Teoría General de Cáscaras

7/21/2019 Teora General de Cscaras

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Teora General de Cscaras


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El anlisis terico de las cscaras, consisteen establecer en primer lugar las ecuaciones

de equilibrio de un elemento diferencial

cortado de la misma, bajo la accin de

solicitaciones externas, y en segundo

trmino las ecuaciones de compatibilidad de

las deformaciones , de manera tal de restituir

de esta forma la continuidad del elementocortado, despus de la deformacin de la

cscara.


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El material se supone continuo , istropo yhomogneo.

Hipotesis fundamentales:

De comportamiento elstico y lineal.

Las deformaciones elsticas son pequeas enrelacin al espesor de la cscara.

La normal a la superficie media se

mantiene tras la deformacin.

Se podrn despreciar las tensionesnormales perpendiculares a la sup. media.


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Teora General de CscarasTeora de las Superficies

S

R

Q

P

dSy

dS

x

2

1

1 + d 1

2 + d 2

n1

t1

t2

Los arcos diferenciales dSx y dSycorresponden a las longitudes del

elemento diferencial en coordenadas

curvilneas ortogonales.

9

8

7

21

12

2

2

222

1

1

111

rrFA

PSdr

dGdASd

PQdr

dEdAdS

y

x

rx

ry

Donde E, F y G son los coeficientes de la Primera Forma

Fundamental de la Teora de las Superficies


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Dada una curva, sobre una superficie

La derivada de la long de arco:

Primera forma fundamentalde Teoria de Superficies


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La curvatura total()

de una curva (t)

puede serdescompuesta entre la

curvatura medible

desde la superficie,

llamada curvatura

normal (kn) y la

curvatura no medibledesde la superficie,

llamada curvatura

tangencial o

geodsica (kg).

K= Kn+ Kg
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/eb/Minimal_surface_curvature_planes-en.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/eb/Minimal_surface_curvature_planes-en.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/eb/Minimal_surface_curvature_planes-en.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/eb/Minimal_surface_curvature_planes-en.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/eb/Minimal_surface_curvature_planes-en.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/eb/Minimal_surface_curvature_planes-en.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/eb/Minimal_surface_curvature_planes-en.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/eb/Minimal_surface_curvature_planes-en.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/eb/Minimal_surface_curvature_planes-en.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/eb/Minimal_surface_curvature_planes-en.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/eb/Minimal_surface_curvature_planes-en.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/eb/Minimal_surface_curvature_planes-en.svg


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Curvatura Normal

Dada una curva C contenida en la superficie S, de vector de curvatura ken un punto P de la misma, se llama curvatura normal de C en el punto P,

Kn, a la proyeccin del vector ksobre el vector normal Na la superficie en P.

El vector curvatura de C en un

punto dado se define como :

y el vector tangente:

En definitiva, es:


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S

R

Q

P

dS'1 - dS1

dw1dw2

dS'2

dS2dS

1

dS'1

1=y

2=x

1

2

12cos,

111'

101'

21

1

2

1

222

1112

2

11

1

222

2

1

2

111

22212

2

2

2

111

geodesicurvaturasderadios

dA

AdA

dAddA

A

sd

sdsdwd

dA

AdA

dAdd

A

A

sd

sdsdwd

14111

13111

2

1

212

2

2

1

2

211

1

1

AAASd

wd

A

AASd

wd

x

y


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P

2 = Cte

1= Cte

n1

r1

r 2 r2( 1,

2)

19

182

1

17

16

:

152

21

2121

2

2

1

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

1

1

2

2212

1

2

2212

1

rrrrF

rnrnM

rnN

rnL

donde

dGddFdE

dNddMdL

rx

n

n

La segunda forma fundamental de la teora de superficies permite

encontrar el valor de la curvatura normal de la superficie,en direccin

de cualquier curva ubicada sobre ella


10/34

Formulacin de las ecuaciones de equilibrio

Se desprecian las tensiones normal z y las tangenciales zx y zy



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Teora General de CscarasCara 1= cte Cara 2= cte

I


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Los esfuerzos y momentos se puedenreducir en forma vectorial poniendo:

(resultante en 2 = cte)




Siendo la resultante de las fuerzas externas:(resultante de las fuerzas

externas sobre el elemento)

I


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Teora General de CscarasEl sistema vectorial debe estar en equilibrio

Equilibrio de fuerzas

En 2 = cte En 2 + d 2

En 1 = cte En 1 + d 1

Fuerzas exteriores


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Teora General de CscarasEcuaciones de equilibrio vectorial

Fuerzas

Momentos


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Teniendo en cuenta las expresiones:

Siendo curvatura geodsica de 1

curvatura normal de 1

torsin de las curvas coordenadas


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Las ecuaciones de equilibrio de fuerzas en

coordenadas curvilneas ortogonales :


20/34


Las ecuaciones de equilibrio de momentos en

coordenadas curvilneas ortogonales :


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Estas ecuaciones pueden escribirse en funcin

de los arcos diferenciales y los radios de

curvatura geodsicos, recordando:

Efectuado sus reemplazos obtendremos:


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60''''

50

40

30''''

20''

10''

yx

y

xy

x

y

yx

x

xyyxxy

y

y

xyyx

x

xy

x

xy

y

y

x

x

yxxy

y

yx

y

xy

x

x

x

y

y

x

y

y

x

x

yx

yx

xy

xy

y

y

x

x

yx

x

y

y

y

xyyx

x

yx

x

xy

x

x

xy

y

x

x

x

yxxy

y

yx

y

xy

x

x

r

M

r

M

r

M

r

MNN

QMMMM

S

M

S

M

QMMMM

S

M

S

M

ZQQ

S

Q

S

Q

r

N

r

N

r

N

r

N

Yr

Q

r

QNNNN

S

N

S

N

Xr

Q

r

QNNNN

S

N

S

N

Ecuaciones de equilibrio, expresadas en coordenadas curvilineas :


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DeformacionesLas deformaciones especficas:

Luego

Reemplazando, obtenemos


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Las deformaciones especficas extensionales:


21'

11

20'

11

2

1

2

122

1

1

2

1

211

2

y

y

x

x

r

wA

Au

A

v

A

r

wA

Av

A

u

A

)25('

1

'

1

)24('

1

'*

1

23'2

1

'

1

'

1

1

''

1

1

'

1

'*

1

22'2

12

1

2

1

1

2

21222

1

21

1111

2

211

2

122

1

12

xyxy

xy

yy

y

xyxyy

xyxxx

x

xyxy

rrxx

rrxx

uAvA

AArrr

vw

A

A

AA

r

v

r

uw

AArrxx

r

w

A

v

A

A

A

u

A

A

Deformacin de flexin

Deformacin de torsin


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)31()1()1(12

)2(

)30()()1(12

)2(

)29()()1(12

)2(

)28()1(2

2

)27(1

2

)26(1

2

2

3

2

3

2

3

2

2

xyyxxy

xyy

yxx

xyyxxy

xyy

yxx

XuhE

MM

XXhE

M

XXhE

M

hENN

u

hEN

u

hEN

Las ecuaciones esfuerzo-deformacin resultan:


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27/34

Teora

General

de

Cscaras


28/34

Simplificacin para obtener la

ecuacin diferencial de las chapas.

Parmetros geomtricos

Plantearemos la ecuacin

paramtrica de las chapas:

)(0

)31(

xyplanoenestardebenz

qy

qx

y

x

Z= (-u )

2 + d 2

dx

dy

11 + d

xy

O

P

r ( 1, 2)


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Las cargas sern de superficie:

)(0)31(

xyplanoenestardebenzqy

qx

y

x

)32()(),()( 21 ttrtrr

El vector posicin ser:

Hacer variar alfa1 es lo mismo que variar x, por lo tanto ser:

jr

rir

r

jijyixr

ddyddx

yx

2

2

1

1

212,1

21

12

;

;

;

Los coeficientes de la

primera forma fundamental

sern:

)35(00;

)34(11

)33(11

21

12

2

2

1

1

FFrr

A

GGr

A

EEr

A


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Los coeficientes de la segunda forma fundamental :

Los radios de curvatura de las lineas coordenadas:

)37(

1

0,0

)36(1

0,0

)35(

1

0,0

22

2

1

2

21

2

21

2

22

2

1

2

22

2

22

2

22

2

1

2

21

2

21

2

FGE

rrr

M

r

FGE

rrrN

r

FGE

rrr

L

r

0'1

)38(0'

1

22

11

EL

rxcte

G

N

rxcte

x

y

La curvatura de torsin ser:)39(0

'

1

21

12

AA

M

EG

M

rx

xy

Por lo tanto ser:

xyyx rrr '''


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Reemplazando en las ecuaciones de deformacin -

desplazamientos (20) a (24)

00

0

)40(

12

1

2

12

2

1

xy

y

x

xy

y

x

xxxx

xx

x

v

y

uvuy

vv

x

uu


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Reemplazando en las ecuaciones de esfuerzos-

deformaciones (25) a (30)

0)1(2

2

)41(1

2

1

2

2

2

yxxyyx

yxxy

y

x

MMMMx

v

y

uhENN

x

u

y

vhEN

y

v

x

uhEN


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Reemplazando en las ecuaciones de equilibrio

(1) al (5)los parmetros geomtricos:

011

011

'''

2

1

21

1

2

21

22

11

AAA

A

AA

rrrdydASd

dxdAdS

x

y

xyyx

y

x

yxyx

x

y

y

x

rrr

A

AA

AAA

dyddASd

dxddAdS

'''

011

)42(011

1

2

21

2

1

21

222

111

)44(0

)43(0

Yx

N

y

N

Xy

N

x

N

xyx

yxx

)45(0y

Q

x

Q yx

)47(0

)46(0

y

x

Q

Q


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Obtencin de la ecuacin diferencial

Ecuaciones de equilibrio

Ecuaciones esfuerzos-deformaciones

)44(0

)43(0

Yx

N

y

N

XyN

xN

xyx

yxx

0

)1(2

2

)41(1

2

1

2

2

2

yxxyyx

yxxy

y

x

MMMM

x

v

y

uhENN

x

u

y

vhEN

y

v

x

uhEN

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