσ2/µ3.


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P

(limt→∞

N (t)t

=1µ

)= 1


limt→∞

M (t)t

=1µ


Zt =N(t)− t/µ

σ√t/µ3



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Resultados Asintóticos en Procesos de RenovaciónAlgunas implicaciones no gratas que debieron ser observadas en las simulaciones


P( limt→∞

N (t)t

=1µ) = 1

Cuando t es grande

N(t) ∼ tµ

No hay diferencia con el caso de Proceso de Poisson µ = 1/λ.Con el Teorema Elemental de Renovación: para t grande

M(t) ∼ tµ

En el caso de Proceso de Poisson

M(t) =tµ= tλ

Utilidad: Proceso Renovación vs No Proceso de RenovaciónPara descriminar entre Procesos de Renovación use Var(N(t))


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P( limt→∞

N (t)t

=1µ) = 1

Cuando t es grande

N(t) ∼ tµ

No hay diferencia con el caso de Proceso de Poisson µ = 1/λ.

Con el Teorema Elemental de Renovación: para t grande

M(t) ∼ tµ


M(t) =tµ= tλ



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P( limt→∞

N (t)t

=1µ) = 1

Cuando t es grande

N(t) ∼ tµ


M(t) ∼ tµ


M(t) =tµ= tλ



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P( limt→∞

N (t)t

=1µ) = 1

Cuando t es grande

N(t) ∼ tµ


M(t) ∼ tµ


M(t) =tµ= tλ

Utilidad: Proceso Renovación vs No Proceso de Renovación

Para descriminar entre Procesos de Renovación use Var(N(t))


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P( limt→∞

N (t)t

=1µ) = 1

Cuando t es grande

N(t) ∼ tµ


M(t) ∼ tµ


M(t) =tµ= tλ



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Resultados Asintóticos para Procesos de Renovación

Teorema Central del Límite N(t) es asintóticamente normal conmedia t/µ y varianza tσ2/µ3.

Cuando t → ∞

P

(N(t)− t/µ

σ√t/µ3

≤ x)→ 1√

2π

x∫−∞

exp(−12y2)dy

En el caso de Proceso de Poisson con parámetro λ

F es distribución exponencialMedia µ = 1/λ y σ2 = 1/λ2.N(t) es asintóticamente normal con media tλ y varianza tλ.Que es la aproximación clásica de la distribución normal a la Poisson.

Utilidad: Pruebas de hipótesis sobre la media sin suposicióndistribucional


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Cuando t → ∞

P

(N(t)− t/µ

σ√t/µ3

≤ x)→ 1√

2π

x∫−∞

exp(−12y2)dy


F es distribución exponencial

Media µ = 1/λ y σ2 = 1/λ2.N(t) es asintóticamente normal con media tλ y varianza tλ.Que es la aproximación clásica de la distribución normal a la Poisson.



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Cuando t → ∞

P

(N(t)− t/µ

σ√t/µ3

≤ x)→ 1√

2π

x∫−∞

exp(−12y2)dy


F es distribución exponencialMedia µ = 1/λ y σ2 = 1/λ2.

N(t) es asintóticamente normal con media tλ y varianza tλ.Que es la aproximación clásica de la distribución normal a la Poisson.



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Cuando t → ∞

P

(N(t)− t/µ

σ√t/µ3

≤ x)→ 1√

2π

x∫−∞

exp(−12y2)dy


F es distribución exponencialMedia µ = 1/λ y σ2 = 1/λ2.N(t) es asintóticamente normal con media tλ y varianza tλ.

Que es la aproximación clásica de la distribución normal a la Poisson.



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Cuando t → ∞

P

(N(t)− t/µ

σ√t/µ3

≤ x)→ 1√

2π

x∫−∞

exp(−12y2)dy


F es distribución exponencialMedia µ = 1/λ y σ2 = 1/λ2.N(t) es asintóticamente normal con media tλ y varianza tλ.Que es la aproximación clásica de la distribución normal a la Poisson.



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Proceso de Poisson vs Proceso de Renovación

1 Pruebas de bondad de ajuste para distribución exponencial si sepueden observar tiempos entre ocurrencias: Prueba gráfica de papel

de probabilidad, o prueba analítica.2 Pruebas de bondad de ajuste para distribución Poisson si se observannúmero de ocurrencias en intervalos de tiempo.

1 Recomendable si se pueden planear los muestreos2 Asegurarse que se toman intervalos de tiempos pequeños con ceroobservaciones

3 Checar independencia de tiempos entre ocurrencias


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Miércoles: Temas Selectos de Proceso de Poisson

1 Combinación de Procesos de Poisson

1 Suma de Procesos de Poisson2 Diversos Tipos de Fallas

2 Proceso de Poisson no Homogéneo

1 Función Media de Fallas.2 Sistemas con Desgaste

3 Proceso de Poisson Compuesto4 Comentarios sobre la Conferencia de Eric y otras cosas


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Combinación de Procesos de Poisson

Sean N1 (t) , t ≥ 0 y N2 (t) , t ≥ 0 procesos de Poissonindependientes con parámetros λ1 y λ2 respectivamente. Sea

N (t) = N1 (t) +N2 (t) , t ≥ 0.N (t) , t ≥ 0 es un proceso de Poisson de parámetro λ1 + λ2.

Sistemas en serie: El sistema falla si y sólo si uno de ellos falla.Tiempo de primera falla es

T1 = min(T 11 ,T21 )

que tiene una distribución exponencial de parámetro λ1 + λ2.Ni (t) , i = 1, ..n PP independientes de parámetros λi , i = 1, ...n

N (t) =n

∑k=1

Nk (t) , t ≥ 0

N (t) proceso de Poisson de parámetro ∑nk=1 λk .

Tiempo de primera falla

T1 = min(T 11 , ...Tn1 )

En el caso del submarino n = 4.


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N (t) = N1 (t) +N2 (t) , t ≥ 0.N (t) , t ≥ 0 es un proceso de Poisson de parámetro λ1 + λ2.Sistemas en serie: El sistema falla si y sólo si uno de ellos falla.

Tiempo de primera falla es

T1 = min(T 11 ,T21 )


N (t) =n

∑k=1

Nk (t) , t ≥ 0



T1 = min(T 11 , ...Tn1 )



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N (t) = N1 (t) +N2 (t) , t ≥ 0.N (t) , t ≥ 0 es un proceso de Poisson de parámetro λ1 + λ2.Sistemas en serie: El sistema falla si y sólo si uno de ellos falla.Tiempo de primera falla es

T1 = min(T 11 ,T21 )

que tiene una distribución exponencial de parámetro λ1 + λ2.

Ni (t) , i = 1, ..n PP independientes de parámetros λi , i = 1, ...n

N (t) =n

∑k=1

Nk (t) , t ≥ 0



T1 = min(T 11 , ...Tn1 )



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T1 = min(T 11 ,T21 )


N (t) =n

∑k=1

Nk (t) , t ≥ 0



T1 = min(T 11 , ...Tn1 )



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T1 = min(T 11 ,T21 )


N (t) =n

∑k=1

Nk (t) , t ≥ 0



T1 = min(T 11 , ...Tn1 )

En el caso del submarino n = 4.Víctor M Pérez Abreu C Depto PyE CIMAT () Curso Corto de Procesos de Poisson


Proceso de Poisson No Homogéneo

Una colección de variables aleatorias N(t), t ≥ 0 se llama procesode Poisson no homogéneo con función de intensidad Λ (t) si

1 P(N(0) = 0) = 1.2 N (t) tiene incrementos independientes.3 ∀ 0 < s < t se tiene que

P (N (t)−N (s) = k) = (Λ (t)−Λ (s))ke−(Λ(t)−Λ(s))

k !k = 0, 1, 2, . . . .

N (t)−N (s) tiene distribución de Poisson con media Λ (t)−Λ (s) .Los incrementos no son estacionarios.

La función Λ (t) es no decreciente y Λ (0) = 0.Como Λ (t) = E(N(t)) interpretamos Λ(t) como función media defallas en (0, t].


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1 P(N(0) = 0) = 1.

2 N (t) tiene incrementos independientes.3 ∀ 0 < s < t se tiene que


k !k = 0, 1, 2, . . . .




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1 P(N(0) = 0) = 1.2 N (t) tiene incrementos independientes.

3 ∀ 0 < s < t se tiene que


k !k = 0, 1, 2, . . . .




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k !k = 0, 1, 2, . . . .




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k !k = 0, 1, 2, . . . .

N (t)−N (s) tiene distribución de Poisson con media Λ (t)−Λ (s) .

Los incrementos no son estacionarios.



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k !k = 0, 1, 2, . . . .




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k !k = 0, 1, 2, . . . .


La función Λ (t) es no decreciente y Λ (0) = 0.

Como Λ (t) = E(N(t)) interpretamos Λ(t) como función media defallas en (0, t].


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k !k = 0, 1, 2, . . . .




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Usualmente

Λ (t) =∫ t

0λ (s) ds,

con λ (s) ≥ 0 ∀ s. Por ejemploλ(t) = θe−βt .

Caso especial es proceso de Poisson homogéneo λ(t) = λ yΛ (t) = λt.Modelo útil para sistemas con desgaste con función de desgastemedia Λ (t) .Tiempo de primera falla

P (T1 ≤ t) = P (N (t) ≥ 1) = 1−P (N (t) = 0) = 1− e−Λ(t).

Si Λ (t) es diferenciable con derivada λ (t)

fT1 (t) = λ (t) e−Λ(t).


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Usualmente

Λ (t) =∫ t

0λ (s) ds,


Caso especial es proceso de Poisson homogéneo λ(t) = λ yΛ (t) = λt.

Modelo útil para sistemas con desgaste con función de desgastemedia Λ (t) .Tiempo de primera falla

P (T1 ≤ t) = P (N (t) ≥ 1) = 1−P (N (t) = 0) = 1− e−Λ(t).


fT1 (t) = λ (t) e−Λ(t).


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Usualmente

Λ (t) =∫ t

0λ (s) ds,


Caso especial es proceso de Poisson homogéneo λ(t) = λ yΛ (t) = λt.Modelo útil para sistemas con desgaste con función de desgastemedia Λ (t) .


P (T1 ≤ t) = P (N (t) ≥ 1) = 1−P (N (t) = 0) = 1− e−Λ(t).


fT1 (t) = λ (t) e−Λ(t).


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Usualmente

Λ (t) =∫ t

0λ (s) ds,


Caso especial es proceso de Poisson homogéneo λ(t) = λ yΛ (t) = λt.Modelo útil para sistemas con desgaste con función de desgastemedia Λ (t) .Tiempo de primera falla

P (T1 ≤ t) = P (N (t) ≥ 1) = 1−P (N (t) = 0) = 1− e−Λ(t).


fT1 (t) = λ (t) e−Λ(t).


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Proceso de Poisson Compuesto

Zii≥1 v.a. independientes con misma distribución e independientesdel PP N (t). Proceso de Poisson compuesto

X (t) =N (t)

∑i=1

Zi

Aplicación en seguros

N(t) número de accidentes de carros al tiempo tZi cantidad que paga una aseguradora en el ı-ésimo accidenteX (t) cantidad pagada por la aseguradora al tiempo t.

Aplicación en estructuras sujetas a sismos.

N(t) número de temblores al tiempo tZi daño causado a la estructura por el i-ésimo temblor.X (t) daño acumulado en una estructura sujeta a temblores.OJO: N(t) no es proceso de Poisson: tiempos entre temblores nosiguen distribución exponencial.


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X (t) =N (t)

∑i=1

Zi

Aplicación en segurosN(t) número de accidentes de carros al tiempo t

Zi cantidad que paga una aseguradora en el ı-ésimo accidenteX (t) cantidad pagada por la aseguradora al tiempo t.




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X (t) =N (t)

∑i=1

Zi

Aplicación en segurosN(t) número de accidentes de carros al tiempo tZi cantidad que paga una aseguradora en el ı-ésimo accidente

X (t) cantidad pagada por la aseguradora al tiempo t.




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X (t) =N (t)

∑i=1

Zi

Aplicación en segurosN(t) número de accidentes de carros al tiempo tZi cantidad que paga una aseguradora en el ı-ésimo accidenteX (t) cantidad pagada por la aseguradora al tiempo t.




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X (t) =N (t)

∑i=1

Zi


Aplicación en estructuras sujetas a sismos.N(t) número de temblores al tiempo t

Zi daño causado a la estructura por el i-ésimo temblor.X (t) daño acumulado en una estructura sujeta a temblores.OJO: N(t) no es proceso de Poisson: tiempos entre temblores nosiguen distribución exponencial.


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X (t) =N (t)

∑i=1

Zi


Aplicación en estructuras sujetas a sismos.N(t) número de temblores al tiempo tZi daño causado a la estructura por el i-ésimo temblor.

X (t) daño acumulado en una estructura sujeta a temblores.OJO: N(t) no es proceso de Poisson: tiempos entre temblores nosiguen distribución exponencial.


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X (t) =N (t)

∑i=1

Zi


Aplicación en estructuras sujetas a sismos.N(t) número de temblores al tiempo tZi daño causado a la estructura por el i-ésimo temblor.X (t) daño acumulado en una estructura sujeta a temblores.

OJO: N(t) no es proceso de Poisson: tiempos entre temblores nosiguen distribución exponencial.


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X (t) =N (t)

∑i=1

Zi


Aplicación en estructuras sujetas a sismos.N(t) número de temblores al tiempo tZi daño causado a la estructura por el i-ésimo temblor.X (t) daño acumulado en una estructura sujeta a temblores.OJO: N(t) no es proceso de Poisson: tiempos entre temblores nosiguen distribución exponencial.


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Proceso de Poisson compuesto X (t) = ∑N (t)i=1 Zi ,

Otra aplicación: Fallas de varios tipos. N (t) PP de parámetro λ.Supongamos que cada falla es de tipo 1 con probabilidad p1 o de tipo2 con probabilidad p2 = 1− p1, independiente de las demás fallas.Ni (t) número de fallas de tipo i . Entonces N1 (t) y N2 (t) sonprocesos de Poisson independientes con parámetros λp1 y λp2.Demostración: ξkk≥0 sucesión v.a. Bernoulli de parámetro p1.

N1 (t) =N (t)

∑k=1

ξk , N2 (t) = N (t)−N1(t)

E(X (t)) = E(N (t))E(Z ) (Identidad de Wald)Herramientas analíticas de estudio:

Función generadora de momentos, transformada de Laplace.Función característica, transformada de Fourier.Resultados asintóticos.


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Otra aplicación: Fallas de varios tipos. N (t) PP de parámetro λ.Supongamos que cada falla es de tipo 1 con probabilidad p1 o de tipo2 con probabilidad p2 = 1− p1, independiente de las demás fallas.Ni (t) número de fallas de tipo i . Entonces N1 (t) y N2 (t) sonprocesos de Poisson independientes con parámetros λp1 y λp2.

Demostración: ξkk≥0 sucesión v.a. Bernoulli de parámetro p1.

N1 (t) =N (t)

∑k=1

ξk , N2 (t) = N (t)−N1(t)




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N1 (t) =N (t)

∑k=1

ξk , N2 (t) = N (t)−N1(t)




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N1 (t) =N (t)

∑k=1

ξk , N2 (t) = N (t)−N1(t)

E(X (t)) = E(N (t))E(Z ) (Identidad de Wald)

Herramientas analíticas de estudio:



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N1 (t) =N (t)

∑k=1

ξk , N2 (t) = N (t)−N1(t)




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N1 (t) =N (t)

∑k=1

ξk , N2 (t) = N (t)−N1(t)


Función generadora de momentos, transformada de Laplace.

Función característica, transformada de Fourier.Resultados asintóticos.


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N1 (t) =N (t)

∑k=1

ξk , N2 (t) = N (t)−N1(t)


Función generadora de momentos, transformada de Laplace.Función característica, transformada de Fourier.

Resultados asintóticos.


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N1 (t) =N (t)

∑k=1

ξk , N2 (t) = N (t)−N1(t)




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Aplicación en Seguros: El Proceso de Riesgo Simple

Supongamos que las reclamaciones a una compañía de seguros llegande acuerdo a un Proceso de Poisson N (t) de parámetro λ > 0.

Las reclamaciones Zn∞n=1 son v.a. aleatorias independientes con

distribución común F .Suponemos F (0) = 0 (esto es P (Zi ≤ 0) = 0) con media µ.Problema: A la compañía de seguros le interesa saber cuántocobrar a sus clientes de modo que el precio no sea muy elevado,pero sin correr el riesgo de quebrar.Se tiene un capital inicial u ≥ 0 y sabemos que la prima que lacompañía recibe por unidad de tiempo es c > 0.Proceso que nos modela el dinero que tiene la compañía al tiempo t

X (t) = u + ct −N (t)

∑i=1

Zi

X (t) es el Proceso de Riesgo Clásico.


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Supongamos que las reclamaciones a una compañía de seguros llegande acuerdo a un Proceso de Poisson N (t) de parámetro λ > 0.Las reclamaciones Zn∞

n=1 son v.a. aleatorias independientes condistribución común F .

Suponemos F (0) = 0 (esto es P (Zi ≤ 0) = 0) con media µ.Problema: A la compañía de seguros le interesa saber cuántocobrar a sus clientes de modo que el precio no sea muy elevado,pero sin correr el riesgo de quebrar.Se tiene un capital inicial u ≥ 0 y sabemos que la prima que lacompañía recibe por unidad de tiempo es c > 0.Proceso que nos modela el dinero que tiene la compañía al tiempo t

X (t) = u + ct −N (t)

∑i=1

Zi



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n=1 son v.a. aleatorias independientes condistribución común F .Suponemos F (0) = 0 (esto es P (Zi ≤ 0) = 0) con media µ.

Problema: A la compañía de seguros le interesa saber cuántocobrar a sus clientes de modo que el precio no sea muy elevado,pero sin correr el riesgo de quebrar.Se tiene un capital inicial u ≥ 0 y sabemos que la prima que lacompañía recibe por unidad de tiempo es c > 0.Proceso que nos modela el dinero que tiene la compañía al tiempo t

X (t) = u + ct −N (t)

∑i=1

Zi



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n=1 son v.a. aleatorias independientes condistribución común F .Suponemos F (0) = 0 (esto es P (Zi ≤ 0) = 0) con media µ.Problema: A la compañía de seguros le interesa saber cuántocobrar a sus clientes de modo que el precio no sea muy elevado,pero sin correr el riesgo de quebrar.

Se tiene un capital inicial u ≥ 0 y sabemos que la prima que lacompañía recibe por unidad de tiempo es c > 0.Proceso que nos modela el dinero que tiene la compañía al tiempo t

X (t) = u + ct −N (t)

∑i=1

Zi



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n=1 son v.a. aleatorias independientes condistribución común F .Suponemos F (0) = 0 (esto es P (Zi ≤ 0) = 0) con media µ.Problema: A la compañía de seguros le interesa saber cuántocobrar a sus clientes de modo que el precio no sea muy elevado,pero sin correr el riesgo de quebrar.Se tiene un capital inicial u ≥ 0 y sabemos que la prima que lacompañía recibe por unidad de tiempo es c > 0.

Proceso que nos modela el dinero que tiene la compañía al tiempo t

X (t) = u + ct −N (t)

∑i=1

Zi



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n=1 son v.a. aleatorias independientes condistribución común F .Suponemos F (0) = 0 (esto es P (Zi ≤ 0) = 0) con media µ.Problema: A la compañía de seguros le interesa saber cuántocobrar a sus clientes de modo que el precio no sea muy elevado,pero sin correr el riesgo de quebrar.Se tiene un capital inicial u ≥ 0 y sabemos que la prima que lacompañía recibe por unidad de tiempo es c > 0.Proceso que nos modela el dinero que tiene la compañía al tiempo t

X (t) = u + ct −N (t)

∑i=1

Zi



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X (t) = u + ct −N (t)

∑i=1

Zi

Es fácil convencernos de que X (t) tiene incrementos independientes.Probabilidad de ruina

ψ (u) = P(X (t) < 0, para algún t > 0).

Si las Zi sigue distribución exponencial de media µ

ψ (u) =1

1+ pe−(

puµ(1+p)

)u ≥ 0,

donde p = c−λµλµ y λ es el parámetro del proceso de Poisson.

Las compañías de seguros buscan la prima c que garantice

ψ (0) =λµ

c< 0.001.

En general no hay fórmulas cerradas cuando F no es exponencial.


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X (t) = u + ct −N (t)

∑i=1

Zi

Es fácil convencernos de que X (t) tiene incrementos independientes.

Probabilidad de ruina



ψ (u) =1

1+ pe−(

puµ(1+p)

)u ≥ 0,



ψ (0) =λµ

c< 0.001.



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X (t) = u + ct −N (t)

∑i=1

Zi




ψ (u) =1

1+ pe−(

puµ(1+p)

)u ≥ 0,



ψ (0) =λµ

c< 0.001.



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X (t) = u + ct −N (t)

∑i=1

Zi




ψ (u) =1

1+ pe−(

puµ(1+p)

)u ≥ 0,



ψ (0) =λµ

c< 0.001.

En general no hay fórmulas cerradas cuando F no es exponencial.Víctor M Pérez Abreu C Depto PyE CIMAT () Curso Corto de Procesos de Poisson



Problemas de interés

¿Es el modelo de Poisson homogéneo pertinente?¿Cuál es el valor del parámetro λ?¿Cuál es el valor de la media µ de la distribución de reclamaciones?¿Son las distribuciones de las reclamaciones para los casos Tabasco2007 o Monterrey 2010 exponenciales?

En general F es una distribución de colas pesadas

La solución e implementación completa de este problema requiere:

Varios temas de MatemáticasProbabilidad y Procesos EstocásticosEstadística Matemática, Análisis de DatosModelación Matemática, Análisis NuméricoSimulación y ComputaciónConocimientos de seguros (abiertos a diversos intereses)

¡Sólo un matemático o actuario con formación integral!


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¿Es el modelo de Poisson homogéneo pertinente?

¿Cuál es el valor del parámetro λ?¿Cuál es el valor de la media µ de la distribución de reclamaciones?¿Son las distribuciones de las reclamaciones para los casos Tabasco2007 o Monterrey 2010 exponenciales?






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¿Es el modelo de Poisson homogéneo pertinente?¿Cuál es el valor del parámetro λ?

¿Cuál es el valor de la media µ de la distribución de reclamaciones?¿Son las distribuciones de las reclamaciones para los casos Tabasco2007 o Monterrey 2010 exponenciales?






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¿Es el modelo de Poisson homogéneo pertinente?¿Cuál es el valor del parámetro λ?¿Cuál es el valor de la media µ de la distribución de reclamaciones?

¿Son las distribuciones de las reclamaciones para los casos Tabasco2007 o Monterrey 2010 exponenciales?






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Varios temas de Matemáticas

Probabilidad y Procesos EstocásticosEstadística Matemática, Análisis de DatosModelación Matemática, Análisis NuméricoSimulación y ComputaciónConocimientos de seguros (abiertos a diversos intereses)



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Varios temas de MatemáticasProbabilidad y Procesos Estocásticos

Estadística Matemática, Análisis de DatosModelación Matemática, Análisis NuméricoSimulación y ComputaciónConocimientos de seguros (abiertos a diversos intereses)



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Varios temas de MatemáticasProbabilidad y Procesos EstocásticosEstadística Matemática, Análisis de Datos

Modelación Matemática, Análisis NuméricoSimulación y ComputaciónConocimientos de seguros (abiertos a diversos intereses)



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Varios temas de MatemáticasProbabilidad y Procesos EstocásticosEstadística Matemática, Análisis de DatosModelación Matemática, Análisis Numérico

Simulación y ComputaciónConocimientos de seguros (abiertos a diversos intereses)



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Varios temas de MatemáticasProbabilidad y Procesos EstocásticosEstadística Matemática, Análisis de DatosModelación Matemática, Análisis NuméricoSimulación y Computación

Conocimientos de seguros (abiertos a diversos intereses)



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Comentarios sobre Conferencia Erick TreviñoLa Bolsa de valores es el Gran casino

1 Correspondencia entre Fermat y Pascal

1 Orígenes de la Probabilidad2 Bernoulli: Ley de Grandes Números3 La martingala de Pascal (M.E. Caballero)

2 Interpretación de Espacio de Probabilidad3 Herramientas matemáticas

1 Teoría de la medida y probabilidad,2 Análisis matemático3 Análisis funcional

4 Proceso de Wiener o Movimiento Browniano

1 Bachelier, Wiener, Ito

5 Esperanza Condicional, Martingalas y Filtraciones.

1 Lévy, Ito, Doob, escuela francesa2 martingala, semimartingala, quasimartingala


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1 Correspondencia entre Fermat y Pascal1 Orígenes de la Probabilidad

2 Bernoulli: Ley de Grandes Números3 La martingala de Pascal (M.E. Caballero)








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1 Correspondencia entre Fermat y Pascal1 Orígenes de la Probabilidad2 Bernoulli: Ley de Grandes Números

3 La martingala de Pascal (M.E. Caballero)








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1 Correspondencia entre Fermat y Pascal1 Orígenes de la Probabilidad2 Bernoulli: Ley de Grandes Números3 La martingala de Pascal (M.E. Caballero)








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2 Interpretación de Espacio de Probabilidad

3 Herramientas matemáticas







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1 Teoría de la medida y probabilidad,

2 Análisis matemático3 Análisis funcional






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1 Teoría de la medida y probabilidad,2 Análisis matemático

3 Análisis funcional






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4 Proceso de Wiener o Movimiento Browniano1 Bachelier, Wiener, Ito




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5 Esperanza Condicional, Martingalas y Filtraciones.1 Lévy, Ito, Doob, escuela francesa

2 martingala, semimartingala, quasimartingala


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5 Esperanza Condicional, Martingalas y Filtraciones.1 Lévy, Ito, Doob, escuela francesa2 martingala, semimartingala, quasimartingala


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Comentarios sobre Conferencia Erick TreviñoOtras aplicaciones

6. Aplicaciones

1 Modelos Matemáticos en Finanzas2 Genética de Poblaciones, Modelos Estocásticos en Biología3 Procesos Estocásticos Relativistas

7. Ito: Premio Gauss por Aplicaciones Matemáticas (2006)

8. http://www.cimat.mx/~pabreu/

1 Invitación a la Probabilidad (ir a material para estudiantes)2 Probabilidad y otras Ramas de las Matemáticas (cursos y tesis)

1 Tesis de Licenciatua recientes2 Proyectos de Verano recientes


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6. Aplicaciones

1 Modelos Matemáticos en Finanzas

2 Genética de Poblaciones, Modelos Estocásticos en Biología3 Procesos Estocásticos Relativistas






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6. Aplicaciones

1 Modelos Matemáticos en Finanzas2 Genética de Poblaciones, Modelos Estocásticos en Biología

3 Procesos Estocásticos Relativistas






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6. Aplicaciones







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6. Aplicaciones




1 Invitación a la Probabilidad (ir a material para estudiantes)

2 Probabilidad y otras Ramas de las Matemáticas (cursos y tesis)



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6. Aplicaciones







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6. Aplicaciones





1 Tesis de Licenciatua recientes

2 Proyectos de Verano recientes


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6. Aplicaciones







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Jueves: Comentarios finalesEnfasis: Medidas Aleatorias de Poisson

1 Sobre independencia de tiempos entre terremotos2 Espacios de Medida

3 Modelos Estocásticos para Conjuntos de Puntos4 Procesos de Poisson en Espacios Generales

1 Propiedades Básicas2 Teorema de Superposición3 Teorema de Mapeo4 Teorema de Existencia

5 Comentarios finales sobre el Tercer Verano de Probabilidad yEstadística


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Espacio de Medida

La terna (X ,F , µ) es un espacio de medida si

1 X es un conjunto no vacío, F es una σ-álgebra de X2 µ : F → R≥0 es σ-aditiva: ∀An ∈ F n ≥ 1 ajenos (An ∩ Am 6= ∅para n 6= m), se cumple

µ

(∞⋃n=1

An

)=

∞

∑n=1

µ (An) .

Ejemplos

1 Espacio de probabilidad general µ = P.2 Medida de conteo3 Medida de Lebesgue4 Medida de Riemann-Stieltjes5 Medida de Wiener

Teoría de la Medida vs ProbabilidadContinuidad por arriba y por abajo. Continuidad en el vacío.


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Espacio de Medida

La terna (X ,F , µ) es un espacio de medida si1 X es un conjunto no vacío, F es una σ-álgebra de X

2 µ : F → R≥0 es σ-aditiva: ∀An ∈ F n ≥ 1 ajenos (An ∩ Am 6= ∅para n 6= m), se cumple

µ

(∞⋃n=1

An

)=

∞

∑n=1

µ (An) .

Ejemplos




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Espacio de Medida

La terna (X ,F , µ) es un espacio de medida si1 X es un conjunto no vacío, F es una σ-álgebra de X2 µ : F → R≥0 es σ-aditiva: ∀An ∈ F n ≥ 1 ajenos (An ∩ Am 6= ∅para n 6= m), se cumple

µ

(∞⋃n=1

An

)=

∞

∑n=1

µ (An) .

Ejemplos




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Espacio de Medida


µ

(∞⋃n=1

An

)=

∞

∑n=1

µ (An) .

Ejemplos1 Espacio de probabilidad general µ = P.

2 Medida de conteo3 Medida de Lebesgue4 Medida de Riemann-Stieltjes5 Medida de Wiener



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Espacio de Medida


µ

(∞⋃n=1

An

)=

∞

∑n=1

µ (An) .

Ejemplos1 Espacio de probabilidad general µ = P.2 Medida de conteo

3 Medida de Lebesgue4 Medida de Riemann-Stieltjes5 Medida de Wiener



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Espacio de Medida


µ

(∞⋃n=1

An

)=

∞

∑n=1

µ (An) .

Ejemplos1 Espacio de probabilidad general µ = P.2 Medida de conteo3 Medida de Lebesgue

4 Medida de Riemann-Stieltjes5 Medida de Wiener



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Espacio de Medida


µ

(∞⋃n=1

An

)=

∞

∑n=1

µ (An) .

Ejemplos1 Espacio de probabilidad general µ = P.2 Medida de conteo3 Medida de Lebesgue4 Medida de Riemann-Stieltjes

5 Medida de Wiener



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Espacio de Medida


µ

(∞⋃n=1

An

)=

∞

∑n=1

µ (An) .

Ejemplos1 Espacio de probabilidad general µ = P.2 Medida de conteo3 Medida de Lebesgue4 Medida de Riemann-Stieltjes5 Medida de Wiener



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Espacio de Medida


µ

(∞⋃n=1

An

)=

∞

∑n=1

µ (An) .


Teoría de la Medida vs Probabilidad

Continuidad por arriba y por abajo. Continuidad en el vacío.


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Espacio de Medida


µ

(∞⋃n=1

An

)=

∞

∑n=1

µ (An) .




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Espacio de Medida

(X ,F , µ) espacio de medidailidad µ = P.

A ∈ F es un átomo si

1 µ (A) > 02 Si B ⊂ A y µ (B) < µ (A), entonces µ (B) = 0.

µ es medida no atómica si no tiene átomos

En particular si µ es una medida no atómica, µ (i) = 0 ∀ i ∈ F .Ejemplo: X = 1, . . . , n, F =2X y µ = # (A). Entonces µ tieneátomos en 1 , . . . , n


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Espacio de Medida


A ∈ F es un átomo si1 µ (A) > 0

2 Si B ⊂ A y µ (B) < µ (A), entonces µ (B) = 0.




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Espacio de Medida


A ∈ F es un átomo si1 µ (A) > 02 Si B ⊂ A y µ (B) < µ (A), entonces µ (B) = 0.




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Espacio de Medida




En particular si µ es una medida no atómica, µ (i) = 0 ∀ i ∈ F .

Ejemplo: X = 1, . . . , n, F =2X y µ = # (A). Entonces µ tieneátomos en 1 , . . . , n


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Espacio de Medida






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Modelos Estocásticos para Conjuntos Aleatorios de PuntosEspacios de Probabilidad para procesos de Poisson: Motivación

Proceso de Poisson con espacio de estados S definido en(Ω,F ,P),

Π : Ω→ S∞

S∞ es el conjunto de todos los subconjuntos numerables de S .Conjuntos de prueba A ∈ S∞ número de puntos de Π en A es

N (A) := # Π (ω) ∩ A

N (A) : Ω→ 0, 1, . . . ,∞N (A) debe ser una variable aleatoria para cada conjunto de prueba A(ejercicio): Para cada n,

ω : N (A) = n = ω ∈ Ω : N (A) (ω) = n ∈ F .


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Π : Ω→ S∞

S∞ es el conjunto de todos los subconjuntos numerables de S .

Conjuntos de prueba A ∈ S∞ número de puntos de Π en A es

N (A) := # Π (ω) ∩ A


ω : N (A) = n = ω ∈ Ω : N (A) (ω) = n ∈ F .


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Π : Ω→ S∞


N (A) := # Π (ω) ∩ A


ω : N (A) = n = ω ∈ Ω : N (A) (ω) = n ∈ F .


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Π : Ω→ S∞


N (A) := # Π (ω) ∩ A

N (A) : Ω→ 0, 1, . . . ,∞

N (A) debe ser una variable aleatoria para cada conjunto de prueba A(ejercicio): Para cada n,

ω : N (A) = n = ω ∈ Ω : N (A) (ω) = n ∈ F .


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Π : Ω→ S∞


N (A) := # Π (ω) ∩ A


ω : N (A) = n = ω ∈ Ω : N (A) (ω) = n ∈ F .


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Elección de los conjuntos de prueba: Motivación

Se requiere definir distribuciones de N(A), distribuciones conjuntas,etc.

Preferible definir conjuntos de prueba simples y a partir de ellosconstruir otros más complicados.

Ejemplo, si S = R, es suficiente pedir que los intervalos abiertos(a, b) sean conjuntos de prueba

Todo conjunto abierto G es la unión numerable de intervalos abiertosAj ,N (G ) = ∑j N

(Aj)es una variable aleatoria si las N

(Aj)también lo

sonSi F es cerrado es la intersección de una sucesión decreciente deconjuntos abiertos Gi , y N (F ) = limi→∞ N (Gi ).N (A) es una variable aleatoria bien definida para todo subconjunto A.

Algo similar se puede hacer para S = R2 o S = Rd .


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Todo conjunto abierto G es la unión numerable de intervalos abiertosAj ,

N (G ) = ∑j N(Aj)es una variable aleatoria si las N

(Aj)también lo




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(Aj)también lo

son

Si F es cerrado es la intersección de una sucesión decreciente deconjuntos abiertos Gi , y N (F ) = limi→∞ N (Gi ).N (A) es una variable aleatoria bien definida para todo subconjunto A.



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(Aj)también lo

sonSi F es cerrado es la intersección de una sucesión decreciente deconjuntos abiertos Gi , y N (F ) = limi→∞ N (Gi ).

N (A) es una variable aleatoria bien definida para todo subconjunto A.



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(Aj)también lo




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Espacio de Estados

Usualmente S es un espacio Euclidiano d-dimensional

S es un espacio medible

Espacio de medida (S ,A, µ)

A es la familia de conjuntos de prueba que queremos.Si A ∈ A diremos que A es un conjunto medible.

Necesitamos asegurar que hay suficientes conjuntos medibles parapoder distinguir puntos individuales.

En particular∀x ∈ S x ∈ A.

Cuando S = Rd , tomaremos como conjuntos medibles a losconjuntos de Borel de Rd


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Espacio de Estados



Espacio de medida (S ,A, µ)A es la familia de conjuntos de prueba que queremos.

Si A ∈ A diremos que A es un conjunto medible.





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Espacio de Estados



Espacio de medida (S ,A, µ)A es la familia de conjuntos de prueba que queremos.Si A ∈ A diremos que A es un conjunto medible.





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Definición de Proceso de Poisson

Espacio de Medida (S ,A, µ)

Espacio de Probabilidad (Ω,F ,P),Π : Ω→ S∞ es un subconjunto numerable de S

N (A) := # Π (ω) ∩ AUn proceso de Poisson en un espacio de estados S , es unsubconjunto aleatorio numerable Π de S , tal que

Si A1, . . . ,An ∈ A son ajenos (Ai ∩ Aj = ∅ ∀i 6= j), las variablesaleatorias N (A1) , . . . ,N (An) son independientesLa variable aleatoria N (A) tiene distribución Poisson P (µ(A)).

Si µ (A) < ∞, el conjunto Π ∩ A es finito con probabilidad 1, y vacíosi µ (A) = 0.

Si µ (A) = ∞, Π ∩ A es infinito numerable con probabilidad 1.


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Espacio de Medida (S ,A, µ)Espacio de Probabilidad (Ω,F ,P),

Π : Ω→ S∞ es un subconjunto numerable de S






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Espacio de Medida (S ,A, µ)Espacio de Probabilidad (Ω,F ,P),Π : Ω→ S∞ es un subconjunto numerable de S






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N (A) := # Π (ω) ∩ A

Un proceso de Poisson en un espacio de estados S , es unsubconjunto aleatorio numerable Π de S , tal que





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Si A1, . . . ,An ∈ A son ajenos (Ai ∩ Aj = ∅ ∀i 6= j), las variablesaleatorias N (A1) , . . . ,N (An) son independientes

La variable aleatoria N (A) tiene distribución Poisson P (µ(A)).




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Medida Media

Para A ∈ A, N (A) ∼ P (µ(A))

E (N (A)) = µ (A) .

Si A1,A2, . . . son ajenos con⋃∞n=1 An = A,

N (A) =∞

∑n=1

N (An)

E (N (A)) = E

(∞

∑n=1

N (An)

)

µ (A) =∞

∑n=1

µ (An) .

La medida µ es la medida media del proceso de Poisson Π.


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La Medida Media no puede ser Atómica

Si lo fuera existe átomo en x ∈ S , 0 < µ (x) = m.

El correspondiente PP con medida media µ sería tal que

P (N (x) ≥ 2) = 1−(m0e−m

0!+m1e−m

1!

)= 1− e−m −me−m > 0

Contradice que N (A) sea una variable aleatoria bien definida ∀A ∈ A,

N (x) = # Π ∩ x ≤ 1.

Por lo tanto una medida media debe ser no atómica,

µ (x) = 0 ∀x ∈ S .

Corolario: Medidas discretas no pueden ser medidas medias.


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La Medida Media no puede ser Atómica

Si lo fuera existe átomo en x ∈ S , 0 < µ (x) = m.El correspondiente PP con medida media µ sería tal que

P (N (x) ≥ 2) = 1−(m0e−m

0!+m1e−m

1!

)= 1− e−m −me−m > 0

Contradice que N (A) sea una variable aleatoria bien definida ∀A ∈ A,

N (x) = # Π ∩ x ≤ 1.

Por lo tanto una medida media debe ser no atómica,

µ (x) = 0 ∀x ∈ S .

Corolario: Medidas discretas no pueden ser medidas medias.


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Ejemplos

S = Rd , λ es una función no negativa en S , tal que

µ (A) =∫A

λ (x) dx .

Hablamos de un proceso de Poisson homogéneo en S si λ esconstante, | A| =

∫A dx y

µ (A) = λ |A|

Si S = R, y µ es finita en conjuntos acotados, la medida µ estádeterminada de manera única por sus valores en intervalos (a, b]:

µ (a, b] = M (b)−M(a)

con M : R→ R,

M (t) =

µ (0, t] si t ≥ 0−µ (t, 0] si t < 0

.


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Algunos Teoremas Importantes y Bellos

Π1,Π2, . . . son procesos de Poisson independientes, si para cadaA ∈ A, N1 (A) ,N2 (A) , . . . son v.a. independientes.

Lema de Separación: Sean Π1 y Π2 procesos de Poissonindependientes en S , y sea A ∈ A con µ1 (A) y µ2 (A) finitas.Entonces Π1 y Π2 son ajenos en A con probabilidad 1

P (Π1 ∩Π2 ∩ A = ∅) = 1.Teorema de Superposición: Sea Πn∞

n=1 una familia de procesosde Poisson independientes en S donde Πn tiene media µn para cadan ≥ 1. Su superposición

Π =∞⋃n=1

Πn

es un proceso de Poisson con medida media

µ =∞

∑n=1

µn.


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Π1,Π2, . . . son procesos de Poisson independientes, si para cadaA ∈ A, N1 (A) ,N2 (A) , . . . son v.a. independientes.Lema de Separación: Sean Π1 y Π2 procesos de Poissonindependientes en S , y sea A ∈ A con µ1 (A) y µ2 (A) finitas.Entonces Π1 y Π2 son ajenos en A con probabilidad 1

P (Π1 ∩Π2 ∩ A = ∅) = 1.

Teorema de Superposición: Sea Πn∞n=1 una familia de procesos

de Poisson independientes en S donde Πn tiene media µn para cadan ≥ 1. Su superposición

Π =∞⋃n=1

Πn


µ =∞

∑n=1

µn.


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Π1,Π2, . . . son procesos de Poisson independientes, si para cadaA ∈ A, N1 (A) ,N2 (A) , . . . son v.a. independientes.Lema de Separación: Sean Π1 y Π2 procesos de Poissonindependientes en S , y sea A ∈ A con µ1 (A) y µ2 (A) finitas.Entonces Π1 y Π2 son ajenos en A con probabilidad 1

P (Π1 ∩Π2 ∩ A = ∅) = 1.Teorema de Superposición: Sea Πn∞

n=1 una familia de procesosde Poisson independientes en S donde Πn tiene media µn para cadan ≥ 1. Su superposición

Π =∞⋃n=1

Πn


µ =∞

∑n=1

µn.


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Construcción de Procesos de Poisson

Teorema de Restricción: Sea Π un proceso de Poisson con medidamedia µ en S , y sea S1 un subconjunto medible de S . Entonces elconjunto aleatorio

Π1 = Π ∩ S1es un proceso de Poisson en S1 con medida media

µ1 (A) = µ (A∩ S1)

Teorema de Mapeo Sea Π un proceso de Poisson en un espacio deestados S , con medida media µ, y sea f : S → T una funciónmedible. Entonces f (Π) ⊂ T es un proceso de Poisson. La medidamedia de f (Π) es la medida inducida por f .Teorema de Existencia Sea µ una medida no atómica en un espaciode estados S que puede ser expresada en la forma

µ =∞

∑n=1

µn, µn (S) < ∞.

Entonces existe un proceso de Poisson en S con medida media µ.


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µ1 (A) = µ (A∩ S1)Teorema de Mapeo Sea Π un proceso de Poisson en un espacio deestados S , con medida media µ, y sea f : S → T una funciónmedible. Entonces f (Π) ⊂ T es un proceso de Poisson. La medidamedia de f (Π) es la medida inducida por f .

Teorema de Existencia Sea µ una medida no atómica en un espaciode estados S que puede ser expresada en la forma

µ =∞

∑n=1

µn, µn (S) < ∞.

Entonces existe un proceso de Poisson en S con medida media µ.


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µ1 (A) = µ (A∩ S1)Teorema de Mapeo Sea Π un proceso de Poisson en un espacio deestados S , con medida media µ, y sea f : S → T una funciónmedible. Entonces f (Π) ⊂ T es un proceso de Poisson. La medidamedia de f (Π) es la medida inducida por f .Teorema de Existencia Sea µ una medida no atómica en un espaciode estados S que puede ser expresada en la forma

µ =∞

∑n=1

µn, µn (S) < ∞.

Entonces existe un proceso de Poisson en S con medida media µ.Víctor M Pérez Abreu C Depto PyE CIMAT () Curso Corto de Procesos de Poisson


Teorema de Existencia

Idea de Demostración:

s.p.g. µn (S) > 0 ∀ n (µk (S) = 0, ∑ µn (A) = ∑n 6=k µn (A)).

Construir v.a. independientes Nn, Xnr , n, r = 1, 2, . . . Nn condistribución Poisson P (µn (S)) y Xnr con distribución pn

pn (·) =µn (·)µn (S)

.

SeanΠn = Xn1,Xn2, . . . ,XnNn

Π =∞⋃n=1

Πn.

Nn (A) = # Πn ∩ ATomar la superposición


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pn (·) =µn (·)µn (S)

.


Π =∞⋃n=1

Πn.

Nn (A) = # Πn ∩ A

Tomar la superposición


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pn (·) =µn (·)µn (S)

.


Π =∞⋃n=1

Πn.

Nn (A) = # Πn ∩ ATomar la superposición


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Referencias generales para el curso

1 V. Pérez-Abreu y David Reynoso Valle (2009). Introducción alProceso de Poisson. Notas en Proceso.

2 Begoña Fernández Fernández (2009). La Ley de Los Eventos Raros,Legado de Simeón Poisson. Memorias del Primer Congreso Regionalde Probabilidad y Estadística, Villahermosa, Tab. 2008.

3 V. Pérez-Abreu (1991). Poisson Aproximation to Power SeriesDistributions. The American Statistician Vol. 45.

4 Henk C. Tijms. A First Course in Stochastic Models. Wiley 2003.5 Sheldom M. Ross. Stochastic Processes. Wiley. Varias ediciones.6 Basawa, I.V. and Prakasa Rao, B.L.S. (1980). Statistical Inference forStochastic Processes. Academic Press, 1972.

7 Denis Bosq y Hung T. Nguyen. A Course in Stochastic Processes:Stochastic Models and Statistical Inference. Springer 2009.

8 Sir J. F. C. Kingman. Poisson Processes. Oxford, 2002.


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Líneas de investigación actuales:

Divisibilidad Infinita.Probabilidad LibreMatrices AleatoriasProbabilidad y otras Ramas de las Matemáticas

página personal http://www.cimat.mx/~pabreu/

Gracias por su asistencia y trabajo en el curso

Gracias por su participación en el Tercer Verano deProbabilidad y Estadística

Nos vemos en la Conferencia del Dr. José Alfredo LópezMimbela.


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